Wir machen noch mal einen einfachen Fall von Partialbruchzerlegung. Ich schreibe den Nenner schon komplett zerlegt hin. Und der Zähler ist auch schon komplett zerlegt. Alles steht in Linearfaktoren. Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Nullstellen. Es ist auch schon dafür gesorgt, dass der Zähler im Grad kleiner ist als der Nenner im Grad ist.

Ich will sagen, die Polynomdivision schon ausgeführt. Das schreiben Sie noch mal mit Partialbruch in die Übungshalber. Also der Ansatz wäre, hier habe ich eine doppelte Polstelle bei der Null.

Da muss da stehen a durch x² plus b durch x. Die Polstelle der so und so vielten Vielfachheit braucht immer so und so viel Terme. Wenn hier etwas stünde mit x hoch vier, bräuchten Sie irgendwas durch x hoch vier, x hoch drei, x hoch zwei, x hoch eins.

Das wird dann zunehmend ärgerlicher. Und für den hier brauche ich eine Konstante durch x minus eins. Das ist ja nur eine einfache Polstelle. Nach meinem händewedelnden Verfahren von eben würde ich Folgendes machen. Was passiert, wenn x ungefähr eins ist?

Sie sehen, das hier ist der Term, der dann explodiert. Was passiert, wenn x ungefähr eins ist? Na ja, eins plus drei sind vier durch eins Quadrat. Dieses c hier muss vier sein. Das ist eine sehr unkonventionelle Art, wahrscheinlich das c zu bestimmen, aber das können Sie eigentlich direkt ablesen, dass c gleich vier sein muss.

Wenn x ungefähr eins ist, ist dieses eins durch x minus eins der spannende Term. Die anderen bleiben endlich. Womit steht eins durch x minus eins mit vier durch eins? Dieses c muss vier sein. Also c ist gleich vier.

Das x Quadrat, womit steht das x Quadrat? Was passiert, wenn x gleich null wird? Das hier ist der schlimmere Term als der. Deshalb erst das x Quadrat. Eins durch x Quadrat steht es mit dem Faktor x ungefähr null. Drei durch minus eins. A muss ungefähr drei durch minus eins sein, also minus drei sein. Das könnte man eigentlich direkt ablesen.

Aber die Form in Langfassung wäre, Sie bringen das auf einen Bruststrich. Diese drei hier, x Quadrat, x minus eins, das ist der Hauptnenner. A muss sich mit x minus eins erweitern. B muss sich mit x mal x minus eins erweitern.

C muss sich mit x Quadrat erweitern. Und dann sehen Sie A. Dieses hier, x plus drei, muss für alle x gleich dem sein. Ich muss haben, x plus drei ist gleich A mal x minus eins plus B mal x.

Nein, nicht dort. x mal x minus eins plus C mal x Quadrat. Entweder sortiert man nach Potenzen oder einfacher. Wir setzen einfach nette Werte von x ein.

Zum Beispiel x gleich null. Es bieten sich immer die Polstellen an. Sie setzen zum Beispiel x gleich null ein, zum Beispiel x gleich null. Dann haben wir drei ist gleich x gleich null, also minus A. Der wird null, der wird null. Drei ist gleich minus A.

Na toll, das wussten wir schon. Und wenn wir setzen x gleich eins, dann steht da vier ist gleich der Pflicht raus, der Pflicht raus, C mal eins Quadrat. Vier ist gleich C. Wussten wir auch schon, aber B kriegen wir jetzt netterweise raus.

Was wäre mein sinnvoller Zahlenwert? Also sehen, null und eins brauche ich schon nicht mehr einzusetzen. Die habe ich schon verwurstet. Zwei wahrscheinlich, ne? Ja, zwei, dann wird das hier schön einfach. Ich setze zwei mal eins, x gleich zwei. Und finde, da ist fünf ist gleich A, A mal zwei minus eins.

Und jetzt kommt hier B mal zwei mal eins, also plus zwei B. Und hier hinten steht C mal zwei Quadrat, will sagen vier C. Macht also, eins minus drei, macht minus drei plus zwei B. Ohje, vier C, das sind 16 plus 16.

Die 16 rüberbringen, also ich muss, 16 minus drei sind 13. Ich bringe 13 rüber, fünf minus 13 sind minus acht, hoffentlich. Fünf minus 13 sind minus acht, sind zwei B. Mit anderen Worten, B ist also minus vier.

Fertig.