eine Dreiecksberechnung. Sie haben ein Dreieck mit der Seitenlänge 6 hier und der Seitenlänge 5 da. So und der Seitenlänge 4 hier. Ist nicht ganz gelungen, aber Sie wissen was ich meine. Ich suche diesen Winkel. Wie können Sie den Winkel bestimmen? Ja, das sollte wirklich gradlinig gehen. Wenn ich den hier mal

Gamma nenne, schreit das nach dem Cosinussatz. Ich kenne drei Seiten, suche einen Winkel. Beim Cosinussatz geht es ja um drei Seiten und einen Winkel. Wenn ich drei davon habe, kann ich das vierte ausrechnen. In diesem Fall habe ich die drei Seiten und rechne das vierte den Winkel aus.

Cosinussatz ist Pythagoras mit Korrektur für das nicht rechtwinklige Dreieck. Sie können eigentlich erstmal Pythagoras hinschreiben. Wenn dieses Dreieck 5 Quadrat ist gleich 4 Quadrat plus 6 Quadrat. Das offensichtlich nicht stimmt. Dieses Dreieck ist kein rechtwinkliges Dreieck.

Und die Korrektur ist 2 mal 4 mal 6 mal den Cosinus. 2 mal das Skalarprodukt. Da kommt der Cosinussatz eigentlich her. Hier entsteht minus 2 mal das Skalarprodukt

von diesen beiden Kanten. Na ja, das lösen wir auf. Wir haben also 5 Quadrat minus 4 Quadrat minus 6 Quadrat ist gleich minus 2 mal 4 mal 6 mal den Cosinus.

wir haben also der Cosinus von Gamma ist 5 Quadrat minus 4 Quadrat minus 6 Quadrat durch minus 2 mal 4 mal 6. Und damit habe ich den Winkel

mit dem Arcuscosinus aus dem was da steht. 25 minus 16 minus 36 durch 8 mal 6 sind 48 da unten minus 48. Und

lohnt sich das noch? Ja, dann haben wir gerade noch zu Ende hier. Das ist jetzt klein klein, aber sei es so. 25 minus 16 sind 9. 9 minus 36 sind minus 27.

Durch minus 48. Das Minus können wir kürzen. Also Arcuscosinus von 27,48. Ich sollte zu dem Arcuscosinus noch was sagen. Die Winkelfunktionen sind ja alle nicht umkehrbar.

Wenn ich den Cosinus habe von 0 bis 2 Pi und ich gebe den Wert für den Cosinus an. Ich sage ja mein Cosinus ist 27,48.

Dann könnte es ja auch dieser Winkel sein hier oder auf der anderen Seite dieser Winkel hier sein. Also der Cosinus sagt Ihnen nicht das Vorzeichen vom Winkel. Was einen im Dreieck jetzt nicht so fürchterlich stört, ist dieser Winkel positiv oder negativ egal.

Es ist dieser Winkel, mich interessiert der Betrag. In der Situation ist es kein Drama. Also was aus dem Cosinus rauskommt, eigentlich könnten Sie dann auch noch sagen, es könnte auch der negative Winkel sein, aber das macht im Dreieck keinen Unterschied. Insofern kein Problem mit dem Arcuscosinus. Dieser hier kann es sowieso nicht sein, weil der über 180 Grad liegt.

Das sieht sehr komisch aus, wenn Sie einen Winkel über 180 Grad angeben im Dreieck. Wir gucken uns ein anderes Dreieck noch an. Eine Seite soll sieben lang sein, ein Winkel hier, der soll

40 Grad sein. Diese Seite soll sechs lang sein. Und die Frage nach der Länge dieser Seite da unten. Wie lang ist die dritte Seite gegeben? Zwei Seiten, ein Winkel. Wie lang ist die dritte Seite?

Das hier soll die Zahl sechs sein. Kein kleines B, sondern die Zahl sechs. Sehr viele haben jetzt hier mit dem Sinus Satz angefangen. Wenn ich diesen Winkel hier unten zum Beispiel wissen wollen würde,

dann wäre der Sinus Satz hübsch. Dann hätte ich zwei Längen und zwei Winkel im Spiel. Damit kann mir der Sinus Satz helfen, denn da geht es um zwei Längen und zwei Winkel. Die eine Länge durch den Sinus vom Winkel gegenüber ist die andere Länge durch den Sinus von deren Winkel gegenüber. Da hilft mir der Sinus Satz. Zwei Längen, zwei Winkel.

Aber in dieser Situation hier habe ich ja zwei Längen und eine dritte Länge im Spiel und einen Winkel. Auch das müsste wieder Cosinus Satz sein. Vielleicht nennen wir die hier wirklich mal nennen wir sie irgendwie. Nennen wir sie A. A ist gesucht.

Also hier würde ich eher den Cosinus Satz vermuten. Also der Cosinus Satz hier für diese 40 Grad. Ich schreibe Pythagoras hin und korrigiere dann. Sechs Quadrat ist

sieben Quadrat und A Quadrat. Das wäre Pythagoras, wenn hier die 90 Grad wären, aber ist nicht so. Deshalb minus zwei mal sieben mal A mal den Cosinus von 40 Grad. Das wäre der Cosinus Satz. Und das wird jetzt absurderweise eine quadratische Gleichung. A Quadrat, A.

Ich habe A Quadrat minus 14 mal Cosinus von 40 Grad mal A.

Und dann haben wir hier jetzt 36 minus 49. Auf dieser Seite 49 minus 36 plus 49 minus 36 ist gleich Null. Das ist meine quadratische Gleichung. Hier kann man natürlich noch ausrechnen. 49 minus 36 sind 13.

Und jetzt können sie mit PQ Formel dran. Sie wissen also A ist die Hälfte vom P. Das hier ist das P. Minus die Hälfte vom P. Also sieben Cosinus von 40 Grad plus minus die Wurzel. Jetzt das, was hier vorne steht, quadrieren.

49 mal den Cosinus von 40 Grad Quadrat und die 13 abziehen. Das wäre PQ Formel. Und in der Klausur ohne Taschenrechner, Cosinus 40 Grad, das bleibt so stehen. Das lassen sie da so stehen.

Eine Zugabe wäre noch ganz nett. Vielleicht würde ich die Aufgabe, wenn ich so eine Aufgabe stellen würde, dann auch entsprechend formulieren. Wenn Sie dieses Bild hier sehen, nehmen Sie das Plus oder nehmen Sie das Minus vor der Wurzel. Jetzt habe ich ja zwei Lösungen. Ich habe keine Eindeutigkeit mehr wie eben.

Hier war der Winkel bis auf das Vorzeichen eindeutig. Jetzt aber bei dieser Länge steht da sowieso Plus Minus Wurzel. Wenn Sie das Bild sehen, nehmen Sie eher Plus oder nehmen Sie eher Minus. Das wollte ich hören. Die Seite 6 kann hin und her wackeln. Die Seite 6 kann ja auch so liegen. Und dann wird a kurz. Das sind die beiden Fälle. Wenn Sie nur

diese Seitenlänge 7 haben und hier den 40 Grad und die zweite Seitenlänge 6 haben, kann die zweite Seite so liegen oder so liegen. Das ist die Mehrdeutigkeit hier. Deshalb haben wir zwei verschiedene Lösungen. Natürlich kriege ich die kurze Lösung mit dem Minus und ich kriege die lange Lösung mit dem Plus. Das sind die beiden. Also würde ich

für meine Originalskizze das Plus nehmen, aber das wäre jetzt wirklich Sahnehäubchen noch auf der Lösung, welche von den beiden es sein muss. Also vorsichtig mit solchen Dreiecken, mit solchen Angaben, soll ich sagen. In diesem Fall ist das Dreieck nicht eindeutig bestimmt.

Haben Sie beim Sinussatz ein Problem? Wenn ich diesen Winkel hier bestimmt hätte mit dem Sinussatz, hätte ich direkt den Mehrdeutigkeit im Sinus über den Akkusinus. Wenn Sie den Sinuswert haben, hier sind ja Pi, 180 Grad, wenn der Sinus bekannt ist,

haben Sie zwei plausible Winkel, die sein können im Dreieck. Das ist der Ärger beim Akkusinus. Der Akkusinus gibt Ihnen nur den kleineren. Also mit dem Sinussatz sehen Sie, okay, hier wäre der Winkel nicht eindeutig bestimmt, weil der Sinus so eine ungeschickte Funktion ist.

Dass der in zwei Stellen denselben Wert annimmt. Wo Sie sehen, hier mit dem Kosinussatz kann es auch Ärger geben, wenn Sie die Länge ausrechnen, kriegen Sie plötzlich eine quadratische Gleichung und haben auch schon wieder zwei Lösungen, wie sich das gehört. Sie können natürlich mit zweimal Sinussatz rechnen. Sie bestimmen diesen Winkel, dann haben Sie den Winkel da oben

und dann kriegen Sie mit dem Sinussatz die Länge da unten. Also zweimal Sinussatz hintereinander würde auch gehen, fände ich akzeptabel, wäre nur mehr Rechenarbeit. Und bei der ersten Anwendung des Sinussatzes würden Sie feststellen, dass dieser Winkel nicht eindeutig ist. Mit dem Akkusinus hätten Sie eine Lösung, aber Sie müssten noch eine zweite mit in Betracht ziehen.