Eine rationale Funktion, nämlich diese x, wird abgebildet auf x hoch 3 plus 3x plus 1 durch x² plus 1. Mich interessiert Folgendes. Wie steht es mit Polstellen? Wie steht es mit einer Asymptote für x gegen plus minus unendlich?

Also eine horizontale Asymptote. Gibt es irgendeine Kurve, gegen die sich diese kurve dieser rationalen Funktion anschließt in Richtung plus minus unendlich?

Und wie steht es mit der Partialbruchzerlegung? Gute Frage. Angesichts dieser Funktion x soll ganz klassisch eine reelle Zahl sein.

Diese Aufgabe ist einfacher als es scheint, weil das meiste sich einfach in Luft auflöst in dieser Aufgabe. Polstellen. Damit ein x eine Polstelle sein kann, muss mindestens der Nenner Null werden. Das ist eine notwendige Bedingung. Wenn Sie nicht haben, dass der Nenner Null wird, kann diese Funktion auch nicht irgendwelchen Unsinn veranstalten.

Also keine Polstelle, denn dieser Nenner wird nicht Null für reelle Zahlen. Ich sollte Sie jetzt noch einmal anmerken. Das ist aber nur eine notwendige Bedingung. An einer Polstelle müssen Sie haben, dass der Nenner Null wird. So was hier. Mal irgendwas, mal irgendwas.

Das ist aber nicht hinreichend für eine Polstelle. Was kann passieren? Genau, das ist der Ärger. Wenn derselbe Faktor im Zähler steht, in derselben oder in einer höheren Potenz, dann kürzt sich das Ganze nicht weg und Sie haben keine Polstelle.

Die Funktion entschwindet nicht ins Unendliche, wenn Sie genügend oft kürzen können. Also Vorsicht, dass der Nenner Null wird, ist nur notwendig. Das ist aber nicht hinreichend für eine Polstelle. Es kann sein, dass auch der Zähler Null wird. Und dann muss man genauer gucken. Wenn Sie diese Situation haben, dann ist es definitiv keine Polstelle. Zähler und Nenner werden Null.

Und es ist keine Polstelle bei x gleich 1. Wenn Sie diese Situation haben, Zähler und Nenner werden beide Null, dann ist es trotzdem eine Polstelle. Weil nach dem Kürzen im Nenner immer noch dieser Faktor x minus 1 übrig bleibt.

Also da vorsichtig sein. Es reicht nicht, dass einfach nur der Nenner Null wird für die Polstelle. So, das ist die Polstelle. Es gibt also keine, weil hier steht x aus den realen Zahlen. x² ist Null oder mehr. Wenn Sie 1 addieren, wird es beim besten Willen nicht Null.

Asymptote muss man tatsächlich jetzt einmal rechnen. x hoch 3 plus 3x plus 1 durch x² plus 1. Polynomdivision. x hoch 3 plus 3x plus 1 durch x² plus 1.

Unbedingt mit Klammern. Ich sehe das hier noch ohne Klammern. Das ist gefährlich. Mir wäre es jetzt relativ schnurz. Aber wenn Sie es streng nehmen, steht da ja x hoch 3 plus 3x plus 1 durch x² plus 1, wenn Sie die Klammern weglassen. Das ist keine gute Idee. Schreiben Sie es mit Klammern. Dann sind alle glücklich.

x hoch 3 durch x macht x. Ich multipliziere zurück. Das gibt x hoch 3 plus x. x hoch 3 minus x hoch 3 ist weg. 3x minus x sind 2x.

2x plus 1 habe ich da oben. Das bleibt als Rest. Das kann ich nicht weiter teilen. 2x durch x² geht nicht auf. Also Rest 2x plus 1. Oder eine andere Schreibweise. Das habe ich gerade gesehen. Ich glaube, die raffiniertere Schreibweise ist, wenn Sie sofort dahinter schreiben, was rauskommt.

Dieses Polynom durch das Polynom ist x plus den Rest 2x plus 1 durch den Nenner. So ist das vielleicht geschickter geschrieben sogar. Als wenn Sie teilen 13 durch 5 ist 2 plus 3 Fünftel. Analog dazu geschrieben.

Nicht schreiben 2 Rest 3, sondern 2 plus 3 Fünftel. Der Rest durch den Nenner macht das Ganze in einem Schritt klar. So, jetzt kann ich die Asymptote sehen. Nach der Teilung, was hinten übrig bleibt.

Nach der Teilung habe ich hier hinten etwas, das gegen Null geht. Wenn x über alle Grenzen wächst, wird das gesamte hinten gegen Null gehen. Denn der Grad vom Rest ist kleiner als der Grad vom Nenner. Hier oben kann nichts mehr mit x² oder größer stehen, denn dann hätten Sie nicht zu Ende geteilt.

Wenn ich durch x² teile, kann oben nur etwas mit x stehen. Wenn ich durch x hoch 42 teile, dann kann oben nur etwas mit x hoch 41 oder kleiner stehen. Dieser Ausdruck hier hinten, der geht automatisch gegen Null, wenn x über alle Grenzen wächst. Weil der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners. Das heißt, hier vorne steht die Asymptote.

Einfach die Gerade y gleich x, die ist meine Asymptote für x gegen plus minus unendlich. Und Sie müssen jetzt in der Klausur nicht ausführlich begründen, dass das da vorne die Asymptote ist. Wenn man das einmal verstanden hat, dass hier Rest durch Nenner gegen Null geht, für x gegen unendlich und x gegen minus unendlich,

dann ist klar, hier vorne steht die Asymptote. Das Ergebnis der Polynomdivision ist die Asymptote für x gegen plus minus unendlich. Ich sollte sicherheitshalber sagen, das ist zwar nicht die einzige Asymptote. Ich habe jetzt zwar diese Asymptote.

Wenn ich Polstellen hätte, dann hätte ich natürlich weitere Asymptoten. Nämlich Indie-Polstellen-Reihen-Asymptoten, die sind natürlich nicht so richtig spannend. Klar, an jeder Polstelle hat man auf diese Weise eine vertikale Asymptote. Diese Asymptote hier für x gegen plus minus unendlich, die ist spannender. Die kriegen Sie durch Polynomdivision.

Und was war der letzte? Partialbruchzerlegung. Das ist eine ganz fiese Frage an der Stelle. Für Partialbruchzerlegung führen Sie die Polynomdivision aus. Dann haben Sie ein nettes Polynom. Das bleibt stehen. Und das, was hier hinten übrig bleibt, zerdicht man in Partialbrüche.

Jetzt hat der Nenner hier aber keine Nullstelle und ist quadratisch. Dann ist das fertig. Das hier hinten ist schon ein Partialbruch. Feierabend. Das heißt, die Partialbruchzerlegung ist an dieser Stelle schon durch.

Das sollte ich noch mal sagen, weil das schien nicht mehr ganz so bekannt zu sein. Also, wenn Sie was haben, was machen wir hier, mal x minus zwei, mal x minus drei, Quadrat, mal x Quadrat plus eins. Wenn Sie so einen Ausdruck haben, wenn wir gucken, welcher Grad das unten ist,

eins, zwei, drei, vier, fünf, und hier oben steht irgendwas von wegen drei, x hoch vier plus sieben, x hoch drei, minus acht von hier aus. Wenn Sie so eine rationale Funktion haben, hier ist der Grad im Zähler schon kleiner als der Grad des Nenners nach der Polynomdivision.

Dann können Sie hinschreiben, was für Terme Sie erwarten bei der Partialbruchzerlegung. Was erwarte ich jetzt für Terme bei der Partialbruchzerlegung? a durch x minus zwei ist das erste, was Sie erwarten. Hier gibt es eine Polstelle, erste Ordnung, eine einfache Polstelle.

Für die kommt so ein Termin, mit irgendeiner Konstante a. Was kriegen wir noch? Für diese Polstelle, zweite Ordnung, die doppelte Polstelle, kriegen Sie erst mal das, was Sie naiv erwarten würden, b durch x minus drei Quadrat. Ich brauche wieder irgendwas mit einer Polstelle, die genauso schlimm ist, wie diese Polstelle da.

Es gibt aber ärgerlicherweise einen Extra-Term, das hatte ich dann vorgeführt. Man dividiert aus und sieht, leider bleibt typischerweise noch ein Extra-Term. Eine Polstelle, erste Ordnung, das kriegen Sie. Für eine Polstelle, so und so vielte Ordnung, eine Polstelle, siebte Ordnung, eine siebenfache Polstelle,

durch hoch sieben, durch hoch sechs, durch hoch und so weiter, bis durch hoch eins, diese ganze Reihe runter. Immer mit derselben Polstelle, alle diese Ausdrücke haben alle dieselbe Polstelle. Also nicht von wegen plötzlich c durch x plus drei, das hätte ich an einer ganz anderen Polstelle. Das wird ja plötzlich bei x gleich minus drei verrückt spielen.

Das hier spielt aber nicht verrückt bei x gleich minus drei, das kann es nicht sein. Es muss alles dieselbe Polstelle haben, in verschiedenen Ordnungen. Und dann gibt es den da hinten noch, Sonderfall. Ich habe einen quadratischen Faktor hier unten ohne Nullstelle. Das heißt, Sie können das nicht zerlegen, ohne Nullstelle, insbesondere dann auch ohne Polstelle.

Es gibt da d mal x plus i durch den hier, x quadrat plus eins. So sieht das aus. Also wenn Sie da einen Faktor haben, einen quadratischen Faktor ohne Nullstelle, und damit auch insgesamt dann keine weitere Polstelle haben, kommt so ein Term dazu.

Hatte ich auch irgendwo vorgeführt. Eine der diversen Regeln, aber da haben Sie jetzt ungefähr alles beisammen, was man in der Praxis so braucht für Parzallbrüche. Wenn hier x minus drei hoch drei gestanden hätte, die ganze Reihe runter, x minus drei hoch drei, x minus drei hoch zwei, und noch einen x minus drei hoch eins.

Dieses dx plus e kommt zustande, indem man wirklich mal das ganze Ausbuch stabiliert, die Reste bildet allgemein, so hatte ich es vorgeführt. Sie können sich aber überlegen, dass das e alleine nicht reichen wird. Dieser Freiheitsgrad, den Sie nur mit dem e haben, der wird nicht reichen, wenn nämlich so etwas wie hier passiert.

Zwei mal x plus eins. Können Sie sich auf den Kopf stellen, mit dem e alleine wird es nicht funktionieren. Sie brauchen noch oben das x dabei. Sie brauchen diesen zweiten Freiheitsgrad. Wenn Sie unten den Grad zwei haben, haben Sie oben ja zwei Freiheitsgrade

für x hoch eins und x hoch null. Die brauche ich auch bei der Partialbruchzerlegung, da hilft nichts. Die offizielle Begründung, Siehe die alten Videos, wäre wirklich das durchzurechnen, das durchzudividieren. Man sieht dann, was als Rest bleibt, ist vom Grad eins. Und das hier ist das allgemeine Polynom vom Grad eins.

Gute Frage, was passiert, wenn Sie so etwas haben? Acht durch x hoch drei plus eins. Genau, das hat eine Nullstelle. Vorsicht, Vorsicht, Vorsicht. Das ist ja ein Polynom mit ungraben Grad.

Wenn Sie genauer hingucken, minus eins wird eine Nullstelle sein. Minus eins hoch drei, minus eins mal minus eins mal minus eins ist minus eins, wird eine Nullstelle sein. Ich kann also hier x plus eins ausklammern. Also Vorsicht, hier sind Sie noch nicht fertig mit der Rechnung, wenn Sie x hoch drei plus eins haben. Das kann nur funktionieren, wenn hier was Quadratisches steht

und dann auch die richtige Sorte vom Quadratischen steht. Wenn da x Quadrat minus eins steht, haben Sie auch wieder eine Nullstelle und sind noch nicht fertig. Oder es kann passieren, wenn da so etwas steht, wie x hoch vier plus x Quadrat plus drei. Dann kann ich das in zwei quadratische Ausdrücke zerlegen

und versorge jeden der quadratischen Ausdrücke einzeln. Das finden wir zu schwierig. Da können Sie darauf Gift nehmen, dass so etwas in der Klausur nicht vorkommt, weil man sich da tausendmal verrechnen wird. Das bringt es einfach nicht. Also die Regel geht dann noch weiter. Was passiert, wenn hier was mit x hoch vier übrig bleibt? Aber hier Vorsicht, das ist noch nicht fertig.

Da ist noch eine Nullstelle versteckt.