Ihnen wird aufgefallen sein, dass ich hier nicht nach Nullstellen gefragt habe. Nullstellen sind hier eklig, wegen x hoch 3. Das würde ich eher Wolfram Alpha überlassen, aber wir können uns über die Nullstellen von dem Polynom hier oben gerade mal Gedanken machen. x hoch 3 plus 3x plus 1, nämlich die Frage, wie viele Nullstellen hat dieses Polynom?

Es ist nicht so leicht zu sagen, welche das sind, aber Sie können mit etwas Überlegung sagen, wie viele das sind.

Und natürlich auch wieder für reelle x hier, um es nicht ganz so erheblich zu machen. Ich frage wirklich nicht nach den Werten von x, damit das Null wird. Ich frage, wie viele solcher Werte es gibt. Wie verläuft diese Kurve? Das möchte ich wissen.

Wie oft schneidet diese Kurve die x-Achse? Ein Polynom 3. Grad, es hat 1, 2 oder 3 Nullstellen. Es muss mindestens eine haben, weil es ja entweder von minus unendlich kommt nach plus unendlich geht und dadurch die Achse muss. Oder umgekehrt, von plus unendlich kommt nach minus unendlich geht

und dadurch die Achse muss. Also hat es 1 bis 3 Nullstellen. Nicht 0 bis 3, sondern 1 bis 3 Nullstellen. Wenn die kubische Parabe so liegt, haben wir 3 Nullstellen. Wenn sie so liegt, haben wir eine Nullstelle. Wenn sie so liegt, haben wir zwei Nullstellen.

Was mich jetzt erst einmal interessieren würde, um eine Idee zu kriegen, was da passiert, ist, wo der Berg und das Tal liegen. Wenn es die überhaupt gibt, die kubische Parabe kann ja auch so verlaufen, dass es keinen Berg und keinen Tal gibt. Das kann ja auch passieren. Ich werde mir also die Ableitung angucken

und mal überprüfen, ob die Ableitung denn Null wird oder nicht. Wenn ich rauskriege, dass die Ableitung Null wird, dann würde ich mir hier dieses lokale Maximum und da das lokale Minimum angucken. Wenn das lokale Maximum eine positive Zahl ist und das lokale Minimum eine negative Zahl ist,

dann wüsste ich, aha, das Ding muss dreimal durch die Achse. Wenn das lokale Maximum eine positive Zahl ist und dieses lokale Minimum auch eine positive Zahl ist, wie viele Nullstellen hätten Sie dann? Dann wüssten Sie, Sie hätten alle Nullstellen darunter. Insofern ist es spannend, sich die lokale Minimum anzugucken,

wenn es die überhaupt gibt. Was wir jetzt rausfinden, die gibt es gar nicht. Und damit ist das Ganze noch einfacher. Also, wir gucken uns mal an. Was ist die Ableitung? Die x hoch 3 plus 3x plus 1. Was passiert, wenn ich die ableite? Dann habe ich 3 mal x² plus 3.

Wenn ich mich nun frage, okay, kann das Ding eine horizontale Tangente haben? Dann müsste hier ja Null rauskommen. Und Sie sehen, das ist immer strikt größer als Null. x², für reelle Zahlen x, ist ab Null aufwärts.

3 mal x² ist ab Null aufwärts. Sie addieren 3. Das Ganze ist ab 3 aufwärts. Es kann nicht Null werden. Es gibt nirgendwo eine horizontale Tangente. Und das heißt, man hat keinen Buckel drin.

Das kann es nicht sein. Was man haben muss, ist diese Situation. Eine kubische Parabel ohne lokales Minimum, ohne lokales Maximum. Sie ist streng monoton steigend. Das heißt, das hier auch. Die Ableitung ist positiv.

Über ein Intervall von minus und endlich bis plus und endlich, ohne Lücken, ist die Ableitung positiv. Viel mehr wissen wir also. Diese Funktion ist streng monoton steigend.

Und eine streng monoton steigende Funktion Sie nimmt jeden Wert nur einmal an. Also eine einzige Nullstelle. Denn eine Nullstelle muss sie haben. Als kubische Parabel. Sie kann den Wert nur einmal annehmen. Eine einzige Nullstelle.

Das nochmal als Beispiel, dass man was über Nullstellen sagen kann, ohne sie berechnet zu haben. Ich habe bisher noch keinen Schimmer, wo die Nullstelle liegt. Aber ich kann sagen, es gibt nur eine und nicht zwei und nicht drei. Weil das in einigen Stellen nicht ganz so klar war, bauen wir mal was Umgedrehtes.

Ich hätte gerne umgekehrt eine kubische Parabel mit zwei Nullstellen als Formel. Geben Sie eine Formel an. Eine Rechenvorschrift offiziell. Geben Sie eine Formel an für eine kubische Parabel mit zwei Nullstellen.

Mit genau zwei Nullstellen. Parabel mit ... Also nicht mit dreien. Genau zwei Nullstellen. Das mit den Nullstellen von Polynomen.

Wenn Sie wissen, dass ein Polynom irgendeine Nullstelle hat, nennen wir sie A und nennen wir sie hier B und vielleicht da noch eine C. Wenn Sie wissen, dass ein Polynom diese drei Nullstellen hat, dann wissen Sie, dass Sie das schreiben können, wenn das hier ein Polynom ist. Dann wissen Sie, dass Sie das Polynom schreiben können als

x minus a mal x minus b mal x minus c mal ein anderes Polynom. Diese Nullstellen kann man abspalten. Vielleicht gibt es die Nullstellen sogar mehrfach. Diese hier sind keine mehrfachen Nullstellen. Wenn die etwas anders aussehen, wie mache ich das mal?

Wenn das so aussehe, sieht A aus wie eine doppelte Nullstelle. Dann hätten wir sowas. Vielleicht ist es sogar eine vierfache Nullstelle. Zielen. Vielleicht ist es sogar eine vierfache Nullstelle. Mal glauben, dass die Kurve hier ganz platt dran geht.

So, dann wäre es vielleicht sogar eine vierfache Nullstelle. Dieses B ist vielleicht eine dreifache Nullstelle. Auch drei. All das könnte jetzt passieren. Also gucken Sie sich das jetzt aber nochmal an. Was passiert mit mehrfachen Nullstellen? Wie sieht der Kurvenverlauf aus bei mehrfachen Nullstellen?

Jede Nullstelle des Polynoms können Sie abspalten. So ein Faktor. Und hinten bleibt ein weiteres Polynom über. Das kann man weitertreiben, bis dieses Polynom hier hinten keine Nullstellen mehr hat. Mit komplexen Zahlen heißt das netterweise, dass hier hinten einfach nur noch ein Faktor, eine feste Zahl übrig bleibt.

Mit reellen Zahlen ist das nicht ganz so leicht. Bei reellen Zahlen ein Polynom, das keine Nullstellen hat, kann bei reellen Zahlen auch aussehen wie x hoch 42 plus 3. Mit komplexen Zahlen geht das noch weiter. Mit reellen Zahlen wäre da Feierabend. So, davon ausgehend suche ich jetzt einen Polynom dritten Grades,

eine kubische Parabel, einen Polynom dritten Grades mit genau zwei Nullstellen. Das heißt ja wohl, dass eine eine doppelte Nullstelle sein muss. Zum Beispiel nehmen Sie eine doppelte Nullstelle bei 0, mal x minus 1, von mir aus sowas.

Dann habe ich eine doppelte Nullstelle, eine doppelte Nullstelle bei x gleich 0. Und hier habe ich eine einfache Nullstelle bei x gleich 1.

Jetzt sollte man den Verlauf gerade nochmal angucken. Was wissen Sie per se über den Verlauf dieser Funktion? Was können Sie alles zusammentragen? Wie die Kurve sich durch das Koordinatensystem schlängelt?

Genau, also die ist nicht streng monoton steigend, denn sie hat zwei Nullstellen. Eine kubische Parabel mit zwei Nullstellen, das kann nicht streng monoton steigend sein. Am besten will er nicht. Der alte Wert muss ja nochmal wieder angenommen werden. Irgendwie muss ich zu der Null zurück. Das haut mich hin mit einer streng monoton steigenden Funktion.

Was ich auf jeden Fall weiß, der führende Term hier ist x hoch 3. Wenn Sie ausmultiplizieren, haben Sie x hoch 3 minus x². Der führende Term ist x hoch 3. Das heißt, wir kommen von links unten und gehen nach rechts oben.

Ich muss irgendwo von hier unten kommen und nach da oben gehen. Ich weiß, bei x gleich 0 habe ich eine doppelte Nullstelle. Das heißt, entweder gehe ich so an die x-Achse bei x gleich 0 oder ich gehe so an die x-Achse bei x gleich 0.

Und an der Stelle x gleich 1 habe ich eine einfache Nullstelle. Das heißt, an der Stelle 1 gehe ich so durch die Achse oder so durch die Achse. Soll ich noch eine 1 dran schreiben? Schmieren? Und Sie sehen, welche Möglichkeit Sie haben, diese Punkte zu verbinden.

Wenn Sie aus dem negativ Unendlichen kommen, das muss anscheinend die Parabel hier sein, die von unten kommt. Und ich gehe wieder nach unten und dann muss ich hier von unten nach oben durch die 1 durch und gehe da, ins Plus Unendliche. Das muss der Verlauf sein. Und das muss natürlich eine ordentliche kubische Parabel sein.

Jetzt mache ich noch eine ordentliche kubische Parabel an. So ist sie vielleicht schon etwas hübscher als eben. Sie muss ja punktsymmetrisch sein als kubische Parabel. So wird sie aussehen.

Sollten wir vielleicht nochmal gerade die Steigung angeben. An der Stelle 1 haben Sie ja unter dem Mikroskop hier eine Gerade. Was ist die Steigung dieser Gerade, ohne dass Sie die Ableitung ausrechnen? Was ist die Steigung dieser Gerade? Also die Steigung an der Stelle 1, ohne die Ableitung auszurechnen.

Dieses hier ist genau der Term, der den Nulldurchgang macht und der die Gerade da macht, unter dem Mikroskop. Eine Gerade mit der Steigung 1 durch diese Stelle durch. Sie gucken sich einfach an, was übrig bleibt. Wenn Sie 1 einsetzen, hier steht hier vorne 1.

Wenn ich in der Umgebung der Stelle 1 bin, habe ich etwa 1, von dem x², mal diesen Nulldurchgang mit 45°. Steigung 1. Das muss auch wieder Steigung 1 sein an dieser Stelle. Ich will sagen, ich habe die Kurve deutlich zu steil gemacht. Wir können uns auch überlegen, was hier mit der Normalparabel passiert.

Wenn Sie 0 einsetzen für x, ist der erste, der hier entscheidend wird. Wenn ich in der Umgebung der 0 bin, macht mir der erste Term hier dieses parabelförmige Anschmiegen an die x-Achse. Dieser Term hier ist, wenn ich bei der 0 bin, mehr oder weniger minus 1.

Das heißt, die Kurve hier, mit der ich mich anschmiege, ist in sehr guter Näherung minus x² schlicht und ergreifend. Einfach die Normalparabel nach unten geklappt, ohne irgendwelche schrägen Faktoren. Mit ähnlichen Argumenten ging dann auch Partialbruchzerlegung ohne Rechnen.

Wie man sich einfach anguckt, was diese verschiedenen Ausdrücke hier machen. Wenn x² ist, was passiert, wenn Sie diesen Term hier wegstreichen, an der Stelle x², was passiert mit den anderen? Das wird a werden.

Wenn Sie für b interessieren, streichen Sie den weg, setzen 3 ein. Dann gibt der Rest hier an der Stelle 3 das b. Das mit dem c ist schwieriger, weil das ist, was übrig bleibt von dieser Polstelle. Das kriegt man nicht so ganz leicht hin. Aber a und b könnte man direkt ablesen, mit ähnlichen Tricks, wie hier

die Form der Kurve an ihren Nulldurchgängen an den Achsenberührungen hier.