Komplexe Zahlen z hoch 3 plus z gleich 0. Welche komplexen Zahlen z erfüllen diese Gleichung? Ich suche alle komplexen Zahlen z, sodass deren dritte Potenz plus die Zahl selbst gleich 0 ist.

Vielleicht finden Sie einen grafischen Weg, vielleicht finden Sie einen rechnerischen Weg. Ich suche eine Zahl, für die ein Polynom 0 wird. Wenn ein Polynom 0 wird, heißt das, wenn ich das Polynom zerlegt hätte in Faktoren, wird mindestens einer dieser Faktoren 0.

Schaffe ich es, dieses Polynom z hoch 3 plus z in Faktoren zu zerlegen, dann bin ich weiter. Eine billige Art hier Faktoren zu finden ist, dass Sie sehen, Sie können z ausklammern. Z mal z² plus z mal 1, also haben Sie insgesamt z mal z² plus 1.

Wenn dieses Produkt 0 sein soll, wissen Sie, z ist gleich 0 oder z² plus 1 ist gleich 0 oder beide sind 0. Wenn ein Produkt 0 ist, ist mindestens einer der beiden Faktoren 0. Also weiß ich jetzt, wenn das Produkt 0 ist, ist z gleich 0 oder z² plus 1 ist gleich 0.

Dieses oder schließt ja auch ein, dass beide gleichzeitig 0 sind. Tritt hier nicht auf, wäre aber erlaubt mit dem oder. z gleich 0, wunderschön, dann haben wir schon das erste direkt dastehen, müssen hier hinten weitermachen, z² plus 1 gleich 0.

Das heißt, nichts anderes als logischer Quellen zu z² ist gleich minus 1. Und dann sollten Sie eigentlich im Schlaf hinschreiben können, z ist gleich plus minus i. Wenn das noch ein bisschen unsicher ist, flüste ich jetzt noch einmal mit PQ-Formel vor.

Also wenn Sie das jetzt noch nicht sofort so intus hätten, dass Sie sagen können, z² plus 1 gleich 0, dann muss z plus minus die imaginäre Einheit sein. Wenn Sie das nicht so intus haben, einmal gerade mit PQ-Formel, diese Gleichung hier mit PQ-Formel,

x² plus 1 ist gleich 0. Was einem das Genick brechen kann, ist, dass hier kein x steht. Wir waren an einer Stelle gesehen, dass jemand versucht hat, hier noch ein x zu erfinden. Hier steht kein x, plus 0 mal x. So sieht die PQ-Formel hier aus.

x² plus 0 mal x, plus 1 gleich 0. Davon nicht irritieren lassen. Das heißt, jetzt mit PQ-Formel, x ist gleich minus P halbe, plus minus Wurzel, das was hier vorne steht, quadrieren bleibt 0 und 1 abziehen.

Und dann haben Sie da stehen, x ist gleich plus minus die Wurzel aus minus 1 und sind bei plus minus i. Also wenn Sie sich nicht erinnern, was i war, wobei ich hoffe, dass das dann doch in einer Woche klappt, dass Sie sich erinnern, was i war.

Wenn Sie sich nicht erinnern, geht es auch mit PQ-Formel. Und dann haben wir alles beisammen, also drei Lösungen. Z ist gleich 0, oder Z ist gleich i, oder Z ist gleich minus i.

Das hier sind Odas. Der Fall tritt ein, dann ist es wahr. Oder dieser Fall tritt ein, dann ist es wahr. Oder dieser Fall tritt ein, dann ist es wahr. Vorsicht mit und und oder in der alltäglichen Bedeutung.

Die Lösungen sind 0 und i und minus i. Dieses und im Alltagsgebrauch entspricht aber dem oder in der Mathematik. Z ist gleich 0, oder Z ist gleich 1, oder Z ist gleich minus 1. Diese Aussage ist wahr, oder diese Aussage ist wahr, oder diese Aussage ist wahr.

Da muss ein oder dazwischen sein. Ein und kann ja gar nicht funktionieren. Stellt sich vor, Z ist gleich 0 und Z ist gleich i und Z ist gleich minus i. Welche komplexen Zahlen würden das hier erfüllen? In der Tat, es gibt keine komplexe Zahl, die gleichzeitig 0 und i und minus i ist.

Das ist ein bisschen vielverlangt von komplexen Zahlen. Von daher kann es schon gar kein und dazwischen sein. Ist immer so ein bisschen heikel mit Umgangssprache und der mathematischen Logik. Erinnert mich daran, wenn man einen Mathematiker fragt, ob er ein blaues oder ein rotes Auto will, dann sagt er Ja.

Möchtest du ein rotes oder ein blaues Auto? Ja, weil er möchte ein rotes Auto oder ein blaues Auto. Vorsichtig mit dem und und dem oder in der Logik. Das ist nicht hundertprozentig das, was man im Alltag sagt.

Sie könnten es auch zeichnerisch probieren. Z hoch 3 plus Z gleich 0. Sich überlegen, was das heißt im Diagramm. Ich suche in der gaussischen Zahlenebene Realteil, Imaginärteil. Ich suche eine komplexe Zahl.

Z mit welcher Eigenschaft? Was heißt das hier? Was heißt Z hoch 3, wenn ich die Zahl Z gegeben habe? Der Winkel von Z hoch 3 ist verdreifacht gegenüber Z. Und die Länge ist in die dritte Potenz genommen gegenüber Z.

Also sie nehmen diesen Winkel hier. Keine Ahnung, vielleicht hätte er. Da geht das dann hier hin. So in der Form. So könnte Z hoch 3 liegen. Dreifacher Winkel, die Länge hoch 3 genommen. Und jetzt soll gelten, dass Z hoch 3 plus Z gleich 0 ist.

Wenn ich diese beiden hier addiere, hätte er erst planen sollen, bevor ich meine Zeichnung gemacht habe. Ungeschickt. Wenn ich die beiden addiere, soll 0 rauskommen.

Z plus Z hoch 3. Man könnte jetzt versuchen, sich das rückwärts zu überlegen. Aber ich glaube, an dieser Stelle ist das grafisch nicht so aussichtsreich. Wir können nachträglich gucken, ob es denn hinhaut. Das vielleicht eher mit der Skizze hier. Wenn Sie 0 einsetzen, 0 war ja eine Lösung.

Wenn wir Z gleich 0 ist und Z hoch 3 gleich 0 ist und Sie hängen die beiden hintereinander. Na toll, dann kriegen Sie 0 raus. Mit I ist das vielleicht spannender. Mit I sieht Z so aus. Hier auf der Höhe 1. Z hoch 3 hat den dreifachen Winkel.

1, 2, 3. Und die Länge hoch 3. I hat die Länge 1. Das ist die Zahl Z gleich I. Die liegt auf der Höhe 1 hier beim Imaginärteil. Die Zahl hoch 3 hat den dreifachen Winkel. Z hoch 3 ist 270 Grad.

Und die Länge hoch 3. Länge 1 hoch 3 ist schon wieder die Länge 1. Das ist Z hoch 3. Das hat uns nicht wirklich überrascht. I hoch 3. I mal I mal I. Minus 1 mal I ist minus I. Z hoch 3 ist minus I. Keine große Überraschung.

Und wenn Sie die beiden addieren, Z plus Z hoch 3, kriegen Sie 0 raus. Rückwärts funktioniert es hier grafisch. Auf dem Hinweg fände ich das schwierig mit dieser Skizze. Manchmal hat man eine Chance, über so eine Skizze es hinzukriegen. Sie sehen, hier hilft es jetzt nicht wirklich viel. Die dritte Potenz zeigt ja doch, wenn man es erstmal so zeichnet, ziemlich quer in den Raum.

Die dritte Potenz plus die erste Potenz müsste 0 sein. Dieser rote Vektor muss 0 sein. Welche komplexen Zahlen haben die Eigenschaft? Wie wählen Sie diesen Winkel? Wie wählen Sie diese Länge? Es ist geometrisch nicht einfacher, denke ich, als das, was wir gerade gemacht haben. Insofern doch lieber hier, aber nachher ist man schlauer, hier lieber algebraisch rechnen, statt zeichnen.

Kann auch andersrum sein. Vielleicht muss man alles mal erst ansatzweise ausprobieren, um zu sehen, was die dünnste Stelle ist zum Bohren. In den Aufgaben frage ich gerne mal nach der Schreibweise A plus BI.

An dieser Stelle würde ich Ihnen aber tatsächlich zutrauen, wenn Sie nur die Null schreiben, dass Sie wissen, Null ist Null plus Null mal I. Und bei dem I, das I ist gleich Null plus 1 mal I. Und dass das Minus I ist Null minus 1 mal I. Das würde ich Ihnen an der Stelle zutrauen. Ich versuche diesen Hinweis, schreiben Sie bitte die Lösung als A plus BI, dass das nur dann vorkommt,

wenn Sie wirklich komplexe Zahlen haben, die so querbett liegen, wo man auch wirklich was leisten muss, um A und B auszurechnen.