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22A.1 Ableitung von Messreihen schätzen, numerisches Differenzieren, Fehlerschätzung

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Das was man so schon sich macht mit Ableitung der folgendes sich aber eine Funktion gegeben irgendeiner Form ist die Form einer Rechenvorschrift sich zum ausrechnen Rechenvorschrift Einsatz die ich aus dieser Rechenvorschrift Rechenvorschrift für die Ableitung Tiere und schon muss die Ableitung 0 sein da muss sondern muss ist negativ dass aber positiv usw. dieser Art von zu viel Form und Funktion und berechnet daraus mit der Formel symbolisch algebraisch eine oder analytische auch gerne daraus eine Ableitung das kann man machen wenn man eine Form und hat mich ein Modell habe ich arbeite dann kann man das machen aber wenn ich das sehe ich es werde aber real Messwerte dann sieht das ganz bis sie wieder aus typischerweise habe ich dann so eine Zeitreise regelmäßig aufgenommen Messwerte typischerweise aus was ich habe ich habe keine Kurve und besondere können Formel für eine sondern auch von lange ist es werden aber auch gerne so auf diese Weise mit Verbindungslinien zu x-Achse oder wenn sie und zu t-Achse Zeitachse und was üblich erst mal wird die x-Achse unter die Stammaktie das ist was sich typischerweise haben der Warenwelt keine Formel nicht arbeiten kann so oder anders werden und klassische soll sind die in gleichmäßigen Abständen aufgenommen die Messwerte inzwischen gibt's auch Diversität die man mit werden dann die man nicht gleichmäßig aufnimmt 2 Roman liegen weniger und vor allem wie man die wie sollte man die Dichte diese Messwerte so steuert wie man sie braucht aber das ist noch Raketentechnik darum nicht also das ist was sie typischerweise gleichmäßig aufgenommen es wird keine Funktion eines Formen und ableiten kann trotzdem möchte man an vielen Stellen eine Ableitung kam ich weiß nicht welche Formel steckt dass wir bräuchten bis unwahrscheinlich könnte es aber so dass sie es wahrscheinlich aus muss es aber nicht sein ich weiß nicht welche von der Stelle welche Funktion dahinter steckt und sofern hab ich das Problem jetzt einfach nur aus diesem Messpunkten die ich habe eine Ableitung zusammen zu dicht und stellt sich heraus dass die du Domain die nicht die Punkte ist ich würde dieser Stelle Matrix 0 an dieser Stelle durch die Ableitung und das macht was man so üblicherweise macht man ein Stückchen weiter gehen und sollen sie kannte bilden sie dass sie jetzt wirklich nicht nach einer gerade aus an dieser Stelle x und was ich viel lieber als Tangenten gerade still zu so etwas sind auf und dann wieder und gilt das ist aus und kommt stellt wird daraus eine viel bessere Lösung statt dieses naiven ist man nennt diese gerade die gerade durch den Punkt davor und dahinter und guckt sich die Steigung an und sagt ok das müsste auch hier die stark sein wird die diese Frage durch das von der hinter uns sagen dass es Dornbusch die Schätzung für die Steigerung der also nicht nur den nächsten Punkt an sondern auf den Punkt auf vor und verließ die Strahlung von Punkt auf 2 zu Punkte hinter sagen ob das ist eine gute stets schätzt für die Steigerung Punkte der will sagen ich aber mal Stall Punkt an der Stelle wo folgen wird schon und wirklich und von Ausdruck nicht sagen die Steigung ein bisschen später ist es üblich bezahlt losfahren Schritt Abstand Haar und hier wäre es nun habe nehme das ein Stück später liebsten losfahren minus mal wird ein Stück vorher zwar Teile das durch 2 Schritt war das ist die üblichen Näherung für die aber nicht zum Essen Punkt gehen und ermöglicht hat sein sondern auch auch was ist der nächste von durch 2 hat lustigerweise ist dieses hier deutlich genauer als das was man rief machen würde sich die Steigung zunächst Punkt angucken
Das können wir uns mal am Beispiel der angucke an die Briten zum Beispiel am einfachsten so ist sowas auszuprobieren Dichmann Funktion Einsätze von der man die Ableitung hat Messwerte hat hat man diese Funktion nicht und dann auch die Ableitung nicht aber ich kann sie mal ausprobieren mit einer Funktion vorgeben ist aber Kirkuk Coconut Smartphones Funktion die Wurzelfunktion an der Stelle 0 gleich 3 und Schmidt der Schrittweite , 1 haben das jetzt tatsächlich ausgerechnet die Wurzelfunktion unter diesen Bedingungen nicht naiv rechnet mit OpenOffice gerade mal vor nicht naiv rechnen mache ich folgendes dann sage ich bildet die Wurzeln von so jetzt will ich hier aber der nächste Werts Minister Original der das wird
Naive Schätzungen um 1 zur Seite - und wird so steht der Definition der Ableitung sehen muss sich schon war und das Ganze durch 0 , 1 3 das würde man von der Definition der Ableitung erwarten die 0 , 1 zur Seite Ziegen auf Namen wird auch Teile durch über dem zur Seite gleich der Differenzen kurz das ist der Schätzung was da was jetzt steht ist folgendes Hier einen Schritt nach rechts minus einen Schritt nach links und durch 2 Schritt weiter zu verlieren kurz so der einen Schritt nach rechts erwartet 3 , 1 minus ein Schritt nach links 2 Komma 9 2 9 und ich teile durch zweimalige Schritt weiter also durch Uckermark zwar auf das Ende der große Unterschied zu sein nicht mehr Stellen nach dem Komma haben
So ist anscheinend schon Unterschied und jetzt können wir natürlich werde wissen welche Funktion abgeleitet worden ist das ganz normal sagt machen exakt wäre dann mehr schulmäßig die Ableitung zu bilden - von X X auch einhalten können sie inzwischen zu suchen hat geht Einhalt ich minus 1 also 1 durch zweimal die Wurzel aus das ist was ich erwarten würde exakt Bundeskanzler vergleichen was man Schätzung veranstaltet 1 zu 2 die Wurzel wächst seines durch zwar durch sofort klar machen als durch auf Klammer zu als Wildtiere und zweimal kurz und war muss weiter der vorschreiben Formen hat so so sieht das aus von sehen Sie unsere simple Schätzung nämlich so der Geburtstag Prozent geschriebenes Buch ein 2. Original als auf der 3. Stelle schon deutlich was anderes stehen diese Schätzung stimmt aber fast sogar noch auf die 4. Stelle dies wirklich um Klassen besser bis Schätzung ohne weitere Rechenaufwand dass ist immer was die Leute aus dem tut was ist als das das ist derselbe Rechenaufwand sie naiv rechnen rechnen Sie die Funktion an der Stelle rechts daneben - Funktion an der Nahtstelle durch die Breite und die müssen die Funktion zweimal aus werden müssen die Funktion auch nur zweimal auf der ist derselbe Rechenaufwand dauert aus ist aber deutlich genauer
So sodass man zur Abstraktion und jetzt möchte ich Sie bitten nachzurechnen dann erst das hier so der exakt ist
Wenn ich quadratische Parabeln einsetzt nach rechnen die Schätzung ist sogar exakt für quadratische habe ich das zogen ist keine Schätzung sondern sogar exakt für eine Funktion der als eine Konstante Matrix Quadrat bloß eine Konstante Matrix plus eine Konstante sogar noch allgemeine eigentlich als Quadrat sparen wenn sie alle gleich 0 setzen gleich 0 setzen haben Sie natürlich keine ganz ganz gerne Parabel sondern Konstante Funktion sie Gleichungen setzen ja auch Funktion das heißt es geht dann automatisch auch für den ja auch zu konstant zu setzt das man die Schätzung und überzeugen sich das das exakt wird für diese Art Funktion ja dass es in der dann würde Rechenaufgabe
Also was sagt die Schätzung die Schätzung sagt meine Ableitung an der Stelle x 0 ist klar großer Bruchstrich durch 2 haben jetzt diese Funktion wenig um haben nach rechts also am Matrix losfahren zur nächsten und plus hat Quadrat bloß mal Lust habe bloß das ist diese Funktion eine Stelle und plus haben bei der vorne stehen zur Auswahl und möchte der links abziehen
- das eine
Alles mit x - H mal x 0 - Tagfalterarten plus Alex 0 - H plus den Wert an der Stelle x und - H abziehen als kann man sofort a loswerden hier sind Anästhesie addiert abgezogen den kann ich schon mal ausstreichen also hier wir mal 0 hat die jetzt wird x 0 abgezogen los Alex 0 - Matrix 0 4 6 0 kann auch schon rausschmeißen was bleibt die Stadt mal 1 durch 2 hat davon vor nicht dieser monströsen auch bleibt den aus multiplizieren ist am x 0 Quadrat plus 2 x 0 habe plus Arafat war der 1. jetzt kommt hier mal CES-Stand der - abermals x nur - H ausbuchstabiert Ex-Innenminister Quadrat als extrem vertrat minus 2 x und H Loshardt Quadrat und dann bleibt jedoch - - haben als des - - habe man also bloß ein Minus man muss man das aus müssten noch weitere wegfallen einmal H Quadrat - einmal Quadrat das hat Quadrat nicht raus armer x nur Quadrat - am Alex nur Quadrat der 6. quadratische nicht raus war wirklich nicht viele 1 durch 2 Mal haben mal so 2 Mal x 0 mal haben mal a oder leicht dass das Abkommen stehen abermals 2 x nur mal an der kommt und noch mal - minus 2 Mal hat insgesamt viermal x normal haben bloß mal Haar das ist der und der kommt noch einmal zweimal am Tag einen durch haben also kürzen genauer gesagt hier die 2 wenn ich auch bloß die zwar auf die 4 zu 2 und 2 zu 1 und dann steht da das ist zweimal am Matrix 0 2 mal einer Matrix zwar einmal am Alex 0 plus 2 zweimal am Matrix nun plus und sich jetzt die Augen als Funktion anguckt davon die Ableitung davon die ableiten ist zweimal am Alex los gehen und den sie x 0 einsetzen die Ableitung der Stelle 0 bis 2 Mal am Alex nutzlos wir sie aber in der Tat das ist glaube ich wissen wo soll die schreiben ist ungefähr das Wert Einschätzung unterstelle ich wird fest oder Sestak eine Schätzung des ist sogar exakt die Ableitung überraschenderweise als wenig quadratische Polynome habe sprach aber vom 2. Grades haben kann ich auf diese Weise sogar exakt die Ableitung bestimmen ich brauche einen Punkt links vom im Original Punkt irgendeine quadratische Parabel brauchen Sie einen Punkt links verlieren Orginal Punkt denselben Abstand
Einen Punkt rechts davon und um die Ableitung zu bestimmen an dieser Stelle in der nächste bestimmen Sie einfach die Steigung zwischen diesen beiden von links und rechts ist der Arbeit quadratischen haben was in der Nacht haben sagt für die a Funktion sowieso und Konstante Funktion erst recht dann was man als defekt tut kann man sich dann diese Ehrung vorstellen ich meine Punkte habe es habe heißt das was sich im Endeffekt mache anschauen sagt was sich anschaulich macht ist eigentlich um die Ableitung hier zu bestehen endlich eine Parade eine quadratische Parade durch die mit eine quadratische habe durch die Punkte drum herum bereitstellen sich eine quadratische war bevor durch den Punkt links davon durch den Bund rechts davon und den Punkt mich interessiert und bestehende die Steigerung eine quadratisch Parabel das ist eigentlich was sich danach kann man durch 3 Punkte fanatische haben und die Steine der quadratischen Paraden und wenn ich jetzt die steigen für des und wissen wir lediglich quadratisch Parabel durch diese 3 Punkte das machen was war was habe durch die 3 Punkte und die Steigung ein diese quadratische haben und hat hat aber man muss der jetzt aber dass diese 3 Punkte und die steigen an die quadratischen das ist was sich im Endeffekt anschaulich tue ich recht niemals quadratischen Parabel aus der Plan sind nicht bestätigt diese ABC der quadratischen habe
Viel einfacher Ich kann einfach diese Regel benutzen nach sind kann einfach diese benutzen wir gerade gesehen die stimmt für quadratische habe das mit hätte sich Musik quadratische Parabel gar nicht ausrechnen ich direkt die Ableitung aus dem Funktionswerten ohne dieses ABC nach dieses Antlitz besteht zu haben wenn man so weit ist dass man gesehen hat dass diese Formel für quadratisch Parabel exakt ist kann man sogar zumindest ingenieurmäßig und Physiker sich die Schätzung für den Fehler auch schreiben als ich haben und dass die Ableitungen ungefähr ist der Wert ist ein Stückchen ob der wird ein Stück rechts - der Einstieg ins durch 2 zweimal selbst Stückchen also die gesamte Breite plus einen Fehler an und kann ich mir schon froh vorstellen was dieser Fehler denn eigentlich seinen aus der Feder muss für quadratische habe den Wegfall der Fehler kann nichts mit den Wert der
Funktion selbst zu tun haben und mit den Wert der Ableitung zu tun haben und mit den Wert der 2. Ableitung zu tun haben muss was mit den Wert der 3. ableiten zu tun haben 3. Ableitung von dieses 0 ist die 1. Ableitung von 0 alle anderen sind nicht nur so lange an ist aber es wäre eine schöne quadratische aber die 1. Ableitung die 0 ist von hier ist die 3. Ableitung nochmal von ableiten haben zwar aber dann noch mal ableiten 3. Ableitung dann haben sie nun der ist der ganz schwere Verdacht zumindest aus Physik Gesicht der ganz schwere Verdacht dieser Fehler hat also anscheinend was mit der 3. Ableitung zu tun muss die 3. Ableitung der Funktion vorkommen die Ableitung bis dahin sind 0 Gemeinde angekommen ist dass der Fehler was mit der 3. Auflage zu tun hat kann man sogar sagen wieder mit H Zusammenhänge sich vorstellen dass diese Funktion vielleicht dazu später pro Sekunde 2. das normale Ableitung ausgerechnet die Geschwindigkeit des Meter pro Sekunde werden 11 selbst hat die Einheit Meter x und H x 0 haben die Einheit Sekunde
Welche Inhalte hatte die 3. Abschaltung
Die Physik denken Meter einmal ableiten Meter pro Sekunde die Geschwindigkeit 2. Ableitung Beschleunigung Meter pro Sekunde Quadrat 3. Ableitung grob mehrere Meter pro Sekunde hoch 3 das wäre die Einheit der Christen Ableitung der pro Sekunde auf 3 wenn die Funktion der gemessen wird und die x-Achse hier Sekunden aus der Zeit für eine längere
Wenn Fehler hier die 3. Ableitung eine Funktion so vorkommt ohne quadratische und ähnliche Geschichten die so vorkommt und zum Schluss soll es zu Meter pro Sekunde werden können sich jetzt vorstellen womit ich das noch multiplizieren muss damit zum Schluss Meter pro Sekunde rauskommt nicht auch heute irgendwo Sek. Quadrat vom 8. auf Meter pro Sekunde zu kommen das mit der Musik Unwucht 3 vom müssen Sie Kundenberater kommen das kommen auch mit der Musik von der und das Naheliegende Physik Sekunden Quadrat ist der Tag vor der
Diesem Fehler steht die 3. Ableitung drinnen und das Quadrat von habe das natürlich jetzt eine strenge herleiten dass es so Physiker sich für das Überlegungen wie sich auch die meisten Physiker Physiker sowas überlegen guckt sich die Einheiten kann und hat mit dem was passieren muss und trifft er mit hoher Sicherheit diese Schlussfolgerung der Fehler muss was mit der 2. Ableitung und mit dem Quadrat der Schritt weiter zu tun habe das heißt wenn ich die Schrittweite als ihre der typischerweise wird die Schrittweite Drittland mit der Feder typischerweise 9 die Schrittweite Zehntel der typischerweise Burgunder das bilden das Wort und das immer das kann man damit über den Fehler der besitzt eine strenge Herleitung dafür im 1. Semester können wir das etwas schicker mit Hilfe der der Polynome das antworten wenn man diese auch Oberleitung dafür haben will dann muss man sowas haben die Funktion an der Stelle ist 0 losfahren ist
Die Funktion der Original Stelle plus Ableitung an dieser Stelle mal Haar bis dahin ist die danke gerade das ist wird die stark ändert sich der Wert der nicht aus der Hersteller aus ist hat und es ist auch nicht ganz logisch dass was die fortgesetzt werden können muss die 2. Ableitung Wagenpark Vertrag halbe würde die 3. Ableitung mal aber auch 3 6 usw. Das ist 1. den aber wenn ich das einsetzen kann ich das vernünftig begründen aber so weit sind wir noch nicht einmal mehr das ist aber schon rein zu Ende des sei dieser Fehler hat was mit der 3. Ableitung Mittag war zu tun das heißt man lernt was die man seine Messwerte verbessern muss um wieder zu verkleinern wenn sie die Gestalt hier
Wenn sie ihre Schätzung der Steigung verbessern wollen so dass der auf ein Hundertstel der wissen sie dann Schrittweite auf ein Zehntel unterdrücken zehnmal mehr messen Messwerte zehnmal Anhand Faktor 100 in der Genauigkeit entweder auf 100 gedrückt Mittel auch des ist natürlich wieder Schätzung was man einer hat aber die schätzen stimmt umso genauer mit kleine dieses Schrittweite an dieser jetzt Schätzung der Steigung wenn sie diese Schrittweite MacLaine MacLaine und kleiner nach einer kommen irgendwas was sie zum Schluss passieren wenn sie das setzt sich am Computer ausrechnen Taschenrechner aus der vielleicht überraschen ich für das was vor was passiert wenn man aber diese
Und jetzt viele kleinere schrittweise und mal so viele Nullen davor Auf das Geschick der bevor zu viele neue mich nun aber das muss sie das Schreiben hier schreibe ich 3 los so , 1 Und hier billig 3 minus 1 zu 2. Variabler einrichten das Spalte gar durch zwar die auf das wird doch schon deutlich besser nicht wie eine winzige stellt sich nach rechts wenn sie Stettiner das mit exakten der vergleichen sind ja nicht so schlecht aus und immer weiter bis 4 0 da vorne vor 1 2 3 4 noch und hier waren ein 2. Teil ihrer und daher von 4
Ist jetzt nicht so viel besser geworden und aber nur 2 nur in davon war der ein zwar nur daran Um zur
Was passiert
Es wir gerundet was sie jetzt an der kriegen sind die Rundungsfehler die typischen Rechner haben was größenordnungsmäßig von 15 gültigen Dezimalstellen vielleicht 16 gültigen Dezimalstellen das Format der Formate auch noch mal das Datenformat 64-Bit hat über 15 16 gültigen Dezimalstellen und wenn ich so was haben die 3 und dann kommen ganz vielen Rollen und kaum einer eines gibt es irgendwann keinen Unterschied mehr zwischen 3 plus diese Zahlen 3 minus diese Zahl durch Rundungsfehler der Richter aus 0 durch irgendwas ist die Wurzel mit dem los gleich der Wurzeln mit minus das ist einfach nur noch Rundungsfehler was dazu kommt mit 0 Komma 0 usw. das aus also Vorsicht man darf das nicht zu weit treiben wenn sie diesen Schritt weiter zu klein machen explodiert Fehler durch Rundungsfehler das stehen nur so lange wie diese Rechnung auch hat nicht exakt Rechner vorgenommen wird die Stärke der Rundungsfehler wird umso schlechter wird das der alte Mann darf dieses Jahr nicht linear sein machen man könnte sagen dass es ein Problem des Rechners das Boot ist dann aber wie ich einen Rechner der mehr Nachkommastellen hat sie haben dass der einen frei Haus der jetzt keiner mehr Nachkommastellen machen Sie das mit den dann können Sie noch mal bei stellen aber aber war es auch bei den Feierabend wenn sie zur vom Alltag der rechnet können mit beliebig viele Stellen nach dem Komma solange die Wolfram noch ein bisschen haben einbaut dieser Bahn
Das natürlich der zunehmend praktisch also das deutlich sagen dass es unmöglich ist diese Genauigkeit zu steigern ist wird zunehmend unpraktische diese Genauigkeit zu steigern ist hat man für die 2. Ableitung sie zum Beispiel den gemessen haben abhängig von der Zeit wollen die Beschleunigung haben wir das Ganze noch finsterer das kann schon vor dem Videos wenn die 2. Ableitung schätzen will dann ist das was sich typischerweise mache folgendes auf diese Formel ist nicht die einzige Form ist dort diesem deutlich komplizierter auch nämlich sich normal nicht die 2. Ableitung schätzen würde gucke ich mir auch wieder nur 3 Funktionswerte so einfach Schätzung für die Ableitung und rechnen dann folgendes
Rechner mit der ganz rechts x 0 Haar minus 2 Mal den Wert der Mitte Lost wird ganz links sitzen und - und Teile durch AG Vertrag sind schon von den Einheiten der muss es hat Quadrat wenig Meter auch für die Funktion habe und die Kunden für das X aber muss sie stehen Meter pro Sekunde vor Ort Meter damit der durch die Kunde verkratzte und muss offensichtlich stark Fahrradständer Erstellen waren es könnte natürlich auch rund 13 H. Quadrat steht das kann ich mit einer begründen Das hier zu begründen Jetzt wieder 2 Wege einmal was der Verständigung Übung zwischen Weihnachten und Neujahr setzen sie mal allgemeine komische Funktion aber stellen sie fest komisch Funktion ist das exakt die 2. Ableitung als bei der 1. Ableitung bei der Schätzung der bei der 14. 1. Ableitung Schildes für quadratische Polynome exakt und wenn Sie das hier machen
Wir sogar komische Polynom einsetzen aber zog 3 los und so weiter und bestimmt exakt würde Aufgaben zum Nachrichten und sich nicht wirklich das wäre eine Art wie man das zurück was begründen kann dass ich sage ok was hier eigentlich passiert ist dass ich mir 3 Punkte man es werden im gleichen Abstand Haar und eine kubische Parabel der durch die Rede davon gibt es aber ziemlich viel das ist nicht die einzige kubischen auf aber davon ziemlich viel kubische auch aber lustigerweise sind welche schon sie die 2. Ableitung wird immer dieselbe seine Wirkung findet man auf diese Weise das ist eine Art als Begründer die anderer und begründen kann ist dass man hier für die Funktionen wieder so was mit einer der Überfall Spalte oder zumindest einen Teller Polynom schreibt Punkt welche der sich mit können aber ist nicht das
Matrizenmultiplikation
Punkt
Kurve
Homogenes Polynom
Fehlerabschätzung
Schätzung
Zeitreise
Ableitung <Topologie>
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Dichte <Physik>
Computeranimation
Computeranimation
Schrittweite
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Computeranimation
Schätzung
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Computeranimation
Homogenes Polynom
Klasse <Mathematik>
Negative Zahl
Schätzung
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Computeranimation
Konstante
Quadrat
Matrizenmultiplikation
Gleichungssystem
Schätzung
Computeranimation
Quadrat
Matrizenmultiplikation
Schätzung
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Computeranimation
Quadrat
Polynom
Matrizenmultiplikation
Punkt
Schätzung
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Gradient
Computeranimation
Computeranimation
Punkt
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Quadrat
Physiker
Schätzung
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Computeranimation
Geschwindigkeit
Zusammenhang <Mathematik>
Physik
Meter
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Inhalt <Mathematik>
Computeranimation
Quadrat
Physik
Meter
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Polynom
Quadrat
Physiker
Herleitung
Schrittweite
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Maßeinheit
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Mittelungsverfahren
Faktorisierung
Schrittweite
Schätzung
Computeranimation
Computeranimation
Summe
Variable
Computeranimation
Null
Summe
Computeranimation
Rechenbuch
Rollbewegung
Rundungsfehler
Zahl
Computeranimation
Computeranimation
Hyperebene
Schätzung
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Quadrat
Polynom
Rechenbuch
Meter
Schätzung
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Maßeinheit
Polynom
Punkt
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Funktion <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel 22A.1 Ableitung von Messreihen schätzen, numerisches Differenzieren, Fehlerschätzung
Serientitel Mathematik 1, Winter 2011/2012
Anzahl der Teile 89
Autor Loviscach, Jörn
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/9983
Herausgeber Loviscach, Jörn
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch
Produzent Loviscach, Jörn

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

Zugehöriges Material

Folgende Ressource ist Begleitmaterial zum Video

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