K13 quadratische Gleichung mit komplexen Zahlen
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Formal Metadata
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| Title of Series | ||
| Number of Parts | 89 | |
| Author | ||
| License | CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this | |
| Identifiers | 10.5446/10016 (DOI) | |
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Transcript: German(auto-generated)
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Machen wir mal bei den quadratischen Gleichungen weiter. z² plus 2z minus i ist gleich 0. Finden Sie die komplexen Zahlen, die diese Gleichung lösen und geben sie die an als a plus b mal i mit reellen Zahlen a, reellen Zahlen b.
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Natürlich können Sie im Zweifelsfall ohne Taschenrechner nicht a und b wirklich angeben als Zahlen, aber ich hätte gerne eine Formel für a und eine Formel für b. Ja, das fängt so harmlos an und wird dann plötzlich schwierig.
00:42
z ist gleich mit pq-Formel. Minus eins, minus die Hälfte von meinem p, minus eins plus minus, das hier vorne quadrieren, eins, den abziehen, plus i. Und nun steht man da. Die Wurzel der Summe ist die Summe der Wurzeln, haben jetzt einige gerechnet, nein, nein, nein.
01:07
Rechnen Sie zu Fuß ein paar Beispiele. Es stimmt nicht. Sie können die Summe nicht aus der Wurzel rausziehen, auch hier nicht. Ich brauche eine komplexe Zahl, deren Quadrat gleich eins plus i ist.
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Realteil, Imaginärteil, hier ist Realteil eins, hier ist der Imaginärteil eins, eins plus i. Welche komplexe Zahl quadrieren Sie und kriegen diese komplexe Zahl raus?
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Ich suche also eine komplexe Zahl, deren Quadrat gleich eins plus i ist. So eine vielleicht, die male ich mal ausdrücklich hier über die eins hinaus, so eine vielleicht. Wenn Sie diese Zahl z, ja, sollte ich nicht z nennen, nennen wir sie u.
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Wenn Sie diese Zahl u quadrieren, soll eins plus i rauskommen. Eine komplexe Zahl quadrieren heißt geometrisch, dass Sie Ihren Winkel verdoppeln und die Länge quadrieren. Jetzt kann ich einfach zurückrechnen, was denn der Winkel und die Länge der Zahl u gewesen sein müssen.
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Dieses u, was ich hier eingemalt habe, ist eine Möglichkeit. Wie können Sie noch ein anderes u einmalen? Genau, bei der Quadratwurzel ist das ganz einfach. Wenn Sie das hier nehmen, minus u, wird es natürlich auch funktionieren. Wenn Sie minus u quadrieren, fällt das minus weg und Sie haben wieder u Quadrat.
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Aber Sie können sich auch tatsächlich diesen Winkel angucken und davon das Doppelte bilden. Und Sie können sich die Länge angucken, das ist ja dieselbe wie die Länge von u. Wenn die quadriert wird, muss die Länge von eins plus i rauskommen. So, solche Aufgaben kann man durch geometrische Betrachtungen lösen.
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Ich gucke mir jetzt also an, was die Länge ist von eins plus i und was der Winkel ist. Die Länge, eins nach rechts, eins nach oben. Für Tagoras die Länge ist Wurzel 2. Und der Winkel ist auch klar, gleichschenkliches Dreieck hier, 45 Grad ist der Winkel.
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Das müssen wir nicht ausrechnen. Und damit kann ich u angeben. Ich schreibe das jetzt mal darunter.
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U nehme ich also als die Wurzel dieser Länge. Die Wurzel aus der Wurzel von zwei. Denn wenn ich die Länge von u quadriere, soll Wurzel 2 rauskommen. Wenn Sie die Wurzel der Wurzel aus zwei quadrieren, haben Sie die Wurzel aus zwei.
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Jetzt muss ich noch für den richtigen Winkel sorgen. Jetzt kommen hier Cosinus und Sinus zum Beispiel. Dieser Winkel hier, 45 Grad halbieren, 22,5 Grad. Dann haben Sie Cosinus von 22,5 Grad. Ich habe es mal ohne Klammer und Platz zu sparen.
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22,5 Grad in diese Richtung. Realteil und Sinus, also I mal, Imaginärteil, Sinus 22,5 Grad aufwärts. Das wäre die Zahl u, wie ich sie eingemalt habe. Und ebenfalls eine Wurzel wäre die Zahl minus u.
04:43
Die Wurzel aus der Wurzel kann man natürlich schöner schreiben. Hoch ein halb, hoch ein halb ist hoch ein viertel. Einfach die vierte Wurzel. So sieht das aus. Das wäre die vierte Wurzel. Sicherheitshalber, wie können Sie hier hinten das mit Cosus und Sinus etwas kürzer schreiben?
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E hoch I mal den Winkel. Die Elektrotechniker hätten keine Probleme zu schreiben. E hoch J mal 22,5 Grad. Das die Mathematiker wahrscheinlich wegen der Einheit ein bisschen komisch finden.
05:20
Also wenn Sie die 22,5 Grad hübsch umrechnen in Radiant, dann haut das auch ordentlich hin. Dann wäre das Ganze kürzer geschrieben als E hoch I mal einen Winkel. Das machen wir doch mal gerade. Was ist dieser Winkel hier 22,5 Grad in Radiant?
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Pi achte. Denn 180 Grad sind Pi, 90 Grad sind Pi halbe, 45 Grad sind Pi viertel, dann muss die Hälfte von 45 Grad Pi achte sein. So haut das hin. Und jetzt kann ich hier die Aufgabe tatsächlich lösen.
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Die Z-Zahl, die gesucht ist, ist also minus eins plus minus die vierte Wurzel aus zwei mal den Cosinus von 22,5 Grad plus minus I mal die vierte Wurzel aus zwei mal den Sinus von 22,5 Grad.
06:28
Das sind die beiden Lösungen. Also Sie nehmen es mit plus, dann haben Sie hier A, mit dieses A und hier nehmen Sie es mit plus. Dann haben Sie hinter dem I das B stehen und die zweite Lösung wäre mit minus, minus.
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Das wären die beiden Lösungen dieser quadratischen Gleichung. Mit diesem plus minus hier meine ich nehme überall das plus oder nehme überall das minus. Also nehme oben das plus und dann hier das plus, dann haben wir die erste Lösung und hier das minus und unten das minus haben wir die zweite Lösung.
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Das ist vielleicht nicht so hundertprozentig klar, muss ich zugeben. Müssen wir vielleicht dran schreiben. Entweder überall das plus oder überall das minus. Wenn Sie in so einer Situation sind hier, dass Sie dann nicht aus lauter Verzweiflung schreiben Wurzel eins plus Wurzel I, das stimmt nämlich nicht,
07:24
sondern dass Sie sich erinnern da gab es einen geometrischen Trick, ich mal das auf wie eins plus I in der gauschen Zahlen Ebene liegt und überlege mir dann welche Zahl ich quadrieren muss, damit eins plus I rauskommt. Das wäre der goldene Weg.