ein grenzwert Ich möchte gerne wissen was passiert wenn n gegen unendlich geht mit folgendem ausdruck n quadrat plus sin von n plus den cosinus von 1 durch n

durch Was machen wir hier mal n plus wurzel N hoch 3 was passiert mit diesem ausdruck wenn n über alle grenzen wächst ok wenn sie das so sehen

Sollte ihn auffallen n quadrat geht gegen unendlich der sinus bleibt beschränkt der cosinus bleibt beschränkt weil sinus und cosinus immer nur werte zwischen minus 1 und plus 1 haben außer ich setze komplexe zahlen ein

das n geht gegen unendlich das geht gegen unendlich das geht gegen unendlich das heißt ich kann auf anhieb nicht sagen natürlich kann man später auf anhieb sagen was passiert aber so wenn sie so betrachten können sie nicht auf anhieb sagen was denn nun passiert der zähler wächst über alle grenzen der nenner wächst über alle grenzen die frage ist wer gewinnt wenn überhaupt einer gewinnt von den

beiden oder ob die sich in kopf an kopf rennen liefern mit etwas übung sehen sie oben ist n quadrat der führende term unten ist n hoch 3 der führende term der wächst stärker als n quadrat es wird der nenner gewinnen zum schluss kommt null raus um das ganze etwas offizieller zu formulieren

mit grenzwert setzen ist der trick man sorgt dafür dass zähler und nenner nicht mehr explodieren oder dass zumindest nur noch einer von beiden explodiert eine möglichkeit ist mit durch n hoch 3 zu kürzen andere möglichkeit ist durch n quadrat zu kürzen ich ringe gerade mit mir was ich vorführe

ich glaube die meisten haben tatsächlich durch n hoch 3 gekürzt dann führ ich auch mal durch n hoch 3 durch also egal welchen wert ich für n einsetze n eine natürliche zahl offensichtlich nicht null ab eins aufwärts egal welchen wert ich für n einsetze ich kriege dasselbe aus diesem bruch raus wenn ich

oben und unten durch n hoch 3 teile will sagen mit n hoch 3 kürze kosen muss 1 durch n und unten n plus wurzel n plus n hoch 3 und beide

durch n hoch 3 teilen dass sie ist 1 ich kürze durch n hoch 3 ich erweitere mit 1 durch n hoch 3 in der hoffnung dass jetzt da nicht mehr unendlich durch endlich steht im grenzwert sondern etwas für dass ich grenzwertsätze habe

also für jedes n dass sie einsetzen kriegen sie aus diesem bruch dasselbe raus wie aus dem bruch unten das ist wirklich ein gleich bisher bis dahin wird da nichts abgeschätzt oder gerundet das ist ein gleich so jetzt einmal aus n quadrat durch n hoch 3 nach 1 durch n den sinus da kann man nicht viel retten sinus von n durch n hoch 3 beim kosen

ist auch nicht so viel kosen ist 1 durch n n hoch 3 n durch n hoch 3 ist 1 durch n quadrat wurzel n kann man es gerade noch mal angucken wurzel n durch n hoch 3 wurzel n durch n hoch 3 wie können sie das zusammenfassen

ja also hier muss was mit zweieinhalb im exponenten rauskommen oben steht n hoch ein halb die wurzel n hoch eine halb unten steht n hoch drei sie teilen potenzen zur selben basis

ein halber faktor wenn sie wollen minus drei faktoren sind minus zweieinhalb faktoren n hoch minus 2,5 oder 1 durch n hoch 2,5

sieht uns schon aus zweieinhalb ich schreibe tatsächlich mal hier n hoch minus zweieinhalb und der letzte war n hoch 3 mal 1 durch n hoch 3 also plus eins und nun kann man netterweise mit den grenzwertsetzen arbeiten weil der nenner

im zaum bleibt und bei der zähler im zaum bleibt der nenner obendrein nicht gegen null geht beide bleiben endlich und der nenner geht nicht gegen null dann hat man eine chance gucken wir uns die einzelnen terme an 1 durch n quadrat n wächst über alle grenzen dann geht 1 durch n quadrat gegen

null n hoch minus zweieinhalb also 1 durch n quadrat mal die wurzel geht dann auch ganz sicher gegen null das wird ja stärker gegen null gehen als n hoch minus 2 als der da vorne und der hier

naja der ist 1 da brauche ich keinen grenzwert dran zu schreiben 1 ist 1 das heißt der ganze nenner der gesamte nenner wird gegen 1 gehen das geht gegen null das geht gegen null das bleibt 1 der gesamte unten geht gegen 1 dafür haben wir grenzwertsätze im zähler 1 durch n geht gegen null

wenn n über alle grenzen wächst sinus von n ist eine beschränkte funktion hat nur werte zwischen minus 1 und plus 1 in diesem fall durch etwas was heftig über alle grenzen wächst n hoch 3 wird null werden beschränkte folge durch bestimmt divergente folge ist

eine nullfolge dafür gibt es grenzwertsatz hier der cosinus von 1 durch n 1 durch n ist ein ablenker der sieht so aus als ob er irgendwas böses tut 1 durch n geht gegen null das macht sowieso nichts böses der cosinus davon bleibt

zwischen minus 1 und 1 beschränkte folge durch eine folge die über alle grenzen wächst das hier wird auch gegen null gehen das heißt der gesamte zähler geht gegen null und dafür gibt es einen grenzwertsatz eine folge durch eine andere folge

der grenzwert der folge durch die ich teile nicht null dann kriege ich als grenzwert tatsächlich null durch eins ist null durch eins und das ist bekanntermaßen null das wäre die offizielle begründung im wahren leben guckt man sich an was ist der führende term im nenner n hoch 3 was ist der führende term zähler n quadrat

n hoch 3 gewinnt und es kommt null als grenzwert also die frage kann ich nicht einfach nur n ausklammern was steht dann da wenn sie nur n ausklammern dann haben sie n mal

n plus den sinus durch n plus den cosinus von 1 durch n durch n und unten steht 1 plus 1 durch die wurzel plus n quadrat n mal 1 plus 1 durch die wurzel plus n quadrat

jetzt das n kürzen der ärger ist dass ich an der stelle jetzt keine grenzwertsätze der üblichen art anwenden kann der zähler geht gegen unendlich und der nenner geht gegen unendlich und dafür gibt es in diesem sinne der üblichen grenzwertsätze deshalb lieber n quadrat ausklammern oder n hoch 3 ausklammern