25A.3 Rotationskörper, Volumen, Mantelfläche, Kugelvolumen, Kugelfläche
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Formal Metadata
| Title |
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| Title of Series | ||
| Number of Parts | 89 | |
| Author | ||
| License | CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this | |
| Identifiers | 10.5446/9991 (DOI) | |
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Content Metadata
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Derived set (mathematics)Interface (chemistry)SquareAntiderivativeRadiusGradientChain ruleWage labourSolid of revolutionSolid of revolutionEngineering drawingDiagramDrawingComputer animation
Transcript: German(auto-generated)
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Ich hatte am Anfang was erzählt zur klassischen Herleitung von Kugelvolumen und Kugeloberfläche. Man kann jetzt auch noch eine ganz andere Herleitung bauen über Rotationskörper. Wenn Sie sich die Kugel so vorstellen, wenn Sie sich die Kugel so vorstellen, dass Sie dieses Flächenstück drehen,
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einmal um die Achse drehen hier, dieses Flächenstück einmal um die Achse drehen,
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dann ist die Kugel ein Rotationskörper, als ob das auf einer Töpferscheibe entstanden ist. Und auf diese Weise können wir auch noch mal die Kugeloberfläche und das Kugelvolumen berechnen. Also ich gucke mir folgende Funktion an.
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Einfachheitshalber mal nur die Kugel mit Radius 1. Das andere kriegen Sie selber hin, aber jetzt nicht zu viel zu rechnen. Also ich gucke mir Folgendes an. Eine Funktion, die einen Halbkreis beschreibt.
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Diese Funktion lässt sich um die x-Achse drehen, in 3D. Stellen Sie sich hier noch eine weitere Achse vor und lassen diese Kurve einmal um die x-Achse drehen. Dann haben Sie eine Kugel mit Radius 1. Und nun kann man sich mit Hilfe des Integrals herleiten, was denn die Kugeloberfläche und was das Kugelvolumen ist.
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Einfacher ist erst einmal das Volumen. Bevor wir das anfangen, müssen wir erst einmal diese Kurve hier beschreiben. Wenn Sie hier den Radius meines Rotationskörpers an der Stelle x, wenn man den wissen will, wie lang ist das hier?
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Das hier ist x. Wie kriege ich das raus? Was ist eigentlich diese Kurve in der Tat? Also das ist meine Funktion hier.
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1 minus x². Von dem Minus jetzt nicht irritieren lassen, dass das Pythagoras anders rum. Eben hatten wir mit 1 plus die Ableitung ins Quadrat. Aber auch wieder Pythagoras. Der Radius soll 1 sein. Dann sehen Sie hier unten eine Kathete der Länge x. Dann hat diese Kathete die Länge 1 minus x².
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Diese Funktion, Wurzel 1 minus x², sollte sagen, die Kurve dieser Funktion möchte ich um die x-Achse drehen lassen. Und dann bestimmen, was das Volumen und was die Oberfläche des Rotationskörpers ist, der dann entsteht. Erstmal das Volumen. Das ist schon angedroht.
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Volumen eines Rotationskörpers. Rotationskörpers. Ich versuche das mal perspektivisch zu malen.
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Das ist eine Herausforderung. Das Malen in gerader Linie ist eine Herausforderung. So, nun habe ich irgendeine Kurve, die ich um meine Achse drehen will.
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Das ist die Achse. Und dieser Abstand hier ist dann immer eher von nichts. Der Trick ist, dass ich das jetzt in Scheiben schneide. Ihr seht, das ist ein alter Trick, der kommt ständig vor. Man schneidet es in Scheiben. Und stellt sich vor, dass man jetzt ganz viele runde Bierdeckel übereinander hat.
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Hier vorne habe ich solche Bierdeckel. Und dann geht das nach hinten weiter. Und so weiter und so weiter. Hier hinten habe ich Bierdeckel. Ich summiere diese ganzen Bierdeckel auf, die sich hier ergeben. Wieder mit dem Integral.
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Von vorne bis hinten. Diese x-Koordinate hinten sei einfach mal a. Die x-Koordinate da vorne sei b. Und was ich jetzt aufsummieren muss, ist das Volumen von Bierdeckel. Alle haben die dicke dx und eine bestimmte Fläche.
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Hier schreibe ich die Fläche hin. Das Bierdeckel. Fläche mal dx ist das Volumen des Bierdeckels. Wenn Sie den Bierdeckel haben, diese Grundfläche mal seine dicke. Also dx in der dicke. Dann haben Sie das Volumen vom Bierdeckel. Dann kommt der nächste dazu. Und der nächste und der nächste.
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Und so weiter. Wie groß ist diese Fläche des jeweiligen Bierdeckels? Ich kenne den Radius abhängig von x. Das ist der Radius vom Bierdeckel. Die Fläche vom Bierdeckel ist pi mal r².
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Und das r hängt von x ab. Je nach x kriege ich einen verschiedenen Radius. Das Pi können wir noch rausnehmen. Das ist also pi mal a bis b r von x² dx. Das rechnen Sie mal aus für diese Funktion.
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Hier ist der Radius 1 minus x². Hier ist der 0. 1 minus minus 1². Da ist der 0. An der Stelle 0. 1 minus 0² ist der 1. Hier an der Stelle 1. 1 minus 1² ist wieder 0. Das ist mein Radius. Ich stelle mir vor, dass das eben der Radius von lauter Bierdeckeln ist.
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Hier hinten habe ich kleine Bierdeckel. Hier habe ich große Bierdeckel. Und hier vorne habe ich wieder kleine Bierdeckel. Und ich summiere das Volumen aller dieser Bierdeckel auf und habe damit die Kugel berechnet. Genauer gesagt das Volumen der Kugel berechnet. Hier steht das Volumen eines einzelnen Bierdeckels.
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dx ist seine Höhe. Und pi mal r² ist seine Grundfläche. Rechnen Sie das mal aus für diese Funktion. Und dann haben wir nochmal das Kugelvolumen auf andere Art. Das sollte relativ gradlinig sein. Also das Kugelvolumen für den Radius 1 wäre also.
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Ich integriere von minus 1 bis 1
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pi mal das Quadrat meiner Radiusfunktion pi mal integrieren von minus 1 bis 1 und jetzt das Quadrat dieser Funktion. Das ist lustig. Das ist einfach nur 1 minus x². Die Wurzel hier zu integrieren, das kostet ein bisschen die Hirnschmal.
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Aber das ist ja das Quadrat der Wurzel. r², also 1 minus x² muss ich integrieren. Der Quadrat. 1 minus x² muss ich integrieren. Macht pi mal, jetzt eine Stammfunktion dazu, x minus x hoch 3 drittel
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in den Grenzen von minus 1 bis 1. Macht pi mal 1 minus 1 drittel minus, minus 1, minus, minus 1 hoch 3 ist auch minus 1, minus, minus 1 drittel.
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Und dann habe ich, das ist pi mal, oben schreibe ich das hier mal, 1 minus 1 drittel, minus minus 1 sind plus 1, plus 1, minus, minus, minus sind minus 1 drittel, sind pi mal 2 minus 2 drittel,
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pi mal 2 minus 2 drittel, 2 minus 2 drittel, 2 sind 6 drittel, minus 2 drittel sind, Überraschung, 4 drittel. Pi mal 4 drittel. Das Volumen einer Kugel mit Radius 1. Wir wissen schon, 4 drittel pi r hoch 3.
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Insofern das klassische Resultat. Das kann man auch natürlich machen mit einer Kugel mit Radius R. Kostet hier ein bisschen mehr Rechenaufwand, ist aber keine Hexerei. Also das ist die 1002. Art, das Kugelvolumen zu bestimmen über Rotationskörper.
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Etwas raffinierter, aber nicht wesentlich raffinierter, ist die Kugeloberfläche. Ich nehme die Kugel wieder als Rotationskörper. Jetzt interessiert mich aber nicht das Volumen, quasi diese ganzen Bierdeckel aufsummiert. Mich interessiert die Oberfläche von der Kugel.
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Das nochmal vorgeführt. Oder genau gesagt, ich sollte sagen, die Mantelfläche ohne die Deckel. Die Mantelfläche. Die Kugel hat ja keine Decke.
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Wenn Sie diese Kurve nehmen und drehen, haben Sie ja keine Deckel oben und unten drauf. Insofern ist bei der Kugel die Mantelfläche und die Oberfläche dann dasselbe. Mantelfläche eines Rotationskörpers im Allgemeinen.
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Eine Achse. Habe eine Kurve, die mir das Profil angibt. Abhängig von der X-Koordinate den Radius. Das ist jetzt zeichnerisch eine Herausforderung.
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Jetzt interessiert mich die Oberfläche. Die Oberfläche ist dann aus lauter Stücken von Kegeln zusammengesetzt. Wenn Sie sich hier so ein Stückchen nehmen, ist das Teil eines Kegels. Schauen Sie sich so ein Kegel vor.
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Daraus ist jetzt die Oberfläche zusammengesetzt näherungsweise. Was ich also aufsummiere, von A bis B, müssen jetzt solche Stückchen von Kegeln sein.
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Und was ich mir überlege, ist Folgendes. Die Fläche von so einem Stückchen Kegel ist sein Umfang. Nehmen Sie diese Kurve hier. Was ist der Umfang von dem? Mal, wie lang ist der hier übers Rückgrat sozusagen? Wie lang ist das Stückchen?
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Das rechne ich, um die Fläche von diesem Kegel zu kriegen. Die Mantelfläche von dem Kegelstück hier zu kriegen. Der Umfang ist 2π mal r. Denn der Radius ist hier r, damit ist der Umfang 2π mal r.
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Ein bisschen schwieriger wird jetzt hier die Länge von diesem Rückgrat zu kriegen. Das muss ich noch einmal anders zeichnen. Wenn Sie den so nehmen, hier ist meine Funktion. Mich interessiert jetzt diese Länge hier.
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Das ist diese rote Länge da. Womit hat diese rote Länge zu tun? Das selbe Stückchen kam nämlich eben schon vor bei der Bogenlänge einer Kurve. Da hat man das selbe Phänomen. Wie lang ist so eine Kurve über so ein kleines Stückchen? Das selbe kam hier vor.
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Das muss dasselbe Ding sein. 1 plus die Ableitung Quadrat in der Wurzel. Damit kriege ich hier dieses Stückchen. Und zurück, und zurück. Hier sind wir also 1 plus die Ableitung Quadrat
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unter der Wurzel. Jetzt kann ich die 2π noch rausziehen. Das ist 2π von a bis b. Den Radius mal 1 plus die Ableitung Quadrat dx. Und das jetzt
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für den Halbkreis, der hier gedreht wird. R von x habe ich direkt. Strich muss man ausrechnen, Quadrat muss man ausrechnen. Dann kriegen wir die Oberfläche der Kugel. Also ich brauche die Ableitung der Funktion R. Wo ist er hier? Wurzel 1 minus x Quadrat.
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Was ist das? Die Wurzel 1 minus x Quadrat ableiten. Kettenregel. Erstmal die Wurzel ableiten. 1 durch 2 mal die Wurzel, von dem was drin steht. 1 minus x Quadrat. Jetzt kommt die innere Ableitung. 1 minus x Quadrat ableiten nach x.
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Macht minus 2x. 1 ableiten ist 0. Minus x Quadrat ableiten macht minus 2x. Die 2 kann ich kürzen. Ist also minus x durch Wurzel 1 minus x Quadrat. So und damit habe ich jetzt die Kugeloberfläche.
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Oberfläche für Radius 1. Ist folgendes. Das Integral. Ach nee. 2 Pi mal das Integral von minus 1 bis 1. 2 Pi mal das Integral von minus 1 bis 1.
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Die Funktion R von x. Also diese Wurzel hatten wir eben. Die Wurzel 1 minus x Quadrat. Das ist R von x. Und jetzt steht da noch Wurzel 1 plus die Ableitung ins Quadrat. Die Wurzel 1 plus die Ableitung ins Quadrat.
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x Quadrat durch 1 minus x Quadrat dx. Den hier quadriere. x Quadrat durch 1 minus x Quadrat. Den quadriert. Hier innen drin kann ich zusammenfassen. Und das auf einen Bruchstrich bringen. 1 minus x Quadrat. Dann steht da. 1 minus x Quadrat plus x Quadrat.
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Das ist nett. Dann hebt sich nämlich das x Quadrat weg. Und ich habe insgesamt. Das ist 2 Pi mal das Integral. 1 bis minus 1. Wurzel 1 minus x Quadrat.
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Wurzel 1 durch 1 minus x Quadrat dx. Was fällt Ihnen daran auf? Absurderweise kann man das kürzen. Das gegen das kann man kürzen. Und dann bleibt das Integral über die Funktion 1. Das ist 2 Pi mal das Integral von minus 1 bis 1.
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Über die Funktion 1 dx. Das könnte man jetzt mit Stammfunktion machen. Aber ich hoffe das ist nicht nötig. Von minus 1 bis 1 die Funktion 1. Wie groß ist das Integral? Das ist eine Fläche von 2. 1 bis 1. Eine Fläche von 2. Auch ohne Stammfunktion. 4 Pi. Wie sich das gehört. Offiziell war die Oberfläche der Kugel ja 4 Pi r Quadrat.
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Unser Radius war 1. Wir kriegen 4 Pi raus. Wenn Sie das allgemeiner hinschreiben. Den Radius einbauen, kriegen Sie natürlich auch 4 Pi r Quadrat raus. Das ist ein bisschen mehr Rechnerei. Das mal als billige Anwendungen für Rotationskörper. Man kriegt Kugeloberfläche und Kugelvolumen ausgerechnet mit Rotationskörpern.