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23A.3 numerische Integration, Trapezverfahren, Fehlerschätzung, Romberg, Richardson

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Ich wollte auch normal vorführen wie sich sich die auch ich soll von mir beständig Option schon der Welt
Gar einfachsten vorführen indem man die hat ausgerechnet von dem man weiß was rauskommt dass die als von 2 bis 3 Von Sinus das kann ich aus der kann vergleichen weist die numerische Integration so liefert das Verhältnis zum exakt den Wert von den rechnen damit dass Busens als Stammfunktion aus von 2 bis 3 Als und - Cosima von 3 plus von sind und zwar exakt wäre das möchte ich nun insbesondere mit den Tag Verfahren bei durchexerzieren dieses Integrale man Vergleich hat was irischen Lösung Dringend Verhältnis zu exakt Trapez Verfahren war folgendes werde man folgendes ich möchte sich die Fläche unter meiner vor wonach es etwas vor wir sein die Kooperation vielleicht unter meine Kurve Vorzeichen bestimmen von ist der Trick ist
Wenn ich das nicht Funktionen so ausrechnen kann analytisch algebraischer ausrechnen kann dann probiere ich eben mit ein paar Messwerten Taste die Funktion ab und was daraus jetzt eine Schätzung für das Integral zusammen und Trapez Verfahren wie der Name sagt setzte der tapeziert und diese Fläche hier wäre ein Trapez der nächste Fläche der Verkehr wieder ein Trapez und diese Fläche noch ein Vorbild usw. die alle aufsummiert das kann ich mit einfachen Methode hat sich das die Funktion ab
Wollen bestimmen einzelne Werte der Funktion schätzte dann wird Integrals aus als werden diese Funktion in die ich da einfach geraten durch sich welche ist die Summe von sprechen von Trapezen dass es eine Methode dicht an werden kann wenn ich keine Stammfunktionen schreiben will oder kann Stammfunktion sprach kann Und zu wenig diese Funktion nicht mal überall gegeben haben wenn nicht nur Messwerte habe bevor sie haben einfach nur der folgern Punkten gemessen und keine Rechenvorschrift komplett gegeben und die sowieso keine Chance Stammfunktion auf diese alte dazu finden Sie müssen ist numerisch machen muss schätzen das Naheliegende ist einfach die ja zu verbinden und die Fläche dann auf diese Weise zu schätzen dass es Trapez Verfahren um was man kriegt das Formel ist bis oder Trapez die Höhe auf der Mitte
Mal die breite das die oder vielleicht für dieses genauso die Höhe auf der Mitte des 2. wird das glaube die auch mal die weiter das heißt ich nehme Den 1. Funktionswerts mal hat mal die Breite 2. Funktionswerts nämlich für das große Vorbild man man wollte oder konnte und 2 man mal Spalte insgesamt also einfach mal 3 Mal die Breite genau der hier bekommt zwar vor einstmalige bald usw. wurde letztlich ihre kommt wieder ein Bild vor Da hat einfach wieder mal ein paar Mal die bereits das Gewicht jetzt einfach OpenOffice es würde exakte wird
Das war - Kosinus vor 3 plus groß und von 2 wenig anfangen mit der Breite von 0 , 1 Ich dir vor und zwar , einer schrieb , einer Strich durch Um einer Schritt durch den Genuß jeweils ausrechnen
So da Integral willst
11 Mal die bereits bei den 1. sagte Trapez geregelt los jetzt von den nächsten also die Summe von den nächsten Mal die volle Breite und jetzt vom letzten wieder nur die Hälfte noch , 5 mal den letzten
3
Gebe ich nur mehr Nachkommastellen
So wie der H jetzt gleich , 1 0 5 nur die Hälfte davon starten mit 2 und dann kommt 2 Komma 0 5 und dann geht das so weiter bis zur 3
Jeweils Sinus ausrechnen
Die Retter auf der man kann Nachkommastellen gefertigt werden viele gewann das 8. danach ab
So und das sind die war
Der letzte ist jetzt der es 20
Als hier bis 20. und die Summe geht es 26
26
Der stimmt also bis zum 3. Stelle nach dem Komma Man ihren und komme es war Starten mit der zwar nach damit 2 Komma 2 weiter
Nach 2 über den Sinus ausrechnen
Darauf stellen
Und das macht uns jetzt nicht gemerkt der ist bei 7 50
50 der vorletzte es wollen 56 so ok stimmt was auch viele Stellen nach dem Komma jetzt kann man sich an wo die werden diese Ehrung allmählich besser wird mit kleiner werdenden habe
Hatte das noch mal das ist exakt den Wert und die wird und es hat also für alle gleich
0 , zwar haben gleich 2 dicht des raus
Für H H gleich 0 , 5 aus
Für H Adler
, 1 aus ohne die Nachkommastellen ist es nicht richtig lustig 8 so Wunsch exakt 2 Tage sinnvollerweise exakt wird diese Tabelle
Den exakten wird die schlichte einfach mal bei angleichen 0 dazu dass ist ja die Hoffnung nicht diese Streifen immer schmaler mache ich aber mache dann kommt das exakte Integral aus trage ich man exakt wird einfach mit schöne Zeit des vergleichen nur ein
An der Stelle der so
Das ist eine wird als ein solches Einschätzung das ist die Schätzung mit der Kabinettskriege man daraus
War XY natürlich die verbinden gleich ganz dreist und verbindet tatsächlich
So so sieht das aus und jetzt zum beschrieben habe der wird bei 0 ist exakte so sieht es jetzt aus also ungewöhnlich hat war erst mal durch Verfahren zu betrachten gucke mir an das Ergebnis liefert dieses Näherungsverfahren in Abhängigkeit von der Schritt weiter beziehungsweise Abhängigkeit vom Aufwand mit Schrittweite , 1 das würde billigste da hab ich nur Werte aus gesehen und ich ziemlich weit weg vom exakt und dann hier 0 , 5 hab ich 21 Werte aus faktisch das Doppelte Aufwand schon besser wir schon etwas mehr an exakt 0 , 2 noch mehr ausgerechnet noch deutlich mehr
Diese Probleme ist sagt ein was über die Qualität dieses Näherungsverfahren zu wie sie hier das ist Näherungsverfahren innerhalb der quadratisch von dieser Schritt weiter zu schreiben das ist doch ganz schwer aber das ist quadratische irgendwas mit H Quadrat und das ist die Schrittweite Haar Von dieser Fehler scheint nicht habe vertrat Zu wachsen nicht ja ja aber dann ich eine gerade dann der vielen Jahre wachsender vielleicht 1. Vertrag zu wachsen Oder andersrum die Schrittweite halbierte das ist der Fehler der Abstand zum exakt der nicht die Schrittweite als ihre oder habe ich da anscheinend gevierteltem nochmal halbieren noch ungefähr das Verfahren schon besser als wenn es ja das ist mit hat Vortrag Gigabell natürlich sich AAC-Format sondern auch 3 auf 4 auf 5 bewilligt die Schrittweite halbieren nicht nur Viertel des Wählers haben sondern weil ab 16. ein 32 aber aber die sie scheint ganz schweren aber Quadrat auszusehen entwickelt sich via Quadrat schätzungsweise auch wieder die dichterische drankomme Orbit das von vertrat aber werden die seit ich bekomme des so wenige wird dass sich dieses Bild für diese Zuordnung des Spielers gibt und prinzipielles Bild Schätzung der Fehler am was passiert eigentlich wenn sie dieses haben ganz klar werden lassen wir für a gleich 0 hab ich den exakt eingetragen das ist ja ein bisschen geflunkert was passiert mit meiner Rechnung der Wert für a immer kleiner wird
Die Soko Widerstand zu sowie das man einfach nur das Haar immer kleiner immer kleiner machen muss dann wird es schon immer genau wenn es um sind wieder mal die Rundungsfehler das schon bei den numerischen Ableitung vorgeführt werden sie das Haar immer kleiner machen immer kleineren machen haben sie dann irgendwann ein Problem damit dass diese Maschine hier nur Kubus minus 15 Stellen signifikant Darstellung und Zahlen zu klein und und die ganz ganz geschickt angeht also nicht drauf verlassen dass es immer besser wird irgendwann wird das hier waren von den Fehler wieder studieren durch Rundungsfehler das geht nicht bloß so weiter waren vor der Rechenaufwand natürlich auch das große merklich 11 Sachen auszurechnen werden was bei 20 auszurechnen billig über was und 50 auszurechnen ich muss immer mehr ausrichten Millionen Jahren aus zum Schluss wird es einfach nicht mehr möglich das ganz derzeit vernünftiger Zeit Auszug aus diversen Gründen kann man diese wir leider nicht bis zu Ende bis zum 0 vor von bis zu der Zeit der zuvor war die das das ein quadratischer Zusammenhang war kaum sich jetzt aus der Mathematik noch mal klar war
Gleichzeitig aber spannend finde ich diesen Gedanken noch zu verfolgen das ist ein quadratischer Zusammenhang und dann ist der auf den Gedanken gekommen von der 10. ok wenn ich diese Kurve ist und exakt der zu wissen wann und wie sich nicht weil Messwerte habe oder weil keine Stammfunktionen schreiben kann angenommen den von sonst wird weiß ich nicht exakt wird aber ich habe diese vor wie aus dem geschätzten werden kann ich ja ganz dreist wie eine aus der gut durch die und findet Wert für hat gleich 0 nennt sich Wirtschafts Extrapolation dazu auf ein großer Schritt aus der Nummer kann man hier Anwendung dass die gerade noch besser zu machen sich dem ein der mit Betrag bestimmen noch einen mit trapezförmigen auch an der Trapez rede ich weiß diese Kopie hier muss eine Parabel sein den ich doch einfach als aber durch und dann wird verhandelt 0 ausrechnen das sollte sehr gut und exakte derzeit das ist das übliche Verfahren das über eingebaut ist das einzig Romberg Integration ist noch 3 einmal heftiger also man findet die Trapez das Verfahren geschickterweise mehrfach einen Scherz dann aus den werden wir für alle gleich 0
Das zu bedeuten dieser aber habe ich möchte mal vorführen wo diese habe dann der kommt das tatsächlich nicht
Wenn sie sich das dann geht's Verfahren ankucken und versuchen den Fehler
Abzuschätzen ist dass das dicke Alex sagt habe ich erfahren die x ist gleich zur der Trapeze
Oder somit der Trapez Flächen Los ein Fehler Die Summe der Trapez vielleicht ist meine Schätzung für das Dietmar diese Fläche Funktionswerts man halt mal 13 den Funktionswert man hat bei der 2. diese Fläche diese welche ist der Funktionswert man halt mal die breite aus der Funktionswert hat eine alte diese Flächen 2. man Schätzung für das Das exakt seines gibt einen Fehler beim versucht diesen Fehler abzuschätzen immer schon gesehen dieser Fehler scheint irgendwas mit Tag war da zu sein scheint Parabel für mich anzuwachsen geschätzt begann sie überlegen was den sind weder tatsächlich vorkommt man kann sich ausrechnen dass es aber ziemlich eklig auszurechnen man kann sich auch einfach überlegen was für zu drinstehe Fehler wenn sich die Funktion ankucken wievielte Ableitung meiner Funktion sollte die diesen Fehler auftauchen
Vor
Der Fehler ist in der Tat die Fläche zwischen beiden Grafen das möchte ich mir also quasi dieses 2. Stück mit Vorzeichen genau das ist der Fehler
Dieses 2. Stück zwischen der NATO und den Trapezen mit Vorzeichen also hier den das zu positiv da es positiv der Rest negativ
Jetzt möchte ich aber diesen Fehler gewesen abschätzen hatten dass bei denen Ableitungen schon führte Ableitung Funktionen zu den Fehler der numerischen Schätzung der Ableitung bei dass ich über für welche Sorte an Funktionen wie sie das wieder gleich 0 zu gefragt als Funktion können sie einsetzen und die Trapez geliefert die exakte schlecht sie eine Gerade einsetzen dann netterweise ist natürlich die Summe der Trapez Flächen exakt das war für eine Gerade funktioniert das
Und nun kann man sich überlegen ob für eine Gerade ist das exakte dann ist der Fehler 0 die wievielte Ableitung meiner Funktionen der Ableitung eine Funktion kann allenfalls in diesem Jahr auf darauf weiß man aus anderen Gründen das so viele dass mit zu tun haben muss die Felder Ableitung der allenfalls auftauchen ich für geraten und sollte das sagt das Ergebnis Fehler auftreten kann ist die 2. Ableitung für eine gerade ist die 2. Ableitung 0
Und dann ist der Fehler nur wenig eine 2. Ableitung habe um gleich 0 ist dann ist man Funktion bekommen und dann hat die Trapez Regel ein Problem mit der Grundfunktionen hat der ein Problem 2. Ableitung gleich 0 ist eine Vertriebswege kein Problem dann habe ich war der 2. Ableitung ungleichen Verquickung die Therapie jetzige hat ein Problem nicht gerade das was mit der 2. Ableitung meiner Funktion steht dass der 2. Ableitung der Funktionen so steht Fehler sich jetzt die Einheiten ankucken sagen wir was können wir aber sowas zum Beispiel mit einem Meter und bundesweit mischen wird sich Meter mal Sekunde ist ein bisschen für sagen wir vielleicht mal die Funktion hat eine Einheit FAZ und x hat die Einheit Sekunden etwas was Vernünftiges physikalische Arbeit ausgerechnet die Funktion der Einheitspartei dieses x die einer Sekunde hat
Welche Einheit hat die 2. Ableitung Der Funktion
Das Muster der seinen bereits durch Sekunde Quadrat Auswirkungen das waren bedeuten mag es gern hat x die Einheit Sekunde die Thailänder der quasi 2 Mal durch die Sekunde hier oder sie haben der Sekunde Quadratmetern Watt pro Sekunde vertrat das wäre die die 2. Ableitung die einer der 2. Ableitung ich muss aber als Ergebnis gerade Wattsekunden haben mein Fehler enthält so was wie war durch die Kunde Vater war das Ergebnis muss was die Wattsekunden seinen Meister ist wo muss sich diese 2 - multiplizieren einheizen sich das muss als Faktor dabei stehen eine sie brauchen Sie Kunde hoch 3 damit das kommt zum Schluss wieder Wattsekunden rauskommen multipliziert werden was die Einheit Sek. hoch 3 hat was kann das sein was steht die zur Verfügung was das noch multipliziert werden kann
Also zur Verfügung haben wir noch diese Streifen bereits war die bei mir und wir haben auch noch die Breite des gesamten dabei als - a zur Verfügung das sind die beiden Zutaten wieder Proportionalität der Fehler und sollte der zu irgendwas proportional sein ungefähr
Der Feder sollte proportional zu der bereits in seinen was aber das sollte aber auch aus der auftauchen damit zumindest schon mal es von der Einheit der den sie die doppelte breiter haben sollte sich der viele verdoppeln heute noch einmal so viele rote Stückchen haben also erwarte ich dass der viele die proportional wird man doch Proportionen als verbreitet ist wird das ist noch einmal Faktor Sekunde Minister Zeit die eine Sekunde die wir noch Attraktor so Sekunde Quadrat das einzige was ich jetzt noch habe ich habe da kommt dieses hat war stimmt von einem das ist die Dividende Begründung warum dieser Fehler Mittag verraten auf Ausbildung so was für die Physiker Schweiß vieler ist optimal proportional zur Preise nicht weiß was mit der 2. Ableitung zu tun wenn die Funktion begründet ist
Tritt ein Fehler auf wenn die Funktionen gerade ist kein Fehler auf und muss zwangsläufig der Apparat stehen allein in der Einheit und das ist genau das Verhalten das man aus wie diese quadratische Abhängigkeit
Sinusfunktion
Integral
Stammfunktion
Kurve
Vorzeichen <Mathematik>
Fläche
Numerische Integration
Fehlerabschätzung
Computeranimation
Integral
Fläche
Schätzung
Computeranimation
Funktion <Mathematik>
Integral
Computeranimation
Summe
Punkt
Stammfunktion
Trapezoid
Fläche
Höhe
Gleitendes Mittel
Computeranimation
Integral
Computeranimation
Summe
Höhe
Computeranimation
Sinusfunktion
Summe
Summe
Computeranimation
Integral
Zahl
Negative Zahl
Computeranimation
Sinusfunktion
Computeranimation
Computeranimation
Sinusfunktion
Summe
Summe
Computeranimation
Sinusfunktion
Negative Zahl
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Summe
Computeranimation
Summe
Tabelle
Negative Zahl
Computeranimation
Computeranimation
Integral
Schätzung
Computeranimation
Schätzung
Tabelle
Computeranimation
Gruppenoperation
Schätzung
Näherungsverfahren
Diagramm
Tabelle
Schrittweite
Computeranimation
Schätzung
Diagramm
Computeranimation
Quadrat
Schätzung
Orbit <Mathematik>
Näherungsverfahren
Diagramm
Punkt
Schrittweite
Schätzung
Auswahlaxiom
Computeranimation
Schätzung
Diagramm
Computeranimation
Zusammenhang <Mathematik>
Mathematik
Würfel
Rundungsfehler
Schätzung
Diagramm
Zahl
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Stammfunktion
Zusammenhang <Mathematik>
Kurve
Betrag <Mathematik>
Extrapolation
Schätzung
Diagramm
Computeranimation
Schätzung
Diagramm
Computeranimation
Schätzung
Diagramm
Punkt
Trapezoid
Computeranimation
Summe
Flächentheorie
Schätzung
Fläche
Schätzung
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Schätzung
Diagramm
Computeranimation
Computeranimation
Trapezoid
Vorzeichen <Mathematik>
Fläche
Computeranimation
Summe
Flächentheorie
Diagramm
Schätzung
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Funktion <Mathematik>
Computeranimation
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Funktion <Mathematik>
Ungleichung
Meter
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Funktion <Mathematik>
Maßeinheit
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Faktorisierung
Quadrat
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Faktorisierung
Quadrat
Physiker
Attraktor
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Funktion <Mathematik>
Schätzung
Computeranimation

Metadaten

Formale Metadaten

Titel 23A.3 numerische Integration, Trapezverfahren, Fehlerschätzung, Romberg, Richardson
Serientitel Mathematik 1, Winter 2011/2012
Anzahl der Teile 89
Autor Loviscach, Jörn
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/9986
Herausgeber Loviscach, Jörn
Erscheinungsjahr 2012
Sprache Deutsch
Produzent Loviscach, Jörn

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

Zugehöriges Material

Video ist Begleitmaterial zur folgenden Ressource

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