In den Videos hatte ich erklärt, wie man Grenzwerte denn streng formal definiert, dass man eine Folge sich anguckt und dann untersucht, wie man es schafft, dass die Folgen-Elemente alle in so einem engen Korridor liegen. Im wahren Leben, N und Epsilon, im wahren Leben guckt man sich das niemals so an.

Im wahren Leben guckt man sich das nur mit Grenzwertsetzen an. Man weiß, wie Folgen funktionieren, man weiß, dass E hoch N stärker wächst als alle Potenzen von N, dass das hier garantiert gegen Null geht, wenn N gegen N geht und ähnliche Sachen.

Da rechnet man nicht mit Epsilon und N und solchen Geräten. Als Beispiel mal dieses hier, ein Bruch, N² plus 3N plus die Wurzel aus N durch den Sinus von N² plus die Wurzel aus N hoch 4 plus 1.

Schlimmer kann es ja kaum werden. Und ich frage mich, ob dieses Ding irgendein vernünftiges Verhalten hat für N geht gegen unendlich.

Wir wissen ja inzwischen, wie die typischen Wachstumsverhalten sind. Grenzwertsätze, wie kann ich nun hier irgendwas schlussfolgern über das Verhalten von diesem Bruch, wenn ich große und größere und größte Zahlen einsetze. Was wird hier passieren?

Es ist keine schlechte Idee, sich erst mal klar zu machen, was überhaupt Pi mal Daumen passiert. Setzen Sie eine große Zahl, eine größere als diese drei hier natürlich, dass man wirklich sehen kann, was auf dem Weg unendlich passiert. Wenn wir mal 1000 nehmen, steht hier vorne 1000², eine Million.

Hier steht 3000 und hier steht die Wurzel aus 1000, die Wurzel aus 1000, ungefähr 30. Sie sehen, wer oben gewinnen wird. N² wird klar gewinnen. Wenn Sie 1000 einsetzen, hat er schon gewonnen. Wenn Sie eine Million für N einsetzen, wird N² sicherlich gewinnen. Im Endeffekt tragen die beiden nicht viel bei.

Unten der Sinus ist irgendwas zwischen minus 1 und 1. N² als solches ist zwar groß, aber ich bilde ja den Sinus. Das heißt, da bleibt nicht viel über von dem großen N². Nur eine Zahl von minus 1 bis 1. Hier N hoch 4, 1000 hoch 4, 10 hoch 3 hoch 4 sind 10 hoch 12.

1 mehr als 10 hoch 12 ist auch nicht viel was anderes als 10 hoch 12. Daraus die Wurzel bleibt 10 hoch 6. Diese Wurzel hier ist wieder in guter Nährung eine Million. Das heißt, oben steht was in der Größenordnung von einer Million,

unten steht was in der Größenordnung von einer Million. Es wäre total komisch, wenn der Grenzwert von diesem Ding nicht 1 ist. Also nicht irritieren lassen von dem N hoch 4. Das N hoch 4 wächst zwar sehr stark, aber da steht ja eine Wurzel drum. Die Wurzel reduziert das wieder auf ein Wachstum wie N².

Das wäre jetzt so ein händewedelndes Argument. Der Grenzwert hiervon ist 1. Und im wahren Leben würde man sagen, okay, der Grenzwert ist 1. Punkt. Das müssen wir in der Mathematik dann einen Tucken genauer sein. Einmal nachgucken, gibt es dafür eine Begründung, die nicht ganz so händewedelnd ist.

Ich forme das mal um. Der übliche Trick, den man anwendet, ist, dass man versucht, Zähler und Nenner so zu kürzen oder so zu erweitern, dass beide einen Grenzwert haben. Das Problem ist ja hier, der Zähler geht ins Unendliche mit dem N². Der Nenner geht ins Unendliche mit dem N².

Ich versuche, so etwas zu bilden wie unendlich durch unendlich. Das kann sonst etwas werden. Stellen Sie sich vor, Sie haben N hoch 3 durch N. Das wird über alle Grenzen wachsen. Aber N durch N hoch 3 ist auch so etwas wie unendlich durch unendlich. Das wird gegen Null gehen, weil das N hoch 3 gewinnt. Oder wenn da steht, 2 mal N durch N.

Das geht gegen Unendlich, das geht gegen Unendlich. Wird aber 2 werden. Also so ein Ausdruck Unendlich durch Unendlich ist eher unwägbar. Das muss man sich genauer überlegen. Und geschickt ist, jetzt so zu kürzen, so zu erweitern, dass da nicht Unendlich durch Unendlich steht,

sondern etwas Endliches bleibt. Hier oben geht das Ganze wie N². Ich versuche deshalb, mit N² zu kürzen. Hier oben und unten durch N². N² durch N² plus 3N durch N² plus Wurzel N durch N².

Und unten schreibe ich den Sinus von N² durch N² plus die Wurzel N hoch 4 plus 1. Ist das schon 4? N hoch 4 plus 1 durch N².

Das hat immer denselben Wert wie der Originalbruch. Wenn Sie N gleich 1 einsetzen, N gleich 2, N gleich und was immer einsetzen, Sie haben den Zähler durch N² geteilt und Sie haben den Nenner durch N² geteilt. Dieses Gleich gilt für alle Zahlen N. Das Schöne ist jetzt, dass Zähler und Nenner aber zumindest hier Grenzwert haben.

Das überlegen Sie sich jetzt mal selber weiter. Was passiert? Dieses Gleichheitszeichen ist gesichert. Für alle Zahlen N ist das links gleich dem rechts, weil ich einfach nur oben durch N² geteilt habe und unten durch N² geteilt habe. Und Sie überlegen sich jetzt, was jetzt tatsächlich passiert.

Man kann ja ein bisschen vereinfachen und dann sollte man sehen, was oben der Grenzwert ist und was unten der Grenzwert ist. So, was haben wir? N² durch N ist natürlich immer 1. Das war der Sinn der Übung. 3N durch N² ist 3 durch N.

Wurzel N durch N². Das machen wir gerade mal. Wurzel N durch N² ist N½ durch N². Ich würde das so zusammenfassen. Ist 1 durch N½ 3½. Das könnte am leichtesten zu verstehen, wenn Sie den hier hinten mit N½ erweitern.

Ob ich jetzt keinen Platz mehr habe, klugerweise. Ups. Ich lände mich vor, was passiert, wenn Sie den mit N½ erweitern. Oben steht N½. Unten steht N½ 3½ plus 1½. 4½ macht 2.

Oder Sie überlegen sich, hier unten steht 4½. Davon 1 abziehen. Das macht unten 3½. Das passiert hier bei dem Letzten. Hier steht also 1 durch N½ 3½.

Die Wurzel unten würde ich auch noch ein bisschen versorgen. Wenn ich das N² in die Wurzel reinziehe, dann kommt das hier als N½ 4 in die Wurzel rein.

Sie können das schreiben als N½ 4 plus 1 durch N½ 4. Wenn Sie die Wurzel oben ziehen, steht da Wurzel N½ 4 plus 1. Wenn Sie die Wurzel unten ziehen, Wurzel N½ 4 ist N². Wie kann ich den hier noch vereinfachen?

In zwei Brüche zerlegen. N½ 4 durch N½ 4 macht 1 plus, und dann bleibt da 1 durch N½ 4. Und jetzt kann man tatsächlich ganz schlicht mit den Grenzwertsätzen zum Ziel kommen. Also ohne Epsilon, ohne N und ähnliche Komplikationen.

Einfach nur Grenzwertsätze. Das funktioniert nun. 3 durch N, N geht gegen unendlich, 3 durch N, weiß ich, geht gegen Null. Eine konstante Zahl durch eine Zahl, die gegen unendlich wächst, wird Null werden. Hier steht eine konstante Zahl durch eine Zahl,

die gegen unendlich geht, hoch 3½. Das hoch 3½ macht aber nichts kaputt, was das Verhalten gegen unendlich angeht. N hoch 3½ geht auch gegen unendlich. Das heißt, 1 dadurch wird auch gegen Null gehen. Ich habe irgendwie keinen Platz gelassen. Der gesamte Zähler geht gegen 1.

Das war ja das Ziel der Übung. Das habe ich ja mit N² gekürzt. Der Zähler geht nun gegen 1. Er geht nicht mehr gegen unendlich wie vorher. Der Zähler hier geht gegen 1. Der Nenner. Hier steht eine beschränkte Folge.

Sinus ist beschränkt. Das ist zwischen Minus 1 und Plus 1. Durch eine Folge, die gegen unendlich geht, da weiß man, dass wird im Grenzwert Null werden. Es hat einen Grenzwert, der ist Null. Der allerletzte Ziel, der ist ein bisschen komplizierter. 1 durch N hoch 4 geht gegen Null.

Beschränkt durch bestimmt divergent muss Null werden. N hoch 4 wächst über alle Grenzen. Ich biete den Kehrwert. Es kommt der Null immer näher. Das heißt, was hier drinnen steht, das muss ich jetzt mal farbig machen, glaube ich, was hier drinnen steht, in der Wurzel,

quer durch die Wurzel, was hier in der Wurzel steht, 1 plus eine Folge, die gegen Null geht, wieder eines der Gesetze, wird gegen 1 gehen. Wenn Sie eine konstante Folge 1 haben und dazu eine Folge addieren, die gegen Null geht, wird diese Folge gegen 1 gehen.

Eine der Grenzwertsätze. Und da steht nun die Wurzel, die Wurzel aus einer Folge, die gegen 1 geht. Aus welchem Grund weiß ich, dass die Wurzel gegen 1 geht? Welche Eigenschaft der Wurzelfunktion ist das?

Hier brauche ich die Stetigkeit der Wurzelfunktion. Die Wurzelfunktion aus 1 ist 1. Das ist aber nur die halbe Miete. Hier steht ja eine Zahl drin, die gegen 1 geht. Sie ist nicht die ganze Zeit 1, im Zweifelsfall, sondern sie geht gegen 1. Und ich muss wissen, dass die Wurzelfunktion

keine Schweinereien einstellt. Auch wenn die Zahl drin nicht die ganze Zeit 1 ist, sondern nur gegen die Zahl 1 geht. Das muss ich vielleicht nochmal aufmalen. Die Stetigkeit ist wichtig. Also kein besonderer Grenzwertsatz, sondern man verwendet die Stetigkeit der Wurzelfunktion. Stellen Sie sich vor, Sie haben eine Funktion,

die so aussieht, und Sie haben eine Folge, die gegen diesen Sprung läuft, dann kriegen Sie das hier als Grenzwert raus. Wenn Sie aber den Grenzwert der Folge einsetzen,

kriegen Sie das da oben raus. Bei einer solchen Funktion hätten Sie das Problem, dass die Reihenfolge nicht egal ist, ob Sie erst den Grenzwert auf der x-Achse bilden oder dann später den Grenzwert auf der y-Achse bilden. Offensichtlich eine unstetige Funktion. Bei einer stetigen Funktion passiert das nicht.

Bei einer stetigen Funktion kann ich Grenzwert und Funktion vertauschen. Sie sehen, hier habe ich innen drin eine Folge, die gegen 1 geht, bilde dann die Funktion. Aber was ich jetzt eigentlich rechne, ist ja, dass ich den Grenzwert einsetze sofort und dann die Funktion bilde.

Das darf ich bei stetigen Funktionen machen. Unstetige Funktionen können mir da mit irgendeinem Sprung quer kommen. Die Wurzel ist aber eine stetige Funktion. So, jetzt habe ich alle Zutaten beisammen. Der gesamte Nenner geht also gegen 0 plus 1.

Das ist wieder eines der Gesetze. Ich habe eine Folge, die gegen 0 geht. Ich habe eine Folge, die gegen 1 geht. Dann geht die Summe gegen 0 plus 1. Gegen 1. Und da steht nun eine Folge, die gegen 1 geht,

durch eine Folge, die gegen 1 geht. Das ist ein modernes Kunstwerk geworden, hier zwischendurch. Im Zähler steht etwas, was gegen 1 geht. Im Nenner steht etwas, was gegen 1 geht. Und dann gibt es keine Probleme mit dem Dividieren. Wenn unten etwas steht, was gegen 0 geht, dann habe ich ein Problem. Aber hier steht im Endeffekt 1 durch 1. Und dafür gibt es wieder einen Grenzwertsatz.

Das wird wirklich 1 durch 1. Also 1. Hätte ich ein bisschen schicker aufschreiben sollen, dass ich nach rechts gehe. Vielleicht habe ich rechts keinen Platz gelassen. Also hier kann man sich rein mit den Grenzwertsätzen und der Stetigkeit aus der Affäre ziehen. Ohne Epsilon und N. Und das ist auch das Übliche.

Diese Grenzwertdefinition, die hoch mathematische nach Herrn Bayerstraß, ist im Endeffekt ein bisschen überkandidelt. Man weiß damit offiziell die Grenzwertsätze und überlegt sich, was Stetigkeit ist. Und wenn man das hat, ist das Thema gegessen. Nach diesem Verfahren kommt man dann zum Ziel in den meisten Fällen, 99 Prozent der Fälle.