Also das Roulette war nochmal ein Beispiel für eine diskrete Zufallsgröße. Meine Zufallsgröße ist plus ein Euro, minus ein Euro, zwei Möglichkeiten. Wir hatten schon die Benignalverteilung gesehen. Ich werfe Münzen und zähle wie viele Münzen auf den Kopf fallen.

Es gibt dann so ein Histogramm. Wir hatten die Poissonverteilung gesehen, erklärt hatte ich das mit Fischen. Die erstreckt sich bis ins Unendliche. All das sind diskrete Zufallsgrößen. Die Anzahl der möglichen Werte kann ich abzählen.

Die Anzahl der möglichen Werte ist endlich, so wie beim Roulette oder hier bei der Benignalverteilung. Oder die Anzahl der möglichen Werte ist zwar unendlich, aber trotzdem abzählbar. Bei dem Poisson, die Zahl der Fische im Netz, ist abzählbar. Das sind genauso viele wie es natürliche Zahlen gibt.

Das kann man gerade noch durchgehen lassen. Das sind dann alles diskrete Zufallsgrößen. Wie können Sie mit solchen Histogrammen darstellen? Sie plotten die Wahrscheinlichkeit. Was sind die Werte, die auftreten können? Und Sie plotten, mit welcher Wahrscheinlichkeit die einzelnen Werte auftreten. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss eins sein.

So, diskrete Zufallsgrößen. Die andere große Klasse sind die stetigen Zufallsgrößen. Und das ist etwas, das Sie beim Messprozess typischerweise haben. Wenn Sie irgendeine Spannung messen, ganz klassisch hier mit einem Voltmeter.

Und Sie fragen, wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit, dass diese Spannung exakt gleich Pi ist? 3,1415 und so weiter. Alle Stellen hinter dem Komma. Volt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Spannung, die Sie irgendwo messen, auf alle Stellen hinter dem Komma gleich Pi ist?

Wie groß sollte diese Wahrscheinlichkeit sein? Das sollte in der Tat Null sein. Und dann haben wir ein kleines Problem. Das wirkt ja wie so ein atomares Ereignis. Wie ein Elementarereignis. Und das Blöde ist, dass dieses Elementarereignis Wahrscheinlichkeit Null hat.

Dass ich genau diese eine Zahl rauskriege, ist nicht nur extrem unwahrscheinlich. Es ist extrem unwahrscheinlich. Es passiert einfach nicht, dass mein Messwert unendlich viele Stellen hinter dem Komma gleich Pi hat. Das Problem haben wir hier nicht. Hier können Sie sagen, wenn ich Münzen werfe, dass ich dreimal Kopf sehe.

Das hat eine bestimmte Wahrscheinlichkeit. Die mag kleiner sein oder größer sein, aber die ist nicht Null. Die ist irgendwas zwischen Null und Eins. Nicht Null und nicht Eins. Und hier bei den Fischen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich sieben Fische im Netz habe? Das ist nicht Null, nicht Eins, irgendwas dazwischen. Nicht Null.

Bei den diskreten Zufallsgrößen ist die Welt soweit in Ordnung. Aber wenn ich diesen Fall von Messwerten habe, habe ich ein kleines Problem, dass die Wahrscheinlichkeit des einzelnen Dings Null ist. Und da muss man sich irgendwie rauslügen. Wir gucken uns das mal an einem einfachen geometrischen Beispiel an.

Eine Dartscheibe. Mein Experiment soll so sein, dass der Dartfeil immer trifft und zwar irgendwo. Sie zielen jetzt nicht auf eine besondere Stelle auf der Dartscheibe, aber sie zielen so, dass sie immer treffen. Eine sehr unnatürliche Annahme, aber stellen wir uns das vor.

Sie zielen mit dem Dartfeil so, dass sie immer auf die Scheibe treffen. Und was mich nun interessiert, ist, wie weit der Dartfeil vom Mittelpunkt entfernt ist. Das interessiert mich.

Der Abstand vom Mittelpunkt, das soll meine Zufallsgröße X sein. Also mein Experiment ist, ich werfe einen Dartfeil auf diese Scheibe und ich messe den Abstand vom Mittelpunkt. Das ist eine komische Art, einen Messwert zu generieren, aber so kann man jetzt zumindest mal was ausrechnen. Wenn ich sage, wir wollen jetzt irgendwelche Temperaturen oder Spannungen messen, muss ich erstmal großartig überlegen,

in welchem Schaltkreis ich Spannungen messe oder in welchem thermodynamischen Versuch ich Temperaturen messe. Das ist ja alles ein bisschen kompliziert. Ein billiges Experiment, das ist zwar ein bisschen an den Haaren herbeigezogen, aber man kann tatsächlich mal sehen, wie man rechnen würde. Mich interessiert der Abstand vom Mittelpunkt.

Wie weit ist der Dartfeil vom Mittelpunkt entfernt? Der Datscheibe, das interessiert mich. Wie verhält sich das zufallstechnisch? Das soll meine Zufallsgröße sein. Also ein Experiment, ich werfe einen Dartfeil, ich treffe immer, setze sich voraus.

Die Dartfeile sind nirgendwo besonders konzentriert, überall mit der gleichen Wahrscheinlichkeit, was auch immer das sein mag. Sehen wir gleich, wie man das beschreiben könnte. Die Zufallsgröße, die das generieren soll, ist der Abstand zum Mittelpunkt.

Das selbe Problem wie eben. Wenn ich jetzt frage, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit? Ich sollte nochmal Maße angeben überhaupt. Wenn ich sage, das Ding hat den Radius 10, ausnahmsweise Uneinheiten, damit das Ganze nicht noch verwirrender wird.

Wenn ich sage, das Ding hat den Radius 10 und wenn ich jetzt frage, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit? Dass mein Abstand gleich 5 ist, haben sie das selbe Problem. Die Wahrscheinlichkeit, exakt diesen Kreis mit Radius 5 zu treffen, der unendlich dünn ist, ist 0.

Das selbe Problem wie eben bei den Spannungen. Also die einzelnen möglichen Werte, offensichtlich von 0 bis 10, sind es die möglichen Werte. Die möglichen Werte haben alle die Wahrscheinlichkeit 0. Deshalb kann ich jetzt plötzlich nicht mehr so rechnen, wie man es vorher hatte mit den Summen.

Da muss ich etwas anders ausdenken. Was man tatsächlich mal ausrechnen kann, das ist jetzt mein Job für Sie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich in einem Abstand von 4 bis 6 treffe?

Also das hier soll ein Abstand von 6 sein, das hier soll ein Abstand von 4 sein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich hier treffe? Die ist hoffentlich nicht mehr 0, aber wie groß ist die eigentlich?

Die Wahrscheinlichkeit, diesen Ring zu treffen. Also das ist die Wahrscheinlichkeit, dass 4 kleiner gleich meine Zufallsgröße kleiner gleich 6 ist. Das ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis. Wie können Sie die ausrechnen?

Ich muss nochmal einen Tipp geben. Was heißt das, dass ich die Dartpfeile so werfe, dass sie nirgendwo besonders häufig oder nirgendwo besonders selten reintreffen? Das heißt ja, dass diese Dartpfeile einen Quadratzentimeter immer mit derselben Wahrscheinlichkeit treffen.

Stellen Sie sich das in Quadratzentimeter aufgeteilt vor. Die ganze Scheibe in Quadratzentimeter aufgeteilt und jeder Quadratzentimeter wird mit derselben Wahrscheinlichkeit getroffen vom Pfeil. Und jetzt zählen Sie nach Laplace, wenn alles diese Wahrscheinlichkeit haben soll, nach Laplace zählen Sie, wie viel Quadratzentimeter in der roten Fläche sind, die Zahl der günstigen Fälle,

durch wie viel Quadratzentimeter insgesamt auf der Scheibe sind, die Zahl aller Fälle, die Zahl der Quadratzentimeter in der roten Fläche durch die Zahl der Quadratzentimeter in der Gesamtfläche. Das heißt, Sie vergleichen die Flächen. Das ist der Trick, man vergleicht die Flächen.

Also schreiben Sie das Verhältnis der Flächen hin. Also einfach mit Laplace, wie viel Quadratzentimeter hat die rote Fläche, die Zahl der günstigen Fälle, wie viel Quadratzentimeter hat die Gesamtfläche, die Zahl aller Fälle, das durcheinander teilen.

Das muss das Flächenverhältnis sein. Wenn die Datfeile jeden Quadratzentimeter mit derselben Wahrscheinlichkeit treffen. Verhältnis zweier Flächen. Ich habe jetzt ganz oft gesehen, dass da nur eine Fläche stand. Das kann nicht stimmen. Es muss das Verhältnis zweier Flächen sein, allein schon damit es einheitslos wird. Die Wahrscheinlichkeit darf keine Einheit haben.

Die Fläche insgesamt ist ja die einfachste. Pi mal 10 Quadrat, Pi mal Radius Quadrat ist die Gesamtfläche der Scheibe. Und die Fläche des Kreisrings hier ist die Fläche des Gesamten mit Radius 6 minus die Fläche des Inneren mit Radius 4.

Hier oben rechnen Sie also Pi mal 6 Quadrat minus Pi mal 4 Quadrat. Pi können wir kürzen. Vorsicht beim Kürzen aus Summen. Und dann steht da 36 minus 16 durch 100. 36 minus 16 sind 20, 20 durch 100 sind ein Fünftel.

Was man lernt ist, dass meine Zeichnung offensichtlich ziemlich falsch ist. Dieser Kreisring ist viel zu dick in meiner Zeichnung. Also in einem von fünf Versuchen im Schnitt, in einem von fünf Versuchen werde ich diesen Kreisring treffen.

Ich sollte noch mal wie eben sagen bei dem Roulette. Das heißt natürlich nicht, wenn Sie fünf Versuche machen, dass Sie genau in einem davon den Kreisring treffen. Wenn Sie fünf Versuche machen, 1, 2, 3, 4, 5, kann das passieren, dass Sie in genau dem einen davon den Kreisring treffen.

Aber wenn Sie nur fünf Versuche machen, kann es natürlich auch sein, dass Sie die ganze Zeit, das habe ich falsch gemacht, dass Sie dreimal außen treffen, zweimal innen treffen. Das stellt sich erst auf lange Dauer ein. Nicht wenn Sie fünf Versuche machen, sondern wenn Sie Millionen, Milliarden an Versuchen machen, dass ein Fünftel von den Milliarden an Versuchen auf der roten Fläche landet

und vier Fünftel der Milliarden an Versuchen auf dem Rest landet. Und auch das nicht exakt, sondern immer noch plus minus ein bisschen.

Jetzt haben wir eine Wahrscheinlichkeit ausgerechnet für diesen Versuch, die zumindest mal nicht null ist. Der Trick ist also, wenn man Wahrscheinlichkeiten ausrechnet, sich nicht Wahrscheinlichkeiten für ein einzelnes Ergebnis anzugucken, sondern sich Wahrscheinlichkeiten für zum Beispiel Intervalle an Ergebnissen anzugucken. Die Wahrscheinlichkeit, dass man Zufallsgröße im Intervall von 4 bis 6 liegt,

in diesem Fall im abgeschlossenen Intervall von 4 bis 6. Trotzdem wäre es ja schön, irgendeinen Begriff zu haben, wie man den vorher hatte, bei den diskreten Zufallsgrößen, dass man sagen kann, einiges ist wahrscheinlicher als was anderes.

Wenn ich das so nur habe, dann schwimmt das alles noch so ein bisschen. Es gibt den Trick, dass man diesen Ring hier in diesem Fall einfach viel kleiner, kleiner, kleiner machen lässt. Ich gehe nicht von 4 bis 6, sondern ich gehe von einem x bis zu einem x plus dx.

Ich mache das jetzt mal total ingenieurmäßig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass meine Zufallsgröße zwischen einem x und einem x plus dx liegen? Man könnte jetzt auch lange diskutieren, soll das kleiner gleich oder teilweise auch kleiner sein, macht an dieser Stelle keinen Unterschied.

Ich schreibe das mal so ingenieurmäßig hin. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich zwischen einem x und einem x plus dx liege? Also auf einem dünnen, streng genommen unendlich dünnen Kreisring. Wie groß ist diese Wahrscheinlichkeit, der hat den Abstand x vom Ursprung

und er soll in Anführungszeichen für die Mathematiker, die zuhören, in Anführungszeichen die dicke dx haben? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, diesen Kreisring zu treffen? Man könnte das so angehen wie hier. Die Fläche der äußeren Kreisscheibe minus die Fläche der inneren Kreisscheibe durch die Gesamtfläche.

Dann müssen alle Mathematiker weghören, aber das könnte man so versuchen. Die Fläche der gesamten Kreisscheibe, pi mal 10², die Fläche des Gesamten hier mit dem äußeren Radius,

wäre pi mal x plus dx in Klammern ins Quadrat, minus die Fläche des inneren, also nur pi mal x².

Und dann steht da auf dem Hochstrich, pi mal x², oder ich die ps mal kürzen soll. Ich kürze mal erst die ps, das nervt die Erschuldigung. Ich kürze mal erst die ps. Und dann steht unten 100. Hier steht jetzt x² plus 2x dx plus dx².

Das sieht ganz schlimm aus, aus mathematischer Sicht. Aber lassen wir es mal so. Das hier mit binomi a plus b² a² 2ab b². Hierhin ziehe ich noch mal x² ab.

x² x² fällt raus. Und wir sehen, was da bleibt. 2x dx durch 100 plus dx² hundertstel. Und die Physiker und Ingenieure diskutieren das hier jetzt weg.

dx², das ist ja nun super klein. dx soll schon klein sein, dx² ist super klein. Wir sehen, was da übrig bleibt. x fiftigste dx. Das bleibt zum Schluss über. x fiftigste dx.

Das wäre die streng inoffizielle Art. Eine nicht ganz so streng inoffizielle Art, sich das zu überlegen, ist folgende. Oder, diese Fläche hier will ich ja wissen. Wir sehen die Fläche dieses unendlich dünnen Kreisrings.

Die kriegen Sie aber total billig, wenn Sie den einfach auffalten. Sie nehmen den Kreisring mit Radius x und dicke dx und verwandeln den in eine lange, gerade Strecke.

Wir schneiden den hier einmal durch und wiegen den auf. Dann haben Sie ein sehr dünnes Rechteck.

Das hat die Höhe dx dieses Rechteck. Und es hat die Breite, die vorher dieser Kreis seinen Umfang hatte, 2pi x. x sollte der Radius sein. Also, dieses Rechteck hat die Breite 2pi x und es hat die Höhe dx.

Und dann kriegen wir das genauso hin. Das Verhältnis der Flächen. Also ist diese Wahrscheinlichkeit, wie wir sie eben hatten, diese Fläche, das ist 2pi x dx, diese Fläche durch die Gesamtfläche pi mal 10².

Und Sie sehen, oh Wunder, wäre ja auch komisch, 2 hundertstel x fiftigstel dx. Wäre auch komisch, wenn ich dasselbe rauskommen würde. Das kriegen wir als die Wahrscheinlichkeit, so einen unendlich dünnen Ring zu treffen. x fiftigstel dx. Und dx ist die in Anführungszeichen unendlich dünne Breite dieses Rings.

Das müsste man alles ein bisschen schicker machen mit delta x und sich Grenzwerte überlegen. Oder man macht erst noch mal 5 Semester Mathematik und lernt etwas über nonstandard Analysis, wo man dann wirklich so rechnen darf. Die Physiker und die Ingenieure rechnen so.

Und sie kriegen auch das Richtige raus, was nur mathematisch ein bisschen aufwendig zu begründen ist. Aber ich hoffe, dass das anschaulich klar ist, dass das so gehen muss. Also wenn ich einen sehr dünnen Ring hier treffen will auf der Datscheibe, ist das die Wahrscheinlichkeit, den zu treffen. Die Breite des Rings mal x,

der Radius von dem Ring, durch 50. So und jetzt sehen wir meinen Begriff Wahrscheinlichkeitsdichte. Wo sehen Sie hier eine Wahrscheinlichkeitsdichte? Dieses Ding hier, das ist die Wahrscheinlichkeitsdichte.

Das nennt sich Kleinp. Wo gemerkt Kleinp? Ich schreibe mal so, dass das vielleicht klar ist. Ein kleines p von x. Die Wahrscheinlichkeitsdichte dieser Zufallsgröße. Die Zufallsgröße war, ich werfe einen Datfile auf die Scheibe und gucke, was dessen Abstand vom Ursprung ist,

dessen Abstand von der Mitte der Scheibe ist. Das war die Zufallsgröße. Das hier nennt sich die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgröße. Sie sehen, Sie multiplizieren es mit der Intervallbreite, dieser unendlich dünnen Intervallbreite und kriegen eine Wahrscheinlichkeit raus. Deshalb Wahrscheinlichkeitsdichte. Wenn dieses x die Einheit Meter hat,

muss die Wahrscheinlichkeitsdichte die Einheit Wahrscheinlichkeit pro Meter haben. Eine Dichte. Keine Wahrscheinlichkeit, sondern die Dichte einer Wahrscheinlichkeit. Sie müssen es erst noch mit der Intervallbreite multiplizieren, damit Sie eine Wahrscheinlichkeit kriegen. Dieses p von x, die Wahrscheinlichkeitsdichte,

hat jetzt die Rolle, die man sonst bei den diskreten Wahrscheinlichkeiten für das Histogramm hat. Wahrscheinlichkeitsdichte, dick unterstrichen, Wahrscheinlichkeitsdichte.

Nicht die Wahrscheinlichkeit, sondern ihre Dichte. Diese Wahrscheinlichkeitsdichte hat dieselbe Rolle wie dieses Histogramm in dem diskreten Fall. Jetzt kann man sich tatsächlich angucken, was wahrscheinlicher ist und was weniger wahrscheinlicher ist. Für diese Zufallsgröße.

Wenn diese Wahrscheinlichkeitsdichte groß ist, heißt das, dass auf dem selben Intervall, der selben Intervalllänge, diese Wahrscheinlichkeit insgesamt größer wird. Die Wahrscheinlichkeit, die insgesamt rauskommt. Und wir können die Wahrscheinlichkeit von eben hier nochmal anders ausrechnen.

Ich schraube das vielleicht noch einmal ganz dreist darunter. Ergänzung jetzt. Diese Wahrscheinlichkeit zwischen 4 und 6 Solinen. Um die auszurechnen, summiere ich jetzt einfach auf. Was ist die Wahrscheinlichkeit, auf so einer Kreisscheibe zu liegen.

Und auf so einer Kreisscheibe. Auf so einer Kreisscheibe. Ich meine dicke Striche, um klarzumachen. Unendlich dünne Kreisscheiben. Was ist die Wahrscheinlichkeit, auf allen diesen Kreisscheiben, auf die vielen unendlich dünnen Kreisscheiben zu liegen, aufsummiert. Das muss die Wahrscheinlichkeit sein, dass ich zwischen 4 und 6 liege. In meinem Abstand.

Also diese Gesamtwahrscheinlichkeit muss ich schreiben können, als das Integral von 4 bis 6 über meine Wahrscheinlichkeitsdichte. P von x dx. So ist das zu verstehen. So wird aus der Wahrscheinlichkeitsdichte eine echte Wahrscheinlichkeit.

Wenn Sie die aufintegrieren, von bis, dann wissen Sie, was als Gesamtwahrscheinlichkeit rauskommt. Übrigens, an der Stelle kann ich vielleicht nochmal sagen, ob das hier auf der Seite ein kleiner ist oder ein kleiner gleich, oder ob das hier ein kleiner ist oder ein kleiner gleich, macht keinen Unterschied bei diesem Experiment,

weil die Wahrscheinlichkeit, dass Sie genau 4 treffen und genau 6 treffen, gleich 0 ist. Insofern macht es keinen Unterschied, ob Sie hier kleiner oder kleiner gleich schreiben. Da müsste man professionellerseits ein bisschen strikter sein, da leg ich jetzt keinen Wert drauf, weil es an der Stelle keinen Unterschied macht. Wenn das möglich ist, wenn ich meine Zufallsgröße so beschreiben kann,

dass, egal welche Werte ich hier nehme, nicht nur 4 und 6, sondern auch Pi und 7 und Wurzel 2 und 9, wenn das möglich ist, diese Wahrscheinlichkeit zwischen zwei Werten zu liegen, so zu schreiben, mit einem Integral über eine Wahrscheinlichkeitsdichte, dann heißt diese Kiste stetig, im Englischen continuous,

dann ist diese Zufallsgröße eine stetige Zufallsgröße. Wenn das immer geht, nicht nur für 4 und 6, sondern für alle Zahlen, wenn Sie das immer so schreiben können, als das Integral von bis über immer dieselbe Funktion, dann heißt diese Zufallsgröße stetig,

a continuous random variable, eine stetige Zufallsgröße. Es gibt stetige Zufallsgrößen, es gibt diskrete Zufallsgrößen, und es gibt Zufallsgrößen, die sind weder noch, die sind in der Praxis nicht ganz so häufig. Deshalb lassen wir es erstmal nur bei den stetigen und bei den diskreten.

Bei den stetigen muss das immer möglich sein, dass Sie so ein Integral hinschreiben, um Wahrscheinlichkeiten auszuwärchen, Zufallsgröße. Und wir können jetzt tatsächlich sogar angeben, was diese Wahrscheinlichkeitsdichte, innen drin steht die Wahrscheinlichkeitsdichte, es kommt die Wahrscheinlichkeit raus aus dem Integral, innen steht die Wahrscheinlichkeitsdichte,

wir können die sogar angeben, die hatten wir ja gerade, x fiftigstel, da habe ich gerade nochmal nachgerechnet, dass es wirklich stimmt, lassen wir mir das auch glauben, von 4 bis 6 integriere ich x fiftigstel, von 4 bis 6 integriere ich x fiftigstel dx,

Stammfunktion zu x fiftigstel, Stammfunktion x quadrat durch 100, und ich glaube, das sollte Ihnen schon irgendwie bekannt vorkommen, x quadrat durch 100, das hatten wir irgendwie bei den Flächenberechnungen eben auch schon, von 4 bis 6, und dann kriegen wir 6 quadrat durch 100 minus 4 quadrat durch 100,

und Sie wissen schon, was rauskommt, dasselbe, was wir vorher hatten. Wäre ja auch schlimm gewesen, wenn es nicht rauskommt. So stellt man sich die Wahrscheinlichkeitsdichte vor. Wie wahrscheinlich ist es, dass meine Zufallsgröße nicht genau einen bestimmten Wert hat,

sondern diesen Wert hat plus minus ein unendlichste in diesem Bereich liegt. Nicht genau da, aber in der Ecke liegt. Ohne dieses dx, das streichen wir dann wieder raus. Das muss ein Vielfaches der Intervallbreite sein. Das Wievielfache dieser Intervallbreite ist das.

Das ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Die können wir jetzt mal plotten. Ich habe gesagt, die Wahrscheinlichkeitsdichte hat die selbe Rolle, die wir vorher für das Histogramm hatten. Das x läuft sinnvollerweise von 0 bis 10.

Der Wert dieser Zufallsgröße war ja von 0 bis 10, 10 der maximale Radius da. Und raus kommen jetzt Zahlen von 0 bis ein Fünftel. So, hier ist jetzt die Wahrscheinlichkeitsdichte, mal wieder ausdrücklich ein kleines P.

So verläuft meine Funktion hier. Das ist x fünftigstel. Und hier auf der Höhe 10 bin ich also bei einem Fünftel. Wir 10 einsetzen, 10 fünftigstel, da bin ich bei einem Fünftel.

Schreibe ich hier P von x gleich x fünftigstel. Das funktioniert jetzt so ähnlich wie vorher das Histogramm funktioniert hat. Sie können jetzt sehen, dass der Wert 10 und der Wert 9 und der Wert 9,5 und der Wert 8,7 deutlich häufiger vorkommen als die Werte 1 oder 2 oder Pi oder ein Halb.

Ganz ähnlich wie vorher. Nur, dies ist jetzt eine durchgezogene Kurve. Sie können hier unten jetzt wirklich jeden Wert einsetzen. Pi und Wurzel 2 und 5,738, was auch immer.

Jeden Wert zwischen 0 und 10 dürfen Sie einsetzen. Sie können eigentlich sogar Werte über 10 einsetzen, wenn wir einfach sagen, dann ist die Funktion 0. Das könnte man tun, dass man sie links und rechts durch 0 fortsetzt. Dann können Sie sogar jede reelle Zahl einsetzen. 0 sind voller Weise, denn Werte über 10 kommen nicht vor und hier unten 0, denn Werte unter 0 kommen nicht vor.

Das ist ein wichtiger Unterschied zu den Histogrammen. Hier können Sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte einsetzen. Sie haben wirklich nur Balken, die sind nicht verbunden, diese Balken. Bei der Wahrscheinlichkeitsdichte können Sie alle reellen Zahlen einsetzen.

Sie können jeden Wert einsetzen. Die Kurve muss nicht unbedingt durchgezogen sein, das sehen Sie hier. Man könnte auch Stimmeverläufe haben. Ein anderer Unterschied ist, jetzt kann ich natürlich nicht mehr aufsummieren, um den Wert eins zu kriegen.

Hier konnte ich alle Wahrscheinlichkeiten aufsummieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass das eine Münze auf den Kopf fällt, die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Münzen auf den Kopf fallen, keine Münze usw. Ich konnte alles aufsummieren, die Wahrscheinlichkeit, dass ich keinen Fisch, einen Fisch, zwei, drei Millionen Fische im Netz habe, alle aufsummieren.

Immer kommt 1 raus. Bei den Histogrammen muss die Summe immer 1 sein, bei den Wahrscheinlichkeitshistogrammen für diskrete Zufallsgrößen. Hier kann ich jetzt schlecht eine Summe bilden. Was soll ich jetzt addieren? Wurzel 2, den Wert, bei Pi den Wert, das wird mir zu viel.

Was hier eins wird, ist die Fläche. Diese Fläche hier, also das Integral, dieses Integral wird eins werden. Wir können mal vorsichtig gucken, ob das auch innehaut. Das ist ja netterweise einfach ein Dreieck. Sie sehen, wenn Sie die Fläche dieses Dreiecks ausrechnen, sie ist 10 breit, sie ist ein Fünftel hoch,

und die Dreiecksfläche ist die Hälfte von der Rechtecksfläche, also mal ein halb, sehen Sie in der Tat, das ist eins. Das muss so sein. Wenn Sie über Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte integrieren, müssen Sie eins rauskriegen. Von der Anschauung auch klar.

Ich integriere die Wahrscheinlichkeitsdichte von 4 bis 6 und kriege heraus, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, zwischen 4 und 6 zu liegen. Wenn Sie über die Wahrscheinlichkeitsdichte von 0 bis 10 integrieren, dann muss ja die Wahrscheinlichkeit sein, zwischen 0 und 10 zu liegen.

Aber wir liegen immer zwischen 0 und 10, das ist das sichere Ereignis. Das muss eins sein. Also ohne dass ich jetzt tatsächlich dieses Integral ausgerechnet habe, ist schon klar, es muss eins rauskommen. Also bei der Wahrscheinlichkeitsdichte haben Sie ein Integral, das dann eins wird, nicht mehr die Summe.

Also bei den Histogrammen vorher, bei den diskreten Zufallsgrößen summiere ich alle Wahrscheinlichkeiten, eins der Wahrscheinlichkeiten und kriege eins raus. Hier integriere ich die Wahrscheinlichkeitsdichte und kriege eins raus. Das führt zu überraschenden Effekten.

Wenn Sie hohe Peaks haben, dürfen die Peaks über eins liegen. Da wundert man sich manchmal. Also es kann passieren, dass Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte so aussieht und dass dieser Wert hier deutlich über eins liegt.

Sagen wir 100. Das kann passieren, dass der bis 100 rauffragt. Bei dem Histogramm kann das niemals passieren, dass da was bis 100 rauffragt. Der plus der plus der plus der plus der, das muss alles eins ergeben, dann kann keiner über eins liegen.

Man kann die Summe nämlich nicht eins ergeben, wenn einer von denen hier über eins liegt. Bei der Wahrscheinlichkeitsdichte kann das passieren, das führt öfters zu Verwirrungen. Bei der Wahrscheinlichkeitsdichte muss ja nur die Gesamtfläche eins sein.

Diese Gesamtfläche muss eins sein, das kann aber sein. Die Gesamtfläche ist eins und trotzdem geht der bis 100 rauf. Was für Abmessungen bräuchten Sie hier, damit das passieren kann? Das kann passieren. Schauen Sie sich vor, dieses hier ist nur einhundertste breit.

Dieser Wert und der Wert liegen dicht beieinander und das ist nur einhundertstel breit. Dann kann das ja locker passieren. Dann ist dieses hier die Fläche eins und wenn Sie die ein bisschen umverteilen, haut das hin. Bei Wahrscheinlichkeitsdichten kann es passieren, dass der Wert über eins liegt. Er kann nicht unter null liegen, aber er kann über eins liegen.

Wenn denn das Ganze extrem konzentriert ist, wenn insbesondere hier die Werte auf der X-Achse liegt, dann können Sie den Effekt haben. Davon nicht irritieren lassen. Diese Wahrscheinlichkeitsdichten haben eine Einheit. Das habe ich jetzt nicht die ganze Zeit mitgeschleppt, um es nicht noch schlimmer zu machen.

Wenn X die Einheit Meter hat, muss dieses Ding die Einheit eins durch Meter haben. Diese Wahrscheinlichkeitsdichte muss die Einheit Wahrscheinlichkeit pro Meter haben.

Wie kann man das jetzt allein schon aus dieser Skizze begründen, dass das eins durch Meter sein muss? Genau. Die müssen sich kürzen. Diese Einheit und diese Einheit müssen sich kürzen. Ich will ja integrieren und dann eine nackte Zahl, eine einheitslose Zahl, eine Wahrscheinlichkeit haben.

Insbesondere soll das gesamte Integral eins sein. Wenn ich über alle X integriere, soll das Integral eins sein. Einheitslos. B von X mal dX, das gesamte Integral, sogar wenn Sie wollen von Minus unendlich bis Plus unendlich, um ganz sicher zu gehen, dass ich da alle nehme. Dieses gesamte Integral soll eins sein, einheitslos, die Wahrscheinlichkeit eins.

Wenn das Ding hier die Einheit Meter hat, muss die Wahrscheinlichkeitsdichte die Einheit eins durch Meter haben. Es ist nicht einheitslos. Und natürlich, nachher in der Physik sehen Sie sowas wie Wellenlängen, Wahrscheinlichkeitsdichten.

Für Wellenlängen, wie wahrscheinlich ist es in dem Intervall von 700 Nanometer bis 701 Nanometer zu liegen? Dann haben Sie hier eben eins durch Nanometer zum Beispiel als Einheit für die Wahrscheinlichkeitsdichte bei den Wellenlängen. Oder wenn es um Energien geht, dass ich hier mit Joule arbeite, dann hat die Dichte dann die Einheit eins durch Joule.

Es muss zum Schluss etwas Einheitsloses rauskommen. Dieser Begriff stetig bezieht sich ganz streng darauf, dass ich meine Wahrscheinlichkeit zwischen zwei beliebigen Werten als Integral schreiben kann,

mit immer derselben Funktion. Das heißt an dieser Stelle stetig. Das heißt nicht, dass diese Funktion da drinnen stetig sein muss. Ganz im Gegenteil, die Funktion da drinnen darf auch Sprünge haben. Sie können zum Beispiel haben, dass ein paar Werte eher selten sind.

Dieser Bereich eher selten ist, dieser Bereich eher häufig ist, dieser Bereich mittel häufig ist. Das wäre erlaubt. Ich sollte den nicht durchziehen. Das wäre erlaubt als Wahrscheinlichkeitsdichte. Das ist unstetig, ist aber als Wahrscheinlichkeitsdichte erlaubt.

Und die Zufallsgröße, die Sie dann damit bauen, heißt dann absurderweise stetig, weil sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte hat. Das wäre okay. Wichtig ist, dass man diese Funktion integrieren kann und dass die Fläche darunter eins ist. Dann sind wir im Spiel. Und sie darf natürlich nicht negativ sein.