Kommen wir mal ganz down to earth zu den komplexen Zahlen. Wenn Sie dieses rechnen, 2 plus 3 mal i mal 4 minus 5 mal i, dann sollte das inzwischen funktionieren. Was kommt da raus?

Dann nehmen Sie mal das Ergebnis und teilen das durch 2 plus 3 mal i und kriegen hoffentlich wieder 4 minus 5 mal i raus. Gerade mal als Fingerübung mit den komplexen Zahlen, ob das wirklich hinhaut. Also einmal den ausrechnen, dieses Produkt ausrechnen, was kommt raus?

Das Ergebnis hier mal einsetzen, das ausrechnen und wenn Sie das durch 2 plus 3 mal i teilen, sollten natürlich wieder 4 minus 5 mal i rauskommen. Da möchte ich mich gerade überzeugen, dass das bei allen funktioniert. Also dieses i ist völlig harmlos. Rechnen Sie als ob hier eine Einheitsstunde, 2 Kilometer plus 3 Meilen, 4 Kilometer plus 3 Meilen, nur ich kann es nicht zusammenfassen.

Vielleicht wäre eine bessere Erklärung zu sagen, rechnen Sie als ob hier Stunde 2 Äpfel plus 3 Birnen, mal 4 Äpfel minus 4 Birnen. Das ist es eher. Sie können das i nicht mit dem normalen zusammenfassen. Und jetzt wirklich einfach eins nach dem anderen durchgehen. 2 mal 4 sind 8.

2 mal minus 5i sind minus 10i. 3i mal 4 sind plus 12i. Der spannende Teil ist hier, das war eben etwas schiefgegangen hier und da. Wie zu erwarten ist auch nicht ganz leicht. 3i mal minus 5i.

3 mal minus 5 sind minus 15. i mal i ist i². Ich lasse das erstmal stehen, minus 15i². Und da kommt jetzt eben der Witz, dass i² gleich minus 1 ist. Und dann habe ich zusammen 8 minus 15 mal minus 1.

Also 8 plus 15, minus 15 mal minus 1. 8 plus 15, minus 10i plus 12i. Da sind es insgesamt, minus 10 plus 12 sind plus 2i. Und dann bin ich hier bei 23 plus 2i.

So geht das. Ich erzähle aber hier gerade mal in den üblichen Programmen. 2 plus 3i mal 4 minus 5i. 2 plus 3i mal 4 minus 5i. In der Form. Sie können in MATLAB dieses 3i direkt hintereinander schreiben.

Das ist sogar sinnvoll, das zu tun. Das ist ein bisschen schneller. Sie müssen nicht 3 mal i schreiben. Sie können direkt 3i schreiben. Sie können auch 3j schreiben, übrigens. 23 plus 2i. Das sieht doch schon mal gut aus. Und dasselbe in Wolfram Alpha. Ich bin faul und kopiere das. Dasselbe in Wolfram Alpha.

In Wolfram Alpha natürlich auch ohne Malzeichen. Ich denke vielleicht sogar hier ohne Malzeichen. Okay. Er nimmt an, i ist die imaginäre Einheit. Und keine Variable. Das hatte ich in den Einführungswochen schon mal gezeigt.

Wolfram Alpha ist ziemlich intelligent und manchmal etwas zu intelligent. Er hält irgendwelche Einheiten für Variablen oder Variablen. Für was weiß ich. Vorsicht. Hier ist es richtig verstanden. i als imaginäre Einheit und nicht als Variable. Was Sie nachher auflösen wollen. i ist gleich so und so viel. So, und raus kommt 23 plus 2i. Wie es das gehört.

Und er zeigt es auch ganz nett hier in den Gaussian-Koordinaten hier an. Er zeigt es auch ganz nett in der Gaussian-Ebene hier an. Und Sie erfahren überhaupt noch, was der Entfernung vom Ursprung ist. 23, irgendwas. Und Sie erfahren auch noch den Winkel. 4,9, irgendwas. Also knapp 5 Grad ist dieser Winkel hier.

So, das war das Multiplizieren. Ziemlich harmlos. Sie merken sich, das Quadrat von i ist minus 1. Und der Rest geht von selbst. Das Teilen. Auch ziemlich harmlos. Man muss noch wissen, womit man erweitert. Ich möchte dieses 23 plus 2i durch 2 plus 3i teilen. Der Trick ist mit dem, wie es so schön heißt, komplex konjugierten zu erweitern.

Sie nehmen alles, was i hat und ändern dessen Vorzeichen. Das ist komplex konjugiert. 2 minus 3 mal i. 2 minus 3 mal i. 23 plus 2i. Und 2 plus 3 mal i.

Das ist dasselbe, was davor stand. Weil das jetzt 1 ist. Nur fällt jetzt der, wie soll ich das sagen? Der Nenner fällt in sich zusammen. Mit der dritten binomischen Formel. a plus b mal a minus b.

Dritte binomische Formel macht a Quadrat minus b Quadrat. a Quadrat minus b Quadrat. Sie können es auch zu Fuß ausspazieren. Sie können es selber. Aber ich finde es leichter mit der dritten binomischen Formel. Also was habe ich? 2 Quadrat. Und jetzt kommt minus b Quadrat.

Ohje, b Quadrat. Was ist b in diesem Spiel? Mal vorsichtig sein. b ist nicht nur die nackte Zahl 3. b ist 3i. Minus 3i plus 3i. b ist 3i. Jetzt muss ich ja 3i Quadrat haben. 3i Quadrat. 3i Quadrat, das ist 3 Quadrat mal i Quadrat.

3 Quadrat ist 9. i Quadrat ist minus. Hier steht also minus minus 9. Aha, minus minus. Das ist einfach plus. Man kann sich zum Schluss merken, wenn man das Verfahren verstanden hat, kann man sich zum Schluss merken, hier unten steht einfach 2 Quadrat plus 3 Quadrat.

Durch die dritte binomische Formel den ersten nehmen. Das ist der Realteil. Quadrille. Den zweiten nehmen. Den Imaginärteil quadrieren. Das wird unten automatisch stehen. Wenn Sie hier ein Minus dazwischen haben, ist irgendwas schief gelaufen. Oben muss man leider zu Fuß rechnen. 23 mal 2 sind 46.

23 mal minus 3i sind minus 69i. 2i mal 2 plus 4i. Und hier kriegen wir nochmal was Übliches. 2i mal minus 3i. Also auf jeden Fall i Quadrat.

2 mal minus 3 sind minus 6. Minus 6i Quadrat steht das. Und dann haben wir. Unten steht 4 plus 9 sind 13. An dieser Stelle muss unten eine reelle Zahl stehen. Nichts mehr mit i, sonst ist was schief gelaufen. Der Sinn dieser Übung ist, dass unten eine reelle Zahl steht.

Sonst haben wir ein Problem. So was haben wir jetzt hier. 46 plus 6i Quadrat ist minus 1. Minus 6 plus 6. 46 plus 6 sind 52. 52 durch 13. Und hier haben wir minus 69 plus 4 sind minus 65.

Ich bin gespannt. Minus 65i. Nehmen Sie den Bruch auseinander. Das sind 52. 13 minus 65.

13i. Vorsichtig überlegen. 4 mal 13. 40 und 12. Ja, das hier vorne ist 4. Und das hier hinten sind nochmal 13 mehr. Wunderbar. Das sind nochmal 13 mehr. Das sind also 5. Uff, was rauskommen muss. Führe ich jetzt nicht mit MATLAB und Perform Alpha vor.

Klar, wie das geht. Mitgeteilt statt mit mal. Wenn ich erst 4 minus 5i mal 2 plus 3i nehme und dann dadurch teile, müssen natürlich wieder 4 minus 5i rauskommen. Netterweise ist die Welt in Ordnung. Es kommt auch 4 minus 5i raus.

Das sind die Multiplikation und die Division von komplexen Zahlen. Und man sieht dabei, es kommen wieder komplexe Zahlen raus. Sie gehen mit Zahlen von dieser Art a plus b mal i rein und kriegen wieder Zahlen von der Art a plus b mal i raus. Beim Multiplizieren wie auch beim Dividieren.