Die Normalverteilung entsteht laut zentralem Grenzwertsatz. Wenn Sie sehr viele kleine Störungen haben, ein Messwert, eine Zufallsgröße, in der sehr viele kleine Störungen zusammengemischt sind, additiv zusammengemischt sind,

dann haben Sie automatisch so etwas wie die Normalverteilung. Je mehr Störungen es sind, je kleiner sie sind, dann anteile ich das so. Genauer wird diese Näherung, es gibt technische Randbedingungen, die Störungen müssen unabhängig voneinander sein, sie müssen eine endliche Varianz haben usw. Aber im Endeffekt ist das so die anschauliche Vorstellung von der Normalverteilung.

Ein Messwert, was passiert mit einem Messwert, wenn ich ganz viele kleine Störungen habe, der wird normal verteilt sein. Die Normalverteilung hat zwei Größen, die sie bestimmen. Es gibt nicht eine Normalverteilung, sondern es gibt eine Familien-Normalverteilung.

Sie geben den Erwartungswert an, das heißt dann µ, das ist das Zentrum dieser Glocke. Natürlich auch automatisch dann der Erwartungswert von der Zufallsgröße dahinter, die diese Wahrscheinlichkeitsdichte hier hat. Und Sie geben die Breite an dieser Glocke, das ist die Standardabweichung.

Hier ist dann die Wahrscheinlichkeitsdichte P von x mit e hoch x², mit e hoch minus x² geeignet verziert, das ganze µ nach rechts verschoben, mit sigma in die Breite skaliert und passend in die Höhe skaliert usw. hat nur Dienstag.

Das will ich jetzt nochmal in OpenOffice zeigen, wie das dann tatsächlich exakt aussieht und was man damit plötzlich rechnen kann. Zum Beispiel, wenn ich meine x-Werte nehme, sagen wir von minus 1, minus 0,9, minus 0,8 usw.

Dann gehen wir bis da, bis zu 6 rauf. Gibt es eingebaut Normwert, Normalverteilung Normwert,

und wenn Sie hier unter Statistik gucken, Normwert, da ist sie. So, was geben Sie an? Sie geben an, was der x-Wert ist, von dem Sie die Normalverteilung haben wollen.

Sie geben den Mittelwert µ an, eigentlich den Erwartungswert, streng genommen, und Sie geben die Standardabweichung an. Und diese letzte Größe hier ist ganz lustig, Sie können umschalten, ob Sie die Dichte haben oder ob Sie die kumulierte Normalverteilung haben wollen, sehen wir gleich, was das ist.

Also hier kommt Normwert, Normalverteilung, der x-Wert, für den ich das wissen will, der Erwartungswert, ich sage jetzt einfach mal ganz dreist 3, also meine Zufallgröße soll im Mittel gleich 3 sein,

dann kommt die Standardabweichung, ich sage jetzt einfach mal 1, soll die Standardabweichung sein, dann kann man gleich leichter ablesen, was denn so die Normalverteilung allgemein tut. Und jetzt sagen wir mal für die letzte ominöse Größe hier mal 0, und ich mache sofort eine zweite Spalte hier auf, da steht dasselbe drin,

natürlich hier das x-Wert muss dann b5 sein, und hinten eine 1. Also der vierte Parameter hier kann 0 oder 1 sein, je nachdem kriegen Sie die Dichte oder die Verteilungsfunktion. Wir sehen gleich was das bedeutet, Dichte oder Verteilungsfunktion.

Ich sollte vielleicht mal ein paar Stellen spendieren hier, vielleicht für alle, und ein paar Nachkommastellen, und das Ganze mal plotten,

dann kriegen wir eine bessere Idee was das bedeutet, einfügen Diagramm, natürlich x, y, ich gebe ja die x-Werte vor und die y-Werte vor, und das Ganze verbinden wir einfach mit Linien,

das so fein aufgelöst sind, dürfen wir da mit Linien verbinden. Das ist was Sie in OpenOffice und genauso Excel auf Knopfdruck liefern, Sie erkennen die blaue Kurve wieder, das ist die Normalverteilung, wie wir sie kennen und lieben, und das Orange ist das Integral der Normalverteilung von Minus und Endlich,

das ist eine übliche Vorgehensweise bei Zufallsgrößen, dass man sie integriert von Minus und Endlich bis zu einem Wert, bei dem man dann das Integral tatsächlich aufflöst, hier zum Beispiel bei 3. Wenn Sie die Normalverteilung integrieren von Minus und Endlich bis 3,

sehen Sie das Integral ist ein Halb, denn die Hälfte der Werte liegt bis zum Wert 3. Wenn Sie die Normalverteilung, die blaue Kurve, integrieren bis zum Wert 4,

bei irgendwo bei knapp vor 0,9, das heißt die Wahrscheinlichkeit, bei dieser blauen Wahrscheinlichkeitsdichte, die Wahrscheinlichkeit, einen Wert bis 4 zu haben, 4 oder kleiner zu haben, ist irgendwas bei 0,9, ein Wert bis 5 oder kleiner zu haben, 0,95 oder was ähnliches,

können wir uns gleich genauer angucken, das ist diese rote Kurve, die Verteilungsfunktion, die kumulierte Verteilung des Ganzen, sie summieren quasi auf, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Wert bis dahin zu haben, und je größer Sie das X wählen,

desto mehr nähert sich das natürlich der Zahl 1. Wenn meine Zufallsgröße im Mittel gleich 3 ist und diese Breite hat, dann ist sie mit sehr, sehr großer Wahrscheinlichkeit kleiner gleich 7. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie kleiner gleich 7 ist, ist praktisch 1.

Deshalb nähert sich diese orange Kurve gleich der 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass meine Zufallsgröße, sehen Sie hier, kleiner ist als minus 1, die ist praktisch 0. Normalverteilung mit Mittel 3 und Standardabweichung 1. Die Chance, dass Sie da einen Wert rauskriegen, bis minus 1,

links von minus 1 oder gleich minus 1, die ist praktisch 0. Das sagt uns die orange Kurve, die können wir gleich noch ein bisschen in Aktion sehen. Ich fände erst noch mal zu der Normalverteilungskurve als solche. Erstmal sehen Sie, dass sie nicht bis 1 geht.

Warum geht die Normalverteilungskurve nicht bis 1? Die Fläche unter der blauen Kurve muss 1 sein. Wenn Sie sich das angucken, 2, 3, 4, mal 0,2, 2 breit, 0,2 hoch,

dann ist diese Fläche, die hier in diesem Rechteck sitzt, schon 0,4. Und der Rest, 0,6, warum nicht, kann ungefähr hinkommen. Also nicht wundern, dass die Normalverteilung hier oben nicht bei 1 ausläuft. Die Fläche muss gleich 1 sein, die Fläche darunter. Nicht der oberste Punkt muss bei 1 sitzen. Je breiter die Kurve wird, desto niedriger wird dieser Punkt da oben sitzen,

damit weiterhin die Fläche gleich 1 sein kann. Anders bei dem Integral hier. Das Integral muss zum Schluss bis 1 rauslaufen. Das hier ist die Wahrscheinlichkeit, dass meine Zufallsgröße kleiner als 6 ist. Die ist praktisch gleich 1. Das hier oben muss bei 1 rauslaufen.

Was Sie daran lernen, ist auch, dass man eigentlich diese beiden Kurven nicht in ein Diagramm malen sollte. Die orange Kurve ist einheitslos. Das ist eine Wahrscheinlichkeit, das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte. Die läuft hier wirklich bei der Zahl 1, die nackte Zahl 1, bei der läuft die hier oben aus.

Die blaue Kurve ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Deren Einheit ist 1 durch die Einheit meiner x-Achse. Wenn ich hier unten 1 Meter habe, muss die Einheit der y-Achse für die blaue Kurve 1 durch Meter sein, damit die Fläche einheitslos sein kann. Also ich sollte die eigentlich beide nicht in ein Diagramm reinzeichnen. Das habe ich jetzt gemacht, dass man es zumindest irgendwie vergleichen kann.

Die orange Kurve als Integral der blauen Kurve, bei Minus und Endlich angefangen. Wir können jetzt zum Beispiel auf der orange Kurve ablesen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, eine Standardabweichung tiefer zu sein als der Mittelwert.

Der Mittelwert ist bei 3, Erwartungswert, Mittelwert, Mu, ist bei 3. Bei 2 bin ich eine Standardabweichung unten, ich habe ja gesagt Standardabweichung 1. Bei 2 bin ich eine Standardabweichung nach unten gegangen, Mu minus Sigma.

Und jetzt können wir hier ablesen, okay, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich einen Wert kriege, der kleiner gleich Mu minus Sigma ist. Sie sehen, da liegen wir hier bei 0,15 oder ähnlich. Wir können es aber in der Tabelle nachgucken, mit der orange Kurve.

Ich möchte wissen, wenn ich hier bei 2, na, da bin ich bei 2. So, die orange Kurve sagt mir, die Wahrscheinlichkeit bei dieser Normalverteilung einen Wert kleiner gleich 2 zu kriegen, ist 15,9%.

Wenn Sie die Normalverteilung aufmalen, heißt das, hier ist Sigma, nicht hier 1 Sigma runter, Mu minus Sigma, dann heißt das, diese Fläche hier, diese Fläche hier, sind ungefähr 16%. Können Sie jetzt auf der orange Kurve ablesen.

Ich gehe nochmal dahin. 3 war der Erwartungswert und Mittelwert gleichzeitig. Die Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis zu haben bis zu dem Mittelwert, ist ein halb. In der Hefte liegen Sie drunter, in der Hefte liegen Sie drüber. Mit der Wahrscheinlichkeit 0 liegen Sie genau drauf, deshalb hier ein halb.

Ein Messwert bis zu 3 zu haben. Wenn ich eine Standardabweichung nach unten gehe, die war 1, die Standardabweichung sehen Sie hier, okay, dann liegen da nur noch ungefähr 16% drunter. Dieser Teil der Kurve hier sind nur noch 16%.

Dasselbe geht natürlich nach oben. Die ist ja symmetrisch. Wenn Sie hier gucken bei Mu plus Sigma, eine Standardabweichung nach oben, dann sehen Sie, das muss natürlich aus Symmetriegrund auch 16% sein. Zusammen sind wir bei etwa 32%, das heißt insgesamt hier in der Mitte müssten wir 68% haben.

Dieser Teil hier in der Mitte müssten 68% sein, damit wir 16% links und 16% rechts haben können. Also bei der Normalverteilung ist die Wahrscheinlichkeit in diesem Bereich zu liegen, der Erwartungswert minus Standardabweichung, Erwartungswert plus Standardabweichung 68%.

Wenn Sie also so einen Messwert angegeben haben von wegen 3 Meter plus minus 1 Meter, das wäre jetzt ja die Angabe für meine Kurve eben, ich habe ja gesagt Erwartungswert 3 und Standardabweichung 1, wenn Sie den angegeben haben, heißt das, 68% der Messungen liegen zwischen,

ich schreibe von, dann ist es kürzer, liegen von 2 bis 4 Meter. 2 wäre Mittelwert minus Standardabweichung, 4 wäre Mittelwert plus Standardabweichung.

Sie können mit der orangenen Kurve einfach dann ablesen, ok, drunter liegen 16%, symmetrisch müssen natürlich oben dann auch 16% liegen, bleiben in der Mitte 68%. Ich komme auf die 68%, weil links 16% verloren gehen, rechts 16% verloren gehen,

es gehen also 32% in der roten Fläche verloren. Insgesamt muss die Wahrscheinlichkeit 1 sein, bleiben 100% minus 32%, sind die 68%, ungefähr 68%, das wird kein Mensch genau wissen, ungefähr 68% bleiben da in der Mitte. Das können Sie natürlich für andere Abweichungen auch machen, das will ich jetzt nicht vorführen, es ist klar wie das geht, Sie gucken sich nicht µ minus Sigma an, Sie gucken sich µ minus 2 Sigma an.

Die Fläche wird natürlich schon bedeutend kleiner, die da links und rechts fehlt, und dann können Sie sagen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zwischen µ minus 2 Sigma und µ plus 2 Sigma zu liegen. Das hatte ich ja auch in den alten Videos vorgeführt, ich glaube mit ±3 Sigma hatte ich das vorgeführt,

das ist der Sigma-Bereich, der ja gerne in der Literatur vorkommt. Nun kann man aber auch die Frage anders stellen, wenn ich das jetzt alles weiß über meine Verteilung. Ich kenne den Mittelwert, ich kenne die Standardabweichung, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen Wert zu kriegen von 4,5?

Wenn ich das nochmal aufmale, das Mittel bei 3 und die Standardabweichung von 1. Wie groß ist denn jetzt die Wahrscheinlichkeit einen Wert zu kriegen, der so schlimm ist wie 4,5?

Die Wahrscheinlichkeit genau diesen Wert 4,5 zu kriegen, die ist ja Null. Damit kann ich nicht viel anfangen, ich hätte gerne ein Maß dafür, dass ich sagen kann, so eine Abweichung ist plausibel, glaube ich, oder ein Maß, das mir dann eben erlaubt zu sagen,

4,5 für diese Zufallsgröße kann auf keinen Fall sein, wäre höchst komisch, wäre so gut wie ein Lotto-Gewinn. Sie können nicht direkt die Wahrscheinlichkeit nehmen, dass 4,5 rauskommt, denn die Wahrscheinlichkeit, dass 4,5 rauskommt, die ist Null. Die Wahrscheinlichkeit, dass 3 rauskommt, die ist Null. Die Wahrscheinlichkeit, dass 2 rauskommt, ist Null.

Jeder exakte Wert hat die Wahrscheinlichkeit Null. Ich kann immer nur die Wahrscheinlichkeiten für Intervalle angeben, die sind sinnvoll. Wie kann ich mich hier rauslügen, wenn ich sagen will, wie schlecht so ein Messergebnis 4,5 ist? Wie wahrscheinlich ist so ein Messergebnis 4,5?

Wenn der Mittelwert 3 sein sollte. Also um zu sagen, wie schlecht dieser Messwert oder wie gut dieser Messwert 4,5 ist, mit einer Wahrscheinlichkeit kann ich mir nicht den allein angucken. Der Trick ist, ich gucke mir alle an, die schlimmer sind. 4,5 und alle da drüber, die sind ja noch schlimmer.

Und auf der anderen Seite, ich bin 1,5 nach oben gegangen, ich gehe 1,5 nach unten. Dieser Messwert bei 1,5, der ist genauso schlimm wie 4,5. 1,5 nach oben, 1,5 nach unten. Und alle da drunter sind noch schlimmer. Was ich angebe, ist diese Fläche, die Wahrscheinlichkeit mindestens 1,5 daneben zu liegen.

Das gibt man an, um zu sagen, wie gut oder schlecht so ein Messwert ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen schlimmeren, in Anführungszeichen, einen schlimmeren Messwert zu haben? Sie sehen, wenn Sie einen Messwert von 3,001 haben und gucken sich diese beiden Flächen an.

Von 3,001 bis ins Unendliche und von 2,99 bis ins Minus Unendliche. Wie groß wird die Summe dieser beiden Flächen werden? Yup, 99,9%. Das ist ja fast die gesamte Fläche unter der Kurve. Wenn Sie hier bis 2,99 gehen von links und dann bei 3,01 wieder anfangen, haben Sie praktisch die ganze Fläche unter der Kurve, praktisch 100%.

Ein Messwert von 3,01 ist höchst plausibel, den würde ich glauben. Dann habe ich hier eine Wahrscheinlichkeit von fast 100%, dass mein Messwert schlechter sein müsste.

So beim Messwert von 4,5 ist das nicht mehr ganz so klar. Ich möchte diese blaue Fläche berechnen und dann habe ich hier das Doppelte. Sie sehen, was Sie angucken müssen. Das Integral bis 1,5 und das mal 2. Das ist die Fläche, die außerhalb liegt.

Die haben wir jetzt schon mit der roten Kurve. Ich gehe bis 1,5 und dann kann ich hier auf der Orangen Kurve ablesen. Wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, einen Wert bis 1,5 zu haben? Das ist die linke Seite hier und das mal 2 gibt mir dann alles.

Also ich gucke nach auf der Orangen Kurve, was da bei 1,5 steht. Knapp 7%. Dieses hier sind bei 1,5 knapp 7%. Das sagt mir, dass diese Fläche hier 7% ausmacht.

Dann muss natürlich auch diese Fläche hier 7% ausmachen. Und ich kann sagen, wie gut mein Wert 4,5 ist. In 14% der Fälle kriege ich einen Messwert, der 4,5 ist oder schlechter.

Ein Messwert soll ich sagen, der so schlecht ist wie 4,5 oder noch schlechter. Der mindestens so schlecht wird wie 4,5. Und da müssen Sie sich eben selbst entscheiden. 14% ist das plausibel, ist das unplausibel? Typischerweise setzt man so eine Grenze bei 5%. Wenn ich jenseits dieser 5% Grenze bin in einem von 20 Fällen,

dann sollte ich vielleicht auch nochmal wirklich ganz doll nachgucken. Hier die 14%, die würde man schon mal erlauben. Dass ich einen Messwert habe, der so schlecht ist, dass er nur in 14% der Fälle vorkommt. Das ist ein Trick, um jetzt Wahrscheinlichkeiten für einzelne Zahlen zusammenzulügen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass 4,5 rauskommt, ist 0. Aber ich kann sagen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert rauskommt, der so schlecht ist wie 4,5 oder schlechter. Mit diesem Integral. Ich integriere einfach hier bis zu 1,5. Das mal 2. Sie können natürlich auch hier oben integrieren,

aber das kommt ja nicht direkt raus aus der Funktion. Die Funktion, die in OpenOffice liefert, integriert von links durch. Das ist am leichtesten diese Fläche links zu nehmen und sie zu verdoppeln. Also von dieser Normalverteilungsfunktion gibt es zwei Varianten. Die mit 0 hinten, das ist die Dichte, die mit 1 hinten ist das Integral.

Die Verteilungsfunktion. Man kann aber auch zurückrechnen, dass man direkt von den Prozentszahlen schließt auf die Xe. Das ist Norm Inf. Also das wären jetzt meine Prozentszahlen.

Ich gebe ein 0 und vielleicht noch in kleinen Schritten. 0,1% Ich würde lieber noch in kleineren Schritten. 0,01% und dann jetzt ziemlich grob dadurch 10%, 50%, 90%, 99% und 999.

Warum steht da oben 0? Habe ich damit 0 angefangen? Das wollte ich gar nicht. Ich wollte mit 1 Promille anfangen. 0,001. So, das sollen meine Wahrscheinlichkeiten sein. 1 Promille, 1%, 10%, 1,5, 1 minus, 10%, 1 minus, 1%, 1 minus 1 Promille.

Jetzt kann ich umgekehrt abfragen, welche X-Werte denn dazugehören. Das ist Norm Inf.

Da geben sie wieder den X-Wert an. Wovon will ich denn jetzt, in diesem Fall ist der X-Wert die Prozentszahl. Von welcher Prozentszahl, von welcher Wahrscheinlichkeit will ich den X-Wert wissen? Und ich brauche den Mittelwert 3 und ich brauche die Standardabweichung, die war 1.

So, jetzt sagt ihr mir zu den Prozentszahlen den X-Wert bis zu einem X-Wert von minus 0, ungefähr 1. Bis zu einem X-Wert von minus 0,1 etwa ist eine Wahrscheinlichkeit von 1 Promille.

Die X-Werte, die jetzt rauskommen, liegen unter minus 0,09 von mir aus mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 Promille. Sie liegen unter 0,67 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1%. Sie liegen unter 1,7 mit einer Wahrscheinlichkeit von 10%. Sie liegen unter 3, das war der Mittelwert, mit einer Wahrscheinlichkeit von 1,5 und so weiter.

Um das mal zu plotten, wir sehen XY in der Richtung zu plotten, sieht komisch aus. Ich mache mal folgende Trick, ich setze die Ergebnisspalte nach links. Die Spalte in der Mitte war meine Eingabe, ich setze jetzt mal trotzdem die Ergebnisse nach links, damit es vernünftig plotten kann. Das sind X-Werte, das hier sind Wahrscheinlichkeiten und plotte das falsch rum.

XY und vielleicht Verbindung mit Punkten, ja, so sieht das dann aus. Sie erkennen hoffentlich diese Verteilungsfunktion wieder. Das ist die Kurve, die eben orange war.

Vielleicht gehe ich nochmal rauf. Diese orange Kurve jetzt wird gerade blau. Und die ist andersherum gerechnet. Ich habe gefragt, für eine Wahrscheinlichkeit von 1 Promille, was muss der X-Wert sein? Hier minus 0,09, das ist jetzt der X-Wert dazu.

Bis dahin steckt unter der Kurve 1 Promille drunter. Für eine Wahrscheinlichkeit von 1%, was muss der X-Wert sein? Das sagt Norm Inf. Was muss der X-Wert sein für 1%? Das ist der X-Wert, 0,67. Bis dahin steckt unter der Normalverteilung 1%, bis 1,72.

Hier steckt unter der Normalverteilung 10%. 50% stecken bis zur 3 drunter, das war ja der Mittelwert und so geht das dann weiter. 90% stecken bis zur 4,2 drunter und so weiter. Also wenn Sie die Prozentzahlen vorgeben wollen, wenn Sie genaue Schranken haben wollen,

wenn Sie sagen, ich möchte sicher sein, dass 10% links, 10% rechts höchstens verloren gehen, können Sie rückwärts rechnen und wissen, okay, die linke Grenze muss also bei 0,67 liegen, die rechte Grenze symmetrischt dazu. Theoretisch wird diese Wahrscheinlichkeit niemals 0.

Wenn Sie hier die Dichte angucken, hat dann schon sehr viele Nullen, die Dichte. Ich gebe vielleicht nochmal ein paar mehr Nullen. Diese Dichte entschwindet ziemlich schnell gegen 0. Sie wird niemals ganz 0. Also theoretisch können Sie tatsächlich hier auch einen Wert von minus 42 rauskriegen.

Die Wahrscheinlichkeit wäre aber dermaßen winzig, dass sich das nicht lohnt. Das sollte ich überhaupt mal vorführen, was dann passiert. Aber hier gerade nochmal dazu, die grundlegende Figur ist ja etwas wie e hoch minus x². Sie wissen schon, wenn Sie e hoch x angucken für negative Zahlen, wird das sehr, sehr klein,

niemals kleiner als 0, aber auch niemals gleich 0, sehr kleine Zahlen dicht bei 0. Minus x² macht das Ganze ja noch schlimmer. Wenn hier x gleich 1000 ist, steht hier e hoch minus eine Million. Das ist wirklich klein.

Die beiden Tails hier links und rechts, die Schwänze dieser Normalverteilung, die drücken sich extrem dicht auf die x-Achse. Aber rein theoretisch können Sie tatsächlich auch minus 42 rauskriegen. Sie müssten nur häufig genug der Experiment durchführen. Welche x-Werte kommen mit dieser Wahrscheinlichkeit raus?

Okay, Sie sehen, wow, das sind schon extrem viele Nullen. Und Sie sind nur bis minus 3,7 gegangen. Nehmen wir ein paar mehr Nullen. Diese Wahrscheinlichkeit hier, das ist also deutlich schlechter als Lotto, wahrscheinlich zweimal Lotto hintereinander zu gewinnen von der Wahrscheinlichkeit her,

die haben Sie bei minus 4,65. Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie hier bei minus 4,65 oder drunter liegen, ist kleiner als zweimal hintereinander im Lotto zu gewinnen. Sie kriegen hier kaum nennenswerte Zahlen raus,

denn wenn ich das jetzt so ein bisschen weitertreibe, oh je, das kann ja alles nicht wahr sein, sie kommen echt nicht zu Potte hier, wegen des Quadrats, was da in der Exponentialfunktion steht. Eine Wahrscheinlichkeit von 10 hoch minus 30. Winzig, winzig, winzig, winzig. 0,29 Null und dann hinten eine 1.

Das als Wahrscheinlichkeit, das haben Sie, wenn Sie gucken, dass Sie Zahlen haben wollen von minus 8,4 oder kleiner. Das ist ja fast hier noch zu sehen. Minus 8,4 oder kleiner ist eine super, super kleine Wahrscheinlichkeit. Also diese Kurven drücken sich extrem dicht auf die x-Achse.

Die Wahrscheinlichkeit ist nicht Null, aber die ist praktisch Null. Es bleibt nicht viel übrig dann. Im realen Leben haben Sie ja sowieso irgendwelche Grenzen für Ihre Messwerte. Wenn das hier eine Länge ist, würden Sie glaube ich nicht erwarten, dass wenn Sie einen Mittelwert von 3 Metern haben, dass Sie dann irgendwie 100 Milliarden Kilometer rauskriegen können.

So ein langes Lineal haben Sie gar nicht, dass Sie 100 Milliarden Kilometer rauskriegen können. Rein theoretisch, die Normalverteilung könnte das tatsächlich als Ergebnis bringen, wenn Sie nur häufig genug messen.