mal das Volumen eines Rotationskörpers, und zwar ein Torus, ein Reifen, also ein richtiger, dicker, aufgepumpter Reifen, ein Torus.

Ich möchte, dass der hier im Querschnitt den Radius R2 hat, vielleicht soll ich mal den Querschnitt ordentlich anmalen. Im Querschnitt soll der den Radius R2 haben, und insgesamt soll er den Radius R1 haben.

Also zur Mittellinie hier, so, zur Mittellinie soll der Radius R1 sein, und aus der Mittellinie raus soll der Radius R2 sein. Was hat der für ein Volumen?

Das ist offensichtlich ein Rotationskörper. Torus ist der offizielle Name für dieses geometrische Objekt, der exakt runde, kreisrunde Reifen, das ist ein Torus.

Oder Donut, wenn Sie amerikanisches Gebäck lieben, dann ist das ein Donut, ein Torus. Irgendwas muss gedreht werden um irgendeine Achse, gucken Sie sich folgendes an. So wird doch der Torus entstehen, hier im Abstand R1,

von der x-Achse etwas mit dem Durchmesser R2, so stelle ich mir das vor. So ist der Torus an Rotationskörper, und jetzt will ich das Volumen berechnen von diesem Rotationskörper.

Vielleicht können wir uns daran noch mal klar machen, wie das mit den Rotationskörpern funktioniert. Wenn ich hier den Ursprung reinlege, die Nullposition meiner x-Achse, und jetzt sehen Sie dann, okay, das geht hier von minus R2 bis plus R2.

Und jetzt ist es so, dass es anders als bisher nicht die komplette Fläche ist, die zu der Figur gehört, sondern ich muss noch einen Teil abziehen. Von dieser kompletten Fläche muss ich den Teil unten abziehen.

Der Trick war, glaube ich, relativ offensichtlich. Ich habe also zwei Funktionen, die ich mir angucken muss. Für den x-Wert hier, für dieses x, bestimme ich einmal den oberen Wert, den roten, und einmal hier unten dann gleich den grünen.

Dieser obere Wert hier, ich gehe aus der Null raus um die Strecke x. Dieses hier ist R2. Das Stückchen hier ist der Radius des Doros, wenn Sie ihn durchschneiden. Der Radius der Querschnittsfläche, R2. Dann kann ich das hier angeben.

Das Stückchen hier ist dann also die Wurzel aus R2² minus x². So war es ähnlich, das haben wir schon mal gesehen, bei dem Kreis. Empotinuse ist gegeben, eine Kathete ist gegeben, ich suche die zweite Kathete. Das ist das. Mein y hier oben, die gesamte rote Strecke, wird sein R1 plus das.

Das wird sein R1 plus die Wurzel, R2² minus x². Und hier unten, der grüne Wert, am unteren Ende, dieser Wert, wird sein R1 minus die Wurzel.

Ich gehe dieselbe Strecke nach unten, minus die Wurzel R2² minus x². Mit der Hilfe müsste es aber eigentlich gehen. Jetzt haben Sie eine Funktion, die einen Rotationskörper bildet, die rote.

Von der bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers. Wir haben eine andere Funktion, die grüne. Von der bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers, ziehen die beiden voneinander ab. Der Trick ist, die Integrale nicht sofort auszurechnen, sondern die Integrale zusammenzufassen, sonst wird es fürchterlich. Probieren Sie das mal.

Nochmal zum Volumen eines Rotationskörpers. Ich habe eine Funktion von A bis B. Die soll mir sagen, was der Radius des Rotationskörpers an einer bestimmten Stelle x ist. Und das Volumen ging dann, indem ich quasi Bierdeckel verschiedener Größe aufsummiere.

Das Volumen hier des Bierdeckels aufsummiere von A bis B. Jeder Bierdeckel hat den Radius f von x. Oder hieß der R, glaube ich, in den Vorlesungen hieß der R von x. Egal, hier heißt es f von x. An der Stelle x haben wir den Radius f von x. Was ist das Volumen so eines Bierdeckels?

Der dicke dx, das ist diese dicke dx mal die Fläche von dem Bierdeckel. Und die Fläche ist pi mal f von x². Oder R von x hatten wir, glaube ich, bisher. Das pi holen Sie vielleicht noch raus. So, das wäre das Volumen eines Rotationskörpers, der immer bis zur Achse durchgeht.

Hier gibt es keine Bohrung, die dann weggelassen geht. Jetzt muss ich bei meinem Taurus aber innen drin etwas ausbohren. Das sutraiere ich einfach. Ich bestimme das Volumen für diese rote Fläche. Das wäre dann zum Schluss eine Scheibe.

So, wie eine dicke Tablette. So sieht das aus. Das wäre das, was rauskommt, wenn Sie das gesamte rote Volumen nehmen. Und davon ziehen Sie ab, was Sie kriegen, wenn Sie dieses grüne Stück drehen. Dann haben Sie hier quasi so eine Bohrung rausgerechnet. Was ist der Bohrkern, den Sie da rausgebohrt haben? Den möchte ich abziehen.

Das ist mein Gedanke hier. Also die Differenz zweier Volumina. Nehmen wir das. V ist gleich. Die Integrationsgrenzen waren minus R1 und plus R1. So, das positive Volumen, das rote, diese Funktion quadrieren.

R1 plus Wurzel R2² minus x² quadrieren. R1 plus Wurzel R2² minus x². Das ist meine Funktion für den roten äußeren Teil quadrieren.

Das ist das Volumen dieser ganzen dicken Scheibe. Und ich ziehe ab, was innen rausgebohrt wird. Da stand ja einfach nur ein Minus in der Funktion. R1 minus die Wurzel R2² minus x² d x.

Die beiden Integrale kann ich zusammenfassen. Pi mal Integral von minus R1 ist plus R1. Große Klammer auf. Jetzt gucken wir mal, was da passiert. R1² minus R1² fliegt raus. Das hier einfach mit binomial Formel zerlegen.

R1² plus 2 mal R1 mal die Wurzel plus die Wurzel ins Quadrat hier unten genauso. R1² minus R1² fliegt raus. Der nächste Termin ist 2 mal R1 mal die Wurzel. Und hier kommt minus, minus 2 mal R1 mal die Wurzel.

Dann haben wir also 4 mal R1 mal die Wurzel. Und hier hinten kriegen wir dann die Wurzel ins Quadrat minus die Wurzel ins Quadrat. b² minus b² fliegt schon wieder weg. Ihr seht, ich habe die Klammer hier ganz ohne Grund gemacht.

Da sind wir nun. Übrigens habe ich die ganze Zeit hier ein Bildchen hingeschrieben. Die Integrationsgrenzen natürlich R2 minus R2 bis plus R2. Sollte hin und wieder auch mal im Original gucken. Die Integrationsgrenzen minus R2 bis plus R2.

Das muss überall R2 sein. Die 4 R1 kann ich noch rausnehmen. 4 pi R1 mal das Integral von minus R2 bis plus R2 mal die Wurzel aus R2² minus x² dx.

Welche Figur wird hier wie integriert? Bevor Sie jetzt irgendwie grübeln, wo Sie hier eine Stammfunktion kriegen,

erst mal nachdenken, was das ist. Das hier ist ja wieder eine Funktion, die einen Kreis beschreibt. Ein Halbkreis mit dem Radius R2 von minus R2 bis plus R2. Dann haben Sie hier an der Stelle x die Höhe Wurzel R2² minus x². Das heißt, für dieses Integral bestimme ich keine Stammfunktion.

Das wäre ja Wahnsinn. Ich gucke mir einfach an, was es bedeutet. Die Fläche eines Halbkreises. Das macht 4 pi R1. Und jetzt die Fläche dieses Halbkreises.

Das wäre die Fläche des gesamten Kreises. Davon die Hälfte. Und ich bin bei 2 pi² R1 R2². Okay, da haben wir jetzt das Volumen des Torus.

Einige Leute haben es schon ganz anders probiert. Und auch das richtige Resultat rausgekriegt. Absurderweise kann man das viel einfacher rechnen. Ich hatte in den alten Videos diese guldenschen Regeln vorgeführt. Was man auch rechnen kann, ist, um das Volumen zu bestimmen. Sie bestimmen den Schwerpunkt der halben Querschnittsfläche.

Vielleicht liegt der hier. Sie überlegen sich, wo der Schwerpunkt der halben Querschnittsfläche ist. Und dann überlegen Sie sich, welchen Weg der Schwerpunkt zurücklegt bei der Drehung. Und wenn Sie jetzt diese rote Fläche, die halbe Querschnittsfläche, mit diesem grünen Weg multiplizieren, haben Sie auch das Volumen.

Absurderweise. Das hatte ich vorgerechnet in den alten Videos. Das ist eine der guldenschen Regeln. Welchen Weg macht der Schwerpunkt, mal wie groß ist diese Querschnittsfläche? Und wenn Sie das für diese Figur machen, sehen Sie die Querschnittsfläche hier. Das muss ja die halbe Querschnittsfläche sein, korrektermaßen. Die Querschnittsfläche ist die Fläche dieses Kreises mit Radius r2.

Also Pi mal r2² ist die Querschnittsfläche. Der Schwerpunkt der Querschnittsfläche ist klar. Das ist der Kreismittelpunkt. Und der Weg des Kreismittelpunkts ist ein Kreis mit dem Radius r1. Also ist der Weg 2 Pi mal r1.

Das selbe Resultat. 2 Pi quadrat r1 mal r2². Und hier 2 Pi quadrat mal r1 r2². Also das heißt, das können Sie direkt hinschreiben mit Hilfe dieser guldenschen Regel.

Wo ist der Schwerpunkt? Welchen Weg legt der Schwerpunkt zurück, mal die halbe Querschnittsfläche? Ähnliche Regel gab es ja auch für die Oberfläche. Man guckt sich den Schwerpunkt der Kurve an, die die Oberfläche bildet. Und ich habe gerade von Ihnen noch einen dritten Weg gelernt, wie man das hinkriegen kann.

Den finde ich total lustig. Das war mir gar nicht klar. Sie nehmen den Torus und schneiden ihn wie so eine Wurst in ganz viele Stücke. In ganz viele Stücke. Und jetzt legen Sie diese Stücke einfach nur raffiniert hintereinander.

Sie nehmen das Stückchen hier. Und dann legen Sie das nächste Stückchen falsch rum daneben. Dann nehmen Sie dieses Stückchen, das legen Sie wieder richtig rum daneben. Dann nehmen Sie dieses Stückchen, das legen Sie falsch rum daneben. Und so weiter und so weiter. Und zum Schluss ist das Ding 2 Pi r1 lang.

Und die Querschnittsfläche ist Pi mal r2².