Bisher ging das ja alles noch so blimpflich ab, ohne Integral. Die alten Griechen hatten kein Integral, die mussten erfinderisch sein. Jetzt mal etwas schwierigeres. Die Länge einer Kurve, die sogenannte Bogenlänge, am einfachsten erstmal die Länge einer Funktionskurve.

Ich sollte nochmal erklären, wo die herkommt. Die Länge einer Funktionskurve. Wenn sie eine Funktionskurve haben, sagen wir von x gleich a bis x gleich b, und gesucht ist die Länge, das heißt dann gerne Bogenlänge,

A-Klängs, Bogenlänge dieser Kurve von x gleich a bis x gleich b, dann kann man sich vorstellen, dass man hier ein Polygon, ein Filek durchlegt, das ist jetzt in rot nicht gut zu erkennen,

dass man sich da ein Filek durchlegt, in regelmäßigen Abständen, und diese Längen entlang von dem Filek hier aufsummiert. Und dann sollte das, je feiner dieses Filek wird,

je feiner diese Streifen werden, desto genauer sollte das passen. Das ist der Gedanke. Es werden dann unendlich kleine Sachen, in Anführungszeichen, zum Schluss aufsummiert. Man muss sich überlegen, was man denn da aufsummiert, für so einen Streifen.

Diese Länge hier summiere ich für so einen Streifen auf. Wenn ich sage, ich gehe ein Stückchen delta x zur Seite, dann gehe ich ein Stückchen delta y nach oben, und dann weiß ich, wie lang das ist, Pythagoras, delta x² plus delta y²,

und über die lineare Näherung kann ich sagen, was delta y ungefähr ist. Wie kriegen Sie delta y mit der linearen Näherung der Funktion raus? Hier muss ich natürlich in der Tat die Ableitung haben.

Delta y sollte in sehr guter Näherung die Ableitung meiner Funktion mal delta x sein. Die Ableitung meiner Funktion an der Stelle x mal delta x, das sollte dieses delta y sein. Hier ein Stückchen zur Seite. Wie weit geht meine Funktion nach oben? Ableitung mal, wie weit ich zur Seite gegangen bin.

Das kann ich jetzt benutzen, wenn ich Platz gelassen hätte, sehr geschickt. Wenn ich Platz gelassen hätte, könnte ich das benutzen. Dann steht hier nämlich, das ist die Wurzel aus delta x² plus, und jetzt das Ding hier quadrieren, also f' von x² delta x².

Und jetzt kann ich delta x ausklammern. Dann steht da, das ist die Wurzel aus 1 plus die Ableitung, Quadrat mal delta x. Also dieses Stückchen hier, diese Sehne entlang meiner Kurve,

nicht genau so lang wie die Kurve, aber ziemlich genauso lang, immer genauer. Diese Sehne hier hat die Länge Wurzel 1 plus Ableitung Quadrat mal delta x in guter Näherung. Das heißt, was ich jetzt eigentlich aufsummieren muss im Integral, ist das hier.

Ich summiere diese ganzen kleinen Stückchen auf von a bis b. Und zwar Wurzel 1 plus die Ableitung ins Quadrat. Und dieses delta x wird dann bei den Physiker und den Ingenieuren zu dx. Das wird nachher im Integral stehen.

Anschaulich macht man das dann so. Dieses delta x, immer kleiner, immer kleiner, wird hier dieses, in Anführungszeichen, unendlich kleine dx. Und ich summiere auf über alle Streifen, die ich da so habe, das Stückchen und das Stückchen und das Stückchen und das Stückchen über alle Streifen.

Und zum Schluss habe ich die Länge dieser Kurve. Die gesamte Länge, wenn Sie ein Maßband nehmen, so dieses Schneidermäßige Maßband, wenn Sie ein Maßband nehmen und entlang dieser Kurve nehmen, so sagt das Maßband nachher, keine Ahnung, 198 cm. Genau das ist mit der Bogenlänge gemeint.

Und das muss das Ergebnis sein. Damit kann ich dann die Bogenlänge ausrechnen. Ich brauche die Ableitung meiner Funktion ins Quadrat, eins dazu und die Wurzel. Sie sehen mal wieder eine Formel, die gar nicht so schwierig ist, wie man seinen Pythagoras verstanden hat. Hier kommt schon mal wieder Pythagoras vor.

Die Länge der Hypotenuse in diesem Dreieck. Das sieht etwas ungewöhnlich aus, der Pythagoras, weil ich hier den ersten ausklammern kann. Dieses Δx² steht bei beiden drin, das kann ich ausklammern. Deshalb 1 plus f' von x ins Quadrat.

Das gucken wir uns mal am Beispiel an, nämlich folgende Kurve. Beispiel. Diese Kurve y ist gleich eine Konstante mal den Cosinus hyperbolicus von x durch diese Konstante.

Stellen Sie sich vielleicht einfach vor, da steht nicht c, sondern da steht 42 die ganze Zeit. Aber so habe ich dann auch ein bisschen Spielmöglichkeiten.

Und sicherheitshalber, Cosinus hyperbolicus, haben wir zwar häufiger in der Vergangenheit. Der Cosinus hyperbolicus ist e hoch x plus e hoch minus x halbe. Wir hatten ja diese Form fast wie eine Parabel. Was mache ich denn hier? Fast wie eine Parabel.

Aber auf lange Sicht viel steiler als eine Parabel. Und unten etwas schlacher als eine Parabel. Vielleicht kriegt man sowas. E hoch x wird hier für positive x stark explodieren, e hoch minus x wird für negative x stark explodieren.

Es sieht zwar aus wie eine Parabel, aber bei genauer Betrachtung ist er links und rechts viel steiler als eine Parabel, weil er eben nicht mit x², sondern mit e hoch x geht. Und wenn Sie 0 einsetzen, 1 plus 1 halbe, hier sind wir auf der Höhe 1. Ok, bestimmen Sie mal die Länge dieser Funktionskurve zwischen irgendwelchen Zahlen a und b.

Von a bis b. Wie lang ist diese Kurve? Das war sich echt anstrengend hier. So, wie lang ist diese Kurve?

Also ich brauche als erstes mal die Ableitung von y nach x. Was ist die Ableitung von C mal Cosinus hyperbolicus von x durch C? Ich brauche die Ableitung von C eine Konstante mal Cosinus hyperbolicus von x durch C nach x.

Da vorne steht eine Konstante, die kann ich da stehen lassen. C mal. Und jetzt kann ich mit Kettenregeln arbeiten. Die Ableitung von Cosinus hyperbolicus, wissen wir schon, ist der Sinus hyperbolicus. Könnte man jetzt auch zu Fuß ausrechnen, aber hoffentlich ändert sich noch einer.

Die Ableitung von Cosinus hyperbolicus ist der Sinus hyperbolicus. Anders als bei Sinus und Cosinus, da ist die Ableitung von Cosinus minus der Sinus. Bei Cosinus hyperbolicus und so weiter ist das einfach plus. Cosinus hyperbolicus ableiten ist plus. Sinus hyperbolicus, das wäre die äußere Ableitung. Den Cosinus hyperbolicus ableiten, äußere Ableitung.

Mal innere Ableitung. Was ist die innere Ableitung? Genau, innen drin steht x durch C. Sie leiten ab und kriegen 1 durch C. Und dann kürzt sich das C weg. So, das ist mein F-Strich. Das setze ich jetzt mal vorsichtig in diese Formel für die Bogenlänge ein.

Die ist also von A bis B. Wurzel 1 plus diese Kiste ins Quadrat. Der Sinus hyperbolicus von x durch C ins Quadrat.

dx. Mal zurück, das war die Bogenlänge. Sie nehmen 1 plus die Ableitung ins Quadrat unter der Wurzel. 1 plus die Ableitung ins Quadrat. Und ich weiß nicht, ob Sie sich noch an Folgendes erinnern.

Wir haben das Sinus Quadrat plus Cosinus Quadrat ist gleich 1. Und was haben wir bei Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus? Genau, bei den Hyperbolischen war es so rum. Der Cosinus hyperbolicus Quadrat minus der Sinus hyperbolicus Quadrat war 1.

Das hatten wir mal nachgerechnet. Da kann man sich notfalls, wenn man die Vorzeichen nicht mehr weiß, so veranschaulichen. Der Cosinus hyperbolicus liegt ganz außen. Der Sinus hyperbolicus geht ja fast so wie der Tangenz hier. Na, der Tangenz hier durch den Ursprung.

Das ist hoffentlich nicht ganz unplausibel. Den Cosinus hyperbolicus quadrieren und dann den Sinus hyperbolicus Quadrat abziehen. Sonst haben Sie etwas Negatives. Die beiden schmiegen sich hier überhaupt auch schön aneinander. So sieht es ja eher aus. Das ist der Pythagoras in Anführungszeichen für Cosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus.

Das ist lustig, weil hier steht 1 plus Sinus hyperbolicus Quadrat. 1 plus Sinus hyperbolicus Quadrat ist Cosinus hyperbolicus Quadrat. Damit habe ich die Bogenlänge. Das ist das Integral von a bis b. Die Wurzel aus X durch meine Konstante Quadrat dx.

Netterweise ist der Cosinus hyperbolicus ständig positiv. Das heißt, wenn ich die Wurzel aus dessen Quadrat ziehe,

kriege ich etwas raus. Wir kriegen das Ding als solches raus. Hier drin steht also ganz schlicht und ergreifend der Cosinus hyperbolicus. Ich muss integrieren von a bis b. Cosinus hyperbolicus x durch c dx.

So, da arbeiten Sie jetzt mal selber weiter. Das ist ja ein klassisches Integral. Was wäre eine Stammfunktion? Was kommt raus? Ich versuche also eine Stammfunktion zu raten. Naja, Cosinus hyperbolicus.

Was kann eine Stammfunktion sein? Wird schon hier etwas mit dem Sinus hyperbolicus sein. Dann probieren wir mal x durch c, ob es das sein kann. Wenn Sie den Sinus hyperbolicus ableiten,

dann kriegen Sie in der Tat den Cosinus hyperbolicus raus. Der Sinus hyperbolicus, positive Steigung. Cosinus hyperbolicus, positiv. Sinus hyperbolicus, positive Steigung. Cosinus hyperbolicus ist positiv. Da kommt kein Minus oder was. Auch schon bei dem normalen Sinus nicht. Wenn ich den normalen Sinus ableite, habe ich den ganz normalen Cosinus.

Das ist aber noch nicht ganz richtig. Denn wenn Sie den hier ableiten, mit welcher Regel müssen Sie das hier ableiten? Den hier müssen Sie mit Kettenregel ableiten. Wenn Sie den mit Kettenregel ableiten, kriegen Sie noch mal 1 durch c. Das ist ungeschickt, mal 1 durch c. Aber das ist kein Problem. Das können wir heilen. Wir schreiben einfach c mal davor.

Und haben den Cosinus hyperbolicus da vorne wieder raus. In den Grenzen von a bis b. Also finde ich, die Länge wird sein,

c mal der Sinus hyperbolicus von b durch c minus c mal der Sinus hyperbolicus von a durch c. Das ist lustig, weil das bedeutet, dass die Länge dieser Kurve was mit der Ableitung zu tun hat.

Die Länge dieser Kurve hier hat was mit ihrer Ableitung zu tun. Das ist sehr eigenwillig. Davon kann man sich jetzt mal einen besonderen Fall angucken. Nämlich, wenn ich hier bei a gleich 0 starte und bis b gehe,

um uns den Fall an, Spezialfall a gleich 0, diese Kurve und y, wenn ich mir die angucke.

Was ich nämlich jetzt lerne, ist Folgendes, physikalische Anschauung. Wenn ich mir vorstelle, dass dieses hier ein Objekt ist, das in der Gegend hängt. Vielleicht erstmal durch ein starres Objekt,

ausgeschnitten aus Karton. Ich überlege mir jetzt, welche Gewichtskraft wirkt auf dieses Objekt. Gewichtskraft. Wie könnte ich diese Gewichtskraft ausrechnen? Nach dem, was ich bisher habe.

Diese Gewichtskraft sollte proportional zur Länge sein. Eine konstante mal die Länge von dieser Kurve. Wenn ich das hier aus irgendeinem vernünftigen Material ausschneide.

Das Material hat eine bestimmte Dichte pro Meter. Sagen wir 100 Gramm pro Meter. Dann ist die Gesamtmasse diese Dichte mal die Länge. Und die Gewichtskraft, wenn ich dann noch mit der konstanten G multipliziere.

Diese Gewichtskraft wirkt irgendeine Konstante mal die Länge. Oder nennen wir sie C1. Die Konstante nenne ich hier mal C1. Eine Konstante mal die Länge. Das wird die Gewichtskraft sein. Der Betrag der Gewichtskraft. Jetzt kann man sich noch ein paar andere Sachen überlegen.

Wenn das Ding hier oben irgendwo aufgehängt ist in der Wand. Dann kann ich mir überlegen. Okay, dann wirkt an dieser Stelle die besagte Gewichtskraft genau dieselbe. Und es wird auch noch eine Kraft nach links wirken.

Und netterweise ist diese Kraft nach links überall an jeder Stelle der Kurve dieselbe. Die muss auch hier unten wirken. Die Kraft nach links. Durch die ganze Kurve durch. Denn es kommt nie etwas dazu. Wenn Sie sich so ein Stückchen von der Kurve angucken, dann wird dieses Stückchen immer nur nach unten gezogen.

Es wird nie ein Stückchen nach links gezogen. Deshalb muss diese Komponente der Kraft immer dieselbe sein. Und dann bin ich also zum Schluss bei dieser Konstruktion. Hier habe ich eine Konstante. Nennen wir sie C2. Und hier habe ich C1 mal die Länge.

Ich weiß aber, was die Länge ist. Die Länge ist, wenn ich A gleich Null setze, die Sinus Superbolicus ist dann Null. Die Länge ist C mal der Sinus Superbolicus von B durch C. Hier ist B. Ist also C1 mal C mal den Sinus Superbolicus von B durch C.

Und nun kann man sich überlegen, in welche Richtung diese Kraft denn wirkt, die hier anliegt. So, den gucke ich mir an.

In welche Richtung wirkt diese Kraft? Man kann einfach dieses hier jetzt vergleichen mit der Ableitung. Wenn Sie sich das angucken, was für eine Steigung wir hier haben. Die Steigung der Kraft sozusagen. Ein bisschen schräger Begriff. Die Steigung der Kraft.

In dem Sinne, welche Neigung hat dieser Vektor hier? Das wird sein, was diese X-Komponente ist, irgendeine Konstante C2. Was diese Y-Komponente ist? Das durcheinander teilen. Diese Y-Komponente durch diese X-Komponente teilen.

Wird irgendwas sein wie C1 durch C mal C mal den Sinus Superbolicus von B durch C. Und das ist netterweise proportional zur Ableitung. Proportional zu F-Strich.

Hab ich C2 ehrlich schreiben müssen? Wenn ich meine Konstanten richtig einstelle, schaffe ich es sogar, dass das gleich der Ableitung wird. Wenn es der gleiche Ableitung ist, heißt das, meine Kraft wirkt ständig tangential zu dieser Kurve. Das gilt natürlich nicht nur für den Punkt da oben.

Das gilt für alle anderen zwischendurch. Wenn ich mir diese ganze Kurve hier angucke. In jedem Punkt ist die Kraft, die durch den Rest der Kurve unten verursacht wird, tangential. Bei den Rot. In jedem Punkt ist diese Kraft tangential zur Originalkurve. So wird die verlaufen.

Und das heißt, wenn ich diese Kurve mal ausgeschnitten habe aus Karton. Kann ich die auch in kleine Teile zerlegen. Stellen Sie sich vor, die wäre aus Karton so ausgeschnitten die Kurve. Dann können Sie jetzt auch in kleine Stücke zerlegen. Die Sie locker mit irgendwelchen Fäden aneinander hängen. Und dann wird die Kurve in dieser Form bleiben.

Weil die Kräfte immer nur tangential wirken. Die wird nicht gebogen diese Kurve. Weil die Kraft immer tangential wird. Mit anderen Worten. Das ist eine Kurve, die von einem Seil angenommen werden kann. Oder von einer Kette angenommen werden kann. Das muss kein starrer Körper sein. Sondern eine Kette wird genauso fallen.

Das ist deshalb die Kettenlinie. Dieses Ding nennt sich Kettenlinie. Das ist der Cosmos Bobolicus in dieser Form. Sie sehen das ein bisschen skaliert. Der Cosmos Bobolicus in dieser Form ist die Kettenlinie. Wenn ich ein Seil frei hängen lasse oder eine Kette frei hängen lasse,

ist das in sehr guter Näherung ein Cosmos Bobolicus. Es ist keine Parabel. Es sieht erstmal aus wie eine Parabel. Aber wenn man genauer hinguckt, ist es ein Cosmos Bobolicus. Das ist natürlich auch ein Modell. Es gibt keine Kette, die wirklich perfekt so hängt. Aber das ist schon ein sehr gutes Modell.

Das sieht man am ehesten, wenn man Ketten sehr lang hängen lässt. Wenn Sie eine Kette so hängen lassen, fällt das nicht deutlich auf, dass das ein Cosmos Bobolicus und kein Sinus ist. Wenn Sie die so hängen lassen, sehen Sie, dass es hier praktisch denkrecht wird. Und da wird es praktisch denkrecht in der Kette.

Das kann keine Parabel sein. Aber es ist lustigerweise in sehr guter Näherung ein Cosmos Bobolicus. Das ist eine Anwendung für den Cosmos Bobolicus, die ich unterschlagen habe, als ich etwas über die superbolischen Funktionen erzählt habe.