Mal ein Integral von 3 bis 4 möchte ich integrieren x mal 1 durch Wurzel 1 plus x² dx. Dieses Integral mal ausrechnen.

Mit den Regeln, die ich Ihnen gesagt habe, kann man nur einen Bruchteil von den denkbaren Integralen überhaupt lösen. Und selbst mit allen Regeln kann man nur einen Bruchteil der Integrale symbolisch lösen, in Formeln lösen. Insofern hat man hier nicht allzu viele Möglichkeiten und auch nicht allzu viele Hoffnungen.

Sie können einmal gucken, was denn partielle Integration macht. Hier steht das Produkt zweier Funktionen schon so ganz verlockend hingeschrieben. Können wir was mit partieller Integration machen? Wenn wir den ersten ableiten, müssen wir den zweiten integrieren. Das wird ja ganz furchtwillig. 1 durch Wurzel, irgendwas integrieren.

Ich habe jetzt an einer Stelle gesehen, was mit dem Logarithmus und ähnlichem. Wenn Sie sowas haben, rechnen Sie mal wirklich ganz vorsichtig aus, was passiert, wenn Sie ableiten. Das wird nicht reichen hier mit dem Logarithmus. Es muss richtig fies werden. Also hier eine Stammfunktion zu bilden von dem zweiten hat keine große Chance. Wenn wir es andersherum machen, wenn wir hier eine Stammfunktion von dem ersten bilden,

den hier hinten ableiten. Das können wir tun. 1 durch Wurzel, von dem etwas ableiten. Aber das wird ja ganz furchtwillig der Licht. Dann steht da unten die Wurzel hoch 3 und da kommt noch ein x dazu. An der Stelle würde ich sagen, okay. Die partielle Integration legen wir erstmal zur Seite und gucken uns andere Sachen an.

Substitution. Wenn Sie das, was hier drinnen steht, als neue Variable hier auffassen, u von x, dann wird das Ganze rosiger. Hier steht dann schon fast etwas wie die Ableitung. Die Ableitung von u von x nach x, 2x.

Hier steht schon fast 2x. Und dann bin ich da, wo ich sein will, mit meiner Substitutionsregel. Ich habe jetzt beide Varianten gesehen. Einmal die Ingenieurmäßige Variante und einmal die Mathematische Variante. Ich denke, ich führe mal beide vor. Die streng mathematische Variante wäre, dass ich hier jetzt u' von x dazudichte als Faktor.

u' von x ist, 1 plus x² ableiten ist 2x. 1 wird zu 0, x² wird zu 2x. Denn das ist fast u' von x.

Hier steht ein halb u' von x. So, das brauche ich für die Substitutionsregel, wenn ich das in der mathematischen Art mache. Eine Funktion, einer Funktion, eins durch Wurzel, ist die Äußervunktion. Die innere Funktion ist u. Und ich habe die Ableitung der inneren Funktion dabei stehen.

Das ein halb muss ich dann natürlich davor ziehen, vor das Integral. Und finde folgendes. Ein halb ziehe ich davor. Integral von 3 bis 4. Eins durch die Wurzel u' von x d x.

Und das ist jetzt für die Substitutionsregel, wie sie in Buche steht, eine Funktion. Eine andere Funktion, u' von x, mal die Ableitung dieser inneren Funktion, u' von x. Das muss also sein ein halb.

Jetzt brauche ich dieses u integriert von u von 3 bis u von 4. Eins durch Wurzel u integrieren d u. Das sagt die Substitutionsregel. Ich kann das x vergessen und ich integriere jetzt u.

Was soll ich sagen, ich integriere über u. Jetzt brauche ich eine Stammfunktion zu eins durch Wurzel. Was ist eine Stammfunktion von eins durch Wurzel? 2 mal die Wurzel. Die Proberechnung, die Wurzel ableiten, gibt eins durch 2 mal die Wurzel.

Mal 2 ist die 2 weg, haut das hin. Wenn Sie sich nicht erinnern, wie das ging. Was hier steht, ist u hoch minus ein halb. Ich brauche als Stammfunktion etwas, das in Exponenten eins höher hat. 1 drauf auf den Exponenten.

Und im Zweifelsfall brauche ich jetzt noch irgendeinen Faktor davor. Wenn Sie das hier ableiten, kommt ein halb als Faktor davor. Ich will aber nur einmal haben, also muss da 2 stehen. So kehren Sie zu Fuß drauf, wenn Sie sich nicht erinnern, wie die Wurzelfunktion geht.

In den Grenzen von u von 3 bis u von 4. u war einfach 1 plus x². Das geht also von 1 plus 3² ist 10 bis 1 plus 4² ist 17. Ein halb mal 2, können wir wegstreichen.

Und dann sind wir da bei Wurzel 17 minus Wurzel 10 als Ergebnis. Das wäre die streng mathematische Art. Eine Funktion einer Funktion mal die innere Ableitung. Hier steht schon alles parat für die Kettenregel. Substitution ist der Kettenregel rückwärts.

Die Ingenieure rechnen etwas anders. Mache ich das hier mal vor. Die Ingenieure rechnen so. Wenn Sie das hier haben, du nach dx ist gleich 2x, rechnen die Ingenieure formal.

Und die Mathematiker ab dem 5. Semester auch. du ist gleich 2x dx, die Mathematiker dann mit Differenzialformen. Und damit kann ich dx ausrechnen. dx ist also du durch 2x. dx ist du durch 2x, das setzen Sie da ein.

Dann können Sie x gegen x kürzen und Sie haben dasselbe, was sonst auch rauskommt. Das wäre der Ingenieurmäßige Ansatz. Man drückt du mit dx aus durch die Ableitung, setzt es da ein. Und kürzt, hoffentlich kann man kürzen, in diesem Fall kann man kürzen, durch x mal x.

Ok, das war ein billiges Integral. Oder nicht so billig.