Ich wollte mit etwas Konkretem anfangen, nämlich, wie man die Steigung dieser Funktion f von x ist gleich 1 durch x und wie man die Steigung dieser Funktion an der Stelle x gleich 2 tatsächlich mal ausrechnen kann.

Sie kennen die Formel aus der Schule mit x hoch minus 1 hier, umschreiben als x hoch minus 1, minus 1 nach vorne und um 1 verringern und so weiter. Aber schön, wo kommt denn so eine Formel eigentlich her? Das will ich einmal vorführen. Und ich hoffe, dass Sie auf dem Wege dahin auch nochmal eine Idee kriegen, was denn das eigentlich mit der Steigung auf sich hat.

Ist mir eben bei Sinus und Cosinus noch nicht ganz so klar. 1 durch x erinnert man sich dann irgendwann, wenn man es zum tausendsten Mal ausgerechnet hat, die Normalhyperbel. Das ist eine fallende Kurve da.

Und hier punktsymmetrisch auf der negativen Seite. Okay, ein bisschen dran üben hier. Das ist echt eine Herausforderung. So, an der Stelle 1 kommt 1 raus. 1 durch 1 gibt 1, wunderbar.

An der Stelle 2 kommt ein halb raus, 1 durch 2 gibt ein halb, ein bisschen tiefer, ein drittel, ein viertel. An der Stelle ein halb, kommt 2 raus, 1 durch ein halb macht 2. Und hier dann das ganze negativ auf der Seite. Also hier hätte ich y ist gleich 1 durch x. Hier hätte ich x, da hätte ich y. Und nun möchte ich wissen, wie steil, naja, steil ist übertrieben.

Was ist die Steigung meiner Graden, meiner Tangentengraden an diese Kurve? Was ist das für eine Steigung? Jetzt ziehen wir das nochmal auf die richtige Höhe, wenn es gelingt. So, die Steigung dieser roten Graden würde ich gerne wissen.

Das ist die Ableitung meiner Funktion an der Stelle 2. Wenn Sie das in Formeln hinschreiben, die Steigung an x gleich 2 ist nichts anderes als f' von 2. Das würde ich gerne wissen.

Das schreiben wir vielleicht mal etwas anders. Das heißt, so, f' an der Stelle 2, den müsste ich gerne. So sieht das netter aus. Das will ich einmal zu Fuß vorführen, damit Sie eine Idee kriegen, wo diese Formeln herkommen. Beziehungsweise, ich möchte Sie eigentlich jetzt gleich bitten, diese Formel selbst zu finden.

Der übliche Gedanke ist, ich überlege mir, was passiert, wenn ich nicht 2 einsetze, sondern eine Zahl, die ein bisschen daneben liegt. Ich möchte nicht 2 einsetzen, ein großer Strich hier, ich möchte nicht 2 einsetzen, sondern eine Zahl, die ein bisschen daneben liegt.

Dieses Stückchen daneben heißt gerne h in diesem Spiel. Dann möchte ich wissen, wie weit denn das Ergebnis vom Original abweicht. Das hatten wir eben beim Sinus. Der Sinus an der Stelle alpha plus h minus den Sinus an der Stelle alpha. Hier jetzt vielleicht nochmal eine Nummer einfacher.

1 durch x an der Stelle 2, das ist mein Originalwert, wirklich hier auf dem Punkt drauf, an der Stelle 2. Und 1 durch 2 plus h heißt, ich habe nicht 2 eingesetzt, sondern etwas daneben, ein Punkt leicht daneben. Und mich interessiert, was diese Funktion 1 durch x dann veranstaltet.

Was passiert, wenn ich nicht genau den Wert 2 einsetze, sondern etwas daneben liege? Und das rechen Sie mal aus. Und dann hoffe ich, dass wir die Ableitung dieser Funktion daraus ablesen können. Die Ableitung sagt ja, wenn ich zum Beispiel einen Nanometer nach rechts gehe, gehe ich so und so viele Nanometer nach unten.

Das werden wir herauskriegen. Und wie viel ist dieser Wert 1 durch 2 plus h kleiner als das 1 durch 2? Das wird uns genau das nachher liefern. Rechnen Sie das tatsächlich mal aus. Fassen Sie das zusammen und dann hoffe ich, dass wir die Ableitung daraus ablesen können.

Erste Schritt zusammenfassen. Zwei Brüche, wie fasse ich zwei Brüche zusammen? Ich suche mir einen Hauptnenner. Hier ist der Einfachste Hauptnenner. 2 plus h mal 2.

Den ersten Bruch erweitere ich mit 2. Oben mal 2 steht 2, unten mal 2 steht 2 plus h mal 2. Da steht die 2. Den zweiten Bruch erweitere ich mit 2 plus h. Unten mal 2 plus h, jetzt der Hauptnenner, oben mal 2 plus h.

Wert ist 2 plus h mal 1. Vorsicht, minus Klammer auf 2 plus h. Die Klammer nicht vergessen. Die 1 mal 2 plus h. Hier steht 2 plus h nach dem Erweitern. Und das muss ich insgesamt abziehen. Minus Klammer auf 2 plus h. Das können wir ein bisschen zusammenfassen.

Was da oben steht, 2 minus 2 minus h. Ich schreibe es vielleicht mal ausführlich nochmal hin. 2 minus 2 minus h steht da. Und jetzt die Klammer auflösen. Die 2 abziehen und dann auch noch h abziehen. Minus h. Unten steht 2 mal 2 macht 4 plus 2 mal h.

Zum Schluss habe ich hier also, 2 minus 2 fliegt raus. Minus h durch 4 plus 2 h. Uff. Das sagt mir nun tatsächlich etwas dazu, wie steil die rote Gerade hier ist.

Wie stark die abfällt. Was die Steigung der roten Graden ist. Was die Ableitung meiner Funktion ist. An der Stelle 2. Das kann ich hier ablesen. Denn, stellen Sie sich vor, zum Beispiel, wenn ich sage, h ist gleich ein Tausendstel.

Wie groß ist dieser Wert dann ungefähr? Ich schreibe es nochmal hin. Sicherheitshalber. Wenn h gleich ein Tausendstel ist. Ich gehe ein ganz kleines Stückchen zur Seite.

Dann ist die Differenz von dem neuen Funktionswert minus den alten Funktionswert. Minus, das haben wir jetzt hier stehen, ein Tausendstel durch 4 plus 2 Tausendstel. Wenn ich eine gute Schätzung haben will für das Ergebnis.

Was von diesem Ausdruck kann ich wegwerfen? Die 2 Tausendstel da unten machen den Braten nicht fett. Ob da 4 steht oder 4,0002. Ob ich durch 4 teile oder durch 4,0002 teile. Das macht keinen großen Unterschied. Und je kleiner h wird.

Wenn ich nur noch ein Millionstel, ein Milliardstel zur Seite gehe. Je kleiner h wird, umso geringer wird dieser Unterschied. Zum Schluss steht da unten einfach die 4. Was anderes interessiert mich nicht. Das hier oben ist etwas anderes. Da steht nackt dieser 1 Tausendstel. Da ist ein Unterschied, ob ich 1 Tausendstel oder 1 Millionstel nehme. Das ist ein drastischer Unterschied. Aber hier steht einfach 4 plus eine sehr kleine Zahl.

Das heißt, den hier unten kann ich eigentlich ignorieren. In sehr guter Nährung und in umso besserer Nährung. Je kleiner h ist, habe ich das. Minus eins durch tausend durch vier.

Ich lasse den da weg. Also macht das minus ein Viertausendstel. Irgendetwas fehlt jetzt. Alles richtig. Minus ein Viertausendstel. Wenn ich um ein Tausendstel zur Seite gehe. Dann erwarte ich in sehr guter Nährung, um ein Viertausendstel nach unten zu gehen.

Ein Tausendstel zur Seite. Wir sehen, was hier passiert. Der Funktionswert geht um ein Viertausendstel fast genau. Um ein Viertausendstel nach unten. Wenn ich hier um ein Millionstel zur Seite gegangen wäre,

würde das hier noch genauer stimmen. Dann wären es eben ein Viermillionstel extrem genau. Was ist also die Ableitung? Ich gehe um ein Tausendstel zur Seite. Wahnsinnig groß gemalt. Hier an dieser Stelle um ein Tausendstel zur Seite.

Ganz winzig. Man müsste mit der Lupe drauf. Und dann gehe ich um ein Viertausendstel nach unten. In sehr guter Nährung haben wir gerade gelernt. So habe ich es gelungen. Hier wäre jetzt ein Viertausendstel nach unten. Entlang meiner Kurve. Was habe ich über die Ableitung gelernt?

Ich sollte das vielleicht so schreiben. Das ist minus ein Viertel mal ein Tausendstel. Dann sieht man das Verhältnis besser. Ich gehe um ein Tausendstel nach rechts. Und falle dabei um das Viertelfache davon. Oder steige um das Minus ein Viertelfache davon.

Dieses hier, dieses Minus ein Viertel, das ist das Verhältnis. Und das ist nichts anderes als die Ableitung. F Strich an der Stelle 2. Das muss die Ableitung gewesen sein. Minus ein Viertel. Die Ableitpunkt meiner Funktion muss minus ein Viertel sein.

Denn wenn ich ein kleines Stück nach rechts gehe, gehe ich um minus ein Viertel das Stück nach oben. Beziehungsweise um ein Viertel das Stück nach unten. Das haben wir jetzt einfach nur durch diese Rechnung gerade gesehen. Wenn man die Rechnung allgemeiner machen würde, nehmen Sie nicht 2 hier. Ich habe gesagt an der Stelle 2.

Gerade hier hat die Steigung minus ein Viertel. Nehmen Sie nicht die 2. Nehmen Sie einen anderen Wert. Geht das allgemein durch. Und man findet das, was man aus der Schule kennt, das Rezept dafür. Das können Sie sich jetzt im Prinzip zu Hause herleiten.

Das ist dann keine große Kunst mehr. Ich möchte ableiten. 1 durch x nach dx. Ich schreibe es mal neben dieser Form schon. 1 durch x nach dx ableiten. Schulmäßiges Rezept, Bebe. Das ist x hoch minus 1. Wird minus x hoch. Und dann minus 1, 1 weiterzählen nach unten.

Minus x hoch minus 2. Das ist das schulmäßige Rezept. Wir können uns gerade überzeugen. Wenn Sie 2 einsetzen, x gleich 2 einsetzen, kriegen Sie minus und jetzt 2 hoch minus 2.

Potenzrechnung. 2 hoch minus 2. Das Minuszeichen sagt Kehrwert bilden. Und die 2 sagt quadrieren. Das ist minus. Und jetzt Kehrwert bilden. Und die 2 da unten. Diese 2 quadrieren.

Durch 2 Quadrat. Oh Wunder! Minus ein Viertel. Selbes Ergebnis. Aufgabe zur Wiederholung, wenn Sie wollen. Oder mit den Tutoren. Verziehen Sie das nach, dass das immer stimmt. Wenn hier nicht der Wert 2 steht, sondern 3 pi 98, dass das dann immer noch stimmt,

dass dann auch hier das entsprechende rauskommt. Wie aus dem schulmäßigen Rezept. Dann haben Sie die Idee, wie dieses Rezept zustande kommen muss. Das geht nachher wesentlich eleganter. Im Laufe des Semesters zeige ich es nochmal ordentlich, wie man auch dieses hier dann in 2 Zeilen hinkriegen kann.

Wenn man die richtigen Hilfsmittel hat, geht das alles wesentlich einfacher, als wenn man hier jetzt anfängt, mit Brüchen großartig rumzurechnen. Das macht nicht allzu viel Spaß. Also gute Frage.

Wenn h immer kleiner wird, ein Tausendstel, ein Millionstel, dann steht hier ja eigentlich 1 durch eine Fantastilion durch ungefähr 4. Und das ist ja praktisch Null. Eigentlich wird das hier ja Null werden. Warum ist die Ableitung nicht Null? Gute Frage. Weil die Ableitung das Verhältnis ist. Das Verhältnis von diesem

zu der Strecke H, die ich zur Seite gehe. Das hier ist die Differenz. Wie weit, wenn Sie hier mit der Lupe drauf gehen. Hier mit der Lupe. Passt mal eine Lupe. Die Differenz, das steht hier. Ich gehe ein Stückchen zur Seite und gucke mir an,

wie viel ich nach unten oder nach oben gehe. Das steht hier. Dieses Stückchen hier wird in der Tat Null. Je dichter ich an meinen Originalpunkt ranrutsche, desto näher liegt das an Null. Sonst wäre ganz was faul. Dann hätte ich hier irgendeine Stufe. Was mich aber bei der Ableitung interessiert, ist nicht dieses Stückchen als solches, sondern das Verhältnis.

Dieses Stückchen durch wie weit ich zur Seite gegangen bin. Beide werden Null werden. Aber das Verhältnis dieses Ding durch H wird nicht Null werden. Jetzt habe ich das hier unten nochmal abgespalten. Wir schreiben, was passiert mit der Differenz. Die Differenz ist ziemlich klein. Minus ein Viertausendstel.

Aber was mich nachher interessiert ist, das Verhältnis dieser Differenz zu wie viel ich zur Seite gegangen bin. Ich gehe ein Tausendstel zur Seite. Diese Differenz ist minus ein Viertel von dem, wie viel ich zur Seite gegangen bin. Dieses minus ein Viertel, das Verhältnis, das wird nicht Null. Das ist die Ableitung. Das Verhältnis. Die Strecke, um die ich rauf oder runter gehe,

die wird in der Tat Null. Bei allen, häufig brauchbaren Funktionen.