K06 Gleichung mit Logarithmus, Wurzel, Potenz
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Formal Metadata
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| Title of Series | ||
| Number of Parts | 89 | |
| Author | ||
| License | CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this | |
| Identifiers | 10.5446/10009 (DOI) | |
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Content Metadata
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ExponentiationLogarithmSquareRootExponentiationComputer animationDiagram
01:54
LogarithmComputer animation
02:06
LogarithmComputer animation
02:21
LogarithmProduct (category theory)SummationComputer animation
02:26
LogarithmComputer animation
02:38
LogarithmProduct (category theory)SummierbarkeitComputer animation
02:44
Exponential functionProduct (category theory)SummierbarkeitComputer animation
02:56
SummationComputer animation
03:08
SummationLogarithmComputer animation
03:23
LogarithmComputer animation
03:34
Computer animation
03:38
LogarithmComputer animation
03:50
LogarithmComputer animation
04:02
SummationLogarithmComputer animation
Transcript: German(auto-generated)
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Folgende Aufgabe. Ich möchte x wissen, wenn ich weiß, dass der Logarithmus der Wurzel aus 3 auf x plus 3 gleich 2 ist. Was ist x in dieser Situation? Es gibt wieder viele Wege, die zum Ziel führen.
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Ganz professionell wäre, wenn Sie entdecken, dass die Wurzel hier hoch ein halb ist. Hier steht der Logarithmus zur Basis 3 von 3 hoch x plus 3 hoch ein halb. Der Logarithmus von etwas hoch ein halb, dann können Sie das ein halb vor den Logarithmus ziehen.
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Das habe ich jetzt bei einem gesehen. Ich glaube, die übliche Lösung wird sein, dass man erstmal versucht, den Logarithmus da vorne wegzukriegen. Der Logarithmus der Basis 3 sagt, womit ich 3 potenzieren muss, damit hier die Wurzel rauskommt.
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Womit muss ich 3 potenzieren, damit die Wurzel, die soll rauskommen? 3 muss ich mit 2 potenzieren. 3 hoch x plus 3. Also, Sie nehmen beide Seiten 3 hoch. 3 hoch den Logarithmus, ist das, was im Logarithmus steht. 3 hoch 2, 3 hoch 2. Die Wurzel kriegen wir weg durch Quadrieren. 3 hoch x plus 3 ist das Quadrat von 3 Quadrat.
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Potenz einer Potenz ist 3 hoch 4. Das heißt, 3 hoch x, ich will hier nach x auflösen, das nicht vergessen, ich will nach x auflösen. 3 hoch x ist also 3 hoch 4 minus 3. Die 3 rüber gebracht.
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Und das heißt, x ist der 3er Logarithmus von 3 hoch 4 minus 3. Das könnte man jetzt ausrechnen, ist der 81 minus 3, ist der 3er Logarithmus aus 78.
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Wird mir an der Stelle reichen, wenn Sie hier den 3er Logarithmus aus 78 hinschreiben. Aber andererseits sieht man hier vielleicht noch, dass da nochmal eine 3 drin steckt. Das hier innen drin ist ja 3 mal 3 hoch 3 minus 1. Was passiert, wenn Sie den Logarithmus aus 3 mal 3 hoch 3 minus 1 bilden?
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Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen. Ist der Logarithmus 3 zur Basis 3 plus den Logarithmus zur Basis 3 von 3 hoch 3 minus 1. Das ist der Grund, warum es den Logarithmus überhaupt gibt, warum er erfunden worden ist.
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Der Logarithmus macht Produkte zu Summen. Ganz wesentlich. Die Exponentialfunktion macht Summen zu Produkten. Wenn Sie 10 hoch 2 mal 10 hoch 3 rechnen, wird das 10 hoch 5.
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Diese Summe, 2 plus 3, wird dazu ein Produkt, 10 hoch 2 mal 10 hoch 3. Der Logarithmus arbeitet umgekehrt. Der macht ein Produkt zu einer Summe. Die wesentliche Eigenschaft vom Logarithmus.
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Hier hinten steht 27 minus 1 sind 26. Das heißt, hier bleibt, was ist der Logarithmus 3 zur Basis 3? 1, genau. Womit muss ich 3 potenzieren, damit 3 rauskommt? Mit 1.
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Und hier bleibt der Logarithmus 3 von 26. Das ist nicht viel schöner, ehrlich gesagt, als hier den Logarithmus zur Basis 3 von 78 zu bilden. Wenn Sie da aufhören, reicht mir das, das hier unten wollte ich nochmal bringen,
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um Sie an die wesentliche Eigenschaft des Logarithmus zu erinnern. Ein Produkt im Logarithmus wird zur Summe der Logarithmen.