eine etwas anscheinend abgedrehte Frage zu den Ableitungen. Folgende Situation, wenn ich weiß, dass die Ableitung meiner Funktion konstant ist, nennen wir diese Konstante Groß a, dieselbe Zahl Groß a für alle x,

was folgt damit daraus über meine Funktion? Was kann ich sagen über die Funktion, wenn ich weiß, dass deren Ableitung eine konstante Zahl ist? Sagen wir 37, 48, was auch immer. Die Ableitung ist eine konstante Zahl. Was kann ich damit sagen, wie die Funktion selbst aussehen muss?

Aufgabe 1 für Sie, Aufgabe 2 für Sie. Was ist, wenn die Ableitung folgendes ist? So eine Gerade b mal x plus c für alle x. Was kann ich damit über meine Funktion sagen?

Überlegen Sie sich das mal. Das war vielleicht noch eine Nummer zu abstrakt. Noch mal einen Schritt zurück. Ich weiß, zum Beispiel die Ableitung meiner Funktion ist, sagen wir, ein halb für alle x.

Immer ein halb. Das heißt, egal wo Sie sich auf die Straße stellen, Sie sehen, 50 Prozent Steigung. Überall auf der Straße. Dann ist Ihre Straße zwangsläufig so eine Gerade mit Steigung 50 Prozent.

Was anders kann es nicht sein. Das wissen Sie dann automatisch über die Funktion. Wenn deren Steigung immer ein halb ist, überall, an jeder Stelle ist die Steigung ein halb. Wenn die Steigung immer ein halb ist, muss die Straße eine Gerade sein, die mit der Steigung ein halb, Überraschung, ansteigt. Die kann nichts anderes sein.

Sie können hier keine Welle haben, denn vor der Welle wäre die Steigung höher. Hinter der Welle wäre die Steigung kleiner oder sogar negativ. Das ist jetzt auch wieder kein toller Beweis. Das sieht man dann, wenn man Integralrechnung hat, in Differenzialgleichung gelöst. Das ist ganz einleuchtend und gar nicht anders sein kann. Aber hier jetzt eben schon von der Logik her.

Wenn Sie das wissen, die Ableitung ist eine Konstante, muss die Originalfunktion eine Gerade gewesen sein. Ich muss dazu sagen, Ableitung eine Konstante für alle x ohne Lücke. Wenn Sie das natürlich haben, dass da irgendwelche Lücken dazwischen sind, könnte die Originalfunktion natürlich auch so aussehen. Hier ist immer dieselbe Steigung und dazwischen weiß ich nichts. Aber wenn ich für alle x, wenn Sie alle Zahlen einsetzen können, alle reellen Zahlen und haben immer Steigung 50%,

ist das eine Gerade mit der Steigung 50%. Also wissen Sie dann, das ist f von x, muss dann zwangsläufig sein, eine halb mal x. Und das ist noch nicht das einzige. Ich kann die Gerade ja rauf und runter schieben. Und trotzdem ist eine Gerade mit 50% Steigung plus irgendeinen Versatz.

Dann nenne ich den jetzt mal. Was hatte ich denn also an meinem Größen hier schon? A, B, C. Dann ist das jetzt eben plus D. Das weiß ich. Dieses D kenne ich nicht. Das ist konstant, weiß ich. Konstant, aber unbekannt.

Das einhalb, weiß ich, die Steigung. Also allein aus dieser Ableitung kann ich schon einiges schließen über die Funktion dahinter. Ich weiß die Form der Funktion, kann sogar die Steigung hier dann hinschreiben, aber ich weiß nicht diesen Versatz. Wenn Sie eine Kurve nehmen und die einfach nur rauf und runter schieben,

mal ein bisschen üben hier, die Kurve nur rauf und runter schieben, hat die überall dieselbe Steigung wie vorher. Ich kenne diesen Versatz nicht. Der schiebt das Ganze rauf oder runter. Das fehlt mir noch. Das ist zum ersten hier. Wenn ich weiß, dass meine Ableitung überall dieselbe Zahl ist,

dann weiß ich, dass meine Funktion, die Zahl, mal x, plus irgendein Versatz ist für alle x. Und dieses D ist dann eine andere Konstante, die ich leider nicht kenne. Immerhin kenne ich das A.

So, mit der Hilfe gucken Sie sich das hier unten nochmal an. Einige hatten das ja schon. Das gucken Sie sich unten an. Was ist, wenn meine Ableitung so eine Funktion ist, eine gerade ist, was weiß ich dann über meine Originalfunktion? Ja, das ist schon ein bisschen gewagter, zugegebenermaßen.

Ich überlege mir, was schreibe ich hier hin, sodass beim Ableiten das rauskommt? Was ist alles möglich, sodass beim Ableiten das rauskommt? Das C ist leicht zu kriegen. Hier muss anscheinend so etwas stehen wie C mal x. Wenn Sie C mal x ableiten, kriegen Sie C raus.

Das ist geschenkt. Interessanter Gedanke bei einigen Leuten gerade, da bin ich noch gar nicht drauf gekommen, aber das ist durchaus naheliegend, dass man hier so etwas versucht wie x hoch b, ins Unreine geschrieben, noch nicht mitschreiben. Wenn ich das hier versuche mit x hoch b und ableite, dann steht ja beim Ableiten,

x hoch b ableiten, dann steht nach dem Ableiten b mal x hoch b minus eins. Und ich habe diesen Faktor b. Könnte man machen, aber den Faktor b kriege ich ja auch viel einfacher, indem ich ihn hinschreibe, b mal irgendwas. Dann haben Sie auch den Faktor b. Die Frage ist, was schreibe ich hier hin, damit es x wird?

Was leite ich ab, damit x rauskommt? Hier schreiben Sie hin, x Quadrat halbe. Wenn Sie den ableiten, b halbe ist ein Faktor, der stehen bleibt. x Quadrat ableiten macht 2 mal x, die 2 kürzt sich, b mal x bleibt über.

Damit habe ich aber nicht alle Möglichkeiten, dasselbe wie eben. Ich habe dann jetzt eine Parabel, aber diese Parabel darf auf jeder Höhe setzen. Ich kann das Ding noch in den Fahrstuhl setzen. Das sehen Sie beim ableiten.

Die Proberechten hier beim ableiten. Hier vorne b mal x. Hier c. Und das e wird zu 0, wenn Sie es ableiten. Eine Funktion, die konstant ist. Steigung 0. Das sieht erstmal total abstrakt aus, was ich hier vorgeführt habe.

Wenn Sie das hier verstanden haben, was da steht, haben Sie die Wurfparabel verstanden in der Physik? Das führe ich gerade auch noch vor. Was das jetzt bitte mit Wurfparabel zu tun hat. Ach, der ist jetzt über.

Was ich betrachte, ist ein frei fliegender Körper ohne Luftwiderstand in der klassischen Mechanik. Ich beachte nicht, dass dieser Körper eine andere Uhr hat, als die Erde hat.

Ich beachte auch nicht, dass die Schwerkraft nach oben schwächer wird. Lustigerweise auch nach unten schwächer wird. Ein ganz simples Modell, was man üblicherweise hat für solche ballistischen Bewegungen.

Ein Gegenstand fliegt ohne Raketenantrieb, ohne Propeller. Sie nehmen einen Stein, schmeißen den, aber, damit es nicht zu kompliziert wird, senkrecht nach oben. Oder Sie bohren einen Brunnen und lassen den Stein Richtung Erdmittelpunkt fallen. Aber nicht zu weit nach oben, nicht zu weit nach unten.

Ich möchte immer noch annehmen, dass die Schwerkraft überall dieselbe ist. Lassen Sie sie mir nicht 1000 Kilometer in den Erdmittelpunkt fallen, dann stimmt das Ganze nicht mehr. 100 Meter rauf, 100 Meter runter, dann kann ich das so sagen. Und das Ganze im luftleeren Raum, dann stimmt diese Näherung recht gut.

Das ist die Situation, die ich mir angucke. Ein Körper senkrecht fliegend. Ich messe den Abstand vom Erdboden, und zwar das in Abhängigkeit von der Zeit. Die Höhe in Abhängigkeit von der Zeit.

Wenn ich das einmal nach der Zeit ableite, die Höhe dieses Steins oder Balls, was auch immer, einmal nach der Zeit abgeleitet. H-Punkt, wenn Sie sich erinnern, bei den Physikern, ableiten nach der Zeit. Ich könnte auch schreiben dH nach dt. Aber warum so viel Tinte verschwenden? Was ist das anschaulich für eine Größe?

Die Höhe, was in mir dann eine Position nach der Zeit ableiten, ist die Geschwindigkeit, die das Ding hat. Weg von der Erde, weg von der Erdoberfläche. Das sieht jetzt ganz lustig aus. H2-mal ableite gemeint ist, dieses Ding die Geschwindigkeit nochmal abzuleiten.

Also Sie kriegen, genau Beschleunigung, Sie kriegen beim ersten ableiten die Geschwindigkeit. Und dann leiten Sie nochmal ab, kriegen die Beschleunigung. Genau, das haben wir alle schon mitbekommen. Und netterweise für diese Art der Bewegung, was ist die Beschleunigung für diese Art der Bewegung?

Das muss minus die Erdbeschleunigung sein. Die berüchtigten 9,81. Irgendwas nach Ort natürlich etwas anders, nicht überall derselben Wert. 9,81 Meter pro Sekunde Quadrat Erdbeschleunigung.

So, was hat das, was hat das damit zu tun? Lesen Sie das mal auf diese Weise. Die Ableitung der Geschwindigkeit ist eine Konstante. Das ist die Situation, die ich eben hatte.

Die Ableitung der Geschwindigkeit ist eine Konstante. Damit kriege ich geschenkt, die Ableitung ist eine Konstante. Damit kriege ich geschenkt, dass meine Funktion diese Konstante mal meine Variable plus eine unbekannte Konstante ist. Das kriege ich geschenkt. Also weiß ich jetzt, meine Geschwindigkeit ist gleich die konstante Ableitung hier.

Minus G mal meine Variable plus eine unbekannte Konstante. Wenn ich jetzt C1, was das einfällt, das kriege ich gar nicht geschenkt. Ein Körper, der bei Newtons Modell frei fällt oder auf einer freien Wurfbahn ist,

senkrecht nach oben, senkrecht nach unten, nicht weit weg von der Erde, nicht zu tief in der Erde, hat diese Beschleunigung, egal was komme, minus die 9,81 Meter pro Sekunde Quadrat,

die Minuswahl nach unten und meine Höhenachse nach oben geht hier. Das heißt, die Ableitung der Geschwindigkeit ist eine Konstante und Bau. Wenn die Ableitung von einer Funktion eine Konstante ist, kann ich die Funktion angeben. Das muss eine lineare Funktion sein. Minus meine Ableitung mal die Variable plus eine unbekannte Konstante.

Das heißt, die Geschwindigkeit von diesem Geschoss oder dem Ball oder was auch immer, die Geschwindigkeit ist linear abhängig von der Zeit. Das habe ich damit gelernt.

Folgt daraus, dass die Beschleunigung eine Konstante ist, dass die Geschwindigkeit linear von der Zeit abhängt. Und wo sehen Sie jetzt eine Chance, das hier noch anzuwenden? Das hier gucke ich mir an. Die Ableitung der Höhenachse der Zeit ist Geschwindigkeit und das ist eine Gerade.

Die Ableitung der Höhenachse der Zeit ist eine Gerade. Das ist die zweite Geschichte. Minus G ist die Steigung dieser Geraden. C ist meine Variable plus ein Versatz. Die Höhe abgeleitet nach der Zeit ist die Geschwindigkeit.

Die Geschwindigkeit ist eine Gerade und das ist genau das, was wir hier hatten. Die Ableitung ist eine Gerade. Dann weiß ich, dass es original gewesen sein müsste mit so einem Könnchen Salz hier. Ich lerne also, dass die Höhe sein muss. Hier, das wird zum Quadrat werden.

Und dann kam noch dieses ominöse Einhalb. Aber Sie wissen jetzt, woher das Einhalb kommt. Das Einhalb kommt einfach, wenn ich den ableite, kommt die 2 nach vorne und die kürze ich mit der 2 da unten. Dieses Minus G Halbe, das ist genau dieses B Halbe. X Quadrat wird zu T Quadrat.

Dann kommt jetzt diese Konstante hier mal x, jetzt mal t. Also plus C1 mal t. Plus, ich kann das Ganze noch auf und runter schieben, C2. Und da vorne offenbart sich schon die Wurfparabe. Durch die Erdbeschleunigung kriege ich diese parabelförmige Kurve.

Hier habe ich derzeit natürlich noch keine parabelförmige Kurve. Ich schmeiße den Stein rauf und er fällt wieder runter oder ich lasse den Stein gleich in den Brunnen fallen. Da ist noch keine Parabel zu sehen. Wenn ich den Stein noch zur Seite werfe, dann sieht man die Parabel. Näherungsweise, denn wegen Luftwiderstand könnte er natürlich ein bisschen schneller runterkommen als anders lieb ist.

Aber hier versteckt sich schon mal die Parabel. Sie sehen, wo die Wurfparabel herkommen muss. Die Wurfparabel muss daherkommen, dass die 2. Ableitung eine Konstante ist. Damit die 2. Ableitung eine Konstante sein kann, muss die Originalfunktion das Parabolische sein, das mit t².

Sonst würde das nicht hinhauen. Das sieht man aus rein diesen mathematischen Erwägungen, wie plötzlich solche physikalischen Zusammenhänge zustande kommen. Wir können uns noch hier über dieses C1 und das C2 Gedanken machen. Haben Sie eine Idee, was deren Bedeutung ist? C1 und C2?

C2 dient dazu, diese ganze Kurve jetzt zu nehmen und rauf und runter zu schieben. Das hängt also damit zusammen, auf welcher Höhe ich diese Bewegung starte. Besser noch, wenn Sie hier Null einsetzen, h von Null ausrechnen. Das wird Null, Null Quadrat. Das wird Null, mal Null, der bleibt über.

Die Höhe zum Zeitpunkt Null, das ist das hier hinten, h von Null. Die Höhe, mit der ich starte, zum Zeitpunkt Null. Jetzt hatte sie konstant hier plötzlich eine Bedeutung. Was hatten Sie von den hier? C1, welche Bedeutung hat die? Für C1 gucken Sie sich V von T ein.

Wenn Sie hier Null einsetzen, V von Null minus G mal Null, der erste ist weg, plus C1. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt Null ist C1. Das ist also die Anfangsgeschwindigkeit hier C. Oder h Punkt von Null oder V von Null, wie auch immer. Also hier steckt die Anfangsgeschwindigkeit, da steckt die Anfangshöhe.

Und schon brauchen Sie keine Formelsammlung für diese parabolische Bahn. Die ist derzeit nur in der Zeit parabolisch. Wenn man sich jetzt noch überlegt, dass man diesen Ball oder was auch immer längs der Erdoberfläche werfen kann, wird diese Bahn dann aufgespreist und Sie kriegen wirklich die Wurfparade.

Aber das möchte ich den Physikern überlassen. Ich wollte Ihnen noch einmal klar machen, dass so einfache Überlegungen über Ableitungen plötzlich physikalische Konsequenzen haben. Wenn Sie das verstanden haben, was Ableitungen machen und wenn Sie eine Idee haben, dass im Schwerfeld der Erde jeder Körper

eine konstante Beschleunigung hat, ist das in einer Propeller anmontiert oder in einem Düsenantrieb, dann ist klar, dass diese Bahnen in einer Art irgendwelche Parabeln werden müssen. Es kann gar nicht anders sein, nur wegen der Ableitungen. Das ist auch noch etwas zu dem Thema,

was ich im ersten Skript sehr weit ausgewalzt habe. Mathematische Modellierung. Ich modelliere diese Situation mit dieser Gleichung hier. Die zweite Ableitung der Höhe nach der Zeit ist diese Konstante hier. Das stimmt natürlich überhaupt nicht. Diese Konstante ändert sich je nach Ort auf der Erdoberfläche.

Sie ändert sich je nach Tageszeit. Mal ist der Mond über einem, mal steht der Mond neben einem insbesondere. Die Konstantin ändert sich mit der Höhe, je weiter sie weg sind von der Erde, desto schwächer wird das. Je tiefer sie sind in der Erde, um das spürbar zu merken, desto schwächer wird der Effekt.

Das ist alles nur Pi mal Daumen. Ganz insbesondere Pi mal Daumen ist es dadurch, dass ich den Luftwiderstand komplett ignoriere. Ein Modell. Ein ziemlich billiges Modell, aber eines, das für sehr viele Fälle eben gut passt, wenn man wirklich einen harten,

schweren Ball hat. Wasserstrahl. Es gibt so diverse Brunnen neuerdings, bei denen immer so ein Stück Wasser durch die Gegend fliegt. Da können Sie wunderschön sehen, wie dieses Stück Wasser sich der Wurfparabel, wie das der Wurfparabel folgt.

Auch wenn hier ganz viele Näherungen drin sind.