Ich möchte anfangen mit etwas zu den Zahlen, und zwar etwas Bildung zu den Zahlen. Weniger Sachen, die man in der Praxis braucht. Aber Ihnen ausnahmsweise mal etwas vermitteln über die Eleganz der Mathematik. Warum interessiert sich eigentlich die Mathematikerinnen und Mathematiker so für Mengen?

Mengen sind doch eigentlich blöde Dinge. Aber der Trick ist, dass man mit Mengen praktisch alles in der Mathematik modellieren kann. Sie können wirklich sagen, dieses oder jenes ist eine Funktion. Der Sinus zum Beispiel. Der Sinus ist eine Menge von irgendwas. Ich kann ihn aus Mengen zusammenbauen.

Irgendwelche Diagramme, das ist eigentlich schon klar. So eine Kurve ist eine Menge von Punkten. Geometrische Figuren im Raum in der Ebene in 98 Dimensionen werden Mengen werden. Was ich Ihnen jetzt mal vorführen will, ist wegen der Zahlen. Die Zahlen als Mengen. Es gibt ein übliches Modell, wie man Zahlen mit Hilfe von Mengen bilden kann.

Das heißt, dass Zahlen eigentlich nichts Neues sind. Sondern sobald ich weiß, was Mengen sind, kann ich aus Mengen Zahlen konstruieren. Das sieht auf den ersten Blick haarstreubend aus. Sehr abstrakt, aber Sie können ein bisschen was lernen über Mengen. Und Sie kriegen ein bisschen Bildung mit, wie Mathematik funktioniert.

Insbesondere, warum in der Mathematik so viel Wert auf Mengen gelegt wird. Weil zum Schluss praktisch alles Mengen sind, wenn man ganz genau nachguckt. Auch wenn man Sinus schreibt oder Wurzel schreibt und ähnliches. Man hat eigentlich nur noch Mengen in der Mathematik.

Zahlen als Mengen. Und zwar, wie kann ich die natürlichen Zahlen ab Null aufwärts mit Hilfe von Mengen modellieren? Das einfachste ist die Zahl Null. Die Zahl Null, wenn man die natürlichen Zahlen ab Null aufwärts, sollte wohl sinnvollerweise sowas sein, wie die leere Menge.

Wenn das überhaupt eine Sprechung gibt zwischen Mengen und Zahlen, halte ich das für sehr plausibel. Und nun macht man Folgendes. Jede Zahl soll die Menge ihrer Vorgänger sein. Die Zahl Drei soll die Menge mit der Zahl Null, Eins und Zwei sein.

Das heißt, netterweise soll die Zahl Drei auch eine Menge mit drei Elementen sein. Und jetzt kann man das Ausbuch stabilieren.

Die Null, das haben wir eben schon, das ist die leere Menge. Das kennen wir schon. Was ist die Zahl Eins? Überlegen Sie sich gerade mal, was die Zahl Eins sein muss dann. Und was muss die Zahl Zwei sein in diesem Spiel? Und dann kann man hinschreiben, was die Zahl Drei in diesem Spiel sein soll. Wenn es ziemlich hässlich aussieht, dann haben Sie wahrscheinlich genau das, was auch richtig ist.

Überlegen Sie sich das mal. Jede Zahl soll die Menge, aber Zahlen darunter sein, ab Null aufwärts. Die Zahl Drei soll die Menge mit den Zahlen Null, Eins und Zwei sein. Zum Beispiel. Und die Zahlen Null sollen einfach ganz blöd die leere Menge sein. Was bedeutet das? Was ist dann die Zahl Eins? Was ist dann die Zahl Zwei?

Und was ist dann die Zahl Drei, wenn ich jetzt komplett ausbuchstabiere mit Menge? Das wirkt auf den ersten Blick etwas abstrus, aber so funktioniert Mathematik. Die ist manchmal etwas abstrus und dann plötzlich doch sehr erhellend. Basteln wir mal.

Das ist ja doch abstrakter, als ich mir das so vorgestellt habe. Die Zahl Eins soll die Menge mit der Null sein. Die Zahl Zwei soll die Menge mit der Null und der Eins sein. Die Menge mit allen Zahlen darunter, angefangen mit der Null. Aber jetzt kann ich doch weiter gucken.

Die Null ist die leere Menge, also steht hier die Menge mit der leeren Menge. Das sieht richtig blöd aus. Die Null ist die leere Menge in einer Menge drin, also die Menge mit der leeren Menge. Das wird dann die Zahl Eins sein. Vielleicht denken Sie wirklich an der Stelle in Beuteln.

Die Null ist der leere Beutel, so wie das eigene Portemonnaie. Sehr gut abgebildet. Und die Eins ist jetzt der Rucksack mit dem Portemonnaie drinnen. Und das Portemonnaie ist leer. Zwei Beutel ineinander. Das ist schon echt abstrakt. Machen Sie mal dann weiter. Null Eins, Null Eins Zwei. Was wird das werden?

Sie sehen, wie abstrus das wird. Ich nehme den Beutel hier von außen, die Menge, und da packe ich zwei Sachen rein. Die Null und die Eins. Die Null, weiß ich jetzt, ist die leere Menge. Und in diesen Beutel packe ich oben dran noch die Eins rein.

Und das weiß ich, die Eins ist die Menge mit der leeren Menge. Das heißt, die natürlichen Zahlen hier sind voraus nichts gemacht. Warum erinnert mich das gerade an Zinsen? Das ist ohne Substanz. Es wird einfach nur aus der leeren Menge weiter verbeutet und verbeutet.

Und daraus baut man die Zahlen. Die Drei wird nun wirklich ganz haarsträumt. Ich weiß gar nicht, ob ich die auf eine Zeile kriege. Ich rutsche das mal weiter rüber. Der wird fürchterlich. Also eine Menge. In dieser Menge sind drei Elemente drinnen. Die Null, die Eins und die Zwei.

Drei Elemente. Diese Dinger für sich sind aber wieder Mengen. Die Null ist die leere Menge. Die Eins ist die Menge mit der leeren Menge. Und die Drei ist die Menge mit der leeren Menge.

Und der Menge mit der leeren Menge. Wird ein bisschen eng. Geht mir dabei auch nur das Prinzip. Aber Sie sehen, dass die Zahl Drei tatsächlich dann drei Elemente hat. Und die sind auch alle verschieden. Das sind drei verschiedene Sachen, die da drin sind. Die können sagen, ein leeres Portemonnaie im leeren Rucksack oder ein leeres Portemonnaie im leeren Rucksack im leeren Koffer, das ist doch alles nichts.

Ja, es ist alles irgendwie nichts. Aber trotzdem kann ich ja unterscheiden. Ich kann das leere Portemonnaie im leeren Rucksack, ansonsten leeren Koffer, unterscheiden von dem leeren Portemonnaie. Das sind zwei verschiedene Sachen. Insofern habe ich tatsächlich bei der Drei jetzt drei verschiedene Sachen drin. Das heißt, der Trick hier in der Mathematik ist, dass man nur eine einzige Menge braucht.

Die leere Menge. Und man baut das ganze Universum aus der leeren Menge zusammen. Nicht nur die Zahlen, sondern alles andere auch. Ist zum Schluss nur aus Beuteln mit Beuteln mit Beuteln von leeren Mengen gebaut. In ganz haarsträubenden Variationen. Das wollte ich Ihnen an dieser Stelle einmal mitgegeben haben.

Dann haben Sie hoffentlich eine Idee, warum in der Mathematik die Mengen so fürchterlich hochgehalten werden. Alles, fast alles, mit kleinen Ausnahmen, fast alles ist nachher aus Mengen zusammengebaut. Auf völlig verschrobene Art. In der Praxis, um Sie zu beruhigen, in der Praxis brauchen Sie das nicht.

Was ich hier vorgeführt habe, nennt sich die Konstruktion der Ordinalzahlen. Wenn Sie es googeln wollen. Das sind die Ordinalzahlen. Die Ordnungszahlen. Ersten, zweitens, drittens, viertens. So fasst man die auf. Im Unterschied zu den Kardinalzahlen.

Zwei Äpfel, vier Birnen. Nein, da ist keine Reihenfolge drin. Das sind Kardinalzahlen. Ordinalzahlen heißt sowas wie Nulltens, Ersten, Zweitens, Drittens, Viertens. So eine Reihenfolge. Wenn man sich das hier genauer anguckt, stellt man fest, was da eigentlich passiert. Um von einer Zahl zur nächsten zu kommen.

Dann haben wir zum Beispiel von der 2 zur 3. Um von einer Zahl zur nächsten zu kommen. Nehmen Sie alles, was in der Zahl vorher war. Und dann kommt noch mal die Menge mit demselben Kram da rein.

So kommen Sie von einer Zahl zur nächsten. Alles, was in der Zahl vorher war. Und noch mal mit Mengenklammern außen geschrieben dazu. Das wird ein richtig höherer Blödsinn, wenn man das hinschreibt, allgemein. Die Zahl, wie mache ich das hier mal? P plus 1.

Wie schreibe ich das hin? Die Zahl P plus 1. Irgendeine Zahl, 1 weiter soll sein. Die Zahlen von 0, 1, 2 und so weiter bis P. Alle Zahlen darunter ab 0 in eine Menge zusammengeschrieben. Das stellt man sich vor als die nächste Zahl.

Die Zahl 3, das sind die Zahl von 0 bis 2 in eine Menge geschrieben. So stellt man sich das im Modell vor. Und wenn ich das jetzt ausbuchstabiere. Dieses hier darunter, bis P minus 1, das ist ja schon die alte Zahl. Das heißt, dieses Ding ist die Menge P vereinigt mit der Menge mit der Menge P.

So harschträuben Sie das dann nachher aus. Das ist dann die Regel, um 1 weiter zu zählen. Sie nehmen den Vorgänger, alles was an Elementen im Vorgänger, die ganzen leeren Portemonnaies, aus dem Vorgänger nehmen Sie und dann nehmen Sie noch etwas dazu. Ein weiteres Element, nämlich einen großen Koffer,

in dem Sie die ganzen leeren Portemonnaies aus dem Vorgänger reinpacken. Von der 2 zur 3, Sie nehmen alles was in der 2 an leeren Portemonnaies drin war und dann nehmen Sie noch dazu, alles was in der 2 war, aber in einen großen Koffer gepackt. Das ist dann die Operation um 1 erhöhen. Das wird plötzlich Vereinigung und Menge bilden, auf ganz abstrakte Weise.

Wie gesagt, das ist abstrakt und garantiert nicht praktisch relevant und auch nicht so relevant, nur als Bildung mal im Hintergrund. Auf diese Weise habe ich plus 1. Wenn Sie plus 1 haben, können Sie plus 2 machen. Sie machen einfach dasselbe nochmal. Danach kann ich um 2 weiterzählen. Plus 3 heißt, dreimal dieses Jahr hintereinander machen.

Ich kann plus 3 weiterzählen. Zum Schluss kann man sich überlegen, was denn bedeutet, 2 Zahlen zu addieren. Man kann sich auch noch überlegen, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge man das macht. Man kann sich überlegen, wenn man 3 Zahlen addiert, dass es egal ist, ob man so klammert oder andersrum klammert. Und an der Stelle hat man ungefähr schon 3 Monate dran gesessen

und kann nicht mal die Grundrechenarten. Sie ahnen, warum man das nicht ausführlich macht. Es gibt Bücher, in denen Sie das lang und schmutzig nachlesen können, dass die Leute tatsächlich das von A bis Z überlegt haben. Ich kann Zahlen so bilden, und das gelten die üblichen Gesetze. Das macht kein Mensch ansonsten.

Gut zu wissen, dass ein paar Leute sich das angeguckt haben, aber typischerweise glaubt man einfach, dass das geht. Dass ich 2 Zahlen so rum und so rum addieren kann, dass ich bei der Addition von Zahlen die Klammern setzen kann, wie ich will. Aber man könnte es tatsächlich nachweisen auf diese Weise. Also das hier ist die Konstruktion der sogenannten Ordinalzahlen.

So stellt man sich typischerweise in der Mathematik die Zahlen vor. So rechnet kein Mensch. Aber als Idee, wie die Mengen auftauchen in der Mathematik. Ist das eine gute Idee. Vielleicht noch eine Fußnote dazu. Wenn Sie das weitertreiben, Sie können ja alle natürlichen Zahlen ab der Null aufwärts in eine Menge schreiben,

dann haben Sie in diesem Sinne schon wieder eine Zahl gebaut. Die erste und endlich große Zahl, die heißt gerne Omega. Und wenn ich das mache mit der, habe ich Omega plus 1. Das ist die nächste und endlich große Zahl. Ich kann mir überlegen, was Omega plus 2 ist. Omega mal Omega, Omega hoch Omega und so weiter.

Man kann eine ganze Kaskade an unendlichen Zahlen damit bauen. Transfinite Zahlen, wo wir das zufällig googeln wollen. Man sagt irgendwie nicht unendlich Infinite. Aus irgendwelchen Gründen sagt man Transfinite. Hört sich besser an. Über das Endliche hinausgehende Zahlen. Von dem gibt es dann diese eine Kaskade mit Omega bis Omega hoch Omega hoch Omega hoch Omega

und dann muss man mit der Nächsten anfangen und davon gibt es unendlich viele. Auf diese Weise kann man plötzlich anfangen mit dem Unendlichen zu rechnen. Alles sehr faszinierend. Ich habe nie jemals eine Anbindung gesehen. Ich zeige Ihnen das hier, dass wir einmal Mengen in Aktion sehen, wie das in der mathematischen Forschung dann tatsächlich vorkommt.

Alles ist aus der leeren Menge gebaut. Erinnert mich auch irgendwie ans Universum. Alles kommt aus einem Punkt. Das ganze Universum der Mathematik ist plötzlich aus der leeren Menge gebaut. Wenn man die ganzen Zahlen hat, kann man so weitermachen. Man fasst Differenzen von natürlichen Zahlen zusammen und hat ganze Zahlen.

Dann kommt man von den Ganzen zu den rationalen und dann relativ einfach auch zu den reellen. Und hat dann zum Schluss tatsächlich alles irgendwie, alle üblichen Zahlen aus leeren Mengen gebaut. Absurderweise. Keiner rechnet so.

Keiner rechnet so, aber manchmal ist es hilfreich zu wissen, es gibt tatsächlich die Möglichkeit, Zahlen zu konstruieren in der Mathematik. Aus dem Nichts. Im wahrsten Sinne aus dem Nichts.