Die folgende etwas schräge Aufgabe, zwei Funktionen skizzieren. Nämlich einmal x wird abgebildet auf den Kosinus vom Arcuskosinus von x. Einmal die und einmal diese hier.

Andersrum, x wird abgebildet auf den Arcuskosinus vom Kosinus von x. Und damit das hinhaut, muss ich wohl nochmal sagen, wie denn der Arcuskosinus aussieht. Man startet mit dem Kosinus, beziehungsweise mit einer geraden Y-Achse.

Man startet mit dem Kosinus. Hier bin ich bei zwei Pi. Wenn ich den Alpha in die Kosinus-Kurve, geht natürlich hier weiter. Hier bin ich auf der Höhe eins, da bin ich bei minus eins.

Und hier bin ich bei Pi. Was sogar darüber? Hier bin ich bei Pi. Die Funktion ist nicht umkehrbar. Der Kosinus ist nicht umkehrbar, der Sinus und der Tangent sind alle nicht umkehrbar. Insbesondere deswegen nicht umkehrbar, weil es periodische Funktionen sind. Derselbe Funktionswert kommt ja unendlich oft vor.

Es kommt sogar noch häufiger vor. Sie sehen, auf der Flanke habe ich den sogar nochmal, da habe ich den nochmal. Das heißt keine Chance, das kann keine umkehrbare Funktion sein. Diese Funktion ist nicht injektiv. Der Kosinus ist nicht injektiv. Der Sinus auch nicht und der Tangent auch nicht. Weil dieselben Funktionswerte, dieselben Y-Werte mehrfach angenommen werden.

Man lügt sich raus, indem man nicht die gesamte Kosinusfunktion nimmt zum Umkehren, sondern nur einen Teil. Beim Kosinus, diesen Teil hier von 0 bis 180 Grad.

Ich picke mir nur den Teil raus und kehre den um. Das übliche Phänomen Spiegeln an der Winkel halbieren, den heißt ja die Umkehrfunktion zu bilden. Ich kriege also eine Kurve, die muss hier starten.

Der Durchgang hier ist etwa bei 1,5, Pi ist etwa 3. Hier bin ich bei 1,5. Das muss hier hin gespiegelt werden. Hier muss die 1,5 sein. Und dann geht das hier so rum. Das hier, etwas krüngelig geworden, sorry. Das hier wird die Kurve werden vom Arcus Kosinus.

Der Arcus Kosinus gibt mir den ersten sinnvollen Kosinuswert zurück. Sie sagen, was denn aus dem Kosinus rauskommen soll. Und der Arcus Kosinus gibt ihn den ersten zurück. Das ist da ein bisschen ungeschickt. Ich nehme mal einen negativen Wert.

Ich möchte zum Beispiel wissen, für welchen Winkel ist der Kosinus minus 1,5? Welchen Winkel kommt minus 1,5 aus dem Kosinus raus? Der Arcus Kosinus wird in den Winkel hier liefern. Den ersten Winkel, bei dem der Kosinus minus 1,5 wird. Er wird ihn nicht den liefern. Er wird ihn nicht den, nicht den liefern.

Er wird ihn auch keinen negativen liefern. Das ist der Job vom Arcus Kosinus. Wenn man die Kurve dann baut, sie nehmen das rote Stückchen von der Kosinus Kurve und spiegeln das an der Winkel halbieren. Dann ist sie nicht ganz so gelungen. Das gibt dann die Kurve, den Grafen vom Arcus Kosinus. So, nach dieser Vorbemerkung zurück zur Aufgabe.

Was ist, wenn ich die verkette? Wieder mal die Verkettung, die Komposition von Funktionen. Was passiert, wenn ich die verkette? Werden Sie hier gerade was über Verkettung? Und nicht nur was über den Arcus Kosinus. Was ist, wenn ich erst den Arcus Kosinus ausrechne

und dann den Kosinus? Was ist, wenn ich umgekehrt erst den Kosinus ausrechne und dann den Arcus Kosinus? Wie werden die Kurven, die Grafen aussehen? In der einen Reihenfolge und in der anderen Reihenfolge. Hier nochmal Kosinus und Arcus Kosinus.

Eine sehr wesentliche Bemerkung. Was geht denn überhaupt auf der X-Achse? Wenn Sie sich den oberen hier angucken. Was auch immer als X hier reinkommt, das muss vom Arcus Kosinus verdaut werden. Sonst gibt es hier was auf die Finger. Der Definitionsbereich dieser Funktion hier oben kann maximal der vom Arcus Kosinus sein.

Der Arcus Kosinus muss man X verdauen können. Und wenn Sie sich angucken, was der Arcus Kosinus verdauen kann. Das hier kann der Arcus Kosinus verdauen. Die Werte, die aus dem Kosinus rauskommen. Das ist der Witz beim Arcus Kosinus. Das, was aus dem Kosinus rauskommt, muss der Arcus Kosinus verdauen.

Den Bereich von minus eins bis eins. Das hier ist der Bereich von minus eins bis eins. Das ist der Definitionsbereich vom Arcus Kosinus. Damit das X hier eingesetzt werden darf, darf es höchstens aus diesem Bereich sein. Das Intervall von minus eins bis eins. Abgeschlossen. Und dann ist die Welt in Ordnung.

Aus dem Arcus Kosinus kommt dann irgendein Wert raus. Den kann ich in den Kosinus einsetzen. Und es wird was passieren. Das heißt, wenn Sie das plotten, dann haben Sie gar nicht so viel Platz. Auf der X-Achse brauchen Sie nur die Strecke von minus eins bis eins. Alles andere ist sowieso verboten.

Und nun kann man weiter nachdenken. Okay, wenn ich hier mit Null reingehe. Den Arcus Kosinus von Null. Ich beantworte also die Frage, für welchen Winkel der Kosinus Null wird. Für welchen Winkel auf diesem roten Bereich der Kosinus Null wird.

90 Grad. Pi halbe. Also wenn ich hier Null einsetze, ist der Arcus Kosinus die 90 Grad oder Pi halbe. Und dann bilde ich den Kosinus davon von meinem 90 Grad oder Pi halbe. Und kriege wieder Null raus. Also ich setze Null ein und kriege Null raus.

Da haben wir einen Punkt da in der Mitte. Und das muss natürlich so weitergehen. Der Arcus Kosinus sagt zu meinem X einen Winkel an, für das der Kosinus dieses Ergebnis hat. Und dann rechne ich den Kosinus aus. Das ist doch so wie das mit dem Logarithmus und der E-Funktion.

Der Logarithmus sagt an, was ich in die E-Funktion als Exponent einsetzen muss, damit genau das wieder rauskommt, was ich im Logarithmus stehen habe. Genau das passiert hier oben in dieser Situation. Der Arcus Kosinus sagt mir, welchen Winkel ich denn in den Kosinus einsetzen kann. Einen von vielen, welchen Winkel ich einsetzen kann,

damit das X rauskommt. Und dann setze ich den Winkel in den Kosinus ein. Und da muss ich mich auch nicht wundern, wenn das X wieder rauskommt. Das Ding hier oben ist schlicht und ergreifend gleich X. Das Kosinus von Arcus Kosinus ist nichts anderes als X. Aber mit diesem eingeschränkten Definitionsbereich darf ich nur Zahlen von Minus 1 bis 1 einsetzen.

Sonst gibt mir der Arcus Kosinus hier etwas auf die Finger. Der Arcus Kosinus verarbeitet nur das, was aus dem Kosinus rauskommen könnte. Also nur diesen Bereich von Minus 1 bis 1. Das ist die grüne Kurve, die unsere gezeichnete grüne Kurve auf der X-Achse hat, der Bereich von Minus 1 bis 1. Das darf ich in den Arcus Kosinus einsetzen.

Erster Teil. Das ist insofern einfach. Der Arcus Kosinus liefert mir einen Winkel, für den der Kosinus X ist. Einen von vielen, unendlich vielen Winkeln, für den der Kosinus gleich X ist. Dann bilde ich den Kosinus und kriege natürlich X raus. Schlicht und ergreifend das. Der nächste ist eine Nummer heftiger.

Aber ist erstmal das hier oben soweit einleuchtend? Okay, das ist der erste Teil. Beim zweiten Teil muss man ein bisschen vorsichtiger sein.

Überlegen Sie sich vielleicht erstmal den Definitionsbereich für den zweiten Teil. Was darf ich hier an X einsetzen? Und ich kann Sie schon mal vorwarnen, es wird irgendein Blödsinn passieren. So leicht wird es nicht werden. Der Definitionsbereich. Der Kosinus frisst jede reelle Zahl.

In den Kosinus können Sie einsetzen, was Sie wollen an reellen Zahlen. Negativ, positiv, 30 Fantastilionen, minus 40 Fantastilionen, egal. Der Kosinus nimmt jede reelle Zahl X. Dann kommt hier innen drinnen das raus, was aus dem Kosinus eben rauskommt. Zahlen von minus eins bis eins, einschließlich der Grenzen.

Die kommen hier innen drinnen raus. Und okay, egal welche dieser Zahlen das war, der Arcus Kosinus wird es fressen. Der Arcus Kosinus verarbeitet Zahlen von minus eins bis eins. Das heißt, es kann nicht schief gehen. Der Definitionsbereich, die Definitionsmenge, ist komplett die Menge der reellen Zahlen.

Wir sehen, da gibt es anscheinend schon mal einen Unterschied zu der anderen Richtung. Der Kosinus hat als Definitionsbereich die Menge der reellen Zahlen. Und liefert Werte von minus eins bis plus eins. Und der Arcus Kosinus verdaut Zahlen von minus eins bis plus eins. Das ist überhaupt kein Problem. Definitionsmenge, reelle Zahlen.

Was hier rauskommt, kann aber nicht diese Funktion sein. Ich hänge das vor so hier. Tausend, tausend, tausend. Minus tausend, minus tausend. Das kann es nicht sein.

Ein einfacher Grund, warum es nicht das einfach sein kann, nicht einfach wieder X sein kann. Was steht dem entgegen? Was aus dem Arcus Kosinus rauskommt, das läuft nicht von minus unendlich bis plus unendlich. Der Arcus Kosinus liefert solche Werte nicht. Wir wissen, was der Arcus Kosinus liefert. Der Arcus Kosinus liefert Werte von Null bis Pi, was hier auf der Y-Achse vorkommt.

Der rote Bereich von Kosinus umgekehrt. Also liefert der Arcus Kosinus Werte von Null bis Pi. Und wenn Sie sich dieses Diagramm hier angucken, kann nicht sein, weil ich Werte weit über Pi und Werte unter Null habe. Das kann nicht sein. Das käme niemals aus dem Arcus Kosinus raus.

Der Arcus Kosinus macht nur Werte von Null bis Pi. Also weiß ich jetzt schon, egal wie schlimm diese Kurve aussieht, sie kann auf der Y-Achse nur von Null bis Pi leben. Nehmen wir hier X.

Ich muss das klar machen, von Null bis Pi. Machen wir es mal so. Hier ist Pi. Da ist Null. Und hier ist Pi. Und da ist zwei Pi. Und da ist drei Pi. Und hier ist minus Pi. Also auf der X-Achse ist alles erlaubt.

Jeder X-Wert ist erlaubt. Und ich weiß jetzt schon, was auf der Y-Achse rauskommen kann, ist höchstens der Bereich von Null bis Pi. Die Kurve muss hier liegen und nirgendwo anders. Das kann nicht gleich X sein. Das müsste hier ausbrechen. Das muss raffinierter sein als einfach gleich X.

Jetzt aber nochmal. Der Arcus Kosinus liefert nur Werte von Null bis Pi. Nur Werte, die ich hier in den Kosinus von Null bis Pi, Null bis 180 Grad eingesetzt hätte. Nur von Null bis 180 Grad kommt was aus dem Arcus Kosinus aus. Und der Arcus Kosinus ist die letzte Funktion.

Das heißt, hier kann niemals, was auch immer, 5 rauskommen oder minus 20 rauskommen, weil der Arcus Kosinus zuletzt angewendet wird. Es können nur Werte von Null bis 3, noch was rauskommen. Bis dahin ist man schon. Man weiß jetzt also so ein Korridor, in dem die Funktion leben muss, in dem der Graph leben muss.

Denken Sie mal weiter drüber nach, wie das denn aussehen kann. Wir können hier mal ein paar Beispielwerte durchrechnen, um zu verstehen, was da passiert. Wenn ich Null einsetze, der Kosinus von Null, der ist eins.

Und jetzt möchte ich vom Arcus Kosinus wissen, was setzt sich zwischen Null und 180 Grad ein, damit der Kosinus gleich eins wird? Null. Okay, das war jetzt nicht so überraschend. Für den hier, Pi.

Wenn ich hier Pi einsetze, der Kosinus von Pi, Sie sehen auch Minus eins, aus dem Kosinus kommt Minus eins raus für Pi. Und nun frage ich den Arcus Kosinus, gib mir doch mal einen Winkel zwischen Null Grad und 180 Grad, für den der Kosinus Minus eins ist. 180 Grad. Pi.

Hier kommt Pi raus. Und offensichtlich, für alle dazwischen, machen wir mal Pi halbe. Kann ja nicht schiefgehen, wenn Sie hier Pi halbe haben. Der Kosinus von Pi halbe wird Null. Arcus Kosinus soll mir sagen, wo auf diesem Bereich der Kosinus Null wird,

bei Pi halbe. Für Pi halbe eingesetzt, kriegen Sie Pi halbe raus. Das geht natürlich bei allen Winkeln zwischen Null und 180 Grad. Bis dahin keine Überraschung. Jetzt kommt die Überraschung, wie es weitergeht. Es kann ja nicht gradlinig weitergehen, das habe ich Ihnen gerade schon vorgeführt. Der Wert ist höchstens Pi.

Es kann nicht mehr als Pi werden, also das hier ist verboten. Gucken wir doch einfach mal hier. Das wäre 3 halbe Pi. 2 halbe Pi, 4 halbe Pi, 3 halbe Pi. Ich gucke mir an, was bei 3 halbe Pi passiert.

3 halbe Pi. Hier. Der Kosinus ist Null. Welche Antwort gibt mir jetzt der Arcus Kosinus? Der Arcus Kosinus sagt mir, für welchen Winkel zwischen Null und Pi,

zwischen Null und 180 Grad, der Kosinus gleich Null ist. Pi halbe. Der kann mir nicht den dahinter liefern. Der nimmt den da vorne. Pi halbe. Also, für den hier kriege ich Pi halbe raus. Interessant, interessant. Gucken wir mal hier bei 2 Pi.

Ich setze 2 Pi ein. Den Kosinus von 2 Pi, das ist 1. Und nun frage ich den Arcus Kosinus. Arcus Kosinus von 1. Für welchen Winkel zwischen Null und 180 Grad

kommt 1 aus dem Kosinus raus? Null. Der liefert mir nicht den dahinten, 360, sondern den hier. Null. Und wenn Sie das noch ein bisschen weiter machen, ist hoffentlich klar, wie das jetzt zu überlegen wäre, dann kriegen Sie das raus. Und an den Zwischenpositionen passiert auch genau das, was an den Zwischenpositionen passieren soll.

So eine Welle kommt raus, eine Dreieckswelle, nennt die sich. Also, die ist periodisch mit der Periode 2 Pi, aber dreiecksförmig. Vielleicht sollte ich nochmal erklären, wie diese Kurvonform zustande kommt. Innen drin steht ja der Kosinus.

Oh, den wollte ich nicht wegmalen. Innen drin steht ja der Kosinus. Außen steht der Arcus Kosinus. Diese Kurve hier muss die Symmetrie vom Kosinus erben. Und wenn Sie sich die Symmetrie vom Kosinus angucken, er geht runter und dann geht er genauso wieder rauf. Und dann geht er runter und dann geht er genauso wieder rauf.

Und das schieben Sie durch diese grüne Kurve durch. Runter, rauf, runter, rauf. Diese grüne Kurve kehrt das um. Was runter war, wird rauf. Und was rauf war, wird runter. Diese Flanke runter, wird danach eine Flanke rauf. Diese Flanke genau rückwärts, exakt symmetrisch rückwärts,

muss deshalb die Flanke genau rückwärts sein, die wir eben hatten. Diese muss aussehen wie die erste Flanke da vorne. Diese muss aussehen wie die zweite Flanke und so weiter. Das wird passieren. Also ganz anders als man das von der E-Funktion und den natürlichen Logarithmus kennt. E hoch natürlichen Logarithmus ist x und umgekehrt.

Also wir haben E hoch ln x ist x. Und ln von E hoch x ist x ohne Wenn und Aber. Wir müssen vorsichtig sein, dass wir hier keine negative x und keine null einsetzen. Das sind wirklich Funktion und Umkehrfunktion. E ist die Umkehrfunktion zum natürlichen Logarithmus. Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion zu E.

Bei dem Ding kommt wieder x raus. Und das hier sind keine echten Umkehrfunktionen. Der Cosinus verliert Informationen. Beim Cosinus wissen Sie nicht mehr, war es ein Winkel zwischen 0 und Pi. Oder war es ein Winkel zwischen von mir aus 2 Pi und 3 Pi.

Oder ein Winkel zwischen 3 Pi und 4 Pi. Der Cosinus ist eine vergessliche Funktion. Das heißt, wenn der Cosinus hier innen steht, habe ich hier Informationen weggeschmissen. Hier kann nicht mehr das rauskommen, was ursprünglich mal erwartet war. Nicht mehr die Gerade y gleich x.

Die kann es nicht sein. Das sind so die Ärgernisse, die man mit den Arcosfunktionen hat. Beim Arcosinus ähnlich, beim Arcosthangens sieht es noch schlimmer aus. Das immer im Hinterkopf behalten. Der Cosinus vom Arcoscosinus und entsprechend bei den anderen ist immer das, was Sie eingesetzt haben.

Aber wenn die üblichen trigonometrischen Funktionen innen stehen und der Arcos außen steht, dann haben Sie ein kleines Problem. Sie kriegen niemals den kompletten Winkel wieder. Das schafft der Arcoscosinus, der Arcoscosinus, der Arcosthangens. Die schaffen das nicht, den kompletten Winkel wieder zu kriegen. Wir geben Ihnen Idee, aber nicht alles.