Determinanten

das Lernen werden an der TU Darmstadt in gut dann wünsche ich Ihnen einen schönen guten

Morgen und herzlich willkommen zur Fortsetzung und ehren sie vom frommen und nutzen das Basis wechselt ich hatte letztes Mal gezeigt der wilden Jahre Abbildung gegeben und dann hab ich ihn aus dem Hut gezaubert die richtige Basis hingeschrieben aber die Basis Wechsel durchgerechneten festgestellt auf die Weise können wir die App Bildungs Matrix wenn es gut läuft schön vereinfachen und was ich Ihnen jetzt zeigen will das wissen das Umgekehrte und das passt zu der Fragestellung dich auch schon ein paar Mal erwähnt hatte gegeben konkret geometrische lineare Abbildung wo kriege ich die Abbildung Smart fix her also dass das Beispiel 9 5 und da wollen wir würde eben mehr und mehr Richtung und suchen die Projektionen die Richtung auf die Ebene also suchen die lineare Abbildung viel vom Anschauungsraum R 3 den Anschauungsraum R 3 und das soll die Projektion sein auf ein unterlegt der gegeben ist 16 Jahre würde von 2 Vektoren also der Ebene die durch den Ursprung geht Vektor 0 1 1 und Vektor 1 2 1 ja das ist die Ebene durch 0 die von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird und auf die ich den ganzen Raum projizieren ist muss ich noch sagen wo die Sonne steht also in welche Richtung ich projizieren will und die Richtung ich an durch nicht gerade durch den Ursprung geht und die wird aufgespannt von den Vektor -minus 4 -minus 1 2 vor der Situation dass die hier auf dem Bild ist mehr Ebene und sie haben die gerade die die Richtung angibt also stellen Sie sich vor die geben dass der Boden relevant Wand was und die gerade gibt die Richtung an in der die Sonne steht und sie soll den Schattenwurf berichtet man dass das was die Projektion macht also Schattenwurf von jedem Punkt im Raum auf diese Ebene zugegebenermaßen es ist ein bisschen seltsamer und 2 sollen eine oben eine unten der aber natürlich auch die Punkte von oben auf die Ebene projiziert werden soll da aber wir können uns das haben die Vorstände siehe oben sondern und der Sonne und beide machen entscheiden muss so also erstens es soll für die lausige Qualität das ziemliches not denn gewesen des Bildes erst sehr kurzfristig dann aber ein .punkt ist bewusst sie sehen ich hab ich mir diese Ebene und diesen diese gerade hingeklatscht das war keine Colin Datensystem drin dass es nicht weil zu wenig Zeit sondern das ist so gewollt weil ich eben ihr Augenmerk darauf lenken will also wenn Sie jetzt das Standard Basis Kundensystem einmal liegt das irgendwie komplett quer dazu vor und passt gar nicht dazu aber sie haben eben anders Stelle jetzt die schöne Freiheit sich im 1. Schritt der coolen Datensystem selbst zu wählen nur wenn sie keins haben in dem sich 1 und jetzt nehmen Sie natürlich 1 ist gut zu der Aufgabe passt aber wenn man das sagen wenn man in der diesen gewählten Cullinan System die Abbildung SmartThings hat und wie sie jetzt und den der Standard Basis haben weil die ganze restliche Rechnung mit dem Projekt was sie gerademachen das dann aber stattfindet dann müssen Sie sein umrechnen aber dafür vermitteln Basistext Mehr also gesucht es tatsächlich die Abbildung Smart wechseln das Standardpaar sind nur weil das ganze Projekt dessen der Standard Basis sie haben es nur zwischen dem dieses Problem mit dieser Projektion also wir suchen die Abbildung SmartThings von Fly bezüglich B und lässt sich dann passt doch was Sie dafür brauchen sind die nur in der Abbildung SmartThings denn die Koordinaten der Bilder der Basis Sektoren also müsse sich überlegen was ist die das Bild vom 1. Standard Basis Vektor bezüglich der Projektionen des kommen die 1. Spalte das nicht so wirklich offensichtlich eher was mit dem Wetter 1 0 0 passiert wenn sie in die gekommen die Richtung auf die Ebene projiziert also machen wir anderes Vorgehen suchen uns also betrachten eine der Abbildung angepasste Basis es ist die Überlegung wie sieht die aus also was ist eine dieser in ihren Abbildung angepasste Basis ist eine von der Sie sehr schnell sagen können dass die Bilder der Basis Victor etwas sind von welchen Vektoren können Sie sofort sagen uns abgebildet werden wer ganz einfach sind die Vektoren in der geraden da drin was passiert mit dem die genau in Richtung Sonne gucken wenn sie die Runde projizieren bleibt nicht viel übrig die werfen keinen Schatten der geht es 0 aber also das ist mein Bruder Victor für die für unsere Basis und welche von welchem werden Vektoren kennen Sie noch die Bilder von ein Lektor in der Ebene weil so merkte der Ebene wenn sie dem projizieren auf die Ebene der passiert genau nichts da bleibt so wie es ist um das heißt das besuchen setzte Basis von unserm R 3 aus Vektoren in der Ebene und in der Kran Mehr Direktoren haben wir dann über die beiden aufsparen Lektoren von der Ebene 0 1 1 1 2 1 und den ausspannen Wetter von der gerade -minus 4 -minus 1 2 es müssen erklären dass das der Basis ist es sind mal 3 Vektoren das ganz gut du musst weg muss den ja abhängig sind oder unabhängig pro Moment können Sie mir glauben die sind ja unabhängig oder sie kucken sich's Bildern der die sind ja unerträglich Hause da müssten wir jetzt ja Bildungsmarktes von 4 bezüglich dieser was und das ist nicht wie er nicht schwierig was brauchen wir brauchen die Bilder der Basis Vektoren also nur diese Welt wollen wir sind die Vektoren wie ein Strich B 2 ,komma B 3 ,komma musste bestrich Basis was ist das Bild von der Strich wie ein Strich liegt in der Ebene drin und wenn Sie es auf die Ebene projizieren kommt wieder der 1 Strich raus das Gleiche gilt für die 2 ,komma wenn sie dem projizieren Compiz ,komma raus und was ist mit B 3 gestrichen was ist denn der Graben und da hat mir gesagt wenn sie den projizieren hatte keinen Schaden der wurde 10. 0 haben Sie also für die Direktoren sehr einfach die Bilder der Basis Vektorraum bestimmt jetzt

brauchen wir die Koordinaten der Bilder der Basis Vektoren und dann aber die Abbildung SmartThings von Vieh bezüglich der bestrich Basis was ist die was sind die Koordinaten von viel von D 1 Strich in der gestrichenen Basis wer einmal wie ein Strich +plus 0 Wallwitz ,komma +plus nur immer wieder ,komma also 1 0 0 die Koordinaten von wie vom Blitz ,komma also von Bild 2 ,komma in der Bild in der gestrichenen Basis sind nun mal wie ein Strich bloß einmal B 2 ,komma plus normal wie 3 Strich die Koordinaten von dem Bilder von den Tiefen von des 30 liefen nur Sektor die sind einfach dies in aller Munde sondern sie Abbildung Smarts und Sie sehen die sagte Abbildungen angepassten Basis ist der Bildungs Matrix wunderbar einfach aber wir sollen ja nicht die Abbildung bezüglich Bis-Strich liefern wir stellen sich ein größeres Projekt in Teilprojekten vor jeder muss Mussolini der Abbildung verwursten jeder verwenden andere Basis das kriegen Sie die zusammengesteckt nach das heißt sie müssen sich auf eine gemeinsame Basis einigen und normalerweise wird das sich dann der Basis sein also müssen wir das Ding umrechnen Aufsicht dann was das war auch das Ziel suchen die Abbildung Small 5 die bezüglich der Steine Basis und jetzt können wir unseren Basis wechselt sie also was sagte Satz 9 2 da hab ich ihm gesagt und ich hatte ihn noch als Beispiel den nachgesagt wenn Sie von der Standard Basis in andere Basis wechseln das ist genau umgekehrt wie das jetzt machen wir wollen von irgendetwas nicht aber was ist aber wenn sie von der Standard Basis in andere Basis wechseln dann ist die beste Basis Wechsel Matrix ganz einfach zu bestimmen dann kriegen Sie nämlich einfach indem sie die neuen Basis Vektoren in die Spalte schreiben die 0 1 1 1 2 1 -minus 4 -minus 1 2 wenn sie diese das 6. Matrix nehmen dann vermittelt die gegen Bares Wechsel von der Standard Basis -minus was das ist genau falschrum wir wollen von -minus Basisstandard was aber das ist erst mal die die den Wechsel von der Standard Basis die Bis-Strich Basis vermittelt also mit dem er es kriegen sie die Abbildung Smart wichsende Bis-Strich Basis von Vieh ist es mal die Bildungs Matrix in der Standard Basis von Vieh meist auf minus 1 anders rum da so -minus 1 mal dicht an der Basis war es so bei ausreichender sehen wenn das die falsche Richtung ist Na weil sie aus weil sie jetzt den umgekehrten Basis Wechsel daraus sofort folgen können und multiplizieren Sie mal die Gleichung von eher links wird es und von rechts es -minus 1 also von links wird es multiplizieren dann steht da es

malt sich dann die Abbildung smarte in der gestrichenen Basis von Fly =ist gleich und rechts steht es mal ist -minus 1 bis Mehr Summe seines Identität also bleibt hier im wie mal es denn es hat immer gesagt solle von Rechtsnormen es auch -minus 1 multiplizieren und sieht das so aus da und so haben sie jetzt den umgekehrten Basis Wechsel sie kriegen die Abbildung 2 Sophie bezüglich B in dem sie es eben andersrum es mal da aber mal bezüglich bestrich man es auf minus 1 impliziert so jetzt bleiben nur noch 2 Dinge zu tun sie müssen es invertieren und sie müssen zweimal zu Matrix Produkte bestimmen das es invertieren X sich eben wieder nicht vor das dürfen Sie selber machen kann also was ist es doch -minus 1 wenn Sie dass es von da oben steht ist ne Gauß Algorithmus nur ein paarmal kräftig Hormonen kriegen sie die Matrix raus 5 -minus 6 7 -minus 3 4 -minus 4 -minus 1 1 -minus 1 wer keine Lust auf den hat kann zumindest kurz mal meine behauptete es auch mir 1 mit dem 1. oben multiplizieren und da sollte werde die Einheitsmatrix rauskommen gut also die Weise haben wir dass es dass es noch minus 1 und jetzt ist reines rechnen und sich bitte nicht verrechnen also erst mal ich dann mal die Abbildung Swap ist die Belgrader hat man es auch -minus 1 ausrechnen

also das müssen Sie ausrechnen MBB von Vieh dass das was wir haben wollen und wir haben gesehen dass es es mal die App Bildungsmagazin -minus Basis war es noch minus 1 und das ist es war 0 1 1 1 2 1 -minus 4 -minus 1 2 dass man unsere 3 angepassten Basis Vektoren dann kommt die Abbildung Smart wechselnde Bis-Strich Basis die war schön einfach die hatte nur 2 Eigensinn und was sonst ja nur lass dich dann kommt die inverse 5 -minus 6 7 -minus 3 4 -minus 4 -minus 1 1 -minus 1 1 müssen Sie da umrechnen eine Matrix Produkt also 1. Matrix mal die 7 Mitte des geht noch ganz gut aber das ist für vielen Nullen sind und dann hat man noch eine würde Multiplikation die ein bisschen mehr Aufwand ist und dann kommt am Ende raus -minus 3 4 -minus 4 -minus 1 2 1 -minus 1 und 2 -minus 2 3 und sehen diesen das ist die Abbildung Small von dieser Projektion bezüglich der Steine Basis und die so einfach zu erraten wer wohl nicht so schnell gegangen war insbesondere sehen Sie jetzt wenn Sie also den Standard der 1. bei Basis weckt aber Standard Basis dann wird der projiziert auf den Punkt -minus 3 -minus 1 2 hätte man wahrscheinlich nicht direkt gesehen nur insofern ist dieser Umweg wenn Sie die Aufgabe haben finden Sie sich da Abbildung smarte zur beschränken ja Abbildung meist ist es das schnellste suchen sie sich die passende Basis bei der man die Abbildung des Matrix durch bloßes draufgucken sieht wie stehen Sie dazu der Bildungs Matrix und da machen Simbabwes 6 wir müssen Standardverfahren wenn man die App Bildungsmangel sowie das was es haben will mein Name haben Glück man haben wird und die App Bildungs Abbildung ist so das hat sich dann hat er sich schon passten und dann sieht man von bezüglich der seine Basis was die richtige Abbildung SmartThings ist aber meistens liegen die eben den oder die Dinge tun die man dreht oder was auch immer gerade gefordert ist schräg im Raum und den es nicht an der Basis Murks gut das ist wahr der teilt konkretes rechnen so Sachen Basis Wechsel ich hätte wir noch kurz ein Begriff einführen und mich noch dem Spezialfall widmen was ist wenn sind Basis wechselt bezüglich Ottonormal Basen haben wenn die Standard Basen aus normal Basis und es gibt noch viele weitere Orte normalerweise in dem Fall ist der Basis wechselt entdecken einfacher und diese mit Ottonormal Börsenrecht recht oft auftauchen wenn ich Ihnen das nicht wir jedes nicht verschweigen also aber erst noch ein Begriff der sich relativ zwanglos im Moment ergeht Definition 9 6 wenn gesehen wenn Sie in Basis 6. machen dann werden im Jahre alt werden Matrizen die die Abbildung des Matrix zu der Linien Abbildung waren also zu der dergleichen gern Abbildung gehört eine andere Abbildung Smart fix und die Matrizen die zu der der gleichen Jan Abbildung gehören die wollen wir jetzt irgendwie zusammenfassen oder ja denn die sind haben besondere Beziehung zu einander und das wollen wir mit dem Begriff belegen also 2 Matrizen aus auch im Kreuz nennen wir ähnlich und es ist tatsächlich keine von mir erfundene Begriff so anders so üblich aber das ist ein bisschen albern anhört also die heißen ähnlich wenn sie durch ein Basis wächst in eine Umrechnung wahr sind das heißt wenn es einigen datierbare Matrix geht also nicht wie der 1. der Basis Wechsel Matrix in der Matrix geht so dass sie das Bier schreiben können als es doch -minus 1 aber ist also wenn die Abbildung smartes bezüglich immer was es ist SPD bezüglich einer anderen Basis die durch den Basis Wechsel mit es gegeben ist jetzt können Sie natürlich also jetzt

kommt Bemerkungen 7 der 1. Punkt ist das was ich gerade sagte wenn Sie Darstellungs Matrizen ein und derselben linearen Abbildungen die sind immer zu einander ähnlich also wenn Sie eine lineare Abbildung haben und sie jetzt die App Bildungs Matrizen bezüglich verschiedenen Basen angucken dann sind es immer ähnlicher Art Matrizen und die Frage ist jetzt natürlich gibt es überhaupt Matrizen die sich nicht einig sind also kann ich nicht wenn ich eine Abbildung und harpuniert alle möglichen bei allen betrachtet wenn ich da nicht einen Beitritt und die Antwort ist nein und das kann kann kann ich Ihnen aber erst einmal in einer 12 Vorlesung wasserfest begründen dass die Antwort Nein ist also ich schreibe mal das ist hält sie nicht alle Matrizen sind ähnlich und Begründung beweist sie in einer Woche der sie werden Sie werden erstaunt sein wie man früher überlegen Sie mal wie könnte man das zeigen damit zeigt man dass 2 Matrizen nicht ähnlich sind sie nehmen sich zwar hier und da müssen sie zeigen es gibt keine so dass das eine der Welt so -minus 1 mal das andere Mal es ist schwierig aber es gibt mit wurde ja also vollkommen recht ok das ist noch einfacher geht es den die die des ist die 0 Matrix da man sich überlegen zu lassen und mach es Ähnliches nur weil es können sie oft nur Matrix Helligkeits Transport ok also Matrix Sonderfall aber dann immer Romantik Sektion alle aus 81. Zusatzes zur nannte ähnlich und auch hier ist die Antwort nein jetzt kommen Sie mit Einheitsmatrix dies auch noch gut wenn Sie Einheitsmatrix Ehrlichkeit transformieren und auch immer die eine zwar Rexrodts wurden schließlich die beiden aus es kann und das letzte was ich noch sagen will das können Sie dann auch noch mal nachprüfen so als Erinnerung und Fingerübungen Ähnlichkeit ist Mac Valenz Relationen und das bedeutet jetzt wieder machen willst nicht aber Sie können in der ganzen Matrizen Klassen einteilen in die denn diese Quelle ins Klassen die Durchgängigkeit gegeben sind und da kommt ne ganze Menge Klassen raus so jetzt hab ich gesagt wir wollen uns noch anschauen was passiert bei Basel also was ist der Spezialfall von Basis Wechsel wenn sie auch im normalen lasen haben da müssen wir uns natürlich damit wir von Otto normal Basen reden können brauchen wenn Skalarprodukt damit Worte Finalität haben mit Ansgar Produkt haben diese Vorlesung müssen wenn er Vektorraum nebenbei wird Skalarprodukt immer reellen Vektoren angeschaut haben also LVA ab jetzt im n-dimensionalen R Vektorraum und da drauf ist Skalarprodukt gegeben freilich wieder mit dem runden Klammern -minus Mitte so und dann haben wir jetzt eben 2 Ottonormal Bahlsen aus

also B und B Strich sein Auto normal blasen von Frauen n und meine Behauptung ist wenn Sie jetzt die Basis Wechsel anschauen also die Basis Wechsel Matrix die ihnen die den Übergang von der Basis Bis-Strich zur Basis b macht und deren Spalten also die Spalten von dieser Basis Wechsel Matrix um Wurf gut wies diese Basis nächste Matrix definiert das haben am Anfang des Kapitels die Krim die Basis Wechsel Matrix immer in dem sie sich die Abbildung im Jahr Abbildung Identität anschauen und sich die Abbildung SmartThings der Identität bezüglich dieser beiden Basel ende also die Abkühlungsphasen hält von V mit bestrich nach vorne B das ist es und wenn Sie wenn beides Ottonormal Basen sind denn er hat dieses 1. besonders schöne Eigenschaft dann werden nämlich die Spalten von es selbst wieder eine neuerliche Ottonormal Basis dass er allen bezüglich des Standard Skalarprodukt kann B und bestrich sind Ottonormal Rasen nehmen in Ehren der er an Vektorraum V das kann Polynom rein oder sonst was sein und die App Bildungsmarkt geht natürlich auf dem in und die Spalten dieser Abbildung smartes Unternehmern UNB bezüglich des Standard Skalarprodukt und das werde ich in diesem Satz jetzt auch wieder mit dem runden Klammern schreiben aber hier unten schreib ich erinnere hin und ich vor sagt das ist die Behauptung die Basis wechseln Bartels zwischen 2 un ist hat ihn nach allen hat immer eine spezielle Struktur nämlich die Spalten lebende Autor normal Basis bezieht sich dann erst Skalarprodukt ich

zeigen also wenn man unsere gegen meinen Basis Vektor in unserem basenarmen also die Basis B wenig B 1 bis B und die Basis Bis-Strich wenn ich mir einen Strich bis B entspricht das ist einfach nur genau so zu aber es ist jetzt die jobbte Spalte von in den ich mal SJ sinnigerweise also SJ die Spalte von S was ist das in den Spalten und so weiter stehen die Kurden der würde der Basis Sektoren also die jobbte Spalte von es enthält die Koordinaten des Bildes der Identität von Joppen Basis Vektor die Identität von und Basis weg dass die Leute Basis Vektor also ist das sind das die Koordinaten von DJ strich jetzt wirklich B 1 das sind ist die harte Spalte und jetzt hatten wir im Abschnitt 4 ich hab behauptet das war Bemerkung 4 15 hoffentlich stimmt das also mehr dort gesehen sie brauchen die Koordinaten von DJ strich bezüglich B es Orte normal Basis goldener bezüglich Nord normal Basis ausrechnen es einfach wer sonst ist das nervig weil Koordinaten bezüglich der Basis ausrechnen heißt sie müssen erst am System bezüglich der UMP ist es einfacher bezüglich der un kriegen Sie die Koordinaten also können sie die sich optisch Spalte die da gegeben ist durch die Koordinaten von DJ strich bezüglich B in sie ihren Vektoren M und jeweils Skalarprodukt bilden mit dem was Basis Hektor also der 1. Eintrag ist die Kursinhalte bezüglich dem Vektor B 1 und das ist Skalarprodukt von DJ strich mit B 1 10 V 2. Koordinate ist gar Produkt vom DJ strich mit Bild 2. V und letztes ist kann das Skalarprodukt von DJ strich mit BNV sonstigen weckt war und dass es dieser Kundendaten weckt er zu sehen hier es Kontendaten bestimmt viel einfacher der Vorteil dem Ottonormal Basen zu müssen es Gala Produkte bestimmen und nicht an ein Kreuz in auslösen so damit haben Sie die Orte Spalte von S und was ich jetzt behaupte es diese Spalten bilden ein Auto normal was ist es denn jetzt was Sie diesem weg durch die 10 Zahlen er kann sitzen Vektor n soll ja auch so sein zum Pollenarten Vektor so meine Behauptung war diese Sektoren denn jetzt nur so normal ist das müssen wir also tuen wir müssen zeigen wir uns 2 von den Vektoren nehmen also wenn sich 2 Werte J und K aus 1 bis n gleich wieder verschieden ganz egal wir müssen wir es kam mit SJ Skalarprodukt bilden Standard Skalarprodukt und zeigen da kommt der DJK raus also da kommt ein Frau Svenja Kleiß K um 0 sonst also das müssen man müssen Skalarprodukt von SK mit ist je mehr in Lebensstandard Standard Skalarprodukt und feststellen dass dort die Tische Delta Heuer rauskommen soll also wie ist das dann das Skalarprodukt definiert sie summieren von 1 bis n LTE Komponente malte Komponente also Pk strich Skalarprodukt mit V mal DJ strich Skalarprodukt mit DRM fahren so ja kommt da jetzt der DJK raus was machen wir was da steht

ich gucke mir um es vor der es betrachten Sie das mal alles der Summe über Zahlen mal Skalarprodukt in der das Erste Skalarprodukt es einfach sind zahlen CL also das Gesumme CL mal das Skalarprodukt dahin ferner wie ein 2. Argument also dürfen sie diese ganze die Akkommodation ins 2. Argument steht das geht große Skalarprodukt J strich nein das ist dieses Bild Striche ,komma und jetzt kommt die ganze Jahr Kombinationen 2. Argument also Summe L gleich 1 bis n EK Strich L in mal l und das jeden Skalarprodukt in n tja das es in der Welt hält im 2. Argument jetzt muss man sich diese Summe da hinten mal genau angucken was steht der Ihnen ja Kombination von den Vektor B 1 bis B 1 des ist die das ist wieder so nur zahlen ABl und die sich in Jacke und diese diese Zahlen diese Koeffizienten von denen ja Kombinationen sind genau die Koordinaten des Vektors Becker ,komma über die A B 1 bis B 1 war es was hier also steht es ziemlich kompliziert Becker spricht der Bemerkung 4 15 setzt jetzt wieder Bemerkung 4 15 so also was hier steht ist aufgepustet BJ strich Pk strich ja aber B 1 Strich bis PS Strich ist mit o n also dass es Skalarprodukt von bedürftig und Pk strich der DJK an weil das gestrichene Orte normal ist und damit sind auch die Spalten von unserem Matrix Otto normal ist Sie sagen die Spielerei das bringt ein das dass die Spalten UNB sind gut es gibt ein 1. in ganz wenn man wirklich konkret so Zeug rechneten sind im Check ob man sich beim Bestimmen der Basis 6 mal 6 nicht vertan hat als wenn sie zwischen 2 un wechseln und eine Basis Wechsel Matrix und die irgend Spalte ist 1 1 0 dann ist es schief gegangen bei wenn sie zwischen 2 un wechseln muss es muss die alles Wechsel Matrix Mehr ich bei der Basis 86. Ottonormal Basis bilden das heißt zumindest mal jede Spalte muss normiert 1 sein und das ist ein .punkt weshalb das hilft aber es gibt noch ein 2. mit dem auf den komme ich jetzt zunächst mal haben wir jetzt also eine Sorte von Matrizen diese schöne Eigenschaft haben nämlich das ihre Spalten UNB bilden und damit man nicht jedes Mal sagen muss sei eine Matrix den Spalten UNB bilden kriegen den Namen also eine Matrix A aus dem in Kreuz heißt orthogonal ebenfalls genau das ist also falls die Spalten wenn von dieser Matrix A 1

un be bezüglich dem Standard Skalarprodukt bin ich hier gibt es so dass der Begriff orthogonalen wie du fürs Auto normal wäre besser weil sich bei diesen Autoren normal Basis verwendet man die Matrix dann orthogonal fragen Sie mich nicht das heißt halt also die betrittst heißen orthogonal wenn die Spalten 1 Autoren Ottonormal Basis geben so und der 1. wichtige Sache zu zur er sich zu merken oder sich klar zu machen orthogonale Matrizen sind immerhin wird hier waren warum weil die Spalten bildende UNB das heißt die Spalten sind allen unabhängig das 1. Ranges in man daran nächstes wird das ist schon eine schöne Eigenschaft von orthogonal Matrizen also ich schreibe mal daran von gleich in und nein ich Ihnen gesagt orthogonale Matrizen 10 auch deswegen angenehm weil wenn sie mit denen Basis wechseln machen also wenn sie Basis Westen Auto normalerweise machen können sich Arbeit sparen und das ist der Inhalt von der

Übungsaufgaben 19 sie Übungsblatt 12 und die geht es ganzen Haufen äquivalente Formulierungen für als orthogonal also wenn Sie den Matrix haben aus dem er hoch im Kreuz allen dann sind die folgenden Aussagen äquivalent also logisch äquivalent erstens diese Matrix ist nicht irgendeine sondern orthogonale Matrix die 2. er ist in der Tiere war das reicht noch nicht gibt durchaus in Wittiber Matrizen die nicht orthogonal sind aber als in der Tiere war und die inverse hatten besonders einfache Formen Inverses nicht leichter transponiert also wenn orthogonal ist das demnächst diverse gleich der transformierten und umgekehrt wenn sie in der Tiber Mastix haben den inverse gleicht der transponiert ist dann ist es mir orthogonale Matrix ich hatte ihn orthogonal definiert über die Spalten als un d das gleiche geht über die Zeilen also Matrix ist genau dann orthogonal wenn die Zeilen von A eine UND bezüglich des Standard Skalarprodukt liefern kann also das ist sein oder Spalten ist egal wer des ist das wird schon als orthogonal genau daran wenn es ihnen wird hierbei ist und auch diverse orthogonal ist also wenn Sie orthogonale Matrix haben dann ist immer auch die inversen orthogonale Matrix das wiederum überrascht uns jetzt überhaupt nicht was in orthogonalen Matrizen dessen Basis Wechsel Matrizen zwischen 2 Uhr also normal und wenn die Basis Wechsel Matrix besteht orthogonal Basis Ottonormal Basis B zu oder normalerweise SCE ist wenn es auch -minus 1 die über 6. Martens Fundorte normalerweise Szene Autonummer was B und natürlich auch orthogonal so und letztens hat Franz Art oder ein so ist abgesehen davon dass das ein Riesensatz von schönen aussah gebaut und eine Matratze ist es ist das Haupt nutzbare davon es werden sich erinnern wann immer sehen was Wechsel machen müssen dass sie diverse von Matrix ausrechnen und wenn die Matrix relativ groß ist kann das ziemlich ätzend sein sollen das auch zu Recht in Sachen nächsten Jungs wird auch feste und wenn sie es denn B kucken stellen sie fest im von orthogonal Matrizen ausrechnen es demgegenüber Spaziergang bei transponieren es einfach 2. Zeit Screen hin das ist deutlich angenehmer als die vollen aus durch x also wenn sie das ist sich zur Ortung normalerweise haben und sie müssen wirklich durchrechnen fragen Sie bitte nie niemals an die Matrix invertiert Mehr also müssen wir Tieren aber denken Sie einen Satz und wenn Sie einfach die transponierte spart die gleichen Rechenfehler und viele 8 gut dass er ist es war ja alles Krebs steht jetzt noch dass diese Menge aller orthogonalen Matrizen diesen der Gruppentheorie auf einem Gruppen ganz wichtig wird sie aber nicht besonders oft im vielleicht kommt sie in die mal eben um die und ich würde die Finger sie sogenannte orthogonale Gruppe weil die orthogonal Matrizen mit dem multiplizieren tatsächlich der Gruppe bilden ich wiedergewählt Übungsaufgabe umso bisschen altes Zeug aus zu fischen was war das nur mit Gruppe also zeigen sie alle orthogonal Matrizen mit der Multiplikation für die Gruppe die Gutscheine das ist das was ich zum Thema Basis Wechsel sagen wollte uns jetzt kommen noch 2 Kapitel ihren Algebra die haben wir die welche für verschiedene Dinge wichtig sind aber das Ziel sag ich jetzt mal ist noch die eine offene Frage zu klären die wir gestern weltweit AMD letzten Freitag hatten dadurch in diesen mirakulösen Basis wechseln geschrieben der die Matrix so arg vereinfacht hatten die Frage war wo kriegen wir denn hier und das ist das einzige Ziel der nächsten 2 Abschnitte und das 1. was ich Ihnen was wir dazu brauchen ist noch ein ganz ganz wichtiges rechnen mit und die die die Vorlesung schon mal gehört haben und werden sich wenden sich auch bestätigen dass man das Zeug häufiger braucht zum die sogenannten Determinanten in also das 1. Wort so was ist die Idee ich dir noch mal zu dem Thema invertieren von Matrizen dann haben sie

noch nicht gesehen aber nach nächsten Übungsblatt werden sie es gesehen haben wenn Sie irgend ne 2 Kreuz zweimal Tricks haben dann kann man die inverse sehr leicht hinschreiben wenn sie denn existiert also die Frage ist wann ist eine der Tiere war wie sieht man das wenn an die Nummer Matrix ist sieht man das schnell das sinnliche wird wenn wir nicht zahlen und stehen kann das mühsam sein und gut bei der 2 Kreuz 2 Matrix kann man sich noch einmal sagen gut ich bei abgesetzt nicht 5 oder 10 Minuten hin und welche den Garaus für diverse einmal allgemein durch einmal für alle Zeiten wenn sie das machen in regen sich freuen das Gras 1 durch eine spezielle zahlen nämlich a mal die -minus pi mal ziehen können wir aus diesen 4 Zahlen und dann ist es kein Hexenwerk mehr so müssen die Haupt Diagonale vertauschen also ist des kommt nach oben das kommen und und auf der neben dir alle kriegen Sie Minuszeichen das ist die allgemeinen das ist ne Ausübung bis hin nach wieder man die einmal gemacht hat hat man aller Zeiten und das geht ja um diese ganze Rechnung sie sehen schon kann nur funktionieren wenn diese Zahl hier unten die da da steht bitte schön nicht 0 zu aber den das bin 10 wundesten steht für Unfug und tatsächlich der sich aus es hängt genau an dieser Zahl also das Ding ist invertiert war wenn er mal den -minus b mal c ungleichen und dann ist es diverse und wenn das nun ist dann geht es nicht als es diese Zahl irgendwie wichtig und diese Zahl ist zumindest für 2 Kreuz 2

Matrizen das was die Determinante ist also die Determinante von ASA mal den -minus bin als anders ist die Größe die ihnen sagt ob die Matrix in wird hierbei ist oder nicht ist im Prinzip können Sie die größer als Maß auffassen wie in der Tiere eine Matrix ist die weiter die weg von 0 ist das so für in der hier war das ist natürlich mein Metier was wird hierbei das ist insofern interessant wenn sie mit den Matrizen rechnen und wenn sie mir sehr sehr kleine Determinante haben jetzt invertieren dann werden schauen sich oben den Ausdruck für auch -minus eines Anwenders Arbeit das wird sie sehr klein ist dann werden die Ausdrücke wurden auch 1 ein sehr groß das entspricht dem das Fernsehen im Tal ganz nah bei 0 1 durchnehmen kommt ne ganz große Zahl raus und das bedeutet wenn sie wirklich jetzt auf dem Rechner oder sowas mit solchen Matrizen zu tun haben werden die Fehler sehr groß war wenn es am Rechner arbeiten 7 Runden und das ist ich glaube wenn hatte das auch im letzten Treffpunkt angesprochen da kommen Sie diese besser in die Frage der sogenannten Konditionen also wie stabil ist und die Rechnung unter Rundungsfehler und je kleiner die den Termin in jedem Land ein und rutscht umso kritische wird die Rechten und so umso instabiler oder Rundungsfehlern wird die Rechnung ist wenn ist das auch interessant das Maß für solche für seine Matrix aber im Prinzip sagt sie erst mal wenn Sie 0 ist ist die Matrix nicht erklärbar wenn sie nicht nur des ist die Matrix mit Java so das ist die Determinante für 2 kurz 2 Matrizen dieser Männer die gibt auch ein Prozent Matratzen und sie tut da genau das gleiche sie gibt den Master für das Ding mit nicht und damit es den total ist für alle möglichen Dinge weil was bedeutet dass wir den Preis N Matrizen wird hierbei ist das bedeutet die Spalten sind wir unabhängig genau das genau dann wenn ich bei dir anhängig sind ist das gegenwärtige und genau damit wird hierbei ist die Determinante nicht 0 das heißt sie lernte gibt denn auch eine Methode um die Unabhängigkeit zu testen wir stecken Sie wenn Sie in Vektoren haben wollen müssen wir unabhängig ist stecken Sinne Matrix wenn sie dem Land aus kommt 0 raus oder kommt nicht nur fast also sind ganz ganz weit verbreitetes Hilfsmittel und jetzt kommt das der Pferdefuß an der Sache in diesem gibt es 3 Möglichkeiten immer Determinanten definieren kann mir Determinanten in der Vorlesung einführen motivieren kann und alle 3 sind furchtbar alle 30 didaktisch katastrophal entweder sind super abstrakt und elegant und keiner weiß man das Zeug ausrechnet oder man macht man erklärt wie jemals ausrechnet und er weiß nicht wo es herkommt diesen alle furchtbar ich hab ich halt für eine furchtbare entschieden und definieren jetzt die Determinante rekursiv ja glauben Sie mir es ist glaube ich die die sie am schönsten finden ich ziemlich sicher an der Stelle hab ich keine mathematischen

Gemeinheiten ausgepackt und versucht so zu machen wie wir am besten einer auskommen also Definition 10 1 die Determinante also wir haben im Kreuz R in Kreuz in Matrix und von der Wolga die Determinante definieren wir brauchen wir noch eine Hilfskonstruktion so genannte algebraische Komplimente Namen können Sie gleich wieder vergessen und zwar Ort sortieren wir unsere Art Matrix A jetzt ne Matrix 2 die eine Dimension kleiner ist als -minus 1 Prozent -minus 1 wurde rekursiv Determinanten definieren also müssen wir die Determinante von den Kreuz in Matrix auf ne N -minus 1 Prozent 1 Matrix zurückspielen oder Fluss dann auf 1 Kreuz 1 Matrizen oder 2 Grad 2 für die Hamas auf und zur also brauchen wir die richtige N -minus 1 Kreuz in -minus 1 Matrix und die bezeichne ich mal mit IJK das ist also eine N minus 1 Kreuz in -minus 1 Matrix und die kriegen sie aus dem relativ einfach nämlich Sie nehmen sich die Matrix A und streichen die jobbte Zeile und die Karte Spalt das J ist die Matrix wo sie die Orte Zeile und die Karte Spalte aus gestrichen hat also a 1 1 wäre streichen 1. Zeile 1. Spalte bleibt er -minus 1 Prozent -minus 1 übrig tja das ist nur eines Hilfsmittels braucht genauen Determinante definieren da vergisst man es wieder und jetzt können wir rekursiv definieren was Determinante ist und das fangen wir mit dem kleinstmöglichen die Matrizen an nämlich mit 1 Kreuz 1 Matratzen denn trotz eines Matrizen sind zahlt nein enthält ein Element als auch also Alfa 1 1 n nein da hat man nicht viel Auswahl was die Determinante von sondern Matrix diesen Inhalt als und sie sehen dann passt das auch 1 und 1 Kreuz Einheitsmatrix in der Tiere werden sie nicht nur das man es also nicht nur wenn man sie denn dann die nicht nur im neuen Alfa wenn die Kinder der Alfa ist dann ist das Ding wird hierbei genau dann wenn die Determinante nicht lohnt tja das ist einfacher Fall dass ist nur der Konsums anfangen und jetzt müssen wir die Determinante von den Kreuz ein Matrix auf mehr in die Determinante von N -minus 1 2 -minus 1 Matrizen zurückspielen also geben wir uns in Gold in Matrix wir Alfa jk JK gleich als ist n das im Kreuz in Matrix und jetzt ist das größer als 1 und dann definieren wir uns die Determinante zu war also wieder Bezeichnung geht von

A sollte unser sehr sehr Matrix und was sie jetzt machen es folgendes dass sie gehen in die 1. Zeile der Matrix entlang also summieren von Kai gleich 1 bis n nehmen aus der 1. Zeile das Element in der Karten Spalte das ist Alfa 1 Car dann streichen Sie aus Ihrer Matrix genau die 1. Zeile und die Karte Spalte raus das ist dieses A 1 kam das ist jetzt in Kreuz 1 mal im Kreuz 1 davon wissen wir rekursiv schon was Determinante ist und alle diese Zahlen die Sie jetzt hier kriegen wir die Determinante oder machen man bezahlen zu sie auch besingen sie nicht einfach nur auf seine sowieso noch wechselnden Vorzeichen auf also es kommt noch ein Minus 1 hoch 1 +plus K dazu also der oben links der SK gleich 1 am 7. eines Quadrates ist einst der oben links den multiplizieren Sie mit plus 1 die nächste -minus 1 plus 1 plus 1 plus 1 und 2. abwechselnd und dann kommt dieses ganze Zeug an und das ist Definition werde der Mehr steht zu sich wirklich aber so muss man es definieren damit damit es unsinnig ist und dieses vorne hier die heißt Entwicklung der Termin nannte nach der 1. Zeile der er die auch damit ist es jetzt definiert also diesen sein trotz eines Matrizen und sie haben der Formel die sie für den Kreuz in Madrid einander ausreichen wenn sie die Formel für 1 -minus 1 Prozent -minus 1 vertreten haben ich behaupte nicht dass man für besonders effizient ausrechnen kann aber es ist zumindest mal definiert werden geht nun alternative Schreibweise die wie noch kurz einführen weil sie weil wir sie oft verwenden werden auch immer man sie aufzieht wenn Sie die Matrix A konkret haben ja dann können sie dir mal so seien mein Schreiben Alfa 1 2 1 2 1 n eine vor 2 1 1 2 2 2 bis Alfa 2 und Alfa

in 1 1 2 1 2 ist in also Determinanten sind es geht um die Mittelbarkeit im November trat Matrizen definiert und dann würde man es in Matrix wir runde Klammern rummachen und die Determinante bezeichnen und mit mittragen klammern also dass es noch Sonne Schreibweise für die Determinante die man auf c't die damit ist Definition zumindest erledigt lass sie mit der dass sie die jetzt mal kurz 10 Minuten verdauende gesteht nochmals ist folgende und am 1. mein Brüssel

so ich würde gerne die 2. Hälfte einsteigen und damit anfangen dass wir uns mal langsamer dieses an diese Formel da gewöhnen also ich mal n bisschen Beispiel und ich verspreche Ihnen ich werde noch ein bisschen er Methoden an die Hand legen wie das Bild der Determinanten berechnen einfacher wird Wunder vollbringen wenn nicht das soll heißen beliebig einfach wird es nicht Determinanten berechnen ist kompliziert oder was es kompliziert ist ein algorithmisches einfach rechnen bezahlen ja aber im es ist wenn die Matrizen groß werden Zins ist sehr sehr lange Formel das lässt sich auch das wird sich auch nie ändern das es gibt ein paar Tricks mit dem man sich helfen kann aber der Stein der Weisen wird dann ich es da nicht dabei so das 1. Mal als 1. schauen wir mal das wir unser Ergebnis von vorher wiederfinden also was ist Determinante von 2 Kreuz 2 Matrix ist dass das wird hier definiert haben das was kommt da also das -minus PC raus was rauskommen soll also müssen wir uns durch diese Definition wühlen die Determinante wurde zwar kurz 2 Matrix ist erklärt ist sogar von irgendwelchen in der Kombination von 1 Kreuz 1 Determinanten also müssen nach der 1. Zeile entwickeln mit die 1. Zeile entlang und bei dir diese Terme auf dann kommt 1. wechselnde vorzeitig also für den 1. Eintrag für das Element links oben der Ecke für ist das K 1 und am 7. 1 hoch 2 also +plus 1 darstellen allgemein ist dieses Vorzeichen müssen sie sich immer vorstellen über die Determinante gelegt Vision Schachbrettmuster also an der Stelle hier ist das Plus ist das Minus da ist -minus da ist es bloß geht auch vergrößere Determinanten dieses Vorzeichen nicht immer wenig Schach presst musste über der der über der Determinante und oben links haben 7 oben links ist mir das ich mit 1 1 und 1 und 1 ist 2 und minus 1 Quadrates positiv so also weil wir die 1. Zeile angucken wenn das mit dem positiven Vorzeichen anders entwickeln 1. Zeile dann ist der 1. Term also plus 1 also ich fand's ganz ausführlichen -minus 1 Quadrat mal das aber ist der Eintrag in der Stelle 1 1 mal die Determinante von dem A 1 1 los der 2. Term ist jetzt -minus 1 hoch 1 +plus 2 also -minus 1 5 3 das ist das negative Vorzeichen mal der Eintrag mal die Determinante A 1 2 das ist was die -minus 1 Quadrat ist mir 1 also steht hier aber mal die A 1 1 ist die einst Kreuz 1 Determinante diese kriegen Sie die 1. Zeile des 1. Spalte streichen wir also die 1 Kreuz 1 der Termin nannte die dann nur dass die enthält den Termin nannte der Matrix des wir ans Kreuz 1 Determinanten bitte nicht die Schreibweise mit senkrechten Strichen und des dazwischen weil das verwechseln und zugleich Betrag also armer Determinante der 1 Kreuz 1 Matrix des -minus Determinante der 1 Kreuz 1 Matrix die sie kriegen wenn Sie die 1. Zeile und die 2. Spalte löschen das ist ja und für 1 trotz eines Determinanten ist Determinante nannte gleich dem Wert ARD -minus Bez sieht gut aus zwar das ganze mal eine Dimension größer 1 sehen sich schon das Determinanten berechnen nach Definition kann Spaß machen 2 1 3 4 0 5 7 6 8 ziemlich egal was wir da reinschreiben wieder das Schachbrettmuster drüberlegen wenn Sie entwickeln nahm sie im Kloster -minus dann bloß geht auch so weit interessiert Moment noch nicht soll müssen die 1. Zeile entlanglaufen was kriegen wir kriegen +plus 1 mal 2 mal die Determinante die sie kriegen den Sie die 1. Zeile die 1. Spalte streichen das ist die Determinante 0 5 6 8 -minus 1 mal dass es jetzt diese 1 hier wir gehen die 1. Zeilen lang und streichen immer die 1. Zeile und die entsprechende Spalte raus also diese 1 mal die Determinante diese kriegen wir Sie die 1. Zeile des 2. Spalte streichen wenn Sie die 1. Zeile des 2. Spalte streichen bleibt übrig 4 5 7 8 es kommt wieder bloß Vorzeichen und der Wert der darstellt 3 Mal die Determinante diese kriegen wenn sie die 1. 2. die 3. Spalte streichen das ist die Determinante 4 0 7 6 als können sie wieder die Determinanten die da übrig bleiben nach der gerade gefunden rege durch Echsen also zweimal 0 mal 8 -minus 5 mal 6 -minus einmal 4 mal 8 -minus 5 mal 7 +plus 3 mal 4 mal 6 -minus 0 9 7 na das ist

jetzt rechnen mit ganzen Zahlen am Schluss kommt 15 raus er sie sehen wenn ich ihn jetzt in Kreuz 7 Matrix Sinn macht dann wird jeder von den fluchen mehr leider muss vorerst auf 6 Grad 6 5 ,komma kein Spaß also müssen uns überlegen wie wir wie wir alle die diese Werte das effizienter kommen noch ein Kommentar ist es trotzdem wenn sich jetzt überlegen was wir damit gezeigt werde mit gezeigt Determinante von den Dom 15 also sie kriegen die wird Vagheit von dieser Matrix damit sofort noch nicht immer so gesehen Mittelbarkeit es ist nicht ausgemacht hätten dazu und auch bisschen länger so war es dann so wenn es schon ein kleiner Gewinn da also überlegen uns wie wir effizienter an die Matrix kann die Determinante kommen und die andere wir doch jeder aus Verfahren sein witzigerweise das Gas erfahren haben wir für den Jahrgang Systeme entwickelt und wir werden feststellen zu lösen zum Bestimmen von Determinanten dieses mindestens genauso toll und genauso wichtig aber dazu zunächst mal eine Beobachtung wenn es gibt 1 zu 1 besonders schöne Sorte von Matrizen für die der Termin nannte leicht zu bestimmen ist und das den sogenannten Dreiecks Matrizen also wenn ihre Matrix aus kann auch ein Kreuz in der ich mach's mal für untere 3 Matrizen werden später sehen dass das ziemlich egal ist also unter 13 Matrix ist was ich damit sagen das heißt unter bereits Matrix das heißt das das das 3 oben rechts in der Matrix nur aus Nullen besteht und unten links 10 Werte wegen unter 3 Matrix das heißt gut haben auf die Wunde alle von ihren Matrizen von ihrer Matrix Matrixelemente die Zahlen Alfa 1 1 1 4 2 2 bis ein Verein entstehen und der untere bereits es ist dadurch gekennzeichnet dass hier 0 stehen und was hier unten steht es mir total egal da steht irgendwas also die die agonale und sie am oben rechts 0 das ist das richtige und wenn sie so ne spezielle Matrix haben dann kriegen Sie hier Termin nannte superschnell

warum Na ja Definition was ist die Determinante davon gehen Sie die 1. Zeile durch multiplizieren Sie ins richtige Vorzeichen mal den Wert mal die Determinante diese kriegen den sie Südharz streichen aber wenn Sie die 1. Zeile durchgehen haben Sie nur einen einzigen Beitrag nicht von der 1. Spalte danach kommt und wohl mal 0 mal 0 mal 0 mal 0 mal ne das heißt wenn Sie jetzt nach der 1. Zeile entwickeln kriegen Sie +plus 1 mal Alfa 1 1 mal die Determinante die übrigbleibt durch Streichen der 1. 2. und 1. Spalte was ist das das ist die Determinante die mit Eifer 2 2 anfängt bis Eifer NN geht die hat hier oben wieder lauter Nullen und und steht irgendwas was mitunter legal ist das heißt es wieder Logo unter 3 8 jetzt kommt eigentlich bloß 0 mal das was sie kriegen wenn Sie die 1. Zeile des 2. Spalte streichen aber nun mal irgendwas ist 0 und so geht es durch also das ist jetzt anders und so können so weitermachen mit entwickeln Sie das wieder dann finden Sie Alfa 1 1 1 2 2 2 Mal die untere Dreiecks Matrix wie jetzt bei 3 3 anfängt hier oben stehen Nullen dort steht irgendwas Mehr und so geht das weiter und weiter und am Schluss kommt raus vor 1 1 1 4 2 2 1 1 3 3 bis an's am Ende also findet unter 3 Matrix sehen Sie dieser Wieland einfach als Produkte der Einträge der die 100 Einträgen fertig das ist ziemlich simpel gegenüber dem andern Schrott nun ist insbesondere haben sie damit sofort die für eine besonders wichtige Matrix nicht für die Einheitsmatrix Determinante bestimmen bestimmt was ist damit die die alle Einheitsmatrix die 1 20. speziell schöne unter 3 Matrix dies nicht gleichzeitig auch nur obere 13 mach ist die haben nur die Runde Einträge und gar nichts denn daran dass insbesondere untere 30. Matrix und Videobeiträgen alle 1 also dass Determinante 1 mal 1 mal 1 mal 1 mal 1 mal 1 zu gibt es sich je nachdem wie groß sie ist immer 1 hoch n also 1 am besten gut zu dem korrespondiert das die Einheitsmatrix in wird hierbei ist nur die dem Land ist nicht nur gut also der Termin der Einheit 20. immer 1 wurscht unabhängig was die Dimension des und Sie sehen es ist also vorteilhaft wenn wir Determinanten von unseren Dreiecks Matrizen bestimmen kann die können wir gut bestimmen wer wird das irgendwie unser Determinanten Stimmungs Problem zurückspielen auf unter bereits verputzt ich habe man aus der Matrix nur unter 3 20. machen das Verfahren ja wenn sie dann dort Verfahren arbeiten was machen Sie sie machen möglichst viele Nullen darein dass das Telefon aus Verfahren das die Matrix im Prinzip wenn es ideal läuft am Fluss mit Einheitsmatrix ist aber zumindest so dass sie unter 3 Knoppix haben damit zu rückwärts einsetzen können so was wir also wissen müssen ist was passiert mit der Determinante von der Matrix wenn sie bei der Matrix irgendwelche aus Schritte machen dort ist der Inhalt vom nächsten Satz so starke Rechenregeln für die Determinante denn ich ihn

hier ohne Beweis klatschen werde aber lesen denn es war die Frage was passiert mit der Determinante wenn sie wenn Sie elementaren von Bundeskanzler Franz machen und Sie werden feststellen bei allen Verfahren bei einem vor Umformung die machen passieren sehr leicht er merkt baldige mit der Determinante die man gut mit führen kann und insofern ist das Chaos Verfahren wird sich ab seit erweisen als die Methode zum Bestimmen von also wir haben den Matrix aber kam in Kreuz Ende und ich nenne mal gleich die Zeilen dieser Matrix A 1 bis A L U 3 also dieses sind Oscar auch in Kreuz ist im Kreuz in Matrix und Direktoren A 1 bis A N das seien jeweils die Zeilen von Ar zwar 1. Rechenregel was machen wir beim Wasserfarbe vertauschen Zeilen und das Vertauschen von Zeilen ändert beim goß Verfahren nichts an der Lösungsmenge Achtung bei Determinanten ändert das was aber nicht besonders dramatisch wenn Sie 2 hat seinen vertauschen da multipliziert dass die Determinante mit minus 1 also Zeilen vertauschen setzt das Vorzeichen in das heißt wann immer sie die Determinante bestimmen da unten 2 Zahlen vertauschen dann müssen Sie es Vorzeichen trinken wir also wenn Sie zum Beispiel die Determinante anschauen dem Beispiel von hier war 1 wer aber wenn sie in die beiden 1. Zeilen vertauschen A 2 A 1 A 3 A 4 bis A 1 also A 1 und A 2 getauscht dann ist das Minus Determinante von wenn Sie so noch A 3 1 4 tauschen sie will verminderte von 8 wenn Sie auf 4 mit 8 tauschen wurscht irgendwelche 2. eingetauscht Zwistes Vorzeichen um 1 zur 2. Schüler .punkt dieser

Termin nannte es linear und zwar ja in jeder Zeile das heißt wenn Sie in der Unterzeile in der Kombination von 2 Vektoren stehen haben können Sie das auseinanderziehen also wie kann man das noch anders hinschreiben was auch immer sind das sehe ich seine Zeilen nehmen also J zwischen 1 und n alle B aus K n genauer gesagt müssen wir das Zeilen sind transponiert Oscar-Rennen und alle Landau Oscar gilt folgendes also Sie haben ihre Determinante die hat die 1. Zeile dann die J -minus 1. Zeile unterjochen sein Ansinnen ja Kombination lahmender AJ +plus will B und der Rest ist wieder normal Eier plus 1 bis 1 dann können Sie das linear Sander ziehen das ist sich die wichtige Regel weil die Ihnen sagt was bei dem er daraus wird wenn sie addiere fünfmal Zeile 3 auf Zeile 1 kann das ist genau was nur verleihen ich fünfmal Zeile 3 es genauso eine Lamm Dario +plus schlimmer des des besten halten andere Zeile so sie der Lander AJ +plus 4 Mal Accra nehmen dass es diese also die aus Umformung Gegenden sie stammen aus Umformung addieren einer Zeile auf eine andere und dann sagt Ihnen dass er die Rechenregeln das können Sie mir auseinanderziehen also dass die A 1 bis A J -minus 1 J a J +plus 1 bis er allen Determinante +plus 7 Mal die Determinante A 1 bis A J -minus 1 b AJ +plus 1 ist am Sarah in der enthält in jeder

Zeile das übrigens eine andere Methode über Determinanten einführen kann es der Abbildung von den Matrizen auf die Zahl die in jeder Zeile linear ist die Einheitsmatrix geht auf ein einer so Dinge und dann der Mann mirakulös zeigen es gibt nur eine solche Abbildung und indem man die Determinante das ist relativ unkonkret aber auch die Möglichkeit mit einführen mit sah was haben wir jetzt noch ich hatte ihnen gesagt normalerweise wenn man wenn man Schritt macht addiert man ja zu einer Zeile das Land darf auch über's Müllfahrer einer anderen das heißt sie haben genau diesen Fall von hier nur das Land der S 1 und das b ist a Car nur ist es eben andere Zeile irgend wenn Sie sich diesen Teil des mal anschauen was dann passiert haben sie in der 1. nach ist das Land das in der 1. mit dem Land auf der rechten Seite das Land als 1 und der 2. Matrix steht an der Stelle J das AK das PSA Car das al-Kaida steht jetzt was auch immer das war das ist eine der andern sein steht jetzt zweimal in dieser Vitamine drin als der verschiedenen Zeiten stets aber dieser bezahlen die Matrix die zweimal dieselbe Zeit das garantiert nicht immer tiefer das heißt dass dem ist nun besonders 1 ist den es nun mit sehen Sie es steht einfach die Determinante von da und das ist der Inhalt von Teil C des besonders treue also wenn sie sich in Land aus kahlen nehmen und nach der normalen daraus um formale dir das Land aufwachen von einer Zeile also der Mann zu einer Zeile von aber das Land einfacher einer anderen Zeile wenn das ist die elementaren Formen und 3 von gar aus aus hatten wir 3 und vom rungsmöglichkeiten Vertauschen von Zeilen Multiplizieren mit dem Lande ungleich 0 und eben diese 3. dann ändert sich eine Determinante gar nichts und das ist sehr praktisch also wenn sie dann werden sie einfach gut denn denn das was man daraus am meisten macht diesen Schritt addiere fünfmal Zeile Zeile 1 machen n dürfen Sie das nette Termin nannte problemlos machen es passiert nichts

es war ich hatte in die Determinante definiert über diese abstruse für Koch Rekursion dar und hatte gesagt dass man meinetwegen nach der 1. Zeile wenn ich das entwickeln nach der 1. Zeile den dann ist zu erwarten dass auch entwickeln nach der 5. Zeile geht das geht auch sonnig verblüffender mir gerade gesehen wenn sie nämlich 2 Zeilen tauschen dann ändert sich mit mit anderen Vorzeichen wenn Sie also unbedingt das 5. Zeile entwickeln wollen weil diese für viele Nullen enthält und hoffe sie hat 1. und 5. Zeile ist die 5. die 1. dann können Sie nach der Formel entwickelt und dann die das auch nur oder man schreibt sich gleich die Formel für das Kind das in Wege nach der Jochen Zeile also entwickeln nach der J 1 1 und er kommt im Prinzip die gleiche vorne raus hauptsächlich wo man aufpassen muss es das man mit denen er ein Schachbrett Vorzeichen richtig agiert also die Determinante von Ar kriegen sie auch wenn sie nach den Orten Zeile entwickeln also genau wie vorne summieren K von 1 bis n jetzt haben sie nicht -minus 1 Woche J +plus 1 +plus Kh sollen hoch J +plus ça nun ist die einst hier ist das ja dann kommt das alpha jk und die Determinante von der n Kreuz 1 1 Prozent -minus 1 Matrix A JK diese kriegen sehen Sie die jobbte Zeilen die Karte Spalt streicht und das was hier steht ist einfach der Spezialfall dort gleich 1 aber weil sie eben zeigen vertauschen dürfen unter Beachtung vom richtigen Minuszeichen dann können sie aber jeder andern Zeile entwickeln jetzt kommt noch eine schöne Nachricht nämlich ob sie von der Matrix die Determinante bestimmen oder von ihrer transformiert nistete Termin nannte herzlich egal also Determinante von A und die denen von transponiert =ist gleich und das bedeutet auch ich dann über ihn schreiben alles was ich gerade gesagt Hamas mit seinen machen können wenn sie genau und Spalten machen die genau 1. transponieren dann bin ich bereit zu zahlen wenn sie die ganze Zeit Umformung machen und dann kriegen sie die Determinante auch aus und das letzte ist die sogenannte Katze tivität der Determinante auch eine wunderbare Eigenschaft weil so überhaupt nicht offensichtlich also wenn sie noch mit Matrix weder zu haben auch im Kreuz enden dann können Sie a mal b berechnen spielen in Kreuz in Matrix und die Frage ist was ist die Determinante vom Produkt und obwohl die Determinante so riesen langer Rattenschwanz von Summe ist komm tatsächlich was total einfaches graues nämlich der nannte von aber Determinante von das ist wunderbar und lassen Sie sich wie bisher nicht dazu verleiten das gleich mit plus zu schreiben das ist katastrophal falsch wenn er er also kann man aus verschiedenen Dingen sehen aber das geht Mitte Mai geht's wunderbar mit plus ist einfach falsch so dass sind die Rechenregeln die ich Ihnen mitgebracht hat und es ziehen wir da draußen noch mal explizit er ja noch ein paar Folgerung wenn 2 davon hab ich schon gesagt er wie gesagt ok also ap Determinante al-Sisi dem nannte er transponiert bedeutet alles was in a bis d über Zeilen steht können Sie genauso Felsspalten macht weil es der Determinante egal ist ob sie aber da transponiert ankommt Zeilen Spalten ist das selbe also das ist der 1. Teil von dem 10 5. Satz 10 4 A bis D gelten auch Fisch bei für Spalten statt sein der führt doch gespaltenen Stadt sein unterliegen

gesagt diese ganzen wegen der oben sagen wesentlichen was passiert wenn sie das Verfahren auf die Matrix anwenden und die Messe von dem Teil ist sie dürfen wenn sie Determinanten bestimmen wollen nicht nur mit den Zeilen daraus machen sondern sogar auch mit den Spalten zu dürfen dass wir man in der also wenn sie LGs machen wussten Sie bitte nie eine Speicherung aber wenn sie dem Land ausrechnen dürfen sie weltweit Zeilen mischen und das ist manchmal sehr hilfreich nach einem Beispiel ich will ihn wenn Sie jetzt nach mit spalten arbeiten haben Sie natürlich auch die Entwicklung nach dem entsprechenden Spalten also schreibe ich ihn noch mal die Formel für die Entwicklung nach der Karten Spalte hin kann man könnte man auch alles als Definition der Determinante nehmen das ist wahr dass ich die 1. Zeile genommen aber reine also Entwicklung nach der Karten Spalte Determinante von Ar =ist gleich sie summieren jetzt wieder von 1 bis n über J Sie mir mit mir die Zeit also die Karte Spalte runter kriegen die Vorzeichen die wechselnden -minus 1 so hier Toskana jeweils den Eintrag an der JK Stelle also Millionen Zeilen Karten Spalte und wenn Sie eintrage jobbten Zeilen Kat Spalte haben müssen sie die harte Zeit und die Karte Spalte streichen und regen die Determinante geben Sie kriegen aus den wenn sie die ja derzeit die Karte bald sprechen zur und was anderes das letzte der letzte Gauß Umformung Schritt wir noch nicht behandelt haben es wurde einer Zeile mit Lander nur was passiert wenn sie mit Zeile einfach mit langer multiplizieren dann passiert den gar aus wenn der Lösungsmenge nix und als sei Landes 0 des Treffens und grauslich macht aber wenn Sie irgend Landung umweltneutral und beziehen wird sich an der Lösungsmenge nichts die Determinante ändert sich Achtung kann man Prinzip vorhin schon gesehen das ist Spezialfall Jahr Kombination wenn Sie die Zeile mit lahmender multiplizieren dann ist die Determinante lang mal so viel und und was wir uns jetzt noch kümmern wollen hier ist die Frage was passiert wenn sie die ganze Matrix mit LÃndern multiplizieren und das ist das wo man oft wo man oft sehr Fehler macht

das enorme explizit weil es so danach schreit Zusage Determinante von Landau es langsamer Determinante von war nein weil es langsam mal langsam mal bedeutet sie multiplizieren jeden Eintrag in und das heißt sie mitziehen jede Zeile mit lahmender an wenn Sie eine Zeile mit Lander multiplizieren dann wird die Determinante miteinander multipliziert das heißt wenn sich jederzeit Zeile mit langer multiplizieren dann müssen Sie die Determinante mit auch n also von sondern al-Islam der hoch n Determinante von das heißt die schöne Farbe wird langsam mal gebe vereint trotz eines Beitritts mit den hat man besser tun oder sehr oft zu tun aber dann wenn man sich die Terminals er nicht Matrizen so damit haben wir jetzt mit diesen Satz Rechenregeln für die nannten und wenn ich mach gleich 2 Beispiele an denn sie sehen an den kommen die auch alle noch mal aber was hier sozusagen das wichtige ist hatte ich vorhin schon gesagt ich festhalten sämtliche aus elementarer Forum können Sie jetzt auf Determinanten loslassen um die zu vereinfachen wenn Sie den normalen Gauß Schrittmachern agieren als vielfachen einer Zeile auf ne andere passiert gar nichts mit der Determinante wenn Sie 2 Zeilen tauschen Minuszeichen wenn Sie seine miteinander multiplizieren multipliziert sich die Determinante mit Land an also wissen was passiert und das Ziel muss immer sein wenn Sie jetzt der komplizierte Matrix haben und machen diese aus Schritte dann ist jetzt die natürliche unter 3 untere oder obere 3 zwar fix zu produzieren bei von der sie Determinante leicht und der Determinante einfach Produkte Diagonalen enthält so Obama Beispiele nun ja den vorhin gesagt wenn ich

ihn jetzt ne große Matrix hinschreibt dann ist das furchtbar wenn wir das über die Definition machen müssen also wenn ich ihm eine relativ große Waves und zeigt dass das mit dem Rechenregeln auch nicht hübsch aber immerhin machbar ist also nur 5 Kreuz-Fünf 1 -minus 2 3 5 8 0 -minus 1 -minus 1 2 3 2 4 -minus 1 3 1 0 0 5 0 0 1 3 0 4 -minus 1 nur sieht hübsch aus SAD normalerweise für den sofortigen Rückruf Fluchtreflex muss mein Rechner das habe ich ihm Nägel oder Mathematiker oder sonst was man aber das kann man noch ich von Hand obwohl sie so furchtbar groß aussieht ich hab jetzt das eine Stunde lang erzählt was man für Determinanten machen kann und das ist zum einen natürlich viel erstmal verwirrend aber es bedeutet zum einen sie haben wahnsinnig viele Möglichkeiten und wenn man wahnsinnig viele Möglichkeiten hat dann gibt es meistens dieser stellt zielführenden Partie einen kreist jagen und man kann die Messe ist man kann bei dieser Termindaten Rechnerei sehr geschickt vorgehen und hat wenig Arbeit und übergaben dort Phosphor gehen und hatte wenn es dumm läuft wie viel Arbeit und es lohnt sich gerade beim Determinanten berechnen nicht gleich los zu rechnen so nochmal mal kurz darauf zu gucken kurz darauf zu gucken ob die Matrix sich irgendwas schönes halt was die Determinanten berechnen einfach macht also zum Beispiel bei diesem Beispiel um Himmels willen nicht jetzt nach Definition nach der 1. Zeile entwickelt warum 1. Zeile vollbesetzt es geht mir sowohl von 5 4 kurz Termine trauen sich mehr über die 4. Zeile der 4. Zeile enthält genau ein Eintrag der nicht 0 ist das heißt wenn ich nach der entwickle dann kriege ich mir sogar mit einem mit 1 4 Kurzfilme Termine und Arbeit gefertigt nur was man jetzt tun müsste ist entweder Zeile tauschen mit der 1. und danach der 1. Blicke nach Definition oder die Rechenwege Sklaven Satz 1 werden sie doch noch direkt nach der 4. Zeile entwickelt klar dass dafür zahlen wir gehen das man es auch das 10 4 die also wir entwickeln nach dieser Zeile hier 10 4 g sagt was dann rauskommt im Prinzip kommt genau diese Formel raus Stelle 1 halt wird richtige bereit aber diese Formel wenn ich überall gut 1 1 die einzelne Summe wird steht noch aber die anderen 3 1 Mehr und die -minus alsbald auch mit minus 1 aber die im Exponenten die 1 und dem als und die 1 m 1 A 1 K werden schliefen und dann kriegt man was aus wir müssen erstmal sonst wechselnde Vorzeichen kümmern dafür dass das Schachbrett wieder gut also wie gesagt oben rechts ist immer bloß dann ist hier -minus +plus -minus +plus -minus also kriegen wir negatives Vorzeichen mickrigen -minus 5 Mal die Determinante die sie kriegen wenn sie die 4. Zeile und die 3. Spalte streichen also 1 -minus 2 5 8 0 -minus 1 2 3 2 4 3 1 und 1 3 4 -minus 1 so guck mal drauf und stellt fest dass so viele Nullen aber jetzt nicht mehr also diese schöne teilen mal einfach alles auch noch grün Eggert alles wo nur 0 stehen raus zu entwickeln der weg jetzt was anderes einfallen lassen internen ja und sehen Nullen alte Mathematiker Weisheit haste keine Macht der welche wenn der lohnt also 0 produzieren war mit aus also zum Beispiel wollen in der 1. Spalte würden das 1. Spalte formal nur 1 0 da noch ein paar Nullen dazu was dürfen wir machen wir dürfen das Minus zweifacher der letzten Zeile auf die 3. addieren und wir dürfen das Minus einfache der letzten Zeile auf die 1. Adil dabei ändert sich damit er die gar nichts Standerker austritt änderte Determinante nicht

also bleibt übrig 0 -minus 2 -minus 3 1 -minus 5. 5 -minus 4 S 1 8 und 1 ist 9 die 2. bleiben 0 -minus 1 2 und 3 das ist ne 0 sowas gemacht 4 -minus 6 bis -minus 2 3 -minus 8 bis -minus 5 1 und 2 bis 3 1 3 4 -minus 1 das aus jetzt aber wieder wunderschöne fällt das wir wunderbar entwickeln können nämlich nach der 1. Spalte nur windige nach die 1. Spalte alles was mit seinen dürfen doch noch mit Spalten entweder gehen sie zur transformierten über oder Siemens der Welt also was brauchen wir um nach der 1. Spalte zu entwickeln wir brauchen erstmal das Vorzeichen von den blinden man da unten also +plus -minus +plus -minus ist viele -minus man nach Schachbrett also kriegen wir -minus 5 mal -minus also plus 5 mal die Determinante dieser erhalten wenn sie die 1. Spalte und die letzte Zeile streichen also wird und 3 Quarks 3 Determinante übrig -minus 5 1 9 -minus 1 2 3 -minus 2 5 3 wir doch jetzt gibt es gar keine 0 Mehr wie ärgerlich also guck mal nochmal drüber was man so machen kann man kann wir werden wir das auch mal gemacht haben 10 in der letzten Spalte stehen nur Vielfache von 3 also die wie der mir da mal 3 raus diese 3 ziehen wir vor allem der letzten dieser bedankte sich ja in jeder Zeile aber ahnte von Ahlbeck Determinante von einer transponiert also die dem Land ist die ja in jeder Spalte also können sie die 3 einfach vorziehen und es kommt raus 5 mal 3 weil die Determinante die sie kriegen wenn sie da hinten durch 3 teilen zwar dann ist man sieht mal Zahlen kleine hier und jetzt können wir uns bisschen aussuchen welches weitere ja TWh nein weil sie haben nach der nach der 1 unten links entwickelt also nach der nach der 1. Spalte entwickelt das gibt bloß 1 mal 0 mal die Determinante -minus 1 9 0 mal diese Männer unter Schluss -minus 1 mal 1 mal die Determinante die übrig bleiben diese einstige auf negativ fällt vom Schachbrett also das ist dieses -minus 1 2 4 +plus K was versteht in der Matrix hab ich dann -minus 3. 10. 2. Spalte ja diesen -minus 5 Danke n wundert mich schon seit längerem ich durch das Bewerberdaten Kapitel kommt ohne hier dauernd den die die mich peinlich zu verrechnen es musste passieren gut danke sollten wir uns aussuchen welche Zeile oder Spalte wie geht es dir aufräumen mein Vorschlag ist wenn man die letzte Spalte also die letzte Zeile zur 2. von der 2. abziehen letzte Zeile minus 3 multiplizieren und zur 1. dazu zählen wenn Sie das machen in der sich eine Determinante nichts weiter aus dieser Schritt eine Determinante nichts ändert müssen wir wieder konzentriert rechnen also -minus 5 +plus 6 ist 1 1 +plus 15 bis 16 3 -minus 3 bis 0 -minus 1 2 -minus 1 +plus -minus 2 -minus 1 -minus 1 2 +plus 2 ist 1 2 +plus 5 bis 3 und 1 -minus 1 ist 0 -minus 2 -minus 5 1 aber ich hoff ich hab keine 9 Unfug produziert jetzt entwickeln nach der letzten Spalten

die 15 mal was ist das Vorzeichen von dem man da unten das ist immer 1. opulentes man bloß man dann ist das -minus und das +plus -minus +plus also das hatten +plus Vorzeichen ja 2 +plus 5 ist nicht 3 wo sind Sie denn da 2 2 +plus 5 ist nicht 3 sondern sie mir mehr danke ja ja denn dieses Chaos Zeug ist wie gesagt Konzentrations Arbeit das geht nicht nur Ihnen so sondern mir auch gut also wenn wegen nach diesem elementar gibt 15 mal 1 mal Seminaren sie die übrig bleibt wenn sie die letzte Zeile und die letzte Spalte streichen jetzt immer gleich durch 1 16 1 7 und die können wir jetzt nach unserer bekannten Formel ausrechnen das 15 mal 7 minus 16 sie minus 16 bis minus 7 9 9 doch -minus 9 also minus 15 mal neuen Windows Phone 7 -minus 135 damit haben wir dieser Termin nannte gekillt und sie sehen es ist mühsam aber machbar und was sie sehen wenn sie mal selber an sowas rumbasteln es ist sehr entscheidend dass man das richtige tot und nicht Food Force der Landschaft umrechnet weil dann kann es sehr sehr eklig werden so ja ja nein ich weiß es ist leicht Probeklausur und sie wollen schnell weg ich ich will Ihnen doch das doch doch das den Detailgrad ihn noch der geht schnell der

geht schnell obwohl unübersichtlich aussieht ok dieser Glück verlässt mich die Mine also dann haben sie es halt so oder so zu gehen viel Erfolg für die heute sind und der bis Freitag n