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Vorlesung 10: Variation der Konstanten, Wronski-Determinanten und Matrix-Exponentialfunktion

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so oder mal herzlich willkommen hier vorne wurde schon so mit Blättern festgestellt haben noch 3 4 Seiten Skript das wird er wohl nicht reichen für die Vorlesung des stimmt es richtig auf ich ja bin einfach ich hab noch 2 Seiten mehr vorbereitet die wir nicht gibt 17 ich war das obwohl fündig würde war das quasi 7. und dann geht's es wieder hoffentlich als bis zum Ende schauen wir mal werden aber wir wenn sie werden ich muss so sein jetzt entschuldigen letzten 20 Minuten werde wahrscheinlich im glücklosen Raum sie gehen das ist das was ich ich vermeiden wollte er was heute einfach passiert gut fand aber erst mit dem an was schon da ist wir sind stecken mittendrin in der Wahrnehmung von linearen Systemen von Differentialgleichungen das heißt dass wir uns anschauen ist die Differenzialgleichung y strich es gibt eine Matrix wertige Funktion a von t mal y von TY von diesen Vektor bloßen Vektor befand sich mit aus wie die beiden Funktionen A und B sind stetig einer von ihnen nach der die Kreuz deren einmal von Wien nach ARD und normal anfangs wird zu y von Tieren des y 0 und dieses Problem seit ich in letzter Zeit immer als IP bezeichnet IP wie inhomogen das Problem das ist ne lineare Differenzialgleichung wir hatten gesagt wie bei den ein Gleichungssystem wenn ich das Bewer Glas ist dass das homogen ist wir gesehen deswegen Lösungsraum das ändern die Lösungsmenge Simon unter Vektorraum +plus b Phontäne hatten wir gesehen genau über den Jan Gleichungssystemen die allgemeine Lösung des inhomogen Systems kriegen Sie als irgend eine spezielle Lösung plus alle Lösung des Homo gehen und werden deswegen jetzt 2 Dinge zu tun während zum 1 zu tun finde eine Lösung des homogen Systems das hatten wir umformuliert in die Aussage finde eine fundamentale Matrix finden fundamental System das heißt eine Basis das Lösungsraum des homogen System ist und zweitens wenn man die allgemeine Lösung des homogen Systems hat braucht man eine partikuläre Lösung und und der 1. Punkt will ich mich später kümmern was sich im Moment zeigen will ist das wenn man den 1. Punkt erledigt hat der 2. klappt also die Frage ich habe jetzt geht davon aus ich hab die allgemeine Lösung des homogen Systems und suche jetzt wieder mit partikulär Lösung finden und das uns jetzt weiter ist es der gleiche Trick wie bleiben im Fall des gleich 1 im Fall von skalaren Gleichungen machen wieder Variation der konstant hatte damals gesagt Variation der konstantesten universell ist Hilfsmittel und das tut auch hier das ist jetzt also der nächste Schritt besonders die Variation der konstanten an für ein System von den Jahren Differenzialgleichung also weiter konstant ist universell Hilfsmittel Berlin ja gleich in die Gleichung nicht ganzes vergessen aber für Denial Gleichung ist das ein ganz allgemein das Konstrukt wenn Sie die Lösung des homogen Problem allgemein haben dann kriegen sie damit über die Kohle ist so das heißt wir müssen jetzt wo man davon ausgehen dass wir die allgemeine Lösung des homogen Problems haben also fundamental Matrix Matrix wertige Funktion auf wie den Spalten ein fundamentales ist sehen das heißt die spalten sind n unabhängige Rektoren von Funktionen die weist es den lösen also das heißt die allgemeine Lösung das Hormon Problem ist also y Strich von The gleich a von TY von ja es von der Farm beliebige linear Kombination der Spalten von Z beliebigen Kombination der Spalten von Z kriegen Sie indem Sie Matrix zählt und beliebigen Vektor c aus er multiplizieren das bei Einsatz ceased das war ein Satz aus der letzten von ist aber es ist eben auch nur wenn ich den Vektor mit den Netzt massiv mit dem Wetter multipliziere bedeutet das genau ich nehme die entsprechenden ja Kombination der Spalten der Matrix so das ist die fundamentale Matrix wir gehen jetzt einmal davon aus dass wir die haben es geht es um den Schritt wenn ich die von denen der Matrix habe wie komme ich zu partikulär Lösung wo man die fundamentale Matrix täglich ist ne ganz andere Baustelle die liegt uns also im Moment freundlich zu und dann ist der Ansatz der Variation der Konstanten wie vorher auch während die allgemeine Lösung einer konstanten drinnen sind lassen Sie konstante variieren also unser Ansatz ist von ist Z von T meist sehr freundlich Ansatz setzt natürlich dann die Gleichung 1 also das ist der Ansatz für die partikulär Lösung ich nenn das mal gleich UP und dann müssen wir schauen was soll unser UPS Föhn unser OP seine Lösung das Hormon inhomogen Problems sein es soll also gelten +plus b das soll sein gleich ob strich an wenn das so wäre so ne partikulär Lösungen suchen eine Lösung die das jedoch nur Gene problemlos ob strich mit dem Ansatz können ausrechnen nach der Produktregel bis Z spricht von 10 Mal 10 von 10 +plus Z von T mal Zielstrich von formte jetzt wissen wir das Zelten fundamental System ist und fundamental System bedeutet die beiden von Z lösen die Gleichung Spalte abgeleitetes Amaldi das hatten und letztes mal überlegt bedeutet dass diese ganze Matrix erfüllt das Z strich von C Matrix Produkt A von t Mahlzeit Z von T ist also im wissen Sie der für diese Matrix die Gleichung 1. Matrix gleich so alt dass es selbst wenn ich mal Ziel von T bloß Z von 10 ;strichpunkt so was jetzt hier steht hier vorne ist unser Ansatz ist aber von TOP von Tele +plus Z von T Strich von Shell und abgesehen davon dass ich und inkonsistent geborgen werden der Frage ob ich von 10 schreibe oder nicht Sorry dafür ist der der gleiche wie der also muss gelten das Zelt malt sichtlich gleich geht's und das ist jetzt wieder der relativ freundliche Differenzialgleichung auf den 1. Blick vielleicht blöd weil sie nicht vor der Form ist sichtlich gleich irgendwas aber das gute ist das wird können wir sorgen wir wissen dass unser Zelt fundamental Matrix ist das heißt unser Zelt enthält je mehr oder wenige Funktionen werden in der letzten Vorlesung dieses schöne Musketier Lemma gehabt dass es einen fundamentalen also der Matrix die Lösungen von der von dem homogen lineare Gleichungen hält als Spalten dass diese Spalte als Funktionen unabhängig sind genau dann wenn sie .punkt weisen ja unabhängig sind genau dann wenn sie an einer Stelle und das heißt weil das Dinge fundamental Matrix ist sind sich Spalten unabhängig und damit ist es in der Tiber gemacht und weil sie eben jeder .punkt die Steine unabhängig sind das heißt Z ist für jedes 10. Tier war also das ist das Lemma 7 13 aus der letzten Vorlesung das sagt die Spalten von Z von T sind weniger unabhängig und zwar für alle 10 des Flemmer sagt genau damit für eine wenn für alle also Wissens ist für alle die unabhängig und das bedeutet für jedes der sie können wir diese Matrix invertiert also existiert Z von T hoch minus 1 für alle Themen gut können wir also darum unsere Gleichung von links mit Z O -minus 1 durch multiplizieren und gegen das die Ableitung von CMS Telethek gegeben ist durch diverse Matrix von Z von Till mal befand so und das ist
jetzt Differenzialgleichung vom einfachsten sind nämlich eine Diva einfach durch hoch integrierte lösen können also damit kriegen wir 10 von The es die Stammfunktion wegen der rechts also das Integral von T 0 bis T Set von es auch minus 1 wie von STS und das T 0 können Sie in dem IE beliebig wählen das ist die Konstante der Stammfunktion erleichtern und zogen sie die Konstanten drauf eingehen die konstante steckt in den Themen und so und damit die konstante sieht uns überhaupt nicht so arg weil wir wollen ja nur eine partikuläre Lösung haben brauchen gar nicht die allgemeine nur so wir brauchen eine einzige partikulär Lösung können also irgend eine konstante nehmen und mit unserem Ansatz kriegen wir eine partikuläre Lösung ist gegeben als Set von Thema diese Szene von also 10 Pfund die Ziele von TC von aber ausgerechnet Set von The Mall Integral von T 0 bis T Set von es auch -minus 1 b von STS mit 10 0 irgendwo in ihn und das ist dass es eine partikuläre Lösung und zwar die partikulär Lösung die an der Stelle T 0 genau 0 ist aber für die Lösung des Turiner wogegen Problems ist ist das eigentlich völlig Wurst brauchen irgendeine partikulär Lösung weil die Anfangswerte kann man dann über die A drauf addierten homogen Lösungen einstellt also das normal zusammengefasst als Ergebnis dass der Satz 7 14 denn Variation der konstanten Formel für allgemeine Systeme werden sich schon für eindimensional also für für skalare Gleichungen und hier kommt sie für Systeme also entweder war jetzt oder konstanten Formen oder damals schon gesagt auch in der Literatur bekannt als klären welche Formel also alles vollständig gesinnten unser Problem da oben erwähnte Valley im er auf dem das Ganze lebt wir eine Matrix wertige Funktionen aber von ihnen ARD kreuzt die und der Vektor wertige Funktion B von innerhalb des wir sind beide dann wissen wir schon von Anfang des Kapitels dann gibt es hat das Anfangswertproblem da oben auf jeden Fall eine eindeutige Lösung wenn wir jetzt von irgendwoher eine fundamentale Matrix haben also selbst eine fundamentale Matrix wie gesagt die Frage über die er kriegen beschäftigt uns dann später also der fundamental Matrix vom homogen Problem y Striches a von TY von Till dann is die eindeutige Lösung nur dass die eindeutig ist wissen wir schon die eindeutige Lösung von unserem inhomogen Problemen gegeben durch die Folgen der Farne was müssen wir tun wir müssen unsere partikulär Lösung nehmen also die Städter oben Z von T mal gerade von T 0 bis T Set von es hoch minus 1 Bild von SDS war das die partikulär Lösung und jetzt können wir da beliebige Lösung des homogen Systems drauf eingehen und behalten Lösungen von IP und jetzt müssen wir so ne Lösung von homogen System drauf addieren das der anfangs wird stimmt wir wollen y von Tieren und so von denn das Y wohl wenn Sie 10 oder einsetzen kommt bisher nur raus muss also auch den anfangs schwer korrigieren und wir können eben dass es gute wenn sie ob Lösung der homogenen Gleichung drauf addieren bleibts immer nerven Lösung der mobilen Gleichung also wir können beliebige Lösung der mobilen gleichen drauf eingehen ohne die Lösung und nicht ohne die größte Lösungen zu zerstören und damit den anfangs Wert einstellen und wenn man bisschen Posselt dann stellt man fest ne gute Lösung der homogen gleich und ist tot ist Z von T Mahlzeit von T 0 hoch minus 1 mal 10 das ist eine besonders homogen Problems jede Funktion der Form Z von T mal konstanter Vektor ist eine Lösung das Ding ist Z von The mal konstanter weg da das ist das Ziel und wenn Sie jetzt die gleich die 0 einsetzen werden fallen die beiden Matrizen genau weg und sie kriegen und und das ist einfach nur zielgerichtet rechnen und hingepasst wenn man die Wahl hat dann fundamental Systemen das fundamentalen sehr leicht zu bestimmen ist dann ist natürlich naheliegend dass so zu nehmen dass man hier ne Identität hat das ist meist Bemerkungen nachgeschoben werden wenn sie sich an die den Fall von skalaren Gleichung erinnern da hatten wir diese Wahlfreiheit im Prinzip auch und haben uns dann auf ne Stammfunktion kapriziert jenes nur gerade
0 ist damit die Formen möglichst einfach wird den Effekt gibt es hier auch also wenn man die Wahlfreiheit hat und man kann sich das Fundamentals ist aus suchen dann ist es sinnvoll das fundamental System so zu nehmen dass es an der Stelle T 0 gerade die Einheitsmatrix ist es geht immer meint es geht immer wahnsinnig schnell aber das nur ne da ich viel zu weit aus dem Fenster also eher an aber wenn man das kann dann ist es vernünftig weil dann ist die wird die Formel 1 Fahrer und so findet man sie auch oft in Büchern und der steht im Kleingedruckten wobei das Fundament denn so sein muss das Z von T 0 gleicht Einheitsmatrix ist werden also dann ist eben z von dem nur noch minus 1 die Einheitsmatrix steht da z von Thälmann y 0 +plus Z von T Integral von T 0 bis T Z von es noch minus 1 b von ist ist das ist das was man auf das war jetzt zu einer konstanten Formel finden findet und es ist auch interessant das mal zu vergleichen mit dem was wir für das Gleichung gefunden haben wenn wir das alles schon mal durchgerechnet also vergleichweise für die gleich 1 hatten wenn Sie darüber Screen zurückblättern finden Sie folgende Formel wovon von die es groß von T Y 0 los wir hoch groß aber von The Integral von T 0 bis 10 er hoffe -minus groß von S viel von STS wobei er hoch er wobei groß aber von T gerade war die Stammfunktion von kleiner die Einerstelle 0 verstehen das war die der Menschen vor war es eine konstante vermisst wird skalare Gleichung und wenn sie mal hier vergleichen stellen Sie fest dass es im Prinzip genau die Formel nur das man hier als Fundamentals ist denn die 1 Kreuz 1 Matrix I hoch groß auf und legen um zu das ist die
1 Kreuz 1 Matrix fundamental System für skalare Gleichung richtet des fundamental System das des Vormittages denn hier steht die inverse vom fundamental System und es ist genau die Formel mit 1 Kreuz 1 macht nur dass wir jetzt eben diese Matrix nicht mehr einfach über der Exponentialfunktion schreiben können und deswegen Moment die Frage wo in das Fundamentals ist immer noch ungeklärt zu trotz ist vielleicht gut mal wieder ein konkretes Beispiel einzuschieben auch wenn ich an eine Stelle Gesinnung Bogen muss aber konkretes Beispiel lösen wollen muss sich in die fundamental Matrix unterjubeln da wir noch nicht wissen wo der Krieg also Beispiel 7 16 das normal die Variation der konstanten Methode am lebenden Objekt sieht ich habe folgendes sie Differentialgleichungssystemen an Landstrich von T bis von TY von T +plus Bild von T wobei das a eine konstante Matrix ist 0 -minus 1 1 0 sie nicht gleich wieder schön ein wahres Beispiel 0 -minus 1 1 0 mal y von +plus Mobilität 0 T morgen anfangs wert wird sie dann an der Stelle 0 bis 1 1 0 zu so dass es Prinzip eine Drehung um 90 geraten die Matrix also gesucht ist Mist ist der Welt bärtige die Funktion deren Ableitung gleich die Funktion selbst um 90 Grad gedreht ist +plus 0 Tick so und wenn man das ganze Verfahren anwenden wollen steht und fällt alles mit der fundamentalen Matrix die fehlt im Moment regelt die vornehme ich geb sehen an und das schöne ist der Mann sie hat ist es immer einfach nachzuweisen dass es auch tot und das Problem ist üblicherweise zu finden nicht zu überprüfen ob es eine ist also die fundamental Matrix zur zu zugehörigen homogenen Gleichung ist Z von T oder eine mögliche meines gibt viele fundamentale Matrizen von dieser Gleichung fundamental Rezession durch die Spalten der Basis von dem Lösungsraum sind sie dem Wein zweidimensionaler Lösungsraum der hat natürlich viele Basen aber eine relativ angenehme die zum Beispiel auch die angenehme Eigenschaft hier hat ist die folgende Cosinus von C sehen aus von C -minus Venus von Phontäne Cosinus von 10 das ist behauptet eine fundamentale Matrix schöne ist Gemäldes leicht überprüfen was müssen wir tun wir müssen zeigen die Spalten der Matrix sind Lösungen unserer Gleichungen und Sony oder wenig also das kann man entweder sieht sich beide Spalten einzeln entnehmen wir prüfen Auflösung sind oder man rechnet gleich nach das Zelt strich gleich am Mahlzeit ist so als Matrix geschrieben also was ist in dem Fall selbst durch die Matrix einfach komponentenweise differenziert Cosinus abgeleitet geben sie los -minus Sinus abgeleitet gibt -minus Cosinus Sinus abgeleitet gibt dem Kosinus muss -minus verschüttet gegangene Kursus ableiten die -minus aus sie der 1. Kursus ableiten normal -minus sinnlos vor oder man da jetzt ein bisschen darauf rum und was soll jetzt gelten soll strich gleich am der Zahlen schreiben uns am 19. Mai hin 0 -minus 1 1 0 mal das Zelt mal jemand ?fragezeichen drüber Cosinus von CE -minus Sinus von 2 sie Neues von The große von 10 das kann man vielleicht überprüfen normal muss -minus einmal sinnlos ist sinnlos nun bei minus 10 und minus einmal Kosovos ist -minus großen aus einmal Cosinus ist Cosinus 1 -minus denn das ist wie es ist war es tatsächlich eine Matrix der Spalten Lösung darstellen wo jetzt nur noch überprüfen dass die Spalten ja unabhängig sind das kann man jetzt entweder der mir das muss Musketiere mein alle möglichen Varianten man sie können zum Beispiel bei T gleich 0 einsetzen ja das ist z von 0 der von 0 ist 1 0 0 1 also unabhängige spalten
und nach dem Lemma vom letzten Mal wenn ich für ein selbst da ein 0 oder gespalten ich für alle Themen ohne Millionen oder wegen gespaltene so fundamental ist alternativ können Sie den Termin nannte von dem Ding aus ist auch nicht viel komplizierter ist groß muss Quadratfuß ist war das einst das ist nicht nur das ist jetzt so Moment wo dieses muss geht Dilemma vom letzten Mal praktisch ist das reicht einig eine Stelle zu prüfen so also wissen wir dass es im fundamentalen ATX zu unseren Problemen und jetzt müssen wir um das Problem vollständig zu lösen mochte war der konstanten Formel anwerfen auch hier geht im Prinzip muss man sich die Form überhaupt nicht merken sie können jetzt auch einfach zu zahlen die Rechnung da drüben dies nicht lange am konkreten Beispiel durch Echsen setzte sie an OP von dir ist diese Nachkriegszeit von The Male konstant von T und schauen Sie nach welche die Fernseher den SC lösen muss wenn man das macht kommt man eben auf die von ihr also stets da unten von bis Z von T mal Z von T 0 anfangs werde bei dem von der Stelle 0 also z von nur noch minus 1 mal y 0 +plus Integral von 0 bis 10 also y 0 gemacht welchen schreiben es 1 1 T 0 ist bis zu mir denn der Rose von der fundamentalen Matrix das ist je nachdem wie es läuft normal bisschen Aids kramen aber meine blöde Matrix invertieren muss in dem Fall ist das Beispiel so gemacht dass man bevor so schnell vorankommen die Matrix ist nicht orthogonal geschickterweise orthogonale Matrix Namen relativ einfach inverse nämlich die transponierte also Cosinus von sie Sinus von CRS natürlich Cosinus von 1. Sinus von S -minus nur von es Cosimos von S n weil das ist etwa so -minus 1 weil das bei die Matrix mehr orthogonale Matrix ist und jetzt kommt das Bild von es dass man 0 S bis die fertige vorgenommen wird man muss es nur noch für Rechnungen integrieren ja also hier an der Stelle ist wichtig dass diese Matrix Z von es für jedes S oder hab ich ausgenutzt dass diese Matrix Z von Swiss orthogonal es deswegen weil die Inversion keine legt das ist sonst noch in der Haft an der Stelle natürlich so ja es ist wirklich nur noch um integrieren Z von 0 aber darum schon ausgerechnet ist auch nicht schwer zu imitieren ist die Einheitsmatrix bleibt also Z von T 1 1 da vorne Z wird von Thema mal 1 1 Z von T steht da dem Sektor 1 1 multiplizieren ist jeweils da die beiden Einträgen der Zeile addieren also Cosinus von Thémines hinaus von T und Kursen Sinus und Cosinus von Tele +plus Sinus von tilgen das ist der dann hier vorne das ist die Lösung der homogenen Gleichung die dafür sorgt dass der Anfangswerte richtig eingestellt ist kann man jetzt nach und dass das Ding löst die homogene Gleichungen 7 0 einsetzen kriegen Sie 1 1 Alters ist der vordere Teil der dafür sorgt dass der anfangs wird stimmten jetzt kommt der hintere der dafür sorgt dass das die inhomogenen Gleichung löst gut da müssen erstmal Matrix Verwertung multiplizieren Integral von 0 bis 10 es Marco so muss es mir erst mal sehen was er ist und es mal Cosinus S oder was mir jetzt aber die partielle Integration des ich sich ihn jetzt nicht vor also das Ding hier das Integral hier kann man jetzt aus austricksen der kommt raus -minus c Kosinus des +plus sehen musste und T Sinus C ab +plus Cosinus T minus 1 wir also das ist jetzt in beiden Komponenten einer partiell integriert und Stammfunktionen Bischof das ist sozusagen das ihre Hand das aus einer 1 und 2 noch von der Bank her zur also ich vergessen war das gilt Versuch auch entfacht nun Zeit von Till statt von vorzulegen in der PC ich das Drama ich eher in was konnte da nicht Diego also ,komma viel Platz wir die Forderung der Turkana mitnehmen es ist endlich auch die ganze Planung des Codes aufzuschreiben Kolonos T minus illustriert 2.
Komponente große musste +plus so und jetzt kommt diese Nachkriegszeit von Tele drehen drehen Matrix um den Winkel C Großindustrie -minus Industrie Sinustöne große musste mal das ausgiebigst Integral -minus Telcos Windows +plus 7 musste T-Sinus C Fluss Cosinus T minus 1 dann Sie sehen dass es mit dem sehr sehr einfachen Anfangswertproblem startet ich mein viel schöner kann man sie ja nicht machen konstante Matrix an mit noch also muss von einfachen Drehung und dem B ist auch seine Komponente 0 schon dafür wird die rechnen wenn sie konkret macht will also passt natürlich auf der Seite aber macht keinen Spaß mehr deswegen deswegen jede Vorlesung dieses relativ einfache Beispiel also was passiert jetzt hier ist es natürlich so gemacht dass möglichst viele wegfällt Großindustrie -minus Industrie in der 1. Komponente ja gut also große musste mal die 1. bis -minus 10 Cosinus Quadrat C +plus lustige Kurse musste -minus sehen das Thema der Star -minus T-Sinus vom Quadrat des Plinius Industrie Kurse musste -minus +plus Hühnerställe und das ist die 1. Zeile und die 2. Zeile ist Cosinus C +plus Windows -minus C sehen Chorszene und das ist jetzt dass man das dar +plus Sinus Quadrate +plus Kosovos mal gehen +plus zählt sehen Dzekos Fluss Cosinus Quadrate -minus kostengünstig stehen wir haben zwar und jetzt sollte sich der Nebel verziehen dafür sie sich ganz viel Nebel -minus Industrie hilflos Windows CE sinnlos Telcos Terminus Sinus Telcos Szene und dann den freundlichen Menschen noch dafür gesorgt dass hier Kurs Quadrat plus im Quadrat steht also daraus Cosinus von T -minus T in der 1. Komponente und in der 2. Kammer auch ganz wie streichen der Kosinus hier die gegen den Cosinus muss weg Thema Sinus Telcos Terminus Thema Sinus Tierkostüme und wie der Sinus Quadrat plus Cosmus Barak ist 1 also 1 -minus am Schluss ist das Ergebnis ganz schön ich mal so ist es ja auch entstandene wir unserer Gleichungen dafür dass man sie der Vorlesung vorführt sicherstellen man sich natürlich die Lösung und schaut welche gleich unser füllten Traffic mit der an der da ist und sie wusste ja Moment der ist da noch das dann auch ja da ist und das war das die gleichen Fragen wer sich dann noch ja ich weiß schon warum ich nix wenig konkrete Sache alle jetzt Einfluss Indus das es ok das Falco Mutti jetzt gut nicht verlangen das Papier heraus ja also dass sie war jetzt oder konstanten Formel für konkretes Problem aus der Wettervorhersage sicherlich nur ein Rechner geeignet aber allen eine insofern Donners Hilfsmittel weil man eben im Prinzip der explizite Lösungsformel für die Lösung hat und selbst wenn im realen Leben dann die Funktion zählt und b so kompliziert sind dass man die die gerade nicht austricksen kann er ist es trotzdem ist die Formel viel wert aus verschiedensten Gründen zum einen wesentlich theoretisch gut verwenden nahmen sie wenn Sie qualitative Eigenschaften der Lösung rauskriegen wollen was passiert wenn gegen unendlich geht ist die Lösung vielleicht beschränkt ist irgendwas dann ist diese konkrete darf denn das Integral angenehmer mit Integralen kann man gut arbeiten dabei soll man die abschätzt da weiß man was mit dem man gar nicht nur die Differenzialgleichung hat ist es viel schwieriger aber hier konkrete Formen Abruf von The gleich ist dann kann ich an dem ich kann eben gut ablesen was für das geht und wenn ich mir die an konkreten Lösung interessiert bin lohnt sich's auch weil es in der für die Nummer liegt deutlich einfacher ist Integral nunmehr ist auszurechnen Essen Differentialgleichungen Milch zu lösen für Integrale gibt es hunderttausende wenn sie alle Kinder nur noch kennen lernen und allen für die dann sage es auf viele Methoden aber das ist deutlich komplexer also deutlich schwierigeres Problem wie wurde nummeriert von liefern sagen aufzusetzen als Wandel in Integer ein gut also damit ist dies 2. Problem wirklich ich die partikulär Lösung näher zumindest von theoretischen sich .punkt Herr gelöst wenig ein fundamental Matrix habe dann gibt es Formel wo ist er kriegt bleibt also die Frage wo Kredit wurde mir CIA schon gesagt diese Frage wird bis zum Ende unbefriedigend wohl bleiben wird es gibt keine allgemeine Formen wir werden Spezialfälle sehen denn es geht aber vor uns dem zuwenden will ich noch ein bisschen an auf dieser fundamental Martens rum kneten unter Eigenschaften von der fundamentalen Matrix zeigen die oft gibt es hauptsächlich die Retina von der weltlichen großen Interesse sind und deswegen schauen uns mal die dezent die fundamental Matrix genauer
an und zwar wenige die vornehme also die von mir damals in ganz spezifisch nicht ihre Determinante die ist nämlich eine interessante größt also das sich deswegen als meinen Namen Definition 7 17 also unser übliches Setzlinge sind auf dem Intervall wie in den er wir haben System mit geht Unbekannten und der Gleichung wären unsere Matrix unsere Matrix werden Koeffizienten a er soll wieder stetig sein und Z von ihnen ARD Kreuz D aber spalten die Lösung des homogen Problem zu führen von y strich gleich von TY von Thesen ich selbst also nicht unbedingt voraus dass es den fundamental Matrix ist ich erlaube durchaus dass sich bei Ihnen ja abhängt da sie zahm bis auf die Unabhängigkeit der fundamental Matrix und dann schaue ich mir die Determinante von dem Ding an ich bin jetzt hier Omega also um weniger als 1. Funktion von IE für jedes Tier das den andere Determinanten die der dominantesten reale Zahl und Omega von Phontäne ist die Determinante von Z von T und das den nennt man das nach einem polnischen Mathematiker die Wohnstätte nannte die Wronsky Determinante des homogenen System der das fundamental Systems das man gerade hat oder dieser Matrix 1 10 der uns gegen den Determinante erschließt sich sofort an der können sie natürlich entscheiden anhand derer können Sie entscheiden ob jetzt fundamental Matrix ist oder nicht was wir schon theoretisch wissen ist wenn das z so aufgebaut ist daraus dass sich beiden Lösung von der Gleichung sind dann ist diese Bronski gewinnmindernd immer entweder konstant 0 oder nie 0 die dann keine isolierten Nullstellen haben wir dann gesehen entweder die Spalten sind für alle die mehr oder weniger für keins 5 also die Phonds die Determinante ist sagt Ihnen ist das Dinge fundamental Matrix wenig je nachdem sie nicht nur das würde 0 ist und wir wissen eben schon Ende konstant 0 oder SiS Ninon aber gar nur mehr die uns die Determinante aus und diese Aussage entweder sie ihn oder sie ist immer 0 die findet sich da drinnen auch wieder also dass der Satz 7 18 wir nehmen uns also solle Matrix her den Spalten Lösungen sind sich denn die Spalten mal relativ wenig kreativ Z 1 bis Z D also Z 1 bis die CD eine Lösung von unseren homogen Probleme y strich is a von TY von Till n und dann behaupte ich zunächst mal es dadurch dass die Spalten Z 1 bis Z wie Lösungen sind sind die alle stetig differenzierbar Lösung sind hätte viel zur stetig differenzierbar und ich behaupte die sich die getrennt sierbarkeit bitte überträgt sich auf die Determinante also dann ist auch Omega gleich Determinante von selbst stetig differenzierbar es ist jetzt kein großes Wunder wie mein was es mit der Termin nannte was macht die denn sich die Einträge Matrix und multipliziert und addiert die Witterung aber multiplizieren addieren sich ständig die Differenzierbarkeit wir also das ist immer noch nicht stetig differenzierbare Funktion spannender ist das was jetzt kommt für alle 10 9 und 10 in die gelten die beiden folgenden Sachen 1. die Determinanten also immer die Determinante hier diese sonst die Determinante erfüllt wird es wieder eine Differenzialgleichung und zwar mit auch eine lineare homogen die Bonds der Männer der für die Winzer gleichen dass ihre Ableitung ist gleich die Spur der Matrix A von T man unsicher also die wo uns die Determinante erfüllt diese jetzt Galane linear homogene Differentialgleichungen die haben wir bei uns die Determinante Spur von ARM Mali Bronski der Termin nannte so mit gleichem damals Anfang des Gebietes gelöst da kann man direkt sagen wie die Lösung aussieht das ist Teil des Omega von T dies von t 0 mal die Exponentialfunktion von T 0 bis T von der Spur von A von ist der 1. was die allgemeine Lösung für die homogene geladene er ja gleich mehr denn je steht in der Anfangswerte je nachdem was Omega Phontaine und das kann sie damit um erfand so woran liegt das zunächst mal kann man festhalten wie folgt direkt aus aber und der Formel und der Lösungsformel für homogene skalare lineare für skalare homogen in dem
Jahr gleich von Anfang des Kapitels VII da haben wir uns mit den skalaren frei Beschäftigtendaten gesehen da kann man alles explizit den schreiben und wo steht sie auch noch darum steht sie noch aber wir haben jetzt der den Humor den Fall das heißt der ganze hintere integraler Teil Feldweg Sammy auch groß von t mal y 0 mit groß ist dir die Stammfunktion Form Koeffizienten der Koeffizient ist die Spur also das ist das große A von TI in der Schreibweise der Grünen das der anfangs und damit ist das die Lösung also was wir noch tun müssen so müssen zeigen und so brav an aussieht so ätzend ist der Beweis warum ist der Beweis ätzend kann ich schon vorher sagen sozusagen als Vorwarnung was müssen wir tun wir müssen Omega ,komma ausrechnen das heißt also so mega ausrechnen und oder ableiten dass 1. müssen die Determinante ableiten was kann sich vorstellen mit der Kreuz die Determinante sind ziemlich viel gesungen von ziemlich vielen Produkten von den Einträgen und das denn wirklich konkret ableiten macht keinen Spaß das ist das Projekt für nach der Pause in dem und eine kurze Frischluftzufuhr vorher und dann Augen zu und durch die der wieder da bleiben so dann würde ich gern in den harte Arbeit einsteigen Ärmel hochkrempeln Determinante ableiten es gebe es ein bisschen Vorbereitungs Geplänkel ich will erst mal den sozusagen banal Fall abarbeiten nämlich die der der uns die Determinante es irgendwo mal 0 also wenn Omega auf unter 0 0 ist dann wissen wir nach Satz 7 13. war der man für ein dann für alle Satz das Omega von 0 gleich ist 0 ist für alle das Omega Phontänen und ist für alle 10 aus EI weil die den Lösungen einer homogen Differenz ja gleich um entweder ein eigenständiger unabhängig sind oder Anteile noch und damit ist alles gut weil damit ist Omega die Konstante 0 Lösung für die gesamte 0 Funktion und wenn sie mal durchziehen denn dadurch gehen die Konstante 0 Funktion erfüllt A und B wunderbar konstante Funktion ist okay also gut 2. Fall Omega von 10 0 ist nicht nur und dann will ich noch mir das Leben ein bisschen erleichtern sie den Anstoß des Beweises sehen was es hilft also zunächst mal nochmal verschriftlicht das Ziel es der Rechner Omega Strich von sich und es lohnt sich folgendes noch zu machen bevor man los rechnen und zwar eine zu der Matrix A ähnliche Matrix anzuschauen wir wissen ja jetzt was Omega von 10 0 nicht 0 ist das heißt Omega von The ist nie 0 die Matrix Z von T ist also für alle 10 der datierbar aber diese benannt ist nie 0 also ist die Matrix in der Tiere war was wir machen können ist wir können mit der Matrix Z von tenbasis Wechsel machen also wir schauen uns an die Matrix Bild von Ted bis Z von T um -minus 1 a von t z fort wenn wir das machen dann finden wir wenn wir das große ableiten zunächst mal sehr Großzelt gerne in dem Fall jetzt mehr fundamental Matrix von unseren Systemen die Spalten sind Lösungen und bei dem Fall sind das die Worts geht Determinante nicht 0 ist ist das Ding also wirklich fundamental Matrix das heißt wir wissen selbst strich ist a von t Mahlzeit fort da das bringen wir oben das multiplizieren Sie von links die Gleichung mit Z von T durch dann steht jetzt erstmal Mahlzeit also einmal Mahlzeit ist die was man sozusagen ich diesen Basis Wechsel macht ist man bringt das Zelt auf die einer seit einem Monat nicht mehr C a mal zählt sondern sehr weiblich und das macht die Rechnung nachher übersichtlich an und dann ist man natürlich überlegen wir wieder zurückkommt zur Erde was heißt jetzt diese Gleichheit hier runtergebrochen auf die Spalten von J hat die Spalten von York brauchen meiner Spalten von J stehen Seminar da drin war also nehmen wir uns mal die Leute Spalte hier also sind im sicheren J zwischen Einzug der nehmen sich die Joppe Spalte von Z hier und leiten die ab dann ist das die Orte Spalte von diesem Matrix Produkt und außerdem ist die Autos bald ß JJ dass beide von etwas das kriegen Sie indem Sie das Z multiplizieren mit dem jobbten Standard Basis weckt der J ich Standard Basis legte oder sind sehr genau die gab bei der raus Holzkammer hier differenzieren das ist selbst von The ab Sami umgesehen selbst strich von Phontäne bis Z von T B Phontäne also
eben die Tabelle und CJ ist die Orte Spalte von diesen Matrix produktiv beziehungsweise und sich erstmal nur das Ding an mir von 10 Elliott ist die Art der Spalte von B 1 also das es seit von mal der Vektor BKJ von C mit Cal gleich 1 bis die also wobei BKJ jetzt in die Einträge von der Matrix Biest es ist die alte Spalte von dieser von dieser Matrix jetzt aber ihren Matrix mein Lektor das können Sie das Matrix Produkt können sehr austreiben das ist die Summe K gleich 1 bis D jeweils die Karte Spalte von dem mal der Eintrag BKJ das ist das nach Produkte ausgeschieden Matrix mal Lektor Karte Spalte von dem Zelt mit jeweils dem BKA J multipliziert jetzt ja freilich noch anders Rumänen das ist das wie man es gewohnt ist jetzt steht ja gerade Vektor mal zahlt das ist irgendwie gegen die Intuition also BKJ Funkzelle mein ZK vom Tisch tja also wissen jetzt die Ableitung von ZJ lässt sich so aus dem ZK zusammen kombinieren das mit dem Wesen Sie gemacht haben es wären die Ableitung von ZJ als linear Kombination der ZK geschrieben durch diesen hat und ich so dass so weit zur Vorbereitung wofür das gut ist sieht man jetzt noch nicht das sieht man gleich was wird man wissen das Omega darum ableiten also die Determinante ableiten und es gibt ja verschiedenste Möglichkeiten Termindaten zu definieren also wesentlichen 3 man kann sehr rekursive mit Entwicklungsformen definieren wahrscheinlich gibt es noch die mehr dass die 3 die mir so einfallen man ganz über die Leibniz vorne definierte will alle die sich da mit Grausen dran erinnern wie es allen Signatur von Permutationen oder 3. man dann sagen die Determinante ist die eindeutig bestimmte Mäuse halten er alternierenden wohl die linear Formen die die A 1 zwar dieser Wein schickte nur zeigen dass das ein deutliches Nein ist dass die die dem Lande die letzte Definition ist aus in einigen Gründen zum Ableiten relativ und geeinigt die 1. Definition über den Entwicklungsformen ist theoretisch zum Arbeiten und begeht wo der eigene praktisch nicht ja dabei spätestens bei 35 Watt 35 Matratzen haben sie 35 verkohlte Summanden Bild die Tiefe sich nicht vor 1 bis die Kreuz die machen es die einzige Chance die wir haben es die Lage vor und alle die die mir bisher gedacht haben die kommen sie rum sie komme nicht drum rum und schauen sich an was Signaturen von Permutation sind brauchen gar nicht gebrauchen zum Glück nicht so genau wir brauchen wir die Fahne und werden sehen mit der es ist aufwendig aber dann die leistbar also als Erinnerung mal was ist die Lage des Formel von Aldi die sich nicht mehr seine diese Formel das ist alles was wir brauchen was dahintersteckt müssen Sie nicht wissen Landesform vom sagte Determinanten unsere Matrix ich schreibe nicht einen sondern gleich Z Phontäne können Sie ausrechnen indem sie eine Summe bilden über alle Permutationen in der SD und Std ist die symmetrische Gruppe alle Permutationen der Zahlen 1 bis D und Peace eben daraus über der Mutationen und dann brauchen sie jede das Signum von dem P also zieh gerade oder ungerade fischte einst seine derMutation haben und dann kommt er hinter das Produkt Matrix Eintrag 1 P von einst Matrix Eintrag 2 IP von 2 mal und so weiter bis Matrix ein Trakt des Pi von D von Teck sah das Land auf die Terminaldienste Summe über alle möglichen Permutationen mit Vorzeichen für die vorzeigen Gänse vom entwickelt zur Genüge und dann die jeweils per mutierten Einträge der Matrix so wir das Ding ableiten wollen dann hat sich das Ganze durch diese Formel darauf reduziert dass wir net groß ist seine Diplomen Produktregel machen müssen nur die Rache Produktregel aber mit ihrer Produktregel ist noch erträglich gegenüber einem andern was uns sonst gedroht hätte also was machen wir weiter Burwitz Broich platzen nur da drüben Omega ,komma von wir leiten sie ab nur Gutes was uns keine Mühe macht ist die Summe der rutscht werden direkt durch das in einem so -minus 1 7 die können auch vorziehen kann müssen der Verbandsliga also wird die Summe stehen wie aus der SD sich nun von PI und jetzt kommt große (klammer auf und was passiert wenn sie die Produkte differenzieren für kriegen so man kann ob aus der
Produktregel beim 1. Summanden differenzieren Sie den und lassen alle anderen stehen beim 2. Mal lassen Sie den 1. stehende den 2. differenzieren und lassen sie alles stehen und so laufen sie einmal durch also jetzt gibt es eine lange Sonne zunächst mal die Z 1 die von 1 Strich an von tätig mal 2 pi vom 2. die mal bis zur TDP von DC das der 1. Summand dann kommt das 2. Summand zu lassen den 1. stehen leiten den 2. ab lassen alle andern stehen also bis wieder Z D die von den und das ist der so man wurde 2. sagte abgeleitet wird jetzt kommt der Sommer wurde 3. Faktor abgeleitet wird und so weiter bist du denn so meinten in dem der Täter Vater abgeleitet wird also der letzte zu man distanziert 1 die von 1 C 2 wie von 2 malt und so weiter bis Z D -minus 1 Kiew von den -minus 1 mal die die von P sie große )klammer zu war aber eigentlich nur die mal Product Red unterstrich wandert hier einmal durch so und jetzt kommt das was so tolle seiner leidet Formel weshalb das einziges was uns was uns überhaupt drehte Millionensummen endliche Sommer von endlichen Summe die das aber vertauschen keine Konvergenzprobleme nirgends wir draußen also die Summation und bilden in jedem Summanden einzeln diese Summe und was dann daraus die diese geleitet vom was denn da steht es erleidet Form ist eine Matrix mit anderen Spalten billig wie zum Beispiel den 1. Summand Schau stetige wird alle sie über alle der Permutationen Signum z ein Strich C 2 bis Z die also das 1. ist die den nannten von der Matrix sie besteht aus den Spalten z ein Strich von T C 2 von der ohne Strich C 2 von 10 Z 3 von bis Z und und das ist die 1. Zeile zusammen mit der Summe davon ist die Determinante wobei er vorne jetzt z ein Strich derzeit ein Stück die 2. Zeile so mir alle Permutationen Signum von der Permutationen Z 1 PI von 1 hier steht jetzt strich drauf das heißt das ist so wie wenn man nannte von Z 1 von 10 setzt ,komma von vielen Z 3 von TC 4 von T 5 von T bis Z wie folgt und so weiter ,komma wandert immer weiter durch und der letzte Eintrag ist die Determinante von Z 1 von 10 C 2 von bis Z T minus 1 von Phontvieille zärtlich strich konnte so es ist die Form wie das ja oft bei so Sachen so ist erstmal aufgebläht wie ab jetzt hat sie wieder müssen zusammengezogen jetzt Pläne Sie mal auf ja er gesagt der weiß ist die Hölle und das einzige was wir tun es nicht differenzieren polynomial Defensine Determinante wurden um das was banales her es gibt nix schlimmeres Polynome differenziert also weiter jetzt kommt nämlich unsere Vorarbeit ins Spiel wir wollen gesehen diese Ableitung von z ich gezogen sie sind allesamt linear Kombination derzeit aber
was heißt das wir setzen uns mal rein in der 1. Determinante steht Z 1 Strich bis zum K gleich 1 bis D über B K 1 0 0 WK 1 ZK von Na ja und dann steht derzeit 2 von den Z 3 von T bis Z des Phonds sah jetzt die 2. also plus der Termin nannte vorne steht Z 1 von Tätern kommt setzt ,komma setzt ,komma ist die Summe K gleich 1 bis D wie K 2 ZK dann kommt Z 3 von 10 Z 4 von Tilly bisher infantil ob los und so weiter die letzte den Termin nannte das den oder Z 1 der 2. CD drinnen also Z 1 von T C 2 von T bis Z D minus 21 und der letzten Komponente steht zärtlich strich und zärtlich strich können sie das Schreiben als Summe kann gleich 1 bis die BEK die K von T ab ja ja jetzt wie so oft bei Determinanten des den macht man immer alle 3 Zugänge alle 3 sind es nun alle 3 sind wichtig jetzt brauchen wir die algebraischen Eigenschaften Determinante das ist den der wunderbare halten werden nur die lineare Form ist nur linear vom heißt ich kann in allen diesen Determinanten jeweils in die im Jahr Kombination rausziehen ja also ich kann das Schreiben wir als für große Summe K gleich 1 bis D voran die 1. die den Männern durch da oben K 1 mal die Determinante Z klar zur 2 zu 3 bis die nur die den Jahren dazu rausgezogen in der 2. Determinante die steht da hinten am Ende sID im Jahr Kombination aus der 2. aus dem 2. Argument rausgibt WK 2 Determinante von Z 1 ZK Z 3 C 4 C 5 bis 10. n los und so weiter im letzten Sommer an der Wichtigkeit des mal die Determinanten von Z 1 zu 2 das Z D -minus 1 und zb der ZKA dass es entscheidend sauer das ZKA dich nicht verzichten tja jetzt aber endgültig der Sommer Summe des Quadrats Hohmann wenn man sie genau mein Group ist es überhaupt keine Summe des Quadrats Summanden mal verdammt viele Sommer sind nun wieder Minderheiten sind alternierende Multi linear Form wenn das keiner zum Beispiel 2 ist steht hier C 2 C 2 C 3 statt wenn das gar 30 dann wohl wenn das ist die der 0 nur wenn Insekten beim K 1 ist Dieter nun alle diese Dinge hier für jedes K ist nur einer von den Summanden wirklich da wir die Summen töten sich gegenseitig hier also dieser 1. Summand der taucht nur auf 4 K gleich 1 also haben wir hier in D 1 1 der Termin nannte von Z 1 C 2 C 3 C 4 bis Z des die hätten war aber Determinante von Z 1 zu 2 Z 3 Z 4 das die Determinante von Z der 2. Summand der macht nur taucht nur auf wenn K gleich 2 Instanzen schickte mich irgendwo meine sehr bewegt und entspannen also haben wir die 2 2 meine Determinante Form Z 1 C 2 C 3 ich hübsch Rosine sowie schreiben im 3. so machen Sie es genauso aus einem letzten der taucht nur auf wenn z steht was unser mitsammen sehr gespalten also ist das hier Bildideen und dahinter steht der Termin nannte von der Matrix Z 1 der 2. zärtlich als je zuvor sollte man in einer Zeile und was steht da B 1 1 +plus b 2 2 +plus oder für die Punkte Mehr sie haben das allen Geistes und ergänzt worden das ist die Spur von Ben das bitte Spur von der von will mal Omega ist nein nicht nur fast sondern ganz warum und wir sind ähnlich wie in der Algebra Kram fühlen Ähnlichkeit erhält die Spur Männlichkeit er die Spur sehr gut das ist gleich Spur von mal Omega von C da von CP von The end ja also erfolgen sagte müssen irgendwie von dem Bäder zum zurück das Fehlen des 3. Weges einfach für die ganze Rechnung des sind nur die Spur von wegen beziehungsweise Spur von A und die ist durch diese ganze Transformation nicht in Mitleidenschaft gezogen so also haben wir der Wronsky der Termin nannte erfolgreich erledigt ja das ist das ist immer so eine beweist sich die man dort einmal durch muss wobei es ist wirklich nur die dem Land ableiten und deren sie glaub ich bisher nie abgeleitet die Determinante bisher brav in der LA Welt geblieben oder wird nicht abgeleitet und die Diana Welt hat sich bisher Brave New wie diesem Lande gekümmert aber so ist das nunmal wenn man dann mit die Fensterläden zu tun kriegt da muss man plötzlich alles zusammen werfen was man weiß gut ja jetzt sind wir an der Kante des Gottlosen weiß was ich gesagt 20 Minuten 23 fast gut und was jetzt kommt ist und auch von 25 mal angekündigt wir müssen uns endlich drum kümmern wurden fundamental System herkriegen und der Spezialfall den ich machen will indem man was sagen kann ist der der vorne Beichte mal auftauchte wenn ich wenn die Matrix A was sie am allgemeinen Funktionen von The ist mir relativ einfache Funktionen nämlich ne konstante dann kann man nur sagen und das hört sich jetzt eine sehr starke Einschränkung an und das ist auch aber mehr geht nicht also meint es gibt natürlich noch reihenweise andere Systeme zu dämmern fundamental System man schreiben kann es geht ja auch immer einzelne weil man dann gezeigt egal was a von t ist der Lösungsraum ist man die Dimension der Vektorraum der Löhne Basis müssen das ist das Problem ist man dann schreibt natürlich können Sie aber andererseits fundamental schreiben dann die gleichen dazu suchen dann am Sinn die Gleichung mit dem fundamentalistischen so aber wir wollen uns jetzt einen Spezialfall kümmern dass das nicht mehr variabel ist sondern konstant und das schöne an solchen Systemen mit konstanten Koeffizienten diesen Fernandel sinnigerweise heißen ist dass man da wirklich konkret im Verfahren angeben kann wo man die Lösungsformel hält also Überschrift dieses lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten wobei die konstanten Koeffizienten beziehen sich auf das aber auf die Matrix vorne das B das darf weiter eine beliebige stetige Funktion sein bei des pH-Wertes Marie fundamental Matrix haben dafür war er zu einer konstanten an einem kann das Bild es ist sein dies will so anständig ist das Problem ist dass 8 so also ab jetzt wir jetzt bis unser a von t einfach ein das heißt konstante sei es dass wir uns anschauen ist die
lineare Differenzialgleichung y Landstrich von TSA y von T +plus b von Ted 1 davon viele stehen bleiben y von 0 ist y das ist jetzt unser Hauptdarsteller wobei das an mit dem Kreuz der Matrix die einfach fix ist und das B weiterhin der Funktion von Ina ARD steckt an der Stelle oder in dem Kapitel kann man jetzt ohne große Probleme die wir in die Welt ganz mächtig erweitern ich werd wahrscheinlich meistens nicht hinschreiben aber sozusagen als Hintergrund Info ob sicher oder 10 nehmen das ist echt Bananas das funktioniert alles genauso mit komplexen Zahlen die schreibt meistens erlauben ganze gebildet und so wo er steht sie schreiben das ist deswegen also also für was ist eine Verallgemeinerung ist aber zweitens ist ehrlich weil wir werden dem Kapitel der nächsten großen Logos Linien Algebra ne Mulligan als es packen und dann muss sie mit Eigenwert Umschlag und wenn man eigene Theorie macht dann ist es quatschen Herzblatt der Friederle Eigenwert Theorie ist was immer das Wort Theorie verwenden sollte er verlangt wird es Katastrophen hat also die man nachher in 18 insofern ist auch ein Gebot der Ehrlichkeit in mir zu sagen dass wir ab jetzt eigentlich so latenten Inzest ende der da nix würden massiv was ändern wenn das TIC wäre ja immerhin den 7 bei der Parallelveranstaltung dann Sinn wenn der Funktionentheorie weiterleiten in einer komplexen variabler abtrennen völlig aber um es hier geht es nur dass das y c wertig ist es weiterhin auf Relief Intervall definiert das heißt also Differenzierbarkeit zu tun hat ist 1 1 Differenzierbarkeit und die werden in 10 bis 15 als genauso dort das als Vorbemerkung und worum es uns geht ist wie gesagt nur noch das fundamental System alles andere haben dürfen ja das fundamental System haben danke Variation der Konstanten die allgemeine Lösung ausgeht und alles ist gut also was suchen wir mehr suchende Matrix wertige Funktion Z von D nach er oder die Szene des Kreuz des so dass erstens die Spalten das den lösen also das z strich gleich brav an der Form und und genau das sagen zu mir mal abermals mal Set von 10 bereits nicht mehr auf und so nur noch zu einer Mahlzeit von Ziel und die Determinante natürlich nicht nur oder anders gesagt die Spalten die ja unabhängig oder wie auch immer so ja der mal darauf hingewiesen wie man die Walser Gleichung löst muss man von Zeit und Zeit auch ein bisschen frech ist es wieder so man muss es so frech zu sein was wir suchen ist ne Lösung dieser Gleichung wenn es ist nicht alles so doof Matrix wirklich wäre aber das Zahl werden sie mir die Lösung sofort auf für die Füße schmeißen wir sowieso wohl offensichtlich eher hoch Teacher also offensichtlich das ist die Lösung von den Dingen Z Phontäne es eh Hoftheater weil leider ist ab es Amari Off-Theater bleibt kleines als Problem was ich will sie auch Ta beziehungsweise was ist wenn es im Hofe Matrix aber das müssen wir jetzt so schön als Problem wird Obama gemacht der die XFX Verzerrung zur Sayyaf er definierten Fuchs ,komma 40 komplexe Zahlen einsetzen und aber dem gleichen Tricks normal sind auch immer ist wenn sie alt und schon kann man nicht nur komplexe Zahlen einsetzen immer noch Matrizen einsetzt ja und das ist der Satz 8 1 der uns erlaubt nächsten Entzerrung zu Matrizen einzusetzen geben Sie Matrix vor wir völlig war ziel der Kreis der Matrix und wo kriegen wir unsere unser Funktionäre exponential also wenn man uns die Reihe her n gleich 0 bis unendlich XD auch durch n Fakultät das macht total sehen ich kann die Matrix A ist eine große tragische Marix wird dann die beliebig oft mit sich selbst vor den Zielen ich ganz Metzgerladen multipliziert ich kann sie mit Art addierten weil die die kurz die Matrizen eine wunderbare Algebra ich bin ja ein Ringen einen Vektorraum ,komma alles tun um eine Behauptung ist das Ding konvergiert absolut und zwar egal welche Matrix Grenzwert in der EU war sinnigerweise ja und bei Ihnen schon jetzt dass es sie nicht die letzte Erweiterung der Exponentialfunktion ich weiß es so verführerisch wann immer sie irgendwie geartete lineare homogene Differentialgleichungen habe ist die Lösung offensichtlich eher hoch 10 mal dieser mal das was man da drin steht hat also versucht man ihr hoch und was alles möge sie definieren also man sich hier so ein paar ja vor paar Semester weiter und dann unterhalten uns irgendwann über so was wie auch die Ableitung ist wunderbar tiefen jedes Objekt der aber jetzt aber erst macht es reichte vom Mehr warum ist das denn absolut komme gern das mein ich war absolut Konvergenz wo mir Normen die Matrizen sie unendlich dimensionale in dem Fall komplexen Vektorraum dem sich irren enormes mir völlig wurscht jede Norm Tod zerbeißt alle Qualen ich mir einen ganz speziellen nehmen was mit der einfach zu beweisen ist und zwar lass sie nicht die Wahl welche sie auf den Matrizen nehmen aber Glas in der Wahl nehmen sich und haben sie auch die dürfen sie sich aussuchen aber da lege ich die Matrix noch fest wichtig damit die zugehörige Matrix Norm also die 2 gestrichene sei dann die zugehörige Matrix nahm ich habe mittlerweile frech wie ich bin recherchiert und festgestellt zumindest das müssen sie alle kennen also das ist die Nummer 6 16 einer Skript für alle die noch mal nach gucken wollen hat der gute Kassen große braucht man zum Glück für mich erledigt gut denn das ich von der Matrix Norm brauche also vielleicht noch mal für alle die sich nicht erinnern die Norm von der Matrix ist es Suprenum über alle Einheitsvektoren ich will die Namen von Arma X 5 wichtig für mich sind die folgenden Eigenschaften wenn man die zugehörige Matrix Normen sind dann ist die sogenannte so multiplikativ also Dematic Norm vom Produkt ist kleiner als das Produkt der Normen und das heißt insbesondere wenn ich mir jetzt was wir ja gleich vor die Füße kriegen die Orte Potenz von Abendschau dann kann ich die Norm von der Potenz absetzen durch Norm von Ermahnung von von also durch Norm von auch J sie hat kann raus das ist das was wir brauchen das gilt für jedes laute werden und damit ist die Sache in einzelne mit dem und unsere Reihe der um Mehr wenn gleich 0 bis unendlich wir wollen absolute Konvergenz untersuchen also schauen wir uns diese Marke Norman Samaneri Hehlerei dastehen Na als 1. können wir mal denn es Galan Verwaltung aussehen 1 durch Betrag von Enver Fakultät mal Norm von auch n dann verwenden wir das hier ist kleiner als die Summe n gleich 0 bis
unendlich im Rat Norm Buchara von hoch in durch n Fakultät das kann macht das ist ne ganz normale gewöhnliche regele es wird das das ist Hofmann von 8 und es nur noch hoch an wir von Norm von Arten freundlich Eigenschaft in zu sein und damit ist das nicht ab so kann er hinterher zur ja absolut konvergent der einen schönen wie schön normierten Raum dieses sieht Matrizen sind hat nun einen Wert kann und dieser einen Wert den definieren wir uns als sehr hoch also gegeben wenn am hoch des Kreuz des können wir jetzt definieren die wir jetzt definieren die Exponentialfunktion von oder auch die hoch aber gewöhnungsbedürftig um war einfach in den besetzen n gleich 0 bis unendlich auch in welchen und das Ding heißt dann Matrix Exponentialfunktion kein besonders kreativer Name aber er sagt was er so das Ganze war es natürlich mehr dieses wild geraten er wenn die Lösung aber es ist doch nur der Kandidat für die Lösung ,komma mal welche Eigenschaften Exponentialfunktion können wir jetzt auf die Matrizen hoch retten verändern dass wir nach Anschluss haben wollen ist natürlich das wenn ich dieses komische aber das kann ich jetzt bilden dann soll es bitte schön differenzierbar sein die Ableitung soll aber dürfte aber sein aber normal was geht denn für dieses komische Gebilde und dann stellt man fest zur Gans ätzendes die Madrid Exponentialfunktion nicht für die geht eigentlich ganz viel was man so von Exponentialfunktionen kennt es gibt eine 2 Stellen wo man aufpassen muss dazu gleich also alle Mal mit den algebraischen Eigenschaften der Matrix Exponentialfunktion mehr geben uns wieder 2 beliebige Matrizen vor also beliebige kreuzt den Matrizen wirklich irgendwas zu dürfen meinetwegen das was kommt gern nur Matrix einsetzen so der übliche Check auf der Dozent irgendwas mit Partner Banalität vergessen hat in dem Fall nicht also Anwesen mit irgendwelche Matratzen dann hätten wir natürlich mal als allererstes gern also ist es naheliegend was im Einvernehmen ist von der man immer treten Exponentialfunktion hat wäre natürlich so was sollten Exponentialfunktion to Antwort ist mir manchmal das ist genau die Stelle wo man aufpassen muss und es passiert an der üblichen Stelle und dann den Matrizen aufpassen muss das Problem ist kommutativ werden ist es nicht ,komma der die modifizieren dass er auf die Füße fällt agieren es bei den Matrizen kommutativ für das heißt hier ist wurscht ob sie a und b die Rollen tauschen wenn Sie auf der Seite a und b die Rollen tauschen dann komm sie das sieht gefährlich aus und deswegen geht die Formel auch nicht allgemein die gilt dann wenn die Dinger konnotieren und ansonsten sie freilich also an der Stelle großes !ausrufezeichen also wahrscheinlich die auch dort werden die 2 pathologische Beispiele von Matrizen die nicht goutieren dass es zur Welt doch gleich ein allgemeines das falsch nur wenn die Matrizen mutieren ab dann haben Sie ja gleich ja und dann dieser tatsächlich Wurstern konnotiert auch ihr auch an die OP einfach weil ich auch ein luftiges das da hier umdrehen und dann haben es anders so das ist mal die 1. und ansonsten aus der folgt jetzt einen eine ganze Menge an andern schönen Eigenschaften das wir noch brauchen werden ist so was hier jedoch S +plus C in Klammern an war das ist nachher unsere Lösung er auch Tierarten S A und T argumentieren also dass er hoch es mal mal e hoch Thema doch mal mit montiert das gilt für alle ist und ausziehen folgt direkt aus dem Ahrtal ziel Teil jede Matrix mutiert mit Einheitsmatrix also eher auch The Art Fluss es mal die Einheitsmatrix ist jedoch S wie hoch die Haar also ich hab hier schon die Einheitsmatrix weggelassen können Sie weglassen weil dieser die Hitze gar nicht gelistet drinnen er hoch wenn Sie mal auch die Einheitsmatrix aus der er auf den 0 nein Nachricht ich erst mal die Einheitsmatrix ist er hoch es weil es Matrix konnte ich er ist als ob sie hier schreiben oder nicht ist egal und deswegen lässt uns meistens die schöne Eigenschaft Exponentialfunktion diversen Regeln kennen und dessen komplexen funktioniert immer noch der Exponentialfunktion wenn 0 das in komplexen sie dann aber sein ist denn wenn die 0 die Fernseher Funktion es immerhin wird hier war als es immer ist es Fernseher und so werden nie 0 das gesehen werden also man dann ich Verzehr von zum Teil das geht Inc sogar noch immer trittst erstaunlicherweise egal was aber wo reisen wenn der Tiere und die inverse ist das was man erwarten würde nämlich hier -minus 8 ja weil Meeresarm argumentieren wie auch -minus aber ich Formel aus ist er hoch an -minus ASI auf dem 0 Matrix und die auf die nur Matrix können Sie auch keine ausrechnen das Blatt aus so wie es war ist die 0 ist die 1 ist die Einheitsmatrix und die sind also das ist ja auch noch um 0 der wie auch die 0 Matrix ist die Einheitsmatrix die beiden steht in dem die Zahl mit drinnen Metall mit drin der jetzt kommt man kann nämlich die Martens Exponentialfunktion in allgemein natürlich überhaupt nicht gut ausrechnen wir weinen muss also an die Reihe was kommt da raus das ist ja auch irgendwie logisch weil wenn sie die machen es wird sowohl zur ausrechnen können sofort ein fieses Differentialgleichungssystemen gelöst das kann ich einfach sein aber es gibt ein paar Sonderfälle wo es relativ schönes und der schönste Sonderfall wo man rechnen dann sind die und einmal 3. also werden sie eine diagonal Matrix mit Einträgen an 1 bislang wird die ich auf die Schreibweise ist will geläufig das soll heißen Matrix auf worauf der Diagonale ihren einst bislang der stehen alles anderes nun und die Aussage ist er ohne dir und Tricks ist selber Winnenden diagonal Matrix und zwar die die Übernahme Matrix mit den Einträgen ihr der einst Hochland der 2. Pisten Joe Landtag die wobei das Leben jetzt ne ganz gewöhn und gewohnte komplexe schmerzhaft ist ha und die beiden hier sind Spezialfälle davon die Einheitsmatrix es die geben dann hat mit lauter Einsen die Tiere die übernahm Matrix mit lauter Ideen die Mundart sehr Matrix mit lauter Nullen gibt jene die unerwartet Spielorte 1 ist eine Macht zu das Ding überlasse ich Ihnen als Übung hab beim erzählen ein bisschen gesagt den wesentlichen hängt alles an aber Art fallen weil die CD nichts BCD ziemlich da draußen für muss man sie noch bisschen die Reihe angucken ist aber auch nicht kompliziert wir werden für die Rhener Matrizen halt auch gut ausrechnen kann so was unser eine interessiert dann ist die Frage wir hatten unser
frecher unser frecher Tipp zuweist brauchbaren geführt und die Antwort ist ja was will in Wennigsen und mitgehen na ja ich mein Sie können sich schon denken warum diese nicht gezeigt aber das ist ne Grund der geht nicht das macht man es viel zu wenig dass man mal die ganzen Wege die in die Irre geführt haben der Vorlesung präsentiert aber dafür einfach nicht sein Zug also Schlusspunkt für dieses Jahr Flemmer 8 4 wir haben wird billig Z Phontäne gleich IUF Ta da hin und kann dieser 1. schreiben meine Behauptung ist das ist der fundamentale Matrix zum einen homogen System IPS Landstrich von Teles arbeitet von The also zu homogen Systemen mehr je mit konstanten Koeffizienten was kann es tatsächlich in der beiden anderthalb Minuten 6 Minuten beweisen was müssen wir tun müssen zeigen die Spalten sind Länge er sind Lösungen also es geht die Gleichung Z Striches mal zählt und wir müssen zeigen sich beide sind sie mir unabhängig zunächst mal das mit dem weniger unabhängig ist geklärt nach 8 3 D muss wir Teil des es besser als ich links oben wo wir also nach den Details hier dar ist er auch irgendwie Matrix immerhin der Tiere war also er bis er auch TAN wird hier war und damit ist sie die Spalten mal unabhängig das ist der ganz einfach 2 unter fast ein werden Teil ist müssen ausrechnen was der Strich von Till ja setzen Sie die Reihe ein ist die Reihe in gleich 0 bis unendlich
Theorie einen auch durch n Fakultät das ist mir absolut konvergenten Potenzreihe es nicht mitreden werden sondern mit Matrix werden aber wo nicht so kleinlich sein absolut konvergierende wo das Eis der komme in Frage von denen unendlich innerhalb des Konvergenz das darf man zum weisen differenzieren also das ist so man gleich 0 bis unendlich n Maltheorie N -minus 1 auch durch n Fakultät nein es geht das richtige kürzen aus das ist aber mal Summe 1 gleich 0 bis unendlich wir auch N -minus 1 auch ein -minus 1 durch im -minus 1 verbuddelt also einen gekürzten einer vorgezogen außerdem die natürlich auf 1 2 ja denn 0 Summanden weckt differenzieren dann machen wir den üblichen Index hilft den Beweis haben Sie auch schon mal gesehen dass nicht genau wie es kann auch geht aber mal Theorien auch n durch n Fakultät is a mal Z von T oder also mal wie der also dass Seelen fundamental Matrix und diese Frage geklärt man wendet sich dem Konzerten Zellen haben können wir die fundamental Matrix bestimmen den wir er hoch TA bestimmen und die Matrix Exponentialfunktion wieder definiert damit ist sie nun wieder an der Stelle wo es theoretisch geklärt ist die praktische Berechnung ist ne andere Frage wenn ich ihn jetzt die konkrete 5 Kreuz-Fünf Matrix mit vor die Nase dann und sag ich hätt gern die jedoch TA dann muss man halt auch n ausrechnen für alle in dienen ist in Arbeit aber da kümmern wir uns dann nach den Ferien drum Jahren und fragen nein das ist genau der Punkt wenn Sie mit dem zeitabhängigen aber starten natürlich dann sitzen dass wir gute Frage wenn Sie mit den zeitabhängigen starten beim können Sie natürlich definieren hoch 10 von Tag macht Sinn jetzt können wir ja Madrid für ne Funktion einsetzen das ist keine fundamental System weil sie diesen Mist Produktregel kriegen es ab das ist das ist das ist mir halt sunst AG hier bleiben Sie es abz Strich von Ziel wer das Ding reproduziert sich so weit alles gut und innen drin steht jetzt von Philip los Thema ,komma wird wenn wenn er konstant ist mehr 1 a nicht ganz sagen sie funktioniert nicht mehr an dann wäre die Welt viel einfacher und genau an der Stelle gezielte sollte sehr gute Frage es funktioniert wirklich nur für konstante weil es eben es geht so verlockend aus aber es tut nicht Gott das als Schlusswort ich wünsche Ihnen eine schöne Weihnachts Pause mit ein bisschen Erholung und dann wir sehen uns dann wieder einmal Januar dahin schöne Zeit in der sie aufwachsen
Punkt
Matrizenmultiplikation
Nabel <Mathematik>
Momentenproblem
Lineare Gleichung
Gleichungssystem
Vektorraum
Gleichung
Differentialgleichung
Vektor
Lösungsraum
Lineare Differentialgleichung
Konstante
Lösung <Mathematik>
Differentialgleichungssystem
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Matrix <Mathematik>
Folge <Mathematik>
Multiplikation
Matrizenmultiplikation
Physikalischer Effekt
Gleichungssystem
Anfangswertproblem
Gleichung
Vektor
Differentialgleichung
Integral
Konstante
Lösung <Mathematik>
Stammfunktion
Homogenes Polynom
Schnittmenge
Vorlesung/Konferenz
Neun
Funktion <Mathematik>
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Inversion <Mathematik>
Gleichungssystem
Exponentialfunktion
Auflösung <Mathematik>
Drehung
Extrempunkt
Lösungsraum
Gradient
Multiplikation
Stützpunkt <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Dimension 2
Sinusfunktion
Einfach zusammenhängender Raum
Kosinusfunktion
Gasströmung
Gleichung
Zahl
Integral
Lösung <Mathematik>
Stammfunktion
Partielle Integration
Mathematische Größe
Sinusfunktion
Einfach zusammenhängender Raum
Kosinusfunktion
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Binärbaum
Anfangswertproblem
Gleichungssystem
Drehung
Extrempunkt
Differentialgleichung
Integral
Quadrat
Homogenes Polynom
Rechenbuch
Differentialgleichungssystem
Vorlesung/Konferenz
Matrizenmultiplikation
Determinante
Differenzierbare Funktion
Differenzierbarkeit
Homogene Differentialgleichung
Exponentialfunktion
Extrempunkt
Gleichung
Differentialgleichung
Zahl
Lösung <Mathematik>
Variable
Uniforme Struktur
Koeffizient
Nullstelle
Mathematiker
Vorlesung/Konferenz
Gebiet <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Matrizenmultiplikation
Große Vereinheitlichung
Tiefe
Extrempunkt
Windkanal
Homogenes Polynom
Vorzeichen <Mathematik>
Prozessfähigkeit <Qualitätsmanagement>
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Permutation
Determinante
Dimension 6
Tabelle
Division
Ähnlichkeitsgeometrie
Biprodukt
Gleichung
Vektor
Zahl
Integral
Konstante
Lösung <Mathematik>
Summe
Signatur <Mathematik>
Stammfunktion
Rechenbuch
Koeffizient
Symmetrische Gruppe
Normalkoordinatenanalyse
Ebene
Mathematische Größe
Faktorisierung
Matrizenmultiplikation
Gewichtete Summe
Summand
Algebra
Kante
Extrempunkt
Lösungsraum
Quadrat
Weg <Topologie>
Multiplikation
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Einfach zusammenhängender Raum
Endlichkeit
Determinante
Stetige Funktion
Vektorraum
Gleichung
Lineare Differentialgleichung
Summe
Polynom
Koeffizient
Mathematische Größe
Kreis
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Rollbewegung
Algebra
Oval
Exponentialfunktion
Norm <Mathematik>
Komplex <Algebra>
Eigenwert
Verallgemeinerung
Primzahlzwillinge
Schnittmenge
Vorlesung/Konferenz
Normierter Raum
Ableitung <Topologie>
Erweiterung
Exponent
Determinante
E-Funktion
Länge
Reihe
Differenzierbarkeit
Homogene Differentialgleichung
Vektorraum
Gleichung
Menge
Zahl
Null
Lineare Differentialgleichung
Konstante
Summe
Komplexe Ebene
Verzerrung
Menge
Betrag <Mathematik>
Absolute Konvergenz
Hitze
Diagonale <Geometrie>
Funktionentheorie
Lucas-Zahlenreihe
Lösung <Mathematik>
Länge
Matrizenmultiplikation
Koeffizient
Reihe
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Summe
Index
Punkt
Matrizenmultiplikation
Summand
Berechnung
Vorlesung/Konferenz
Potenzreihe
Exponentialfunktion
Physikalische Theorie

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vorlesung 10: Variation der Konstanten, Wronski-Determinanten und Matrix-Exponentialfunktion
Serientitel Gewöhnliche Differentialgleichungen
Teil 10
Anzahl der Teile 15
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/30807
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2014
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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