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war wir haben an der TU Darmstadt so
oder mal einen schönen guten Morgen und herzlich willkommen letzte Woche waren wir stehen geblieben weil der neue algebraische Struktur des Vektorraumes ich hab den Axiomen Satz nochmal auf Folie mitgebracht seine Struktur mit einer inneren Verknüpfung also eine Verknüpfung in dem Fall Plus von Frau Kreuzfahrer nach Faro und so dass das Ding arabische Gruppe wird das ist das Axiom V 1 Jahr auf der Folie aufgespaltet denn die Axiome die Person Sonnabend Gruppe gelten müssen und dann haben sie die sogenannte äußere Verknüpfung gehen jetzt nicht von der Sorte ist man denn mit 2 Köpfen mit 2 Mengen Elemente nach ein 3. draus sondern sehr noch im Körper kahl würden Vektorraum definiert ist und die Verknüpfungen multipliziert ein Körper Element mit einem Vektorraum Elementen bieten Vektor raus wann haben Sie da so 4 Axiome was diese Verknüpfung erfüllen muss und ich habe ihn dann letzte Vorlesungen angefangen so und so von Beispielen zu zeigen was alles Körper sind wer den Raum der Entropie Kaden kahlen wir hatten Raum der in Kreuz P Matrizen über wobei Kader in beliebiger Körper ist also denken Sie an er und dann hatte ich Ihnen als nächstes im nicht mehr ganz so Fall naheliegenden Raum vor die X aber danach wirklich vor GX dass das ein Vektorraum ist was soll das sein aber du von im Kühe das sind alle Funktionen von Erlach kann wobei eine Menge das kann wirklich was beliebiges sein und Camus im Körper sein wir hatten als wir gesehen als wurde sucht davor das Vektorraumes Dauer wird ständig gebraucht und verwendet das die Funktion Bildern im Körper haben so und dann hat es wegen der letzte Mal eben in diesem Beispiel 1 2 das noch spezialisiert haben und speziell im gleich die natürlichen Zahlen gesetzt also die Menge aller Art Bildung von den natürlichen Zahlen nach K das hat dich F genannten das ist der Raum aller Folgen in Carrara an und dann hat es ein bisschen noch was erzählt das man folgen bisschen anders schreiben dass man sich folgen am besten vorstellte also weit Torstens Abbildungen von e nach K aber die beste Vorstellung davon ist eine Liste eine unendlich lange Liste von Zahlen K drin der 1. Listeneintrag ist eben das von 0 der 2. das von 1 auf und 2 auf und 3 und so weiter jeder von ihnen würde wenn wir den Rechner so groß wäre wie groß genug wäre eine Folge so abspeichern und da diese Frau meiner folgen Spezialfall vom Raum aller Art Bildung mit Werten in Calais ist das natürlich ein Vektorraum also dieses 11 ist nach dem 10. Teil von dem Beispiel in Vektorraum Person K Vektorraum um genau zu sein und die Verknüpfung mit der Verknüpfung von dort die sehen diese Verknüpfung jetzt infolge Schreibweise aus ich hatte ihnen gesagt das man verfolgen üblicherweise nicht von schreibt sondern also damit ist das gemeint dass sie für ne Folge Erfolges der Abbildung von innen nach K die meistens aber ist Honig 11 und man schreibt eben nicht von allen sondern meistens am Index-Ende so eben auch wieder in der Anlehnung an die Idee dass seine vor deren Liste von zahlen und 17. halte 17. Eintrag in der der Zahlen des der so kann er wir sehen jetzt da die Verknüpfung aus dem uns also mal 2 folgen werden meine Freude aber das ist also unendlich lange Liste von Zahlen a und eine Folge des auch wieder so eine unendlich lange Liste von Zahlen PIN Design alle beide aus 11 und wir nehmen uns ein alter aus K her zum diesen jetzt a +plus b und alpha mal definiert nur so was bei den
Funktionen gemacht haben 11 +plus gehe von X 2 von x +plus gehe von Excel also a +plus b von B von allen ist aber von allen +plus bevor werden also ein Plus an n +plus b a +plus b e n s a n +plus beenden man das heißt was sie kriegen ist einfach ne komponentenweise Additionen verlieren observieren die beiden 1. Elemente der Liste miteinander und schreiben Sie uns 1. Stelle sehr die 2. Elemente der Liste miteinander und Schreibens an die 2. Stelle und so weiter an wir also das ist die Folge a n +plus b e n den Älteren das genauso geht es mit der Skalar Multiplikationen so folge aber wollen mit Alfa multiplizieren wenn sich die Freude an der und multiplizieren einfach jeden Eintrag mit einfachen also das lief die Folge Alfa A 1 wenn aus eben gut in dem Sinne und das ist jetzt wirklich nur der Heuristik und keine exakte Aussage können Sie diese Folgen Raum auch sehen also den unendliche Verallgemeinerung vom km also wenn den Rn denken ist das im Raum mit reellen Achse in allen Dimensionen und dieser folgen Raum hat jetzt eben unendlich viele Axiome man aber die Verknüpfung sind genau die die Sie als man kennen wenn jetzt also für K gleich in SDK gleich ja gut das war folgen das dessen Vektorraumes wissen Beweise Spezialfall-von CDs und ich will jetzt diese folgende Raum noch mal kleiner machen noch ein Teil davon denn der wieder an und der wieder ein Vektorraum ist und das ist der sogenannte Raum das sind ist der Raum der endlichen folgen in K was ist damit gemeint das ist jetzt eben eine Teilmenge von vollen Raum also sind alle die Folgen die nur endlich viele nicht 0 Einträge haben also wenn Sie so wollen ja alle die die sich mit ähnlichen Speicherplatz speichern Tag wobei das jetzt weiß dass sich jeder einzelne mit ähnlichem Speicherplatz speichern können Sie natürlich der beliebig lange Freude die irgendwann aufhören also wird das heißt sie haben alle Folgen drehen sodass die Bedingungen AN ungleich 0 nur für endlich viele aussendet war er an er ist Schuhbeck dafür kommt jetzt die aber dies auch gleich für unendlich viele n aus der endlich viel zur also fern Foreign und sie lassen jetzt nur noch die zu des hat irgendwann konstant 0 sind oder anders gesagt es gibt nur endlich viele Einträge die nicht 0 7 und der Raum heißt normalerweise 10 0 0 warum erklär ich es erst gar nicht aber das ist die übliche Bezeichnung was er will das ist der warum der endlichen folgen und meine Behauptung ist das es ebenfalls in K Vektorraum da also Sie sehen wenn Sie wieder
an unsere Gruppen und Untergruppen Debatten zurückdenken servieren ähnliches Phänomen sie einen Vektorraum der Teilmenge von Vektorraumes was werden wir in Kürze eine Vektorraum die ethischen Folgen werden und der Vektorraum dass er uns alle freuen und es gibt der endlichen folgen ich will Ihnen eine Sorte sie hat prominenter unwichtiger endlich erfolgen hinschreiben also Beispiele für ähnliche Folgen ab also 4 Elemente adventliche folgen also für Elemente von diesen 10 0 0 unternehmen jetzt wirklich sehr endliche folgen ja nicht nur einen einzigen Eintrag der nicht nur das er und den Ingwer 1 aber von dem wir
alle also was ist was meine ich damit zum Beispiel eine Folge das ist die Folge 0 wenn nämlich die Folge 1 und dann nur noch 0 die 1. wei0 weil sie eben das ID 1 1 0 stelle hat und sonst überall 0 und ich mach den Index oben als ich macht ist nur oben in Klammern und ich unten hin weil wenn ich jetzt das 7. das 7. Band von E0 0 haben will dann ist das natürlich in 0 7 und Mehr ich braucht den Platz und noch für die Indizierung von dem Element deswegen kommt der Index jetzt je nach oben so so können sie weiter machen die Folge E 1 ist die die nur an der 1. Stelle hat also an der Stelle die zum Index 1 gehört und danach immer nur Nullen die Folge E 2 hat erst mal 2 0 1 1 1 und ab dann ist sie dauernd 0 also so ganz natürliche 2. Marke die Folge 17 ist die Rede 70 Stellen einzahlen sonst war da 0 für alles endliche folgen seinen 10 0 0 10 10 0 0 drin oder allgemein können Sie neben die Folge des K ist die Folge deren Anfang lauter Nullen hat dann kommt an der Karten stelle ja einst und ab dann wird die Folge wieder langweilig und enthält nur 0 man gibt das ist Mehr er wir werden auf diese kann nie von Folgen der später noch mal zurückkommen ich will die das sie jetzt schon da stehen an der Stelle als gute Gelegenheit nutzen Ihnen eine praktische Schreibweise einzuführen die mit einfachen Schreibweise ist diese sei mit den Pünktchen da dies nervig wenn Sie feststellen dass man wenn Sie jetzt dass sich die Vorlesung gehen dass man versucht immer möglichst wenig Pünktchen schreiben und dann auch noch solche Pfeile Karte Stelle möglichst zu vermeiden weil das ist erstens für das leicht zu Ungenauigkeiten und zweitens ist es auch einfach mühsam zu schreiben und um diese Pünktchen hier zu vermeiden gibt es folgende praktische Notation und zwar das sogenannte Chroniker Delta das Delta kleines des mit Index JK und dieses der DJK mit nur 2 Werte an nämlich 1 zu 0 und zwar je nachdem was J und K Sinne sicheren K sind normalerweise dem Fall natürliche Zahlen aber können noch irgendwelche anderen Objekte sein und dieses der DJK definiert man sich zu 1 wenn die beiden Indizes gleich sind und sonst immer nur das ist der DJK als einfachen Test auf Gleichheit bei der DJK als 1 Jochen K dasselbe sind und sonst nur das ist schlichtweg nicht Schreibweisen wir oft praktisch ist und die mir relativ normierte Bezeichnung hat also die stehst in als Chronika Delta
und wird eine immer mit Delta bezeichnet und wenn sie das Ding haben dann können Sie diese diese speziellen Folgen von darum diese Folge E Carsten treiben was ist die Folge des Kaders ist die liberale 0 hat man da Karten stelle zufällig nach 1 an dass es genau die Folge den Eintrag das Delta J Ks mit J aus entnommen was passiert jetzt wenn Sie das J laufen lassen das der DJK Löwe die ganze Zeit 0 bis das nur zufällig K und der Stelle Sätze 1 und danach wieder lauter Nullen mit dem die Frage ist ob das Gründe glaubt man auch dass der Angriff sei es das 1 zu 0 nehmen will nehmen kann also Sie es mir definiert wenn sich andere andere haben wolle müsse sich die bauen wenn sie 2 0 haben wollen sie einfach zweimal der DJK dass es einfach in sie 2 1 haben wollen den der DJK +plus 1 also andere Zeit Kombination können Sie daraus bauen aber definiert ist es so so also das ist diese Folge EK das können Sie eben für jedes Chaos in machen haben Sie schon unendlich viele Beispiele von endlichen folgt wenn sie sehen wie sehr braucht selbst dieser Raum der endlichen folgen ist es ein sehr großer Raum weil also haben sie ich habe einen ganzen Stab in die Folge 10 geschrieben Glanz und gleich unendlich viele aber das ändert sich zerteilt bucklige eine endliche Folge alle die noch ne ganze Menge mehr sie können zumal welche angucken die zweistellig 0 sind und es gibt auch noch n welche wo nicht nur Einsen und Nullen drinstehen dass seine 7 Grad über dem Körper zur 2. also das ist ein sehr sehr großer Raum geschweige denn der Raum aller folgen oder der Raum aller Abbildungen gesehen wie das Fall immens groß ob man so das war der Beispiel Zofe Vektorräume jetzt kommt eine Bemerkung die typische Mathematiker ist ein Arbeit des andererseits auch genau die Kraft der Mathematik ist der Vektorraum er behält er enthält als 1. Axiom das V mit plus eine Gruppe ist ja bissl grob und das gibt uns die schöne Gelegenheit zu sagen wir müssen viel Arbeit nicht wiederholen sondern alle Erkenntnisse die wir bei a Gruppen gefunden haben er im natürlichen V mit plus weil vom +plus 1 ist und damit müssen wir das alles hier nicht noch mal wiederholen also können Sie zum Beispiel sofort der 0 Vektor ist eindeutig das Additive Inverses immer eindeutig das inverse vom VMs für den Vektor selbst lauter solche Dinge gelten in jedem Sektor nahm ich will 1 nochmal aufgreifen weil es gleich brauchen insbesondere hatten wir gesehen dass wenn sie eine Gruppe haben ist die Gleichung a verknüpft mit X gleich B nicht immer eindeutig lösbar A und B gegeben x gesucht haben was bedeutet dass hier hier ist die Gleichungen und die
Verknüpfung bisschen +plus also die Gleichung a x a +plus X gleich B die für jede Wahl von vorgegebenen A und B aus Frau eindeutig lösbar und das war eine unserer Erkenntnisse über Gruppen und das brauchen wir gleich so können also Na und wie gesagt das ist der 1. typisch Mathematiker weil die Gemeinheit daran ist dass jetzt das ganze Kapitel vorher sozusagen per Hand streichen 2 Zeilen des gebrechlichen 3 gestopften andererseits funktioniert es nur so zu weiteren Erkenntnisgewinn zu kommen indem man auf das was man freigemacht hat Aufbau so dann kommt jetzt ja dann können wir uns jetzt mal langsam an in die Vektorräume einzufühlen und so Neues Konstrukt hat dann ist das alles Fall erstmal spröde und man weiß nicht wie das funktioniert wie sich das anfühlt und den deswegen fange mal an einfache Sätze Vektorräumen The zuweisen
also das 1. der Satz 1 zu 4 und da geht's jetzt wir haben den 0 Vektor und um das Additive inverse und den Zusammenhang zur skalare Multiplikation also was jetzt kommt geht auf einen beliebigen Cavic darum Frauen und ich will jetzt am Anfang noch gut exakt sein und den 0 Vektor man mit 0 V bezeichnen damit für den ich mich dem 0 im Kater durcheinanderbringen ehren langfristig kann ich Ihnen sagen kriegen werden sie sich über den die Verwendung des Zeichens 0 meine Zeitlang ärgern weil nun gibt es wie Sand am Meer aber es gibt die Nulllinie erreichen also die die Zahlen 0 es gibt die 0 Vektorraumes gibt denn jeder additiv geschriebenen Gruppe 0 es gibt die 0 Abbildungen und das hat immer irgendwelche neutrale man den additiv geschriebenen algebraischen Strukturen und wenn man mit den Zeug länger zu tun hat gewöhnt man sich irgendwann an für das alles 0 schreiben dann stehen auf einer Seite 5 Nullen des 4 7 Dinge sind und dann wenn man das zum 1. Mal sieht Flucht und den die haben sehr wohl nicht mehr alle und das ist dann aber meistens Aufgabe des Lesers sich rauszufinden welche nur hier gerade wohlgemeint ist denn im Moment versuche ich noch ich ich werd sie davon nicht verschonen weil sich das davon nicht verschont werden werden aber werden jetzt am Anfang halt nur die Nullen vielleicht noch ein bisschen auseinander also 0 Faustino dem Vektorraum und Index ist in einem Körper zur also wenn sie 0 wenn Vektorraum haben und dann gilt für jedes Alfa aussenden zugehörigen Skalar Körper und jedes und jeden Vektor ausfahren er die folgenden 2 Dinge wenn Sie als mit Frau multiplizieren also gesetzt den Fall Sie am Alphorn Frau so geschickt gegriffen das der den 0 rauskommt wer den andersrum also wenn den Alfa selber 0 ist oder wenn das V die 0 ist dann es ist würden Sie mir wenn Sie mir sofort glauben zeigen auch leicht wenn es auch das Produkt einfach mal vor gleich 0 aber das schöne ist es geht auch umgekehrt also den schönen Satz den Sie erst erkennen wenn ein Produkt von 2 Zahlen 0 ist das einer der Faktoren 0 in Cannes auf die Skala wurde vigation übertragen also wenn ein Fanal V 0 ist dann ist entweder als Mann oder Frau 0 Na also passiert nicht so dass wir das in Ringen hatten dass sie 0 Tyler kriegen kann man es ist ja eh neues in Verknüpfung aber sie können eben nicht die 0 das nehmen Multiplikation kriegen wenn beide Teile nicht nur so so das ist der Anteil an und der Beta ließen er an man hängt das additive inverse in K und das Additive inverse Frau zu zusammen und die Antwort ist so wie man das wenn und so wie man es erwartet also ich mir das Additive inverse zum Alfa nehmen also das Mindestalter wenn das anders V 3 multipliziere dann kann ich auch zu 1. alpha anders Frau multiplizieren und dann in V das Additive inverse nehmen wenn man beachte diese beiden -minus zeigen sind wichtige Dinge das Minuszeichen links vom Gleichheitszeichen ist -minus 7 K was additiven das K und das Minuszeichen rechts und Zeit ist additives Inverses sind auch deswegen ist diese banal aus die Rechenregeln ich beinahe sondern bedarf eines Nachweises und eine ganz wesentliche Regel die dir daraus folgt sein bin ich explizit hinschreiben nicht was passierte mir das für ein Vergleich 1 machen dann kriegen wir raus egal was verlegte rauen was im Körper sie haben beachten Sie in Ihrem Körper haben sie die -minus 1 0 jeden Körpern 0 oder 1 haben und die eines mussten additives Inverses haben also musste -minus 1 geben es kann natürlich sein dass C 2 sind dann ist -minus Einzelfälle wie einst aber mit minus 1 gibt's immer so also -minus 1 meine Frau ist dann nach dem was da steht -minus also dass man aus man sagt klar wenn ich weckte -minus 1 multipliziere dann kommt gerade negative raus das geht in jedem Wetter auf Sarah weisen wir das was müssen wir tun im Ahrtal im Ahrtal müssen wenn Äquivalenz zeigen beweisen zumindest in Art müssen etwa längst seine Qualen zeigt man dem sind 2 Indikationen aufspalten man erst die einfache Richtung oder das was einfach aussieht nämlich dann wenn einer der beiden Faktoren Doles dass das Produkt 0 dann erstaunlicherweise ist das gar nicht so banal wie man denkt und die Rückrichtung es fast die einfacher werden sahen also mehr gut beschrieben wir machen erst wir müssen zeigen wenn AlphaGo liest oder wenn Frauen und ist dass das Produkt 0 also man 1. Fall dass Alfa 0 es so was geht dann was uns interessiert ist was es einfach mal Frauen es ist es nunmal Frauen kann man sie erst mal dass es Frauen nur das Problem ist jetzt wie so oft an der Stelle wir haben noch fast nix zur Verfügung das einzige womit wir arbeiten können ist das ja also die 8 Axiome für Vektorraum und was wir auch noch wissen alles was wir badische Gruppen wissen dürfen wir für die Frau mit plus verwenden gut also das Frau schreiben uns erst mal kompliziert nach V 2 als einmal vor Augen einmal Frau ist rechnen im Körper eines ist das selbe wie 1 +plus 0 also ist das dasselbe wie 1 +plus 0 auch dumm Sarah das schreit nach dem Vektorraum Axiom fiel Munk da ist das Distributivgesetz für Skala +plus Galama Victor das dürfen wir also schreiben als einmal Frau +plus nun einfach an jemanden wenden wenn Sie ich bisher gefragt haben was tut der hier das ganze dient dazu würden die gleichen zu kriegen denn der Ausdruck nunmal V vorkommt bei Bedingungen was rauskriegen das können wir noch kurz bisschen aufräumen dass es einmal V dass es wieder vor 2 1 falls Fahr also steht hier V ist selbe wie Hauptfluss nur mal vor das sie doch schon mal gut aus ausführen aus das selbe wie V +plus nun Nazarov er 0 V muss man auf beiden Seiten vor abziehen und dann steht 0 meine Frau gleich 0 da nur also sieht fast aus dem mit Index aber das ist nunmal V nur das Problem ist warum dürfen wir beiden Seiten vor abzieht und das ist jetzt diese eindeutige Lösbarkeit von Gleichungen erwischen Gruppen weil andererseits gilt nämlich des Pharao derselbe ist wie
V +plus T 0 legte einfach auch nur das ist neutrales Element der Addition in der arabischen Gruppe so und jetzt haben sie ein dann zu oder jetzt haben sie 2 Lösungen Moment genau also lösen 0 mal fahren und 0 V die Gleichungen Frau gleich x +plus fahren kann 10 Sie diese Gleichung 2 Lösungen gefunden diese Gleichung ist eindeutig lösbar weil sie in der Gruppe sind also ist nur Frauen in nur meine Frau gleich die 0 in Gefahr Sarah jetzt das gleiche für Herrn LV die 0 ist müssen zeigen wird vor dem lüsternes Alfa mal dieses Frau also einfach mal 0 ist immer dann 0 Sektor wurscht was ist Einvernehmen und das Argument ist ähnlich also Sie nehmen sich irgendwie her n unsere wieder seine Gleichung konstruieren die dass gesucht als Lösung hat also was es einfach
mal weh und wenn sie das V 1 also dass es nicht das Frau mit bloßen arabische Gruppe ist und sie ist die Idee genau wie oben wir jetzt auf der weg Seite also gern zum wenn 0 Sektor dazu das können Sie machen ohne dass sich was ändert das ist genau die definitorische Eigenschaft des 0 Vektors es nehmen sie nicht das dieses Axiom V 4 sondern das Axiom V 5 und und und das auseinanderzuziehen dann kriegen Sie einfach E-Plus Alphamann 0 V jetzt haben sie wieder sehen Sie wie das Ansinnen die Gleichung ein verwegenes Alphabet plus das was wir suchen und andererseits ist einfach mal DIE ja immer das Gleiche wie vermeiden +plus 0 Frauen nun ist das neue den nur Sektor ist das neutrale Additionen Vektorraumes den auf dem Vektor drauf dem passiert nix nützen sie wegen der Situation von gerade eben das haben Sie die Gleichung alpha-w es Alphabet plus X und der 2. Lösungen also 10 2 Lösung der Gleichung ist Alphabet plus x die die Gleichung kann nur eine Lösung also eine eindeutige Lösung also muss daraus folgenden dass Alfa Mandolinen V gleichen und verpassen so das war die eine Richtung die von der wir dachten die muss ja ganz geradeaus seien wenn wenn sie nur mit alten multiplizieren kommt nur raus war in dem Fall gar nicht so einfach das ist witzigerweise die Umkehrung fast einfacher also was muss man tun zeigen es
kommt die umgekehrte Richtung das beweist der Äquivalenz was müssen wir da zu zeigen schreib sie noch mal hin wenn wir wissen das einfach mal V der 0 Vektor ist muss daraus folgen dass entweder alle 0 ist oder Frauen 0 ist also dass es zu tun Gold dann betrachten wir 2 Fälle der 1. Fall ist da einfacher wenn als sei gleich 0 ist dann sind wir fertig nicht nur ist das als er gleich 0 oder V gleich 0 dann ist gut wenn die spannende Frage ist was passiert wenn ein Fall nicht nutzen wir kann jetzt wenn also nicht nur das da müssen wir nachweisen wenn es V 0 also schauen wir uns mal anders ist dann Farben also V 1 das ist wieder der gleiche Trick wie gerade eben verwies es einmal das ist Axiom vor 2 Jahren so warum ist diese einst so schön ich muss irgendwie das Alter ins Spiel bringen wir es als wie bringen wir von dem weiß ich was und was weiß ich von denen das Eiweiß nicht 0 wie widmet sich aus dass netzseitig nun ist das Beste also der 1. Reflex ist Mehr was macht eine Zahl die nicht nur das besonders gegenüber den wenigen oder weiß man darf sich die Haie wir also tun wir das doch mal machen schreiben wir die einst doch mal als als Paar hoch minus 1 mal als an das können wir machen warum weil wir dem Körper sind wenn dem so ist jetzt sehen Sie schon worauf ausläuft wir wir wissen dass überall formal Frauen als einmal V ist 0 also einmal Frauen so weiß wir rauskriegen und das reicht schon wo hier kriegen sie müssen wir noch einmal die Klammer der versetzen und das wird es dürfen es freundlicherweise Wachs Jungfrau 3 der also die vor 3 erlaubt uns diese Klammer darüber zu schieben und jetzt steht gerne einfach mal Frau es 0 das wissen wir dass ist Voraussetzung es gibt so und jetzt das am 1. Dezember VS irgendwas modifizieren bewegt und dann über das Thema muss gerade so genannten gemacht was uns jetzt hilft ist nämlich die umgekehrte Richtung von beweisen witzigerweise immer können wir jetzt das er geradegemacht haben von hier an den wer mich da gezeigt wenn sie anders nur selten oder 10 aus also ist das dann wohl was jetzt dasteht ist Faust also mehr gezeigt entweder es einfach schon 0 denn es gut und wenn es nicht nur das muss vom 0 sein dass das was wir haben wollten guten damit haben wir ja noch ein bisschen einfach mal mit dem Axiom rumgespielt das ist immer gut wenn man so neue Struktur hat und wenn sie mal den Beweis nochmal drüber fliegen wenn sie auch feststellen dass wir das denn so ist weil er wirklich alles alles Frauen mal verwendet hat Verein zwar 2 vor 3 4 4 vor 15 eine 3. nein sie brauchen lediglich die volle Struktur Vektorraum das durch zu tun selbst ohne banale Aussage werden Produkt 0 ist dann ist er wieder der Thailand dann ist wieder der Faktor 0 oder eine das einer der Faktoren 0 ist nicht so offensichtlich und wir sind seit dem RV mit den Ringen ja auch wissen das ist nicht selbstverständlich man legt darum geht es dem sei dass ich Ihnen das Übung da können Sie selber mal mit den achso müssen Rumson gehen und ich will jetzt in kurzen Exkurs machen ja gar nicht unbedingt jetzt zu Vektorräumen gehört der Yellow gut hin heißt und will ihn will in eine Schreibweise eine Notation nahe bringen und sie innigst bitten die zu verwenden wären die sicherlich einige von ihnen schon kennen damit diese nicht kennen sollten sich die aneignen die auch dazu die Pünktchen zu vermeiden und gleich am Anfang der Kommentar dazu die die das Ding kennen sagen alles gegessen und die dies nicht kennen neigen erfahrungsgemäß dazu 2 Wochen lagen 2 Wochen lang nahm das Ding mit spitzen Fingern anzufassen zu vermeiden und zu beschließen dass Putin auch was Schönes sein und dann das womöglich Landung um zukommen lassen Sie es bleiben tun sich gleich damit anfreunden sie kommen eh ich drum rum und je früher man anfängt umso besser sein Gott also um was geht mit sie
haben es geht darum sie wollen er dann gestapelt sein er dir das Problem aber nur ein paar Mal wenn dich Lapentti geschrieben wer zum Beispiel hatte seine Aussage Induktion wird da die Induktion und da habe ich ihn hingeschrieben die Summe der 1. n der natürlichen Zahlen also 1 +plus 2 +plus 3 +plus 4 bis +plus +plus und so weiter bis +plus n ja das ist eine klassische Bündchen sieht Phänomän und das würde ich gern abkürzen also was haben wir wir haben eine gewisse Anzahl von zahlen oder denen die Maler die Ungarn und für NSN ok und sie haben aber 0 A 1 bis A N ich sag jetzt mal ganz allgemein aus einer Kom mutierenden Additive Struktur das hört sich wahnsinnig hochgestochen an es bewusst schwammig also stellen sich unter den anderen bis in etwas mehr Zahlen vor oder Rektor mehr Dinge die sie miteinander an die warum auch immer mehr also Körper Elemente wegen Elemente Vektorraum Elemente aber für das folgende bitte du noch weitermachen aber das folgende einfach Anzahl leben wir also haben in Zahlen nun jetzt wäre die Summen die die die Pünktchen Schreibweise dafür 1 0 +plus 1 +plus 1 2 +plus und so weiter bis am das mag also ins Tal noch gutgehen wenn das enden wenn das komplizierte Ausdrücke sind wird es irgendwann furchtbar war ich und deswegen wird man dafür ein neues Zeichen ein was jetzt kommt es aber nun Zeichen für dieses für diese Summe wir dieses Zeichen besteht also aus dem aus dem Achtungszeichen hier kommt eine Summe das ist ein großes Sigmar also das griechische große S es die Summe an er wo das große Grieche es aus und der Vater den Sohn Buchstaben des 1. richtig für es Visum und zweitens hat und nun um schön viel Platz was hinschreiben kann und was man jetzt macht ist man sagt und von wo man anfängt zu zählen und oben bis wohin man zählt mit den mit dem mit der Zielvariable und schreibt dahinter was man macht was steht jetzt da was da steht ist nichts als eine ganz banale vor Ort Schleife dieses zeichen bedeutet wenn Sie sind Text in in Code übersetzen steht da VJ gleich 0 tuellen ja und dann zu mir die Eier mal also erhält es zum S
zum bloßen weil dort ja man am Anfang noch Summe auf 0 setzen zu erhalten was man halt so macht ja Arbeit das ist das was da steht zu ihrer vor Dezember Jahre von 0 bis 11 und addiere die Zahl die da drin stehen auf sanken das ist das sogenannte Summenzeichen und wie gesagt die Hälfte von ihnen sagt hab ich schon gesehen und die sagen jetzt können sich jetzt kurz zurücklehnen und sich drauf die Konzentration für später aufheben und die anderen gewöhnen sich das bitte an dieses J diese Zellen variabel des nicht lokale Zelle Variablen der heißt zum mations Index man sagen sie können Sie solche Summen schön elegant und übersichtlich schreiben und nicht nur kann man sie damit eleganten übersichtlich schreiben und das ist das was ich Ihnen nahe bringen wollte will sie können damit auch viel übersichtlicher rechnen als mit Blümchen und sie kann er also auch für sie selbst wird die Sache dadurch übersichtlicher jetzt ist das was da steht wenn man sauber arbeitet nun Spezialfall bei natürlich muss man sehr variabel nicht immer bei 0 los laufen sie können natürlich mit sehr variable auch bei einem andern Ort laufen lassen also beispielhaft können Sie das Konstruktion zu erweitern die schreiben aber so ein paar Beispiele so den von York gleich 3 bis 9 2 hoch J was wäre das wer lösen sie die Schleife auf für ihre gleich wenn die Zelle variable von 3 bis 9 für J gleich 3 kriegen sie 2 hoch 3 für gleich 4 Grinsen 2 hoch 4 für gleich 5 können 2 hoch 5 und das geht jetzt so weiter 2 auf 7 2 auch 8 +plus 2 Wochen einen wir sehen Sie schon wenn ich jetzt nicht 3 bis 9 sondern 3 bis 27 schreibt dann mit ist auf der rechten Seite mühsam her und links Status kann egal wie lang die Summe dann wird das mit dem Summenzeichen bleibt das immer gleich groß zu gleich viel zu schreiben und das wird uns ganz besonders da an allen
große Dienste leisten wenn man nicht mehr nur endlich viele Zahlen addiert zum unendlich viele also rein formal können Sie auch sowas hinschreiben Summe von York gleich 1 bis unendlich x hoch J freiließen fällig hat dass eine vernünftige Bedeutung oder ist das nun esoterisch das Ding aber darüber unterhalten und ein paar Wochen was das ist ist die Summe X plus X Quadrat plus x hoch 3 plus x hoch 4 plus 1 kommt in die Pfännchen schon gar nicht Finanzierung ein sehr die unendlich viel Zeit auf der Erde ich will noch 2 weitere ein bisschen mit diesem Summenzeichen rum rechnen und dann sie in nächster Zeit bitten dass möglichst wann immer es passt zu verwenden ich eine Vorlesung auch immer denn es passt verwenden und sich die dies nicht kennen sich damit daran zu gewöhnen und das 1. was ich Ihnen zeigen will ist der so genannte Index hilft Ihnen Sie kann sie können ihre 10 Variablen Prinzip natürlich laufen lassen wo sie wollen also Sie können zumal ich komm und folge an K von 3 bis 9 K -minus 3 hoch 5 können Sie schreibt gucken uns einmal an was das bedeutet das ist was sie fangen mit K gleich 3 an dann steht da nur noch 5 für K gleich 4 Städte 1 5 und so weiter geht das bis Völker gleich 9 kriegen sind 6 Uhr 5 also muss ich noch einiges schreiben 3 hoch 5 4 5 5 vor 5 6 5 dann sieht man der des 1. geschrieben hat hat das Ganze ein bisschen unötig kompliziert also dem völlig weil den Sommerville Summation Dexter von 3 bis 9 laufen zu lassen ist bisschen willkürlich und sich jetzt anguckt was da steht das ist natürlich das gleiche wie J gleich 0 bis 6. über J hoch 5 finden können und das was Sie hier sehen es einem Index hilft sie können mit dem Index nur wenn sie mit dem Index einer andern Stelle loslaufen unten obere Grenze auch entsprechend anpassen und innen drin in der Summation entsprechend verschieben konnten das gleiche raus an der Stelle noch ein Kommentar der wenn sie schon programmiert haben der also natürlich ist der der ihn aus der Programmierung eigentlich klar sein sollte diese variabel K oder J dieser Index dieselben diese Summation Index es wäre ist es so informatisch gesprochene lokale Variable wir wissen 10 innerhalb der Schleife unendlich leiden vorbei ist kann sie die Wahl haben laufen als gibt es nicht mehr wir also dieser Ausdruck denn es geht Summe über die ja gleich 0 bis 6 Auto 5 hängt war nicht vor davon ab ob sie das denn sagt man ja also ob da jetzt Niort steht oder ein K nur oder meinetwegen was kann sie noch nehmen als Fahrer oder in chinesisches Zeichen oder was auch immer lustig sind das ist total egal also gerade bei den Summation ist Namen Schall und Rauch dieses diese Summation sie Index ist mit rein lokale Variable der außerhalb keine Bedeutung da komme ich gleich mal darauf hin unter jetzt im letzten Teil von dem Beispiel will ich Ihnen ein den zeigen dass sie auch davon überzeugen sollte das Formations Zeichen was tolles sind er will und 2 geht es uns ausklammern aus multiplizieren ausklammern aus multiplizieren kann jeder von ihnen das ist er an haben Sie
alle beliebig oft gemacht der also wenn Sie so Sommer haben A 1 bis 1 und das Multiplizieren 7. Allvar dann ist es natürlich das gleiche wie Alfa A 1 plus 1 Grad 2 +plus und so weiter ist Alfa und jeder von ihnen weiß man das als jetzt nicht mit Zahl so und so musste Ausdruck ist sondern noch 7 -minus Zeichen stehen dann ist das eine der Ecken in denen sich am allerliebsten verrechnet weil man halt irgendwo Minuszeichen vergisst oder irgendein von Summanden dich mit Eifer sondern mit 2 Eifer multipliziert und am Schluss ist alles Chaos ja Zufall bewiesen Summe sehr sehr lang ist so 2 Monsters normalen Songschreiber sehen was geht hier vor mir vorne steht allen Fahr mal die Summe J gleich 1 1 bis N A J a Somalia gleich 1 bis n ARJ is a 1 +plus a 2 +plus 1 3 bis +plus 1 was steht rechts rechts stehende Summe wobei der Lauf Index von 1 bis n g und jeder Summand ist von der Form als A J um so also was bedeutet aus multiplizieren oder ausklammern mit dem Sonnenzeichen aus multiplizieren aus kann mit dem Summenzeichen ist nichts anderes als einen um der von dem mations Index nicht abhängt und dass den Scheidepunkt dass Alfred nicht von dort ab wenn Sie das aus multiplizieren wollen bedeutet das nichts anderes ausklammern wollen bedeutet das nichts anderes als in dem die Summe wo das Eifer in drin steht und schmeißen das einfach aus weiß Alter vor die es ausgeklammert und aus multiplizieren es umgekehrt denn das also vor der Sonne stehen und sind Sommer einen ist es aus mit dem Ziel das ist deutlich angenehmer als mit solchen klammern sie wieder da und an der Stelle noch eine bitte Warnungen wie auch immer sie sagen
wollen das entscheidende für's ausklammern und das wissen Sie natürlich und beim Sohn sein ist man schnell wieder sie können nur Dinge ausklammern denn ein Summanden gleich man Banalität so also kommen sie mir bitte nicht auf die Idee dass man dann immer mal wieder sieht wenn Sie Sohn Ausdruck haben K von also summieren von 1 bis Ende den Ausdruck kam mal AK ja also 1 mal 1 +plus 2 a 2 +plus 3 mal 1 3 +plus 4 1 4 wie sehen so hinschreiben kommt keiner auf die Idee zu dem was auszuklammern wenn einmal 1 bis 2 mal 2 bis 3 mal 3 was wir daraus gemacht aber wenn es so dasteht und man diese Regel da oben so schön sieht dann hat man dann hat man häufig meiden Reflex daraus so was zu machen lassen Sie das bitte gleich n das Cahier hängt eben von K ab kein ziemlich heftig von Karten wird und dementsprechend kann man das auch nicht ausklammern mehr es ist nur eben weil man das mit dem Alfa darum macht und das immer so einfach geht und dass man so im Zug und dem Schwung und dem ,komma das Cafe er das sollten Sie bitte bleiben lassen es besondere ich mein Tier ist es ganz banal wenn das kalt irgendwo in irgendeinem kleinen Exponenten von sonem Ausdruck auftaucht dann sieht man nicht unbedingt dass ein großer Faktor von Carpenter muss man aufpassen ein Täter zu habe ich noch der Einsatz eines gibt ohne Sonne Kontrolle Sonne Plausibilität steckte man drüber laufen lassen kann und Summenzeichen arbeitet und es ist wieder meinen Wirkung von vorhin das man in meinem Kopf haben sollte diese so mations Index es Verlauf variabel der Zelle schleifen und damit die lokale Variable das Summenzeichen ist das heißt dieser Ausdruck hier zum K gleich 1 bis N der liefert Ihnen die Zahl aber dieses von K komplett unabhängig das K 10 sind innerhalb dieser Schleifen ist aber außerhalb ist eben keine globale sondern lokale variables außerhalb ob ich definiert das heißt dieser Ausdruck der hier steht er ist nicht nur nicht gleich den Master Lynch stets anders einfach komplett sinnlos weil dieses Kania weiß überhaupt nicht was es ist hatte komplett Identitätskrise ja weiter welchen Wert soll das denn bitte annehme dass Kazaa von 1 bis n laufen aber wenn es da draußen steht außer der Schleife was jetzt ja das heißt wenn Sie mit solchen Summation zu tun haben und irgendwie entdecken dass ein dass der so mations Index aus der Summe rausgerutscht ist und jenseits der Summe ein J darüber was auch immer gar zu mir steht dann muss Alarmglocke schrillen und sie müssen sage stopp muss was schiefgelaufen und suchen sie die Stelle ab der der Sommer zu uns Index aus der Summe rausgerutscht ist und sind wohl viele gemacht also zum Plausibilität Z 8. Sie darauf dass die Reservations Indizes immer im Summenzeichen bleibt wer da sparen Sie denn die Identitätskrise das freut die und das freut sie und das freut uns allen gut damit erstmal die Pause und dann sehen wir weiter die so ich wird dann
werden die 2. Hälfte einsteigen und diese die eingeführte Summen Notation werden sie in den nächsten anderthalb war ein 13 Semester noch viel und sehen und ich beziehe eben versuchen Sie nicht zu vermeiden sondern benutzen Sie sehen wenn sie für Sie das Neues ist natürlich immer erst mal eine gute Idee wenn seine Summe darstellt sich dessen Pünktchen zu schreiben und zu belegen was das ist meinetwegen auch in München zu überlegen was man so als 1. machen kann aber sich das dann wieder in Summen Schreibweise zu besetzen und im Endeffekt damit zu arbeiten das ist keine Schikane sondern das die in ihren besten Mann so dann kommt das Kapitel 2 im Abschnitt über Vektorräume und womit ich mich jetzt beschäftigen will ist im Prinzip ähnliches Konzept wie das bei Gruppen hatten wer Gruppen haben wir uns angeschaut Teilmengen der Gruppen die selbst wieder Gruppen sind also genannte Untergruppen und genau das Gleiche aber Vektorräumen jetzt wir reden über unter Vektorräume vollen hatten wir schon ein Beispiel gesehen also wir die endlichen folgen in allen folgen oder eben die gerade in der 2 Ursprungs gerade und in dem Zusammenhang tauchen dann auch die Begriffe Basis und Dimension auf wenn der Begriff Dimension zumindest wird Ihnen geläufig sein ein anfangen wollen wir mit dem zum Abschied unter Vektorräumen also die Idee genau wie bei den Gruppen die man weg um suche Teilmengen dieses Vektorraumes die nicht nur irgendwelche Teilmengen sind sondern die werden wenn man sie mit denen von dem großen Vektorraum vererbten Verknüpfung versieht selbest wieder Vektorräume sind und das ist auch lieber Gruppen gleich die Definition also Sie haben NK Vektorraum vor sie haben die Teilmenge von V und die heißt unter Vektorraum und weil das Wort so furchtbar lang ist wenn ich das hier zumindest in der Vorlesung mit UVrA abkürzen also das Ding heißt unter Vektorraum von Frau als wenn sie des so mit den Verknüpfungen von Frau aus starten der also Sie nehmen Sie 2 Elemente so addieren wollen denken Sie daran dass die beiden TV-Sender in den Frauen gucken sich das Ergebnis an und im allgemeinen wird dieses Ergebnis natürlich irgendwo nicht gerade liegen aber wenn das eben in liegt und dabei in Schönebeck daraus warum rauskommt dann nennt man das ohne ein der Unterwelt erfahren Zaren dann kommt Bemerkungen über genauso bei Gruppen hatten jeder Vektorraum hat 2 sehr
offensichtlichen unter Vektorräume die sogenannten trivialen unter Vektorräume das sind die Extremfälle was ist immer unter Vektorraum wer zum A 1 der ganze Raum selbst ne ganz VSN Teilmenge von V und außerdem SV Beckdorf na also dass Frauen unterwegs auch das ist ein offensichtlich aber langweiliger frei und der andere ist genauso langweilig und vielleicht nicht ganz so offensichtlich schauen Sie sich mal die Menge an die nur das nur Element enthält also 0 0 Vektor das sind Teilmenge von zu Hause weil es die Sache einfach und es ist und der Vektorraum werden kann man hier die ganzen denn dort durchackern unbefristetes gibt es Probleme mit die Menge die Nudeln oder die Welt ist uns eine bekannte arabische Gruppe die haben wir schon paarmal das funktioniert wenn sie 1 mit dem 0 Vektor multiplizieren konnte nun Sektor raus also V 2 erfüllt egal was sie für v 3 V 4 V 5 alpha und beta und sonst wie während alle raus und wir sind 0 und alles was da steht ist einfach erfüllt also das Essen und der Vektorraum und so haben sie mal jeden Vektorraum 2 Neiße zumindest schon mal 2 unter doch an man natürlich interessiert man sich dann nachher eher für andere aber die beiden gibt es immer so man sich jetzt an dem die Gruppen er dann dann hatten wir da verschiedentliche Beispiele gesehen und festgestellt dass es da sehr mühsam ist immer alle Gruppen Axiomen 80. und hier ist es mühsam alle Vektorraum Axiomen 80. und deswegen gab es dort das so genannte Untergruppen Kriterium das deutlich schlanker war und genau das Gleiche können sie auch beim unter Vektorraum Kriterium produzieren also es kommt das entsprechende Kriterien für unter Vektorräume das hat auch eine ganz ähnliche Struktur es reicht wieder 2 Dinge nachzuprüfen 2 dich immer noch größere Ersparnisse als bei Gruppen habe wir Gruppen waren 2 statt 4 hier sind 2 statt 8 und die 2 sind auch im Prinzip genau das gleiche die beiden Untergruppen sie müssen nachweisen dass ihr Kandidat nicht leer ist und sie müssen nachweisen dass wenn sie verknüpfen das in der in dem drin bleiben und das sind die beiden denn die gesichert sein müssen also wenn sie einen sehr Amerika Vektorraum V so dann ist eine Teilmenge von Frau unter Vektorraum genau dann wenn das ist auch ohne eine gerade genau dann wenn Aussage genau sowie bei Untergruppen 2 Dinge gelten das unter Vektorraum Kriterium 1 das da sagt dass dann nur aus
schließt das siegreiche zufällig die jede Menge gezogen haben weil die leere Menge ist kein Vektorraum wir also das wird damit sie müssten irgendeine man den drin haben und zweitens sie davon durch Verknüpfen nicht aus den unter Vektorraum aus dem rausfallen und das kann man folgendermaßen garantieren in dem man sagt egal welche A und B aus Sie nehmen und egal welchen anderen will aus K muss gelten dass Lander A +plus Schulen mal B in liegt mit der Bildung am setzt alles was sie verknüpfen können zwischen Frauen K gesichert wenn sie zum Beispiel Malmö gleich 0 setzen dann haben sie damit das Band für jeden Vektor a und für jedes Kanalnamen Dalanda mal drin liegt und solche Dinge oder wenn sie lange da gleich mir gleich einsetzen dann haben sie für jede 2. für je 2 Vektoren ist die Summe wieder drin und damit haben sie dass die der Raum diese und NGO bezüglich ein Verknüpfungen abgeschlossen ist da sie könnte wenn das Ufer 2 geht sich nicht durch Verknüpfung aus dem woraus stehen an 2 in Vektor US-Daten bleiben will sah er das war beweisen doch hier gibt's wieder einmal einfache und schwierige Richtung T einfach ist zu zeigen dass man sehen unter Vektorraum haben die beiden vor 1 2 erfüllt sind unklar denn derartige Teil aus diesen 2 Ingredienzien den ganzen Axiom Satz zu foltern und zu zeigen denn ist ist wirklich unter Vektorraum an also man erst die leichte Richtung auch ende also die
leichte Richtung Starflyer also setzen wir voraus dass wohl und Vektorraum von Faber ist da an gibt es da drinnen neutrales Element also wird Vektorraum enthält immer den nur Vektor Axiom V 1 n also haben sie auf jeden Fall dass das unter Vektorraum Kriterium 1 erfüllt ist das US nicht mehr hören sollte man Ruf 2 und feststellen dass in dem wir uns also 2 Elemente A und B aus ja und 2 Skalare Lander Mühe Oscar er wo ich Grace das müsst wahrscheinlich jetzt zum 1. Mal aufgetaucht mein kleines M also klein ist richtig es halten im Alphabet hinterm Landau das wegen taucht meistens in Familie mit dem Land auf so was müssen wir zeigen wir müssen zeigen Lande Abfluss will be ist in das war das unter Vektoren Kriterium 2 so was wissen wir was wir wissen mit plus und mit mal wissen Vektorraum also muss das bloß mehr Abbildung von U Kreuz nach sein nur das ist da oben sozusagen das allererste Vektorraum Axiome die Verknüpfung muss von Frau vor noch Frau gehen also wenn UN Vektorraum ist muss es von Kreuz nach gehen das bedeutet wann immer sie 2 Elemente aus addieren muss würde man den rauskommen und genau so was dann weiter unten steht auf der vor jedes Mal musste Verknüpfung von K kreuzt nach sein also wann immer sie sind skalar mit dem Urelement multiplizieren muss 1 aus rauskommen also wenn sie Skandale haben damit nur Element an multiplizieren oder das kann haben wir mit den UN B dann gegen die Lounge oder das ist die das war in dieses Ding hier und jetzt haben sie Lande da und und dann sagt Ihnen die 1. Zeile hier wenn Sie 2 Elemente nur an und die agieren bleiben sehen also ist auch einander an +plus mit den und das ist genau das Ufer abzweigen kann also zwar leichte teilen wenn Sie weg und der Vektorraum haben den erfüllte diese beiden Kriterien so und jetzt müssen uns einmal durch die
Axiome arbeiten und dann hat man es für alle igkeiten gemacht also was wir zeigen müssen ist wenn ohne Teilmenge von V ist die das unterlegt darum Kriterium 1 und das unter Vektorraum Kriterium 2 erfüllt dann ist mit plus sollte mal belegt auch an 1. Charakter haben in gut an also was müssen bangen tun da müssen den ganzen Satz Axiome der auf der Folie steht nachweisen ich versucht das bisschen zu gliedern und lädt auch nicht alles ausfindig machen das Erste was man tun muss und das ist jetzt hier wieder ein er nicht offensichtliche Frage sie müssen stellten dass die Verknüpfungen so Sosa Sinn machen wie Sie da stehen wir Dame nur vor allem sofort 2 und müssen da rauskriegen dass das bloße Verknüpfung von Kreuz nach ist und das dass man eine Verknüpfung von Kalckreuth und nach ist das der 1. Schritt so man da ist das entscheidende das unter Vektorraum Kriterium 2 wenn Sie A und B aus haben und Lander gleich Müll gleich einsetzen wer sagt denn dass Unterraum Vektorraum Kriterium 2 Lander arglos myby B 7 also in dem Fall aber einmal AA +plus einmal B also a +plus b ist in tun also steht da wenn A und B sind dann is a +plus b das liefert Ihnen das hier das so und jetzt müssen es anders setzen sitzen denn sie gleich bekannt aus und mir gleich 0 was ist ein Lamm der Abfluss B ist ein Land der Abfluss schnell mal aber an also lagen da und das unterlegt daran Kriterium 2 sagt dass es in und damit kriegen Sie egal was super ja egal was Lander ist und egal was er also das Land den Kreisen egal was ein ist nahm Mann als in und das ist das ja können sahen jetzt gibt es den ganzen Stapel Dinge um die man sich nicht großartig sagen muss nämlich reine Rechenregeln die er an für das Plus und das mal gelten das ist die Assoziativität gekommen und hatte wieder etwas +plus und dessen Frau 2 bis vor 5 die gelten in wie Frau weil das einfach Rechenregeln sind die Vereine V Elemente geltenden gelten sie insbesondere für alle also war einst Assoziativität und V 1 Commuter tivität genauso wie Frau 2. Frau 5. den
fixe die vererben sich für alle haben sich aus Farben da haben Sie soll heißen wenn Sie also zum Beispiel für das V 3 in denen sich ein Vertreter aus K und v aus bei des fragen wie sieht besonderen Rennfahrer also ist einfach mal wenn meine Frau der Seele wie als einmal in einer Frau und dann geht das natürlich auch im Dunkeln mit also diese ganzen Rechenregel rein Rechenregeln kann sie direkt übernehmen wo man sich noch Gedanken machen muss ist das neutrale Element im V 1 wir müssen sicherstellen das ist das der 0 Vektor oder das er der 0 Sektor in dem liegt wissen bisher nur USB Teilmenge von V O S nicht leer und hat diese Eigenschaft Overall 2 das wenn sie A und B aus nehmen und langsam ihres Kaders dann Landart +plus Baby Wiedeck wieder in liegt besser ginge wenn nächste 3. neutrales Element gibt und das müssen wir erst das und der 3. wie beim Untergruppen Kriterium benutzen erst aus dass das nicht leer ist also nach den unter Vektorraum Kriterium 1 kriegen sie die Existenz irgendeines irgendwas das nicht mehr also gibt es da drin irgendwas man sich irgendwas heraus natürlich ist es nicht zufällig also das ist schon das Glück haben es zu Felde zentrale man aber sie haben immerhin irgendwas in der Hand und dann sehen Sie dass unter Kriterium 2 und zwar mit gleich B gleich diesen und lahmender gleich viel gleich 0 kann das unter Vektorraum Kriterium 2 gilt für jede Wahlen von Landau und will und A und B was ist das für zulässige Wahl also die sofort 2 und was liefert uns das das liefert uns dass der Vektor 0 also dass der Vektor A +plus will be das ist der Sektor 0 mal +plus 0 mal nur das war der Satz von vorher das ist der 0 Sektor in Frau wir dass das liegt er ich dass diese Bildung nun mal ob es normal oder 0 Sektor ist das war der Satz 1 für das was Tierfreunde oder sowas also wissen wir der V 0 Vektor liegt den und damit ist die
Sache einfach war jetzt müssen nur noch zeigen dass dieser 0 Vektor auch in und neutrales Element ist für alle oder so es ist uns angucken ob +plus 0 ihr müsst den Fahrer 0 Sektor Na ja aber jetzt so nicht nur die Losung auch Elemente V IV wissen was da rauskommt dass es ja das gilt sogar für alle OIV nur also insbesondere für alle O Jungen und damit haben wir dass dieses neue Element aus V neutrales Element von ist die Jean eigentlich müsste man wieder auch 0 V +plus gleich 0 zeigen aber wenn man die krumme tivitäten hat kann man sich das ja sparen so das gibt Ihnen übrigens auch gleich einen 1. Plausibilität Check und Totschläger Argument um nachzuprüfen besonders munter Vektorraumes wenn ihn jemand Kandidaten gibt und fragt das unter Vektorraum und da die 0 nicht drin dann können Sie das denn gleich ohne pro weitere Prüfung zurück geben und sagen es keiner mehr bei 0 beenden und direkt Raum enthält immer direkt an wir das Hammer Kate ist also Wert vom großen Raum so entsetzt was uns noch fehlt ist das additive inverse von der arabischen Gruppe also das V 1 hin müssen noch zeigen dass er immer noch nicht das Fernsehen ein haben dass dann noch -minus 1 US aber das Volk auch wieder direkt aus dem und der Vektorraum könnten 2 also sie geben sich irgendein Mehr und dann werden sie das 2 an dieses Mal mit lahmender gleich -minus 1 und will gleich 0 und dann kriegen Sie raus -minus 1 mal a +plus 0 mal weh also -minus 1 mal aber es in und das ist -minus 1 mal das hatten wir vorhin gezeigt dass ist -minus aber und das ist ebenfalls in damit an sie -minus Eisen und das ist das Additiv inverse zu an Zara damit an sich und der Welt daran Kriterium also wann immer Ihnen eine eine Teilmenge diese beiden Bedingungen erfüllt sie ist nicht leer und für jede Wahl von A und B aus der Menge und für alle anderen wie Oskar Islam der Abfluss mit B in der Menge dann ist das unterliegt auch so aber sind Beispiele für unter Vektorräume 1 hatten wir
vorhin schon gesehen das war dieser Raum der endlichen folgen das ist unter Vektorraum von 11 Christ war Beispiel 1 2 D und E warum es das unter Vektorraum Guterres nicht leer ich hab ihm unendlich viele lemente angegeben damit hab ich oder ich mal so viel gemacht ich mich ich müsste vereinzelt gereicht werden und zweitens nur Unfall 2 erfüllen Na also nehmen sie sich 2 endliche folgen der 2 ähnliche Folgen A und B aus dem 10 0 0 nur wenn Sie jetzt dann wenn waren sie noch 2 Lander und Oscar und dann schauen Sie sich mal die Folgen lang da unten wie werden was macht Lander sind die Folge und multipliziert jeden eine Vermittlern der damit wird die Frage nicht wenige endlich ja also ich meine über von Wohlstand mehr durchstehen wir das heißt es ist wieder eine endliche Folge sie wird einfach nur mit langer gestreckt kommt kein weiterer Eintrag des oder nicht 0 ist so und was passiert jetzt wenn Sie Lande Abfluss mit nehmen also sie addieren 2 endliche folgen dann werden kann es sein dass da wobei der 1. 0 war bei der 2. was steht denn da der 2. über 1. was steht und dass dadurch deutlich mehr nicht nur kommen aber irgendwann wenn die beide auf bei sind endlich die 1. 2 Tausend 718 Einträge und die 2. 300 57 aber auch irgendwann ist bei beiden Schluss und ab dann ist auch bei der Summe Schluss meine +plus 0 0 0 ist und ebenso ist auch an der Abschluss wie endlich Mehr also ist ein Land Abflussmenge in 10 0 0 und das ist frei 2 liegt einfach daran dass sie durch das Gala multiplizieren addieren von endlichen folgen immer ländliche Folge kriegen so was immer noch für unter Vektorräume ich fahren diesmal mit den abstrus Beispielen an und kommen dann den die diese kennen nehmen wir uns
diesmal meiden den als Grund Raum als Frau den Raum aller Abbildungen von R nach R also Funktionen von A nach R da kennen Sie welche x Quadrat X Sinus x aber solche Dinge sind da drin denn und jetzt gucken uns folgen und folgende Teilmenge an das sind alle die Elemente in Frauen die an der Stelle 0 0 stelle haben bin einfach eine Funktion die 0 0 sind ich einer von allen Funktionen und ich behaupte das ist nicht nur eine Teilmenge es unter Vektor warum wir müssen Sonderweg der Kriterium nach Excel müssen zeigen dass dies nicht leer und wann immer sie 2 Elemente rausnehmen und Land ab wird also lange S Plus MI GE in dem Fall besser wenn der F +plus MgB liegt wieder wiedertreffen gut warum ist es denn nicht mehr gebrauchen Element das da drin ist ach da kann ich Ihnen Hunderttausende angeben wie wär es mit X geht über nach x hoch 3 -minus pi mal x Quadrat plus X diese Funktion von A nach R und wenn sie nur einsetzen Kommune aus der ich nehm an den Fall noch 32 andere Beispiele ein also das ist auf jeden Fall gibt es solche Funktion die an der Stelle 0 0 stelle haben das Ufer eines ist meistens der leichte teilen so etwas was vor 2 noch
angucken das sagt uns was müssen uns 2 Elemente aus dem und 2 Skalare also in diesem Fall an damit er und dann müssen wir nachweisen die Funktion Lander 11 +plus mir mal geht den und das ist wollt der Kriterium 2 so was müssen wir also sehen anders tut man bei diesen bedeutet Lande F +plus übergehen ist eine Stelle 0 0 also müssen ausrechnen was Islam der +plus Primergy gerne Stelle 0 wie war Addition und skalare Multiplikation von so Funktionen definiert Accum Pro-Argument also Lande +plus mir mal geht von 0 ist da mal eher von 0 +plus mir weil die Forderungen je 10 aber 11 und G was bedeutet dass das bedeutet dass er vom gerne stellen 0 0 sind also steht der Name 0 +plus wie man wohl Na ja dann wenn man nur etwas wenn mal 0 ist 0 das würde sogar die Museen gelten aber mir sogar Körper also das ist 0 also haben sie einander 11 GHG +plus hineingehen bis hin .punkt guten also ist dieser Raum alle Funktionen über wonach er die in 0 0 7 unter Vektorraum kleine Diskussionsanregung spielen sie dann ein bisschen rum überlegen Sie ob alle die der Stelle 1 0 sind auch ein und Vektorraum sind ob alle die 1. 0 1 sind 1 sind wer das richtige Berlin so jetzt das waren die nichts klassischen Beispiele und jetzt kommt das was sie sich als unter Vektorräume kennen was auch gut ist sich so im Normalfall vorzustellen schauen wir uns mal anders unterlegte reine in dem einfachen Vektorraum nicht mehr 2 man damit dass man ein suchte man sich das vorstellen oder auch sowas mal ein kann ist der zwar immer gut also was denn unter Vektorräumen A 2 gut 2 Vektorräume können Sie immer so vor dem Schreiben nämlich die beiden trivialen warum die Menge die bewegte enthält und dem Vektorraum R 2 selbst jetzt gibt es immer 2 noch'n Stapel weitere nämlich jede Ursprungs gerade also Bildchen
also der eine Vektorraum hier nur die 0 da unter Vektorraum der andere ist die ganze Ebene und mögliche unter Vektorraum ist das Ding hier jede gerade die durch den Ursprung geht ist nun der Vektorraum warum haben Sie das 1. sind leer und zweitens wenn sie einen Vektor drauf nehmen aber noch einen 2. Vektor B und jetzt gab stauchen sie die wie Sie wollen und addieren die dann kommen sie aus dem Honig raus will und das ist genau und direkt daran Kriterien 2 und kein unter Vektorraum wäre sowas hier nicht Zone gerade das ist keine gerade ist sowieso schon mal nicht also nur sowas ist auch kein Unterwelt auf nur kann deswegen nicht gegen sich Wetter da draußen den und den mit 5 multiplizieren dann landen sie nun auf dem Tisch aber der Menge es werden und das und das was hier oben rum läuft es auch keiner selbst wenn sie gerade wäre und nicht so Komma ,komma warum nicht ganz auf Hunderten Toten begründen die einfachste ist die 0 ist nicht drin wie gesagt es ist der 1. Plausibilitätscheck wenn sie nur nicht drin haben und sie gar nicht weiter gucken kann ich tun weil mit jedem Sektor muss ja aus ein Vielfaches drin sein und zwar jedes vielfache wurde beziehen sie mit 0 durch Mehr was kannst tun und dass das auch keine unterdeckt Ordnung so damit haben wir den Begriff des unter Vektorraumes es kann noch so n paar andere Begriffe und die führen die die verschiedene Zwecke aber im Moment geht es darum etwas Ähnliches zum machen wie das damals der Gruppen gemacht haben also dass wir arbeiten und bist gleichen Programm ab wenn sie belegen wären damals Untergruppen definiert das Untergruppen Kriterium gehabt und dann hab ich ihm das Erzeugnis definiert als die kleinste Untergruppe denn die gegebene Teilmenge enthält sie mit der Idee sie haben eine Teilmenge von ihrer Gruppe jetzt hier von dem Sinne Teilmenge von dem Vektorraum mit der sie das machen wollen wo die Dinge die sie interessieren drin sind diese Teilmenge ist dummerweise keine Wunder Vektorraum das heißt damit rechnen dass nervig der Wächter Raum als Ganzes aber total groß und sie suchen das wegen der möglichst kleine unter Struktur von dem Vektorraum direkt darunter Vektorraum ist aber ihre Teilmenge enthält das ist wieder die Idee und um dahin zu kommen wenn ich so noch 2 3 Begriffe definieren also im Prinzip können Sie diese Konstruktion von diesen erzeugten unter Vektorraum wieder genauso machen wie bei Gruppen ja was da gemacht werden gezeigt wenn Sie beliebig viele Untergruppen Schleiden ,komma Untergruppe raus dann dem Sie einfach alle Untergruppen die größer sind als ihre Menge und schneiden die alle und das ist das erzeugt es kann sie genauso machen wenige Schnitte von unter Vektoren unter Vektorräume und dann nehmen ihre alle unter Rektor mit die Menge enthalten steigen die empfinden das Erzeugnis Vorteil wunderbar parallel zu Gruppen Nachteil vielleicht endlich vor und konstruktiv die weist das Erzeugnis wirklich genau zu bestimmen ist die Erde wunderschönen Vektorräumen ist hier können Sie das Erzeugnis konkreter angeben und das ist das was ich jetzt mit Ihnen machen werde also ich will das 2. konkret angehen und dafür brauche die folgenden Begriffen also haben sie den K Vektorraum V sie haben will natürliche Zahl die bitte schön nicht 0 ist und sie haben in Elemente aus dem Vektorraum also A 1 A 2 bis A N sind einfach in Vektoren und sie haben ins Gallagher kann so und was sie jetzt machen können ist nun alles was man Metzgerladen Vektor machen kann sie können jeweils in
Vektor ARJ nehmen den Vektor a j mit dem Skandal verlobt multiplizieren und das alles aufsummieren also von dort gleich 1 bis n summieren und so und wenn man eine linear Kombinationen das mit Kombination aus den in Vektoren a 1 bis a n in linearer Weise deswegen den ja Kombinationen in dieser Vorlesung Berichte für ein paarmal LKA schreiben von diesen Vektoren A 1 bis A 1 das ist jetzt erst mal einfach nur ein Wort es nach mir das Wort einem Beispiel deutlich also Beispiel 2
6 wenn Sie 2 sind können Sie den Vektor 1 6 nehmen er ist man ja Kombination von A 1 =ist gleich 1 2 a 2 gleich 0 1 und A 3 gleich 0 2 wie zum Beispiel Na ja Sie können 1 6 zum Beispiel schreiben als A 1 -minus 2 mal a 2 +plus 3 mal 3 können Sie es nach 1. Komponente A 1 in der 1. Runde der 1 1 -minus 2 1 0 +plus 3 Malones 1 2. Komponente 2 -minus 2 mal 1 ist 0 +plus 3 9 2 1 6. kommt aber sie kann es wieder anders kombinieren sie können es auch schreiben als 1 +plus 4 mal a 2 +plus 0 mal A 3 1 plus 0 bis 1 und 2 plus 4 mal 1 auch 6 also können auf alle möglichen Weisen im Jahr kommen das Beispiel ist im Moment vielleicht banal was ist vor allem die ihnen zeigen soll ist in der Kombination sind im Allgemeinen nicht eindeutig also nicht auf die Idee kommen dass man sich verlegte man ja kommen wir zum gefunden haben dass das die einzig mögliche ist so jetzt kommt die Definition die eben das Erzeugnis von der bei dem das Untergruppen Erzeugnis ersetzt also Sie haben im Prinzip die gleiche Situation wie da wir haben K Vektorraum und wer Teilmenge von Frau mitteilen das kann jetzt das Vorgehen gemalte eisern eilt hier Teilmenge und jetzt definieren wir uns den kleinsten und warum ganz oder Vektorraum der dieses im enthält und das bezeichnet man wieder mit eckige Klammer M das ist ja und das ist ja ganz bewusst die gleiche Mutation über den Untergruppen dieses eckige Klammer M ist in sozusagen das Erzeugnis von m der kleinste unter Vektorraum von VDM Intel und den können Sie in dem Fall aber explizit angeben das ist die Menge aller Vektoren v die sie ihn ja Kombinats kombinieren können aus Vektoren den sie nehmen sich alle Tonnen im Mehr du denn alle der linear Kombination und dann haben sie dies dieses eckige Klammer in das können sie es noch in
Formen schreiben also sind die Frauen Frauen gehst in der Länge der Summation engen gibt und für die ist es Gallagher Alfa 1 bis 1 2 n Oscar und für die es Vektoren M 1 ist in geht so dass die Frau eben schreiben kann als so gleich 1 bis n er Fayyad in Art das ist Frau ist man ja Kombination von Vektoren aussendet und das Ding nennt man die lineare Hülle von allen nur weil es eben die Höhle weist die alle ja Kombinationen enthält und würde weil es umfasst warum umfasst das ja jedes Element aus in kann sie natürlich essen ja Kombination von das in Schreiben in dem wir sie einfach einmal es selbst wenn er es ist sehr kurze einfach in der Kombination aber das geht natürlich so und dann muss ich noch 2 Dinge oder ein wenig 1 und muss sich wenig eine Vereinfachung einfüllen muss ich 1 noch definieren welche Vereinfachung wenn ihre Menge M endlich hieß es kommt sehr sehr oft vor also Sie haben das sehr oft so dass sie endlich Anzahl von Sektoren im haben und suchen jetzt den Jahren würde davon und dann müsste man ja eigentlich schreiben lineare Hülle der Menge M 1 M 2 bis 1 n waren und dafür schreibt man oft kurz lineare Hülle von M 1 in 2 bis also man ist die man in Klammern weg das ist das ist Freiheit Ökonomie aber natürlich eigentlich nicht wirklich wichtig war deswegen definiere ich sie jetzt extra also wenn sie eckige Klammern mit entdeckt oder dazwischen sehen dann ist das zu verstehen als in Vektoren in der Menge geparkt und das von den linearen weil wir halt ganz natürlich nur von der Menge will so sie noch definieren muss und dann
Hamas auch es was ich in die bisher noch nicht definiert hat ist das da ist die lineare lerne man Sie das da oben versuchen einzusetzen dann laufen sie irgendwie ins Nirvana wird irgendwie Existenz von heute vor was es nicht gibt aber wir wollen dass das Zeichen trotzdem Sinn hat was ist der kleinste und der Vektorraum von Frau oder die leere Menge enthält sinnigerweise na ja der Vektorraum der hat nur das Volumen ist der kleinste und der Vektorraum von V enthält die leere Menge und deswegen wird einfach definitorisch beschlossen das Erzeugnis der leeren Menge ist dieser triviale kleine unter Vektorraum so damit 7 Jahre würde für jede Teilmenge von Frau wirklich definiert auch für den leere Menge nicht dass mir jemand nach sagt wird die vernachlässigen damit kann bevor ich die Vorlesung schließen und ich danke auch Mehr
Folge <Mathematik>
Matrix <Mathematik>
Natürliche Zahl
Abbildung <Physik>
Vektorraum
Element <Mathematik>
Vektor
Zahl
Algebraische Struktur
Ecke
Rechenbuch
Menge
Entropie
Axiom
Funktion <Mathematik>
Teilmenge
Addition
Multiplikation
Folge <Mathematik>
Verallgemeinerung
Heuristik
Vektorraum
Axiom
Skalarfeld
Untergruppe
Funktion <Mathematik>
Folge <Mathematik>
Mathematik
Kraft
Natürliche Zahl
Stab
Inverse
Abbildung <Physik>
Formation <Mathematik>
Gleichungssystem
Vektorraum
Gleichung
Vektor
Null
Gradient
Objekt <Kategorie>
Index
Menge
Mathematiker
Axiom
Faktorisierung
Zusammenhang <Mathematik>
Momentenproblem
Gleichungssystem
Skalarfeld
Richtung
Körpertheorie
Index
Algebraische Struktur
Multiplikation
Vorzeichen <Mathematik>
Äquivalenz
Gleichheitszeichen
Distributivgesetz
Betafunktion
Abbildung <Physik>
Inverse
Vektorraum
Gleichung
LES
Vektor
Zahl
Null
Lösung <Mathematik>
Mathematiker
Axiom
Addition
Lösung <Mathematik>
Multiplikation
Vektorrechnung
Momentenproblem
Umkehrung <Mathematik>
Gleichungssystem
Vektorraum
Gleichung
Axiom
Vektor
Richtung
Summe
Faktorisierung
Gewichtete Summe
Natürliche Zahl
Äquivalenz
Endogene Variable
Vektorraum
Vektor
Axiom
Zahl
Ausdruck <Logik>
Richtung
Summe
Index
Quadrat
Variable
Gewichtete Summe
Supremum <Mathematik>
Stellenring
Formation <Mathematik>
Zahl
Monster-Gruppe
Summe
Index
Variable
Faktorisierung
Exponent
Summand
Plausibilität
Normalvektor
Ecke
Zahl
Gradient
Teilmenge
Summe
Zusammenhang <Mathematik>
Gewichtete Summe
Menge
Betafunktion
Ähnlichkeitsgeometrie
Vektorraum
Hausdorff-Raum
Axiom
Vektor
Untergruppe
Summe
Vektorrechnung
Menge
Abbildung <Physik>
Formation <Mathematik>
Vektorraum
Axiom
Vektor
Skalarfeld
Richtung
Teilmenge
Kreisfläche
Vektorraum
Vektor
Axiom
Untergruppe
Unterraum
Teilmenge
Algebraisch abgeschlossener Körper
Summe
Lösung <Mathematik>
Folge <Mathematik>
Menge
Plausibilität
Inverse
Ähnlichkeitsgeometrie
Vektorraum
Vektor
Sinusfunktion
Teilmenge
Addition
Multiplikation
Quadrat
Menge
Abbildung <Physik>
Vektorraum
Vektor
Skalarfeld
Funktion <Mathematik>
Ebene
Teilmenge
Total <Mathematik>
Momentenproblem
Menge
Vektorrechnung
Natürliche Zahl
Ähnlichkeitsgeometrie
Vektorraum
Vektor
Untergruppe
Teilmenge
Einfach zusammenhängender Raum
Länge
Homogenes Polynom
Momentenproblem
Vektorrechnung
Menge
Rundung
Vektorraum
Vektor
Untergruppe
Teilmenge
Menge
Volumen
Vektorraum

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Untervektorräume
Serientitel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 12
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/33633
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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