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Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik: Reihen

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sie haben an der TU Darmstadt in schwor
mal hin herzlich willkommen schönen guten Morgen und danke an alle die sich durch die Kälte gekämpft haben ich war letztes Mal hängen geblieben bei einem auf den 1. Blick abstrusen Beispielen auf dann hab ich ihm gesagt so abstrus ist es gar nicht für kursive folgen kriegen Sie mal daran wenn sie Mitte der relativen Verfahren zu tun haben und mit iterativen Verfahren hat man es in der Numerik und in der Informatik viel zu tun und wir hatten als Beispiel mal die sie Rekursive Folge angeschaut 1 0 bis 3. Wurzel 6 und sie kriegen das endlose 1. Erfolge gegen den sie 3. Wurzel aus 6 plus den Enten Foldit ausrechnen von hatten gesehen dass die befolgen sie ziemlich unübersichtlich aus und die Frage ist ist die konvergent und wenn ja gegen was und ich hatte letztes Mal gesagt in dem Fall rettet uns das Monotonie Kriterium und was wir zeigen müssen noch mal aufgeschrieben müssen zeigen Gefolges nach oben beschränkt und wir müssen zeigen wie es monoton und das machen wenn einem Aufwasch also das Ganze war das Beispiel 3 16 und das Mittel der Wahl an der Stelle ist eigentlich immer der Induktion also die Behauptung die ich Ihnen jetzt zeigen will für diese Folge bis zum einen nach oben beschränkt ich will ihnen zeigen für alle n aus N SAN immer kleiner gleich 2 und ich will zeigen wie es monoton wachsend wir kriegen sogar raus dies strikt monoton wachsend das ist aber für das Monotonie Kriterien egal was wir kriegen 1 plus 1 ist immer ,komma größer sei und wenn wir das gezeigt haben wenn Sie so Monotonie Kriterium das sagte jede nach oben beschränkte monoton wachsende Folge konvergiert das heißt wir das haben dann ist eine konvergent folgen bleibt auf die Frage was der Grenzwert ist aber wissen dann immerhin schon mal sie konvergiert und hat sich im schon gesagt und dann werde ich die wenn sie gleich sehen wir uns mag ich am eigenen wer an den eigenen Haaren aus dem Sumpf ziehen können wenn wir wissen dass sie konvertiert können auf den Grenzwert ganz leicht ausrechnen aber das erst mal nachweisen dass sie konvergiert und wie gesagt na gut die Aussage fängt schon an mit für alle n aus allen das ist kein muss aber dann ist die dann ist zumindest mal möglich Induktion zu versuchen und in dem Zusammenhang ist Induktion auf das Mittel der Wahl also werden uns denn müssen ist erst in Options Anfang machen das heißt wir müssen mal den freien gleich 0 anschauen und dann ist zunächst mal zu klären dass 0 kleiner gleich 2 ist was ist an 0 1 0 kennen wenn man explizit an und das 3. Wurzel 6 die 3. Wurzel wird größer wenn ich das was drinsteht größer nach also Nachricht dass größten nicht der 3. Wurzel 18 2. und 3. Wurst 8. 2 Gegner sie haben das ist der 1. Teil müssen noch zeigen dass das Ding monoton wächst also 1 plus 1 größer in das heißt 1 größer 1 0 scheinen uns also mal 1 10 A 1 ist nach Rekursion Vorschrift 3. Wurzel aus 6 +plus 1 0 Dezember aber vom gesehen damit genau ich will zeigen 1 ist größer als 0 ich muss diesen Ausdruck also kleiner machen wie kann ich den kleiner machen in dem ich unter der Wurzel weniger stehen haben das und ist es sicher positiv also mache ich das kleine nämlich dass er 0 einfach weglassen und 3. wollte Sex ist aber dass am 0 wollen Sie mir da 1 ist größer 0 also Induktion zur Sitzung preist er uns Anfang passt Nations Voraussetzungen ist das die Aussage für einen aus allen gelte also das sodass wir dann auf den Schritt nach n +plus 1 machen können besetzt also für raus für einen aus allen gilt das am kleiner gleich 2 ist und da ist an der Stelle die Folge weckst also 1
plus 1 größer als 1 und was wir da machen müssen ist der Induktionsschritt also den von allen nach +plus 1 müssen zeigen die Aussagen gelten dann auf n +plus 1 zur was müssen wir tun 2 Dinge zeigen 1. 1 plus 1 ist 1 gleich 2 und 2. 1 +plus 2 ist größer als 1 plus 1 wenn man dem 1. an also schauen uns an was ist 1 plus 1 der Rekursion Vorschrift 3. Wurzel aus 6 +plus am jetzt wissen wir jedes also damals Induktion Voraussetzung dass ist kleiner als 2. Mann gleich 2 also kann ich das je größer machen nach Induktion Voraussetzung wenig das seien durch eine 2 ersetzen und sie sehen alles fühlt sich magisch zusammen weil es die Tiere wieder 3. Wurzel 8 und 3. Wurzel 8. 2 also ist auch am Schluss 1 kleine gleich 2 brauchen noch Monotonie heise schauen uns an was ist 1 plus 2 müssen zeigen dass es größer gleich oder größer 1 plus 1 1 +plus 2 einer Rekursion Vorschrift 3. Wurzel 6 +plus 1 +plus 1 jetzt immer Deduktion Voraussetzung verwenden wir wissen 1 plus 1 ist größer als sein also wird diese 3. Wurzel her kleiner wenn ich das 1 plus 1 durch das seine Sätze und das was hier steht ist ne Rekursion Vorschrift genau 1 plus 1 1 dies greift alles ineinander und man sieht auch warum in Induktion gut das Mittel der Wahl ist wenn man solche Sachen ihre rekursive Folgen beweisen solle weil Induktion es auch übers rekursives man schließt von er nach 1 plus 1 n und geht dementsprechend passt das gut zusammen also Aussagen der Rekursion und Induktion sie ganz gutes Paar so damit aber die Behauptung von oben gezeigt also wissen jetzt unsere Folge ist nach oben beschränkt und monoton wachsend und das heißt nach
Monotonie Kriterium verfolgen also mit Satz 3 5 zählen ist damit die Freude am Konvergenz wie gesagt das Problem ist noch sie gehütetes Geheimnis wogegen sie konvergiert sehr gut was ist schon mal wissen dass der Grenze ist der gleich 2 weil die Folge immer kleiner gleich 2 das ist auch der Grenzwert der 2. kann die Folge einer positiv also auch der Grenzwert größer gleich 0 als 1. muss nun 2 aber wo das Netz gucken und die der der bis jetzt sie nochmal die Rekursion Vorschrift anzugucken bei die Rekursion Volltreffer wird uns jetzt den Grenzwert liefern alles andere Nummer 1 1 plus 1 ist 3. Wurzel aus 6 +plus 1 bisschen übersichtlicher wird zwar nicht mal die 3. Wurzel weggemacht also nehmen Sie die Gleichung da unten potenziell hoch 3 dann kriegen Seele 1 +plus 1 5 3 6 +plus AN das
freilich mal auf die nächste Seite das pro gleich ein Plus auch 1 +plus 3 6 +plus 1 so das Geld vor allem aus den jetzt ist das entscheidende sie wissen die Folge konvergiert und das heißt im wesentlichen sie können dieser Gleichung zum Grenzwert übergehen ja sie können sozusagen auf beiden Seiten dieser Gleichung n gegen unendlich schicken dann bleibt die Gleichung erhalten wir müssen uns überlegen was passiert links und rechts und dass sie auf beiden Seiten der Gleichung in dem man die schicken können dazu müssen sie eben wissen dass die Folge konvergiert also was was ist mit A n +plus 1 5 3 1 +plus 1 geht es immer den gleichen denn es wird wie ein und hoch 3 bedeutet einfach sie drohten 7 multiplizieren eine kompetente Folge dreimal mit sich selbst ja Produkte vor ,komma vorgesehen konvergent gegen das Produkt der Grenzwerte das hier geht also gegen auch 3 ich habe nicht gesagt dass er ist gegen auch 3 für n gegen unendlich wobei aber natürlich der Grenzwert unserer Folge ist wir wissen der existiert denn wenn man als die große Unbekannte müssen bestimmt so also was wir jetzt wissen auch 3 ziehen entgegen endlich ein hoch 3 1 +plus 1 5 3 1 1 +plus 1 auf 3 ist aber 6 +plus 1 das gegenwärtig von 6 +plus 1 nicht werden müssen innerlich von 6 6 und der Genuss von Aden haben wir schon ausgerechnet der SA also haben wir auch 3 -minus 1 -minus 6 gleich 0 das heißt unsere Folge konvergiert und der Grenzwert muss eine Lösung dieser Gleichung sein was nur diese Gleichung löst Polynom 3. Grades bisschen blöd also brauchen der geratene 1. Lösung kann man länger draufguckt ich kann ihn auch einfach helfen setzt mal 2 ein 2 hoch 3 ist 8. -minus 2 -minus 6 ist ziemlich 0 Na also eine Lösung ist er gleich 2 Mehr kann man den ändern werde ich die Lösung ab die WDR und fliegt raus das aber auch
3 minus an minus 6 nein das ist das was 0 sein muss das ist -minus 2 Mal der Rest AG weiterer +plus 2 a +plus 3 1 können Sie versuchen das Sinn erweitert zu zerlegen und stellen fest dass Dini hat keine reelle Nullstellen da dann so folgen Folge es hat sind den Grenzwert das heißt es gibt nur eine einzige Möglichkeit was ist nicht sein kann unser Mann aus der dem wissen also das schwierige an der Sache ist zeige das blöde Ding konvergiert im Moment wo Sie haben das den konvergiert kriegen Sie den Grenzwert an aus der Rekursion Vorschrift sie einfach beim sein Rico Schutzvorschrift endlich jagen lassen gibt in der Gleichung für das für den Grenzwert und wenn sie Glück haben können Sie die auflösen wenn sie großes Pech haben ist die Gleichung für den Grenzwert dann kann ich oder sowas dann wird als sehr viele Lösungen dann ist es endlich nix sagen aber in häufig ist es eben so dass diese Methode zum Ziel führen also ich für das ich nicht sagen will ist dass das was ich gerade vorgeführt hat für jede Rekursive Folge funktioniert so eine rekursive Folge nämlich nicht monoton ist dann fahren sie von den Gebern aber es ist was was man auf jeden Fall mal probieren kann also wenn zum Grenzwerte rekursiven Folgen geht versuchen zu beweisen Sie es monoton beschränkt und dann in der Rekursion vor dann weiß man sie konvergiert an den das andere Kurse Vorschrift Leben endlich auf gut im Skript beschließt sich Übungsaufgabe an wo sie das selber probieren können sogenannte babylonische Wurzelziehen werden das ist eine rekursive Folge mit deren da die man mit gleichen Methode Konvergenz zeigen kann und die gegen Wurzel konvergiert für vorgegeben dass also der vorhin es X gegen Wurzel x Connected ehren gut ich will diesen Teil über Konvergenz noch mit dem Begriff abschließen mit dem sogenannten Begriff der große Frage der ist vor allem von schon Interesse ja aber sehr und deswegen will ich Ihnen einfach gesagt haben wir machen wenn ich viel zu aber sollte die das heißt dieser diesen Begriff können Sie erst mal unter allen weniger wichtig ablegen nur wenn er ihn irgendwann im Leben mal unterkommt wissen Sie wo sie nachgucken kann nein wir sie haben Folge AN Inka und die heißt Nico Folge wenn Folgendes gilt und das ist jetzt Mehr Umformulierung männlichen Bindung Formulierung ist ja andere Methode Konvergenz zu definieren und sehr die hat den Vorteil das ist viel Monotonie Kriterium sie hat den Vorteil dass sie nur mit den Folgen die dann arbeite nicht mit dem Grenzwert nein gesagt ein nach der Definition der Grenzwert immer über die Grenze Definition gehen wir mit wenn man nachweisen würdevoll konvergiert ist ein Nachteil dass man das kennen muss muss wissen was der Kandidat für den Grenzwert ist und wie bei der gerade gesehenen Folge hier bei der rekursiven das ist manchmal nicht so einfach zu wissen was wohl der Kandidat für den ist er es ist schön wenn man Kriterium hat das nur mit der Folge arbeiten und das ist das die Definition der Churchill
Folge so und das ist wieder aus und Epsilon Tick also wenn für jede selbst wenn größer 0 denken Sie wieder y ist die Genauigkeit von Rechner also für jede noch so große Rechengenauigkeit Moses eine Stelle in ihrer Liste geben 1 0 so dass ab dann irgendwas kleiner als Erbsen und ist nur für Konvergenz müsste ein -minus A Betrag 1 y sein dass mehr Konvergenz und Churchill Folge ist sie nehmen sich 2 Folgen die ein und am und deren Abstand muss kleiner ist y sein wenn nur n und m groß genug sind also wenn n und m größer gleich entlohnt heißt aber irgendwann wenn Sie sich den Rest also wenn Sie jetzt nun vorgeben Rechengenauigkeit vorgegeben und gucken sich jetzt dann muss es Missstände geben so dass im Rest der Erfolge mit dem in Schwanz der Folge mit großen N je 2 Folgen dieser nicht mehr selbst und Lausanne liegen das bedeutet die Folge kann dann irgendwann nur noch minimal ausziehen und damit haben sie im Kommen im Allgemeinen Konvergenz also man sollte endlich verboten es gibt sehr engen Zusammenhang zwischen Churchill Volk Konvergenz und das ist auch so aber es nicht so einfach wie Sie denken also eine ein
Zusammenhang ist einfach das ist der Satz 3 19 jede konvergent Folge ist auch eine große Freude jede konvergente Folge in es Nikosia Folge das geht relativ fix also Unsinn konvergierende Folge hier dann wissen wir nur für jedes N und so für jedes y und so weiter das den der es werden wir aber so war was wir zeigen müssen dass dieses Weges selbst wann gibt sich Stelle ab der je 2 Folge die danach zusammen liegen also ergeben und selbst und vor dann wissen wir aus der Konvergenz von der Folge das ist n 0 geht so dass der Abstand von den Folgen die dann zum Grenzwert kleiner ist als Epsilon halbe für alle n größer gleich 1 0 dessen sich kurz wundern warum schreibe ich jetzt anhalte Definition von Konvergenz ist für jede selbst dann gibts ne 0 so dass ein -minus klein als 1. Sonde aber dass die jedes Erbsen ab also für nicht zugegeben entsandt selbst dann halt auch ne 0 Konvergenz heißt für jede noch so kleine Zahl gibts ne 0 ziemlich hat es dann halt als kleine Zahl ja und wenn dann eh nur groß genug ist dann ist ein -minus aber auch kleine selbst man halt warum jetzt ein halbes Leben sehen Sie gleich was müssen wir jetzt nehmen müssen uns 2 Indizes größer gleich 1 0 hernehmen und müssen uns anschauen was ist der Abstand von einem Minus am Ende wir müssen zeigen wie es kleiner als Erzähler das ist eine große Freude so immer das gleiche sie wollen was wir betrage 1 1 wissen sie wissen was der Betrag der in den USA Waste keines machte 1 wir wollen ein 1 A haben also machen wir gut vor -minus an das schöne ist wenn wir das aber einfügen als klassische 0 dann kriegen wir auch gleich nahmen es 1 also das ist kleiner gleich ein -minus einen Betrag +plus a -minus einen Betrag um Leichen so ist wissen wir für alle n größer gleich 0 ist der Abstand von allen zu erklären als selbst einhalten n und m sind beide größer gleich in 0 also gilt es für beide nur also das 1. Dinges kleiner als Erbsen halbe und das 2. den
ist auch kleiner als Erbsen halbe nur weil und größer gleich 0 sind sie jeden Index größer gleich 1 0 ist der Abstand zum Grenzwert kleiner selbst anhalten Na und selbst ein halber selbst halbe zusammen es genau sehen Sie auf vom mich um es dann HeiligendamMeter so Mehr zusammengenommen hätte hätten mit je 2 Apps hat Sarah der konvergent Erfolges große Folge Frage ist ist es mit der Umkehrung und die Antwort ist im Prinzip gilt die und das ist das sogenannte große Kriterium auch ein Konvergenzkriterium verfolgen das All jenes auskommt und ich formuliere das jetzt als genau dann wenn weil die eine Folgerung haben wir schon eine Folge AN in K wobei K wieder er oder C ist konvergiert sogar genau dann wenn sie mit kurzen Folge ist das heißt Konvergenz und Co Folge ist derselbe das heißt man kann eben das eine oder das andere nachrechnen so und noch eine kleine Warnung an der Stelle sein oder ist das geht denn er uns sehr gut und das geht den Cho schief also der 1. das was oben steht jede konvergent das große Folgen wird immer und deren surrealem komplexe Folge macht es Sinn kann sie Moment einig egal sein ich sagte ganz abspielt ist dafür da falls sie mal unterkommen in den Beweis von Satz 3 19 immer nur Definition Konvergenz Definition Kusche voll gebraucht wenn Sie den 3 20 beweisen was ich nicht tun werde dann brauchen Sie ganz definitiv das Vollständigkeit Axum und das Vollständigkeit Aktion Gitter vor die Hunde wir so einfach falsch und das liegt gar nicht das liegt daran das zum Beispiel in Q alle Sieger einfach nicht alle potenziellen Grenzwerte haben also nehmen Sie sich eine Folge die in ergeben musste 2 geht dann ist die natürliche Church dann ist die Comic-Helden er und damit es die große Freude das heißt diese Bedingung dass die Dinge ab irgendwann nur noch ganz wenig wackeln wesentliche führte dies auch in Q erfüllt weil dies unabhängig davon ob sie das erholen Kummer aber das den Key QC Einen Grenzwert haben weil die Wurzel 2 einfachen Loches als sie Kugeln sind passieren dass die Folge so wunderbar konvergiert aber in den Abgrund schaut wird da ist nix das natürlich konvergent weiter Esslingens mit keiner 1 kann sich der den Grünen aber sie strotzen die große Freude die diese Eigenschaft Codefolgen im Grenzwert nix zu tun und an der geht das Vollständigkeit sagst ein der 7 sagt im Jahr gibt es keine Abgründe das keine Löcher und dementsprechend kann da ist konvergiert dort alles was Nico stilvoll ist gut das ist der der wirkliche das ist es theoretisch interessant 1 große Folgen Begriff sie können im Moment sehen als alternatives Konvergenzkriterien also damit es mehr Möglichkeiten Konvergenz zu beweisen die Definition die ganze Absätze eigentlich das Wesentlichste ja das Monotonie Kriterium und wer das große Kriterien das schon jetzt so die 4 großen Blöcke mit denen sie Konvergenz nach leisten kann gut dann kommt noch ein kleiner Fluss Abschnitt von diesem folgen Konvergenz Kapitel das ist 3 3 Teile folgen und Häufung
Werte und was jetzt kommt ist ein ja einfach 2 Begriffe ebenfalls Firmen half uns Werte und der unterschiedlichen Häufung werden Grenzwert ist ein kleiner feiner mag ihn spitzfindig vorkommen aber es lohnt sich das sich zu merken definiert ihn einfach Maheu Fuß wäre und dann überlegen wir uns was der Unterschied zur Definition Grenzwert vor ist ist also was ist Häufung wert anschauliches Neurons wert wir an den sich die voll gehäuft also oder ganz ganz viele Folgen die der liegen in Ärmel im aber das mathematisch also ganz ganz viele sollen dem Fall unendlich viele ja also was heißt unendlich viele häufen sich dann Umgebung von Sonnen .punkt von aus Oscar mit meinen Häufung wert man drum rum und Haufen ist also erstens wird von am folgen kommt immer das unweigerliche y also für jedes er bislang größer 0 verheißen für jede noch so kleine Zahl also nahe bei 0 groß selbst wenn sie den Fall uninteressant die Menge der Indizes so dass das en Mehr als y an liegt ja das ist wir in dieser Menge so Menge enthält alle die Indizes für die des AN Nyberg liegt mehr als er zusammen er liebt und diese Menge muss unendlich groß sein und das will jeder selbst dar also wenn sie wieder also unendlich viele Elemente hat es unendlich viele Elemente hat wenn Sie wieder in Rechengenauigkeit denken wollen dann ist an Häufung Sweat wenn Sie wieder ihren beliebig genauen Rechner nehmen Betrag ein -minus ausrechnen gibt lange Liste und diese Liste muss auf jedem noch so genauen Rechner unendlich viele Nullen enthalten als unendlich oft muss der Rechner auf nun rund Thomas ist unterschätzen Grenzwert also die normalen Alfons wird dabei helfen infolge einer den Häufung wenn diese Menge da unendlich groß ist die Liste hat unendlich viele Nullen was dieses Grenzwerte Grenzwert hieß aber irgendwann enthält sie nur noch 0 nur ist ist für alle 10 größer 0 gibt es eine 0 sodass ab dann der Abstand von zu immer kleiner selbst am bleibt also es kann oben 327 man noch was stehen und ab dann sind sie kleiner etwa dann sind sie klein sind sie ja hin mit der Rechnung Genauigkeit bei 0 also Grenzwert heißt weder selbst dann größer 0 es diese Wende genau die gleiche da oben im Prinzip ganz Endes auf wieder die 1. paar sind und was und wen man ab 1 alles 0 Häufung heißt nur sehr modern wie viele Nullen dran das könnten also zum Beispiel passieren das ist was ich für alle graden das die 0 ist aber die und gereinigt dann unserer werde keinen Cent das 1. unterstützen hassenswerten Grenze unendlich viele heißt bei denen eben nicht dass der 1. endlich das kann wenn die viele gerade Zahl oder unendlich viele ungerade Zahl also können aus allen problemlos unendlich viele wegnehmen muss bleiben da nicht viel übrig nun unendlich ist der unerschöpflichen ehren und das ist der Begriff des Reifens setzt zur oder zum haben kommen also
ich eher das man daran sehr schön sehen kann ist die Bedingungen Grenzwert zu sein stärker als die Bedingung Häufung sehr zusagt Grenzwert heißt irgendwann ist die ganze Liste 0 Häufung schwerer als nur sein unendlich viele Nullen also jeder Grenzwertes auch Anhäufung Alfons wert ist sozusagen schwächer und deswegen wird man diesen Begriff auch einen werden so ein paar Folgen gesehen die nicht konvergieren die aber durchaus irgendwie sich häufen ja das waren die Dinge die sich nicht entscheiden können also zum Beispiel wenn sie die Folgen -minus 1 Woch entnehmen da ja immer schon ein paar Mal also 1 -minus 1 1 -minus 1 1 -minus 1 1 -minus 1 hatte gesehen ja keine Grenzwert aber sie hat 2 Hörfunks wird nämlich 1 und -minus 1 nur der gerade sie Zufall und gerade sie -minus 1 das heißt diese Menge oder Abstand zur 1 kleiner als y ist die enthält alle graben Indizes ist unendlich groß und die Menge oder Abstand zum -minus 1 kleiner selbst 1 enthält alle ungeraden die zieht es unendlich groß also hat es den 2. Leistungswerte nämlich 1 und -minus 1 dem aber es jedem dieser von eben dieser vom 2. springt sie auch unendlich oft wieder wett es sind keine Grenzwerte innere kann man auch Folgen mit noch mehr weil sonst werden machen zum zumal schauen sich mal die folge ihr hoch n an E die komplexe Einheit was ist das für die 0 ist es eines Tages ist ist minus 1 dann ist -minus wie das einzi -minus 1 -minus wie 1 wie -minus 1 -minus 1 während wir im Kreis rum also 1 wie -minus 1 -minus I 1 die -minus 1 -minus wie und so weiter mit der in 4 Alfons Werte 1 E -minus 1 und -minus I sie können problemlos folgen konstruieren mit 387 Folksongs werden sie können voll mit unendlich vielen iPhones werden produzieren sie können es gibt eine ganze Vorstellung sogar der Folge angeben deren so dass jeder der Zahl Feld also können die Folge so über er verstreuen als Staub dass sie überall beliebig viele in jedem kleinen dabei beliebig viele Funktionswert bevor der beliebig viele Folgen die dar Na also es kann sehr sehr viel Rolf Hosfeld gegeben zur Folge natürlich nicht konvergent noch ein anderes Beispiel um als es bisher habe nur Leistungswerte gehabt auf den die Folge hat dauernd rauf und wirft mir das ist die brutale Methode hassenswerte zu produzieren einfach unendlich oft auf den gleichen .punkt rauf hüpfen ist das was los wäre mit keiner sagen diese subtiler machen wenn Sie folgende Folge 0 Inhalt 0 2 Drittel 0 3 Viertel 0 4 5. und so weiter ja auf 17 wie das weitergehen dann ein offensichtlich neue Songs werde wieder auf die brutale Methode Sonnenlicht auf 14 nämlich 0 aber sehr normal Songs wird ich wenn Sie sich anschauen halten 3. 3 Viertel also 2 Drittel 3 Viertel 4 5 4 5 6. das geht beliebig lange 1 und in jeder noch so kleinen Umgebung von einst sind von diesen Teil unendlich viele drin das Ding hat half uns Werte 0 und 1 und was man da sieht was habe ich hier gemacht um diese Folge zu produzieren ich hab 2 konvergente Folgen genommen die so genannte gesteckt habe also die Folge 0 0 0 0 0 und die Folgen hat 2 Drittel 3 Viertel für das 50. um die so machen andere ineinander steckt dann geht die eine die 0 und die andere ging einst und dann haben sie im Endeffekt die 12. werde und das ist n mehr als allgemeines Prinzip und darauf will ich jetzt kommen wenn sie sozusagen in ihrer Folge von vielen vielen vielen Zahl nun endlich ist es so sich ein paar aussuchen können also unendlich viele um die Ernte konvergierenden ist der Grenzwerte man half uns aber es müssen erst mal dieses wir suchen uns ein paar Folgen die daraus mathematisch fassen also denken Sie diese Folge hier was heißt es in dem nur jedes 2. Folge geht so was nennt man eine Teil Folge also Folge ist den Teil von andern folgt das ist Definition 3 23 und der 2. Begriff in den Abschnitt also
sie haben Erfolge in Chan nehmen Sie hier die letzte Runde die mit den die gerade besprochene was heißt jetzt Teil Folge Folge heißt ich such mir ein paar Indizes aus und schaue mir nur diese Folge die mit diesen Indizes an n 1 n 2 n 3 und so weiter teilnehmen und dann mit der in der Folge rauskommt muss diese Menge von Indizes natürlich unendlich groß sein und hab ich mir endlich viele ausgewählt das keine Folgen die muss unendlich groß sein und außerdem muss ich auch da sich jedes nur einmal nehmen also das N 1 muss Stricklein 2 bestritt kleiner in 3 gestrickt kleine und so weiter sein wenn das so ist dann heißt diese Folge A n k also die Folge 1 1 1 2 1 3 Chaos in der heißt dann einen Teil Folge von A 1 das ist mit vielen Indizes mühsam geschrieben diese anschaulich Aktion man sucht sich hier zum Beispiel jeden 2. jedes 2. Folge geht nur aus und weist ja dann auf 0 so also Beispiel sind beispielsweise das wären so Teil folgen oder
was keine Teil folgen also Teil Folgen von Erfolge sind zum Beispiel gut ein selbst das ist nicht verboten war wenn Sie die Sitzung gucken und scharf natürlich alle n aus entnehmen und nichts wegwerfen einen Teil Folge von sich selbst dass über langweilige Fall dann können Sie zum Beispiel so bei dem Beispiel oben jedes 2. nehmen also zum Beispiel die Teil Folge der Folgenglieder mit geraden Indizes am 0 A 2 A 4 A 6 schreibt man gern auch so 2 das ist ne Teil folgen die Nase können natürlich die ungeraden nehmen oder zum Beispiel alle mit Indizes die Quadratzahlen sind an 0 1 1 A 4 A 9 A 16 und so weiter na also zum Beispiel im Quadrat Sahnesteif folgen was sind keine Teil folgen müsse um Route muss nein Begriff hat sich klar zu machen
was tut's nicht was anderen Teil folgen ihnen verboten wir haben zum einen verboten das folge hier doppelt nehmen also sowas wie ein 0 1 0 A 2 A 2 A 4 A 4 dass wir keine Teil vor mehr jedes darf nur einmal vorkommen und Sie dürfen dabei auch nicht umsortieren also auch keine Teil Folge ist A 2 A 1 A 4 A 3 A 6 A 5 das der auch verboten das keine Teil folgende als Folge ist mag manche Elemente aus war also meine Folge wegwerfen und unendlich viel übrig stehen lassen damit die nicht umsortieren so und dieser ganze Begriff kommt hierbei dennoch Häufung werden weisen sehr sehr engen Zusammenhang zwischen Häufung wird und als Folge gibt es wäre die Folge von vorhin Nullen halt nur 2 Drittel 0 3 Viertel 0 4 Fünftel und ich schreiben jetzt eben diese 10 3 Eigenschaften die Teil folgen und Häufung Sweater verknüpfen und die wenn sie denn dieses Beispiel von gerade eben denken relativ ich will nun offensichtlich sind also den Alfa Bissen Häufung Sweat von AN genau dann wenn es Details Folge geht am klar ab in klar von A so dass die Teil Folge also Karl gegen unendlich ANK konvergent ist und gegen alle vollkommen Geld also das heißt 2 Dinge wenn sie neue Fungs Wert haben gibt es immer ne Teil Folge der gegen konvergiert nehmen Sie einfach immer ich weiß sie alle die raus wenn sie haben ihre lange Liste unser oder unendlich vielen oder drin also die lange Liste der der gemerkten Abstände mit nehmen sie alle die die Nullen die 0 erzeugen dann ist das bekomme den detailfreudigen geworfen werden Sarah und ungeklärt heißt das auch wenn sie nicht Teil Folge finden wir gegen was kann mir geht es immer nur ums .punkt also das Beispiel von vorhin meistens werden es bei 5 weinend 0 Inhalt nur 2 Drittel nur 3 Viertel 0 4 5. ganz die Teil Folge 1 2 Drittel der 5. und 6. 2. nehmen die konvergiert die komme die gegen 1 als es 1 neu Fuchs wird das wann immer Sinne Teil Folge finden die gegen irgendwas konvergiert dann ist das immer neue Phonds wird der ganzen Volk so wenn sie eine konsequente Folge haben dann ist es mit den Häufung es werden einfach also wenn die folge n konvergiert dann ist völlig egal was für ne Teil Folge sie nehmen dann ist jede Zahlenfolge Folge wieder konvergent und konvergiert gegen auch auch gegen ja also in 7 konvergent Erfolge haben ist jeder Teil Folge auch ,komma der mit dem Grenzwert und
3. wenn Sie eine konvergierende Folge haben das ergibt sich im Prinzip aus aus Ost A und B willkommen in der Folge haben dann muss jede Zahl für denselben Grenzwert haben das heißt die Folge kann nur eine Häufung SPP Wert haben dann sind 2 neue Songs werden sie 2 rungswerte hätte dann jetzt eine Teil vor einem geht in einigen andern geht und das geht nicht also am konvergent dann heißt es eine hat genau ein fungspunkt nämlich den Grenzwert ein half uns wert nämlich den Grenzwert ja also Euros werde sind nur dann interessant wenn sie kommt nicht ,komma gehende Folgen haben und dann können Sie dann dann hängen sie immer mit Teil folgen zusammen noch ne Diskussionsanregung debattieren mal die Umkehrung von C ich steh dann nicht mehr ein genau eine Häufung es wird also ist die konvergent es auch falsch aber wenn sich meinen möchte tja das zum Thema Konvergenz von folgen und jetzt kommt der 1. kleine Bearbeitungsschritt sicherte ihm gesagt die Problematik unendlicher Größen das unendlich klein das endlich großen taucht an vielen Stellen auch und man ist immer wieder in der Notlage und wie Konvergenz definieren zu müssen das Handy die an die Schule denken kommen Sie zu einem Differenzen Quotienten vorbei für die Ableitung der es aber dem definieren kann sie Differenzen Quotienten und dann machen Sie Schluss dass die der der Excel jungen genannt hat das Haar macht man kleinen Hunden geht es gegen irgendwas und das ist auch der die Konvergenz und alle diese ganzen Konvergenzen die auf uns zu laufen für über alle zurück auf den Begriff der folgen wird und das 1. was jetzt kommt zum so genannten freien also was wir jetzt machen wollen ist nicht mehr lange Liste von Zahlen und gucken worauf geht die sondern der unendliche Summe von Zahlen sie haben sozusagen eine lange Liste von oder nicht eine Liste von den Zahlen die wollen sie alle aufsummiert nun endlich in der Sonne bilden und die Frage ist konnte weil es endlich raus oder nicht und wenn ja was ein Beispiel aber schon gesehen bei der geometrischen Summenformel ,komma gleich darauf zurück und das 1. Mal dass wir jetzt Konvergenz von etwas definieren was keine Folge ist und dass auf die Folgen ,komma ganz zurückspielen also dass der Abschnitt 5 Mitte streit freundlichen kurzen Überschrift 3 und auch in dem Abschnitt wird sich wieder den Buchstaben K für er oder 10 also auch der geht terielle oder komplexe Zahlen genau identisch das heißt ich mach das in einem Aufwasch wenn irgendwas kommt was nur für reelle Zahlen geht wenn man Ordnung braucht oder so dann schreib es explizit dazu sauer Definition 5 1 ist die definitiv ist die Definition von Ryan was ist der Reihe und was heißt Konvergenz wie gesagt wir machen jetzt keine neuen Konvergenz Definitionen dass man neue Konvergenz Definition für ein Erbe des Spielens auf die Konvergenz von Folgen zurück was ja der ist sag was Innereien Reise unendliche Summation man hat also unendlich lange Liste von Zahlen die summiert man was ist unendlich lange Liste von zahllosen Folge also Folge gegeben und das interessiert uns nicht was machen die Folgenglieder Unendlichen das später darauf natürlich mehr zurück aber das ist womit nicht die primäre Frage sind die primäre Frage ist was passiert wenn man jetzt alle diese Folge aufsummiert und weil der Rhein immer folgen auftauchen von hier gleich die Warnung und bitte halten Sie das gut auseinander rein und folgen also folgendes Symbol
Summe n gleich 0 bis unendlich nein das ist erstmal abstrakte Symbol mit der trotzdem glaube ich relativ intuitiven bedeuten nun bald was soll das heißen das so heißen wobei das auch nicht mehr sagt das ist genau das Symbol dafür dass sie diese unendlich vielen Zahlen miteinander addieren nur und das nennt man Reihe überein also das ist die so wird dieser ganz würden die vielen Zahlen werden über die Frage ob das sinnvoll dass es noch keine Definition der das ist würde in der Schreibweise weil ob das was Sinnvolles ist aber noch nicht gesagt aber es ist mir relativ intuitive Schreibweisen Summenzeichen gewohnt ist dann zu wird man jetzt eben bis unendlich also beliebig weit unendlich gibt sich aber wenn Sie mir beliebig weit so und wie kriegen wir jetzt diese Frage ob dabei was Vernünftiges rauskommt übersetzt in der Konvergenz Folgen Konvergenz der Mann und beliebig weit zu mir will kann man erstmal mal nur endlich mal zu mir zum 1. Schritt also mir mal endlich weit und zwar für jede endliche Länge also wenn Sie nur bis K summieren dann kriegen Sie die Summe in gleich 0 bis k a n und das ist das ist jetzt was hören das ist einfach mehr endlich die Summe und die nennen Sie mal SK dass es sollte Sony stehen die Summe bis zur Karten bis zum karten eintragen sowie die 1. Kammer Zahl und das Ding heißt dann die Karte Teilsumme oder partial so mit dabei das is in wie sie nicht es ist unendlich lang zu mir und wollen dann soll man sie als Mann unendliches Stückchen und jetzt ist klar was wird dass wir das machen das völlig ändern doch endlich das gute es setzte Folge und das Konvergenz von Erfolges System dar und das ist jetzt Definition der Konvergenz der Reihe also ist diese Folge
SKA die eben jeweils den die Summation bis zum Karten Index enthält wenn die konvergent ist dann werden wir die Reihe konvergent also die Rhein-Neckar gleich 0 bis N K gleich 0 bis er endlich n gleich 0 bis war die Summe n gleich 0 bis unendlich AN nennt man dann konvergent und den Grenzwert was ist der Grenzwert von es kamen 7 summieren bis kam dann machen sie keiner größeren ist natürlich dieser Grenzwert von dem SK sinnigerweise zu definieren als der rein als der wird also der Wert dieser unendlichen Nation unter einen Wert also das gleich 0 bis unendlich AN definieren wir als genau diesen Limes K gegen unendlich von SK das heißt es Limes Cal gegen unendlich von der endlichen Summation die bis Kargheit mit es einige ganz natürliche Definition den Sohn endlich lang summieren wollen zu Sie endlich lagen und dann zu mir sie immer weiter die dann den verdammt groß also ist die Summe verdammt lang und sich kümmern sich hoffentlich dem Rhein wird wenn diese Freude in diesem Frage es kalt divergent ist kann ihn auch passieren wenn sie die Reihe überall in dem sie konstante Folge 1 gleich 1 addieren so viel über die konstante 1 Folge 1 sie 1 plus 1 plus 1 plus 1 plus 1 dann ist die Freude ist K jeweils das sowohl von 0 bis Karl war einst also K +plus 1 und dann ist es kalt wir dann werden auch die Reihe die Weg in den wir also das wir mitgemacht haben es die Frage der Dirigent von also nämlich Inselnation auf die die Rede ist von der Folge zurückspielen nicht die Folge der Show das ist erstmal Definition komm natürliches Beispiele aber das Mama nach der Pause jetzt erst mal kurz durchlaufen und so ich würde gern die 2. Hälfte einsteigen werden haben gesehen bezieht 7 3 nichts es folgen nur rein also männliche Summation wichtiger als Folge indem wir einfach die Folge anschauen 1. 1. Summe über würde mir das 1. am 0 +plus 1 1 0 +plus 1 +plus 1 2 1 0 +plus 1 2 2 2 3 9 zu kriegen wir ganze Folge von zwischen Summen also den sozusagen die Zwischenergebnisse als Folge und wenn diese Folge konvergierenden an die Reihe konvergiert so was haben wir eigentlich sogar schon mal gesehen ich hab's mir damals nicht sogenannt und das war im letzten Abschnitt im beispiele 13 folgte er da das ist richtig jetzt wo er an Beispiel 3 12 da hatten wir gegebene komplexe Zahl Coup unsere angeschaut es
stand damals nicht so da aber was in gleich 0 bis unendlich q hoch n ist und dann also in dem Fall ist das ein das wir summieren Choräle .punkt da dies natürlich erst 3 hingeschrieben oder dich in der Folge definiert die war eben 1 +plus 1 1 +plus Q 1 +plus Co +plus Cu Quadrat und so weiter oder uns über die Konvergenz unterhalten ich hatte ihn zuerst gezeigt wenn Sie endlich zu mir also das SK dass die Summe von 0 bis Car über q hoch n wir gesehen das ist 1 zu 1 plus oder minus wenn es -minus q hoch +plus 1 durch 1 -minus q für aussehen man hat oder wenn das ist das ist klar dass es die endliche geometrische so muss vorne hatten wir KG endlich geschickt und hatten festgestellt das ging zumindest das konvergiert natürlich nicht immer aber wenn der Betrag von Q Strickkleider 1 ist dann können Sie das KG die schicken und sie kriegen was konvergent es raus und es bleibt übrig dass die Reihe von Q 1 gleich 0 bis endlich Kuchentipp 1 durch 1 -minus Codes also führt und das Fehlbetrag wo Strickkleider AZ da Mann Kassen rum weil das ein ziemlich wichtiges Resultat
und dieser Reihe hat auch einen Namen weil sie so wichtig ist dass die sogenannte geometrische Reihe warum ist sie so wichtig also wenn man ehrlich ist deswegen weil weil die Mathematiker so schlecht sind in dem Sinne das eine der absolut schwierigen Aufgaben ist wirklich erreichen Werte ausrechnen also für Konvergenz für die Frage konvergierende Reihe oder konvergiert Weile nicht da gibt es viele Kriterien und da gibt es viele Möglichkeiten das festzustellen dass Krieg das hat man ganz gut im Griff aber einen Wert zu bestimmen für eine Reihe von konkret gegeben Reihe es zuweilen absurd schwer und es gibt viele viele rein für die das unbekannt ist und einige mit Kärnten und der ungelösten Probleme der Mathematik lassen sich solche Probleme zurückspielen Mehr also 3 Werte ausrechnen dass schwer und deswegen ist es umso toll für den rein wird den man kennt die geometrische Reihe eine von den nur die reinen Werte kennt sogar gleich den ganzen Haufen vorbereitende kann sie für Kuchen sie alles mögliche einsetzt und deswegen ist das was was man wissen sollte also ist der Spruch von mir ist im 1. es geht zu 3 rein wenn sie nichts anderes auf wenn Sie nur 3 ein auf eine einsame Insel mitnehmen dürfen dann müssen sie die 3 mitnehmen und das ist eine davon die anderen beiden kommen in Kürze tja das ist also die geometrische Reihe dann habe ich noch eine andere Reihe für sie mit die hat ihre Bewandnis ist aber nicht so wichtig dass sie deinen Namen kriegt also n gleich 1 bis unendlich 1 durch n mal 1 plus 1 also was ist das das ist nahe losen 6. nutzen 20. Blusen 30. nächste dürfen selber ausrechnen also nur diese Summation es ist irgendwie plausibel dass das vielleicht auch was ähnliches ausgeht weil jedes Mal wenn sie das zu zählen 10 7 weniger dazu nur und dann die Frage ist ,komma geht die und wenn ja gegen was und bei der hat man auch ne Chance das auszurechnen und der Grund ist immer wieder unsere Freund Teleskop sondern eine
warum man muss folgenden Trick sehen was müssen wir tun um Konvergenz von den Dingen nachzuweisen also uns hat in ins interessiert die Summe über N 1 durch ihren mal n +plus 1 Nashorn ist denn das interessiert für n gleich 1 bis klar wir schauen uns die endlichen sondern um zu Konvergenz zu Zeit müssen sich über die partial also schauen und schauen des die partial Summen für Cage ich komme gehen also was sind hier die partial Summen was kann man jetzt hier machen die einzige Chance die Umwelt haben ist solange auf diese Summe rum zu kneten bis wir eine Traube haben ohne Summenzeichen wo das Car steht die also für die Folge expliziter dastehen haben das Hagen wenn die schicken können bei der geht das und wie geht es mit dem kleinen Trick und der kleine Trick ist der übliche trägt dann alles es wird denn die richtige 0 also n +plus 1 -minus n durch M 1 +plus 1 wenn man verwehren können oder so wenn ich das nicht so hat dann kann ich das in 2 Sprüche Brüche aufspalten das die Summe n gleich 1 bis K über ihnen durch in mein Entschluss 1 da können Sie dann das N kürzen -minus 1 Verwendung meiden -minus um ok in Frankfurt hier das auftreten also so in gleich 1 bis K über n +plus 1 durch M 1 +plus 1 -minus endlich in meinen plus 1 das kommt davon dass zu viel Schritte auf einmal machen zur Benito sagt also jetzt können Sie kürzt in beiden bemannten kann man kürzen also sowie ein von in gleich 1 ist klar im 1. Summanden kürzen wir mal das +plus 1 dann beim Einstig entstehen -minus dann könnten sie das Ende eines sich M +plus 1 und das ist die Urgroßmutter aller Teleskop was steht jetzt da 1 -minus einhalten +plus erhalten müssen 3. +plus 3. -minus hatte Wohnviertel -minus ein Fünftel das etwa das Heck der seien Sie übersehen übrig bleibt also das ist 1 -minus bloßen halten dass ein Drittel +plus unsere -minus Viertel wir Plusminus Plusminus nur also natürlich nicht endlos sondern irgendwo hört auf nämlich bei eines durch char man Einstig K +plus 1 1 10 endlichen Summe weil er jedoch natürlich mit ähnlichen zum rechnen wir doch überhaupt nicht wissen unsere ganzen Rechenregel überhaupt von ähnliche Summe Geld wer wenn wo noch eine Überraschung erleben so da fällt natürlich ganz viel weg ich mach jetzt nicht ganz sauber mit so nicht schwarz indirekten was übrig bleibt ist 1 -minus 1 durch K +plus 1 werde der 1. und der letzte übrig über Teleskop suchen hübsch weil jetzt können wir Karin wenn ich ja das ist aber jetzt bin ich ziemlich einfach also was ist der Grenzwert vertagen unendlich also was ist die Reihe in
gleich 1 bis unendlich Einstig in mal n +plus 1 das ist der Grenzwert nach Definition Grenzwert Tagen unendlich von der endlichen Summe bis Car 1 durch in +plus 1 die haben aber gerade ausgerechnet den SK gegen unendlich von 1 -minus 1 durch K +plus 1 wird der Grenzwert ist 1 also 1 -minus 0 nach Grenzwert 1 tja haben Sie doch noch ein Beispiel von der Konvergenz Gärtnerei es aber 2 Beispiele gesehen vom Comeback einen Kuchen und das Denken und in beiden Fällen war es so dass je mehr sie drauf addieren umso kleiner wird das was sie drauf könnte auf die Idee kommen wenn sie also die Zahl der dir die immer kleiner werden und auf 0 zu laufen dann ist das kommt denn eine ähnliche Summe beraubt schöner Gedanke und grottenfalsch dafür aber das nächste Beispiel ist dass die sogenannte harmonische Reihe also auch eine mit dem Namen das ist die 2. die sie auf die Insel mitnehmen müssen und dies sogar einfach das ist sozusagen fast die also die einfachste weil wir sozusagen die Reihe über 0 0 +plus 0 +plus 0 gestohlen aber da aber die 1. so einfache dass sie nicht mehr völlig Banales nämlich einfach frei über einzig in das 1 plus haltlosen 3. +plus 4. 3. 5. und 6. 7. da gehen sie immer weniger dazu Hof sollte also irgendwie konvergieren er antworten 1 erst ging Dirigent wenn Sie sich die endlichen Teil zum Angucken sind die natürlich monoton wachsend her besser dienen was Positives dazu das ist Carsten monoton wachsende folgen das heißt wenn das denn Dirigent sein soll kann das nur einen Grund haben er beliebig groß wenn Sie weiter addieren dann ist das nicht beschränkt wird beliebig groß und es ist auch so aus und sie kann ich ihn jetzt sein und diese folge also diese liiert und die dahinter stehende Folge der partial Summe ist noch ein weiteres interessantes Beispiel weil sie es so probieren es mal aus allen wenn Sie sich mal die Folge und programmieren sich in 3 Teile der in den die EG geht partial Sohn ausrechnet ja kann meines ist nicht schwer hier her für K gleich 30 und 100 und 10 Tausend und und überlegen Sie mal wenn Sie das sozusagen wenn ich in die aufgegeben hättest das konvergent oder die wir denn dann hätte das vielleicht gemacht mein Taschenrechner eingetippt sozusagen und dann stellt man fest von allein über 10 zu kommen mit der Summe brauen sich weiß nicht F 8 Tausend 100 8 Tausend schlummernden oder sowas wenn sie bewundert kommen wollen sind absurd große Zahlen das heißt wenn Sie wenn man sozusagen mal Einfahrt einsetzen QC das passiert kriegt man bei den ging immer den Eindruck dass konvergiert aber es sowieso genau wogegen aber das komme geht es das wächst so dermaßen langsam das tut das ist langsam aber unerbittlich es wächst langsam aber über alle Grenzen ja also auch ein Beispiel dafür dass du dieses Gesetz über große Zahlen einer gucken was passiert kommt bei der die nie an seine Grenzen weil es eben sehr sehr langsam kriecht aber es kriecht weiter an und ich zeige Ihnen jetzt Martin war nicht dass das Ding einfach nicht beschränkt ist zur und die Idee ist folgendes das gucken wieder partial Summe an klar und aus Gründen die nach heikler werden QC ich nie ganz spezielle partial ich nur die also mit geraden Indizes an also der Sprache von vorhin Detaillösungen Teil Folge also gucken Sie mal die partial Summen an die bis 2 KG was ist das das ist die dazu also würdest K gilt +plus noch ne ganze Menge mehr wie einst durch n +plus 1 +plus 1 durch im +plus 2 +plus und so weiter bis 1 durch 2 Karten sie einfach die 1. Carson meinten in die sowie schrieben den Rest mit so jetzt mal folgende Idee der vorne die Summe über 1 durch K entlassen überstehen aber die machen alle Kleider und zwar ist das auf jeden
Fall größer als 1 durch 2 K 2 K ist größer als 1 plus 1 also das einzig 1 plus 1 größer gleich 1 durch 2 Karten und das gilt für die alle hier der der ist größer gleich 1 durch 2 Car und so weiter na ja und da hinten der ist auch größer gleich 1 2 ab da so was haben wir jetzt wir haben hier vorne stehen und das hier ist es Karten das ist die partial Summe bis zum Karten zu machen zum was steht da hinten da steht jetzt 1 durch das 2. K +plus 1 2 Skates Einzel 2. Kabi oft das alle so man zwischen endlos also zwischen K +plus 1 a jeder werden der im geschrieben zwischen K +plus 1 und 2 K das sind K Stücke ja also bleibt dennoch kam mal 1 durch 2 K steht der Kommission kürzen das ist es K +plus Inhalte und wenn Sie es genauer sich angucken was da steht dann sehen Sie schon dass das kriegt man langsam Bauchweh wenn sie die 1. 2 K addieren dann ist es so wie wenn sie die 1. K die Plus halten kommt irgendwie man halt dazu wir nun endlich Offenheit dazu kommen kann dass verdammt groß werden und genau das passiert das waren es noch 1 schön widersprochen mal an unsere Reihe konvergiert also wenn man an die harmonische Reihe ist
konvergent das bedeutet dass die Summe der Parts ja eher die Folge der partial Summen konvergiert da um also wenn das Ding konvergiert dann gibt es den Grenzwert dann gibt es und das ist der Grenzwert K gegen unendlich von SKA war tja jetzt haben wir was haben wir gerade gesehen wer angesehen S 2 K ist größer gleich SK +plus Inhalt für alle K vor die Folge der S 2 K ist Teil Folge von der Folge SK Mehr für die gerade nehmen bis Nietzsche Details folgen wir haben vorausgesetzt angenommen die Folge SK konvergiert dann wissen wir aus dem Satz von vorhin dann konvergiert auch jede Teil Folge denselben Grenzwert also die Folge S 2 K konvergiert auch gegen Tagen unendlichen es denn das ist auch die folge der geraten folge dir der folgende mit Grade Index konvergent ja das ist mit Teil so jetzt können Sie in der Gleichung in dieser Ungleichung hier auf beiden Seiten Tagen in wichtig nur wenn sie das machen dann kriegen wir es ist größer gleich es ist halt also es ist der Limes Gagen nämlich von S 2 K S 2 Karls größer gleich ist K +plus Inhalt alles der Grenzwert größer gleich S Plus Inhalt und spätestens das sieht bis hin seltsam aus bei also die Zahl ist besonders noch finden die größer ist als sie selbst müssen halten also meinetwegen wenn sie zwar nicht zufrieden sind sehen Sie auf beiden Seiten es ab dann kriegen Symbolgröße gleichen halt dass es endgültig Widerspruch Mehr also ist es denn tatsächlich die Welt entdecken was passiert ist es kommt dem unendlich Offenheit dazu so wir hatten weil nur Konvergenz von Reihen des Konvergenz von folgen verkommenen von Folgen hatte verschiedene Methoden Definitionen Grenzwert setzte unnatürlich Kriterium Kusche Kriterium und das können Sie jetzt natürlich übertragen na das ist der nächste Programmpunkt übertrage alle Ergebnisse von folgen auf rein klar jeder Satz nur folgende dosierten dazu bereit das gab es relativ schnell ab frühstücken hier passiert nicht viel Neues und es wird nur alles in die Sprache der Rhein übersetzt und das 1. was ich übersetzen Wesen die Grenzwert setzte und die man jetzt aber nicht komplett sondern den wesentlichsten und die ganze Zeit sie geben uns jetzt Rechenregeln für konvergent der sein also wenn wir 2 ,komma Verein haben den gleich 0 bis unendlich AN und gleich 0 bis unendlich beide Konvergenz Inka tun wenn sie 2 Körbe Elemente Alpha-Beta haben dann sagt der Satz ist auch die sich die Reihe in gleich 0 bis unendlich alles war am +plus Peter APN konvergent damit haben sie insbesondere auch wenn sie nur eine Reihe haben dass die Reihe Alfa am konvergent ist wenn man sie spielen und der Tag vergessen und 0 setzen als eines das konvergent und es kommt raus was man erwartet also
der reinen wer dieser Reihe überall VAN Flussdelta DIN der ist dann gleich alles Farmer der einen Wert der Reihe über +plus später mal der einen wird in der BRD inne bedeutet solches Dinge wie sie dürfen einer konvergent nach einer konstanten ausklammern für regen die mit normalen Summenzeichen fest verständlich sind aber die kriegen wir auch für die unendlichen Reihen so solange alle Beteiligten Größen konvergiert also bitte nicht solche Rechenoperationen durchführen wenn da keine Konvergenz wird faktisch wenn es dumm läuft nur erahnen weil sie ihr Problem das ist aber schon bald folgen wenn Sie 2 divergente Folgen haben dann können sie die die einen kann durchaus was konvergent dass bei rauskommt aber also Vorsicht ernten wie würde man das beweisen was dahintersteckt ist nichts anderes als die Grenzwerte zu verfolgen nur die rein da was ist was ist dir einen rechnerischen endlich ein ist ist der Grenzwerte partial Summe das heißt das Recht steht ist die Summe von 2 Limetten also einfach mal so wie vom vermeiden das Wetter mal Mandant unlängst steht der Limes von Alfa mal dem Schuss später bei dem andern zum Anfertigen zz gut und so kann man auch die anderen Grenzwert setzt jede jede Aussage folgend eine überreicht aber das ist das was man ist und das aber jetzt kommt hier noch ein Satz der muss halt irgendwann kommen weil ich ein irgendwann muss ich mogeln es kommt die 3. Reihe die Sie unbedingt mitnehmen müssen und von der zeitlichen leider nicht da gibt es auch eine Roman über einen Wert ausrechnen kann aber ich zeige nicht dass das so ist weil das ist zu mildern und das ist Folgen der Reihe das ist die reine über Einstig in für gut hält also 1 +plus 1 also einzig 0 Fakultät +plus 1 durch ein vergoldetes 1 2 für gut hält das an sich 3 Fakultät und so weiter das ist ne andere sehr prominente Reihe und die große Überraschung des dies konvergent und da kommt auch was raus ist ist Land kennen nicht die eine Vielzahl E und warum da unter bei dieser Folge 1 plus 1 DM noch in genau das Gleiche rauskommt ist wunderschönes Mirakel das kann man es zeigen so wahnsinnig lange mühsame beweist erspare ich ihn insofern wird das ist das eine der kürzesten Sätze dieses Skripts da falls von 4 ist genau wie seine Formen bei dem es ist nicht einfach klauen und so unscheinbar da steht werden wir jetzt in den nächsten 2 3 Wochen aus dem Satz und glaub Sprengkraft also das ist der Satz 5 4 auch eine Reihe die Sie sich merken sollten also die Liste der Rhein die sich merken sollten es jetzt die geometrische Reihe Freiburg hoch Endes Einstig 1 -minus q dann sollten sich die harmonische Reihe merken alles einfachstes Beispiel einer konvergenten Reihe 1 nicht einer dieser Gerbereien meiner als einfaches Beispiel dieser Gartenreise also alle nichttrivialen die werden weil oder 3. diese hier oder in der Zeitung wie sie später auch noch kommt als Reihe ergibt 3 über 1 durch n Fakultät gut wie bei folgen Konvergenzkriterien sind wichtig bei rein sind sie noch viel wichtiger weil ich ihm gesagt hat zu zeigen dass der Reihe konvergiert da gibt es viele Kriterien arbeiten Wohnsitz durch die reine Werte auszurechnen ist ätzend mühsam und häufig so gut wie unmöglich das heißt darauf da legt man noch gar nicht mehr viel Enthusiasmus sondern ein man schaut dass man seine Konvergenzkriterien hat und es gibt bei den Rhein ein sehr einfaches zumindest mal
notwendiges Totschlag Kriterium um rauszukriegen was nicht konvergiert und das ist eine notwendige Bedingung wenn ihre Reise konvergent ist also haben wir einen der Kürbisse AN schon wegen der sei in klar also wieder oder C völlig vorherrscht dann hat er schon gesehen oder ist es in die eindeutig klar wenn die Zahl die man aufaddiert ich wenn man klein werden dann kann das nicht kommentieren also wenn sie immer nur ein aufaddieren dann wird das halt verdammt groß das bringt die Reihe diese partial so wird zu viel rum damit dass keine Konvergenz gebe dass es absolut notwendiges Kriterium wenn die Reihe konvergent ist dann muss die Folge die da drin steht also diese Folge 1 die musste nur feige sein dieser Satz wird so rum sehr selten verwendet meist oder umgekehrt verwendet wenn ich wenn die Folge als sind Umkehrschluss wenn die Frau der nicht Umkehrschluss sondern der DDR Negation wenn folge keinen und folgen über diese summieren dann ist auch die reinigt ,komma geht also wenn ihn jemand bereit zur Prüfung vorlegt korrigiert die wenig nicht ist der 1. Blick mal vorsichtig ob das was da drin steht vielleicht keine 0 voll ist das keine nur Folge ist dann können sofort zurück zum Absender konvergiert nicht bitte drehen Sie diesen Satz nicht um entwarf also das da das ist verdammt fertig und trotzdem liest man es in jeder Klausur wieder dreimal an also diesmal dann immer weiter 7 sehen die Modelle die über einen weil es wurde es dann komme die die Reihe nein nein nein dann komm wieder nicht und Beispiele sie harmonische Reihe aber wollen sie nur sehen wenn ich einst des falls also die Summe von Cage von in der wird es ähnlich über Einstig n dies die werde die kriecht langsam noch unendlich habe unerbittlich und eines durch eines der wunderbare nun folgte eine wunderschöne nun aber die Reihe komme geht trotzdem nicht dann also bitte bringen Sie das nicht durcheinander wenn das Ding konvergiert dann ist die Folge 0 Folge aber nur Folge wenn die folgenden Erfolge ist denn diese Konvergenz der rein gar nichts kann alles passieren nur wenn das die Folge diese summieren keinen und Folge ist dann sind Sie sicher dass die Reihe nicht von zur Beweis dazu ist kurz und schmerzlos also wollen zeigen
wenn die Reihe konvergiert dann ist die Folge dieser Mehr 0 Folge die Reihe konvergiert also ist die ja das ist die Voraussetzung gereist konvergent also ist der Grenzwert Limes K gegen unendlich n gleich 0 bis k a n der existiert denen wir mal es nur das ist der Grenzwerte partial Summen das ist das gleiche wie der Grenzwert kargen und endlich von der Summe wenn sie nur bis K -minus 1 zu mehren wenn man sich ich Teil wurscht tipps es kann kommt schon irgendwann Richtung unendlichen so man sie ist das machen werden sofort die 0 folgen Eigenschaft bei was ist jetzt das klar gegen unendlich von Ankara sie kommen von der Reihe auf die zugehörige Folge mit folgendem Trick wie kriegen sie den Garten Summanden von der Reihe sowie an alle von 0 bis K auf und ziehen alle von kann -minus 1 bis du wieder ab dann bleibt der Karte übrig also was is a k a k ist die Summe n gleich 0 bis k a n -minus die Summe n gleich 0 bis K -minus 1 1 das ist ziemlich viel rechnen für wenig Ertrag aber da kommt AK raus und das schöne ist das ist jetzt nämlich der Limes von der vorderen Summe das ist es -minus der Venus von Änderung Summe das ist es und es -minus es ist nur dann also ist der Limes Cafe Cage in dich nur ja das ist so ne brutale Rechnung die kriegen Sie nämlich eben nicht umgekehrt hin gut also 1. brutal Kriterium wenn die Reihenfolge über die sie summieren keine 0 Folge ist dann komme geht die Reise nicht aber wir wollen natürlich noch ein bisschen feinere Kriterien haben insbesondere dann nicht wenn nicht nur Wissen wandert denn nicht kann mir die jetzt wollte er wissen was ,komma geht oder zu können wir uns jetzt erstmal die Kriterien wie schon angekündigt die wir verfolgen hatten übersetzen also das war das die Kriterien und das wir das große Kriterien er so denen es wieder aufpassen Monotonie Kriterium mit den komplexen Zahlen aber erstmal sei eine Folge Kader SKA sei wie üblich die partial Summe also die so nur von den gleich 0 bis K über am Ende das ist die üblichen Notation so und dann kommt das
Monotonie Kriterium das war das Wunder Trike dem verfolgen in der Folge haben die nach oben beschränkt ist und monoton wachsend dann konvergiert sie also wenn die so wird Folge der partial Summen monoton wachsen nur noch oben beschränkt es komme geht die Reihe was bedeutet das dass die Folge der partial so monoton wachsend ist das heißt in jedem Schritt wenn sie den nächsten Sommer alle wenn sie den nächsten so Sommer dazu addieren nächste Wert das heißt jeder Summand es positiv also wenn jeder so man positiv ist und die hat sie also nach oben beschränkt also jeder Summand positiv und die Folge der partial suchen nach oben beschränkt dann haben sie Konvergenz der Reise T und wie üblich bei Konvergenzkriterien für rein nichts und niemand in diesem Satz Krieg Debitel er gegen was diese der Reihe konvergiert sie können daraus nur Konvergenz also wenn sie monoton wachsende partial Sommer haben das heißt wenn wir in größer gleich 0 sind und wenn die also noch oben beschränkt sind dann umso bekommen der Reihe das ist die 3 in Version von Monotonie Kriterien es kommt dir einen genau und das hier also das hier so insbesondere auch bedeuten dass die es bitte schön allen sind da ein Fehler je größer gleich 0 macht keinen Sinn .punkt so und dann 2 schicke deren übersetzen der Reihe Engelchen oder so ähnlich AN konvergiert genau dann wenn die partial Summen konvergieren also Summen konvergieren am große Kriterium genau dann wenn was wenn für jedes y größer 0 es ein Index R 0 gibt das Übliche so das die partial Summe in der an 2 verschiedenen stellen ausgewertet Differenz davon der Welt zu hören ist und es gibt hier wenn die Summe von 11 +plus 1 bis ist klar über AN im Betrag kleiner als y ist für alle K Größe L Größe ich eben und das ist das große Kriterium
verweilen also heißt es wie das 1. größere nur muss es Stellen 0 geben so dass ab dann wenn Sie sozusagen bei den Teilsummen werden die weiter oben anfangen und weiter oben aufhören der Beitrag größer selbst ein Bild zur ich beweisen mal im Detail der Anteil ist einfach zurück spielende gehören aufs Monotonie Christian verfolgen wollen wenn das Monotonie Kriterium auf SK an die Voraussetzung sind so dass das passt ok also ja Konvergenz genau dann wenn ich zeigen euch zeigen doch nur eine Richtung ich zeig Ihnen das Unternehmen werden die Bedingungen der gilt dann ist es konvergent also ich zeige Ihnen die Rückrichtung B momentan wirklich ja zur der geben uns Netze und größer 0 vor dann existiert nach Voraussetzungen n 0 n n so dass für alle K Größe L größer gleich in 0 nein das ist jetzt die Fahrer sitzen die gerade oben drüber steht bei Ärzte gibt sich der Lärm 0 zu dass diese der Betrag von dieser Summe da keiner selbst dann wird er und dieser Betrag von dieser Summe der hatte den können wir in es übersetzen in Aussage WSK übersetzen die Schreib mal gerade da diese diesen Betrag von der Sonne also das da noch mal auf die nächste Seite also K und L groß gleichen 0 dann gilt n gleich L +plus
1 bis K 1 im Betrag vernetzte dort das ist das was uns die Voraussetzung sagt was hat das mit Konvergenz der Reihe zu tun überlegen Sie mal was das hier ist das ist der gleiche Trick wie gerade eben wie kriegen wir das Stück der Reihe von etwas 1 ist klar wieso man von 0 bis K durch und sieht alles von 0 bis 11 bis er wieder ab nur also das ist die Summe n gleich 0 ist K -minus die Summe n gleich 0 bis L überein nur ist die Summe von E-Plus 1 bis geraten in den alle K und sind Sie die 1. Ehe wieder so und das können wenn es schreiben das ist es keiner -minus SR 5 jetzt haben wir es kam also angegeben was wir haben ist für alle y größer 0 existierten in 0 aus allen so dass für alle K und L größer gleich in 0 das gilt und das ist jetzt einfach direkt die Aussage dass die Folge ist keine Churchill Vollbild das war Definition Churchill Folge und da wir in R oder C sind heißt das die Folge SKS konvergent nur Churchill folge war einfach ne aktive Formulierung für Konvergenz nur und wenn es K konvergent ist alles auf die Reihe bekommt beginnt das ist Definition der Konvergenz von Reihen aber das ist jetzt weil die Übersetzung große Kriterium von folgen auf rein und kommt das 1. Konvergenzkriterium herein das nicht auf Konvergenzkriterien verfolgen droht sollen das wirklich auf freien zugeschnitten ist wie gesagt bei rein ist es wofür ich Übergangskriterien weil man da rein so gut wie nichts ausrichten kann wenn Sie bei der Reihe zu welchen wird ausrechnen können dann war die Aufgabe so gemacht dass das geht üblicherweise geht das nicht und deswegen braucht man ohne die Konvergenzkriterien und zum anderen komme diesen Kranz Konvergenzkriterien mit 2. Effekt zum tragen bisher habe gesehen wann kriegen wir sozusagen wir argumentiert an Krieger Konvergenz von Reihen ja schon gesehen damit die Reihe konvergiert muss das was er dir gegen 0 gehen die Folge 1 muss 0 Folge sein und dann auch gesehen es reicht nicht wenn es nur einfach ne 0 Folge ist die Folge eines durch N S 0 Vorgabe die Reihe über sich in die harmonische Reihe divergiert das ich in geht einfach zu langsam nach 0 ja das ist das es zieht mich Schläge noch und deswegen zu explodieren gesungen das explodiert nicht die Griechen aber sie kriechen unerbittlich und er dass sie eine Möglichkeit diese Konvergenz bekommen ihre Folge geht schnell genug gegen 0 und die 2. Möglichkeit ist sie haben Erfolge mit wechselnden grenzt mit wechselnden Vorzeichen schneller 1 -minus 2 +plus 100 -minus Innviertel bloßen 5. -minus 6. und was das kann ihn auch Konvergenz erzeugen war als ich viel Wert legt anschaulicher für was zu ziehen was ab und zu müsse zu und dadurch kann die Folge nicht hält den Abgang nach oben oder ganz unten machen und das Kriterium mit dem sie das abfragen können ist des Leidens will und das ist so ziemlich das einfachste Konvergenzkriterium des Films steht ja auch am Anfang nach dem Leibnitz der uns noch wieder begegnet man differenzieren ja jetzt Kriterium und das sagt einfach wenn das eine monoton fallende 0 Folge ist also geht gegen 0 und zwar monoton fallend damit monoton Sinn macht natürlich in er war also diese diesen Satz können sie in C vergessen also 7 Monate und fallen 0 folgen also was die 1 durch n das ist Beispiel einzig monoton fallende 0 vor und dann
sagt der Satz wenn sie jetzt diese Folge aufaddieren denn wir sind erst mal gar nichts die harmonische das Ding ist garantiert nicht korrigiert also nicht mal gemeinhin seien passt natürlich schon aber nicht für jedes sein aber dass der Satz sagt auch nicht das Ding konvergiert unter den Satz sagt man sieht das jetzt mit allen ihren Vorzeichen auf die aufaddieren also wenn sie einen einstigen dann ist es die reine naja 1 -minus haltlosen 3. -minus Innviertel bloßen 5. müssen 6. bloßen 7. -minus 8 und so weiter haben die gerade erwähnte dann ist das immer konvergent das ist wirklich schön einfach nachprüfbar das Kriterium ja wenn Sie mir vor eine Reihe haben wo Zahlen aufaddiert werde mit alternierenden Vorzeichen da müssen Sie nur schauen das Versenden Vorzeichen steht 0 Folge ist das muss sowieso sein für Konvergenz und der monotone 0 folgenden sind sie fertig und das Beispiel von Leibniz aber Blairs ist kann an vielen Stellen anwenden aber das Beispiel ist die sogenannte alternierende harmonische Reihe zu den 7 Titel alternierende harmonische Reihe hören kann sich schon vorstellen was das ist dass die harmonische Reihe mit wechselnden Vorzeichen also Folgen der Reihe allen gleich 0 bis unendlich -minus 1 hoch und jetzt freilich nicht einzig in dann geht hoffentlichen Finger auch und sagt Herr was ist denn für ihn gleich 0 also n Einstig im +plus 1 Mehr das ist jetzt die eben beschriebene Reihe 1 -minus nerhalb Russen Drittel mindestens Viertel +plus und 5. -minus 6. und so weiter Na also 1 wir müssen halt +plus 3. mindestens 4. bloßen 5. und so weiter dies konvergent am als
Kriterium offensichtlicher Maßen Ware der wechselnde Vorzeichen und das was hinter den wechselnden Vorzeichen steht also das ist des einen Leid ist Kriterium das ist nur Folgen monoton war das die monotones rechnet man in einer Zeile nach das ist sowohl vom 2. 0 folge damit ist das den konvergent wirklich was ist der Grenzwert der Hessische konvergent der Reis kommt was raus ich verrate Ihnen was der Grenzwert ist und nachweisen dass der Grenzwert ist wurde in der Mitte der Matte 2 weil da fehlt uns noch oder entgegen zwar ein mit Mate 2. fehlt uns noch richtig bei den Wahlsieg für sich und ich glaube nicht also die diejenigen die das Ding kennen wissen was der Grenzwert ist und ansonsten sehr schwer zu erraten weil der Grenzwert davon dass der natürliche Rhythmus von 2 Themen vom ja hatte die Logos so zwar ehren ja wir gehen würde denjenigen die sich das angucken am Montag in der im Treffpunkt nochmal begegnen wird noch mehr oder warteten es hätten ja wir der harmonische Reihe per sehe ist ein Faszinosum ist man viel verrückte Dinge mit treiben wie gesagt am Montag Treffpunkt ohne der ja für heute bin ich kurz vorm nächsten Abschnitt das heißt wir hören mal aufmachen am Dienstag weiter das der weitere Informationen also das wieder rein fertig genau ist ein schönes Wochenende vielleicht auf
Rekursive Folge
Mittelungsverfahren
Elementare Zahlentheorie
Zusammenhang <Mathematik>
Numerische Mathematik
Rekursion
Mittelungsverfahren
Rekursive Folge
Rekursion
Aussage <Mathematik>
Gleichung
Bindung <Stochastik>
Rekursive Folge
Lösung <Mathematik>
Folge <Mathematik>
Variable
Momentenproblem
Rekursion
Nullstelle
Biprodukt
Gleichung
Gradient
Grenzwertberechnung
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Weg <Topologie>
Folge <Mathematik>
Zusammenhang <Mathematik>
Rechenbuch
Betrag <Mathematik>
Zahl
Mathematische Größe
Axum <Programm>
Folge <Mathematik>
Momentenproblem
Gruppenoperation
p-Block
Zahl
Null
Index
Vollständigkeit
Betrag <Mathematik>
Rechenbuch
Ende <Graphentheorie>
Menge
Umkehrung <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Kreis
Folge <Mathematik>
Punkt
Menge
Gruppenoperation
Zahl
Null
Grenzwertberechnung
Quadrat
Folge <Mathematik>
Zusammenhang <Mathematik>
Punkt
Quadratzahl
Null
Mathematische Größe
Länge
Folge <Mathematik>
Quotient
Reihe
Partialsumme
Zahl
Unendlichkeit
Komplexe Ebene
Summe
Reelle Zahl
Umkehrung <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Index
Summe
Quadrat
Gewichtete Summe
Betrag <Mathematik>
Komplexe Zahl
Reihe
Summe
Gewichtete Summe
Geometrische Reihe
Summand
Reihe
Mathematiker
Ähnlichkeitsgeometrie
Summe
Gewichtete Summe
Menge
Vorzeichen <Mathematik>
Reihe
Inhalt <Mathematik>
Zehn
Zahl
Mathematische Größe
Folge <Mathematik>
Gewichtete Summe
Reihe
Gleichung
Zahl
Summe
Index
Geometrische Reihe
Ungleichung
Homogenes Polynom
Grenzwertberechnung
Konvergente Reihe
Komplexe Ebene
Summe
Summand
Reihe
Zahl
Grenzwertberechnung
Richtung
Summe
Index
Gewichtete Summe
Betrag <Mathematik>
Summand
Massestrom
Partialsumme
Reihe
Richtung
Mathematische Größe
Summe
Folge <Mathematik>
Betrag <Mathematik>
Physikalischer Effekt
Vorzeichen <Mathematik>
Reihe
Zahl
Folge <Mathematik>
Vorzeichen <Mathematik>
Reihe
Ruhmasse
Lead

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik: Reihen
Serientitel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/33629
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2012
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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