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Der Konvergenzbegriff

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sie haben an der TU Darmstadt so oder
mal guten Morgen und herzlich willkommen ich habe wollten kleines Wort mitgebracht das ist das Ergebnis der Probeklausur leider sind die Zahlen aber klar in aber sie sehen sozusagen wie wie oft welche Note erzielt wurde und in bedenklicher Weise sind die beiden großen Firmen da und unter dem Bestehens Grenze also der 1. Turm ist unter 15 Punkte habe nochmal bei 15 aufgesplittet war ja 15 in Sachen Bonusse relevante Größe ist also ab 25 und bestanden und die unter 15 Jahren auch mit Bonus keine Chance das ist leider der höchste Turm dann kommt der 2. zum zwischen 15 und 24 Punkte und dann je nachdem nach bitte welche Note also rein rechnerisch kommt diese Klausur auf eine Durchfallquote von 71 , ungerade Prozent nein das is er ich dort ja das ist n bisschen zu relativieren weil der Probeklausur fällt immer schlechter aus als in Klausur das ist das ist die systemimmanent ehren weil man natürlich auch keine Zeit hat sich vorzubereiten weil hier keinen Bonus eingerechnet ist ja wenn sie ist um die Themen Bonus drauf rechnen rutschen viele von den 2. beiden den 3. trotzdem sollte das auch ein bisschen zu denken geben ich hoffe es tut tut etwas in die Richtung wir sehen den Zusammenhang noch ja das ist in 2 andere Zahlen im Kopf das also wären vielleicht anders rum The damit eine Klausur Vorbereitung vor sich und Sie sehen dass ich so brauchte Vorbereitung als die hatte keine logischen mit dem Semester hat man der fühlt sich auch noch die Muße es gebe für die Sieger so Vorbereitung reichlich und Unmengen Hilfen und Unterstützung nur also werden ein der Übungsblatt herausgeben mit großem wurde um die 30 Aufgaben quer durch den ganzen Stoff also Sie haben der ÖBB wirklich viel Material es wird Ferien Sprechstunden geben im Prinzip von Semester Ende bis zur Klausur wenn's klappt jeden Tag eine also sie können in und wenn Sprechstunden gehen es geht in Klausur Vorbereitungskurs also sozusagen als Fortsetzung des Treffpunkts wird die na das ist so nur ein lockeres machen hat sie auch schon angekündigt genauere Daten im Mode beim Treffpunkt und auf dem nächsten Übungsplatz steht das auch alles noch mal drauf ein Übungsblatt das heute irgendwann wahrscheinlich hochgeladen wird steht das alles noch mal drauf mit Terminen und so weiter und es geht hier aber was ich auch am Anfang des Semesters und sagte was an der Uni immer gilt es gibt Angebote für alles aber sie tritt niemand trägt ihn die hinterher Gegensatz zur Schule müssen Sie selbst erkennen wo ihre Schwierigkeiten liegen und ob sie was sie für Hilfe brauchen und sich diese Hilfe holen also hingehen und da sehe ich noch Verbesserungsbedarf also das eine einiges der Treffpunkt hat zurzeit so wöchentlich 30 bis 50 zur kann natürlich sein dass die anderen 650 kein Bedarf haben kann ich mir nicht vorstellen es ist die 2. Zahl die mich erschreckt hat war wir hatten hier die Übungsleiter Evaluation und da haben knappe 60 Prozent angegeben dass in dem Semester in keiner oder in so wenigen Sprechstunden waren dass sie noch nicht mal auf 20 Prozent der Wochen kommen muss in einer Sprechstunde waren das halte ich auch für beeindruckend dass alles so wie ich wurde mit Übungsaufgaben also ich hab das Gefühl so'n bisschen neben sich ihre Hilfe abholen können Sie noch ein bisschen einarbeiten gut aber wurde das gezeigt haben auch dass jeder sich so einsortieren kann in welchem Haufen der gesteckt so war gut
dann n geh ich zurück zu starr oder gibt es dazu noch Bemerkungen Frage gut also werden setzen auf aufgehört mit den beiden mit Fakultäten Binomialkoeffizienten also noch mal kurz zur Erinnerung hatten für eine natürliche Zahl n n Fakultät definiert als das Produkt aller Zahlen eine natürliche Zahl die kleiner sind also einmal zweimal dreimal gesehen auf die Weise können Sie einfach gut täten alles größere definieren aber 0 Fakultät macht so natürlich keinen Sinn und 0 Fakultät ist der Autor dem Hof die 1 Sarah und dann hatten wir den Binomialkoeffizienten also das ist für n aus N oder den Binomialkoeffizienten n über k der war definiert als n Fakultät dich K Fakultät mal n -minus K verkohlt hält und das macht natürlich nur Sinn für natürliche Zahlen n unklar mit allen größer gleichkam weil wenn in kleiner als K ist 1 N -minus Kandidatin so das war Definition nördlichen noch gesagt was die dass das eben Größen sind die auch eine anschauliche Bedeutung haben die zumindest jedem der Lottospieler klar sein sollte und was ich jetzt noch habe es n Einsatz der ein bisschen Rechenregeln für den Binomialkoeffizienten bringt und da vorne in den den Zusammenhang häufig in praktisch sehen also wir haben 2 natürliche Zahlen n und unklar Tag keine gleich Ende mit der Binomialkoeffizienten Sinn macht und dann aber noch 2 reelle Zahlen a und b so dann gibts erstens Rechenregeln für den Binomialkoeffizienten die einfachen Fälle N über 0 und n über n ist immer 1 wurscht was er ist dann gibt es eine schöne Summenformel wenn Sie n über k habe und n über k -minus 1 dann können Sie das zusammen die Summe davon zusammenfassen als n +plus 1 über Kar so der Beta L es so ein 1. Schritt zu einer Verallgemeinerung der binomischen Formel also Sie kennen Quadrat -minus B Quadrat des Armes Biermann Abfluss P und die ganzen binomischen Formeln die 4 Quadrate formuliert und entsprechende Formen gibt es eben auch für a +plus b hoch n und das ist das was jetzt noch kommen und das 1. ist das entsprechende für die 3. binomische Formel also wenn sie auch minus 1 er auch n +plus 1 -minus B o n +plus 1 haben wir sind sie in gleich einsetzen wird das was gleich dasteht die normale 3. binomische Formel sein aber für größere Intrigen Sie folgendes Sonne Differenz hat was der können Sie immer a +plus b ausklammern und was wir an -minus b ausklammern und was übrig bleibt ist die Summe von 0 bis Ende aber auch äh
-minus K wie Hochkar also anders formuliert -minus B mal aber auch n +plus auch n -minus 1 b er B +plus auch er -minus 2 Quadrat plus und so weiter ist aber wie hoch er -minus 1 +plus b hoch in meinen Sitz in gleich einsetzen stellen Sie fest dass die jetzt aber Quadraten des des an -minus b mal aber ich und so das ist die 3. binomische Formeln es kommt noch die 1. was 1. kriegen wir dann auch sofort die 2. also bei der 1. binomischen Formel geht zum a +plus b Quadrat also was is a +plus b hoch n und das ist die Stelle wo wir die Binomialkoeffizienten ins Spiel kommen a +plus b hoch ist die Summe von 0 bis das können Sie durch den 17 setzen und ab +plus b mal a +plus b mal a +plus b alles aus multiplizieren wenn kriegen sie lauter Kombinationen von auch irgendwas mal wo irgendwas und zwar immer so dass die Summe der Exponenten Energie also auch irgendwas Marius irgendwas wobei das Disponenten zusammengezählt enden und jetzt kommt nur die Frage wie oft auftaucht der Faktor aber auch 3 mal genug 7 auf und dessen Kommentatoren das Problem ist ist einfach die Frage wie oft in Risiken aus Multiplizierer Reihe trifft genau treffen genau 3 als auf 7 bis und das daraus kommst geladenen Jacke ziehen also hier steht in über Kader vor auch hier sollten Sie den Plausibilitätscheck machen in Simmering gleich 2 und was sie dann da stehen haben es Abschluss des Quadrates A Quadrat +plus 2 b +plus bekannt hat dem es so das dehnen sich die Binomial Formen und es eben die allgemeine binomische Formel für Ente Potenzen statt 2. also Urteile des Beweises 1. als wir zeigen wollten
war was es im Libanon und in über ihnen das rechnet man sich einfach aus und schreibt finden also was is n über 0 nach Definition n Fakultät durch n Fakultät mal n -minus 0 Fakultät Interhotel in Fakultät kürzlich er Moment 0 Fakultät sticht nehmen verurteilt durch 0 Verbot man dass wir sehr gute die neue Urheber S 1 ich tätig im Verbund kürzlich bis 1 und das Gleiche gilt für immer beenden wenn jeder in haben es das in Fakultät durch n Fakultät mal n -minus Info-Content kommt in Ausgleich aus dann hat ich als 2. diese Formel mit der sie 2 Binomialkoeffizienten dienen können so Sie schreiben Magath was zu zeigen ist
es die Formel die wir zeigen wollen is n über k +plus n über k -minus 1 es n +plus 1 über Karl wie macht man das nennen wenn es aus also was is n über k an +plus n über k -minus 1 nach Definition ist das n Fakultät Maita Fakultät mal äh -minus K Fakultät +plus n Fakultät durch K -minus 1 Fakultät mal n -minus K +plus 1 für gut hält es man 2 durch in verschiedenen Ländern die mussten auf dem Haupt bringen was ist der Hauptinhalt dem Fall der SKA Fakultät mal n -minus K +plus 1 Fakultät an und wenn sie das machen also der Hauptmann SK Fakultät mal in -minus K +plus 1 Fakultät um den 1. Bruch auf diesen Nenner zu bringen müssen sie noch mit Endes des K +plus 1 multiplizieren wenn -minus K +plus 1 Fakultät SR -minus K Fakultät mal im -minus K +plus 1 war noch eine Zahl dazukommen also haben sie hier stehen im Fakultät mal n -minus K +plus 1 vom 1. Bruch und vom 2. roch und den auf dem Haupte dazu bringen müssen sind was dem kamen 1 gut und K Fakultät machen wie man sagen kann dass ein Zeuge der Tat Fakultät beziehen mit Karte man kann -minus 1 für gut hält klar ist das Produkt aller Zahlen bis kann -minus 1 Mark heißt das Produkt der Zahlen bis gar Iska Fakultät also haben Sie es denn in Fakultät mal kann das kann man da zusammenfassen oben in Fakultät ausklammern bleibt übrig in -minus K +plus 1 +plus K durch K Fakultät mal n -minus K +plus 1 Fakultät für so was die dann da dann steht oben -minus K +plus K ist nicht mehr viel also oben steht in Fakultät mal n +plus 1 das is n +plus 1 Pacult hält und nun besteht K Fakultäten an der zur Kirche hinten um das ist n +plus 1 -minus K Fakultät und was das ist es genau 1 plus 1 überkam ihn also eine diese Rekursionen sollen und die 1 1 3. binomische Formel das war eben ja ich weiß aber immerhin also dass wir zeigen wollen es aber auch n +plus 1 -minus B hoch im +plus 1 =ist gleich a -minus B weil die Summe von 0 bis N aber auch
n -minus K wie hoch enden wie macht man das ja aus dem eines andere umformen Permalinks an oder fügt man rechts ein er müsse der trägt also gute Idee hier rechts anzufangen rechts hat man mir mit dem man arbeiten kann links weiß man nicht so recht was man tun soll also fahren wir mal mit der rechten Seite an also wir gucken uns an was es an -minus B mal diesen Sommer so ist kann man es wieder ein bisschen üben im Mehr umarbeiten und Herrn zum Zeichen zunächst mal multiplizieren wir die vordere Klammer aus das is a mal die Summe her gleich 0 bis N a auch n -minus KB auch n -minus B mal die Summe an auch in -minus KB auch NRW auch K so dann können wir in beiden so in die 1. Summe das an die 2. Summe das per reinziehen man hat also eine Summe von 0 bis Ende aber auch n -minus K +plus 1 wie Hochkar -minus Summe von 0 bis Ende aber auch n -minus K wie hoch K +plus 1 und es ich Folgendes jetzt nehm ich mir von der
1. Summe den Term Ferkah gleich 0 und von der letzten Sommer den von der 2. Sohn mit intern Völker gleich in raus und schreibt investieren also wenn ich von 1. so mit dem kam verkennt K gleich 0 nehmen ist einfach hoch im +plus 1 auch in -minus 0 +plus 1 auch in das 1 wie hoch 0 ist 1 wenn ich von der letzten Sommer den Term Ferkah gleich entnehme nehme dann steht da auch in -minus N also auch 0 S 1 und B hoch n +plus 1 und was bleibt übrig ist der übrig eine Summe jetzt von K gleich 1 bis n aber auch in -minus K +plus 1 b Bocca -minus eine Summe von 0 bis N minus 1 auch in -minus K wie hoch K +plus 1 es ist nur von der 1. so mit den 1. haben vorletzten letzten kam abgespeist so diese bei dem Sohn dahin nahm verschiedene Anfänge und Enden das ist doof noch also ändern wir das mal sie sehen das was da lebt und vor besteht also das was ich jetzt hingeschrieben habt das ist das was wir haben wollen wir das soll ja rauskommen auch n +plus 1 1 4 an das heißt diese beiden Summe hinten sollen gefälligst sich zu 0 weggeben ,komma sie das tun also die 1. Summe was ich mache sich verschiebe die Summation in der 1. so dass sie auch bei 0 anfängt nicht so mir nicht von Kai gleich 1 bis n so nicht so viel von K gleich 0 bis N minus 1 wenn ich das mache muss ich natürlich auch innen drin überall wo Kastan also Voigt Kasdan kann -minus 1 hinschreiben und was dann passiert ist dann wird aus K +plus 1 wird also auch in den Oscar wie hoch am K +plus 1 und damit fällt die Summe genau kennen auch im Minus KB Boccaccios 1 und sehen Sie das ist tatsächlich 0 und wir sind fertig so Jacke an den ich damit 0 anfangen und dann muss stimmt Stamm ist daran was schief gegangen Moment es ich fange bei 0 an Min es war es war für erschien ja Moment des stillen doch doch das passt Moment weil ja überlegen Sie sich einmal was passiert wie sie der 1. Summand wie sieht der 1. Summand in der oberen Summe aus also der 1. Summand in der Summe ja dass der Völker gleich 1 das ist n -minus 1 plus 1 ist es aber auch n wie 1 nur und in der Sommer unten wenn Sie jetzt keine 0 setzen auch auch in den Woche 1 bei die Ersetzung stimmt schon das Problem dass das Minuszeichen vor dem gehabt so L ich habe den Beweis hier vorgeführt in der Befürchtung dass mir sowas passiert weil dieses dieses Index Geschiebe Zimmern Gefrickel aber es stimmt so nicht dastehen um was anderes zu zeigen als er zumindest Resultat zu zeigen diese Formel die man manchmal brauchen kann aber hauptsächlich diesen Effekt dass sich 2 so die furchtbar kompliziert aus aussehen so wunderbar weggeben .punkt er und um damit ein Begriff loszuwerden diese Frequenz Weisung sich so durch der Index die wichtigen aussehen durch Index Verschiebung verschwinden das sind meine sogenannte Teleskop Sommer was hier passiert ist wenn sie sich die Zeile hier angucken haben Sie das Weisungen diese von einer abziehen und der 2. Summand von der 1. Summe ist gleich dem 1. Summand der 2. der 3. so man von der 1. Summe =ist gleich also -minus dem ist gleich dem 2. Summand von der 2. und so werde der 1. von 1. oder letzte 100. Summe übrig alle anderen fallen weg das erinnert sozusagen an die wenn man so ein Teleskop zusammenschiebt und nur nach vorn und hinten übrig bleibt deswegen heißt das Teleskop sog das gut so ist auf der CD teilen und nachdem ich jetzt ganz viel erzählt hatte bleibt der zieht teilte sie das war die allgemeine Binomial Formen der
steht auf dem Übungsblatt und da können Sie noch mal Induktion 5. Induktion ist lange her und es kann sie dann noch mal schön machen dann Sachen Index Verschiebung machen Grund sich genau so dass der Herr der ich gut sie hat am Schluss noch eine Bemerkung und das bezieht sich mal auf diese Formel die wir hatten wie sie Binomialkoeffizienten summieren können also diese Formel n über k +plus n über k -minus 1 ist im Fluss alles über K wenn sich die wenn man sich die veranschaulichen will dann kann man auf folgende Überlegung wenn Sie sich mal wenn sie meine den mit Jahrgang 10. 0 bei 0 anfangen nur noch dann schreiben drunter noch 1 7 0 9 1 7 1 ist alles relativ banale den Binomialkoeffizienten diese nämlich alle 1 dann sagt Ihnen diese Formel jetzt war es Na also hier das ist die Zeile n gleich 0 das ist die Zeile n gleich 1 hier kommt die Zeile in gleich 2 und so weiter und diese Formel hier sagten Sie mal in gleich einsetzen 1 7 1 +plus 1 über 0 bis 2 über 1 nur 1 7 0 +plus 1 über 1 ist 2 über 1 also die beiden zusammengezählt geben den 2 über 1 1. 2 über 0 zwar über 2 2 0 9 2 oder 2 sind jeweils 1 aber der Mitte kriegen Sie indem sie die Beine zusammen und so können Sie das weiter machen wir also hier kommt als nächstes 3 über 0 3 über 1 weil über 2 3 über 3 und da geht die gleiche Formel sie kriegen immer den in der unteren Zeile in dem sie die beiden die schräg oben drüber stehen addieren also können sie dir direkt ausrechnen diesen 1 3 3 1 und so weiter also die nächste Zeile ist dann
1 4 6 4 1 1 15 10 5 1 und so weiter das ist schönes rekursives Verfahren um die Binomialkoeffizienten zu bestimmen und das nennt sich das Pascalsche Dreieck sicher der ein oder andere schon mal gesehen die weil sie kriegen sie alle Binomialkoeffizienten rekursiv Rekursion ist ein beliebtes Thema für Informatiker also wir das ja auch noch unter und was sie damit auch kriegen ist jetzt der relativ schnellen Zugriff auf die Binomialkoeffizienten für die binomischen Formeln also wenn Sie jetzt das was wir hier schon stehen haben anschauen dann können sie jetzt sofort hinschreiben was a +plus b hoch 5 ist was a +plus b hoch 5 haben wir gesehen dass die binomische Formel ist die Summe über alle Produkte von A und B den Exponenten 7 15 und da vorgesehene K schreiben also ist das Jahr 5 über 1 a hoch 5 +plus 5 über 2 aber auch 4 gehen +plus 5 über 3 a hoch 3 D Quadrat +plus 5 finde die er Moment 5 über 3 aber auch 2 hoch 3 +plus 5 über 4 a hoch b hoch 4 +plus 5 über 5 wir hoffen Mehr können Sie direkt ja ablesen 1 15 10 5 1 gibt es vor Faktoren für die binomische Formeln gut können das zum kurz sagen ein Leitungsteil über viele Zahlen und in die Analyse zum was und jetzt kommt sozusagen der entscheidende Moment bisher war das Vorgeplänkel und ich sagte haben am Anfang gesagt von der Analysis der starke .punkt deren alles ist oder dass weshalb das halt der Teil der jetzt kommt so wichtig ist in allen Naturwissenschaften in der Wissenschaften aber natürlich eben auch bei Informatik also in allen Bereichen wo Mathematik angewandt wird ist das ich Ihnen eine exakte mathematische Definition zur Behandlung des unendlichen präsentieren und wie gesagt dass ein ehrliches und intuitiv an der Stelle nochmal der Werbeblock zu dem Treffpunkt am Montag da gibts auch noch mal einen Mehr Appetithäppchen zu dem Thema und das heißt beim Unendlichen das von den diese bin ich gewohnt sich beim unendlichen auf sein Bauchgefühl zu verlassen müssen bis die die und ich meine mit unendlichen das unendlich große auch das unendlich kleine und wir werden jetzt in den nächsten 10 12 Wochen der Vorlesung also jetzt +plus Matte 2 im Wesentlichen uns mit Fragen beschäftigen wo das unendlich immer wieder durchblitzt und diese Wahl des Unendlichen läuft auf eine Definition aus einem Prinzip definiert man dass ein einziges Mal es kommt jetzt in nächsten 20 Minuten und alles was wir dann in den nächsten 10 12 Wochen machen basiert auf dieser einen Definition Definition von Konvergenz und wir definieren dann noch 15 weiteres Mal das dem Begriff Konvergenz im weiteren Verlauf aber immer nur in dem wir die Definition auf die die jetzt komm zurück spielt wenn die die jetzt kommt ist die Basis für alles andere und deswegen hier nochmal der Aufruf die nächsten 20 Minuten bitte ganz präsent und da zu sein und dieses Ding was jetzt kommt sich auch in den Übungen und sonst wie absolut zu vergegenwärtigen weil das ist die Grundlage für die nächsten 10 Wochen aber und wenn dann Lücke aufreißen lässt der das das reißt weiter auf also die meist Konvergenz also was passiert wenn
irgendwas beliebig groß oder beliebig werden eine Größe beliebig große beliebig klein wird was passiert im Grenzwert gegen unendlich so und jetzt braucht man in ein Spielzeug mit dem man das endlich erreichen kann mit dem man über unendliches reden kann sich jetzt viel vorstellen reellen Zahlen gibt die unendlicher das nun endlich nach der unendlichen dar sie können wie die Dinge liegen unendlich nah beisammen lassen können also auch unendlich nah bei 0 sein und das ist alles viel zu kompliziert und was wir machen was man nimmt als Blaupause um mit dem das Unendliche zu reden ist das ein fast unendlich was es gibt und dass die natürlichen Zahlen die laufen wunderbar noch unendlich sortiert in Reihe eine hinter der andern übersichtlichen wo und das was uns dazu dient übersinnliche zu reden ist der folgende Kraft den hatten wir schon in zusammen Vektoren ein paarmal bis Folge ist einfach nicht wer Defnition der Abbildung von R nach R also hier nochmal wenn Sie eine Menge X haben das wird nachher X würden nachhaltig reellen Zahlen sein dann ist eine Folge in X mehr Abbildung von N nach x alle es mal einfach eine Funktion genannt von den natürlichen Zahlen nach x wie gesagt existiert immer er oder also für x gleich er nennt man das da eine reelle Folge für x gleich C sinnigerweise mit komplexen Folge das heißt nicht dass die komplizierter ist so an dass die gegenwärtigen C hatte so Folge ist in der Abbildung von innen nach er wurde von den nachziehen und ich hatte ihn damals alles was es zur Folge geredet haben nun schon gesagt man schreibt jetzt nicht wie in der Abbildung üblich von enden sondern man schreibt erfolgen üblicherweise am 1 ist also das Bild von der natürlichen Zahl n und diese Notation AN ist ziemlich gut weil sie so Intuition von Folge liefert die sie auf jeden Fall haben sollten und mit dem gut arbeiten kann Folge ist einfach ein unendlich lange Liste von Elementen aus nichts als in dem Fall von reellen oder komplexen Zahlen es gibt 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 es können sich vorstellen wie unendlich lange Liste von reelle oder komplexe Zahl an und die die mit den natürlichen Zahlen durch wenn man von der ganzen folge reden will ja allen dann schreibt
man gern dann schreibt man das folgendermaßen also so wie es jetzt dasteht ist das Ende Folgen geht das Bild von der Zahl ändern wenn sie die ganze Folge 1 ansprechen wollen dann schreibt man das gern so die Folge am mit n aus manchmal ist man Frau und schreibt nur im der dann ist sondern wenn man sich ja vorstellen dass das bei dass das über ein neues geht oder was es auch gibt is a n n größer gleich 0 zumindest das gleiche gemeint oder manchmal auch wenn man es wirklich explizit auf auf 14 will 0 1 A 2 A 3 Pünktchen dass es wieder diese Listen Gedanke Erfolges Liste von Zahlen mit sich und einander geschrieben sondern so weit so so gut was auch vorkommt ist dass man das man in der Folge nicht bei 0 anfängt na also ich werde nochmal sowas lesen a n n größer gleich 6 ja oder man fängt auch oder auch in der aufziehenden Schreibweise darf das gern mal bei 1 anfangen also zum Beispiel so klassische Folge die man gern bei 1 anfängt und ich bei einem gleich 0 ist die Folge eines durch N und das ist die Folge 1 der 1 Inhalt ich wollte im Viertel und so weiter bei der 0 anfangen bisschen doof was es einst durch Nullen und so das ist mir Freude und jetzt Folge so gut um das Unendliche zu reden schauen Sie sich das letzte Beispiel Einzelheiten Drittland 4. und 5. 6. intuitiv sagte der klar das wird immer kleiner und im unendlichen kommt dann wohl raus dann wenn sie in beliebig groß machen wird das geht es immer näher an 0 Rat und die Schwierigkeit ist jetzt dieses das kommt immer näher an 0 rannte mathematisch exakt zu definieren und das was jetzt kommt ist diese Definition also Abschnitt 3 1 der Konvergenz begriffen und wie gesagt dieses
was passiert wenn irgendwas beliebig große beliebig klein wird das ist mir jetzt einmal und danach für das immer auf diese Definition zurück so was passiert also wir haben nein mal so
an auf dieser Achse hier trage ich natürlichen Zahlen ein also sozusagen 1 2 oder 0 anfangen 3 4 5 und so weiter machen und auf der Achse kommt es am ab wird Halo sondern dass er ne nun vieles in sondern jetzt Folge von der wir sagen die kommt dem abendlichen ID geht in den das alle konvergiert gegen das was heißt das das heißt am Anfang darf die Folge machen was sie will das ist uns völlig wurscht es geht um vom endliche am Anfang das machen was sie will aber ab einer gewissen Zeit muss sie bitte schön sich irgendwie dem an ja dass das irgendwie machen aber hab ne gewissen Zeit darf sie von dem an nicht mehr weg also von mir sie muss nie an sei die Folge eines sich in die wir gerade hatten dies nie 0 er aber sie geht gegen 0 und die Folge hier die sieht es aus wenn sie gegen ein geht ist die Frage wie fassen wir das mathematisch und das was kommt ist eine Definition die geht zurück auf Weierstraß und Freunde geniale Idee er der sagt man Sahne solle folgen erleben die soll die ich namens AG an und soll dann auch immer da bleiben wird nix wenn sie nicht aber ist und ob da ab dem fünfmillionste Folge geht fängt sie darum zu spinnen wir dank des ziemlich Gegner und er sagte das folgendermaßen für jede noch so kleine für jede noch so kleine akzeptierte Abweichung von A und diese kleine Abweichung von Adi heißt y das ist die Länge diese Länge von diesem unter welchen hier zwischen A und dem mit dem diese runden Klammer also das ist diese Länge das ist Ätna für noch sorgt der kleine zugelassene Abweichung nun dreimal die man hier ein deren muss aber irgendwann das wäre in diesem Fall hier da die Folgen nicht mehr mehr als y von so und das schreibt mal in mathematisch auf also das ist jetzt die fundamental Definition für alles was kommt so ne Folge am in der nennt man Konvergenz gegen ein Wert an den er falls das gerade Gesagte gilt das heißt für jede für jede zugelassene Abweichungen von den A für jedes y größer 0 dann existiert ein Index 1 0 eine Stelle in der Folge eine Stelle in der Liste so dass ab da für alle in die größer als 1 0 sind der
Abstand von dem AN zum A also das man zum immer kleiner selbst und bleibt das heißt geht nicht weiter selbst und von Ahlbeck für alle n die größer sind als dieses 1 0 das ist die Grundidee die jede vorgegebene Abweichung Erbsen an den Zwergen Momente der Liste ab der diese Abweichung nicht überschritten wird es ganz anders formulieren vielleicht folgendermaßen sie schreiben sich sie die Liste ein das haben sie nicht Tumulten Grenzwert aber wir treiben sie sich in der 2. Liste rein diesen Ausdruck hier Betrag 1 -minus B A also den den Fehler den Abstand den die denn das Element ein von hat können sich also irgendwie vorstellen denn die Liste 1 0 1 1 2 Liste wir treiben sie für jedes denn für jedes der AN sich auf was ist der Abstand zu Aachen die genau liest er was ist da oben steht ist wie jeder selbst Epsilon also denn so sind für jede zulässige Abweichung von dem er wurde eines für jedes Epsilon größer 0 und jetzt sehen Sie mal als die bestmögliche Rechengenauigkeit eines Rechners also ist es aber so 0 für jede denkbare mögliche Rechengenauigkeit ein Rechner rechnet perfekt jeder Rechner rundet das war mir aber für jede noch so genaue Rechengenauigkeit muss der Abstand der Fehler von einem zu aber irgendwann kleiner als die Rechengenauigkeit werden wenn wir man groß genug ist soll heißen ein konvergiert gegen genau dann wenn für jede noch so kleine Reste denkbar Rechengenauigkeit diese Rechte Liste auf dem rechten 0 aber worden war aber irgendwann konstant 0 ist in diese Rechte Liste die können setzen Rechner einprogrammieren und wenn das en grob bis SN groß genug ist und dass er in nah genug beim als dieses ist dieser Abstand 0 für den Rechner bei zu kleine Fehler Kleinlaster Rundungsfehler ist Konvergenz heißt für jede denkbare größtmögliche Rechengenauigkeit wird dieser Abstand da hinten aber irgendwann konstant 0 es ist vielleicht in Informatik Verpackungen von Konvergenz zu halten das ist die der zentral Definition alles was kommt n wenn Sie so den Fall haben also wenn und dass diese Liste ist ein -minus A Betrag ab irgendwann konstant 0 ist auf Ihrem Rechner dann nennt man das den Grenzwert
oder Limes in der Folge also Grenzwerte Berlin das sind einfach synonyme Begriffe und man schreibt der führt folgendes man schreibt den Limes also der Grenzwert für n gegen unendlich n gegen endlich und haben den Grenzwert -minus am von der Folge der es an oder auch manchmal entgeht gegen für n gegen unendlich Sie können jetzt an der Stelle ,komma argumentieren warum muss ich dann jedes Mal in den unendlichen schreiben das kommt auch häufiger wenn man dann zum 5. 15. Mal das geschrieben hat wenn man da nachlässig zu werden das nicht drin zu schreiben weil sie immer das Gleiche ist Vorsicht die würden sich das gar nicht erst eine schreiben es immerhin weil erstens werden wir noch viele andere Grenzwerte kennen lernen und dann fangen nämlich X und andere Werte anzulaufen nach unendlich oder nach 0 oder noch irgendwas und zweitens stelle sich nur vor sehr in ihrem Ausdruck am tauchen auch noch Kas SP ist groß und es auf ja und da müssen Sie schon wissen ob es das das Kabel das er gegen unendlich geht also haben wir festgestellt Genoni deutlich weniger zahlen das in der Schule und die mit Buchstaben und Sohn Ausdruck kann durchaus mal 7 Buchstaben Inhalten und da muss man wissen welcher Buchstabe sucht das Weite also bitte schreiben so Limes immer drunter wo es hingeht oder auch in der 2. Schreibweise in Klammern dahinter was geht wohin so ich hab ihn jetzt Konvergenz für reale Folgen geschrieben und in den ganzen Abschnitt jetzt geht das alles genauso für komplexe Zahlen die für reale haben Sie sich noch mal die Definition von gerade eben hernehmen Folgen er konvergent da können
Sie hier problemlos auch 10 schreiben gegen ein aus 10 und alles andere bleibt so wie es ist falls für jedes Epsilon man 0 existiert sodass dieser Betrag kleiner sind ist ein Betrag von komplexen Zahl 7 reell also das was da steht macht alles komplett sind und die Definition es genau die gleichen auch die Anschauung ist genau die gleiche Jan saugenden für jede Rechengenauigkeit oder für jeden zulässigen Abstand y muss das am nah genug ans A kommen wenn es eh nur groß genug ist wenn nicht hat .punkt Eck und Spiel die Frage ist sehr gut also Frage ist ob man das nicht für jeden georderten Körper machen kann wird ja klar denn sie können sogar noch viel viel mehr machen weil sie brauchen über mich Körper ist ich geteilt wie wird auch hier wird mit dieser ganz gebildet wir brauchne Differenzbildung so braunen Abstand und das war's dann auch am Ende des Semesters noch machen was sie brauchen ist normierter Raum wenn ich aber da kann man sich wie für Künste im Moment machen was mal er und C er und dann gucken was wieder weiter er und weiß jetzt im weiteren Verlauf der Vorlesung keine Lust hat jedes Mal Erbe oder C zu schreiben er nach ich folgendes also ab jetzt für
die neuen Buchstaben ein nämlich den Körper K und K bedeutet einfach er oder ziehen wir also überall wo K steht können sie aber der zentralen und den Einsatz kommt der speziell nur für ergeht dann schreib ich das ist dann schreib ich das so also das war der Teil A von der Definition mit Konvergenz und der Teil des ist jetzt der einfach Teil nämlich einfach noch ein
anderes Wort für nicht konvergent also der Folge die nicht konvergent ist nennt man die und also eine Folge AN in K mal jetzt gleich K also oder C als die sehr wenn sie nicht konvergiert gut damit haben der Divergenz Begriff ist dann einfach was man verstehen muss es der Konvergenz betrifft und immer gleich Beispiele zu arbeiten um es mein Preuschen und ich mach schon mal hier und da hab ich die Definition zum Konvergenz nochmal drauf dann können Sie jetzt aber schon mal anfangen den Begriff zu verdauen sich das von der vorzustellen wir machen uns das kleiner bislang weitgehend klar zu den würde ich gern die 2. Hälfte einsteigen und einsteigen möchte ich mit einer Bemerkung die eigentlich wenn man jetzt ne ordentliche Vorlesung für allein das heißt wenn es auch noch einige vorlesen ahnen ja jetzt wolle so vermeiden Anleger machen würde weil man sich ordentlich da kommt das an sich hier da müsste man das jetzt was jetzt kommt dringenst beweisen und das spare ich mir ich habe von dem Grenzwert gesprochen er und das müsste natürlich untermauern nämlich dass der Folge höchstens einen Grenzwert hat das wenn Sie mir jetzt wahrscheinlich intuitiv glauben aber ich habe gesagt vertrauen sie nie Intuition und es wurde Licht zu tun haben also der Folge kann sich eben nicht 2 verschiedenen werden wie ich na dauert mehr Mehr sie ganz nah beim 1 ist ja nicht ganz aber man kann man auch so beweisen will ich jetzt drauf verzichten was ich immer machen will Stapel Beispielen die zum einen so ein paar einfache Folgen zeigen und Grenzwerte und zum andern ihnen zeigen wie man wirklich mit dieser Definition jetzt Grenzwert nachweist und immer als 1. das was wir hatten nämlich die Folge eines durch N also wenn ich die Folge am dies 1 durch n mit n größer gleich 1 also die dich schon eingeschrieben hat einst Inhalten 3. Viertel und zu Recht hat Vermutungen durch draufgucken relativ klar wenn das Ding konvergiert der wird der Grenzwert der wohl nur sein als Limes ist 0 das müssen wir jetzt nur sauber begründet noch stellt 1 die Griff da wir ja was man garantiert 35 mal rausrutschen wird und deswegen sag es Ihnen gleich so ne Folge für die der Grenzwert 0 ist nennt man ganz passend 1 0 Folge folge die gegen 0 geht es nun folgt das Wort wirklich wunderbar rausrutschen also steht es einmal offiziell dar sagt also wir zeigen 1 0 folgen wie zeigt man dass irgendwas gegen was anderes konvergiert die zeigen wir dass es gegen 0 konvergiert an da auf dem oh wird stets wird das eingekastelt denn da das das ist das entscheidende das müssen Sie auswendig lernen wie er in den Weiten der Bildungs Matrix und so weiter geht also müssen wir tun jedes Epsilon für jede zulässige Abweichung für jede Rechengenauigkeit gibt es ne 0 so dass das Geld das heißt das Spielchen ist wenn Sie nachweisen wollen einen konvergiert gegen oder hier und sein komme geht gegen 0 dann müssen Sie für jedes Epsilon dass ich Ihnen zu werfen wer der 0 zurückliefert müsse man Algorithmus angeben so dass man egal welches selbst wenn ich ihn geht mir sagen können wir also wenig sagte ich will wissen dass die Folge er irgendwann nicht mehr Mehr als 10 hoch minus 3 von dem abweicht dann müssen Sie mir sagen ok aber nur bei 35. ist die Arbeit nicht mehr Mehr als sie noch -minus Track kommen mit denen des neuen wenn Sie sagen war ab wenn gleich 3 Millionen 118 Tausend 117 von ist wir also für jede selbst man bis den 0 zurückliefern und deswegen fragen Beweise die zeigen in der Folge konvergiert immer mit dem gleichen Satz an das ist der der das Faktotum der Analysis selbst Fenstern heißen begeben uns mit vor uns her stellen sich ein Rechner mit Mehr ohne Rechengenauigkeit vor dass das nur und da müssen wir jetzt sagen ab wann ist die Liste der Abweichung 0 also müssen E 0 liefert und der entscheide Überlegung für diese Folge hier oben ist das wer jetzt strikt größer 0 ist dann ist 1 durch y auch größer 0 und dem allgemein sehr groß wenn Apps unser kleines ist Entsetzen sehr groß aber egal wie die natürlichen Zahlen 10 nicht nach oben beschränkt sie werden immer eine 0 finden das größer ist als 1 jetzt an Daten gehen Sie einfach runden sie einzig y ab und oder wurden sie einzig man einfach aufhören müssen das er 0 tja und das ist
das Ende dass wir brauchen warum denn sie in allen Größen gleich in 0 her und schauen sich an was ist ein -minus aber was es uns im Fall der vermutete Grenzwertes 0 also was ist der Abstand von 1 zu 0 das ist in dem Fall einfach die der Betrag von 1 1 1 durch ihren einzigen es positiv also der Betrag von 1 Einstig wenn n größer als 1 0 ist 1 1 durch in kleiner gleich 1 durch einen und da dividieren Sie die ungleichen einfach auf beiden Seiten der die werden durch ein und ich ein 0 ist es da oder einfach anschauen und wenn die Zahl eine Zahl kleiner ist als die andere dann an die antiker genau die umgekehrte Ordnung so 1 durch in 0 wir wissen er 0 ist größer als 1 durch y das heißt wenn ich unten dem Bruchstrich statt in 0 1 sich y schreibe dann schreib ich was kleineres in den Nenner und was kleinere sind nach dem Bruch größer 1 durch 1 durchlebt an er einzig einzusetzen und es ziemlich komplizierte können auch etwas so was aber jetzt vorgegebene Zenon gibt es eine 0 so dass der Abstand von am zum Grenzwert kleiner ist er selbst machen Konvergenz ziel 0 dass ein -minus Betrag kleiner als das Epsilon wenn man größer gleichen uns und das ist Konvergenz zur gleich mal in sie negative zeige ich in der Folge die keinen Grenzwert hat die nicht kann erklärt das hat so habe ich ihn immer die folgende Frage das ist das Standard Beispiele -minus 1 hoch n n aus N wie sieht die aus wenn gleich 0 ich eben gerade dann ist -minus 1 Woche nun es 1 4 1 ist es am -minus 1 dann ist eines der ist -minus 1 1 -minus 1 1 -minus 1 und zu Recht haben wir also die Folge sieht so aus
Zack Zack Zack Zack als Infineon unter Mehr Jo ernst Grenzwert kann man schon so das Gefühl sieht nicht gut aus und Grenzwerten und die kann sich aber nicht entscheiden die viel folge n die geht ich gegen Basel wird immer rum das heißt die Vermutung ist dass das keine konsequente Folge ist dann es nur in gezeigt also diese Folge divergiert wie zeigt man das die ist so gesehen wird in Rom vor definiert der Definition von divergent ist nicht ,komma ja also wie zeigt man das was nicht die wir gern muss zeigen ist nicht konvergiert nahm was heißt nicht konvergierende -minus will also macht man das per Widerspruch Na ja also wenn an das Ding wäre Konvergenz
was heißt das Mehr das heißt es die in einem Karren in in dem Fall aus er und meinetwegen auch in C so dass der Limes n gegen unendlich A 1 gleich als ob gut was heißt das ja auf der Folie stets was heißt denn das arg gegen Indien wenig 1 A das heißt für jedes Apps sollen größer 0 kriegen wir 0 es nämlich ein ganz spezielles y das gilt für jedes Erzählern also darf ich meine y durch 1 werden also selbst und gleich 1 kriegen wir dann eine 0 aus allen so dass der Abstand von unsern am es zu unserem fiktiven aber kleiner ist als 1 für alle in größer gleich im 0 normal so zu überlegen was heißt dass das heißt weil ich an den Orten des Konventes den konvergiert als es gibt Grenzwert und von dem weich ich aber irgendwann in meiner Liste die ich nie mehr als 1 von diesen Grenzwert weg wir sehen sich und das kann ich gut sein werde .punkt die Folge springt der dort um 2 Mehr wie soll ich denn dann weniger als 1 in der Nähe bleiben und das können wir jetzt auch sauber hinkriegen mit unsauberen Widerspruch führen da also was haben wir dann für alle n größer gleich 1 0 schauen Sie sich mal den Abstand von 2 aufeinanderfolgenden brechen ab folge geht dann an jetzt ist die Frage ob gerade oder ungerade ist man in grade ist dann steht da 1 -minus -minus 1 Umbenennung gerade ist dann steht da -minus 1 -minus 1 entweder steht also 2 oder -minus weichen die nachdem sie gerade von und nach oben springen oder von unten nach oben auf jeden Fall für Betrag immer 2 völlig egal wie rum 2 aufeinanderfolgende voll die dann man Abstand 2 weil 1 1 1 minus jetzt haben unser fiktives an und was jetzt kommt ist der der fruchtbarste trägt der alles ist 4. kommt wenn wir den nächsten Wochen wenn man alles ist machen noch 300 Mal machen und Siemens auch Übung noch ganz aufmachen und das Essen total starkes Hilfsmittel nämlich wir addieren 1 0 der nur zu zählen ist eine der stärksten Methode die man über die zu bieten da also wenn man Folgendes vielsagend das ist dasselbe wie ein -minus A +plus A -minus 1 plus 1 das können Sie mir nicht widersprechen dass sich jetzt da aber das ist sogenannte nahrhafte 0 weil mit der ,komma weiter jetzt können Sie sagen wie wir es in kommt der Typ auf die Idee der jetzt dieses Quatsch denn nur daran Satire komme ich ja nie drauf doch da kommen Sie drauf denn ich kann nur sagen was die warum ich das mache ich weiß worüber weiß ich denn was gucken mal 13 drüber ich weiß was wir den Abstand von 1 zu A ich will was rauskriegen über den Abstand zwischen 1 1 plus 1 ich weiß dass wir Abstand von n +plus 1 aber sich auch weil ich weiss in Abständen von einem Minus als kleiner als 1 für jedes Endes Größe ist es denn nun werden in Größe ist es denn nun ist im +plus 1 auch Kunst ich weiß also was man Abstand von 1 zu 1 mehr wenn ich darüber was weiß nämlich dass noch verwenden ich muss mir also irgendwie einen Abstand von zu verschaffen und sei es mit der Brechstange und die Brechstange ist diese 0 aber ich will jetzt den härtesten Abstand von der allen zu wahren Abstand von A 2 Russland allerdings noch irgendwie so doof zusammengezählt in den Betrag die kriegen wir die jetzt einzahlen Dreiecksungleichung das 2. scharfe Schwerter an alles Dreiecksungleichung heißt so muss der Betrag von Summe ist kleiner als Summe der Beträge also kleiner gleich am -minus aber +plus a -minus 1 das zu wir ob sie denn jetzt an das Ende sein so dahin +plus 1 1 a schreiben Sie galt einem Traktor umstellt auf ganz ausführlich das ist Betrag 1 -minus A +plus Betrag 1 +plus 1 -minus 1 so und jetzt wissen wir eben was er bei -minus 1 und 1 1 +plus 1 -minus ab nämlich das das kleiner als 1 und das ist kleiner als 1 also ist das ganze kleiner als 2 und was es da steht es ungesund weil da steht ist das 2. keine als 2. vielleicht Widerspruch also ist es denn nicht konvergent was wir dabei gemacht habe es genau die sind wie zum von vollen ausgenutzt die Folge springt sie jeden Schritt um 2 aber wenn sie konvergieren soll das irgendwann nicht mehr Mehr als einspringen das kann ich tun so also ich wenn diese Dinge so ausführlich vor zum einen weil sie damit elementare Folgen kennen lernen aber zum anderen und das habe ich jetzt hoffentlich auch rübergebracht wir sind ganz viele absurde Standardmethoden drin wer also 3 Sonntagen brauen sich ständig den oder die addieren ist ein wesentlicher dauert richtig also was jetzt hier vor solle Trickkiste Standardmethoden und zur Behandlung von Freuden Konvergenz und es geht es hier gleich weiter Teil C bisher aber relativ
einfache folgen angeguckt jetzt will ich ihn auch zeigen dass man mit ein bisschen mehr Mühe aber durchaus auch aus komplizierteres hinkriegt also im Quadrat +plus 2 e -minus 1 durch im Quadrat plus 2 doch mit der Folge konnte sogar Fällen aus Enns definieren werden denn dann wird die Not zwar das 1. Problemen sounding kriegen es wenn sie Definition werden wollen brauchen Sie priori Schätzung was der Grenzwert ist was muss es aber sonst können sie den Abstand von den zwar nicht ausrechnen dass es einen ein unangenehmer Teil dieser Definition dem Moment auch nicht noch nicht überwinden kann das heißt sie müssen wo man dies einfach nicht gute Intuition haben den Grenzwert hatten und in dem Fall ich werde Ihnen wir werden noch reichlich Methoden entwickeln wie den Grenzwert geschickt raten können oder wie man jedoch irgendwann berechnen kann ohne ihn zu raten momentan nur noch keine Chance und das richtige Raten ist hier das da 1 rauskommt wenn alle Stränge reissen ist natürlich eine mögliche Rate Methode Taschenrechner schnappen und malte in gleich 5 Tausend Einsätzen gucken was rauskommt dieser gefährlich gefährlichen weil endlich Ono intuitiv da die tut oft aber die ist gefährlich ich werde Ihrem Beispiel ja zu Ende nächste Woche irgendwann bei Spielzeug aber trotzdem sie braunen oder Orakel wenn es da nicht klappt sind es immer noch gut also ich habe jetzt ein er die Grenze des einst so also es wird mir zeigen dass das so ist was bedeutet das wir Feuer gesagt für Erbsengröße müssen sehen n 0 finden und was müsse sich zeigen dass diese Ausdruck betrage 1 -minus aber das der klein ist also gucken uns diesen Ausdruck mal an was is a Betrag 1 -minus 1 wird es unsere Folge bisschen mühsamer also dass es ein Quadrat plus 2 1 -minus 1 durch im Quadrat plus 2 -minus 1 also -minus ein Quadrat plus 2 durch im Quadrat plus 2 die formal auf überhaupt den erweitert so was kommt da das im Quadrat oben fällt weg das ist 2 n +plus 1 durch im Quadrat plus 2 richtige Betrachtung um ich da kann Mist gebaut ja hab ich weit engverwandt fällt weg aber -minus 1 -minus 2 ist nicht plus 1 und minus 3 keine zur Hand also 2 -minus 3 durch im Quadrat plus 2
der Männer ist schon positiv da brauchen wir kein Betrag Mehr also bleibt Betrag 2 1 -minus 3 dich entweder plus 2 übrig und jetzt wer dich ein bisschen ruchlos und jetzt kommt das nächste was man bei so fragen oft macht und was den immer etwas für Sie wenn man damit zum 1. Mal zu tun hat zum bisschen anstrengend ist weil was jetzt kommt die ist nicht klar Algorith nisiert zur was sie jetzt nach ich schätze geschickt aber ja und das bedeutet dass geschickt das ist alles erlaubt was richtig ist die Frage was sie für das andere das ist jetzt die Kunst dabei und was sie jetzt macht ist die macht das Ganze größere ich muss nachher nicht genau ausrechnen was der Abstand von 1 zu 1 über sicherstellt wird klein ich jetzt ganz exakt dreht wie kleine Rusticus wird Widerstände mit klein und diese plus 2 Odenwälder nervt mich kolossal und die sorgt auch nicht dafür dass der Bruch kleinen was dafür sorgt dass der Bruch kleine dass das in Quadrate in groß wird dann wird im Quadrat Xen groß und damit der Bruch extrem klein also die 2 total egal und deswegen das ist sie wirklich da sich die weglassen na ja weil wir nicht 2 -minus 3 wenn ich die 2. Orden der Klasse machen die Männer kleine damit man dem Bruch groß tja und jetzt wollen wir dann auch ohne diesen doofen Betrag loswerden von den Ländern mit Dreiecksungleichung los warum oben Dreiecksungleichung ist kleiner als Betrag von 2 n +plus Betrag von 3 das ist die ruchlose Dreiecksungleichung geht das Plus ignoriert bis -minus ignoriert was ich mir schreibt das es 2 n plus minus 3 ist kleiner als Betrag 2 1 +plus Betrag von minus tragen was steht track fanden das 1 zu 1 und dann könnte die 10. Beträge weg dann steht da 2 im +plus 3 durch ein Quadrat zur also ich hab für jedes n das was ich bisher gemacht habe gilt für jedes aussendet da die Gäste nicht verwendet dass das besonders groß zur und jetzt wenn ich mich noch bisschen ein und ich weiß denn nur raus dass hätt ich schon vorher machen sollen weil sonst sich die 2. und nicht weg lassen dürfen das und dann kann ich noch folgendes machen 2. noch mal größer in den ich nicht 3 Oma dir sondern 3 in von ich falsch war so nicht dass der 2 es statt 3 3 n schreibt macht die Sache größer weil 3 in ist immer mehr als 3 so wenngleich 1 ist 3 in das Handy 3 und für größere 1 bis 3 n größer ist warum mach ich das alles das war ich alles damit ich einen kürzen kann also mein Abstand von 1 zu 1 ist immer kleiner als 5 durch das sieht doch schon mal gut aus weil das bedeutet nur der Abstand von am zudem 1 immer kleiner als 5 mal 1 durch wir wissen schon einzig in geht gegen 0 dann ist doch vielleicht das auch gegen 0 konvergiert also weiß eigentlich gegen einzig fängt an seit Slang größer 0 1 dann gleiche Argumentation die
vollendetsten können im Prinzip der zum Wohnen einst durch n 1 zu 1 über übernehmen fast 5 durch N 5 durch 1 auch nicht anders als einzig in also es gibt es der N 0 aus allen so dass das N 0 größer ist als 5 durch Apps 10 an da geht auch y ist größer 0 5 durch Apps und es dann bezahlt rotten sich die auch von den 4. 7 E 0 das groß genug ist zur wenn wir jetzt n größer als dieses 0 nehmen dann ist alles gut weil was ist der Abstand von 1 zu 1 hatten wir gesehen dass kleiner gleich 50 m genau die gleiche Argumentation die freuen sich n ist größer als 1 0 also das einst durch in kleiner als 1 durch eine 0 und 5 durch n 0 ist jetzt gerade kleiner als er größer kleiner als 5 durch 5 durch Ärzte waren und der dass es genau so gemacht dass der zum Auftakt Sarah was haben wir für jede selbst größer 0 gibt es eine 0 so dass wenn n größer als er 0 ist der Abstand von 1 zu 1 kleiner selbst Konvergenz war also immer das darf schon groß um in das ist das entscheidet die sah und diese Methode die ich jetzt hier angewandt hab ich habe meine komplizierte Folge genommen hat die Grenze abgezogen und hat gezeigt dass es immer kleiner gleich 5 durch kleiner gleich 0 Folge das können das können Sie ganz allgemein machen und das ist die Übungsaufgabe 3 3 können Sie also 10 was sie machen müssen ist die Idee von diesen Beweis ist zu abstrahieren sie haben Erfolge im Kader der so und was haben wir jetzt gerade gemacht wir haben für den Grenzwert also für das Oscar gezeigt dass der Abstand von AN zu der war kleiner gleich 5 durch ihren dabei kleiner gleich jene Folge Alfa 1 ja und wenn Sie das hinkriegen das sie den Abstand von 1 zu nach oben abschätzen
können durch Folge Alfa in Bund Folge ist dann ist die Erfolge einen konvergent und der Grenzwert von 1 A wir wenn sie ja und das ist von der Idee her genau das was wir geradegemacht gerade eben war ein meine kommt sie Folge und das Alter immer 5 durch wenn Sie diese Übungsaufgabe gemacht haben dann können Sie sich das hier im Prinzip alles sparen dann sind sie
fertig und am Ende von der Seite davor wurde genau diese Situation war zur Teil von der
Übungsaufgaben der Folge AN die gegen den Grenzwert Affe gegen unendlich genau dann wenn diese Folge der Abstände nein 0 Fall geht gegen 0 gehen das ist eine Formulierung das eine vom anderen und hatten so die bisher aber einfach die Definition oder auf der Definition kaufe jetzt ganze Zeitlang rum und worum es geht ist Kriterien zu finden für Konvergenz Möglichkeiten Grenzwerte auszurechnen möglichst effizient und Kriterien für nicht Konvergenz und und und weil wie gesagt alles was in den nächsten Wochen Wochen machen baut hier drauf auf also alles was wir über Konvergenz von Folgen wissen wird einen ganz großen P auf haben weil das 10 mal wieder verwenden kann man also machen wir jetzt ganz auf ganz das Surren wir so viel wie möglich über diesen Begriff Konvergenz einer Folge herauszufinden zu und das Erste was ich mit Ihnen diskutieren will ist der Zusammenhang zwischen Konvergenz und Beschränktheit also erst mal sagen was soll das Wort heißt Volkes beschränkt das ist einigen ganz intuitive Begriff Erfolges beschränkt wenn sie eben nicht beliebig groß wird also wenn die einen nicht beliebig groß werden betragsmäßig also Folge in KA heißt beschränkt und das Definieren wir einfach über Beschränktheit von Mengen weil das haben wir schon definiert also nehmen sich die Menge in der sie die ganzen vom folgende Werte reinpacken dass die Menge aller ein und die muss halt beschränkt sein kann die Menge aller Folgenglieder ist beschränkt in diesem Menge beschränkt ist denen eine Folge QC beschränkt im Prinzip ist der Begriff wurde dich man kein Thema sagen sei eine Folge so dass die Menge der beschränktes untersagen zu lang und deswegen sagt man sei eine beschränkte folgt wenn Sie das haben dann können Sie für die Folge aufsuchen und und und Empfindungen definieren allerdings natürlich nur wenn der Körper die reellen Zahlen sind weil C gibt es keine Ordnung also wenn sie über den reellen Zahlen sind dann
definiert man sich den zu bringen um über die Freude am auch manchmal so geschrieben Supremo man gleich 0 bis unendlich am und das ist nichts anderes als das Supremo der Menge über gerade hatten also den sich eine Folge dieser packen eine Menge man die beschränkt ist dann hat den so Prägung Vollständigkeit Axiom das das Supremo der vor der Folge genauso das Inferno sehen Sie nun einen aus 1 a oder auch geschrieben in dem gleich 0 bis unendlich am das ist definiert als das in Phänomen der Menge der Folgenglieder erhalten zuordnen schon fertig gesagt gibt Zusammenhang zwischen beschränkt und Konvergenz und es ist eine
Implikation und zwar jede konvergent der Folge ist beschränkt und das gibt ihnen im Umkehrschluss auch gleich ein Totschlagargument für den ergänzt also wenn wenn jemand ne Folge vor die Nase legt und fragt ob die konvergent das Ding ist nicht beschränkt man kann sie sofort zurück gehen und sagen da ist die Mehr Geld bei nicht beschränkt daraus folgt die Berge ist der Umkehrschluss von den Satz Saar nachdem beweisen noch 1. der Vollständigkeit halber und zweitens weil wir eben dabei immer lernen und sehen wir mit Folgen umgeht sorgen also Voraussetzung konvergent erfolgen also seine eigene konvergent folge in der Brenta und wenn die konvergent ist dann hat den Grenzwert und diesen Grenzwerte nämlich jetzt die ganze Zeit machen wer wie vorhin gesagt immer eindeutig so das müssen wir zeigen wie das die Folge wenn sie ,komma gehen das auch beschränkt ist und natürlich ist immer der Erste Schritt also so Beweis angeht die Intuition und die Frage darum muss das gelten also versucht und sich meine Folge hin zu vermeiden die konvergent ist aber unbestritten und dann stellt man fest dass es schwierig weil man muss ja weit draußen also jwd muss man ganz nah beim Grenzwert sei das heißt er ganz weit draußen bekannt die vom zufolge nicht abhauen derweil dann muss die da muss die ihren Grenze bleiben wenn wieder abbaut dann ist sie nicht mehr daran dass der das heißt ich muss in vorne bei den 1. 17 Folge die dann muss ich und da kann ich es aber auch nicht beliebig weit weg war bin ich nur 17 hab dann gibts und größtes und das kommen nicht aus nur insoweit mit endlich vielen ganz ehrlich noch unendlich abhauen das ist die Idee von den weiß jetzt weit draußen wir das Ding vom Grenzwert angesaugt und mit den 1. 35 können Sie keine Unfug machen so und das war mir jetzt also wenn man die Folgen des Dinges konvergent deswegen gibt es für jedes warnen und so weiter wenn jemand ein ganz spezielles Ärzte sondern immer wieder zum gleich 1 also zu y gleich 1 existiert also 1 0 aus allen so dass ab dem 0 das am nicht mehr weiter als 1 vom Grenzwert weg ist Mehr das ist einfach Definition Konvergenz aber 1 0 da meine Folge nicht weiter als 1 von Alex damit haben wir jetzt schon mal die da draußen alle erledigt aber gut es bleiben noch n 0 Stück übrig nämlich die mit den Nummern 0 bis 1 0 0 bis 1 0 -minus 1 um genau zu sein aber die endlich wieder jammern Maximalwert zu haben wissen wir jetzt dass man ein großes C C ist war ist das Maximum von denn die da am Anfang sind also von der den 1. in 0 Stück bei den suchen Sie sich denn mit dem größten betragt endet und Schluss endlich gucken wir noch ob 1 plus Betrag aber größer ist und sie nehmen sich die größte von diesen n 0 +plus 1 Zahl und das man sieht sich so und jetzt behaupte ich jetzt
behaupte ich am Betrag ist ein kleiner gleich C für alle hinaus so und das ist natürlich jetzt die freche Behauptung die Grundig ihn auch noch 1. Fall sie haben 0 kleiner gleich in kleiner gleich in 0 in des 1 also 1. Fall hier ist klein werden und dann ist die Sache banal weil das C ist das Maximum über diese ganzen Zahlen Betrag von ist bei diesen Zahlen dabei also ist Betrag von einem garantiert eine gleicht sie das ist einfacher Vereine 2. was ist wenn das in groß ist also größer gleich 1 0 was ist dann mit den Betrag ein kommt der gleiche Trick wie vorher über Betrag 1 wissen wer priori nix wissen was so Betrag N -minus dennoch oben über diesen Betrag Endes als kleiner als 1 für alle in größer gleich 0 ja wenn große gleicher 0 also wissen wir eine 1 -minus Betrages kleiner als 1 wissen was über betrage ein -minus an also müssen wir uns irgendwie betrage 1 schaffen damit wir damit unser Wissen einbringen können also wieder den Hafen 0 1 -minus 1 plus 1 und Dreiecksungleichung in erleben dass durch -minus als ein Kind n sag ihnen noch sie wissen was sie weinen das also brauchen sie ein Minus er Dreiecksungleichung kleine gleich ein -minus aber Betrag plus Betrag das ist was gleich 0 einfügen 3 zu erreichen so was wissen wir jetzt dass wir so weit dass das kleiner als 1 10 also ist das ganze hier kleiner als 1 plus Betrag ab ja
glücklicherweise hat irgendjemand möglicherweise hat irgendjemand hier oben das CE da
hinten 1 plus Betrag aber eingeschrieben also ist das C auf jeden Fall größer als 1 plus Betrag da stehen n n Zahlen drin eine davon dass 1 plus Betrag aber werden andere größere auch nicht auf jeden Fall ist das der kleine nichts und da wolle man ja gut damit aber das Ding ist geschwächt so kann niemand behauptet dass das die bestmögliche Schranke ist er wenn Sie sich die Folge die sich so langsam von unten gegen schleicht er diese tüchtig A beschränkt und ich durch 1 +plus also auch durch 1 +plus auch aber die können sind sich auch mit also die Männer baute das das die bestmögliche beschränkt die Beschränkung für Schranke ist aber es ist ein gut und an der Stelle wie so oft wenn man einen Satz hat den Wein Implikation beinhaltet die Warnung vor dem Umkehrschluss bei den Umkehrschluss aus 3 5 denn diesmal leider allzu oft die Umkehrung von 3 5 ist falsch was ist die also das ist der Umkehrschluss von 3 5 er jede beschränkte Volkes Konvergenz und das ist uns auch und wir am Beispiel schon gesehen Vergleich AN gleich -minus 1 hoch n n aus allen nur die Folge 1 -minus 1 1 -minus 1 1 -minus 1 jammervollen dies nicht konvergent weil ich nicht ich 1 -minus 1 entscheiden will aber das die beschränkt weil jedes Folge geht es kleiner 70 in Betrag trage indes nicht mal 1 und 1 ist kleiner als der es ermöglicht frag da also Vorsicht vor dem Umkehrschluss bei dem Satz wenn Sie nicht ,komma wenn Sie mir unbeschränkte Folge Krieges die niemals konvergent man sie beschränkte Folge kriegen Wissens hat erst mal noch nicht so das war das 1. und jetzt kommt im 2. ganz wesentlicher Satz und das ist der 3 7 mit der
Überschrift Grenzwert setzt ein und Einsatz von dieser Bauart wird uns noch häufiger begegnen beschreiben den 1. meinen und dann sage ich kurz dazu also ich meinen 1. Teil des unendlich lang aber ich schreib mein 1. teilen und sag ich dazu warum das so wichtig ist also bei dem Satz haben wir 3 Folgen am B 10 folgen dann Kals wieder oder C denken Sie ruhig in R in das alles genau so also dann klicken kommt ein 1. Teil der sagt betraten nehmen von folge ist ok also wenn Sie wissen dass das konvergiert und der Grenzwert des ab wir also das was das so heißen 1 die konsequente Folge mit Grenzwert aber dann können Sie daraus immer folgern dass auch die Folge Betrag ein konvergent ist oder Grenzwertes Betrag ab das ganz hübsch Achtung auch hier das ist Unfug an dem sie wieder einen leicht -minus 1 also 1 -minus 1 1 was ist dann die Folge Betrag AN dies 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 und so weiter das ist ja wunderbar konvertierte Folge aber der Abstand von dieser Folge 1 1 1 1 1 total 1 der ist ziemlich klein und zwar ziemlich schnell aber aber natürlich ist noch lange nicht 1 -minus 1 1 -minus 1 1 -minus 1 konvergent könne also bitte nicht so so das ist der Anteil jetzt kommt der Haupt der Hauptteil von dem Satz das heißt Grenzwert setzen heißt untergehen gehen wir davon aus dass die Folge 1 und die Folge BN Konvergenz sind und zwar mit Grenzwerten A und B damit übersichtlich ist also wenn 2 konvergent erfolgen und dann sagt der Satz wenn Sie jetzt die folgen den a 1 +plus b n sehr denn ihre beiden folgen da die Sklaven die das Ende der Bahn 1 1 Vektoren erfolgen dann sagt der Satz dann kriegen Sie wieder eine konsequente Folge raus und sie können auch den Grenzwert von fortan geben der ist nämlich das was man erwartet dass a +plus b er die Summe von Konvergenz Volkes konvergent und der den Zweck ist die Summe der Grenzwert gleiches gilt für das 2. was im Vektorraum machen können Festgala multiplizieren also wenn sie ihre Freude am Leben und die mit dem Alfa jedes Eck ein mit dem Alfa multiplizieren kriegen Sie wie eine konsequente Folge raus also Alfa ist beliebig in Kana und der Grenzwert ist das was man erwartet nämlich einfach mal auch das Gleiche gilt für das Produkt ja wir sind ja im Körper können auch
Proben miteinander multiplizieren also wenn sie die Folge einmal DEN anschauen und sie wissen einen Behnsen Konvente folgen wieder auch die Folge einmal wie inkonsequent und dass der Grenzwert ist a mal b und es kommt natürlich als letztes hätten wir gern noch dividieren also es subtrahieren aber schon bei einem Minus PIN ist nix anderes als ein plus minus 1 mal -minus als weil wir in kriegen sie mit und 1 plus -minus 1 ABN damit I also dirigieren kann sich der Quatsch absehen können sie auch schon was auf ist dividieren Probe wie die Wikipedia muss im aufpasst eigentlich PIN hinschreiben kann man nicht einfach so mal was ist denn Bernoullis also und müssen wir das voraussetzen also gilt außerdem EN ungleich 0 für alle n aus allen und ist auch B ungleich 0 8 und ganz wichtig nur wird aus PIN und gleich 0 für alle Ende folgt jedoch nicht dass der Grenzwert ungleich 0 ist sowie unsere Folge eines durch N von freuen als ich Endes für jedes n aus den Stern nicht 0 forderte Grenze nun also brauchen das die Folge insgesamt von der 0 bleibt und der Grenzwert auch aber dann ist die Folge am durch PIN definiert und die Behauptung ist dies wieder konvergent und der Grenzwert ist das was man denken nämlich aber ich bin zu und das ganze Zeug sich Grenzwert setzte und ich will jetzt noch kurz sagen warum das so wichtig ist wir Feuer gesehen werden diese etwas kompliziertere Folge was war das im Quadrat plus 2 -minus 1 durch Encoder +plus 4 oder was auch immer das war das ist zwar kompliziert aus ist aber natürlich noch relativ einfach sind überhaupt keine Probleme Folgen zu schreiben können beliebig lange auf große Folgen schreiben und von dem die Grenzwerte mit der Definition aus Excel sowie muss mühsam es war und was dieser Satz Ihnen jetzt hier erlaubt es große Probleme kleine zu zerhacken und so wie man kleine zu zerhacken ist eine Begeisterung die wartete mit Informatiker Teil 1 was ist programmiert anderes als großes Problem viele kleine Prozedur zu sagen und das ist das was dieser Satz tut weil ihnen sagt wenn Sie die riesengroße so riesengroßen Ausdruck von Nachfolger haben dann ist der normalerweise im Produkt oder sogar von Quotient Fördersumme von Produkt von Quotient Fördersumme her untersagt sagt ebenso lang alle Einzelteile brav sind können Sie sich das Riesending aus den Bausteinen zusammen als wenn sie ihre große Freude schreiben können als Summe von Produkten vom Quotienten von anderen folgen und alle diese kleinen Freuden konvergieren konvergiert auch das große Ding und Grenzwert können sehr einfach ausrechnen und deswegen ist dieser Satz so wertvoll wenn wir auch noch reichlich nutzen der Satz 3 7 geht noch entdecken weiter schreiben noch fehlen vollständig hin also was sie hier haben sind jetzt Rechenregeln für Grenzwerte wie 7 zum Produkten Differenzen so weiter umgehen können und was jetzt noch fehlt ist ich habe ihn gerade so erklärt wenn sie Erfolge haben die nie 0 ist dann kann der Grenzwert trotzdem 0 sein und die Frage ist was passiert mit solchen Ungleichung mit Relationen diese zwischen folgen die dann haben die wir tragen sich die auf die Grenzwerte und da was jetzt mit größter gleichzutun kriegen man war jetzt wieder kein gleich ja und dann gibt es den teilt sie also C und D gelten nur für er wenn sie wissen dass ihre Folge AN immer kleiner gleich PIN ist für jedes enden und sie wissen dass ich das die beiden konvergieren also der Limes am ist aber unternehmen müssen gegen endlich Plc will dann überträgt sich diese Ungleichungen auf die Grenzwerte wenn die eine Folge wo unter der Anden liegt dann ist auch kleine gleich bi eine Warnung dazu kommt die noch expliziter muss sich in tun kommt nun explizit aber das sag heut und dampften Dienstag dieser Aussage ist mit strikt leider falsch also wenn ein kleiner als PIN ist für alle ändern ist bitte schön nicht kleiner B Beispiel die Folge eines durch Ende hatten wir schon mehrfach die Koppel geht gegen 0 n e b n die Folge eines sich in wären die Folge eines durch N die Kanne geht gegen 0 und ein die Folge die langweilige überschaubar hatten 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ja beide konvergieren gegen 0 an den gleichen Trends wäre aber es ist WM größer als ein für alle ein also in Grenzwert kann gegen strikte Ungleichung kaputt gehen und 100 kleiner gleich Gleichung werden aber die kleine gleich ungleichen bleibt erhalten das ist ein Merkposten also wenn sie zum Grenzwert übergehen und Sie wissen dass die Folge wieder links und also dass die in die Ungleichung erfüllen also das was ich 1 größer gleich 0 für alle n dann ist auch Größe größer gleich 0 aber eben nicht mit strikt größer so und jetzt kommt noch Teil des damit das
vollständig darstellt wenn Sie 3 Folgen haben bisher auch die Folge 10 Jahre ich auch die so ineinander geschachtelt sind also CEN liegt immer zwischen A 1 und B n für alle n aus allen gut wenn sie wissen dass die alle konvergieren dann wissen Sie dass die vorigen Teil A kleiner gleich C kleiner gleich B aber sie kriegen noch mehr wenn Sie jetzt nicht wissen dass die beiden äußeren konvergieren und zwar gegen den gleichen Grenzwert also ein konvergiert gegen einen Wert A und das B n konvergiert gegen denselben Wert Art dann wird das CN irgendwie zwischen einer PIN eingequetscht 1 DM komme die Wege Gleiche und das CMS dazwischen dann hat das irgendwann nicht mehr viel Platz und tatsächlich folgt daraus das auch CN konvergiert als das hier alles ist Voraussetzung dann folgte Folterszenen konvergiert und zwar auch gegen und anschaulich klar ist sich leider bin eingequetscht die Kollegin gegen das Gleiche dann hat das denn kein Platz und muss auch gegen konvergieren und weil das so und so ein Quetschungen gegen hat das Ding einen sprechenden Namen das ist das sogenannte Sandwich Theorien weil das CEN bewusst zwischen dem Brot ein und dem Brot Bier ist gut vielen Dank dann für die Aufmerksamkeit und besitzt ab
Zusammenhang <Mathematik>
Uniforme Struktur
Fortsetzung <Mathematik>
Zahl
Richtung
Mathematische Größe
Zusammenhang <Mathematik>
Betafunktion
Natürliche Zahl
Fakultät <Mathematik>
Binomialkoeffizient
Binomische Formel
Zahl
Summe
Quadrat
Homogenes Polynom
Reelle Zahl
Verallgemeinerung
Summe
Algebraisch abgeschlossener Körper
Faktorisierung
Binomialbaum
Quadrat
Momentenproblem
Energie
Homogenes Polynom
Exponent
Reihe
Binomialkoeffizient
Binomische Formel
Summe
Ende <Graphentheorie>
Fakultät <Mathematik>
Rekursion
Binomische Formel
Zahl
Summe
Index
Binomialbaum
Homogenes Polynom
Momentenproblem
Ende <Graphentheorie>
Summand
Extrempunkt
Physikalischer Effekt
Binomialkoeffizient
Frequenz
Term
Faktorisierung
Punkt
Vektorrechnung
Momentenproblem
Exponent
Mathematik
Kraft
Natürliche Zahl
Abbildung <Physik>
Reihe
Binomialkoeffizient
Element <Mathematik>
Binomische Formel
Biprodukt
Pascal-Zahlendreieck
Zahl
Unendlichkeit
Komplexe Ebene
Summe
Quadrat
Menge
Reelle Zahl
Komplexe Zahl
Rekursion
Analysis
Folge <Mathematik>
Zahl
Null
Unendlichkeit
Index
Folge <Mathematik>
Länge
Betrag <Mathematik>
Rechenbuch
Rundungsfehler
Natürliche Zahl
Komplexe Ebene
Folge <Mathematik>
Momentenproblem
Betrag <Mathematik>
Normierter Raum
Inhalt <Mathematik>
Ecke
Grenzwertberechnung
Folge <Mathematik>
Rechenbuch
Natürliche Zahl
Analysis
Grenzwertberechnung
Mathematische Größe
Betrag <Mathematik>
Zahl
Grenzwertberechnung
Summe
Quadrat
Folge <Mathematik>
Momentenproblem
Betrag <Mathematik>
Dreiecksungleichung
Schätzung
Quadrat
Betrag <Mathematik>
Dreiecksungleichung
Klasse <Mathematik>
Strömungswiderstand
Folge <Mathematik>
Zusammenhang <Mathematik>
Menge
Reelle Zahl
Empfindlichkeit
Gleichmäßige Beschränktheit
Grenzwertberechnung
Mathematische Größe
Folge <Mathematik>
Vollständigkeit
Zusammenhang <Mathematik>
Betrag <Mathematik>
Menge
Maximum
Implikation
Axiom
Zahl
Grenzwertberechnung
Ende <Graphentheorie>
Betrag <Mathematik>
Ganze Zahl
Dreiecksungleichung
Maximum
Zahl
Summe
Folge <Mathematik>
Vektorrechnung
Betrag <Mathematik>
Umkehrung <Mathematik>
Vektorraum
Implikation
Ecke
Zahl
Grenzwertberechnung
Summe
Quadrat
Folge <Mathematik>
Ungleichung
Ende <Graphentheorie>
Quotient
Canadian Mathematical Society
Gleichung
Biprodukt
Physikalische Theorie
Grenzwertberechnung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Der Konvergenzbegriff
Serientitel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 25
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/33608
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2012
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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