Bestand wählen
Merken

Komplexe Zahlen

Zitierlink des Filmsegments
Embed Code

Automatisierte Medienanalyse

Beta
Erkannte Entitäten
Sprachtranskript
werden Wagen an der TU Darmstadt
er ist das so da herzlich willkommen und einen schönen guten Morgen in Old kann ich direkt ab einsteigen vielleicht ein Kommentar noch Sie werden sehen dass wir uns in rasenden Schritten auf das Ende des bisher bekannten Scripts zurücklegen und spätestens am Freitag dazu über die Kante rutschen keine Sorge die Karte wirklich rechtzeitig ausbessern also werden wie heute der spätestens morgen gibt es Kapitel 3 das werden seine Mode finden und dann können wir freitags ganzen Ruhe weitermachen so was jetzt als letztes noch kommt ist der Paragraph 5 aus dem Abschnitt II ich komme noch wichtige oder sollte nicht noch bitte aus nach unter Drogen so und in dem Arzt Abschnitt geht es um den Körper der komplexen Zahlen was sein Körper ist haben Sie in den letzten Vorlesung gesehen im Prinzip das was sie vom rechnen mit er gewohnt sind eine Menge mit 2 Verknüpfungen plus einmal die Nägel +plus Islamische Gruppe die Nägel mit mal ohne 0 Islamische Gruppe sie können durch alles außer 0 3 und sie können rechnen dieses gewohnt sind dass im Körper also er und Co sind klassische Körper und ich möchte Ihnen jetzt noch einen weiteren Körper einführen denn Sie vielleicht noch nicht alle kennen und dessen die ich so genannten komplexen Zahlen und was das is das ist normale Zeitraum Erweiterungen also wenn man sich so bisschen dran gehört wie man sozusagen diese verschiedenen Zahlenmengen kennen gelernt hat dann ist das 1. was man kennenlernt als Kind wenn man sich mit dem mühsamen Thema 10 Beschäftigte die natürlichen Zahlen und die natürlichen Zahlen mathematisch erlauben ihnen sowas zu lösen Sonne Gleichung wie wenn ich Bronze hat und 3 haben wir wie brauch ich noch dazu aber man stößt dann irgendwann Grenzen nämlich immer die Sache mal umdreht wenn ich 3 Wochen und habe noch 2 haben will da muss ich 1 Essen aber das können sie eh nicht mehr lösen was man dann macht weil sollten und geh zu Z über da kann man dann die Gleichung x +plus 3 gleich 2 wunderbar lösen aber natürlich wenn man sein Gleichungen lösen kann ob man sich andere Gleichung an und dann hat man zum Beispiel die Gleichung x mal 3 gleich 2 und dann sitzt man derzeit wieder der Tinte wer die Lösung es offensichtlich 2 Drittel aber das nutzt seinen Z gar nichts weil das gibt's nicht also was tut man man jetzt den rationalen Zahlen über und löst ganz fröhlich die Gleichung x mal 3 gleich 2 und jetzt immer auf dem Stand der Pythagoreer dann kommt der Moment wo die Pythagoräer ihre Welt spielt einstürzen sehen und feststellen die Gleichung können Sie mich in Q lösen oder deutlich einst mir ganz egal ich wollte bei 2 und 3 bleiben wir mit der gleichen kriegen Risiko Probleme und den die Lösung dieser Probleme kennen sie alle noch nun geht zu den reellen Zahlen über meinen Wurzeln dazu und kriegt noch Jumpy und was noch alles da man das tut dann kriegt man wieder die gleich kann man nix bereit gleich 3 wunderbar löst so und jetzt kommt dem Prinzip der der nächste Schritt ich schreibe eine Gleichung sehen er Probleme kriegen x Quadrat gleich -minus 3 1 er hat keine vernünftige Lösung und was soll der Quatsch wir jede Zahl ist das Quadrat als positiv und das funktioniert nicht so hat man so hat man lange argumentierten also bis ins 15. 16. Jahrhundert reine 3 bisschen vorher 14. und dann irgendwann festgestellt das wenn man so tut als hätte diese Gleichungen nur Lösung und damit rechnet dann kommen total vernünftige Sachen raus und im Endeffekt sogar wieder Erlösung zugleich um die man vorher nicht lösen konnte und diese komischen Zahlen die es eigentlich nicht gibt die tauchen in der Berechnung auf dem Fluss wieder weg aber erstaunlicherweise ist das was man daraus kriegt vernünftig dann fragt man sich wer was soll der Quatsch unter 1 beschließt dass das nicht sein kann und macht 100 Jahre macht oder ein Deckel drauf und sagt das geht so nicht und errechnet hat sich wie Rechnung Hintergrund weil es so praktisch ist aber weiß dass das nicht geht und nennt die Dinge imaginäre Zahlen die nicht und allgemein akzeptiert man dass es die gibt und definiert sich vernünftig den Körperzellen in dem diese Gleichung lösbar ist und sie ist der Körper der komplexen Zahlen und wenn sich jetzt diese ganze Reihe angucken dann sehen Sie die Rate der Zeitraum wird immer größer nun klar man will immer mehr Gleichungen lösen wir Gleichung lösen will dann braucht man auch mehr mögliche Lösungen wenn vorher das denn keine Lösung hat muss man Teile zu nehmen damit Lösung da also und das war wird aber den Zahlen dazu und stellen fest wenn wir die richtigen Zahlen vornehmen können wir die gleichen vertraglich -minus 3 lösen und aus historischen Gründen heißen die Dinger dann immer noch komplex und imaginäre Zahlen was eigentlich gemeint ist weil diese nicht über den der sind die tauchen an vielen vielen Stellen auf aber im der Name hat sicher durchgesetzt so wie ich werden ab als also Frage Sauce Gleichungen gibt die meinen sie nicht lösen kann die ja die gleichen 0 gleich 1 zum Beispiel nein aber ich wie ich stelle die Frage deren bis ans Ende des Abschnitts zurück weitere Antwort ich Ihnen die Frage was denn sie lösen können und auch warum man in gewissen Sinne mit C an einem Ende dieser Zahl Raumerweiterung angekommen ist also im gewissen Sinne kann man schon sagen jetzt ist man an der Stelle mal fertig er aber das ist ganz zum Ende des Abschnitts zur C die Körbe komplexen Zahlen kann man auf Hunderte verschiedene Weisen einführen und da wir uns uns der ganzen Sache ja vom abstrakten Standpunkt aus ausgewertet haben und Gruppen und dringend Carter angeschaut haben wenn ich Ihnen das auch so einführen ich geht in ne Menge mit 2 Verknüpfung an wir zeigen dass das dem Körper ist und das heißt jetzt die nächste Viertelstunde wird keiner sehen dass das was ich hier mache mit x Quadrat gleich -minus 3 oder extra 3 ich das 1 zu tun hat aber ich verspreche gekommen darauf zurückkehren ja also keine Panik kriegen und nicht irgendwie denken was macht der hier sondern ich für ihn das Ding abstrakt ein und dann zeige ich Ihnen dass das was ich ihm mitgebracht haben das Problem hier ist SAD also Definition 5 einsetzen die komplexen Zahlen und was wir machen ist wie gesagt wir
müssen uns den Saalraum erweitern und müssen in der ganze Menge erweitern wir müssen sehr viele zu packen und was ich Ihnen zeigen will ist dass wenn sie den er 2 nehmen also die Ebene .punkt hat 2 ganz aus der Schule kennen können sich vorstellen dass alle Vektor der Ebene dass man diese Punkte der Ebene mit Namen bloß einmal versehen kann so dass das dem Körper wird nun also ich gebe Ihnen auf dem auf den Routen der Ebene im bloßen einmal Verknüpfung an und wir zeigen dass das dem Körper also neben den er 2 also die Menge aller Abgeordneten Paare von 2 reellen Zahlen wer kreuzt er und definieren da drauf 2 neue Verknüpfungen los und waren damit es am Anfang nicht durcheinander kommen mit dem Plus und dem 1 er und dem Plus und den man auf diesem R 2 mach ich mal folgende Bezeichnungen +plus mit drum und mal mitkriegen drum also das sind die 9 die neuen Verknüpfung und die was wir machen machen wir knüpfen Elemente von A 2 also wenn dem uns 1 x 1 y 1 und ein paar x 2 y 2 aus und jetzt muss ich Ihnen sagen was ist x 1 y 1 +plus x 2 y 2 und was ist x 1 zu 10 und 1 mal x 2. Rang 2 sahen übersichtlich ist das Plus zu als diesen dieses Paar x 1 y 1 und er dir mit dem Paar x 2 y 2 so und wie machen Sie das dass man sie so wie sie Vektoren addiert einfach komponentenweise also die 1. Komponente vom Ergebnis war das Ergebnis musste wieder 2 liegen die 1. Komponente ist einfach die Summe der 1. Komponenten und die 2. Komponente ist die Summe der 2. ,komma lehrt dass das bloß das ist nicht so kompliziert und das man ist erst mal gewöhnungsbedürftig also multiplizieren Sie das Paar x 1 y 1 mit dem Paar x 2 y 2 dass man sie folgendermaßen 1. Komponente ist X 1 mal x 2 sein -minus y 1 mal y 2 ja also es Produkte 1. Komponenten wie dass das Produkt der 2. und die 2. Komponente Sitz Kreuz multipliziert 1. Komponente vom 1. paarmal 2. Komponente vom 2. +plus 2. Komponente vom 1. Mal 1. Komponente vom 2. schon jetzt mit er kann ich mir gut ein Gestöhne vorstellen wie soll ich mir das jemals mehr ein brauchen sich nicht mehr kann ich Sie gleich beruhigen ergibt sich nachher ganz elegant von selbst aber das müssen jetzt mal es einfach die Multiplikation so wird hab ich ihn ne Menge nämlich den nämlich den der 2 alle Punkte der Ebene versehen mit einem Plus oder dem Markt kann natürlich jeder kommen und sagen wir wir haben 2 bei Verknüpfungen die Frage ist was ist das für ne algebraische Struktur und ich behaupte ich dass es mir sehr schöne algebraische Struktur das ist der
Satz 5 2 wenn Sie dieses diese Menge A 2 mit dem neuen +plus und dem normalen im dann behaupte ich dass dessen Körper ist also sozusagen das Schönste was ihn die 2 Verknüpfungen passieren kann so und ich werde ihn wenn man das jetzt alles durch x alle Körper Axiome durch externe brauchen wir ziemlich lang ja warum hier warum dann -minus steht weiß nur so funktioniert und hier steht bloß ja das ist so wären sie können mir glauben dass es die richtige Verknüpfung die Sie im Moment total abstrus aus aber nur so geht ja also wenn sie ein 2. Kabel machen wollen dann so sie werden nachher sehen wo es herkommt und dann ist es wie gesagt Sie müssen sich diese Farbe nicht mehr vielleicht leichte kurze Anekdote dazu nach dem die komplexen Zahlen irgendwann mal akzeptiert waren und man dieses diese Konstruktion die ich Ihnen jetzt Zeit kannte kann natürlich die naheliegende Idee auch wenn das mit der 2. denn wenn man jetzt er 3 aus dem Körper machen also Besuch der bloßen einmal auf der 3 so dass da also immer im Raum so dass sein Körper was dich ein irischer Mathematiker namens Hamilton 30 bis 40 Jahre seines Lebens damit kaputtgemacht und es irgendwann hat dann zum Glück oder leider je nach dem was ich dir reagiert hätte nicht mitgekriegt dass 10 Jahre nach seinem Tod über bewiesen hat geht nicht so gemeint was er geschafft hat ist er hat beim es ihr denn er der hingekriegt also fast den 11 Jahre mit dem bloßen normal versehen sodass nicht kommutativ Karbach aus kommt also +plus ist noch kommutativ aber mein ich und so kann man auch weitermachen aber das ist das ist selten viel zu weit aber sehr 2 geht noch alles gut da war also der der der 3 hat den armen Menschen sehr beschäftigt gut aber glauben Sie mir das ist die richtige Verknüpfung und Sie werden gleich nachher sehen Sie sich diese blöde Formel merken können was ich Ihnen jetzt zeigen muss ist dass das dem Körper ist und ich hoffe sie verzeiht mir dass ich an 2 Stellen kneifen weil sonst wird die Vorlesung sehr lang nicht zeigen so ausgibt ausgesuchte Dinge was müssen wir zeigen wir müssen 1. oder das lohnt sich immer kurz drüber nachzudenken ob es ein Problem ob die beide Verknüpfung vernünftige Verknüpfung sind das in dem Fall jetzt nicht so schlimm als die Frage ob plus einmal wohl definiert sind zu gehört er ist die Tiefe ist die Definition eindeutig da das jetzt mir ist schon klar für jedes für jedes Pärchen wird einem klar gesagt man rechnen muss kommt immer wieder der 2. man draus Sie haben Sie 2 Leben das er 2 verknüpfen konnte meine 2 Element raus also das ist hier ok so was müssen wir dann machen damit dem Körper wird wir müssen uns nehmen und zeigen dass das Plus für arabische Gruppe geht das wenn sie die Menge nehmen und den neuen wegnehmen was die 0 ist wissen wir wir die arische Gruppe gezeigt haben wissen was das Wort Randelemente Addition ist wenn sie dezentral mit Addition wegnehmen da muss man mal auch aber sie grobe rauskommen und wie sie müsse Distributivgesetz nachweist als 1. Schritt ist sicher und sich mal die additiven Verknüpfung an dass er 2 mit dem +plus und weisen nach dass islamische Gruppen an ein kabelloses immer damit anzufangen weil es dann wissen Sie was das neutrale Element der Addition ist und erst dann können Sie sich um die Multiplikation kümmern Weise frei nicht wissen welche 0 sie rausnehmen ist zwar im also +plus es arabische
Gruppe was heißt das sie müssen zeigen also sehr tief es gibt neutrales gibt inverse so geworden noch kommutativ kurz was mach ich hier zeigen mal die Assoziativität knallt es schon ich zeige mal die Kommode Aktivitäten im Wesentlichen können Sie diese ganzen Dinge zurückspielen auf die entsprechenden Eigenschaften von aber diese Arditi Addition dies komponentenweise definiert sehen Sie jetzt gleich und bekomm gute tivität machen und dann benutzen wenn jeder Komponente dass er kommutativ ist im Fluss und dann kriegen wir das hin also was passiert wenn sie 2 Elemente nehmen und die miteinander addieren x 1 y 1 +plus x 2 y 2 dann ist das nach Definition x 1 +plus x 2 y 1 +plus y 2 so das bloß vorsätzlich ist das Plus im 1. +plus erkennen wir guten insbesondere ist er kommutativ also mit plus ist kommutativ das heißt hier drin dürfen warum drehen das x 2 +plus x 1 y 2 +plus y 1 Na ja gut und das ist wieder nach der Definition der Addition Inc x 2 y 2 Kräne plus x 1 y 1 ist das da steht ist jetzt die kommutativen und Assoziativität geht genauso sie nehmen sich die 3 Elemente mit den Klammern zu mir das alles das die bloß alle ihnen stehen können sie in die Klammern verschieden und dann ist alles auseinander so dann brauchen man neutrales Element also die Assoziativität was überlasse ich ihn dann kommt neutrales Element das sogar dran Element ist das ist der Ursprung also das Element 0 0 1 was müssen dann nachweisen wir müssen zeigen dass für alle x y aus unserem R 2 geht wenn das mit dem 0 0 addieren kommt wieder XY raus das sehen Sie im Zweifelsfall schon also in den XY +plus dieses 0 0 was ist das nach Definition der Addition komponentenweise addieren x +plus 0 y +plus 0 und das ist weg selbst an das ist 0 0 dass 3 Elemente Prinzip müssen Sie noch zeigen dass auch längst neutral ist aber da hatten wir schon gezeigt haben dass das Plus kommutativ ist es damit erledigt sondern Baumann Inverses Element also wir geben uns wenden XY außen 2
vor und was ist jetzt das Element aus R 2 das sie darauf addieren müssen damit das neutrale Element rauskommt also was ist das Element 102 das sie auf XY agieren müssen damit 0 0 rauskommt das ist das Element -minus x -minus y das geht weil wo hat er 1. Körper also ist mit X auch immer -minus x drin lange ziehen findet man wenn sie Xtra XY nehmen und da drauf dass -minus x -minus y mit dem neuen +plus addieren addieren sie komponentenweise kriegen Sie X -minus XY das y und das ist 0 0 0 auch hier müssten Sie eigentlich noch zeigen das Element des auch Links in es aber das erledigt sich wieder durch die kommod Aktivität so also haben wir damit erreichen 2 mit diesen neuen +plus islamische Gruppen 2 3 Element ist das immer 0 0 und das additive inverse zu XY ist -minus x -minus Apps also können wir uns denn mal Verknüpfungen zu wenden wir nehmen den er 2 ohne das neutrale Element der Addition das ist also ohne das Pärchen 0 0 1 mit der mal Verknüpfung und wir müssen zeigen auch das ist der arabische Gruppe in wenn sich an Definition von Körper erinnern dann Bahncard für die diese Bildung neben der Arbeitsgruppe ist das heißt im wesentlichen sie können durch alle Elemente außer 0 teilen so Assoziativität und kommod und Aktivitäten möchte ich mir wieder ersparen werde jetzt wie oben schreibe es natürlich frechen aber doch ich es mir oben auch schon gesperrt die Assoziativität das ist schlicht das Nachrechnen also in dem sich wieder 2 2. also die also sie wieder 3 für die kommende tivität 2 Elemente hier treiben was sie brauchen multiplizieren alles so lange aus bis nur noch mal im Plus und Minus in er dastehen dann können Sie in den einzelnen Komponenten die Assoziativität und Kommode die wieder den er verwenden und dann rechnen es zurück tja interessant ist was ist das neutrale Element wir brauchen arabische Gruppen mal das vertragen wenn ist das was die ein System also was ist die 1 zu 1 in diesem komischen Körper die
einst behaupte ich ist das Element 1 0 so was müssen wir das so nachweisen damit meine Behauptung auch sicheren Boden unter den Füßen hatte müssen uns wirken Element von unserer Gruppe hernehmen also ein Element aus R 2 das nicht gerade 0 0 ist und müssen dieses XY mit meinem behauptet neutralen Band multipliziert und dann muss wieder XY rauskommen also machen wir das also was ist XY multipliziert mit der neuen Verknüpfung mit dem Element 1 zu 0 sollte war mir diese komischen Multiplikation von freien gesagt Sie brauchen sich nicht merken ich X ist ihnen vor was war das multiplizieren Sie die 1. Komponenten miteinander dann kommt das und wie sie -minus ziehen Sie die 2. Produkte 2. Komponenten davon ab in der in der 2. Komponente das über Kreuz multiplizieren x nahe 0 +plus y mal 1 so und wenn sich jetzt der Schall und Rauch verzogen hat was steht da und der 2. Kammer den derbsten an also sieht gut aus mit den 1 0 werden werden die Krebs mit 1 multipliziert getextet an ich geht so an der Stelle erklärt sich das Minus noch nicht nur an der Stelle hätten sie auch mit der bloß mit der Band The Phone +plus treiben würden das gleiche Ergebnis aber nachher gezielt mit dem +plus 1 sah und 2 jetzt beim inversen und das Inverse ist noch
absurder als das Multiplizieren aber auch die Farbe brauchen Sie sich nicht merken also was ist das inverse laut sie nehmen sich in XY er aus R 2 das nicht gerade 0 0 ist nur durch die 0 können Sie mitteilen und jetzt brauchen die Formel das Inverse dem DGB es einfach an werden nach dass sie tut es ja das ist folgendes während x durch x Quadrat +plus y Quadrat -minus y durch x Quadrat plus 17 und k durch raten darauf zu kommen ist nicht so ganz banal man kann es natürlich ansetzen und dann haben wir die gleichen Systeme lösen und sie sehen dass wir das Problem dass wir das Hauptproblem bei dem man wird die richtige Formel zu finden von der man dann später im Bus der wird sie nie hätten die finden kann es ist auch wirklich gemein gute ehren das ist der das inverse berechnen gleich nach dass das Boot das gute Nachrichten es einfacher als die die haben sie werden in ende dieser Vorlesung oder Anfang der nächsten sehen wo die der kommt und dann sorgt dann braucht man sich das auch nicht mehr merken er einen Kommentar bevor ich Ihnen nachweisen dass das tatsächlich das inverse ist man sollte sich erst überlegen dass das was da steht auch Sinn macht so dass viele die gesunde Skepsis ist Malen Badegast das der gebrochen und wenn dann Bruch steht dann ist die Art der 1. Reflex das macht auch keinen Sinn wenn Nenner 0 ist also meines der 0 glücklicherweise nur 0 wenn sowohl x als auch y 0 ist der XY sind reelle zahlen also 6 besitzen und Quadrat größer gleich 0 und nur dann wohl wenn X gleich y gleich 0 ist aber ich selbst habe ich nur dass hat verboten drohe das heißt einer von den beiden ist nicht nur das heißt es sein denn der wird nie 0 damit ist dieses inverse für jedes XY dass nicht nur das vernünftig definiert also beachte dieser Ausdruck macht für alle Wahlen von XY ungleich 0 0 7 denn so und jetzt müssen wir noch zeigen dass das wirklich das Ende ist was wir dazu tun müssen das XY nehmen und mit diesem Monstrum dar multiplizieren also X durch x Karat +plus y Quadrat und Ibsen -minus y durch die Summe der Quadrate und dann Wasser rauskommen damit dass das inverse ist muss das neutrale Element der Multiplikation rauskommen also die einst das war das Element 1 nun in ,komma man aber diese Kathastrophe da irgendwann am Fluss 1 0 rauskommen also was müssen wir tun um dieses Produkt auszurechnen 1. Komponente war 1. Komponente mal 1. Komponente x Quadrat +plus y Quadrat dann das ominöse -minus 2. Komponente mal 2. Komponente nur und die 2. Komponente war dass überkommt sie so würde über Kreuzprodukte also x -minus y durch x Quadrat +plus y Quadrat +plus y mal die 1. Komponente X durch x Quadrat +plus y k so etwas mal wieder da scharf drauf gucken und das ganze Wissen zusammenfassen das die 1. Komponente gewährleistet extra 3 y klar in den Kammern des von bei denen es in beiden Summanden oder in der Differenz der beiden gleich den können wir noch und schreiben was steht oben oben steht x Quadrat -minus y mal selbst Land das ist +plus y jetzt sehen Sie wenn Sie gar nicht -minus sondern bloß schreiben dann gehen sie an der Stelle vor die Hunde ja da muss einzieht rauskommt und wenn sie wenn ich -minus 1 +plus schreiben steht der X verraten -minus y Quadrat und dann passt das dann nicht Sommer hinten in der 2. Kammer nämlich die Quadrat +plus y Quadrat Männer und oben steht -minus XY +plus XY ja das ist hübsch dass es 0 Uhr passt also aber tatsächlich multiplikativ inverse gefunden und das einzige was noch fehlt bis das Distributivgesetz zwar ach das ich faul sein ich will den Frauen es geht dem Skript drin das ist mühsam und bringt nicht viel Häfen ich denke ich habe ihn die wichtigen Teile gezeigt wenn die anderen sind wirklich die arbeite ich recht mich immer zweimal n wichtig ist es geht tatsächlich alles auf und wenn sie die Ebene in nem also den er 2 man mit diesen beiden Verknüpfungen haben Sie tatsächlich Körper Sound dieser Kaperkrieg jetzt den schon angeklungen Namen also Definition
5 3 die sind aber er 2 mit diesen Komponenten bloß und den etwas schrägen mal den bezeichnet man die CD und der heißt der Körper der komplexen Zahlen so ich habe gesagt den brauchen wir Gleichung zu lösende beseitigt lösen können da uns noch nichts gesehen aber ,komma gleichen sogar dahin kommen will ich Ihnen ich kurz noch mal zurück kommen darauf dass sich das Ganze angefangen hatte mit dem Begriff der Zahl Raum Erweiterung als werden angefangen mit allen und dann zählt und dass man jede Zahl wird immer größer und größer und jetzt wollen wir also von er macht sie aber ich damit dass jede Zahl Raumerweiterung ist sollte irgendwie im guten Sinne dass er eine Teilmenge von C sein und das ist auch nicht so klar in welchem Sinne dieses dieser 2 jetzt das Erde erweitert und das ist der Inhalt Umsatz 5 4
Ideen zeigen dass der Körper der reellen Zahlen richtig aufgefasste Teilmenge von C ist und sogar Teilkörper wird das macht Sinn also dass sie den Körper der DEL Zahlen in den komplexen Zahlen wiederfinden und das Land in dem meinen den Körper vom Orphismus angeben also wenn in Abbildung die von A nach C geht so wo finden Sie jetzt werden sie wieder an vielen Stellen aber die einfachste Möglichkeit ist die folgende sie bilden hier Zahl ab auf das Pärchen x 0 sozusagen zum dem die Rede die reellen Zahlen sind die x-Achse von ihrem R 2 und meine Behauptung ist dass es den Körper Homeoffice muss man kann man sie so ein um vom Orphismus haben dann bedeutet das insbesondere sein Bild ist wieder im Körper das heißt diese Menge der Elemente x 0 mit X aus er aber diese eine Linie in der lebende Essen Teilkörper von C denn sie mit er identifizieren kann so was müssen wir zeigen war also dieser den Sieg C in die komplexen Zahlen die Ebene wobei sie auf diese Weise machen ist sie ordnen jedem x aus er entsprechen .punkt hier auf der Yen auf der x-Achse zu das heißt sie sehen diese Achse als er und dadurch dass das vom Körper Monarchismus muss ist gewährleistet dass das Plus und das mal zusammenpasst das also Körper Mohismus heißt was das heißt ob sie erst verknüpfen und dann bilden oder erst ab bildet dann wirklich flüssiger an das heißt wenn Sie 2 Elemente von Ehren im und die 1. er addieren und dann als Teilmenge von da an als Elemente von C auffassen bringt sie das selbe raus sie wenn sie erst jedes einzelne Element als Element von C auffassen und damit sie vertreten und in dem Sinne ist er wirklich und Teilkörper von CD so was müssen wir tun wir müssen denn genau das zeigen dass funktions Anwendung von 11 und Verknüpfung in beliebiger Reihenfolge ausführbar sind und zwar für beide Verknüpfungen also für alle x y R da müssen wir uns anschauen was ist f von X +plus Y und müssen zeigen dass es F von X kriege bloß er von an also das ist er von X plus Y nach Definition das ist das Pärchen X plus Y 0 so was ist das nach der Addition C das ist x 0 +plus y 0 1 Additionen C war einfach Aidid komponentenweise Addition und das ist er von nix +plus 11 von Apps an damit ist es schon mal grob Monarchismus bezüglich dem +plus jetzt das gleiche mal also f von x mal y es war es das nach Definition X das Pärchen XY 0 jetzt schreibe ich mal das Ganze furchtbar kompliziert XY ist das selbe wie XY -minus 0 mal 0 da wird man immer widersprechen und die 0 hinten die können wir kompliziert schreiben als x-mal 0 +plus 0 weil y fertig ich falsch warum mache ich das weil das was da steht ist jetzt die komplexe Multiplikation von x 0 bringen mal y 0 schauen Sie sich rückwärts an Multiplikation war 1. Komponente mein 1. Komponente geht XY -minus 2. Komponente mal 2. Komponente und der 2. Komponente haben sie die Summe der beiden war Kreuzprodukte x-mal 0 +plus 0 bald sein und was da steht es F von X Kringe +plus 11 von Apps an Saar was brauchen wir noch für Körper Homeoffice muss wenn man nicht alles er respektiert das bloße respektiert das mal im Körper Orphismus muss wissen Ringe vom Orphismus die einst festhält und das fehlt noch sie müssen noch schauen dass er von 1 in der die 1 in CSU also was ist er von 1 das ist 1 0 und das ist tatsächlich das einzelne man den See als es auch die Bedingung erfüllt von der wirklichen Körper homomorph muss und in diesem Sinne ist 10 Zahl Erweiterung von Ehre und Sie sehen die ganz schön große dass er ist nur noch eine Linie in der großen weiten Ebene 10 sie müssen sehr sehr viele zahlende zugenommen so eine Bemerkung
dazu noch ja gesagt zu werden dieses erfahren willst gezeichneten Körper vom Orphismus Werten im kapiert dass sie am letzten Freitag im Kapitel über da aber gesehen dass jeder Körper vom Orphismus automatisch in aktiv ist und das war ein Satz am letzten Freitag das heißt es geht tatsächlich keine Information verloren also die Abbildungen 11 wenn Sie die wenn sie den Bild einschränken auf diese eine Linie also auf die XY in R 2 mit y gleich 0 1 das ist die eine Achse und dann ist das eine Direktive Abbildungen und das ist das was ich gerade sagte mit den Sie jetzt ab wenn Sie jetzt identifizieren das Element x 0 das ist und Element aus Mehr zweier seinen Windows CE wenn Sie das mit x identifizieren dann ist er Eisenteil Körper von 10 bis 11 und der haben wirklich dabei an also ne Zeit Erweiterung so also wir haben der 2. mit dem plosone man ausgestattet und dieses Plus und das mal machen den zum Körper also kann man immer 2 zum rechnen und das ist der Moment wo man so besiegen den Spieltrieb kriegen sollte dann passt
man sich vielleicht noch einigermaßen vorstellen kann dass sie das Plus funktioniert bloßes komponentenweise +plus ist das Plus das Sie kennen wenn sie Mehr 2 2 Vektoren addieren können aber was um Himmels willen ist dieses komische mal denn im Lauf der Zeit werden wir von diesem Mai der anschauen kriegen allerdings wird uns das bisher im Anfang der 2 beschäftigen dass nicht die ganze Zeit aber ist das eine richtige anschauen diese mal haben sie um 1 1 1 2 wenn es da einfach ein paar andere Hilfsmittel fehlen aber ein bisschen diesen warum spielen was schon mal an zur und was wahrscheinlich so spannend ist ist was weiß ich mal 3 0 mit 5 0 zu multiplizieren weil 3 0 entspricht der 3 und 5 0 entspricht der 5. also es 3 0 9 5 0 U wahrscheinlich 5 0 Mehr aber die hintere Komponente dieser viel spannender also schauen uns dort immer ich immer an was ist 0 1 multipliziert mit 0 1 da ein Gefühl dafür kriegt also wenn man weiß ist dass man sie aus Bild oben
gehen werden also wenn sie denn sie 3 0 mit also den Punkt hier mit 2 0 multiplizieren das sind 7 er und dann kommt da 6 nur raus aber mit 0 1 das ist der hier was passiert wenn wir den mit sich selbst multipliziert schon mal einfach nach Definition was es Definition
der Multiplikation 1. Komponente mal 1. Komponente -minus 2. Komponente mal 2. und in der 2. Komponente dass die Summe der über Kreuzprodukte 0 mal 1 +plus 1 2 0 also was steht dann da 0 -minus 1 ist minus 1 und entsteht 0 3 A steht 1 Nummer 1 plus 1 mal 0 ist 0 nur durch 0 Sarah das ist aber wieder Element aus unserem alltäglichen Erfahrungshorizont nur wenig über 0 steht dann ist das nichts Neues komisch mehr sondern dann ist es das was sie kennen -minus 1 0 ist nämlich einfach die -minus ein -minus 1 aus er und jetzt über einen .punkt wo wer mag ich zurückkommen zum Ausgangspunkt was hab ich denn jetzt hier gefunden was steht da ich habe Element 0 1 und ich das mit sich selbst multiplizieren kommt -minus 1 raus dieses 0 1 also die Lösung der Gleichung x Quadrat gleich -minus 1 also erscheinen würden wir auf dem richtigen Wege zu sein könne wenn ich so oder ein anderes Beispiel wäre das ist dieses Symbol mit dem gleich mit dem harten drauf das soll ein entspricht sein und eben genau bewusst kein mathematisches Symbol ich schreib extra nicht gleichfalls ist werden es ist -minus 1 0 ist will man von A 2 und -minus 1 in den von R von deswegen können nicht gleich sein aber weil es solche Dinge sind aber im Sinne dieses gab Orphismus dieses können Sie diese teilen diese Teilmenge der der von der 2 die 2. Komponente 0 sehen als der 1. reellen Zahl und dem Sinne ist dieser Wert -minus 1 0 entspricht dem Element -minus 1 den er als dies entspricht bedeutet gleich im Sinne des leicht im Sinne des obigen gerungen muss also dieses Element 0 1 das scheidende interessant zu sein also schauen wir uns mal an was passieren wenn dieses Element 0 1 Multiplizieren mit der reellen Zahlen dass das 2. Beispiel was ich rechnen will also wenn nehmen und würden y
aus wir schauen uns die reale Zahl y an in kommt in Schreibweise in komplexer Schreibweise y ,komma 0 10 komma 0 ist y multiplizieren mal mit diesen seltsamen Elemente 0 1 also wiederum Moment findet Mai was ist das 1. Komponente mein 1. Komponente Y mal 0 das ominöse -minus 2. ,komma der damals 2. Komponente und dann lieber Kreuzprodukte y mal 1 +plus 0 9 Uhr was ist das das Erste ist für ziemlich viel 0 und das 2. y also multipliziert mit diesen seltsamen 0 1 sorgt dafür dass das selbst verleiht gerutscht wird sie war und das will ich jetzt ausnutzen und der andere Schreibweise für die komplexen Zahlen einzuführen mit der man deutlich angenehmer rechnen kann und die dafür sorgt dass wir uns diese blöde Formel für das mal nicht mehr merken muss oder gesehen dieses Element 0 1 das hat irgendwie eine besondere Bewandtnis und den man der neuen Namen das ist was ich meine beiden mittig aufmacht nun ein wenn man eine Objekt hat das interessant aussieht das man bisher nicht kannte und das 1. Mal sich in dem der Darstellung mit bekannten Dingen widersetzt man kann sich mit dem was man kennt ausdrücken damit habe die der und gibt dem alten neuen Namen also Pisa auch sowas hier und suchte bezahlt die das Verhältnis von Umkreis Fragen zur Durchmesser beschreibt und stellt fest die die in die nicht oder zumindest nicht in dem Zeitraum Gemahl von so kennt die lässt sich nicht durch rationale Zahlen ausdrücken lässt nicht in Worten ausdrücken und dann versucht man derzeit aber steht fest es geht einfach nicht und dann sagt man okay dann viel Zeit neue Namen heißt jetzt und das machen das ja auch das Element 1 0 widersetzt sich der 0 1 widersetzt sich dem darstellen durch reellen Zahlen und das Klicken neue Namen und das heißt zumindest so wahnsinnig Elektrotechniker sind üblicherweise die also eigentlich weltweit überall heißt es lieber bei der Elektrotechnik erlaubt aber es ist halt so bei uns heißt das Lied aber falls Sie mal in einem Nebenfach eine IT-Technik vor so sitzen bei den heißt es dort und das ist dieses Element 0 1 und das ist die sogenannte imaginäre Einheit und ich nehm an wenn Sie irgendwas schon von komplexen Zahlen gehört haben dann dieses i ihr die imaginäre Einheit das ist das was eine übers die imaginären Zahlen ausmacht so und jetzt über schreiben wenn man mit diesem E das was wir ob man dem Beispiel ausgerechnet haben was wird ausgerechnet haben waren wir ihn mit I multiplizieren dann ist das -minus 1 0 also das was der 1 entspricht und die 2. Frage die wir ausgerechnet haben waren wenn Sie y mit I multiplizieren also ganz sauber geschrieben y 0 Mali dann hatten ausgerenkt steht noch da als immer 0 Mali war das Element 0 y s solle die beiden mal zusammensetzen dann passiert folgendes dieses Y Herr XY ist ist Element in C 1 das können sie sich auseinander nehmen als x 0 +plus 0 Zähler nix passiert mir das einfach das bloß Inc x 0 +plus 0 y des x 17 8. der 6. 0 0 +plus Sitzlandes 6 sitzt an Sarah hier vorne welchen wir sozusagen in der das Element x 0 entspricht wenn X das ist x mal 1 oder dass sie sie ganz anders sehen werden gesehen 1 0 ist das neutrale man bezüglich Multiplikationen C also können sie x 0 auch als 6 0 mal 1 0 schreiben hat Sommers mal weiter hinten ja gesehen 0 y können Sie schreiben als y 0 Mali zur warum schreibe ich das so kompliziert weil alles was jetzt dasteht bis auf das Ei sind reale Zahl x 0 1 0 y 0 ich also hab ich ihn jedes Element von diesem komischen R 2 und 7 C geschrieben als eine Kombination aus den Zahlen dem die das heißt das einzige was eigentlich wirklich dazukommt dass das I und der Rest lässt sich mit bekanntmachen reellen Zahlen ausdrücken also das ist was hier steht entspricht x-mal 1 +plus y mal hin so und die das ist ne andere Schreibweise für Regeln für die komplexen Zahlen das ist die die üblicherweise benutzt wird die wir auch aber jetzt über benutzen dieses Element XY entspricht der Zahl x +plus y bei Ihnen wobei ich jetzt hier angefangen haben wie der Lachs zu werden und bloß um mal zu schreiben ohne Kriege drum rum und Rebellion und komplexe Zahlen durcheinander zu werfen das macht sehen weil man sonst wahnsinnig wird den genauen aufschreiben aber man muss wissen was man tut also dass ich jetzt hier nach S 1 20. zu zu zu schludern aber das ist ein sehr ein schludern dass ein sehr beiträgt das und gut funktioniert und vernünftigen Kalkül gibt und ich zeigen dass wenn sie die komplexen Zahlen so schreiben X plus Y mal die dann müssen Sie sich diese ganze komische Multiplikations formal nicht merken bei wenn Sie das so schreiben dann können Sie 2 komplexe Zahlen einfach miteinander multiplizieren ohne was Neues zu lernen sondern indem sie einfach das was die Hand schon können keine benutzen nämlich das rechnen er also sich 2 komplexe Zahl hier X 1 y 1 1 x 2 y 2 und multiplizieren die x 1
y 1 entspricht der Zahl x 1 +plus y 1 Mali wenn und x 2 y 2 1 addieren die erst mal normal addieren und multiplizieren x 2 y 2 entspricht der komplexen Zahl x 2 +plus y 2 Nuzzi man also das da ist das da entspricht der Zahl x 1 y 1 und das der entspricht der Zahl x 2. 8 eignen so wie es einmal Profoss rechnen über das vor gewohnt sind dann steht hier x 1 +plus x 2 +plus ihn nahe y 1 +plus y 2 einfach wir das gewohnt ist und das is halt ein neues Symbol und was steht hier das ist das Element x 1 +plus x 2 y 1 +plus y 2 sehen und sehen was da steht es einfach die Rechenwege für die Addition also sie können mit der Schreibweise wenn Sie sozusagen rechnen dieses gewohnt sind kommt genau das richtige raus kann es 1. funktioniert beim Multiplizieren Ar also multiplizieren normal x 1
y 1 mit x 2 y 2 das entspricht war es das entspricht der Multiplikation von x 1 +plus y ein Ziel mal x 2 +plus y 2 li und wenn wir jetzt einmal frech sind und das aus multipliziert wird also natürlich ist dieses Mal der mit der eigentlichen kriegen mal mehr zu brechen komplexe Zahl aber multiplizieren aus übers gewohnt sind was wir dann da dann steht dann da x 1 x 2 +plus mal y 1 x 2 +plus i mei x 1 y 2 +plus y 1 y 2 die Quadrat kann Tauss modifiziert alle 4. Mal dann sortiere normal das geht x 1 x 2 ich sollte das mal folgendermaßen +plus i Quadrat Y als Y 2 so und jetzt kommt hier Ei und dann alles was mit einem J und da steht x 1 y 2 +plus x 2 y 1 sarnased hier vorne ist die noch nie Quadrat was sie Quadrat ist wissen wir aber was war eh Quadrat wie bei diese immer 0 1 0 1 9 0 1 haben ausgerechnet dass -minus 1 das heißt was hier steht ist x 1 x 2 -minus Y als Y 2 +plus mal x 1 y 2 +plus x 2 y 1 so war und jetzt schauen Sie mal genau hin Produkte 1. 1. Komponenten -minus Produkt der 2. Kommunen und im Plus ihm mal Summe der Kreuzprodukte das was hier steht ist genau X 1 y 1 multiplizieren Kringel mal x 2 y 2 so also das Fazit von dieser Rechnung S wenn Sie x +plus e y schreiben dann geht rechnen wie gewohnt ja sie können aus multiplizieren rechnen diese +plus mal gewohnt sind sie müssen nur beachten in dem Moment wo i Quadrat auftaucht müssen ist durch -minus 1 ersetzen kann also rechnen in dieser Darstellung mit dem komplexen Zahlen so wie Sie es kennen und dann immer irgendwo ne Quadrat steht man sie daraus -minus 1 nur bei einem langen aus multiplizieren kann es durchaus passieren dass Emilio 5 Kriege und schreiben Sie nie offen der sichtbarer Malik Warhammer gib mir das einfach von -minus 1 2 Mali gibt es nun per also sie müssen immer wenn sie ne Rechnung haben die Quadrate ich -minus 1 ersetzen und ansonsten rechnen wie es gewohnt sind und dann kommt das richtige raus das ist das Fazit von diese Bemerkung und ab jetzt werd ich auch immer in dieser Schreibweise bleiben also die komplexe Zahl XY wird geschrieben als nächstes in meinem Zimmer und das passt auch sehr schön dazu das also ist die Stadt der komplexen Zahl XY schreibe ich x
+plus 7 y das auch die Schreibweisen allen Büchern stehen und überall das passt auch gut dazu dass das Element x 0 ist die reellen Zahl x wenn Sie sich jetzt Ihr x 0 anschaue dann ist das X +plus 0 Marie also x und nicht von der imaginären Einheit dazu und das Pack gibt einen vernünftigen Kalkül guys hab ich die 1. Hälfte schon lange überzogen ,komma erstmal Bräuchen und dann weiter an so es sei normal die 2. Hälfte ein ich hab ihn jetzt in einer Vorlesung die komplexen Zahlen 1 geführt ich habe in ich habe Ihnen am gezeigt wie mit dem rechnen kann ich hatte gerade eine Frage die die kann ich vielleicht noch für alle Mal fest zeigen da gab es die Frage was ist die mal wo was war Ihr Beispiel 2 aber so oder so ist egal 1 2 also 1 +plus 2 e nun aber so mal 2 Wechselzahl wurde die Ziel also die Frage die jetzt im Raum steht es also 1. Zahl ihrer ist die Zahl 1 und dann die Zahl 1 +plus 2 die Zahl 1 +plus 2 e wie gesagt Flows Inc ist einfach addieren von Vektoren also das ist die Zahl 1 die Zahl 2 E ist ja dann ist 1 +plus 2 e dieser Punkt hier einen es hier 1 +plus 2 ist da die Frage ist was es über 1 bis 2 GB einfach ausrechnen multiplizieren Sie aus das ist ihr +plus 2 e Quadrat das ist die -minus 2 nach der setzungs Srebenica Quadrates -minus 1 2 noch in der Normalform also das ist -minus 2 +plus 1 Mali -minus 2 +plus einmal es war es -minus 1 -minus 2 +plus einmal ist die Zahl hier also das ist -minus 2 +plus sie was sie jetzt gesehen haben es wenn sie diese beiden Kreuze hier auf der senkrechten Achse und das Recht sowohl multiplizieren gab die Zahl der Links raus ja multipliziert so wurde beziehen sie aus es gibt dafür mit Graph ist also eine anschauliche Bedeutung um die kümmern wir uns später an so aber weit also die Frage die ich kam war wenn man das multipliziert dann kommt er diese komische Zahl daraus die rechtliche 2. an der Stelle kann sie nicht weiter rechnen mehr das ist halt die Zahl -minus 2 +plus 1 1 sobald sie Ali Quadrat ersetzt haben bleibt immer was man da vom zahlt Zamani übrig und bei der kann man nicht rechnen und das ist sie können dann daraus die komplexe Zahl ablesen die sehr rausgekriegt haben sahen was ich Ihnen jetzt ab bringen wir sind erstmals Stabe Definition Begriffe die es leichter machen über komplexe Zahlen zu reden also dass es einfach nur neue Wörter laut Definition 5 8 also Sie haben die komplexe Zahl z auszusehen komplexe Zahl schreibt man traditionell zählt man reelle Zahl traditionell X schreiben es ist aber keine gibt es keine mathematisch tieferen Grund das ist einfach Konvention oder traditionell also und wenn Sie so eine komplexe Zahl haben den gibt es immer da 2 X und Y aus er ja dann können Sie
dieses der schreiben als das Paar x y eindeutig das heißt es gibt eindeutig XY aus er so dass sie das Zelt schreiben können als X plus Y mal I nur so diese Zahl und XY liege eindeutig fest wenn sie die komplexe Zahl haben und wenn sie 2 Salix wird dann haben jetzt dazu eine komplexe Zahl die beschreiben diese Zahl XY beschreiben in die komplexe Zahl eindeutig und die kriegen jetzt Namen also wenn sie wenn Sie in dem ich hier oben denken wenn sie die komplexe Zahl z haben dann ist das Zahl x die Zahl X im Prinzip einfach die X Komponente von Z und die Zahlen des Landes lang Komponente Facetten ein die Zahl X hätten Sie dann hier unten und die Zahl y es diese hier mehr so und dieses X nennt man Realteil von Z geschrieben Reformzeit also das ist das X das ist der Teil der komplexen Zahl der auf der Ebene liegt der so mit einem Bezug zur realen Welt hat und der deswegen Realteil heißt er nun zumindest in der traditionellen Sichtweise gesagt die komplexen Zahlen tauchen durch auf an vielen Stellen auch in der realen Welt auch und das y nennt man den Imaginärteil von Z das ist der Teil der Einrichtung der Achse wurdest wie drauflegt liegt also die bislang Komponente von den Z sagen wenn das Y 0 ist also das Zelt auf der waagerechten Achse liegt auch auf der sogenannten wir allen Achse liegt dann nennt man das Z reell Bayern uns überlegt diese die serielle Achse diese waagerechte Achse können sie identifizieren mit aber wenn das Y 0 ist dann ist ihre Zahl von der Form x +plus 0 Mali also X und damit reelle Zahlen und wenn X gleich 0 ist also die Zahl Z auf der senkrechten Achse legt dann heißt Z 3 rein imaginären dann ist es eben eine Anzahl eine Zahl die sozusagen keine wählen Anteil hat sondern nur in der imaginären auf dem Meer gehen Herrn Axel lebt und denn es sind wir das von ihm also Vielfaches von E zur das alles normal in
Uppsala leider stark Erhöhung das alles normal in dem Bild stehen also Bemerkung 5 neuen tauschen bis in die Reihenfolge mach 1. dann gesehen dass die es entstanden dadurch dass wir den er 2 genommen haben und mit dem bloßen einmal versehen und das ist auch die beste Möglichkeit sich die komplexen Zahlen vorzustellen also man veranschaulicht sie sich in der sogenannten Gaußschen Zahlenebene nach Friedrich gar aus Mathematiker der früher offen Zehnmarkschein war für die den das noch kennen also veranschaulichen in der gaußschen Zahlenebene und das ist einfach das was wir da es hier allen schon vor einigen gemalt haben sie entspricht er 2 wenn Sie so eine komplexe Zahl z habe ist das den Punkten der Ebenen ja sehr mir nur die einzige mir wurde sie und das Zelt das sagen .punkt in der Ebene und dann nennt man das hier die Seele Achse und das dann wenn man die imaginäre Achse diese Zahl hier die serielle Zahl es der Realteil von Z diese Höhe hier ist der Imaginärteil von Z also diese Zahl jedes Imaginärteil von Z Marie also und auf die Weise können Sie jede komplexe Zahl eindeutig real Imaginärteil beschreiben und man sieht ja auch jetzt gut die Addition funktioniert also wenn Sie so wenn sich das Zelt dem man die Verbindungslinie haben sie noch ein W es liegt meinetwegen hier was ist dann z +plus ne das ist das was sie kennen wenn sie Vektoren addieren 10 an ihr dieses Vario graben wegen an das Zelt dass wir an und das wie das Z und dann Z +plus will die die diese diagonal ja also ist jetzt mit +plus gehen die Weise hat die Addition sehr anschauliche Bedeutung die entspricht einfach der Addition der Art Sektoren von diesen Punkten Z und weg so an der Stelle eine Warnung weil es oft schief geht die Zahl Imaginärteil von Z ist real wir also wenn Sie gefragt werden was es da immer weniger Teil von 3 +plus 2 die man 3 +plus 2 von der Form x für Sie mal y in den er der Teil ist das Y immer den 1. von 3 +plus 2 e ist 2 nicht 2 E er ja das wird oft falsch gemacht nicht bei so einfachen Beispiel aber wenn dann da X +plus Y I steht dann kriegt man es Imaginärteil gern und oft y wir waren immer den derzeit also 8. Sie einfach drauf wenn sie merken wir Teile ausrechnen es muss was Reelles bei rauskommen wenn Sie mal wieder ausrechnen besteht immer neuen nie drinnen dann ist was schiefgelaufen .punkt es ist und checkt die man drüber laufen lassen kann immer wieder Teile sind immer bei Real teilen fällt das niemandem schwer das ist jedem klar dass real der soll muss man sich von seinem Wort drin steckt aber auch der Mann der alles regeln so also es einfach definiert werden so anders definieren können aber es ist sehr sinnvoll so zu definieren das Mehr erteilten Zahl ist die vor dem IS steht also multiplikativer steht aber nur diese Zahl ohne dass sie soll's kommen die nächsten 2 Begriffe werden realen denn teilen jetzt
kommt der Betrag und die konjugiert komplexe Zahl also wenn man uns wieder den Z aus C das Schreiben in der Form x +plus y Mali unter 6. das y sein reelle Zahlen also X ist der Realteil von Z und Y ist Imaginärteil von Z so das können Sie jetzt 2 Dinge werden das eine ist das sogenannte Z quer dieser Querstrich hat das nix mit dem Querstrich zu tun denn sie bei Gruppen haben und das Inverse man zu markieren oder sowas ja das ist ein neu definiertes quert das ist in den komplexen Zahlen geben es gibt einfach nicht genug Symbole auf der Welt wissen Sie sehen dass man diesen wurden mehrere Bedeutungen haben also zusammen mit komplexen Zahlen bedeutet quer das was jetzt kommt und nicht in der Sinne man bezüglich einer Verknüpfung sollen Sinne Zahl x +plus y haben dann ist die Zahl Z quer einfach die Zahl X -minus y Marie also zum gegebenen Z können Sie das erklären wenn sie den gleichen den Realteil beibehalten und Imaginärteil mit dem Minuszeichen versehen das nennt man die zu Z konjugiert komplexe Zahl sie werden durchaus noch zu schätzen lernen wozu man lieber nur ist das allgemeine Definition war so und dann kommt der Betrag wenn z x +plus y is dann definiert man den Betrag von Z als Wurzel aus x Quadrat +plus y Quadrat mehr so nah das kann definieren kann man alles was ist das der Betrag zumindest hatte sehr anschauliche Bedeutung wir normal das
eingehen was ist der Betrag von Z ZS 6 +plus y also wenn Sie dieses Z 4 S 6 plus EY schreiben dann ist es hier und dann ist das hier unten X also bisher das hat in der nächsten und das ja den NY der die Jørgensen rechte Winkel was ist also Wutzler 6 Quadrat +plus y Quadrat und was extra drahtlos y Quadrates ist das kommt ist die Länge der Hypotenuse hier also diese Länge ihres Betrag Z Betrag Z ist nichts anderes als der Abstand der komplexen Zahl vom Ursprung nach Pythagoras was ist sehr schwer immer wieder dieses Z nehmen Z quer ist die Zahl mit gleichem Realteil und negativen Imaginärteil dementsprechend liegt zu diesem Z hier das quer unten man oder wenn sie das weg wäre haben wollen mit gleicher Realteil negativer Imaginärteil liegt es weg wir hier das klären macht also was das klären spielt einfach einmal an der an der Relax 1 ist zwar so ist aber das quer und den Betrag oder so Dinge damit kann man rechnen und deren was wir jetzt brauchen sind Rechenregeln dafür und das ist der nächste Satz Satz 5 11 so
wie gerade gesagt wenn sie eine Zahl komplexe zeig queren bedeutet dass sich gegen sie an der reellen Achse das kann man sich schon gut überlegen was passiert also wenn sie komplexe Zahl klären und noch mal klären dann spielen seine Relax spielen Relax und sind wieder da wo sie herkommen das ist die 1. Behauptung dieses Satzes für jede komplexe Zahl geht wenn sie Sieg werden noch mal klären komm sie wieder bei Z raus 2. ganz ganz hochgestochen formuliert ich formuliere sorgte um diese Abbildungen die das Z auf querab bildete ist ein nicht trivialer Körper Automatismus von C zu behandeln .punkt das steht im Prinzip alles drin was ich sagen will und nicht ,komma wie es ihn trotzdem noch mal aus das ist übrigens eine Besonderheit von 10 wenn Sie nämlich bei Ehre Balkonien gehen und gucken was gibt für Körper sind aber Auto Murphys muss das ist ein homomorph ist muss von einem Körper in sich selbst also der Ablehnung dieses Plus um das mal beachtet also wissen das mal beibehält und der Körper sich selbst er bildet und auf er und auf großen das ziemlich langweilig fiel nämlich 1 die Identität Identität ist immer dabei Autobusses muss oder es langweilig und auf Erden auf wo gibt es keine anderen auf CD gibt es noch eine andere wichtige so was bedeutet das jetzt das bedeutet Gott dass wir da dem ist das Bier aktiviert also das heißt diese Abbildung hier ist Bielecki es bedeutet das ist auch der langweilige Teil 1 Quelle ist 1 nur aber und das ist es nicht ist die Rechenregeln die daraus die da drin stecken es bedeutet insbesondere ob sie erst 2 komplexe Zahlen verknüpfen und dann klären das ist das Gleiche als heißt vom Orphismus vom Orphismus als 1. verknüpfen und dann ablesen dass das gleiche wie erst ab der dann verknüpfen also erst dort knüpfen und dann ab bilden ist das gleiche wie erst abbilden und dann verknüpfen das heißt sie dürfen dem Querstrich am +plus auseinanderziehen und weißen Körper Automatismus Isomorphismus ist muss das auf das mal gelten also z mal weg wir bis Z quer mal weg wäre das alles das alles wird in diesen aber Automatismus tritt so und das sind jetzt ich hoffe dass sie uns jetzt Rechenregeln mit dem man was anfangen kann so das ist das das ist Teil B hat dann kommt halt sehen Taizé geht in der Formel 1 wie er das queren und
Imaginärteil zusammenhängen ich und zwar wenn sie sich folgende Bildung anschauen zunehmende Zahlen addieren komplexen Zahlen die ihr deren eigenes konjugiert komplex ist dazu dann behaupte ich kriegen Sie immer zweimal den Realteil von Z raus insbesondere SZ +plus wäre für jede komplexe Zahl immer reel wenn man das hat dann ist natürlich die Frage was passiert wenn ich mal 10 -minus 10 quer ausrechne auch das ist was schönes 10 -minus Z Klehr ist zweimal Imaginärteil von Z Mali also die beiden Diener gelten für alle Zeit aus Ziel er will also insbesondere 10. -minus Z wer immer rein imaginären war so das waren die 2 Formen und das letzte ist schon ich hatte gesagt klären es Spiegel in der reellen Achse was passiert wenn sie eine reelle Zahl haben also ein Element der reellen Achse also das spiegeln die Punkte auf der Spiegelachse bleiben fix passiert also nix und tatsächlich stellt sich raus das gilt genauso für die Z also dem z C ist mir jene Zahl also nicht auf der reellen Achse genau daran wenn sich damit wer nichts tut wenn z gleichzeitg wie es das ist ein schöner Test doch wäre wir sehen sie komplexe Zahl haben und zeigen wollen dies einig wie Eltern müssen sie nachweisen Z-Liste quer oder umgekehrt den sind wenn Sie wissen bezahle allen können Sie jederzeit Querstrich draufmachen einen Querstrich weglassen der reellen Zahlen machte Querstrich gar nix so ,komma ne ganze Menge zu zeigen ich hab das noch mal auf der Folie mitgebracht Alster und rühre sein möge auch mal im Robert Almer anschmeißen damit sie beim Beweis noch sehen was wir zeigen wollten also was ist Schuld holen ich war das Erste was schreiben immerhin meine Augen und nicht so weit ist also dass wir zeigen müssen für alle Zeit aus C gilt wenn Sie z 2 mal klären kommt wieder Z raus also gut mit dem uns eine komplexe Zahl z hier und dann nehmen wir uns Zeit X und Y hier ja so dass sich das Z also jene Zeit X und Y sodass sich das Z schreiben lässt als exklusive zur an sondern rennen einfach aus was ist selbsterklärend also z das Exposee Y oder X hatte X X plus Y ji wir erklären was macht es quer das quer hält den Realteil beide und gibt dem Imaginärteil negatives Vorzeichen das heißt dass es X -minus y e quer also X -minus -minus y nie und das ist X plus Y E und das ist während klar zweimal +plus durch Minister selbst gibt sie dem Plus dementsprechend kommt z raus sah dann das war dann kommt jetzt B er war die schöne Formulierung Z 80 lässt nichttriviale Körper Automatismus ich hab vorher nichts dazu gesagt was man ich mit nicht trivial der triviale Körper Automatismus ist Identität denen sie immer und ich trivial so heißen sind nicht die Identität wir sondern anderer gibt so was müssen wir dazu nachweisen ich hatte den vollen Delisting geschrieben wir müssen nachweisen die 1 geht auf die A 1 das ist kein großes Problem was ist 1 quer als quer S 1 +plus 0 Maria also eine 1 ist 1 plus Somalias ist ein Square 1 -minus 0 die das ist 1 das ist die einen sind sie das passt und was
müssen wir nachweisen und wir müssen nachweisen dass es der nichttriviale Körper automa muss ist das heißt es ist nicht die Identität wie macht man das mal mit findet nennt das so dass Zeit quer nichts wert ist und guter Kandidat ist dafür dass sie was ist die quer ich dies 1 +plus sie also ist es nur +plus also is IT Wert 0 -minus sie also -minus sie und -minus es nicht liegen also ist die Abbildung die das Zelt nach quer schickt nicht Identität habe damit aber das ist nicht der Markt menzen oder wissen Sie dass es zumindest nicht der Fehler sondern müssen wir die Rechenregeln nachweisen wenn man uns also 2 komplexe Zahlen her Z X plus Y E und wie ist es ,komma Buchstaben Opus Formalie auszusehen und in diese Zahlen X Y U und V sein will das wir nehmen uns so einfach heißen wir nehmen uns 2 komplexe Zahlen Z und weg mit wobei Z Realteil X immerhin y und wer Realteil und Imaginärteil Frau hat so was aber dann das müssen wir machen wir müssen uns z +plus W quer anschauen und zeigen dass es z wirklich wegwerfen wer also was ist das z +plus W also z des X plus Y E und wir so +plus V und da drüben großes das der man nicht so richtig gut auswerten der dazu erst nach Filialen bei Teil sortieren müssen machen wir das das x +plus +plus i mal y +plus vor so ist aber die Zahl aber so dastehen uns ganz sauber macht zwar also x +plus u +plus y +plus Formalie dass es jetzt Realteil +plus Imaginärteil Mali er was ist davon das konjugiert komplexe sie lassen den Realteil stehen und geben dem Mehr ging Teil das andere Vorzeichen also -minus y +plus Formalie soll ist mir nur wie Z und wie wiederfinden finden das soll jetzt erklären das mit auskommen wo jetzt und werden also das ist X -minus y Mali +plus U -minus Formalie X das y
Mali ist aber z wer erzählt x +plus y Mali also das X -minus y AIZ quer wie war +plus Formalie also ist weg wir -minus Formalie also steht hier Z quer +plus weg hinten so ist muss man das im Prinzip das mal genau so machen also sie rechnen mal W aus setzen es +plus sie y mal +plus VI ein multiplizieren das Aussortieren rechnen quer aus rechnen zurück dann komm tatsächlich raus dass es z quer mal weg wäre ein das ja was haben wir damit damit Amber gezeigt das ist damit gezeigt damit es gezeigt diese Bildung den Z 80 wer schickt diesen KÃrper Orphismus undichte triviale das war wir für Automatismus nach bewahren objektiv wir brauchen auch das das sind wir Tiger Abbildung ist Dannenberg aber Automatismus das heißt wir brauchen ihn tief
und so jagt hilft das eine Allergie und der Satz 4 15 der sagt jeder Körper vom Orphismus ist immer in die Tiefe ja also der Teil des einfach das heißt einfach das haben uns halt schon mal allgemeine belegt also brauch nur noch so jektiv also dieser Aktivität von der Bildung ist noch gefragt anschaulich ist das klären ich spielen an der reellen Achse das das relativ ist kann man sich gut vorstellen entsprechendes auch der war es nicht schwierig was müsse wenn man für solche die immer der gleiche Ansatz man nehme sich ein Element der Wert der Menge her also ein Zelt ausziehen und muss zeigen dann gibt es da ein anderes Element aus 10 so sodass das geklärt dieses Z geht sah wenn sie Mehr was ist ein brauchbares Elemente Sieg werden müssen und z rauszukriegen erzählt klären ne CCS dann auch eine komplexe Zahl und wenn sie dieses Set quälen nehmen und wiederkehrenden Konzert raus das ist der teilen damit war dass dieses Z im Bild der Abbildung ist dieses ZAZ quer schickt das heißt die so jektteam wir haben beliebiges Z Ostsee genommen und gezeigt dass es ein Bild also ist es denn so erkennen sah es kommt noch C und D 10 über diese Formel C +plus ZWS zweimal der Realteil das rechne man einfach nach wir nehmen uns ein komplexes Z wären so dass z x +plus y mal is mit XY aus er war so runter oder denen man einfach nach was ist sehr lustig werden ZS 6 +plus y d ZWS X -minus y sehen Sie was passiert y i -minus y es neue X plus X ist 2 x und X ist genau der Realteil von zählt und das selbe passiert
bei Z -minus Z quer das X plus Y E -minus x -minus y e nur das jetzt die ja Teile wegfallen das haben Sie X minus x und y +plus y e also 2 y Ideen und das ist zweimal Imaginärteil von Z Marie zur und Schluss endlich der digitalen im Detail haben werde Äquivalenz zu zeigen was zählt ist reale genau dann wenn sehr gleichzeitg wäre also Mama 2 Implikationen von links nach rechts wenn sie nämlich komplexe Zahl haben die GdL ist dann ist selbst gleich X mal X +plus 0 Mali für ein X aus also was ist dann sehr schwer ZWS dann X minus 0 Mali ist nix is z Na also haben sie für Reilly komplexe Zahlen Z wir gleich z umgekehrt wenn z gleichzeitg wer gilt dann kriegen Sie aus dem 10 Tage den
Imaginärteil von Z nur gekommen so meine zieht es steht auch hier noch obendrauf immer wieder davon Z SZ -minus Z quer durch die wenn sich 2 wie Mehr warum dürfen sie durch Italien immer die Frage davor Berufsbildung steht und steht das ist die Frage warum darf man das oder verteilen weil 2 ist nicht 0 und sie sind aber ich glaube dass sich alles zeigen was sie nun ist 2 ist nicht 0 also ist das eine vernünftige komplexe Zahl und wenn die komplexe Zahl ist das zeitgleich quer ist dann ist das die komplexen Zahlen nur durch 2 er das ist 0 und wenn der Imaginärteil 0 das bedeutet das dass der Träger jenes am Fernseher aus der gleich z verzerrt reell damit es auch die umgekehrte Inklusion bewiesen damit ist des bewiesen damit der ganze Satz bewiesen dass die Vorlesung zu Ende wäre also vor sich
Erweiterung
Momentenproblem
Natürliche Zahl
Entscheidungsmodell
Berechnung
Reihe
Imaginäre Zahl
Gleichungssystem
Kante
Gleichung
Normale
Zahl
Lösung <Mathematik>
Komplexe Ebene
Quadrat
Zeitraum
Menge
Reelle Zahl
Rationale Zahl
Ebene
Einfach zusammenhängender Raum
Addition
Momentenproblem
Vektorrechnung
Distributivgesetz
Tiefe
Rang <Mathematik>
Vektor
Komplexe Ebene
Summe
Algebraische Struktur
Multiplikation
Menge
Reelle Zahl
Mathematiker
Axiom
Einfach zusammenhängender Raum
Addition
Inverse
Ebene
Einfach zusammenhängender Raum
Summe
Quadrat
Multiplikation
Deutsche Mathematik Olympiade
Summand
Distributivgesetz
Inverse
Formation <Mathematik>
Kartesisches Produkt
Einfach zusammenhängender Raum
Ebene
Addition
Erweiterung
Komplexe Multiplikation
Abbildung <Physik>
Fehlerkorrekturmodell
Gleichung
Kartesisches Produkt
Zahl
Teilkörper
Linie
Teilmenge
Komplexe Ebene
Summe
Multiplikation
Menge
Reelle Zahl
Einfach zusammenhängender Raum
Erweiterung
Vektorrechnung
Momentenproblem
Abbildung <Physik>
Linie
Einfach zusammenhängender Raum
Teilmenge
Summe
Multiplikation
Quadrat
Punkt
Reelle Zahl
Gleichung
Kartesisches Produkt
Mathematisches Zeichen
Einfach zusammenhängender Raum
Addition
Kalkül
Durchmesser
Momentenproblem
Fehlerkorrekturmodell
Imaginäre Zahl
Kartesisches Produkt
Zahl
Komplexe Ebene
Multiplikation
Zeitraum
Reelle Zahl
Rationale Zahl
Einfach zusammenhängender Raum
Kalkül
Punkt
Vektorrechnung
Momentenproblem
Graph
Stab
Kartesisches Produkt
Zahl
Komplexe Ebene
Summe
Multiplikation
Quadrat
Normalform
Reelle Zahl
Ebene
Einfach zusammenhängender Raum
Addition
Komplexe Ebene
Punkt
Vektorrechnung
Reelle Zahl
Höhe
Mathematiker
Zahl
Komplexe Ebene
Länge
Negative Zahl
Quadrat
Betrag <Mathematik>
Rechter Winkel
Reelle Zahl
Inverse
Zahl
Komplexe Ebene
Negative Zahl
Menge
Homogenes Polynom
Vorzeichen <Mathematik>
Reelle Zahl
Abbildung <Physik>
Isomorphismus
Zahl
Leck
Komplexe Ebene
Vorzeichen <Mathematik>
Abbildung <Physik>
Zahl
Komplexe Ebene
Menge
Äquivalenz
Abbildung <Physik>
Schnittmenge
Tiefe
Implikation
Komplexe Ebene
Träger
Inklusion <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Komplexe Zahlen
Serientitel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 10
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/33617
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

Ähnliche Filme

Loading...
Feedback