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Lineare Algebra

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ja man an der TU Darmstadt in
so dann würde ich Sie alle gerne herzlich begrüßen und einen schönen guten Morgen wünschen und dann würde ich gern das 2. Kapitel abschließen mit dem 3. einsteigen und für das den Abschluss zum 2. Kapitel in normal denn über komplexe Zahlen erzählen wir hatten letztes Mal gesehen eine komplexe Zahl ist aus 2 reellen Zahlen zusammengesetzt werden die komplexen Zahlen definiert als dem alle Punkte der Ebene versehen mit der passenden Addition und Multiplikation also wenn Sie 2 reelle Zahlen haben XY aus er war dann ist die komplexe Zahl z lässt sich dann immer schreiben als X plus Y G X ist der Realteil von Z Y ist Imaginärteil von Z und ich hatte ihn am Schluss der letzten Vorlesung definiert des konjugiert komplexe das hatten wir geschrieben z quer auch noch mal die Warnung diese Square hat nichts zu tun mit der Tiere in der Gruppe so und das ist die komplexe Konjugation und das ist ja ganz einfache Operation wenn z x +plus y e ist das ist der Quelltext -minus y e und als 2. hatte ich ihn den Betrag mitgebracht den Betrag von der komplexen Zahl rechnen Sie aus alles x Quadrat also real Teigquadrat +plus y Quadrat das Imaginärteil Quadrat und daraus die Wurzel und man sich anguckt was die Bildung ist da dass es war Pythagoras nichts als die Länge der Verbindungsstrecke vom Ursprung zu Z kann als den normalen Betrag den man aus Mehr 2 gibt unser alltäglicher Abstands Begriff soll ich hatte ihn ein letztes Mal sogar welche Wege für die komplexe Konjugation mitgebracht und die bewiesen und jetzt geht es weiter mit dem entsprechenden Satz für den Betrag also wie verhält sich der komplexe Betrag wie kann man mit dem rechnen muss es erst mal ein neues dienen müssen wir uns also überlegen wie sich der verhält und der Satz sagte wenn Sie 3 komplexe Zahlen haben Z Z 1 und Z 2 dann haben sie jetzt eben A bis F also 7 Rechenregeln die 1. ist Zusammenhang zwischen Betrag und komplexe Konjugation wenn Sie Zeit Komplex konjugieren ändert sich im Betrag nichts Z und Z quer um den gleichen Betrag sieht man im Prinzip sofort an der Formel wenn sie in den Betrag in die Formel für den Betrag steht y -minus y einsetzen dann ändert sich da nicht wirklich viel am Ergebnis und es ist auch anschaulich sieht es konjugieren hab ich mein letztes Mal gesagt heißt einfach sich Spiegel an der reellen Achse und wenn sie den .punkt an den Achsen spiegeln bei er sich dadurch den Abstand zum Ursprung nicht so dass es 1. zweitens ist noch ne in Zusammenhang von Betrag und komplexer Komplikation der sehr praktisch ist weil wenn sie beträgt wenn Sie den Betrag in der Gleichung haben und mit dem arbeiten wollen dann ist diese Wurzel und die Quadrate sind ziemlich ist es so ziemlich unangenehm und sind mühsam mit denen zu arbeiten und häufig ist es schöner den Betrag aufzulösen indem man indes in Quincy bereite dich auf XY unterbricht und das da gibt es tatsächlich schöne Darstellung des den Quadratform Betrag das Quadrat vom Betrag ist einfach das Produkt von Z mit seinem konjugiert komplex und komplexen kränken haben Sie also Möglichkeit den Betrag aufzulösen in in der Darstellung ohne Betrag ohne dass sie den Fall der Scheidung oder so was machen müssen so dann kommt wenn Sie kommen gebiert Komplex haben und den Betrag können Sie das multiplikative inverse voller komplexen Zahlen schreiben seit ich ihn ganz am Anfang und beweist dass 10 Körper ist geschrieben was das multiplikativ inverse ist diese Formel so ziemlich wüst aus und die kann wir jetzt anders formulieren der doch -minus 1 ist Betrag zählt Herr Quatsch ist z quer durch Betrag Z Quadrat und das geht natürlich nur wenn z nicht zufällig und es durch 0 können Sachen C nicht teilnehmen so dann geht's noch ein paar
Abschätzungen einfache Art Sie haben das der Realteilung der komplexen Zahl immer kleiner gleich den Betrag ist wenn Sie sich das das er Pythagoras Dreieck angucken ist es auch offensichtlich das Gleiche gilt für den Imaginärteil nur einsam wenn der teils mit den als der Betrag sieht man sofort im Bild wenn Sie eine komplexe Zahl haben dann haben wir gesagt dass der Betrag von zählt genau die Länge dieser Linie vom Ursprung zu Z der Realzeit ist die Länge von der Kathete hier und Imaginärteil ist die Länge von der Karte hätte sondern im Bild sehen Sie jetzt schon so n dass der Betrag größer ist als sowohl Theater als auch sah was aber
noch der Betrag von Z ist egal was zählt ist also was setzen reelle Zahl ist immer viel mehr für komplexe Zahl es immer reell das ist so machte auch im gesehen der Betrag soll länger ausdrücken was ist die Länge I als der betrage 7 sollte so bis im Hinterkopf haben wenn sie mit komplexen Zahlen rechnen und Beträge ausrechnen und plötzlich kommt irgendwas raus was nicht viel ist dann sollte so eine Warnlampe angehen und sagen das sollte vielleicht noch mal nachrechnen her Beträge sind eben immer sie sind nicht nur Lehrer sondern ebenso Ställe länger da sind immer größer gleich 0 und also den gibt es nur einen einzigen Fall betragen 0 sein kann und das ist wenn z 0 ist also Betrag oder komplexen Zahlen 0 ist dann ist die Zahl selber schon 0 so war dann aber als letztes wir die sie als vorletztes Regel die sie außer die sie auch im Reden gern nutzen sie geht in komplexen auch wenn Sie das Produkt von 2 Zahlen haben oder von dem Betrag bilden wollen dann können Sie das so machen dass 1. Betrag von da einen nehmen und dann den Betrag von der andern und das danach multiplizieren und wenn Rechenregel das mal darstellt juckt einen natürlich sofort in den Fingern die entsprechende verstoßen hinzuschreiben also Betrag von der Summe und Summe der Beträge das darf sie jucken aber bitte nicht so intensiv weil ich so wenn ich jetzt dann gleichen frei das ist falsch wenn Sie Lust haben geben ohne Ungleichungen nämlich die hier die Summe die der Betrag der Summe ist immer kleiner gleich der Summe der Beträge und diese Ungleichung ist sind also für im Prinzip alles wissen rechnen er oder C angeht unter dann allein oder ziehen fundamental und die heißt Dreiecksungleichung warum die zufällig gerade 3 6 und nicht 7 x Ungleichung heißt das kann ich Ihnen gleich im Magen wichtig ist dass sie sich merken können das sie den mal den Betrag mal auseinander dürfen nicht gleich einem nur mit einer gleichen so an den Beweis von dem Satz hab ich doch in manchen Zusammenhängen jetzt hier so von bisschen mündlich gesagt woran es liegt und die genauer Ausformulierung überlass ich ihn als auf dem nächsten
Übungsplan das sind alles ziemlich übersichtliche Fingerübungen muss man meistens nur Nachrichten zur Baumeisters den Dreiecksungleichung er an also was war die Dreiecksungleichung Dreiecksungleichung war Betrag C +plus W ist kleiner gleich Betrag Z +plus Betrag nun das geht immer egal was SZ und wir nehmen und das kann man sich gut veranschaulichen also über ihren Z und W dann ist die nach die Länge Betrag Z die Länge der Betrag will aber die Frage was ist C +plus W kriegen sie wirklich weg Addition so machen dieses Parallelogramm auf und dann SC +plus w hier in der Ecke so um Who's Who sieht man jetzt die die Dreiecksungleichung wenn wenn der die Strecke dessen Parallelogramm die Strecke der linkslinke W hat dann hat das ja auch nur tioniert sieht man was da unten steht ist nicht als die mathematische Umformulierung das alltäglich bekannten Satzes der Umweg ist alle Umweges länger als einen der direkte Weg mehr was dort steht ist die Länge von 10 +plus W also die die Strecke vom Ursprung zu dem Punkt sehr +plus W ist kürzer als wenn sie 1. nur .punkt zu viel laufen und dann zu Zeit werden sie erst zu Z laufen dann zu C +plus sehen nun ist jeden nachvollziehbar wenn sie direkt laufen sich schneller als wenn sie noch um mitmachen und nichts anderes sagt die Dreiecksungleichung und das Dreieck nach der an das ist natürlich das hier deswegen heißt es den Dreiecksungleichung und besagt eben nur wenn man noch auf dem Weg nach Hause im Laden vorbei geht dann hat man längeren Fußweg egal wo der Laden nicht man kann Glück aber der Weg ist dadurch genau gleich lang aber kann nicht kürzer werden so kann er jetzt kommt den Skript der Satz 5 13 da wir uns vor den beiden Körpern entschieden haben alle an alles über angeordnete Körper wegzulassen fällt ja auch weg ich will ich will zudem nur 1 sagen weil es auch ihnen eine Möglichkeit gibt viele in irgendwelchen Bearbeitung zu erkennen der Satz 5 13 sagt es gibt keine Ordnungsrelation auf aufzählen also Sie können die komplexen Zahlen nicht so ordnen dass es zu plus einmal passt sie können durch die komplexen Zahlen ordnen ordnen können Sie alles er indem sie das weiß ich nach der 1. kommt nach dem Zahlwort Ebene Kisuaheli in der Welt von der 1. von vom Realteil nach weitergeht sortieren 1. Ordnung auf sie nur hat die mit dem Fluss nichts zu tun also wenn sie dann 2 in diesem Sinne positive Zahl addiere muss diese positive rauskommen also bei dem was und dementsprechend also gibt es keine so heißt es gibt keine vernünftige Ordnung auf CD und das einzige was sie mitnehmen sollten ist wenn sie irgendwo mal was rechnen und deswegen kleiner gleich dann müssen links und rechts müssen kleiner gleich reelle Zahlen stehen wenn Sie irgendwo stehen haben z kleiner gleich wie mit Zetteln wie C sind Fehler gemacht weil z und wie komplexe Zahlen kann man nicht vergleichen oder auch zum Ausdruck wie I kleiner gleich irgendwas muss falsch sein also oder wenn er nicht geht 1 +plus i kleiner gleich eine geht's weiter ist ein Grundfehler nun also ist das ist das was einem beim Übergang von A nach C verloren geht 1. Körper Körper aber sie ist nicht mehr sortierbaren das ist noch nur Gott und ganz zum Schluss vor dem Abschnitt welchen Einsatz noch angeben den ich auch gar nicht beweisen will dass es einfach zur
Information und wenn auch später noch mal brauchen und das der sogenannte Fundamentalsatz der Algebra und wenn das schon so hochtrabend heißt können sich auch vorstellen dass der Bedeutung hat und können sich auch vorstellen auch nicht den Beweis nicht machen das ist wir werden es dann doch eine Dreiviertelstunde ransetzen ist er an aber ich ihn angeben weil dies eine Antwort auf diese Frage gibt die hier ganz am Anfang gestellt wurde was ist denn jetzt die nächste Sorte Gleichung die wir nicht lösen können und wegen der wegen der Mann dann den Zeitraum wieder weiter muss der angefallen sind er als Erweiterung von Q und C sehr weit von er immer neue Gleichungen zu lösen und ja den gesagt sie ist gut für die Gleichung ist gefragt welchen das einzulösen und kann mir die Frage und was kommt als nächstes und ich hab dann gesagt in gewissem Sinne sind wir damit an einem Ende angelangt und das ist das was der Fundamentalsatz der Algebra sagt der sagt uns jede Gleichung die polynomial ist als die von der Sorte das Polynom gleich 0 es sind sie war also wenn Sie die Gleichung finden wollen die sind sie nicht mehr lösen können dass es über die Popolo raus und damit ist sei jede glasig algebraische Gleichung die einfach nur Potenzen von x enthält und deren Sohn werden immerhin wird sie lösbare Sinn ist CI das Ende der Zahl Raumerweiterung solang Polen umdenken also das Ganze in exakt heise wenn sind natürliche Zahl haben die nicht 0 ist und Polynom P von Z was es ein Polynom das ist eine Funktion der Form A nz hoch n +plus ohne Zahl 1 -minus 1 jedoch N -minus 1 +plus und so weiter dann geht's irgendwann geht 1. Ordnung A 1 zu Z und klicken nullter Ordnung +plus 1 0 das ist allgemeines Polynom n-ten Grades das ist ein Polynom und diese Zahlen Hey J dürfen komplexe Zahlen seiner 7 komplexes Polynom insbesondere das 3. das ist natürlich auch rationaler der reellen Zahlen seiner alles in Vollendung und ich will dass dieses Polynom wirklich vom Grad n ist also dass das ich 0 zu 1 wenn es sei 0 ist das halten Polynom kann gerade in das einzunehmen würde auf die Idee kommen dann wohl nur dem Allzeithoch im noch von den zuschreibt insbesondere heißt ist Voraussetzung dass man Polynom nicht gerade 0 hat dass es aus den Stern als ich hab mindestens ein Polynom mit der 1. Grades also das Polynom es nicht lief uns wirklich 4 so und dann sagt der Fundamentalsatz der Algebra das sind er eben nicht funktioniert wenn Sie so ein Polynom haben dass mindestens Grad 1 hat dann hat das eine komplexe Nullstellen und das ist ins in er schlichtweg falsch wenn sie das Polynom x Quadrat plus 1 Xtra +plus 1 hat wenn er keine Nullstelle weil in nur Stille Mystik Squadra gleich -minus 1 erfüllen aber die Aussage hier ist jedes Polynom hatte Nullstelle also das Polynom ist nicht konstant konstant ist als es Polung konstant 5 hat natürlich Inc keine Nullstelle bei von gleich 0 ist ziemlich schwierig zu lösende gleich aber die das Polynom dass man Unrat 1 hatte Nullstellen und das wird sich jetzt gut das heißt es ist jede solche koloniale dergleichen ist lösbar aber das hat noch wenn man kurz drüber nachdenkt die weiter reichende Folgen weil was machen Sie wenn Sie meinem Polynome Nullstelle haben reflexartig Polynomdivision Borsteler ab dividiert Mehr nein wird wieder Polynom übrig das hat jetzt gerade er -minus 1 wenn das einzige Mal wo nicht 0 ist dann ist das Volumen grade in mir das einst das mindestens gerade 1 dabei das wieder nur wegen Fundamentalsatz war nur das Polynom dass man das ist gerade ein Datenbestände können es auch ab die und was das bedeutet ist das was man sich einig in einem erträumten Inc hat das bedeutet die jedes Polynom über
CSR fehlte der Faktoren aber sie können jedes komplexe Polo umschreiben als das 1. musste damals bis weil durch den Mahlzeit 3. Brillengestelle und es bleiben keine Therme übrig darüber werden wir uns später im Verlauf der Vorlesung noch mal sehr freuen kann also jedes komplexe Polung wird sie zerfällt in den der Faktoren es das ist so wird auf der Fundamentalsatz der Algebra auch formuliert nach einfach weg weil in der Formulierung wenn eine Nullstelle hat dann können sich immer weiter aktivieren dann haben am Schluss ja Fakten gut wie gesagt den möchte ich ihn nicht beweisen sondern als Information geben und auch als Begründung dafür dass wir damit also dass ein Sohn .punkt sind dass die Zahl Raum Arbeiter Reihe beendet ist zumindest so lange sind einleiten Lösungen von wollen man gleichen interessiert so ein sie hat gut an mehr ich kann der Grad noch ganz direkt auf den Anfang dass
dieses komplexe Zahlen Kapitels zurückkommen da hatten wir hatte ich Ihnen die Gleichungen geschrieben wir suchen Z ersuchen X es damals noch genannt x Quadrat gleich -minus 3 naja löst die Lösbarkeit dieser Gleichung kann ich Ihnen jetzt stringent beweisen was mache ich nehme das Polynom Z Quadrat plus 3 C-Quadrat Lustreisen Polynom wird ist das A 2 es 1 das A 1 ist nur dass Bundes 3 ;strichpunkt 2. Grades Grades größer gleich 1 zu 1 also eher das hat nach dem obigen Satz nach den Fundamentalsatz der Algebra 0 stelle dadurch der 10 Nullen mit z 0 Quadrat plus 3 gleich 0 das heißt z 0 Quadrat gleich -minus da hinten also Wohnen DasErste Algebra garantiert jetzt die Lösbarkeit dieser Gleichung kann natürlich auch ausrechnen in dem Fall aber was das sagen soll es einfach dass unsere Zahl Raumerweiterung in dem Sinne erfolgreich machen gut das ist das Ende vom Abschnitt 2 der so ein bisschen in die Frage was ist rechnen einführen sollte und sie angesehen wenn die Mathematik sich darüber Gedanken macht was ist rechnen dann schafft erhalten kommt man auf solche algebraische Strukturen die Gruppen Ringe und Körper man kann sie natürlich noch 100 andere algebraische Strukturen ausdenken die Frage ist immer die Relevanz für Anwendung oder in den Bademantel aus immer durch Anwendung und diese 3 die hier gezeigt habe sind die die sozusagen am nächsten an den Dingen sind die wir dir wieder im Alltag vorkommen und die deswegen auch ab die er in höchste Relevanz haben und in den Zoo oder algebraische Struktur mit denen man viel zu tun hat fällt jetzt noch eine ganz wesentliche eigentlich wenn man so will fast die wesentlichste und mit der wollen wir uns jetzt ausführlich beschäftigen das ist der so genannte Vektorraum dem werden sie gemalt meisten der Schule schon gesehen haben und die Idee davon ist wir wollen jetzt nicht nur mit Zahlen rechnen sondern wir wollen eher an den Raum mal thematisieren die Ebene wir wollen mehrere Parameter auf einmal bearbeiten können und er die entsprechende algebraische Struktur definieren die unsern er hat die sozusagen den rechnen im Raum werden angepasst ist es ist wie gesagt der erweckt da waren und der wird uns sie jetzt über einige Wochen begleiten und die mathematische Disziplin die dazu gehört ist die so genannte lineare Algebra und das ist hier Kapitel das Kapitel 3 oder ist Abfindung Kapitel 3 beschäftigt sich mit dem Vektorraum wenn Sie also jetzt für das was kommt jetzt eine anschauliche Vorstellung haben wollen dann denken Sie an der A 3 einen Raum man diesem Hörsaal an den dann den Rauch an ein Raum mit 3 Dimensionen am besten 1. Moment beliebig weit in alle Richtung ausgedehnt werden ja ja können gut ja ,komma drauf an was man oder Raum versteht nicht viel damit sich definieren lassen Raumes mathematisch ist die Nummer werden im Sinne von Vektoren selten Vektorraumes der Herr sich natürlich nicht das sag ich denken Sie sich den er 3 beliebig weit ausgedehnt und wie bei allen anderen Dingen auch wenn ich in dem Vektorraum axiomatisch einführen also es kommt es Einsatz von Axiomen der definiert was ein Vektorraum ist und es wieder bewusst allgemein gehalten war natürlich nicht nur den eher 3 als Vektorraum sehen will sondern viele viele viele andere algebraische Struktur das Vektorraum erkennt und in den genau die gleiche Lage sowie über Gruppen wieder genauso rechnen kann man vom Erdreich gewohnt ist und damit für die Dinge auf einmal schlägt aber wenn man sie sollten denn immer wenn sie jetzt diese Axiome sie sich visualisieren immer 3 war das ist das das ist das worin wir Menschen denken kann und dementsprechend ist das des Anschauungsobjekt an dem man sich die Sache klar machen sollte gut also das 1. 1. Abschnitt besteht im Wesentlichen aus dem Axiomensystem und dann einen riesen Stapel Beispiel und wenn die das Axiomensystem vom Vektorraumes leider ein bisschen ab länger als es für Gruppe oder sogar Gruppe hatten wir 4 Axiome beim Vektorraum sind je nachdem man zählt 19 es sich erstmal unübersichtlich aus deswegen eben der der Aufruf stellen sie sich den Raum
in dem wir leben vor und dann ist das alles relativ natürlichen so was wir wieder brauchen ist eine Menge von Elementen mit denen wir rechnen wollen um einen Vektorraum brauchen Sie eigentlich sogar 2 solche Mengen und das eine ist irgend ne Menge beim er dreist das der 3 das sind das sind die Vektoren das sind die Elemente mit denen sie rechnen wollen und dann brauchen Sie bei einem Vektorraum immer zusätzlich noch einen Körper K und sie brauchen in der den Vektor und sie brauchen wenn man Erfahrung WHO-Direktor anderen 7 denn Sie recht und Sie brauchen Körper Krach also Vektorraum ist immer über einem Körper definiert und dann gibt es 2 Verknüpfung was können Sie mit Vektoren machen was können Sie mit Vektoren 3 machen zu können die mir dann addieren dass die eine Verknüpfung und Sie können sich strecken und stauchen das 2. Paket also was ist das Addieren von 2 Vektoren die schreibt man normalerweise mit plus das der Verknüpfung die sich zerlegt nennt und im 3. Sektor draus macht also eine Abbildung von Frau Kreuzfahrer nach vor und was ist das strecken und stauchen wenn Sie den wächst aber den um den Faktor 3 verlängern wollen indem sich den Vektor und sie sehen sich den Faktor 3 was ist dieser Faktor 3 gesetzten Körper Element also in dem sich ein Faktor aus Kater und ein Vektor und wir sehen das Körper Element mit dem Vektor multiplizieren kommenden legt daraus nämlich der um den Faktor gestaucht oder gestreckt das ist das die sogenannte skalare Multiplikation warum skalare Multiplikation weilende Theorien vom Welt Vektorräume dieser diese Elemente aus dem Grundkörper aus dem K als Skalare bezeichnet werden unternehmen dementsprechend ist dass die Multiplikation mit einem Skalar und dass dann die skalare Multiplikation und das das direkte Addition so einsam Sinne Menge und von Vektoren einen Karton sind 2 Verknüpfungen was wir natürlich noch brauchen sind ähnliche Gesetzmäßigkeiten die diese Verknüpfung der führen sollen insbesondere wie sie sich zueinander verhalten ist das soll nicht einfach irgendwelche Verknüpfung seine sollen die so ein paar Dinge erfüllt so also diese Menge V zusammen mit der Verknüpfung bloß und dem
der Verknüpfung mal denn wenn wir einen Vektorraum über K das eben auch immer noch wichtig wenn Sie Vektorraum angeben zu sagen welchen Körper der definiert ist man sagt auch oft kürzer 1 K Vektorraum ist K dann auch drin und ich werd jeder Vorlesung und Zeit und Stift zu sparen oft K -minus Vr schreiben so einfach Abkürzung für Capek daran sein so falls folgende Axiome gelten ich habs jetzt denn ich hab jetzt in das Mitführen hinzuschreiben wobei ich ein bisschen mogeln weil das 1. ist
sozusagen ein Meter Axiom das wiederum paar enthält also das 1. ist wir schauen uns erst mal die Addition von Vektoren an was Muster gelten so die üblichen Dinge die man gern hätte Assoziativität kommod Aktivität wir hätten gern 0 Vektoren Ursprung in unserem Vektorraum was ist den nur Rektor Beta-plus nur Sektor gibt die den weckte zurück das ist neutrales Element bezüglich der Addition und vielleicht an sich woraus raus laufen soll wenn Sie sich dem Vektorraum damit mit dem +plus anschauen man sollte es mehr arabische Gruppe sein also es muss nur geben sie jeden Vektor muss es den negativen Vektor geben -minus Frau so dass V +plus -minus V oder 0 Lektor ist und die Verknüpfung so assoziativ und kommutativ sein und wie gesagt es geht ist ein Axiome man sich sein .punkt sind es natürlich auch schon wieder 4 also dann kommt V 2 und V 2 gibt Ihnen an im Wesentlichen ist 2 dazu da sicherzustellen dass die Multiplikation diese skalare Multiplikation nicht zu banal ist zum Beispiel könnten Sie ja sagen skalare Multiplikation schickt einfach also als wenn Frauen Vektor ist und alle Fans geladen es einfach mal Frau immer 0 egal was als ist das ist nicht zulässige Verknüpfung die zugegebenermaßen langweilig ist dass wenn dass man die aus und ich ließ man folgendermaßen aus indem man sagt egal was Frau ist wenn ich das Frau mit dem Faktor 1 Strecke als ich nehme das V mit 1 mal was ist denn sie nicht das rauskommt mehr das Fausett ab Berlin einst auf jeden Fall dabei einen Körper jeder Körper haben Runde 1 und einmal V soll bitte schön Frau sein essen Normierung die dafür sorgt dass dies gar Multiplikation keine großen Quatsch macht so dann wollen wir dass dies gar Multiplikation Assoziativität erfüllt also für alles aber in Frauen und für jede Wahl von 2 skalaren alpha und beta aus dem Körper soll gelten wenn sie das Produkt von alpha und beta nehmen und den Vektor damit Strecken dann ist es das gleiche wenn sie den Vektor 1. Beta Strecken und das Ergebnis dann als an das ist Assoziativität die dafür sorgt dass in diesen solchen Austritten die Klammern weglassen können das auch in Zukunft daran tun werden es ist auch wichtig zu beachten dass die Verknüpfung der stehen verschiedene sind das was hier dazwischen steht es ne Verknüpfung in diesen mal in der Bar oder den 2 keine man dem wurde gezielt und dieser Punkt hier ist das Gala mal 10 2 verschiedene Verknüpfung sorgen werden noch ein der lange 7 mal an der in die werden wir gleich sich auch noch aus ausschließen Moment in sie meinen die der Verknüpfung also mit mir skalare Multiplikation egal was sie mit Frau multiplizieren es kommt immer voraus ich bin sehr sicher dass das nicht gelten prüfen Sie nachher mal Axiome nach und gucken Sie in welchem schiefgeht aber es geht schief da bin ich sicher so dann kommt V 4 also ich wohl noch ein Kommentar machen zu der Verwendung der Buchstaben da dies nicht absolut Standard aber sehr verbreitet Vektoren mit lateinischen Buchstaben und skalare mit griechischen ist ein Vorschlag von mir ist natürlich keine Verpflichtung sie dürfen die sie dürfen dies kann aber auch mit der tibetischen machen und die Vektoren mit Blümchen bisschen sie dürfen auch für alles die gleiche Buchstaben werden nur die Gefahr dass man sich verwirrt ist groß und des Weges ist praktisch dass er vor seiner zu halten und ich wette stringent in dieser Vorlesung dabei bleiben dass die Skalare griechisch schreibt und Buchstaben lateinisch Vektoren lateinisch so war die 4. es 4. Axiom ist wieder das dies gelang munikation und die ist jetzt 1 das ist Gelaber Delegation und die legte Addition miteinander in Beziehung setzt es ist die Sorte von Distributed hält also egal welches V aus V 7 nehmen und egal welchen skalare alpha und beta sie nehmen wenn Sie die Summe von alpha und beta nehmen und die mit V multiplizieren ist ist das gleiche wenn sie Alfa mit dass Frau mit Alfa Strecken und das V mit Better Strecken und Liedern agieren können das wenn Sie mir sofort dass das richtige Rechenregel glauben und die fordern verlegt und die letzte das letzte Axiom ist normal distributiv jetzt anders rum ins addieren Sie nicht die skalare wurde beziehen Vektor sondern jetzt addieren Sie Vektoren und multiplizieren kann er also für jede Wahl von 2 Vektoren v und w aus Frauen für jedes Gala Alfa Oscar geht es einfach mal V +plus W gleich alles einmal Frau +plus einfach mal wie es die auch das ne vernünftige Rechenregel so und das Handy Axiome diese führen weg Raum brauchen und wenn Sie jetzt mal überlegen wie das mit dem Anschauungsraum mit dem er dreist denn wenn Sie verstehen das passt alles wunderbar reichen ich hab weil wir den ganzen restlichen Vorlesung geht über dieses Axiom Satz reden werde und auch noch die nächste der Name meiner Folie liegt auf dem unteren Raum auf dem Projektor muss nur eingeschaltet werden und dann können Sie jetzt wenn der weiteren Vorlesungen noch mal nachgucken was denn die waren so noch ein paar Begriffe ein 2 davon sind schon gefallen zu 1. Axiom war der Vektorraum selber als die Menge V mit dem Fluss zusammen Islamische Gruppe insbesondere hatte V also neutrales Element also diese arabische Gruppe hat ein neutrales Element und das Ding ist das was man den 0 Vektor nennt also wenn sie einen der 3 denken oder legte dessen Ursprung gehört dann das 2. die vorhin schon gesagt ist Begriffsbildung das Gala also die Elemente von K von diesem Körper über den der Vektorraum definiert ist nennt man Skalare und es gibt natürlich im Prinzip können Sie doch alle jeden Körper definieren macht man auch aber es gibt natürlich eine wichtige und unwichtige Körper und zumindest für das was dann hinten nach jeder es kommt sind die sind wichtige Körper natürlich die werden die komplexen Zahlen und ich bin mir
sozusagen eine kurz sprechen einen kurz sprech an definieren und den ich dann verwenden entdeckt wenn der Körper sich der Körper der reellen Zahlen ist dann sagt man auch Frau reeller Vektorraum und wenn der Körper der Körper der komplexen Zahlen ist dann sagt man V ist ein komplexer weckt aber sie kann genauso gut Pektorale Z 5 definieren das Wissen vom aus der Vorlesung über Körper das Z 5 Kabel ist bei 5. Primzahl ist oder ein Vektorraum 10 19 19 zu beizen Körper haben können Sie da drüber Rektor einer definierten wir für die Frage wie und da sind wir beim Thema Beispiele und da hab ich ihn jetzt im ganzen 2 von mitgebracht und haben vorhin gesagt das Vorstellungs Objekt für Vektorraum sollte erstmal der 3 sein oder wenn man oder 2 oder wenn man bisschen sich das Hirn verknoten wieder enden oder der S 7 und das ist auch der 1. Beispiel das kann sich nur für das können Sie sich jeden Körper machen dann sehen Sie auch gleich wie sie für jeden Körper Vektorraum definieren kann also das 1. Beispiel ist der K 1 was brauchen Sie dazu und sie brauchen im Körper nehmen Sie die reellen Zahlen den sie Z 5 oder die komplexen und die natürliche Zahlen nicht gerade 0 ist und dann derartig folgende Bildung gibt ihnen Vektorraum sie schauen sich das fache kartesische Produkt von
Kahn also kein Kreuz keine und so weiter Kreuz K mal und das ist die Menge aller Abgeordneten n Tupel vom Körper Elementen also auch dass man eingeschrieben die Menge aller x 1 x 2 bis 6 so dass die diese Werte XJ in K liegen für jede Wahl von J zwischen 1 und denke mir kommen nach Konvention schreibt man die Elemente von Cayenne sowie hier als spalten man kann die genauso als Zeilen schreiben das ist einfach mal ziemlich irrelevant es wäre wir mit der werden wir 4 n in Vektorräumen rechnen wird ein Moment kommen wo man sich einfach festlegen muss weil man sonst sich an allem war eine Konvention braucht weil sonst manche Dinge oder deutlich werden und dass wenn ich das gleich jetzt festlegen also diese Vorlesung so sind alle Vektoren Spalt immer und grundsätzlich das ist manchmal sogar nervig wenn man schreibt weil das zu viel Platz weg frisst dafür kriegt werd ich Ihnen einen Mehr Cluster zeigen wie wir dieses Problem so bisschen umgehen können aber man muss sich halt einmal einigen und zeigen Sie noch nicht die praktische die Ländern wenn's dumm läuft halt fürchterlich lange also Vektoren wir schweigen und jetzt muss ich Ihnen noch sagen wie man die Dinge miteinander verknüpft wir brauchen wenig ihn behauptet dass der K also diese Menge der into belegte Raum gibt da muss ich ihm sagen was die Skala Multiplikation direkter Addition bis ja das wird für sie jetzt keine große Überraschung sein wir denn sie 2 Vektoren
also neben sich 1 x 1 x 2 bis 6 m und sie nehmen sich ein 2. y 1 Y 2. Y N und was ist dann die Summe von den beiden dass er dir die jeder Komponente also der 1. Komponente haben sie x 1 +plus y 1 10. 2. Komponente x 2 +plus y 2 und so weiter bis x n +plus y u ist weckte Addition und wie Sie sehen das zu definieren dass jetzt nicht über oder über 10 sein sondern sie brauchen halten vernünftiges +plus zwischen X und ob sich nix seines wird von 1 und das ist dadurch gewährleistet dass das Kalb Elemente sind ergänzen +plus so und das ist für X und Y außen kann auch und die Vektor Atem die skalare Multiplikation wie funktioniert des 10 DM Vektor X 1 bis Xn und multipliziert mit der grüß Gala Allvar indem sie einfach das den Galal fallen jede Komponente rein multiplizieren Alfa x 1 1 x 2 bis Eifer x was ist wenn die 10 km und wenn Alfa aus kann soll damit hab ich ihn Addition und skalare Multiplikation definiert und auch den das is n K Vektorraum was ist in dem Fall das neutrale Element der Addition ja aber das meinte mit weckte Elemente die die Einträge wohl sonst hier wählen aber also die Frage wie das Kabel müssen sie können da auch andere Dinge reinschreiben sie müssen halt sie müssen gefunden sobald sie der Bengel und Körper haben und 2 Verknüpfung drauf die alle die Satzung dafür das Vektorraum egal was sie da reinschreiben das ist die Definition und es ist halt praktisch die Dinger also für die Definition hier steht brauchen Sie das die DX J in K sind weil sie sonst nicht wissen was alle Pharmaka X 1 sein soll wird sie müssen dass sie müssen diese wenn wir mit dem einfach multiplizieren kann ich muss im Sinne aber wenn sie den sehen anders definieren und es erfüllt alle Aktionen müssen mit war um das ist der geht geht an der axiomatischen Herangehensweisen kann alles was die Axiome erfüllt ist zulässig so was ist jeder nur Vektoren in dem Fall also das neutrale Element der Addition also der weg Tradition nur die muss eine Gruppe sein also hat sie neutrales Element das müssen Sie als da oben als y 1 besitzen entnehmen damit bei der Addition mit wie der X 1 bis Xn rauskommt Merdes es nicht schwer zu erraten Sie denn dem weckte den allen Komponenten 0 hat und das ist der nur legt an und wenn Sie jetzt den speziellen Fall haben wir das ist das was wir am besten kennen da ist er dann nennt man diesen Vektorraum den reellen Standard Vektorraum und das ist wenn Sie jetzt noch in gleich 3 Sätzen dann haben Sie den da mein Anschauungsraum in der man rechnet mir also im Prinzip das was über den komplexen Zahlen schon
gemacht haben also wenn Sie hier die X 1 Achse unterwegs 2 Achse haben und hielt einen Vektor x und Unterarten legte Zählern das ist die Addition die Addition ist dieses weckte Additions Parallelogramm das ist dann der weckte X plus Y und die Städte strecken und stauchen sie sehr wenn Sie jetzt zum Beispiel den weckte zweimal x haben wollen dann ist das in der um 2 um den Faktor 2 verlängerte Vektor x 10 was ich schon gesagt hatte in dieser Vorlesung grundsätzlich und das ist auch eine relativ n relativ weit verbreitete unübliche Konvention und sie danach noch sehen warum diese Nacht die sektoralen km sind immer spalten und jetzt kommt das Problem dass es eben wie man auch von jetzt hier sieht wenn sie oder im Skript das ist noch schlimmer wenn sie wirklich immer spalten schreiben das dessen Seiten Fresser vom kommen vom Feinsten und deswegen geht's einen einfachen Notations Kniff und ist das sogenannte transponieren wenn ich wenn zu wenig Platz ist oder sie aus einem Grund den legt eine Zeile schreiben wollen wohl eine Spalte ist dann schreiben Sie
Ihre Zeilen und man da oben so ein großes T transponiert dran und das ist einfach nach dem nach Definition macht das Transponieren aus der Zeit in der Spalte ja aber wir also frei Soziolekte außen mit 2 Kommunen eine 3 bekomme agieren können nach der Definition der obendrein ja dieses bewohnt werden ob sie eine Definition finden so dass das dann vernünftige Vektorraum wird bin ich gespannt ich nehme mal an einen aber sie können versuchen aber sie müssen sie müssen dann immer wie definieren das kommt raus und dann er sich dann setzen und 4 x Mehr und wenn das dann funktioniert wenn sie alle 1 2 3 4 8 Axiome hinkriegen gestoßen der auf ob du er das Transponieren geht auch andersrum also es macht den auch aus der Spalte mit seinen wenn sie wenn Sie die Spalte haben X 1 bis Xn und da oben Täter schreiben dann ist das nach Definition einfach die Zeile x 1 bis 10 es ist mit diesen ist es einfach nur um dazu sparen wenn sie irgendwie Vektoren schreiben ja so groß ist wie oben dran heißt einfach alles was Zeile Switch bald und umgekehrt wird später auch noch Panade gegen so dass es mein 1. Beispiel ich X ihn jetzt für den Standard Vektorraum nicht die Axiome vor das können Sie selber machen und das war ich mir auch für etwas esoterisch oder Beispiele weil da ist dann vielleicht interessanter wenn sie sehen wie man die Axiome durch XSS hier das geht alles geradeaus durch gut bis heute nächsten Beispiel weiter geht aber dann erst mal kurz Pause ich möchte freut Unruhe ausbricht noch dem und Universal mitteilen dass hier geschätzte 50 60 80 Plätze frei sind also dennoch fiebern hochkommen Marketender Pause gibt es dazu Gelegenheit gut also da müsste ich so
ich würde gern in der 2. Hälfte einsteigen und weiter Beispiele Vektorräume zeigen ja jetzt in dem Tale in sie neben Capa können Sie diese n Tobel von Elementen mit der ich eben beschrieben Verknüpfung zu dem Vektorraum machen sie das für und 3 machen wir kriegen sie der 3 dass du oder die der und 2 Krisen der 2. wird wieder anschauen hat und ich will jetzt als 2. Beispiel zum 1. Mal mit Matrizen zu Leibe rücken das ist im Prinzip Mehr Variation von dem Teilnehmer gerade hatten aber eine die wir nachher noch ausführlich brauchen werden und für Informatiker ist es eigentlich in sehr einfach wird vom kN zu Matrizen was ist der KN der Cayenne wissen eindimensionales RWE das Umfeld mit einer Zielvariablen wurde Matrix ein zweidimensionales Array also fehlten 2. sehr variabel mehr passiert nichts denn so also was haben wir ja mit den zugrunde liegenden Körper K und wir haben jetzt 2 natürliche Zahl die nicht 0 sind P und und dann definiere ich ihn den Raum allein K-Gruppen ob Matrizen über KAC also in über K als den K hoch P Kreuz in das ist die Notation und das ist die Menge alle zweidimensionale er ist der zweidimensionalen Schemata mit von K Elementen also Sie haben ein Element Alfa 1 1 ein Element Alfa 1 2 dies Alfa 1 n hier 10 Element Alfa 2 1 1 4 2 2 bis Alfa 2 n und davon haben Sie P Zeilen bis Alfa P 1 bis Alfa P 2 bis Alfa PIN Nummer nur mit also die um diese Zeit Eilfall JK oder das heißt wir zahlen die Sedimente Eifer JK sind aus ihrem Körper K und das Ganze für alle Wahlen von J zwischen 1 und P und Kanal zwischen 1 und ich also zweidimensionales er zweidimensionales fehlt durch indiziert und das so ein Ding nennt man eine Matrix mit The Zeilen und N Spalten auch das ist es nicht verwunderlich und es gibt an der Stelle wie eine allgemeine Konvention die jetzt wirklich das hab ich noch nie anders gesehen und wenn man da anfängt wann und zurück gemacht und sich auch völlig kirre wenn Sie soll alles JK hinschreiben dann zählt der 1. Index immer die Zeile unser 2. Index die Spalte naja das muss man sich einfach einmal einigen und das ist in der
Matrizenrechnung eindeutig festgelegt J K ist das Element in ihrer Matrix das an der in der Jochen Zeile 1 Karten Spalte steht zu sie dass es natürlich fragen wozu war Matrizen allen Antwort in 2 3 Wochen aber sie werden sehen die sind ein und unumgängliches Hilfsmittel sobald sie electoral berechnen wollen und sie wollen Vektorräumen rechnen also zumindest sobald sie an irgendwelche Grafikanwendungen gegen weg Vektorgrafik enthält das schon jetzt sind Sie dort mit Vektorrechnung zugange und werden die viele Matrizen zu tun haben das verspreche ich Ihnen so ich habe nicht gesagt wie man damit rechnet man ich also Wesen die Verknüpfung von Matrizen nur dass es im Prinzip genauso wie beim KN also müssen uns jetzt 2 Matrizen ernähren und die addieren und eine Matrix und Landes Gallaher hernehmen und das Multiplizieren also werden uns eine Matrix her wie schreibt man das auf die Bezeichnung wird üblicherweise mit großen lateinischen Buchstaben also eine Matrix an und die also die Zeit die Werte aus Karten dieser Matrix drinstehen sein Alfa jk J zwischen 1 und P und klar zwischen 1 und n und oder eine 2. Matrix von gleichen Dimensionen also eine Matrix Peter jb mit Elementen der DJK auch hier J von 1 bis P und kam von 1 bis n auch bei Matrizen können sie nur Matrizen agieren die gleiche Dimension haben die gleiche aus da haben Ausmaße haben so dass sein 2 Matrizen aus dem KH hoch P Kreuz was diese Notation geht auch gleich Anka auch P Kreuz bedeutet Matrizen mit P 2 n Spalten wie gesagt erst den nächsten die Zahl 2. indes ist die Stadt so unternehmen uns noch ein Skalar her im Sinne von jeder Grieche Buchstabe musste der Vorlesung war vollkommen ich Malanda kleines griechisches L zwar wie definieren Sie sich jetzt Ihre Verknüpfung was wir
zuerst definieren müssen ist was is a +plus b A +plus B muss wieder den Matrix muss selber wieder einen Vektorraum liegen und so ist die Verknüpfung definiert vor kurz Frau Musterfrau gehen das heißt es muss wieder der P Kreuz in Matrix rauskommen und das macht man im Prinzip wie bei den die bei beiden Spaltenvektoren auch man multiplizierte addiert einfach komponentenweise für J Karplus Peter JK von der Hand für J gleich 1 bis P und K gleich 1 bis n also wenn es als große Matrix schreibe Alfa 1 1 +plus Beta 1 1 oben links dann Alfa 1 2 +plus später 1 2 bis Alfa 1 n +plus Blätter 1 n alle 2 1 +plus später 2 1 1 4 2 2 +plus Peter 2 2 es Alfa 2 n +plus später 2 n und so machen sie das weiter und der P Insider haben sie Alfa P 1 +plus Peter P 1 Alfa P 2 +plus Petter P 2 und am Ende alle VPN Flussbett P Star der verdienen einfach Komponenten und auch das Gala multiplizieren geht wieder komponentenweise also die
Matrix das ist die Matrix langsam mal an nein der Wand Skala das kriegen sie einfach in dem sie ihre Matrix Alfa JK nehmen wir gleich 1 bis n K gleich 1 P und jeden Eintrag mit lahmender multiplizieren also die Matrix nahm der Alfa 1 1 bleiben Alfa 1 2 bislang darf 1 n ab Alfa 1 der 2 1 lahmender Alfa 2 2 bislang der Alfa 2 n Lande als P 1 als P 2 bislang der Alfa P und Sie sehen das Hauptproblem am Matrizen bis viel viel Treiber beitrugen aber ich nehm an jeder von ihnen programmiert die Routine hier schnell runter mit 2 Zielvariablen und wenn sie diese wenn Sie jetzt diese Verknüpfung nehmen dann kriegen sie wieder ein K Vektorraum raus und dann das war jetzt die Theorie vielleicht will jemand mal was ganz konkret sehen also mal aus ganz konkretes keiner sagen werden noch ganz konkreten Matrizen rechnen mir mal denn uns nächstliegenden Körper also Ehre und immer mal 3 also er R 3 Kreuz was sind dass das Matrizen mit 3 Zeilen und 3 Spalten mit allen Einträgen Tramer einfarbig Ideen also was ist 3 1 2 -minus 2 5 1 1 -minus 1 -minus 1 +plus 2 Mal -minus 2 0 3 1 -minus 2 -minus 2 1 0 0 aber nur als würden Beispiele wie rechnen Sie jetzt damit und die 1. schreib ich mal ab 3
1 2 minus 2 5 1 1 -minus 1 -minus 1 so ist zweimal diese Matrix jeden Eintrag mit 2 multiplizieren -minus 4 0 6 2 -minus 4 -minus 4 2 0 0 und wir gehen sie jetzt die beiden Matrizen Eintrag für Eintrag also sehr dir die beiden Zahlen oben links in der Ecke gibt 3 -minus 4 bis -minus 1 zahlen in der 1. Zeit in der Mitte eines +plus 0 bis 1 dann kommen 2 +plus 6 8 -minus 2 plus 2 ist 0 5 -minus 4 S 1 1 -minus 4 ist -minus 3 1 und 2 1 3 -minus 1 -minus 1 und das ist alles ziemlich einfache das einzige Problem ist man braucht nun endlich die Konzentration weil wenn man sich irgendwie wenn man die Chance sich zu verrechnen bei dann dabei Matrizen 3. Berechnung der und so weiter hat muss man dem extrem viele sehr einfache Rechnung ausführen und der Schritt dazu dass 2 +plus 3 dann 6 ist es relativ groß also bei mit Matrizen rechnen ist dass nicht viel aber Konzentration so gut wie es geht gut gut ich will ihn auch hier nicht zeigen dass das Vektorraum ist die Rechnung ist wirklich wie bei den Truppen wir das auf Band das nächste Beispiel und das nächste Beispiel ist jetzt 1 auf dass man das nicht so ganz nahe liegend ist und wir sehen aber auch zeigen soll das eben das Vektorraum Konstrukt wieder erfolgreich ein abstraktes allgemeines Konstrukt ist es nicht einfach jetzt nur wieder ein oder die Variante in Kreuzberg P Kreuz abbildet sondern wo sie sehr sehr viel Situation drin unterbringen und das ist geh allgemeinere häufiger besondere Struktur vorkommt umso besser weil dann haben sie eben über den Sinn der Aussage ein Vektorraum bewiesen haben in allen diesen Situationen was gewonnen und das nächste was ich in zeigen will sind so genannte Funktion nur einmal das heißt wir nehmen jetzt Vektorräume deren Elemente Funktionen sind man jetzt keine Truppen mehr oder Matrizen sondern die Elemente des Vektorraumes sind Funktionen und wie diese Funktion rechnen wir als wären's Punkte der Ebene er also wie machen wir das wir brauchen wie immer bei einem Vektorraum im Grunde liegenden Skala Körper kahl stellen sich damit es will ihr zum 1. Mal auch vorher also immer werde Spaß hat das Z 5 nehmen aber wir sind für die Vorstellung am besten er und dann brauchen eine Menge gehen auf der Welt Funktion definieren und dann hab ich mir in dem Fall Notation ausgedacht betrachten wir folgende Menge aber nur von klar also die Menge das so heißen die Menge aller Abbildungen von M nach K also das ist die Menge aller Funktionen 11 DM nach K abbilden kann also wenn Sie sich das vorstellen wollen man sie eben auch drehen zahlen dann ist habe und Ehre die Menge aller Funktionen von er hat um tja die Menge aller Funktionen von innen nach K und jetzt nur Traum Verknüpfungen Museen sagen wie man 2 Funktionen addiert und wie man der Funktion um den Faktor 7 streckt und das geht relativ kanonisch was ist die Summe was ist die Summen
funktional sind 2 Funktion ist muss ich immer definieren was es F +plus B damit das alles Sinn macht muss es +plus wieder Element von meinem Raum aber wovon in Köln sein also erst losgehen musste Funktion für nach Chase was ordentlich sinnvollerweise 1 x zu um die Funktion F +plus geht zu bestehen welchen F von X die von und muss es irgendwie eine naheliegende Setzung man beachte dass das geht weil die Funktion in einem Körper abbilden und in den Körper kann ich addiert war also die Menge der Abbildung von nach innen wobei im unendlichen Mengen sind können sie auf die weil sie nichts weg darauf machen weil sie nicht addieren kann in dem engen gemein also brauchen kann im Zielraum der Funktion die Körperstruktur oder zumindest mehr Additive eine multiplikative Struktur so mit der Skala zur machen das genauso die multipliziere 7 Funktionen im Skalar 10 nehmen die Funktion jeden x als zuordnet den wird als F von X und das mal was jetzt hier unten steht ist das Malen nur so und das sind Definition für alle Wahlen von F und G die Abbildung von e nach K sind und alle Alfas zwar das hab ich ihn wenn man will gegeben nämlich die Menge aller Funktionen von innen nach Kanada und 2 Verknüpfungen 1 auf dieser Menge Kreuz in diese Mängel und eine die aber mit über Berge verknüpft damit ist das ein vernünftiger Kandidat für einen Vektor und was ich Ihnen jetzt zeigen will ist dass es tatsächlich ein Charakter hauen und wer das Einrich geschrieben er also wird mit den Verknüpfungen zu einem K auch in die Tat um zur es ist die Behauptung und was wir jetzt tun müssen um das nachzuweisen oder dem Beispiel einmal exemplarisch vor Echsen es eben auf die
Folie gucken wo und den Stapel Axiome nachweisen gut das 1. was wir tun müssen dann es ist nicht das V 1 A sondern die übliche der übliche Kommentar bevor sie starten verschwenden Sie wenigstens kurzen Gedanken da noch die Verknüpfung die gegeben sind vernünftig sind hat die Verknüpfung wohldefiniert sind an der Stelle ja da ist mir oft betriebsblind oder sie halt stürzt sich sofort ins Getümmel an bevor man überhaupt starten sollte unter rechnet dann irgendwas vom Marum und stellte man fest das macht gar keinen Sinn was ich zu aber ich den Prinzipat ich diese Frage Verknüpfung vernünftig sind jetzt gerade als sie erklärt hat ihn schon gezeigt was man tun muss im Wesentlichen sehen dass das Ergebnis immer richtig Raum liegt und bei beiden Verknüpfungen war das was rauskam der Abbildung die jedem Element in M ein Elementen K zuordnen so was müssen wir dann machen Axiom V 1 wir müssen nachweisen dass das V also unser Raum ABB von im Graz mit plus Werbezielgruppe Gruppe ist ich hab jetzt noch mal das vor 1 ausführlichen geschrieben nämlich die 4 4 Axiome für die App ist die Gruppe Einzel also was müssen wir zuerst oder müssen die 1. Aktivitäten nachrechnen wir müssen zeigen wenn sie sich 3 Elemente aus ihrem Vektorraum hernehmen F G und H wenn jetzt bewusst nicht mehr XY weil die Gemäldes das Netz Funktion dafür S F G und H sind die naheliegenderen Buchstaben also dessen Funktionen von nach K a und was müssen wir jetzt nachweisen müssen zeigen F +plus G +plus habe ist das selbe wie F +plus G +plus H die Zeit man das 2 Funktionen gleich sind man zeigt sie an den gleichen Emissionspreis in den gleichen Zielbereich und die Funktion Vorschrift das gleich Zielbereiche Definitionsbereich sind nach Anlage gleich weil es Gougeon und Hasen alle Dämme haben bevor man kann also zu als Funktion von e das passt zusammen die einzige Frage ist eben ob die Funktion Vorschriften gleich sind und das rechnen wir nach in dem der aus ändern und das man einsetzen anschauen das Gleiche raus also was müssen wir machen wir müssen die Funktion F +plus G +plus H nehmen der X zu füttern geben und feststellen dass sie das gleich aus .punkt wie die Funktion F +plus geht das wie so ist nach der Definition der Addition von unseren Funktionen dieser Ausdruck ich hatte ihn die Addition von 2 Funktionen definiert in dem sie einfach das Element des X in jede Funktion ab einspeisen und dann agieren können das können Sie davon auch nochmal machen also das ist normal Definition der Addition von x +plus von X das hat von X wird sehen Sie worauf es rausläuft wir was jetzt dasteht alle Pferde vor allem bloß die jetzt da stehen 7 +plus 10 Grad nur das endlos K und das im Plus im Cache das addieren sich ihr Körper Elemente oder im Körper ist die Addition natürlich also z nur also was sie jetzt verwenden ist die Assoziativität in den Körper K entsteht für von x +plus der von x +plus H von X und jetzt mal sehr rückwärts dass es 11 von X +plus G +plus H A von X und das ist 11 +plus G +plus H von X Plätze 2 Gleichheitszeichen sind wieder einfach die Definition der Addition wir in unserem legt an Kandidaten sah und das ist das was wir zeigen wollten jetzt haben wir das für jedes x sind in diese
beiden Ausdrücke übereinstimmen also ist die Funktion f +plus G +plus H das gleiche wie die Funktion F +plus G +plus H und damit habe die Assoziativität gezeigt genauso geht die Commuter tivität zu dem sich ihre beiden Funktionen her und müssen es +plus G anschauen und zeigen F +plus G =ist gleich D +plus 11 1 was ist es bloß geht von X nach Definitionen x in F einsetzen XMG einsetzen den Kardinälen im Cafe ist das Alien kommutativ also kommen sie und dann kommen sie wieder 2 kann mir das ist die kommutativen tellt so des Spannendes Banda jetzt kommt es Sertralin legt was ist der neue Rektor diese Vektorraum aller Funktionen das ist die Funktionen n die wenn sie auf jede andere Funktion drauf addieren die sie nicht ändert was müssen sie ändern damit das müssen Sie Albtrauf eingehen damit sich nichts ändert 0 und dementsprechend ist das neutrale Element die 0 Abbildung was meine ich mit 0 Abbildung das ist ne Funktion ich nämlich mit meiner kleinen sozusagen damit sie an die 0 erinnert die Funktion von e nach K muss es sein soll ein Element von unserm Vektorraum sein für das ist ne ziemlich hässliche die Funktion die schickt alles auf 0 0 K heißen Kaba also das 1 zu 0 und die Funktion Spuk den einfachen 0 aus egal was sie die und der Funktion von e nach K und wenn sie die neben
an und mal mit der Funktion f aus den Abbildungen von e nach K addieren dann stellen sie auch fest dass es das neutrale Element also was müssen wir machen wir müssen 11 +plus dieses O anschauen an der Stelle x was ist das nach Definition der Addition ist dass er von x +plus Kleinow von X 1 das es eher von x +plus 0 +plus schmoren und das ist er von Excel kann ich wir haben schon Kommode die wieder die Zeit also muss ich Ihnen nicht sagen dass das Ding noch links neutrales wir was wir damit haben es dass die Funktion F +plus O gleich die Funktion f ist für es 11 aus unserer Menge an also ist diese Funktion O die alles auf 0 schickt 2. ran Elemente Additionen wenn Sie so wollen ja nur Vektor auf einer das in dem Moment erstmals verliebten geht weil es keine dabei dessen n ist der nur Lektoren und nicht daran so damit haben wir von dem von dem V 1 vor die 1. 3 für Bahnhofsviertel wir brauchen das inverse
Element also wir müssen uns zu jedem beliebigen 11 aus unserer Menge erst aus der Menge der Abbildung von nach K ein additives Inverses suchen also der Funktion -minus 11 so dass wenn sie eher von minus 11 addieren das neutrale Element der Addition rauskommt also das des Kleinow was ist da der Kandidat was müssen sie auf f von x addieren damit immer 0 rauskommt -minus F von X also nehmen Sie die Funktion -minus 11 definieren sich als Funktion von e nach K jeden x zuordnet -minus F von X das ist ne sinnvolle Setzung bei Carlsen Körper F von X Kabel nennt also gibt es für jedes kommt für jedes Kabel mit gibt es das Minus Körper Element weil der Körper insbesondere +plus arische Gruppe ist das ist das ne vernünftige Definition sie sehen bei dieser ganzen Album mentation das ist für diesen Funktion Raum extrem entscheidend da is die Funktion wert sind haben und nicht irgendwo übertragen nee also die Frage ist ob die ob ich die funktioniert jetzt nicht da sie selber definieren ein 70 das inverse Element einer Gruppe hängt immer von dem Element ab also das geht wenn Sie die der Gruppe haben ist es die Querbalken aber seine Band aber wir sind anderes wir sind an dem es natürlich Hardware nicht geht also es inverse wollen wir während das immer von diesen man abhängig und hier ist die wenn Sie mir das inverse zu diesem eine man sie geben sich ein 11 vor mit spezieller Abbildung also wenn sie wenn Sie von wenn Sie dass es jetzt von R nach R wenn Sie .punkt sowohl anschauen wenn sie SFX Quadrat was in Frage was ist das inverse Zicks Quadrat und die Antwort ist die Funktion x geht nach minus 6 Grad in ja es sieht so aus aber so ist es nicht gemeint also die Funktion als -minus 11 und die berechnen Sie indem Sie das 1. nehmen das kennen Sie ablegen oder wenn sie abgebildet haben dann zum Argentinien Sinntal bilden und das ist definiert ohne dass sie das mir selbst kennt nur genau sagen und das behaupte ich ist das Additiv in Basel und dass das so ist müssen wir jetzt mal nachrechnen wenn uns also wieder in Mehr was müssen wir wollen wir müssen zeigen 11 addiert mit minus 11 ist das neutrale Element also das o und das machen wir indem wir dem 11 +plus -minus erstmal nix zu futtern geben und nachrechnen dass da immer nur raus kommen so was ist echt plus minus 11 nach Definition ist das F von X +plus -minus F von X so jetzt kommen subtiles fehlt jetzt müssen wir die Definition von -minus 11 aus nutzen es ist Sie haben jetzt den Reflex natürlich zu seiner Plus von -minus ist -minus ne eine zu schreiben dass er von X -minus F von X er da ,komma auch gleich hin aber so wie es jetzt dasteht dürfen Sie das noch nicht weil da steht jetzt -minus 11 an der Stelle x dieses Minuszeichen was steht das ist kein Wiedersehen sind die sondern das ist dass man das was wir gerade darum definiert haben und damit sie das Brot mit den Industrieministern was können müssen die stoßen dass mir das bitte schön bei Verknüpfungen Karsai nur deswegen müssen sie jetzt erstmal Definition von dem -minus 11 einsetzen kann wieder sagt -minus 11 definiert -minus 11 brechen sie aus indem sie in dem sie F von X nehmen davon dass negative noch denn also formal sieht man dass die Klammer jetzt anders denn wenn ich schreibe das bisschen arg klein geworden schreibt das man mal runter das ist f von x +plus -minus F von X und jetzt ist es ein Minuszeichen Carnet steht F von X ist keiner mehr Minuszeichen davor das jetzt müssen K jetzt haben Sie tatsächlich so sein die Rechenregel der plus minus F von X ist -minus F von X das ist ein Kartell Manuel und 0 so Kleinow von X haben eisern sie das endlich 11 +plus dieses -minus
11 so und damit ist das ist eine tief in das ein ich müsste man noch minus 11 +plus 11 so aber weil diskutiert habe das automatisch so lernen wir das V 1 wir Gesinnungs +plus gekümmert denn noch keine Skala wurde wieder zum gesehen wenn es nur gezeigt Frau mit diesem Fluss also die Menge der Abbildung mit diesem Plus ist eine aber Skigruppe und jetzt kommt das Game Indizien dass das sind die Axiome 2. 5 ja wenn er ja das ist nicht schön was hab ich denn da geschrieben wie also dann ist das so zu verstehen danke sah an gut weiß oder braun sind vor 2. vor 5. die Axiome der 1. Gala Multiplikationen ins Spiel bringen also was ist v 2 v2 weil diese Aussage die einfach sagt wenn sie mit dem Faktor 1 treten soll bitte schön nichts passieren also rechnen müssen aber nehmen uns würden es hier und da müssen wir schauen was passiert wenn wir das 1. mit 1 Strecken was war die Definition des Galan Multiplikation einfach mal 11 an der Stelle x war als normal F von X also das ist nach Definition des Ghana Multiplikation einfach mal einmal der das Kabel mehr der von X hier vorne steht vorne steht einmal der Vektor einmal die Funktion f an der Stelle x und jetzt steht da einmal das Kabel Gemälde von X also dieses Mal ist mal in der in dem Vektorraum und das da ist einmal im Cache war dass der Unterschied so was habe ich da passiert wenn sie mit 1 multiplizieren das Wissen war man was ist die einst die einzigstes Additiv das multiplikativ neutrale Element im Körper also das er von nix ja und damit haben sich was sie zeigen müssen jedes das XMM ist das gleich also es einmal =ist gleich a Frau
3 in vor 3 war dieses Assoziativgesetz einfach mal der damals V ist einfach Fanal Bettermann fahren also nehmen wir uns den F der Funktionäre und 2 Skalare von Beta 2 Kabel Elemente 11. ohne Funktion von innen nach Kanada was man jetzt machen muss es wirklich nur die Axiome nach X und das es immer einsetzen der Definition der Verknüpfung welche K und interpretieren was rauskommen also das was wir hier tun wir müssen uns die Funktion ankucken
Alpha-Beta 11 an der Stelle x vor sie davor 3 kucken Alpha-Beta vor gut ist das definiert der Funktion multiplizieren Siemens Gallaher indem sie es die Funktion auswerten und dann in K mit dem Skalar multiplizieren was jetzt hier steht ist ein Produkt von 3 Kabel Alphabet das überaus K 11 von Access Oscar was haben Sie ein Produkt von 3 Körper man stehen die mit 1 multipliziert werden kann in K ist die Multiplikation kommutativ das heißt das ist ein formal Peter F von X da die Multiplikation in K assoziativ wenn es weiß das da dann weiß man seine wurde die hier zu einem von 3 Gemälden Car soll jetzt arbeiten sie sich hier zurück das ist einfach mal die Funktion better 11 an der Stelle x wir wir sagen sie bei der vernichtende x multipliziert mit dem Altar das ist das selbe wie Alfa mal die Funktion better 11 an der Stelle x ist es wieder Definition das Gala Multiplikation jetzt steht da das die Funktion einfach mal bitter mal 11 das selbe ist wie die Funktion einfach mal so bitte so war dass es 3 dann kommt 4 es kann noch die beiden Distributivgesetz Gesetze er war das Distributivgesetz wenn sie die 2 Skalare addieren und einen Vektor multiplizieren also nimm uns ein Vektor her also ein 11 Abbildung von nach unten 2 Skalare Alpha-Beta Oskar und den Rechner wieder für alle x in m das war ausrechnen dass uns die Funktion alle farblos später mal 11 anschauen und gucken was dir der Stelle X macht Definition des Gala Multiplikationen unseren Raum nehmen Sie SX und füttern System 11. Nansen Elementen K und multiplizieren Sie dieses K mit dem Skalar was jetzt dasteht ist bloß K das Malen K das dürfen Sie nahm Distributivgesetz auseinanderziehen es ich Farmer F von X plus später von F von X das hier ist das Distributivgesetz
Inka vor tja und jetzt müssen wir wieder zusammensetzen was ist einfach mal F von X das ist die Funktion Alfa 11 an der Stelle x Wettermann von X ist die Funktion Berta 11 an der Stelle x 10 7 Funktionen ist der X plus die eine andere Funktion der Stelle x das ist nach der Definition der Vektor Addition Eifer F +plus später 11 an der Stelle x also haben wir jetzt gezeigt die Funktion alpha +plus später mal 11 das ist das gleiche wie die Funktion einer 11 als später F und das ist genau das was Sie mit Frau 4 steht an sonst versehentlich V 5 ein Prinzip genau nochmal ein analoges Argument aber er im wer jetzt so weit gekommen sind fing das Ganze nicht also wenn wir uns jetzt 2
Vektoren her 2 Funktionen Abbildung von im nach ka mit Bomber 2 Vektoren Fisch V 5 in dem uns ein kann her und rechnen nach das was da steht also einfach mal F +plus die es einfach mal 11 +plus einfach mal ne also wie gerade eben was es einfach F +plus G an der Stelle x das am und beziehen der Funktion das rechnen sie aus indem sie das Gala in kam mit der Funktion mit dem Funktionswert F +plus G von X wurden zielen ja also das ist so zu lesen was ist es bloß gehe von X nach Definition ist das er von X +plus gehe von nix jetzt würde wieder ganzen K dass man das Plus sind Verknüpfungen Car in KG das Distributivgesetz Eifer 11 von x +plus Eifer Vergehen von X das können wieder rückwärts rechnen das ist ein Fall 11 +plus Einfall G an der Stelle x und sie haben äh das V 5 erledigt es ja verwiesen einmal an einem Beispiel komplett vorgelegt sie sehen Vektorraum nachweisen kann zuweilen mühsam sein aber es ist alles nicht besonders tiefsinnig gewesen zusätzlich Schreiberei aber auf jeden Fall kann wir damit ein Beispiel für den Vektorraum der jetzt nicht einfach nur der 3 ist sondern der Traum aller Funktionen von Menge den Körper die Menge vor das völlig beliebig der Körper hinten ist wichtig aber mehrfach gebraucht werden baten sie mich ein wahnsinnig ein bei der Vorteil davon ist ich hab ihn jetzt dieses Beispiel extrem vorgelegt und aus dem Beispiel können wir noch ein bisschen weitere Beispiele saugen und das geht er wieder bisschen schneller und das nächste Beispiel
Teil des ist sind die sogenannten folgen Räume und die wenn Ihnen demnächst noch kurz zeigen und im Prinzip da ich überhaupt nichts Neues weil diese Folge Räume sind Spezialfall-von den Abbildungen also diesen Spezialfall von CD nur ein Spezialfall der sehr oft auftritt und Spezialfall den man deswegen in dem es klar wir etwas abweichende Notationen geht deswegen nicht in die zeigen also was machen wir wir nehmen uns der zu Beispiel C also die Menge aller Abbildungen von innen nach K und schauen uns das einen Spezialfall das in die natürlichen Zahlen sind also was einig was man gut kennt und dann schaut man sich in diesem Raum an alle Abbildungen von den natürlichen Zahlen nach K wenn Sie als K der Erde also alle Abbildungen von den natürlichen Zahlen nach er denn wenn ich jetzt mal 11. bei dass der Raum aller Folgen ist also das ist der Traum aller Foreign K zur und wenn sie mit Folgen zu tun haben dann gibt es eine andere Schreibweise für die Folge was ist denn der Abmeldung von allen nach K das ist die Funktion die der nur eine Zahl zuordnet unter 1 der Zahl Erde der 2 gezahlt worden der 3 in jeder natürlichen Zahl immer reel das können Sie jetzt als für normale Funktion schreiben aber es bietet sich total an wenn Sie so an also eine Folge der mit kleinen bezeichnet wenn sie so ein klein 1 11 haben dann bietet sich an nicht von 3 und von 4 und so weiter zu schreiben sondern sich das einfach als die lange Liste von Zahlen vorzustellen dass es für mich zu den besten Forscher wundervoll will sie haben dass ein 0 genau sind das von 0 sie das A 1 A 2 A 3 A 4 und das ist nun endlich lange Liste von Zahlen nur und 1 0 dass die Schreibweise ist man schreibt eben nicht von in nur als eigene Abbildung von e nach K die normale Schreibweise wäre aber von innen sondern man schreibt am Index-Ende das ist einfach natürlich historisch gewachsen und damit ist gemeint das von allen also der Ente wird das Bild von innen aber wenn man das so schreibt als am dann gibt es eine gute Vorstellung verfolgen nämlich einfach ist nur wenig Liste von Zahlen und das 1. Element der Liste ist es davon 0 das adulte gut dass ein Zusatz weiter verbreitest 4 5 und wenn Sie das so sehen dann können Sie diesen Folgen Raum als im großen "anführungszeichen den K hoch und endlich als der K 1 ist die Menge aller sortierten in Trubel unter folgen Raumes im das wird der Traum vom Bund von oder Islamisten so man sie mal 2 3 Beispiele sehen wollen was den folgen wenn sie zum Beispiel jetzt aber noch ersetzen dann aber die Preen folgen ein Beispiel wäre zum Beispiel in Folge 7 sowie Listen von unendlich vielen Elementen aus er als eine Folge die häufiger auftaucht ist Einzelheiten 3. Viertel im 5. und so weiter das würde man schreiben als einst durch n +plus 1 n n n n was soll das heißen da Rechtsungleichheit Zeichen das soll heißen das ist die Folge alle Elemente die Sie ausrechnen als 1 durch n +plus 1 wenn in die natürliche Zahl durchläuft also jetzt ist gleich 0 dann kriegen Sie 1 dann setzen Sie n gleich 1 der Christenheit Ansatzes in gleich 2 der Krise würde wenngleich 3 geben 4. und so weiter haben auf die Weise können Sie auch verschiedene andere folgen schreiben also auch eine
reelle Folge wäre die er auf Sie können raten wie es weitergeht das die Zweierpotenzen die könnte man schreiben als 2 hoch N n n n setzen Sie erst n gleich 0 haben Sie 1 setzen Sie gleich 2 eines der Krise 2 in gleich 2 gibt 4 in gleich 3 gibt 8 und so weiter so ein letztes Beispiel für jene Folge was ist mit der hier immer ein -minus 1 abgewechselt erhitzen diesen trägt das kurz zu schreiben das ist die Folge -minus 1 Woch en für sehen gleich 0 kommt 1 raus das ist n gleich 1 kommt -minus 1 raus jetzt sehen gleich 2 kommt wieder 1 raus kann soll dessen Beispiele hervorheben und die werden später in der Vorlesung viel auftauchen und dass sie hier mitnehmen sollten ist die zeigen bildende Vektorraum weil Bauern werden sie jetzt sehen wir die Folge sind Spezialfall der Raum aller folgen auf K ist Spezialfall von diesen Fall von diesen Raum aller Abbildungen wenn Sie das gerade der natürlichen Zahlen Mehr in dem Sinne Presse sieht hier gar nichts mehr zeigen dass es ein Vektorraum eben wegen der ganzen Dreiviertelstunde halbe Stunde Arbeit vorher so ja jetzt bleiben der Aufmerksamkeit und bist schönes Wochenende bis Dienstag
Ebene
Algebraisch abgeschlossener Körper
Addition
Länge
Punkt
Zusammenhang <Mathematik>
Gleichung
Komplex <Algebra>
Komplexe Ebene
Multiplikation
Quadrat
Betrag <Mathematik>
Reelle Zahl
Achse <Mathematik>
Komplexe Zahl
Länge
Zusammenhang <Mathematik>
Dreiecksungleichung
Dreieck
Zahl
Linie
Summe
Komplexe Ebene
Ungleichung
Betrag <Mathematik>
Reelle Zahl
Komplexe Zahl
Abschätzung
Ebene
Folge <Mathematik>
Länge
Punkt
Natürliche Zahl
Algebra
Gleichungssystem
Parallelogramm
Kardinalzahl
Körpertheorie
Gradient
Zeitraum
Quadrat
Reelle Zahl
Nullstelle
Addition
Erweiterung
Positive Zahl
Exponent
Dreiecksungleichung
Angeordneter Körper
Algebraische Gleichung
Hausdorff-Raum
Gleichung
Dreieck
Zahl
Strecke
Komplexe Ebene
Polynom
Betrag <Mathematik>
Ordnungsrelation
Volumen
Ecke
Ebene
Faktorisierung
Momentenproblem
Algebra
Gleichungssystem
Gradient
Richtung
Quadrat
Algebraische Struktur
Nullstelle
Raum <Mathematik>
Parametersystem
Mathematik
Vektorrechnung
Reihe
Vektorraum
Gleichung
Zahl
Null
Lösung <Mathematik>
Komplexe Ebene
Axiomatik
Polynom
Lineare Algebra
Axiom
Addition
Multiplikation
Faktorisierung
Vektorrechnung
Menge
Abbildung <Physik>
Vektorraum
Element <Mathematik>
Axiom
Vektor
Physikalische Theorie
Skalarfeld
Addition
Faktorisierung
Punkt
Primzahl
Momentenproblem
Vektorrechnung
Natürliche Zahl
Betafunktion
Vektorraum
Kartesisches Produkt
Vektor
Skalarfeld
Strecke
Komplexe Ebene
Summe
Weg <Topologie>
Multiplikation
Menge
Reelle Zahl
Fächer <Mathematik>
Rundung
Meter
Axiom
Einfach zusammenhängender Raum
Tupel
Addition
Vektorrechnung
Momentenproblem
Element <Mathematik>
Vektorraum
Vektor
Summe
Komplexe Ebene
Multiplikation
Menge
Axiom
Addition
Faktorisierung
Vektorrechnung
Parallelogramm
Switch <Kommunikationstechnik>
Vektorraum
Axiom
Vektor
Zahl
Matrizenrechnung
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Natürliche Zahl
Element <Mathematik>
Vektorraum
Vektor
Skalarfeld
Zahl
Index
Multiplikation
Menge
Endogene Variable
Einfach zusammenhängender Raum
Matrix <Mathematik>
Multiplikation
Matrizenmultiplikation
Betafunktion
Endogene Variable
Vektorraum
Ebene
Faktorisierung
Matrix <Mathematik>
Gewichtete Summe
Matrizenmultiplikation
Abbildung <Physik>
Berechnung
Formation <Mathematik>
Vektorraum
Vektor
Skalarfeld
Zahl
Unendliche Menge
Summe
Menge
Ecke
Funktion <Mathematik>
Addition
Abbildung <Physik>
ALI <Programm>
Gleichheitszeichen
Element <Mathematik>
Vektorraum
Axiom
Ausdruck <Logik>
Gradient
Funktion <Mathematik>
Addition
Quadrat
Menge
Momentenproblem
Inverse
Abbildung <Physik>
Formation <Mathematik>
Vektor
Gradient
Assoziativgesetz
Faktorisierung
Multiplikation
Menge
Spieltheorie
Abbildung <Physik>
Vektorraum
Axiom
Vektor
Skalarfeld
Addition
Multiplikation
Rechenbuch
Distributivgesetz
Abbildung <Physik>
Element <Mathematik>
Gesetz <Physik>
Vektor
Skalarfeld
Funktion <Mathematik>
Folge <Mathematik>
Menge
Vektorrechnung
Distributivgesetz
Natürliche Zahl
Abbildung <Physik>
Element <Mathematik>
Vektorraum
Raum <Mathematik>
Zahl
Funktion <Mathematik>
Natürliche Zahl
Abbildung <Physik>
Vektorraum

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Lineare Algebra
Serientitel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 11
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/33622
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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