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Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik: Reihen II

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n Tagen an der TU Darmstadt so
oder meinen schönen guten Morgen und herzlich Willkommen zur letzten Woche malte 1 wir stecken mittendrin in der Behandlung von Ryan also unendliche Summation von reellen oder komplexen Zahlen wir hatten schon gesehen die Frage also der Konvergenz einer Reihe aber zurückgespielt auf die Konvergenz einer Folge Weinerei ja eigentlich nichts anderes als eine Folge ist bereit ist die Folge der partial Summen und insofern war das kein großes Problem Konvergenz zu definieren und ich hatte ihm gesagt dass Problem rein ist immer festzustellen ob solo konvergieren nicht und wir haben gesehen dass es nicht so die intuitiv was da passiert es gibt sogar ein bei den Sie zwar immer kleinere Zahlen aufsummiert aber trotzdem das Endergebnis noch unendlich groß ist sie harmonische Reihe und wir haben gesehen 7 Film verteilte Vorzeichen die Reihe einbauen dann kann sich die weggeben dann kann es passieren dass es trotzdem konvergiert das war die alternierende harmonische Reihe und ich will jetzt ein Begriff einführen der diese beiden Phänomenen bisschen von dann der Trend ist der Trend ob eine Reihe konvergiert weil die so man schnell genug gegen 0 gehen oder ob sie konvergiert weil das Vorzeichen oszilliert und deswegen viel weg und dass der Begriff der absoluten Konvergenz 1. Abschnitt 5 1 1 und absolute Konvergenz wie das der Name schon sagt es irgendwie ein bisschen mehr als Konvergenz im Prinzip ist dass die Konvergenz die entsteht dadurch dass die zum einen wirklich schnell genug sein wird und in dem Kapitel geht als 1. diesen Begriff und zweitens dann weitere Konvergenzkriterien weil das ist das A und O im Zusammenhang mit rein weil ich auch schon gesagt habe wirklich ein Werte ausrechnen ist meist sehr schwer so Definition was heißt absolut konvergent dann also die Reihe Namen der Reihe das heißt eine Folge AN informieren über diese Folge 3 in K das heißt also wieder oder zählt und die heißt absolut konvergent wenn die Konvergenz nicht von den wechselnden Vorzeichen kommt das heißt wenn die Konvergenz auch da ist wenn die Vorzeichen egal sind und das bedeutet sie schauen sich nicht die Reihe über an sollen die Reihe Betrag AN und bei der Reihe könne nur die Vorzeichen nicht mehr helfen weil die Vorzeichen sind weg und wenn die immer noch konvergiert dann nennt man die Reihe absolut konvergent in den Absolutbetrag immer noch Konvergenz da kommt das Wort das wir aber schon gesehen es gibt 3 die konvergieren aber nicht absolut konvergieren das Beispiel ist die alternierende harmonische Reihe wir sehen die konvergiert beim Leibnitz Kriterium gegen log 2 aber wenn ich die Beträge drüber mach ich die harmonische Reihe und die die Welt in so was ich jetzt aber zeigen will ist dass die Umkehrung gilt dass der Begriff absolut konvergent das ist Wasser was er zu sein vorgibt ich meine schon die ganze Zeit wieder falsche man der also dass es Abschied 4 also ich will zeigen dass jeder absolut konvergent der Reihe auch konvergiert das ist nach der Definition der an anzunehmen aber beweisen muss man es trotzdem direkt sehen tut man es nicht wir wissen dass die Reihe über die Beträge konvergiert und müssen daraus folgern dass die Reise selbst konvergiert oder Satz 1 und 2. Teil die konvergiert und es geht noch folgendes das sogenannte verallgemeinerte Dreiecksungleichung also wir wissen dass die dieser Reihe in gleich 0 bis unendlich dann konvergiert wird dieser Wert existiert und der Betrag davon ist kleiner gleich dem der einen Wert der Reihe über die Beträge in das heißt wenn Sie so wollen wenn sie absolu komme denn der Reihe haben geht die Dreiecksungleichung würde für die der unendliche so während die Dreiecksungleichung war Betrag besuchen ist kleiner gleich so würde Beträge das dürfen sie sogar mit unendlich vielen Summanden machen solange die Reihe absolut Konvergenz wenn gereinigt absolut ,komma gibt es dann wenn Sie so wollen stimmt die Ungleichung auch weil dann steht rechts unendlich und unendlich ist auf jeden Fall größer gleich was her nur dann ist das sie nur dann ist sie nutzlos aber P gut als das den Hals verallgemeinerte Dreiecksungleichung verallgemeinert deswegen weil sie eben unendlich viele Summanden haben und ich finde Dreiecksungleichung nur 2 oder
endlich zwar nur das beweisen also was wir beweisen müssen ist dass jeder absolut konvergent der Reihe konvergiert die Trapper allgemeine 3 Dreiecksungleichung wird dabei sozusagen als freundliches zusätzlichen gab frei und der Beweis dafür dass große Kriterium das wir gab ich ihm das vom eingelegtes hat letzten Freitag das ist das große Kriterium verfolgen umformuliert rein und das wollen anwenden um die Konvergenz unsere Reise zu zeigen also was müssen wir zeigen für jedes Epsilon größer 0 finden den Index n 0 so dass diese freien Stücke kleiner also die Summation von 1 l bis zu dem andern K kleiner als Erbsen und werden nur K und L groß genug es war also man selbst nun größer 0 vor gesucht dass das N 0 West wissen ist dass die Reihe über die Beträge konvergiert ja also können wir für die das große Kriterium anwenden das große Kriterien ist genau dann wenn bei dasding konvergiert gibt es große Kriterium also geht's daher eine 0 wir das was darum stehe hinschreiben so dass egal welche K und L größer gleich 1 0 sich nehmen Geld dass der Betrag über die n über die Stücke der Reihe wenn sie von
allen +plus 1 bis K summieren über Betrag AN der ist kleiner selbst mir dass das große Kriterium für die Reihe würde Betrag ein gut man sie natürlich lauter positive Zahl addiere dann werde sie es positiv und wenn sie davon den betrat nehmen dann tut sich da nicht viel also das ist das gleiche wie in gleich L +plus 1 bis K Betrag ein in äußeren Betrag können Sie weglassen weil es das drin steht ist eher positiv so was wir aber eigentlich untersuchen müssen ist ja immer das große Kriterium anwenden wollen müssen wir diesen Ausdruck da kleinkriegen also Summe von L +plus 1 bis K über AN Betrag mit dem müssen uns beschäftigt das haben Sie mir das die Frage was tut man ja man überlegt sich ich Beweis das ist ich hin und zweitens worüber weiß ich was ich weiß was über diese Summe Betrag AN und ich hier wissen der Betrag von der Sonne das schreit geradezu nach Dreiecksungleichung und wir können jetzt einmal die normale Dreiecksungleichung verwenden weil das ist es endlich so Summe Zimmer nur K -minus 1 -minus 1 so man da geht die Dreiecksungleichung das heißt das ist kleiner als die Summe der Beträge eben gleich L +plus 1 bis K Betrag 1 und das ist leider als y für alle K Größe L größer gleich in kann also ist unsere Reise tatsächlich konvergent machen große Kriterium wird diese Bedingungen nachgewiesen damit es die Reihe konvergent an große Kriterium es müssen
also noch überlegen wo die 3 verallgemeinerte Dreiecksungleichung herkommen also dieser Reise es erstmal konvergent noch Kosky und die verallgemeinerte Dreiecksungleichung wenn wir jetzt aus dem Grenzübergang aus der normalen Dreiecksungleichung und dem Grenzübergang können wir jetzt machen weil wir eben wissen dass alle Beteiligten größten Konvergenzen so was wollen wir zeigen die verallgemeinert Dreiecksungleichung das heißt wir wollen zeigen dass das da kleiner gleich der Summe der unendlichen Reihe über die Beträge eigen ist wir wissen dass das der Limes K gegen unendlich n gleich 0 bis k a n ist also war gerade der einen Wert definiert es Grenzwerte partial Sohn dann haben wir gesehen das ist Nummer 3 7 war das werden der Folge konvergiert dann Comeback im Komödien die Beträge gegen den Betrag von sehenswert also ist das das selbe wie Carl unendlich von Betrag Summe in gleich 0 bis k a n so jetzt haben wir aber eine ähnliche Summe in der endlichen Summe können wir die Dreiecksungleichung anwenden das heißt hier steht denn das KG nun endlich so mal n gleich 0 bis K Betrag einen wir wir genau sind nicht nur die Dreiecksungleichung verwendet sondern auch 3 7 c das war die Monotonie vom Grenzwert das wenn 2 Folgen ein immer kleiner gleich ist dann ist auch der Limes eine wird Dichte die Mystik so und was jetzt dasteht ist genau unendliche Reihe über die Beträge in gleich 0 bis unendlich Betrag an von der wir wissen Sie konvergiert das sehen könnten es alles hinschreiben so war damit haben sie auch die 3 zum Beispiel verallgemeinert Dreiecksungleichung Mitreisenden für rein und dann ist das erledigt ich vielleicht wie ich vorhin schon gesagt aber ich schreibs noch hin damit hier keine damit niemand auf die Idee kommt die Umkehrung von Satz ist grob falsch ja Beispiel alternierende harmonische bei sie Konvergenzen aber nicht absolut konvergent 3 und davon gibt's reichlich so und was ist jetzt der .punkt deshalb diese Unterscheidung so wichtig ist und die wird das wird sie zumindest alle die ich am Montag 1. Treffpunkt war wahrscheinlich diese von Stühlen hauen konvergenter Reihen nur konvergent aber nicht absolut ,komma denn der Rhein 4. bisschen hässlich 10. bisschen werden diesen ich brav in welchen Sinn sie müssen sich von einem lieb gewordenen Rechenregel verabschieden zu dürfen es wählen der Summation in einer konvergenten aber nicht absolut ,komma gereinigt in der Reihenfolge ändern wenn Sie eine Konvergenz aber nicht so komme den 3 in anderer Reihenfolge summieren dann ändert sich der Rhein wird sie können sogar wie Sie können die alten Länder harmonische reingehen der damit sehen wir die so auf so das hatten einzulösen haltlosen 3. müssen würden vom 5. und 6. hab ich ihn behauptet kommt log 2 aus 10 man hatte zwar auch noch die können Sie so umsortieren nun sortieren ja nix dazu in unser Team das 42 Rostock das auch so umsortieren dass sie gegen den ich bestimmt divergiert die könne so umsortieren dass sie die Genossen einig bestimmte Wege können sich aus die gegen alles und das ist also nicht ein kritisches Thema mit diesem ,komma geht und ich abzukommen Gerbereien sind ein bisschen ist das nicht und das ist der Punkt warum absolute Konvergenz so was Schönes ist und das Wehgeschrei bisher die Bemerkung der einen Wert absolut konvergenter Reihen des von der so mations Reihenfolge unabhängig das hört sich
erst mal nach einer Banalität an aber wie gesagt ist ist es nicht weil konvergent nur nicht absolut ,komma Gärtnereien ist nicht so nur also auch ne konvergenter Reihen ist natürlich dagegen immun dass sie nur die 1. beiden Summanden vertauschen und danach alles gleich ist das ist wurscht aber wenn sie wirklich durch die ganze Reihe durch das westliche wenn wir das Zeug vertauschen dann wird's gefährlich aber für Abzug oder der der dass solch abstrusen Dinge nicht das wenn Sie auf der sicheren Seite sein wollen weisen Sie am besten immer gleich nach einer Reihe komme geht absolut dann mehr kann man mit der rechten wie man es gewohnt gut also hätten wir gerne Konvergenzkriterien für absolute Konvergenz oder gibt es glücklicherweise stapeln es war ein Stapel von Berlin die man sehr die man im Normalfall sehr praktisch anwenden kann so und ich bin ich ihn jetzt das 1. das sogenannte Mayor ranken und Minor Rankingkriterium also gut nehmen Sie 2 Folgen der Einfachheit halber erfolgen 1 ein dann können Sie die Reise über einen die Reihe der PIN anschaut und die von diesem Kriterium ist jetzt im Lauf der Zeit weiß man von paar 1 C konvergierende also von harmonischen wissen sie komme die nicht von der alten haben wir von der Rail über 1 durch n Fakultät habe hab ich ihn behauptet die Komödie gegen die ja sie die Reihe bei 1 sich immer 1 +plus 1 konvergiert lauter solche Dinge und die die es jetzt wenn sie von alleine schon wissen wie konvergiert dann können Sie andere rein damit vergleichen und je nachdem feststellen ob die auch konvergieren nicht das Erste ist ein Konvergenzkriterium wenn sie wissen dass ihre Folge AN im Betrag immer gleich der Folgen des in ist für alle n aus und sie wissen irgendwo her schon dass die Reihe über die B 1 konvergiert das ist in dem Fall automatischen absolute Konvergenz weil das B ndnis größer gleich Betrag am Ende des BND größer gleich 0 für alle ein automatisch Betrag 1 immer größer gleich 0 und es lauter positive Zahlen addieren ist natürlich Konvergenz und absolute Konvergenz das er also wissen aus gutem Grund die Reise des konvergiert zum Beispiel weil das geometrische Reihe ist EN des koreanischen QC kleiner 1 also gut ich -minus 1 1 dann wäre wissen Sie die kommentiert und wenn Sie jetzt wissen ihre Folge Betrag am Tag immer unterhalb von B wenn es irgendwie naheliegend das dann auch die Treiber betrage 1 konvergieren gehen muss weil betrage er wird zwischen nun PIN wenn die Reise des konvertiert sie addieren weniger zusammen damit kann ich kann die Reise die er am ich abhauen über Betrag AN kann nicht mehr sein als der Rhein wird über die B 1 und dann insofern muss das Ding konvergieren also das ,komma gehen dann konvergiert auch die Reihe über die Beträge von ein und wenn die Reihe über die Beträge von einem konvergiert dann
heißt das dass die Reihe über ein absolut komme das ist das sogenannte Mayor Kriterium und in dem Fall nennt man PIN eine konsequente Mario rannte nur das eine Folge die die Folge Betrag am majorisiert und deren Reihe konvergent ist und es ist ne konvergierende Major warnte und die Reihe über ein von mir geht absolut das Geigespielen Wahnsinn nach unten machen wenn Reihe haben in der Folge haben die immer größer ist als der andere Folge der Reihe divergiert also sie haben eine Folge die immer größer gleich 1 durch in ist und die Reihe weiß sich in geht von den unendlich da muss auch die Reihe überein denn wenn sich den weil sie immer größere Zahl agieren als in der die Schonung gegen unendlich konvergiert bestimmt dämlich divergiert das und das ist das sogenannte Miene rannten Kriterien also sie vergleichen wieder die Folge am und pm von BM wissen Sie was von einem wollen Sie was wissen also wenn am größer gleich B größer gleich 0 ist für alle n aus allen und die Reise über die PIN die Welt wird dann ist eine Reihe die größere Summanden hat als die sowieso schon die wegen der Reihe über die WM dann ist auch an die Reihe über die A 1 divergent die kann nicht gegen das endlich das gehen weil sie durch die schon die Werke in der Reihe über die B Entminung besiegelt wird das nennt sich das nie 9. Kriterium und naheliegenderweise wenn man den die in die folge PIN 1 divergent Deminor
rannte will oh und das ist ein sehr angenehmes Kriterium zum Nachprüfen weil was in machen müssen ist ihre komplizierte Reihe Vergleiche mit einfachen von der sich schon was wissen 2 Bedingungen brauchen Sie damit damit sie das mit Gewinn anwenden können 1. brauchen Sie natürlich so kleinen Stall voll rein über die man was weiß ich Zimmermann man keine Vergleich das Möglichkeiten hat kann man auch nichts dergleichen also müssen einfach von 5 6 1 3 1 wissen ob sie konvergieren nicht und das immer wieder bei unseren einsame Insel reine also die geometrische Reihe muss man kennt exponential Reihe muss man kennen die harmonische Reihe ist die klassische die die mir noch einzelne und das 2. ist man muss eben seine komplizierte Reihe mit der einfachen vergleichen und dazu muss man abschätzen man braucht ne gewisse Routinen abschätzend und das heißt sie werden es wenn sie das eben 10 Mal auf das Problem gestoßen dass die Konvergenz den Ignoranten und divergierende Majoran befinden und das ist halt so ja das ist Übungssache und im Lauf der Zeit findet man kann man das ganz gut anwenden so ich will ihn einfach doch 2 Beispiele dafür zeigen für die Anwendung von dem Kriterium ein 1. Minor waren damals das meine rannten Kriterium also wir brauchen Reihe mit der wir vergleichen können ich habe das schon gesagt die harmonische Reihe so die klassische Minor rannte mit der man vergleicht die harmonische Reihe ist die über eines sich eng von der hat nicht hatte ich Ihnen gezeigt die Welt wird denn die divergiert sehr langsam aber sie divergiert bestimmt noch unendlich so und jetzt können wir wissen wir dass alle 1 werden Summanden immer größer gleich 1 durch in sind müssen dann auch die Begier und eine Schar von solchen reines zum Beispiel die folgende nehmen Sie würden kleiner 1 also zum Beispiel halt nur halt vor da is wenn Sie dann entnehmen dass ich kann also ist dann immer n größer gleich in hoch Alfa n ist größer als der Furz Länge also wenn Sie das meinen Kehrwert betrachten kriegen 1 durch n kleiner gleich 1 durch ein Hauch Alfa bedeutet genau nachdem Ignoranten Kriterium haben Sie jetzt mit ihre die Folge eines sicher noch als war nach unten abgeschätzt durch einen Stich in also ich hatte auch da verstehst nur also Minderheiten Kriterium am ist bis jetzt die folge 1 durch in noch Alfa B n ist die Folge eines durch N wir haben als wir noch alpha größer gleich als sich in größer gleich 0 die Reihe wird BMW erweist sich indes die divergierend also ist auch die Reihe über Einstig in noch allfort übergeben in der ich 1 bis unendlich Einstig durch ein Hauch Alfa divergent für alle Alfa größ kleiner 1 da können Sie ruhig auch negative Alfa zu lassen aber veröffentlicht -minus 1 steht die Reihe über ihn hier einen ist natürlich erst recht nicht 1 1 +plus 2 +plus 3 +plus 4 +plus 5 das nicht viel zu so das war der 1. Teil einmal Anwendung des Minoriten Kriteriums zahme gesehen Treiber Einstig durch in divergiert 3 einzig Wurzel divergiert auch bei über 1 des 7. Wurzlen dividiert noch schlimmer wie sieht's aus in die andere Richtung gehen was ist zum Beispiel 3 über Einstig im Quadrat also schauen uns die an
Summe n gleich 1 bis unendlich 1 durch im Quadrat und da will ich hin zeigen die konvergiert wie machen wir das wir vergleichen mittlerweile die wir schon hatten wir hatten in Beispiel letzte Woche gesehen die Reihe über den gleich 1 bis unendlich 1 durch mal was was einmal ein +plus Essen das ist 1 saß und Teleskop Summen Argument mit der vergleichen wir und stellen fest dass tatsächlich werden damit Konvergenz rauskommt dazu ist es sinnvoll sich die umzuschreiben als in gleich 0 bis unendlich 1 durch n +plus 1 Quadrat und hab ich jetzt nichts gemacht das ist sieht man wirklich ich fange bei 0 an zu zählen stimmt bei 1 Sarah also müssen wir dafür sorgen dass wir wir wollen ist dass Meyer Kriterium anwenden wollen also unsere Freude 1 durch im Quadrat oder einzig im Plus 1 Quadrat als ein die Folge eines durch ihn mal n +plus 1 als PIN und dann das wir die Ungleichung zeigen von dem PIN wissen wir die Reihe konvergiert und den niveauloses Meiereien Friedhelm absolute Konvergenz der Reihe war also brauchen wir die Abschätzung betrage interne gleich gehen auf die Streiche hoher also für alle natürlichen Zahlen nicht gleich 0 sind gilt das n +plus 1 Quadrat größer ist als er einmal n +plus 1 warum Ende seines Vertrages im Plus 1 mal 1 +plus 1 wenig statt Einfluss eines mit in multiplizieren und die Sache kleiner wir sehen Sie davon den Kehrwert einzigen sah einst durch n +plus 1 Quadrat ist kleiner gleich 1 durch in mal n +plus 1 nur dass da Betrag AN das ist
beendet und jetzt liefert Ihnen das Meyer Kriterium das dann auch die Reihe über betreibt über Betrag am konvergiert das heißt dass die Reihe über einen absolut konvergent ist also dass die Reihe n gleich 1 bis unendlich Einstig in Quadrat absolut konvergiert kann also wir haben einst durch ellenhoch Alfa divergiert für alle als wahr größer gleich kleiner gleich 1 also Vater gleich 1 sich in die wir geht auch für n Quadrat konvergiert sitzen sie das neue rannten Kriterium darauf an wer draufwerfen einzig in Hof 5 ist natürlich immer kleiner gleich Einstig im Quadrat also kriegen Sie das für alle größeren Exponenten einstige noch Alfa mit Eifer größer gleich 2 aber auch als ist die Bergung für 15 damit kriegen sie wieder aus Somalia raten Kriterium das wenn sie 1 durch in hoch Alfa der Alfa größer gleich 2 anschauen dann ist auch das absolut konvergent in weil 1 durch in hoch Alfa mit Eifer größer gleich 2 ist eben immer kleiner gleich einzig im Quadrat das heißt wir wissen jetzt bis -minus einsame Divergenz ab 2 habe ,komma geht weg bis 1 haben weil die bei ab 2 Hammer Konvergenzen Exponenten was bisher zwischen 1 und 2 dass es sich hier nützlich vor das gewichen jetzt einfach als Information also was am
Ende rauskommt ist wenn sich die Reihe anschauen n gleich 1 bis unendlich 1 durch ellenhoch hoch Alfa 1 und die Frage ist wann konvergiert die wir gesehen Alfa kleiner gleich 1 die Werke ins All vergrößert gleich 2 Konvergenz und tatsächlich kommt raus Konvergenz genau dann wenn das All verstrickt größer 1 ist also schon für unter dem 100. haben Sie Konvergenz und das erklärt auch so ein bisschen im Rückblick warum diese harmonische Reihe die die Welt kennt ist so furchtbar langsam kriecht sie sehen genau der Ernstfall ist es der Grenzwall Programm noch die Wege ist und so weit sie auf den Exponenten und man Epsilon ein minimales y aufaddieren am Sinne konvergent 3 also die harmonische Reihe ist genau der Grenzfall und an der Grenze liegt noch die Bergens vor mir tja damit haben Sie wenn Sie auch im ganzen Stall voll mögliche dieser den Termin noch anderen ,komma Genter Majoran an wann immer sie ihre Reihe irgendwie mit 1 durch ein Hochaltar Reihe vergleichen kann wissen Sie wissen ,komma gehen für die Werke ins aus wie es ausschaut wenn man von den rein nur weiß ob sie konvergieren oder divergieren so dass das eine ganz wichtige Kriterium und jetzt kommt das 2. ganz wichtige Kriterien oder noch mal 2 wichtige Kriterien um absolute Konvergenz nachzuprüfen essen des Wurfs und des Quotienten Kriterium als 1. die sind sehr ähnlich in ihrer Aussage und bei dem und Konvergenz oder das ein Kriterium für absurde Konvergenz oder Divergenz und lassen sich durch ne ja relativ übersichtliche normalerweise jedes Berechnung entscheiden was ist der Grundgedanke dahinter das angesehen wenn Sie eine Konvergenz haben wollen von einer Reihe den absurde Konvergenz dann muss das was Wasser auf dem man auf jeden Fall in 0 voll ist sonst kann es nicht funktioniert aber wären auch gesehen 0 Folge allein reicht nicht folge 1 durch einen das wunderbare 0 Folge die Reihe divergiert das heißt diese Folge dieser aufzunehmen was irgendwie schnell genug gegen 0 gehen denn die Frage ist wie misst man schnell genug was wir brauchen ist sozusagen Geschwindigkeitsmesser für die Folge wie schnell geht es den gegen 0 und das ist das was diese beiden Kriterien lieferte zwar also 2. Sekretär des folgendermaßen Erfolge in K a so das entweder den Limes n gegen unendlich von der n-ten Wurzel Betrag AN existiert oder dieser Ausdruck und beschränkt ist also die Folge in der Wurzel Betrag am unbeschränkt und dieser Ausdruck in der Wurzel vom Betrag am der gibt Ihnen die Geschwindigkeitsmesser dafür wie schnell die Folge 1 gegen 0 geht warum was passiert sie haben wir 2 ängstigen an der Arbeit ja die Freude am geht gegen 0 wenn sie nicht gegen 0 geht es haben sie keine Konvergenz der Reihe also die Folge 1 geht gegen 0 besucht das ganz gegen 0 zu drücken die Ente Worte von irgendwas geht immer gegen 1 Uhr das heißt diese Ente wusste da oben sieht die Sache nach 1 und die Frage ist wer gewinnt die wie die Folge unten drin und machte daraus das 0 gewinnt das er auf die Wurst macht einen Strauß oder tun sie sich irgendwo dazwischen ein kennt wir und genau das kann man nutzen um festzustellen ob die Reihe konvergiert denn das wollte Kriterium sagt Ihnen jetzt wenn sich jetzt die Reihe über die AN anschauen also die Reihe in gleich 0 bis unendlich AN ist dann absolut Konvergenz wenn die sagen dass den da oben postuliert haben strikte kleiner 1 ist wenn
also die Folge unten in der die Folge am stark genug ist um zumindest ein Kompromiss zu erzwingen sei ein Ziel gegen 0 die wozu sich gegen 1 und wenn die Folge stark genug gegen 0 zieht um zumindest dafür zu sorgen dass ich 1 rauskommt dann haben sie absolute Konvergenz sie kriegen des Vergehens wenn die Folge 1 extrem schwach ist also ich mein dass das ist ein relativ zumindest Kriterium war das schon dafür sorgt dass einem nicht mehr gegen 0 geht also wenn dieser in bisher strikt größer 1 ist dann kriegen sie die ins und genau so kriegen sie die Wege ins falls diese Folge beschränkt das muss werden kann sein dass der Glanz wenig existieren Gefolges unbeschränkt nahm sie auch die direkt also diese dieser Ausdruck Ende wozu Betrag am besten Geschwindigkeitsmesser der sagt wie stellt sich die Frage nach 0 so ausrechnen den Grenzwert bestimmen und wenn der kleinste kleine 1 ist haben sich die Konvergenz sogar absolute Konvergenz klar das Kriterium Check Betrag um es drittgrößter 1 wird haben sie den ergänzt und ich natürlich fragen sie mir stellen ist ja was 1 rauskommen dann sag ich haben Sie Pech gehabt weil dann sagt das dass ist der Moment wo das Kriterium sagt dann aber und genau das Gleiche passiert in am 2. 4. und ich beim 14. Kriterium auch das hat leider keine Ahnung Funktion ist von der Idee der genau das gleiche komm doch fast das Gleiche der gleiche Satz heraus sie haben andere Geschwindigkeitsmessung zu also und zwar diesmal mit dem Quotienten wie der Name schon sagt sehr wieder ne Folge Emkaer hatten und diesen dann muss die Folge darf die Folgen nicht 0 sein wir wollen gleich teilen kann also befolgen Kaden es sondern geht wie oben existiert der richtige Grenzwert bei Lösung der Grenzwert
n gegen unendlich von Betrag am Fluss 1 durch AN das der Grund warum eigentlich nur sein darf ja oder diese Volkes wieder unbeschränkt also die Folge Betrag am Schluss 1 durch einen ist unbeschränkt tja dann können sie wieder sagen je nachdem was der Grenzwert dieser Folge Betrag Ampel etwas 1 durch am ist können Sie was über die Konvergenz der Reihe AN auszusagen und die ist genauso wie oben kleiner 1 größer 1 gleich 1 hat einer sie kriegen das die Reihe ein
absolut konvergiert wenn der fragliche Grenzwert strikt kleiner 1 ist also dem es in gegen unendlich A 1 plus 1 durch a einen im Betrag er muss strikt kleine 1 seinen nahm sie absolute Konvergenz sie kriegen die Bergens falls dieser Grenzwert strikt größer 1 ist oder die Folge beschränkt also wieder der Grenzwert über betrage 1 plus 1 durch einen Strick größer 1 oder eben die Folge am plus 1 durch einen unbeschränkt und auch hier kommt der ahnungslos Moment wenn Sie 1 rauskriegen dann sagt dass Patienten Kriterien genauso wie das Wurzel Kriterium keine Ahnung und dass es tatsächlich so ist zeige ich ihn auch gleich ein Beispiel geben kann n es gibt es beweisen wollte Kriterium drin denn erspar ich jedem Moment im Prinzip nur sozusagen ein Wort zur Idee davon das ganze wird zurückgespielt das mal raten Kriterium 2. Sekretärin ist sozusagen das allgemeine meiner alten Kriterium beim Vergleich gegen die geometrische Reihe und was mit dir macht ist man Vergleich mit der geometrischen Reihe von der weiß man für richtig Kosik konvergiert und divergiert und die Grenze der COS ist dann der Betrag QC leider eines Konvergenz Betrag QC größer 1 die des das genau die einst die sich ja da kommt dir gut also immer erst mal nochmal schriftlich den Bergung von gerade eben Bemerkung 4 17 ist der Grenzwert genau 1 ist keine Aussagen möglich und ich die ihn an der Stelle gleich den guten Tipp aber das immer wieder sieht also wie dem und der Reise sollte stelle dir konvergiert also das normale Busse Kriterium drüber und dummerweise kommt 1 raus Na liegen die Idee wenn immer 2 Sätze Kriterium Erfahrungen wenn das wurde sie um ausdruckt 2. Quotienten Kriterium manche auch 1 probieren Sie es selbst gar nicht da die beiden sind ziemlich genau gleich gut wenn das eine was kann ich kann dann kann es das andere auch ich also wenn einzelne meinte 1 aus spuckt dann so sich was anderes dann ist meiner erwarten Kriterium oder überlegen sich im Ausmaß ganz anderes aber dann ist es völlig nutzlos Zeit damit zu verschwenden das 2. also was wozu hat es Patienten oder umgekehrt immer das Prozent werde das wusste darauf einzugehen es ok natürlich zeigen dass tatsächlich n 1 rauskommt man auch nix wissen kann also es liegt nicht daran dass wir einfach bisher die Leute zu blöde waren zu beweisen dass bei 1 passiert soll es geht einfach konvergent einen für die benutze Kriterium aus 1 oder absolut konvergent der Rheinbund wozu Gezerre Mainz auskommt und es gibt die wegen der nutze Kriterium 1 rauskommt also das Kriterium ist einfach zu grob um diese rein zu unterscheiden und ist mir relativ grober Geschwindigkeitsmesser R und die beiden Beispiele eigentlich in die ich nehmen Wesen die harmonische Reihe also das Standardbeispiel
findet die Berge in 3 n gleich 1 bis unendlich einst ich allen ist die divergent aber auch gesehen in gleich 1 bis unendlich Einstig im Quadrat ist konvertiert sogar absolut komme also habe zwar eine Dirigenten nachzukommen und ich zeige Ihnen jetzt 2 Siege der wie für beide 1 nur es liefert sogar das wollte Kriterium liefert sogar für jede Reihe der Form eines durch in hoch Alfa ende 1 also nehmen sie dann Faust vorher solche zur CeBIT hermachte Wein so ist normalerweise was müssen wir tun wenn wir jetzt also diese freikriegen 3 sich ändern oder reibe einzig in Quadrate dabei über einzig in noch als er wir müssen uns diesen Ausdruck Ente Wurzel vom Betrag am also machen wir das was ist Ende Worte von Betrag 1 durch ellenhoch Hochaltar macht das gleiche mit den Hochaltar damit ich den Fall eines sich in den Fall an sich im Quadrat auf einmal abgefrühstückt wird und liegen einfach nur aus Kuh und ich das erzähle weil wir noch überhaupt nicht wissen wo wir reden Zahl potenziert es ist noch ein offenes Problem aber mit gut rationalen Zahlen können wir schon potenziert also einzig in hoher Alfa was ist das das ist erst mal 1 durch Ente Wurzel aus m hoch Eifer das können sie auch noch mal anders schreiben als Ente Wurzel von n hoch -minus einfach schnell das man aus den muss er noch als erst mal in die Wurzel in hoch Eifer und 1 einst durch irgendwas hoch Alfa ist irgendwas hoch minus 1 so eine eine interessiert uns gar nicht diese aus sollen den Limes in die nun endlich davon also schreiben uns über Limes in Dichter vor zwar danach über eine Rechenregel für den Limes die war dass der Limes von den Ausdruck auch als war derselbe ist wie der Limes von Ausdruck 2 Eifer und also mit denen die Dietfurter quoll die Potenz nach außen ziehen und dann Blattstiele Limes über Ende Wurzel in und den hatten wir irgendwann mal in ein Beispiel wie schon gesagt was da rauskommt des 1 und sie sehen und egal welches Futter Potenz als sie nehmen nur Sekretär kommt immer 1 raus aber man auch gesehen es hängt stark vom Alter ab ob sie Konvergenz wird Belgiens haben vereist hat für negative Alf Ramsey die wegen des dann geht's bis 1 sie die Wege ins und für alle Zahlen größer 1 haben sie Konvergenz und für diesen Unterschied ist das Wort gewähren blendendes kurz den Kriterien auch kann sie gleich in Prozent der machen noch ist im Prinzip sind beide Kriterien blind gegenüber polynomial im das ist der Punkt auch mal so polynomial es Wachstum in en können nicht abfahren und deswegen da liefern sie einfach 1 und Sie kommen nicht weiter Sie kriegen wir keine Informationen
aßen Kriterien das bedeutet aber auch wenn Sie wenn Sie eine Reihe haben denn so meint irgendwie nur rationale Funktionen in sind also eine Reihe über im Quadrat plus 5 durch m hoch 3 -minus in Hof 7 +plus 3 oder so was denn sie nehmen wollte Kriterien ran nehmen und sendet die und das wird nicht funktionieren das wird unter Ansage 1 rauskommen kurz davor serviert wo sind blind für polynomial das Verhalten also arbeite ich so viel gesagt wofür das Zeug nicht gut ist dann muss ich ihn noch einmal zeigen wofür es gut weil sie sind wirklich wenn man aus dem kolonialen Bereich aus ist sehr starke Kriterien also machen wir ein leicht im Moment sehr schön zeigen kann das er Reihe konvergierenden mit dem Quotienten Kriterium schnell kurz und schmerzlos sogar gleich noch eine Reihe in denen beliebiges Z drin steht also z ist beliebig aus C und wir schauen uns folgende Reihe an eine sehr prominente weil die ganze noch oft sehen weil BZ hoch n durch n Fakultät tja Konvergenz in Abhängigkeit von Z für welche Z konvergiert das Unmögliche gerichtet ist es hat zum einen gute Chancen zu konvergieren Weihwasser und in der steht in Fakultäten die die zieht nach 0 in beeindruckender Geschwindigkeit Mehr andererseits wenn das Zelten sehr großen Betrag hatten wir z u n auch verdammt schwer großer fragen was ist stärker das ist ist es bei diesen den es werden immer die Frage welches entzieht stärker also es ist das ist schönes Beispiel verwurzelt 14. Kriterium Frage ist welches nennt man klassische Frage insbesondere für ich habe der Klausur nicht Zeit beider auszuprobieren wichtig ist da gibt es natürlich nicht die Regel dar das ist das ist eine Sache der Intuition ich dann in ein ein Tipp also einen Tipp geben eine grundsätzliche Sache wenn Fakultäten drinstehen Streits nach Prozenten Kriterium versuchen Sie zu vermeiden bei Fakultäten Wurzeln drauf zu werfen weil in Wurzlen Fakultät berufen Folge und außerdem das tolle Fakultäten ist man kann sie so wunderbar kürzt also Fakultät der Fakultät ist super und deswegen ist er kurz hätten Kriterium das richtige für Fakultät wenn Sie Na haben wir extrem viele Ente Potenzen drinstehen wenn Sie das Wort Kriterium schöner wenn sie Ende Worten dass er Potenzen ziehen dann wenn sie schon das vereinfacht sich wunderbar er hat also so man so'n bisschen die Folge angucken wieder der in der Summe drinsteht und schätzen was sie muss also überlegen welches der beiden Kriterien führt auf einfache sind haben aber sie müssen in der von internen Limes gegen unendlich ausrechnen und die einfachere ist umso schöner wo man sagt wir pro Tag oder in den stehen haben dann würde ich üblicherweise aus Prozente deren plädieren weil dann können Sie wahrscheinlich hoffentlich ganz gekürzt das können wir gleich auch müssen noch 1 aufpassen dass Quotienten Kriterium fordert der zu Recht dass das eine nicht 0 ist weil wir sonst müsste durch einen Teil bisschen Blut das müssen erst mal ausschließen wann ist denn hier unseres Wahnsinn wenn wir unsere Summanden 0 sie sind nur in einem banal fallen 0 nämlich wenn z 0 ist allen z 0 ist dann ist unsere dann bis zum Glück die Konvergenz leicht zu entscheiden weil was ist dann in gleich 0 bis unendlich nun auch endlich in Fakultät und jetzt eine Warnung ganz vorsichtig die 1. Reflex endlich nun ja über 1 um das einst bei der 1. Summand in gleich 0 ist der 1. Summand steht er nun hoch 0 durch 0 Fakultät und nun buchen und ist 1 da in einen weiteren Sohn Markus steht +plus 0 +plus 0 +plus 0 +plus 9 +plus 0 aber es ist 1 also das ist 1 +plus 0 +plus 0 +plus 0 und so weit war aber eines ist trotzdem eine schöne endlich Zahl also das ist ne konvergent bei sogar absolut konvergent 3 eine Weile endlich eine ähnliche Summe ist man absolut konvergent frei zwar das ist der 1. einfache fallen jetzt machen uns wirklich dran
n dieser Reihe darum zu gehen also 2. Fall sehr ungleich kurz Kriterium die gesagt sie können so wusste Gedärm probieren aber wenn sie potenzielle vor kultäten drin haben der das Konzept was es uns am hier unser eigenes Zelt Wochenenden durch n Fakultät was müssen wir tun betrat am Schluss eines durch einen ausreichenden also was es betrage 1 plus 1 durch ein das geht jetzt einen furchtbaren Doppel Bruch also 1 plus 1 ist Senatorin +plus 1 du ich n +plus 1 gut hält geteilt durch 10 Tore durch ihren gut hält und aus dem ganzen denn der Betrag wenn man so'n bisschen ja aber so bisschen drein erst geht dann sagt man und der Tag kann zunächst für aufhören 1 ist wenig aufhören das ist wunderbar weil jetzt machen Sie mal Na wieder einmal durchbrochen Multiplizieren gehen auch also das ist der Betrag von 10 Tore 1 +plus 1 durch M +plus 1 Fakultät mal n Fakultät durch zählte auch in und jetzt sehen Sie in der Aufsicht liegt also das ist ja traumhaft zählt doch ein 1 durch z hoch in da können wir die große kürzt Maschine anwerfen das ist nur ein Z und entlang oder durch andere seien zwar gute Eltern kürzen sich auch ein Faktor raus und oder bleibt einfach man endlos 1 ja also einfach ganze versehene seines Einsatzes vergessene dass Betrag also steht der Betrag Z durch M +plus 1 zur was ist jetzt der Limes davon für endlich nein das klingt zieht in die Moderne nicht die damit der Pleite Zeller wie ist unter den damit ganz verdammt groß das ist nur 0 ist kleiner als 1 nur zum uns einig ist also in dem Fall die gewinnt die Folge am und zwar über alle Maßen war die Folge n nach 0 und die Ente wurzelt Odette die der Quotient keine Chance und wir haben hier absolute Konvergenz vom reinsten also das Ganze geht natürlich für jedes Z also dass unsere sei absolut konvergent für alle Z aus ausziehen war ich weiß ich strapaziöse Grad vor der Pause ganz Übel aber den müssen wir jetzt noch hinten hängen weil das jetzt hat hier einfach perfekt passt was haben wir da durch wir haben jetzt wir haben jetzt diesen Wert also wenn sie
z geben denn wenn Sie für jedes Z aus C diesen Wert ausrechnen dass diese Zahl sich komplexe Zahl der n das ist das was wir nachgerechnet an bevor muss ich meine eher die Regel haben Sie bei mir zumindest noch nie gesehen ja die würden wir sie die 1 kommen oder so es ist dass wir 1. klar es gut also können wir das ja dass sie diesen Wert ausrechnen und was sie dadurch eigentlich machen es dass meine Funktion definiert versendete Funktion jeder komplexen Zahl diesen Wert zuordnet über diesen Wert wissen wir nicht wir doch wer mit einen so auch einen ausgerechnet Bezirk gleich 0 kommt 1 raus er Mehr aber diese Funktion die kennen Sie alle dies ganz wichtig ich wer denn das auch noch zeitlich wenn sie jetzt erst mal weil wir nicht wissen was es ist ich nenn sie mal groß e Funktion von 10 18 und deren Namen wurden mit dadurch schon was das ist das ist die Exponentialfunktion so heißt das Ding das Ding da heißt exponential Reihe und das ist die 3. die Sie auf jeden Fall auf die einsame Insel mitnehmen müssen also die geometrische Reihe die harmonische Reihe und der Steuerzahler das sind die 3 wichtigsten rein und warum die wichtig ist das sich in den folgenden weiter und dann taucht sie immer wieder auch in Matte 2 auf aber jetzt ist erst mal 30 ich wird dann gern die 2. Hälfte starten und Bugrad die Nachfrage kam dann noch mal kurz drauf hinweisen weil es irgendwie ein ja ein es ist ja auch irgendwie verblüffend ja also wenn sie die Reihe war einzig nehmen dann ist das natürlich die die partial Summen dass es eine wachsende Folge dann immer wenn sie was dazu den setzen wir unsere beliebig viel mehr und es werden unendlich groß sich n ist wenn Superzahl zum Anschauen im Monat und wachsende Folge die aber über alle Grenzen wächst ändern Sie nämlich meine Kleinigkeiten schreibe ich als sich im Sommer als sich im Quadrat ist es immer und noch die Monat und wachsende Folge dass immer mehr dazu addieren aber die wechselt nicht mehr über alle Grenzen sondern die konvergieren komm aber es ist so und da kam es gerade die Frage dagegen war es den mehr also was ist denn da die Grenze also die die die Frage war ja also ich habe Ihnen freuen bewiesen und der ich hoffe Sie glauben den weiß auch 1 durch n n gleich 1 besann er sich eines sich entwe konvergiert der kommen rein wir aus es komme jetzt absolut weil alles immer positiv sind das heißt 3 wird es sogar vor dass Amazons Reihenfolge abhängig also das hat einen den Rhein wird was ist er denn und da komme ich wieder zurück zu meinem wandte er sich ein paar Mal gesagt hat Konvergenz zu untersuchen ist beim leichter mal schwerer aber ein Kinderspiel gegen über die Frage was kommt denn da wirklich heraus der Reihe weiß man's aber es ist nicht besonders intuitiv da kommt nämlich aus piquadrat 6. abgesehen davon dass wir nicht wissen was Pi ist aber da kommt die Quadrat 6 Tore aus der 1. Reise natürlich wie in aller Welt nur ja die Wochen Verände Formate zwar ich zeigt sie nicht versprechen und wenn wir die Zeit dann wenn Sie sagen war das aber viel Aufwand und dann sag ich nicht denn das war viel Aufwand und es gibt 5 oder 6 Beweise dafür es gibt ganz klare Beweise für diese Gleichheit und das was ich in Zweiges der leichteste ja also es ist wirklich rein werde ausrechnen ist ne eigene Mathematik für Name Alter komplett Verrat 6 aus sahen ob ich jetzt ein bisschen rumreiten will ist diese Exponentialfunktion Euro es ist einfach mal nur Funktion angesehen für jedes Z ist das endliche Wert also können im Z denn der Zuordnung das verbinden uns jemand und das Ding heißt Exponentialfunktion so und ich will ihn jetzt zum Einsatz dieses Trends Funktion zeigen und dazu mach ich 1. kleinen Center und worum es jetzt geht ist das sogenannte Churchill Produkt da tauchte wieder der gute Churchill auf koskevan französischer Mathematiker der
1. sehr gut 2. sehr produktiv und 3. am Flusse als war dementsprechend gibt von dem Bände deswegen taucht ein einstellen auf Vorsitzender der Academie Frost also der Frau Martin Merzig mathematischen Abteilung von der Akademie frostfest und und und gut und warum es jetzt beim Kuscheln Produkt geht ist die Frage sie haben 2 konvergent der reinen dann also haben der Reihe AN er im gleichen ich n gleich 1 bis unendlich unter 0 A 1 und Sie haben da war er in gleich 0 bis unendlich PIN meine die beide konvergent da sonst macht es keinen Sinn was da steht was ist denn jetzt das Produkt von den beiden nein so ist das natürlich also rein wird von einer rein wird von der andern aber ist das der wie eine Reihe und die Antwort ist das ist eine Reihe also das in der Reihe ist oder dass das sowas wie ne Reise sein sollte sieht man spätestens wenn man sich mal ein paar Pünktchen gemalt was steht da da steht an und +plus 1 bezahlt 2 und so weiter mal der B 0 +plus B 1 bis B 2 und so weiter und es hat natürlich niemand endlos Zeit aber wenn Sie sich vorstellen sie hätten es dankenswerter jetzt anfangen ganze Strom aus zu multiplizieren also naiv am 6. 2. Lesungen und wenn man jetzt ich bin Mathematiker haben soll MIT-Physiker per Hand daran geht dann würde man hat einfach mal aus um die sich er das Tor machen was passiert denn wenn man das aus multipliziert also was jetzt kommt ist werden nicht noch nicht
gerechtfertigt aber erst meine Idee also was haben wir wir haben die Summe an 0 +plus 1 +plus a 2 +plus A 3 und so weiter mal die 0 +plus B 1 +plus B 2 +plus B 3 und so weiter und wir multiplizieren das aus im multipliziert man aus ja immer irgendwie jeden mit jedem und ohne also haben sie erstmal an 0 B 0 als 1. dann habe nur müssen selten am sind haben 1 0 B 1 müssen unseren System überlegen mit dem daraus multiplizieren sonst der Welt macht spätestens 5 zum war völlig Verrat um ein System ist folgendes wir summieren immer so dass wir also wenn ich mir die zusammen so dass die Summe der Indizes konstant ist also dem 1. alle die Produkte so dass die Summe der Indizes 0 ist die nur 1 aber das wenn Sie alle die dass die Summe der Indizes 1 ist ein sehr 0 B 1 plus 1 b dann nehmen sie alle die wurde so mit der Indizes 2 da haben Sie an 0 B 2 +plus A 1 B 1 +plus A 2 B 0 und so kann man in dieses gehen denn diese Riesen Multiplizierer reinbringen also dann kommen alle die da wo die Sonne der Indizes 3 Sa 0 B 3 +plus 1 B 2 +plus A 2 B 1 +plus A 3 Pino an so können wesentlich weiter machen damit die Vorlesung oder noch auf Techno auf er also aber irgendwie könnte wenn man es sich vorstellbar macht es immer weiter dann kriegt man jetzt unendlich viele Zahlen wobei in jeder Zeile die Therme stehen für die die Summe der Indizes gleich ist das heißt sie haben die kriegen jetzt also Doppelsonde ende sagt in welcher
Zeile sind also dass die Summe der Indizes ist es in den 1. Zeilen sah einen Summanden sehen sie nicht mehr gibt soll der 2. Teil am Sitz 2 man in der 3. Zeile haben sie 3 Summanden der verzeihen Sie diesem Mann war also in jeder Zeile haben sie in so meinten also in der Ecke in Insider haben sie in so dementsprechend wir sehen für jedes er nochmal von 0 bis 1 endlos 1 so nur von 0 bis summieren und dann steht immer drinnen das Produkt von AK und b -minus kann und besondere Indizes ist ein ich und diese Summe haben Sie da stehen zwar das wäre denn natürlich Umformung also wir könnten jetzt mal postulieren das da ist das selbe wie n gleich 0 bis unendlich AN mein gleich 0 bis unendlich B Pandas im allgemeinen falsch und was ist das Problem das Problem ist wieder dieser habe der Konvergenz und der absoluten Konvergenz was wir gemacht haben ist wenn das Zeug aus multipliziert und so lang sind ähnliche Summe ist natürlich alles richtig und dann sonst eine gewisse Reihenfolge entschieden wieder aus multiplizieren und da liegt die Krux bei nur konvergent Name nicht absolut ,komma Gärtnerei aber vorhin gesagt ist die Reihenfolge der sehr aufsummieren leider entscheiden und wenn sie nicht nur die richtige Reihenfolge erwischen dann bestimmt die Gleichheit dann nicht mehr vor dementsprechend funktioniert das im Allgemeinen nicht und deswegen tauchte jetzt wieder ganz wichtig dieser Begriff der absoluten Konvergenz auf dem Moment wobei der rein absolut konvergieren aber ist dürfen sie umsortieren so viel sie wollen und dann ist die Rechnung die wir geradegemacht haben okay ob die war willkürlich in der Reihenfolge wie sie summieren ich hatte dieses DNF erkoren ich nehm immer die Indizes zusammen so dass deren Summe konstant ist das war ein mögliches ist können auch völlig anders summieren aber eine ab so kommen oder ist das egal das das ist jetzt der nächste Satz der sagt wenn sie 2 absolut konvergent Reihen haben dann dürfen Sie so dann dürfen Sie so argumentieren Skat gemacht hat also haben 2 absolut konvergent der einen in gleich 0 bis unendlich AN n gleich 0 bis unendlich PIN absolut konvergent das heißt immer noch freie Betrag es ,komma gehen und dann sagt der Satz dieser Reise die wie ausgerechnet haben wenn Sie der Reihe was mehr Reihe in der wir bis unendlich über und das 1. CNN bei über diese zählen es dann ist dieser Reihe n gleich 0 bis unendlich K gleich 0 bis Ende A K a b n -minus klar auch absolut konvergent und die Dinger sind gleich also die Summe n gleich 0 bis unendlich so Car gleich 0 bis N AKW in -minus K ist das gleiche wie der also der reinen wert ist das gleiche wie das Pro wieder Produkte wie das Produkte rein Werte über am und Werts über B und das Ding nennt man das Grosche Produkt und wichtig ist eben dass ich kann gut meines gibt die Formel für das Produkt und zum andern das funktioniert nur wenn beide rein absolut komme gehen zurzeit nur vorhin hab ich ihm gesagt ne prominente Reise gesehen die absolut konvergiert nicht exponential weiß was passiert wenn wir die exponential Reihe dass der Z Meetings mit seiner Stelle wie multiplizieren das Verblüffendes und was fundamentales für große Teile der
Mathematik im dass der Satz 4 20 also werden diese Exponentialfunktion Yvonne Z über definiert als reine n gleich 0 bis unendlich Z hoch durch n Fakultät für Z beliebig ICE und deren Freunde sehen egal welches Ziel nehmen das ist immer der absolut konvergent 3 am 14. Kriterium das ist das ja wohl definierte schöne Funktion sogar wirklich sehr schöne Funktionen Sinus so und ich behaupte jetzt dass die eine Gleichung erfüllt eine sehr einfache Gleichung ich Ehefrau Yvonne C +plus W ist er von Z mal von W das gilt für alle zw aus 10 g R werde das nennt man die funktional Gleichung der Exponentialfunktion na und also was sich natürlich vorstellen müssen und dass sie am Ende rauskommt ist diese Funktion Yvonne Z ist er Hochzeit Mehr in Sachen zu bis sie oft Hochzeit und was dann da steht ist er Hochzeit +plus es ihr auch Z man jedoch B oder schreiben Sie mir als Potenz rächen Gesetz Na aber wir können das jetzt hier an dieser Stelle eben was große Produkt nachweisen und jetzt sagen Sie mir ja was soll denn der Quatsch wir wissen nur dass Potenz Rechenregeln gelten ja aber wir können überhaupt nur rational Potenz ja haben nicht nur rational Potenzen wir haben Sie wenn Sie das Protestschreiben komplexe Potenzen Two wie auch z damit kann Hannover die umgehen sofern es das große Produkt hier 1 absolut Glücksfall wenn wir kriegen jetzt das ist sozusagen das Potenzgesetz aus dem große Produkt geschenkt wir das dann umgekehrt machen werden dann die reale und die komplexe Potenz definieren über die exponet und nicht von als Potenz ja also das beweisen also die 1. Bemerkung ist alle diese rein die da oben auftauchen sind absolut Konvergenz also Yvonne von C +plus W I und II von Zetteln geht von diesen alles konvergent 3 also Dagmar war kein Fehler was große Produkt anwenden so das sagt uns jetzt das Churchill Produkt aber auf der rechten Seite an das ist von Z mal Yvonne von W hier von 10 Mal Yvonne von W ist so man gleich 0 bis unendlich Z Toren durch n Fakultät kann sich oft genug hinschreiben dass es nicht oft genug hören und dann irgendwann auch auswendig wissen wir dass die Exponentialfunktion und multipliziert mit der Reihe von 0 bis unendlich über wäre auch endlich in verkohlt das sind beides absolut konvergent der also Churchill Produkt die Formel von gerade eben die Reihe von 0 bis unendlich über die Zeit
übervollen hatten in jeder Zeile hatten sie einen Summanden K gleich 0 bis Ende und dann war es aber -minus kann AKS ß hochgradig K Fakultät des PIN -minus K ist sehr hoch N -minus K durch in -minus K Fakultät das das große Bruder sollte könne hier hin bisschen zaubern bisschen umformen und die richtige 1 multiplizieren also wenn das die Summe der stehen und ich erweitere das Ganze mal in Fakultät also Einstig in Fakultät mal Summenskala gleich 0 bis unendlich n Fakultät durch K Fakultät war -minus K Fakultät Zelttuch K mal wie hoch in den Oscar welche ganze bisher in Fakultät erweitert warum haben wir den Fakultät erweiterten was Sie jetzt da sie diesen Binomialkoeffizienten also das ist schon in gleich 0 bis unendlich 1 durch n Fakultät Summe K gleich 0 ist n über k Zelttuch mal wie hoch N -minus K so und jetzt da haben sie mal war länger auf diesen Ausdruck wäre vielleicht das Skript müssen zurück in Ruhe er war schon mal gesehen das staatlich Wesen bestand A und B aber das ändert nicht viel was jetzt dasteht ist wiederum ja vor Summe ergebe KZ doch kamen sie hoch in den Oscar das war genau die allgemeine binomische Formel dafür wenn Sie z +plus W 10. Potenz erhielt um 2 Diebinnen erfahren Sie einer der prominenten stellen das Ding braucht zu damals steht also da das steht da in gleich 0 beson endlich 1 durch n Fakultät mal z +plus wie hoch n und das ist nix anderes als die Exponentialfunktion von C +plus I das ist was wir machen müssen ist wirklich nur große Produkt und die Bilder Mehr als vorne drauf werfen und schon steht Star Sarah
damit haben wir die Potenz Rechenregeln für die ihre Funktion und dass das wirklich die Funktion ist es ,komma jetzt machen wir und jetzt baue ich ihn einfach aus der aus dem Wissen über die funktional Gleichungen und die Konvergenz der Reihe und der diese Erinnerungen wir haben mich schon ausgerechnet was er von einst ist das einzige was wir brauchen ist von 1 es ist ihr von einst ist dir einen gleich 0 bis unendlich 1 hoch n gut 1 Woche 1 1 durch n Fakultät die hatte ich ihn irgendwann mal untergejubelt letzte Woche die Reihe war eigentlich in Fakultät das war ab Abt wo stets 4 4 die SED sah und daraus kann man sich alles zusammen machen alles was man über die Exponentialfunktion wissen muss also sie jetzt zeigen wir es erfahren groß e von Q ist klein wie hoch Q für Chor Q das hat ich gerade schon gesagt dass es so ist und das können wir uns jetzt zusammen wir wissen schon mal von 1 ist wie hoch als das passt jetzt Mama natürliche Zahlen also 10 K aus den Stern hier und schauen uns an was es eh von K Na ja eher von KSE von 1 plus 1 plus 1 Kammer 1 tun jetzt können sie nicht die funktional Gleichung drauf werfen also das war eben 4 20 was wir gerade hatten das ist es von 1 mal Yvonne einstmalige von 1 Mali von 1 also Yvonne von 1 K und Yvonne Einzug KSI Hochkar zwar damit Hermes für natürliche Potenz außerdem also kann für
natürliche Potenz die nicht 0 sind es geht natürlich auch für 0 Na also es von 0 hatten wir schon ausgerechnet wie einst das ist wie hoch 0 passt zur dann kommen ganze Zahlen also wenden uns wieder ein Chaos entstand Mehr interessieren uns aber für Eva -minus K damit an dass Sie wissen dass 1 von 0 ist jetzt kann man diese 0 intelligent schreiben die 0 ist nämlich K +plus -minus K Exponent funktional gleich Exponentialfunktion dass es eher von K mal Yvonne -minus klar was es wir 4 20 hier so damit haben Sie 2 Dinge auf einmal damit wissen Sie zum einen die von Calais immer ungleich 0 weil wie soll denn die Funker 0 wäre denn wir setzen das ist mit einer Zahl multipliziert kommt wird sich ein Trost und also wissen Sie was eigentlich ihr hoch KSE von S 1 1 durch Yvonne K ist dann nämlich Yvonne -minus sah und damit den wieder was überlegst gebe haben sie wieder was übersetzt das heißt Yvonne -minus Car bis 1 durch ihr hoch und das ist nach Potenz Rechenregeln für ganze Exponenten wie hoch -minus K für die ganzen Zahlen Potenzen aber natürlich die rechnet zwar damit sie mir jetzt an 1. Tag nicht Schritt zusammen haben wir damit es von K gleich er Hochkar für alle Chaos Z zwar zwar BZ Firma Kur also nehmen Kurs Q dann können wir das natürlich schreiben gesprochen K k durch L
packt das Vorzeichen den Zähler also Kreisen Z und Alice natürliche Zahl die nicht nur das zur S-Bahn wissen was er von Q ist wann sind sie das Gleiche wie gerade eben noch mal wie ist es von 1 bis nur und die 1 können Sie es wieder Intelligenz schreiben als immer 1 wir wollen wissen was Yvonne von einzig Alice also schreiben was als ihn von allen Einstig L das ist wie der gleiche Trick wie vorhin wie von einst durch L +plus 1 durch E-Plus und so weiter 1 durch L L mal funktional Gleichungen Exponentialfunktion also 4 20 das ist viel von einst durch L hoch L Aktion sie eh E =ist gleich Yvonne von einzig LOL ziehen Sie die entwurzelter draus dann kriegen Sie wie hoch 1 durch L ist es von 1 durch war anders schon mal für die hier Werte und den ich kann man sieht alles zusammen waren das ist jetzt eher von Q Q
es kam mal 1 durch L gleiches den die gerade eben dass es ihr von 1 sicher dass ein etwas an sich kam mal also ist das die von einst sich in Hochkar und das ist wie hoch einst durch L Hochkar Potenz Rechenregeln 4 rationale Potenzen geht er hoch Coup und das für alle Korosko zur bei können wir Moment nicht es gibt noch keine Regeln Potenzen aber wir haben jetzt für einen Kurs Q ist er hoch Co dasselbe wie Yvonne Q also wir können die Exponentialfunktion sobald wir sie haben der rationale Potenzen darstellen durch diese 3 und jetzt liegt es nahe und das machen wir jetzt ganz frech wir definieren uns jetzt die exponential von wir definieren uns jetzt die Hochzeit wie definiert uns einfach ist die rein wenn das schon für alle rationalen klappt dann muss es doch vielmehr ist auch klar als Definition 5 20
4 21 wir haben doch überhaupt keine Potenzen definiert für was anderes als rationale Exponenten und jetzt definieren was gleich für komplexe Exponenten er von selbst definieren wir einfach als eh von selbst also als so ne n gleich 0 bis unendlich Zelttuch N durch n Fakultät und das ist der Zentrale .punkt TTP auf dem Weg dahin was ich ihnen sag was ich so wissen auch als Frage durch diese Teile vorlesen zieht was ist eigentlich Pio Wurzel 2 ja also was ist x hoch y mit y reell das können wir immer noch nicht oberste musste 2 können immer noch nicht aber er Wurzel 2 können nur also die Zeit des können Sie jetzt vor den Tieren mit jeder komplexen Zahlen in den sie diese Reihe ausrichten nur die Reihe ist absolut konvergent damit machte sie so das ist natürlich jetzt Mehr Definition der oder dem Ruf des aber es ist jetzt die er denn das ist der Türöffner uns im nächsten Semester dazu dienen wird die Potenz X noch y zu definieren Fixnet landen R Kutsche das ist das was sie zu reinen sagen wollte die rein werden uns immer wieder begegnen weil sie ein fundamentales Hilfsmittel zur Behandlung auf und Funktionen sind sehen Sie hier Exponentialfunktion galten sie bisher einfach als Funktion was wir gefunden haben ist sie können diese Funktion als Reihe schreiben und jetzt ist es wieder das übliche Spielchen wenn sie zwischen dem Begriff Funktionen dem Begriff Freie Zusammenhang haben ich wird Ihnen alles was über die Reihe Wissen außer Funktion das was die Funktion Wissen kann ihn außer wie Reihe liefern und solche Kehrtwendung die muss man und gut nutzen weil daraus kann man viel Honig ziehen so ist 19 ten sprechen während Konvergenz von folgen und von einem Prinzip haben wir Konvergenz von Freuden und angesehen Konvergenz von Reihen diesen Spezialfall und hatten reale und komplexe folgt vor 3 Folgen sind einfach lange Listen von Zahlen natürlich können Sie nicht nur Zahlen lange Listen schreiben wer mein brauch ich Ihnen nichts erzählen wenn Sie mal das wenn Sie mal den Dativ RWE haben ja also lange Liste meinetwegen bei mir ist es jetzt endlich eine Liste dass kein Schüler der aber egal also eine lange Liste da dann wären sie natürlich auch ein Ehre von anderen Dingen definieren nur nicht davon zahlen und was sie jetzt gerne nächstes Mal hätte ist in der Folge von also mal zumindest Punkten in der n in Folge von Punkten der 3 würde man gern auch behandeln können folge verbunden war wir da sind dann sind alle still zu sein wo wir wollen einfach folgende Vektorräumen betrachten der Gruppe Z 3 oder 7 oder Vektorraumes dann auch egal und wenn wir folgen Vektorräumen betrachten wollen und über Konvergenz dann kommt eine kleine Einschränkung bei wenn sie über Konvergenz reden wollen dann heißt das was das heißt die Folge nähert sich einem bestimmten Punkt beliebig nein da müssen überhaupt mal wissen was heißt denn nein es sie brauchen irgendwas den Abstand ohne Abstand Konvergenz schwierig weil wenn man keine Abstands begrüßt hat kann man nicht sagen was heißt nein das war alles was wir brauchen ist ein Vektorraum mit dem Abstand Begriff für jetzt klingelt es denke ich das ist der Begriff des normierten raus und das ist das was wir jetzt noch machen wollen wir schauen uns an wie sieht's aus mit Konvergenz die normierten Vektorräume und das hört sich furchtbar abstrakt an kann man auch so betreiben was sie daraus jetzt sich immer vorstellen sollte mitnehmen sollten ist weil das ist das was wir wirklich brauchen werden wie sieht's aus mit Konvergenz immer in der der sich Folgen er 3 in Folge von Punkten hier im Hörsaal was heißt dass die konvergiert und da kann man wieder eine intuitive wollte von Konvergenz gewinnen die Folge des Mehr an Tieren Währung aber die kringelt sich irgendwann auf einen Punkt fester sie ja also im ganzen Abschnitt zeigest V immer renommierter Vektorraum deswegen ist es auch gleichen erweckte Vektorraum wir haben Normen auf Vektoren angeschaut nun wird der Vektorraum und den Raum bezeichne ich mit Norm Frau mag sein dass ich vielleicht auch mal das Frauen weglassen völlig klar ist dass es geraten und in einen Raum gehen kann und in der Vorstellung bitte immer hat er 3 mit Standard Norm 2 noch dann ist es das was Sie als Abstand im Raum kennen und darum soll es gehen so und dieser ganze Abschnitt bis zum einen eben jetzt die Ausweitung des Konzepts der Konvergenz auf Mitte Räume und zum anderen eine hervorragende Gelegenheit einfach noch mal alles Revue passieren zu lassen was wir gemacht haben weil im Prinzip müssen in diesem Abschnitt jetzt der ganzen Zoo von Begriffen Konvergenz Divergenz monotoner Monotonie schwierig Konvergenz divergieren Israel konvergent derweil die wegen der Reihe und so weiter alles übertragen oder zu versuchen sie übertragen auf diesen Fall und zu gucken was geht und was nicht die fundamentale Definition war die Konvergenz der Folge also dass wir damit anfangen das ist Definition 5 1 also jetzt keine Folgen er Mehr sollen eine vor den Frau ja das heißt sie haben eine lange Liste von nicht mehr zahlen so eine lange Liste von Vektoren lange Liste von Vektoren der 3 in der Vorstellung und
wir sagen dies konvergent gegen einen Vektor aus Frau und was wir jetzt machen ist beschreiben die Definition wortwörtlich ab und ersetzen einfach den Betrag durch die Norm bei der Betrag diente als Abstands Messe weit am noch von Arbeit und diese Frage AN darf nicht mehr als 1. Song von Alex seine in groß genug ist können wenn wir Raum wunderbar formulieren in Normen schreiben also genau die gleiche Definition für jedes Ärzte Zusagen für jede zulässige Abweichung gibt es eine Stelle in ihrer Liste 0 so dass ab dort der Abstand von allen zu ar immer kleiner Sitzlandes das ist Definition Konvergenz und was ist jetzt der Abstand ist dieser Betrag -minus aber so ist die normalen -minus aber kleiner als y für alle n größter gleichen und genau die gleiche Definition müssen Prinzip das sie nichts Neues sie ist gleich so machen können und sagen er dessen Spezialfall 2. ich ihn nicht zumuten und sich aber sie können genau die gleiche Definition machen die vorher nur müssen sie hatte sich den Napsters Begriff einsetzt so war es man nennt dieses aber den Grenzwert oder Limes von 1 und das ist alles natürlich viel Wiederholung aber das schadet mal Garnichts weil das ist das sind die fundamentalen Begriffe der Analysis und auch jeder sagen wir einfach eine Folge ist die Werke wenn sie nicht konvergent ist also gegen nicht konvergent der Folge heißt die weggeht an der Stelle auch gleich so das ist wenn man sich mit Gott drüber nachdenkt auch irgendwie klar wenn Sie diese Folge der 3 vorstellen wenn kein DVI wildere Dinge tun 1. vollgelaufen Zahlenstrahl vorwerfen Zahlenstrahl bekannt ist wir hüpfen oder nach Brüssel nach minus unendlich oder sonst geht kann auch schon ganz viel Sauerwein machen aber im Raum und Kinder Platz ich kann Spiralen die kann meine der Nutzen die da da kann saumäßig viel Dinge passieren da diese noch unberechenbarer als die Folgen der gut als eine Dame Definitionen damit definiert was konsequente Folgen sind dann können wir definieren was Churchill Folge heißt
das ist auch die gleiche Definition wie vorher Betrag durch enorme setzt also ne Folge am in Frau heißt Churchill Folge wenn sie in das große Kriterium erfüllt was war der 1. große Kriterium war für jedes vorgegebene y größer 0 die Zähne stellen ihre Liste N 0 so dass ab dann der Abstand von je 2 Folge gliedern kleiner als Erbsen und es je nach n und m größer gleich 0 sind zwar das war Churchill folgen das macht ist man schreibt die Definition ab und ersetzt vertraglich nur gleiche Methode bei der Reihe an wir nur Konvergenz ja sie können natürlich auch Vektorräumen betrachten was sie können Vektoren addieren günstiger unendlich viele Vektoren addieren und gucken ob der das konvergent das rauskam
nur dass es deshalb sehen kann also eine Reihe Summe n gleich 0 bis unendlich A N sind jetzt jeweils Vektoren in V nennt sich konvergent mit rein wird es also es steht wieder für Sommer ist denn auch wenn Frau wir hatten wir Konvergenz von Reihen definiert hat zurückgespielt auf Konvergenz von folgen in dem wir gesagt habe schauen ist die Folge der partial Summen an also auch hier genau das gleiche in dem sich die Folge der partial Summen die hatten mit SK bezeichnet ist war die endliche so wenn sie bei 0 anfangen und du bist Carson mir lieber einen dieses und wenn sie jetzt kRn laufen lassen ist das viele Erfolge und Frau und wenn die gegen es konvergiert dann den wir die Reihe konvergent und der Rhein wird dass es sauer dass es Konvergenz von Reihen dann hatten wir absolute Konvergenz von Reihen geht ja auch so was war der Unterschied von Konvergenzen absoluter Konvergenz der Konvergenz es zugelassen dass die das die Vektoren irgendwo liegen und sich gegenseitig aufheben dadurch dass in viele verschiedene Richtungen zeigen und deswegen konvergieren die Summe und absolute Konvergenz heißt schon die Länge der Vektoren müsse schnell genug leiden werden das heißt auch hier wird machen den betreiben zu selten Norm in die Sonne also im Prinzip auch hier das sind die selbst in der Definition von absoluter Konvergenz Betrag durch Normen also konvergiert die Reihe über die Normen von am das ist jetzt Ryan Air jedes Endes Norm eine Zahl Ehre das ist ne Reihe in R konvergiert die er dann heißt es die Reihe in Frau zum bei allen gleich 0 bis unendlich AN absolut konvergent Film natürlich den sie jetzt die ganzen Fragen wir vorhin hatten auch wieder also vor das 1. oder Konvergenz Konvergenz und so weiter wenn uns am Freitag anschauen und Beschluss endlich auch hier wieder was ist mit dieser Agent der Reihe in die divergent jeweils eine nicht konvergent der Reihe wir damit haben Sie also diese ganzen Begriffe aus dem Kapitel 3 und 4 können Sie 1 zu 1 übertragen indem sie über Radio war Beträge statt Normen schreiben und sie kriegen es Konvergenz Begriffe V normierten Vektorraum V insbesondere in den 1. 3 so mit diesen Begriffen den Monstern am Freitag um diesen auseinandersetzen 2. mal vielen Dank für die Aufmerksamkeit
Mathematische Größe
Zusammenhang <Mathematik>
Gewichtete Summe
Summand
Dreiecksungleichung
Reihe
Zahl
Komplexe Ebene
Ungleichung
Absolute Konvergenz
Betrag <Mathematik>
Vorzeichen <Mathematik>
Umkehrung <Mathematik>
Summe
Index
Positive Zahl
Betrag <Mathematik>
Dreiecksungleichung
Reihe
Positive Zahl
Folge <Mathematik>
Punkt
Summand
Dreiecksungleichung
Automat <Automatentheorie>
Reihe
Dichte <Physik>
Summe
Geometrische Reihe
Absolute Konvergenz
Betrag <Mathematik>
Umkehrung <Mathematik>
Konvergente Reihe
Grenzwertberechnung
Quadrat
Länge
Ungleichung
Geometrische Reihe
Betrag <Mathematik>
Summand
Reihe
Schar <Mathematik>
Minor <Graphentheorie>
Zahl
Richtung
Summe
Quadrat
Gewichtete Summe
Ungleichung
Exponent
Betrag <Mathematik>
Absolute Konvergenz
Natürliche Zahl
Reihe
Abschätzung
Verträglichkeit <Mathematik>
Folge <Mathematik>
Momentenproblem
Exponent
Betrag <Mathematik>
Absolute Konvergenz
Quotient
Berechnung
Reihe
Geometrische Reihe
Momentenproblem
Absolute Konvergenz
Betrag <Mathematik>
Quotient
Reihe
Aussage <Mathematik>
Normale
Geschwindigkeit
Punkt
Summand
Exponent
Momentenproblem
Rationale Funktion
Quotient
Fakultät <Mathematik>
Reihe
Zahl
Summe
Quadrat
Negative Zahl
Betrag <Mathematik>
Rationale Zahl
Faktorisierung
Gewichtete Summe
Mathematik
Quotient
Reihe
Ruhmasse
Exponentialfunktion
Zahl
Gradient
Komplexe Ebene
Variable
Multiplikation
Quadrat
Geometrische Reihe
Betrag <Mathematik>
Absolute Konvergenz
Eigenwert
Komplexe Zahl
Mathematiker
Summe
Mathematik
Reihe
Formation <Mathematik>
Mathematiker
Fluss <Mathematik>
Biprodukt
Zahl
Sinusfunktion
Mathematik
Summand
Momentenproblem
Exponent
Reihe
Exponentialfunktion
Gleichung
Biprodukt
Termumformung
Summe
Disjunktive Normalform
Betrag <Mathematik>
Absolute Konvergenz
Ecke
Funktion <Mathematik>
Konvergente Reihe
Summe
Exponent
Summand
Natürliche Zahl
Reihe
Binomialkoeffizient
Gleichungssystem
Exponentialfunktion
Binomische Formel
Gleichung
Kreisfläche
Exponent
Vorzeichen <Mathematik>
Ganze Zahl
Natürliche Zahl
Gruppenoperation
Gleichungssystem
Exponentialfunktion
Zahl
Komplexe Ebene
Folge <Mathematik>
Länge
Zusammenhang <Mathematik>
Punkt
Vektorrechnung
Exponent
Momentenproblem
Reihe
Vektorraum
Exponentialfunktion
Norm <Mathematik>
Zahl
Funktion <Mathematik>
Folge <Mathematik>
Vektorrechnung
Betrag <Mathematik>
Spirale
Reihe
Vektorraum
Norm <Mathematik>
Vektor
Analysis
Monster-Gruppe
Summe
Länge
Gewichtete Summe
Absolute Konvergenz
Betrag <Mathematik>
Vektorrechnung
Reihe
Vektorraum
Norm <Mathematik>
Zahl
Richtung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik: Reihen II
Serientitel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 28
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/33630
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2012
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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