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Normierte Räume

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Automatisierte Medienanalyse

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er das ist also eine sehr hellen an der TU Darmstadt so dann mal dem schönen guten
Morgen und herzlich willkommen n ich will Ihnen der heutigen Vorlesung im Wesentlichen 2 neue Begriffe nein prägen die unseren Vektorräumen noch ein bisschen mehr Struktur geben die sogenannte Norm und das Skalarprodukt und was da die Idee wofür man das macht was immer so bisschen der Kopf behalten sollten ist wir wollen unseren Vektorräumen längeren Abständen messen also einen Grund warum man Vektorräume anschaut es ja dass man damit zum Beispiel für jede gebe geometrische Betrachtung im Anschauungsraum der 3 oder der Ebene gut modellieren kann aber eben auch viele viele andere Dinge und wenn Sie jetzt an der Betrieb denken dann weg meinetwegen denken Sie eine Computergrafik diese programmieren wollen das natürlich so Begriffe wie Abstand und Länge was ganz entscheidend ist nun das man es mathematisch fassen und der dazugehörige Begriff der die Länge beschreibt das so genannte Normen und wenn man einen Vektorraum mit einer Norm hat dann nennt man das einen normierten Raum nur ein Raum mit einer Norm und das ist die Überschrift zum Abschnitt 4 und ich würde in den ganzen Abschnitt nur helle Vektorräumen Witz betrachten also im gesamten Paragraph 4 ist der Körper über den wir direkt einer anschauen er das machte die Einrichtung sehen weil über dem Vektorraum überm Z 5 ist es mit den Abständen bisschen schwierig weil sie eben nur so diskret .punkt aber könnten sie es auch noch Abstände drauf definieren aber das er ist für mich besonders weit und wenn sie die andere Richtung gehen können Sie statt er natürlich könnte man gleich C angucken wir ganz praktisch hätte man ja gleich mit erschlagen wäre es auch ist auch also alles was ich jetzt hier gemacht funktioniert hervor komplexen Vektorräumen es wird ein bisschen unübersichtlicher und ich habe mich entschieden das einfach hier nicht zu machen damit sie eher einfach sehen was passiert und nicht die technische technischen Murks vom CD-ROM haben ich wollte am Anfang eben sagen es geht alles was ich gemacht jedoch auf CD und muss ein zweistelliges abändern wer es je irgendwann mal braucht schlage sich entsprechendes Buch auf und wer das hier verstanden hatte das sind sie auch eine Viertelstunde drauf gelernt hat das nicht das Problem aber ich will an der Stelle so einfach wie möglich halten und deswegen nur jene Vektorräume anschauen so also was brauchen wir um Längen zu messen was ist eine Länge von Vektor wenn man länger es muss irgendwie Vektor eine Zahl zuordnet nämlich das wie lange ist das heißt Sonne Norm sondern Längenmessung des 1. bei Abbildungen die jeden Vektor eine Zahl zuordnet also wir haben einen Vektorraum V so man sie jetzt eine Länge haben wollen dann ist es auf jeden Fall der Abbildung ja Mathematiker versuchen immer alles über Mengen und Abbildungen zu formulieren also ne legen Begriff muss mehr Abbildung seien die jedem weckte aus Frau mehr jene Zahl zuordnet das können Sie alle werden die Zahl sollte doch bitte schön positiv sein was solle Ligety Länge sein dann sag ich kommt gleich man sagen wir mal Frau nach R und diese Norm schreibt man üblicherweise mit einem doppelten Querstrich also sich diese Abbildung aus von Frau nach Wahl so und die nennt man jetzt eben einen Normen 30 Paar Bedingungen erfüllt und nicht jede Abbildung gehen die dem Wetter gezahlt worden dass der vernünftige Länge also die die Abbildung die jedem weckte die Zahl 0 zuordnet ist das in Abbildung aber wo ist der Längenmessung ich besonders ertragreich höre also wir wollen auch dass unsere Namen ein paar Bedingungen erfüllt gibt die dazu passen dass eben anschaulich Länge messen soll und das 1. das was wir was ich gerade schon gesagt habe natürlich soll die Länge von dem Vektor positiv sein also für jedes V aus muss die Namen von Frau größer gleich 0 sein sehr vernünftige Forderungen und dann hätte man gerne noch jetzt müssen wir diese Abbildung die jeden Vektor die Länge 0 zuordnet ausschließen oder eigentlich wie immer nur dass es ein Vektor gibt der Länge 0 hat bei den weg da hat sinnigerweise Länge 0 aber alle anderen sollen gefälligst die größere Länge haben dass der 2. Teil von Axiomen 1 es soll also gelten dass die Norm von Frauen 0 ist genau dann wenn Frauen 0 ist das bedeutet zum einen V 0 1. 0 weg da die Länge 0 aber es gibt nur diesen einen legte der die Lunge 0 hat alle andern haben länge größer 0 wenn dieses Axiom nennt man die Defini teilte der so was wollen wir noch bisher wissen wir
nur dass jeder Vektor der positive länger hatte der 0 Vektoren 0 Länge wir hätten gern dass ich diese legen Begriff verträgt mit unsern Rechenregeln ja also was soll passieren wenn sie weckte hernehmen und des Mitnehmens Galal verstauchen oder Strecke was soll die Länge von Alfa Frau sein kann die soll natürlich irgendwie Länge von V-Mann Alfa seine Achtung stimmt nicht ganz einfach könnte negativ sein das wäre so ist es an also wenn sie in Vektor mit minus 3 multiplizieren wenn soll die Länge von minus 3 bei diesem Vektor soll dreimal die Länge von dem Ursprungs legt das kann und das muss gelten für alle alle für einen eher und für alle Frauen das nennt man Homogenität so und jetzt kommt noch die 3. Bedingung was passiert mit plus und den Namen also wenn Sie 2 Vektoren v und w haben und sich die Narren von der Summe angucken man sich einbilden es war dabei zusehen auch wer dann hier die Diagonalen im Parallelogramm das gilt für die Länge von V +plus W es geht garantiert nicht dass das die Länge von Frau plus die Länge von W ist mir wenn Sie Länge von Frau die Länge von wegen dem kommt deutlich mehr aus als das V +plus W aber es gibt sie von uns aus den komplexen Zahlen bekannte Dreiecksungleichung die Länge von farblos W ist kleiner gleich die Länge von Frau +plus die Länge von W oder wieder wie schon damals formuliert der Umweges länger als der direkte Weg gehen kann er und dafür auch ein um so haben das sind die 3 Axiome die sie für den Darm brauchen und wenn sie so enorm haben auf dem Vektorraum dann nennt man diesen Raum
Ebene normierter Raum also ein Vektorraum auf dem sie Norm gegeben habe müsse man und das ist eben der Begriff der den Kapitel den Namen gibt so so weit ich Beispiele sehen was ist denn seinen
Namen ich fange mit dem ganz banalen Beispiel an wenn Sie sich dem Vektorraum R 1 nehmen also den bitteren er was die reeller Zahlen ACS ist ein Vektor worüber er eindimensionaler dann kennen Sie da schon Norm darf nämlich den Betrag das ist das alles was Sie dafür brauchen und sich nachgerechnet folgt aus dem Betrag Rechenregeln sofort gut dass es ein langweiliger Fall also in den Rn oder die man vielleicht erst mal in den R 2 er kann ganz gut malen und dann gibt es die so genannte euklidische Norm und das ist die die zu ihrem alltäglichen Leben Abstands Begriff gehört als wenn sie der Entfernungen im Raum mit dem Zollstock ausmessen dann benutzen sie einig über die euklidische Norm die wird auch aus Gründen die gleich klar werden 2 Namen genannt so wie sie die Mehr 2 aus wie gesagt das ist die soll die Norm sein die sie kennen also Hermann Vektor x der x 1 x 2 dann haben Sie hier X 1 unterwegs 2 was ist dann vernünftigerweise die Länge von den Vektor also x x 1 x 2 was würden Sie jetzt erwarten als 2 von diesem Sektor die Länge von dem ist nach Pythagoras X 1 Quadrat +plus x 2 Quadrat und daraus die Wurzel nur weil sie am im rechten Winkel und das ist die so genannte 2 Norm oder euklidischen Raum und das ist die ganz alte der ganz alltägliche Abstands Begriff und wenn sie sich über 2 sind mehr ändern
verallgemeinert sich das ganz genau so was wissen Sie machen wenn Sie die länge von dem Vektor bezüglich der 2 nahm ausrechnen wollen sie neben jeder einzelne Koordinate des Vektors ICI quadrieren die zum Yen alle Kollegen die Quadrate aller Koordinaten auf und bilden daraus die in das ist die 2 9 n vor Prinzip ich behaupte jetzt das ist enorm also das erfüllt diese 3 diese 3 Axiome die vor geschrieben hab ich hab dich auf der Folie die kommen leicht und witzigerweise also das kann man jetzt anfangen nachzurechnen nehmen sich meinem Blatt Papier und Stift nachher und machen das nur wenn sie feste die Defini teilte stellt ihn sofort aus dem Ärmel die Homogenität braucht eine Zeile 100 denkbar naja ich mein sie auch klar ist die alltägliche die normalen Norm die muss einfach geht fängt die Dreiecksungleichung mit Schwung an und probiert und rechnet und macht und tut und dann hat man 2 bis 4 Blätter voll und 3 zu immer schlimmer und fragt sich was jetzt los ist und zu blöd ist und da da weichen sie nicht zu blöd diese Bürde Dreiecksungleichung für die 2 Norm ist ist Fluch ja die Kammern kann man nachweisen ja das ist aber der Beweis ist einfach nur ätzend und deswegen fürchte ihn gar nicht vor sondern wir warten jetzt einfach nicht München und dann fällt uns das dass das Norm ist direkt vor die Füße November Nelson und Sternchen warten wenn sie sehen kriegen wir das ist enorm geschenkt also Beweis später an aber sie sind witzige Effekt der sich durchzieht 2 Normen sind immer ätzend zu beweisen obwohl sie eigentlich die alltäglichen Dinge sind zur jetzt können Sie sagen an der Stelle wo er jedoch nicht weitermachen jetzt haben wir den neuen Begriff und wir haben die Norm mehr und mehr brauchen wir nicht weil was soll man sonst Abstände messen dann sag ich nie so einfach ist die Welt nicht und ich zeige noch 2 andere Normen es gibt Hunderte von nahmen Tausende aber ich zeigen so 2 3 wichtige und das 1. die einst Normen auch wenn er 2 damit ist in mein kann also sehr der Vektor
x der 6 1 6 2 1 ja und sie meinte so klar was die Länge ist wer die Länge von dem Pfeil nun nicht unbedingt denken Sie stellen Sie sich vor dieses Gutachtens ist denn hier beschreibt NY und sie wollen wissen wie weit ist es Na und das sind das ist ein Punkt an das ist ne Straßenkreuzung oder .punkt Access auch eine Straßenkreuzung und Sie wollen wissen wie weit ist es von meinem Ursprung für da der Straßenkreuzung dann ist die Länge von dem Fall die Luftlinie das ganz die können sie nicht laufen der seien Sie was sie laufen können ist die können 4 Blocks geradeaus und 2 Blocks so rumlaufen ja und das ist der das ist ein vernünftiger Abstand ja das ist der Abstand den sie brauchen nur Yorck von A nach B zu kommen nur weil es sei denn seine Flughöhe sind Emu-Frau unterwegs aber wenn sie laufen müssen sie so schnell und ist die 1 Norm nun also die einst Norm von diesen Vektor ist war es wie viele Häuserblocks in Ost-West-Richtung +plus wieviele Häuserblocks in Nord-Süd-Richtung um insofern auch gern man hätten Norm genannt doch dabei nicht nur darauf da auch zum Beispiel auf wenn sie so eine Maschine haben die Platinen oder Chips verdrahtet nur die musst irre viele das Ziele Verbindung sparen und das muss sogar schnell gehen aber wie viele Platinen bespannen und das ist ein ganz berühmtes Optimierungsproblem ein sehr schwieriges Optimierungsproblem in welcher Reihenfolge fährt dieser Abend allein und verdrahtet und damit würdigte damit möglichst kurze Wege hat er oder wenn jetzt aus denen normalerweise kann diese aber eben nur in entweder links rechts oder oben unten fahren wenn man aus ihnen wirklich wie lang die Wege sind auch bei dir 1 und das ist noch sollen anderer denkt so hab ich ihn hier behauptet es ist enorm in dem Fall würde sie nachrechnen witzigerweise geht es bei dieser Norm die mal gewöhnungsbedürftig ist einfacher als bei der 2 1 also die Norm von dem Sektor ist einfach Betrag der 1. Komponente +plus befragte 2. Komponente oder wenn sie mit weckte den Komponenten haben alte sowie der Beträge der Komponenten ich kann es Ihnen für den er 2 vor das ist enorm ist ja da sieht man alles was passiert und für die für die Dimension in können sie es gerne verallgemeinern ist immerhin ausgleichen ist nur mühsam aufzuschreiben Weise haltmachen Index mitschleppen müssen also was müssen wir
tun um zu zeigen dass das Norm ist ich schreibe meinen was wie sie definiert ist also Namen von X ist Betrag von x 1 +plus Betrag von x 2 wenn X eben der Vektor x 1 x 2 als der 2. Sachen also Nachweis dass das enorm ist 1. was wir tun müssen in 1 1 wohl müssen erst mal checken ob es ne Abbildung von Frau nach er ist ja es ist Abbildung von e 2 nach aber es ordnet jedem Vektor eine Zahl zu aber das ist okay jetzt N 1 wenn man uns NV ja also und wie man im Fall Über-Next also X x 1 x 2 außer 2 Mehr und das müssen wir sicherstellen müssen sicherstellen dass das Ergebnis immer positiv ist mir das sehen Sie schon draufgucken Betrag von der Zahl plus Betrag von der Zahl ist immer größer gleich 0 das ist ok so und jetzt müssen wir noch müssen man noch sicherstellen dass wenn X nicht der 0 Vektor ist das dann nicht das also des Ortes der das wenigste nur weckte ist das dann 0 rauskommt das freilich erst gar nicht in ihr das ist nur Betrag das nur Betrag ist 0 aber müsse sicherstellen dass Felix nicht den bewegt ist das dann auch nicht 0 rauskommt was heißt denn X ist nicht der 0 Vektoren dann ist entweder die 1. Komponente nicht 0 oder die 2. Komponente nicht nur können auch beide nicht nur sein aber das ist eine muss nicht nur sein Na ja aber wenn X 1 Größe nicht 0 ist dann ist der Betrag von x 1 echt größer 0 oder wenn X 2 nicht nur das ist der Betrag von x 2 ich Größe wir also können Sie dann dass die einst Norm von X strikt positiv ist bei der in den Betrag X 1 Trick größer 0 ist dann können sie noch so viel Betrag X 2. dazu sie kommen nie wieder auf 0 zurück das müsste Betrag X 2 negativ sein also haben sie tatsächlich definiert halten ja also man zumal sich genau klar macht was wird gezeigt haben ja angezeigt wenn x ungleich 0
ist folgt 1 Namen von X trägt größer 0 das ist die Kontraposition davon die habe damit ja auch gezeigt nur wenn Sie das gezeigt haben sie Kontraposition immer auch A folgt B Kontraposition ist nicht wie folgt nicht an also dass es nicht B die eines nahm von X ist kleiner gleich 0 daraus folgt x =ist gleich 0 also haben war wenn die einst nahm von x gleich 0 ist folgt das x gleichen und das ist genau die Defini Tanita gut damit er mir in 1 TWh kommt jetzt 2 was müssen wir tun Homogenität zeigen der gestreckte weckte hat die länge Betrag als Formalie länge des Ursprungs weg das also Bombern Alfa aus er und einen Vektor x aus Mehr 2 so was ist mit der
eines Namen von Alfa das ist was das ist die 1 nahm von dem Vektor Alfa x 1 1 für x 2 Definition der einst jede Komponente betragen nehmen und das Zeug aufaddieren also Betrag von 1 4 x 1 +plus Betrag von Alfa x 2 haben sie das wäre Beträge stehen bei den Weißen wie man rechnen kann das es Betrag Alfama Betrag X 1 +plus Betrag Alfa mal Betrag X 2 dass es Betrag als formal Betrag x 1 +plus Betrag X 2 und das ist Betrag Alfa mal die einst und Links also Homogenität klappt A bleibt noch n 3 übrig und wie gesagt dreist dass es bei der 2. schrecklich ist und in 3 ist zum Glück bei der eines Norm ziemlich einfach also das was wir machen
müssen die Dreiecksungleichung nachweisen dazu brauchen wir 2 Vektoren aus dem er 2 der Vektor x x 1 x 2 und erweckte y gleich y 1 y 2 2 Vektoren a 2 wir dass uns anschauen was ist mit der eines waren von x +plus wird an und sich auf die Folie gucken müssen zeigen die einst Norm von x +plus y ist kleiner gleich der einst nahm von X +plus die eines Namens von Apps also schreibt man sich hin was das ist X plus Y ist der Vektor x 1 +plus y 1 x 2 +plus y 2 einsam davon Betrag von der 1. Komponente +plus Betrag von der 2. Komponente so ist haben wir hier Beträge in Eres stehen für den Betrag erhielt die Dreiecksungleichung auch wenn sie sehr verschiedene Weise begründen 1. aber sind sie gesehen und der Befehle Betrages die Einschränkung des komplexen Betrags oder rezitieren einfach von dem aktuellen Beispiel in Teil A staatlichen zugegebenermaßen ohne Beweis behauptet der Betrag er das Normen also die die Dreiecksungleichung also haben sie ihr Betrag x 1 +plus Betrag y 1 +plus Betrag x 2 +plus Betrag y 2 wer ist es nur noch sortieren Betrag x 1 +plus Betrag X 2 ist die eines Norm von X und Betrag y 1 plus Betrag y 2 ist die eines Norm führt und auf die Reise die einst Norm also enorm und dieser Abstands Berechnung in man hätten es für vernünftiger Abstand kann auch hier noch der Vollständigkeit halber wie sich die einst Normen in aus 1 Norm EN ist genau die Verallgemeinerung der 1 Nummer 2 sie nehmen also haben Vektor x des ist X 1 bis Xn aus Mehr N und jetzt nehmen Sie einfach den Betrag von jeder Cortina von jeder Komponenten also ich Betrag XI umso mehr in die alle von 1 bis n auf wir vielleicht noch als kurzer Kommentar warum heißt das 1 normal dass andere 2 no scheinen mal die einen sind die
2 Namen zusammen die zwar enorm war ich weiß nur für 2 Koordinaten in X 1 Quadrat plus x 2 Quadratwurzel drüber hoch halte die einst Norm war Betrag x 1 +plus Betrag X 2 das können sie kompliziert so schreiben dass es Betrag X 1 zu 1 +plus Betrag X 2 hoch 1 hoch 1 durch 1 war es heißt und das können sie hier wirken soll Beträgen schreiben das macht dem Quadrat gar nichts und dann sehen Sie diese beiden Normen haben eigentlich genau die gleiche Struktur das ist der Betrag der Kundendaten suchte Potenz und dann außen Drogen wieder die entsprechende wozu so können Sie auch mit 3 genau definieren was auch immer oder wie sie laufen wenn der von Heidenau aber deswegen heißen eben 1 und 2 noch so letztes Beispiel die sogenannte Maximums schnorren wenn ich habe es gesagt Sie können uns halbe Norm und 7 noch sonst wie definieren die GEZ alles alles waren sind aber nicht ganz so wichtig wie die 1 die 2 normalen die 2 muss offensichtlich wichtig das ist alltäglich Abstands Begriff die einst Landtag den verschiedenen Stellen auf die anderen sind ja interessante Nebenschauplätze also wenn Sie mir die wirkliche Anwendung liefern wo meine 3 Norm auftaucht bin ich interessiert aber ich ich kenn Grad wenig oder keine die Maximums Norm die taucht noch auf die heißt manchmal auch unendlich Normen der und was ist das jetzt also haben wir den Vektor x immer ändert wieder in Koordinaten X 1 bis Xn und was machen Sie was wir weisen
Sie dem verlängert so sie nehmen wieder die Beträge von allen kommt Koordinaten als nehmen Sie nicht den Summe dass wir die einst Normen sollen sie suchen sich den größten davon raus und das ist ihr dann auch ein das in die Beträge von ein ,komma Popcorn ,komma Komponenten und davon den größten Wert das ist Abbildung des bewegt Zahl und man kann relativ ohne große Probleme als auch nicht wie bei der 2 neuen Song er lieber der 1 Norm nachweisen dass die 3 Bedingungen erfüllt also der Nordens warum das Ding Maximum Norm heißt es offensichtlich ja das Maximum steht ja drin wieso unendlich das witzige fertig hatte hat gesagt sie können sowie die 1 die 2 Baum auch 3 725 no definieren und Mehr 2 Millionen 278 Tausend 518 Euro und man sieht dass diese Zahl hat also dieses D begeben nachdem sie die Norm machen immer größer machen dann denn sie gehen gelegentlich noch und es ist der der der grundlegenden Nomenklatur an so arbeiten das das verloren ist überlasse ich Ihnen stellen Sie nachweisen aber das ist wie gesagt Schwierigkeitsgrad ungefähr wie bei der als normal auch da die Frage was soll das wofür braucht man das die Maximum ist immer dann interessant wenn wenn Sie zum Beispiel bei Optimierungsproblem viele Parameter haben sie gleichzeitig optimieren sollen und die bilden Vektorraumes nicht so selten und die Frage ist sie müssen halt wenn man sie müssen dafür sorgen dass die Kosten auf einem gingen ungefähr entdeckt dass uns die Kosten explodieren die schlimmste suchen sozusagen das sie suchen werden also jeder Zustand ist so schlimm wie die wie die höchsten Kosten an einer Stelle war und das ist ein Maximum so jetzt lenken kann also enorm sie weg Drama haben und die darauf enorm dann gibt Ihnen das gelänge dieses weckt das andere seit vorhin gesagt er wolle nicht mehr länger wonach Abstände haben ja ob wir jetzt Abstände her ich
behaupte dass Abstands Problem haben sie mit dem Leben Probleme sind gelöst warum das liegt daran dass ein Vektorraum ebenso schöne Additive Struktur wenn Sitz wieder zerlegt waren haben U und V dann wollen Sie wissen was ist der Abstand zwischen U und V und daran es ist allen die sie nicht so gut identifizieren mit dem Punkt wo es aufhört und das fortwährende Bezieher mit dem Punkt wo es aufhört und was interessiert was der Abstand ist ist wertet das ist der Abstand von den beiden die Länge dieser Geraden da wurde dieses geraden abstützt und wie messen Sie jetzt gehen wie ist dieses Ding hier das entspricht genau dem Vektor und -minus Frauen der legte um das Haar ist der Rektor der liegt die Parallelverschiebung von dieser gepunkteten geraten das heißt dieser stand hier ist die Norm das die Länge von dem Vektor -minus V und die Länge von dem Vektor um -minus v die entspricht dem Abstand von zu fahren ab damit haben Sie die Frage wie mäßig sich Abstände darauf zurückgespielt Übersicht Längen also wenn Sie Länge messen können können auch abstimmen müssen so dass das Schließen der Definition Definition 4 3 also haben normierten Raum beschreibt das nur wenn es einer Klammer deren das soll heißen sie haben Vektorraum V in der reellen Vektorraum für andere machen wir keine Norm wären Vektorraum V 100 auf Amseln in Norden also das sei ein normierter er Vektorraum und dann haben wir noch 2 Mengen A und B welche Teilmengen von Frau und das können einzelne Punkte seien das können das können unter Vektoren oder ähnliche Timing sein ach so ich hätte noch gern dass die beiden nicht mehr sind dann zu haben und dann können Sie jetzt den Abstand von der Menge an zur Menge B hinschreiben bei 7 Grad erklärt habe der Abstand zwischen 2 Punkten aber sie können es auch Abstand sind 2 Mengen definieren also Distanz von Azubi wie macht man das sie haben irgendwo ihr und da irgendwo
B was ist der Abstand von den beiden Mengen naheliegenderweise suchen sich die kürzeste Distanz und definieren den Abstand als den Abstand von den beiden Punkten der nächsten zusammen so wie kriegen wir das hin mathematisch in ein anschauliches klar abstammen suchen aufgeben in jeder Menge die 2 Punkte zu dass die ab der so dass die nächsten also da die Stelle wurde ab den am kürzesten ist und in den Abstand zwischen den 2 Punkten und wie schreibt man das formalen also was macht man man nimmt alle er aus aber um einen alle B aus B untersucht für alle an ein für alle des schaut man sich an den Abstand von Azubi Abstand von A zu B ist die Länge von der Differenz so was interessiert eingesetzt hat man alle möglichen Kombination alle Kandidaten für den Abstand ausgerechnet also für jede Kombination von Ahaus A B es per mangelhaft dann ausgerechnet und was interessiert ist der kleinste davon kann also einig das Minimum mit vorsichtig weil A und B sind beliebige Mengen und das in Führung bei die Frage ob das Minimum existiert das ein Problem aber die Ahnung von existiert zur das ist die Definition der Distanz zu dem sich alle Abstände von Punkten an .punkt in deren und suchen sich den kleinsten das nennt man den Abstand von A und B ja Abstande der Distanz zu Synonym da unwichtig sind natürlich wie gerade schon gesagt Abstände zwischen 2 Punkten oder Abstand zwischen dem .punkt einer Menge also wenn ihre Menge an nur ein Element enthält dann schreibt man das denn jetzt Notation Sachen dann müsste man eigentlich schreiben die Distanz von der Menge die enthält zum B und das in einem möglicherweise zu viel klammern das Leben schreibt man nur Distanz von A zu B ja wir in den ja genau
ich je wieder ausgleichen das ist der Grund weshalb der in vollmundig Minimum steht wir und also das Beispiel war sie am die eine Menge das sind alle Zahlen kleiner 2 Mehr und die anderen Dinge das Wesen alle Zahlen größer 3 was ist jetzt der Abstand darf diese wie offensichtlich 1 wenn die beiden man hier jeweils die 2 und 3 enthalten wenn es auch offensichtlich einstweilen dürfen sie eine Definition der Distanz klein gleich 2 ungleiche des gleich 3 Sätzen und der kleinstmögliche Afghanistan 1 und ich den sowie die Frage stand dabei ein bisschen ungutes Bauchgefühl was denn passiert wenn 2 und 3 nicht dazugehören bei den 10. Sieg keine aus und keine B aus B so dass der Abstand 1 ist aber sie finden aus A und B aus B so dass den Abstand beliebig nahe an 1 kriegen dafür jedes für jede Zahl größer 1 kriegen Sie zahlen aus Arnos B so dass das passt und das dieser Zahl ist dann 1 aber deswegen bedauere man den und nicht Minimum weil in dem Moment wo Sie es hier offene Ende haben wird es kein Minimum geht also der Abstand zu finden für jede Zahl größer 1 2 Punkte den Abstand realisieren aber Vereins nicht mehr wenn es Ihnen um trotzdem noch 1 aber es gibt keine das wird steht dahin .punkt sofern danke für die Frage die ich habe das genau das so also im Prinzip sogar mit sieht es aus wie das ist ein ganz intuitive Begriff dieser Abstand habe und was ich jetzt hier noch genau ich will jetzt hier noch als allerletztes noch immer auch noch Schreibweisen der sich wenn er ein .punkt ich ist und b ein .punkt ich dann müssen Sie natürlich wenn Sie das ganz formal saubermachen schreiben Distanz von der Menge die zu nennen die des enthält und bei jeder wird wissen was gemeint ist wenn man Distanz von A zu B schreibt und das Ding der wir das einfach so es ist nur Klammern Schreibarbeit Ersparnissen ist es nicht zur der dann also was sie jetzt damit haben es noch mal die Erkenntnis von oben anders hingeschrieben die Distanz von einem Vektor gut zu einem Vektor v ist damit genau die Länge des Verbindungsweg +plus und -minus Frauen und auf die Weise beschreibt ihn dem die falsche angesprochen sondern darum die geometrisches Setting also wenn sie einen Vektorraum haben oder warum denn Sie beschreiben wollen und der hat irgendwer spezielle geometrische Struktur sei es jetzt einfach der normale Anschauungsraum oder sei den Staat mehr hätten dann können Sie diese genetische Struktur der Norm in deren Namen Namen realisieren codieren und die glauben an rechnet ihn dann die Abstände in diesem geometrischen Zeiten aus wenn Sie 2 Namen haben Sie ja alltäglich in alltäglichen Abstands Begriff und wenn sind was anderes haben dann suchen sich die entsprechend andere Norm aus noch eine Bemerkung das ist Teil der Bemerkung 4
4 und kann man bisschen Anfang mit diesen abstellen rum zu spielen und stellt fest in vielen Belangen verhalten die sich vernünftig ich will nur 1 nur 1 Prozent schreiben wenn Sie sich den Abstand von 2 Vektoren anschauen dann hätten wir ja wohl gern dass nun der Abstand von A zu B zu und zu Zufall soll bitte schön der Abstand von Frau zu sein wenn die sie nicht zu Ende und das kriegt man tatsächlich aus ja das ist der Abstand von zu V der Abstand von gut 5 Frau ist länge des Verwendungszweckes um das Haar die Länge des hat mir trennen können sich jetzt das können sie können schreiben als -minus 1 meiner Frau -minus so und es geht die Homogenität der Norm also das Norm Axiom in 2 das ihnen sagt das ist selbe wie Betrag von minus 1 mal V -minus Betrag von minus 1 ist nicht viel das ist wahr -minus wo und das ist der Abstand von Frau zu Frau und ich sehen Sie das ist nur sehr wenige Eigenschaft der Distanz ist es egal ob sich oder zurücklaufen es immer gleich weit sie nach der Grenze das war ein Begriff wenn sind wenn Sie abstellen übernommen definieren gehen 7 von Sonne Homogenität des Raumes aus das ist zum Beispiel in egal ist wie rum Sie laufen wenn Sie sich jetzt zum Beispiel überlegen sie wollen die er an sie wollen indem sie sie betrachten ihren R 2 anderen Teil vom R 2 heißt es in der Stadt als Darmstadt und wollen als Entfernung da drauf modellieren die Zeit geben die beiden Mehr was ist ich bin Auto braucht um von A nach B zu kommen dann sitzen sie mit den Normen der Tinte weil mit einer durch den zieht der Ringes manchmal sehr sehr schnell das von A nach B zu kommen aber von B nach A fahren sie stundenlang im Kreis ja das heißt es ist eben nicht so dass wir den Rückweg gleich lang dauern wenn Sie die Geometrie haben die das nicht eher früher als wenn ein bisschen werden was haben was simulieren wollen dass dieses nicht erfüllt das hin und Rückweg spiegelbildlich durch ist dann ist in Raum und starker Begriff dann müssen sie abschwächende gibt die Metriken für machen wir nicht nicht aber vielleicht immer noch aber er in wenn an kann das nicht leisten wenn Sie wenn Sie mit der Norm lenken messen haben sie immer die Symmetrie des den und der Rückweg gleich lang ist so das war der Abschnitt zum Thema Norm und jetzt hab ich erst etwas völlig anderen das 1. Mal wo man sich fragt musste Zusammenhang und warten Sie einfach 5 Minuten dann haben Sie in Zusammenhang n das ist der sogenannte dass der Begriff des sogenannten Skalarprodukt also Definition 4 5 also wir haben wieder eine Vektorraum und jetzt haben wir der Abbildung wir vorher den Namen eine Abbildung von Frau nach R die jedem Werk das eine Länge zugewiesen hat und die Abbildung jetzt hat 2 Argumente dienen 2 Vektoren v und bot mir jede Zahl aus wird üblicherweise nahelegen verschiedene Schreibweisen Straßen zum runden Klammern Strich in der Mitte also das ist ne Abbildung von Frau Kreutz Frau nach R schlug 2 Vektoren spuckten Zahl aus und der Skalarprodukt falls wieder 3 Bedingungen gelten er sich noch aus der Schule Geometrien das Skalarprodukt erfindet darf darf der das Denken ist es genau das nur jetzt wieder allgemein auf beliebigen Vektorraum also müssen 3 Dinge gelten nicht man die mal SP 1 bis SP 3 für Skalarprodukt und das 1. wendete Finitheit wann immer sie sich allen x in V hernehmen und das X mit sich selbst multiplizieren also das Skalarprodukt von x mit x bilden dann muss eine das positives oder weiß zumindest nicht negatives rauskommen und so wie bei den Norm verhindert neue sollen rauskommen wenn der Dichter selber 0 war also das Skalarprodukt von
x mit x ist 0 genau dann wenn x selbst 0 ist das wenigste 0 weg ist wenigsten bewegt ist soll das Skalarprodukt von 0 wird damit etwa 0 sein aber das soll eben der einzige weg da sein bei den das Geld das ist wieder die der Finitheit London dann kommen die 2. Eigenschaft von Skalarprodukt ist die so genannte Symmetrie und das tut auch genau das also wenn Sie Zeit waren Herrn nehmen dann soll das Produkt von X und Y o das selbe sein wie das Produkt von X dass es im Prinzip kommutativen tellt an der Stelle kurzen Kommentar dazu warum schreibe ich das Skalarprodukt so kompliziert und sag immer Produkt und schreibe ich einfach x y da könnte man machen Weltsicht Wien Produkt ist sogar kommutativ M ich mach das deswegen weil man bisschen aufpassen muss ist es nicht in dem Sinne ein Produkt wie das Produkt auf Erden also der Multiplikation wie das Multiplizieren auf der eine Multiplikation ist weil das Skalarprodukt multipliziert Vektoren miteinander und Krieg Zahl raus also ist es nicht es ist nicht so dass es 2 Rektor bezieht dann legt produziert insbesondere dürfen sie sowas wie x mal y mal Z erstmalig schreiben wir diesen y Essen weg ist die Zahl und jetzt in sind die Zahl kann man da nicht wieder bei Scala multipliziert mit dem mit dem 3. Sektor was sie können sie es gar war wurde die also X 1. zahlen dieses dieses Gallaher dürfen Sie natürlich als Galan multipliziert mit dem vektor Z mehr aber in dem Sinne verhält sich das nicht wieder normale Multiplikation und deswegen bisschen andere Mutationen man dann nicht auf die Nase fällt also das ist hier die Symmetrie und dann kommt als 3. eine Eigenschaft die jetzt erst mal ein bisschen mühsam aussieht die ich jetzt sehr zu schätzen lernen wir wissen lernen werden und die wir auch noch in der nächsten Vorlesung weiter beleuchten die sogenannte Genialität da brauchen wir jetzt 3 Vektoren XYZ aus Frau und 2 Skalare Alphabet aus und dann gilt folgendes wenn ist in diesem Jahr Kombination von Vektoren vorne reinstecken das Skalarprodukt also da man sich 2 Vektoren werden ja Kombination Alfa x +plus später y und multiplizieren Sie mitzählt dann soll das das gleiche sein wir werden sehen nur X mit 10 multiplizieren und Y mit Z und von den beiden Ergebnissen ist die er ja Kombination bilden also dürfen die im Jahr
Kombination sozusagen aus dem Skalarprodukt rausziehen das nennt man Genialität im 1. Argument Genialität n ja weiß eben linear Kombination harmoniert im 1. Argument ist endlich klar Skalarprodukt hat 2 Argumente und ich verlange eben das im 1. Argument denn er ist auch die 3 hab ich hier noch einmal auf das Foyer können Sie also im weiteren Verlauf der Vorlesung immer wieder draufgucken dieses 3. Axiom Genialität im 1. Argument sie in gewisser Weise unsymmetrisch aus warum sollen 1. Argument dass es im 2. warum ist das 1. Argument predigen er privilegiert und die Antwort ist das 1. 2. 1. Album in ist nicht privilegiert es ist nur so dass man den Axiomen Systeme gern minimal Information reinpackt möglichst wenig fordert Nation und Dinge die dann aus dem folgern nicht mit 3 nimmt und Sie kriegen tatsächlich wenn sie die 3 haben denn er enthält im 2. Argument geschenkt also das gilt auch wenn ihr enthält im 2. Argument und das ist die Stelle wo es wenn Sie das ganze Komplex angucken hart aber wie gesagt nur werden wenn sie später mal irgendwann mit komplexen Vektorraum zu tun kriegen er ist an der Stelle aufpassen warum Na ja ja der dem 1. Argument und die Symmetrie und mit wenn sie die beiden zusammenpacken dann kriegen sie auch enthält im 2. Argument also wird schauen uns 1 x multipliziert mit denen ja Kombination zusammen +plus später zählt das können sie nach so mit wie umdrehen dann haben Sie Alfa y +plus später zählt Skalarprodukt mit X jetzt können Sie hier hinter dem 1. Argument ausnutzen also das Axiom SP 3 dann kriegen Sie Allvar Skalarprodukt von y mit x +plus Bett das Skalarprodukt von Z mit X und jetzt haben sie wieder es kann sie wieder umdrehen her für Mitri rückwärts benutzen kriegen Sie Alfa Skalarprodukt von x mit y +plus Peter Skalarprodukt von x mit Z und das ist das was das ist direkt für den 2. Argument also das ist es ist wieder SP
2 und dann ist das IG Skalarprodukt mit Y +plus später ich Skalarprodukt mit Zettel und sie hat noch ein 2. Argument wenn Sie x multiplizieren 1 Jahr Kombinationen können Sie zuerst x würde das Land X mit 10 multiplizieren und die Ergebnisse die Mehr komme zum gut das nur so als Bemerkung dass man eben dessen allgemeines Konzept für meinen Sohn der zum System aufschreibt schreiben möglichst wenig rein ob man irgendwas draus folgt macht man das lieber Satz gute an dann würd ich ihn jetzt erst mal 10 Minuten Pause gönnen damit sie übernommen und Skalarprodukt das meditieren kann weil man meint sie nun weiter ich würde die 2. Hälfte mit der 2. Hälfte loslegen ich hatte ihn jetzt gerade im Begriff das Skalarprodukt definiert und dann genau wie gerade eben ist natürlich der 1. Schritt sich Beispiele anzuschauen ich mag das also das hier relativ kurzen Zeit in nur 1 und auf nächsten Übungsblatt können sie dann noch ein Stapel von Abbildungen wo sie entscheiden soll das Skalarprodukt da sind oder nicht da sehen Sie da noch ein paar und wir sehen seit es das der sogenannte Standard Skalarprodukt also mein klar muss man einmal das gesehen haben was normalerweise verwendet wird also Standard Skalarprodukt in enden was ist das was müssen wir tun um Skalarprodukt zu definieren wir müssen Abbildung definieren die 2 Vektoren zu einer reellen Zahl verpackt also wenn uns 2 Vektoren aus dem Meer n her ein Vektor X 1 bis Xn und ein Vektor y 1 bis y n und für den definieren wir jetzt was das ist x mal y also das Skalarprodukt von x und y nein das macht man folgendermaßen war der 4. 1 man multipliziert die weißen einer gehörigen Komponenten also man multipliziert XJ mit Y J und so diese Produkte jeweils auf also Summe von 1 bis n x laut YJ und meine Behauptung ist dass dessen Skalarprodukt ist wir also das ist das was man ist aus der Schule kennen wir sie kennen und jetzt müssen wir nur noch nachweisen dass das Skalarprodukt ist und dass es zum Glück im Wesentlichen nachrechnen also was müssen wir tun für das SP 1 müssen wir im Prinzip 3 Dinge tun 1. wir zeigen Vektor mit sich selbst multipliziert das immer größer gleich 0 zweitens wenn der Vektor 0 ist ist das Skalarprodukt mit sich selbst 0 und drittens wenn das Skalarprodukt XX gleich 0 ist 1 x nun also es es ,komma was Positives raus nehmen Sie sich in XML Mehr kann schauen sich an was es x multipliziert mit x was ist das dass die Summe von 1 bis n x XJ mal XJ also XJ Quadrat und da werden Sie mir glauben wenn sie lauter Quadrate von reellen Zahlen aufaddieren dann kommt der garantiert nicht -minus 7 raus und wenn -minus 7 rauskommt dann haben sie sich auf ihrem Taschenrechner vertippt und rechnen das bitte noch mal Mehr also das immer positiv da müssen weiß 2. zeigen wenn sie denn 0 Vektor mit sich selbst multiplizieren kommt 0 raus das ist
auch nicht wahnsinnig tiefsinnig was es denn wohl weg damit sie selbst multipliziert die Summe über 0 1 0 und nun war nur das erst recht 0 und wenn sie lauter Nullen aufaddieren dann kommt er nun saß so dann bleibt das letzte sie müssen zeigen wenn Skalarprodukt von x mit sich selbst 0 ist 1 x von 0 und wie vorhin zeigt man wollen wir bei der Norma hatten wir das auch von der Kontraposition gezeigt und das ist auch was was man üblicherweise gut Kontraposition zeigen kann also neben x ungleich 0 was heißt das wenn nx nicht 0 ist dann gibt es nein Index J 0 zwischen 1 und allen so dass des XJ 0 nicht 0 ist das bedeutet dass x nicht nur ist ja um ja ja ja als die Frage ist was passiert wenn man sie jetzt komplexe Zahlen den Vektoren haben dann geht ja jede Zelle der 1. die 1. Zeile von dem SP 1 schief war das stimmt wenn sie komplexe Zahlen stehen haben dann steht nachher da ja gleich 1 bis n ZJ Quadrat ZJ Quadrat kann alles mögliche kann muss wo die Vorzeichen sein kann komplex sein kann irgendwas sein Mehr in deswegen ist war der Punkt an dem man im Komplex muss nur Skalarprodukt anders definiert die Definition ich ihn geschrieben habe es die serielle Vektorräumen ja am Anfang gesagt wenn man den Komplex was den Grund But an der Stelle wird komplizierter ist nicht viel komplizierter aber debattieren wir einfach nicht weil ich davon ausgehe sie werden mich oft mit gab Produkten auf komplexen Rollen zu tun hat und wenn Sie das wenn Sie das hier irgendwann im 7. Semester plötzlich auf dem Schirm kriegen dann hab ich ihn mir auf und ich so für Rüstzeug mitgegeben dass sie 15 Minuten brauchen um das ist nicht schwer das um draufzupacken aber in einer den anderen 642 Hörern der Vorlesung den kann ich ersparen mehr gut aber sie haben die und seine Stelle genau gefunden an der Stelle geht schief also waren wir die Finitheit wenn X nicht 0 ist dann ist eine Koordinate nicht 0 1 1 x J 0 nicht 0 und dann sieht man schnell dass dann auch das Skalarprodukt nicht 0 sein kann was ist dann das Skalarprodukt von x mit sich selbst es wieder die Summe von 1 bis Ende der XJ Quadrat jetzt kann ich diese Summe nach unten Control nach und abschätzen in dem ich einfach alle Summanden Weckglas die nicht gerade ja und holte sind das besonders Zahl größer gleich 0 wenig davon Summanden weglassen mach ich die Sache höchstens kleine also dass es größer gleich Ixion Rückwanderer und XJ nur Quadrat ist strikt größer 0 weil XJ und nicht nur das und damit haben sie den x nicht 0 ist dann das Skalarprodukt von x mit x strikt positiv also ungleich 0 wenn und die Kontraposition ist jetzt wieder wenn X X gleich 0 ist eine 6. n damit aber die definierter hält zweitens mit Riesenbeträge
ganz banal das ist fast schon nicht in die Minen werden bis hin zu schreiben also was ist das Produkt von 1 X mit dem y Skalarprodukt Skalarprodukt von x mit y dem Standard Skalarprodukt ist nach Definition die Summe von 1 bis n x und y j nur das Multiplizieren er kommutativ also ist das das gleiche Georg Laich 1 bis n YJ XJ na ja und das ist das Skalarprodukt ja also ziemlich viel ist dann das Skalarprodukt es schlichtweg Commuter tivität vor multiplizieren er es kommt das letztes SP 3 das ist die Linie
hält im 1. Argument und ist auch nicht schwer die muss man muss also schreiben ein bisschen länger hin zu schreiben so viele Dinge hat also X Y und Z sein Vektoren immer in alpha und beta seine skalaren so und da müssen die Genialität im 1. Argument nachweisen das heißt diese gleich etliche ganz oben steht nehmen wir uns das hier was ausrechnen müssen Alfa Express Peter y multipliziert mit Zelt was ist das das ist der Vektor Alfa x 1 +plus Peter y 1 bis Alfa x n +plus später y n Skala multipliziert mit dem vektor Z 1 bis 10 n so was gibt es nach Definition Skalarprodukt sie müssen summieren über die einzelnen Komponenten der Vektoren und jeweils das Produkt der Komponenten bilden das gibt Alfa XJ +plus Beta YJ Mahlzeit ja und jetzt ist einfach Distributivgesetz in Mehr dort gleich 1 bis n Alfa XJ ZJ +plus später y jz jagt und dann können Sie die Summe in Weisungen auseinanderziehen also das ist so Million gleich 1 bis n Alfa XJ ZJ +plus Summe ja gleich 1 bis n Ha y Jahrzehnt jagt jetzt haben sie in sind in jedem Summanden der 1. so man alle verstehen wenn sie ausklammern meint Erinnerungen mit Sonnenzeichen ausklammert des Alfa kommt einfach Vorlesungen XJ ZJ +plus später einmal die Summe YJ ZJ und jetzt sehen Sie schon es passt alles zusammen und dann kommt raus eine formale Skalarprodukt von x Z +plus später
einmal das Skalarprodukt von und und das ist das was hier rauskommen sein gut haben wir also das das Standard Skalarprodukt tatsächlichen Skalarprodukt im Sinne dieser Definition ist es gibt wie gesagt auch hier von und drückt sich andere nächste Übungsblatt werden 7 Paar sehen ich hab hier an der Stelle im Skript noch eine Übungsaufgabe stehen über die können Sie auch mal nachdenken diese relativ nicht tiefsinnig brauchen wir nur nach hinein egal welche Skalarprodukt sie nehmen ja ich vorbei und wird gleich als nicht bei 0 an weil man die Koordinaten von Vektoren üblicherweise mit 1 2 3 4 5 6 durchnummeriert und nicht mit 0 1 2 3 4 und das macht man deswegen weil man weiß einfach daliegende ist das sind 1. 5 die Koordinaten x 1 bis x 5 Cent und nicht x 0 6 4 weil er 5 bis 6 5. wie intuitiv und er 5 0 1 x 0 bis 6 4 Essen und intuitiv können Sie wirklich machen ja sie sind ist alles eine Frage der der Konvention wie man die Dinge beim Namen also wenn Sie Ihren Skalarprodukt auf er Vektorraum haben dann habe ich Ihnen vorhin gezeigt dann ist wenn allein dann ist aber nicht die Zeit zum 1 der Axiome ist dann ist immer nur Skalarprodukt mit 0 0 aber was ist denn wenn sie jetzt irgendwie X aus Frauen nehmen das nicht unbedingt 0 ist und das mit 0 multiplizieren und die Behauptung es also gut so oder so rum dass es wegen Symmetrie wurscht das ist egal wie immer 0 das können Sie aus den an nur es den 3 Axiom jetzt die das ist eine Übungsaufgabe man beachte an der Stelle wieder das er das Elend der 0 also die 0 die 1. 0 V und die nur hier ist nun den erraten mit wie gesagt das Zeichen 0 ist leider 17 Fach überladen so und jetzt kommt der die Vorlesung angefangen mit dem Begriff der Norm und hatte irgendwie in den da liegen die Bedeutung das die Länge oder man konnte damit Abstände bestimmen man kann dieses Skalarprodukt das 1. Mal überhaupt die Frage hat wofür es gut und was ich Ihnen jetzt zeigen will oder zumindest mit wir haben eine kleine Lücke zeigen will es das wann immer sie in Skalarprodukt haben wo auch immer her schenkt Ihnen die Skalarprodukt enorm jede Skalarprodukt bringt eine normiert und das ist jetzt der nächste Schritt
also Sie haben wieder dann Vektorraum Frauen der muss sich endlich dimensional sein das muss kann er in seinen Vektorraum und sie haben aus irgendeinem Grund da draußen Skalarprodukt das haben sie irgendwoher gekriegt und dann können Sie Folgendes machen also wenn Sie irgend x in V haben können Sie natürlich das Skalarprodukt von x mit x bestimmen nun kann weg damit jede weckte multiplizieren das klar Produkt von x mit x darüber wissen Sie aber was das immer größer gleich 0 man das immer größer gleich 0 das heißt sie können mich nicht davon abhalten eine Wurzel drüber zu werfen der von der reellen Zahl großer der nur kann eine Wurzel ziehen und das Ding nicht mal 9 X die Behauptung ist bei sehen Skalarprodukt haben es diese Bildung genau ja man dachte das ist sinnvoll weil eben der Norm die Namen also das Skalarprodukt von x mit x immer größer gleich 0 ist deswegen ist diese Wurzel da okay und das ist ne sinnvolle setzen was ich Ihnen jetzt zeigen will es diese dieses Ding das so
definiert ist ist in meinen Augen auf Frau das heißt wann immer sie irgendwo Herrn Skalarprodukt haben haben sie Normen und diese Norm nennt man die vom Skalarprodukt induzierte nahm er weil eben das Skalarprodukt Ihnen diese Norm mitbringt dann ist nichts mehr zu dafür machen die wird von diesem Skalarprodukt induziert so und der Nachweis dass das enorme ist der braucht ein wesentliches Mittel das ein bisschen mühsam zu beweisen ist wasserdicht und weiß gleich weglassen wären und wenn sie dieses aber wie sieht es mit den braucht man nicht nur dafür dass es auch für viele andere Sachen nützlich und stark deswegen ist es gut mal zu erwähnen und wenn wir das haben dann kann ich ihn relativ leicht nachweisen dass sie dass das den also dieses induzierte dienen hier immer nur morgens so als der 1. Schritt ist dieses Hilfsmittel und dieses mit ist das so genannte warm Ungleichungen das ist der Satz 4 9 komische schwarz Ungleichung benannt nach hallo ob Vista Cusco Ski französischer Mathematiker im 19. Jahrhundert eine der ein unglaublich produktiver Mensch also Churchill bist wird uns noch häufiger begegnen bei der 2. Florence schwarz M auch französischer Mathematiker ungefähr gleichen Zeit haben geht wird Ihnen jetzt nicht mehr so oft begegnen ist aber in verschiedenen Bereichen auch ein ganz wichtiger Mensch gewesen also dessen 2 große Namen und die Ungleichung sID relativ harmlos aus ist aber auch eine eben eine sehr sehr oft und gern verwendete so was sagt der Satz wir haben er Vektorraum damit sie überhaupt das Skalarprodukt und normal leben können so und wir haben Skalarprodukt und wir definieren wie oben wieder dieses Ding wollen dem wir noch nicht wissen ob es enormes sowohl die schon so bezeichnen wir und die Behauptung ist jetzt egal welche Vektoren sie sich aus dem Frauen nehmen sie können angeben wie groß das Skalarprodukt von VW allerhöchstens werden kann nämlich das Skalarprodukt von V und W in Betrag 8 und das Gelaber Produkt kann ja auch negativ sein als der Betrag von Frau von dieses Skalarprodukt es allerhöchstens die Namen von Frau mal den Namen von Ihnen also wobei die Norm eben diese genau zugehörigen aus das ist die große schwarze ungleichen ja ja es gab Produkt verändert wird sie selbst kann die negativ sein aber ein Vektor mit dem anderen Vektor multipliziert ist eine reelle Zahl da können wirklich negative Zahl auskommen immerhin die ungleichen wie sie steht stimmt auch also Betragsstriche weglassen aber wenn die die Betragsstriche weglassen immer das was auf der rechten Seite steht es immer positiv weil dieses diesen waren denn da ist mir Wurzel aus das positiven n wenn das auf der linken Seite negativ ist es natürlich auch ohne Betragsstriche bei negative Zahlen immer kleiner gleich positiven Zahl also so ist es halt mehr wert so und dann gibt noch man Zusatz die große schwarz und Gleichung ist nämlich neben dem dass sie eine ob obere Schranke dafür gibt wie groß und Skalarprodukt werden kann auch ein Test auf den Unabhängigkeit sie kriegen nämlich Gleichheit hier genau dann wenn die beiden Vektoren linear abhängig sind Na also sind Frauen wir linear abhängig sind
dann geht nicht kleiner klar also dann geht auch kleiner gleicht eigentlich geht immer aber das gilt sogar gleich und umgekehrt wenngleich gilt dann müssen Sie bei Linie abhängig sein gute den Beweis will ich Ihnen die gesagt haben an der Sterne vorenthalten etwas Gemeines Grid steht da drin wenn sich anschauen will ist herzlich eingeladen ich will ein beständiges drüber wegspringen naja ich bin aber gerne bereit wenn sie sich den durcharbeiten und das sind Fragen und weil ich das nicht und ich aufgeschrieben hab oder sonst wie dann kommen Sie gern vorbei dann können wir darüber reden gut arbeitet ich will jetzt als als Blechbox betrachten also als einfach Satz von wissen stimmt und mit Hilfe dieser kohlschwarz Ungleichung will ich Ihnen dann zeigen das eben dieses so definierte doppelt bald Ihnen daran tatsächlich noch eines das heißt dass das Skalarprodukt in dem Moment liefert und das ist der Satz 14 also Ausgangspunkt der haben Skalarprodukt auf erweckte Raum Frauen und dann ist da dieses Doppel bei gehen die Ideen dass wir jetzt Grad schon einmal definiert haben in genauer und auf die Weise bringt ihn jede Skalarprodukt der mit zur also sind wir wieder an der Stelle das wir nachweisen müssen dass es enorme müssen wir von schon mal gemacht ,komma zweimal machen müssen 1. feststellen jeden weckte die Zahl zugeordnet also wenn sie den weg damit sie selbst Galan multiplizieren komm geprobt Zahl größer gleich nur raus wenn sie den Nutzen daraus ziehen sie wollen Zahl größer gleich 0 kommt also Zahl raus alles gut und dann müssen wir n 1 n 2 n 3 nachweisen also damit in 1 an das Erste was wir tun müssen ist nachweisen dass die Norm von jedem Element größer gleich 0 ist das ist im Prinzip ich schon hab ich trat schon dreimal gesacht also was ist die Norm von Frau nach Definition ist das man will das Skalarprodukt von Frau mit sich selbst und daraus die Wurzel nach SP 1 ist das Skalarprodukt von Frau mit sich selbst größer gleich 0 und 1 auch die Wurzel größer gleich nun und das ist positiv so dann brauchen wir noch die Defini
teilt es sind wieder 2 Dinge erstens müssen wir sicherstellen dass den waren das nur legt das 0 ist ja das ist nicht tiefsinnig das nur legt er mit sich selbst multipliziert das Geleis immer 0 definiert hat vom Skalarprodukt die Wurzel von 0 ist auch 0 also das tot um und da Mama 3. wenn die Namen von V 0 ist dann muss V 0 sein und das ist der 3. Teil von der vom N 1 abnorm von Frau gleich 0 daraus folgt Frau gleich 0 was heißt es wenn die Norm von Frau gleich 0 ist das heißt die Wurzel aus dem Skalarprodukt von Frau und Frau ist 0 die Wurzel aus der Zahl ist nur dann 0 wenn die Zahl selber 0 ist also wissen wir dass die Norm von Frauen der Skalarprodukt von Frau mit sich selbst 0 ist jetzt schauen mal nach SP 1 man SP 1 sagt Ihnen den Virenwächter haben damit dieser dass es gelang multipliziert nur dann war Vektor 0 also haben wir auch das mit so das war in 1 dann kommt in 2 Homogenität nicht
Mobilität von unseren waren also was brauchen wir brauchen und Frau Hausfrauen wir brauchen einfach aus aber und dann müssen wir uns anschauen die hoffentlich Normen von Alfa Frauen was ist das Definition von unserer den nächsten Raum Skalarprodukt von Frau Metzgerladen mit Alfalfa und daraus die Wurzel so war dann kommt jetzt die Genialität im 1. Argument dass das SP 3 1. Argument dieses Skalarprodukt steht jetzt in Milenia Kompilation dieses bisschen degeneriert weisen nur einen Summanden hat aber dass sie einfach mal Frau und nach SP 3 können Sie das alpha verfasst Skalarprodukt sehen können und werden dann in der Bemerkung was war das 4 6 oder so was genau 4 6 gesehen sie habe nicht nur Genialität im 1. Argument sie haben auch mir enthält im 2. Argument also können sie auch das Althaus im 2. Argument nach vorne ziehen am Alfa Quadraten Skalarprodukt von Frau mit sich selbst dann Wurzel Rechenregeln das ist Russlands Alfa Quadrate mal Wurzel aus dem Skalarprodukt von Frau mit Frau das ist ok das er seine zu ziehen weil beide Faktoren sind positiv das heißt sie dürfen wir das so trennen wir was ist ab die das Skalarprodukt von Frau mit Frau und die Wurzel drauf das ist Norm von Frau und jetzt steht da noch die wortlos Alfa Quadrat oder der Stelle möchte ich vor einem häufig gemachten Fehler waren was ist die Umkehrfunktion von quadrieren also kommt da einfach aus hab ich ich weiß nicht wie viel Klausuren man so was liest klar Dickerson passiert was lernen wenn man aufgeregt ist aber da konnte ich nicht einfach aus dass wir auch ziemlich über den hier als rauskäme weil da soll ich einfach aus ,komma so Betrag als herauskommen da kommt doch Betrag einfach aus Wurzel aus Alfa Quadrates Betrag war nicht einfach aber das Quadrieren gilt das Vorzeichen und das welches vorzeigen vorher da war kann die Wurzel nicht ist und deswegen kann sie so nicht rekonstruiert also wann immer sich später irgendwelche also der der ganz klassisch ist den dann später sowas den hat die Wurzel aus Cosinus Quadrat X her da dies nicht Cosinus X das es Betrag großen Sieg so also aber in dem Fall kommt uns das zupass dass der Betrag als versteht weil was jetzt wichtig dass die Homogenität können sondern kommt in 3 in 3 ist die Dreiecksungleichung ist die Stelle wo die große schwarze ungleichen eingeht also was müssen wir tun für die Dreiecksungleichung wir müssen uns 2 Vektoren hinnehmen und schauen wie sieht es mit Opus V aus unter sie der Länge von war oder muss rauskommen kleiner gleichen Namen von +plus Mann vom Fach und an der Stelle wieder gut dann erst mal das anderes kW Moment nicht machen 1. Definition einsetzen also die Norm von Opus V ist das Skalarprodukt von Opus Frau mit sich selbst und die Wurzel drüber und jetzt hab ich keine Lust auf diese dumme Wurzel weil mit der Rechten ist mühsam unter der Städte ist häufig sehr praktische Trick dass man sich nicht die Norm von Opus Fahrenkrug QC zur Linderung von Fork vertrat am Fluss oder ganze Ärger die Wurzel ziehen aber im Moment Erspartes vieles vorzuschreiben haben was ist +plus V multipliziert mit +plus vor wir wollen irgendwie auf die man von unten von Frauen also ist es naheliegend jetzt die Genialität im 1. 2. Argument auszunutzen man 1. Jahre tät 1. Argument gibt Skalarprodukt von mit +plus V +plus Skalarprodukt von Frau mit u +plus v jetzt in beiden Summanden Genialität im 2. Argument geht Skalarprodukt von mit +plus Skalarprodukt mit Mitfahrer +plus Skalarprodukt von fahr mit +plus Skalarprodukt von Fanfare mitfahren die beiden ein Mitte können Sie wegen Symmetrie also wegen das das hier bei SP 3 und wenn sie mit Riesen die beiden mittleren Summanden identisch gerade dort nur mit Sounds geladen und von Frau mich Unis desselben also das ist nur das Skalarprodukt von mit plus 2 Mal das Skalarprodukt von mit V +plus das Skalarprodukt von Frau mitfahren übrigens noch kurzer Kommentar an der Stelle wenn Sie sich jetzt mal in der 1. Zeile des 2. haben und den letzten anschauen dann sehen sie auch für das Skalarprodukt gehe gelten die üblichen binomischen Formeln das versteht a +plus Ben Sherman Quadrat ist Quadrat +plus 2 a piquadrat einfach die 2. in die 1. binomische Formel so das heißt aber auch hier geht die und vergessen Sie bitte nicht den mittleren Tagen vor der genomischen vor so und an der Stelle an Hamburg mitzuteilen schon ganz gut aufgestellt wir wollen das u +plus v Quadrat das das die Länge von Opus V irgendwie sich abschätzen lässt die Klänge von PhotoPlus +plus die Länge von Frau die Länge von o die Länge von Frau stehen schon da also dass da das ist die Länge von Quadrat wir haben länge von wäre die Wurzel aus den Dingen also ist das der die länglichen Quadrat das das die Länge von Forderungen und dazwischen steht noch diese würdet haben der noch dazukommt zur und das ist jetzt die Stelle muss die Kohle schwarz Ungleichung aus der Tinte hilft das Erste was er machen können ist wenn man den Ausdruck größer in dem wenige Staaten dem Skalarprodukt von U und V den Betrag davon hinschreiben warum geht das nicht es gibt 2 Fälle wenn der Skalarprodukt Frau vom positiv ist dann ändert das Gefahr gar nix meine Skalarprodukt negativ ist dann mach ich diesen Summanden der größer nämlich im Westen gibt es positive Ansätze und alle andern auch positiv dann mach ich ganze Sache Größe Sarah warum Eigenbetrag eine damit ich Kusche schwarz anwenden kann zwar ich wieder diesen mittleren Sonaten größer nach große schwarz das dass man so aber Koschig Schwanz zum gleichen eher also Länge von Luc Wuppertal +plus zweimal Donnerstag ist die große schwarze Ungleichung der betragen Skalarprodukt ist höchstens so groß wie das Produkt der Normen also plus 2 enorm 9 ab und in den schreiben einfach ab so man Sie jetzt das noch mal anguckt dann ist das wie eine 1. binomische Formel das können Sie nämlich schreiben als Norm von zwischen 19 V in Klammern Quadrat kann Kocsis rückwärts an können sehen Sie ist die 1. binomische vor sahen und jetzt muss man zumindest noch alles auf einem Bildschirm tja aber angefangen das was hier unter dem Quadrat steht es positive reele Zahl nur zu äußerst positiven das was hier oder dem Quadrat steht
ist auch eine positive reele Zahl und über
beiden Städten Karat mit kam auf beiden Seiten die Wurzel ziehen also auf beiden Seiten die Wurzel ziehen kriegen wir die Länge von +plus V ist kleiner gleich die Länge von was die Länge von fahren und genau das wollten wir haben also dass das Wurzelziehen Pk und damit haben wir die Dreiecksungleichung und damit ist das denn genau und der Vater davon ist er nun das sie jetzt bei immer Skalarprodukt haben für umsonst enorme
kriegen und ein ein großer Vorteil für meine Vorlesung ist das sich jetzt ganz billig her um normal 2 die Gleichung wofür jetzt gerade die Mitspieler
lieber den wir jetzt sein bei dem 1.
Gleichheitszeichen Tier wollen sie noch und da wollen so ein Quadrat haben wir nur wenn wir es die Norm von muss fahre werde ich meine jeder soll mal die Norm von Opus Ausmaß der Wohnung muss Frauen also ohne das Quadrat ist die Wurzel dem Skalarprodukt wenn ich längst quadriere für die Wurzel raus hier wenn ich bin ja froh wenn solche Unklarheiten geklärt sind denn also jedes Gelaber du lieber den mit und für mich ist praktisch dass ich jetzt ganz ganz billig dazu kommen mein Versprechen von vorhin einzulösen und weil es so billig ist nämlich dass mal wieder Corolla hat mir das Wort Corona schon Grund ein Folgerung eigentlich hängt ein Einsatz haben Gott ich habe mich vor einem Jahr ich kenne gekniffen also so die 2 Norm DIN und die Frage ob die 2 Namen ist und das die 2 Namen enorm ist fehlt uns jetzt oft vor die Füße die 2 Norm ist eine Norm obgleich aufwenden warum weil die vom Standard Skalarprodukt und ich also warum ist die 2 Namen Normen
sie nehmen sich der Standard Skalarprodukt her von dem aber volle nachgewiesen dass ist das Skalarprodukt ist der Standard Skalarprodukt auf allen nur also dieses multipliziere jeweils die Koordinaten und addieren die aus also das war Beispiel 4 7 so und wenn Sie sich jetzt anschauen was wir aus dem Satz wissen von gerade eben ist jede Skalarprodukt in den Bau mit was ist wenn die Norm diesen Standard Skalarprodukt kommt also wie diese Norm definiert ist definiert als die Wurzel aus dem Skalarprodukt von x mit x was ist das Skalarprodukt von x mit x im Standard Skalarprodukt summieren von 1 bis n XJ Quadrant und daraus die Wurzel und wenn sich jetzt oder zurückblättern ist das genau die 2 das heißt die 2 Namen also die 2 nahm ist die induzierte Normen vom Standard Skalarprodukt und damit ist insbesondere den Arm und ich muss Ihnen vor der eben nicht ausführlich vor X und das ist eine Norm ist das wie gesagt bei der Dreiecksungleichung extrem mühsam ist und der Hintergrund ist wenn sie das machen wollen für die 3 die Dreiecksungleichung nachrechnen dann beweisen Sie implizit die kuschlig Wartung Gleichung mit ja das wenn so lang dann dieses praktische wie groß ich war zum gleichen einmal abstrakt allgemein zu beweisen oder ganz frech wegzulassen weist und dann dann hat man's ein für alle Mal für alle Produkte Normen dann ist das hier fällt das er ein vor die Füße so ich schreibe ich noch 3 Begriffe gehen und dann sind sie entlassen und zwar geht es jetzt ohne weiteres Dinge das Wasser mit dem Skalarprodukt anfangen kann das Skalarprodukt ist eng verknüpft mit Winkel zwischen Vektoren ich will da gar nicht dazu viel dazu sagen aber wenigstens noch den Begriff der Orthogonalität einführen also die Frage wann stehen 2 Vektoren senkrecht aufeinander also werden Vektorraum R 1. er Vektorraum V und da drauf wie Skalarprodukt also Vorstellung endet mit Standard Skalarprodukt aber das geht die Definition des allgemeinen für beliebigen erweckte Raum mit einem Skalarprodukt und dann sagt man 2 Vektoren aus dem V heißen senkrecht aufeinander oder eben wenn man's Latein ausdrücken will orthogonal falls das
Skalarprodukt der beiden miteinander 0 ist das ist die das ist die der Test auf senkrecht das Gelaber Produkte bei dem Sektor muss 0 sein und wenn das der Fall ist dann schreibt man dafür Frau steht orthogonal auf W die beiden Striche sollen neben andeuten dass das Orthogonal aufeinander steht ja sogar den Begriff orthogonal haben kann man eine Sorte von Basen von dem Vektorraum besonders hervorheben also Sie haben mir Vektorraum V mit dem Standard Skala oder mit dem Saft mit dem Skalarprodukt und eine Basis für eine Basis ist eine besonders schöne Basis nämlich eine sogenannte orthogonal Basis wenn das passiert was wir wenn wir im Koordinatensystem in meinem immer von selber machen wenn ich die Koordinatenachsen aufeinander senkrecht stehen soll heißen egal welche 2 Basis Vektoren sie sicher nehmen also für jede Wahl von 2 Basis Vektoren aus B sind die beiden zueinander senkrechte kann also die Koordinatenachsen stehen paarweise senkrecht und jetzt kann man orthogonal Basen nochmal verschönern es gibt sozusagen nicht nur besonders schöne Base nämlich die orthogonal Basen sondern es gibt besonders schöne orthogonal Basen nämlich die sogenannten normal Basen und das sind welche die alt 1. orthogonal Basen sind und zweitens Einheitsvektoren haben die Länge 1 haben also ein Auto
normal Basis der Begriff doch noch häufiger auf den der dich mit un be abkürzen wenn es also 1. Mehr orthogonal Basis ist und zusätzlich die Länge von jedem Basis Vektor 1 ist also Länge von bsp ist eines für alle B aus B so so genannte Ottonormal Basis damit werden wir uns dann in der nächsten Vorlesung wenn man diesen beschäftigen Freiheit danke für die Aufmerksamkeit das ist das hoffen
Ebene
Länge
Abbildung <Physik>
Vektorraum
Norm <Mathematik>
Vektor
Zahl
Richtung
Skalarprodukt
Mathematiker
Normierter Raum
Abstand
Axiom
Ebene
Strecke
Komplexe Ebene
Summe
Länge
Vektorrechnung
Dreiecksungleichung
Normierter Raum
Parallelogramm
Vektorraum
Axiom
Vektor
Diagonale <Geometrie>
Länge
Vektorrechnung
Dreiecksungleichung
Physikalischer Effekt
Euklidische Ebene
Vektorraum
Norm <Mathematik>
Vektor
Quadrat
Betrag <Mathematik>
Rechter Winkel
Reelle Zahl
Abstand
Axiom
Koordinaten
Einfach zusammenhängender Raum
Index
Länge
Punkt
Vektorrechnung
Betrag <Mathematik>
Abbildung <Physik>
Optimierungsproblem
Abstand
p-Block
Vektor
Zahl
Einfach zusammenhängender Raum
Betrag <Mathematik>
Vektor
Einfach zusammenhängender Raum
Quadrat
Vollständigkeit
Exponent
Betrag <Mathematik>
Vektorrechnung
Dreiecksungleichung
Verallgemeinerung
Berechnung
Maximum
Abstand
Norm <Mathematik>
Vektor
Koordinaten
Gradient
Einfach zusammenhängender Raum
Parametersystem
Länge
Punkt
Vektorrechnung
Abbildung <Physik>
Maximum
Optimierungsproblem
Vektorraum
Norm <Mathematik>
Vektor
Zahl
Gradient
Teilmenge
Summe
Menge
Betrag <Mathematik>
Normierter Raum
Abstand
Gerade
Koordinaten
Länge
Punkt
Momentenproblem
Menge
Minimum
Vektorraum
Abstand
Vektor
Zahl
Kreis
Parametersystem
Länge
Zusammenhang <Mathematik>
Vektorrechnung
Linienelement
Abbildung <Physik>
Vektorraum
Norm <Mathematik>
Skalarfeld
Zahl
Multiplikation
Skalarprodukt
Betrag <Mathematik>
Symmetrie
Rundung
Abstand
Raum <Mathematik>
Axiom
Geometrie
Einfach zusammenhängender Raum
Parametersystem
Vektorrechnung
Abbildung <Physik>
Vektorraum
Biprodukt
Komplex <Algebra>
Vektor
Summe
Quadrat
Skalarprodukt
Reelle Zahl
Vorzeichen <Mathematik>
Symmetrie
Axiom
Punkt
Summand
Vektorrechnung
Rollbewegung
Vektorraum
Biprodukt
Komplex <Algebra>
Zahl
Linie
Null
Komplexe Ebene
Summe
Index
Multiplikation
Quadrat
Skalarprodukt
Vorzeichen <Mathematik>
Koordinaten
Einfach zusammenhängender Raum
Länge
Vektorrechnung
Summand
Distributivgesetz
Betafunktion
Vektorraum
Vektor
Summe
Skalarprodukt
Symmetrie
Abstand
Axiom
Koordinaten
Positive Zahl
Obere Schranke
Vektorrechnung
Vektorraum
Norm <Mathematik>
Gleichung
Vektor
Mittelungsverfahren
Skalarprodukt
Negative Zahl
Ungleichung
Betrag <Mathematik>
Reelle Zahl
Mathematiker
Skalarprodukt
Ungleichung
Momentenproblem
Vektor
Zahl
Gradient
Linie
Mathematische Größe
Kosinusfunktion
Länge
Faktorisierung
Momentenproblem
Summand
Vektorrechnung
Dreiecksungleichung
Binomische Formel
Norm <Mathematik>
Zahl
Quadrat
Skalarprodukt
Umkehrfunktion
Ungleichung
Betrag <Mathematik>
Vorzeichen <Mathematik>
Symmetrie
Aggregatzustand
Skalarprodukt
Länge
Dreiecksungleichung
Gleichung
Multiplikation
Quadrat
Skalarprodukt
Vektorrechnung
Dreiecksungleichung
Orthogonalität
Vektorraum
Biprodukt
Gleichung
Norm <Mathematik>
Koordinaten
Länge
Skalarprodukt
Vektorrechnung
Stützpunkt <Mathematik>
Vektorraum
Biprodukt
Vektor
Koordinaten

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Normierte Räume
Serientitel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 15
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/33628
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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