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Relationen I

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n ja gerne an der TU Darmstadt gut dann würd
ich einsteigen in den letztes Mal aufgeschoben Abschnitt 3 über Relationen und das Ganze ist zu sehen weiter im Zusammenhang mit Einführung der sein der Basis Begriffe die dann im weiteren häufiger auftauchen werden was ist mir Relation Relation mathematisches Konzert um Beziehungen zwischen Objekten ein formal zu fassen und das ist so allgemein gemeint wie es gesagt ist es geht darum wie man hat endlich Objekte ob das jetzt zahlen oder Bananen oder Internetseiten sind es völlig egal und des werden irgendwie miteinander in Beziehung gesetzt und das ist das was die Relation tut und ich bin ich hier an er beschränken auf den Fall das wir nur 2 Dinge miteinander in Beziehung setzt das kann man verallgemeinern aber das werden wir in der Vorlesung nicht wirklich brauchen und deswegen bleibe ich mal übersichtlich aber für den dazu sagen dass es durchaus auch allgemeiner geht also Sie haben eine Menge von Objekten ungewollt in Beziehung setzen diese Menge von Objekten Länder einfach mal X so und jetzt haben sie die Beziehung aber folgendermaßen wir wählen irgend eine Teilmenge R vom kartesischen Produkt von x mit sich selbst X Kreuz X enthält alle Paare allen allen möglichen Beziehungen die 7 X mit Elementen zu X geben kann wer also x Kreuz X wäre hat wie alles steht mit allem Beziehung und jetzt werden wir eben manche diese Beziehungen aus dass die Teilmenge R und so eine Teilmenge nennt sich eben eine Relation auf x um genau zu sein in dem Fall eine zweistellige Relation weil man eben immer nur 2 Dinge in Beziehung gesetzt also eine zweistellige Relation auf X und und man schreibt naja man 2 Elemente in Beziehung stehen zueinander dazu auch X steht in Relation zu y x R y eben genau dann wenn dieses Paar x y zu er gehört also wenn X und Y zu Relation steht und man sagt dazu X steht in Relation 14 an und jetzt sagen Sie das haben sie noch nie gesehen und dann sag ich Ihnen das stimmt nicht das haben sie schon oft gesehen auch mit dem ganz speziellen er setzte sich für armer kleiner gleich ja nix ist kleiner gleich y kennen sie gut ist ganz typisches Beispiel einer Relation die kleiner gleich Relation man gesetzt verschiedene die selbst manche Zahlen von Ärzten an den Beziehungen die mich immer die die kleiner gleich ist ja dann sind wir ja ein kann man alles definieren also nur stelle ich gibt dann wahrscheinlich bizarren Sonderfall aber kann man es machen insbesondere 3 und 4 und fünfstellig ja ist aber wir werden uns hier in der Vorlesung auf zweistellig reduzieren ich hab so zugeschrieben klarzumachen da gibt es noch mehr aber wir brauchen Moment nicht mehr so also wie gesagt ein Beispiel das sie alle kennen von einer Relation ist die kleine gleich Relation also das kleiner gleich zum Beispiel in engen in den natürlichen Zahlen können sind sich genauso im Z oder eine Kur dann er angucken was ist dann die Relation und das ist dann das er vor neben er mitten in einem Strich nicht viel Zeit so dass er ist in dem Fall die Menge aller Paare aus dem kartesischen Produkt
von allen mit sich selbst für die eben kleiner gleich ist noch und vor in dem Fall schreibt man dann nicht normalerweise schreibt man dann nicht x R y sondern man schreibt dann der schreibt man natürlich ganz wie gewohnt X kleiner gleich y nur wenn XY natürliche Zahlen sind das wäre ein Beispiel Relation die Sie alle kennen wo ich hatte vorhin gesagt Sonne Relation muss nicht unbedingt nur zwischen zahlen laufen sie können beliebige Objekte mindern in Beziehung setzen und ein Beispiel was ich noch dabei hat ist in den Sinn wenn sie mal als x die Menge aller Internetseiten das ist natürlich eine sehr dynamische Menge wenn man dem deshalb mal zum jetzigen Zeitpunkt und dann können sie er setzen als wollten sie sich eine Teilmenge aller möglichen Paare von Internetseiten .punkt also nehmen sich jedes sie dem sich eine spezielle Wahl von Paaren von Internetseiten nämlich ins erstellten sie alle die rein so dass aus sie auf der Seite X ein Link nach y finden kann keine Seite X nach Y verlinkt dann ist X Y in der Relation drin und wenn nicht dann nicht und was sie auf die Weise kriegen ist das Haupt Werkzeug von Kugeln ich nenne es mal die Verlinkung ist Relation an das Ding sagt Ihnen eben genau welche Seite es wird welche anderen verlegten ja da ich als völlig von ungenauen und ja also an der Stelle des wahrscheinlich :doppelpunkt =ist gleich genauer aber es ist an der Stelle nicht Felix Luz gefährdet wir sind gut das sollte haben die 1. Beispiel dazu dienen da ist sie das sie ist man kann ich nur Relation in Zahlen machen so man kann alles mögliche mindern in Beziehung setzen dass es auch gewollt so wann man natürlich dann sehr viele Dinge damit modellieren und mathematisch behandeln kann auch außerhalb von Zahlen so der 1. Begriff der Relation sehr sehr allgemein und können sich alles mit jedem möglichen Beziehung setzen wenn sie in die Strukturen haben wollen dann brauchen wir müssen Sie besonders besondere Eigenschaften von Relation raus stellen und das ist die Definition 3 3 also jetzt gehts ein Stapel von
einem möglichen denen die in Relation erfüllen kann also haben WDR ne Menge X ja eine Relation R auf Laufwegs so war und dann nennt man die Relation R zum einen reflexiv filmisches lateinisches Wort was heißt das auf sich selbst bezogen also für alle x aus der Menge muss gelten dass sie mit sich selbst in Beziehung stehen also muss x r x gelten wenn sich zum Beispiel die kleiner gleich Relation anschauen dann ist die reflexive nur kleiner gleich jedes Element X kleiner gleich x erfüllt Bewilligungs Relation darum es nicht unbedingt reflexiv weiß natürlich kein Problem ist in der Zeile zu finden die nicht auf sich selbst verlinkt wir Arbeit das ist eine Eigenschaft der Sonne Relation haben kann oder nicht das nächste wichtige Eigenschaft die haben können oder auch nicht ist die
der Symmetrie ist das was ist was anklingt was heißt das das Relation symmetrisch ist wann immer sie 2 Elemente aus X haben muss gelten dass wenn X in Relation zu y steht in die Sache symmetrisch ist das heißt wenn X in Relation zu y steht dann muss auch y Relation zu X das ist jetzt zum Beispiel ein kleiner gleich nicht erfüllt wann immer sie 3 kleine gleich 5 haben sollen sie nicht unbedingt 5 kleiner gleich 3 es wird aber ich werde Relation das Gleichheitszeichen gegeben ist erfüllt es zum Beispiel bei der Relation erfüllt wenn sie es länger alle Personen nehmen und als Relation die Verwandtschaftsbeziehungen also X ist mit Y verwandt und dann ist wenn X Mitte Land verlangt es auch und damit mit x verlangt da klappt das also es gibt in Relation die das tun und welche die das nicht tun so das Gegenstück dazu das ist die sogenannte Anti Symmetrie die passt wieder auf unsere Ordnungsrelation also auf das kleine gleich das geht denn für das kleiner gleich der geht wenn Sie beide Richtungen haben ja also wenn Sie Integration zu y und y stecken Relation zu X haben dann wissen Sie sehr viele XY ja warum als Jahr also die Frage muss dort noch kurz wiederholen bis oben dem W mich nicht weil es falsch stehen müsste und ich nehme an was dahinter steckt ist sie haben recht wenn die Sonne er solle Relation symmetrisch wenn wenn das geht dann geht auch sofort aber rückwärts indem sie nämlich einfach die Rolle von XY vertauschen muss er für jede Wahl XY gelten aber als Definition reicht das aus Definition ist nur wenn wenn 2 Dinge Relation Schüler noch umgekehrt natürlich kriegen Sie daraus alle herauskriegen sie Arbeit man bemüht sich normalerweise meine Definition angibt möglichst wenig Bedingung reinzuschreiben und die die sich von selbst daraus ergeben die schreibt man ich noch dazu während sauer halten oder das Ziel solche Abhandlungen wie Bücher oder Skript oder so nicht beliebig auszupusten also oder andersrum auch der Drang des Mathematikers möglichst wenig zu definieren möglichst viel zu zeigen so was ist antisymmetrisch wollte ich gerade sagen wenn sie sich in die Kleider gleich Relation wenn sie die sich meiner nehmen und sich in die Situation von da oben das besetzten also wenn Sie haben XS Relation zu y und umgekehrt auch y Relation zu X also x ist kleiner gleich y und und X ist größer gleich y dann wissen Sie sofort dass die beiden gleich ist Mehr und das ist genau an diese Mitri also an die Symmetrie sagt wenn sie 2 Elemente haben von denen Sie wissen das X in Relation zu y steht und y in Relation zu X steht dann können Sie daraus sofort folgern dass die beiden gleich sind das ist zum Beispiel ein kleiner gleich erfüllt bei der Verlegung Relation der Internetseiten geht das schief ja wenn eine Seite auf die 2. verweist und die zurück heißt das und wann nicht dass die beiden Seiten denn dies sind dann muss das würde das Internet erstaunlich reduziert ja also so ist es nicht dies eben auch nicht an diesen mit richtig sonnig symmetrisch allen ich aber die kleiner gleich Relationes ein Beispiel finde an die symmetrische soll von der letzte solche Begriffe nämlich die Transitivität also wann heißt in Relation transitiv und auch da ist wieder die kleine gleich Relation gut oder auch die gleich Relation wenn sich in Relation zueinander den vererbt also wenn Sie 3 Elemente haben XYZ auswechseln und wenn für die geht wann immer Sie wissen das X in Relation zu y steht und y Relation zu Z also stellten der sind leider gleich x ist kleiner gleich y und y ist dabei gleich z dann bedeutet das auch dass sie ohne den Umweg über y direkt haben das X in Relation zu Z steckt also das externe gleichgesetzt das ist die sogenannte Transitivität so ungefährlich 2 wir Begriffe zusammenhalten und 2 Klassen von Relationen besonders auszeichne die besonders oft vorkommen und das eine ist die so sind die sogenannten Äquivalenzrelation und diese beiden Klassen die ich jetzt ein für ich auch dann gleich wieder erst in der weiteren Vorlesung noch ein bisschen genauer angucken jetzt aber erstmals Definition zum Relationen eine Äquivalenzrelation und als Beispiel für Mac würde es Relation können Sie Moment mal an gleich denn nur das ist die einfachste Äquivalenzrelation und damit nicht vollends Relation ist muss sie zum einen reflexiv sein sie muss symmetrisch sein und sie muss transitiv sein wenn Sie jetzt mal ganz gleich denken dann sind die
3 alle erfüllt ja 1 =ist gleich y ist es uns dann gleich X X immer gleich X und transitiv wenig selbst landeten gleich z es auch es gleich zu für Äquivalenzrelation schreibt man meistens nicht er sondern schreibt man meistens X und deren Sohn geschwungenen strich da nix ist er äquivalenter X ist eh nicht y eben statt x R y s ist diese lange Suzannes Relations Zeichen Relation üblicherweise und wie gesagt ich sag gleich noch ein ganz Kabelnetze Client Relations ist er nun so dass der letzte Teil von der Definition dieses auch schon lange zum die sogenannten Ordnungsrelation und da ist der Prototyp an den sie senken sollten kleiner gleich ne keiner Gleisen Ordnungsrelation eben was was uns in unsere Menge in Ordnung bringt und sagt wo es große muss klein und das hat mir Ordnungsrelation für Eigenschaften die muss zum einen auch reflexiv sein jedes Element muss kleiner gleich als ich selber sein aber der aus Relationes umgesehen haben sicher nicht symmetrisch sondern antisymmetrisch und aber auch transitiv hin das war also das Definition Ordnungsrelation und auch hier schreibt man üblicherweise eben nicht sondern man schreibt meistens X kleiner gleich y statt x Ärzte an beenden und dann
sagt man noch gibt man der Menge noch im Namen also wenn sie auf Excel Ordnungsrelation haben Ordnungsrelation sehen was mit dem sie viel zu tun haben werden wann immer sie sortiert Probleme lösen wollen brauchen sie 1. Ordnungsrelation nachdem sie sortieren kann lass keine Ordnung gibt mir das Umsortieren schwierig da man nicht weiß nach was man sortieren soll also brauchen erst noch Installation und so ne Menge auf der Seele Ordnungsrelation haben die nennt man partiell geordneten und jetzt werden Sie fragen warum nennt man das misst nicht einfach geworden nein sagen waren sie 5 Minuten den Zeichen gut die den Kram hab ich auch auf Folie mitgebracht ja ich ich glaube nicht ich glaube sehr das hat sich jetzt zwittrig antisymmetrisch transitiv reflexiv den ganzen Quatsch zu merken also das lassen wir jetzt erscheint jetzt gleich eine Wand und das lassen wir dann den nächsten Viertelstunde liegen dass wir wieder drauf gucken können nach der Saal unten ist es aufgerufen die robuste Foley auf der Projekte zu legen ist so und ich will jetzt ja ja also für unten die Frage ist ob die kleine Relation also nicht kleiner gleichsam echt kleiner dann keine Ordnungsrelation ist das stimmt diesen diesen Sinne keine Ordnungsrelation sondern aber ich zeig Ihnen gleich so weit Ordnungsrelation haben können Sie von der in eine kleine Relation ableiten also in dem Sinne ist immer oder Sieg oder Sie können sich wenn sie die kleine Relation haben darf dazu problemlos sofort die passende kleiner gleich Relation sie einfach sagen kleine gleiches hat wenn kleine ist oder gleich mit und dann haben Sie die zur dazu passen Ordnungsrelation deswegen guckt unsereins immer vom kleiner gleich das kleine Eisenbahn abgeleitete Größe von kleiner gleich so ja damit haben auch an die den Ordnungsrelation das ist der Abschnitt 3 1 Zinsticker ohne
Frage ja wer nochmal die ihnen die Kleider Relation ist nicht an die symmetrisch nein auch so Moment ja doch dann ist sie vielleicht sogar über diesen über diese also die Frage die ich es kleiner Relation an diesem niedrig ist wären und das funktioniert wieder über einen aus was falsch Volk immer was ist und was falsch ist egal was folgte aus Eisen richtig ja wenden ok dies an Sie mit er ist aber ja sie ist keine wegen trotzdem keine Ordnungsrelation weil sie muss eben dafür alles 3 seine reflexiv an die symmetrisch und transitiv er in China gut also man Ordnungsrelation dass der Abschnitt 3 1 n vermerkt Ordnungsrelation sind so ziemlich alles womit sie etwas ordnen also ich normal mehr Beispiele geben darf Beispiele 3 4 na gut das Erste was einem einfällt einer Matte Vorlesung ist halt das klassische kleiner kleiner gleich nur egal ob sie die 10 en in Z 10 Chor den er sind also natürlich die ganze Katzen reellen Zahlen völlig wurscht können Sie alle wunderbar ordnen kriegen die wunderbare Ordnungsrelation da drauf aber zum Beispiel der Ordnungsrelation aber ist auch die Lexikographische Ordnung wenn sie sich ein Wörterbuch anschauen der dann gibt es da auch eine klare Festlegung wie er an Wörter sortiert werden sollen und das macht man eben normalerweise nach auch das ist ja Ordnungsrelation zwischen Data M und Neues über die Analphabeten machen kann man auch wenn man sich die chinesisches Wörterbuch muss man sich der andere Ordnungsrelation einfallen lassen weil die nach Nachbarn nach was man die die Schriftzeichen sortiert A und B sind beides beispiele von besonders schönen Ordnungen und ich will jetzt noch eine andere Ordnung in schreiben und dann in der zeigen warum die eine war was die mich hat was die beiden oben haben wir also in uns eine Menge her ja ist sogar besser Ordnung die Ordnung Analphabetinnen Wörterbuch nur Lexikon dann kommt das sollte so wir sehen uns man oder schauen uns die Potenzmenge an die schon mal angesprochen also nehmen die Menge aller Teilmengen vornehmen und dann ist das Teilmengen Zeichen als die Relation Teilmenge zu sein eine Ordnungsrelation da drauf nur sie können jeweils wenn Sie 2 Teilmengen von haben sagen ist die eine Dame halten ja oder nein und das ist ne Relation auf der Potenzmenge und ich behaupte dass es nur Ordnungsrelation kann warum Na ja was müssen wir machen um festzustellen dass das Norbus Relationes müssen nachweisen dass Dennis reflexiv an die symmetrisch und transitiv also warum ist das Teilmenge sein reflexiv Na ja nehmen sie sich mit Teilmenge von innen her für alle in aus der Potenzmenge von gilt natürlich das N Teilmenge von sich selber ist er in Menge Teilmenge von sich selber also ist es wirklich sehr flexibel Relation dann kommt die an die Symmetrie also wenn man uns 2 Teilmengen von Emilia also 2 Elemente der Potenzmenge von allen so dass wir wissen das N 1 Teilmenge in
2 ist und in 2 Teilmengen einst Mehr müssen schauen dass müsse für an die Sie mit Recht sagen wann immer sie 2 Elemente die ihre Grundmenge also wenn man um die es geht haben und Sie wissen die stehen die in beiden Richtungen Relation zueinander also wissen eines Relations N 2 und N 2 Städte 2 zu 1 1 dann müssen die gleich sein Na ja das wissen wir schon denn sie haben das die N 2 und N 1 enthalten ist und umgekehrt dann sind die beiden eben gleich das war ein die Bemerkung von Übermengen kapitelweise nicht bemerken 2 2 das 1. sondern für das ist die Transitivität was heißt Transitivität zu nehmen sich 3 1 N 1 N 2 und N 3 her aus der Potenzmenge von allen und dann müssen sie für Transitivität zeigen dass sich das Reh in Relation stehen für Europa also müssen sie nehmen die so her das N 1 der Teilmenge von N 2 ist und das in 2 eine Teilmenge von N 3 ist Na ja so jetzt haben wir diese Teil der Inklusion denn als es in den 2 enthalten wenn Sie von den 2 10 3 ging kommt vielleicht noch was dazu insbesondere haben sie aber auf jeden Fall dass in einzelnen 3 enthalten ist also sehen dass das für Ordnungsrelation ist es relativ banal und trotzdem wird uns diese Ordnungsrelation ihresgleichen zeigen dass es deswegen gut an was Relationen nie Termin bei hier kann etwas passieren was sie von den Kleider gleich in den ganzen Zahlen Zahlen nicht kennen und zwar kann und vergleichbare Elemente geben alles kann es sein dass Sie sich 2 Elemente aus zu suchen aus ihrer Mängel und es geht wieder dass das eine kleine gleicht dem anderen ist noch ungeklärt das aber bei Ordnungsrelation noch überhaupt nicht gefordert ja nicht gesagt also es kann so weit wie ein Element geben das mit überhaupt keinem andern in Beziehung steht außer sich selbst wie sehr mit dieser es muss Beziehung stehen sonst die Relation ist nicht reflexiv Mehr aber es könnte sozusagen losgelöst vom gesamten Rest Universum dasteht und mit niemand an eine Beziehung stehen dass es bei der Auswertung nicht verbunden weil alle weiteren Bedingungen also es muss mit sich selbst damit in Beziehung stehenden reflexiv aber die an die Symmetrie und die Transitivität sagen immer nur wenn irgendwas mit sowas eine Beziehung steht dann muss Geld aber sie könnten haben irgendein Element das einfach in der Landschaft klebte man nichts an was zu tun war und das ist nicht verboten .punkt und auf die Weise können Sie eben unvergleichbare Elemente haben das heißt das heißt
unvergleichbar Sie haben 2 Elemente X Y X so dass weder X kleiner gleich y noch y kleiner gleich x Geld nur und diese Teilmenge der Relation die wir gerade hatten bei der kann das passieren also was wir so ein Beispiel 10 in ändern die Menge 0 1 2 wenn Beispiel machen wollen machen was möglichst klein Gemüts übersichtlich bleibt und dann schauen Sie sich 2 Elemente an aus der Potenzmenge die Menge 0 1 und die Menge 0 2 und die sind eben nicht vergleichbar nur weil 0 1 ist keine Teilmenge von 0 2 aber umgekehrt ist auch 0 2 keine Teilmenge von 0 1 da kann ich ja eigentlich ist größer ist das heißt wenn sie so ne Menge haben und jetzt Lexikon der Teilmenge schreiben wollten den sehen Probleme 1 weiß ich wer genannt sortieren auch im das ist eine Ordnung die ein das ist Nonos Relationen die Menge die von denen die Potenzmenge ist auch partiell geordnet aber er geht Eigenschaft ab die die Ordnung auf er zum Beispiel hat das ist die Eigenschaft der totale Ordnung also was ist diese Eigenschaft die die Ordnung auf Erhard und die
diese Teilmenge Ordnung nicht hat das ist eben dass sich jedes Element mit jedem anderen zwangsweise vergleichen können sie haben entweder kleiner gleich oder größer gleich aber mich keines davon und das nennt man eine totale Ordnung also wenn 7 kleine gleich wenn Ordnungsrelation auf x haben und die erfüllt eben das dass Element mit jedem Element vergleichen können was bedeutet das egal welche 2 Elemente aus X nehmen es gilt entweder X kleiner gleich y oder es geht y kleiner gleich x 1 dann nennt man das mir total Ordnungen in den weil eben der die Menge wird dadurch total geordnet und erst wenn Sie mir total Ordnung haben macht Spaß alles in einer Kette von Wörterbuch getrennt dazu sortiert mehr und X nennt man dann total geortet und das ist jetzt der Grund warum ich oben von partielle Ordnung gesprochen hat wenn Sie mir nun Ordnungsrelation haben die die ihn erstmal nur partielle Ordnung sowie Bezieher den teilnehmen zum Beispiel so das war der 1. Teil der Bemerkungen also was sie mitnehmen müssen ist Ordnungsrelation für diese 3 Akt diese 3 Bedingungen reflexiv antisymmetrisch transitiv und den sie aus Dortmund Relation noch mit total Ordnung machen wollen dann müssen Sie noch die Bewegung nachprüfen also dass jedes Element mit jedem andern wenigstens irgendwie vergleichbar ist so jetzt kommt der Teil des von der Bemerkung und wer kümmert sich drum was passiert wenn sie nicht mehr haben die irgendwie partiell oder Teil geordnet ist und jetzt gehen Dateien über also sind ehren sie haben einen gesamt Wörterbuch der deutschen Sprache weiß nicht gibt es nicht aber dem Sie sich den sie vor und jetzt das ist schön verziert Lexikographische Ordnung und jetzt gehen sie dazu über nur noch ein Wörterbuch die alle Begriffe und alle Begriffe zu nehmen die für das Eisenbahnwesen von Bedeutung sind wenn man also ein Eisenbahnwesen Fachwörterbuch in dem Sinne Teilmenge wunderbare Buch raus und die Frage wie sortieren Sie die Lage natürlich genauso wie vorher wir und das geht ganz allgemein wann immer sie partielle total geordnete Menge haben also eine Menge X mit Ordnungsrelation drauf so dass die partielle oder total geordnet ist nun erwähnen und sie haben der Teilmenge Y von X und also XS unser riesengroßes Wörterbuch und y ist das Fachwörterbuch das rausziehen oder X in die reellen Zahlen y sind die natürlichen Zahlen dann können Sie immer die Ordnungsrelation von X nehmen und nur auf y betrachten in dem sie nur die Elemente von y 1 vergleichen und dann hat sich die Eigenschaft dass das eine totale Ordnung oder partielle Ordnung ist von selber einen gehen Sie wie man sie sich anhand von er oder n oder im Wörterbuch klarmachen logisch aber es ist gut dass einmal hin einmal platzt sich klarzumachen wenn Sie mit Ordnungsrelation aber für große Mengen sie schränken einen kriegen sie den Ordnungsrelation wenn die vorher total Ordnung weil sie auch in der total aus so dann hatte Folgen man schon das kleine angemerkt und ich hatte gesagt dass kleiner können sie sich immer definiert wenn sie kleiner gleich haben und umgekehrt müssen wir jetzt machen das ist jetzt also keiner soll tiefsinnige Definition die jetzt kommt 10 hab ich's nicht mal Definition genannt also Sie haben wir partielle Ordnung Menge X partiell geordnet heißt eben Sie haben auf dem X irgendeine Ordnungsrelation kleiner gleich stellen sich die reellen Zahlen vor mit gleich oder stellen sich die war Buch vor mit der lexikographischen Ordnung und dann definiert man sich das kleine und das größte und das Brot größer Gleichnis wird uns auch noch also was heißt 1 x größer gleich y Na ja dann wenn y kleiner gleich x ist nur das ist nicht tiefsinnig aber man muss das ist man muss das Symbol ja mal definieren kann er wir
definieren was heißt X kleiner y man X kleiner gleich y ist und nicht gleich und ja im Dom war leider so sehr gleicht dass es nur hier da hatte Stift versagt ja danke so was uns noch fehlt ist X strikt Größe y ja das ist halt dann wenn y Strickkleider existieren muss einmal definiert habe es damit erledigt wir damals jetzt sozusagen die Grundlagen Ordnungsrelation stehen und das können wir uns ein bisschen angucken was durch wenn wir so viel Mengen Ordnungsrelation drauf haben was können wir dann damit anfangen was was für Eigenschaften kann unsere Menge dann haben und da zuerst normaler Staube begriffen sind also Definition 3 6 und da geht es jetzt um die Begriffe größtes und kleinstes wer in so ja natürlich ist das das gleiche also es geht um die Definitionen größer gleich aber dieses Symbol hier das war bisher nicht definiert es gab es noch gar nicht sie haben Ordnungsrelation dies nur kleiner gleich und dann müssen wir dieses Symbol größer gleich definiert das mach ich das ist zu einfach ich denke schon ganz weit ich mache ich denen nur dass ich das Symbol größer gleich definiere ich definiere das Symbolgröße gleich indem ich sage sie haben größer gleich dann wenn sie andersrum kleine gleich an das kann man sich auch sparen nur dann muss man sein ganzes Leben damit kleiner gleich arbeiten das auf Dauer mühsam manchmal es größere aber praktisch also definiert was einmal und gut ist nur definiert sich nicht für reale Zahl 1 muss man für natürliche nochmal definieren und für andere Dinge auch Sommer definiert allgemein für No-Gos Relation und dann hat man das für sein ganzes Leben nicht gut also weitere Fragen gut dann geht es jetzt im folgen um die Begriffe größer und kleiner dazu geben und wieder eine partiell geordneten Menge vor denken Sie an irgendein Beispiel das wir bisher hatten und wir sind in der Situation von gerade eben wir haben noch eine Teilmenge y von x wir also Zahlen seien y alle das Intervall von minus 2 bis 5 irgendwas und dann geht es jetzt um die das Begriff den Begriff größtes Element und kleinstes Element meine das X das größte Element von X weil sie jetzt kommt es aber auch also alle diese Definition sind unendlich abstrakt und trotzdem wurde endlich banal ja also die sind alle nicht da ich der ich wahnsinnig viel hinter sondern was heißt großes Element zu seinem und sortieren kann nur das heißt alle andern sind kleiner gleich dann ist das das geht das größte wir also die ist das größte Element falls Sie haben für alle x 10 x gilt das X kleiner gleich geht's gut wenn es so wären die geht dann wenn wir das das größte und genauso können Sie jetzt Wochen kleinstes Element definieren das nämlich mal klar das heißt kleinstes Element kleinstes Element von X falls Sie haben mir das alle anderen Größen sind also für alle x 10 x gilt das K kleiner gleich x 10 Stimmen ist das
kleinste Element es kommt wie bisher aber die Menge y nicht gebraucht wird jetzt geht in die Menge y ein Element ist es 10 x nehmen wir eine obere Schranke von y was soll das sein eine obere Schranke von y irgendwas über das Y nicht rüberkommt ja also TWh ein Wert der größer ist größer gleich ist dass alle Elemente von y also das heißt für alle y aus y gilt das y kleiner gleich ist an dieser Stelle ist in keiner Weise gesagt dass diese obere Schranke besonders exakt sein muss ich verlange nicht na also wenn weiche vom vor allem Excel die zahlen der PCIe-Lanes sind dabei von minus 2 bis 5 dann ist 382 nur obere Schranke von diesen Wiederwahl nur weil alle sie dabei sind leider Estrada 2. 80 der sie ganze Menge obere Schranken in dem Verein der Oberfranke heißt nur dass in Welt ist größer als alle in größer gleich als alle Elemente in 1 10 an genauso können siehe untere Schranke definieren indem ich mal gehen das untere Schranke von y falls für alle Y als Y gilt das T keine gleich Apps Achse nur damit können sich das 1. Mal wurde ein Begriff mit muss keine oberen und muss keine und Fragen haben sie kann welche haben also den sie die reellen Zahlen als Teilmenge indem sie die positiven reellen Zahl dann die keine obere Schranke kann weil sie darum unbeschränkt sinnlosen untere Schranken zum Beispiel minus 7 -minus 7 es kleiner gleich alt positiven sein kann denn so können Sie jetzt die nach dem was ihre Teilmenge ist Mengen produziert die obere und untere Schrecken haben Mengen produzieren die nur rund 1 unter ungeklärten welche die keine haben geht alles ich habe dann gut dann so will ich an der Stelle ob der fortgeschrittenen Zeit ein Päuschen machen und nahmen man 10 Minuten mal an da kann man den
so ich würd gern in der 2. Hälfte einsteigen und solange die Unruhe abebbte dem der Saal unten auf auffordern die nächste Folie aufzulegen auf der hab ich jetzt noch mal die Definition die zum Abschluss des 1. Hälfte kam zusammengestellt also größtes kleinstes Element obere Schranke untere Schranke und um weiter fortzufahren wenn ich jetzt in einen kleinen Satz beweisen mit diesen mit diesen Begriffen er im Skript das dass die 3 7 und da wollen wir zeigen wenn sie denn als Jäger gerade die man ja Wahnsinn Mengentender Ordnungsrelation drauf dann kann sehr gut passieren dass es keine größte soll kein kleinstes Element geben nehmen sie er mit kleiner gleich das hat wieder großes und kleines Element an dem sie enden er das hatten kleinstes aber keine größtes aber was ich zeigen will ist wenn Sie nur eine Ordnungsrelation haben dann kann es auf keinen Fall zweigrößte geben oder 2 kleinste und es gibt immer nur höchstens 1 und das ist der Satz 3 7 also sehr eine partiell geordneten Menge und wenn ich es hinschreibe das war gerade auch eine der Fragen die hier vorne auftauchten denn der Pause welche zentrales externer gleich partiell geordnet dann meine ich damit nur drauf gibt Währungsrelation das kann durchaus sein dass das X Extertal geordnet ist dass sie sich damit nicht aus ich würde dass es bald sehr gerne des partielle Ordnung ist weniger als total Ordnung wenn ich sag ich will partielle Ordnung dann heißt das nicht dass es nicht besser sein darf also eine partiell geordneten Menge oder insbesondere zuteil geordnete und dann ist die Behauptung ob es ein dann hat man diese Menge höchstens einen größtes oder kleinstes Element also Sie keinen größtes und sein kleinstes haben aber sie kann eben nicht zweigrößte oder 2 kleinste haben zum einen der weiß es erstaunlich kurz was wir zeigen wollen dass in Form von Eindeutigkeit also wenn sie in größtes haben dann ist es eindeutig das kann kein anderes neben ihm geben und die Beweis Methode für solche Aussage sei nicht immer die gleiche wenn sie zeigen wollen es kann nur 1 geben oder höchstens 1 dann nehmen Sie sich einfach 2 an also nehmen sich G 1 und G 2 aus X und dieser einmal beide größte Elemente von X größ ten Sarter und was wir jetzt zeigen müssen ist aber das G 1 gleich die 2 sich zweigrößte Ländern denen sind die gleich so wie kriegen wir das hin und wir wissen die einzigsten größtes Event von X also ist jedes andere Element von X kleiner gleich also es insbesondere auch das Element G 2 kleine gleich die 1 2 schließlich ist die einst das größte genauso ist die 2. größtes Element von X also ist die einst kleine gleich die 2 dabei gehe die einzelne Weltkriegs und deswegen kleiner gleich die 2 nach Definition vom größten man ja und jetzt sind die an die Symmetrie zum wir Ordnungsrelation es antisymmetrisch wenn Sie wissen die 2. dann gleich die 1 und die 1 er gleich die 2. kriegen Sie das G 1 gleich die 2 zu 1 damit haben Sie werden wann immer ich ihn jemand behauptet es der zweitgrößte Elemente dann müssen die beiden gleich sein also gibt's es nur 1 und für das kleinste geht es genau so an also es Argument für das kleinste Element ist komplett analog eines der Satz schon erledigt die Frage kam auch schon vor Wochen im Skript über diese kästchen unten dran sind das ist relativ viel in mathematischen Büchern sehr sehr üblich ist Kurzzeichen für hier endet der Beweis also dass das was in der klassischen griechischen Ma nicht mit nicht riechen der klassischen mittelalterlichen Mathematik das QED war vor der Rat demonstrandum bis eigentlich komplett verschwunden wird über einen mittlerweile zum Kasten gemacht ich habe mir den auch angewöhnt also wenn ich nicht Grad vergess wird jeder Beweis mit diesen Dingen beendet wenn Sie am guten Tag werden so jetzt haben wir größtes kleinstes Element her ja aber n nur er das ist denn der heilige Trugschluss also die Frage ist aber wir wurden wiederholt Mann ohne partielle Ordnung Sonne es könnte der zweitgrößte bemerkte gebe ich was meinen Sie Verstandes kann der zweitgrößte gehen einfach nicht mit einer vergleichbar sind nun für so die jeder Frage wird das Sieb Zusagen nehmen 2 ganz große haben und die können sie nicht mehr vergleichen und dann die 2 größten das ist mit der Definition der verboten weil passende Definition insbesondere drinsteckt ist ihr größtes Event geben muss mit allen vergleichbar sein der Definition steckt drin ist groß ist erwähnt werden für alle x OS X X kleiner gleich die gilt ein Element das nicht mit ein vergleichbares ist kann kein großes Element sein bei der Definition steht implizit mit drinnen sie brauchen Vergleichbarkeit mit Elementen nur das muss sich jeder 6. x x kleiner gleich die wenn Sie jetzt so 2 verschiedene größte Elemente hätten dann muss jedes mit dem andern vergleichbar sei im Tone des Moments ist wieder gleich in aber das ist das ist ein sehr nahe liegender ich denke dass wir nicht für die Frage sehr dankbar weil es passiert schnell die Definition beinhaltet insbesondere Vergleichbarkeit mit allen an der man Mehr die der ja noch mal aufzwängen gibt die weder Gleise und größtes Hamburger Orte sind ja oben ohne Probleme und zwar gibt es mehrere Gründe warum es keine größere kleinste Elemente geben kann entweder Sie sind so frei wie bei den ganzen Zahlen dass das einfach bis endlich geht der gibt keine größere Kreise nennt aber sie kann auch ohne Probleme der Ordnung angeben das kein größere kleinstes Element geht er von endlich vielen Dingen zum Beispiel wenn sie immer sagen dass es sie haben 5 Elemente
wer und sie sagen jetzt das ist kleiner also und unten das Kleinod muss großer ja also die beiden unteren sind kleiner als das in der Mitte und das damit der wieder kleiner gleich wie die oben und die beiden und sind nicht vergleichbar die Beine unsinnig Vergleichbares der partielle Ordnung aber das er kein großes und kein kleinstes Element aus dem gerade genannten Grund nur immer man muss Sommer miteinander vergleichbar sein wenn sie es hier oben und 6. enthalten zu dann ist das hier das oben hier das größte und begann diese Jahresration von endlich vielen Dingen immer schön als und Sonnenbaden mal und dann sieht man sofort dass das größte oder Ochsen größtes geht und was es ist so weitere Fragen da hat das wobei es ist schon unter also die Frage ist ob man da nicht gleich eine totale Ordnung reden kann was mir ein vergleichbar sein muss schauen Sie sich das Beispiel das ich gerade gemalt hat an dass es keine totale Ordnung ja sie können die beiden Elemente und nicht mit einer vergleichen das Fernsehen größtes erinnern deshalb haben wir das also jetzt so bist das das Oberst größtes wimmeln sie fordern das größte mit nur dass dieses eine Element mit allen vergleichbar sein muss total und fordert dass jedes Element mit allen vereinbar sein muss weil ein vergleichbar sein muss dass ist unterschiedlich Existenzen Allquantor dass es ein großer Namen das hat aber bedeutet sie brauchen zwischen je 2 Elementen die Beziehung grüß das größte denn man verlangte dass dieses eine Element miteinander in Beziehung stehen zwar darum Finger ab die frag ich mich sofort zurück also die Frage geht Relation die sowohl symmetrisch wie an diese mitrissen Diskussion mit einer Pause von auch und sind 2 Relation auf eingefaltet beides sind wir können ja mal dort beim Mittagessen suchen es kann es gibt welche die beides sind sie aber nicht viele sie sich im großen Ganzen ausgesandt hat Fälle Sorge jetzt kommen 2 Begriffe der 4 genauer gesagt die sich aus der Ordnung und aus den begriffen die schon da stehen also die gesamte vor ableiten und die für diese ganze Theorie von geordneten Mengen fundamental 7 1 2 1 2 im 2. Semester viel begegnen werden wir andere partiell geordneten Menge an wir wer eine Teilmenge von der Menge y zur und jetzt schauen wir uns an da muss man kurz schlucken so uns an eine Menge es wieder Teilmenge von X da andere die kommen von y und diese Menge S sind alle obere Schranken von y also es entfernt als alle die NX die Elemente von X die obere Schranken von Y sind es kann sein dass es leer ist nur gefahren hat es kann sein dass da eine ganze Menge drin ist das ist einfach ne Menge bemängelte oberen Schreiben von y so und wenn jetzt diese Mail und kleinstes Element hat damit vorbei ich insbesondere dass die Menge dann nicht mehr sein soll also wenn die Menge dort Familie ist dann hat auch kein kleinstes Element aber wenn Sie ein Elemente hat und davon 1 noch ein kleines das ist so kriegt das spezielle Namen ich hatte den vorhin gesagt wenn sich die Menge der Rundschau oder wenn sie durch Kranke haben verlangt niemand dass das mir besonders gut obere Schranke ist also das Intervall von minus 2 bis 5 ist eben auch hat August einge 328 oder danke 1700 obere Schranke nein aber die 5 ist natürlich sozusagen die beste obere Schranke die genaueste obere Schranke und diese genau obere Schranke die kriegten einen Namen das ist das sogenannte also dieses 1. ist dieses S 0
das ist nur ist die kleinste obere Schranke und die bezeichnet man mit Flug von y und das Ding heißt es Suprenum von y genauso können sehen das gleiche für untere Schranken machen kann was oben geht geht immer auch unten also dann wenn wir T über die unteren Schranken diesen Freund Herr das enthält alle cm Dinge untere Schranke von Y sind ich so hat das ein größtes Element also die 1. Abschätzung nach unten die beste untere Schranke wenn größtes Element das wenig Tenor dann nennt man das das in um der Menge und schreibt dafür in V Y das ist das T 0 das heißt in Phänomen denn von Apps sind an also wenn Sie also Supreme oder in für also wenn sie einen entziehen und suchen nehmen Sie sich die Menge aller unteren schreiben wir das heißt alle Elemente von X Version die man y ist im seine demente von X die kleiner sind als alle Mittel y nur kleine gleich und von diesen und Umfragen suchen wir die größte das ist dann das Erinnerung so besteht auch hier das steht auch auf der Folie zu haben wir jetzt in zu
bringen haben dann gibt es noch 2 Fälle das Entfernung beziehungsweise Suprenum könnte y dazugehören oder nicht und je nach den Grinsen und anderen Namen also wenn dieses Prägung von Y das ist nur von oben selbst zu y dazugehört das muss es eben nicht also wenn sie nur dieses frei von freien denken derweil von minus 2 bis 5 Jahre bei quer also ja ich beschreibt er das Beispiel hin ok diesmal aber den Satz fertig sonst stets so mittendrin während also Sie haben das Suprenum und das kann er für dazu gehören oder nicht und wenn es dazugehört dann heißt es Maximum dann heißt es 0 Maximum von y und die Bezeichnung ist dann Max von y und wenn das Tier nur also das ihn von y für y gehört dann nennt man das The 0 das Minimum von Y und das ist das Minimum der minimale Wert von y und Bezeichnung hierfür ist den man von E 10 an so also so Mama so Marmorgrab das gleich ist die ganze Zeit sage 10 m x 10 demnächst die reellen Zahlen und das y nehmen Sie das Intervall von minus 2 1 5 1 1 was sind dann die oberen Schranken also was ist diese Menge so die Menge essen alle des X in der war die obere Schreiben von Y sind also x größer gleich y für alle y aus Erzählungen welche reellen Zahlen sind das das sind besser so schreiben dass sind alle Zahlen von 5 bis unendlich mehr also diese man hat viele viele obere schreiben aber sie hat eine kleinste obere Schranke das ist die 5 also in diesem Fall wäre das so Supreme von Y wäre 5 ein und da 5 in dem Fall ich selbst sein dazu gehört wäre das sogar das Maximum 20 g man Sie die und das
Schranken was die unteren Schranken diese Menge y alles was kleiner gleich -minus 2 2. das Mindestpreise untere Schranke minus 100 wenn es 2 Millionen ja Nummer in dem Fall ist es Max und das größte man von y aber dass es auch jene total Ordnung man muss das Maximum nein es muss nicht immer muss es doch muss weg also das würde ich Ihnen jetzt keine beispiellosen ABl muss Tour nachdenken aber ich würde annehmen dass man sie nie würde partielle Ordnung haben das ist dann Beispiel konstruieren können wo das Maximum wo sie Wachstum haben aber das ist kein größtes Element aber ich damit aber vorsichtig verweisen müsste drüber nachdenken wenn Sie zieht es ihn vom anschauen das die größte untere Schranke dann ist das hier -minus 2 aber sie haben den Fall kein Minimum weil die -minus 2 nicht y gehörten so ich ja noch im ganzen Stall Beispiele Mehr dabei an und wie er so das ich geb zu ich hat diesen oder zur Mitte mit derweil noch nicht eingeführt das sie dabei darum es so gemein dass die Zahl von minus 2 bis 5 aber wenn es 2 ausgeschlossen also vielleicht kennen einige von ihnen die Notation das ist damit gemeint wie gut Beispiel 3 neuen R wenn im für den Anteil X Q also die rationalen Zahlen und y ich weiß was man oft mit Q +plus bezeichnet also alle rationalen Zahlen die Größe seines neuen und die Menge mit dem mit dem üblichen Ordnungsrelation wir also die über das übliche kleiner gleich dass sie alle kennen so wie sieht damit trösten kleinsten Elementen und so weiter aus die hat keine größtes Element nur weil sie eben wenig rausgeht wann immer sie behaupten sie hätten größtes in den herrlichen 1 zu 2 und dann ist es wieder größer das kein kleinstes Element das liegt daran dass sich nur die Strecke positiven rationalen Zahlen genommen hat und wenn sie behaupten sie hätten das kleinstes Element der Teilchen das durch 2 das ist dann immer noch größer wurden immer noch rational und leider halt keiner hören also sie kein kleinstes Element sie hat keine Ohren Schranken wenn Sie keine oberen Schranken hat als insbesondere auch keine kleinste obere Schranke also auch keine und keine kein Minimum und nein kein zu Bremen unter Maximum aber sehr untere
Schranken na da können Sie es wieder ganz viele angeben -minus 42 -minus 7 9. 0 100 Tausend weitere was ist die größte untere Schranke also das in dem Moment ist nur nur aber die Märkte teilnehmen um weil eben dieses Inferno nicht zur Menge dazugehört also kein Minimum weil das in vielen Wohnungen von Q +plus das war nur und das gehört nicht zu QC Lust dazu da also uns jetzt einmal diese ganzen Begriffe durchdekliniert diese Menge hat eine Entfernung von 0 kein Sodbrennen kein Maximum keine Miene so nächstes Beispielen
in man immer wieder das gleiche X also die rationalen Zahlen mit dem üblichen kleiner gleich und das y nehmen wir jetzt wieder eine Teilmenge davon nämlich alle die rationalen Zahlen deren Quadrat kleiner als 2 ist also wenn sich das umstellen wissen alle die zwischen -minus 2 -minus Wurzel 2 plus Wurzel 2 Herren dienen er so dieses Y hat viele viele obere Schranken an zum Beispiel können Sie 2 nehmen sie kann aus 37 nehmen wir können viele andere Zahl nehmen so und jetzt haben wir den Effekt und das mal dieses Beispiel diese man hat während sie obere Schranke aber sehr keine Supremo weil sie sehen keine kleinste obere Schranke in denn das also was ist die Menge der oberen Schranken die Menge der oberen Schranken sind alle die es im Koma den obere Schranke sind also Menge erobern Schranken es was was das sind alle die coolen Chor für die QC wahrer Größe er kleine 2 es also in dem Fall Falco größer gleich Wurzel 2 und so alle rationalen Zahlen die größer gleich 2 sind und die haben kein kleinstes Element weil wir 2 sich rationalen hören es ist ganzen er angucken das wusste 2. zu bringen aber zu zweideutig zu cool und oder warum 2 haben Sie ganz ganz viele rationale Zahlen von denen es keine die kleinste also hat das Ding kann so bringen diese Menge hat kein kleinstes Element den Kuchen und Sie müssen bedenken dass wir klar das Ganze je 10 x gleich Q 1 heißt und unser Universum ist Moment Coup Wurzel 2 gibt es also gar nicht dann dementsprechend hat das Ding kein Subprime so was kann noch passieren ja immer der Name noch ein weiteres Beispiel wenn Sie X gleich die natürlichen Zahlen gehen dann damit natürlich zahlen eine wunderschöne Eigenschaft also die natürlichen Zahlen mit der üblichen mit dem üblichen kleiner gleich die man sehr oft gewinnbringend verwendet die Eigenschaft in dieser Menge hat nämlich jede Teilmenge Minimum wenn
Medal was für ne Teilmenge sie das rausnehmen der dem ein Minimum und jede endliche Teilmenge hat sogar Maximum nun und dann das ist die schöne Eigenschaft von allen die man immer mal wieder nutzt so jetzt will ich Ihnen noch ein Beispiel vorführen ja wir am ja Sie haben vollkommen Recht also wenig Gerresheim einen da nehmen und jede endliche nichtleere lauern danke glaub die los die leere Menge ist der Horror jedes Dozenten also an Sie denn je bei welche ihr was behauptet probieren Sie es mal aus musste die leere Menge geht und und 10 Prozent der Fälle wenn sie dich erwischen ehren zu werden gut ich will noch ein 4. Beispielen schreiben damit Sie sehen da ist man eben auch in der partiellen Ordnung über diese ganzen Begriffe reden kann also wenn man das Beispiel von vorhin X die Potenzmenge von der Menge 0 1 2 und die Ordnungsrelation ist die Teilmenge der Inklusion und das y ist ist eine Teilmenge von der Potenzmenge und da hab ich jetzt irgendwas aus gegriffen mal die Menge Apps die Länge der leeren Menge und deren wenn wir die neuen hält das Teilmenge von der Potenzmenge von 0 1 2 so weisen jetzt obere Schranken von dieser Menge an obere Schranken sind alle die Elemente der Potenzmenge die größer sind als alle Elemente von y also die alle Elemente von Y als Teilmenge enthalten das ist in dem Fall die Menge die die 0 enthält weil die enthält die beiden Elemente von Y als Teilmenge die Menge die 0 1 die Menge 0 2 und die Menge 0 1 2 das ist ganze nur das alles obere schreiben was ist das so prima an haben diese oberen Schranken ein kleinstes Element ja die so Rundschreiben haben mein kleinstes Element nämlich die Menge die nur die 0 enthält diesen einen andern Inhalt dürfen und außerdem ist diese Menge
die 0 enthält aber ihr 10 ansehen also ist das Maximum von y gleich diese Bremen vom y gleich die Menge die 0 enthält also wenn sie wenn Sie nach so Bremer oder maximalen minimal gefragt werden gucken sich immer die Menge der oberen schreien also sie die kleinste das ist so ich haben sie es zur Trennung oder gucken selbst wenn er zugehört mindestens 17 Maximum ist durch seine Frage sie die Menge die nun in der Mitte der Menge vergleicht dann wäre meines Teilmenge von jeder Menge nur leere Menge es 7 enthalten weil jedes Element der Menge ist in der Menge die Nullen hält für eine Aussage die leere Menge diesmal war da war viel ihren und 30 Franken Bern hat den man nicht oder doch die leere Menge die leere Menge ist untere Schranke dieses diese Menge y bei dies allen in der Folgezeit enthalten den Fall ist die Menge der Unterfranken ein Element ich damit hat größtes Element nämlich die leere Menge also hat also haben Sie hier tatsächlich auch ich haben Sie hier tatsächlich auch dass das Minimum von Y existiert das ist gleich den Entfernung von Y und das ist die leere Menge so das waren Ordnungsrelation und jetzt will ich
noch ein bisschen was zu Äquivalenzrelation sagen wir werden uns dann der nächsten Vorlesung mal Zeit nehmen weil die sind insbesondere der Informatik höchst wichtig sie werden in 2 Jahren schon gar nicht mehr merken wir oft selbst Relation verwenden Sie wenn sie einfach so verwenden oder sie so zu den und trotzdem tauchen die ständig auf was in der Quelle Installationen also Relation die reflexiv symmetrisch transitiv sind er ich habe wieder mit starben Beispiele mitgebracht Äquivalenzrelation sind alles das sie Dinge anhand einer Eigenschaft als ähnlich oder gleich klassifizieren das man im Alltag ständig das wäre das wäre anhand einer eigens eine große Menge von Dingen anhand einer Eigenschaft in Teil II in Gruppen einteilen und zerren und die Gruppen die Energie die Hitze zu der Gruppe gehören als in dieser Eigenschaft gleichwertig an anschauen und das ist das was Relation macht das Erste Banane Beispiel von Äquivalenzrelation ist dass ich die gleich nur egal in welcher Menge also meinetwegen in irgendwelchen Zahlen nennen aber auch in allen anderen Mengen also in jeder auf jede Menge können Sie die Relation gleich definieren und ist eine kleines Relation aber sie können zum Beispiel auf der Menge alle Studis hier Hörsaal oder auch der Menge aller Menschen oder sonst was denn Relation gleicher nachname Rente definieren gleiche Schuhgröße wurscht war Armlänge mir völlig egal suchen Sie sich irgendeinen Kriterium raus und packe alle die und sagen alle die sie in diesem bei dieser Frage gleich abschneiden sind äquivalent zueinander anderfalls weg weil Installation sind Verwandtschaftsbeziehungen in das sind alles Beispiele für Äquivalenzrelation es gibt viele viele andere und ich Ihnen noch ein beispiele ausführlicher zeigen bei dem ich Ihnen dann auch beweisen wird dass es eine ist ich und das ist eine mit der sie in den folgenden ja tagtäglich wenn sich geraten freien Sonntag machen zu tun haben werden und das ist die Konkurrenz Modulor in natürlichen Zahlen also wir wären uns eine natürliche Zahl die bitte schön nicht 0 sein soll fest und dann definieren wir auf den ganzen Zahlen eine Äquivalenzrelation die wir nicht der ändern werde vor gesagt jedes das übliche zeigen Pfennig weil es Relation und dieses N müssen uns merken dass es das gewählt und die definieren wir durch wenn Sie 2 Elemente aus zählt neben 2 ganze Zahlen dann sagen weil die stehen bezüglich dieser Relation in Relation genau daran wenn die Differenz B -minus A ein Vielfaches von NSU was heißt dass das heißt genau dann wenn es Zahl KMZ geht so dass
aber wenn -minus aber in Karmal mal entziehen kann anders gesagt indes ist ich bin -minus Art halb ab er umgekehrt ehren reden wenn es eisig enthalten also im -minus als dich enthalten ja ja ich hab das ja auch alles wusste das ist aber egal weil sie dürfen das Chaos Z wählen wir uns jetzt an -minus B oder w -minus da stehen haben Sie da alles dreht vom Kaders Vorzeichnung während wir und das alles für a b aus Z zart für die Seele für die Seele Nation gibt alternative Schreibweise dieser gebräuchlich ist die ich auch in Zukunft verwenden werde also wird man schreibt meistens nicht am der DB mit Index das mach ich jetzt nur damit Sie sehen dass damit smernic Valenz Relation ist sondern man schreibt dafür üblicherweise aber 3 Striche in Klammern Mord enden und spricht das ist kongruent B 1 modulo enden so aber sie noch zeigen will ist das Ding es tatsächlich nötig über Linz Relation also Behauptungen diese Tiere ist eine Qual Relation n wir weisen wir das wäre müssen die 3 Bedingungen nach Echsen was brauchen Würfelqualle Installationen wir brauchen reflexiv symmetrisch und transitiv also Mama zuerst die Reflexivität das müssen wir zeigen wir müssen zeigen wenn Sie sich irgendein Z hernehmen dann ist es immer mit sich selbst und Relationen also müssen zeigen dann ist -minus an durch in Taiwan wer was is a -minus
a a -minus 1 0 von 0 ist nun mal n ja sie können gar gleich 0 wenn also is a in Relation zu machen 2. Symmetrie also was wissen wir wir haben 2 Zahlen a und b auszählt und wir wissen da TFF es Äquivalent zu be was heißt das das heißt es gibt kann Karen den ganzen Zahlen zu oder spielen -minus aber gleich mal ins Meer werden wir -minus mal ne ist dann ist an -minus B -minus kam ein und das ist einfach Gleichung mit -minus 1 multipliziert werden und was bedeutet das das heißt es gibt L wir dieses es nämlich -minus K zählt so dass -minus B gleich mal ist wir anders bedeutet genauer das B in Relation zur einstellt wenn
wir das es riechen Sonneberger setzt es die Transitivität so war dies aber nicht dies aber nicht viel komplizierter was wissen wenn man gut sie haben 3 Elemente und müssen zeigen dass die Eigenschaft das die zu einander stehen in der Kette geht vom 1. auf den letzten direkt über also nehmen sich A B und C im Zelt her und vergessen steht in Relation zu b und B steht in Relation zu c 1 müssen zeigen achtete Relation zu ziehen was heißt denn was heißen denn diese beiden Dinge die da stehen die heißen es gebe 2 ganze Zahlen K und L so dass -minus B ein Vielfaches nur wenn ich genau machen muss ich jetzt bin -minus aber schreiben wie -minus an Vielfaches der -minus aber ein Vielfaches von n ist und er 10 -minus B ebenfalls Noten was kriegen Sie jetzt daraus 14 -minus aber er 10 -minus A S 10 -minus B +plus B -minus aber das so wenig widersprechen er so 10 -minus B es allen meinen -minus aber es kam mal n das ist also der Fluss Kama n wir also was haben wir dann gezeigt dass die Karten natürlich ne ganze Zahl n nämlich die Zahl L plus ça so dass -minus 10 gleich immer in Essen und das heißt nichts anderes als das etwa zu CS um und dann mitansehen Transitivität sitzt aber alle 3 damit es mit der Installation und was die anschaulich bedeutet was damit anfangen kann zierlichen ich am Freitag bei vielen Dank für die auf
Teilmenge
Objekt <Kategorie>
Relation <Mathematik>
Zusammenhang <Mathematik>
Momentenproblem
Menge
Natürliche Zahl
Element <Mathematik>
Kartesisches Produkt
Zahl
Objekt <Kategorie>
Teilmenge
Verschlingung
Menge
Natürliche Zahl
Struktur <Mathematik>
Zahl
Länge
Relation <Mathematik>
Menge
Momentenproblem
Mathematik
Transitivität
Symmetrie
Ordnungsrelation
Klasse <Mathematik>
Gleichheitszeichen
Äquivalenzrelation
Richtung
Teilmenge
Relation <Mathematik>
Momentenproblem
Menge
Reelle Zahl
Symmetrie
Ordnungsrelation
Potenzmenge
Ordnung <Mathematik>
Teilmenge
Menge
Ganze Zahl
Transitivität
Symmetrie
Ordnungsrelation
Potenzmenge
Inklusion <Mathematik>
Grundraum
Zahl
Richtung
Mathematische Größe
Teilmenge
Folge <Mathematik>
Menge
Kettenregel
Reelle Zahl
Natürliche Zahl
Ordnungsrelation
Geordnete Menge
Ordnung <Mathematik>
Zahl
Algebraisch abgeschlossener Körper
Untere Schranke
Obere Schranke
Mathematik
Eindeutigkeit
Element <Mathematik>
Gradient
Teilmenge
Menge
Ganze Zahl
Reelle Zahl
Symmetrie
Ordnungsrelation
Geordnete Menge
Teilmenge
Mittelungsverfahren
Untere Schranke
Obere Schranke
Menge
Existenzsatz
Supremum <Mathematik>
Abschätzung
Element <Mathematik>
Geordnete Menge
Untere Schranke
Obere Schranke
Supremum <Mathematik>
Maximum
Element <Mathematik>
Bruchzahl
Zahl
Strecke
Menge
Reelle Zahl
Rationale Zahl
Ordnungsrelation
Minimum
Schranke <Mathematik>
Untere Schranke
Obere Schranke
Momentenproblem
Physikalischer Effekt
Natürliche Zahl
Supremum <Mathematik>
Maximum
Zahl
Teilmenge
Quadrat
Menge
Rationale Zahl
Minimum
Grundraum
Schranke <Mathematik>
Teilmenge
Untere Schranke
Länge
Obere Schranke
Menge
Ordnungsrelation
Minimum
Potenzmenge
Maximum
Inklusion <Mathematik>
Null
Index
Energie
Menge
Ganze Zahl
Natürliche Zahl
Hitze
Äquivalenzrelation
Zahl
Kettenregel
Transitivität
Symmetrie
Ganze Zahl
Machsches Prinzip
Gleichung
Zahl

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Relationen I
Serientitel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 03
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/33631
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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