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Der Faktorraum

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Automatisierte Medienanalyse

Beta
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mehr haben an der TU Darmstadt oder
mal einen schönen guten Morgen und herzlich willkommen beide zur Vorlesung sie am letzten Freitag gesehen dass egal welchen Vektorraum Sie haben hat immer eine Basis eine Eigenschaft die man nicht hoch genug einschätzen kann was ist oder Basis der Basis ist eine möglichst kleine Mengen von Bausteinen aus denen sie in der hell der Kombination ihren ganzen Vektorraum zusammenbauen können soll heißen wenn sie die Basis kennen kennen Sie im Prinzip den ganzen Sektor war nur das ist die Idee von einer Basis nehme möglichst wenig Vektoren damit damit die Sache überschaubar bleibt das ist die Eigenschaft dass die Basis immer unabhängig sein muss und wir genug Vektoren dass man den ganzen Dreck darum kombiniert bekommt das ist die 2. Eigenschaft der Basis des sie erzeugt und sie haben eben gesehen oder werden in den Satz präsentiert ohne Beweis das egal welchen Vektorraum sie haben so eine Basis finden sie immer und was ich heute jetzt weiter machen will ist mit dieser Darstellung in der Basis ein bisschen zu arbeiten also Sie haben gesehen hier gibt der Basis erzeugt immer dem Vektorraum das bedeutet wenn Sie Ihren weckte aus dem Vektorraum haben dann können Sie denn als im Jahr Kombination der Basis Vektoren darstellen und 1. Satz heute sagt im Prinzip genau das mit einer Zusatzinformationen nämlich nicht nur sie können jeden Vektor in der Basis darstellen sondern sie können sogar eindeutig darstellt also wenn der n-dimensionalen Vektorraum haben meinen im Moment mal Dimension nicht 0 für Dimensionen und ist das alles ziemlich langweilig also der n-dimensionalen K Vektorraum V und sie haben der Basis die muss dann wenn eindimensionale sehr wohl aus allen Elementen bestehen B 1 bis B beenden seine Basis von Fahrer dann sagt jetzt nur egal welches VSV sehen den dann geht's immer Skalare Alfa 1 bis alle verenden in K so dass sie das schreiben können als wir im Jahr Kombination dieser in Basis Vektoren das ist einfach die Eigenschaft dass sie die Basis erzeugt besteht jetzt noch nicht wieder an was im Gegensatz dazu kommen dass ein Wort wenn das Wort eindeutige entscheiden diesen Satz ist dieses Wort eindeutige sie können den Beck Vektor nicht irgendwie da also Sie können den Sektor nicht nur irgendwie darstellen sondern diese Zahlen sind sogar eindeutig dieser Alfa 1 bis Eifer in also das einzige was wir noch tun müssen ist die Eindeutigkeit zu beweisen dass sie den Vektor so darstellen können es einfach die Eigenschaft dass ne Basis dem Vektorraum erzeugt und die zeigen wir dass wir zeigen wir dass das es nur diese eine Wahl von Alfa 1 bis alle verenden gibt zu dass diese Gleichheit gilt immer das gleiche zu nehmen sich noch eine andere Wahl Beta 1 bis später her und zeigen dass dann alle Alfas mit über das übereinstimmen müssen also sie neben sich n skalare Wetter 1 bis Peter in der Au Skala die ebenfalls das fordern darstellen also soll auch gelten Frau ist Somalia gleich
1 bis n Wetter jb hat kann sie können das auch einmal als mit einer Feier werden und damit bitte J Bj darstellen und jetzt müssen wir zeigen alle verlor gleich später ja sorgen sie das haben dann können wir der 0 Vektor kompliziert schreiben also denen nur der ja und sie werden mir sicher beipflichten dass den weckte das selbe ist wie Frau -minus v warum mache ich das weil ich jetzt die beiden Darstellung fürs Frau einsetzen kann Frau es zum einen Summe J gleich 1 bis n alle J Bj und V ist zum anderen Summe J gleich 1 bis n Wetter jb hier soll Familien bis hin nickte dem Distributivgesetz und spielen das können Sie schreiben als eine Summe 2 J J -minus Peter J Billard bis dahin ist es einfach nur die beiden gleich lautenden glaub ich laufenden Summen zu einer zusammengefasst und jetzt haben sie mir gesagt sowas und ein Axiom der Vektorraum Rechnung es gab mal Vektor mit plus anderes Galama Vektor können Sie distributiv auseinanderziehen der zusammenfassen was bleibt also übrig die Summe J gleich 1 bis n Fall J -minus Peter J man Billard Sommers aber jetzt verstehen was stehen haben ist man ja Kombinationen diese 0 legte er geht in der Kombination mit denen des Orts BGB bilden die Basis
und der Basis in Berlin ja unabhängig das ist die Eigenschaft B 1 also die Vektoren B 1 bis B n sind immer ja unabhängig was bedeutet das neue wenn sie denn nur wer das heißt sie können nur Vektor nur trivial kombinieren das heißt BJ -minus Alfa J muss nun seinen für jedes J zwischen 1 und n na und das können Sie es auch anders schreiben das heißt alle paar Jahre ist das selbe wie Peter J für jedes J zwischen 1 und 1 und damit haben sie das was sie zeigen wollen wenn sie das Frau auf 2 verschiedene Weisen darstellen sind die beiden weisen dieselben also es geht nur 1 geht nur in einer Weise so in der Satz gibt jetzt mir Möglichkeit n Vektoren bezüglich der Basis zu beschreiben wenn Sie jetzt einen Vektorraum ohne Basis haben also man n-dimensionalen Vektorraum endlich die Mensa Vektorraum seine Basis drauf dann können Sie jeden dann können Sie jeden Vektor in der Basis als im Jahr Kombination darstellen diese vor Faktoren die Sie jetzt haben liegen eindeutig fest und die beschreiben damit eindeutig den Vektor diese vor Faktoren Kringe 10 das ist die Definition 2
23 immer zu 20 also wenn sie in der Situation von Satz 2 22 sind dann nennt man die eindeutigen als fast die wir da gefunden haben alle diese Zahlen etwa 1 bis 1 für einen Oscar den nennt man die Koordinaten des Vektors v bezüglich der Basis P 1 das werden dann legte Traum Formen der Basis stehende Mann Vektor V so dargestellt und diese Zahl etwa 1 bis 1 ihn sind die Koordinaten dieses Vektors bezüglich der Basis und dafür schreibt man dann auch man kann jetzt diese Koordinaten wieder alles tut aufreißen man kann das als ein Vektor schreiben dass es jetzt Vektoren K hoch n das ist nicht Frau ja bei Frau ist aus in einem n-dimensionalen Vektorraum über Kates können Polynome Wohnraum seine Wellenfunktion Raum aber diese Koordinaten beschreiben das V eindeutig und damit hängen sie mit dem V zusammen und um das klar zu machen schreibt kann man das versuchen so darzustellen also das ist der nicht direkt auf Frau von der Koordinaten Vektor von Frauen die bei uns unterscheiden Nachricht auf den Kundendaten Hektor diesen freie drauf die man verlegt worden so gut kennt aber also ist weg damit 1 1 deckt mit dem Pfeil drauf bezeichnet den dazugehörigen Koordinatenvektors es ist das ein bisschen die gefährliche Schreibweise kann also das Ding heißt koordinaten vektor von Frau bezüglich B 1 das V muss keine weckte km sein der Koordinatenvektors immer aus und das gefährliche in dem Moment ist das ist natürlich jetzt von der Basis B extrem abhängt wie der koordinaten vektor aussieht kann wenn Sie hier Vektorraum andere Basis nehmen bei der Basis Satz sagen es gibt immer eine Basis aber im realen Leben gibt es neben Vektorraum unendlich unendliche Mengen von verschiedenen Base das heißt sie haben das freie Auswahl und es könne den andere Basis nehmen und dann kriegen Sie auch Namen Kundendaten Vektor natürlich also diese Koordinaten hängen extrem von der Basis ab das heißt man muss immer wenn mein Sohn koordinaten vektor hinschreibt 1. sich selbst völlig klar sein welche Basis man gerade betrachtet und zweitens das auch immer gut kommunizieren oder zu schreiben ist der Koordinaten Vektor bezüglich unserer Basis wie 17 und das konnte dieser Schreibweise mit dem Fall der so gar nicht aus das heißt diese Schreibweise ist nur gut wenn in dem Moment völlig klar ist wer wann welcher Basis die Rede ist wenn Sie jetzt im Kontext 4 verschiedene Basen rumschwimmen haben B C D und E oder so was er dann müssen sie klar machen welche das ist ne gibt verschiedene Möglichkeiten und keiner ist wirklich eingeführt und und Standard aber eine Möglichkeit wäre zum Beispiel dann klarer zu schreiben Koordinatenvektors von Frau bezüglich der Basis B wäre so eine Möglichkeit dass Sie schreiben dass auch fallen noch ne eckige Klammer promoten B und dran dann haben sie in der Schreibweise klargestellt welche Basis gemeint das ist ein bisschen die genaue Schreibweise wenn die Basis komplett ab es kann nur eine gibt und völlig klar als wovon sie reden wenn das man natürlich diese Klammern gern wegweisender Vielschreiber reisen aber es lohnt sich in seine 2. überzusetzen bevor man irgendwelche Missverständnisse produziert also muss man Beispiel 1 kann man auch zu
zeigen dass und Daten Vektor nicht unbedingt der Vektor ist von dem man startet im also mal nicht ein ein normalen K entdeckte sondern wir nehmen sollen Vektorraum von Funktionen also nehme Funktionen von R nach R und betrachten dann unter Vektorraum das Erzeugnis von 2 speziellen Funktionen ist nämlich F 1 sei einfach die Identität und 11 2 sei das Quadrieren der das ist unter Vektorraum vom Raum aller Abbildungen von 1 auf A wir haben im Beispiel das war das 2. 12. CD gesehen dass diese beiden Funktionen den ja unabhängig sind in solchen und Funktionen von Polynomen sagen zudem würden wir unabhängig also ist diese Menge F 1 F 2 mit Basis von dem was ist noch eine Funktion die dem O drin ist wieder
mein Koordinaten darstellen können also zum Beispiel die Funktion hier von X gleich 3 x Quadrat plus X das wär Funktion ist so Rosen die Koordinaten was müssen Sie machen und die Koordinaten von G bezüglich der Basis F 1 F 2 zu bestimmen sie müssen die 1. Jahr Kombination von der Vereinten F 2 schreiben und dann ablesen das in dem Fall einfach was ist in dem Fall die F 1 2. Indentitäten F 2 war das X Quadrat also haben sie hier dreimal f 2 +plus F 1 an also geht wenn das jetzt bezüglich der Basis F 1 F 2 angucken der Koordinaten Vektor von G wahrscheinlich als mit 3 drauf oder ganz exakt Pollenarten Vektor von G bezüglich der Basis F 1 2 ist dann war es wie viele F 1 brauchen Sie um die zu kombinieren einsch einmal F 1 und einem 1 zu 1 und das ist jetzt nur Vektoren a 2 Kundendaten Lektors überdeckt worden keine egal was der andere weg vorher war in ja sie müssen auch die Reihenfolge der F also der Basis Vektoren 8 in dem Fall spielt die Reihenfolge der Basis Welttourneen mit Exponenten eine entscheidende Rolle also S 1 2 wenn sie die Bar im Prinzip müssen Sie müssen sie ihrer Basis nur Ordnung geben sagen wir ist der 1. Wahl sagte Riester 2. ist der 3. das nicht machen wenn es der Kunde hatte legte ich eindeutig kann das Durcheinander wenn die Basis hat und sie sich dann wie immer immer halten also in der 1. Zeile kommt der die Kohlen hatte bezüglich des 1. Basis weglassen 2. 2. Basis dass die 3. 3. und so weiter wenden Sie man sonst es die Kurden gab möchte mich einfach eindeutig warum man warum man das Ganze Nacht ist auch relativ einfach zu erklären auf die Weise öffnen Sie können Sie jetzt wenn Sie in diesem in seinem Vektorraum von Funktionen rechnen wollen können Sie sich alle Probleme die sie dort haben in den er ein übersetzen immer allen rechnen mit den Kundendaten Lektoren rechne man rechnen müssen teils viel einfacher und dann alles was Sie wissen wollten wir zurückübersetzen in Funktion dass die Idee von den Kohlen laufen das zwar gut auf die Weise kriegen sie können sie jeden n-dimensionalen Vektorraum in gewisser Weise sehen als 1. km auch wenn es den Bullen um Raum und dann irgendwas ist ein Raum von Folgen n Dimensionen hat verhält es sich im Wesentlichen den km genauer werden wir das noch beleuchten die verhält sich genauso wie wenn wir den Begriff des das Vektorraum Isomorphismus haben es kann sie nur von Gruppen also erhalten der Struktur erhalten der Abbildung zwischen Vektorräumen aber das ist die Idee der den Koordinaten es Ihnen komplizierte eindimensionale Räume zu übersetzen und als 1. keine im kein kennt man sich einigermaßen aus und da kann man Richtung nahmen Abschnitt 6 noch mal ausführlich zur das war sondern das Einführungskapitel zum Thema Vektorräume unter Strukturen von Vektorräumen und das Wesentliche das Wesentliche Werkzeug beim Laden von Vektorräumen ich Basen das muss man wirklich sagen dass es eine sehr sehr schöne Eigenschaft von Vektorräumen dass man obwohl sie zum Teil riesengroß sein kann man denken Sie an den WDR 3 können sich noch vorstellen der 4 ist schon so groß dass es den meisten schwer fällt in sich vorzustellen und trotzdem brauchen Sie eigentlich nur 4 bases Vektoren und können komplett beschreiben und 4 Dinge das es wieder Wasser mit der Mensch durchaus hantieren kann ja und das ist das ist deswegen sind diese Basen so ein wahnsinnig wichtiges Werkzeug weiß es weil das mit den eben schafft große Dinge die man eigentlich nicht mehr sich vorstellen kann auf wenige Bausteine zu reduzieren mit den man anziehen kann so kommt das liegt der nächste Abschnitt das ist der über den Faktor Raum
und an der Stelle lohnt sich sich normal so'n bisschen zurück erinnern wir werden jetzt wieder faktorisieren über überspielen wieder Äquivalenzklassen bilden und dabei ein Moment der Magie erleben und was ich machen will ist ich will Ihnen Vektorräume in Äquivalenzklassen zerlegen überlegt weil Klassen schaffen wir nach einem Kriterium da nicht der Mann Erkelenz Relation dahinter und die will ich ihn das 1. angehen also immer 3 1 sehr haben K Vektorraum V und sie haben unter Vektorraum das ist jetzt immer das ganze Kapitel die Grundkonstellation ein Vektorraum ein und doch auch mal so nehmen sie stellen sich den er 2 vor und ein Ursprungs Grad und die die es jetzt wieder beim faktorisieren es gibt gewisse Eigenschaften des Raums dies interessieren und es gibt Eigenschaften die uns im Moment aus und Grundnig interessieren und wir wollen jetzt in interessanten herauspräparieren und die uninteressant in der Client Relations stecken und vergessen aber sie wollen eben nicht mehr jedes einzelne Individuum betrachten sondern die Ihnen die einzelnen Individuen nach irgendeinem Kriterium in man zusammenfassen das ist das was nicht willens Relation und was hier jetzt dass das was uns interessiert nicht interessiert ist die innere Struktur von also alles was in passiert es uns eigentlich relativ egal und interessiert das was also alles was nicht ist 1 und dementsprechend definieren wir die Relation das wir sagen 2 Vektoren sind äquivalent wenn sie sich nur um irgendwas in unterscheiden also hier wenn sie bis auf irgendwas aus gleich sind also wir sagen VSR äquivalent zu W falls die Differenz der beiden in liegt wenn die Behauptung von dem Lemma ist das ist ne Äquivalenzrelation ich hab schon mit Schlange geschrieben das schreit danach aber zeigen muss muss trotzdem noch also die Relation ist weil man sich den Relation zueinander werden die Differenz in liegt so was müssen wir tun jetzt müssen wir altes Wissen abstauben was müssen wir tun um zu zeigen wie der Nation ist mittlerweile unsere Nation Äquivalenzrelation brauchte 3 Eigenschaften sie muss reflexiv sein sie muss symmetrisch sein und sie muss transitiv sein arbeiten uns an den nacheinander ab auf die Weise kann ich Ihnen auch gleich noch mal die 3 Begriffe wiederholen was diese reflexiv Reflexion fließt jedes Element muss für sich selbst in Relation stehen also müssen zeigen zu alle für eine Frau als Frau gilt dass Frauen Relation zu Frau stillt also den uns Hausfrau her was müssen wir checken wir müssen checken V stellten Relation zu faul also müssen muss Differenz von V -minus v angucken das ist mit mitfahren -minus Frauen erfahren dass Frau ist 0 und nun ist ganz sicher in weil jeder unterlegte Raumeinheiten bewegt nur also es tatsächlich und das es heißt genau das Frauen in Relation zu verstehen das Reflexivität dann kommt das 2. die Symmetrie was war Symmetrie von der Relation das es wenn sie 2 Elemente haben von denen Sie wissen das sind zueinander in Relation stehen in dann muss auch die umgekehrte Relation gelten also wenn Frauen Relation zu bestehen da muss auch wenn Relation zu verstehen dass was mit Krieg also was müssen wir machen das nachzuweisen und müssen uns 2 Elemente aus
unserem V hernehmen die zueinander in Relation stehen was heißt das wenn Frau zu fortzubilden Relation steht etwa nach Definition ist leider oben rausgerutscht 2 Elemente sind sondern der Quallen wenn ihre Differenzen legt also wissen wir dass dann V -minus W in US Na ja Essen unter Vektorraum und wenn sie unter Vektorraum haben bedeutet dass wenn sie man draus haben dann können sie das mit jedem Skalar multiplizieren und sie bleiben dem unter Viktor insbesondere es also der Vektor -minus 1 mal Frau -minus W ebenfalls in unterlegte haben Element rausnehmen könnte das gelingen diese wollen wir bleiben unterwegs doch was ist der Vektor -minus 1 mal V -minus wenn er das ist der Vektor wie -minus v also aber das wenn das VNU liegt und das bedeutet nach der unsere Definition von oben gerade das okay in Relation zum Frau damit haben Sie den Frauen Relation zu DSW in Relation zu fahren 3. Transit hilft naja was heißt transitiv wir brauchen jetzt 3 Elemente transitiv ließ wenn sie 3 Elemente hatten VW und X in in Frau und sie wissen dass V in Relation zu wenig Geld und sie wissen dass wir in Relation zu X steht er muss auch Frau in Relation zu X das wenn ein B und B Quellen zählen ist Al Quaida zu das ist die Transitivität also rechnen was nach läuft auch auf die Eigenschaft raus das unter Vektorraumes wenden uns 3 Elemente in Frau her so dass Frauen Relation zu wenig steht und wie in Relation zu X übersetzen uns das nach der Definition der Relation was heißt
das von Relation zu B heißt die beiden unterscheiden sich nur durch was was sie liegt also Frau -minus Wesen und wer in Relation zu X bedeutet dass wir -minus x im seien Sie 2 Vektoren außen unter Vektorraum wenn 2 tollen oder Vektorraum liegen jedoch ihre Summe drin also wissen Sie das der Raum auch enthält das Element V -minus W +plus wenn -minus x nur gibt es immer man Zeichen ja gibt es in den 10 falschen geschrieben das soll heißen dass es halt nicht intuitiv das was aus der Gesinnung ferner meine dieses was man zeigen ist eines meiner liebsten Tech Befehle das normale Leben bezeichneten gefällt ihm nix gegen sprechen das umgekehrte bisher nie N ungeklärt ist in zu ja aber also ich hoffe Sie verstehen was ich meine .punkt ist ich bin es wieder man von ich ja das wissen Sie auch so machen ja das richtig das ist das ist relativ danach Rotation der wie wir es am Anfang nicht eingeführt darum mach ich so weil ich jetzt rechts weiter schreiben will es ist mir eine eine Sache der der Aufschrei Ökonomie nicht 2 schreiben weil sie sehen so was passiert das W mach den Abgang -minus wertlos wäre ist nicht mehr viel und übrigbleibt V -minus x also haben wir haben 6 7 Uhr und das heißt äußeren zum schützt zur damit einmal dass die Relation auch transitiv ist und damit damit die Aufgabe von diesem 3 1 erfüllt und angezeigt das und so diese Relation die ich Ihnen jetzt erstmal im ablassen Äquivalenzrelation so sie weil es Relation haben dann und das haben wir ganz am Anfang gesehen zerlegt in diese Sequenz Relation ihre Menge immer in die Faktor Menge in die EG Valenz Klassen und diese Sequenz Klassen im Sinne Zerlegung der Menge das schreibe ich ihn gerade noch mal als Erinnerung hin also wenn das
war ganz am Anfang der Vorlesung ist mittlerweile einige Wochen her und ich viel viel Stoff zu zugeschüttet also das war der Satz 1 3 12 und Daten wir gesehen wenn Sie mehr Äquivalenzrelation haben auf der man jeden den ich jetzt hier mal sinnvollerweise Frau weil unser Längengrad Frau heißt wäre ja dann können Sie die Äquivalenzklassen angucken Linz Klassen man einfach zu jedem Element die Menge aller Elemente die zu diesem in Relation stehen also die Quelle Klasse von einem Frau hatten wir mit der Schlange drüber geschrieben Frau Schlange ist die Cullens Klasse von Frau 10 alle die wir Ihnen Frau in Relation zur Frau stehen und der Satz bei 12. im 1. Kapitel hat gesagt diese Äquivalenzklassen zerlegen in das Frau in lauter einzelne Bruchstücke was heißt dass das heißt jedes Frau Schlange ist nicht mehr wenn Sie 2 Äquivalenzklassen haben den Schnitt nicht leer ist dann sind die schon gleich mit das heißt es gibt keine Sicht echt überlappenden Äquivalenzklassen entweder die ja mal 1 oder die sind komplett verschieden aber es kann nicht passieren dass gelernt haben das zu zweit Valenz Klassen gehört zu 2 verschiedene das gehört das gibt es nicht jedes Element der zu ein genau eine kleines ist das ist der geht deswegen sagen immer dass in Aachen Zerlegung und die Zerlegung zerlegt auch wirklich den ganzen Raum also wenn Sie alle Äquivalenzklassen nehmen und die zusammen dann kommt wieder die ganze Menge aus das war dieser Satz 3 12 und das können wir jetzt ja auch machen wir haben auf unsern Vektorraum Merkmal des Relation die zerlegt und den Raum jetzt Äquivalenzklassen und da haben sie jeweils für jeden Vektor die Menge aller zu diesem äquivalenten und die Frage ist natürlich die sich aufdrängt also wenn man sozusagen wenn man mal akzeptiert hat sich mit dieser komischen Eck vollends Relation beschäftigen zu wollen ist die Frage die sich aufdrängt wie sehen die Sequenz Klassen es aus und was sind die geometrisch also stellen sich immer vor R 2 mit einem eindimensional und auch wie sehen die SEC war längst lassen jetzt geometrisch aus und das gucken wollen setzen der nächsten Bemerkung
an also 1. Teil der Bemerkungen was ist bitte schön Frau Schlange wir einfach aus Frau wie sieht es aus also überlegen wo und wann gehört ein W für den Frau Pfau Schlange dazu wir wir wollen wissen wie Sie das vorschlagen aus also welche Wege einer dazu nach Definition M Wesen Frau Schlange genau dann wenn sie in Relation zu Frau steht so muss das definiert was heißt dass wichtige Relation zu Frau das heißt dass die Differenz von dir und Faun Uli liegt nur so wobei die Quelle Relation definieren das heißt wenn -minus v den das heißt es gibt irgendeine deckte für das wenn man es Frau gleich und und das durch diese Vektor 1 ich rechnen kann dann natürlich die Gleichung also was heißt dass das heißt es gibt so dass sie das W schreiben können Frau +plus ich habe das Feuer auf die andere Seite wo also wie sieht wie sehen alle die Elemente aus den Infos lange liegen sie kriegen alle wegen dem Schlange in dem sie sich Elemente hinnehmen und die auf das V drauf fertig für jedes Element aus können Sie aus Fort außerdem kriegen sie irgendwie das vor Schlangen und das heißt es Schlange hat folgende Form also eine Schande dass man so wie ist wo drin in welcher Menge ist in der Menge die sie kriegen wenn sie auf das V alle Elemente aus drauf eingehen und sie kriegen ja die sind genau die die Sie kriegen wenn sind sich ohnehin und das drauf eingehen und wir diese Menge schreibt man auch und das ist mir so ne Sonne gewöhnungsbedürftige Kurzschreibweise V +plus groß und das ist erst mal sinnlos weil Vektor +plus Menge was soll das sein Abitur +plus Menge kann man nicht addieren teilt Mismatch aber aber gemeint ist genau das was der längst davon steht weckte +plus Menge soll heißen wenn sie den Vektoren addieren Sie einzeln jeden deckt aus der Menge drauf und was rauskommt ist Menge zur und was ist das geometrisch was kriegen Sie wenn Sie sich nun unter Vektorraum nehmen und dazu noch eine Frau addieren Sie kriegen verschoben und dabei um diese Menge die gestellt verschobene unterlegt daran und das das ist genau das was bei dieser
Äquivalenzrelation rauskommt also dieses Frau Schlange das ist das V +plus ist der Umfahrung verschobene unterlegte also man muss das mal für das Beispiel der sich glatt die ganze Zeit genannt hab hin also das
Beispiel ist in dem sich den er 2 oder 2 nehmen sich Raumes ist und auch in der 2. gibt die beiden banal fehlen die 0 Ratten 0 Raum der nur die 0 enthält in den ganzen R 2 immer mein interessanten Fall also ein eindimensional und der Raum und die eine Mensa oder Räume sind genau die Ursprungs geraten also man so eine hier rein das sei unser also offensichtlich nie gerade bitte 1. Zeichen Ungenauigkeiten so wenn ich jetz werden Vektor v hat immer 2 was ist dann V Schlange vorschlagen SV +plus der und Frau verschobene Unterraum das heißt zu forsch lange gehören alle die Vektoren die auf Mehr diese zu parallele Geraden zeigen mehr alle dass es Frau Schlange auch nicht also dazu gehört zum Beispiel dieser Vektor hier der gehört zu vorschlagen wir zuvor Schlange weil auch auf der Geraden liegt und wir schauen sich an was die Differenz dieser beiden Vektoren ist Differenz der beiden Vektoren ist die G 9 so er wenn sind anderen Sektoren neben der nicht auf der Geraden geht die Gemeinde noch von X drin anderes wenn sind anderes andere Äquivalenzklasse wir dass wir zum Beispiel jetzt in kleinen Klassen von den X das x +plus vor zur eine Äquivalenzklasse sieht man am Bild und das kann man sich auch die kann man sich auch immer leicht ausrechnen was ist die Quelle S-Klasse von 0 Vektor weg weil es da so von 0 weg da es der um nun verschoben und der Rektoren oder anders gesagt 10 alle die Frauen V für das V -minus 0 nun liegt wir also die eine die Frau so dass Frauen liegt ist einfach also die 2. Klasse der 0 ist immer der Vektor darunter Vektorraum nachdem sie faktorisieren und das sollte wieder so bisschen zu sehen zu der Interpretation zurück wenn ich am Anfang gegeben hat faktorisieren bedeutet immer es gibt Leidenschaft die sie interessiert es gibt der Eigenschaft die sie nicht interessiert und sie schmeißen die Information die Sie mich interessiert weg und in dem Fall interessiert uns nicht was in in Richtung passiert uns interessiert was passiert also wird das was in Richtung das interessiert uns nicht und deswegen faktorisieren wenn auch und auf die Weise wird alles was in Richtung passiert zu 0 reduziert das ist die Idee dahinter was sie sehen würde sie kriegen jetzt aus der Quelle unserer zu wenn sie von einem Element wissen welchen Quellen Classes liegt wenn Sie die Information raus und Ideen müssen Sie das verschieben dass sie den Vektor dabei Inhalt Mehr also sie kriegen die Informationen die sozusagen in die andere Richtung geht die ich gerade so so rechnen wir es mal für alle
die die konkretes Zahlenbeispiel mal sehen würden gibt's das Beispiel 3 3 also Prinzip genau das Ding von gerade eben also wenn dem Frau gleich A 2 und mal die Winkelhalbierende also das Erzeugnis des Vektors 1 1 was ist das das ist die Menge aller Apps Lander meine Vektor 1 1 Lande aus an also alle Sektoren die auf der in der Agenten vom 1. Quadranten und .punkt 3. Quadranten liegen so was ist jetzt die zum Beispiel die Äquivalenzklasse vom Sektor 1 0 für den S-Klasse bewegte 1 0 es jetzt den 1 0 verschobene R der Mainz 0 verschobene und der Vektorraum also die Menge 1 0 +plus mal 1 1 Mehr nein aber und in anderen
Sektoren immer noch dem Wetter 2 1 was hat der verlegt werden es klasse das ist eben der am 2 1 verschobene unter Vektorraum und wenn sich die beiden Geraden hier anguckt dann stellt man fest denn die sehen verschieden aus sind es aber nicht setzen Sie hier oben mal gleich Lander -minus 1 dann kriegen Sie The Land ist mit plus 1 dann kriegen Sie hier mir mal Victor 1 1 und noch einmal 1 1 da vorne dazu es gibt 2 1 mit aus aber und stellen sie fest dass es einfach das ist auch kein Wunder bei was ist mit den Vektoren 1 0 und 2 1 was ist die Differenz davon die Differenz davon genau 1 1 fällt die Differenz von 9 bis -minus 1 -minus einzugehen Differenz von 2 1 1 1 0 1 1 1 das heißt 2 1 1 1 1 Differenz von 2 1 1 0 liegt Dinu und damit sind die beiden äquivalent bezüglich der Könnens Relation damals die gleiche können es gibt wird also das dass die beiden gleich sein müssen sieht man auch wenn man über die Äquivalenzrelation argumentiert es ist eben 2 1 -minus 1 0 genau der Vektor 1 1 und der ist in und dann mit müssen sind die Vektoren 2 1 und 1 0 eine äquivalent müssen der sehen man kann jetzt mehr gut ist im Kopf zu haben dass diese Äquivalenzklassen solche verschobenen unter Vektoren sind also der die Verschiebung des und Vektorraumes nachdem sie faktorisieren zum das ist ein guter Moment um ein kurzes Preuschen einzulegen und dann sich weiter um diese mehr mit diesen wir können's Klassen zu beschäftigen und dann ein so
und Schwertern gerne 2. Hälfte einsteigen und weil ich ja gerade schon in Nachfrage hatte die eine Verwirrung an einer Stelle aufgelegt hat ich das gern noch mal für alle sagen ja der Freundes welche gezeigt mit dem wie man sich 7. Äquivalenzklassen vorstellen muss und es kam die Frage auf wieso ist denn das wie soll es denn die die er grenzt also von der 0 immer das und wie bestimmt man das das bestimmen Sie gar nicht so es ihn gegeben also bei dieser ganzen Aktion haben Sie 2 gegebene Größen des der Vektorraum V und den unter Vektorraum bei der es es von außen bestimmt sie brauchen das schon um die Ecke Quelle Relation am Anfang zu definieren die Talents Relation war Frauenwesen wegfallen zum anderen ihre Differenzen liegt wenn sie und ich kennen oft das nix das ist ist mir gegebene der Größe und in dem Moment wo Sie das haben können Sie der Qual Relation definieren können Sie die weg weil es Klassen definieren und sie kriegen diese parallelen Geraden zu anderes und Sie sehen ihre Quelle ist das natürlich völlig anders aus wenn Sie so gut sind weckte darunter Vektorraum neben der von links oben nach rechts unten geht wenn kriegen Sie als Frau als er weg lässt lassen hat lauter zu diesen unter Vektorraum parallel liegende gerade wie kann es Klassen sind immer der Grenze von Frau ist immer der OMV verschobene unter Witterung ende Unterwelt darum anders aussieht sich natürlich auch vorschlagen anders aus so und jetzt habe kommt die
vollen versprochene Magie bis jetzt haben wir unseren Vektorraum einfach nach der Quelle Installation in die Faktor Menge aufgeteilt das heißt wir haben wir haben gesagt und Raum können wir sehen das ist auch irgendwie nach wir unsern Raum können wir sehen als dieser 2 als unendlich viele parallele Geraden die sich allen sie wenn sie alle die Sie gerade das zusammen mit dem er 2 Männer aber das ist was rein Mengenlehre dieses werden große Menge A 2 exzellente den in unendlich viele kleinere Mengen und was jetzt kommt es diese geraten sind nicht einfach nur geraten sondern Sie können mit diesen Grade rechnen sie können 2 Geraden agieren diese Geraden ist das zurückgeblieben selbst wie denen Vektorraum also die Menge dieser gerade die Menge der kredenzt lassen ist wieder selbst ein Vektorraum und das ist der Satz 3 4 und dem muss man ein bisschen sagen lassen der sagt jetzt folgendes also wären die die gleiche Konstellation wie die ganze Zeit Sie einen K Vektorraum V stellen sich den er 2 vor sehr unter Vektorraum von VDR sehen gegeben also in dem Fall wie was gerade hatten Designlinien und wir definieren wenn Sie das gegeben haben die Äquivalenzrelation Schlange wie oben so Amber geradegemacht wenn Sie die Quelle Installation haben können Sie die Faktor Menge anschauen also das hatten am Anfang bei den Faktor man mal so geschrieben Frau faktorisieren nach dieser Äquivalenzrelation das ist einfach die Menge aller Äquivalenzklassen die sie kriegen also dass alle diese geraten war unendlich viele aufeinander liegen die gerade in alle Richtungen und das schreibt man in dem Zusammenhang auch als Frau faktorisiert nach also Frauen Hosen gegeben und dieses Schreibweise V faktorisiert nach oft auch nachlässig einfach Frauen nach genannt das ist jetzt erst mal ne Menge von Rest Klassen also das ist die Menge dieser geraten von ich die nie jetzt auf der Menge der Geraden 2 Verknüpfungen und damit glaubt ich mir das dem Vektorraum also wir definieren jetzt 2 Verknüpfung mit dem wir diese gerade diese Rest lassen addieren also Sie haben 2 Elemente aus auch nach Frau Schlange +plus will Schlange wenn man sind Prinzip mit der gleichen frechen Methodik über modulo rechnen wir sagen die Summe von den beiden soll so gebildet werden sie nehmen sich das V also ein Repräsentantenhaus Frau Schlange und sie nehmen sich das Version Repräsentanten aus wie Schlange die können Sie NVA dir was das ist wissen Sie ja sitzen Vektor Frauenwettbewerbe können Sie die agiert es haben sie den Vektoren Frauen und von denen sie die erst das Ei und genau so aussieht als Gala Multiplikation wenn sie sind der 1. Klasse aus Frau nach haben und wollen die im skalaren multiplizieren wenn man sieht dass Frauen multiplizieren Skala in Vektorraum V oder wissen Sie wie es geht und nehmen dann die Reste aus und das für V und W in Frau und verhalf fallen kann und die Behauptung von den Satz ist wenn Sie das tun konnte beim K Vektorraum raus also zu dem Bild von vollen zurückkehren können dann bedeutet das war es also wir
haben unsern R 2 wir unseren bei der geht durch im Ursprung jede was das alle neuen Versuch und das können wir das recyceln Sport werden wir da als kommen zwar dass der 2
unumwunden diesmal auch dem Ursprung des da dass das nach vollen gesehen wenn Sie jetzt den Vektor v nehmen den kriegen sie das Haus Schlange als diese gerade hier man aber voll ein 2. Vektor x es gibt die gerade hier so war jetzt V Schlange plus X Schlange nach gerade gebrachte Definitionen sie nehmen Frauen die X addieren V und XIV oder wissen Sie was rauskommt wenn Vektoren addiert kommt der Vektor v plus raus können und der 1. Klasse ist der um Frau plus x verschoben unter Vektorraum also das Ding hier das ist jetzt Frau plus X Schlange und das ist nach Definition vorschlagen plus X statt also diese unsere gerade plus die 2. gerade geht die 3. gefragt und Energie bei der Sache ist dass das tatsächlich richtig definiert ist das nicht wenn irgendjemand anders her nimmt er kommt und sagt ich nehm jetzt aber nicht meinen dieses diese Echallens lasse Frau Schlange das ist ne Quelle S-Klasse von ganz vielen verschiedenen Repräsentanten und im Gegensatz zu Modulo Rechnungen können Sie jetzt nicht mehr sagen es gibt irgendwie einen natürlichen Repräsentanten wenn sie Mutlu 7 rechnen dann ist es in wo natürlich 22 Schlangen zu schreiben damit man statt 22 1 1 lange schreiben es gibt beides gibt die natürlichen Repräsentanten wenn sie solo 7 rechnen dann schreiben Sie 0 1 2 3 4 5 6 Schlangen und alle andern rechnen sie um die gibt es jetzt keine natürlichen Repräsentanten Mehr es geht nicht mehr den kleinsten oder den schönsten oder den grünsten oder den würden was dem sondern dieses Frau Schlange hat halt man Elemente und welche davon da gibt es keine natürlichen Kandidaten das heißt was wir sicherstellen müssen ist dass wir irgendwann an dass ich jetzt nicht dieses Frauen dieses X nennt sondern zum Beispiel diesen Vektor aus dem fast Schlange und diesen weckt das demnächst Schlange und die beiden addiert dann muss da bitte schön die gleiche gerade rauskommen und das ist das was passiert tatsächlich wenn sich hier das Parallelogramm machen dann kam tatsächlich weckte raus der auch wieder auf der Geraden endet und des Sinai die dabei ja dass diese tief diese Definition tatsächlich funktioniert so beweisen du Satz gleich Ersatz selber steht auch Folie sind dabei wenn der VM er sei und in den Projektor an hinter den aber es denn die Verknüpfung nochmal drauf ich will bevor ich den Satz Beweis den den 1. Namen nehmen also Definition 3 5 der angesehenen sie Vektorraum haben Frauen unter Vektorraum dann können sie immer diese Menge V nach oben hin indem sie sich die 1. Klassen von Frau modulo dieser etwa Lenz Relation die durch gegeben ist nehmen und der Satz gerade eben den Willen den bewiesen haben zeigt da
ist der diese Menge nicht nur eine Menge ist die Menge exellent Klassen sollen auch algebraische Struktur hat und mit diesen beiden Verknüpfungen wieder ein Vektorraum ist und diesen Vektorraum nennt man fragte Raum oder werden sie auch mal sehen irgendwo in der Literatur oder sonst wer kann das Wort auch oft vor Quotienten waren hat aber nicht wirklich viel mit mitteilen zu tun heißt Quotienten Raum und von Frau nach unten und wie gerade schon gesagt dieses Symbol V nach wo liest man Frau faktorisiert nach oben unter wenn ich ehrlich bin lässt man das faktorisieren meist weg also im normalen Sprachgebrauch heißt einfach Frau nach oben zur Beweis von 3 4 was müssen wir machen wir müssen nachweisen diese Menge der Äquivalenzklassen die Menge dieser Geraden bitte einige der Verknüpfung bildeten Vektorraum das heißt sie müssen die ganzen Vektorraum Axiome durch Echsen und bevor wir damit anfangen das ist hier das eigentlich Wichtigste und darauf will ich mich auch hauptsächlich beschränken ist wir müssen die vorhin angesprochenen Magie nachweisen wenn ich dass die Verknüpfung tatsächlich Sinn machen also das 1. ist die Verknüpfung sind wohl definiert die hängt nicht davon ab welchen Repräsentanten sie sich aus der 1. Klasse hernehmen um die um die so Mehr oder den 2 Druck zu bilden also ich machs mal für +plus zu was müssen wir zeigen
wir nehmen uns 2 Rest Klassen HR-V Schlange und Seeschlange Schlange seien 2 Elemente des Faktor Raums Zweig weil es Klassen 2 Geraden im Bild oben und na dann ist Frauen Repräsentant von vorgeschlagene Unwesen Repräsentant von der Schlange 9 jetzt wenn Sie jetzt Frau Schlange +plus bislang ausrechnen wollen dann müssen sie Frauen agieren und ihr Nachbar hat aber keine Lust Frauen nehmen so nennt sich 2 andere also nennt sich noch eine Frau 0 aus Frau Schlange unten wei0 aus Schlange raus addiert Frauen und W 0 und völlig andere was völlig anderes raus und bildet dann die 1. Klasse und was wir zeigen müssen ist das das egal ist also ob sie jetzt V +plus sowie nehmen und dann die 1. Klasse bilden das muss das gleiche sein wie Frau 0 +plus wie 0 und davon die Rest Kids muss egal sein welches welches Element sie sich aus dem Fall er der Äquivalenzklasse rausnehmen um diese Addition auszuführen also warum uns ans Werk kann O ist aus Schlange vor ist aus Frau Schlange die beiden sind dergleichen Äquivalenzklasse also muss Frau zuvor 0 äquivalent sein und das Gleiche gilt für W also will muss zusehen und Erkelenz liegt einfach daran wer also beide sind sehr weg weil es klar sein das bedeutet genau hinzusehen sondern der Quelle so was bedeutet das wenn Frau zuvor Schlange äquivalentes und viel zu werden Frau zu Frau 0 äquivalentes sowie zu
wenn Oleg übernimmt ist nach Definition der Kölner Installation bedeutet das dass Frau -minus V 0 den liegt und das wäre -minus wenn nur den liegt ja an es kommt wieder ähnlich wie vorhin das Argument unter Vektorraum also wenn dass V-Männer Frauen und das will -minus wie 0 enthält dann enthält auch die Summe von den beiden also enthält fahrendes fahren will +plus -minus W 0 können sortieren das ist das selbe wie Frau +plus W -minus Frauen 0 +plus will was bedeutet das es haben Sie hier einen Vektor -minus einen anderen Sektor liegt den und das bedeute diese beiden Vektoren den Differenzen liegt sind sondern der äquivalent also das bedeutet V +plus W ist äquivalent zu V 0 +plus Wendung das ist doch schon mal nicht schlecht dabei männlichen was haben Sie damit aber wir haben bei den Vorschlag E-Plus wie Schlange definiert das habe gesagt sieht er addieren 2 von diesen gerade so billig Valenz Klassen dem sie die Repräsentanten hernehmen die addieren dann die Rest lassen will die 1. sehr von farblose W es aber die 1. Klasse von V 0 +plus w 0 weil die beiden in der der Kinder Lenzen also das und das ist damit das gleiche wie die S-Klasse von V 0 +plus die Klasse von Venue was sie sehen tatsächlich egal welchen Repräsentanten sie sich raus Fusseln bei der Summe kommt wie das gleiche raus zeigen Sie für mal machen sie neben sich in Alfa Kana her ja 1. Klasse aus Frauen auch und die dann an Repräsentanten aus dem Vorschlage und da man sie gerade eben sie wissen v und V 0 10 aus derselben Äquivalenzklasse also ich fahr Minus von 0 Minuten ist und der Vektorraum heise haben sie nicht nur das V -minus Frauen ist sondern auch als mal Frau -minus Frau Lulu als
denn es VU 0 ist ein Verfahren das Eilverfahren 0 und das bedeutet zensieren Differenz von 2 Vektoren die lebt das Alfalfa aus Schlange gleich einfach von 0 Schlange ist damit haben Sie wie oben einfach mal das Frauen dass es die neu definierte Verknüpfungen die führen sie aus indem sie einfach mal Frau Frau multiplizieren und dann die West schlank Kreisklasse bilden aber die 1. von Alfa mal V ist die gleiche wie die von Alfama V 0 und das ist einfach mal die Festplatte vertrauen kriegen tatsächlich Repräsentanten Unabhängigkeit raus und damit ist das der Fall Wulff definierte vernünftige verknüpft das ist und das ist tatsächlich was das einzige also dass der einzig schwierige halt von diesen Nachweis dass das ein Vektorraum ist das einfach erstmal das vernünftig definiert ist und den wenn sie das haben dann ist es relativ leicht nachzuweisen dass das tatsächliche Vektorraum ist ich mehr denn nur das müssen Sie die 9 Axiome nach X also V 1 bis V 5 wobei vor 1 wieder in ein paar Teile zerfällt n ich zeige Ihnen so ein paar Sachen also einfach als Beispiel die Commuter tivität der arabischen der der badischen Gruppe er +plus Verknüpfung das müssen wir machen sie nehmen sich 2 Elemente von ihrem Vektorraum Kandidaten hier und müssen zeigen wenn sie die addieren dann ist das kommutativ oder sehen Sie was passiert weil nein das müssen sie zeigen müssen vorschlagen +plus bislang schlangengleich gleich wie Schlangen +plus Blockhaus Schlange zeigen die Verknüpfungen unsern Frau nach haben beide definiert dem wir sie auf die Verknüpfungen V zurück gespielt haben und die Verknüpfungen V erfüllt alle Axiome weil das Vektor und sie ziehen sie sich einfach jetzt sehen Sie sich die Eigenschaften immer von Frau hoch also was ist vorschlagen würde ich lange nach Definition für die in die 2. Klasse in dem sich die weißen Repräsentanten nehmen den addieren und dann die 1. Klasse bilden im Grad gezeigt dass man sehen weil sie können sich egal welche Repräsentanten nehmen uns stimmt immer jetzt wissen wir in gilt kommutativ hält das heißt das ist +plus vorschlagen es ist die
Commuter tivitäten V Bayern bislang +plus Schlange ist nach Definition widerwillig Schlange das Verfahren ja also gibt es fast mehr ich schlage +plus vor gestützter und so geht das mit den ganzen Rechenregeln also mit dem Distributivgesetz und mit dem Assoziativgesetz immer alles unter einem große Schlange untendrunter das Gesetz aus Frau verwenden dann wieder alles also meine Freak wir noch kurz was zu neutral zum inversen Elements sagen was ist das neutrale Element bei dieser Addition also beim SV Schlange +plus irgendwas Schlange wieder Frau schlagen na dann werden in dem irgendwas schlage die 0 als Repräsentant drin ist weil dann dürfen sehen wenn Sie die 0 haben dann dürfen V Schlange +plus irgendwas Schlange gleich V +plus 0 Schlange rechnen man dann vorschlagen was was ist die 1. Klasse der 0 denn durch langes ist das also das neutrale Element ist die 0 Schlange Na das was ist das inverse damit das alles Sinn macht was ist das additiv inverse zu Frau Schlange das ist ganz intuitiv sie nehmen dass Frauen bilden dazu das inversen in V und davon die Rehsteaks wenn Sie jetzt die beiden da agieren also Frau Schlange plus -minus vorschlagen dürfen Sie es Repräsentanten insbesondere Frauen -minus vornehmen dann kriegen Sie vorschlagen plus -minus vorschlage ist vom des V Schlages 0 schlage ist das neutrale Mehr zur vielleicht noch ein noch ein Axiom was
Fingerübungen und Autos vor 4 was war das vor 4 das war Distributivgesetz sie 2 Skalare haben und einen Vektor also Alphabet Oskar und einen Vektor v Schlange aus Frauen noch gut und dann war das V 4 dass wenn sie 2 Skalare addieren und das mit dem Vektor multiplizieren das rauskommt was man erwartet also einfach mal Frau Schlange +plus später mal vor Schlangen wie machen Sie das wie vorhin schon gesagt Sie spielen alles noch Frau zurück was ist Ghana war einer der 1. Klassen das war definiert als man sie sich jede Repräsentanten von dem vorschlagen in dem Fall immer mal vor multiplizieren diese Repräsentanten in V mit dem Skalar und bilden dann der Rest jetzt wissen Sie das Axiom V 4 geht in Faro also das ist die Definition von der Skala Multiplikation auf vor nach jetzt werden sie V 4 in Frau an man Frau geht das bei Preisen weg waren ein kriegen Sie dass es einfach mal V +plus später mal Frau große schlanke drüber dann werden Sie die Definition von bloß in unseren V nach dann kriegen Sie das einfach vorgeschlagene +plus später Frau schlagen und dann werden sie noch die Definition von mal das ist praktisch das Gewehr gleich noch machen uns wegen des es einfach mal Faustschlage Flussbett dabei fast das ist das was zu zeigen und so kriegen sie die ganze ein Axiome auch also Fingerübung für Sie in dem sich das vor 2 vor 3 vor 5 her und regen sie das nachts alles nicht komplizierter als es vor vielen zur damit haben war immer Selektor Mammon unterlegte Raum können nachdem faktorisieren kriegen und Sie kriegen wieder Vektorraum raus wenn Sie da ein bisschen drüber meditieren wollen oder was zum diskutieren wenn man so haben wollen dann reden Sie sich doch mal die Köpfe über die Frage heißt was passiert wenn sie die trivial unter Vektorräumen nehmen also wenn Vektorraum V haben faktorisieren nach dem 0 Raum oder sie war das andere extrem in dem Vektorraum Frauen faktorisieren in das sie selbst wenn aber der ganze Raum sind im Unterdeck Vektorräumen zugelassen also wenn's mal drüber nach was kommt Kontorhaus zur was ich Ihnen jetzt noch zeigen will ist ein schönen Zusammenhang zwischen Frau und U und V Nahrung zumindest endlich dimensional oder meinen ja wenn man von Frau nach zuvor noch übergeht dann ist die Idee wie gesagt wir vergessen alle Information den steckt so interessiert uns nicht wirklich sondern wir faktorisieren draußen vergessen Formation der drinsteckt und gucken uns war das bisher den andern Richtung und das bedeutet irgendwie anschaulich sollte bei dieser Aktion V nach faktorisieren sollten Dimensionen verlorengehen wenn Sie das Beet mit den gerade vorhin denken wenn sie es immer 2 gestartet haben eine immense und direkt darauf aus sagte sie dem was rauskam war diese geraten Schaar diese geraten Shah ist irgendwie wenn Sie sich die ankucken von der Natur her was eindimensionales für dann brauchen Sie einen Parameter den sagte bei draußen sind es ist eindimensional ist das heißt wenn sie den 2. wenn sie dann auch noch was eindimensionalen faktorisieren Kompass eindimensionales raus wenn man sich das anguckt fällt einem auf dass 2 zufällig 1 plus 1 ist ist das Zufall oder ist das so und nicht sehr dass ich ihm zeigen will ist das ist kein Zufall sondern das ist allgemein so also wenn sie einen n-dimensionalen K Vektorraum haben und sie faktorisieren nach unter Vektorraum oh der eindimensional ist als in unserem
Beispiel folgen war N 2 und N 1 dann kriegen Sie den Faktor Raum rauszufahren faktorisiert nach bis es wieder Vektorraum das heißt es ist durchaus Sinn nicht sich zu fragen was hat er für die Dimension und die Antwort ist es passiert genau das was wir vorhin auch halten sie kriegen wir es Dimension raus die sie nicht weg fragte geführt hat also Dimension wir diesen Faktor Raum is en -minus M warum ist das so also ich der Satz steht in ganz kurzer Formulierung und ohne dass das das da perfekt alles erklärt ist noch mal hier auf dem Folie wenn die Dimension von vns und die Dimension von dann ist die Dimension von Faktoren die Differenz so wir daran wenn sie die Dimensionen von dem Vektorraum bestimmen sollen von dem man nicht so genau weiß wie der funktioniert wie ist die Dimension definiert Dimension S definiert darüber dass wir gezeigt haben das jedem Basis einen Vektorraum gleich viele Elemente hat diese Anzahl der wir die Dimension das heißt wenn sie die Dimension bestimmen wollen brauchen sie die Basis weil sie müssen die Dimension zu bestimmende Basis aus denn sie müssen gucken wie will man die Basis hat ohne Basis werden so schwierig ok man als Basis hier da hilft uns der der kraftvolle sah zum letzten Mal nämlich der Basissatz der sagt es geht auf jeden Fall eine dann so sehr klingen aber es gibt eine und jetzt würden Sie sagen so Umsatzes doch komplett nutzlos wenn der mir sagte es gibt einer ich weiß nicht wie sie produzieren kann man so Sätze zur reine Existenz Sätze sind häufig an sehr sehr hilfreich und auch häufig das einzige was geht also also wenn das Ding kompliziert ist oder Sie abstrakt gegeben werden sie auch nicht viel mehr haben als es gibt ein aber es gibt ein hilft schon also was sagt der Basissatz der sagt uns es gibt eine Basis also unser hatten übersetzt und diese Basis wissen wir weil das so n dimensional es muss Elemente haben also B 1 bis B E so jetzt hatte dieser Basis als 2 Teile dieser 1. Teil war jeder wird aber die Basis aber fast mindestens genauso wichtig oder noch wichtiger ist der 2. Teil der Basis Ergänzung Satz den sagt wenn Sie linear unabhängige Teilmenge von dem Vektorraum haben den Service weil zu klein ist der nur für 2 Legionen wenig aber es nicht gemocht damit sie alles bauen kann dann können Sie die National was ergänzen also gerne man per Vektor der zunehmend und kriegen dann eine Basis von ganzen Raum raus und das machen wir jetzt diese Menge B von Vektoren in die länger unabhängig weisen Basis und Union erdenklichen V und dementsprechend können Sie diese Basis B ergänzen zur Basis Bis-Strich von Frau das heißt diese Basis gestrichen hält erstmal die Elemente B 1 bis B M von oben wir das ist sind die Elemente aus U 10 als Elemente aus und dann noch weitere Elemente B +plus 1 bis beenden die wiederzukommen wenn und was ich jetzt behaupte ist diese Elemente
M +plus 1 bis B 1 die zeigen Ihnen auch wie Sie zu der Basis von ihrem Faktoren kommen also ich behaupte die Menge Schlange die enthält die S-Klasse von WM +plus 1 n +plus 2 1. Klasse riss Perez Klasse von PIN ich behaupte das ist eine Basis von V nach das faktorisieren vergisst alles was 7 Uhr stattfindet das heißt das faktorisieren vergisst alles was B 1 bis B in tut und WM +plus 1 bis B 1 übrig und das ist meine Behauptung das will ich Ihnen zeigen und ich in das gezeigt hat das das eine Basis ist im Sommer fertig werden will Elemente hat diese Menge diese Momente hat er -minus M Elemente und damit ist die Dimension in das also wenn ich ihn zeigen kann dass es eine Basis denn sie mal fertig also was müssen wir tun um in sein dessen Basis des ist müssen 2 Dinge nachweisen wir müssen nachweisen dass die männlichen unabhängig ist und wir müssen nachweisen dass sie den ganzen Raum erzeugt ich will diesmal mit dem 2. anfangen also damit dass das den ganzen Raum erzeugt das ist die Eigenschaft B 2 also dass wir zeigen müssen es wenn Sie das Erzeugnis diese Basis dieser Schlangen Basis dass es jetzt mehr Zeugnis den Frauen auch das bislang 1. teilnehmen und Frau noch das zeigen soll der ganze Raum wie weiß man dass nach wir gleich Ansatz man inzwischen Element von dem Raum Mehr also jetzt man von Frauen auch und zeigt dass man das Ding ja kombinieren kann aus dem was er tut also nehmen sich irgendein indem man vorschlagen hier aus dem V nach und müssen jetzt irgendwie nachweisen dass dieses V schlagen sich kombinieren lässt das den ja Kombination aus den Vektoren bislang mehr also aus PM +plus 1 lange WM +plus 2 Schlangen und so weiter bis PN schlagen je so wie machen wir das was da steht soll nicht heißen sein 0 aus von nach das verstehen soll dass stehen soll ist Frau Schlange was vor nach Sarg eisernen V Schlange und müssen das kombinieren wir wissen erst in oder Honig 4 das Business in V also nehmen wir uns doch mal Repräsentanten von dem vorschlagen her naheliegenderweise dass Frauen und was wir wissen ist dass Frau ist in dem man von Frau das heißt dieses V können wir darstellen der Basis bestrich nun also
Herbst also -minus ist die
Basis von Frau also können Sie das Frau darstellen mit Skandalen Alfa 1 Alfa 2 bis Alfa Ehen so dass sie das V schreiben können als Summe J gleich 1 bis n ein Fall J wie Jagd kann das Signal weiter an das Bis-Strich mit Basis von Frau so und dann schauen wir uns doch mal an was das für Frau bedeutet was ist dann vorschlagen will er den 1. Schritt kann neue hinschreiben was lange ist denn die Summe als verjährt von Jork bis 1 gesehen Alfa J J große Schlangen 3. es ist einfach nur Ersetzung was lange durch diese Sonderstellung wir müssen uns überlegen was bedeutet das wie war die definiert wie dieser das addieren den Frauen auch definiert in dem man wenn man 2 Merkmale er dir 2 Vektoren in den man jeweils man was man in der 2. Klasse niemals die weist Repräsentanten dem 1. sogar von bildet und die große Schlange drüber schreibt das heißt diese große Schlangen Mehr können am Plus-Zeichen auftrennen und kriegen das ist die Summe J gleich 1 bis n J Bj die Definition von +plus vor nach und mit dem Summenzeichen ließ sie treibe sich ein Pünktchen dann sieht man es dann was ist ein J Bj Schlangen drüber nach der Definition von das skalare Multiplikation ist das Eifer J mal die 1. Klasse von Beat das ist Definition von mal im Faktor so jetzt wissen wir aber B 1 bis B n die 1. Basis Vektoren von unserer Bis-Strich Basis diesen allen ne so hat wir die Bis-Strich Basis gerade gewählt werden was von gewählt und ein sonderbares von Frau ergänzt die 1. Basis Vektoren liegen das heißt wenn sich der 1. Klassen angucken wie ein Schlange wie 2 Schlangenbiss PM Schlange wenn sind die alle müssen Elemente von oben nach faktorisieren für die 1 0 war weil einen liegen alle Urelemente haben die gleiche fest lassen die 0 und damit sind die alle 0 das heißt was wenn sich diese Summe mit dem Vorschlag da oben nochmal angucken und sie dann die Summe von 1 bis entstehen aber die 1. meinten 10 überhaupt nicht da oder sind 0 das heißt eigentlich eine Summe von n +plus 1 bis n es J Beat schlanker werden und das heißt genau das Frau Schlange ist in
der in Jahren würde der Vektoren WM +plus 1 ich bn Schlangen na ja und das war genau die Basis beschlagen oder unsere Kandidat vorüber ist geschlagen also derzeit nicht lange ihnen also können bislang Frau Comi Tausch lange kombinieren Vorschlag über beliebig es erzeugt die Schlange den ganzen Bau das war wie wir 2 jetzt kommt B 1 wir müssen noch nachweisen die WM +plus 1 Schlangenbiss PN schlagen sind mir unabhängig also diese Menge bislang ist in die unabhängig auch das Spiel natürlich auf die mir Unabhängigkeit in V zurück aber das an der Stelle jetzt erstmal nicht selbstverständlich was müssen wir tun wir müssen zeigen wenn wir aus diesen in dem es Vektoren in Schlange 0 kombinieren können da nur trivial also wenn der Alfa im +plus 1 es alle Faeden aus dem Skala Abgabe hernehmen so dass die ja Kombination den nur virtuell gibt also wir addieren für J von MB +plus 1 bis n J wir und Schlange das soll nur Schlange sein wenn das passiert müssen es nachweisen alle Alfa Lucent 0 also was haben Sie sie 0 Schlange =ist gleich diese Summe also
+plus 1 bis in alle J Bj Schlange die gleiche Rechnung wie oben wenn Sie mit dem Galan multiplizieren machen Sie das indem Sie das mit dem ich auch multiplizieren die große Schlange drüber schreiben wenn Sie addieren machen Sie das indem Sie die Einzelgänger addieren und dann die große Schlange drüber schreiben also was hier steht ist die Summe von n +plus 1 bis n Fall Ort große Schlange drüber so was bedeutet das jetzt haben sie die Gleichheit von 2 Äquivalenzklassen der weil S-Klasse dieser großen Summe rechts ist dieselbe wie die Königsklasse von 0 0 die wird wenn es also von 0 bis das heißt diese große Summe ja liegt den ja das mit dem so war jetzt aber B e i s p das war die Menge der 1. Basis Vektoren von unserem -minus ist mir Basis von und waren also kriegen Sie jetzt zahlen Alfa 1 bis Alfa M das skalare Alfa 1 bis 1 für emen K so dass sie dieses Element hier dieses Element also die Summe von M +plus 1 bis n alle die J schreiben können als eine Summe von 1 bis n Helfer J Ort war also sie aber mit den o wenn die Basis von dann können Sie die Seele wenn meisten ja kommerzieller Basis Schreibens eine der fundamentalen Eigenschaften einer Basis so wenn Sie sich jetzt das genauer angucken was wir stehen haben dann wird man auf 1. Nummer nächste links und rechts das gleiche rechts war ich das Gleiche weil längst summieren sie von 1 +plus 1 bis n Recht zu werden sie von 1 bis n da steht nicht möchte morgens das Gleiche aber sie können das war so eine Seite bringen man das alles aber eine Seite bringt dann
steht da 0 ist das gleiche wie die Summe von M +plus 1 bis n Halver J Bj -minus die Summe von 1 bis alle voll J Bj es wird zwar das könne jetzt in ab Baumes in umsortieren das ist die Summe von 1 bis M -minus Alfa J mal BJ ich aber das -minus Minuszeichen in die sondern eigentlich reingestopft bloß eine Summe von M +plus 1 bis n Alfa J wert so und jetzt schauen Sie mal genauer an was da steht das Bild rechts linear Kombination der Vektoren B 1 bis B 1 bis B n bei jeder taucht ein Mann auf alle von 1 bis Ende der 1. Summe um die von +plus 1 bis in der 2. Summe das heißt das was Recht ist man ja Kombination der Rektoren der 1 bis man in diesem Jahr kommen ist 0 B 1 bis B 1 aber der Basis von Frau war B 1 bis B 1 wissen ja unabhängige Menge meine Basis also bedeutet das wenn sie so nur Vektor kombinieren sind alle diese Zahl 1 0 das heißt -minus A 1 ist das sehr viel -minus A 2 ist das selbe wie -minus A 3 ist es in viel -minus aber eben ist das selbe wie Alfa M +plus 1 1 1 +plus 2 und Alfa die sind nämlich alle nun insbesondere die 1. im interessieren uns gar nicht sind alle Alfa M +plus 1 bis als verenden gleich 0 und das ist genau das was wir zeigen müssen das war am Anfang die Koeffizienten und das war der Ansatz meine Seite zurück gehen werden angesetzt zum
im +plus 1 bis n alter J Bj Schlange ist 0 Schlange und dann jetzt rausgekriegt diese vor Faktoren müssen alle 0 sein und das ist in die Jahre Unabhängigkeit der BJ Schlange damit habe ich Ihnen gezeigt dass die Menge B 1 Schlange der +plus 1 Schlange bis in die
Schlange eine Basis ist
also Mainz stets immerhin zurück da in
Zeit diese Menge ist ne Basis werde ein Minus im Elemente damit dann jeder Basis er dass er mit dem Ende der nächste Dimension E -minus M und ich mir noch auf eine Sache hinweisen weil diese beweist sehr viel mehr tut als nur dieses diese diese simple Dimensions Formel ebenso zu beweisen das ist können wir zum einen aus den kriegen die Dimension Formfaktor Raum raus aber wenn Sie sich den Beweis angucken liefert den Beweis in eine konstruktive Methode wie sie der Basis das Faktor Raumes bestimmen können nur wenn sie NVA und der dann und sie so eine Basis von Frauen auch dann können sie es immer so machen wie ein Beweis also wenn sie ganz konkret das Problem an wenn sich der Basis von o Herr ergänzen Sie diese Basis von zu der Basis von Frau wenn sich die Elemente dieser die sie dazu nehmen mussten beim ergänzen ebenso von den die Schlangen die 1. Klassen und dieser 1. Klassen der Rektoren diese zum Ergänzen genommen haben die bilden zusammen die Basis Formfaktor als sie kriegen durch diese Konstruktion in einem Prozess des ihnen würdigt den Basis Formfaktor Raum anzugeben wenn sie eine Basis von U und V angeben kann natürlich nur das werden Sie auf nächste Übungsblatt auch mal zu üben kriegen ich mache 2. an der Stelle tatsächlich erfreulicherweise früher Schluss weil dergleichen neues Thema anfangen da mich für die Aufmerksamkeit und bis
Dimension n
Momentenproblem
Vektorrechnung
Betafunktion
Eindeutigkeit
Element <Mathematik>
Vektorraum
Vektor
Skalarfeld
Zahl
Summe
Faktorisierung
Gewichtete Summe
Vektorrechnung
Distributivgesetz
Familie <Mathematik>
Vektorraum
Vektor
Axiom
Vektorrechnung
Momentenproblem
Wellenfunktion
Abbildung <Physik>
Vektorraum
Vektor
Zahl
Unendliche Menge
Spezielle Funktion
Polynom
Menge
Homogenes Polynom
Stützpunkt <Mathematik>
Koordinaten
Funktion <Mathematik>
Faktorisierung
Folge <Mathematik>
Momentenproblem
Vektorrechnung
Exponent
Klasse <Mathematik>
Abbildung <Physik>
Vektorraum
Isomorphismus
Äquivalenzklasse
Vektor
Gradient
Richtung
Quadrat
Symmetrie
Stützpunkt <Mathematik>
Äquivalenzrelation
Raum <Mathematik>
Struktur <Mathematik>
Koordinaten
Funktion <Mathematik>
Quelle <Physik>
Summe
Faktorisierung
Punkt
Vektorrechnung
Menge
Rotation
Transitivität
Klasse <Mathematik>
Zerlegung <Mathematik>
Vektorraum
Äquivalenzrelation
Vektor
Skalarfeld
Vektorrechnung
Menge
Klasse <Mathematik>
Zerlegung <Mathematik>
Vektorraum
Gleichung
Schnitt <Mathematik>
Äquivalenzrelation
Äquivalenzklasse
Vektor
Ecke
Quelle <Physik>
Vektorrechnung
Klasse <Mathematik>
Vektorraum
Raum <Mathematik>
Äquivalenzklasse
Äquivalenzrelation
Vektor
Gerade
Unterraum
Richtung
Momentenproblem
Menge
Vektorrechnung
Klasse <Mathematik>
Vektorraum
Äquivalenzrelation
Äquivalenzklasse
Vektor
Gerade
Mathematische Größe
Faktorisierung
Zusammenhang <Mathematik>
Momentenproblem
Vektorrechnung
Klasse <Mathematik>
Gruppenoperation
Mengenlehre
Vektorraum
Äquivalenzklasse
Vektor
Richtung
Summe
Multiplikation
Menge
Äquivalenzrelation
Ecke
Gerade
Menge
Vektorrechnung
Energie
Klasse <Mathematik>
Parallelogramm
Vektorraum
Vektor
Gerade
Addition
Faktorisierung
Algebraische Struktur
Menge
Quotient
Klasse <Mathematik>
Vektorraum
Raum <Mathematik>
Äquivalenzklasse
Axiom
Gerade
Summe
Vektorrechnung
Klasse <Mathematik>
Vektorraum
Äquivalenzklasse
Axiom
Vektor
Gradient
Assoziativgesetz
Addition
Parametersystem
Zusammenhang <Mathematik>
Distributivgesetz
Gruppenoperation
Inverse
Klasse <Mathematik>
Vektorraum
Vektor
Skalarfeld
Richtung
Dimension n
Multiplikation
Selektor
Axiom
Teilmenge
Faktorisierung
Menge
Vektorrechnung
Verschlingung
Klasse <Mathematik>
Vektorraum
Vektor
Mathematische Größe
Summe
Multiplikation
Faktorisierung
Vektorrechnung
Schwebung
Klasse <Mathematik>
Mathematische Größe
Summe
Menge
Vektorrechnung
Äquivalenzklasse
Summe
Faktorisierung
Menge
Vektorrechnung
Koeffizient
Baum <Mathematik>
Vektor
Unabhängige Menge
Zahl
Faktorisierung
Formfaktor
Menge
Verschlingung
Konstruktive Methode
Klasse <Mathematik>
Raum <Mathematik>
Dimension

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Der Faktorraum
Serientitel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/33606
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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