Präsentiert von OpenLearnWare, die Plattform für Lernmaterialien an der TU Darmstadt. So, dann mal einen schönen guten Morgen und herzlich willkommen heute zur Vorlesung. Sie haben letzten Freitag gesehen, dass egal welchen Vektoraum Sie haben, er hat immer eine

Basis, eine Eigenschaft, die man nicht hoch genug einschätzen kann. Was ist so eine Basis? Eine Basis ist eine möglichst kleine Menge von Bausteinen, aus denen Sie per Linearkombination Ihren ganzen Vektoraum zusammenbauen können. Soll heißen, wenn Sie die Basis kennen, kennen Sie

im Prinzip den ganzen Vektoraum. Das ist die Idee von einer Basis. Nehmen wir möglichst wenig Vektoren, damit die Sache überschaubar bleibt. Das ist die Eigenschaft, dass die Basis ja unabhängig sein muss. Und nehmen wir genug Vektoren, dass man den ganzen Vektoraum kombiniert bekommt. Das ist die zweite Eigenschaft der Basis, dass sie erzeugt.

Und Sie haben eben gesehen oder wir haben Ihnen den Satz präsentiert ohne Beweis, dass egal welchen Vektoraum Sie haben, so eine Basis finden Sie immer. Und was ich heute jetzt weiter machen will, ist mit dieser Darstellung in der Basis ein bisschen zu

arbeiten. Also Sie haben gesehen, eine Basis erzeugt immer den Vektoraum. Das bedeutet, wenn Sie irgendeinen Vektor aus dem Vektoraum haben, dann können Sie den als Linearkombination der Basisvektoren darstellen. Und der erste Satz heute sagt im Prinzip

genau das mit einer Zusatzinformation. Nämlich nicht nur Sie können jeden Vektor in der Basis darstellen, sondern Sie können ihn sogar eindeutig darstellen. Also wenn wir einen N-dimensionalen Vektoraum haben, im Moment mal Dimension nicht Null, für Dimension Null ist das alles ziemlich langweilig. Also einen N-dimensionalen K-Vektoraum

V und Sie haben eine Basis, die muss dann, wenn er N-dimensional ist, ja wohl aus N Elementen bestehen, B1 bis Bn, seine Basis von V. Dann sagt jetzt, egal welches V

aus V Sie nehmen, dann gibt es immer Skalare alpha 1 bis alpha n in K, sodass Sie das V schreiben können als eine Linearkombination dieser N-Basisvektoren. Das ist einfach

nicht viel da und was in dem Satz dazu kommt ist ein Wort, nämlich das Wort Eindeutige. Also das Entscheidende an diesem Satz ist dieses Wort Eindeutige. Sie können

den Vektor nicht irgendwie darstellen, sondern diese Zahlen sind sogar eindeutig, diese alpha 1 bis alpha n. Also das Einzige was wir noch tun müssen ist die Eindeutigkeit

zu beweisen und dass Sie den Vektor so darstellen können ist einfach die Eigenschaft, dass eine Basis den Vektoraum erzeugt. Wie zeigen wir das? Wie zeigen wir das, dass es nur diese eine Wahl von alpha 1 bis alpha n gibt, sodass diese Gleichheit gilt. Immer

das Gleiche. Sie nehmen sich noch eine andere Wahl, beta 1 bis beta n her und zeigen, dass dann alle alphas mit den betas übereinstimmen müssen. Also Sie nehmen sich n skalare beta 1 bis beta n her aus k, die ebenfalls das V dann darstellen. Also

es soll auch gelten V ist Summe j gleich 1 bis n beta j bj. Sie können das V einmal als mit alpha j bj und einmal mit beta j bj darstellen und jetzt müssen wir zeigen alpha j gleich beta j. So, wenn Sie das haben, dann können wir den Nullvektor kompliziert

schreiben. Also Sie nehmen den Nullvektor her und Sie werden mir sicher beibpflichten, dass der Nullvektor dasselbe ist wie V minus V. Warum mache ich das? Weil ich jetzt

die beiden Darstellungen fürs V einsetzen kann. V ist zum einen Summe j gleich 1 bis n alpha j bj und V ist zum anderen Summe j gleich 1 bis n beta j bj. So, jetzt

können wir hier ein bisschen mit den Distributivgesetzen spielen. Das können Sie schreiben als eine Summe alpha j bj minus beta j bj. Bis dahin ist jetzt einfach nur die beiden

gleich laufenden Summen zu einer zusammengefasst und jetzt haben Sie, welches Aktion war es? Irgendeine Aktion der Vektoraumrechnung. Skalar mal Vektor plus anderes Skalar mal Vektor können Sie distributiv auseinander zusammenfassen. Bleibt also

eine Linearkombination, die den Nullvektor ergibt. Linearkombination mit den bj. Die

bj bilden eine Basis und eine Basis ist immer linear unabhängig. Das ist die Eigenschaft b1. Also die Vektoren b1 bis bn sind immer linear unabhängig. Was bedeutet das?

Sie können den Nullvektor nur trivial kombinieren. Das heißt bj minus alpha j muss 0 sein für jedes j zwischen 1 und n. Das können Sie jetzt auch anders schreiben. Das heißt alpha j ist dasselbe wie beta j für jedes j zwischen 1 und n. Und damit haben Sie

das, was Sie zeigen wollen. Wenn Sie das V auf zwei verschiedene Weisen darstellen, sind die beiden Weisen dieselben. Also es geht nur in einer Weise. So. In der

Satz gibt einem jetzt eine Möglichkeit, Vektoren bezüglich einer Basis zu beschreiben. Wenn Sie jetzt irgendeinen Vektoraum und eine Basis haben, also nehmen wir einen enddimensionalen Vektoraum, endlichdimensionalen Vektoraum, Sie haben eine Basis drauf, dann können Sie jeden Vektor in der Basis als Linearkombination darstellen. Diese

Vorfaktoren, die Sie jetzt haben, liegen eindeutig fest und beschreiben Ihnen damit eindeutig den Vektor. Diese Vorfaktoren kriegen jetzt einen Namen. Das ist die

22 sind. Dann nennt man die eindeutigen Alphas, die wir da gefunden haben. Also diese

Zahlen alpha 1 bis alpha n aus K, die nennt man die Koordinaten des Vektors V bezüglich der Basis B. Also wir hatten dort einen Vektoraum V mit einer Basis B und dann

haben wir einen Vektor V so dargestellt. Und diese Zahlen alpha 1 bis alpha n sind die Koordinaten dieses Vektors bezüglich der Basis B. Und dafür schreibt man dann auch, man kann jetzt diese Koordinaten wieder als Tupel auffassen. Man kann das

als so ein Vektor schreiben. Das ist jetzt ein Vektor im K hoch N. Das ist nicht V, weil V ist aus irgendeinem endimensionalen Vektoraum über K. Das könnte ein Polynomerraum sein oder ein Funktionraum. Aber diese Koordinaten beschreiben Ihnen das V eindeutig. Und damit hängen Sie irgendwie mit dem V zusammen. Und um das klar

zu machen, kann man das versuchen so darzustellen. Also das ist nicht der Vektor V, sondern der Koordinaten Vektor von V. Und um die beiden zu unterscheiden, mache ich auf den Koordinaten Vektor diesen Pfeil drauf, wie man von Vektoren immer so gut

kennt. Aber ein Vektor mit einem Pfeil drauf bezeichnet den dazugehörigen Koordinaten Vektor. Jetzt ist das ein bisschen eine gefährliche Schreibweise. Also das Ding heißt Koordinaten Vektor von V bezüglich B. Das V muss kein Vektor

in K n sein. Der Koordinaten Vektor ist immer aus K n. Und das Gefährliche in dem Moment ist, dass es natürlich jetzt von der Basis B extrem abhängt, wie der

Koordinaten Vektor aussieht. Wenn Sie in Ihrem Vektoraum jetzt eine andere Basis nehmen, der Basissatz sagt Ihnen, es gibt immer eine Basis, aber im Realleben gibt es in jedem Vektoraum unendliche Mengen von verschiedenen Basen. Das heißt Sie haben da freie Auswahl und Sie können natürlich eine

andere Basis nehmen und dann kriegen Sie auch einen anderen Koordinaten Vektor natürlich. Also diese Koordinaten hängen extrem von der Basis ab. Das heißt, man muss immer, wenn man so einen Koordinaten Vektor hinschreibt, erstens sich selbst völlig klar sein, welche Basis man gerade betrachtet und

zweitens das auch immer gut kommunizieren und dazuschreiben, ist der Koordinaten Vektor bezüglich unserer Basis B 17. Und das kommt in dieser Schreibweise mit dem Pfeil ja so gar nicht raus. Das heißt, diese Schreibweise ist nur gut, wenn in dem Moment völlig klar ist, von welcher Basis die Rede ist. Wenn Sie jetzt in einem Kontext vier verschiedene Basen

rumschwimmen haben, B, C, D und E oder sowas, dann müssen Sie klar machen, welche das ist. Und da gibt es verschiedene Möglichkeiten und keine ist wirklich eingeführt und Standard. Aber eine Möglichkeit wäre zum Beispiel dann klarer zu schreiben, Koordinaten Vektor von V

bezüglich der Basis B wäre so eine Möglichkeit. Also Sie schreiben um das Hauptpfeil noch eine eckige Klammer drum und ein B unten dran, dann haben Sie in der Schreibweise klargestellt, welche Basis gemeint ist. Das ist ein bisschen eine genauere Schreibweise. Wenn die Basis komplett ganz gerade nur

eine gibt und völlig klar ist, wovon Sie reden, dann lässt man natürlich diese Klammern gern weg, weil sie nervige Schreiberei sind. Aber es ist nicht so, dass die Basis nicht ganz klar ist, wenn sie nicht ganz klar ist. Also das ist ein Beispiel, um Ihnen auch zu zeigen, dass

so ein Koordinaten Vektor nicht unbedingt der Vektor ist, von dem man startet. Nehmen wir also mal nicht einen normalen KN Vektor, sondern wir nehmen uns so einen Vektorraum von Funktionen. Also nehmen wir

einen Untervektorraum, der das Erzeugnis von zwei speziellen Funktionen ist, nämlich F1 sei einfach die Identität und F2 sei das Quadrieren. Das ist

ein Untervektorraum vom Raum aller Abbildungen von R nach R. Wir haben im Beispiel das 212c gesehen, dass diese beiden Funktionen linear unabhängig

sind. Solche Monomfunktionen von Polynomräumen sind immer linear unabhängig. Also ist diese Menge F1, F2 eine Basis von dem U. Das ist

noch eine Funktion, die in dem U drin ist, die wir mal in Koordinaten haben. Das wäre zum Beispiel die Funktion g von x gleich 3x Quadrat plus x. Das wäre so eine Funktion, die in U ist. So, wo sind die Koordinaten?

Was müssen Sie machen, um die Koordinaten von g bezüglich der Basis F1, F2 zu bestimmen? Sie müssen g als Linearkombination von F1 und F2

schreiben und dann ablesen. Das ist in dem Fall einfach. Was ist in dem Fall? F1 war die Identität und F2 war das x Quadrat. Also haben Sie hier 3x F2 plus F1. Also gilt, wenn wir das jetzt bezüglich der Basis F1, F2

angucken, ist der Koordinatenvektor von g, schreibe ich als g mit Teil drauf oder ganz exakt, Koordinatenvektor von g bezüglich der Basis F1, F2 ist dann

was? Wie viel F1 brauchen Sie, um g zu kombinieren? Einmal F1 und dreimal F2. Und das ist jetzt ein Vektor im R2. Der Koordinatenvektor ist immer ein Vektor im KN, egal was der andere Vektor vorher war. Sie müssen auf die

Reihenfolge der Basisvektoren eine entscheidende Rolle spielen. Also F1, F2,

im Prinzip müssen Sie Ihrer Basis eine Ordnung geben, sagen, welches ist der erste Basisvektor, welches ist der zweite, welches ist der dritte. Wenn Sie das nicht machen, dann ist der Koordinatenvektor nicht eindeutig, weil Sie können das durcheinander machen. Wenn die Basis eine Ordnung hat und Sie sich an die immer halten, also in die erste Zeile kommt die Koordinate bezüglich

des ersten Basisvektors und die zweiten Basisvektors, die dritte, der dritten und so weiter. Das müssen Sie machen, sonst ist die Koordinatendarstellung nicht eindeutig. Warum man das Ganze macht, ist auch relativ einfach zu erklären. Auf die Weise, können Sie jetzt, wenn Sie in so einem Vektorraum

von Funktionen rechnen wollen, können Sie sich alle Probleme, die Sie dort haben, in den Rn übersetzen. In Rn rechnen, mit den Koordinatenvektoren rechnen, im Rn rechnen. Das ist teilweise einfacher. Und dann alles, was Sie wissen wollten, wieder zurück übersetzen in Funktionen. Das ist die Idee von den

Koordinaten. Auf die Weise können Sie jeden endimensionalen Vektorraum

in gewisser Weise sehen, als wäre es ein Kn. Auch wenn es ein Kn. Genauer werden wir das noch beleuchten. Das verhält sich genauso wie,

wenn wir den Begriff des Vektorraumisomorphismus haben, das kennen Sie noch von den Gruppen, also eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Vektorräumen. Aber das ist die Idee hinter den Koordinaten, ist Ihnen komplizierte endimensionale Räume zu übersetzen, als wäre es ein Kn. Und im Kn kennt man sich einigermaßen aus und da kann man dann rechnen. Machen

wir im Abschnitt 6 nochmal ausführlich. So, das war das Einführungskapitel zum Thema Vektorräume, Unterstrukturen von Vektorräumen und das wesentliche, das wesentliche Werkzeug beim Behandeln von Vektorräumen, nämlich

Basen. Das muss man wirklich sagen, das ist eine sehr, sehr schöne Eigenschaft von Vektorräumen, dass man, obwohl sie zum Teil riesengroß sein können, denken Sie an den R3, können Sie sich noch vorstellen, der R4 ist schon so groß, dass es den meisten schwerfällt, ihn sich vorzustellen und trotzdem brauchen Sie eigentlich nur vier Basisvektoren und können ihn

komplett beschreiben. Und vier Dinge, das ist wieder was, womit der Mensch durchaus hantieren kann. Und deswegen sind diese Basen so ein wahnsinnig wichtiges Werkzeug, weil man es mit denen eben schafft, große Dinge, die man eigentlich nicht mehr sich vorstellen kann, auf wenige Bausteine

zu reduzieren, mit denen man hantieren kann. So, jetzt kommt der nächste Abschnitt, das ist der über den Faktorraum und an der Stelle lohnt

sich sich noch mal so ein bisschen zurück erinnern, wir werden jetzt wieder faktorisieren, wir werden wieder Äquivalenzklassen bilden und dabei einen Moment der Magie erleben. Und was ich machen will, ist, ich

will Ihnen Vektorräume in Äquivalenzklassen zerlegen. Wenn man Äquivalenzklassen schaffen will nach irgendeinem Kriterium, dann liegt da immer eine Äquivalenzrelation dahinter und die will ich Ihnen als erstes angeben. Also Lemma 3.1, Sie haben einen K-Vektorraum V und Sie haben

einen Untervektorraum U. Das ist jetzt immer für das ganze Kapitel die Grundkonstellation ein Vektorraum, ein Untervektorraum. Also stellen Sie sich den R2 vor und eine Ursprungsgrade. Und die Idee ist jetzt, wie immer beim

faktorisieren, es gibt gewisse Eigenschaften des Raums, die uns interessieren und es gibt Eigenschaften, die uns im Moment aus irgendeinem Grund nicht interessieren und wir wollen jetzt eben die Interessanten rauspräparieren und die Uninteressanten in die Äquivalenzrelation stecken und vergessen. Sie wollen eben nicht

jedes einzelne Individuum betrachten, sondern die einzelnen Individuen nach irgendeinem Kriterium in Mengen zusammenfassen. Das ist das, was eine Äquivalenzrelation tut. Und was hier jetzt das ist, was uns nicht

interessiert, ist die innere Struktur vom U. Also alles, was in U passiert, ist uns eigentlich relativ egal. Uns interessiert das, was, also alles, was nicht U ist. Und dementsprechend definieren wir die Relation, dass wir sagen, zwei Vektoren sind äquivalent, wenn sie sich nur um

irgendwas in U unterscheiden. Also wenn sie bis auf irgendwas aus U gleich sind. Also wir sagen, V ist äquivalent zu W, falls die Differenz der beiden in U liegt. Und die Behauptung von dem Lemma ist,

das ist eine Äquivalenzrelation. Ich habe es schon mit Schlange geschrieben. Das schreit danach, aber zeigen müssen wir es trotzdem noch. Also die Relation ist, zwei Elemente stehen in Relation zueinander, wenn die Differenz in U liegt. So, was müssen wir tun? Jetzt müssen wir altes

Wissen abstauben. Was müssen wir tun, um zu zeigen, eine Relation ist eine Äquivalenzrelation. Eine Äquivalenzrelation brauchte drei Eigenschaften. Sie muss reflexiv sein, sie muss symmetrisch sein und sie muss transitiv sein. Arbeiten wir uns an denen nacheinander ab. Auf die Weise

kann ich Ihnen auch gleich nochmal die drei Begriffe wiederholen. Was hieß reflexiv? Reflexiv hieß, jedes Element muss zu sich selbst in Relation stehen. Also wir müssen zeigen, für alle V aus V gilt, dass

V in Relation zu V steht. Also nehmen wir uns einen V aus V her. Was müssen wir checken? Wir müssen checken, V steht in Relation zu V. Also müssen wir uns Differenz von V minus V angucken. Was ist mit V minus V? Naja, V minus V ist Null. Und Null ist ganz sicher in U, weil jeder Untervektorraum

enthält den Nullvektor. Also ist tatsächlich, das heißt genau, dass V in Relation zu V steht. Das ist Reflexivität. Dann kommt das Zweite, die Symmetrie. Was war Symmetrie von einer Relation? Das hieß,

wenn Sie zwei Elemente haben, von denen Sie wissen, dass Sie zueinander in Relation stehen, dann muss auch die umgekehrte Relation gelten. Also wenn V in Relation zu V steht, dann muss auch V in Relation zu V stehen. Das war Symmetrie. Also was müssen wir machen, um das nachzuweisen? Wir müssen uns

zwei Elemente aus unserem V hernehmen, die zueinander in Relation stehen. Was heißt das, wenn V zu V in Relation steht? Einfach nach Definition. Ist jetzt leider oben rausgerutscht. Zwei Elemente sind

dann der Äquivalent. Wenn Ihre Differenz in U liegt, also wissen wir, dass dann V minus V in U ist. Na ja, U ist ein Untervektorraum. Und wenn Sie einen

Untervektorraum haben, bedeutet das, wenn Sie ein Element draus haben, dann können Sie das mit jedem Skalar multiplizieren und Sie bleiben mit dem Untervektorraum. Insbesondere ist also der Vektor minus eins mal V minus V ebenfalls in U. Untervektorraum haben, Element draus nehmen, können Sie das

skalieren, wie Sie wollen. Sie bleiben unter Vektorraum. Was ist der Vektor minus eins mal V minus V? Na ja, das ist der Vektor V minus V. Also haben wir das V minus V in U liegt und das bedeutet nach unserer Definition von oben gerade, dass V in Relation zu V steht. Damit haben Sie, wenn V in

Relation zu V ist, V in Relation zu V. Drittens Transitiv. Was heißt Transitiv? Da brauchen wir jetzt drei Elemente. Transitiv hieß, wenn Sie drei Elemente hatten, V, W und X in V und Sie wissen, dass V in Relation zu

W steht und Sie wissen, dass W in Relation zu X steht, dann muss auch V in Relation zu X stehen. Also wenn A equivalent B und B equivalent C, dann ist A equivalent C. Das ist die Transitivität. Also rechnen wir es nach. Läuft auch

auf die Eigenschaft raus, dass U ein Untervektorraum ist. Wir nehmen uns drei Elemente in V her, sodass V in Relation zu W steht und W in Relation zu X. Übersetzen uns das nach der Definition der Relation. Was heißt

das? V in Relation zu W heißt, die beiden unterscheiden sich nur durch was, was in U liegt. Also V minus W ist in U und W in Relation zu X bedeutet, dass W minus X in U liegt. Jetzt haben Sie zwei Vektoren aus einem

Untervektorraum. Wenn zwei Vektoren im Untervektorraum liegen, liegt auch Ihre Summe drin. Also wissen Sie, dass der Raum U auch enthält das Element V minus W plus W minus X. Ja, ich habe das Elementzeichen falsch rumgeschrieben.

Das soll halt heißen. Das ist halt intuitiv. Das, was da steht, ist in U. Dieses falsch rum Elementzeichen ist eines meiner liebsten Tech-Befehle. Das normale Elementzeichen hat den Befehl in X in U sprechend. Das

umgekehrte Befehl nie in I, umgekehrtes in. Ja, aber ich hoffe, Sie verstehen, was ich meine. Das Ding ist Element von U. Ja, das dürfen Sie auch so machen. Ja, das versteht man. Das ist relativ Standardnotation. Die habe ich Ihnen

jetzt am Anfang nicht eingeführt. Warum mache ich so, weil ich jetzt nach Ich will nach rechts weiterschreiben, weil Sie sehen schon, was passiert. Das W macht den Abgang. Minus W plus W ist nicht mehr viel. Und übrig bleibt

V minus X. Also haben wir V minus X ist in U und das heißt V ist in Relation zu X. So, damit haben wir, dass die Relation auch transitiv ist. Und damit haben wir die Aufgabe von diesem Lemma 3.1 erfüllt und haben

Das hier zeigt, dass diese Relation, die ich Ihnen jetzt erstmal vom Himmel regnen habe lassen, eine Äquivalenzrelation ist. So, wenn wir uns eine Äquivalenzrelation haben, dann, das hatten wir ganz am Anfang

gesehen, zerlegt Ihnen diese Äquivalenzrelation Ihre Menge immer in die Faktormenge in die Äquivalenzklassen. Und diese Äquivalenzklassen eben sind eine Zerlegung der Menge. Das schreibe ich Ihnen gerade noch mal als Erinnerung hin. Also das war ganz am Anfang der Vorlesung und ist

mittlerweile einige Wochen her und durch viel, viel Stoff zugeschüttet. Also das war der Satz 1, 3, 12. Und da hatten wir gesehen, wenn Sie eine Äquivalenzrelation haben auf einer Menge, die nenne ich jetzt hier mal

sinnvollerweise V, weil unsere Menge gerade V heißt. Dann können Sie die Äquivalenzklassen angucken. Die Äquivalenzklassen waren einfach zu

jedem Element die Menge aller Elemente, die zu diesem in Relation stehen. Also die Äquivalenzklasse von einem V hatten wir mit einer Schlange drüber geschrieben. V Schlange ist die Äquivalenzklasse von V, sind alle die W in V, die in Relation zu V stehen. Und der Satz 3, 12 da im ersten

Kapitel hat gesagt, diese Äquivalenzklassen zerlegen Ihnen das V in lauter einzelne Bruchstücke. Was heißt das? Das heißt, jedes V Schlange ist nicht leer. Wenn Sie zwei Äquivalenzklassen haben, deren Schnitt

nicht leer ist, dann sind die schon gleich. Das heißt, es gibt keine sich echt überlappenden Äquivalenzklassen. Entweder die Äquivalenzklassen haben halt eine oder die sind komplett verschieden. Aber es kann nicht passieren,

dass Sie ein Element haben, das zu zwei verschiedenen Äquivalenzklassen gehört. Das gibt es nicht. Jedes Element gehört zu genau einer Äquivalenzklasse. Das ist der Gag. Deswegen nennt man das eben auch eine Zerlegung. Und die Zerlegung zerlegt auch wirklich den ganzen Raum. Also wenn Sie alle Äquivalenzklassen hernehmen und die zusammennehmen, dann kommt wieder die

Das war dieser Satz 312. Und das können wir jetzt hier auch machen. Wir haben auf unserem Vektoraum eine Äquivalenzrelation. Die zerlegt uns den Raum jetzt in Äquivalenzklassen. Da haben Sie jeweils für jeden Vektor

die Menge aller zu diesen Äquivalenten. Und die Frage ist natürlich, die sich aufdrängt. Also wenn man mal akzeptiert hat, sich mit dieser komischen Äquivalenzrelation beschäftigen zu wollen, dann ist die Frage, die sich aufdrängt, wie sehen diese Äquivalenzklassen jetzt aus? Was sind die geometrisch? Also stellen Sie sich immer vor, R2 mit einem

eindimensionalen Unterraum. Wie sehen diese Äquivalenzklassen jetzt geometrisch aus? Und das gucken wir uns jetzt in der nächsten Bemerkung an. Also, erster Teil der Bemerkung. Was ist bitte schön V-Schlange für

ein V aus V? Wie sieht das aus? Also überlegen wir uns, wann gehört ein W zu dem V-Schlange dazu? Wir wollen wissen, wie sieht das V-Schlange aus?

Also, welche W gehören da dazu? Nach Definition, W ist ein V-Schlange genau dann, wenn W in Relation zu V steht. So ist das definiert. Was heißt das W steht in Relation zu V? Das heißt, dass die Differenz von

W und V in U liegt. Wo war die Äquivalenzrelation definiert? Was heißt W-V liegt in U? Das heißt, es gibt irgendeinen Vektor U in U, sodass W-V gleich U ist. Warum befürge ich diesen Vektor U ein, damit ich rechnen kann? Jetzt habe ich eine Gleichung. Also, was heißt das?

Das heißt, es gibt ein U in U, sodass Sie das W schreiben können als V plus U. Ich habe nur das V auf die andere Seite rüber geworfen. Also,

wie sehen alle die Elemente aus, die in dem V-Schlange liegen? Sie kriegen alle W in dem V-Schlange, indem Sie sich U-Elemente hernehmen und die auf das V drauf addieren. Für jedes Element aus U können Sie aufs V drauf addieren, kriegen Sie irgendein W, das in V-Schlange liegt. Und das heißt,

das V-Schlange hat folgende Form. Also, wir schreiben das erst mal so. W ist wo drin? In welcher Menge? In der Menge, die Sie kriegen, wenn Sie auf das

V alle Elemente aus U drauf addieren. Die W sind genau die, die Sie kriegen, wenn Sie sich hier U nehmen und das da drauf addieren. Und für diese Menge schreibt man auch, und das ist wieder so eine gewöhnungsbedürftige

Kurzschreibweise, V plus groß U. Und das ist erst mal sinnlos, weil Vektor plus Menge, was soll das sein? Vektor plus Menge kann man eigentlich nicht addieren. Type mismatch error. Aber gemeint ist genau das, was da links davon steht. Vektor plus Menge soll heißen, nehmen Sie den Vektor,

addieren Sie einzeln jeden Vektor aus der Menge drauf und was rauskommt, ist wieder eine Menge. So. Und was ist das geometrisch? Was kriegen Sie, wenn Sie sich einen Untervektorraum nehmen und dazu noch einen V addieren?

Sie kriegen einen verschobenen Untervektorraum. Diese Menge, die hier steht, ist ein verschobener Untervektorraum. Und das ist genau das, was bei dieser Äquivalenzrelation rauskommt. Also, dieses V-Schlange, das ist das V plus U, ist der um V verschobene Untervektorraum U.

Also malen wir uns das mal für das Beispiel, das ich gerade die ganze Zeit genannt habe, hin. Also das Beispiel ist, Sie nehmen sich den R2

und im R2 nehmen Sie sich einen Unterraum. Was ist ein Unterraum im R2? Gut, es gibt die beiden Banalfälle in den Nullraum, der nur den Null enthält und den ganzen R2. Nehmen wir mal einen interessanten Fall, also einen eindimensionalen Unterraum. Und die eindimensionalen Unterräume

sind genau die Ursprungsgraden. Also malen wir mal so eine hier rein. Das sei unser U. Also, offensichtlich eine Gerade, bitte. Der Rest ist Zeichenungenauigkeit. So, wenn ich jetzt irgendein V-Vektor habe im R2,

was ist dann V-Schlange? V-Schlange ist V plus U, der um V verschobene Unterraum U. Das heißt, zu V-Schlange gehören alle die Vektoren, die Sie zur U-parallele Gerade zeigen. Also das ist V-Schlange,

V plus U. Also dazu gehört zum Beispiel dieser Vektor hier, der gehört zu V-Schlange, weil er auch auf der Gerade liegt. Und schauen Sie sich

an, was die Differenz dieser beiden Vektoren ist. Die Differenz der So, wenn Sie einen anderen Vektor nehmen, der nicht auf der Gerade geht, ich nehme mal hier noch so ein X, kriegen Sie ein anderes, eine andere

Äquivalenzklasse. Und das wird zum Beispiel jetzt die Äquivalenzklasse von dem X, also X plus U. So, eine Äquivalenzklasse, das sieht man am

Bild und die kann man sich auch immer leicht ausrechnen. Was ist die Nullvektor? Ist der um Null verschobene Untervektorraum U. Oder anders gesagt, sind alle die V in V, sodass V minus Null in U liegt. Also alle die V in V,

sodass V in U liegt. Das ist einfach U. Also die Äquivalenzklasse der Null ist immer der Untervektorraum, nach dem Sie faktorisieren. Und das sollte wieder so ein bisschen zu der Interpretation zurückführen, die ich

am Anfang gegeben habe. Faktorisieren bedeutet immer, es gibt eine Eigenschaft, die Sie interessiert. Es gibt eine Eigenschaft, die Sie nicht interessiert und Sie schmeißen die Information, die Sie nicht interessiert, weg. Und in dem Fall interessiert uns nicht, was in U-Richtung passiert. Also das, was in U-Richtung passiert, interessiert uns nicht. Deswegen

faktorisieren wir nach U und auf die Weise, mit alles, was in U-Richtung passiert, zur Null reduziert. Das ist die Idee dahinter. Und Sie sehen eben, Sie kriegen jetzt aus der Äquivalenzrelation, wenn Sie von einem Element wissen, in welcher Äquivalenzklasse es liegt, kriegen Sie die

Information raus, um wieviel müssen Sie das U verschieben, dass Sie den Vektor da beinhalten. Also Sie kriegen die Information, die sozusagen in die anderen Richtungen geht, die nicht gerade U sind. So, rengen wir das mal. Für alle die, die gerne ein konkretes Zahlenbeispiel mal sehen

würden, gibt es das Beispiel 3,3. Also im Prinzip genau das Ding von gerade eben. Also wir nehmen V gleich R2 und U, nehmen wir mal die Winkel halbierende, also das Erzeugnis des Vektors 1,1. Was ist das? Das ist die Menge aller

Vektoren. Also alle Vektoren, die auf der Winkel halbierenden vom ersten Quadranten und vom dritten Quadranten liegen. So, was ist jetzt zum

Beispiel die Äquivalenzklasse vom Vektor 1,0? Die Äquivalenzklasse vom Vektor 1,0 ist jetzt der um 1,0 verschobene Untervektorraum. Also die Menge 1,0 plus Lambda mal 1,1 Lambda in R. Und nehmen wir noch einen

anderen Vektor, nehmen wir noch den Vektor 2,1. Was hat der für eine

Äquivalenzklasse? Das ist eben der um 2,1 verschobene Untervektorraum U. Wenn man sich die beiden Graden hier anguckt, dann stellt man fest, die sehen verschieden aus, sind das aber nicht. Setzen Sie hier oben mal U gleich

Lambda minus 1, dann kriegen Sie, Lambda ist U plus 1, dann kriegen Sie hier U mal den Vektor 1,1 und noch einmal 1,1 da vorne dazu. Das gibt 2,1

mit U aus R. Und dann stellen Sie fest, das ist einfach dasselbe. Ist auch kein Wunder, weil was ist mit den Vektoren 1,0 und 2,1? Was ist die Differenz davon? Die Differenz davon ist genau 1,1. Das heißt, die Differenz von 2,1 und 1,0

ist 1,1. Das heißt, Differenz von 2,1 und 1,0 liegt in U. Und damit sind die beiden äquivalent bezüglich der Äquivalenzrelation haben also die gleiche Äquivalenzklasse. Also dass die beiden Mengen gleich sein müssen, sieht man

auch, wenn man über die Äquivalenzrelation argumentiert. Es ist eben 2,1 minus 1,0. Genau der Vektor 1,1 und der ist in U. Und damit sind die Vektoren 2,1 und 1,0 zueinander äquivalent und müssen derselben Äquivalenzklasse

liegen. Aber gut ist im Kopf zu haben, dass diese Äquivalenzklassen solche verschobenen Untervektorräume sind, also die Verschiebung des Untervektorraums nach dem sie faktorisieren. So, das ist ein guter Moment um ein kurzes

Äquivalenzklassen zu beschäftigen. So, ich würde dann gerne die zweite Hälfte einsteigen. Und weil ich hier gerade schon eine Nachfrage hatte, die

eine Verwirrung an einer Stelle aufgelegt hat, würde ich das gerne auch mal für alle sagen. Ich hatte vorhin das Bild hier gezeigt mit dem, wie man sich diese Äquivalenzklassen vorstellen muss. Und jetzt kam die

Frage auf, wieso ist denn die Äquivalenzklasse von der Null immer das U? Und wie bestimmt man das U? Das U bestimmen Sie gar nicht, das U ist Ihnen gegeben. Also bei dieser ganzen Aktion haben Sie zwei gegebene Größen, den Vektorraum V und den Untervektorraum U. Das U ist von außen bestimmt. Sie brauchen das U schon, um die Äquivalenzrelation am

Anfang zu definieren. Die Äquivalenzrelation war V und W sind äquivalent zueinander. Wenn Ihre Differenz in U liegt, wenn Sie U nicht kennen, nutzt das nichts. Also das U ist eine gegebene Größe. Und in dem Moment, wo Sie das U haben, können Sie die Äquivalenzrelation definieren, können Sie die Äquivalenzklassen definieren und Sie kriegen diese Parallelgraden zu U. Wenn Sie ein anderes U nehmen, sehen

Ihre Äquivalenzklassen natürlich völlig anders aus. Also wenn Sie als U jetzt einen Untervektorraum nehmen, der da von links oben nach rechts unten geht, dann kriegen Sie als Äquivalenzklassen halt lauter zu diesem Untervektorraum parallel liegende Grad. Die Äquivalenzklassen

von V sind immer der um V verschobene Untervektorraum U. Wenn der Untervektorraum U anders aussieht, sieht natürlich auch V-Schlange anders aus. Und jetzt kommt die vorhin versprochene Magie. Bis jetzt

haben wir unseren Vektoraum einfach nach der Äquivalenzrelation in die Faktormenge aufgeteilt. Das heißt, wir haben gesagt, unseren Raum können wir sehen, unseren Raum können wir sehen als

diesen R2 als unendlich viele parallele Grad. Wenn Sie alle diese Grad nehmen, gibt es zusammen mit dem R2. Und damit haben wir, das ist was rein Mengen theoretisches, wir haben die große Menge R2 jetzt zerlegt in unendlich viele kleinere Mengen. Und was jetzt

kommt ist, diese Grad sind nicht einfach nur Grad, sondern Sie können mit diesen Graden rechnen. Sie können zwei Grad addieren. Diese Grad, das ist das Verrückte, bilden selbst wieder einen Vektoraum. Also die Menge dieser Grad oder die Menge der Äquivalenzklassen ist wieder selbst ein Vektoraum. Und das ist der

Satz 3.4. Und den muss man mal ein bisschen sacken lassen. Der sagt jetzt folgendes, also wir haben die gleiche Konstellation wie die ganze Zeit. Sie haben einen K-Vektoraum V, stellen Sie sich den R2 vor. Sie haben einen Untervektorraum von V, der ist Ihnen gegeben, also in dem Fall, wie wir es gerade hatten,

diese eine Linie. Und wir definieren, wenn Sie das U gegeben haben, die Äquivalenzrelation Schlange wie oben. So, und dann haben wir gerade gemacht, wenn Sie die Äquivalenzrelation haben, können Sie die Faktormenge anschauen. Also das hatten wir am Anfang bei den Faktormengen mal so geschrieben, V

faktorisiert nach dieser Äquivalenzrelation. Das ist einfach die Menge aller Äquivalenzklassen, die Sie kriegen. Also das sind alle diese Graden, unendlich viele aufeinander liegende Graden in alle Richtungen. Und das schreibt man in dem Zusammenhang

auch als V faktorisiert nach U. Also V und U sind gegeben. Und diese Schreibweise V faktorisiert nach U, oft auch nachlässig einfach V nach U genannt. Das ist jetzt erstmal eine Menge von Restklassen, also das ist die Menge dieser Graden. Und ich definiere

Ihnen jetzt auf der Menge der Graden zwei Verknüpfungen und damit behaupte ich, wird das wieder ein Vektorraum. Also wir definieren jetzt zwei Verknüpfungen, mit denen wir diese Graden, diese Restklassen addieren. Also Sie haben zwei Elemente aus V nach U,

V-Schlange plus W-Schlange. Und wir machen es im Prinzip mit der gleichen frechen Methodik wie beim Modulorechnen. Wir sagen, die Summe von den beiden soll so gebildet werden, Sie nehmen sich das V, also einen Repräsentanten aus V-Schlange und Sie nehmen sich das W, also einen Repräsentanten aus W-Schlange. Die können Sie in V addieren. Was das ist, wissen Sie ja. Wenn Sie jetzt ein Vektor V

und ein Vektor V haben, dann können Sie die addieren. Und jetzt haben Sie wieder ein Vektor in V und von dem nehmen Sie die Restklassen. Und genauso machen wir es mit der Skalarmultiplikation. Wenn Sie eine Restklasse aus V nach U haben und wollen die mit dem Skalar

multiplizieren, dann nehmen Sie das V, multiplizieren Skalar in Vektorraum V, da wissen Sie wie es geht, und nehmen dann die Restklasse. Und das für V und W in V und für Alpha in K. Und die Behauptung von dem Satz ist, wenn Sie das tun, kommt dabei ein K-Vektorraum raus.

Wenn wir also zu dem Bild von vorhin zurückkehren, dann bedeutet das was? Also wir haben unseren R2, wir haben unseren U, der geht durch

einen Ursprung wie jede... Was ist das? Also neuer Versuch. Oh, nun können wir das recyceln. So, das ist der R2 und dann haben wir

unseren U. Diesmal treffe ich auch den Ursprung besser. So, das ist das U. Dann hatten wir vorhin gesehen, wenn Sie jetzt einen Vektor V nehmen, dann kriegen Sie das V-Schlange als diese Gerade hier.

Hier hatten wir vorhin noch einen zweiten Vektor X. Das gibt die Gerade hier. So, was ist jetzt V-Schlange plus X-Schlange? Nach

geradegebrachter Definition. Sie nehmen V und X, addieren V und X in V, da wissen Sie was rauskommt. Bei den Vektoren addiert kommt der Vektor V plus X raus. Und dessen Restklasse ist der um V plus X verschobene Untervektor Raum U. Also das Ding hier, das ist jetzt

V plus X-Schlange und das ist nach Definition V-Schlange plus X-Schlange. Also diese untere Gerade plus die zweite Gerade gibt die dritte Gerade. Und die Magie bei der Sache ist, dass das tatsächlich vernünftig definiert ist, dass nicht, wenn irgendjemand anders herkommt

und sagt, ich nehme jetzt aber nicht, diese Äquivalenzklasse V-Schlange, das ist eine Äquivalenzklasse von ganz vielen verschiedenen Repräsentanten. Und im Gegensatz zur Modulorechnung können Sie jetzt nicht mehr sagen, es gibt irgendwie einen natürlichen Repräsentanten.

Wenn Sie Modulo 7 rechnen, dann ist es irgendwie unnatürlich 22 Schlange hinzuschreiben. Da wird man statt 22 Schlange immer eins Schlange schreiben. Es gibt den natürlichen Repräsentanten, wenn Sie Modulo 7 rechnen, dann schreiben Sie 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Schlange hin und alle anderen rechnen Sie um. Hier gibt es jetzt keinen natürlichen

Repräsentanten mehr. Es gibt nicht mehr den kleinsten oder den schönsten oder den grünsten oder den irgendwasen, sondern dieses V-Schlange hat natürlichen Kandidaten. Das heißt, was wir sicherstellen müssen, ist,

dass wenn irgendjemand anders sich jetzt nicht dieses V und dieses X nimmt, sondern zum Beispiel diesen Vektor aus dem V-Schlange und diesen Vektor aus dem X-Schlange und die beiden addiert, dann muss da bitteschön die gleiche Gerade rauskommen und das passiert tatsächlich. Wenn Sie hier das Parallelogramm machen, dann kommt

tatsächlich ein Vektor raus, der auch wieder auf der Gerade endet. Und das ist die Magie dabei, dass diese Definition tatsächlich funktioniert. So, beweisen tun wir den Satz gleich. Der Satz

selber steht auch auf Folie, also wenn der Hörsaal unten den Projektor anmacht, sieht er den auch. Da stehen die Verknüpfungen nochmal drauf. Ich will, bevor ich den Satz beweise, dem Ding

erst einen Namen geben, also Definition 3,5. Wir haben gesehen, wenn Sie Vektorraum haben, V, und Untervektorraum U, dann können Sie immer diese Menge V nach U bilden, indem Sie sich die Restklassen

von V, Modulo dieser Äquivalenzrelation, die durch U gegeben ist, hernehmen. Und der Satz, gerade eben, wenn wir ihn denn bewiesen haben, zeigt, dass diese Menge nicht nur eine Menge ist,

die Menge Äquivalenzklassen, sondern auch eine algebraische Struktur hat und mit diesen beiden Verknüpfungen wieder ein Vektorraum ist. Und diesen Vektorraum nennt man Faktorraum oder werden Sie auch mal sehen, irgendwo in der Literatur oder sonst wie, kommt als Wort auch oft vor Quotientenraum, hat aber nicht

wirklich viel mit Teilen zu tun. Heißt Quotientenraum von V nach U. Und wie gerade schon gesagt, dieses Symbol V nach U liest man

V Faktorisiert nach U. Und wenn ich ehrlich bin, lässt man das Faktorisiert meist weg. Also im normalen Sprachgebrauch heißt

einfach V nach U. So, Beweis von 3, 4. Was müssen wir machen? Wir müssen nachweisen, diese Menge der Äquivalenzklassen, die Menge dieser Geraden mit den eingegebenen Verknüpfungen bildet ein Vektorraum.

Das heißt, wir müssen die ganzen Vektorraumaktionen durch xen. Und bevor wir damit anfangen, und das ist hier das eigentlich wichtigste und darauf will ich mich auch hauptsächlich beschränken, ist, wir müssen die vorhin angesprochene Magie nachweisen. Nämlich, dass die Verknüpfungen tatsächlich Sinn machen. Also das erste ist, die Verknüpfungen sind wohl definiert.

Die hängen nicht davon ab, welchen Repräsentanten sie sich aus der Restklasse hernehmen, um die Summe oder das Produkt zu bilden. Also ich mach's mal für plus. Was müssen wir zeigen?

Wir nehmen uns zwei Restklassen her. V-Schlange und W-Schlange seien zwei Elemente des Faktorraums, zwei Äquivalenzklassen, zwei Geraden in dem Bild oben. Und dann ist V ein

Repräsentant von V-Schlange und W ist ein Repräsentant von W-Schlange. Und jetzt, wenn Sie jetzt V-Schlange plus W-Schlange ausrechnen wollen, dann müssen Sie V und W addieren. Und Ihr Nachbar hat aber keine Lust, V und W zu nehmen, sondern nimmt sich zwei andere. Also nimmt sich noch ein V0 aus V-Schlange

und ein W0 aus W-Schlange raus, addiert V0 und W0 und kriegt was völlig anderes raus und bildet dann die Restklasse. Und was wir zeigen müssen, ist, dass das egal ist.

Also ob Sie jetzt V plus W nehmen und dann die Restklasse bilden, das muss das Gleiche sein wie V0 plus W0 und davon die Restklasse. Es muss egal sein, welches Element Sie sich aus der Äquivalenzklasse rausnehmen, um diese Addition auszuführen.

Also, machen wir uns ans Werk. V ist aus V-Schlange, V0 ist aus V-Schlange. Die beiden sind der gleichen Äquivalenzklasse, also muss V zu V0 äquivalent sein. Und das Gleiche gilt für W, also W muss zu W0 äquivalent sein.

Beide sind derselben Äquivalenzklasse und das bedeutet genau, sie sind zueinander äquivalent. So, was bedeutet das? Wenn V zu V0 äquivalent ist und W zu W0 äquivalent ist,

nach Definition der Äquivalenzrelation bedeutet das, dass V minus V0 in U liegt und das W minus W0 in U liegt. Es kommt wieder ähnlich wie vorhin ins Argument, U ist ein Untervektorraum, also wenn U das V minus V0

und das W minus W0 enthält, dann enthält es auch die Summe von den beiden, also U enthält V minus V0 plus W minus W0. Können wir umsortieren, das ist dasselbe wie V plus W minus V0 plus W0.

Was bedeutet das? Jetzt haben Sie hier einen Vektor, minus einen anderen Vektor liegt in U und das bedeutet,

diese beiden Vektoren, deren Differenz in U liegt, sind zueinander äquivalent. Also das bedeutet, V plus W ist äquivalent zu V0 plus W0. Das ist doch schon mal nicht schlecht. Da wollen wir nämlich hin. Was haben Sie damit,

wie haben wir denn V-Schlange plus W-Schlange definiert? Das haben wir gesagt, Sie addieren zwei von diesen Geraden, zwei von den Äquivalenzklassen, indem Sie die Repräsentanten hernehmen, die in V addieren und dann die Restklasse bilden.

Die Restklasse von V plus W ist aber die Restklasse von V0 plus W0, weil die beiden zueinander äquivalent sind. Und das ist damit das Gleiche wie die Restklasse von V0 plus die Restklasse von W0. Und Sie sehen tatsächlich, egal welchen Repräsentanten Sie sich rausfuscheln,

bei der Summe kommt wieder das Gleiche raus. Das Gleiche können Sie für mal machen. Sie nehmen sich ein Alpha in K her, eine Restklasse aus V nach U und wieder einen anderen Repräsentanten aus dem V-Schlange.

Und dann machen Sie wie gerade eben, Sie wissen, V und V0 sind aus derselben Äquivalenzklasse. Also ist V minus V0 in U.

U ist ein Untervektorraum. Also haben Sie nicht nur, dass V minus V0 in U ist, sondern auch Alpha mal V minus V0 in U. Alpha mal V minus V0 ist Alpha V minus Alpha V0. Und das bedeutet, jetzt haben Sie wieder eine Differenz von zwei Vektoren, die in U liegt,

dass Alpha V-Schlange gleich Alpha V0-Schlange ist. Und damit haben Sie wie oben Alpha mal das V. Das ist die neu definierte Verknüpfung.

Die führen Sie aus, indem Sie Alpha mal V in V multiplizieren und dann die Restklasse bilden. Aber die Restklasse von Alpha mal V ist die gleiche wie die von Alpha mal V0. Und das ist Alpha mal die Restklasse von V0. Sie kriegen tatsächlich Repräsentanten, Unabhängigkeit raus. Und damit ist das die wohl definierte, vernünftige Verknüpfung.

Und das ist tatsächlich fast das einzige, also das ist der einzige schwierige Teil von diesem Nachweis, dass das ein Vektoraum ist, das einfach erst mal vernünftig definiert ist. Und wenn Sie das haben, dann ist es relativ leicht nachzuweisen.

dass das tatsächlich ein Vektoraum ist. Und ich werde Ihnen nur, jetzt müssen Sie die neun Axiome nachixen. Also V1 bis V5, wobei V1 wieder in ein paar Teile zerfällt. Ich zeige Ihnen so ein paar Sachen. Also einfach als Beispiel die Kommutativität

der abischen Gruppe bei der Plusverknüpfung. Was müssen wir machen? Sie nehmen sich zwei Elemente von Ihrem Vektoraumkandidaten her und müssen zeigen, wenn Sie die addieren, dann ist das Kommutativ. Und da sehen Sie, was passiert. Was müssen Sie zeigen? Sie

müssen V-Schlange plus W-Schlange gleich W-Schlange plus Vlau-Pau-Schlange zeigen. Die Verknüpfung in unserem V nach U haben wir definiert, indem wir sie auf die Verknüpfung in V zurückgespielt haben. Und die Verknüpfung in V, die erfüllt alle Axiome, weil das

ist ein Vektoraum. Und jetzt ziehen Sie sich die Eigenschaften immer von V hoch. Also was ist V-Schlange plus W-Schlange nach Definition? Sie addieren die zwei Restklassen, indem Sie sich jeweils einen Repräsentanten nehmen, den addieren und dann die Restklasse bilden. Wir haben gerade gezeigt, das macht Sinn, weil Sie können sich egal welchen

Repräsentanten nehmen und es stimmt immer. Jetzt wissen wir, in V gilt Kommutativität. Das heißt, das ist W plus V-Schlange. Das ist die Kommutativität in V. Na ja und W-Schlange plus V-Schlange ist nach Definition wieder W-Schlange plus V-Schlange. So,

also W plus V-Schlange ist W-Schlange plus V-Schlange. Dann steht es da. Und so geht das mit den ganzen Rechenregeln. Also mit dem Distributivgesetz und mit dem Assoziativgesetz immer alles unter eine große Schlange. Unten drunter das Gesetz aus V verwenden und dann wieder alles auseinander fricken. Ich will noch kurz was zum neutralen und zum inversen

Element sagen. Was ist das neutrale Element bei dieser Addition? Also wann ist V-Schlange plus irgendwas Schlange wieder V-Schlange? Na dann, wenn in dem irgendwas Schlange die Null als

V-Schlange plus irgendwas Schlange gleich V plus Null Schlange rechnen, dann kommt V-Schlange raus. Was ist die Restklasse der Null? Die Null-Schlange ist das U. Also das neutrale Element ist die Null-Schlange. Also das U. Was ist das inverse, damit das alles Sinn macht?

Was ist das Additiv-Inverse zu V-Schlange? Das ist ganz intuitiv. Sie nehmen das V und dazu das inverse in V und davon die Restklasse. Wenn Sie jetzt die beiden da addieren, also

V-Schlange plus minus V-Schlange, dann dürfen Sie jetzt Repräsentanten, insbesondere V und minus V, nehmen. Dann kriegen Sie V-Schlange plus minus V-Schlange ist V minus V-Schlange ist Null-Schlange ist das neutrale Element. So, machen wir vielleicht noch ein, noch

ein Aktion. So als Fingerübung haben wir noch das V4. Was war das V4? Das war ein Distributivgesetz. Wenn Sie zwei Skalare haben und einen Vektor, also Alpha Beta

aus K und einen Vektor V-Schlange aus V nach U und dann war das V4, dass wenn Sie zwei Skalare addieren und das mit einem Vektor multiplizieren, das rauskommt, was man erwartet, also Alpha mal V-Schlange plus Beta mal V-Schlange. Wie machen Sie

das? Wie vorhin schon gesagt, Sie spielen alles nach V zurück. Was ist Skalar mal eine Restklasse? Das war definiert als, nehmen Sie sich den Repräsentanten von dem V-Schlange, in dem Fall nehmen wir mal V, multiplizieren diesen Repräsentanten

in V mit dem Skalar und bilden dann die Restklasse. Jetzt wissen Sie, dass Aktion V4 gilt in V. Also das hier ist die Definition von der Skalarmultiplikation auf V nach U. Jetzt wenden Sie V4 in V an. In V gilt das, weil V ist ein Vektoraum. Dann

kriegen Sie, das ist Alpha mal V plus Beta mal V, große Schlange drüber. Dann verwenden Sie die Definition von Plus in unserem V nach U. Dann kriegen Sie, das ist Alpha V-Schlange plus Beta V-Schlange. Und dann verwenden Sie noch die Definition

von Mal. Das ist praktisch. Das können wir hier gleich nochmal machen. Und kriegen, das ist Alpha mal V-Schlange plus Beta mal V-Schlange. Das ist das, was zu zeigen war. Und so kriegen Sie die ganzen anderen Axiome auch. Also Fingerübungen

für Sie, nehmen Sie sich das V2, V3, V5 her und frickeln Sie das nach. Das ist alles nicht komplizierter als das V4 hier. So, damit haben wir, wenn immer Sie einen Vektoraum haben und einen Untervektorraum, können Sie nach dem faktorisieren und Sie kriegen

wieder einen Vektoraum raus. Wenn Sie da ein bisschen drüber meditieren wollen oder was zum Diskutieren in der Mensa haben wollen, dann reden Sie sich doch mal die Köpfe über die Frage heiß, was passiert, wenn Sie die trivialen Untervektorräume nehmen. Also wenn

Sie einen Vektoraum V haben und faktorisieren nach dem Nullraum oder Sie machen das andere Extrem, nehmen den Vektoraum V und faktorisieren ihn nach sich selbst. Der Nullraum und der

Vektoraum, denken Sie mal drüber nach, was kommt daraus. So, was ich Ihnen jetzt noch zeigen will, ist einen schönen Zusammenhang zwischen V und U und V nach U, zumindest

im ähnlich Dimensionalen. Wenn man von V zu V nach U übergeht, dann ist die Idee, wie gesagt, wir vergessen alle Informationen, die im U steckt. Das U interessiert uns nicht wirklich, sondern wir faktorisieren es raus. Wir vergessen die Informationen, die

drin steckt und gucken uns nur an, was passiert in den anderen Richtungen. Und das bedeutet irgendwie anschaulich, sollte bei dieser Aktion V nach U faktorisieren, sollten Dimensionen verloren gehen. Wenn Sie in das Bild mit den Geraden vorhin denken, wenn Sie es mit dem R2 gestartet, haben wir einen Eindimensionalen Untervektorraum rausfaktorisiert

und was rauskam, war diese geraden Schar. Diese geraden Schar ist irgendwie, wenn Sie sich die angucken von der Natur her, was Eindimensionales. Dann brauchen Sie einen Parameter, der Ihnen sagt, wie weit sie draußen sind. Das ist ein eindimensionales Ding. Das heißt, wenn Sie den zweidimensionalen Raum nach was Eindimensionalen faktorisieren,

kommt was Eindimensionales raus. Wenn man sich das anguckt, fällt einem auf, dass zwei zufällig eins plus eins ist. Ist das Zufall oder ist das so? Und was ich Ihnen zeigen will, ist, das ist kein Zufall, sondern das ist allgemein so. Also, wenn Sie einen endimensionalen K-Vektorraum haben und Sie faktorisieren

nach einem Untervektorraum U, der M-dimensional ist, also in unserem Beispiel vorhin war N2 und M1, dann kriegen Sie den Faktorraum raus. V faktorisiert nach U.

Das ist wieder ein Vektorraum. Das heißt, es ist durchaus sinnig, sich zu fragen, was hat der für eine Dimension? Und die Antwort ist, es passiert genau das, was wir vorhin auch hatten. Sie kriegen die Restdimensionen raus, die Sie nicht wegfaktorisiert haben. Also, die Dimension von diesem Faktorraum ist N minus M.

Warum ist das so? Also, auch der Satz steht in ganz kurzer Formulierung und ohne, dass der perfekt alles erklärt ist, nochmal hier auf dem Folie. Wenn die Dimension von Vn ist und

die Dimension von Um, dann ist die Dimension vom Faktorraum die Differenz. So, wie gehen wir daran, wenn Sie die Dimension von einem Vektorraum bestimmen sollen, von dem man noch nicht so genau weiß, wie der funktioniert? Wie ist die Dimension definiert? Dimension ist

definiert darüber, dass wir gezeigt haben, dass jede Basis in einem Vektorraum gleich viele Elemente hat. Und diese Anzahl nennen wir dann die Dimension. Das heißt, wenn Sie die Dimension bestimmen wollen, brauchen Sie eine Basis, weil Sie müssen, um die Dimension zu bestimmen, eine Basis auszählen. Sie müssen gucken, wie viele Elemente die Basis hat und ohne Basis

wird es mit der Dimension schwierig. Wo kriegen wir eine Basis her? Da hilft uns der kraftvolle Satz vom letzten Mal, nämlich der Basissatz, der sagt, es gibt auf jeden Fall eine. Keiner weiß, woher Sie herkriegen, aber es gibt eine. Und jetzt würden Sie sagen,

so ein Satz ist doch komplett nutzlos, wenn er mir sagt, es gibt eine, aber ich weiß nicht, wie ich sie produzieren kann. Nein, so reine Existenzsätze sind häufig sehr, sehr hilfreich und auch häufig das Einzige, was geht. Also wenn das Ding kompliziert ist oder sehr abstrakt

gegeben, werden Sie auch nicht viel mehr haben. Also es gibt einen, aber es gibt einen, hilft schon. Also was sagt der Basissatz? Der sagt uns, es gibt eine Basis, also unser U hat eine Basis. Und diese Basis wissen wir, weil das U M-dimensional ist,

muss M-Elemente haben, also B1 bis Bm. So, jetzt hatte dieser Basissatz zwei Teile. Das erste Teil war, jeder Vektorraum hat eine Basis, aber fast mindestens genauso wichtig oder noch wichtiger ist der zweite Teil der Basisergänzungssatz, der Ihnen

sagt, wenn Sie eine linear unabhängige Teilmenge von einem Vektorraum haben, die im Service-Fall zu klein ist, sie ist zwar linear unabhängig, aber es ist nicht genug, damit Sie alles bauen können, dann können Sie die immer zu einer Basis ergänzen. Also Sie können dann immer ein paar Vektoren dazunehmen und kriegen

dann eine Basis vom ganzen Raum raus. Und das machen wir jetzt, diese Menge B von Vektoren in U, die ist sicher linear unabhängig, weil sie eine Basis ist und auch linear unabhängig in V. Und dementsprechend können Sie diese Basis B ergänzen zu einer Basis B' von V. Das heißt, diese Basis B' enthält

erstmal die Elemente B'1 bis B'm von oben. Das sind die Elemente aus U, sind alles Elemente aus U und dann noch weitere Elemente B'm plus 1 bis B'n, die dazukommen. Und was ich jetzt behaupte, ist diese Elemente B'm plus 1 bis B'n,

die zeigen Ihnen auf, wie sie zu einer Basis von ihrem Faktorraum kommen. Also ich behaupte, die Menge B' enthält die Restklasse von B'm plus 1, B'm plus 2,

Restklasse bis B' Restklasse von B'n. Ich behaupte, das ist eine Basis von V nach U. Das Faktorisieren vergisst alles, was in U stattfindet. Das heißt, das Faktorisieren vergisst alles, was B'1 bis B'm tut und B'm plus 1 bis B'n

Das ist meine Behauptung, das will ich Ihnen zeigen. Und wenn ich Ihnen das gezeigt habe, dass das eine Basis ist, dann sind wir fertig. Weil wie viele Elemente hat diese Menge? Diese Elemente hat n minus m Elemente und damit ist die Dimension n minus m. Also wenn ich Ihnen zeigen kann, dass es eine

Basis, dann sind wir fertig. Also was müssen wir tun? Wir müssen zeigen, dass es eine Basis ist. Das heißt, wir müssen zwei Dinge nachweisen. Wir müssen nachweisen, dass die Mengelinie unabhängig ist und wir müssen nachweisen, dass sie den ganzen Raum erzeugt. Ich will diesmal mit dem zweiten anfangen, also damit, dass das den ganzen Raum erzeugt. Das ist die Eigenschaft B2.

Also was wir zeigen müssen ist, wenn Sie das Erzeugnis dieser Basis, dieser Schlangenbasis hier nehmen, das ist jetzt ein Erzeugnis in V nach U. Das B-Schlange ist eine Teilmenge von V nach U und das Erzeugnis soll

der ganze Raum sein. Wie weist man das nach? Immer gleicher Ansatz. Man nimmt sich ein Element von dem Raum her, also hier gibt es ein Element von V nach U und zeigt, dass man das linear kombinieren kann aus den Basisvektoren. Also Sie nehmen sich irgendein Element V-Schlange her aus dem V nach U und

müssen jetzt irgendwie nachweisen, dass dieses V-Schlange sich kombinieren lässt als Linearkombination aus den Vektoren in B-Schlange, also aus Bm plus 1-Schlange, Bm plus 2-Schlange und so weiter bis Bn-Schlange. So wie machen wir das? Was da steht soll nicht heißen, sei Null aus V nach. Was da stehen

soll ist V-Schlange aus V nach U. Also wir haben den V-Schlange und müssen das kombinieren. Wir wissen erst mal in V nach U nicht viel,

wo wir was wissen ist in V. Also nehmen wir uns doch mal einen Präsentanten von dem V-Schlange her, naheliegenderweise das V und was wir wissen ist, das V ist ein Element von V, das heißt dieses V können wir

darstellen in der Basis B-Strich. Also B-Strich ist eine Basis von V, also können Sie das V darstellen mit Skalan Alpha 1, Alpha 2 bis Alpha n,

sodass Sie das V schreiben können als Summe j gleich 1 bis n Alpha j Bj. Das liegt einfach daran, dass B-Strich eine Basis von V ist. So, dann schauen wir uns

doch mal an, was das für V-Schlange bedeutet. Was ist dann V-Schlange? Den ersten Schritt kann auch jeder hinschreiben. V-Schlange ist dann die Summe von j bis 1 bis n Alpha j Bj, große Ersetzung von V-Schlange durch diese Summedarstellung. Und jetzt müssen wir

uns überlegen, was bedeutet das? Wie war das Addieren in V nach U definiert, indem man, wenn man addiert zwei Vektoren, indem man jeweils,

also man addiert zwei Restklassen, indem man jeweils Präsentanten nimmt, die Restklasse davon bildet und die große Schlange drüberschreibt. Das heißt, diese große Schlange hier können wir am Pluszeichen auftreten und kriegen, das ist die Summe j gleich 1 bis n Alpha j Bj Schlange.

Das ist die Definition vom Plus in V nach U. Mit dem Summenzeichen, die es sieht, schreibe es sich in Pünktchen hin. Dann sieht man es. Dann, was ist Alpha j Bj Schlange drüber? Nach der Definition von der Skalarmultiplikation ist das Alpha j mal die

Restklasse von Bj. Das ist die Definition von mal im Faktoraum. So, jetzt wissen wir aber B1 bis Bm, die ersten M-Basis-Vektoren von unserer B-Basis, die sind alle in U. So hatten wir die B-Basis gerade gewählt,

wir hatten eine Basis von U gewählt und dann so eine Basis von V ergänzt. Die ersten M-Basis-Vektoren liegen in U. Das heißt, wenn Sie sich deren Restklassen angucken, B1-Schlange, B2-Schlange bis Bm-Schlange, dann sind die alle, das sind Elemente von U, wenn Sie nach U faktorisieren, sind die alle

Null. Weil sie alle in U liegen, alle U-Elemente haben die gleiche Restklasse wie die Null und damit sind die alle Null. Das heißt, was, wenn Sie sich diese Summe mit dem V-Schlange da oben nochmal angucken, haben

Sie da eine Summe von 1 bis N stehen, aber die ersten M-Summanden sind überhaupt nicht da oder sind Null. Das heißt, Sie haben eigentlich eine Summe von M plus 1 bis N, Alpha j, Bj-Schlange. Und das heißt genau, das V-Schlange ist in der linearen Hülle der Vektoren Bm plus

1 bis Bn-Schlange. Naja, und das war genau die Basis B-Schlange oder unser Kandidat für eine Basis B-Schlange. Also erzeugt B-Schlange in,

also Sie können aus B-Schlange das V-Schlange kombinieren, V-Schlange war beliebig, also erzeugt B-Schlange den ganzen Raum. Das war B2, jetzt kommt B1. Wir müssen noch nachweisen, die Bm plus 1 Schlange bis Bn-Schlange sind linear unabhängig. Also diese Menge B-Schlange ist linear unabhängig.

Auch das spielen wir natürlich auf die lineare Unabhängigkeit in V zurück, aber das ist an der Stelle jetzt erstmal nicht selbstverständlich. Was müssen wir tun? Wir müssen zeigen, wenn wir aus diesen N minus M-Vektoren den B-Schlange in den Null kombinieren können, dann nur trivial.

Also wenn wir alpha m plus 1 bis alpha n aus dem Skalatkörper hernehmen, so dass die Linearkombination den Null-Vektor ergibt. Also wir addieren für J von m plus 1 bis n alpha j B-J-Schlange.

Das soll Null-Schlange sein. Wenn das passiert, müssen wir jetzt nachweisen, alle alpha j sind Null. Also was haben Sie? Sie haben Null-Schlange, ist gleich diese Summe. Also m plus 1 bis n alpha j B-J-Schlange.

Gleiche Rechnung wie oben. Wenn Sie mit einem Skalar multiplizieren, machen Sie das, indem Sie das Skalar mit dem B-J multiplizieren und eine große Schlange drüber schreiben. Wenn Sie addieren, machen Sie das, indem Sie die Einzeldinger addieren und dann die große Schlange drüber schreiben.

Also was hier steht, ist die Summe von m plus 1 bis n alpha j B-J. Große Schlange drüber. So, was bedeutet das? Jetzt haben Sie die Gleichheit von zwei Äquivalenzklassen.

Die Äquivalenzklasse dieser großen Summe rechts ist dieselbe wie die Äquivalenzklasse von Null. Die Äquivalenzklasse von Null ist U. Das heißt, diese große Summe hier liegt in U. Das liegt in U.

So, jetzt ist aber B. Jetzt ist B, das war die Menge der ersten m-Basisvektoren von unserem B-Strich, ist eine Basis von U.

Also kriegen Sie jetzt Zahlen alpha 1 bis alpha m oder Skalare alpha 1 bis alpha m in K. So, dass Sie dieses Element hier, dieses U-Element, also die Summe von m plus 1 bis n alpha j B-J

schreiben können, als eine Summe von 1 bis m alpha j B-J. Also Sie haben ein Element in U, Sie haben eine Basis von U, dann können Sie dieses Element

immer als die Nivea-Kombination der Basis schreiben. Das ist eine der fundamentalen Eigenschaften einer Basis. So, wenn Sie sich jetzt das genauer angucken, was wir hier stehen haben, dann denkt man auf den ersten Moment, hey, jetzt steht links und rechts das Gleiche. Nein, links und rechts steht überhaupt nicht das Gleiche, weil links summieren Sie von m plus 1 bis n und rechts summieren Sie von 1 bis m.

Da steht nirgends das Gleiche. Aber Sie können das mal alles auf eine Seite bringen. Wenn man das alles auf eine Seite bringt, dann steht da, 0 ist das Gleiche wie

die Summe von m plus 1 bis n alpha j B-J minus die Summe von 1 bis m alpha j B-J. So, das können wir jetzt noch ein bisschen umsortieren.

Das ist die Summe von 1 bis m minus alpha j mal B-J. Ich habe nur das Minus-Zeichen in die Summe reingestopft. Plus eine Summe von m plus 1 bis n alpha j B-J.

So, und jetzt schauen Sie sich mal genau an, was da steht. Da steht rechts eine Linearkombination der Vektoren b 1 bis b n. Jeder taucht einmal auf, alle von 1 bis m in der ersten Summe und die von m plus 1 bis n in der zweiten Summe.

Das heißt, das, was rechts steht, ist eine Linearkombination der Vektoren b 1 bis b n. Und diese Linearkombination ist Null. b 1 bis b n ist aber eine Basis von V. b 1 bis b n ist eine linear unabhängige Menge, meine Basis.

Also bedeutet das, wenn Sie so den Nullvektor kombinieren, sind alle diese Zahlen da Null. Das heißt, Minus a 1 ist dasselbe wie Minus a 2, ist dasselbe wie Minus a 3, ist dasselbe wie Minus a m. Ist dasselbe wie alpha m plus 1, alpha m plus 2 und alpha n. Die sind nämlich alle Null.

Insbesondere die ersten m interessieren uns gar nicht. Sind alle alpha m plus 1 bis alpha n gleich Null. Und das ist genau das, was wir zeigen müssen. Das waren am Anfang die Koeffizienten und das war der Ansatz.

Wenn wir mal an die Seite zurückgehen. Wir hatten angesetzt Summe m plus 1 bis n, alpha b j Schlange ist Null Schlange. Und haben jetzt rausgekriegt, diese Vorfaktoren müssen alle Null sein und das ist die lineare Unabhängigkeit der b j Schlange. Damit habe ich Ihnen gezeigt, dass die Menge b n plus 1 Schlange bis b n Schlange eine Basis ist.

Also Moment, ich gehe jetzt nochmal hierhin zurück. Damit habe ich Ihnen gezeigt, diese Menge ist eine Basis, die hat n minus m Elemente.

Damit hat jede Basis n minus m Elemente, damit ist die Dimension n minus m. Und ich will noch auf eine Sache hinweisen, weil dieser Beweis sehr viel mehr tut, als nur diese simple Dimensionsformel Ihnen zu beweisen. Also das kriegen Sie jetzt zum einen raus, Sie kriegen die Dimension vom Faktorraum raus.

Aber wenn Sie sich den Beweis angucken, liefert der Beweis Ihnen eine konstruktive Methode, wie Sie eine Basis des Faktorraumes bestimmen können. Wenn Sie Ihren V haben und Ihr U haben und Sie suchen eine Basis von V nach U,

dann können Sie es immer so machen wie hier im Beweis. Also auch wenn Sie ein ganz konkretes Problem haben, nehmen Sie sich eine Basis von U her, ergänzen Sie diese Basis von U zu einer Basis von V. Nehmen Sie sich die Elemente, die Sie dazunehmen mussten beim Ergänzen, bilden Sie von denen die Schlangen, die Restklassen und diese Restklassen der Vektoren,

die Sie zum Ergänzen genommen haben, die bilden zusammen die Basis vom Faktorraum. Also Sie kriegen durch diese Konstruktion hier einen Prozess, der es Ihnen ermöglicht eine Basis vom Faktorraum anzugeben, wenn Sie eine Basis von U und V angeben können natürlich nur.

Das werden Sie auf dem nächsten Übungsplatz auch mal zu üben kriegen. Ich mache jetzt heute an der Stelle tatsächlich freundlicherweise zwei Minuten früher Schluss, weil wir gleich ein neues Thema anfangen würden. Ich danke für die Aufmerksamkeit und bis weiter.