Bestand wählen
Merken

Eigenwerttheorie

Zitierlink des Filmsegments
Embed Code

Automatisierte Medienanalyse

Beta
Erkannte Entitäten
Sprachtranskript
immer so naja Lernmaterialien an der TU Darmstadt so
oder immer herzlich willkommen und einen schönen guten Morgen wir waren letztes Mal bei den Determinanten stehen geblieben ich halte ihn definiert über die Determinante von der quadratischen Matrix ausrechnet und dann gezeigt das man sozusagen alle Techniken die man aus dem Gas Algorithmus kennt um kleinen Systeme zu lösen auch gewinnbringend einsetzen kann um Determinanten auszurechnen und vielleicht so als wieder Aufwärmung machen wir noch schnell das Beispiel 10 was ist das 10 6 P auch und noch mal zu zeigen was sie letztes Mal sagte bei Determinanten lohnt sich sehr genau darauf zukucken und geschickt zu rechnen es gibt 100 Möglichkeiten die auszurechnen die dann zwischen 4 Zeilen und 500 sein Rechenaufwand bedeuten und da lohnt sich's nicht einfach nur trostlos zu rechnen also die Nummer 2 Elemente aus meinem Körper K stellen sich die gereizt als 5 und PS 3 und dann hab ich nie in Kreuz Ende Termin nannte und 2. die spezielle Form das auf der Tribunal überall als steht und alle andern Einträge sind wir also hier unten und da oben Dreieck das sind alles besser und auf der Diagonale steht die Frage was die Determinante abhängig von innen wenn gleich zweier zu das noch hin aber ich hätte es gerne für jedes in und jetzt ist es sonnig der da kann man jetzt natürlich etwas sagen gut wir entwickeln Blut voraus nach 1. Zeilen nach Definition das können Sie gerne machen aber das Ergebnis wird verheerend sein in dem Sinn das wird überhaupt keine keine kein Bildungsgesetz sie lernen sie die das denn im Kreis EN ausrechnen wollen müssen sie wird ausgesetzt sehen und da kann man jetzt stundenlang rumprobieren und dann findet man dann einen richtigen Trichter und das ist folgendes sind immer erst mal die 1. Zeile und ziehen die von allen anderen Zeilen ab wir also einmal die 1. Zeile von allen anderen sein abziehen das dürfen Sie machen nur das ist mir die Haupt Umformung außen aus Verfahren addiere 4 einer Zeile zu einer anderen und wir haben mal festgestellt wenn sie das machen dem sendete Termin nannte gar nichts also die 1. Zeile bleibt stehen die SA die die B so was aber der 2. Zeile dann wir vorne stehen den -minus A und dann -minus B und dann eine ganze Menge 0 das ist die Idee von dieser Aktion da eine ganze Menge 0 zu produzieren weil sie bereit gegen das BMF ja nein der DFB gibt ist immer die gleiche Zahl also diese Determinante hier den herzoglichen bezahlen 3 und 5 Werte die und 1 3 und alles andere führt sonst wären stimmt das nicht so also in allen weiteren zeitlich in der Spalte hier haben sie überall den -minus A stehen weil sie über den -minus rechnen dann auf der Diagonalen steht überall an -minus B dies dreieckiges 0 weiter über den Industriestädten und hier unten haben Sie auch in Reihe B -minus B das ist auch 0 man da sieht man damit Determinante schon bisschen aufgeräumt dann deutlich mehr Nullen als vorher werden nur noch Werte des nicht nur sind in der 1. Zeile in der 1. Spalte und auch für die Ungarn gut das muss man auch überlegen wie wir das so hinkriegen dass wir wieder obere oder untere Dreiecks Matrix hinkriegen und das Ziel wird jetzt sein wo also der obere Dreiecks Matrix zu kriegen das heißt wir wollen diese B -minus an der 1. Spalte zu 0 machen wenn man sich das anguckt sieht das ganz praktisch aus weil sie haben in jeder Zeile einmal der Gewohnheit ab Industrie stehen das heißt wenn Sie jetzt jede Spalte außer der 1. auf die 1. drauf addieren haben Sie über den nun also in dem sich nun werden gesagt sie dürfen beim Determinanten berechnen alles machen was sollen besser fahren macht und zwar sowohl mit seinen wie auch mit spalten wenn sie ganz ist dem lösen lassen Sie die Finger von Spalten aber Determinanten berechnen ist das okay weil es liegt daran dass die Determinante von Adidas dominante von transponiert leistet also im Prinzip könnten Sie jetzt erst wenn schreiben Sie transponiert die ganze Matrix und dann arbeiten sie mit sein können sagt er mit spalten arbeiten also wenn man diese Spalten addieren Sie hier drauf wenn in diese Spalte und addieren Sie auch auf die 1. Zeile und so weiter also alle Zeilen alle Spalten die 2. bis Ende spaltete 1. dazu addiert das ist wieder mit wurde 3 von aus Verfahren die ihre eine Zeile vielfach eine Zeile oder Spalte zu einer Zeile oder Spalte dabei ändert sich die Determinanten ich haben wir gesehen und wenn sie das machen dann bleibt also wieder die ihren Mehr die in jeweils die spalten sich beide divergierenden oder 2 Einträge oben B und auf die Liebe na das er -minus P was passiert also ganz oben links der Kriege war +plus B +plus B +plus B +plus b n -minus 1 mal B also Fluss n -minus 1 B dann bleibt der Rest ja oben unverändert erwähnen wir nur der 1. Spalte was was passiert in der 2. Zeile in der 1. Spalte dem sie den -minus A +plus A -minus B +plus 0 +plus +plus +plus +plus +plus nur also nur und so ist es auch in einem weiteren Spalten der einen weiteren Zeilen der 1. Spalte es ist immer der -minus A +plus das Anwenders -minus B der Wunder allen oder ist von der Matrix bleibt so wie er war also hier steht -minus B da steht er -minus B die ganzen den Anstieg an -minus B und der ganze Rest ist nur die große 0 heißt der stieg über und tja und jetzt oder 13 8 dieser den gezeigt wie Sie weiter oben 13 aber so und so und so und so ja es war sogar genau so nur QC wie sie dagegen ausrechnen und das ist der einfache Fall also das war dass die Bemerkung
10 GE die gesagt hat wenn sendet 3 Matrix haben können Sie einfach die Diagonale in in einem multiplizieren also was herauskommt ermittelt 10 4 ihrer das dann er weil es für unsere 3 x Matrix ist multiplizieren Sie alle diagonal Einträge dann kriegen sie arglos n -minus 1 mal B mal 1 b mal a -minus b mal a -minus n -minus 1 1 mehr steht die Determinanten bin also mit diesem das 3. kann man sogar so hässlich ist zeigt wie in Kreuz N Matrizen wenn sie durch spezielle Struktur haben die Determinanten ausreichende so seit ich ihm gesagt die Determinante hat verschiedene Zwecke aber eine ihrer wesentlichen Zweck ist dass sie in Maß dafür gibt ob Sonne Matrix in der hier war ist das Formulieren war nochmals Satz hatte schon paar mal erwähnt er will und zwar ist das der 1. Teil jetzt ist erstmal das werden sie nicht den Wert hier war ist dass die Determinante dann 0 ist also wenn sie mit im Kreuz Matrix haben die nicht in der Tier war es das können sehr verschiedene Weisen ausdrücken eine Möglichkeit das zu sagen der Rang ist nicht voll war Kokh ein Kreuz in Matrix mit 3 kleine n dann ist dieser Termin nun da sie die nicht in der Tiber Martinstag Determinante 0 ich 40 jetzt drauf den Beweis ausführlich hinzuschreiben aber die IG kann man relativ simpel erklären was bedeutet das dass der eigentlich voll volles ist da ein kleiner Imbiss das heißt eine der Spalten ist also das heißt ich weil sie ja abhängig das heißt eine der Spalten ist linear Kombination andere wenn das so ist dann können Sie wenn das Verfahren immer so viel als Vielfache von als Schwein drauf war denn das 0 Spalte kriegen sie können diese diese Spalte die ich es Ausnahmen kombinieren jetzt sehen so lange ab bis wir nur Spalte haben und wenn sie nur Speisen ihrer Matrix haben dann können Sie die Determinante sehr leicht ausrechnen weil entwickeln sie einfach nach der 0 Spalte und dabei kommt 0 raus dabei 7 0 war die 1. Termin nannte haben also kommen sie an reinen nicht voll ist Determinanten 0 es kann man Sauna alles ausführlich aufschreiben Skript steht aber das ist die ganze Idee dahinter es ist denn nur mühsam bis man alle Indizes zusammengesammelt hat das aufzuschreiben so dass es im Prinzip die Vorbereitung für den Satz 10 9 der jetzt sollte das in der Kriterium angeht also den Nachwuchs im Kreuz in Matrix quadratischen Matrix ist in der Tiere war genau dann wenn die Determinante ungleich 0 ist in die eine Richtung haben wir schon wenn sie nicht wird hierbei ist der Wert 0 was wir machen müssen dass die andere Richtung und man kann sogar
wenn Sie ihnen wird hierbei ist es nicht schön einfachen Zusammenhang angeben zwischen der Determinante der inversen und der Determinante von die Determinante denn das ist nicht einfach denn der also der Determinante von so ganz kurz zum Beweis also die Richtung ja in welche Richtung ist das oben wenn der wenn Sie nicht wird hierbei ist dann ist die Determinante 0 also im Umkehrschluss wenn sie nicht 0 ist dann ist das Ding wird hier war also das da ist das 10 8 und was wir noch brauchen ist die Umkehrung umgekehrte Richtung also brauchen noch denn hier wenn in der Tier war dann Determinante ungleich 0 und ich nur 1 wenn das Ding in der Tiere war es dann gibt es die inverse und dann geht i gleich an auf minus 1 wenn er wenn die beiden Matrizen gleich sind dann sind auch die terminanten gleich Determinante von der Einheitsmatrix kennen wir diese 1 oder lade ich ihnen gezeigt wie dominanten gibt eine wunderschöne Rechenregel die dann nämlich lautet wenn sie das Produkt von 214 haben dann ist die Determinante vom Produkt Produkte der nannten und noch mal die Warnung der dazu +plus ist das grob falsch ehren so gesehen sind also wenn das Ding wird hierbei ist dann geht diese gleichen das Determinante von arbeitet einer davon auch 1 1 1 ist und dann der Determinante von aber bitte schön nicht nur sein kann bei den 1 gleich 0 Determinante von a ungleich 0 Gott ja und das Ding die wird ihn auch die Formel 1 weil es dem Lande von gleich 1 durch Determinante von auch dem ist nicht also das was die ganze Zeit angekündigt hat tut die Determinante sie sagt noch mehr macht Sinn wird Tiere ist und damit ist sie in der wagten schönes schnelles in der Tiber als Kriterium sie Unabhängigkeit Kriterium für die Spalten also man sieht gucken wollen ob in Vektoren im R sind ist die schnellste Methode stecken Sinne Matrix und drucken setzte wird damit aber nicht nur das und da solche Dinge mit ich will noch einen
interessanten Aspekt im Zusammenhang mit unserer Endlichkeit von Matrizen loswerden das folgt hier direkt aus Cola 10 10 also wenn wir uns jetzt 2 Matrizen her die ähnlich sind was ist das noch mal das es wir können sie durch die Basis wechselnde überführen also es gibt man über ist es so dass gleich es auch -minus 1 PS ist das heißt die beiden gehören übern Basis Wechsel zur selben linearen Abbildungen und dann behaupte ich dann haben sie die gleiche Determinante 2 ähnliche Matrizen nahm immer die gleiche Determinante die Determinante sogar eine sogenannte wunderschön hochgestochen Ähnlichkeit in Variante so heißt es ist eben bei und der Ähnlichkeits Transformationen änderte sich nichts und das beantwortet eine Frage die ich letztes aufgeworfen nicht restlos beantwortet hab ob alle Matrizen aus der nur Einheitsmatrix ähnlich sind und der über das Nein weil wenn sie ehrlich sind dann müssen sie gleich Determinante haben das heißt sie haben zumindest für jeden Wert im K 1 Ehrlichkeit Klasse von Matrizen und das ist nur sogar noch mehr also nicht alle Madrid mit gleicher Determinante sind ähnlich aber zumindest wenn sie es sind sie gleich Determinante das heißt Matrix mit der Determinante 3 1 arbeiten damit Determinante 7 können nicht ehrlich sein so unter Weise geht relativ klaut von Stift das ja wohl auch nicht cooler annehmen also A und B sind ähnlich also nehmen wir uns und unsere Basis Wechsel Matrix es dies immerhin wird hier war so dass das BE geschrieben werden kann ist es noch minus 1 A 1 und dann rechnen sie halte Determinante von B aus Determinante von B ist dann Determinante von es noch -minus 1 a s multiplikative Wert der Determinante Determinante von Produktes Produkte Determinanten also Determinante von es auch -minus 1 mal Determinante von mal Determinante von 1. von es noch minus 1 ist Determinante von es auf minus 1 das war der Satz von gerade eben jetzt mit der Determinante von aber immer davon es und wir hätten natürlich gerne dass da steht in der Mitte von erstmalig den Determinante von aber würden sie sich aus auf wie sind sie ausreichend vorsichtig geworden dass nicht sofort umdrehen dabei weitet Matritze muss nur vorsichtig sein und darüber nachdenken und dann fällt ihnen auf so'n Quatsch machen so übervorsichtig die Determinanten sind 2 der Täter werde von A ist er werden K wir sind in 1. unserer Zeit dass Sie natürlich verdrängen in K Estímulo vigation kommunikativ kommutativ kommunikativ ist kommutativ das heißt die beiden dürfen sie tatsächlich tauschen an Ästen sich tauschen werden ist aus nahm jetzt die Tête an dort aber dieser endgültig geklärt es gibt viele viele Äquivalenzklassen bei der ich halt so und da ist das noch bedeutet und deswegen das ist die Haupt Bedeutung von dieser Beobachtung also das dass es viele Quellen es Klasse also viele Ewigkeitslasten Klassen die so Nebenprodukte wie die Hauptbedeutung davon ist folgendes wenn sich jetzt überlegen er seiner 3. ähnlich genau dann wenn sich der Basis Wechsel überführen lassen das heißt man sieht eine lineare Abbildung nehmen und die mit allen möglichen Basen angucken und die ganzen Abbildung Matrizes lauter verschiedener Bildungs vertreten aber diesen als eine ähnlich und das heißt dem alle die gleiche Determinante das bedeutet diese Zahl Determinante dies eigentlich gar keine Eigenschaft der speziellen Matrix von diesen Eigenschaften der Abbildung wann diese in Bildung die Determinante beschreibt lineare Abbildung und egal welcher Basis die ankucken wird immer die gleichen die die Matrix Abbildung Smart ist immer die gleiche Determinante also ich habe es mir so oft geht an werden gleich für alle ab Bildungs Matrizen einer linearen Abbildung wir also wenn sie die in der
Abbildung fix halten und jetzt alle Abbildung Smart ritzen zu diesem linearen Abbildung anschauen dann sind die alle an die alle diese sind im April zum natürlich alle verschieden aber dem alle dieselbe Determinante weil sie alles in eine ähnlich sind und deswegen macht folgende Definition sind der diese Termine nannte es für alle Matrizen gleich und damit können Sie die Determinante von Vieh war 1 Abbildung wie das können Sie die Determinante von 4 definieren damit sagen würde wenn sie den Mann der von vielen Determinante von irgend Abbildung Smart Rex und Fly wer das die gefährliche Definition weil wir Nachbarn andere Basis hinter den anderer Bildungs Matrix aber die hat in dieser wieder Termine hat so dieses der 4. werde anschauliche Bedeutung dieses der sie ist die Volumenänderung die lineare Abbildung macht 1 7 Wochen nehmen mit Volumen ein Kubikzentimeter das kleine aber gut und in den 7 Jahre Abbildung ab wann kommt der 1. Schiefer Quadern und immer mehr gerade was hieß es bei raus je nachdem was die Abbildung ist aber das Volumen dieses dieses Ding ist dieses n entstehenden Objekts ist genau der 4 Mal so groß wie das Volumen von dem wir für das am Anfang hatte also Berlin ja Abbildung also müssen den Würfel allerdings wusste zu sein sie müssen das Ausgangsvolumen um den Nullpunkt zentrieren sonst ist Katja bei Kleist der diese Strecke um Faktor 2 vor die macht natürlich weit draußen Mehr als oder in Hattingen ist wir streiten um 2 Dinge ständiger wo das denn nicht also die der Abbildung verändert das verändert Volumen in ihrem in ihren Raum um den Faktor der die wenn Sie sich jetzt noch mal an unsere Projektion letztes erinnern unsere Projektion was hat Sie gemacht die hat jeden weg der war aufnehme projiziert die Projektion ist offensichtlich nicht so jektiv das heißt ist nicht wie das heißt es sich wird hier was heißt die Determinante 0 das macht auch Sinn weil wenn sie mit einem Volumen starten und das Volumen jetzt per Schattenwurf auf die Ebene projiziert wird das Volumen um den Faktor 0 multipliziert wird 0 mit der Fläche draus also in dem Sinne ist das gemeint 2 so weit zum Thema Determinante wie gesagt dass in verschiedenen Bereichen taucht immer wieder auf und ich will sie jetzt Sie mir doch gleich wieder auftauchen beim nächsten Thema das ist die so genannte eigene Theorie ich sag leicht das
ist erstmal nur Name aber die Frage ist was bedeutet das im Prinzip anders das ist das letzte Kapitel von unserm lineare Algebra Block des auch gesehen haben das Skript läuft schon wieder aufs Ende zu das bedeutet nicht dass wir jetzt 3 Wochen Eigenwerte machen so das bedeutet das noch in der Pille vom Skript kommen das werd ich irgendwie dieser Tage also spätestens aber wahrscheinlich heute Nachmittag noch hochladen so nur gilt es geht der Frage die auch schon angeklungen ist die gegen eine lineare Abbildung kann kompliziert sein besucht mit Basis in der die Abbildung SmartThings möglichst einfach wird bewerten Mason konstruiertes Beispiel dadurch in die richtige Basis in die Hand gedrückt und dann den was gemacht 48 hat die Matrix und auf der Diagonalen eindringen wir ehren und die Frage ist geht sowas immer oder wann geht sowas und was dahinter steckt es folgende Überlegung sie haben wenn Sie sich so standen lineare Abbildung nehmen Spiegelungen Projektionen Drehung um Achse zum Beispiel dann gibt es ganz oft Richtungen die für diese Abbildung ganz was Besonderes sind also bei der Drehung offensichtlich die Achse die Achse um die sie drehen ist wie der ausgezeichnete Richtung die für diese Abbildung der relevante Rolle spielt was sich darin ausdrückt das alle Punkte die auf dieser Achse liegen wird die Drehung gar nicht verändert werden sogenanntes fix Gebilde bei der Spiegelung ist die Spiegelachse oder die Spiegel eben bei der Projektion ist die Ebene auf diese projizieren und die Richtung in die sie projizieren und das sind was macht diese Richtung aus das sind diese besondere Richtungen das Einrichtungen die in den Abbildungen mög eigentlich sehr einfach addiert also auf der Drehachse macht sie einfach nichts auf der Spiegelachse macht sie nichts senkrecht geraten wenn Sie einfach mit minus 1 mal alle die auf der Projektions Linie liegen werden auf 0 projizierten sie mit 0 mal alle diente Projektions Ebene liegen werde nicht verändert damit 1 mal genau und solche Sektoren die nur um den Faktor geändert werden denn der Mann eigentlich Eigenvektoren und das ist die Definition jetzt also die Idee dahin indes immer besuchen Richtungen im Raum oder im R 17 in die also Vektoren die Richtung im Raum in die Abbildungen sehr einfach agiert ich indem sie einfach nur skaliert indem sie nur mit dem Faktor Lander multipliziert also werden K Vektorraum das kann man wieder den Eigenwert Begriff kann man definieren in beliebigen meinetwegen auch unendlich dimensionale Rau sie eine lineare Abbildungen von Frauen Frauen das 11 von V war der Raum aller Länder Verfahren auf PHV und man traut man beiden Arguments gleich ist Dieter dich dafür von Frau geschrien und danach nur noch eine Zahl an den Karren zur also der der Inka heißen Eigenwert von Fly und Eigenwert örtliche 10 weiteren mit IW abkürzen falls Sie einen Vektor v aus v finden dieses V ist jetzt diese spezielle Richtung in der sich die MA Abbildung einfach verhält also zum Beispiel ein liegt auf der Drehachse von Jung und damit das auch wirklich will Richtung ist muss es bitte schön und gleich 0 sein der nur weg da hat keiner Richtung also V des nicht 0 ist auf dem das Vieh einfach agiert in dem es nämlich einfacher miteinander multipliziert das einen Vektor der nicht 0 ist und der von vielen nur aufflammender Davy ab von nur Philander V abgebildet wird der nennt man ein Eigenvektoren das Lamm darbendes und Frau gibt heißt dann Eigenwert so und Eigenvektoren werde ich mit IV abkürzen das ist sehr ähnlich zu iwie aber zum Glück verschieden wenn die Franzosen ein echtes Problem dabei ist war ob Raub und weckte Abbruch VP und VP die Katze trotzdem mit Fahrten mit VP aber dass der Vorteil ist dass eine Mehr likes anderes weiblichen da muss man sammle oder blau unterscheiden das ist mühsam bis wirklich Mühe ende gut also aus IV W neigen Vektor ist ne Richtung im Raum das heißt ein nicht nur Vektor der von der Abbildung nur gestreckt oder gestaucht wird also mit dem Lande multipliziert und das Land da ist dann der Eigenwert so dass es Definitionen gewesen jetzt kommt ein Beispiel um noch
mal das was ich gerade gesagt hat deutlich zu machen was so war der Spiegelung also nehmen uns einfache lineare Abbildung Ebene dann kann man es gut malen von der 2 1 2 1 eine Spiegelung an der x 2 Achsen zu unternehmen und sich dann aber sehr die passt da gut dazu also 1 0 0 0 1 so was macht jetzt viele der Stern mit den Standard Basis Vektoren also der Spiegel an der in ich gegen 1 x 2 Axel Wohnung was macht dann das viel mit dem er einst ja das wird hierüber gespiegelt wenn T das heißt viel von E
1 ist genau -minus E 1 das heißt e 1 ist eigen Vektor von P zum Eigenwert -minus 1 Nantes weckte der nur minus 1 multipliziert wird und nicht der Nullleiter ist und was passiert mit dem E 2 na wenn sie den Spiegel dann dass ich mit dem grauen nächste bleibt der L 2 also viel von E 2 sie zweimal und das heißt die 2 ist eigen Vektor von die zum Eigenwert 1 eigen Vektor zum Eigenwert meine mit dem nichts passierte die von Frau gleich vor eigentlich dazu neigen Eigenwert 0 ist einer der auf 0 abgebildet wird die von Frau gleich 0 weil Frau so sehen es die Eigenwert und es gibt Eigenvektoren und sie sehen auch dieser Eigenwert Vektoren sie nicht also ist es nun so aus dass sie sich ein Kunstprodukt sondern die schreibt beschreiben sehr genau die relevanten richtungsweisende Spiel in der Abbildung was sind die wurde können Sie Sonne sowie Spiegelung beschreiben also brauchen die Spiegel Achse die Spiegelachse kriegen sie einfach hat als den eigenen Vektor zum Eigenwert 1 das sind die Vektoren die wirklich die Abbildung beschreiben deswegen sind sie die interessanten legt an so interne denn eigentlich dazu zwar Lilian Abbildung ja festgestellt zumindest weiterer Raum endlich dimensional ist rechnen wir lieber mit der Bildungs Matrizen also sobald der Abbildung habe der echten wollen denn das mir Basis und man der Bildungs Matrix in der rechnen können und das heißt wir brauchen jetzt den Begriff des Eigenwerte des eigentlich dass eine Matrix und das des
nächsten also dazu passende Begriff Eigenwerte und Eigenvektoren von der Matrix und es geht genauso also Sie haben quadratische Matrix die ganze Eigenwert Theorie genauso wie die Termindaten Spieler auf quadratischem warum wer diesen Eigenwert definieren können brauchen sie viel von Frau gleich lang damals V damit viel von v und V E R wie gleich sein können müssen im selben Raum sein werden die von Frau einen Raum mit dass Frauen ist sie von Verbrechern auf Frau ziemlich doof das heißt das Ganze macht nur Sinn wenn sie der Abbildung von vorn noch Frau haben von den strengen Sinne quadratischen Matrix also eine quadratische Matrix den Innenwänden Lande Eigenwert von A jetzt wieder falls es den zugehörigen Eigenvektoren gibt also sie brauchen man X aus K existiert das ist der zugehörige Eigenvektoren wie oben 1. darf der nicht 0 sein und zweitens muss gelten A X gleich der X und X ist dann der alten Vectra also wenn Sie jetzt die beiden R Definition vergleichen ist es genau das selbe nur das Hifonics durch AX ersetzt ist also dass der eigene Vektor von zum Eigenwert dann zur Wende sind die Sinn machen soll dass wir die Eigenvektoren von Ahmad von Anlegern Abbildungen dadurch bestimmt dass wir sie von der Matrix bestimmen da muss es wieder egal sein welche Art Bildungs Matrix in den was wir so dringend brauchen diesen Satz dass wir zwar ähnliche Matrizen die Eigenwerte dieselben sind das ist der der jetzt komme denn wer angesehen Eigenwerte sind eigentlich der Eigenschaft der Abbildung insofern ist es nicht verwunderlich also man dann neigen wert ist von der Matrix A aus kann auch in Kreuz N und wie jeder andere Matrix die sehr ähnlich zu da muss gefälligst damit die Definition vom Eigenwert ferner Abbildung sinnlich ist das Land der Eigenwert von den sein 3. bitte schön auch mit selben oder wie ja
muss eben Eigenwert von besser so warum ist das so das geht relativ fix wann immer wir haben 2 Matrizen diese ähnlich also was bedeutet dass es bedeutet wir können wir schreiben als es noch minus 1 a S wobei es wird hier waren Matrix immer mehr K auch im Kreuz ist es ,komma jetzt mittlerweile Kinder 2 schreiben ist ist aus der speziell in den Jahren aus der bisher linearen Gruppe n k aber das ist so einfach nur heißen ist ist mir in Kreuz in Matrix die wird ist sah war dass der allgemeinen Jango bin ich aus der speziellen so war als es heißt einfach nur wir können wieder DSS 1 1 a s schreien und jetzt sagen wir x sei also unser Eigenwert von A zum Eigenwert Lander also ich X ist Vektoren Ende nicht 0 ist und das sei der eigene Victor zum Eigenwert lahmender das heißt es gilt A X Islam Texten die Bedingungen Eigenwert so XS ungleich
0 das heißt wenn wir uns jetzt nicht definierten Y als es noch minus 1 x es ist in der Tiere war es heißt es so -minus 1 gehört zu der Direktiven Abbildung X ist nicht 0 dann kann auch y nicht 0 sein y 0 wäre dann wäre X im Kern von es auf -minus 1 vor der Kern von X auf minus 1 enthält zwar also das y und weckte den ich nun ich zeige Ihnen jetzt y ist eigen Vektor von B zum Eigenwert Land ab das heißt das rechnen wir aus ausrechnen aus das BY ist wir müssen zeigen dass Islam dort weil es ja nicht nur deshalb weil dann einen Vektor befunden und Lander ist ein Wert von B also Biswas B ist so auch -minus 1 a 1 angewandt auf y was war YY weil es auch -minus 1 x sie sehen von warum das so ist weil dann haben Sie hier ist es auch -minus 1 das verschwindet dann haben sie es noch minus 1 a x X ist Eigenwert von der eigen Vektor von Art zum Eigenwert lahmender das heißt x Islam der X das es so -minus 1 angewandt auf erlahmender X ja das ist Gallaher dass dem so nach vorne ziehen geplant da es auch -minus 1 x 1 des Islam wird also SYN eigen Vektor von B zum Eigenwert Lander insbesondere wegen eigene Clan an und wir sehen Eigenwerte bleiben bei Basis Wechsel erhalten so sein weil sie leidenschaftlich Abbildung sind undicht und nur darüber eine Eigenschaft der Matrix so ehren sie im man kann so und was jetzt noch fehlt ist der Link den ich jetzt verwendet hab aber den
zugegebenermaßen noch nicht präsentiert und Eigenwert von Fly Wieschemann Eigenwert der zugehörigen App Bildungsmacht also damit wir mit Abbildung es Matrizen arbeiten können sollte bitte schön Frauen endlich dimensionaler Charakter und sein die lineare Abbildung auf Frauen und dann hab ich nicht 2 Äquivalenzen Lande aus K Essen Eigenwert von viel genau dann wenn bleiben dann Eigenwert ist von der Abbildung Smart Specs von die für jede Basis B gucken also wenn das Gras LÃndern Eigenwert von 4 ist dann ist es ein wirklich jede Abbildung SMA Tricks von n und und wenn nach Eigenwerte jeder Abbildung SmartThings dies dann ist auch ein Erfolg Eugen Eigenwert von 4 selbst nachzuweisen dass solange Eigenwerte jede App Bildungs Matrix ist ist kein Spaß also ich hier verdammt die Daten und Madrids Irmgard gesehen ist wenn das Eigenwert für eine für eine Abbildung smart und ist für alle anderen auch weil es für eine ist dann sind alle andern endlich und bei etlichen Matrizen bleiben die Abbildung Bild Eigenwerte erhalten das heißt wir haben in dem Fall tatsächlich den seltenen Fall das Allquantor dem Existenz Quantor äquivalent sind also Plan dessen Eigenwert von den der Abbildung Smarties für jede Basis genau dann wenn LÃndern Eigenvektoren von MBB von die ist für eine Basis nur wenn es für eine Basis ist dann ist es für alle das ist schön Situation Allquantor gleich Existenz Konto hat man dich auf damit die der Beweis von diesen 2. genau dann wenn es genau der Satz vor wenn Sie wenn Sie die den Eigenwert einer Matrix haben unser nämlich Martens dann die Eigenwerte klatschen und alle ab Bildungs Matrizen bezüglich verschiedenen Basen sind endlich das heißt die haben eh alle die gleichen Eigenwerte dann reicht im Verein zu checken gut ich will dir nicht weiter beweisen dass es 2. haben wir und das 1. muss man halt nachrechnen kann indem man die Koordinaten geht und dann kriegt man raus das Fernsehen Eigenwert von Vieh haben das auch zu für jede Basis neigen der Bildungs Matrix ist so können jetzt will ich auf den schönen Fall kommen mir letztens so künstlich konstruiert haben sie haben also in der in der Matrix lässt sich besonders der lineare Abbildung lässt sich dann besonders schön beschreiben wenn sie möglichst viele eigene Wert der Eigenvektoren habe klar möglichst viele verschiedene Dinge unabhängige Eigenvektoren weil diese Eigenvektoren nur 2 von sich immer er muss immer die Idee die Eigenvektoren zeigen ausgezeichnet die Richtung der ab dem der Abbildung 1 ab die Richtung in die die Abbildung besonders einfach nicht wahr solche Richtungen möglichst viele hat kann man sich aus den vielleicht das Wirken der gesamten Abbildung zusammenbauen nur wir wissen schon Sie können sich das Wirken einer Abbildung zusammenbauen wenn sie das Wirken auf einer Basis gehen wenn sie wissen dass die Abbildung der Basis macht dann kriegen sie das Haus was die Abbildungen mit jedem Vektor macht also gehen wir mal in die in die Situation also den nehmen wir endlich dimensional Vektorraum V lineare Abbildungen lineare Abbildung auf diesen Vektorraum vor und jetzt nehmen wir mal an es war nicht klar dass es geht aber zum Beispiel für die Spiegelung vollen hatten wir das er meine Basis B von unserm Raum man dass es die gibt es jetzt nicht verblüffend aber ich hätte eine spezielle Basis nämlich eine Basis von Frau die nur aus Eigenvektoren von 4 besteht dass es so eine gibt es erst mal nicht klar ist ist auch im allgemeinen falsch aber wenn Sie unsere Spiegelung von vorhin denken wir dabei der E 1 bahneigene legte zum eigenen -minus 1 D 2 waren Eigenmittel Zweigen wird 1 also das wir so ein Fall wo sie eine Basis aus Eigenvektoren haben so was geht dann dann ist ist die von der
Jagd jedes PJ dessen Eigenvektoren das heißt es gibt jeweils Zahlen lahmender J so dass viel von DJ gleich J ist für alle j von 1 bis n wobei eben die lange Reihe Ort die entsprechenden Eigenwerte sind also geeinte Land eines bislang den Oscar wie jedes B J gibt leiden wir die nämlich an der J und dann haben sie von dir gleich an der Jagd so wie sie denn jetzt die Abbildung SmartThings von unserer MA Abbildung bezüglich der Basis B aus also was brauchen wir für die Abbildung Bildungsmangel bezüglich der Basis B wir brauchen die Koordinaten der Bilder der Sektoren also wir brauchen viel von Beat die Koordinaten in der Basis des ja das ist das dass es lange J Bj also nein das ist ja DJ Korrelaten hatten in B und das ist was das ist der Rektor mit ganz vielen Nullen Lander J 0 das ist die der sein kann weil man da ja mal Jahrte Basis Fekter hat hat es bei den Daten 0 0 0 1 J 0 0 0 0 sondern mit dem sie die eigenen die Abbildung Smart diesbezüglich B schön da
stehen in den Spalten die Koordinaten der Bilder Basis Vektoren als in der 1. Spalte steht dass die Colgate vom Bild von B 1 die Koordinaten das Bild von der einst das Land A 1 B 1 die Koordinaten sind also einander 1 0 0 0 0 0 in der 2. Spalte stehen die Kontendaten vom wird von der B 2 Bild von 2 bislang nur 2 W 2 Bräuchen 0 1 2 0 0 0 0 0 nur und so weiter und so geht das durch sie kriegen wunderbare diagonal Matrix unter 1. 0 Kaserne Matrix die nur auf der Diagonale Einträge hat und sonst 0 das ist genau der Fall den ich ihn damals vorgelegt hatte das heißt das was ich ihm damals gegeben haben bei der als für die nahm Basis und einfachem ab aber das mach stehen hatten das war genau an dem was das eine Nektar und ich die stimmt aber dass kommt dann jetzt gleich so Matrix nennt man Ehrlichkeit schon gesagt mit Diagonalen Matrix in der Bonner Matrix hat viele Vorteile fängt damit an dass sich sehr leicht also sehr effizient abspeichern lässt zu brauchen nicht nur n Speicherstelle statt im Quadrat was Konsolidierung an merken die 0 kann man ergänzen wenn man weiß dass sie wunderbar ist dann ist zum Beispiel für die Diagonale Matrix die inverse zu berechnen nicht wirklich wäre da wir also ist die die wunderbar Freaks mit 1 durch ein 1 zu 1 durch eine 2 bis als Licht am Ende auch die Determinante müsste sie hinkriegen wenn einzelne 203 und so weiter bis man am Ende also mit dir 3. und wunderbar schön arbeiten und dementsprechend sind solche Matrizen für dies wer damit sie auch solle die Ruhlaer Matrix kommen müssen Sie jetzt natürlich die Basis weg die Basis B machen und es muss überhaupt erst Basis B geben vorausgesetzt es gibt ne saß Eigenvektoren und das ist leider nicht selbstverständlich und das ist auch im Allgemeinen nicht so
aber deswegen kriegen Sie mal die Matrizen für die das geht oder die lineare Abbildung für die das gilt bei der Name als Definition S 7 also wir sind immer noch männlich dimensional Vektorraum damit vermindert Ritzen arbeiten können wir haben die lineare Abbildung und jetzt wollen wir der fordern dass die Ebene Basis aus Eigenvektoren hat und wenn sie das hat dann kann man aus der Matrix VideoLAN Matrix machen und deswegen heißt das dann der Kunde sierbar nochmals Ebene Matrix aus Eigenvektoren gibt das heißt es gibt eine Basis im Basis Eigenvektoren gibt das heißt es gibt ne Basis bezüglich der die Abbildung Smart ist ja wohl alles also das kommt jetzt wenn es eine Basis wie fort gibt genoss Eigenvektoren besteht oder anders formuliert für die B die von die einer der Gründer Natrix zu aber das ist nichts anderes als der Basis aus Eigenvektoren es ist die Formulierung für die Abbildungen das gleiche können Sie für die Matrizen machen also eine Matrix auch Car aber es kann auch ein Kreuz in als der Gründer dieser war wenn sie eben durch den Basis Wechsel in den diagonal Gestalt überführbar ist das und das ist wieder genau dann der Fall wenn die dazugehörige App Bildungs Matrix der zugehörige Abbildungen in der Gemeinde dieser war es also wenn ein in der Tiere war dass es was kann auch ein Kreuz n existiert so dass wenn sie bezüglich des es als Basis Wechsel Matrix nehmen und jetzt das mit dem Basis Wechsel jagen also die Matrix es auf minus 1 AS angucken das mit der wunderbar macht Text äquivalent dazu Ruegens gibt zu Basis aus Eigenvektoren von so Sie sehen ja man hat damit wird sich der neue Klasse von schönen Matrizen Mann mit Namen versehen die Frage ist ist jede Matrix der Gründer dieser Bereich hat Gratschow gesagt nein sie wenigstens viele Matrizen der Wunder dieser Wahl gibt es ne Klasse von Madrid sind von dem man von vornherein weiß in denen die über das kommt gleich aber bevor es dann kommt müssen wir uns überlegen ihr wie rechnen über Eigenwerte wirklich aus habe Theorie dazu gemacht aber wenn ich jetzt in den Markt Füße Knall und sag sagen mir mal was Sie die Eigenwerte klassische Perso Aufgabe dann brauchen wir die Methode dafür und der das nochmals gleich nach der Pause jetzt erstmal ein bisschen Entspannung 2 ich würde gerne die 2. Hälfte starten und wie angekündigt ist die Frage jetzt komme jetzt so praktisch zu praktischen Teil der Frage also wie bestimmt man die Eigenwerte und Eigenvektoren der
gegeben konkrete Matrix Ader konkrete Abbildung Vieh wirklich dämlich Eigenwerte und Eigenvektoren wenn nicht viel gegeben hab ich nämlich erstmal ab Bildungs Matrix und bestimmen die Eigenwerte von der also brauchen nur Eigenwerte von Matrizen zu bestimmen und jetzt überlegen wir uns folgendes was heißt denn das das Lander in Karten Eigenwert von nur Matrix ist nochmal kurze Definition zurück das heißt es gibt der zugehörigen Eigenvektoren sowas definiert was muss für den gelten der muss erstens mal nicht nur sein und zweitens muss er eben mehr erfüllen das AX gleich lahmender noch zu der Bedingung warum darf der Rektor nicht 0 sein wenn Sie als Eigenvektoren 0 zu lassen dann ist jedes Land an Eigenwert als sich jedes Land weiß aber 0 gleichsam NN das heißt 0 eigen Vektor so sinnloses weil dass der ganze Begriff signalisiert in sie brauchen das das x nicht 0 ist so also haben Land dessen Eigenwert Benson X gibt so dass Gleichklang der X ist es fragen wir dass also es existierten X so dass X -minus Lander x gleich 0 ist dann das Land Landwegs auf die andere Seite gebracht das können jetzt nochmal anders formulieren das den Eigenwert genau dann wenn Sohn X existiert ich schreib wir hier günstig weg Einheitsmatrix rein das macht gar nichts weil die mal X ist wie ist X aber dann kann ich das auch ausklammern und regt an den Islam der E x gleich 0 so sieht es Dalanda Essen Eigenwert von A wenn das lineare Gleichungssystem das ist Minus das weniger gleichen System wie so also ist das alles nichts der gleichen System an den Islam der Email X gleich 0 Lösung hat die nicht den Hollweg ist er ja System Armen das lange immer =ist gleich 0 hat immer die Nulllösung aber interessiert uns nicht aber den alten Vektor der darf nicht 0 sein also wir haben eigentlich genau dann wenn dieses kleinen System nicht trivial ist was man mit Lösung hat die nicht der 0 Vektor ist das heißt es den Gästen Eigenvektoren genau daran wenn der Kern der Matrix an -minus Lander I mehr ist als würde 0 Vektor in der so was heißt das das Ding ist Eigenwert genau dann wenn die
Matrix A -minus Lander ihn nicht in wird hier bereits in die Matrix wird hierbei ist eines der Kern nur die 0 und wenn kann nur den die Matrix wird war also im Umkehrschluss wenn der Kern nicht 0 ist genau dann ist die Nazis nicht mehr Tiere an so und jetzt haben wir vorhin gesehen oder letzte Vorlesung und diese Vorlesung gesehen wie können wir ihn wird Chirac halte das schnell überprüfen indem die Determinante also das Ding ist Eigenwert genau dann wenn die Determinante von Armin -minus Lande gleich und so das ist der Satz 11 18 denn wir damit sozusagen im Vorlauf bewiesen haben der 8 müssen wir schnell 8 nein der Oscar diesen Eigenwert von der Matrix A genau daran wenn die Matrix A -minus Lander mal Identität nicht in der Tiere ist das heißt wenn die Determinanten uns oder mit das 1. Kriterium an der Hand um zu bestimmen was Eigenwert ist müssen sich die Matrix A -minus 1 ihr anschauen die Determinante ausrechnen zeigen wann 1 die 0 und jetzt wirkt überlegen wir uns was wenn auch was von Problemen führt das
also was für ein Problem ist das eigentlich in das Land der Erde Termin nannte davon gleich 0 was ist denn Determinante von armen Oostlander I. von den da stehen ganz viele Zahlen drehen und auf der Haupt der eines Land abgezogen und was man da macht über die Determinante ausrechnet es mal wieder ganz viel gesungen von Produkten von diesen Zahlen und was dabei raus kommt es in Polen nominell andere wenn Sie nachher sehen dieses dieser Termin nannte ist immer ein Polynom im Namen der das Land als Unbekannte aufgefasst des Landes auf das was besuchen kann also wohl nur mit unbekannten Lander und glücklicherweise gibt es nicht Begrenzung nach oben für den gerade vom Grad höchstens M das ist glaub ich sogar immer von dort in und die Koeffizienten sind irgendwelche Zahlen kam dann dieses Polynom das muss man eben ausrechnen Eigenwerte haben will und die Eigenwerte bestimmen will und dann braucht man was was man braucht sind die lahm dafür die Determinante das Land bei ihr gleich 0 ist das alles was Sie suchen Sie die Nullstellen von dem Polynom Eigenwerte bestimmen ist nichts anderes als nur Stellensuche so von Polynom und weil dieses Polynom dauernd auftaucht Herzen haben das ist das sogenannte charakteristische Polynom von A also wenn sie Eigenwerte bestimmen sollen von der Matrix oder linearen Abbildung wenn Sie die mir abgenommen haben sich erst meine Matrix dazu her bestimmte das charakteristische Polynom also Determinante Islam der Identität und so die Nullstellen er dann ja Nullstellen von Polynomen suchen Interessantes Klima ,komma nachher noch zu ich habe es gerade gesagt sie können sie haben natürlich wenn Sie ein werde von den AHS haben aber die Eigenwerte sowie eine Abbildungen dazu muss man sich überlegen damit der Begriff charakteristisches Politologen von Fly Sinn macht was man sich wieder der legen das unter Ähnlichkeits Transformation er nix schiefgeht dann das überlass ich Ihnen als Übungsaufgabe als ist die Übungsaufgabe 11 neuen die da sagt wenn Sie 2 ähnliche Matrizen haben also beide in Kreuz und endlich zueinander das heißt gehen dahin Basis wechseln einander über gehören zur selben linearen Abbildungen wenn ist den Begriff Charakters ist Polung von Lilian Abbildung definieren wollen dann müssen Sie bitte schön das gleiche Bild charakteristische Polynom haben und dem ist auch so warum können Sie sich mal überlegen nun also dieses Kai wurden und es eigentlich in Bologna Abbildung des für alle ihre Abbildung Smart Rezensent zu so machen wir es doch einfach mal an einem Beispiel und das im Beispiel vor grauen Vorzeit schon mal hatten Beispiel 6 20 also 7 Jahre Abbildung ja genau das ist die wo ich hier mit dem Buch und dem argumentiert hat beides nicht gemalt gekriegt hat also viel von der 3 nach R 3 definieren wir alles viel
von x 1 x 2 x 3 1. Komponente x 2 +plus x 3 2. -minus x 1 +plus 2 x 2 +plus x 3 und 3. x 1 -minus x 2 1 so was wir jetzt brauchen und die Eigenwerte von dem den auszurechnen und die Eigenwerte auszurechnen ist nicht nur zum Frühsport damit die Finger waren werden sondern hat auch durchaus eine Relevanz dafür die Frage ist wieder die alte Sie haben diese Abbildungen sie wollen wissen was tut die eigentlich und woher kommt die Sie sollen sagen was macht die anschaulich und die sehr gute Methode um das rauszukriegen ist sie rechne mal die eigene werden Eigenvektoren aus weil dann wissen Sie schon mal was tut sie eigentlich in Richtung der Eigenvektoren und wie gesagt diese Eigenvektoren die tun eigentlich immer ganz charakteristische Größen von seiner Abbildung R das Treiben als eine Drehung die Drehachse bei der Spiegelung die Spiegelachse und so weiter so was Pop müssen wir machen und die Eigenwerte von phi auszurechnen wir brauchen es meiner Bildungs Matrix also wenn uns der Basis nehme die Standard Basis im Moment hat man kein Grund was anderes zu machen vor allem das schöne ist wenn sie die Abbildung sowie hier gegeben haben dann ist die Abbildung Smart-TV zügig DER Standard Basis leicht ablesbar an na dann müssen Sie einfach nur die die Koeffizienten die vor den Dingern der stehen übertragen also in der 1. Zeile haben Sie nur mal x 1 +plus einmal exakt einmal x 2 +plus 1 x 3 in der 2. nahm sie -minus 1 x 2 +plus 2 x 2 +plus 1 x 3 und ritten sie einmal X 1 -minus 2 mal x 2 +plus mal X 3 ist so nicht sie setzen Sie die da Basis 1 1 0 0 1 0 0 1 und stellte fest das sind genau die Bilder die in der Spalte stehen so was müssen wir machen und die Eigenwerte auszurechnen wir brauchen die Determinante von Arminius -minus
Landammann Identität die der Determinante müssen ausrechnen und die durch das gegen Polo Wilander und die Nullstellen davon sind die eigene so war die Überlegung also rechnen wir das aus was ist am Islam der Identität bei Identität ist die Matrix Iberer 0 hatten auf der Diele von einigen Lander das heißt wenn Sie das von abziehen kriegen sie Prinzip wieder an auf der die Hunde müssen Land abziehen also -minus Lander 1 1 -minus 1 2 -minus Lander 1 1 -minus 1 -minus ja und normalerweise passiert genau das was hier passiert das ein wenig 0 und spätestens wenn sich ein Nazi sie meistens gar keine 0 mehr drin stehen und dass die Frage wie rechne man diese blöde Determinante aus und auch gerade an der Stelle lohnt es sich die uns Schweiz in das Brechen Determinante zu investieren weil ich weiß nicht wer es gibt sicherlich einige die das schulische mal Determinanten gesehen haben und wenn man dann 3 Kreuz 3 Determinanten hat dann ist der Reflex die Rede von sah auszuziehen hätte nicht kennt ist egal Skript muss Übungsaufgabe drin aber er damit immer wieder ganze 3 kurstreibende Wasser ausrichten wenn Sie das machen kriegen sie Polynom 3. Grades im Land der wunderschönen aber sie kriegen sind da vom Land auch 3 +plus 5 Landtag Quadrat -minus Philander plus 5 der sowie Nullstellen von Bourlon 3. Grades alte welche Wege aus der Schule mit Formeln ist schwierig also bis eine Lösung raten ab dividieren dann ist quadratisch Tampico Frauen der Lösungsraten sei ziemlich mühsam sein dass wir die Lösung 3 +plus wozu 70 Burg 3 +plus 2 zu 27 ist es ziemlich mühsam war es gibt Lösungsformel für Polynome 3. Grades die sind nicht mehr so schön wie die pq-Formel die passende noch auf ein halbes DinA4 bleib hier die Initialen oder allgemein das einsetzen es geht auch noch ein Lösungsformel für Gleichungen 5. Grades das sind dann die wie heißen die die 3. 3. Grades heißen Katar musste und die Untiefen 4. aus Italien außen 16 Jahrhundert 17. 16 Ionen die passen auf anderthalb bis 2 Papiere der 4 Papiere kann man also nur von auch noch irgendwie nachschlagen und jetzt kommt das Problem das wahre Problem Polynome vom Grad größer gleich 5 jetzt keine Formel für oder sogar noch viel schlimmer es geht nicht nur keine Formel so müsste doch nie eine geben weil es ist mathematisch beweisbar dass ich keine schreiben lässt es ist absolut unmöglich in einem endlichen T Raum eine Lösung für hält ja Gleichung 5. Grades ins Freie das für die allgemeine als gibt natürlich Prologe 5. Grades für diesen Lösungsformel gibt das Polynom x hoch 5 ja da können sie lesen aber der allgemeine also fix auf und gleich 0 aber der allgemeine Lösungsformel vom 5. Grades um die Nullstellen zu bestimmen ist unmöglich es nicht nur besinnlich gefunden so süß unmöglich eine der dieser Satz ist einer der Haupt im Erkenntnis aus der Gruppentheorie sie Gruppen so richtig durchführen können Sie nur diesen Satz beweisen und dementsprechend es ist keine gute Idee diese dann und es einfach tut fortzuentwickeln und dann wurde zu kommen wo man dann wieder auch vom Berg und eine wird nur ständig kommt sondern das ist der langjährige sehen Sie müssen sie denn wieder so ausrechnen dass sie möglichst das schon als Produkt von ja Faktoren kriegen weil dann ist es einfach zu sehen was nur Stellen sind dass man jetzt oder so kommt man sieht die Determinante lang und ausführlich an und versucht natürlich 1. 0 zu erzeugen damit man besser entwickeln kann und zweitens wie dafür zu sorgen dass man da länger Faktoren ausziehen kann und eine Möglichkeit ist zum Beispiel sehr die nicht immer die letzte Zeile auf die 2. Zahl die das machen ändert sich eine Determinante nix meine 1. Zeile auch nicht -minus Lander 1 1 wie wird die 2. Zeile die 2. Zeile kritischem 1 0 2 -minus lahmender -minus 1 ist 1 -minus Lande 1 -minus Laender 1 -minus 1 -minus lag so und jetzt sieht man wie es im Nachhinein warum ich gerade diese Rechnung gemacht hat das in der 2. Zeile 0 1 1 1 1 1 da Fakt einzelne Sander drinnen ,komma vorziehen man sich schreibt der noch mal auf die nächste Seite dann Platz zum rechnen also das was ich gerade trieben hatte ich war am
Ende jetzt hat kann es sich Stadt ab -minus Lander 1 1 0 1 -minus lahmender 1 -minus Lander 1 -minus 1 -minus lange so das war Dietmar Determinante die gerade dastand da können Sie es aus dem mittleren Zeile dass einzelne Oostlander vorziehen wenn Sie -minus nahm 1 1 0 1 1 1 -minus 1 -minus ab auf die Weise haben jetzt einen Jaffa-Tor vorgezogen weil Malern der gleich 1 ist Eigenwert und deswegen bleibt oder 3 kurz Madrid übrig die jetzt wenn es aus den legitimen Polynom 2. Grades das ist ok da kann man kann man damit die Nullstellen bestimmen ja nein das ist es was ich dachte wenn sie bei der Determinante aus einer Zeile was vorziehen dann steht das vorne die Determinante von aber bislang noch n mal die Determinante von A geht wenn Sie wenn Sie den Sektor das liegt daran dass die Determinante linear ist in jeder Zeile wenn sie wenn sie das raus geht das pro Zeile wenn sie so dass jeder Zeile aus denen sich Frauen auch in dem Fall auch 3 stehen wir vorsichtig ja dass es diese Rechenregel Determinante voneinander aber es langt auch enmal Determinante von an und ich langsam mal viel zur man kann jetzt hier noch ein bisschen Kosmetik machen damit das besonders einfach dazu rechnen ich mal diese 4 einzig freie danach mal diese 2 1 da oben weg zu machen dann haben wir 1 -minus Lander mal die Determinante -minus Lander 0 0 0 1 1 1 -minus 1 mit bislang nur jetzt entwickeln sie natürlich nach der 1. Zeile das geht -minus Lander mal 1 -minus lahmender war die Determinante diese kriegen wenn Sie die 1. Zeile und die 1. Spalte streichen ist 1 1 -minus 1 -minus Lander die kann jetzt getrost nach der Rechenregel für 2 Kreuz 2 Matratzen ausrechnen dass gibt 1 mal -minus Lander ist -minus Lander -minus 1 mal 1 ist also -minus 1 2 -minus 1 bis +plus 1 also ist das lahmender mal 1 -minus Lander Minuszeichen aber wesentliche kein Minuszeichen misshandelt +plus 1 haben wir doch so in das Land man Quadrat wir sehen Sie was die Eigenwerte sind die Eigenwerte sind die
Nullstellen von dem Polen oder man sich so ausrechnet stehen die Nullstellen schon da sie haben einen Eigenwert 0 und Sie haben einmal den Eigenwert 1 nein 0 1 7 0 stehen ein System doppelte Nullstelle sofern es gab nur 2 steht so wenn Sie jetzt die Eigenwerte haben können Sie die Eigenvektoren ausrechnen kann wie rechne man jetzt die Eigenvektoren aus -minus Allan Eigenwert heißt das gleiche System aber das Land der Email X gleichwohl hat eine nicht Nulllösung und jede dieser nicht nur Lösung Eigenvektoren also müssen sie diese kleinen Systeme lösen also was man tun muss um die Eigenvektoren zu bestimmen ist dann muss die Gleichungssysteme an den Islam DJ Mike x gleich 0 in dem Fall für J gleich 1 und 2 in der Schritt 4 das ist in Entwickelung entwickeln nach der Zeile an das auf Definition von der Determinante rekursive Definition der Determinante 1 3 kurz 3 Determinante kriegt man indem man durch die 1. Zeile geht immer das Element mal die Determinante die man kriegt wenn man die Spalten und Zeilen streicht wir wollen sie nur einen so meinten weiter 2 Nullen stehen und das ist der der steht -minus dann einmal 1 wie das Land einmal Determinante die man kriegt man die 1. Zeilen die 1. Spalte streicht so also müssen diese kleinen Systeme lösen ich mach mal nur das eine also nach Mailand 1 gleich 0 was haben wir dann immer das gleiche System an -minus 0 Mali Maliks gleich 0 1 -minus mal es einfach also 0 1 1 -minus 1 2 1 1 -minus 1
0 das heißt das sie lösen müssen ist 0 -minus 1 1 1 2 -minus 1 1 1 0 mit rechter Seite nur wenn Eigenvektoren bestimmen das ist in meinem kleinen Systems müssen homogenes Lernsystem lösen das können Sie jetzt nicht den Garaus jagen das steht in dem Fall sogar sehr schnell wenn Sie mal die 1. Zeile mit minus 1 mal addieren zur 2. und die 3. mit 1 man auch zu 2. dazu addiert dann bleiben die 1. und die 3. Zeile stehen 0 1 1 0 1 -minus 1 0 0 und das ist in der 2. Zeile -minus 1 plus 1 ist 0 -minus 1 +plus 2 -minus 1 0 1 -minus 1 ist 0 0 0 0 0 so das was hier passiert muss immer passieren sie wissen wer LÃndern Eigenwert ist dann ist aber bislang bei ähnlichen Band der war werde so weil genau und man so bestimmt man die das heißt dieses kleinen System hier muss eine nicht nur Lösung habe ich den zugehörigen Eigenvektoren das heißt es muss immer passieren dass die 0 zu 1 kriegen dass diese Matrix der kann ich von rein haben wenn sie von einer Krise nur die Nulllösung und da kein Eigenwert sein das heißt wenn sie Eigenwerte bestimmen und danach den Vektor und bei der Eigenvektoren Berechnung aus kriegen es gibt nur die Lösung das sie irgendwo und Fehler gemacht in bestimmte eigentlich nicht oder sie haben mir beim draußen gemurkst aber es kann nicht passieren da wenn sie eigene haben muss es eine dazugehörige eigentlich dagegen das heißt sie brauchen wir immer 0 Nullzeit mindestens eines davon noch 2 der 5 seien aber nicht 0 0 2 1 sollten den Fall dass alles gut gegangen wir kriegen jetzt als Lösung aller Sektoren die zum einen erfüllen das X 1 gleich X 2 ist das ist die letzte Zeile steht x 1 1 x 2 gleich 0 wenn der 1. heiligt die x 2 +plus x 3 gleich 0 also x 1 x 2 muss dasselbe sein -minus x 3 und das heißt alle Eigenvektoren Hollande 1
gleich 0 kriegen Sie als den Kern von also Kern -minus 0 mal Identität und dass der Kern von ohne die 0 1 0 Solisten Eigenvektoren und das sind in dem Fall alle Vektoren von der Form alpha alpha -minus Alfa Alfa aus Ausserrhoden 0 1 n diese Eigenvektoren zuzüglich der 0 bilden immer runter Vektorraumes kommt auch gleich noch er diesen in der Kern von seiner Matrix und damit haben sie aber es können so und um noch anders schreiben das ist die lineare Hülle des Vektors 1 1 -minus 1 wobei natürlich wieder den Vektors muss jeder dieser Sektoren ist eigen Vektor ist auch ganz logisch wenn sie neigen Vektor haben sie das Vierfache von dem wird auch ein legte aber wenn a x gleich X ist dann ist eben mal 2 x gleich am mal 2 x ich gleich einmal 2 X also das sobald sie eigentlich haben Simone muss immer gleich ein ganzes starben nämlich alle skalaren vielfachen auch so er man wenn man jetzt noch sich weiterhin stellt und die eigenen Freunde zum Eigenwert einzuordnen ein also den die eigene Kanzlei mit 1 ausrechnet stellt man fest der es 2 linear unabhängige also es gibt ne ganze Ebene von Eigenvektoren zum Eigenwert 1 so was bedeutet dass das bedeutet unsere lineare Abbildung hat die ganze Ebene die sich fix lässt wir also die ganze Ebene von Vektoren so das Vieh von Frau gleich V ist und die von vorbei verheißt Eigenwert meist ein Vektor zum Eigenwert 1 für das in Ebene von Vektoren die und geändert wird und es gibt eine gerade von Vektoren nämlich die Sie hier 1 1 -minus 1 1 vielfachen die auf nur geschickt wird damit an sich eine sehr gute sehr gute Intuition von ihrer Abbildung habe der Politik die Ebene ist die unverändert bleibt und das ist der Sektor der auf 0 gejagt wird was haben wir Projektion der Projektion auf die Ebene entlang von der Kragen und unterliegt die Abbildung auch eindeutig fest das heißt sie können durch Bestimmung von Eigenvektoren eigen werden kriegen Sie wenn Sie können ja Bildung haben die geometrische Intuition davon was die tut so mit hat ich gerade schon den Begriff der eigene Raum aus flutschen lassen das kommt jetzt den nächsten Sands was Sie hier sehen dass der eigene Raum zum eigenen also dass die Vektoren Eigenvektoren zum Eigenwert 0 so und das ist das Erzeugnis von so einem Vektor dem Fall Sony gerade gut die 0 ist keine Eigenvektoren sie noch dazu nehmen konnten und der Vektorraum aus das ist ja kein Zufall sein dass es prinzipiell so Eigenvektoren zu einem eigenen will unter Vektorraum also wenn sie nur dazu nehmen das ist Inhalt von dem Satz hier unter anderem also wir haben wie denn endlich dimensionalen K Vektorraum in der Vorstellung natürlich immer der A 3 wer lineare Abbildungen von Frauen noch vor und wir haben eine Matrix Art erst kein Kreuz das können sie sich erst ab Bildungs Matrix von Frau von viel vorstellen dann für jedes und Namen der aus K sind völlig wurscht ob ein Eigenwert ist oder nicht sind folgende Räume die ich nennen die meint es viel da es ist die Menge aller V aus V so dass viel von VW Klandorf aus ist das der Traum aller Eigenvektoren zum Eigenwert Lander beziehungsweise Lander kein Eigenwert is dann ist der Raum wieder nur Rau dann ist es Mehr Geld denn hätte man über die 0 die 0 ist der immer drängender weil an für 0 geht immer viel von V ist 0 die von Dulles langsamer 0 das geht immer weil du es nun aber in wenn zu eigen wert ist das Land alles in diesem Raum alle Eigenvektoren unter 0 der 2 können Sie für die Matrix hinschreiben also eh von da
alle x in K hoch n für das mal x gleich X ist auch das ist verlangt kein Eigenwert ist die Menge die 0 0 enthält und wenn man dann Eigenwert ist es die Menge der Eigenvektoren plus die 0 und des ist die Aussage vom Satz ist diese beiden Mengen sind immer unter Vektorräume von Frau beziehungsweise von K hoch n Nachweis per Unterraum Kriterium und diese unter Räume zumindest wenn andern Eigenwert ist den nennt man die eigene Räume zum Eigenwert landarmen in c't so das ist der Begriff dann gibt es noch eine weitere wichtige Bemerkung die ich es auch gar nicht beweisen er nur hinschreiben wenn sie 2 Eigenvektoren haben die zu verschiedenen eigen werden gehören wir also zum Beispiel jetzt vorhin ein eigen weckte den ausgerechnet haben zum Eigenwert 0 oder 1 von den beiden zumal er von den beiden jungen wegen zum ein wird 1 dass da 2 und Eigenvektoren nehmen zu verschiedenen eigen werden dann sind die immer weniger unabhängig das ist mir grundsätzlich Eigenschaft von Eigenvektoren kann so und wenn sie sich denn wenn man das noch eine Ebene weiter geht und sich jetzt mehrere Eigenwerte hernimmt und die zugehörigen eigene Räume also eines bislang da er verschiedene Eigenwerte wenn sind jeweils die Eigenvektoren zu den wichtigen Eigenwert immer unabhängig und die sind sogar so wirklich voneinander weg das auch Kombinationen von Eigen- werden von Eigenvektoren von 3 verschiedenen eigenen werden nicht zu dem 4. Eigenwert was kombinieren können das heißt wenn sie verschiedene Eigenwerte
haben und jeweils von den eigenen Räumen Basen also diesen nur zu dem Lande 1 gibt es den eigenen Raum und bis zu dem Lande ergänzen eigene Raum und B 1 bis B R 1 sein jeweils Basen der eigene Rolle mehr also von es viele an der A 1 bis es viele an der er in bzw. bevor und die 1 es B A 1 und A 1 mir ein also nehmen jedem Eigenrauch es für jeden Eigenwert bestimmen Sie alle Eigenvektoren die eigene Räume und ihm eigene Raum im Sinne Basis in wenn sie das machen dann können Sie Folgendes machen nehmen Sie alle diese Basen und vereinigen sie die und natürlich erst mal die Frage dieses Gebilde das jetzt Direktoren würden ist es immer noch den er unabhängig und die Antwort ist ja also Eigenvektoren zwischen Eigen- werden sind immer so ja unabhängig dass sie die ich auch nicht großflächig kombinieren können sondern die kommen sich nicht in die Quere man so und damit kriegen wir jetzt auch in dir wunderlich sierbarkeit Kriterium über die eigenen Wert das ist der nächste Satz nun also noch mal was ist die Wunden die sich
über die Ebene sehr bei ließ sie können ihre Matrix so Basis wechseln oder ihre lineare Abbildung so Basis wechseln das die Matrix die rauskommt dass die Abbildung Smart uns bezüglich der neuen Basis Bilddiagonale Matrix und ich behaupte das sieht man an den Eigenvektoren ob das geht also wir haben wieder einen n-dimensionalen K Vektorraum wir haben die die lineare Abbildung von Frauen Frauen und dann gilt folgende Äquivalenz die Abbildung fließt die Wunder Lisière wagt das heißt sie finden der Basis bezüglich der die Abbildung SmartThings VideoLAN Matrix ist damit mir wunderbar einfache genau wenn Sie wenn die Summe der Dimensionen aller eigene Räume also bestimmt alle eigene Räume und bestimmen von jedem eigener Raum die Dimensionen und wenn diese Summe n ist also gleich Dimension des Raums dann ist es der Modernisierer er n woran liegt das über und 2 Richtungen müsse von links nach rechts und von rechts nach links wenn 4 der wurde sie aber es dann heißt das dann heißt das sie an der Basis ist gibt der Basis aus Eigenvektoren nur die dieser war heißt heißt was das heißt es gibt mir Basis B B 1 bis B von Frau nach Definition so dass die Abbildung SmartThings von unserem wie bezüglich dieser Basis B gegeben ist ich mit dir wurde eine Matrix also irgendwie so kann endliche Zahl dürfte die Roulade und der Rest ist nur was heißt das jetzt das heißt wenn sie
sie von DJ ausrechnen wie können Sie das ausrechnen was in die über die Abbildung SmartThings können Sie ausrechnen was sind die Koordinaten von viel von DJ bezüglich B die vollen Arten von viel vom bj bezüglich B sind nämlich nach der Definition der Abbildung Smart Freaks die Abbildung SmartThings multipliziert mit den Koordinaten von Billard bezüglich B Na ja gut die Abbildung SmartThings haben war die Koordinaten von DJ bezüglich Be-Sinnlich besonders schwer zu bestimmen das ist ne legte der der Joppe Stelle 1 hat und sonst nur Jen und wenn Sie den da dran multiplizieren dann kommen weg daraus der immer noch ganz viele Nullen hat und an der stelle das AJ also es kommt raus AJ mal die Koordinaten von der Basis Vektor und wenn Sie das wieder in Sprache von 4 übersetzen heißt das was ist viel von der Art wie von DJs Alfa J Bj das heißt B bis als Eigenvektoren sie haben also wenn das Ding hier wollen sie aber ist der Basis aus
Eigenvektoren von Frauen nur und das heißt dass die Summe der Dimensionen alle eigene Räume NSN nur weil weil sie eben genug Eigenvektoren haben um die ganze Basis aufzuziehen zwar und umgekehrt ist es nämlich Überlegung also was müssen wir zeigen das zu zeigen
ist in Summe der Dimension eigene Räume gleich in daraus folgt wieder wundern sie war den und das machen wir folgendermaßen das müssen also zeigen müssen der Basis finden bezüglich der 4 Gunnar Gestalt hat also bezüglich der die Abbildung Smarties von viele Wunder gestellt hat und wir wissen Cioran Namen Dimension allen das heißt wir können Sie jedem Eigenwert eine Basis also zu Eigenwert nahm der J eine Basis des Ortes zugehörigen eigene Raums bestimmen so und dann aber vor allem hatte ich folgenden Satz in untergejubelt und nicht bewiesen aber es müssen wir einfach glauben wenn ich diese ganzen Basen der eigene Räume zusammen steckt dann ist das immer noch in der unabhängige man in und zweitens gilt das wie viele Elemente enthält diese Basis 1 B 1 enthält so viele Elemente wie der eigene Raum 1 Dimension hat und so weiter die Summe der Dimension der Innenräume ist n also enthält diese Basis in Elemente soll Samsung N Elemente in der unabhängige Menge also Basis also ist wie jene Basis von Frau Frau aus Eigenvektoren und wie oben bedeutet das dass Vieh der Wunder dieser ist mehrere vom Hansa am Wege gesehen denn viele selber ist dann ist eine Basis Eigenvektoren aber die Rechnung können sie Gartrop Platz machen man kriegen Sie das Vieh die dann ist er es so dann hab ich ihm gesagt also damit das 1. Kriterium die organisierbar sierbarkeit zu überprüfen sie müssen die Eigenwert und Eigenvektoren ausrechnen und wenn sie ihn ja unabhängige Eigenvektoren in Mehr im n-dimensionalen Raum haben dann haben Sie denn denn dieser Vagheit und sie haben damit auch gleich konstruktiv die Basis bestimmen bezüglich der das Ding diagonal Gestalt hat das ist nicht die was das Eigenvektoren ist es natürlich so der Hoffnung die man haben kann das vielleicht jede Matrix die Wunder
dieser Wahl ist und die Hoffnung wenn ich Ihnen noch rauben bevor sie diese dann aber eine Hoffnung weniger ins Wochenende gehen ich hoffe es bleibt noch was übrig vielleicht war das nicht die wichtigste Hoffnung das Wochenende dass jede Matrix denen dieser weist also ich gebe Ihnen noch eine nicht der Wunder sierbare Matrix her und es gibt leider ziemlich viele nicht geben denn sie war Matrizen des Weges nicht wehren Gegenbeispiel zu finden und zum Beispiel einst ist diese recht unscheinbar wirkt aber Matrix aus Mehr 2 Kreuz 2 also lauter Nullen oben rechts der 1 ich stelle fest dass die nicht der realisierbar ist werde ich dem alle Eigenwert und eigene Räume 40 jetzt schlimm an ist es aber nicht weiß 2 Kreuz 2 Matrix ist der geht das recht flott wo kriegen wir die Eigenwerte her wir müssen uns nur immer noch wie vorhin sie bestimmen an das Land der stellt aber eine Einheitsmatrix und davon die Determinante das gibt ihnen ein Polynom 2. Grades und von dem brauchen Nullstellen also wie sie dieses armen Mindestlohn bei ihr aus das ist sowie an dass sie auf der Hauptinsel Mainland abziehen also -minus Lander 1 0 -minus Lande was die Determinante davon wer dies einfach Haupt der Wunder allen -minus Produkte ab die nette -minus Produkte neben der Männer Elemente also -minus nannte man den Islam der Islam Quadrat -minus 1 2 0 also das ganze Volumes 1 Wallander Quadrate vor dem die Nullstellen kriegen wir auch noch hin hat nur eines nicht aber gleich 0 also nach exakt nur einen Eigenwert und dieser Eigenwert ist 0 so war das heißt was muss gelten damit die Matrix der wollen sie aber ist wir bräuchten jetzt bitte schön ein zweidimensionalen Eigenrauch Seele gebrauchen so viele in mehr oder weniger Eigenvektoren will aber wie Dimension haben da mein Eigenwert das heißt wenn man jetzt ein Vektor 0 zu 0 und berichte mal was sind die Eigenvektoren zum Eigenwert 0 also lösen das in der gleichen Systemen -minus 0 mal
gleich 0 also dass das System als gleich 0 die Lösungen so vor dem Schreiben also das ist der eigene Raum der Basis aber der er den Matrix A zu machen ein werden 0 das die wir sowohl so bleiben System die 1. Zeile ist x 2 gleich 0 die 2. Zeile ist in keiner weil also sind alle Sektoren der Form alle Fahrten 0 mit einfach als er im Eigenbau und und damit habe aber nur einen in der unabhängigen einen Vektor also Dimension dieses eigene Raums dies 1 und uneins ist selten gleich 2 und wir bräuchten 2 für da die sierbarkeit also ist nicht Modernisierer an also Matrix zu der es nur einen Eigenwert gibt und dementsprechend so nur ein Icon Vektor gibt und dementsprechend ist das denn nicht dieser war es gibt noch ne ganze Menge mehr nicht geben wenn sie über Matrizen und ich will ihn am Freitag zum Abschluss ist es am Dienstag zum Abschluss des lineare Algebra Kapitels noch zeigen das aber trotzdem eine große wichtige Klasse von Matrizen geht für die man priori weiß sie sind die realisierbare über den und wenn wir dann damit durch sind steigen am Dienstag in die Annales ist ein komplett neues Thema komplett neues Glück freut sich dank viel Aufmerksamkeit für das Wochenende und müssen vor die
Sierpinski-Dichtung
Kreis
Matrizenmultiplikation
Menge
Determinante
Gruppenoperation
Reihe
Termumformung
Diagonale <Geometrie>
Zahl
Dreieck
Null
Quadrat
Matrix <Mathematik>
Zusammenhang <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Determinante
Ruhmasse
Umkehrung <Mathematik>
Rang <Mathematik>
Biprodukt
Diagonale <Geometrie>
Richtung
Ebene
Quelle <Physik>
Faktorisierung
Matrix <Mathematik>
Zusammenhang <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Quader
Determinante
Endlichkeit
Klasse <Mathematik>
Abbildung <Physik>
Fläche
Ähnlichkeitsgeometrie
Biprodukt
Äquivalenzklasse
Zahl
Objekt <Kategorie>
Lineare Abbildung
Strecke
Würfel
Stützpunkt <Mathematik>
Volumen
Ebene
Parametersystem
Faktorisierung
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Abbildung <Physik>
Projektion <Mathematik>
p-Block
Drehung
Vektorraum
Vektor
Zahl
Eigenvektor
Linie
Richtung
Lineare Abbildung
Eigenwert
Achse <Mathematik>
Lineare Algebra
Diagonale <Geometrie>
Quadrat
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Eigenwert
Abbildung <Physik>
Vektor
Eigenvektor
Matrix <Mathematik>
Verschlingung
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Eigenwert
Abbildung <Physik>
Kerndarstellung
Lineare Gruppe
Vektor
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Abbildung <Physik>
Quantor
Vektorraum
Äquivalenzklasse
Vektor
Zahl
Eigenvektor
Null
Richtung
Lineare Abbildung
Schwebung
Eigenwert
Stützpunkt <Mathematik>
Gleitendes Mittel
Koordinaten
Ebene
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Determinante
Vektorrechnung
Klasse <Mathematik>
Abbildung <Physik>
Vektorraum
Eigenvektor
Lineare Abbildung
Quadrat
Eigenwert
Explosionswelle
Diagonale <Geometrie>
Koordinaten
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Determinante
Eigenwert
Abbildung <Physik>
Kerndarstellung
Vektor
Eigenvektor
Lineares Gleichungssystem
Mathematische Größe
Einfach zusammenhängender Raum
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Determinante
Abbildung <Physik>
Ähnlichkeitsgeometrie
Drehung
Charakter <Topologie>
Biprodukt
Eigenvektor
Zahl
Richtung
Gradient
Lineare Abbildung
Charakteristik <Algebra>
Polynom
Variable
Eigenwert
Koeffizient
Nullstelle
Charakteristisches Polynom
Faktorisierung
Polynom
Quadrat
Endlichkeit
Determinante
Eigenwert
Gruppentheorie
Nullstelle
Zahl
Gradient
Matrizenmultiplikation
Determinante
Eigenwert
Nullstelle
Berechnung
Formation <Mathematik>
Vektor
Eigenvektor
Null
Lineare Abbildung
Ebene
Matrizenmultiplikation
Menge
Vektorrechnung
Eigenwert
Abbildung <Physik>
Vektorraum
Kerndarstellung
Vektor
Eigenvektor
Unterraum
Ebene
Matrizenmultiplikation
Abbildung <Physik>
Vektorraum
Eigenvektor
Zahl
Richtung
Lineare Abbildung
Dimension n
Summe
Ecke
Eigenwert
Äquivalenz
Stützpunkt <Mathematik>
Raum <Mathematik>
Summe
Eigenwert
Abbildung <Physik>
Vektor
Eigenvektor
Koordinaten
Null
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Determinante
Abbildung <Physik>
Biprodukt
Vektor
Eigenvektor
Gradient
Null
Gegenbeispiel
Summe
Quadrat
Weg <Topologie>
Eigenwert
Nullstelle
Stützpunkt <Mathematik>
Volumen
Raum <Mathematik>
Unabhängige Menge
Dimension 2
Lösung <Mathematik>
Algebraisch abgeschlossener Körper
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Menge
Eigenwert
Klasse <Mathematik>
Lineare Algebra
Raum <Mathematik>
Vektor

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Eigenwerttheorie
Serientitel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 23
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/33610
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2012
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

Ähnliche Filme

Loading...
Feedback