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Gruppen und Ringe

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Automatisierte Medienanalyse

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genannt werden an der TU Darmstadt zur wünsche ich einen schönen guten Morgen und
herzlich willkommen seidigen Vorlesungen üblicherweise er fängt das mit organisatorischen kramen und so auch heute das Erste ist ich möcht Sie alle aufrufen obwohl ich das es eine Selbstverständlichkeit die dies noch nicht gemacht haben sich mit dem Modul anzumelden aber ganz einfachen Grund im Modell werden die Übungs die Punkte von den Übungen gesammelt und so lagen sie Mode nicht angemeldet sind können keine Punkte eintragen oder kann es auch keinen Bonus geben also auch in ihrem Interesse wenn sie sich im oder an sonst gibt es keinen Bonus also damit reihenweise Blätter die korrigiert sind aber nirgenswo eingegeben werden können weil halt die Leute nicht angemeldet sind das ist das 1. und das 2. ist wir müssen unsere korrekt wäre ein bisschen von der Korrektur von Korrekturaufwand entlasten ja was soll es gar keine Frage sondern Kontaktaufnahme n wenn das unsere korrekt wäre ein bisschen vom Korrekturaufwand entlasten meinen manche der extrem viel zu tun haben und allen Interesse daran haben dass der gut dokumentierte Korrektur kriegen und nicht wegen der wohl fühlte er deswegen wird es ab dem 5. bleibt auf jedem Hauptblatt nur noch 2 Ausübung geben das freut sie Service Verlauf und wir haben und wir haben beschlossen das 4. Blatt gibt folgende Übergangsregelung auch das 4. Platz sind nur 2 Aufgaben abzugeben ist in 3 drauf jeder hatte jeder suche sich individuell 2 aus hören werden um gleich um gleich irgendwelche Ideen vorzubeugen das Ganze hat das Ziel das die tut nicht mehr so wahnsinnig viel korrigieren das heißt probieren Sie erst gar nicht 3 abzugeben und wir suchen uns dabei der Korrektur die beiden besten raus die korrekte besuchen sich dann die 1. beiden raus oder so was ja also und korrigieren auch nur 2 der Ehre und des andere ist auf dem Blatt ist auf dem führen werde so diese Zusatzaufgabe drauf die wird nicht korrigiert ja also von niemandem gut wir Flug ab dem 4. er also dass manche müssen am Morgen war noch das 3. Übungsblatt abgeben da sind doch alle 3 Aufgaben relevant weil sonst beißt sich das mit den die gestern schon abgegeben haben wir also ab dem 4. Blatt sind Ausübung am 4. Tag dürfen Sie sich 2 aussuchen so war das war die Orgel Story der länger also die Frage ist wie das den Bonuspunkten S da wenn das dann nur noch 20 Cent es ist insofern keine Problem so 20. weil die Bonuspunkte Regelung bezieht sich auf die Prozente ja Ende der Gesamtpunktzahl es wird wie sie gar nicht stören wenn die anfangs Übung etwas mehr zählt als sie am Ende insofern will ich das einfach so laufen lassen gut noch ne Frage ja danke Licht aus Licht aus nicht Link ja The in Wien an Luther und rechnen da OMX zwar je gut so dann da haben Sie jetzt alle hoffentlich ausreichend gefreut über die Entlastung der Arbeitsmenge und dann würd ich Sie bitten wieder ein bisschen bisschen werden das Reden einzustellen und sich nachher weiter zu freuen und dann können wir jetzt loslegen ich hatte Ihnen am Schluss des letzten der letzten Vorlesungen das Lemma 3 9 gezeigt und das Lemma 3 9 falls ich noch mal ganz ohne formale und in Umgangssprache zusammen beliebige Schnitte von Untergruppen sind Untergruppen und ich will jetzt damit ein Konzept einführen das sie nicht nur bei Gruppen haben sondern in vielen andern zusammenhängen und das in sehr viel hilft folgende Situation wir haben riesengroße Gruppe und von der Gruppe interessiert sie eigentlich nur der Teilmenge ja also der Rest ist die Moment ihre waren diese Teilmenge ist nur weil sie keine eine Untergruppe des heißen diese Teilmenge rum zu rechnen ist kompliziert wenn man dauernd irgendwie sicherstellen muss dass man nicht erst in das man nicht aus dieser Teilmenge Ausfälle was man also sucht ist in möglichst kleine Untergruppe der diese große Gruppe die diese Teilmenge die relevantes enthält mehr als sie suchen sie suchen sie haben die Teilmenge dieses irgendwie eingepreist doof weil sie aus der des rechten rausfliegen können Sie die riesengroße Gruppe der wahnsinnig rechnen weil die so unübersichtlich ist und suchen sie eine Untergruppe der großen Gruppe die groß genug ist um jede Teilmenge zu enthalten aber klein genug damit sie damit noch ob auch noch wussten können wir uns dies grob dieses Problem löst und dieser Satz dieses Lemma 3 9 und zwar folgendermaßen was machen Sie sie neben sich alle Untergruppen von G r die jede Menge enthalten und schweigen die auf die Weise haben Sie die Menge der vielen Fall immer noch als was was immer noch ihren und so oder so ne Menge enthält weil die in allen drin war und aus dem Dilemma 3 9 kriegen Sie dass es jede Untergruppe und dieses Ding wenn man das Erzeugnis also Sie haben eine Gruppe G das ist jetzt diese riesengroße Gruppe die nicht änderbar ist sie haben die Teilmenge von gehe über die die wie sie das wissen wollen mit der sie arbeiten wollen die aber keine die aber im allgemeinen ist keine Untergruppe sein muss und was sie sich jetzt beschaffen ist die kleinste Untergruppe von GGM enthält und die kleinste Untergruppe von enthält die schreibt man üblicherweise und dann eckige Klammern Normung und wie kommen Sie an die kleinste Untergruppe dran die enthält 10 nehmen sich alle Untergruppen von gehen na gut jetzt alle Untergruppen geben sehen sie alle Untergruppen von enthalten da und schneiden die also ich habe sich die alle Untergruppen von D 1 die die groß genug sein um es zu erhalten und werden im Schnitt von diese Untergruppen und das nennt man das Erzeugnis von oder auch dann ist klar ist die 2. Bezeichnung sagt noch mehr was das wichtige daran ist oder die von erzeugte Untergruppe und das schöne an dieser Konstruktion ist eben diese eckige Klammer in dieses Erzeugnis ist in eine Untergruppe von und das ist eben die kleinste Untergruppe von GM enthält ist das ist Teil der Bemerkung 3 11
also dieses es egal mit was sie es endlich starten immer eine Untergruppe der sieht eine immer 3 neuen was wir machen das Beschneiden Untergruppen und egal wie viel oder Gruppen sich schneiden sie kriegen Untergruppe raus das war der Inhalt von Lemma 3 9 dann das was ich gerade sagte anschaulich oder von der Idee her ist dieses Erzeugnis die kleinste Untergruppe von G die enthält ja nur wenn es noch mehr kleinere gäbe die auch im enthält dann wäre die über dem Schnitt oben dabei und dann na also wer die mitgeschnitten und dann er selbst ist so groß wie diese Gruppen und dann geht's nicht er noch andere Beobachtung wenn ihnen jetzt so und in die Hände fällt und das ist zufällig schon Untergruppe kann also wenn man das durch Zufall schon Untergruppe ist was passiert dann wenn Sie das Erzeugnis betrachten anschaulich sollte gar nichts passieren die kleinste Untergruppe enthält wenn oder Gruppe ist natürlich n und so ist das auch also wenn er eine Untergruppe von G ist dann ist gleich Erzeugnis und das schöne ist dass es sogar ne genau dann wenn er sage also das ist noch ein Kriterium für Untergruppe der Teilmenge ist genau dann Untergruppe wenn sie gleich im Erzeugnis ist das können Sie sich gerne und das Essen die Errichtung von der Aussage lesen Zweizeiler Beweis wer noch Übung von einfachen Beweis braucht kann sich daran versuchen ich zeigen Beispiele gibt an der sie
sehen das obwohl man sozusagen die kleinste Untergruppe such dir Teilmenge Menge enthält beim sehr Zeugnis der Übergang von zum Zeugnis von ziemlich die Menge stark vergrößern kann wir also diese kleinste Untergruppe der Geld muss nicht der besonders klein sein und was wir dazu nehmen es als große Gruppe nehmen wir Zettel mit +plus und als eben nämlich was ganz kleines nämlich die Menge die nur die 2 enthält was ist so dass die kleinste Untergruppe von Z die 2 enthält so dann überlegen wir mal was muss auf jeden Fall gelten mehr das ist und dieses Gebilde sein Zeugnis von so Untergruppe seiner soll der Gruppe sein der als das heißt es ist mal zumindest die 0 drehen wir sonst wird das nix mit Gruppe was auch noch drin sein sollte ist die 2 weilt sofern Belgrad gewollt also wenn es 2 er müsste man die 2 in den Zoo wenn die 2 drin ist und das Erzeugnis von in der Gruppe ist das natürlich auch das inverse Element von 2 drin also -minus 2 ist auch drin bei 2. ist und wenn seine Gruppe habe muss immer das der man dazugehören ha und dann geht es weiter wenn Sie Gruppe haben und in der verknüpfen müssen Sie mit der oben bleiben da diese dieses Erzeugnis von muss abgeschlossene Vermittlungs Gebilde sein das heißt bei denen sich 2 Elemente diese das ist nicht so dass man und dem in Verknüpfung müssen sind bleiben es ist 2 da drin also ist auch 2 +plus 2 da drin das ist die Abgeschlossenheit bezüglich der Verknüpfung und so können Sie jetzt weitermachen dementsprechend ist natürlich auch nicht -minus 4 da drinnen bei mit jedem Menge man wird das inverse drin sein muss wenn I und II drin ist dann muss auch 6 drin sein dann muss man das extrem sein dann muss 8 drin sein da muss -minus 8 Rennen seiner also zu sehen da kommt ne ganze Menge bei rum und was wir sehen ist sie kriegen bei mindestens alle geraden Zahlen also auf jeden Fall ist mal diese Menge 2 Z dies der 3. nur mit 2 Z hat mir letztes Mal es einfach die Menge aller geraten zu sein also das Erzeugnis von der dieser kleinen unschuldigen Menge die nur die 2 enthält ist mal vom zumindest schon mal alle geraden Zahlen das heißt wir sie nur zum bis die Felle davonschwimmen denken kommt vielleicht ganz der draußen 1 kommt nicht ganz raus warum von diesen 2 Z haben sollten wir letztens schon
mal gezeigt dass es für Untergruppe andererseits wissen wir 2 zählt ist eine Untergruppe von Z er an und dann unsere Menge also die Menge die 2 enthält ist natürlich in 2. Set enthalten das heißt diese Menge 2 zählt die wir bei den großen Schnitt wenn ich das Erzeugnis bestimme mitgeschnitten also wenn wir das Erzeugnis von bestimmen ist das definiert das Erzeugnis von ist der Schnitt über alle Untergruppen von Z so dass die Menge 2 im enthalten ist und dieser steht nur 1 dieser OS ist 2 Z das heißt eine dieser ganzen vielen Dinge die geschnitten werden bis die Menge 2 2. ja wir können sie nur 15 andere mehr dran schneiden aber größer als 2 Z wird das auf keinen Fall also das hier ist eine Menge von 2 Z und damit aber die andere Inklusion nur wenn 2 Z ist Teilmenge vom Erzeugnis und das Erzeugnis Teilmenge 2 Z also haben wir jetzt zusammen dass das Erzeugnis der Menge die die 2 enthält die Menge aller geraden Zeit als sie sehen das man bei diesen Erzeugungs Prozess bisweilen die doch eine sehr große Untergruppen geben muss aber sie haben in dem Fall keine Wahl es gibt keine kleinere Untergruppe die Konzerte die 2 enthält sobald sie die 2. nahm das war die Argumentation von vorhin haben Sie alle 4 waren von zweier damit haben Sie sofort 2 Z werde nie ich bin bin genau also die Frage ist die nach der Verallgemeinerungen 2 Karten funktioniert genauso aber das genau das selbe ist wenn sie der eigenen Ethik dar das GEZ ja das liegt an der speziellen Struktur Z wenn sind selten eine lebendige wegen des das Erzeugnis angucken kommt immer als Untergruppe KZ raus aber das ist in zur wer also kommen sie nicht auf die Idee in einer beliebigen Gruppe so so zu argumentieren ehren wobei doch wenn Sie alle Elemente Gemenge haben dann die etwas Ähnliches er nun aber das Problem fängt schon an wenn sie 2 lebendige Menge nehmen wenn es auch in Zelt nicht mehr so übersichtlich also was ist die Untergruppe was ist das Erzeugnis worden 3 5 von der Menge die 3 und 5 enthält wenn sich auch nix Übungsblatt rumschlagen ich mir an der Stelle noch eine Notation einführen weil in den Zusammenhang oft auftaucht und weil ich sie in Maßen missverständlich finde und deswegen aber darauf hinweisen will also dies ist Neckereien 300 Redaktion und völlig ok man muss wissen was man tut er ein wir hatten jetzt gerade diesen Effekt als wir die Untergruppe angeschaut haben dass wir wussten 2 ist drin oder Name besteht daraus geschlossen wenn das abgeschlossen sein sollte der Verknüpfung dann müssen halt auch 2 +plus 2 2 +plus 2 +plus 2 +plus 2 2 +plus 2 +plus 1 bis 2 und so weiter also da sehen dann immer wieder verknüpft mit sich selbst vorkommen und wieder rechnen mit Zahlen hat dort allgemeinen Gruppen keine Lust dauernd die ständig denke ich ständig ich den G-Punkt .punkt .punkt stellen die Email zu schreiben und hätte dafür gerne kurz Notation und die GEZ und das ist schreibt man üblicherweise per potenzieren also wenn sie die Gruppe mit Verknüpfung des mit Gott vom Stern haben oder werden die es ist roten aus Z dann definiert man folgende Schreibung die hoch K und die hoch K ist einfach die kann man mit sich selbst verknüpft also geh ich dann geh ich dann und so weiter Stern gehen kann mal also ist für K größer 0 wir sehen sich einen Vorteil dieser Schrei und die hoch K ist deutlich eleganter und 14 geschrieben als dieses blöde geprobt vom .punkt und auch der geschliffene Klammer drunter aber es ist eben die gefährliche Schreibung weil es natürlich irgendwie ganz potenzieren von wer in Zahlen oder ganzen Zahlen erinnert und NEG ist hier eher Funktionen oder er Symmetrie Transformation vom Quadrat sind dann tut man sich am Anfang schwer zu schreiben die Drehung um 90 Grad hoch 17 wir damit es halt gemeint sind sie mal um 90 Grad drehen kann so müsse noch sagen was wenn Kanone sondern kann negativ ist wir keine gleich 0 es sei recht
einfach wenn ich nur mal mit mir selber verknüpfe nimm es natürlich ist dass das neutrale nennt das kennen und potenziell auch was auch nur das 1 und wenn sie negativ verknüpfen was machen oder beim Potenzieren wenn sie mal denken X auf minus 5 PS 1 durch x hoch 5 also in der also von x hoch 5 und genau das macht man ja auch also wenn das ChA kleiner 0 ist dann ist die Hochkar das inverse von G kann man mit sich selbst verknüpft sind ist der Kalkül stehe nicht mit der mit dem potenziellen erholen Kuh oder wo auch immer aber es ist eben die verallgemeinerte Schreibweise für beliebige Gruppe Sache so weit zum Thema Untergruppen Sie wenn Sie den nächsten Übungsblatt wie gesagt aus Fichtel beschäftigen ja ja danke Zimmer genau bestimmt ja sonst wird das komisch danke hören zu rauchen ich möchte jetzt in ein letzten Abschnitt hier in dem Kapitel über Gruppen ein eigentlich steigen ja bessere nun also die Frage ist die nach einem Verfahren sie den wahrscheinlichen algorithmisches Verfahren immer das Erzeugnis bestimmt es ist also solange Gruppe endlich ist kann man noch sagen geht in der Zeit des Völkerbunds bot voraus indem sie einfach alle Kombinationen zusammen machen geht deswegen weil sie als er könnte man sagen es gibt wenn ich endlich viele wird man kann ja immer geht oder nicht auf mit dieser sagt also wie ich auf mit sich selbst verknüpfen aber sind es nur endlich viele das wenn sie auch Übungsblatt zeigen sie endlich Gruppe haben dann ist immer die hoch n irgendwann wieder geht 7 grober aber nicht nur Platz beide unendlichen grobe Antwort klar nein gibt ein Verfahren ist ein kompliziertes Thema dann also das Erzeugnis im Allgemeinen anzugeben ist mühsam und Sie haben es im Prinzip nur net ist und das ist ein theoretisches Konstrukt im allgemeinen Version ähnliche Gruppe haben keiner Grundmuster ne bald näher mehr bewiesen ist das nicht weiß ich nicht also ich weiß nix drüber kenn mich da nicht gut aus dem Bereich aber in ich wüsste gar keinen Algorithmus und ich wüsste auch nicht dass da was gibt beide Gruppen sind das dermaßen vielfältiges das für mich total wundern wenn da das das wir zu stark gut gut dann möchte ich in ein bisschen was über Gruppen homomorph Liessmann erzählen ein wunderschönes worden um was geht es da also homomorph Wissmann um Oma fristlos aus steht für Struktur erhalten mit uns hier Struktur erhalten der Abbildungen also was wir jetzt machen wenn wir sie immer eine Gruppe angeschaut und nun frei QC dass die Untergruppen hat und wie diese aussieht was wir jetzt gesehen 2 Gruppen mir er und Z Q Permutationen von Chor oder irgendwas für und schauen uns dazwischen Abbildung 1 also Funktionen Wohngruppen Gruppen oder sehen wenn ich irgendwelche also zum Beispiel Funktion von A nach er 1. Funktion von Gruppen Opera sein sie 1 plus nehmen als ich irgendwelche Funktion sondern ganz spezielle nämlich solche die die Struktur erhalten also die die Sturm algebraische Gruppenstruktur nicht ändern und das ist auch gleich die Definition am Anfang dann bis dann also die Definition an der kann ich dann erklären was ich meine mit Struktur erhaltend
also sehr denn wie gerade beschrieben sie haben 2 Gruppen Gruppe G mit Verknüpfung Sternes eine 2. Gruppe auch einen Buchstaben und dann den geht man im Dezember wird die 2 Möglichkeiten wenn Sie einen Buchstaben brauchen entweder sie nehmen den korrespondieren griechischen das wäre jetzt hier großes Gamma um das Grabmal nicht oder sie gegen lateinische Alphabet ein 2. dementsprechend man sinnvollerweise H a r an im als normalerweise geht mein im im leider nicht einer geht ein 2. und wenn der Buchstabe aber dummerweise schon was anderes belegte oder Moment nicht ob Opportunist ist dann ist der Ausblick meistens den korrespondierten Griechen zunehmend so dass Frauen erfahren andere Verknüpfungen dann guckt man also in seiner Zeichentabelle oder sonst wo was es noch gibt ich hab ich mal so ne Raute entschieden nehmen Sie was Sie wollen nur bitte keine bloße damals so Eises in 2 Gruppen sondern gesagt schauen uns Bildung an die von dir nach Hagen das ganz natürlich Element von der Wand eisenhart bilden habe ich wenn ich Ihren Abbildung soll ich werde Abbildung die Struktur erhält was heißt das also in Abbildung die die Rechen strukturelle nennt man ein homomorph muss und in dem Fall jetzt die rächen Struktur der Gruppe erhält einen Gruppenraum um Autismus sie werden später noch Amorphis freiwillig Strukturen kennen lernen um Orphismus bedeutet immer Struktur erhalten der Abbildung als Gruppen vom Orphismus so und was heißt hier Struktur erhalten Struktur erhalten als das ist egal wenn sich 2 Elemente ausgehenden D 1 und D 2 und die verknüpft dann können Sie die verknüpfen also 7 2 Dinge die sie mit Elementen aus gegen tun können sie ganze verknüpfen und sie können sie abbilden also können Sie entweder Zeilenende Männer verknüpfen oder Sie können es von D 1 10 11 und die 2 und Struktur erhalten da ist ist es einfach egal in welcher Reihenfolge das machen also ob sie G 1 und G 2 zu 1. mindernde verknüpfen und das Ergebnis abbilden das ist genau das gleiche wie wenn sie zuerst die 1 abbilden und G 2 abbilden und die beiden dann verknüpfen er von G 1 in F und G 2 sind Elemente von Haar das heißt die Verknüpfung die hier steht es jetzt die Raute so und das muss gelten für jede Wahl von G 1 und G 2 ausgeben das ist die vom Orphismus Eigenschaft das bedeutet nichts anderes als wenn wir noch sehen das dieser dieser Abbildung ich ihren abgelehnt H ist sondern dass sie die Rechen Regeln in G alle in Rechenregeln H übersetzt hätten die korrespondieren Rechenregeln H übersetzt umgekehrt weil es Wert ist diese Bedingung des bedeutet nichts anderes als ist es egal ob sie erst verknüpfen und dann auch abbilden oder erst ab Bild nur dann verknüpft und das bedeutet wenn Sie mehrjährige auf der einen Seite haben da muss die auf der andern Seite gelten weil sonst wer das Jahr also sonst wird es Unterschied machen ob sie erst bilden dann verknüpft wird 1. verknüpfen dann ab abspielt im Tor des ist also von Gruppen Orphismus nennt müssen sich die ging jetzt gar nicht mehr ich auf Folie mit auch der Saal unten darf dem Projekte an machen wenn sie es nicht schon gemacht haben und Projekt schon also das Bedingungen wie gesagt am besten merkt man sich so es muss sich die Reihenfolge verknüpfen oder abbilden des egal zwar an das war Teil A von der Definition bisher bis 11 in Abbildungen wobei also das heißt irgendeines gut eine Abbildung die diese Bedingung erfüllt das ist mir ganz sehr spezielle Wahl von Abbildung also das ist wenn Sie und wenn wenn sie die Menge aller Abbildung zwischen G und H es dessen sehr elitäre Begriff das sind also wirklich nur sehr wenige also wenn Sie zum Beispiel ist die H Ehre mit plus nehmen und jetzt alle Funktionen von einer angucken bin jetzt sehr sehr wenige die Gruppen auf Wissen sind können Sie alle Locke bestimmen einmal trotzdem gibt es noch einmal besonders schöne Gruppennummer Fiszman und das sind die Direktiven die
kriegen einen Namen also wenn sie nur vom Orphismus haben der zusätzlich noch Bier aktiv ist dann heißt das Ding Isomorphismus Smiths laute lateinische Wörter aber es lohnt sich die zu lernen und sie komm nicht tun um die Taucher noch hundertmal auf die gibt es nämlich nicht nur bei Gruppen sollen sobald sie irdene algebraische Struktur haben gibt es darauf Homeoffice Louison taucht noch mehrfach auf diese Begriff und auch das letzte der letzte der diese Definition werden sie noch mehrfach lesen sich nun zusammen mit Gruppen wenn Sie den Isomorphismus zwischen 2 Gruppen haben was bedeutet das das bedeutet Sie haben mit diese Abbildung von dir nach H das heißt Elemente von H stehen 1 zu 1 Beziehung zueinander über diesen Isomorphismus und außerdem überträgt Isomorphismus noch sämtliche Eigenschaften der Verknüpfung und das bedeute diese beiden Gruppen sehen als Gruppen identisch die verhalten sich genau gleich gleich die weiten sich genau gleich jede Rechenregeln der einen Gruppe gibt mir Rechenregeln der andern und die Sender vom von war in ihrer von ihrer Struktur als Gruppe nicht unterscheiden und das nennt man dann isomorph jetzt wir haben gehört ja also die Frage greift jetzt 20 Minuten voraus richtig also die Frage war wenn Sie mir wenn Sie jetzt in diesem Moment wenn sie jetzt noch vom Orphismus in ihren haben er jetzt nicht mehr aktiv ist also zum Beispiel nicht so jektiv hab ich jetzt verstanden das heißt er trifft nicht ganz H dann kriegen dann bedeutet das dass sie mit dem Bilde Untergruppe von Hafen finden genau das so ist es auch beim man nacher beweisen was er am genau was es soll hier fertigmachen will ist dieser Begriff dass dieser Mord diesen Haufen grob meist in 2 Gruppen haben sie den Song Isomorphismus geht wer sind die als Gruppen identisch das kann sein dass die eine Äpfel und die andere Bananen enthält oder dass die eine Permutation und die andere Symmetrien enthält das ist total wurscht so bald ein Isomorphismus haben sind die in ihren Gruppen Eigenschaften absolut identisch und 2 soll die Gruppe nennt man isomorph also wenn Sie 2 Gruppen haben mit ihren Haar und das geht sollten es geht irgend ein Isomorphismus ja also Sie finden eine Direktive Abbildung zwischen dir und H die mache die Roma muss es dann nennt man G und H Isomorphie Gruppen und im Sinne der Gruppentheorie unterscheiden die sich da nicht sind die das selbe auch wenn sie vielleicht dass er völlig andere Modellierung kommen sie der Gruppentheorie tun die sich halten Sie sich nicht verschieben so sehr wichtig diese abstrakten Begriff eingeführt jetzt wollen sie sich immer ein muss sehen oder ein Isomorphismus ich hab also paar Beispiel derweil 3 15 1. Zeile wir bleiben bei den Z 19. +plus Gruppe in der jeder bisschen Gefühl hat und ich gebe Ihnen eine sehr einfache Abbildung von 10. 18. Schreib mal die Verknüpfung und meinen damit klar wird also eine Abbildung von Z mit plus als Verknüpfung nach mit plus als Verknüpfung in dem sie jede Zahl ihr vierfaches zu ahnden 2 Abbildung vor keine Direktive Abbildung nur weil das zum nicht so jektiv S 3 wird nicht getroffen aber ne Abbildung von Z nach Z wenn ich seit behauptet dass es normal Office wusste warum es das Normung Orphismus nehmen Sie das müssen Sie um Orphismus nachzuweisen gute Borders Malers Abbildung ist die Schnittmenge und das ist hier sie brauchen das was da noch eingekastelt ist auf der Folie sie müssen zeigen ob sie zuerst verknüpfen und dann abbilden oder 1. Abbildung dann verknüpfen das egal und zwar für jede Wahl von 2 1 1 Parametern also in dem sich 2 ganze Zahlen Kahlke K und L hier und was sie jetzt nach anschauen müssen ist er von K verknüpft mit L die Verknüpfung hier ist das bloß also eher von K +plus S was sie zeigen müssen ist dass es von K verknüpft mit E von L weil es auch die geraubten Verknüpfung des Plus also da muss jetzt rauskommen er von K +plus F von allen mindestens es bei diesen Button banalen Beispiel nicht so schwierig also was ist er von K +plus L wenn der kabellose die Funktion stecken dann kommt viermal K +plus S raus da die Funktion multipliziert die Argument einfach mit 4 Na ja jetzt komm einfach Rechenregeln Z das ist 4 K +plus 4 EL was ist 4 K 4 KSE von K und 4 EL ist er von allen was da steht ist der Nummer 4 in Schach um er von K +plus L ist er von K +plus F 1 was ich schon sagte er wisse um
Orphismus ist kein Isomorphismus war nicht so Ltd um Isomorphismus zu sein müsste sie zusätzlich Bier tief sein es wird es das ist ja nicht wahr ja er man Homeoffice muss gesehen zeigen noch ein nicht vom Orphismus da können Sie das Beispiel hier oben er war nur ein bisschen variieren also wir gehen wieder von C +plus nach C +plus Abbildung G und diesmal werden wir jedes KH ab nicht auf Jamaika sondern optimal K +plus 1 könnte man sagen dass es nicht viel anders wird obwohl er nicht gehen die leider nicht so ähnlich ist nämlich keiner Grund warum sie waren wenn man versucht nachzuweisen aber wenn man dann beim Nachweis merkt das klappt nicht und man dann sieht warum es nicht klappt dann einen ganz allgemeiner Tipp an der Stelle schreiben Sie dann jetzt wenn sie nachweisen wollen dass es keine vom Orphismus keine langen Roman mit allgemeinen K und L und dass das im Allgemeinen nicht funktioniert das wird nur schwammig sondern seien Sie froh beweisen dass was furchtbar schweres und schwer genug was in der Mathematik einfach ist normalerweise ist das widerlegen wenn also jemand eine dreiste Behauptung präsentiert und sie den fest die stimmt nicht da man sie keine allgemeine Abhandlung darüber sondern schreiben Sie ein ganz konkretes Gegenbeispiel weil das schöne bei gelegen ist es reicht ein blödes Beispiel Berlins nicht klappt und den das ist meistens viel exakter und schlagender als irgend Gemeinde allgemeine Abhandlung darüber warum es nicht geht also sozusagen es können sich allgemein merken wann immer Sie das widerlegen wollen machen Sie das nicht allgemein sondern so konkret wie möglich ja sie wollen Aussageweisen sie das Gegenteil gegen Beispiel bringen Moment das wäre sie zeigen nicht AG nicht vom wo war er mehr erwarten Sie müssen bedenken normalerweise müssen Sie beim beweisen Indikation zeigen und im zieht man weiß es nie Aussage aus dem nicht klären Raum schaffen und sie das nur von A nach B und die Aussage A folgt B zu beweisen wenn Sie da das Gegenteil reisen wollen dann sind über Kontraposition aus nicht befolgt nicht aber wenn Sie jetzt für diese Gesamtaussagen Gegenbeispiel finden da wenn sie tatsächlich durch aber das ist einfach nur Wasser Widerspruch das Idee für doch was im Widerspruch zu aber in dem Fall hat ihn jetzt also immer behauptet dass den gesunden Orphismus und sie wollen zeigen es ist keiner also konkret wie konkret es nicht anders geht schauen uns einfach 2 Elemente an und gucken was passiert wenn der 1. verknüpfen und dann abbilden oder umgekehrt und wenn denn mal die Elemente 1 und 1 zu also was es eh von 1 plus 1 das ist er von zweien jetzt müssen wir 2 in dieses Ding einsetzen 4 mal 2 plus 1 das kriegen wir ausgerechnet des neuen und wenn das denn ein Isomorphismus wäre dann
müsste jetzt das gleiche raus kommen wie bei 11 von 1 +plus 11 von 1 ja was ist er von 1 +plus 11 von einst das ist viermal 1 +plus also eher von 1 ist viermal 1 plus 1 und er von 1 ist viermal 1 plus 1 sondern man sich das alles zusammenzählt Collines hieraus wir werden in 10 15 Minuten das schnellere Methode sehen das zu belegen hier einmal das auch so schnell dass nur 2 Zeilen 15 und grinst einer Zeile weil ich Ihnen sagen werde wenn sie nur vom Orphismus haben dann geht immer das neutrale Element auf weitere Elemente und das ist hier verletzt wird die 0 geht nach 1 er von 0 bis 1 das kann keine Homeoffice musste aber es immer gleich so noch einen weiteres Beispiel für Normung Orphismus damit man mal sieht das ist muss ich nicht immer nur zwischen der Gruppe und sich selber wirken kann und doch nicht auf beiden Seiten die gleiche Verknüpfung braucht nehmen Sie folgendes Abbildungen bin ich jetzt gehen sie gehen von ERT mit Additionen also man die reellen Zahlen aber vergessen dass sie multiplizieren können wenn sie aber mit plus betrachtest es ne Gruppe und gehen in die reellen Zahlen und vergessen dass sie addieren können schauen sich die mich mal an und damit das Mai eine Gruppe ist müssen Sie nur rausnehmen also deren Zahl ohne die 0 wird man es auch eine Gruppe wann immer sie 2 Relizane tausende mit mal verknüpfen kommt wieder der jene Zahlungen 0 raus 1 ist das neutrale Element zu X ist 1 durch x das inverse und als es ist mir Bildbearbei legst kann er nicht nur also Zielgruppe an und meine Abbildung ist die Funktion die eine reelle Zahl x nach 2 hoch x schickt danke und ich behaupte dass es tatsächlich im Homeoffice muss man warum er muss mal wir nun nachrechnen was müssen wir Ton wir müssen zeigen die Xtra verknüpft mit Y es gehe von exakt 5 mit der von Obst an also nehmen wir uns X 1 X und Y was er hier also dem sich X
und Y in Ehren und was sie anschauen müssen ist G von x vergriffen y welche Verknüpfung haben wir hier werden und auch Bildbereich damit bloß also die von x +plus y müssen uns anschauen was ist das und der muss jetzt raus kommen die von x-mal gefordert Schüler eine in weil die die Stern Verknüpfung hier ist das bloß und die Rauten Verknüpfung das mal der von X plus Y ist nach Definition der Abbildung 2 hoch Exposition war ziehen sie schon das läuft auf die Potenz Rechenregel raus was ist zwar richtig 17 an dass ist 2 auch x-mal 2 Wurzeln Na Potenz Rechenregel und das ist die von x mal die von Apps an das hier ist die Raute Verknüpfungen das ist sich deren Verknüpfung und was jetzt da steht es genau die Home Office muss Regeln gut ja die Frage so dass er sich da denke ich immer beweist ein Beispiel ist das ist ein Beweis weil ich hab's für jedes XY gemacht und ich hab diese Aussage die da im Kasten steht nachgewiesen für jede 2 Wahlen aus der Gruppe muss diese Gleichung gelten wenn Sie jetzt für x 3 1 und y von beim 1. Beispielen ja und dann müssten sieht um daraus ein weiszumachen jeder andere Wahl von XY auch noch händisch Nachrichten und das dauert bei er ziemlich lange gut als nächstes kommt jetzt der greise angekündigte Satz und noch mit einfachen Rechenregeln für Homeoffice man das zum Beispiel das Bild von neutralen man immer das neutrale man sein muss das Mama gleich nach der Pause jetzt erst mal kurz zu verschnaufen Pausen so ich würd gern in der 2. Hälfte einsteigen und die 2. Hälfte beginnt die sozial mitnimmt seit der einfach Eigenschaften von Automatismen zusammen sammelt also der Satz 3 17 und also wir haben das Setting das wird Barow ist mir die ganze Zeit haben das heißt sie haben 2 Gruppen denn wenn ich wieder gehe mit Verknüpfung Stern und habe mit Verknüpfung Raute 10 beides Gruppen und dann auch noch die neutrale Elemente bezeichne ich SNG und NH mit hoffentlich intuitiv klar Bedeutung also in ist das der Tralle wird von G und NH ist das neutrale Element von H so und dann aber schließlich noch einmal vom Orphismus von General und dann mach ich hier 4 Behauptungen von den ich jetzt jede Vorlesung die 1. 2 beweisen will die andern beiden überlasse ich Ihnen zum selber machen oder zum Nachvollziehen Skript stehen sie alle 4 drin und das 1. das was ich vorhin schon sagte egal wie das Setting welche Gruppen welche noch normal ist muss sie haben es muss immer gelten das 11 das neutrale Element auf neutrale entdeckt wenn Sie da mehr denn je werden da die Daten von Homeoffice muss geht dann zahle sag wegen Außenseiter ist oder behauptet es ist einer dann ist das 1. Plausibilitätscheck denn so machen können setzen sowas neutral Element ein und wenn da nicht das neutrale man rauskommt dann ist dann können Sie das Ganze schon zurück geben und sagen war nix besser einen rauskommen wissen sie noch nicht auf seine ist aber es ist zumindest mal soll 1. checken damit hätte man zum Beispiel auch vorhin dieses Beispiel mit 4 K +plus 1 sofort aussortieren können und war dabei von 0 immer 1 und nicht 0 so war das die 1. Behauptung die 2. ist das auch inverse Element auch inverse Elemente gehen müssen das ist das was ich eben Struktur erhalten wollen gemeint hat die Abbildung ist so dass sie die Gruppenstruktur auf die Gruppe nicht auf die entsprechende Struktur in der anderen Gruppe abbildet also egal welches gegen diese nehmen wenn Sie das Ge wenn Sie das inverse Element von G anschauen das er und das inverse Element abbilden das ist das gleiche wie wenn sie 1. G abbilden und dann das inverse Element in H bilden 8 und diese beiden Querstriche es sind verschiedene Dinge aber beides mag wer da steht der kräftig auf dem G links und Berger zeigen dass inversen Bildung in der Gruppe G der Querstrich auf dem er von der Rechtsungleichheit sein Wissen inversen Bildung der Gruppe H also wenn Sie alles ,komma wollen denken mit denen Orphismus 2 auch x dann wäre die diversen Bildung innerhalb los das Minuszeichen davor den Blasenbildung wieder mal das einst durch Mehr von also verschiedene Strichlinie
so dann als zentrale das was vorhin als Frage kam egal ob 11 Isomorphismus oder vom Orphismus ist wenn sich das Bild von 11 von die oder 11 anschauen dann ist das eben eine Untergruppe von haben das ist auch eine beliebte Methode sich Untergruppen zu verschaffen oder auch um von einer Menge nachzuweisen ist Untergruppe ist nehmen Sie einen nehmen Sie eine Probe die sie kennen finden Sie darum Orphismus der diese diese Menge gerade als Bild hat dann ist Untergruppe und für homomorph Wissmann übertragen auch der Kommode Aktivität also wenn sie nicht gut die Gruppe G aber ich es aber es das in die groben Verknüpfung kommutativ ist dann ist auch die Gruppe 11 von Gear bis das bedeutet nicht kann ich gleich war muss man sich dazu sagen dass auch die Gruppe habe es sein muss F und G kann das ein kleiner Teil von H sein und es gibt durchaus nicht arische gehörten die alles Untergruppen habe also ein kleiner Teil von Eis hat aber es aber drum rum gezeigt dass das Rathaus nicht erfüllt werden das heißt der Designer ist nur wenn die aber es ist dann ist das Bild von dir der 11 auch sollte weil es in A und B und heißt Ersatznahrung aus Kreuth hab ich den hier auf der Folie dabei alles ist mal der Satz zu riechen dort eingeschrieben aber also was müssen wir für den Anteilseignern wir müssen zeigen wenn wir das neutrale man den GSF reinstecken kommt Menschenhaar raus und wir starten wieder damit wenn wir sie sehen die ausnutzen dass das in den neutralen es und neutral zu sein bedeutet insbesondere wenn wir n gehen mit sich selbst verknüpfen kommt wieder in die raus was jetzt dasteht ist die glorreiche Erkenntnis dass nur das selbe wie 0 +plus Wallace oder eines dasselbe wie 1 mal 1 aber das reicht schon das ist der diese Banalität wenn man sich mal 0 +plus 0 übersetzt ist entscheidende Schritt für den Beweis von was machen wir jetzt das der Film und diese Gleichheit und werfen das 11. drüber wir wissen dass es nur vom Orphismus ist und was bedeutet das das bedeutet es von ngi das
ist das was uns interessiert na ja das ist nach der Gleichung da oben er von NG verknüpft mit den geben und jetzt verwenden wir dass unser von Homeoffice muss ist wieder eine Folie kucken bedeutet das Opel zuerst verknüpfen und dann abgeben oder zuerst abgebe dann verknüpfen ist egal also der vom Orphismus Eigenschaft heißt hier das ist er von allen G verknüpft mit 11 von NG Zaren es von allen gehe ein bisschen Haar und heiße Gruppe dass ich dann deswegen existiert das inverse ja also 11 von allen G invers wir das so würde man aber eine grobes muss es geben in der Seele nennt von 11 von denen die sauer und damit kriegen wir was das neutrale wenn können Sie jetzt schreiben weil sie es von in der Nähe von den Vers haben als er von invers verknüpft mit 11 von den G das ist einfach die Eigenschaft die in der jedes Element hat man das ist aber nur die Verknüpfung kommt das neutrale raus dann hatten wir gerade oben gesehen es von MG an können Sie schreiben als er von allen verknüpft wie der von gehen mit 12 über die Assoziativität aus und verschieben die Klammern wenn sie das machen kriegen sie es von allen G quer verknüpft mit er von allen gehe verknüpft mit der von den gehen es war ein Gateway erfolgte mit der vollen ist ist das neutrale Element ja also des Jahres gerammt das ist jetzt ist das neutrale Element den H verknüpft mit der von gehe und das ist er von allen gehe weil in Haar das neutrale Mendes und jetzt geht es da was sie haben wollen ganz oben rechts in der Ecke geknuddelt steht er von einem G gleich gleich gleich gleich in Aachen also was Sie hier machen ist immer nur die Axiome Wohngruppe das Verwenden der richtigen Reihenfolge und was man braucht am Anfang es einmal diese Idee das MG als Verknüpfung mit sich selbst zu schreiben so und das ist der Anteil am dann kommt der vitale an also insofern ist dieses
Argumente sind gerade vorgeführt hat das ist ein ganz typisches Gruppen Gruppen der Mai GeschÃfts X Argumente also immer die richtigen Axiomen von einer kleben so Teil sagt uns ob wir erst abbilden und dann der Tiere der 1. wird hier und ein Abbild des egal was muss ich dafür tun um das nachzuweisen wenn man die ausgehen das muss ich zeigen diese beiden Ausdrücke da sind gleich und was sich verwenden will ist dass das inverse in hat eindeutig ist das hat man einfach mal gezeigt Inselgruppe haben es diverse Bildung immer eindeutig war das heißt was ich zeige es F und G quer quer essen Inverses von 11 und die Wände von geht wir also wenn das was rechts steht dass er von der Mehr wenn wir also von der von GIS wenn ist muss es gleich dem inversen sein wir sind also eindeutig ist und dann haben sie erfuhren die quer welche von den wären so also was müssen wir tun wir müssen zeigen dass es von G verknüpft mit 11 von geht quer das neutrale Element Na bei den kriegen wir das erfahren die Kinder in das ist der von geht sagen was machen wir wir wenn Bildung und auf die Eigenschaft aber diesmal rückwärts sie haben es von irgendwas wirkt wieder von irgendwas und das ist wegen der Nummer muss F und G verknüpft mit quer das ist wirklich weil die verkniff mittig kennen wir die verknüpft mit GEC wäre es das neutrale man den gehen und das ist der Anteil das es den Haaren genauso umgekehrt also in dem er von GEC wieder und verknüpfen das mit der von gehen wieder Nachahmung Orphismus ist dass das selbe WFG Quelle F von G quer verknüpft mit G das ist er von allen gehen und das ist in Hama also das ist das Argument von gerade eben ist es von GEC quer in H ein Inverses Element von 11 von G nichts anderes haben wir nachgerechnet wer nachgerechnet dass er von GEC wer Inverses Element von f von g ist es Inverses aber eindeutig das war Satz am Anfang über Gruppen also muss dieses eher von GEC wäre das schon bekannte inverse F von geht quer sein und das was so C und D bleiben als Übung stehen C ist diese Aussage dass das Bild von jeder Gruppe wie der Untergruppe ist das normale schöne Anwendung für's Untergruppen Kriterium und der Detail ist die Übertragung von A bis das ist wieder direkte Sixten mit der Ordnung auf muss und Adel ehren an die guter tivitäten die ausnutzt wenn sich der das Übung anschauen ich weiß dass die Dinge auch im Skript stehen aber klar ist erst mal zu probieren Sie selber anschauen nach so damit haben wir gesehen sondern vom Orphismus hat als Definition nur diese eine Zeile aus aber er hat noch viele andere Eigenschaften die man auch als Struktur erhalten bezeichnen kann der beträgt vertragen wenn das zentrale Element der beträgt in der sehr inverse und und das ist eine wesentliche Eigenschaft von Ihnen doch er liefert uns wieder Untergruppen das Bett von jeder Gruppe ist werde unter kann ist eine Untergruppe von der vom werde doch von dem Probe der Wertebereich ist und ich will noch eine 2. Untergruppen bringen die jeder worauf es muss Ihnen kostenlos mitgeliefert also wenn sie 2 Gruppen haben und Mehr und nun vom Orphismus dann liefert Ihnen dieser vom Orphismus in eine Untergruppe von Haar und jetzt zeige ich Ihnen jeder kann worauf es muss bringt umsonst mit doch eine Untergruppe von G im des Definition 3 18. also wir haben wir
das denn was wir die ganze Zeit haben sie haben 2 Gruppen mit der Verknüpfung stellaren habe mit der Verknüpfung Orte zwar das beides Gruppen n g und NH sind wieder die neutrale Elemente von G und H respektive und sie haben enorme auf es muss der ihnen die nach H bildeten sahen und dann definiere ich in den so genannten Kern von 11 abgekürzt Telefon 11 und der Kern von 11 bis jetzt Teilmenge von die und das sind alle die gegen G die von 11 auf das weitere ein Element in H geschickt werden und das Ding geht man den Kern von F das ist erstmal Teilmenge von gehen und diese Teilmenge hat's in sich gucken uns die man ein Beispiel an Beispiel 3 19. ich nehmen folgende Abbildung dies jetzt definiert auf der Menge Z 4 mit plus Z 4 war die Gruppe aller des Klassen und nur 4 enthält viele Elemente nämlich die Menge aller der Zahl den Rest 0 ich die ist die Menge aller derer zahlen den Rest 1 ist 2 und 3 dreist von der hatten in der letzten Vorlesung auf dieser Menge +plus erklärt indem sie eine weiteren 1 addieren und damit die 1. Klasse bilden und auf dieser Menge Z 4 mit plus Kugeln ist diese Abmeldung an und was macht die nimmt sich Sonne Klasse in
Schlange und bildet die ab auf die 1. Klasse von 2 1 dann ist erstmal zu klären dass dieses F überhaupt noch vom Orphismus ist nun das ist sozusagen jetzt ein weiteres Beispiel zu dem Beispiel von vorhin also nehmen Sie sich 2 beliebige Elemente aus dem Z 4 her in einschlagen und in 2 Schlange und rechnen Sie nach dass die Oma die Eigenschaft gilt was müssen wir also tun wir müssen uns erfahren von L 1 verknüpft mit den 2 angucken die Verknüpfung des das Plus also müssen es von den 1 1 +plus 2 angucken und zeigen dass das selbe wie er von den Schlange +plus 11 von den 2. also fangen
an das geht gerade erst an werden und es von in eine Schlange +plus n 2 Schlange was ist das nach Definition wie addiert man 2 soll Schlangen Ausdrücke sagen uns dass es mal überlegt zu dem sich jeweils den Repräsentanten addieren die und machen die große Schlange oben drüber Sarah was macht es mir sogar klasse 11 nimmt sie so der 1. Klasse multipliziert werden das Argumente und mit 2 und dem davon wieder die 1. Klasse das ist das selbe 2 n 1 +plus 2 2 1. Klasse nach Definition der Addition von 1. Klassen ist das 2 1 Schlange +plus 2 in 2 Schlange und das ist er von den ein Schlange was er von den Zeichen und dann haben sie doch was die eigentlich für das Essen zur ich habe also beim Homeoffice muss von Z 4 nach Z 4 und ich hatte Ihnen gerade den Kern definiert das interessiert also was ist der Kern von diesen Homeoffice muss das gute Z 4 ist Z vieles übersichtlich hat nur 4 Elemente da können weil ausrechnen was das ist tot also was tut das 11 zumeist mit der 0 Schlange von 0 Schlange ist zweimal 0 Schlange also das 0 Schlange das ist jetzt nicht verblüffend weil es ist vom Orphismus und Orphismus muss das neutrale werden auch sakrale Welt abbilden also ich bitte schön es von 0 0 7 so was macht es wieder 1 er von 1 Schlange war zweimal 1 Schlange also 2 Schlangen er von 2 lange ist was ist 2 mal 2 Schlange bis 4 Schlange bis 0 schlage nur 3 4 und 0 7 kongruent nur 4 dann bleibe noch eher von 3 Schlange übrig wer von 3 Schlange ist zweimal 3 Schlange ist 6 zu 1 2 schon also aber den Kern der besteht aus 2 dementen in dem Fall aus der 0 bei den 0 das neutrale man diese ändern dabei zentrale Mengede Machtzentrale wenn aber in dem Fall ist noch zusätzliches Element drin nämlich dass nämlich die 2 Schlange die wird auch auf die 0 abgebildet sollte ist der Kern hat unsere willkürliche Teilmenge von gehen nämlich alle die Elemente der vertreiben man geschickt werden und was jetzt kommt ist dass die gar nicht so willkürlich ist meine Behauptung ist nämlich dieser Kern ist immer ne Untergruppe das ist der Satz 3 20 also wenn Sie 2 Gruppen haben Dotation wie immer also geh mit Verknüpfung Stern haben mit Verknüpfung Raute das sollen beide Gruppen sein 11 Mal vom Orphismus von gehende Haare das Standards wird den für diesen Unterabschnitt schade da
dann behaupte ich ist der Kern von 11 in einer Untergruppe von gehen und auf die Weise haben Sie also wenn Sie worauf es musste dieser Gruppe haben wir mit der in ihnen immer gratis zu Untergruppen zum einen das Bild 11 von GM eine Untergruppe von H und zwar dann sehen wir gleich ist der Kern also alle die über den gegenwärtigen das weitere Elemente da ist es Untergruppe von gehen soll noch beweisen wir beweisen wir das Wasser Untergruppe ist natürlich mit den Untergruppen Kriterium und dazu das wird zuerst mal beweisen Untergruppen Kriterium an 2 Dinge 1. die Menge darf nicht hier sein müssen zeigen wenn ist nicht leer und zweitens für je 2 Elemente A und B aus der und aus dem Untergruppen Kandidaten muss verknüpft mit Big wir wieder drin sein kann das waren die 2 Bedingungen G 1 zwar hin wie damals gesagt Mais ist es nicht wert das einfache Teil das ist ja auch so warum ist der kann auf keinen Fall die nicht leer er war das neutrale man drin ist der Satz 3 17 A sagt uns egal was G r h und F sind das neutrale Element von gebe dem auf das wenn von H abgebildet also ist das neutrale Element von die immer im Kern von 11 enthalten und das liefert Ihnen das Untergruppen Kriterium 1 nämlich aber es ist nicht fehlt noch G 2 mehr wir zeigen wir G 2 wir müssen uns 2 Elemente aus dem aus der den Kandidaten für die Untergruppe hernehmen und zeigen diese Bildung ständig nicht wieder drin also nehmen wir uns 2 Elemente hier in dem Falle nicht immer G 1 und G 2 um klarzumachen dass es Elemente von dir sind und das sein beides Elemente aus dem über sich jetzt zeigen muss es das Element G 1
verknüpft mit dem inversen von D 2 ist in der und dann hab ich das UG G 2 erledigt dieses diese diese Frau diese auch dieses Element von GE muss in im Kern liegen die weil sich nach das was im Kern liegt man muss zeigen sein wildes das vertrat Element also schauen wir uns mal an was den 11 damit macht um und hoffe mal dass da n herauskommt das so wie Sie es versuchen .punkt in den beweisen wird so einigermaßen fordert dass an der Stelle wir wissen schon was rauskommen sollte ,komma dahin an der Stelle haben Sie eigentlich nur 1 Haus sie tun können also machen Sie es sie wissen es nur noch wissen muss und sie haben 11 haben wir Verknüpfung der stehen also schreit es geradezu danach auszunutzen dass er Homeoffice muss ist und diese Aussage meiner hat zu übersetzen dann steht der von G 1 verknüpft mit F und G 2 klären er das ist die Eigenschaft dass er von Home Office muss ist so kommt 3 17 B 3 17 B sagt uns das des in werden das erfahren die diversen von D 2 das gleiche ist wie er von den 2 in Vers so aber das schöne ist dass wir es von der einzelne von die 2 kennen weil G 1 und G 2 sind bei den kehren was bedeutet das im Kern zu seinem gern zu sein bedeutet dass das Bild das er 3 Element ist also ist er von D 1 wird ist er von der einst das neutrale Element und er von D 2 ist auch das neutrale Element das liegt daran das G 1 und G 2 im Kern von Elfie nur so was ist das inverse von Neutral Element das hatten wir auch mal irgendwo festgestellt das inverse vom neutral mir das neutrale selber also ist das haben also es die einst sterben die 2 quer im Kern von 11 und das Untergruppen Kriterium etc die wir denn die Behauptungen Sie G 1 und U G 2 nachgerechnet damit ist es den Untergruppe nahm Untergruppen Kriterien was wir damit insbesondere jetzt gezeigt da man sich an freien erinnern an das Beispiel Z 4 sich Gene plus und dann dieser vom Orphismus ich Fall gezeigt hatte Daten aus der Kern ist Schlange 2 Schlange damit kriegen Sie für ohne dass die Menge durch lange 2 Schlangen Untergruppe von dazu vom Z 4 war das der Kern von diesem eine vom Orphismus ist und jeder Kern von Orphismus Untergruppen gut machen so hin lange Freyja D 1 10. haben von 11 und was ist der Kern von 11 der Kern von Ärzten alle die Elemente von G so dass er von GmbH ist da der Kern von Ärzten alle die Elemente die auf NH abgebildet werden wenn die einst in im Kern ist muss also von G 1 gleich ein Hagel und wenn die 2 internes muss er von der 2. gleich in Hagen aber das hab ich ausgenutzt nein das liegt daran dass er von dem Kerl liegen dem und das ist auch das was es Untergruppen Kriterium braucht es Untergruppen Kriterium sagt wenn sich 2 Elemente aus der hoffentlich Untergruppe nehmen muss diese Bildung die einst deren Gezweig wär auch wieder drehen erst ja genau also die Freies was den Kern ausmacht denn er macht genau dies aus das das ist wenn Sie so wollen der Kern ist das Urbild des neutralen das Programm so formulieren wir also das ist ne 2. der Gelehrte Definition der
Kern von 11 ist das Urbild der ein Element liegen Menge NH zum Aldi den Bildinhalt so das ist das was sich in aller Kürze sind immer Gruppen sagen will und ich hatte ihn am Anfang gesagt dieses ganze Abschnitt Städten ist nur dem SSH Schrift was es rechnen und wer Wunderdinge sagte uns mal übersichtlich und dem nur eine Verknüpfung und nichts weil wir es im Zelt oder in R oder in Kuba habe mit plus einmal zu werden müssen erst mal eine hier das wird auch der Begriff der Gruppe aber im realen Leben ab man das eben normalerweise mit 2 Verknüpfungen zu Tode mit noch mehr aber meistens mit 2 also ist jetzt der nächste Schritt sich Strukturen anzuschauen die 2 Verknüpfungen haben unter Modellfall an den Sie denken sollte es wieder zählt er deswegen ja auch das vorgeschobene Kapitel über Arithmetik alles was ich gemacht sollten Sie sich im Internet vorstellen im ganzen Saarland 2 Verknüpfung ich bloß einmal und die da in bestimmten Regeln unsere algebraische Struktur mit 2 Verknüpfungen die man normalerweise auch Götz plus einmal datiert die ich Ihnen jetzt einführen das ist das sogenannte wegen und der Modelle wegen also zu sagen das will das Ding nachdem der Begriff bringen geschlafen ist sie wieder die ganzen Zahlen plus und mal also das ganze 6 Kapitel 4 da geht es um Ringe und Körper sind schon die Mathematik Markt bildhafte Sprache braucht man je abstrakter unvorstellbarer was ist umso bessere Begriffe braucht man uns ist irgendwie noch vorstellen zu können also der und Charakter und der 1. Unterabschnitt geht umbringen und sehen wie gesagt ist z z mit plus einmal ist der klassische sehen und das war so über Gruppen wir stellen uns den Satz von Axiomen zusammen ein Satz von Regeln die gelten sollen damit wir gesehen haben und die die es aber was macht was macht dieses Recht Z aus so war also definieren uns Museen damit wird der Menge mit 2 Verknüpfungen mit in den Zettel drauf haben brauche der erst eine Menge von Objekten mit dem man rechnet das was bei der Gruppe der G war das nennt man dann im Ring nachvollziehbarerweise kennen also eine Menge Ärger und jetzt hab ich auf der eben 2 Verknüpfungen die Verknüpfung sich wieder als Abbildungen also diese beiden Abbildungen sind in die beiden Verknüpfungen plus und mal so was sind das für Abbildung das ist einmal das bloß das Plus nennt sich 2 Dinge Elemente und macht daraus auch ein 3. und als 2. hab ich eine Verknüpfung mal die macht auch aus 2 den Elementen ein 3. also denken Sie immer alle gleich gleichzeitig +plus es +plus und Wales mal weg zur aber jetzt muss ich natürlich noch einige Dinge fordern damit sich dieses Plus und war von dem hierzulande Verhalten bisher weil sie durch eine Menge mit 2 Verknüpfungen könnte noch irgendwas definieren das muss noch nicht sich so verhalten wie z so war das 1. was sie
wollen wenn Sie sich den nur mit dem +plus angucken Thomas man das mal vergessen dann muss das der arabische Gruppe sein denken Sie ein Zettel ist das so Z mit plus ist habe Gruppe ein zur dann was können wir von von den mal vorbei wenn wir unser Denken wir können ganz sicher nicht fordern dass er mit mal auch eine Gruppe ist wir haben sie keinen lassen Elemente zum Beispiel drin Z aber wir wollen wenigstens mit dem man einigermaßen vernünftig rechnen können was haben wir welche Eigenschaften hat das hat das mal in den ganzen Zahlen immerhin ist ist also sehr tief also welche ABC als er sich auch immer wenn es soll gelten am multipliziert mit ehemals sie is a mal b mal Mayzek das ist die Assoziativität von formal also sehr tivität von Plus geht auch versteckt aber da drin dass das Erbe +plus Na welche Gruppe sein soll das beinhaltet insbesondere das Plus ist assoziativ so um was wir jetzt noch nicht haben was uns noch fehlt ist wie verhalten sich bloß einmal zueinander ist nicht nur Forderungen bloßgestellt und Forderung einmal aber die beiden müssen ja auch noch richtig sind interagieren so wie wir das gewohnt sind und das wissen die Distributivgesetz will die kennen sie aus zählt auch alle die wollen wir haben sonst sollte es so sonst wird keine neue interessante Struktur draus und haben Struktur für das bloße Struktur für das mal aber die haben keine Interaktion so was das bedeute Distributivgesetz Gesetze das bedeutet wenn sie an multipliziert mit der Summe aus B und C dann soll das dasselbe sein wie a mal b +plus Arbeit sehen haben sie alle schon hundertmal gesehen und weil der nicht vorausgesetzt haben Achtung ja nicht vorausgesetzt dass das mal kommutativ ist ich hab vorausgesetzt es ist Plus kommutativ ist das ist darin versteckt das Erbe +plus Maharishi Gruppe ist aber dass man es nicht assoziativ deswegen brauchen wir Distributivgesetz auch unter umgekehrten Richtung also wir brauchen auch noch das a +plus b multipliziert mit C das selbe ist wie einmal sie +plus b mal ziehen ich werde Ihnen durchaus in dieser Vorlesung Beispiele von grobporigen zeigen wo das mal nicht kommutativ ist und Sie werden diesen Ring ganz viel rechnen also das ist hier kein ist ihr keine Spinnerei sondern sehe sie nicht das so zu machen und da sind die so genannten also dessen die
sogenannte Distributivgesetz hier zwar das ist die Definition vom Regen ich hab die wir die jetzt auch häufiger und länger noch brauchen nochmals Folie mitgebracht das da unten darf die Folie wechseln als da steht noch mal genau diese Gesetze drauf den Ring erfüllen muss damit allein die 1 Menge mit 2 Verknüpfung erfüllen muss das in Ringes und jetzt denken Sie im Kopf wieder er gleich z sehen Sie das ist alles erfüllt war als die ganzen Zahlen sind schöner so ich will noch kurz 3 weitere Dinge definieren die einfach A L damit man die Begriffe hat er mit plus ist ne Gruppe also Geld hat er mit plus neutrales Element wären jede Gruppe hat genau ein neutrales Element und dieses neutrale man von er mit plus Zecken haben was ist sinnvoller für das neutrale wenn von er mit plus 0 0 n jetzt kann natürlich ermittelnde Menge von windigen sein insofern Zimmermann vorsichtig und sagen nicht nur der 2 sondern sagen man nun Elemente zu trotzdem beschreibt man meistens 0 also meistens finden Sie dann dieses Symbol für dieses wolle man das kann unter Umständen zu Verwirrung führt ja also wenn der wenn Sie den von Polynomen aber dann Regen von irgendwelchen Dingen und da steht plötzlich neue dann müssen Sie sich überlegen was das einig 0 also das zum Wohle 0 ist der Mathematik mittlerweile 83 Fach überladen und das ist leider immer Aufgabe des Lesers sich zu überlegen welche 0 der autonomen weiter aber also hier ist jetzt die 0 das neue Element das neutrale Element der additiven Gruppe des Rings für so ist die neuen immerhin zu verstehen so wenn
Sie sich nur mal die den Axiome anschauen und gezerrt vergleichen dann finden sie das Zelt eine Eigenschaft hat die hier ich habe das 2. die 1. Eigenschaft die Z hat dich ich habe ist das Zelt mit mal tatsächlich kommutativ ist mir also 3 2 ist das selbe wie 2 mal 3 das hab ich ich nicht dabei aus gutem Grunde werden wie gesagt Ringe kennen lernen wo das nicht so ist und die 2. Sache die das Z hat die dieses Definition von vordringlich nicht beinhaltet ist ich hab hier keine 1 also kein neutrales Element Bernd multiplizieren trotzdem gibt es sie hier z viele Dinge die so was haben und solche Dinge kriegen extra nahm also wenn Sie ein Element finden das üblicherweise 1 genannt wird aber in Ringelemente das neutral bezüglich der Multiplikation ist also dass mal 1 gleich 1 mal aber gleich 1 ist für alle Elemente dann nennt man das eine Element das ist jetzt nicht verblüffen also dass das 1 Element ist wenn es existiert dasjenige Element das neutral beteiligte Multiplikation ist auch da kann man zeigen wenn es existiert es ist eindeutig und wenn sie so uneins Element haben dann nennt man den er nicht nur wegen der Ring ist sondern ringen mit 1 hab ich besonders tiefsinnig aber musste Begriff aber eingeführt hat also z mit plus einmal sein Ringen ist ein oder die Ring mit 1 komm oder des Gesetzes letzte wenn Sie zusätzlich haben das das mal kommutativ ist also Sie haben Kommutativgesetz das mal den Z dann nennt man kommutativen Ringen das ist das was ich gerade schon gesagt hat also z eben kommutativen Ringen mit 1 ja das ist jetzt naheliegender langweiliger Teile so war jetzt aber wenige denn die Norweger klatschen jetzt aber ich bin pünktlicher aber ich bin wirklich es aber den Begriff des Ringes als eine algebraische Struktur mit 2 Verknüpfungen plus und war wie gesagt Modellfall es zählt das ist auch meine 1. Beispiele also Beispiel 4 2 also wenn sich neben die ganzen Zahlen leblos und mit mal es ist wunderbar wegen der Verlockung kommutativ einst das gleiche geht wenn sich die operationalen zahlen nehmen mit mutlos und mit mal und die reellen Zahlen auch die schreibe ich jetzt gar nicht hin das sind alles kommutativen Ringen mit 1 und was ist kein Regen wenn Sie natürlichen
Zahlen und überlegen Sie sich mal warum das keiner Ringes so aber das sind sozusagen die Beispiele die Sie schon kennen von Regen und natürlich will ich ihn auch noch damit Sie mir glauben dass es sinnvoll ist diesen wieder so abstrakt zu fassen ein paar Beispiele 2 Beispiele zeigen von Regen die sie wahrscheinlich noch nicht kennen oder die sich noch nicht von den sie nicht sofort sehen dass es Ringe sind das Erste bin ich nur erwähnen weil jede wurde so nicht nicht vorkommt aber als Beispiel für den Regen der nicht Standard ist und zwar sollen das seltsame Symbol er eckige Klammer x )klammer zu was ist das das ist die Menge aller Polynome mit Tränen Koeffizienten also aller Polynome in einer allen unbekannten in einer reellen Variablen darunter können sich denkt was vorstellen Polynome kennen sie alle sehen Sie die Menge aller Polynome die halt nur x enthalten die zur 3 +plus 5 X minus 7 und 2 20 Nexus 7 -minus 2 x +plus 3 und das Polynom konstant 5 gehört auch dazu wir also alle diese Polynome mitdrehen Koeffizienten also durchaus auch p hoch 7 -minus x Quadrat plus 7 von 1 zugelassen ja auch das es im kommutativen Ringen mit 1 es interessante über sich das mal klar zu machen ist nicht schwer ist eine Fingerübung aber da kann man mal die Axiome nach Echsen sag verrate noch was das einzelne mit ist das einzelne welches das Polynom konstant 1 um das wolle man das ist ,komma Polygon konstant 0 sorgen ein weiteres Beispiel der Samsonow ,komma die das Zeug gesehen für nicht kommutativ verschiebe ich auf den Artikel Vektorräume dass wenn wir da sehen und was ich Ihnen doch zeigen wir ordert also
dass wir noch kurz ansprechen 9 nix ist Vorlesung fertig ist das letzte Beispiel CD und da ,komma wieder zurück zur der 1. Klassen Gruppen zn die die sie wie gesagt noch ihr ganzes Studium begleiten werden also kann man die nicht oft genug erwähnen wir knallen also wieder natürliche Zahl n fest größer gleich 2 und dann behaupte ich wir können auf der Menge Z N also Sie schauen sich wieder die 1. Klasse Modul Z anders war diese Menge zn endliche Menge wird Elementen auf der aber eine Addition definiert der mir definiert als Assange +plus bis lange ist einfach a +plus b rechnen und große Schlange drüber und wenn das so gut mit dem bloß klappt kann man jetzt mal hoffen dass das mit dem man auch klappt und das du tatsächlich also wenn sie sich 2 Elemente als lange und bislang aus dem Zelt in hernehmen dann definieren Sie als Schlange mal billig lange weil sie addieren jetzt 2 solche des Kleidermode beziehen 2 solche lassen und dir die Idee ist genau die gleiche wie beim Addieren Sie multiplizieren A und B und bilden dann die 1. Klasse und natürlich ist die Frage wie dem addieren auch ist das selige Verknüpfung ja wieder die Repräsentanten Unabhängigkeitsfrage wenn jemand der einen Einsatz als Schlager Danone da 2 aus Schlange da 1 B 1 aus bislang der anderen B 2 aus schlage die multiplizieren und bilden die schlagen konnte das gleiche raus und das klappte tatsächlich also diese Multiplikation des wohldefiniert das sie sieht man im Prinzip genauso wie bei der Addition und was dahinter steckt ist der Satz 1 5 W ab und was sich ändern nächstes Mal zeigen will ist wenn Sie jetzt den Z entlang der ZEN Leben mit dem Plus von letzter Vorlesung und diese mal kriegen Sie tatsächlich nur wegen raus auch der ist kommutativ auch der Alpen einzelne Menschen das ist dann das Thema für den anfang der nächsten Vorlesung heute dank ich für die Aufmerksamkeit gefordert
Teilmenge
Verschlingung
Momentenproblem
Menge
Schnitt <Mathematik>
Untergruppe
Teilmenge
Abgeschlossenheit <Mathematik>
Menge
Gerade Zahl
Inverse
Schnitt <Mathematik>
Untergruppe
Kalkül
Punkt
Zusammenhang <Mathematik>
Physikalischer Effekt
Algebra
Abbildung <Physik>
Ruhmasse
Ähnlichkeitsgeometrie
Drehung
Zahl
Untergruppe
Gradient
Teilmenge
Erzeugende
Quadrat
Menge
Symmetrie
Ganze Zahl
Verallgemeinerung
Schnittmenge
Inklusion <Mathematik>
Schnitt <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Parametersystem
Permutation
Große Vereinheitlichung
Momentenproblem
Abbildung <Physik>
Element <Mathematik>
Isomorphismus
Zahl
Untergruppe
Rhombus <Mathematik>
Algebraische Struktur
Menge
Symmetrie
Ganze Zahl
Gruppentheorie
Schnittmenge
Struktur <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Gegenbeispiel
Addition
Momentenproblem
Mathematik
Reelle Zahl
Abbildung <Physik>
Isomorphismus
Zählen
Zahl
Rhombus <Mathematik>
Menge
Exponent
Abbildung <Physik>
Inverse
Isomorphismus
Gleichung
Untergruppe
Parametersystem
Inverse
Wertevorrat
Gleichung
Axiom
Ecke
Ausdruck <Logik>
Untergruppe
Teilmenge
Menge
Abbildung <Physik>
Klasse <Mathematik>
Kerndarstellung
Zahl
Teilmenge
Addition
Rhombus <Mathematik>
Parametersystem
Menge
Klasse <Mathematik>
Haar-Integral
Kerndarstellung
Ausdruck <Logik>
Standardabweichung
Untergruppe
Objekt <Kategorie>
Algebraische Struktur
Mathematik
Menge
Ganze Zahl
Abbildung <Physik>
Arithmetik
Element <Mathematik>
Kerndarstellung
Urbild <Mathematik>
Struktur <Mathematik>
Axiom
Untergruppe
Summe
Polynom
Unterring
Menge
Mathematik
Ganze Zahl
Distributivgesetz
LES
Gesetz <Physik>
Richtung
Reelle Variable
Kommutativgesetz
Vektorraum
Polygon
Gesetz <Physik>
Zahl
Quadrat
Multiplikation
Algebraische Struktur
Polynom
Ecke
Menge
Ganze Zahl
Reelle Zahl
Koeffizient
Axiom
Kommutativer Ring
Addition
Multiplikation
Menge
Endliche Menge
Natürliche Zahl
Klasse <Mathematik>
Element <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Gruppen und Ringe
Serientitel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 08
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/33615
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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