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Matrizen und lineare Abbildungen

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immer so ein das Länder werden an der TU Darmstadt wo dann wünsche ich Ihnen
einmal schön guten Morgen und herzlich Willkommen zur letzten Woche vor der wahrscheinlich lang erst als selten Weihnachts Pause wir sind mitten im Abschnitt über lineare Abbildungen sollen nein vielleicht normal umso besser ist dabei nicht zu machen warum das Zeug wichtig ist lineare Abbildungen sind und welche Abbildungen zwischen Vektorräumen also stellen sich am besten in 3 vor und zwar ganz spezielle Abbildungen wenn Sie so wollen die ein also gut die einfachsten Abbildung sind was das sich den Urlaub Bildung oder im was konstantes diesen aber ziemlich langweilig und in Abbildungen sind insofern die interessant weil sie die sozusagen einfachsten interessanten Abbildung sind die einfachsten Sie nicht bei mir gar nichts machen und wenn Sie letzte Woche bis zu 7 ganze Stapel von Beispielen gesehen haben was alles in der Abbildung sind Drehungen Spiegelungen Projektion ja alle Kombinationen davon spricht spricht Tracks Raub Spiegelungen und des sollte so bisschen nein Druck geben dass die Dinge auch wirklich wichtig sind also spätestens im Moment was sie dass sie sich nie Computergrafik gebenden Schattenwurf ausrechnen wollen dass es der Projektion sehen Sie sofort in allen ihren Abbildung der und dem in diesen es von den Abbildung Jahre Abbildung sind absolut wesentlich und sie werden im nächsten Semester auch sehen das lineare Abbildung verwenden werden um noch kompliziertere Funktionen irgendwie begreifbarer zu machen und zu Mehr also das ist auch ein wesentlicher Punkt von linearen Abbildungen das wenn sie was nicht immer das was noch komplizierteres haben dass sie sich die lineare Abbildung suchen die möglichst nah dran liegt und dann mit der Arbeiten das geht wirklich nur dem Näherungslösung aber lineare Abbildung so relativ leicht zu behandeln sind und mehr Bereiche Theorie haben über die man dass man sehr viel über sie weiß ist das Leben preislichen Weg den man geht dass man mit den Abbildung mit den man gut umgehen kann arbeitet und dafür halten kleine Fehler in Kauf nimmt unser der Beschluss der letzten Vorlesung den Satz 6 19 gesehen hab ich ihn nochmal mitgebracht das ist so ein Beispiel dafür dass man über lineare Abbildung sehr viel weiß sie können sich vorstellen zum Beispiel wenn sie von der Abbildung oder sie haben sicher schon paarmal gemacht auf ewig Übungsaufgaben gab es die Gemeinheit sollen zeigen Funktion Visby jektiv da muss man zum Teil nichtig Viechern bis man das alles ausgerechnet hat Abbildung ist es sehr sehr einfach sie schauen sich den Kern an und ich werde Ihnen in nach den Ferien ein sehr einfaches effizienten Algorithmus zeigen mit dem sie den Kern ausrechnen können und wenn der Kern würden oder enthält dann sofort die tiefe geschickt wir müssen solche Sachen die man aus diesen Satz ziehen kann der Satz ist auch deswegen so reichhaltig weil eben wahnsinnig viel Implikationen bietet nur was da steht ist die ganzen Aussagen äquivalent sind also was da steht ist sozusagen folgende Logik hätte als Äquivalent zu B ist äquivalent zu C ist äquivalent zu D ist äquivalent zur Ehe und das bedeutet sie dürfen eben sie haben jede Implikationen der 3. ja Sie können von B nach A sie können von 10 nach Esi können von den nach und was auch immer Sie wollen und er an das danach die letzte Vorlesung nochmal fragen zugab oder Unklarheiten so Satz ist es schön und stark weil sie ganz viel drin stehen haben oder es natürlich so von der Theorie als man hässlich zu beweisen weil wenn man dann naiv angeblich wie viele Bücher tions peile haben Sie hier sie haben 2 4 6 8 Implikationen zu zeigen war das sind ziemlich mühsam wir jede Äquivalenzen 2 Implikationen Äquivalenz heißt sie also als des 1. das Arbeitgebers befolgt ab und der hatten da das Prinzip des Friedensschlusses kennen gelernt und das Prinzip des Friedensschlusses reduziert in das ein bisschen und bei der häufiger mal vorkommen wohlig das gerade noch mal kurz erwähnen was tut man dann eindringlich Schlussmann zeitlich alle 8 Implikationen sondern man zeigt zum Beispiel die 4 das reicht nicht aber wenn sie den A 1 5. einfügen dann reichts wir sehen auch warum das den Redefluss heißt der müssen einmal im Kreis folgern und damit sind sie fertig weil egal welche Implikationen sie jetzt suchen sie finden Sie nur wenn sie von ihr nach des gehen wollen dann gehen sie E A B C D E wenn Sie von der nach des gehen wollen können Sie die CD das ist die Idee vom Ring Schluss und das ist immer wenn die Sonne Kette von Äquivalenzen haben das Mittel der Wahl wobei man natürlich und das macht die Sache auch angenehm durchaus die Freiheit sich rausnehmen darf das muss ich genau der Reihenfolge seiner zu müssen halt im Kreis beweisen sie können aber natürlich aus A folgt B aus dem Volk C aus T folgt B aus B folgt eh wir also das geht auch auch erfolgt meinetwegen des folgt C folgt E folgt B und aus B kommen Sie wieder zurück nach ist auch ein Ringschluss der in das ganze Problem löst und das ist es angenehm sie können sich sozusagen 5 Implikation raus suchen diese beweisen wollen nicht irgendwelche er die müssen Regen geben aber das macht den Beweis etwas übersichtlicher Ansätze 2 gesehen und ich will ihn jetzt zeigen wie sie einen ganz konkreten Beispiele aus diesem Saft aus diesem aus diesem Satz Saft aus diesen Satz Nahrung ziehen können also wie sie aus diesen Satz über die konkrete lineare Abbildungen mit wenig gerechnete viel Information kriegen wir das Ziel muss immer sein das Rechnen zu minimieren und möglichst viel Information aus der Theorie zu kriegen also wir haben will lineare Abbildungen ganz konkret gegeben von A 3 nach einer 3 und wie die definiert er sich der in den Vektor x das Schicksal für den Moment mal Vektor x 1 x 2 x 3 jetzt muss das Ergebnis wie Vektor seien und in der 1. Komponente haben sie x 2 +plus x 3 in der 2. nahm sie
-minus x 1 +plus 2 x 2 +plus x 3 und in der 3. x 1 -minus x 2 wir also das führen jeden jedes x 14 x 1 x 2 x 3 ist aus A 3 also das ist die Abbildung des die ja es kann man Nachrichten glauben Sie mir mal von Momente so ungern gesehen wenn Sie sich den Satz angucken ganz wichtige Kenngröße von Sonnen oder ganz wichtige Raum für sind in der Abbildung ist der Kern der Kern liefert Ihnen Informationen darüber wie im jektiv die Abbildung ist insbesondere wenn ein nur das Ansehen ektivität und insofern fange mal an diesen Kern auszurechnen also wie kriegen wir den Kern und es wie gesagt kriegen dann noch an für diese Berechnung noch in sind guten der Algorithmus im nächsten Jahr Moment müssen ein bisschen zu Fuß machen was heißt Kern heißt die von X ist der 0 deckt war also suchen alle x so dass viel von nächstem gelegt ist was ist das Ziel von X ist in der 1. Komponente x 2 +plus x 3 muss nun seinen eine 2. Komponente -minus x 1
+plus 2 x 2 +plus x 3 muss 0 sein und in der 3. Komponente er x 1 -minus x 2 muss 0 sein haben Sie gleichen Systemen und besucht eine Lösung alle x 1 x 2 x 3 diese 3 Gleichungen simultan erfüllen und jetzt die Gleichung hier zum Glück relativ übersichtlich wenn sich die 1. Gleichung ankucken stellen sie fest es muss auf jeden Fall x 2 x 3 bis auf Vorzeichen gleich sein wenn sich die letzte Gleichung ankucken stellen sie fest X 1 und X 2 müssen identisch sein beziehen Sie schon welche Form allein aus diesen beiden Lösung einer Gleichung kriegen wir schon Informationen wenn X 1 festlegen dann sind x 2 x 3 auch festgelegt Schauer sowie der 3. Gleichung passiert also wenn sie sich die beiden Gleichungen hier er nehmen und mal in die 2. Gleichung einsetzen was kriegen sie dann dann kriegen Sie -minus x 1 +plus 2 x 2 +plus x 3 m ersetzen da man alles durch x 2 also x 1 =ist gleich x 2 das heißt richtig -minus x 2 +plus 2 x 2 +plus -minus x 30. 2 also -minus x 2 1 und was feststellen ist da kommt egal was sie x 2 dem immer 0 raus das heißt 3. 2. Gleichung ist wenn die 1. und die 3. gleichen erfüllten automatisch erfüllt und wir haben tatsächlich die ganze Schar von Lösungen nur also jede
jedes x aus 3 so das X 1 und X 2 übereinstimmen und X 2 ob es mit X 3 bis auf das Vorzeichen übereinstimmt die sind eine Lösung das heißt was das heißt der Kern von Vieh 10 alle diese Elemente also eine Lektorin erfahren wir die liegen jetzt sowieso eine konstante fest ledig mal nämlich mal als war also alle Vektoren der Form die 1. 2 Komponenten stimmen überein und die 3. hatten anderes Vorzeichen das ist der Kern Wärme gesehen ende in dem Satz vorher der Kern des immer unter Vektorraum das ist ja auch tatsächlich der Fall der Kern des in dem Fall der unter Vektorraum der von dem Sektor 1 1 -minus 1 erzeugt wird weil sie denen sich an die eckigen Klammern zwar das Erzeugnis also alle ja Kombination dieses ein Vektor ist das in dem alle vielfach so das heißen wir haben jetzt den Kärntner insbesondere sehen dann den Kern sofort unsere wie diese Abbildungen die ich Ihnen da gegeben hat dies nicht in der Krise ist nicht mehr aktiv alle Vektoren der Form als auch legte 1 1 -minus 1 wird auf 0 abgebildet und der Rektor 17 17 -minus 17 a und das bedeutet das das den nicht in jegliches wir können relativ leicht die Dimension von den Kern hier bestimmen und das ist und eindimensional Unterraum bewegte 1 1 -minus 1 ist der Basis und das schöne ist die 2. entscheidende Größe für so eine lineare Abbildung in der Dimension von Kern ist unser mit Dimensions uns vorgesehen die ihnen sagt dass sie wenn sie den eines von den beiden haben also die Dimension vom Kern oder den reinen an können Sie das andere ausrechnen was sagte die Dimension Schraube die Dimension Formel sagte die Dimension vom Kern bloß die Dimension vom Bild also plus der rein ist immer gleich die Dimension vom Zielraum wir also in dem Fall Dimension vom Kern eines Dimension des sie Raums Dimension von R 3 3 1 das heißt die Dimension vom Bild der 1 bis 2 n nur so man sie jetzt noch das Bild ausrechnen wollen von ihrer linearen Abbildung nur das ist ja auch interessante Größe welche Vektoren werden getroffen da müssen Sie jetzt nicht alle x in das in ihr Vieh reinstecken weil alle Werte ausrechnen weil den jetzt weiß ich jetzt mit der Theorie sehr sehr schnell zum Bild kommen sie wissen schon dass der 1 2. heißt Wissen des Bildes in zweidimensionaler Unterraum von R 3 und die bestimmt werden es werden würde reichen wenn wir Basis dieses 2 man sein unter uns haben und dann die ,komma eine Basis bei uns weil der unabhängige Vektoren in den Raum und so frech es klingt an der Stelle es ausprobieren meistens die schnellste Methode was sie brauchen ist sie brauchen zwar länger unabhängige Vektoren im Bild da sitzt oder der Direktor dem Bild haben dann sag ihnen das Vorwissen der 1 2. ist der Basis vom Bild 1 haben sie das Bild also suche 2
in der unabhängige Vektoren denn Sie von Frau liegen Althaus hier 3 also in viel von der 3 und wie macht man das man rechne aber mal 2 Bilder aus ich Pech haben dass die beiden abhängig sind die Wahrscheinlichkeit dass nahe 0 aber es kann passieren wenn dann rechne und 3. aus um dann spätestens also beim wenn es nicht ganz dumm läuft hat meins also was kann man machen wir können zum Beispiel mal den Sektor 1 0 0 da reinstecken mehr als ansiedelt Abbildung nicht mehr vor sich nicht ganz Nummer hinschreiben die von extra dann er und x 2 +plus x 3 -minus x 1 +plus 2 x 2 +plus x 3 und X 1 -minus x 2 also rechnen mal zum Beispiel 1 0 0 aus wenn Sie ernten irgendwelche Vektoren ausdehnen wollen sich natürlich einfacher also was kommt raus wenn sie es 1 einsetzen alle anderen 0 dann ist die 1. Komponente 0 die 2. Komponente -minus 1 und die 3. 1 es ein Vektor wird und der Welt es definitiv im Bild der Abbildung enthalten war das Bild von 1 0 0 ist und so rennen und 2. aus zum Beispiel wenn wir viel von 0 0
1 ist zu viel Nullen das ist die von 0 0 1 setzt es ist ein X 1 0 6 2 0 x 3 1 kommt raus 1 1 0 na und sie sehen wir haben kein großes Pech gehabt die beiden Vektoren hier 10 offensichtlich ja unabhängig in der 1. in der 1. Komponente der 0 der 2. der 3. und damit ist haben Sie 2 linear unabhängige Vektoren im zweidimensionalen Bild der Abbildung das heißt es muss eine Basis sein und sie kreieren das Bild von ihrer linearen Abbildungen ist das Erzeugnis dieser beiden Vektoren also das Erzeugnis von 0 -minus 1 1 rund 1 1 0 1 das können Sie sagen ja gut wenn man was ausgerechnet so weit waren dass ausgerechnet weil ich ihn weil ich behaupte dass sie damit diese lineare Abbildung ziemlich gut kennen wenn Sie schon nur die 2 Dinge kennen den Kern und das Bild haben Sie können Sie sich ich schon relativ guten Eindruck davon verschaffen was macht meine Abbildung eigentlich so und jetzt kommt der eher an etwas mühsamer Moment ich muss
versuchen dreidimensional zu zeichnen im Sinne von Freddie Frinton also mal bei also wir haben er 3 auf dem die Abbildung definiert ist waren das geht schon gut los wir ziemlich großen Ursprung gut dann und wir haben jetzt ausgerechnet den Kern und das Bild also hier soll irgendwo jeweils die 1 an und wir haben gesehen dass der Kern ist das die lineare würde das weckt das 1 1 -minus 1 also ich muss Ihnen auch sagen was sie zum das y ist so das dickste bislang Ebene eben in der Papier ebendort XY quer dazu was ist da der Vektor 1 1 -minus 1 der Punkt 1 1 und -minus 1 der liegt irgendwo hier unten und von da 1 noch und nein so die 1. ja es 1 1 und -minus 1 geht hier 1 runter 1 1 1 -minus 1 und in den Jahren würde von dem Vektors ist dann diese gerade hier und dann aber das Bild das Bild wird erzeugt von den Vektor 0 -minus 1 1 2 sitzt der nur den X minus 1 in Y ein sind selbst an war das nix es jetzt irgendwo an und 1 1 0 1 das ist der hier wer also das Bild nicht die beiden werden jetzt die beiden spannende eben darauf ich mal lieber nicht weiter aber die also die beiden Wahlen in die Ebene auf großes flaches und und und das größte was Führung liegt ist das da also Sie haben oder sind erst einmal also mein Ursprung die Ecke dar das ist der da kann unser morgen wollen dass diese Ebenen was macht es diese Abbildung versteckt alle Bilder die auf dem große Stock liegen auf die 0 und alle anderen Bilder also alle Bilder liegen auf der Ebene jeder Punkt im Raum wird auf die Sie also dieses Buch musste sich verdammt groß vorstellen ist so wie wir alle auf die Erde geschickt und was die Abbildung macht wenn sie es länger als kann ich irgendwie auf die Ebene schicken sie muss parallel zu den Kern ihres machen weil sie muss das doppelt das Doppelte aufdoppelt abbilden und so weiter was Bildung macht Projektion zu projiziert sie am sozusagen ihren Raum in der Richtung von den Kern steht die Sonne und jeder Punkt wird in der Richtung auf die Ebene runter projiziert dass das was die Abbildung macht da wird uns wieder begegnen wir auch noch exakt nachweisen sie Projektion ist aber das ist das was passiert also sie sehen Sie den Kern und dem Bild das Bild haben haben sie schon viel Information über die Abbildung das Themen die oft wenn man die ausrechnen und ja deswegen
Name dazu die Theorie und wie gesagt Projektionen tauchen immer wenn meint immer wieder auf denken Sie einfach an Schattenwurf und so an den Beispielen sehen Sie da kann man auch erklären dass jetzt das weitere Ziel in der Vorlesung ist sie haben er im Prinzip 2 2 Aufgabenstellung die sich jetzt ergeben die man die man dann will ich dir jetzt bearbeiten werden dass eine hab ich gar schon erklärt sie haben irgendwo in eine lineare Abbildung gegeben und wollen wissen was tut die eigentlich ferner dazu bisschen angefangen da werden uns auch noch länger mit beschäftigen aber viel häufiger ist eigentlich noch das umgekehrte Problem sie haben nein sozusagen Dimitris anschauliche Abbildung gegeben sie wissen sie wollen sie wollen ihre eben ihren Raum 47 Grad nach links drehen wir den sie eine Computergrafik völlig naheliegende Anforderung sie wollen wissen wie Sie der Grad haben aus wenn sie dem 47 Ghana links trägt das lineare Abbildungen was ihm fehlt ist die Abbildung Vorschriften das ist das ist wahr werden wie sieht die aus und das ist die 2. Frage die wir uns kümmern wollen ja also die geben geometrisch anschaulich ich will diese Abbildung beschreiben wie sie die Formel dazu aus und das sind die Fragen die es jetzt geht und ich bin ich jetzt der 2. also wäre es mir jetzt eine wesentliche Bemerkung anschließen das im Wesentlichen eine Rechnung der machen die einen wesentlichen Schritt zur Beantwortung dieser beiden Fragen lief also was den Namen eines wenn man Bildung und wir wollen die irgendwie beschreiben wir entweder Sie haben den Abbildung als Formel gegeben und wollen rauskriegen was tut die eigentlich oder umgekehrt sie wissen dass die Abbildung tun soll aber sie so die Formel kann also müssen sie irgendwie wissen was hat die Fahne mit der Anschauung zu tun also nehmen wir uns mal 2 war und dass das Ganze machen wir damit überhaupt von anschau reden können bitte schön jetzt mal ehrlich die man so bei mir dass ich wenn ich dieses Wort anschauen zusammen mit dem Honig dimensionalen Raum in die Hand nehmen also wenn dem 2 endlich dimensionale Vektorräumen in der Vorstellung immer R 3 oder meinetwegen auch 2 n k Vektorräume in der Vorstellung natürlich Vektorräume und wenn wir dann also Vektoren beschreiben wollen ist es immer naheliegend wenn uns Basis US-Basen in beiden im R 3 werden sich natürlich die Standard Base sind es nicht einen guten Grund gibt der Finne andere Basis spricht und glauben Sie mir Sie werden noch gute Gründe kennen lernen die für andere Basen sprechen aber man jetzt in dem Fall haben wir allgemeine Vektorräume also nimm uns allgemeine Basen seine Vektorraum V und in dem sich eine Basis B der wichtigen Element der digitalen B 1 bis B 1 Zeit gekennzeichnet also es enden die Dimension von Frauen unternehmen wollte Basis von werden in den ich mal 10 als diese komische Schnaps sollen Schreibschrift großes Ziel sein je und die den Elementen ich mal C 1 bis C P also P ist die Dimension von will das seine Basis von W und die sich immer eine lineare Abbildungen von Frauen auch will da hatten sie letztes Mal diese Schreiber eingeführt die ist aus 11 von VW heißt nichts anderes als dass die von Frau nach WG dominiert wir also fließt diese Drehung 47 Grad die sie von der Sie die vom besuchen er 3 WSR 3 B ist die Einheit zur Basis und sie ist die 1 plus 1 soll es war wissen wie kommen wir an die von Xtra Nummer den Ex-Direktor ist die von XP um 47 Grad getreten ja also neben unseren x heraußen Bereich auf den aus
dem die definiert ist das ist wahr so und jetzt haben uns unsere Basen gewählt setzen wir doch ein was heißt das eine Basis haben das heißt sie können den Vektor x eindeutig in der Basis darstellen mit Gold mit Coco Koeffizienten weil sie können X schreiben als liegen ja Kombination der BKA Vektoren also von 1 bis n summiert BK mit vor mit vor Faktoren zu brauch ich jetzt kommt der nächste griechische T-Shirts der üblicherweise für größere hat Verkrampfung sagt in zunächst gehört natürlich das griechische X das Kritik System viel und das kleine Gerät steht sie ist ganz übersichtlich und schreibt sich so das sorgt üblicherweise erst mal für 2 Wochen über Arbeit sowie der 1. Klasse schreiben sich 20 xis hin und lässt sich nicht ändern sie kommt reichlich vor ist eben zum X passt er also und also so wunderschön der Buchstabe ist der gar keinen lateinischen ähnlich sieht deswegen nimmt man ihn gern aber nicht verwechseln kann gut also das ist das Kleben aber was dahinter ist sich der ich der X dar als genial Kombination aus dem BKA Vektoren also wo kommen die XK die DX klar wer die Zika also dieser Vektor C 1 bis C enden sehen schon ich hab ja auch einen Haken vergessen die C 1 bis C N das ist ein Vektor Inka auch allen das ist der Koordinatenvektors von ihrem EX bezüglich der Basis gegen nicht leisten Ypsilanti die Schreibweise erinnern das ist der Koordinaten Lektor von X jetzt wirklich B u ja warum es dieser Koordinatenvektors so schön oder warum es diese Darstellungen der Basis so schön wenn sie jetzt was wir haben wollen es die von X wenn Sie die von x aus nahm sich die von der grossen Summe da muss jetzt der Pawlowsche und zuschlagen viel von der Summe fließt in die Jahre geht in Summe von fließt überall an also man sowas da stehen haben die von der Summe dann ist der 1. Reflex
schreibe mal Summe von fließt also ja Bildung an also können sie das viel von X und das Vieh von X ist viel von Summe von 1 bis n c IKB klar sie ich hab von Taxis geschrieben also viel von der Summe Mineralität ist so nett sie von Zika bekannt und jetzt können Sie noch mal in diesem Jahr dürfen auch skalare vorziehen im Jahr heißt ja Bild von einem Jahr Kombination ist in der Kombination der Bilder also steht der sowohl Cage 1 bis n Zikarsky von bekannt so war dass da sind jetzt Elemente in an Liegekomfort noch weg also ist die von bekannt was in dich wenn das aber irgendeine man von wie ist dann können Sie das jetzt wiederum eine Basis C darstellt wir wissen nicht was sie von BKL's ist also gut können Sie selbst ausrechnen im unteren Vektor raus und den den sie der Basis C darstellen also Çe?me eine Basis von W also können sie wiederum dieses Ziel von BKA darstellen in der Basis C also als 1 Jahr Kombination der Vektoren Zierrat wir sind natürlich die denn mir also dass die vom BKA ist wie jedes K ein anderes das heißt Sie kriegen Koeffizienten die zum einen von KPN und außerdem von Lord Dale also die haben 2 Parameter und ich nehmen die mal Alfa Lodka also nun für jedes K kriegen Sie P Koeffizienten Alfa glaubt und diese P Koeffizienten Alfa 1 ist als HP den ich eben als Fahrer eines Capes Alfa Pk weil sie für jedes Kaff ist ebenso so können jetzt also wo kommen diese als vorher wie gerade schon gesagt was Sie machen ist in in den Vektor viel von BKA und bilden den Koordinaten weckte bezüglich C und das ist dann eben alle vereint ist Eifer Pk an das ist ein Vektor Oscar auch P und das uncool der Koordinatenvektors von viel von BKA bezüglich ziehen zur jetzt können Sie das alles zusammen setzen was wir gemacht haben was wir haben wollen ist viel von
vorlegst mehr umgesehen viel von X ist Sommer K gleich 1 bis n sie K a b char an und b wir jetzt wiederum dargestellt werden wiederum als eine Summe von 1 bis P Alfa jk C wenn wir jetzt noch umsortieren was den letzten Endes Sommer von der Summe es gibt ganz viele so meinten aber freundlicherweise dürfen das Summanden in der Reihenfolge machen das heißt wir dürfen auch erst die P Summe machen und dann die K Summe das ist einfach Commuter tivität der Addition so und dann steht hier in der Carson Mexikaner 1 J K welches das andersrum geschrieben wurden ein Fall JK XY Kasus geschickter C Saar es aber ganz viel gemacht und großen Wust von freien produziert und die sinnlichen aber nur in der Vektoren dargestellt einer Basis oder so mal gucken dass ich da auch ein bisschen verzieht und schauen was hier eigentlich passiert und der 1. wichtigen die 1. wichtige Erkenntnis steckt eigentlich schon hier oben 1. heiligt springt immer hoch
ja nämlich das wenn sie die von x ausrechnen wollen was müsste sie eigentlich kennen und
wie von x auszurechnen sie brauchen die XY Karten die Koordinaten von dem X da sie müssen wissen dass das X ist und sie brauchen die viel von BKA wenn Sie vom BKA haben könntest die von x ausrechnen und erstaunlicherweise brauchen nur die die vom BKA wir brauchen nur eben Bilder ihrer Welt Abbildungen und wenn sie diese entweder haben dann können sie jedes Ziel von x ausreicht ja das ist normal eigentlich ne schöne Erkenntnis zu brauchen ich das Bild von jedem x sondern wenn sie diese speziellen entweder haben dann ist es die von x erwarten ihn ja Kombination der viel vom BKA so und die weitere Dings war dann stelle sie von
BKA ist wiederum dadurch die CJD und wenn Sie jetzt mal anschauen was wir stehen haben dann ist das was hier in der letzten Zeile steht zwar lang und aufwendig aber was da steht ist einfach mit dem Jahr Kombination der Basis Vektoren C 1 bis C P sie haben Summen über dort dann kommt in der Klammer kommen irgendwelche Zahlen Bergdahl jobbt da ja da stehen 2 J und Carsten aber das K nach der Summation weg also das was in der Klammer steht hängt nur von York ab lokale Variable k da also ist lediglich IBJ Becker J das geht es um wirklich ein Display better JC glaubt 10 ja Kombination der Vektoren CJ das heißt was hier steht sind die
Koordinaten von Phi von X in der Basis C in die Kornaten sind eindeutig also diese Zahl die da drin stehen diese K gleich 1 bis n weil jk Zika das sind die Koordinaten von 4 von X jetzt wirklich der Basis C Blue so das heißt es wird so muss man das müssen wir ausrechnen wenn sie diese wenn Sie die Koordinaten von dem Vektor kennen kennen sie den Vektor Kundendaten Datenbeständen Vektor eindeutig das heißt was wir brauchen um die von x auszurechnen sind diese Zahlen die da steht wenn man sich jetzt anschaut was da steht stellt man fest das ist eigentlich sehr praktisch weil es das Problem das die von X zu bestimmen in 2. Teile zerlegt die unabhängig von anders um die Summe der aus Rennen brauchen Sie die alpha J Dixie Dikhshitar ergeben sich aus dem X ganz unabhängig davon was das ist na und das heißt ja wird sein will auch wenn sie 17 verschiedene lineare Abbildung ausrechnen wollen also wie als die einst von X bis 17 von X die Siksika diese umgekehrt diese als HJK sah mit dem X nix zu tun die kommt nur von dem die das heißt wenn Sie die alpha JK haben können Sie damit für jedes x ausrechnen was rauskommt insbesondere heißt das wenn Sie gibt Abbildung wie beschreiben wollen oder Mehr untersuchen das also das was wir tun wollen dann sind diese Zahlen als HJK diesen der heilige Gral diesen das was versuchen Sie die Zahlen als HJK alle haben das in immer Stück dann haben sie nicht wenn sich 4. bei sobald sie Eifer JK haben was würden Sie machen wie von x auszurechnen stellen Sie Excel der Basis B damit den Flieger und rechnen die Summe aus und sind fertig ja so und die Frage was jetzt kommt ist wie kommandiert das ist in den nächsten Wochen drum geht es wie kaum waren die alpha J und wie kann man mit denen gut rechnen und an der Stelle gibt es ein Rückgriff auf ein Konstrukt das sich ihn vor paar Wochen schon mal eingeführt haben gesagt wir kommen starke Staat drauf zurück und das war die so genannten Madrids es muss noch dran errinnern Matrizen waren genau solche Objekte mit 2 Indizes ohne Zwang so schimmert da in seinen gespalten wo solche Zahlen drinstehen um was ich Ihnen jetzt zeigen wir und werden damals gesehen diese Matrizen werden die mit unnatürlichen Verknüpfung komponentenweise Addition und skalare Multiplikation schon Vektorraum das war damals aber ein Beispiel für Vektorraum unter anderem und ich wir Ihnen jetzt zeigen diese Matrizen sind in ganz ganz enger Weise unverb rund und magischerweise verwoben mit der Theorie der linearen Abbildungen wir werden sehen bei dem Sinne Fragestellungen in Abbildung zuständig die Mensen an Räumen haben können Sie sich das eine Fragestellerin Matrizen übersetzt und umgekehrt und in Madrid sind ist deutlich einfacher als rechnen in deren Abbildung und man immer mehr mit der Abbildung rechnen macht man das auf Ebene der Matrizen und diesen Zusammenhang das ist jetzt das nächste Kapitel das ist das Kapitel 7 Matrizen und lineare Abbildungen also es geht jetzt darum in diesem ja in diesem Bemerkung die wir gerade hatten also in dieser in diesem Ausdruck hier sollten zum bisschen intuitiv angelegten Zusammenhang zwischen Matrix und in der Abbildung diese Alfa JK bildende Matrix und wenn sehen sie Alfa JK alle kennen dann kennen sie fliegen und wir suchen jetzt personell 6 hat diesen Zusammenhang zu finden wie ,komma von Pfizer Eifer von ,komma von Alfa zu so dazu gucken uns erst noch mal anlass waren solche Matrizen und wie rechne man mit denen man 1. bisschen Matrix Rechnung also in und dann kommt er auf die geniale Abbildung zurück also ich
erinnere nur mal kurz an Matrizen Mo der Matrix hat meist mit groß A bezeichnet und der Raum der Matrizen war K hoch Kreuz in das war ein Beispiel den Anfang von den Vektoren denn sie haben keinen das ist der Raum alle n Truppe von also von Vektor der Länge und P Kreuz ist eben zweidimensionales Schema und die 1. der 1. Dimensions in Ekstase das P bezieht sich immer auf die Anzahl der Zeilen und das eben auf die Anzahl der Spalten also eine Matrix hat die Form Alfa 1 1 Alfa 1 2 bis Alfa 1 n jedes Alfa 2 1 Alfa 2 2 bis Alfa 2 in dem das geht hier runter bis Alfa P 1 Alfa P 2 es einfach PIN .punkt das Matrix zweidimensionales Gebilde von irgendwelchen zahlen da drinnen die Zeilen in Spalten und das schreibt man auch gerne in kurz ich glaub das hat dich damals auch schon angeschrieben das ist die Matrix mit den Einträgen Alfa jk wobei das J läuft von 1 bis P und das K läuft von 1 bis n Inc immer Konvention 1. Angabe bezieht sich auf die Zeilen 2. Angabe auf die Spalten grundsätzlich wenn Sie da anfangen das durcheinanderzuwerfen dann kann sind hat das Klischee ja und wir hatten dann definiert wie Addition und skalare Multiplikation von solchen Matrizen geht und das ging einfach wie bei Vektoren komponentenweise also wenn Sie 2 Matrizen miteinander addieren dann addieren Sie für das Event links oben der Ecke hat jetzt die beiden man sich links oben Decke für das Element eines der 3 5 addieren Sie die beiden dement an der Stelle 3 5 und wenn sie es mit 5 Bände Matrix mit 15 multiplizieren wollen dann multiplizieren Sie jeden Eintrag mit 15 das Meinig mit Komponenten weiß es gibt noch den wichtigen Spezialfall-von Matrizen und das in Vektoren wenn Sie nämlich in gleich einsetzen wie sieht denn Matrix aus aus dem K auch P Kreuz 1 das ist Matrix mit P Zeilen und einer Spalte Würmer
wird hat also die vom Alfa 1 1 dann wird in Spalten Richtung schon auf Alfa 2 1 bis Alfa P 1 n und das ist einfach ein weckte Länge P der 2. Indexdienst einstige Bereich steht trägt nicht mehr wirklich Informationen können Sie also gern weglassen und ich hoffe Sie glauben mir ohne dass ich ihn konkret ein Isomorphismus angebl oder Sie können es gern selber machen dieser K auch P Kreuz 1 der ist isomorph zu K auch P die Menge aller P Kreuz 1 Matrizen sind einfach die Rektoren der Länge P das heißt Sie kriegen als Spezialfall der Matrizen noch direkt worden und wenn Sie jetzt und in gleich einsetzen und P laufen lassen kriegen Sie die Zeilen ja also diesen auch in Matrizen mit Trennung tja an und was die Suche auf die Weise können ist sie können jetzt Matrizen addieren sie können sie mit dem Skalar multiplizieren und gleich nach der Pause kommt eine weitere Rechenoperation dazu was mit Matrizen machen können sie können nämlich auch wenn die Dimensionen passen 2 Matrizen miteinander multipliziert also Matrix mal Matrix wir kommt wieder ne Matrix raus wie das funktioniert zeige ich ihn dann in 10 Minuten 2 ich würd gern in die 2. Hälfte einsteigen und das Multiplizieren von Matrizen näher bringen das ist die Definition 7 1 also wir multiplizieren Sie 2 Matrizen miteinander das ist erst mal na gut man könnte sich die Ideen kommen könnte sagen so wie vor auch in Mainz komponentenweise das führt nicht zum Ziel bei mir natürlich wollen mein multiplizieren Gebrauch Hunderte hingeweisen definieren aber es ist natürlich sinnliches so zu definieren dass der bayerische Struktur aus kommt das heißt zum Beispiel dass das neue Multiplizieren von Matrizen mit dem schon vorhandenen agieren von Matrizen zusammen passt das heißt es sowas wenn Distributivgesetz gilt hätte man gern kriegen wir auch aber dazu muss man die Multiplikation richtig definieren also was wir brauchen sind 2 Matrizen was nehmen wir nehmen Matrix
an die heißt jetzt hier mal Fall J L und das J läuft von 1 bis Q und das allen läuft von 1 bis P gehen also die hat Codezeilen und gespalten Q P zum natürlichen Zahlen nicht 0 also das ist ne Matrix mit Codezeilen und Gestalten aus dem Chaco Kreuz P in dem uns eine 2. Matrix der B deren Einträge nämlich Peter Lkr und das läuft von 1 bis P und das Skala läuft von 1 bis n also das ist eine Matrix mit P Zeilen und N Spalten und das es eben auch wieder eine natürliche Zahl die nicht nur süß und so die beiden Adressen können Sie jetzt miteinander multiplizieren und sie sehen in dieser Definition ist schon eine Einschränkung eingebaut in sieht einfach 2 Matrizen nehmen dann könnte das aus dem Chaco Kreuz P und das B aus dem K im Kreuz entsagt aber damit die wurde die jetzt son aufgeben wenn auch gleich sehen sonst geht's nicht es eben das P doppelt da wir das aus Kaku Kreuz B ja und das PS aus dem KP Kreuz in die die Spaltenanzahl von muss mit der Zeile Anzahl von B übereinstimmt das ist die Grundvoraussetzung sonst können sie nicht multiplizieren so tun wie definieren wir jetzt a mal b schreibt man dann später wie oft wenn man multipliziert auch einfach abr mal Punkte lässt man üblicherweise weg die Matrix wie also habe ich es wieder eine Matrix und zwar die beiden P ist fallen weg und es bleibt der Matrix aus Q Kreuz n übrig also die Matrix A B hat so viele Zeilen wie Art seinen hat und soviele Spalten die B 2. und das Matrix Produkt AB ist wieder eine Matrix und wir sehen die Einträge der Matrix aus und das sieht jetzt erst mal also von Matrix mit Hamburger hat gesagt Q Zeilen und entfalten also keine von 1 bis n j läuft von 1 bis Q was die da jetzt drin der steht folgendes folgende den umdrehen sie sie summieren von 1 bis P da verschwindet jetzt die Summe da verschwindet jetzt ist er das von 1 bis P und sie multiplizieren jeweils das Alfa JL mit dem Beta Lkr ja das ist es was Produkte ist definiert wenn man den Beispielen sehen Sie was da passiert aber auf die Weise kriegen Sie wenn Sie jetzt mal die Indizes richtig laufen lassen ja es auch oben alles schon sogenannte also das alles war JL hat DJ von 1 bis Q dass Peter Eckardt K von 1 bis n beide bei beiden läuft das Öl von 1 bis P es passt also alles zusammen wenn sie das er von 1 Display laufen lassen gibt es jeweils Sohn Alfa JL so bitter EK dass das multiplizieren kann und es bleibt genau kommen die Dimension richtig aus so .punkt dass die Definition der Matrixmultiplikation einzeln Merkurmissionen das Erste hat ich gerade schon gesagt und das ist wichtig das sich immer wieder klar zu machen sie haben die Voraussetzung dafür dass die 2 Matrizen überhaupt miteinander multiplizieren dürfen die Spaltenanzahl von A muss mit der Zeilenanzahl von B übereinstimmen ja das ist ein freundliches Kriterium war man das per drauf QC lösen nachprüfen kann für diese 2 Matrizen gegeben haben könnte sehr schnell entscheiden ob sie die multiplizieren können oder nicht sehen Sie die Spalten von durch und die Zahlen von B 1 wissen Sie was Sache ist sah aber wenn das übereinstimmt dann können die Dinger multiplizieren und ich kann Ihnen jetzt diese komische vorne n bisschen plastischer machen und wenn ich mit den anderen Dingen verknüpfen dass man sich die merken kann weil niemand will sicher die Riesending anmerken und dazu ist es sinnvoll sich die Matrix AG vorzustellen die Matrix A hat Kuo Zeilen und gespalten und jetzt zu sagen diese ja diese Kuh diese der Codezeilen das sind jeweils Sektoren der Länge P ja also ich kann mir das für die Matrix A vorstellen als ein vektor von vektoren sozusagen also A 1 bis A Q 10 Vektoren aus KP des sein die Zeilen von A ja also das an ist dann sozusagen A 1 transponiert 2 transponiert SAQ transportiert das A 1 ein Vektor der Länge P ist eine legte den GP transponieren den Zeile und Diesel Codezeilen hatten sie untereinander dann Matrix mit Nico kreuzt The Matrix her gleich jemand mit den PIN oder nehmen Sie die Spalten also die B 1 bis B 1 aus KP sein die Spalten von B also die Matrix B stellt man sich vor als eine Zeile Einträgen und jeder Eintrag ist ein Vektor sie können sich in aber vorstellen als mit an stecken von in Vektoren ja wenn sich die Matrizen so vorstellen dann kann man sich die Matrixmultiplikation merken was ist jetzt die
Matrix A B ich habe gerade gesagt die Matrix A besten Matrix Gamal jk J läuft von 1 bis Q läuft von 1 bis n Gambar tritt der griechische Buchstabe denn wenn sie aus der Schule kennen folgen winken da muss ich nix zu sagen denn so war das Gamma JK definiert das stand auf der Seite vorher ich schreib sie nochmal hin der Eintrag dass der Matrixmultiplikation an der J Karten Stelle ist die Summe über 11 von 1 bis P ein JK später Erika Beta Alfa JL Peter Lkr so weit JL bitte Etat den ist warum nicht gleich gestürzt hat Grundregel wenn sie Matrizen multipliziert diese beiden mittleren Indizes die müssen dieselben sein sonst stimmt was nicht also Eifer JL Wetter Lkr oder man sich das jetzt mit den Vektoren vorstellte dann das was hier steht während Summen über Produkte das kennt man vom Skalarprodukt Standard Skalarprodukt was da steht ist es Standard Skalarprodukt das ist nämlich das Standard Skalarprodukt der jobbten Zeile von aber kurz mit der Karte Spalte von wegen auf diese Weise kann man sich diese blöde Formen ein also an der Stelle JK in dem Produkt steht das Skalarprodukt der jucken Zeile mit der Karte Spalte so und das machen wir jetzt ein Beispiel nehmen und den um sich das einzuüben bleibt ihm nichts anderes übrig als 10 Stapel von Matrizen herzunehmen und die einmal zu multiplizieren und bei der 1. wird man mächtig fluchen und lange brauchen und sich vor allem Wahl verrechnen um bei der 2. noch ein bisschen fluchen und Diensten weniger brauchen und sich dreimal verrechnen und irgendwann kann man das dann drauf also was ich wir haben 2 Beispiele mitgebracht das Erste ist ne
Matrix 2 1 -minus 1 0 3 5 1 was ist das für ne Matrix ist ne Text den er mit 2 Zeilen und 3 Spalten oder Matrix B an die Matrix b 1 2 1 0 -minus 1 5 das ist eine Matrix mit 3 Zeilen und 2 Spalten dar Drehkreuz 2 die 2 hat sich für uns wirklich schaffen Drehkreuz 2 zur also 13 2 Spalten sie sehen Albi macht sehen weil die Spaltenanzahl von aber unterrichtet Zeilenanzahl von B mehr die beiden Dreier sind identisch also können wir a mal b ausrechnen also was is a mal b erst mal was ist das überhaupt von Objekten es ist immer ganz gut sich vorher klar zu machen was muss Wort rauskommen also wenn sie mit 2 Kreuz-Drei Matrix mindert 3 Kreuz 2 Matrix multiplizieren dann verschwinden die beiden Dinge die gleich waren und es bleibt übrig 1 2 Kreuz 2 Matrix also mit Q Kreuz P Matrix multipliziert mit der P Kreuz in Matrix gibt der QC Kreuz in Matrix und QC Holz P Besitz rein formal hier zu sehen multipliziert mit der P Kreuz in Matrix resultiert in einer Kuh Kreuz Matrix ja das ist der Spezialfall das Q gleich 1 dass ich froh was nein nein sie müssen immer so sehen wir sind auch gleich Sie können die beiden Matrizen dadurch dass das beides weinen können dieses die sogar umgekehrt multipliziert aber die Grundregel 7 die wenn sie Kokols spielen mit Peckolt N multiplizieren dann müssen sie im Geiste die beiden identischen PS streichen wir müssen gleich sein sonst können sie nicht nur die Ziele und was übrig bleibt ist das ganz links Kreuz das ganz recht das ganz links Kreis das ganz rechts ja das ist die Grundregel und dem Fall ist das ganz links 2 das ganz recht zufällig auch mit 2 wo das reiner Zufall dass er also hier muss mit 2 Gold 2 Matrix rauskommen sah es freilich in das normale das Krebs mich ohnehin eine Schreiben es anders bin am Main also a mal b
war war es aber 2 -minus 1 0 3 5 1 und wie über 1 2 1 0 -minus 1 5 was rauskommt ist mit 2 Kreuz 2 Matrix also was die andere 1 an der Stelle 1 1 also erst seinen 1. Spalte steht das Skalarprodukt der 1. Zeile mit der 1. Spalte also müssen sie die 1. Zeile mit der 1. Spalte Skala multiplizieren zweimal 1 ist 2 1 ja also wenn die beiden Dinge das Gelaber die Zähne zweimal 1 +plus -minus 1 mal 1 +plus 0 bei minus 1 92 1 2 -minus 1 ist 1 für das Element hier oben müssen Sie die 1. Zeile mit der 2. beides Scanner multiplizieren also 2 mal 2 plus minus 1 mal 0 +plus 0 mal 5 die ganzen nur machen sie weg 2 mal 2 ist 4 für das Element hier unten in der Ecke müssen sie die 2. Zeile mit der 1. Spalte Skala munizieren also 2 5 1 mal 1 1 -minus 1 2 mal 1 2 +plus 5 bis 7 -minus 1 bis 6 und für das Element und rechts in der Ecke müsse sich 2. Zeile wieder 2. 2. genau multiplizieren er war das dann 3 2 Sauklaue wir 3 dann hab ich hier grade nicht gerechnet oder 3 +plus 5 bis 8 -minus 1 ist 7 Kinder an gut also 2. Zeile mal 2. Spalte 3 mal 2 6 +plus 5 Mal wurde es immer noch 6 plus 5 bis 11 Uhr also Contrast 1 4 7 11 so wird er schon festgestellt haben in dem Fall ist QC ist der Q gleich und das sorgt für den seltenen schön fallen das wir auch b mal a multiplizieren können warum B war 3 Zeilen 2 Spalten und aber 2 Zeilen 3 Spalten sie sehen auch da ist in die 2. über eine was rauskommt bis jetzt allerdings mit 3 Kreuz-Drei Matrix und keine 2 kurz 2. Matrix können also wenn wir schon dabei sind im Sprung auch gleich be mal ausrechnen immer ist Matrix 1 2 1 0 minus 1 5 multipliziert mit 2 -minus 1 0 3 5 1 so raus kommt diesmal meine 3 Gold 3 Matrix da gespielt wie gerade eben 1. Zahlen als 1. Spalte skalare Multiplikation einmal 2 plus 2 mal 3 is a tun 1. Zeile mal 2. Spalte -minus 1 plus 10 ist neuen 1. Zeilen mal 3. Spalte 1 mal 0 +plus 2 mal 1 ist 2 2. Zeile mal 1. Spalte einmal 2 1 2 1 1. 2. Zeile mal 2. Spalte ist -minus 1 2. Zeile mal 2. Spalte ist einmal 0 +plus 0 9 1 ist ziemlich 0 jetzt für die 3. Zeile Bronze die 3. Zeile von B also mal 3. Zeile von B multipliziert mit 1. Spalte von -minus 1 mal 2 plus 5 mal 3 -minus 2 +plus 15 13 3. Zeile von B multipliziert mit 2. Spalte von A -minus 1 2 -minus 1 es +plus 1 +plus 25 bis 26 und schließlich 3. Zeile mal 3. Spalte -minus 1 mal 0 ist 0 und 5 mal 1 ist 5 und jetzt kommt der bange Blick auf meinen Zettel es kommt zumindest gleich aus dem Büro also sehen Sie dieses Mal wurde die CNS ist sind können war also ich würde schätzen den den Code haben sind 5. sein runtergeschrieben es ist eine irre Konzentrationsübung das während der wenn sie auch noch darüber fluchen also der 4 Kreuz 4 mit der 4 Kreuz 8 Matrix multiplizieren danach ist man noch muss man erst mal bis Fenster gucken und unterwegs ist garantiert im -minus zeigen verschütt gegangen das darf man nicht auf die leichte Schulter nehmen also gerade wenn Sie Probleme mit solchen Konzentrationsübungen haben er an den Stellen lohnt sich's mal die 5 Minuten sich zusammenzureißen weil Verrechnung in so Matratzen können verheerende Folgen haben das weiter rechnen gut was man hier dann auch noch sieht ist etwas was die Matrixmultiplikation eine auszeichnen und was ich ihn auch versprochen hat dass es kommen wird das ist das 1. Beispiel einer genuinen nicht kommutativen Multiplikation ja offensichtlich ist die Matrixmultiplikation nicht kommutativ das fängt schon damit an wie sie in dem Beispiel sehen Multiply wir sind im Beispiel gesehen dass a mal b und b mal a nicht nur verschieden sind sondern sogar wichtige Dimension haben ja aber dies 2 kreuzweise als Kreuz-Drei 3 also diesen gehört die ich gleich egal was da drin steht die sind schon von verschiedener Größe ja also meine wurde gation ist nicht nur nicht kommutativ sein verdammt nicht kommutativ also kommen Sie mir nie im
Leben auf die Idee A +plus B +plus b mal a als zweimal b zu schreiben der also waren wurde die Matrix Negation sie nicht und trinken zur an trotzdem hat ich Ihnen versprochen die Ware wurde vigation es auf diese Weise so kompliziert sie ist vernünftig definiert in dem Sinne das wir vernünftige Rechenregeln haben und zwar so wie man das erwartet Grundregel sickern in Matrizen im Prinzip zu rechnen so das von Zahlen gewohnt sind so Sie mir bitte nix multiplikative vertauscht additiv ok a +plus b ist mit was er aber das Multiplizieren ist nicht kommutativ also was geht sonst Rechenregeln wenn sie 2 Matrizen haben K ist Q Kreuz P A und D A und B sind Q Kreuz P als M 4 Matrizen und B und C sind K auch P Kreuz allen das muss man immer aufpassen dass die Dimension alle zusammenpassen dann kriegen sehen vernünftiges Verhalten jetzt muss mal gucken wie verhält sich die neue Multiplikation von Matrizen relativ zur bekannten Addition und relativ zu bekannten skalare Multiplikation also zum Beispiel könnten Sie die Frage stellen wenn Sie die Matrix an multipliziert mit der Matrix Landarbeit B was kommt da raus hat das irgendwas damit zu tun mit der Multiplikation von Landammann A und B oder demoliert und von A und B und dann mit Lander und die Antwort ist es passt hervorragend zusammen ist alles das Gleiche man dachte zuerst die Multiplikation hier steht macht sehen nur wenn B hoch P Kreuz Ennis den Islam mal wie auch Niki Kreuz in Matrix und dann können sie arm mit B langsamer den multiplizieren und die Rechenregeln gesagt sie können entweder an mit langsamer den multiplizieren oder Lander A B oder sie können auch erst A mit B multiplizieren und dann das ganze Mittelland da das ist alles dasselbe also diese Matrixmultiplikation verträgt sich sehr gut mit der skalare Multiplikation zu dürfen skalare da beliebig rein und raus schieben und das 2. war das angekündigte Distributivgesetz also was passiert wenn Sie mit E-Plus 10 multiplizieren hätten wir natürlich gern Distributivgesetz haben wir auch dann ist das das Gleiche wie a mal b +plus abermals kann also Sie sehen sie können alles mögliche machen was sie gewohnt sind mit Matrizen und jetzt müssen wir aufpassen Distributivgesetz geht nicht nur zu linksrum so doch rechts rum wie gesagt multipliziere ist nicht kommutativ wir brauchen also auch das Umgekehrte Distributivgesetz was
passiert wenn Sie mir so mehr haben und die mit einer Matrix multiplizieren funktioniert auch kommt raus was rauskommen soll a mal b +plus 10 Alben in das ja ich zeige Ihnen das 1. und das ihn das 2. in also zum Anteil und der Beweis denn sie sehen ist Stores gerechte und der einzige Nachteil der Nachteil dabei ist bei Matrizen wird immer alles extrem Index Plastik und aufwendig aufzuschreiben aber was man tut man rechnet einfach mehr also was haben Sie sehr Matrizen A und B 1. Landauer das an hat wieder Komponenten die schreiben uns wieder als Alfa JL also J läuft Formen als aus QC Kreuz P also muss das J bis Q laufen und dass Elvis P dann brauchen wir den Matrix P die heißt wieder Beta Lkr wobei das L 9 11 bis P hat n wer hat P Zeilen und das K läuft bis zur Spaltenanzahl dies gehen zur also wenn wir das A und das B lernen müssen uns angucken was Islam Derby was ist
dann lahmender B im multiplizieren werden Matrix Mitte Skalar das Geld multiplizieren einfach jeden Eintrag mit dem Skala also die Matrix Laender B ist ist die Matrix lahmender bitte Lkr wobei L eben immer noch von einst P läuft und K von 1 bis n so also können wir jetzt ausrechnen was es aber mal Lander B hielt aber mir hinterher also das ist die Matrix Allvar J L J von 1 bis Q 11 von 1 Bispill multipliziert mit der Matrix Lander Beta Lkr 11 von 1 bis P kann von 1 bis n erst Matrixmultiplikation der jobbte Zeilen mal Karte Spalten Skalarprodukt oder kurz ein paar Seiten zurückblättern und das förmliche nachgucken was müssen Sie machen sie müssen über den gemeinsamen Index hier summieren um lohnt sich immer wenn sie die Matrizen so Alfas bitterster stehen haben dann haben die so hinzuschreiben das von der vorderen Matrix der hintere Index gleich heißt wie den von behindere Matrix erfordere Index die beiden müssen sich auch die gleiche den gleichen Laufbereich haben weil sonst ist die Zeilenanzahl nicht gleich Spaltenanzahl so und über den doppelten Index muss man so mies summieren also so summieren von L gleich 1 bis P und dann jeweils das was übrig bleibt also ein Fall JL multipliziert mit lahmen da später LKA nun ist kriegen Matrix raus dies jetzt Q Kreuz enden also es bleibt das Fjord das von 1 bis Q läuft und es bleibt das K das von 1 bis n 8 und jetzt sehen Sie was wir da drin stehen haben es im Produkt Formelementen den Kader und in kam war Assoziativität Hörerkreis Körper das Multiplizieren K bis assoziativ das heißt der Inderin dürfen wir die Klammern umsetzen die wir wollen also Sohn darf L gleich 1 bis P können Sie zum Beispiel auch schreiben als Alfa JL Malanda mal bitte Lkr hab ich jetzt nicht nur assoziativ immer noch kommutativ genutzt aber das Malen Körpers auch kommutativ also ich außen steht wie vorher J gleich 1 bis Q K gleich 1 bis n zur wenn sich das Ding hier angucken und jetzt wieder rückwärts rechnen stellen sie fest dass Islam dar mal was im 1. Teil von weiß wir fertig das können wir aber auch weiter rechnen der mir dieses
Produkt die alpha JL Unwetter 1 von El ab aber aber das Land dann nicht das Land da dürfen sie das da sowohl rausziehen ist unser ausklammern dann steht hier Hirlanda Summe L gleich 1 bis P Alfa JL Wetter Lkr J läuft von 1 bis Q Karl von 1 bis 10 so was haben Sie hier stehen Samson Matrix verstehen und jeder Eintrag dieser Matrix ist mit lahmender multipliziert das ist genau Definition des Gala Multiplikation von Matrizen das können Sie genauso schreiben als lahmender mal die Matrix die übrig bleibt also L gleich 1 bis P Fall JL Blätter Lkr J von 1 bis Q K von 1 bis n und was jetzt dasteht Islam normal ab und auf die Weise haben sie alle 3 gleich halten B überlasse ich Ihnen wie gesagt selber es ein bisschen einfacher ja wo man ist noch schrecklicher bei IBM müssen sie 3 haben sie 3 Matrizen zu addieren und multiplizieren das pustet sich beliebig auf ja sogar die Fäuste wenn sie wirklich so in solchen Koeffizienten wird das Produkt von 3 der 4 Matrizenstrang wollte nahm sie 3 der 4 so mit jeweils das ist sie nicht hätten sie nicht nett aus das der Grund warum man lieber die Matrizen nicht in Koeffizienten Hinschreiben sondern als A und B und dann schreibt man aber den mal 10 bis sie viel schöner aus schreckt nicht ab gut ich will noch diese Rechenregeln nochmal hinschreiben und zwar einen Spezialfall weil sind sie besonders wichtig wir hatten vorhin gesehen das Vektoren eigentlich auch nur spezielle Matrizen sind Prinzip muss Bariton gar nicht reden weil man kann nur tritt reden da man mit erschlägt mal Direktor über gleich mit wer mit Vektoren sind einfache Matrizen mit nur einer Spalte waren für den Spezialfall schreiben uns die Rechenregeln noch mal hin also A und B seien weiterhin Matrizen außen K auch P Kreuz N aber X und Y also das was vorher C und D waren sein jetzt einfach Vektoren aus ok ist kein Kreuz 1 wäre das heißt wenn Sie jetzt die P Kreuz ein Matrix mit dieser Sektoren die im Kreuz ein sind können sie multiplizieren es kommt was P Kreuz 1 raus das heißt was sie kriegen es
wenn Sie zum Beispiel das Distributivgesetz nehmen kriegen Sie wenn Sie die Matrix mit der Summe von 2 Vektoren multiplizieren dann ist das x +plus a y ja das ist das Distributivgesetz den Matrizen wobei die Matrizen mit es halt speziell Vektoren sind und sie kriegen a +plus b angewandt auf x is a x +plus bx dass das andere Distributivgesetz und wenn Sie noch das mit dem Lander dazu schreiben wollen sie kriegen Art multipliziert mit lahmender X Islam multipliziert mit x Islam der multipliziert mit X und so heißen Bemerkung wenn sich meine dies und dies hier anschauen dann sehen Sie wieder dass wir ganz nah beim Thema lineare Abbildung sind multipliziert mit der Summe is a x +plus selbst verloren haben angewandt wenn sie dieses multiplizieren Malers angewandt Aufsehen angewandt Aufflammen X Islam darf mal angewandter führt mehr als dieses multipliziert mit ist irgendwie ja nur ist ist so was wie lineare Abbildung so sehen der vollen angekündigte Zusammenhang das Matrizen was wir eine Abbildung zu tun haben der scheint immer so durch so ich will noch ein spitzt einen weiteren interessanten speziellen Fall machen indem sie besonders gut multiplizieren können und das ist der Fall von sogenannten quadratischen Matrizen was die quadratischen Matrix is raten Sie wahrscheinlich alle gleich selber der quadratische war seine wo die Zeit seit der Spalten Zahl übereinstimmt also sehr mit quadratisches Schema von Einfällen also das
entspricht dem Fall The gleich gleichen wir also mit Wegkreuz n Martens wird P gleich man Kreuz in Matrix und so und also wenn Sie haben aus dem km Kreuz in dann nennt man eine Matrix quadratisch Name erklärt sich hoffentlich von selber und das schöne ist wenn sie quadratische Matrizen haben wir gerade gesagt nur dann in Kreuz N Matrizen können sie immer mit in Kreuz N Matrizen multipliziert weil die 2. 2. 2. 1 der Zeilenzahl einen übereinstimmt und zwar in beiden Richtungen also wenn Sie A und B aus gerade 7 Sitze haben dann haben sie immer a mal b und b mal a existieren so und dann im Prinzip das meiste schon gezeigt vom folgenden Satz das ist es einer der sagt was für die Struktur haben wir hier eigentlich was können wir denn jetzt mit dem Beitritt zu machen wir können sie addieren wir können sie Skalar multiplizieren dadurch und gesehen wenn sie die Matrizen mit diesen beiden er Verknüpfungen Grinsen Vektorraum also Matrizen gleicher Dimension und wir können Matrizen mindern der multiplizieren und dabei ändern sie habe ihre Dimension also im Sinne von Freuds 8 Matrix und nach Kreuz 13 Matrix multiplizieren grinsende 5 Kreuz 13 Matrix raus das geht garantiert keine schöne grob oder keine Regen oder sonst was weil ihre Matrizen dauert aus den Menge Ausfall Mehr also weil man sieht wenn Sie mit der 2 Kreuz 303 Kreuz-Fünf war fix startenden grinsende 2 Kreuz-Fünf Matrix raus da das das ist kein in sich abgeschlossenes Gebilde aber wenn sie in Greiz N Matrizen wir haben schon mal wenn sie den Kreuz ändert mit den Kreuz einmal das Multiplizieren kommt man Kreuz in Matrix raus und jetzt können Sie also diese Matrizen die ein Kreuz N Matrizen auf denen sie jetzt 3 Verknüpfungen auf denen sie jetzt das Plus und das Galama sein und das mal wir plus und mal ist es ein Vektorraum und was ich Ihnen jetzt zeigen es ist mit bloß einmal ist es möglich mit 1 also wir haben n ein Stern brauchen wir einen Körper K und was wir uns jetzt anschauen ist die Menge aller quadratischen in Kreuz N Matrizen mit der Annektion von Matrizen die können sie dann immer durchführen und wann immer sie 2 im Kreuz N Matrizen addieren kommen den Preis in Matrix raus und die Matrixmultiplikation wenn Sie den Preis einmal dass man den bereits in Matrix multiplizieren kommen den Gold in Matrix raus das heißt diese Menge ist und der mit diesen beiden Verknüpfungen abgeschlossen und macht also macht Sinn als algebraische ist Gebilde und was sich rausstellt dass es tatsächlich im Ringen mit 1 also eigentlich sehr schön Gebilde meinen Körper war noch besser aber Körper ist es halt nicht und ich hatte damals gesagt sie werde noch Dinge kennen lernen die nicht kommutativ sind und das ist so einer bis auf einen kleinen Spezialfall nämlich n gleich 1 aber sobald größer gleich 2 es ist ja nicht kommutativ und ich hatte in damals gesagt wer ist wer definierte Ring ganz bewusst nicht mit kommutativen der Modifikation die Addition immer kommutativ aber das Multiplizieren nicht und Übertritt zu sehen neben anderen aber sozusagen der prominenteste wegen der nicht kommutativ ist so ja und was dieser Satz im Wesentlichen bedeutet ist die mathematische Formulierung dessen was ich vorhin so viel salopp gesagt hat sie können mit Matrizen so rechnen dieses mit mitzahlen gewohnt sind mit der Ausnahme dass sie in die Kommode dividiert verloren haben und mit der 2. Ausnahme dass sie nicht unbedingt teilen dürfen 1. Unterkörper aber sie mit Madrid zusammenzurechnen so dieses von ganzen Zahlen gewohnt sind diesen auch kein Körper sondern bringt wissen ganz gewöhnt muckt abgesehen vom kommutativ vität der Multiplikation es mit quadratischen Matrizen Kredit über quadratischem Matrizen Sarah das wissen wir noch holen wir müssen zeigen zwar den Axiom 1. Ring Axiom dieser Tipps gibt die weniger mit dem +plus muss arabische Gruppe sein das aber schon erledigt weil ich habe ihnen gezeigt am Kreuz mit plus und dem Galama wissen K Vektorraum ja das war Beispiel von Matrizen als Vektorraum und das bedeutet insbesondere dass wenn sie sich das Ding nur mit plus anschauen dass das dann der arabische
Gruppe ist mir das war auch ein Teil der Axiomatik für den Vektor T also kriegen wir das haben wir schon erledigt was brauchen wir noch wir müssen zeigen dass das mal assoziativ ist unterste distributiv Gesetze gelten Distributivgesetz hab ich ihn gerade Übungsaufgabe stehen lassen die sind also sozusagen Zeuge erledigt also das was als sie würden 4 das Assoziativgesetz kann man nachrechnen muss man nachrechnen des neuen also es also sind dies Gesetz viermal an also ich mach jetzt erstmal mit dem anderen mit den anderen Dingen weiter und dann gucken wir am Flusse mich doch Zeit hat weil ich mich in lieber die nicht oder die Zähne zeigen als das Assoziativgesetz ehren was brauchen wir noch wenn gesagt dass Ring mit 1 was ich hab behauptet ein Ring mit 1 also wollen Sie wahrscheinlich von mir dass ich ihn sag was das einzelne mit ist und den Nachweis dass es auch 1 ist machen wir was ist das einzelne Element die sogenannte Einheitsmatrix üblicherweise mit E bezeichnet wenn man verschiedene Enns hat bietet ist es häufig sehr nicht i n hin zu schreiben und zu sagen dass die Einheitsmatrix bei den im Kreuz N Matrizen also die Einheitsmatrix mit Zeilen in Spalten und die Einheitsmatrix ist relativ einfach die hat nur 1 Sohn nun drin und zwar einen auf der Diagonalen man beachte
den Sinn den Kreuzen Matrix Pharmazie gleich viele Zeilen Spalten sind quadratisch und haben Sie mich für die Diagonale und auf der Diagonalen stehen einsehen und alles andere füllen sie mit Nullen auf also eine Einheitsmatrix stehen in ein sehr drin und P n Quadrat -minus n 0 das können sie auch einen gelehrt hinschreiben das ist die Matrix deren Einträge das Kronberger Symbol ist wobei J und K von 1 bis n laufenden an dich auf Karten Stelle steht der einst wenn obgleich Calls und stiegen 0 verlieren K verschieden die Diagonale sind genau die Alfa 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 bis alle Vereine in so aber wichtig ist die Einheitsmatrix ist eben die Matrix die nur auf der Diagonalen einen hat umsonst Nullen und dann zeige ich ihm dass das wirklich das einzelne also ich
muss Ihnen was muss ich ihm nachweisen ich muss mir irgend eine quadratische Matrix A hernehmen Alfa JL J und laufen von 1 bis n also eine Matrix aus dem kein Kreuz N und muss sie nachweisen wenn ich ihm meine werde oder American wieder aus also was is a Maria mal wie das ist die Matrix Eifer JL also die Matrix bei den Einträgen Eifer JL multipliziert mit Einheitsmatrix die Einheitsmatrix hatten wir geschrieben als Delta Lkr wobei l und k von 1 bis Ende auf 1 wenn er gleich K ist 0 wenn L ungleich kann es also dann multipliziere die beiden Matrizen gut wird das im multipliziert man 2 Matrizen nehmen wieder die beiden auf Variablen die die 2. da die 1. da wie gesagt am besten gleich so einrichten dass denselben Namen haben zum mir über die das geht in dem Fall von 1 bis n und multiplizieren Alfa JL Delta LKA und raus Matrix vor J und K von 1 bis n auf was dieser 1. stecken lange Summe aber in Wahrheit ist die Summe ziemlich kurz warum mal das Delta E L K ist ziemlich viel 0 das Delta LKA ist immer 0 wenn das Öl und das K verschieden sind das heißt die Summe hat eigentlich genau ein so nämlich den Summanden wo er gleich K ist was bleibt also übrig der Sohn Manuel gleich Calais das ist der so meint Alfa J K wobei J von von 1 bis N 9 was ist das aber nicht meistens Eifer JL und ist es Alfa JK das Namen sind Schall und Rauch und da steht es aber gut und das andere geht genauso also gleich an nein dann am Sinn der Summe Geld da JL als 2. LK stehen aber das ändert nichts an der Argumentation zur was jetzt noch fehlt ist zu zeigen dass die
Multiplikation nicht kommutativ ist also die Einheitsmatrix immer häufiger auftauchen wichtig sich die zu merken wie so wie gesagt nicht schwer zu merken ein auf der die Munaluna sonst und das ist das das ist die einst in diesem Ring und sie können sich vorstellen die einzubringen es immer die wichtige Matrix so ich will Ihnen sagen dass das nicht Q mutiert und zwar für alle n größer gleich 2 ich der geht Ihnen die interessante Debatte das Mittagessen mit warum guckt wie sieht das denn für gleich 1 aus was den 1 Freuds 1 Matrizen und warum sind die kommutativ er aber ab größer gleich 2 ist es nicht mehr kommutativ und wie macht man das man in sich möglichst konkretes Beispiel und ich habe ihn 1 mitgebracht gleich für alle Dimension auf einmal funktioniert man den Matrizen mit noch mehr 0 an und zwar die 1. N -minus 1 7 komplette 0 zahlen ja und in der letzten Zeile schreiben wir unten links der einzelnen und die 2. Matrix es genau andersrum wird oben rechts nur 1 und alles andere ist 0 ja also also hier sind hier Unsinn überall 0 die eine absurden links 1 wie alle um rechts 1 das multiplizieren mal dem Adressen miteinander was müssen sie machen Sie müssen das Skalarprodukt von jeder Zeile von der 1. mit jeder Spalte von der 2. rechnen man sehen Sie die meiste Skalarprodukt ist 0 der doch mal 0 Lektorat der also es kann überhaupt nur was passieren wenn sie von der 1. Matrix die letzte Zeile nehmen und es kann überhaupt nur was passieren wenn sie von der 2. war die letzte Spalte nehmen also kriegen wir schon mal alles ist 0 bis auf den Term ganz oben rechts werde ganz Unrecht das letzte Zeile Male zu spalten aber der ist natürlich einst nur wenn sie die letzte Zeile auf die letzte Spalte multiplizieren dann sehen Sie da kommt 1 raus also ist dieses Produkt hier lauter 0 zahlen kann der letzten Zeile steht am Ende eine verlorene 1 mehr so jetzt multiplizieren wir die Matrizen andersrum miteinander also der am 1. die Matrix die oben rechts die einst hat und sonst lauter Nullen und dann die Matrix die
unten die einst hat unten links die 1 hat und sonst lauter Nullen solche multiplizieren Sie die Matrix über 2 Matratzen immer nur was kann da passieren sind das einzige was passieren kann bis 1. Zeile der erstmals mal 1. Spalte der 2. also in dem Element oben links und da kriegen Sie tatsächlich nur 1 also hier oben grinsender 1 und alles andere mit Nullen Na ja und jetzt muss man nur mal scharf hingucken und dann stellt man fest die beiden Matrizen nicht wirklich gleich Mehr die Einheit die ein und rechts die eine 1 oben links und sobald sie mindestens Dimension 2 also 2 Kreuz 214 haben ist die Stelle unten rechts was anderes als sich der oben links Unrecht zum um Links bei 1 1 Matratze natürlich nicht aber ein trotz eines Matrizen des Unrechts vom links ist der das heißt dass es kein Gegenbeispiel aber wir ab n größer gleich 2 schon gut ich liebe nein nein nein nein ja Gewalt die Definition 7 7 3 neuen wir nicht hat schon gesagt denn immer noch nicht dass es eine Zeile das ist der Name der Einheitsmatrix also der DJK nur unsere Einheitsmatrix die gerade definierte die nennt man die Einheitsmatrix denn wenn ich nächstes Mal nicht nur mein Schreiben müssen es sah Zeit hab ich auch noch da kann sie müssen Sie jetzt also mitnehmen die Einheitsmatrix und damit es soll dieser Abschnitt über das Multiplizieren von Matrizen einigermaßen zu Ende nächstes Mal gehen wir dann einen Zusammenhang zu den Jan Abbildung bis Freitag also vielen Dank wir aufmerksam
Einfach zusammenhängender Raum
Kreis
Punkt
Momentenproblem
Abbildung <Physik>
Aussage <Mathematik>
Vektorraum
Drehung
Rechnen
Äquivalenzklasse
Vektor
Lineare Abbildung
Mittelungsverfahren
Kettenregel
Äquivalenz
Kerndarstellung
Implikation
Funktion <Mathematik>
Einfach zusammenhängender Raum
Lösung <Mathematik>
Momentenproblem
Vorzeichen <Mathematik>
Kennzahl
Abbildung <Physik>
Berechnung
Gleichungssystem
Schar <Mathematik>
Kerndarstellung
Gleichung
Einfach zusammenhängender Raum
Lineare Abbildung
Vektorrechnung
Vorzeichen <Mathematik>
Abbildung <Physik>
Kerndarstellung
Vektorraum
Raum <Mathematik>
Vektor
Dimension
Unterraum
Ebene
Einfach zusammenhängender Raum
Lineare Abbildung
Punkt
Vektorrechnung
Momentenproblem
Abbildung <Physik>
Kerndarstellung
Vektor
Ecke
Richtung
Null
Mathematische Größe
Darstellung <Mathematik>
Faktorisierung
Vektorrechnung
Abbildung <Physik>
Klasse <Mathematik>
Projektion <Mathematik>
Vektorraum
Drehung
Element <Mathematik>
Vektor
Gradient
Lineare Abbildung
Summe
Koeffizient
Stützpunkt <Mathematik>
Koordinaten
Addition
Parametersystem
Summe
Ende <Graphentheorie>
Summand
Vektorrechnung
Koeffizient
Vektor
Koordinaten
Kugelkappe
Variable
Gewichtete Summe
Vektorrechnung
Abbildung <Physik>
Zahl
Koordinaten
Einfach zusammenhängender Raum
Ebene
Addition
Länge
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Zusammenhang <Mathematik>
Vektorrechnung
Abbildung <Physik>
Formation <Mathematik>
Vektorraum
Vektor
Zahl
Objekt <Kategorie>
Lineare Abbildung
Summe
Multiplikation
Ecke
Koordinaten
Dimension 2
Dimension
Matrix <Mathematik>
Länge
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Distributivgesetz
Betafunktion
Natürliche Zahl
Isomorphismus
Biprodukt
Vektor
Zahl
Skalarfeld
Richtung
Summe
Multiplikation
Menge
Objekt <Kategorie>
Kreis
Summe
Matrix <Mathematik>
Skalarprodukt
Gewichtete Summe
Matrizenmultiplikation
Homogenes Polynom
Vektorrechnung
Biprodukt
Addition
Matrix <Mathematik>
Multiplikation
Skalarprodukt
Folge <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Distributivgesetz
Skalarfeld
Zahl
Ecke
Einfach zusammenhängender Raum
Index
Multiplikation
Skalarprodukt
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Homogenes Polynom
Betafunktion
Skalarfeld
Körpertheorie
Lineare Abbildung
Summe
Multiplikation
Matrix <Mathematik>
Zusammenhang <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Distributivgesetz
Koeffizient
Abbildung <Physik>
Zahl
Assoziativgesetz
Addition
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Distributivgesetz
Modifikation <Mathematik>
Fluss <Mathematik>
Vektorraum
Gesetz <Physik>
Vektor
Skalarfeld
Richtung
Axiomatik
Quadrat
Multiplikation
Menge
Ganze Zahl
Diagonale <Geometrie>
Axiom
Summe
Matrix <Mathematik>
Variable
Quadrat
Matrizenmultiplikation
Summand
Diagonale <Geometrie>
Null
Gegenbeispiel
Matrix <Mathematik>
Skalarprodukt
Multiplikation
Zusammenhang <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Abbildung <Physik>
Term
Null

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Matrizen und lineare Abbildungen
Serientitel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 18
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/33625
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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