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Konvergenz

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Automatisierte Medienanalyse

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immer so ja ja ja ja an der TU Darmstadt das so normal
guten Morgen herzlich willkommen der sie haben die meisten schon gesehen ich habe die Evaluationsbögen auf die Reise geschickt also mit der üblichen bitte das sie dann die Vorlesung nochmal kann viel passieren lassen Kritik Anregungen Ideen Lob reichlich auf uns niederprasseln lassen und zerren der für alle Beteiligten interessant was dann rauskommt gut ich lasse erwarten müssen ausfüllen und Eltern die bitte dass Sie die Bögen irgendwie sammeln am besten ich habe jetzt ein Wurm oder so ungefähr durch die geben das heißt die ausgefüllten und die nicht ausgefüllten da wie möglichst getrennt das ziemlich durcheinander geraten sammeln wir die in die von den Seiten während der da rein wieder ein so der Lärmpegel steigt das heißt die meisten sind oder die meistens sind und tendenziell fertig was einiges am einfachsten wenn es alle in die Richtung ginge diffundieren lassen und dann wäre die Frage ob sie weiß wie jemand der das Seite sitzt die schnell runter sammeln kann und hier vorne vorbeibringen manchmal bis gerade erst die geben oder wer auch sonst noch ganz viel schreiben will das find ich gut weil dann Krieg nicht viel mit schreiben Sie gern weiter und bringen so können Sie es auch gerne der Pause dann in der Vorlesung noch bringen gibt es keine Eile gut ab ja ich hofft dass die irgendwie halt hier unten ankommen Lauf der Zeit und würde mich dann gerne wir dem Inhalt zuwenden wir hatten angefangen mit dem mit der Abteilung Konvergenz und ich hatte letztes Mal definiert was Konvergenz bedeutet anhand von folgen in Folge ,komma geht gegen Grenzwert werden für jede vorgegebene Abweichung diese zulassen größer 0 y größer 0 es ein Index-Ende 0 gibt ab dem die Folge nicht mehr weiter als y von abweicht natürlich hängt es er 0 von Apps sein aber die Größe je kleiner selbst dann machen wir sie mit den Apps sondern nur die die genauer die Folge des approximieren solltest du später wird im Allgemeinen das im Nu liegen wenn ich das das 1 Zufelde konstante voll ist oder so was und und dann hatte ich aber bisschen der Definition gespielt und festgestellt für einfache Folgen einzig enden oder ähnliches können wir damit auch Konvergenz gegen Grenzwert beweisen wenn die Folgen komplizierter werden wird es schwierig denn ich hatte dann am Schluss oder das heißt schwierig wird halt mühsam und ich hatte ihn dann am Schluss die Grenzwert setzte geschrieben als das Wesentliche Hilfsmittel kompliziertere Freude in kleine Stücke zu zerhacken und ich will dir vorlesen damit anfangen das wäre die zuteil beweisen das hat zum einen den in dem Sinn dass sie den Beweis gesehen haben und wir auch glauben dass die Dinger gelten aber vor zum 2. den Sinn dass auch das wieder Beweise sind in den einfach typische Methoden typische Schlussweisen typische Denkweisen die mit Folgen ,komma Konvergenz zu tun haben vorkommen also wie mir das Ding der Reihe nach durch und beweisen wie gesagt nicht alles aber teilen also bei sagt der Anteil der Anteil sagt sie mir Folgen haben die konvergent ist und Einkommen komme geht gegen Grenzwert Adam konvergiert die Folge der Beträge von 1 denn Betrag von A gut das müssen wir zeigen müssen zeigen die Folge der Beträge von allen konvergiert gegen aber Konvergenz Beweise für die Definition von und mit dem gleichen Satz an es sei y größer 0 also wir geben uns der zulässige Abweichung vor die unsere Folge von abweichen darf und müssen N 0 finden so dass ab dann der Abstand von Betrag ebenso Betrag aber nicht mehr kleiner erkundigt mehr größer selbst wird so jetzt wissen wir es das die Folge am gegen konvergiert was heißt das auch noch Definition das heißt es geht zu unserm y das wir haben den 0 so dass der Abstand von dem A 1 zu A kleiner ist als Epsilon wenn das eh nur größer gleich nun ist nur zum Ausgleich über Konvergenz sie letzte da müssen Sie sehr 0 angeben so und jetzt will ich Ihnen zeigen dieses E 0 tut's auch für die Folge der Beträge also für alle n die größer sind als dieses in nur schauen wir uns an was ist der Abstand von der von dem der Betrag am zu Betrag ab und wir zeigen können dieser Abstand ist kleiner als y für alle in größter gleich 0 dann aber Konvergenz Samson Betrag von dem Differenz von Beträgen Sunden war schon mal gesehen und das war die umgekehrte Dreiecksungleichung und das ist genau das was hier zum Ziel führt die umgekehrte Dreiecksungleichung hatten andersrum hingeschrieben die sagte die dicht vor die Betrag Der Betrag von der Differenz ist immer größer alles der Betrag volle difference beträgt oh jetzt wir schon fertig war von dem Dinge wissen wir dass ist kleiner als y ist das so war dass er 0 gerade gewählt also das bitte dieses kleiner also haben wir für alle ein großer gleichen 0 ist der Abstand von betragen zu Betrag kleiner als Epsilon und das bedeutet das die Folge betrage n konvergiert und zwar gegen Betrag so damit aber an jetzt kommt der Peter das ist mit Abstand der wichtigste Teil von dem Salz nämlich die ganze Rechenregeln zum von Konvergenz folgen Produkte von Konvergenz folgen Patienten vor ,komma dem Volk und ich zeigen die nicht alle 4 ich zeigen nur einen davon aber ich bin insofern fairsten kompliziertesten nehmen nämlich den Teil 4 und von Teil 4
können und zum Teil mit Teil 3 sparen was ich ihnen zeige es wenn 1 durch beenden gegen 1 durch B geht n gegen unendlich es ist das zeige ich Ihnen und wenn sie das haben dann kriegen Sie die Aussage die Sie eigentlich zeigen wollen mit 3. also wollen zeigen wenn allein durch B eingewiesen A und B in komme die gegen Bild konvergiert ein durchspielen gegen a durch b solange alle Sicherung Sicherheitsvorkehrungen es 14 sprich das ist nicht nur das Biest nicht 0 und macht keinen Sinn und was im 2. einzig bin convicted gegen Einstig B unter den Sicherheits Voraussetzung und wenn sie dann also ich deren haben wollen sollen sie ein durchspielen als einmal durch PIN und damit sie drittens an der 3. sagt Produkt von Konvergenz folgen ,komma geht gegen Produkt der Grenze so also aber die eigentliche Aufgabe ist zu zeigen dass einst durchqueren den Einstig B geht unter den Voraussetzungen die wir haben so was wir schon mal wissen es das haben wir gerade gezeigt Limes n gegen unendlich also wissen dass man das in wenig BNB ist und aus dem gerade gezeigten an Teil folgt dann das auch der Betrag von BND gegen Betrag von B konvergieren oder Betrag von B wissen wir noch dass das strikt positiv ist dabei wenig 0 ist Mega-Beben positiv oder negativ ist der Betrag ist 1 ,komma gucken strikt positiv der Vorteil davon dass das betreibt bestritt positiv ist ist dass wir aus dem Betrag den y zaubern können weil dann ist natürlich auch Betrag die halbe positiv wir und das nicht er selbst immer und wie zu jedem Epsilon weil ich weiß dass Betrag der beendigen betreibt B konvergiert gibt es zu jedem Erzählern einen kritischen Index denn ich jetzt hier mal n 1 1 1 aus allen so dass der Abstand von Betrag DEN zu betreibt die kleiner gleich Betrag be halten zu können für alle n größer gleich in 1 ich nenne das N 1 war das noch nicht dass er Jules ist dass wir am Ende brauchen wir müssen zeigen einzig weniger einzig B der taucht dann das er 0 auf also am Beginn Buchstaben so weit es die IG von diesen Beweis tritt jetzt wir müssen sicherstellen dass die Betrag beenden nicht beliebig nahe 0 kommen können weil sonst Haut und einzig durch Bären ab was uns geht einzig beenden wo aus der Decke und dann kann nicht kommentieren und das machen wir mit es schaffen uns von dem B 1 zu 0 in Sicherheitsabstand zur und das sieht man es
folgendermaßen also für alle diese also n größer gleich in 1 gilt was für den Betrag von die ich will ihnen zeigen dass der Betrag von DSL ich LG was den Betrag von BR nicht wie den zeigen dass Betrag von der nicht von 0 weg bleibt beziehungsweise andersrum formuliert 1 durch Betrag beendet beschränkt bleibt das notwendige Voraussetzung einzig Betrag nicht beschränkt ist es niemals kann gibt ja wir gesehen haben dass jede konvergierende Folge beschränkt ist so es kommt mit einer Rechnung von hinten durch die Brust in's Auge der Betrag von B ist der Betrag vom Betrag von B das wenn Sie mir wenn Sie nicht bestreiten können und ich und jetzt kommt wieder der fundamental Threat Analysis addiere die richtige 0 also das is Betrag von den Mindestbetrag von WM +plus Betrag von Wehen es dass wir die richtigen 0 addiert wieder wie kommt man auf diese quasi WEG man weiß was über Betrag den Mindestbetrag beenden muss man verwenden also muss man irgendwie diesen kam schaffen macht man wenn man die richtigen 0 addiert so ist haben wir Betrag von der Summe von denen da können wir die Dreiecksungleichung anwenden kann das ist kleiner als Betrag und betreibt den Minusbetrag gehen +plus Betrag B 5 Dreiecksungleichung so und jetzt haben wir den Termin würde was wissen der Abstand von Betrag gehen zu Betrag des ist kleiner gleich die halbe also ist das kleine gleich Betrag des halbe +plus Betrag des engen wenn sich die gleiche Ungleichungen jetzt dasteht angucken dann sehen Sie die betragen B rechts sieht Betrag die halbe bringen sie einen Betrag halt auf die andere Seite dann folgt daraus betreibt die halte ist kleiner gleich Betrag der in und das ist jetzt das was ich vorhin sagte dass wir damit haben ist das BND bleibt immer oberhalb der Betrag der halber Street positiv ist und das Sicherheitsabstand von der 0 und das bedeutet umgekehrt wenn sie jetzt die diese Ungleichung kämen Kehrwert betrachten das einzig Betrag beenden beschränkt bleibt also eine diese Ungleichungen jetzt invertieren 1 durch auf beiden Seiten machen dreht das Relations Zeichen um und sie
kriegen 1 durch Betrag beenden wird immer kleiner als 2 durch Betrag weg und damit haben Sie schon mal Gefolges beschränkt folge 1 durch Betrag den oder die Folge eines sich damit auch beschränkt das reicht nicht für Konvergenz erwiesen in eine notwendige Voraussetzung ohne das wird es nicht gehen so und jetzt gucken bleiben die ganze Zeit immer in größer gleich in ein zwar die ganze Rechnung die wir bisher gemacht haben geht nur für große für große n und was wir eigentlich haben wollen ist das einst durch gegen 1 bekomme geht also schauen uns an was passiert für große eng mit dem Abstand von Einstig beenden -minus Einstig B da sieht man dass man nicht was man machen soll das einzige was an ein verlässt das auf dem Haupte zu bringen und dann stellt man fest dass auch noch Ende zu bringen ist ne ziemlich gute Idee weil da steht jetzt bin -minus BND und bin -minus PN darüber wissen wir was wir wenn Comedy-Team B also die bin klein es ist doch schon mal was was man verwenden kann zum 1. Mal den Betrag die 1000 andere sehen auseinander und dürfen Betrag von 2. vom Produktes Produkte getreten gleiches gilt für den Quotient so ist haben sie das den einst durch Betrag beenden von einzig Betrag wissen wer das ist kleiner als 2 durch Betrag B also steht hier kleiner als 2 durch Betrag des Quadrat mal des -minus B u was einem Betrag des und in den 1. Betrag die was schon vorher da stand und das andere ist das einzig betreibt beenden also diese Ungleichung hier die eingegangen ist zur wird ja sonst das noch mal genauer an wir wissen dass das da gegen 0 geht für n gegen unendlich sagen das war Übungsaufgabe Vorlesung werden komme geht gegen wie genau da an den Betrag von der Industrie gegen 0 konvergieren das da vor 2 durch Betrag des Quadrat ist ein von der Konstante zahlen wenn sind 0 Folge H und eine konsequente Folge haben und die mit der Zahl multiplizieren wie nur konvergent heute als normal ein dann konvergiert diese Bildung gegen alle formalen Grenzwert also konvergiert das Ganze das hier rechts von dem kleiner gleich steht gegen 2 durch Betrag bevor NN 2 der Betrag des Quadrates immer noch 0 ja mal 0 ist immer noch 0 ja das ist jetzt ja das es B I was Sie hier verwenden so damit haben wir Betrag einzig beenden -minus einzig B ist kleiner gleich eine 0 Folge für alle großen N 1 und das war Übungsaufgabe 3 3 a die da sagen sie die Situation haben dass sie den Betrag von ein -minus aber nach oben kontrollieren können durch neue Folge dann haben sie Konvergenz also Übungsaufgabe 3 3 A sagt das einst durch PIN gegen 1 durch B geht wenn er noch unendlich 8. man jetzt bei uns zusammen ein durchgehendes Einmaleins durch PIN und dann macht B 3 i die Aussage komplett gut das war der komplizierteste Teil was jetzt noch fehlt sind die beiden Aussagen unten die Monotonie zu tun haben geben wenn er funktionieren und ich auch in Inc normal zuerst die 1.
10 dieser dass es Monotonie vom Grenzwert das heißt wenn eine Folge immer unterhalb der andern liegt ein kleiner gleich spielen für alle in den sind auch dann gilt die Gleichung Gleichung für die Mieten also was wir zeigen müssen es war ein kleiner gleich B 1 für alle in daraus folgt gleich B nur unter der Voraussetzung dass eine PIN von konvergieren natürlich das ist hier Grundvoraussetzung der einen Besen konvergent erfolgt so das zeigen wir indirekt also der Widerspruch in dem wir annehmen hätten also 2 folgen die konvergieren eines der gleich B für alle n und trotzdem ist Strick größer als B ja das ist irgendwie nicht funktionieren kann ist klar muss es Beweis parken warum kann das nicht funktionieren wer wenn Sie hier wir haben und hier aber sie nehmen strikt an als Ar und die Folgen des enden die manchmal so und die Folge 1 mit Kreuzchen die Folge wären konvergiert gegen werden muss die Folge BNR sie kann alle wie sie da noch um nutzen aber sie muss sich dem BMW und dann ist das eine Mal kleiner als PIN ist dann muss das Ion drunter liegen ja wie soll das jetzt hier die zur auch kommen also kein Platz mehr komm ich vorbei muss immer und in WN bleiben trotzdem zum das wirklich funktioniert und das was wir jetzt mathematisch fassen und das entscheidende ist wenn das am tatsächlich und immer unter dem Bild unter dem Wert legt dann gibt es eben Abstand zu ist irgendwann nicht mehr einhalten kann und dieser Abstand also dieses Epsilon ist da die Hälfte von dem Abstand von A und B also das hat sich irgendwann Schwierigkeiten oberhalb von diesem Striche zu kommen und dieses Ding Hinweis Epsilon also wir nehmen uns die Hälfte vom Abstand von Azubi dass sehr positive Zahl weil als nach Annahme strikt größer als B also dass da komplett zulässige selbst an wir wissen das
AN gegen konvergiert und BIN gegen B also nutzen wir die Konvergenz aus also existiert wie den in 1 in allen so dass das gehen nicht mehr als Epsilon vom B abweicht das heißt es PIN ist in dem Intervall zwischen -minus B indischen bin -minus y und E-Plus y und das weicht nicht mehr als y von aber also es im Intervall von A -minus y bis A +plus y wann immer das n größer gleich den man einst kann es ist alles hingeschrieben Betrag Beenden -minus B kleidet Apps noch kleiner setzte nach dem EN bleibt immer nahe der B und A 1 bleibt immer nahe bei Aachen und damit steht wenn man sich überlegt was da steht der Widerspruch von dar also wie in der Kneipe des und einen Wert
nahe bei A und deshalb ist E-Plus Erzählern das ist was er zu hören war -minus bin natürlich war der Abstand von AP die Hälfte vom Abstand von A und B also das ist der halbe +plus 2 wie Heide +plus 1 -minus B halbe das is a halbe +plus b halbe nach Hochrechnung und das wiederum ist aber -minus A +plus B halbe und das ist -minus Apps zur was heißt es denn das heißt wenn wir B ist und da dann ist plus Epsilon ja das ist die länger zu hören E-Plus Epsilon gleich an -minus Ärztin an also ist auch hier y war alles in dieser y in der Wale um A und B und die sind an nicht ernst mit der man lernt mit liegen nebeneinander und haben keine gemeinsam .punkt und wir wissen alle 1 sind in diesem Intervall wenn n größer gleich 1 ist und alle B L sind in dem Intervall wenn n größer gleich 1 ist na was heißt das das heißt die PIN sind dann Strick kleiner als die A AN wir alle in Größe gleich in 1 und das ist nicht mehr weil die ein kleiner gleich die WM sind das ist das was ich vorhin meinte wenn die Situation eintritt das billigste Größe Astrid Kohrs also die ist dann muss die Folge PIN irgendwann in der Folge 1 vorbei so das ist das und als letztes kommt es sendet mit Start das war eben die Sache mit der ein gequetschten Folge 10 12 Folgen einen Bären die Pleite gegen den selben Grund Grenzwert a konvergieren und zwischen einem B 1 7 Folge 10 und die von der ließen 7 vom 1. Moment gar nichts nur die muss nicht konvergieren aber wenn Sie diese einquetschen können dann muss die konvergieren uns noch gegen der gar keine gar keine andere Wahl weiß ich ihn auch also wollen zeigen am konvergiert konvergiert gegen Konvergenz Beweis wenn man ihn über die Definition für eine andere Möglichkeit haben wir nicht weg beginnt mit dem Satz sei es nun größer 0 das wir irgendwie aus Schlachten dass wir wissen dass ein gegen konvergiert und Berlin Akkorde gibt also nehmen wir uns zu unserm y die zugehörigen N 0 her dann gibt es ne 0 in allen so
dass an der mit Abstand von 1 zu kleiner ist y und der Abstand von PIN zu be kleiner als y für eine n größer gleich 1 0 können Sie Einspruch erheben und sagen wieso weil natürlich wegen Konvergenz gibt es ne 0 für die AHS so dass das kleiner ist als waren ab da und es gibt mehr 0 für die B aber sagten dass die gleich sind die sind im Allgemeinen ich gleich ja nicht gesagt dass meine nur das bestmögliche ist wir sehen Sie einfach sagen sie ein für die 1 Libyens nehmen so das größere von den beiden vor verwalten was ist annulliert ist das größere von den beiden und dann haben Sie es gleichzeitig dass die eines Mehr nicht weiter selbst dann von Alex sind und die PS nicht weiter selbst man von B wenn die in Größe gleich Unsinn sonnig wenn zeigen dass dieses 0 es auch Hitzetod also nehmen uns in Größe gleich in 0 her und schauen uns an wo liegt dann sehen nehmen Sie in größer gleich in 0 haben dann ist der Abstand von A 1 zu A kleiner als Erzähler das heißt es ein muss größer sein als an ihnen selbst ab nicht weiter selbst ein Wert legen also ist -minus selbst kleine 1 nach Voraussetzung wissen Sie eines kleinen gleichziehen ist damit nicht spielen dass dieser mit Eigenschaft das PIN AG steht natürlich und ich bin um einen Bären konnte gegen den gleichen Grenzwerten sonst funktioniert es nicht das B 1 liegt XY von Ahlbeck also ist das Bier entfernen ich arglos an wir jetzt machen Sie mal auf der in diese ungleichen es geht den -minus A wenn sehen Sie -minus Epsilon ist kleiner als 10 -minus aber
ist kleiner richtig kleiner ist kleiner als y das können Sie im Betrag umschreiben da der 10 -minus als ich -minus selbst und anlegt dann ist der Betrag von 10 -minus aber kleiner selbst ändern und das haben sie für alle n größer gleich in nur wunderbar für jedes Erzählung größer 0 gibts ne 0 so dass der Abstand von 10 zu kleiner selbst ist das genaus Konvergenz also haben wir hier stehen damit er mir 2 Dinge auf einmal gezeigt gezeigt der Limes NGO 10 existiert C 1 konvergent und es SAD damit immer durch den beweist der Grenzwerte zu durch wie gesagt ganz wesentliches Hilfsmittel das man nach einiger Zeit und es dauernd zu erwähnen automatisiert benutzt und Grenzwerte zu berechnen ich würde noch 2 Warnungen anschließen die eine hatt ich letztes Mal schon gesagt die Städte Skript das Warnung 3 8 wird sie Teile der da sagt wenn die eine Folge kleine gleich an ist gilt es auch für die Grenzwerte den können Sie nicht mit kleine übertragen sie können mit größer gleich übertragen er in Zusammenarbeit mit E I Weise mit minus 1 durch multiplizieren kann aber für kleine tut nicht nehmen sie die Folge eines durch N die Folge konstant 0 1 n also die Folge eines sich indes immer strikt größer als die Folge konstant 0 aber die Grenzwerte sind Wahlen und es im Grenzwert verlieren sich strikte Ungleichung strikt ungleichen werden Grenzwerte immer zu ner kleiner gleich oder größer gleich und gleich und die 2. Warnung betrifft B in die war immer vorausgesetzt man die Folge ein konvergieren die Folge den konvergiert ankomme geht auf die Summe so sind oder Committee das Produkt oder korrigiert dann die Differenz oder wenn Liefersicherheit vorausgeschickt Vorkehrungen AG erfüllt sind ,komma geht auch der Quotient entsprechender Satz mit Divergenz ist falsch also wenn Sie so was haben die eines divergent und wer ist die wir gehen dann ist auch die Summe die wir das ist Quatsch sie können problemlos bis 2 Folgen schreiben die beiden divergieren die Summe konvergiert ganz blödes Beispiel haben schon gesehen dass die
Folge 1 -minus 1 1 -minus 1 1 -minus 1 1 -minus 1 divergiert ja in diesen und noch banaler nehmen sie die Folge NSN 1 2 3 1 7 7 8 9 die T-Com divergiert offensichtlich Weise nicht beschränkt ist und nehmen sie die Folge B 1 -minus 1 die Diebe geht auch da oder und hab ja diesen Sommer wollen beide ist konstant 0 dieser dann Konvergenz und so banal dieses Beispiel ist so oft findet man diesen Fehler war sie können daraus dass der Folge divergiert und andere wenn konvergiert der divergiert nicht zu besuchen oder Produkte schließen bei Konvergenz ja und wir die wir ganz nahe gut so jetzt Erwin gesagt diesen Satz verwendet man dauern und der ist total wertvoll das muss sich untermauern und ich zeige Ihnen jetzt wie man den anwenden kann an verschiedensten Beispielen und die Beispiele die jetzt kommen die haben auch den doppelten Wert der 1. Wert ist dass Sie sehen dass dieser Satz wichtig ist und der 2. Wert ist dass das alles Beispiele sind die man dann im Folgenden auch wieder gewinnbringend verwenden kann also ganz wichtige Beispiele warum dieser Satz hier nutzt die nur was wenn Sie sich bei einem Stapel von folgen die Grenzwerte kennen wenn sie brauchen so ein paar Referenz folgen so ein habe elementare Bausteine von dem sie wissen was sie tun bei der dann können sie sich komplizierte wird die Idee von den Satzes komplizierte folgen elementare kleine Bausteine zu zerhacken Bus einfach ist komme ist wenn sind zum Fouls von einfachen folgend den was da rauskommt dann können Sie mit dem Satz daraus kompliziertere aufbauen also müssen sind H elementare Grenzwerte wissen oder ist es nur sie nachschlagen können und dass jetzt kommt ist und so von allen einfachen Folgen von dem es gut ist zu wissen was da passiert zu und das Erste ist er nun 1 durch Potenzen also besinnen sich den Exponenten P der seien nicht 0 natürliche Zahl und AN bis 1 durch ellenhoch hoch P da auch in das entstand lediglich 0 teilen das wenn Sie die gleich einsetzen um sie einzig Ende des schon das neue Folge 1 im Quadrat einzig sich in nur 5 wie sieht es damit aus und er wie anschauliches klar müssen auch 0 folgt mir wenn Sie im Quadrat ist 1 1 4. 9. 16 und so weiter dass es dort ganz schnell nach 0 er habe und wie begründet man das das begründen sendet sterilem ganz schnell und einfach es gilt das 0 immer kleiner gleich 1 egal was sie da verändert einsetzen ist nur positiv 1 1 durch ein hoch P so das ist größer gleich 1 das heißt dass immer kleiner gleich in hoch P wenn Sie eine natürliche Zahl hoch irgendwas natürliche Zahl denn dann wird es größer Kehrwert davon 1 will noch dies kleiner gleich 1 sich in so was aber jetzt haben Sie hier eine Folge des gegen 0 geht für n gegen unendlich und der wissen das schon aber es ist letzte Vorlesung wird lohnte gezahlt auf der linken Seite haben Sie in diesem Fall dass sie auch eine Folge stehen was die Folge 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ziemlich langweilig aber es ist so langweilig sie sehr großen vor ist verdammt Konvergenz nämlich gegen 0 sollten Sie Folge 1 eingequetscht zwischen 0 folgende 0 folgen Sandwich Theorien sagt dann ist die Folge einer auch nun folgen n und so ansehe im Prinzip da immer unendlich viele Folgen erledigt für jedes P wie ist aus ist das einst durch n hoch 0 vor zur
2. 2. Beispiel ein Beispiel dafür wie man dieses B verwenden kann ja und das ist was ich jetzt bring es was pro toto die das was ich jetzt bei dieser vollgemacht funktioniert für alle die ähnlich aussehen also meine Folge ist im Quadrat plus 2 1 +plus 3 durch im Quadrat plus 3 und sie jetzt nach können sie immer machen wenn sie wenn sie in der Folge von der Form haben Polynome durch Polen nominiert also international austrugen Ende haben ist das was jetzt kommt immer geht es immer und was ist der der entscheidende Trick ist in der Kürze durch die höchste Potenz höchste potenzielles im Quadrat also macht man das und intuitives aber das führt zum Ziel wir kürzen den Bruch durch im Quadrat also Teil der 10 und den dadurch im Quadrat entsteht um 1 +plus 2 durch n +plus 3 dich im Quadrat ein durch 1
+plus 3 dich im Quadrat die Weise hat man den häßlichen Doppel Bruch erzeugt aber das ist gut so und ist es gut wenn man jetzt von jedem Baustein dieses komplizierten Doppel Bruchs weiß was passiert die Folge konstant 1 gegen 1 die Folge 2 durch n geht siehe oben gegen 0 3 durch ein Quadrat geht gegen 0 1 geht gegen 1 3 durch im Quadrat geht gegen 0 und das heißt wir können uns wir können uns das jetzt zusammenbauen nachdem Teil des das was wir gemacht haben und das ist immer die über das Mittel der Wahl Kürze durch die höchste Potenz so also nehmen wir zum Beispiel den Zähler wir wissen die Folge konstant 1 geht gegen 1 die Folge 2. ich in geht gegen 0 die Folge 3 dich in geht gegen 0 es werden sie den Teil I von Biel das sagt Ihnen 1 +plus 2 durch n +plus 3 dich im Quadrat geht gegen einzelne gegen 1 +plus 0 +plus 0 und wenn die Summe von 3 , gelten folgende gegen die Sonne der Grenzwerte das Gleiche machen Sie mit dem Zähler also wissen die Folge 1 geht gegen 1 sie wissen sie Folge 3 dich im Quadrat geht gegen 0 im Prinzip wissen sind bisher nur dass die Freude einzig ein Fahrrad gegen 0 geht das im Matai gemacht nennen Sie B i dann geht auch Dreilich im Quadrat gegen 0 was gegen dreimal 0 geht also Prinzip steckt hier noch allen BEI drin die oben auch kann soll sehen Sie die beiden zusammen wieder mit B I dann haben sie 1 durch 1 +plus 3 im Quadrat geht gegen 1 so und jetzt haben sie um das heutige 1 geht und in der Folge die gegen 1 geht die Folge und ist die 0 und 1 ist auch nicht 0 also kriegen Sie mit B 4 4. können Sie das gegen er einst durch 1 =ist gleich 1 geht für in den endlich so kann man sich solche Grenzwerte aus bekannten Dingen zusammenbauen und wo man jetzt durch die höchste Potenz gekürzt wenn sie das gleiche versuchen bei indirekt oben und kriegen sie unendlich +plus unendlich +plus 3 durch einen treiben das oder nicht ich nämlich Hitze nun und auch der zugesagt geht sowieso nicht weil wir ja wissen mich wollen sagt diese ganze Sätze gelten für konvergente Folgen heute im gerade sich konvergent also können sie war nichts aussagen für sind den Ausdruck erst so umbauen da ist alle Einzelteile die das den Kollegen befolgen sind und das erreicht man durch das kürzen vor dem kürzen sind die Einzelteile alle beginnt und nach dem kürzen sind sie Konvergenz nur dass es ein Grund Grund trägt bei rationalen Funktionen in immer kürzen so wie gesagt wir brauchen ein Stapel von Beispielen bekomme dehnte folgen mach ich nach der Pause weiter was normal Pause es wäre schön wenn Zeit wir jetzt mal die über die Nation nach vorne die von dir lassen können und wer noch gekommen müssen Evaluationsbogen braucht die gibt es noch reichlich Nachschub einfach holen und dann der so dann würde ich gerne 2. Hälfte einsteigen und ich mach weiter im Programm wichtige Grenzwerte und der einzige Unterschied zu dem was ich gerade gemacht es ist dass die 5. jetzt
komme ich endlich beweisen will also wenn ich das mal vorsichtig nicht Beispiel sondern Bemerkung also merken 13 nochmal Stapel von ganz wichtigen Grenzwerten die meinen nein Zeit weiß und wenn man sie nicht weiß muss man zumindest wissen dass man sie wissen müsste und dass man sie nachschlagen muss also muss zumindest erkennen so weit den hatten wir doch schon mal und da war was im Skript gucken aber am besten weiß man sehr Wanderzeit und bei einigen wenn sie genug Sachen da gerechnet haben ist es auch das Erste ist noch mal so ne ganze sondern Zuschlag von folgen es sei also AN in er Konvergenz serielle Folge und konvergent gegen den Grenzwert aber warum er und der Grenzwert aber die Folge soll gleichzeitig noch größer gleich 0 sein für alle n aus N warum wenn ich das weil ich vegessen Wurzelbildung Wurzen kabellos positiven reellen Zahlen bilden und zwar geht es um die Wurzel von dem am und dann machen wir gleich alles auf einmal die Pete Wurzel von A 1 und die Aussage hier ist wenn die Folge am konvergiert gegen und ich die Kette wozu bilden kann also 1 größer gleich 0 dann konvergiert auch die Kette Worte von A 1 gegen das was man gerne hätte nämlich gegen die Pete wozu vom Grenzwert von 1 also dem was in indigene endlich Pete Wurzel von a 1 =ist gleich Kette Wurzel von a und das geht für jede vernünftige Wurzeln also für alle P entstehen P gleich einzigste und Sparens Zufall die 1. Wurzel ist einfach diese Zahl selber aber für alle anderen kriegen sie es auch so also ist so zusammen diese war der Grenzwert Satz für die Wurzeln so und jetzt kommt die sogenannte geometrische Folge in ich Mann er und 1 C also sehr Q Generäle Zahl irgendwas und dann definieren wir am als Core aber bisher nicht wert meint sich jenen einzig im Quadrat und ist mittlerweile auch ein Stichwort nennen aber was ist mit 2 hoch N oder mit dem Viertel hoch n und dann kann man sich in dem Fall relativ leicht überlegen
also es 1. hier das als bisschen mühsam aber der detaillierte man sichs überlegt nicht arg schwer nein ist eine Folge konvergent anschaulich wie sieht es aus wenn das Kuvert sehr großes Verdasco wundert ist wenn es 100 auch Ende nur furchtbar divergente Folge so 115 ist verdammt groß er im insgesamt wenn das Q größer als A 1 ist dann ist ein Chorherren einfach out gegen unendlich ab das heißt er werde keine Konvergenz kriegen gleiches gilt wenn das QC kleiner als -minus 1 ist -minus 2 minus 2 hoch N also -minus 2 4 -minus 8 16 -minus 32 64 sehen Sie schon auch ab nicht konvergent wenn dann brauchen nur zwischen -minus 1 und 1 zu gucken also Konvergenz kriegen sie irgendwie im Intervall zwischen -minus 1 und 1 und da kriegen Sie auch Konvergenz jetzt noch die Frage und zwar gegen 0 und jetzt ist die Frage es passiert bei minus 1 und 1 Q gleich 1 dann umso die Folge eines auch einzurennen also 1 1 1 1 1 1 1 das ist verdammt konvergent und Co minus 1 das ist eine Frage die wir auch schon hatten -minus einzurennen also -minus 1 1 -minus 1 1 -minus 1 1 dies divergent sie krumm Konvergenz genau dann n Coup im halboffene dabei zwischen -minus 1 und 1 ist und dann ist der Grenzwert also jenes entnehmen endlich Kuch enden ist dann im Prinzip immer 0 und so in einem fallen wenn wenn Q gleich 1 ist mit dem was die konstant Folge 1 dann kommt 1 raus für alle Zahlen zwischen -minus 1 und 1 ist das ja haben dann braucht der kann das also wenn Sie immer potenzieren geht der gegen 0 der C ist das ganz ähnlich zumindest einen Teil der für alle Co Inc sobald sie wissen dass der Betrag von CO Strickkleider einziges geht es auch gegen 0 für alle Komik Betrag echt größer 1 Haut das Dinge holen dich an und auf dem Einheitskreis ist die Lage komplizierter das sage ich mit großen Namen so dann kommt auch wenn wichtige Frage die uns wieder auf begegnen wird wie sieht es aus mit dem Leben
das n gegen unendlich von Ente Wurzel C also sie ist jetzt einfach mal feste fixe Zahl aus der +plus also nehmen zum Beispiel C gleich 5 wählen Sie die Folge 5 Wurzel 5 3. Wurzel 5 4. wozu 5 5. Wurzel 5 6. wozu 15. zu sie können den Versuch gern machen was rauskommen nehmen sich ein Taschenrechner und hätten sie in die Zahl ein und dann drücken Sie auf Wurzeln Wort für Wort für Wort Wort Wurzel immer wieder was damit berechnen ist die 2. Wurzel 4. Wurzel 8. wozu 16. wo sie 32. Wurzel und so weiter was passiert egal mit was ich da dann sind sie kaum noch 1 der hat das was so ist egal was das war wenn Sie über weiter Wurzeln bilden kommt 1 raus wenn das ganze 1 komplizierter sicher und sich an die n-te Wurzel enden kann also ein 2 zu 2 3. Wurzel 3 Wurzel 4 5. Wurzel 5 6 2 zu 6 dass die Sache nicht mehr so klar und was hier passiert ist sie bei Grenzwert den ich immer haben zumindest wenn es interessante Grenzwerte sind sie haben 2 Kräfte die gegeneinander arbeiten wenn es eng unter der Wurzel des ist groß das macht die Sache sucht den Grenzen nach ähnlich nicht ziehen unser BND Wurzel die wir gerade gesehen habe man die Worte von irgendwas geht immer gegen 1 also es von der Wurzel zieht an der einen Seite von seinem Versuch den Grenzwert groß zu machen und die das Ende brauchte wozu sie dann an Seite von seinem versuchten ganz klein zu machen also versuchten den einzuziehen da ich weiß wer gewinnt mit dem Fall gewinnt das n von der Wurzel also hier kommt auch ein Trost ist tot sorgt das war das 4. Beispiel also das sind einfach Dinge zu merken in die Wurzel von konstante gegeben ein 10. wozu von denen geht gegen 1 jetzt kommen ganz prominentes und das
ist folgende Folge und wer die Wirtschaftsinformatiker werden denn noch steht sie schätzen und lieben lernen die Folge des exponentiellen Wachstums also sprich Zinseszins folge Formel und so weiter und also die Folge die ich Ihnen er her gebracht hab ist 1 plus 1 sich in den Klammern hoch in so und das ist jetzt auch wieder eine Folge also enden sollte hier bitte nicht nur seinen 1. Stern und ich behaupte die Volkes konvergent dann auch dass es ohne taut sie Folge nur sehr Mehr an 2 Stellen entstehen und nun das Ende also das einzig nn wenn sie das ging endlich jagen die das gegen 1 Uhr und wenn das ob das versucht die Sache nach 1 zu drücken und das Buch in oben versucht die Sache groß zu machen und in dem Fall dass sie diesen witzige fehlt es gibt nämlich keins von beiden sollen diese genau bei stark und deswegen landen sie wurde Mitte und man kann ihnen zeigen dieses Volkes konvergent und dann versucht man den Grenzwert auszurechnen und stellt fest kriegt man ich und warum kriegt man ich weiß ich aus stellt der Grenzwert ist irrationale Zahl die hat noch keinen Namen da kommt dann wird daraus aber der davor noch keinen Namen und das muss ein kriegen und das ist die Zeit des also diese Zahl die heißt I und die ist wirklich einfach nur neue eine Zahl mit der die können Sie nicht durch Wurzeln oder Tiere sonst Ausdrücke aber andere Zahl und die ist die Eulersche Zahl und den Effekt der noch häufiger haben was Neues aus und das hat bisher keine Namen Krieg Zeit ein also es die Eulersche Zahl in Zahlen ist ne rationale Zahl aber die fängt an mit 2 , 7 1 8 und so weiter neben P 1 der fundamentale Naturkonstanten so und an der Stelle Sachen Skripten lange Prosa und ich will dazu auch noch kurz was sagen eine wesentliche Warnung wie gesagt also diese sein ganz dieses Beispiel für so für das was man bei Konvergenz ganz oft hat in der vorne stehen nicht mehrere ändern und die Arbeiten gegen Ghana wie das allen hat zu sein Ziel unter im Prinzip ist jedes n gleich stark und sie gleich mächtig nach unendlich und dann gucken was passiert und ein ganz häufiger Fehler wenn man nicht aufpasst und seine Intuition hinterher rennt und nicht und wie gesagt oder ähnliches und intuitiv und Mandaten muss aufpassen ist folgendes ich begründen warum E 1 ist also warum die Folge gegen 1 ist nicht ganz einfach nein zu sicher geht gegen 0 also geht das was in der Klammer steht gegen 1 1 doch immer 1 also kommt 1 raus kann mit der gleichen Argumentation kann ich noch begründen dass das da unbeschränktes und divergiert weil 1 plus 1 sich Endes nämlich immer echt strikt drittgrößter 1 mit Rektor 1 ist dann wir Chorälen dann die Chorherren gegenwärtig also geht es ging endlich bei der Version sind falsch warum sind Sie falsch weil sie teile der ist diskriminierend und zwar schaffen sie künstlich langsam und schnell im 1. Fall den sagen die es geht gegen 1 was aber gemacht denn gesagt einzig in geht gegen 0 und dann haben sie da stehen als auch in immer 1 ist Indiz gegen 1 was wir da gemacht haben ist wir haben das eine Ende mich das beweist sich immer als Vorhut noch unendlich geschickt das das war immer das andere halten wir fest und das eine unendlich ist dann wäre ja das andere n strikt verboten genauso umgekehrt der gewaltige 1. Änderung des und dann das was anderes man festhalten die ich die laufen immer gleichzeitig ja und wenn man das is ne Argumentation die leicht verführt und die man gerne macht und ist einfach furchtbar falsch also immer alle in alle in gleich und keines =ist gleich also sagen würde und jagen sie dich bitte immer gleichzeitig noch unendlich und nicht manche schneller als andere und ihr schönes Beispiel dafür wie man sieht dass die beiden sich in dem magischen Gleichgewicht halten das einzig n versucht die Sachen einzudrücken das hoch n besuchte Sachen aber nicht zu ziehen und rauskommt zum Kompromiss übermitteln dem und dieser Kompromiss See gut damit aber wir werden sehen es noch ganz wichtig und dann ja und schönes Beispiel dafür das Konvergenz manchmal erstaunliche Dinge produziert so ich mach weiter mit Standard Tricks Kniffs und Methoden bei Grenzwerten und das 1. Teil von dem jetzt kommen Beispiel 3 12 das aus und trägt die man einfach mal gesehen haben muss und jene die nicht gesehen hat steht mal wieder Ochs vorm Berg also völlig in den vor folgende Frage Mortsel aus n +plus 1 -minus Wurzel aus enden alle enges natürliche Zahl zur auch hier 2 gegen andere die Kräfte nur was passiert wenn groß wird wenn er groß wird dann wird die 1. Wurzel groß und die 2. Wurzel wird auch groß und dann werden die von einer abgezogen was passiert die sind sich nicht gleich die 1. Wurzeln immer größer als die 2. das heißt differences garantiert immer positiv aber es Tag ist die gleich stark was passiert also muss man man hat wieder das gesundheitlich wollen sie an die Differenz von 2 divergenten folgen kann alles passieren du also ist wieder die schreibe die Folge so irgendwie und indem man sie drauf rum knetet und das lauter konvergent erfolgen da stehen und dann kann man die ganze Zeit an den und hier ist die des folgendes also wenden und
unsere Freude Herr Wurzel 1 +plus 1 -minus Wurzel in und jetzt könnten trägt wie man immer anwendet deswegen sag ich die muss mal gesehen da man sie so der Differenz von Vogt von wo in welchen Wurzeln haben dann ist die Idee immer den 3. Binom für sich arbeiten zu lassen und mit der Summe der Wurzeln zu erweitern also ich schreiben das alles Wurzel n +plus 1 -minus Wurzel allen mal Wurzel 1 plus 1 plus Wurzel allen durch Wurzel n +plus 1 +plus vor CNN es nicht falsch aber gab nicht auf wenn man sich mal gesehen hat nur so warum macht man das was passiert jetzt wenn man so mag man 3. stehen das heißt er steht Wurzel im +plus 1 Quadrat -minus Wurzel in Quadrate und lassen bestehen Wurzel 1 plus 1 plus Wurzel enden so Wurzeln Quadrat ich Betrag als wichtiger betragen minus 1 Minusbetrag N mit Relizane stehen alle positiv also steht der n +plus 1 -minus n durch Wurzel 1 plus 1 plus Wurzel allen beziehungsweise 1 durch Wurzel 1 plus 1 plus Wurzel wir sehen wir schon was passiert es ist nur noch bei den Ladys saubermachen dieser Länder dar Wurzel 1 plus 1 plus Wurzel Ende wird für große m groß also wird 1 durch kleine kommt nur raus das wir jetzt nur noch bei den Ladys saubermachen oder hilft uns wieder unser Sandwich was man will man die Sache größer in dem wir den kleiner machen und wenn da mal nicht kleiner in dem ich aus der Wurzel n +plus 1 fordernde Wurzeln macht man Wurzel allen ist kleiner als Wurzel n +plus 1 also mach ich den Bruch größer wenn ich unten Wurzeln sich Woods Länder setzte sich jetzt hier stehen hat ein halt mal 1 durch Wurzel in sollen und von denen wissen wir das geht gegen 0 das war das Beispiel vorhin 1 durch also das einzig Ende gegen 0 und wir wissen wenn in der Folge gegen 0 geht geht ihre Wurzeln auch geben jetzt geht die Wurzel gingen Wurzel von Grenzwerten Wurzeln und ist nun andererseits ist das sie immer größer gleich 0 war die Belegung von vorhin Wurzel in Versailles ist größer gleich n ist Moslem plus 1 größer gleich Wurzeln ist das größte Lohn das geht auch gegen 0 und dann hilft weder das Sandwich das Szene Krieg die verdienen
damit leben dass n gegen unendlich Wurzel endlos 1 man das schwarze enden ist nur was tatsächlich ja allen sind die beide ziemlich genau gleich schnell der Abstand zwischen Wurzeln +plus 1 und Wurzel wird beliebig klein wenn in Großbritannien so und das ist also diesen Trick sollten Sie sich merken Differenzen von Wurzeln dann wird man in den man mit der Summe der Prozent erweitert zur
nächste Folge nächste Folge ist die geometrische sondern weil die geometrische 3 was sich später nennen werden aber jetzt als Folge wenn jemand widerlegt komplexe Zahl Kuchen ja das war die Folge Kuch in angeschaut und jetzt in der folgende etwas aufwendigere Folge sie neben sich Kukura 1 Kurzweil gut 3 4 Q 5 umso mehr die alle auf also die 1. n +plus 1 Stück du also A 1 A 0 ist einfach 1 A 1 Q der ist 1 +plus Q A 2 x 1 +plus Co +plus Cu Quadrat war 3 ist 1 +plus Co +plus Kupferdraht groß und so weiter das man sehen also das ist 1 +plus Co +plus Cu Quadrat +plus Pisco hoch n was man sie für alle in das n in was relativ klar ist wenn Q was es wir zum Beispiel wenn Q 1 ist der Q gleich 1 dann sofort ablesen was das die Städter 1 plus 1 plus 1 plus 1 einmal da sollte n +plus 1 mal da kommt also n +plus 1 raus was kann für andere Kohle raus was ist ein bitte kann man tatsächlich ausrichten ist gar nicht so schwer unser machen folgenden Trick wir gucken uns mal an was ist 1 -minus q mal ein also was ist 1 wenn Luschkow mal unser am ja ich kann das aus multiplizieren das ist kugelig 0 bis in Ko hochkam 1 -minus Kummer mal die Summe also K gleich 0 bis N Kuch K +plus 1 das wieder eine Situation die wir schon gesehen haben dass ein Teleskop Summe Norderstedt 1 Pluskom Kupferdrahtes QC 3 bis Koren -minus CO -minus Cooper Cotrainer des Kopera Öko 4 -minus bis Q q n +plus 1 das Feld ganz viel weg ja das kann man jetzt wieder verschiedene Weisen sehen am besten nimmt man sich von der 1. Folge den 1. raus und bevor der 1. so mit den 1. von der 2. so mit den letzten und macht einen Index hilft also 1 plus K gleich 1 bis n Q Bocca -minus K gleich 0 bis N minus 1 QC K +plus 1 q hoch n +plus 1 also Gluschkow 1 plus 1 2 minus zur das ich nur von der 1. sowie den 1. Summanden abgespalten von der letzte 2. sowie der letzten Sommer abgesperrt mehr dann ist das 1 -minus Core +plus 1 los Sumelka gleich 1 bis n Ko Hochkar und den 2. die 2. Summe verschiedener jetzt auch so dass sie bei 1 anfängt also von einst dann bis n gute also bleibt übrig 1 -minus Korea +plus 1 und damit kriegen sie die geometrische Summenformel zumindest so
lange Konig 1 ist bei was ich jetzt machen -minus 1 -minus q teilen und werden im Chor ein System darf ich nicht ich 1 ist gut aber wenn Konig 1 ist und das sind ziemlich viele komplexe Zahlen die nicht einsehen dann kriege ich folgendes diese so mir da oben dies immer gegeben durch den entgeht also durch den expliziten Ausdruck eines -minus hoch n +plus 1 durch 1 -minus q gut ist weiß bisschen er gebraten oder geschieden und damit haben wir mehr explizite Darstellung für diese sondern auch hübsche Dame Konvergenz noch nichts zu tun das Ding nennt sich geometrische Summenformel und das heutige mal ganz nützlich nur wenn man auf die weil sie eben ja Na ja Summe durch einen expliziten Ausdruck ersetzen kann aber jetzt normal Konvergenz angucken als habe diese Folge am die diese Summe ist und die Frage ist ,komma geht die und an diese an der Summe selber sieht man das nicht gut ob die konvergiert aber an diese gemittelten Summenformel sieht man es gut weil in der Summenformel steht noch an eine einzige Stelle in so was es mit Core 1 +plus 1 Verein endlich das hängt vom Chor oder das Q R Betrag größer 1 hatten die geht das Ding aber führt Betrag QC kleiner 1 konnte geht es gegen 0 das war die Bemerkung 13 B also so lang dass der Betrag von echt kleiner Einsätze kriegen war das Team Limes in gegen
unendlich am ist nach der Berechnung gerade eben Limes n gegen unendlich von 1 -minus q hoch n +plus 1 durch 1 -minus q so was passiert jetzt das unten das konstantes komme geht gegen 1 +plus q nach den Grenzwert setzen können wir das Schreiben als 1 -minus den Limes n gegen unendlich Chorin +plus 1 durch 1 -minus q Na ja was ist denn wenn Betrag Co kleiner als 1 ist aber gesagt und übergibt diese Potenz gegen 0 also steht ja Einstig 1 bin Ursprung was sie damit zum Beispiel kriegen setzen Sie mal QC Leichenhalle dann finden Sie zum Beispiel folgendes K gleich 0 bis N 1 sich 2 hoch Karren und das es coole hinhalten bocca Inhalt halbhoch Kreis eines sich zwar noch gar also das ist jetzt schon 1 +plus Inhalte +plus Innviertel +plus 1 8. +plus und 16. +plus und so weiter bis 1 durch 2 hoch N nur gesehen da muss ein agieren sie in Ebensee sie in groß machen addieren sie immer mehr zahlen auf aber die Zahl dieser aufaddieren die werden dann irgendwann furchtbar klein und was wir tatsächlich gerade gezeigt haben ist dass das konvergiert Fällen gegen unendlich gegen 1 durch 1 -minus q also gegen 1 durch 1 -minus in Halle 1 -minus halbes in Heilbronn 1 durch Inhalt des 2. die Konvergenz gegen 2 hätte man Anfang auch nicht gesehen und so können dieses Ding wird uns noch wieder begegnen aber Moment ist einsam ,komma fehlen Grenzwert wo man sich wann man muss man ne ganze Menge rechnen bis man hinkommt zu und hab ich würde am Abschluss dieses Abschnitts noch eine Definition kann
und die es im Wesentlichen dar um einfacher über die wegen der Folgen sprechen zu können weil es gibt zum Prinzip der es gibt nach divergente und nicht brav die wegen der Folgen brach die begehrte sind die die einfach er wurde endlich abhauen wir ziel ist es die die zielstrebig sind aber halt nicht in den Grenzwert sondern noch oder wieder nach minus unendlich und sowas wie wir das als auch ändern sich aber nicht entscheiden kann und im Herbst das sind die anderen und ich will jetzt das einfach die den den Namen geben also wenn 7. Folge haben denn er in 10 macht das was jetzt kommt nicht so viel Sinn dann sagt man das diese Folgen stehen divergiert also die divergiert bestimmt nach unendlich und das ist ganz bewusst und verschwurbelte Ausdruck weil ich mir niemals für die konvergiert gegen unendlich folge vorgekommen ich die endlich in die beliebig groß wird dann ist nicht konvergent wer also die geht bestimmt noch unendlich beziehungsweise nach minus unendlich so was bedeutet das jetzt konvektive geht bestimmt nach unendlich jährt sich unendlich beliebig genau nur im großen "anführungszeichen und das heißt sie wächst über alle Grenzen also und zwar ab für alle n also wenn für jede große Zahl C wegen dieses Extra nicht y also für jedes große Ziele wie geht der größer gleich 0 was ISM-Index geben n 0 so dass das größer gleich dem C wird für alle in größter gleichen 0 das genau die gleiche Idee über der Konvergenz das Ding die wird dir bestimmt noch unendlich wenn es aber irgendwann immer oberhalb von jeder Schranke bleibt bzw. wenn sie nach -minus ähnlich haben dann muss dass ein immer kleiner gleich -minus 10 da muss für jede noch so kleine reale Zahl also weit unten nach minus unendlich geht es sehr sehr kleine C muss es 0 geben so dass ein irgendwann und da liegt so und das ist die plädiert bestimmt damit ist der ein führende Abschnitt über Folgen Konvergenz zu Ende und was jetzt kommt ist geht schließt nahtlos an die Frage ist immer eine Frage unbeschränktes weniger wenn Sie folgende Folge 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 der 19. die unbeschränkt aber die die wirklich nicht bestimmt dabei sie werden nie einen Moment finden ab dem sie immer oberhalb von 2 liegt weil es kommt immer mit Ansage nächste 1 ne unbeschränktes wenige unbeschränkt heißt nur es gibt die Partie nach unendlich ab zwischen die wegen bestimmter heißt das Ganze klingt nicht ab ja das sind so die Feinheiten des insofern was gute Fragen wären gute was wir brauchen wenn sie feststellen dabei ich sagst gern nochmal insbesondere weil wir jetzt auch keine Hausübungen haben alles was wir jetzt machen ist fundamental für den nächsten 9 Wochen 10 Wochen also in Mathe 2 dort alles auf diesen 2 Vorlesung auf also gehen Sie nicht dem den Reflex nachzusagen Ortskern Ausübung der das Übungsblatt 13 interessiert mich nicht das Übungsblatt 13 interessiert sie sehr sag ich ihn einfach weil sind das was wir jetzt machen ist Grundlage für alles was kommt so wird und was wir brauchen 10 Kriterien waren Folgen Konvergenz sind und alles was wir bisher haben krank zum Beispiel da dran dass man sich nach Definition Konvergenz nachweisen wollen müssen Sie immer schon irgendein Oracle haben dass der Vermutung gibt was da wohl rauskommt das hat man im Allgemeinen nicht ja sie wie sie es heute da kann man schnellster also kann man mit dem ich die Methoden zeigen dass die Konvergenz aber gegen das wissen sie einfach nicht a priori und was sie brauchen sind Kriterien die ihnen Konvergenz Aussagen geben ohne dass sie auch vorher irgendwie eine Idee haben was der Grenzwert sein könnte damit hat Definition gehen wollen müssen Sie über das kennen und das 1. solche wichtige Kriterium arbeitet mit Monotonie deswegen müssen uns jetzt auch erstmal wieder auf er einschränken in c macht Monotonie keinen Sinn weil sie die Zahl nicht sortieren können also monotone folgen was heißt das das wenn wir uns mehr jene Folge hier jetzt die Begriffe so einig ich relativ naheliegend war man dann so eine Folge monoton wachsend Na ja wenn jedes Folge
gelingt größer gleich seinem Vorgänger ist also wenn 1 plus 1 größer gleich 1 ist für alle in Aussendungen danke .punkt man für jedes Endes Folge geht größer ist als das davor dann heißt es die monoton wachsend entsprechen wenn sie auch die Definition vermodert unfreiwillig komisch finden dies genau die gleichen damit hier keine gleich nur wenn jedes Volk die kleines als sein Vorgänger dann haben sie monoton fallend und schließlich nennt man Volk einfach nur monoton wenn Sie das eine oder das andere ist also wenn am entweder monoton fallend oder monoton wachsend ist das ist einfach nur kurz sprecht dass man nicht immer sagen muss nur von Feind oder monoton wachsend sah das ist relativ denk ich relativ nachvollziehbare Definition so war Na und die Definition macht eben nur sehen in der reellen Zahlen bei den komplexen Zahlen ist kein kleiner gleich es serielle Folge haben die immer größer wird dann man sie monoton wachsen wenn sie immer kleiner wird dann heißt monoton frei so und jetzt kommt ein ganz wesentliches Konvergenzkriterium oder Vorteil von denen ist wie gerade schon angesprochen der das sie um dieses Kriterium anzuwenden noch überhaupt keine Vermutung haben brauchen wurde ganz was der Grenze ist und das man sich Monotonie Kriterium und sagt ihnen wenn sie ihre Erfolge haben in und von der wissen Sie dass sie es gibt 2 Möglichkeiten nach oben beschränkt und monoton wachsend
ist die 2 sachen brauchen sind sonst stelle sich mal vor was sie als Folge machen würden wenn ihre wenn die Reglementierung ist dürfen müssen warum beschränkt sein und sie müssen monoton wachsend er Sie aber los und sie dürfen oder größer werden zudem damit ich beliebig größer werden weil irgendwo sehr dicke Dame also ich so machen dass der Deckel sich immergrüne oder aber sie kann nicht billig ist dann müssen immer korrigiert nachdem das all-Sie-können-essen oder zittern kleinen hätte dann können sie sich was monoton sein muss und sie kommen täglich raus ich gehe ich sie müssen kommentieren das sagt der Satz Mehr also wenn sie nach Meer Folge nach unbeschränkte so monoton wachsend 1 die Konvergenz das gleiche können Sie natürlich genauso nach unten machen also wenn die Folge nach unten beschränkt ist und monoton fallend dann ist ja auch keine gleich Überlegung da sie wolle das Folge kann verhindern zu konvergieren aber sie müssen oder Tonfall und dürfen nicht unter minus 27 fallen das Problem nur und das kriegen Sie auch nicht auf gelöstes Problem sondern sie müssen einfach konvergieren Show das beweisen noch ich weiß nur nur die eine Hälfte also Beweis in wenn sie nach oben beschränkt so monoton Fall wenn wir wachsen dann Konvergenz das andere kann man entweder genauso machen oder man guckt sich statt eine Folge -minus 1 an wenn ein Becks dann -minus 1 und umgekehrt 2. Möglichkeit also beweisen jede nach oben
beschränkte nur Marathon wachsende Folge ist kann er den nur wenn sich überlegen wir brauchen dazu wirklich nicht zu wissen wo wogegen für das Befolgen nachweisen dass sie nach beschränkt ist und sie müssen nachweisen dass die Mode vom wachsendes das ist sie nicht wissen wo die Welt also man dem unsere Folge her also am sein monoton wachsend und nach oben beschränkt T wenn Sie nach oben beschränkt ist und das ist der entscheidende Punkt dann gibt es es Supremo der Vollständigkeit Aktion 7 sind die Folge die Folgen als Summe wenn es denn nach oben beschränkt ist dann müssen denn Prägung haben dann dazu bringen wir mal stellt sich nämlich aus dieser Prämisse Grenzwerte so was wir zeigen wollen ist diese Folge konvergiert dann gegen also selbst und größere 0 7 der 1. Satz von Konvergenz Beweis und müssen uns anschauen was mit dem Abstand von 1 zu 1 das A ist das so Prägung der ein also die kleinste obere Schranke der in und dann kommt immer das klassische Argument wenn sie so Bremer zu tun haben wenn sie jetzt von dem das Epson abziehen dann kann das keine obere Schranke mehr sein weil er ist ja schon die kleinste und -minus Apps kleiner also ist das keine obere Schranke der Menge am MIT in aus ist Standard trägt wenn sie es mit Audrey zu tun haben so was bedeutet dass mir das keine obere Schranke ist heißt das irgendwas aus der Menge muss oberhalb von aber dass er die also gibt es dem Index er 0 so dass das am 0 größer ist als das selbst wenn es keine obere Schranke also gibt es irgendein zeigen nicht ist oder nicht trotz des eine obere Schranke für also haben sie ein 1 0 so dass das da drüber liegt und jetzt kommt das pro Pech für die Folge dass sie monoton sein muss und das bedeutet wenn sie einmal drüber liegt dann kommt sie nicht mehr runter wissen 1 0 ist größer als Anwender selbst die lauern für alle n größer gleich in 0 haben sie dann war es das alles selbst ist kleiner als 1 0 die Folge dass Motor und wenn das n größer als das er 0 ist dann muss das ein größer gleich 7 1 0 sein das ist die Monotonie der Folge wir monoton wachsend das AN ist aber kleiner als das weil das also so Beziehungen über aller in also sind alle 1 kleine gleich an aber wiederum ist banaler Weise kleiner als Aminta +plus y soll sehen Sie auf beiden auf allen Seiten ab dann kriegen Sie -minus y ist kleiner als 1 -minus aber ist kleiner als +plus y und das bedeutet nichts anderes als Betrag ein -minus aber ist kleiner als y und das hatten wir für alle in größter gleich in und an und das ist nix anderes alles Konvergenz der Folge 1 gegen an der des Ärzten größer 0 1 1
1 0 gefunden so dass für alle Indizes größer gleich 0 der Abstand von der NSA kleiner selbst am Herd so und dieses diese Methode noch nochmal hat den großen Vorteil dass sie nicht wissen müssen dass der Grenzwert ist und das Ganze kann man an einem glaub ich relativ eindrucksvollen Beispielen mal
anwenden also Beispiel 3 16. und was wann sie anschauen es wir rekursiv definierte Folge Rekursionen werden sie wahrscheinlich schon mal gesehen haben es dem ein oder anderen kommt oft von Zeit zu Zeit in der Informatik mal vor ja und was heißt Rekursion sie geben den 1. Wert vor und das ist jetzt jedes an des 3. Wurzel 6 so bezahlt und dann geben Sie an wie das 1 plus 1 aus dem immerhin berechnen und das heißt hier in diesem Fall sage ich Ihnen 1 plus 1 ist 3. Wurzel aus 6 +plus 1 EN aussendet und damit haben sie die ganze Folge beschrieben Weise immer das rekursiv ausrichten kann so also das heißt dann da mal die 1. 2 noch ausrechnen A 1 bis 3. Wurzel aus 6 +plus 3. Wurzel aus 6 A 2 ist 3. Wurzel aus 6 +plus 3. Watzl aus 6 +plus 3. Wurzel aus 6 sie sehen es Gewürze Folgejahr hat was er 17 schreib ich es nicht nennen sieht total akademisch aus ist es nicht solche voll kriegen sie laufen wie gesagt Rekursion das sind Informatiker liebes Kind ja aus guten Gründen weil wann immer sie zum Beispiel was ein Näherungsverfahren laufen lassen wann immer sie irgendein komplizierten Ausdruck iterativ nähern kriegen Rekursion es sich auch nicht anders vermeiden sie rechnen immer den nächsten Währungs Schritt aus dem Wissen des vorhergehenden Währungs Schritts aus das ist ne Rekursion Herr Rekursionen tauchen also ständig auf und so Zeug hat man also ständig irgendwelche errungen hatte so und die Frage ist jetzt konvergiert das wogegen auch die Erde antworten wurde die Kriterium und was macht man denn also ich mach das heut nicht mehr komplett durch ich sagen dass die Idee ist also wir zeigen Konvergenz mit dem Monotonie Kriterium und das macht man indem man man was muss man tun man zeigt 2 Dinge 1. wir zeigen für alle n aus N bleibt diese Folge immer ist kleiner als 2 wenn das müssen wir zeigen dass es der 1. Schritt könnte nach zeigen sie der Mächte als 15 ist ist nur leicht erstaunlich leicht zu sagen sie kleiner als 2 also zeigen wir das und zweitens zeigen sie das Ding ist monoton wachsend also für alle n aus N gilt 1 plus 1 ist größer als ein Ende wir also am See noch immer trennt um wachsen das Volk Konvergenz und jetzt kommt nämlich
das Mirakel Sansone konvergent Erfolge von der wissen sie jetzt dass sie konvergent ist und wenn wir das haben dann kriegen sie plötzlich den Grenzwert vor also ganze können sie nicht vorher an sie müsse 1. Konvergenz nachweisen wenn sie die haben dann können sie plötzlich den Grenzwert und wie das geht verrate ich ihn am Freitag zu heute Dank für die Aufmerksamkeit
Folge <Mathematik>
Betrag <Mathematik>
Dreiecksungleichung
Reihe
Biprodukt
Bogen <Mathematik>
Richtung
Summe
Index
Ungleichung
Betrag <Mathematik>
Dreiecksungleichung
Analysis
Konstante
Positive Zahl
Folge <Mathematik>
Quadrat
Ungleichung
Betrag <Mathematik>
Quotient
Einmaleins
Aussage <Mathematik>
Gleichung
Biprodukt
Zahl
Folge <Mathematik>
Momentenproblem
Betrag <Mathematik>
Hochrechnung
Summe
Folge <Mathematik>
Ungleichung
Betrag <Mathematik>
Quotient
Grenzwertberechnung
Polynom
Quadrat
Folge <Mathematik>
Exponent
Natürliche Zahl
Biprodukt
Physikalische Theorie
Grenzwertberechnung
Summe
Mittelungsverfahren
Folge <Mathematik>
Quadrat
Exponent
Kettenregel
Reelle Zahl
Rationale Funktion
Hitze
Bruch <Mathematik>
Zahl
Grenzwertberechnung
Betrag <Mathematik>
Kraft
Einheitskreis
Zahl
Grenzwertberechnung
Summe
Quadrat
Betrag <Mathematik>
Ende <Graphentheorie>
Physikalischer Effekt
Natürliche Zahl
Rationale Zahl
Kraft
Irrationale Zahl
Fundamentalkonstante
e <Zahl>
Zahl
Ausdruck <Logik>
Grenzwertberechnung
Index
Summe
Quadrat
Summand
Komplexe Zahl
Algebraisch abgeschlossener Körper
Kreis
Komplexe Ebene
Summe
Momentenproblem
Menge
Exponent
Betrag <Mathematik>
Berechnung
Inhalt <Mathematik>
Zahl
Mathematische Größe
Komplexe Ebene
Folge <Mathematik>
Ende <Graphentheorie>
Momentenproblem
Reelle Zahl
Aussage <Mathematik>
Gleitendes Mittel
Zahl
Summe
Index
Vollständigkeit
Folge <Mathematik>
Punkt
Obere Schranke
Betrag <Mathematik>
Menge
Gruppenoperation
Supremum <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Rekursion
Näherungsverfahren

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Konvergenz
Serientitel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 26
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/33618
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2012
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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