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Von Determinanten und der CRAMERschen Regel - Matrizenschreibweise eines LGS

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Willkommen zum Rechenkurs. Mein Name ist Dr. Lauth. Heute geht es ein weiteres mal um lineare Gleichungssysteme (LGS), Wir haben gesehen, dass wir
einfache Gleichungen mit mehreren Unbekannten mit dem Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren lösen können. Wir haben gesehen, dass kompliziertere lineare Gleichungssysteme erfolgreich mit dem Gaußschen
Eliminationsverfahren angegangen werden können. Heute werden wir ein weiteres Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme kennen lernen: das Cramersche Verfahren.
Weiterhin werden wir Matrizen und Determinanten etwas näher beleuchten. Bei mehreren Gleichungen mit mehreren Unbekannten ist es sinnvoll, diese in der Art und Weise zu ordnen, dass die Unbekannten auf der linken Seite stehen. Wir können dieses Gleichungssystem
nun auch in Matrizenschreibweise formulieren: Wir multiplizieren dann eine Koeffizientenmatrix (grün) mit dem Vektor der Unbekannten (x1 x2) und erhalten (rechts in rot) den Ergebnisvektor (Inhomogenitätsvektor). Für ein einfaches Beispiel mit zwei
Unbekannten sieht dies wie folgt aus: wir formulieren die beiden Gleichungen und transformieren in eine Matrizenschreibweise. (1 1 -1 2) ist die Koeffizientenmatrix (5 4) ist die Ergebnismatrix (Inhomogenität).
Diese Schreibweise kann für beliebig viele Unbekannte
erfolgen: Bei vier Ungekannten werden vier unabhängige
Gleichungen benötigt - entsprechend erhalten wir eine 4 x 4 Koeffizientenmatrix und einen Vierzeilen-
Ergebnisvektor (Inhomogenität). Hier ist das lineare Gleichungssystem, welches wir für die Stöchiometrie-Aufgabe aufgestellt haben. Wir können die 4 Gleichungen zu dieser Koeffizientenmatrix und zu diesem einfachen Ergebnisvektor (1 0 0 0) zusammenfassen. Mit der Cramerschen Regel
kann man aus dieser Form des linearen Gleichungssystems (LGS) in einfacher Weise die Lösungen ermitteln. Bevor wir die Cramersche Regel besprechen, wollen wir noch einige Worte über Matrizen und Determinanten verlieren: Eine
n x n Matrix kann als Abbildungsmatrix gesehen werden. Ähnlich wie eine Funktion aus einem Element einer
Definitionsmenge in ein Element einer Wertemenge umformt, überführt eine Abbildungsmatrix einen Vektor (x1 x2) in einen Vektor (b1 b2). Wenn wir auf die Ortsvektoren (schwarz), die zu diesem Dreieck gehören, die Abbildungsmatrix (0,5 0 0 0,5) anwenden, erhalten wir andere Vektoren (rot) die ebenfalls ein
Dreieck aufspannen. Wir haben eine Streckung um den Faktor 0,5 durchgeführt; die Abbildungsmatrix ist charakteristisch für eine Streckung. Wenn wir auf die Ortsvektoren dieses Quadrates die hier grün gezeichnete Abbildungsmatrix anwenden, entsteht daraus diese
Figur. Tatsächlich ist diese Art Abbildungsmatrix charakteristisch für eine Drehung. Wir können im Prinzip beliebige Abbildungen durch Matrizen darstellen,
zum Beispiel hier eine Scherung. Das Ganze funktioniert auch im 3- und n-dimensionalen Raum mit 3 x 3 oder n x n Matrizen. Wir wollen hier nicht weiter in die Matrizenrechnung einsteigen. Mit der Anwendung einer Matrix als Abbildungsmatrix lässt sich die sogenannte Determinante besonders gut geometrisch
verdeutlichen. Jede n x n Matrix besitzt eine Determinante: Eine Zahl, eine Kenngröße, die der Matrix
zugeordnet ist. Abgekürzt wird diese Funktion entweder mit "det" vor der Matrix oder mit Betragsstrichen. Die
Determinante ist eine reine Zahl, kann jedoch (im Unterschied zum Betrag) sowohl positiv als auch negativ sein. Determinanten sind nur von quadratischen Matrizen definiert, hier zum Beispiel die Determinante einer 3 x 3 Matrix. Die Determinante lässt sich sehr schön anhand der Abbildungsmatrix visualisieren: Tatsächlich stellt die Determinante den Faktor dar, um den die abgebildete Figur größer oder kleiner ist
als die ursprüngliche Figur. In diesem Beispiel sind abgebildete und ursprüngliche Figur gleich groß, d.h.
die Determinante dieser Matrix ist gleich 1. In diesem Fall ist die Abbildung um den Faktor vier kleiner
als die ursprüngliche Figur. Das bedeutet, die Determinante der Transformationsmatrix hat den Wert 0,25. Die Maßzahl für die "Größe"
einer Figur ist das "n-dimensionale Volumen", d.h. im zweidimensionalen benutzen wir die Fläche. Selbstverständlich gibt es auch Rechenvorschriften zur
Ermittlung der Determinante; für eine 2 x 2 Matrix lautet
sie Man multiplizierte die Koeffizienten, welche in der Diagonalen von links oben nach rechts unten stehen und werte das Produkt positiv. Die Koeffizienten,
die in der Diagonale von links unten nach rechts oben stehen, werden multipliziert und von dem
ersten Produkt abgezogen. Zur Übung berechnen wir die Determinante der hier gezeichneten Koeffizientenmatrix (grün) Nach der Diagonalregel rechnen wir 1 x 2 minus (-1) x 1 und erhalten den Wert 3 für
die Determinante. Als Abbildungsmatrix würde diese Matrix die Fläche um den Faktor 3 vergrößern. Die
Regeln zur Berechnung der Determinanten größerer Matrizen werden sehr schnell komplizierter. Für die Determinante einer 3 x 3 Matrix lautet sie wie hier notiert. (mit Hilfspfeilen zur Ermittlung der Summanden) Wir brauchen uns diese Regeln aber gar nicht zu merken, denn
es gibt eine Möglichkeit, die Determinante einer großen Matrix auf die Determinanten von kleineren Matrizen zurückzuführen. Wir benötigen dazu den Entwicklungssatz von Laplace.
Wir können damit z.B. die Determinante einer 3 x 3
Matrix auf drei Determinanten von 2 x 2 Matrizen zurückführen (sogenannte Unterdeterminanten D11, D12 und D13). Die genaue Rechenvorschrift von Laplace
ist hier gegeben. Tatsächlich müssen wir die
Unterdeterminanten mit den entsprechenden Zeilen- oder Spaltenkoeffizienten multiplizieren und dann noch das Vorzeichen nach einer einfachen Rechenregel ((-1)^n+m)
ermitteln. Wir wollen die Unterdeterminanten dieser 3 x 3 Determinante nach der ersten Zeile entwickeln (nach der Zeile a11, a12, a13). Wir erhalten entsprechend
drei Unterdeterminanten: Wenn wir die Unterdeterminante
zum Element a11 erhalten wollen, streichen will die Zeile und die Spalte dieses Elementes; was übrig bleibt, ist die Unterdeterminanten D11.
Entsprechendes gilt für die Unterdeterminante D12 - hier
streichen wir die erste Zeile und die zweite Spalte - was übrig bleibt, ist unsere Unterdeterminante. Schließlich können wir auch noch die erste Zeile
und die dritte Spalte streichen und erhalten die Unterdeterminante D13.
Besonders sinnvoll ist das Laplacesche Verfahren dann anzuwenden, wenn sehr viele Nullen in einer Zeile oder Spalte stehen, denn damit fallen die entsprechenden Unterdeterminanten weg.
Wir wollen diese 4 x 4 Determinante nach der ersten Zeile entwickeln, das heißt wir erhalten dann daraus
vier 3 x 3 Determinanten. Die (rot gekennzeichneten)
Koeffizienten, nach denen wir entwickeln, stehen als Faktoren vor den Unterdeterminanten. Die erste Unterdeterminante erhalten
wir, indem wir die oberste Zeile und die linke Spalte streichen. Die zweite, dritte und vierte Unterdeterminante erhalten wir entsprechend, wenn wir nacheinander die weiteren Spalten streichen. Wir erhalten dreimal den Faktor Null, das heißt wir müssen nur noch mit
der linken Unterdeterminante weiterrechnen. Diese entwickeln wir nach der zweiten Spalte und erhalten drei 2 x 2 Determinanten. Die Koeffizienten stehen als Faktoren vor den Unterdeterminanten. Wir streichen die zweite Zeile und nacheinander die erste, zweite, dritte Spalte. Auch hier fallen zwei Unterdeterminanten
weg, letztendlich müssen wir nur noch eine
Determinante der Größe 2 x 2 berechnen. Dazu
wenden wir die einfache Diagonalenvorschrift an: (0 x (-1) minus - 2 x (-1)) - mit dem Faktor 2 davor ergibt sich 4 als Wert der Determinante dieser Matrix und der Ausgangsmatrix.
Besonders angenehm sind also die
Determinanten mit vielen Nullen als Elemente, denn diese Determinanten sind leicht zu berechnen. In
der Tat gibt es auch Möglichkeiten, Determinanten umzuformen - üblicherweise, um diese Nullen zu erzeugen. Wir dürfen zum Beispiel die Zeilen einer Determinante
vertauschen - dabei ändert sich ihr Betrag nicht, lediglich das Vorzeichen kehrt sich um. Wir dürfen
bei Determinanten Zeilen oder Vielfache von Zeilen voneinander abziehen, ohne dass sich der Wert der Determinante ändert. Schließlich dürfen wir auch
Faktoren aus Zeilen von Determinanten "ausklammern", d.h.
wir dürfen diese als Faktor vor die Determinante stellen. Auf diese Art und Weise kann es gelingen, immer mehr Nullen in einer Determinante unterzubringen. Im Extremfall erhalten wir die "Superdiagonalenform" der Determinante, das bedeutet, eine Determinante, in deren unterer linker Hälfte nur noch Nullen stehen. Solche Determinanten lassen sich
sehr einfach berechnen; wir müssen einfach nur die
Elemente der Hauptdiagonale multiplizieren. Wir wollen
die Determinante dieser 4 x 4 Matrix berechnen. Wir wollen nicht aufwendig wie vorhin nach Laplace entwickeln, sondern wir wollen versuchen, die Superdiagonalenform
zu erhalten - wir wollen gezielt Nullen in der unteren linken Hälfte der Determinante erzeugen. Dazu
ziehen wir zunächst die erste Zeile einmal von der zweiten Zeile ab und dann die erste Zeile dreimal von der dritten Zeile ab. Jetzt ziehen wir die zweite
vierte Zeile dreimal von der dritten Zeile. Jetzt Zeile dreimal von der dritten Zeile ab und die
vertauschen wir die dritte und vierte Zeile (wobei wir nicht vergessen dürfen, ein negatives Vorzeichen einzufügen). (der Einfachheit halber oben links ergänzt) Jetzt haben wir die Superdiagonalenform erreicht
und müssen einfach nur die Hauptdiagonale multiplizieren: (-1) x (-1) x (-1) x (-5) ergibt (+5). (+5) ist der Wert der Determinante dieser Matrix. Jetzt, da
Sie wissen, wie man eine Determinante berechnet, kommen wir zur Cramerschen Regel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems. Wir haben unser LGS - unser lineares Gleichungssystem - in die Matrizenform umgeformt. Die Cramersche Regel besagt nun, dass sich die Lösung xi (also x1, x2, x3, etc.) des Gleichungssystems erhalten lässt, wenn man einen Quotienten wie folgt formuliert: Im Nenner des Bruches steht die Determinante der Koeffizientenmatrix; im Zähler des Bruches steht
eine Hilfsdeterminante, bei der jeweils eine Spalte der Koeffizientenmatrix durch den Ergebnisvektor
substituiert wurde. Für ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten sieht das wie folgt aus: Wenn
wir x1 erhalten wollen, dividieren wir durch die Koeffizienten-Determinante; im Zähler steht die Koeffizientendeterminante, bei der die erste Spalte durch den Ergebnisvektor substituiert wurde. Für x2 sieht der Nenner genau so aus, aber beim Zähler wurde jetzt die zweite Spalte durch den Ergebnisvektor substituiert. Für x3 sieht die Formel entsprechend aus. Wir wollen unser einfaches Gleichungssystem mit den 2 Unbekannten mit der Cramerschen Regel lösen.
Hier stehen die ursprünglichen Gleichungen - hier die Umformung in die Matrizen-Schreibweise.
Nach Cramer erhalten wir die Unbekannten x1 und x2, indem wir jeweils Quotienten formulieren, in deren Nenner die Determinante der Koeffizientenmatrix
stehen und in deren Zähler die entsprechende Hilfsdeterminanten zu finden sind.
(1 1 -1 2) ist die Koeffizientendeterminante. Für x1 wurde die erste Spalte substituiert, für x2 wurde die zweite Spalte substituiert. Wir müssen also diese drei Determinanten ermitteln. Weil es sich um 2 x 2 Determinanten handelt, können wir die einfache Diagonalen- Rechenregel anwenden: 1x1 - (-1)x1 = 3 5x2 - 4x1 = 6 und 1x4 minus (-1)x5 gleich Wir setzen die
Determinanten in die Cramerschen Quotienten ein, erhalten x1 gleich 6/3 oder 2 und x2 gleich 9/3 oder
3. Während das einfache Einsetzungsverfahren oder Gleichsetzungsverfahren lediglich für 2 bis 3 Unbekannte sinnvoll anzuwenden ist, kann man das Cramersche Verfahren für beliebig große lineare Gleichungssysteme
anwenden. Wir betrachten noch einmal unsere Aufgabe aus der Stöchiometrie: hier erhielten wir eine 4 x 4 Koeffizientenmatrix. Wir wollen dieses
Gleichungssystem nach dem Cramerschen Verfahren lösen. Aus Zeitgründen wollen wir nur die Unbekannte x2 ermitteln. Im Nenner des Cramerschen Quotienten steht die Koeffizientendeterminante. Im Zähler des Cramerschen Koeffizienten wird die zweite Spalte der Koeffizientendeterminante durch den Ergebnisvektor
substituiert. Diese beiden Determinanten dürften Ihnen bekannt vorkommen, denn wir haben sie im Laufe der
heutigen Vorlesung schon berechnet: x2 wird demnach 5/4 oder 1,25. Wir fassen zusammen: Insbesondere größere
lineare Gleichungssysteme sollte man in die Matrizenform überführen und dann zum Beispiel mit der Cramerschen Regel oder mit dem Gaußschen Verfahren lösen. Für die Anwendung der Cramerschen Regel müssen wir die
Determinanten von Matrizen berechnen. Wir haben die Rechenregel zur Berechnung der Determinante einer 2 x 2 Matrix diskutiert, und wir haben gesehen, dass wir kompliziertere Determinanten
vereinfachen können, vor allem, indem wir sie in die Superdiagonalenform überführen. Als Lösungen eines linearen Gleichungssystems nach Cramer erhalten wir Quotienten.
In den Nennern der Quotienten stehen immer die Determinanten der Koeffizientenmatrix;
in den Zählern stehen die Hilfsdeterminanten, bei denen die jeweiligen Spalten der Koeffizientenmatrix
durch den Ergebnisvektor substituiert wurden. Danke für die Aufmerksamkeit.
Variable
Besprechung/Interview
Gleichungssystem
Gleichungssystem
Variable
Matrix <Mathematik>
Determinante
Verweildauer
Gleichungssystem
Eliminationsverfahren
Gleichungssystem
Variable
Koeffizientenmatrix
Gleichungssystem
Vektor
Variable
Koeffizientenmatrix
Besprechung/Interview
Gleichungssystem
Matrix <Mathematik>
Koeffizientenmatrix
Determinante
Gleichungssystem
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Darstellungsmatrix
Besprechung/Interview
Vektor
Dreieck
Matrix <Mathematik>
Quadrat
Faktorisierung
Darstellungsmatrix
Abbildung <Physik>
Besprechung/Interview
Drehung
Dreieck
Sinusfunktion
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Darstellungsmatrix
Determinante
Besprechung/Interview
Matrix <Mathematik>
Faktorisierung
Matrizenmultiplikation
Betrag <Mathematik>
Darstellungsmatrix
Determinante
Besprechung/Interview
Faktorisierung
Matrizenmultiplikation
Determinante
Abbildung <Physik>
Besprechung/Interview
Statistische Maßzahl
Determinante
Matrizenmultiplikation
Determinante
Besprechung/Interview
Fläche
Volumen
Vorzeichen <Mathematik>
Besprechung/Interview
Diagonale <Geometrie>
Faktorisierung
Matrizenmultiplikation
Koeffizientenmatrix
Darstellungsmatrix
Determinante
Besprechung/Interview
Fläche
Mathematische Größe
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Determinante
Summand
Besprechung/Interview
Berechnung
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Determinante
Besprechung/Interview
Vorzeichen <Mathematik>
Besprechung/Interview
Determinante
Besprechung/Interview
Besprechung/Interview
Element <Mathematik>
Besprechung/Interview
Determinante
Besprechung/Interview
Null
Faktorisierung
Determinante
Besprechung/Interview
Faktorisierung
Determinante
Koeffizient
Besprechung/Interview
Faktorisierung
Matrizenmultiplikation
Determinante
Besprechung/Interview
Determinante
Null
Determinante
Betrag <Mathematik>
Vorzeichen <Mathematik>
Faktorisierung
Determinante
Vorlesung/Konferenz
Null
Multiplikation
Matrizenmultiplikation
Determinante
Berechnung
Determinante
Null
Multiplikation
Matrizenmultiplikation
Determinante
Besprechung/Interview
Koeffizientenmatrix
Determinante
Quotient
Bruch <Mathematik>
Zahl
Lineares Gleichungssystem
Variable
Vorlesung/Konferenz
Gleichungssystem
Zahl
Lineares Gleichungssystem
Variable
Koeffizientenmatrix
Determinante
Quotient
Gleichungssystem
Termumformung
Determinante
Besprechung/Interview
Zahl
Variable
Determinante
Quotient
Besprechung/Interview
Variable
Koeffizientenmatrix
Quotient
Koeffizient
Besprechung/Interview
Gleichungssystem
Zahl
Determinante
Besprechung/Interview
Lösung <Mathematik>
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Determinante
Quotient
Besprechung/Interview
Berechnung
Koeffizientenmatrix
Determinante
Quotient
Besprechung/Interview
Zahl

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Von Determinanten und der CRAMERschen Regel - Matrizenschreibweise eines LGS
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 42
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17849
Herausgeber Günter Jakob Lauth (SciFox)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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