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Mathematik in der Kryptographie & Gruppen

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also er immer so verändert werden an der TU Darmstadt so gerne mal ein
herzlich willkommen und einen schönen guten Morgen da ich möchte noch einmal eine Ansage die schon übers Nachrichten vor mal alle gegen wiederholen damit es keine Missverständnisse gibt die Verteilung auf die Übungsgruppen klappt weiterhin mau die montags Gruppen sind leer und die dienstags mittwochs Gruppen fallen aus allen Löchern deswegen haben wir jetzt beschlossen das nicht so geht Abgabe findet ab sofort nur noch in der Gruppe statt in der sie Tugan angemeldet sind und nicht mehr in anderen Gruppen und auch nicht per LED das heißt sie geben nicht irgendwo jemand anderen das Blatt mit der bitte dass doch dem anderen tut weil die Hand zu drücken ermittelte Thomas Sprenger anderes zu tun als 300 Blätter von A nach B zu verteilen Mehr also Abgabe findet am Anfang der Übung statt und zwar in der eigenen Übungsgruppen ob sie dann noch in andere muss grobe gehen so sie da nicht die den Rahmen sprengen alles ok aber die Abgabe müssen wir so verteilen sonst haben will die sich tot korrigieren und er hat kein Interesse daran so 1. Frage ja also am Montag können Sie mir sofort wechseln wenn sie nahm unterwegs ist alles gut weil da gibt es Gruppen wo 8 Leute drin sitzen nur da gehen Sie einfach hin und reden mit dementsprechend oder da und umtragen Zugang ist auch kein Problem weil da sind Plätze frei mit aus gut so dann würde ich wieder den Inhalt einsteigen dadurch ihr letztes Mal schon den kleinen Satz von Fermat eingeschrieben das war der Satz 1 16 Uhr der lautete wenn Sie eine Primzahl P haben und für den Satz ist ganz entscheidend dass das eine Primzahl ist wenn sie die Voraussetzung wegnehmen finden Sie innerhalb von 1 Minute in Gegenbeispiele unbezahlten natürliche Zahl aber dann können Sie die Potenz aber auch B wenn Sie sie Modulo P auswerten wollen sehr einfach kriegen das ist nämlich einfach ab und das gilt für alle A und für alle Primzahlen p im Moment Marktes als ja ist halt so bestehen bleiben wir werden sehen dass das ganz ganz wesentliche Folgen hatte im Skript den Beweis dazu drinnen werd ich an der Stelle nicht führen dass man sich gerne anschauen Sommer Beispiel für Induktion ich wollte mir weglassen und eine Folgerung mehr anschauen weil in den die werde ich Ihnen dann auch beweisen also zeigen 1. Cola 1 17 Auslandseinsätzen folgt in den Beweis passiert immer was so Schlussfolgerungen sind mit denen sie üblicherweise zu tun kriegen Beweis von 1 16 is schon bisschen speziell so und was wir jetzt machen wollen es was wenn man aus der normalen Rechnerei kommt wenn man die ganzen Zahlen rechnet oder das modulo Datei banal ist ja wer diese Gleichung auch PS kongruent Arm und OP wenn es doch sehr nahe liegend zu sagen er dann ist er auch PM -minus 1 kongruent 1 ModLoop Modulo P her wir kürzen aus der Gleichungen wo er Vorsicht wenn Sie Gleichungen haben die Modelo sind ist das mit dem kürzen nicht so banal und wenn es dumm läuft einfach falsch und ich will Ihnen einen Fall geben in denen es gut geht und zwar in keine Primzahl ist also dass es gleiche was sowie wie oben P Primzahl aus und jetzt braucht man aber noch und die braucht man wirklich eine wesentliche Zusatz Voraussetzung Display darf diese Zahl an nicht teilen also darf dem Priem Faktor p nicht enthalten denn die braucht man auch und wenn das der Fall ist dann dürfen Sie tatsächlich in diesem Fall mal da oben durch kürzen dann kriegen Sie das auch per -minus 1 kongruent 1 ist Modulo P a r in der ich ja das das falsche ist wenn Penig an teilt sehen Sie ganz einfach indem Sie mal P gleich setzen wir gleich als ich in Verbotene wahlweise geht halt P und wenn sie das machen die gleich an dann ist der Satz da oben der kleine formal immer noch vollkommen richtig da gab es auch keine Einschränkung entsteht der POP es kommt wenn P Modulo P also POP 0 wurden OK und das ist vollkommen richtig POP Taipeh ok aber unten wenn sie gleich 4 Sätzen steht da POP -minus 1 Konkurrent 1 Molo PIN das ist Käse bei POP -minus 1 ist wieder durch Peter heilbar des ist Nummer die geht Mehr wo 5 kommt er nicht vorbei so P hoch 6 ist wieder ich spät heilbar aber in das heißt ,komma 0 Modulo P ich Konkurrent 1 und P 1 also einfach durch kürzen oder draufgucken ist nicht bei solchen modulo Gleichungen und das Corolla sagt geht aber gut wenn das P das nicht teilt so und das heißt der Beweis ist jetzt auch in nicht einfach wir kürzen raus unter Beweis muss jetzt irgendwo ist als irgendwo verwenden das Display das nicht heilt Phonds kann nicht stimmen also schauen sehr gut auf die Finger und 8. Sie drauf dass ich das irgendwo verwende so also was wird klar was wir wissen ist der Firma der kleine Firma von dem wollen loslaufen der Satz 1 16 sagt uns das aber auch P kongruent AS Modulo P das geht auf jeden Fall was heißt dass das heißt sie finden die ganze Zeit K war ja das ist es einfach Definition vom Molo so dass das hoch P ein Vielfaches von P ist gut und der Rest der weiß ab so dass es die Mono Schreibweise umgeschrieben so damit er wir das jetzt wenn wir das ein bisschen um wir sehen bringen wir
das Plus von rechts auf die linke Seite und Klammern ein aus den haben wir a mal a hoch P -minus 1 -minus 1 ist K mal P sicher dass a das Plus allerdings gebracht steht da auch per -minus A und dann hab ich noch ausgeklammert so ja jetzt steht da schon dass auch P -minus 1 -minus aber das wollen wir haben nur auch per -minus 1 zur kongruent einzahlen es wird nur noch den Rest der Welt schaffen und das so nutzen ist die Voraussetzung aus dass das P das nicht teilt also PS eine Primzahl so dass P A nicht teilt und das bedeutet was für den GGT von den beiden dies kein Teil davon aber er hat nur die beiden Teile P und eines weißen Prinz 1 also muss der größte gemeinsame Teiler von b und a 1 sein in der nur die Teile des uneins also keine der größte gemeinsam nur einzahlen sein wie kann er nicht sein also es 1 um zwar und jetzt kommt die Übungsaufgabe 1 15 die in der letzten Vorlesung ihnen gegeben hat das sagte 1 15 ins 15 sagt wenn sie 2 Zahl also den See 1 15 war wenn sie wenn der GGT von 2 Zahlen a und N 1 ist gleich 1 und sie wissen da ist diese Zahl n das Produkt von A und B teilt und der sie von er nun als 1 dann teilt das Ende schon das das war die Übungsaufgabe 1 15 wenn Sie demnächst auch Übungsblatt hinnehmen so was haben wir jetzt hier wir haben also müssen die Zeit ihr gucken Art hat mal auch die -minus 1 plus 1 ist Kamal mal P das heißt die Zahl p Teil dieses Produkt auf der linken Seite nur Zeit das Produkt aber auch die -minus 1 -minus 1 nur er aber die GT von A und PS S 1 das heißt es PIN muss schon die Klammer Dateien also nach der Übungsaufgabe 1 15 kriegen wir das P das P teilt das aber auch P -minus 1 -minus 1 also diese teile Stern mir bedeutet Peter das Produkt an mal auch B -minus 1 -minus 1 wie der GGT von wird als 1 also muss das P die Klammer Teil sagen Na damit dem Arbeiten Prinzip fertig weil das
bedeutet das aber auch per -minus 1 -minus 1 wenn ich das mod p anschaue was kommt dann raus werden das von P geteilt wird ist das nur und damit haben wir schließlich das aber auch P -minus 1 Konkurrent 1 ist Modulo P und das war genau die Behauptungen in sie sehen einfach nun abkürzen kann ganz schön kompliziert sein und in dem Fall braucht auch Voraussetzungen also da sollten Sie sich so ein bisschen Sonne so und so vorsichtig hielt Instant Kopf Dellmensingen Modelo Gleichung haben dann sollten Sie nicht einfach anfangen wie wild in der Gleichung um zu kürzen davon auszugehen die stimmt noch das muss man sich überlegen wann man 14 das geht nicht immer so wie ich was sie jetzt aus dem Abschnitt mitnehmen sollten Sie das was Sie daraus mitnehmen sollte ist dass es den kleinen vermag gibt und Diesel der Sonne Gleichungen Kongruenz gleiche Modulo P 1 gibt immer was der Vorteil dieser Gleichung ist wie so oft sind sie vereint sie macht aus sehr großen Zahlen Modulo P sehr kleinen in dem Fall 1 und nach dem Rechnung einfacher wie letztes Mal schon gesagt wer er und diese Gleichung hier auch die -minus 1 kongruent 1 Modulo P wenn das das penibel dass Peres Einigkeit die wir wir jetzt gleich noch mal verwenden was ich jetzt machen will ist so ein kleiner Ausflug also was jetzt kommt ja es mehr als Anwendung zu sehen denn als weitere das Fortgehen Impfstoff ich will ihnen zeigen dass alles was wir jetzt gerademachen interessante Mathematik ist aber eben nicht nur das sondern durchaus ganz reale greifbare Anwendungen hat das das schöne wenn sie nämlich den die GC also wenn sie den GGT etliche Algorithmus können und wenn sie den kleinen kann haben dann kann ich Ihnen jetzt hier komplett vor Echsen dass der Standard RSA-Algorithmus der Fabrik Kryptographie funktioniert als das was sie alle als PGP oder sonst wie kennen oder nutzen kann ich Ihnen jetzt zeigen wie wieder funktioniert was wir brauchen ist Euklidischer Algorithmus und ist leider vor machen und sie sehen dass es nicht in die mathematische Spielerei sondern das ist er theoretische Informatik allen so und das ist also
der Paragraph 2 des in relativ kurzer Paragraph der ihnen nur zeigen soll was wir hier machen hat auch Anwendungen also Mathematik in der Kryptographie Kryptographie ist ein Bereich wo sie viel Mathematik und vor allem viel Zahlentheorie haben da ist der kleine Firma noch der die einfachste zu hat und was ich Ihnen hier zeigen will ist der sogenannte RSA-Algorithmus ja das wenn Sie vielleicht auch schon mal gehört haben die Abkürzung für Tag denn da die Abkürzung kommt von 3 Nachnamen bei Algorithmus wurde entwickelt von Wahlen oder und wie wir es das ist dass er die ich habe mir das ist das so Leonard Edelmann und war Janis einer so der 1. erfolgreichsten Parity Kryptographie Algorithmen ich erklärs kurz das Grundproblem der Kryptographie ist da so alt wie irgendwie strategische ist vor allem strategischen Militär Überlegung der Menschheit also irgendwie 3 4 Tausend Jahre alte sie haben 2 Leute die wollen sich mit Nachricht zukommen lassen der eine dem andern und dazwischen steht irgendjemand der Versuch diese Nachricht abzufangen und bei den Fotografen und gibt es da eine sehr einheitliche Nomenklatur dafür es gibt immer ein behauptet genau der hat eine Nachricht und der heißt weil das das dieser Brief da die heißt üblicherweise m oder mehr sind und diese Nachricht soll irgendwie zu es kommen die heißen immer Baron Alice tragen Sie minimal es immer so wahrscheinlich wegen A und B ende soll diese Nachricht legen und ein Lied über die Inkarnation des Bösen die steht dazwischen und versucht diese Nachricht abzufragen und heißt üblicherweise Even wahrscheinlich von vorbringen natürlich ja und es ist also das böse Wesen das versuchten diese Nachricht zu zukommen und da gibt es 100 Tausend Lösungen die sich die Menschheit im Lauf der Geschichte ausgedacht hat um 100 Tausend Strategien von Yves diese Lösung wieder zu knacken und wer sich dafür interessiert ich habe mit sehr viel Spaß gelesen das Buch wie heißt das deutet es kurz auf Deutsch heißt was mit Schlüssel Geheimnis und so weiter von seinen 10 britischer also BBC Wissenschaftsjournalist und deren wirklich schönes Buch über diese ganze Thematik geschrieben von den alten Griechen bis eben zum Algorithmus der und dann mit dem Ausblick auch auf weitere Quanten Computer und sonstige Ideen so und was man jetzt nur machen kann ist natürlich diese Nachricht zu verschlüsseln und das uralte Problem der Kryptographie ist man muss sie verschlüsseln dafür braucht man Beschlüsse Schlüssel müssen Burbulis Baron Alice kennen und wenn man jetzt den Schlüsselaustausch und es dazwischen aber wieder verlor er und die die die geniale Neuerungen Parity Verfahren ist dass man sich darum nicht mehr kümmert sondern das ist dass man den Schlüssel zum Verschlüsseln und den Schlüssel zum entschlüsseln entkoppelt und das ist ein Schlüssel zum Verschlüsseln geht der öffentlich zugänglich ist und mit dem man eben nur Frauen nicht entschlüsseln kann und das geht so lange gut wie wie man wie gesichert ist dass man große Zahlen nicht effizient in der Primfaktorzerlegung zulegen kann dem Moment wo jemand einen schnellen Algorithmus das heißt ein in ja in vernünftiger Zeit arbeitet Algorithmus findet der große Produkte von Primzahlen wieder die Primfaktoren zerlegt ist sich mit RSA dann ist genauso knackbar wie alles andere auch wird niemand niemand garantiert uns dass es nicht von irgendwo passiert ist weil es Forschungseinrichtung der Mathematik gibt die richtig dies in der Zahlentheorie würden dann sind das die Forschungseinrichtung von den vom US-Militär und von anderen Militärs und was da passiert was kann er aber wir hoffen mal dass es noch niemand geschafft das und darauf beruht das ganze Verfahren also das können Kopf haben das kann so können Sachgruppen dass bei dem was kommt an welcher Stelle bräuchte man jetzt mit Primfaktorzerlegung und die ist eben allgemein schwer also wenn die Zahlen große die der Aufwand wir große Zahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen weckst im Wesentlichen nach derzeitigen Verfahren exponentiell mit der Größe der Zahl und das heißt wenn die Zahl groß genug ist brauchen Sie Millionen Milliarden von Jahre um die zu zerlegen und damit ist das System einigermaßen sich an so also wie vom sieht es dieses Kryptographie Verfahren sie brauchen bisschen Vorbereitung das muss es machen also es muss einmal ich folgende Schritte ausführen erstens die Welt 2 große Primzahlen also bezieht muss sie 2 Primzahlen wählen aber sinnvollerweise wählt sie große Primzahlen weil wenn sie kleine Welt dann ist ist leicht zu knacken in der normal P und Q und
bitte schön sollen die beiden nicht gleich sein es wird sich hinkriegen war also braucht sehr große Primzahlen Primzahl Tests auch für große Zahl sind relativ relativ billig das heißt es kann sie auf ihrem Rechner n paar Sekunden erledigen und was sie dann macht sie welche 2 Zahlen aus nämlich sie rechnet die Zahl klein in aus das ist einfach das Produkt von den beiden P und Q und sie rechnet die Zahl groß en aus und das ist das Produkt von P -minus 1 und Co -minus 1 kann sich ausrechnen sie per Kur dränge sie beim zahlen man beachte und das ist das Bild für später wichtige wenn sie ihn oder Großeltern haben kommen Sie damit nicht ein P und Q das die ganze Grundidee aber sie kommt in 1 der in's haben müssten sie um es den Tieren gut zu kommen das Ding in die Primfaktoren zerlegen und das ist eben schwierig oder kostet 10 Paar und Jahr zwar jetzt kommt der 2. Schritt den er ist einmalig machen muss und jetzt kommt da dieser Algorithmus ins Spiel was es jetzt noch braucht ist sie braucht eine Zahl e n die 2 Dinge erfüllen muss 1. musste bitte schön teilerfremd zudem groß en sein also der GGT von ihren den groß en muss einzahlen eine nicht das ist die Zeit die die muss nur das erfüllen also Sie werden Zahl e die teilerfremd dem groß er ist auch das ist nicht so arg schwer ich würde mal sagen dreimal geraten und sie hat mit ziemlich hoher Wahrscheinlichkeit Treffer aber so großen Zahlen werden die Wahrscheinlichkeit dass er gemeinsam mit Heine gibt nein ein bisschen kann man Arten aber ist das kriegt man hin sagen und dann braucht man zu diesem ehem noch ne ganze Zahl nämlich das X und dann haben wir es auch und dieses X muss jetzt eine Gleichung lösen eine Modelo Gleichung nämlich alle die wir jetzt schon gesehen haben 300 zu wollen und zwar suchen Sie nicht zu dass Emmerichs kongruent 1 Essen oder den groß en Mut sie haben ihn sehr groß en wie kommen Sie denn das X das war genau eine Folgerung aus dem euklidischen Algorithmus diese Gleichung ist inhaltlich Algorithmus in Nullkommanix gelöst aber das war das Beispiel 1 14. da ich ihm gesagt wenn sie 200 bedenken Sie dass Ihnen das N sind Heiner fremd also haben die die T 1 oder Namen am Beispiel 1 14 gesehen wenn sie 2 zahlen mit die GT 1 haben dann können Sie diese modulo Gleichung immer mit dem euklidischen Algorithmus löst als Mitarbeiter Kitsch mal Lagos zeugt hat lässt 4 Zahlen klein in groß en also einig 6 kleine groß en P und Q er und das gibt es so und jetzt macht sie daraus n Pawlicki ihren
öffentlichen Schlüssel und das ist nicht das Paar ne und das Heft an Bord oder wenn sie wieder in kopieren es das steht tja da muss ich dann ist es nicht so anstrengend kriegt direkt und jetzt beachten Sie wenn Sie ihn und er haben kommen Sie P und Q nicht ran wer weil aus den man kriegen sie es nur ein paar Millionen Jahren und dass es auch die noch weniger dass es Bezahldienst teilerfremd für den groß en und selbst wenn sie damit an dass groß kämen haben so lange keine P und Q Nummern ich sagen das ist der sogenannte per Beki so jetzt ist Bob dran der hat jetzt im Park City von Erlös und er wird seine Nachricht verschicken zur Nachricht ist und wir gehen mal davon aus dass Ötzis Informatiker nicht stressen das die Nachricht eine Zahl ist Na das kein Problem nehmen Sie Buchstaben Wahnsinn Asci Code raus da man sonst was ja also die die Nachricht eine Zahl zu besetzen sollte man hinkriegen so und diese Zahl sollte bitte schön auch kleiner sein als dieses groß en Produkte beim Primzahlen wenn es warf der wenn wartet er dessen ganzes Buch schicken will dann kann es passieren dass das nicht klappt aber das ist kein Problem dann steht da die Kapitel einzeln also das kriegt man jeden sah also ist die Nachricht so verschlüsseln und Flüsse und entschlüsseln also das aber hat das und dass er nun das EEG und damit nach Gott jetzt folgendes er muss es bisschen
modulo rechnen aber das ist nicht kompliziert Molo rechnen geht schnell also er bestimmt jetzt eine Zahl entspricht das ist die verschlüsselte Nachricht indem er seine Nachricht nimmt sie mit E potenziert Isental vom öffentlichen Schlüssel von Alice und das dann modulo endend n und er war der öffentliche Schlüssel kein Problem kann ausrechnen ist einfacher Modulo Rechnungen sonntags den schickt er dann an ein an er ist wo jetzt kriegen von erlässt das entspricht und was macht er es jetzt in den sind sich das entspricht und berechnet daraus 1 2 Strich das ist die entschlüsselten Nachricht indem sie was macht dieses Szenen das strich und potenziert es mit X und rechnet dann modulo N 1 mit x potenzieren kann sie X kennt sie X kann sonst niemand mehr also dieses Xn das ist der Preis mit Sky das ist die der Teil des Schlüssels also Endes ist öffentlich zugänglich aber dass ich's nicht dann das X das sollte man tatsächlich nicht ihn schicken Ehren aber das X braucht noch eben nicht zum Verschlüsseln sonders braucht nur eines zum Entschluss dass das tut rechtlichen gleich vor sollte man diese braucht man X was war x Xtra diese Lösung der Gleichung x gleich groß im Kongo EEX gleich 1 kommt modulo M um die zu bestimmen E kennt man ja schon immer braucht nur das groß en sogar und das groß ändert können sie auch x bestimmen also ist die Frage kommen Sie wenn Sie ihn und er habe man also kleinen der Mann das groß en und die Antwort ist nein weil man das groß zu kommen brauchen sie die P und Q sonnte kriegen sie aus dem kleinen dich raus so also was uns jetzt noch zu tun bleibt ist nachzuweisen dass er lässt jetzt auf Ihrem Bildschirm nicht irgendeine sinnlose Folge von zahlen wird sondern das er ,komma wieder im ist ja sonst wärst würdest Verschlüsselungsverfahren Einfluss nicht wieder das selbe rauskommt denn das ist jetzt der nächste Schritt der sich leider um 5 Minuten verzögert weil die oder um eine Minute verzögert weil der würde Miene alles das hab ich es schon paarmal gemacht da bin ich schnell ok denn da man sie man Pausenzeichen zwischen 1 zwar neue Mine hinein Klappe zu und weiter geht's zwar also was wir brauchen ist das dabei das vernünftiges rauskramt und das ist der einzige Satz in dem Abschnitt der eben genau sagt das tun wird also was ist ernst 2 ,komma S ,komma ist Strich Woche x unterm Strich ist im hoch erhält also 2 spricht ist er noch immer X modulo Ende nur um meine Behauptung ist das ist wieder zumindest solange war sicher freuen sagte was sein muss die mästet kleiner ist als das kleine das kann Bob gewährleisten weil das kleine in kennt er und wenn seine Messe zu lang ist dann hakte sie halten Teile zwar nicht und was da jetzt was man jetzt machen muss ist nur alles was wir bisher gesammelt haben zusammensetzen was wissen wir über dieses Produkt immer X das Produkt in nächster darf dann Exponenten auf wenn sie verschlüsseln und dann entschlüsseln das Verschlüsseln 1. denn sie Hoche nehmen und dann entschlossen sind den sie hoch x nehmen und es ist die Frage was es mit EOX und ehemalige sowie X Kinder schon also von Email Maliks wissen wir was weil immer X war genau so dass das Produkt eines oder wurden große ein so war das X genau gewählt nun das große ähnlich schwärzere noch mal hin ach so ich hab K also der Frauen und kann auch mal die Folie anmachen hält da stehen die ganzen Größe nochmal drauf also diesen dann noch mehr gute zur es immerhin also in war P -minus 1 Marco -minus 1 er wird jetzt vergleichen Herr noch 15 Sekunden so also wissen wer war das
was uns interessiert ist diese Größe m hoch EX und dann flüstern oder n was ist denn ein hoch EX ja Moment nee das wie ein zu schnell was heißt was heißt dieses EX ist kongruent 1 modulo in das heißt das Übliche das heißt es gibt ne ganze Zahl K in dem Falle natürliche Zahl werden nur positive Zahlen so dass das EX sich schreiben lässt es 1 +plus K mal groß en also das ist 1 plus kam mal P -minus 1 mal kucken was zu zwar setzen weil das ein was uns interessiert ist m hoch EX im hoch x 1 Beitrag gesehen ist dieses Riesending da also wir haben hoch 1 plus ça mal T minus 1 CO -minus es da gepriesen Potenz stehen es gibt die üblichen Potenz Rechenregeln dass es mal m hoch und jetzt sollte ich das mal so hoch P -minus 1 Hochchor -minus 1 mal krank es ist kurz auf sich wirken und bestätigen mir dass es das Gleiche ist also hätten stets Potenz von Potenz das rechne man aus als Potenz man mit Produkte Exponenten also P -minus 1 Marco -minus 1 KA und vorne steht ein einzelnes das kommt von einem hoch als sauer das heißt alles was noch zu tun haben wollen dass der rauskommt ist dass dieser ganze hintere Klumpert diese doppelte Potenz dar dass das 1 ist zumindest modulo klein N und so wie 2 Fälle unterscheiden im Wesentlichen muss ich eine Trivialität ausschließen den Ort kennt kleine N und E was er natürlich nicht kennt P und Q und jetzt ganz passieren das ist dass seine Nachricht genauso doof liebt das P im 3. Teil davon ist kann passieren was ist man Teile von MS dann ist Modulo P 0 das ist nun Umformulierung der Frauen und wenn sie jetzt nicht angucken sondern m hoch EX dann ändert sich daran nicht viel wenn man schon das Ende mit halber ist eines jede Potenz ist recht durch P war das heißt das ist 0 und das ist das gleiche wie im OP wenn so das vorweg geschickt der spannende Fall und ich meinte auch viel
häufiger auftretende Fall wird sein das das Display das teilt und was ich Ihnen jetzt zeigen will ist auch wenn das per nicht das Teil passiert das Gleiche das heißt hoch EX Modulo P ist immer noch ein Mord PIN und das liegt am kleinen Firma wenn man den kleinen Firma und zwar der in der Form von dem Chor Laden nicht der Hinterhalte hatte der sagte werden wie das nicht teilt dann ist er auch PM -minus 1 kommen wollen 1 Modulo P hier teilt das P das eben nicht das heißt der Firma sagt hoch P -minus 1 ist kongruent 1 Modulo P das war das Cola nachdem vermag so was heißt das wenn ich jetzt hoch EX anschauen The dann war das oben hoch X war eben mal diese riesen Potenz bei Molo rechnen dürfen sie das modulo auf die einzelnen Faktoren werfen das heißt sie kriegen heraus Embolo P mal diese Riesen Potenz Modulo P also hoch P -minus 1 das Ziel wir hier auch das Modell OP rein dürfen wir auch Rechenregeln für Potenzen von Molo Hochchor -minus 1 Hochkar was ich gemacht habe ist ich hab diese Gleichung oben die über den 1. Fall steht genommen und aber auf beiden Seiten wurde OP genommen ja und auf der rechten Seite die einzelnen Faktoren Modulo P wenn man sich das jetzt anschaut dann sehen Sie hier steht nix aufregendes wichtige 1 dass der kleine Firma im OP -minus 1 mal PS 1 das können Sie die 1 noch mit wilden Potenzen versehen da ändert sich nicht mehr viel das ist ne 1 also was übrig bleibt ist der Mord also auch EX Mord ist immer warum ich mich jetzt jemand P das ist das jedoch keine was wir zeigen müssen ist das hoch EX Mord enden wieder die SMS ja das ist das eigentliche Ziel also wenn Sie nur mal den Satz oben sich anschauen wir wollen hoch
EX Modelo n ausrechnen dass ist das was ausrechnen dann berück Verschlüsse Arbeit der entscheidende Teil dafür ist zu sehen dass es für PET oder was für P und Q passiert also wir haben jetzt hoch EX Mord P ausgerechnet das es in Montpellier so wundersame für P gemacht und die ganze Angelegenheit ist komplett symmetrischen P und Q nur was diese Penan wenn sie genauso viel CO machen also Sie sich die Rechnung von gerade
eben hier und schreibe über Reibung P Städten kurieren und dann kriegen Sie auch EX modulo Coup ist genau n modulo Kuchen ne so was heißt das das heißt es existieren 2 Zahlen eine vom P und eine vom Coup K 1 und K 2 aus natürlichen Zahlen so dass das hoch EX auch EX Modelo QSR Moloko das heißt hoch EX is plus ein ganzzahliges Vielfaches von so K 1 von P und es gleichzeitig M +plus ein ganzzahliges Vielfaches von Q was bedeuten diese beiden modulo Gleichheiten was wir rauskriegen zur mehrere Dinge aber 1 was sofort auffällt ist wenn Sie mal das 2. Gleichheitszeichen angucken jedoch beide Seiten im Plus das können sie weg kürzen oder weg wegzutrainieren und dann bleibt übrig das K 1 P gleich K 2 Q ist in jetzt waren P und Q verschiedene Primzahlen das hatten wir in gebeten sie möge bitte schön nicht aus Versehen 2 gleichen nehmen dass Krieg ziehen also den Koran verschiedene Primzahlen das heißt der GGT von P und Q ist 1 klar wenn sie Zwillinge Prinz haben dann können die sich nicht gegenseitig Teil sonst hätten sind Teil einer Demenz keine Primzahl also ist der GGT von P und Q 1 und jetzt haben sie wieder so ne Gleichheit das ist er P das P teilt das Produkt K zweimal Coup also GGT von P und Q ist 1 und wenn sich die Gleichheit oben angucken kriegen Sie P teilt das Produkt K 2 Q nur wie die von P und Q ist 1 also muss P das K 2 teilen das war wieder die Übungsaufgabe 1 15 The Teezeit K 2 es gibt 1. K 3 das über das letzte kam also daraus
kriegen sie die Existenz von K 3 so dass sie das K 2 schreiben können als K dreimal P sein jetzt müssen wir alles zusammensetzt zur was hatten wir gesehen dass es jetzt gerade ausgerutscht
m hoch EX lässt sich treiben als und wie war es von p beziehungsweise die von Q ich immer das mit Q und jetzt wenn als ich nehmen von dieser kleinen jetzt ganz oben steht den linken der und den ganz rechts und die ich modulo N und das ist ja das was uns interessiert was uns interessiert ist dem hoch EX Modelo eng und die spannende Frage damit das alles tut ist es teils bitte schön auskommt dann ist die Entschlüsselung geglückt mehr mit alles zusammen dass das klappt also nehmen Sie die Gleichung da oben dass es +plus K 2 Q modulo enden K 2 Q K 2 haben wir gesehen können Sie schreiben als K 3 P Na also das ist +plus K 3 P Q 0 0 n nur das Wahlziel die sich diese Erkenntnis die wir hier verwendet haben und jetzt kommt das schöne was es Primakow kleiden so war das kleine Welt also hier steht im Plus ein Vielfaches von kleinen Murillo enden ja ja weil ich von
hochgegangen bin danke so aber was ist K 3 in Modul ändern das ist 0 also steht hier Molo und wenn Sie jetzt noch ganz genau 10 sagen sie habe es immer noch Probleme ja es müsste eben auskomme wollen wirklich gemästet haben wenn wir Modulor in Kriegen unserer mal ganz dummer Zufall die Messe vom Bord war gerade zufällig kleine in dann hätten wir keine Verschlüsselung sondern ein Daten Mülleimer verschiebe Verfahren weil dann keine 40 0 raus war deswegen müssen sie aufpassen dass die Messe kleiner als er ist das genau der Punkt an dem es ist nämlich zufällig die Fifa von Änis dann kriegen Sie nicht gemästet raus sondern bisher 0 1 aber da denn Mehr sind kleiner als in war steht da wirklich
in also das ist schon entscheiden dass man keine zu langen Briefe verschickt oder eben mehrere so aber sie sehen es kam tatsächlich im raus also zumindest hab ich ihn gezeigt das Verschlüsselungsverfahren funktioniert insofern das man was man verschlüsselt hat auch wieder entschlüsseln kann er was ich Ihnen jetzt nur philosophisch angedeutet hat ist die Frage warum sicher ist das kann man natürlich auch streng beweisen aber das müssen wir seit 1. die glauben das System funktioniert ES ist nur knackbar in dem Moment wo jemand es schafft aus dem kleinen n oder den groß en egal das Gehen das kurze extrahieren ob das schon jemand kann es wie gesagt unklar aber das ist der stand dem der Dinge und wenn Sie jetzt gucken was zurzeit kryptografisch gemacht wird dann sind das nicht immer strenger SA verschiedene eine Verallgemeinerung oder verschiedene Verschärfung von aber die Grundidee ist immer die gleiche und die Stärke der Verschlüsselung richtet sich schlichtweg nur nach und nach der Größe der Primzahl die verwendet werden je größer die sind umso sicherer ist es das ist der Punkt wo Moment die Verschlüsse der in der wegen wie der Streit mit dem Entschlusse Lande mit den Code knacken vorliegen und die spannende Frage ist wie lange nach L aber das ist im Moment der Stand der Dinge gut in der stillen mach ich jetzt hier im häuslichen und danach komm steigen wir dann ab wieder in ganz grundlegende Mathematik 1 so ich würd gern die
2. Hälfte anfallen und damit steigen wir einen neuen Abschnitt und der Abschnitt geht jetzt schon ganz dezidiert in die Richtung die China am Anfang dieses Gebildes 2 genannt aber es wird sie das Gebiet das des Gebildes 2 ist wir wollen uns damit beschäftigen was es eigentlich rechnen und was ist man was rechnen ganzen Zahlen ist der rechnen reellen Zahlen wissen sie aber was ich jetzt machen will ist so wie wir im 1. Abschnitt den Begriff der Funktion abstrahierte haben und gesagt haben da müssen nicht Zahnreihen sondern das kann zwischen 2 beliebigen Mengen laufen so wie ich jetzt das Rechnen abstrahieren und nicht mehr auf Zahlen reduzieren sondern sagen rechnen können wir mit allem solange die entsprechende Vorschrift kennen und das bauen wir langsam auf und Fragen mit mir sozusagen mit dem kleinen Komplexität an und werden immer komplexer und das Erste was ich Ihnen zeigen will sind sogenannte Gruppen und worum es da geht es wir gehen wir jetzt nicht gleich auf er los mit plus und Wahlen potenzieren was noch alles gehen sondern wir bleiben bei einer einzigen Verknüpfung also wenn ich jetzt eine Gruppe werde dann ist es immer gut denken Sie ganze Zahl und plus um ganze Zahlen plus ist es für die Gruppe sie können auch Relizane +plus nehmen also Sie haben nur eine Verknüpfung und er in dem Kopf sollten Sie immer haben eben was was sie kennen ganze Zahlen rationale Zahl Relizane +plus zwar was ist der Gruppe der Gruppe ist eine Menge auf der sie rechnen können und jetzt will ich nicht das sie nur irgendwie rechnen können sollen das solle die soll sich so verhalten wie wir das von Plus zum Beispiel auf den ganzen Zahlen gewohnt sind ja also das ist jetzt das Ziel wir wollen das dem das Plus auf ganzen Zahlen wir wollen ein Regelsatz aufstellen denn dieses Plus erfüllt und dann diesen Gegensatz als abstrakte Definition für die Gruppe hinstellen also was ist das bloß aufzählt sie haben was sie zunächst mal haben für so eine Gruppe ist sie haben ne Menge von Objekten mit denen sie rechnen dass in den Z die ganzen Zahlen also brauchen länger und damit das eine Gruppe ist als die Menge üblicherweise 2 G nein also der nach der Name ist natürlich beliebig wie üblich erst sie also sie kann das denn auch in der Hand oder ist man aber üblicherweise schreibt man geht damit man gleich in Gruppe D also ne Menge und diese Menge darf bitte schön nicht mehr sein auf der leeren Menge Nachrichten keinen Spaß und was wir noch brauchen um zu rechnen ist nicht nur im Topf voll beladen so wir müssen auch wissen was die eine Banane plus die andere Banane die eine Banane mal die andere banal ist nun und damit das so ist wir den ganzen zahlen muss wenn ich die eine Banane zusammen addieren der 3. Banane rauskommen also 10. 2 1 1 DM kommt eine andere Zahl aus die Addition was macht ist seitlichen Funktion Kapitel schon gesagt die Addition ist einfach ein Prinzip eine Abbildung die ist sich 2 Gemälde nimmt und unter das aus noch und Verfahren also und das nennt man diese Abbildung die nennt man in der Gruppe die Verknüpfung also in der Gruppe der nein das die Verknüpfung der Gruppen und ich schreibe jetzt bewusst nicht bloß weil wir uns ja sozusagen von den speziellen Fall von Zettl +plus lösen wollen ich schreib mal Sternchen damit ein ganz neutrales Zeichen ist aber denken Sie immer die SZ und Sternchen das Plus und dann ist das Verknüpfen in der Gruppe definiert als eine Abbildung von gekreuzt die nachgehen so heißen nehmen Sie sich 2 Elemente aus Gera raus und die beiden werden irgendwie mit einer vermatschten verwurschtelt und Fluss konnten 3. Element ausgeraubt zwar und jetzt soll es bitte schön ich irgendwie gehen sondern was wir machen wollen ist wir wollen das Rechnen auf Z mit plus modellieren so etwas ist also was muss unsere Verknüpfung für Eigenschaften haben und das 1. wenn sie ein egal welche rächen welche Rechenoperation so kennen denken der normalerweise haben ist mir Assoziativität schon allein deswegen weil sie nicht damit in Klammern rumschlagen muss also das als 1. egal welche 3 Elemente sie aus sind die rausnehmen soll bitte schön die Verknüpfung assoziativ sein das heißt Stern ist soll derselbe sein wie erstellen des stand sie das nennt sich Assoziativität das werden sie alle schon mal gesehen haben und für die wenn Sie im Z mit plus Denkens ist das und Banalität zwar normalerweise abgekürzt mit an was ist noch wenn sie ein Zettel plus denkende besondere Eigenschaft es geht ein ganz besonderes Element im Zelt das von allen anderen sich abzeichnet und das ist die Jacken oder kann ja ja also in dem Fall die 0 bei hier ja ich werde gleich von Z mit plus und wenn sie +plus nämlich die eines nix besonderes die als ist besonderes wenn Sie mal den er das was macht das 0 man besonders außer dass es das ist was in Mitteleuropa meine spätesten dazu kam er das macht das besondere Element ist dass wenn sie es auch was anderes drauf addieren dann ändert sich nix es ist es nichts tue nennt oder das sogenannte neutrale Element und das heißt 10 mit ihnen und das ist eine weitere Forderung die eine Gruppe stellen es geht es muss sondern 0 geben also es muss eine n Ausg geben so dass wenn sie dieses Ende andern Element verknüpfen dann ändert
sich nichts also endlich Stern muss sein für alle aus die jetzt muss ich aufpassen wenn sie z Dinge reicht das schon aber ich habe nirgends gefordert und wird auch im Moment nicht fordern dass die Verknüpfung kommutativ ist also ernst denn ist noch lange nicht als Stern Enden und deswegen vor durch das noch zusätzlich also auch wenig stellen entweder soll da bitte schön nichts passieren also für alle aber aus geh soll wenn sie mit dem N verknüpfen nichts passiert und so und er muss es geben sind Z mit plus gibt sondern das ist die 0 0 0 +plus K ist K und K +plus 0 des K für alle K nur so dass die 2. Forderung es kommt noch eine 3. was haben Sie in Zelt noch für die Struktur für die zahlen sie das bloß haben -minus und das bedeutet was das bedeutet egal wo sie stehen sie dabei 23 denn sie kommen immer noch 0 in dem sie nämlich mit minus 23 addieren und das ist die Forderung nach dem inversen Element nur wenn sie immer noch nur kommen dann können sie damit subtrahieren ja das inverse Element heißt im Ziel jeder zahlen muss es eine negative Zahl geben oder hier abstrakt ausgedrückt Sie jedem aus gehe zu jedem Element der Gruppe gibt es das negative aber dass wenn ich jetzt wieder nicht so weil wir das jetzt wieder dass Negativen ändern in dem wir uns ein und denken wiederzusehen zahlen also dem wir den wieder gab es einen neutralen Namen und ich nenn das mal oben quer also gibt es ein anderes AG wer ausgehe kann auch das selbe sein aber im Allgemeinen anderes so dass wenn sie es mit dem verknüpfen das neutrale Element rauskommt man gibt sie um wenn Sie das aber mit dem D-Mark wir verknüpfen kommt in raus und damit wieder das auch andersrum geht aber so anders rum Querverkehr wird also auch in seinen zurück und das aber hier fehlt noch also das 2. ist die Existenz des neutralen Elements oder eines neutralen Elements und der 3. Teil ist die Existenz der inversen Elemente also dieses wäre heißt das inverse Element zu müssen ganz bewusst neuen Namen damit wir uns im Denken von von plus oder mal müssen es trotzdem nur gut im Plus und mal zu denken man weil man dann einfach ein Beispiel für eine Gruppenkopf hat aber das entscheidende ist das wäre diesen Begriff das der Verknüpfung auf der Menge verallgemeinern und einfach SUV abstrahiert so damit Amber winzige Zielgruppe definiert also das ist das was auf der nächsten Folie Städte unter der sei darf auch mal die Folie wechseln die Latte ziemlich lange liegen Fernsehgruppe wenn sie den man ja mit der Verknüpfung drauf die Verknüpfung muss das ist was was man im konkreten Fall immer noch Zecken muss und dass wenn Spezials Abgeschlossenheit oben vernünftig sein das heißt sie muss 2 Elemente von G wieder zunehmend von G verknüpfen und nicht irgendwie aus Universum fliegen und da musste die 3 Bedingungen erfüllen sie muss assoziativ sein es muss neutrales Element geben es muss in der Sinnenwelt geben dann den wir dass der Gruppe das hab ich die ganze drauf geachtet das wir keine Kommode tivität voraussetzen und das macht man bewusst nicht Gruppen senden die Verknüpfung der Gruppe ist im Allgemeinen nicht kommutativ es ganz natürlich Glück haben dass sie es dass ihre Gruppe C mit dem Plus ist und da ist die Verknüpfung kommutativ und dann heißt es eben eine besonders schöne Gruppe nämlich eine
sogenannte arabische Gruppe also wenn sie zusätzlich noch die Eigenschaft haben nämlich egal welches A und B aus die sie nehmen verknüpft mit B ist das selbe wie B verknüpft mit aber das ist die Commuter Tibet hält dann nennt man die Gruppe arabisch ja ich sag mal was dazu die Gruppe das Essen stehender Begriff da sind sich auch alle Bücher und sonst wie einig und wo kommt das Wort hier das kommt von Niels Henrik Abel was da war ein norwegischer Mathematiker Anfang ich glauben Anfang oder Mitte des 19. Jahrhunderts auch ne relativ tragische Gestalt nicht besonders alt geworden aber in der kurzen Zeit hier gelebt hat wahnsinnig produktiv und der hat insbesondere ganz sie mit diesen Gruppen gearbeitet von dem Stand von Stand in dem denn die Richtung sehr viele und die ihn zu ihren heißen solche Gruppenarbeit zwar ein also das ist das was jedoch unter dem Papier steht also wenn sie zusätzlich Commuter tivität haben dann heißt die Gruppe ab 11 zur völlig abstrakten Begriff und den das war ja auch das Ziel der Angelegenheit aber wenn man so abstrakten Begriffen die Finger kriegt ist natürlich erst mal die Versuchung groß was soll das und das bringe ich ihn jetzt reichlich und sie werden auch auf dem nächsten Übungsblatt noch reichlich sehen da gibt es also Gruppen sucht Kommando seine Aufgabe irgendwie gegeben 5 Menge mit von Verknüpfungen und entscheiden Sie wann das Gruppen sind und wann nicht und warum nicht und wenn ja was ist das in der Seele man er ein und was ich
ihn mit diesen Beispielen auch zeigen will ist es ist sinnvoll war diesen Begriff einzuführen weil die Welt wimmelt von Gruppen und nicht alles in Zahlen ja sie können durchaus sehr andere Objekte miteinander verknüpfen und erhalten dann in die Gruppe und der Vorteil davon ist natürlich das rechtfertigt die abstrakte Definition weil sie auf die Weise wenn Sie irgendwas über eine abstrakte Gruppe gewiesen haben dann haben Sie diese Aussage wusste da alle diese Beispiele jetzt kommen egal ob sie mit Zahlen oder mit Funktionen mit etwas anderem rechnen die die dass die Aussage tätigt alleine der Gruppenstruktur und das ist der Sinn von solchen Abstraktion so also genug gequatscht MBA Beispiel so war also die 1. hab ich Ihnen schon genannt das war unser unser an nein Modellbeispiele die ganzen Zahlen mit plus ja dass das das ist ne Gruppe das hatte ich Ihnen jetzt ein bisschen nebenbei motiviert beim Aufschreiben der Axiome es ist nicht nur die Gruppe The sogar der arabische Gruppe nur wenn sie mit wo wenn sie die ganzen Zahlen addieren ist das kommutativ ist die Reihenfolge Sieger zur Schreibweise ich hatte so runde Klammern gemacht wenn ich das nur wenn sie die Gruppe angeben wollen müssen Sie über die Menge Menge G spezifizieren und sie müssen Verknüpfung spezifizieren und das treibt man gern kurz so also in runden Klammern erst die Menge dann die Verknüpfung und also den Fall ist die Menge der ganzen Zahlen mit dem gestand er +plus als Verknüpfung gibt mehr arabische grob was nicht funktioniert sind die natürlichen Zahl mit dem Standard Plus den das ist also ZDF wenn Sie 2 natürliche Zahl der dir kommt um eine natürliche Zahl raus also das abgeschlossen ist also sehr tief bei unserer Definition der Beitrag natürlichen Zahl sie auch neutrales Element die 0 ist auch ein endete neutral was sind schief geht es der letzte Punkt McCain inversen Element 5. natürliche Zahl aber -minus 5 nicht und sie werden keine andere natürliche Zahl finden man so dass 5 +plus n gleich 0 ist wir tun sich schwer der des Weges dass da keine Gruppe das ist ja auch immer gut mal ein Beispiel gesehen zu haben was nicht ist dieses I ist nicht erfüllt nur also sie haben kein inverse der gestern auch Theorie für Sonics Struktur die alles außer IE erfüllt hat man manchmal halt Gruppe da geht auch wieder Theorie und wenn sie dann noch 1 das N wegfällt und sind nur dem Abt assoziatives beglückt Schöpfungs Gebilde haben einen Mann das auch Monolith also können sie immer weiter zurück gehen aber das war alles also weniger als Gruppen mach ich wenig arbeiten nur so da dahinter gibt's doch weitere Welten sah aber sind noch Gruppen sie können nicht nur Z addieren Sie können auch entfloh in Q zum Beispiel addieren also wenn sie die rationalen Zahlen des mit plus ist das auch eine arabische Gruppe es jetzt hab ich immer die Verknüpfung plus genommen das ist keine Mod nehmen Sie zum Beispiel folgende Menge sind denn die rationalen Zahlen ohne die 0 bin also dem alle rationalen Zahlen und schmeißen die 0 vor die Tür und dann gucken sich darauf die Multiplikation an dann behaupte ich dass es ebenfalls mehr arabische Gruppe und jetzt sehen schon warum es ich es in der Definition der Gruppe Sternchen zu schreiben und ich +plus oder mal es geht eben Gruppen mit plus wenn man es gibt noch ganz andere von Sternchen ist als eine neutrale Bezeichnung so warum ist das mir welche Gruppe Na ja das Mut multiplizieren QS assoziativ es ist kommutativ was wir noch brauchen ist neutrales Element unten Inverses Element was ist das neutrale Element hier und jetzt können sie kommen mit der einst namens neutrale Mensch hier ist die einen 2. egal welches Couscous mit 1 multiplizieren es =ist gleich Q ja und das inverse Element wenn Sie im Chor aus Q haben mir also das entscheidende ist als Coup wird der MCU 0 meinte die rationale Zahl haben dann können Sie immer das Element eines durch Q bilden also zu gebrochen drehen und Änderungen und den Coup nicht 0 war dann ist es wieder eine rationale Zahl die nicht nur das und das ist das in der Seele nennt drin damit ist Kuh oder nur mit mal mehr arabische Gruppen es gleich wenn sie mit Ehre machen wir damit los ist man aber die Gruppe er ohne nur mit man islamische Gruppe haben Sie also n paar arabische Gruppen im Dunstkreis dessen was sie sozusagen vom rechten her kennen und sie sehen der Gruppen Begriff passt gut dazu so und jetzt will ich noch in zeigen man kommt aber darüber hinaus es gibt reihenweise andere Gruppen und sie werden im Studium auch noch zig andere Gruppen kennen lernen ja ja ja also 3 durchfüttert der Bruch 3 5 bleibt alles invers ist Bruch 5 3. assoziativ ist ja nur die Frage der sehen sich 3 Brüche a mal b mal c ist dasselbe wie a mal b mal c kann der das klappt ja also das wenn es nicht klappen würde dann wäre also das nutzen sich ständig wenn wir die Gleichung vom 1. Aktivität ist ganz ganz unten ist ja Jahr ersetzt ja also sie haben dass sie anders das mal aber wir jede rationale Zahl können Sie den Kerl Bruch in der sie den Arzt sein als die ganze Zeit nicht 0 ist können Sie den Geruch bin nationale Zahl und wenn sie mit den jetzt multiplizieren ja was sie jetzt machen müssen ist
das ist man müsse das Koma dieses einzig QC und es ist als also was sie brauchen ist sie brauchen dort neutrales Element und sie brauchen für jedes Element das in der Weise dass sie auf neutrale schickt dann haben Sie und assoziativen abgeschlossen haben sind die Gruppe zwar was hab ich noch für Beispiel mit wie gesagt es gibt Gruppen wie Sand am Meer und Sie werden im Studio noch viele kennen lernen und ich will ihn jetzt noch bei Mutations Gruppen zeigen dazu brauchen wir erst mal ne Menge diese Menge es ist nicht wird nicht die Menge Ghedina die Gruppe ist und dass es einfach erst einmal zugrunde zugrundeliegende Menge nehmen und jetzt haben wir uns TWh ich nenn es dieses Mahnmal nicht sondern 11 aber es ist also geht ganz nah bei geht also das F ist das Wasser hat die Gruppe würde ich jetzt deswegen F Weise Menge von Funktionen ist was sie sich anschauen ist die Menge aller Funktionen die auf sich selber abgeben und Bilic Tiefsinn wenn er eine endliche Menge ist da also n ist die Menge eines der 3 4 5 was ist dann die Menge aller objektiven Abbildungen von dieser Menge in sich selbst das ist die Menge aller Umsortierung so können Sie sich das vorstellen deswegen Permutationen die Menge aller möglichen Direktiven Umsortierung na also wenn Sie als Menge ihre 10 Bücher im Regal nehmen dann ist es die Menge entspricht es der Menge aller möglichen Sortierung dieser 10 Bücher im Regal Na also in welcher Reihenfolge sie den stellen kann es gibt sehr viele er und das ist die Menge hier also die Menge aller objektiven Abbildungen von nach und was ich Ihnen jetzt überhaupt und auch gleich Nachweise wenn Sie jetzt dieses 11 mit der Verknüpfung aus Staaten die durch die Verkettung gegeben ist also diesen nach zehnjähriger F nachgehen nimm 2 Funktion nacheinander das ist dienen sie als Verknüpfung dann behaupte ich dass es der Gruppe dran so und diese Gruppe nennt man das die Mutations Gruppe von innen ermuntert der Montage lateinisch vertauschen also die Vertauschung PHW-Gruppe von das was ich mit den Büchern meinte es irgendeine beliebige Menge also kann durchaus auch könnte die reellen Zahlen seien eine riesengroße Menge seines F natürlich auch riesengroß nun ändern am besten wenn man nicht verrückt werden wir doch dem den Beckmann erstmal endlich also spannend genug ist dann der Fall im bis 3 Elemente ich dann kann man den M 3 Elemente jetzt kann man die 6 Elemente von 11 noch hinschreiben kann wenn entsenden endlich ist wird mit denen man sowieso so viel dass ich würd sagen fünfstellig vielen werden von 11 schon schwierig also dass es wird sehr schnell groß wenn im große so warum ist das für Gruppe was wir
machen müssen ist die Axiome nach weisen also der Forderungskatalog hier und das 1. was man machen muss und das vergisst man leicht dass diese Punkte heute Abgeschlossenheit oben steht und dass es hier durchaus ein Thema sind wir müssen zeigen das Verknüpfen also den Fall die Verkettung der Funktion ist wirklich ne Abbildung von 11 Kreuz 11 nach 11 soll was heißen soll heißen wenn Sie eine die wichtige Funktion haben die Männer Bier diese Funktion verknüpfen dann muss wieder der Direktive rauskommen und der an das war muss man sich überlegen und das war glücklicherweise oder rein durch Zufall die Übungsaufgabe 1 4 9 weil glaub ich auch auf einem Übungsblatt die sich genau das überlegt also Verkettung von Sabine Kehm Funktion ist wieder weg so wenn wir das haben dann müssen wir noch A N und I nachweisen gebrauchen Assoziativität wir brauchen neutrales Element und wir brauchen das ist in man also zweitens die Assoziativität das müssen wir machen wir müssen uns 3 Elemente der das Gruppen Kandidaten hinnehmen und nachweisen die Verknüpfung ist assoziativ also mal 3 Funktionen braucht wenn man sie kanonische Weise F G und H a und da müssen wir zeigen erst nach D nach ist das gleiche wie es nach denn ist die Klammern verschieben kann man sind 2 Funktionen gleich man was wir zeigen wollen also Krems Markus ist 10 das wird sitzt was zu zeigen ist müssen zeigen 11 nach die nach war es das selbe wie F nach D nach wenn Sie 2 Funktionen gleich wenn sie den gleichen Definitionsbereich für den gleichen Zielbereich haben und wenn die Funktion Vorschrift leicht daher Definition Sonnberger Zielbereiche sie von selber gegeben weil alle die Funktion sind Funktionen von nach also es auch die gerade Funktion von nach und es nach den Nachhall der Funktion von nach das passt alles was wir noch zeigen müssen ist die haben die gleiche Funktion Vorschrift also die Maß an wie zeigt man dass
2 Funktion die gleiche Funktion Vorschrift haben man dehnt sich in dem X her und zeigt dass sie beides auch selber abbilden also was müssen wir tun wir müssen die Funktion f nach die nach hal nehmen da das X einsetzen und zeigen dass das Wasser bis das X ins F nach D nach H einsetzen also was ist das je nach Definition nach Definition ist das 11 voran die nach von Xtra die Verkettung ist definiert als nun die 2. Funktion und setzten die 1. ein jetzt habe ich ändern mit einer Verkettung stehen ist die Verkettung definiert die nach H von X ist das LG G von H von X 10 und in Klammern aber der Vorteil ist den Sie jetzt sehen jetzt sieht man nicht mehr welcher Reihenfolge geklammert wurde es kann was anders rum wie aus seiner nehmen das ist das selbe wie 11 nachgehen an der Stelle H von X und das ist das selbe wie F nachgehen wir vor von X und sie sehen ich hab bei dieser ganzen Rechnerei die Bier Aktivität von den Funktion überhaupt nicht gebraucht die Assoziativität ist wie bei anderen Sachen auch meist ist das einfachste die geht für beliebige Funktionen sehr welche Funktion haben die sie einsetzen dürfen wir also dass das der Kringeln Sinn macht dann ist es immer so zeitig das ist diese Rechnung die ist braucht keine weiteren Voraussetzungen außer dass die Verkümmerung Sinn nach so das war der 2. Teil der 3. Teil ist wir brauchen ein neutrales Element und an der Stelle des 11. in vielen Fällen ist es so 3 lehnt offensichtlich wenn nicht offensichtlich ist hilft normalerweise nur geschickt das raten sie brauchen Kandidaten sie müssen sich irgendein Element der Menge verschlafen das wahrscheinlich das neutrale ist dazu hilft nur die Menge ganz scharf anzuschauen und sich zu bewegen was ist da drin also was vernünftiger Kandidat für das neutrale bei der Menge aller Direktiven Abbildung von nach das neutrale Element ist das Element das dann verknüpfen nichts tut welche Abbildungen es denn Bier aktiv und tut nichts ja im Normalfall vom einen Vorlesung des die Identität nur X wieder fix abgebildet die tut nichts und ist wunderbar Bier die realen Six auf Wichser bilden dann ist die wunderbar Umkehr war nämlich wenn sie Excel Laufwegs abbilden und auf die Weise ist es nicht schön wenn wir diese Abbildung also das freundliche ist auch die das Axiom oder die diese Forderung hier sagt nicht dass sie sicherstellen müssen dass es genau ein neutrales Element gibt er sie müssen nur irgendeines finden wenn sie eines haben sind sie glücklich das heißt es geht wirklich nur darum ja am 1 zu 7 Jahren will ich darf kurz unterbrechen weil ich keinen dann schon was dazu sagen als die Frage ist wie denn die Herzfunktion für 2 unterschiedliche werde Bereiche die gibt es nicht bei wie wollen Sie denn wenn Sie etwa auf Bananen abbildenden den Apfel auf sich selbst abgeben wenn das Bild sein sein muss die der DDR geht immer nur wenn Sie der Funktion von der Menge auf sich selbst haben sonst gibt's Identität nicht genau aber hier habe Funktion von nach also hier ist das okay er insofern war es ist gut dass wir dann nochmal drauf hingewiesen haben mit ich wahrscheinlich selber machen sollen also das Ganze funktioniert nur weil die Funktion von nach die sonst wird keiner Gruppe Arbeit die Funktionen von Bananen auf Äpfel gib keine Gruppe von allein weil das Vertrauen in die Menschheit hat also das neutrale Element in der Gruppe will in Zeit oder ein neutrales Element ob seiner geht aber brauchen man man überhaupt nicht die Tage grauer werden lassen dies die Forderung hier bei den Proben Axiomen sagt nur es muss 1 geben ist diese Identität also die Abbildung die von nach innen geht und jedes x Appell auf sich selbst und das ist der Kandidat für die Identität weil die macht eben nix und das ist genau das was man von der Identität erwartet die soll möglichst nichts tun also weisen wir nach das dass die Identität das das die das neutrale man ist wie machen wir das statt auf die Folie wir müssen zeigen welche das aus G muss unsere Identität verknüpft mit also in dem Fall für jedes F aus 11 muss unsere Identität verknüpft mit 11 wieder ergeben und er verknüpft mit der Identität muss auch F ergeben also nehmen wir uns würden 11 aus 11 4 an und zeigen wir dass es nach =ist gleich gleich ich nach 11 gleich 11 ist und das machen wir wieder in dem es für jedes x aus zeigen also da mein F von 1 X und jetzt müssen wir
die Funktion Identitäten nach 11 anschauen und zeigen dass es es was ist in der DDR nach 11 nach Definition von der Verknüpfung ist das Identität von F von X das ist die Verkettung Identität von F von X meldet macht nix das heißt dass ist eher von X das heißt geht nach F =ist gleich F das sieht schon mal gut aus ist es umgekehrt also 11 nach IT von X ist das selbe wie 11 von IT von X nach Definition der Verkettung Identität von XIX also steht hier von X das heißt wir haben auch 11 nach Identität SR sieht gut aus Identität ist neutrales Element ja bereits was uns noch fehlt ist das inverse was müssen wir tun
wir müssen zu jedem F in 11 das es quer finden so dass dann der es mit dem 11. wir verkehrten die Identität des neutralen Element das Identität rauskommt was ist eine Funktion die mit 11 verkettet das nichts tun liefert das ist genau die Umkehrfunktion 11 nach 11 Wochen das 1 ist Identität so die Umkehrfunktion damals konstruiert und die Umkehrfunktion können wir hier geben werde als 11. objektive Funktion zulässt wird sehen Sie wir brauchen die ganze Voraussetzung also wenn die Menge aller wie die Abbildung auf der man nehmen auf oder man in sich selbst den kriegen Sie daraus das ist die Abbildung von der Menge in sich selbst sehen kriegen Sie das neutrale Lehment und das wegen beide Funktionen Tiefsinn kriegen sehen 1. also Air Force F dann wissen wir dann ist unser 11 mit Bier aktive Funktion die und das heißt die Umkehrfunktion existiert der aber mit 11 Uhr -minus 1 bezeichnet und wenn es von innen nach innen geht dann geht auch die Umkehrfunktion von nach und was ist die Eigenschaft der Umkehrfunktion die Eigenschaft der Umkehrfunktion ist das wenn ich Sie mit F erklärte also wenn ich die den Wert 11 Wochen -minus 1 von F von X bestimme dann ist das X schreibst immer deutlicher dass es von X Alex aus und umgekehrt wenn sie es mit 11 auch -minus 1 verkehrten dann ist das F von 11 auch -minus 1 von X und das ist X das ist wird von X ebenfalls für alle x aus und was jetzt dasteht ist er vom -minus 1 nach 11 und 11 nach etwa -minus 1 ist Ed das was haben wir
damit 11 nach 11 Uhr -minus 1 ist die Identität und 11 -minus 1 nach 11 ist die Identität wenn man sich das jetzt hier übersetzt dann heißt das genau die stammen die Quelle ist n und die es enden und damit haben sie das in der Seele Mehr also ist es denn tatsächlich wie Gruppe so gibt am Beispiel von der Gruppe die wirklich nicht sehr Plus oder mal zu tun hat und nicht mit dem was sie gemeinhin einrechnen gewohnt sind aber es hat genau die gleiche Struktur also wenn Sie etwas wissen gleich Wissen über die ganzen Zahlen mit bloß dass sie nur auf Grund dieser Eigenschaften beweisen können und zwar diese Eigenschaften ohne die kommutativen Täter und bitte dann geht diese Aussage auch für die Menge aller bietet diese Funktion auf in der Menge bei seiner Aussage ist die nur auf der Gruppenstruktur beruht und sonst nix für den ganzen Zahlen zu tun hat und solche Erkenntnisse gibt an solche Ergebnisse gelangt man nie wenn man diese Abstraktion nicht macht das ist der Punkt soll meine Frage ja ja also dieses diese Kringel hier diese Kringel hier mit dem kann man rechnen der verhält sich im rechnen Sie das mal auf Q ohne 0 solange sie nicht die Kommode tivität benutzt man das ist mein nächster Punkt die der Klinik nicht schief im Allgemeinen ja das ist so eine Warnung oder Bemerkungen der Stelle das verlieren wir beim Übergang zur Mutations Gruppe mit Mutations Gruppe ist im Allgemeinen nicht arabisch aber es in Gruppen das heißt alles was sie in Z bloß Kopp zeigen können nur aufgrund dieser oberen denn ohne die kommod Aktivität gilt in der Permutation Gruppe genauso und sie können der Dame der sonst Gruppe rechnen wunderbar zu können sie in Gruppen rechnen machen auch noch also Bemerkung hier die sind im Allgemeinen nicht aber ich ich habe Beispiel mitgebracht sie können sich man kann sie sein und dabei spielen ein überlegen also die einzige arabische der Mutations Gruppe ist die der alten von einem in weil auf einer winzigen Mengen die zwar alle Permutationen Nichtidentität und die Gruppe besteht aus Identität ist eigenen endlich und dies aber aber das ist die einzige aber sie über Mode zu uns kommen das heißt wenn sich irgend eine Menge M die mit mindestens 2 Elemente hat und sie haben und sie haben nicht aber ich vermute tions Gruppe ich hab als Beispiel mein mitgebracht nehmen Sie mal ein großes entnehmen Sie die reellen Zahlen und dann gebe ich Ihnen mal 2 Elemente der da Mutations Gruppe an was ist die der Mutter zur Gruppe von Erde die Menge alle wir diesen Funktionen von R nach er auch wir also das ist was was sie sich aus der Schule oder so vorstellen können Funktion von Erlach aber es dem Grafen ja also nur und dann der Frau 2 was fällt einem da ein ich hab mal 2 der gibt es Unmengen aber ich hab mal 2 mitgebracht also die Funktion f nämlich die Funktion x hoch 3 dies in jektiv weil der Graph für sie Sohn weil der Graph immer wächst und keine doppelt angenommen wird dies reaktiv weil die gesamte y-Achse im Bett liegt und die wir eine 2. direkteFunktion X plus 1 das auf Biere tief nur das ist die Geradengleichung mir gerade im Kohleland System die sie jektiv keine Werte doppelt angenommen dies jektiv jeder Wert wird an immer also beides bietet wir Abbildungen die gehören also beide zur Mutations Gruppe von erreichen nein jetzt damals so man das passiert in der 1. Nacht des und Energie nach 11 bilden was ist
es nach den von X das ist er von der von X das ist also was ist dass es von X plus 1 also X plus 1 hoch 3 und was ist generell von X das ISG von F von X also die von x Quadrat er X auf 3 ein und das SX auch 3 +plus 1 das das gleiche ist können nur die behaupten wie die binomischen Formeln oder ihre Derivate ganz extrem vergessen haben und alle andern erinnern sich dran dass das nicht gleich ist na also sehen da mir tatsächlich einen nichtarabische Gruppe und davon gibt es reichlich Beispiele so aber ich kann ich Ihnen noch ein weiteres Beispiel gerade noch sein an wie man sieht ist sie brauchen und ich mal sie können ganz geometrisch werden finden Gruppen neben sich sich eine geometrische vergeben der Figur der die gegebene geometrische Figuren der Ebene und jetzt schauen Sie sich an die Menge aller Drehungen und Spiegelungen die diese geben die geometrische Figur unverändert lassen also sie haben irgendwie ich mach gleich dem Quadrat der sie können Kreis nehmen sie können 6 wegnehmen oder irgendwas völlig und symmetrisches also die eine gegeben auf sich selbst abbilden soll heißen wenn Sie
diese Drehung oder diese Spiegelung anwenden dann ändert sich das Bild nicht und die überhaupt nicht bilden mit der hintereinander Ausführung in als Verknüpfung wieder der Gruppe was gleich am Beispiel von und Quadrat ich denk dann wird's als Verknüpfung eine Gruppe ich werde sie in Prosa weil ich keine Lust habe ihn da entsprechende Bezeichnung für einzuführen und das ist im Moment warum nicht so dringlich wie den anderen Beispiel zeigen dass von noch völlig an Natur ist diese Gruppe nennt man dann aus sinnigerweise die Symmetrie Gruppe der Figur und also ich machs mal beispielsweise einem Quadrat
hatte was ist die Symmetrie Gruppe von Quadrat was können Sie jetzt spielen und drehen und das Quadrat bleibt es selbst sie können zum Beispiel an der Linie Spiegel Mehr sein der nicht gegen ändert sich nix gleiches gilt für die Linie hier sie können diagonalen spielen wenn Sie das machen ja das Quadrat sich selber was können Sie noch machen sie können das ganze Ding um 90 Grad drehen dieses gerade 90 Grad drehen passiert nix sie können das Quadrat um 180 Grad drehen wenn Sie lohnen 45 Grad drehen dann das etwas wert ist das geht nicht aber um 90 oder 180 um 270 ist auch ok und dann noch 360 oder meinetwegen nicht sich Norman um .punkt ja also nun bei der sich Sieger gar um 0 Grad drehen ist auch ok also in dem Fall wäre das die die Gruppe wäre enthielte 8 Elemente nämlich viele Spiegelungen die Spiegelungen an ein ein C und an den Herrn das wären 4 Elemente und dann eben die Drehung der also Drehung 90 Grad die Drehung 180 Grad die Drehung 270 Grad und die Drehung um 0 solle von man sich überlegen aber das ist tatsächlich eine Gruppe man also dann sehen legen was man sich das überlegen musst ist wann immer sie 2 von den Sachen nacheinander machen konnte in eines der andern raus also zum Beispiel wenn sie erst an die spiegeln und dann um 90 Grad drehen dann ist das die Ecke geht da rein digitalen die bleibt dann geht dann dahin Konventionen ist die Spiegelung an B behaupte ich bringt ist man nach den so und warum ist das jetzt wiederum ne spannende Gruppe an mit der haben Sie wenig Mitgliedern werden sie nicht so viel zu tun haben wenn sie nicht ganz angewandte Grafik Richtung was weiß ich Grafik Bildbearbeitung oder so was gehen uns aus Dmitry Gruppen aber ansonsten wäre damit massiv zu tun hat sind die Kristallographie und die Chemiker bei der eine Kristallstruktur hat dann ist es extrem entscheiden was für Symmetrie der Kristallstruktur sind und diese mitreden lassen sich über diese Gruppen beschreiben wo man kann dann ja wo man kann dann wenn man kann dann aus Eigenschaften der Gruppe auf Eigenschaften des Kristalls zurückfließen also nur um zu zeigen diese ganze Theorie führt hat viele viele Verzweigungen und viele viele Anwendungen hier nur als Beispiel spielen Sie ruhig damit diese Symmetrie Gruppe von Quadraten bisschen rum es ist ganz nett sich zu überlegen was hintereinander was die und jetzt meinetwegen dafür sich ja platzen und ich werde viel viel Aufmerksamkeit zwar ich hab noch steckte mal Dingsda
Gegenbeispiel
Folge <Mathematik>
Faktorisierung
Exponent
Momentenproblem
Primzahl
Ganze Zahl
Natürliche Zahl
Gleichungssystem
Gleichung
Zahl
Mathematische Größe
Primzahl
Größter gemeinsamer Teiler
Kongruenz
Mathematiker
Gleichungssystem
Gleichung
Euklidischer Algorithmus
Zahl
Moden
Mathematische Größe
Zahlentheorie
Primzahl
Momentenproblem
Gleichung
Biprodukt
Euklidischer Algorithmus
Zahl
Primfaktor
Lösung <Mathematik>
Rechenbuch
Primdivisor
Ganze Zahl
Statistischer Test
Strategisches Spiel
Mathematiker
Quantisierung <Physik>
Ende <Graphentheorie>
Exponent
Primzahl
Fluss <Mathematik>
Gleichung
Biprodukt
Zahl
Faktorisierung
Positive Zahl
Momentenproblem
Exponent
Ganze Zahl
Natürliche Zahl
Gleichung
Biprodukt
Primzahl
Natürliche Zahl
Gleichheitszeichen
Zahl
Gleichung
Punkt
Primzahl
Momentenproblem
Verallgemeinerung
Mathematiker
Addition
Momentenproblem
Inverse
Abbildung <Physik>
Rechnen
Zahl
Richtung
Objekt <Kategorie>
Negative Zahl
Ende <Graphentheorie>
Menge
Ganze Zahl
Reelle Zahl
Rationale Zahl
Grundraum
Gebiet <Mathematik>
Punkt
Abstrakte Gruppe
Natürliche Zahl
Inverse
Gleichung
Zahl
Richtung
Objekt <Kategorie>
Abel, Niels Henrik
Multiplikation
Weg <Topologie>
Menge
Ganze Zahl
Rationale Zahl
Mathematiker
Axiom
Moden
Funktion <Mathematik>
Endliche Menge
Menge
Reelle Zahl
Abbildung <Physik>
Ruhmasse
Gibbs-Verteilung
Axiom
Aggregatzustand
Funktion <Mathematik>
Identität <Mathematik>
Menge
Abbildung <Physik>
Axiom
LOLA <Programm>
Funktion <Mathematik>
Permutation
Punkt
Umkehrfunktion
Energie
Graph
Menge
Ganze Zahl
Reelle Zahl
Abbildung <Physik>
Funktion <Mathematik>
Ebene
Kreis
Quadrat
Momentenproblem
Menge
Symmetrie
Drehung
Geometrische Figur
Quadrat
Symmetrie
Drehung
Ecke
Richtung
Linie
Gradient

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Mathematik in der Kryptographie & Gruppen
Serientitel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 6
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/33624
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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