Präsentiert von Open Learnware, die Plattform für Lernmaterialien an der TU Darmstadt. So, dann mal allen herzlich willkommen und einen schönen guten Morgen. Ich möchte noch mal eine Ansage, die schon über das Nachrichtenforum an alle Gigen wiederholen,

damit es keine Missverständnisse gibt. Die Verteilung auf die Übungsgruppen klappt weiterhin mau. Die Montagsgruppen sind leer und die Dienstags- und Mittwochsgruppen fallen aus allen Löchern. Deswegen haben wir jetzt beschlossen, da das nicht so geht,

Abgabe findet ab sofort nur noch in der Gruppe statt, in der sie in Tukan angemeldet sind. Und nicht mehr in anderen Gruppen. Und auch nicht per Relais. Das heißt, sie geben nicht irgendwo jemand anderem das Blatt mit, der bittet, das doch dem anderen Tutor in die Hand zu drücken. Wir haben in der Tutorbesprechung anderes zu tun, als 300 Blätter von A nach B zu verteilen.

Also, Abgabe findet am Anfang der Übung statt, und zwar in der eigenen Übungsgruppe. Ob sie dann noch in eine andere Übungsgruppe gehen, solange sie da nicht den Rahmen sprengen, alles okay. Aber die Abgabe müssen wir so verteilen, sonst haben wir Hibis, die sich tot korrigieren, und da hat keiner ein Interesse dran.

So, da ist eine Frage. Also nach Montag können sie mit mir sofort wechseln. Wenn sie nach Montag wechseln, ist alles gut, weil da gibt es Gruppen, wo acht Leute drin sitzen. Da gehen sie einfach hin und reden mit dem entsprechenden Tutor da.

Und umtragen ins Tukan ist auch kein Problem, weil da sind Plätze frei mit Montags. Gut. So, dann würde ich wieder in den Inhalt einsteigen. Da hatte ich Ihnen letztes Mal schon den kleinen Satz von Fermat hingeschrieben.

Das war der Satz 1,16, der lautete, wenn Sie eine Primzahl P haben, und für den Satz ist es ganz entscheidend, dass es eine Primzahl ist, wenn Sie die Voraussetzungen wegnehmen, finden Sie innerhalb von einer Minute ein Gegenbeispiel,

und eine natürliche Zahl A, dann können Sie die Potenz A hoch P, wenn Sie die Modulo P auswerten wollen, sehr einfach kriegen, das ist nämlich einfach A.

Und das gilt für alle A und für alle Primzahlen P. Im Moment mag das als, ist halt so, stehen bleiben. Wir werden sehen, dass das ganz, ganz wesentliche Folgen hat.

Im Skript steht ein Beweis dazu drin, den werde ich an der Stelle nicht führen. Sie dürfen ihn sich gerne anschauen, das ist nochmal ein Beispiel für eine Induktion. Ich wollte ihn hier weglassen und eine Folgerung mehr anschauen, weil die werde ich Ihnen dann auch beweisen, also zeigen, wie jetzt das Corolla 1,17 aus Satz 1,16 folgt.

In dem Beweis passiert mehr, was so Schlussfolgerungen sind, mit denen Sie üblicherweise zu tun kriegen. Der Beweis vom 1,16 ist schon ein bisschen speziell. So, und was wir jetzt machen wollen, ist was, wenn man aus der normalen Rechnerei kommt,

wenn man die ganzen Zahlen rechnet, ohne dass Modulo total banal ist. Wir haben diese Gleichung A hoch P ist Konkurrent A, Modulo P. Dann ist es doch sehr naheliegend zu sagen, dann ist A hoch P minus 1, Konkurrent 1, Modulo P. Wir kürzen aus der Gleichung ein A.

Vorsicht, wenn Sie Gleichungen haben, die Modulo sind, ist das mit dem Kürzen nicht so banal. Und wenn es dumm läuft, einfach falsch. Und ich will Ihnen einen Fall geben, in dem das gut geht.

Und zwar, wenn P eine Primzahl ist, also das ist jetzt gleiche Voraussetzung wie oben, A aus N. Und jetzt braucht man aber noch, und die braucht man wirklich, eine wesentliche Zusatzvoraussetzung. Das P darf diese Zahl A nicht teilen. Also A darf den Primfaktor P nicht enthalten.

Und die braucht man auch. Und wenn das der Fall ist, dann dürfen Sie tatsächlich in diesem Verma da oben durchkürzen. Dann kriegen Sie das A hoch P minus 1, Konkurrent 1 ist Modulo P.

Ja, dass das falsch ist, wenn P nicht A teilt, sehen Sie ganz einfach, indem Sie mal P gleich A setzen. P gleich A ist sicher eine verbotene Wahl, weil P teilt P.

Und wenn Sie das machen, P gleich A, dann ist der Satz da oben, der kleine Verma, immer noch vollkommen richtig. Da gab es ja auch keine Einschränkungen. Dann steht da P hoch P, ist Konkurrent P, Modulo P. Also P hoch P ist Konkurrent Null, Modulo P. Und das ist vollkommen richtig, P teilt P hoch P. Aber unten, wenn Sie A gleich P setzen, steht da P hoch P minus 1, Konkurrent 1, Modulo P.

Und das ist Käse. Weil P hoch P minus 1 ist wieder durch P teilbar. P hoch 5 kommt da nicht vor. Also P hoch 6 ist wieder durch P teilbar. Aber das heißt Konkurrent Null, Modulo P, und nicht Konkurrent 1, Modulo P.

Also so einfach durchkürzen ohne draufgucken ist nicht bei solchen Modulogleichungen. Und dieses Corolla sagt Ihnen, es geht aber gut, wenn das P das A nicht teilt. So, und das heißt, der Beweis ist jetzt auch nicht einfach für Kürzen raus, sondern der Beweis muss jetzt irgendwo verwenden, dass das P das A nicht teilt, sonst kann er nicht stimmen.

Also schauen Sie mir gut auf die Finger und achten Sie darauf, dass ich das irgendwo verwende. So, also klar, was wir wissen, ist der Fermat. Der kleine Fermat, von dem wollen wir loslaufen. Der Satz 1,16 sagt uns, das A hoch P, Konkurrent A, ist Modulo P.

Das gilt auf jeden Fall. Was heißt das? Das heißt, Sie finden die ganze Zahl K. Das ist jetzt einfach die Definition vom Modulo, sodass das A hoch P ein Vielfaches von P ist und der Rest dabei ist A.

So, das ist die Moduloschreibweise umgeschrieben. So, damit haben wir das. Jetzt stellen wir das ein bisschen um. Im Wesentlichen bringen wir das Plus A von rechts auf die linke Seite und klammern ein A aus. Dann haben wir A mal A hoch P minus 1, minus 1 ist K mal P.

Also ich habe das Plus A nach links gebracht, dann steht der A hoch P minus A und dann habe ich nur A ausgeklammert. So, jetzt steht da schon das A hoch P minus 1 minus A, das wollen wir haben.

A hoch P minus 1 soll Konkurrent 1 sein. Jetzt müssen wir nur noch den Rest da wegschaffen. Und dazu nutzen wir jetzt die Voraussetzung aus, dass das P das A nicht teilt. Also P ist eine Primzahl, sodass P A nicht teilt.

Und das bedeutet was für den GGT von den beiden? P ist kein Teiler von A. P hat nur die Teiler P und 1, weil es eine Primzahl ist. Also muss der größte gemeinsame Teiler von P und A 1 sein. P hat nur die Teile P und 1, also kann der größte gemeinsame Teiler nur P oder 1 sein.

P kann er nicht sein, also ist er 1. Und jetzt kommt die Übungsaufgabe 1.15, die ich in der letzten Vorlesung Ihnen gegeben habe. Was sagt der 1.15?

1.15 sagt, wenn der GGT von zwei Zahlen A und N 1 ist, gleich 1.

Und Sie wissen, dass diese Zahl N das Produkt von A und B teilt. Und der GGT von N und A ist 1, dann teilt das N schon das B. Das war die Übungsaufgabe 1.15. Werden Sie demnächst auf dem Übungsblatt finden.

So, was haben wir jetzt hier? Wir haben A, also Sie müssen in die Zeile hier gucken. A mal A hoch P minus 1 minus 1 ist K mal P. Das heißt die Zahl P teilt dieses Produkt auf der linken Seite.

P teilt das Produkt A mal A hoch P minus 1 minus 1. Aber GGT von A und P ist 1. Das heißt, das P muss schon die Klammerdaten teilen. Also nach der Übungsaufgabe 1.15 kriegen wir das P.

Das P teilt das A hoch P minus 1 minus 1. Also diese Zeile Stern hier bedeutet, P teilt das Produkt A mal A hoch P minus 1 minus 1. Der GGT von P und A ist 1, also muss das P die Klammer teilen.

Damit sind wir aber im Prinzip fertig. Weil das bedeutet, das A hoch P minus 1 minus 1. Wenn ich das Mod P anschaue, was kommt dann raus? Naja, wenn das von P geteilt wird, ist das 0.

Und damit haben wir schließlich das A hoch P minus 1 kongruent 1 ist Modulop. Und das war genau die Behauptung. Sie sehen, einfach nur ein A kürzen kann ganz schön kompliziert sein. Und in dem Fall braucht es auch Voraussetzungen. Also da sollten Sie sich so ein bisschen so ein Vorsichtsschild in den Kopf stellen,

wenn Sie eine Modulogleichung haben. Dann sollten Sie nicht einfach anfangen, wie wild in der Gleichung herum zu kürzen und davon auszugehen, die stimmt noch. Das muss man sich überlegen, wann man kürzen darf. Das geht nicht immer.

Was Sie jetzt aus dem Abschnitt mitnehmen sollten, ist das. Was Sie daraus mitnehmen sollten, ist, dass es den kleinen Fermat gibt, der so eine Gleichung, Konkurrenzgleichung Modulo P angibt. Ich meine, was der Vorteil dieser Gleichung ist, ist, wie so oft, sie macht aus sehr großen Zahlen Modulo P sehr kleine, nämlich in dem Fall eine 1.

Und macht damit Rechnungen einfacher, wie letztes Mal schon gesagt. Und diese Gleichung hier, A hoch P minus 1 kongruent 1 Modulo P, wenn das P das A nicht teilt, die werden wir jetzt gleich nochmal verwenden.

Und was ich jetzt machen will, ist so einen kleinen Ausflug. Also was jetzt kommt, ist mehr als Anwendung zu sehen, denn als weiteres Fortgehen im Stoff. Ich will Ihnen zeigen, dass alles, was wir hier jetzt gerade machen,

interessante Mathematik ist, aber eben nicht nur das, sondern durchaus ganz reale, greifbare Anwendungen hat. Und das ist das Schöne, wenn Sie nämlich den GGT, also wenn Sie den GGT und den Euklidischen Algorithmus können und wenn Sie den kleinen Fermat haben, dann kann ich Ihnen jetzt hier komplett vorxen, dass der Standard-RSA-Algorithmus

der Publiquid-Kryptographie funktioniert. Also das, was Sie alle als PGP oder sonst wie kennen oder nutzen, kann ich Ihnen jetzt zeigen, wie der funktioniert. Und was wir brauchen, ist Euklidischer Algorithmus und ist kleiner Fermat. Und Sie sehen, das ist nicht irgendwie mathematische Spinnerei, sondern das ist theoretische Informatik.

So, das ist also der Paragraph 2, das ist ein relativ kurzer Paragraph, der Ihnen nur zeigen soll, was wir hier machen, hat auch Anwendungen. Also Mathematik in der Kryptographie. Kryptographie ist ein Bereich, wo Sie viel Mathematik und vor allem

viel Zahlentheorie haben. Da ist der kleine Fermat noch die einfachste Zutat. Und was ich Ihnen hier zeigen will, ist der sogenannte RSA-Algorithmus. RSA, werden Sie vielleicht auch schon mal gehört haben, die Abkürzung, die Abkürzung kommt von drei Nachnamen,

weil der Algorithmus wurde entwickelt von Roland Rivest, das ist das R, Adi Shamir, das ist das S und Leonard Adelman. Und war, ja, und ist einer der ersten und erfolgreichsten Public Key-Kryptographie-Algorithmen.

Ich erkläre es kurz. Das Grundproblem der Kryptographie ist so alt wie irgendwie strategische, vor allem strategische Militärüberlegungen der Menschheit, also irgendwie 3000, 4000 Jahre alt. Sie haben zwei Leute, die wollen sich eine Nachricht zukommen lassen,

der eine dem anderen, und dazwischen steht irgendjemand, der versucht, diese Nachricht abzufangen. Und bei den Kryptographen gibt es da eine sehr einheitliche Nomenklatur dafür. Es gibt immer einen Bob, genau, der hat eine Nachricht und die heißt, weil das, das ist dieser Brief da, die heißt üblicherweise M oder Message,

und diese Nachricht soll irgendwie zu Alice kommen, die heißen immer Bob und Alice, fragen Sie mich nicht warum, die heißen immer so wahrscheinlich wegen A und B, Alice soll diese Nachricht kriegen, und dann gibt es immer die Inkarnation des Bösen, die steht dazwischen und versucht, diese Nachricht abzufangen,

und die heißt üblicherweise Eve, wahrscheinlich von Eve's Dropping natürlich, und Eve ist also das böse Wesen, das versucht, an diese Nachricht zu kommen. So, und da gibt es jetzt 100.000 Lösungen, die sich die Menschheit im Laufe der Geschichte ausgedacht hat, und 100.000 Strategien von Eve, diese Lösungen wieder zu knacken.

Wer sich dafür interessiert, ich habe mit sehr viel Spaß gelesen das Buch, wie heißt es auf Deutsch, auf Englisch heißt es Codes, auf Deutsch heißt es irgendwas mit Schlüssel, Geheimnisse und so weiter, von Simon Singh, Britisher, also BBC, Wissenschaftsjournalist,

und der hat ein wirklich schönes Buch über diese ganze Thematik geschrieben, von den alten Griechen bis eben zum RSA Algorithmus, und dann mit einem Ausblick auch auf weitere Quantencomputer und sonstige Ideen. So, und was man jetzt machen kann, ist natürlich diese Nachricht zu verschlüsseln, und das uralte Problem der Kryptographie ist,

man muss sie verschlüsseln, dafür braucht man einen Schlüssel, und den Schlüssel müssen Bob und Alice kennen, und wenn man jetzt den Schlüssel austauscht und Eve ist dazwischen, hat man wieder verloren. Und die geniale Neuerung am Public Key-Verfahren ist, dass man sich darum nicht mehr kümmert, sondern dass man den Schlüssel zum Verschlüsseln

und den Schlüssel zum Entschlüsseln entkoppelt. Und dass es einen Schlüssel zum Verschlüsseln gibt, der öffentlich zugänglich ist, und mit dem man eben nur fair und nicht entschlüsseln kann. Und das geht so lange gut, wie gesichert ist,

dass man große Zahlen nicht effizient in ihre Primfaktorenzerlegung zerlegen kann. In dem Moment, wo jemand einen schnellen Algorithmus, und das heißt einen in vernünftiger Zeit arbeitenden Algorithmus findet, der große Produkte von Primzahlen wieder in die Primfaktoren zerlegt, ist Schicht mit RSA, dann ist der genauso knackbar wie alles andere auch.

Niemand garantiert uns, dass das nicht schon irgendwo passiert ist, weil wenn es Forschungseinrichtungen der Mathematik gibt, die richtig tief in der Zahlentheorie wühlen, dann sind das die Forschungseinrichtungen vom US-Militär und von anderen Militärs, und was da passiert, weiß keiner. Aber wir hoffen mal, dass es noch niemand geschafft hat,

und darauf beruht das ganze Verfahren. Also das können Sie so im Hinterkopf haben. Können Sie auch gucken, jetzt bei dem, was kommt, an welcher Stelle bräuchte man jetzt eine Primfaktorzerlegung, und die ist eben im Allgemeinen schwer.

Der Aufwand, eine große Zahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen, wächst nach derzeitigen Verfahren exponentiell mit der Größe der Zahl. Und das heißt, wenn die Zahl groß genug ist, brauchen Sie Millionen Milliarden von Jahren, um die zu zerlegen, und damit ist das System einigermaßen sicher. So, also wie funktioniert jetzt dieses Kryptografieverfahren?

Sie brauchen ein bisschen Vorbereitung, das muss Alice machen. Also Alice muss einmalig folgende Schritte ausführen. Erstens, sie wählt zwei große Primzahlen, also im Prinzip muss sie zwei Primzahlen wählen, aber sinnvollerweise wählt sie große Primzahlen,

weil wenn sie kleine wählt, dann ist das leicht zu knacken. Die nennen wir mal P und Q, und bitteschön sollen die beiden nicht gleich sein, das wird sie hinkriegen. So, also sie braucht zwei große Primzahlen. Primzahltests, auch für große Zahlen, sind relativ billig,

das heißt, das kann sie auf ihrem Rechner in ein paar Sekunden erledigen. Und was sie dann macht, sie rechnet zwei Zahlen aus, nämlich sie rechnet die Zahl klein n aus, das ist einfach das Produkt von den beiden P und Q, und sie rechnet die Zahl groß n aus, und das ist das Produkt von P minus 1 und Q minus 1.

Das kann sie ausrechnen, wenn sie P und Q hat, rechnet sie die beiden Zahlen aus. Man beachte, und das ist das für später wichtige, wenn sie n oder groß n haben, kommen sie damit nicht an P und Q. Das ist die ganze Grundidee. Wenn sie eins der n's haben, müssten sie, um jetzt an P und Q zu kommen,

das Ding in die Primfaktoren zerlegen, und das ist eben schwierig, oder kostet sie ein paar Millionen Jahre. So, jetzt kommt der zweite Schritt, den Alice einmalig machen muss, und jetzt kommt der ökidische Algorithmus ins Spiel. Was Alice jetzt noch braucht, ist, sie braucht eine Zahl E,

die zwei Dinge erfüllen muss. Erstens muss sie bitte schön teilerfremd zu dem groß n sein, also der ggt von i und dem groß n muss 1 sein, nein, das ist die Zahl E, die muss nur das erfüllen. Also sie wählt eine Zahl E, die teilerfremd zu dem groß n ist. Auch das ist nicht so arg schwer.

Ich würde mal sagen, dreimal geraten, und sie hat mit ziemlich hoher Wahrscheinlichkeit einen Treffer. Gerade bei so großen Zahlen werden die Wahrscheinlichkeiten, dass es da gemeinsam mit teiler gibt, naja, wahrscheinlich muss sie ein paar Mal mehr raten, aber das kriegt man hin. So. Und dann braucht man zu diesem E noch eine ganze Zahl,

nämlich das x, und dann haben wir es auch. Und dieses x muss jetzt eine Gleichung lösen, eine Modulogleichung, nämlich eine, die wir letztens schon gesehen haben, reiner Zufall. Und zwar suchen sie ein x, sodass E mal x kongruent 1 ist, modulo dem groß n.

Sie haben E, sie haben groß n, wie kommen sie an das x? Das war genau eine Folgerung aus dem Euklidischen Algorithmus. Diese Gleichung ist im Euklidischen Algorithmus in 0,x gelöst. Das war das Beispiel 1,14. Da hatte ich Ihnen gesagt, wenn Sie zwei,

bedenken Sie, das E und das n sind teilerfremd, also haben GGT 1, und dann haben wir im Beispiel 1,14 gesehen, wenn Sie zwei Zahlen mit GGT 1 haben, dann können Sie diese Modulogleichung immer mit dem Euklidischen Algorithmus lösen. Also mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus. So, jetzt hat Alice vier Zahlen, klein n, groß n, also eigentlich sechs,

klein n, groß n, p und q, E und das x. So, und jetzt macht sie daraus ihren Public Key, ihren öffentlichen Schlüssel. Und das ist nämlich das Paar n, e. Und das schickt sie an Bob, und wenn sie will noch in Kopie an Yves,

das stört sie nicht. So, dann ist es für Yves nicht so anstrengend, dann kriegt sie es direkt. Und jetzt beachten Sie, wenn Sie n und e haben, kommen Sie an p und q nicht ran. Weil aus dem n, kriegen Sie es nur in ein paar Millionen Jahren, und das e sagt Ihnen noch weniger. Das e ist eine Zahl, die ist teilerfremd zu dem groß n,

und selbst wenn Sie damit an das groß n kämen, haben Sie noch lang keinen p und q. So, das ist der sogenannte Public Key. So, jetzt ist Bob dran,

der hat jetzt den Public Key von Alice, und er will jetzt seine Nachricht verschicken. Seine Nachricht ist m, und wir gehen mal davon aus, dass wir als Informatiker hier nicht stressen, dass m die Nachricht eine Zahl ist. Ist kein Problem, nehmen Sie Buchstaben und machen Sie einen ASCII-Code draußen, machen Sie sonst was.

Die Nachrichten eine Zahl zu übersetzen, sollte man hinkriegen. So, und diese Zahl sollte bitte schön auch kleiner sein, als dieses groß n, also das Produkt der beiden Primzahlen. Wenn Bob jetzt Alice ein ganzes Buch schicken will, dann kann es passieren, dass das nicht klappt, aber das ist kein Problem, dann schickt er halt die Kapitel 1 hin. Also, das kriegt man hin.

So, also das ist die Nachricht. So, wie geht jetzt Verschlüsseln und Endschlüsseln? Also, wir haben das m, Bob hat das m und das n und das e, und damit macht Bob jetzt Folgendes.

Er muss jetzt ein bisschen Modulo rechnen, aber das ist nicht kompliziert, Modulo rechnen geht schnell. Also, er bestimmt jetzt eine Zahl m-, das ist die verschlüsselte Nachricht, indem er seine Nachricht nimmt, sie mit e potenziert, und e ist ein Teil vom öffentlichen Schlüssel von Alice,

und das dann Modulo n nimmt. N und e war der öffentliche Schlüssel, kein Problem, kann er ausrechnen, ist eine einfache Modulo Rechnung. So, und das Ding schickt er dann an Alice. So, jetzt kriegen i von Alice das m-,

und was macht Alice jetzt? Sie nimmt sich das m- und berechnet daraus ein m2-, das ist die Endschlüsselte Nachricht, indem sie was macht? Sie nimmt das m- und potenziert es mit x,

und rechnet dann Modulo n. Mit x potenzieren kann sie, x kennt sie, x kennt sonst niemand. Also, dieses xn, das ist der private key, das ist der Teil des Schlüssels,

also das n ist öffentlich zugänglich, aber das x nicht. Das x, das sollte man tatsächlich nicht an Eve schicken, aber das x braucht Bob eben nicht zum Verschlüsseln, sondern das braucht nur Alice zum Entschlüsseln, und das tut Rechning gleich vor. So, zum Entschlüsseln braucht man x. Was war x?

x war diese Lösung der Gleichung Ex gleich Groß n. Ne, Ex gleich 1 Modulo n. Um die zu bestimmen, e kennt man ja schon, man braucht nur das Groß n. Sobald man das Groß n hat, können sie auch x bestimmen. Also ist die Frage, kommen sie, wenn sie n und e haben,

also klein n und e haben das Groß n, und die Antwort ist nein, weil um an das Groß n zu kommen, brauchen sie die p und qs, und die kriegen sie aus dem kleinen n nicht raus. So, also was uns jetzt noch zu tun bleibt, ist nachzuweisen, dass Alice jetzt auf ihrem Bildschirm

nicht irgendeine sinnlose Folge von Zahlen hat, sondern das m2 Strich wieder m ist. Sonst wäre das ein blödes Verschlüsselungsverfahren, wenn am Schluss nicht wieder dasselbe rauskommt. Das ist jetzt der nächste Schritt, der sich leider um fünf Minuten verzögert,

oder um eine Minute verzögert, weil die blöde Mine alles, aber das habe ich jetzt schon ein paar Mal gemacht, da bin ich schnell.

Genau, machen Sie mal ein Pausenzeichen zwischen den Reihen. So, neue Mine hinein, Klappe zu und weiter geht's.

So, also was wir brauchen ist, dass dabei was Vernünftiges rauskommt, und das ist der einzige Satz in dem Abschnitt, der eben genau sagt, das tut. Also was ist m2 Strich? m2 Strich ist m Strich hoch x,

und m Strich ist m hoch e. Also m2 Strich ist m hoch e mal x modulo n. Und meine Behauptung ist, das ist wieder m, zumindest solange, was ich ja vorhin sagte, was sein muss, die Message kleiner ist als das kleine n.

Das kann Bob gewährleisten, weil das kleine n kennt er, und wenn seine Message zu lang ist, dann hackt er sie halt in Teile. So, und was man jetzt machen muss, ist nur alles, was wir bisher gesammelt haben, zusammensetzen.

Was wissen wir über dieses Produkt e mal x? Das Produkt e mal x taucht am Exponenten auf, wenn sie verschlüsseln und dann entschlüsseln. Sie verschlüsseln erst, indem sie hoch e nehmen, und dann entschlüsseln sie, indem sie hoch x nehmen. Und jetzt ist die Frage, was ist mit e hoch x, und e mal x, und e mal x kennen wir schon. Also von e mal x wissen wir was, weil e mal x war genau so,

dass das Produkt eins ist modulo dem Groß n. So war das x genau gewählt. Und das Groß n, ich schreibe es zur Erinnerung noch mal hin. Ach so, ich habe h. Also der Frau unten kann auch mal die Folie anmachen, den Overhead.

Da stehen die ganzen Größen noch mal drauf. Also die. Na gut, jetzt schreibe ich sie noch mal hin. Also n war p minus 1 mal q minus 1. Der wird jetzt hier gleich hell, noch 15 Sekunden.

So, also wissen wir was. Was uns interessiert ist diese Größe m hoch e x, und am Schluss dann modulo n. Was ist denn m hoch e x? Moment, nee, deswegen eins zu schnell. Was heißt, was heißt dieses e x ist kongruent eins modulo n?

Das heißt, das übliche, das heißt, es gibt eine ganze Zahl k, in dem Fall eine natürliche Zahl, wir haben hier nur positive Zahlen, sodass das e x sich schreiben lässt als eins plus k mal Groß n. Also das ist eins plus k mal p minus eins mal q minus eins.

So, jetzt setzen wir das ein. Was uns interessiert ist m hoch e x. M hoch e x, haben wir gerade gesehen, ist dieses riesen Ding da. Also wir haben m hoch eins plus k mal p minus eins mal q minus eins.

So, jetzt haben wir da eine riesen Potenz stehen. Jetzt gibt es die üblichen Potenzrechenregeln. Und das ist m hoch, und jetzt sortiere ich das mal so, m hoch p minus eins hoch q minus eins mal k. Lassen Sie es kurz auf sich wirken und bestätigen mir,

dass es das Gleiche ist. Also hinten steht Potenz von Potenz. Das rechnet man aus als Potenz mit Produkt der Exponenten. Also p minus eins mal q minus eins k. Und vorne steht noch ein einzelnes m, das kommt von dem m hoch eins. So, das heißt alles, was wir noch zu tun haben,

wir wollen, dass da m rauskommt, ist, dass dieser ganze hintere Klumpatsch, diese doppelte Potenz da, dass das eins ist. Zumindest modulo klein n. Und jetzt muss ich zwei Fälle unterscheiden. Im Wesentlichen muss ich eine Trivialität ausschließen. Bob kennt klein n und e.

Was er natürlich nicht kennt, sind p und q. Und jetzt kann es ihm passieren, dass seine Nachricht genau so doof liegt, dass p ein Teiler davon ist. Kann passieren, was ist, wenn p ein Teiler von m ist,

dann ist m modulo p null. Das ist nur eine Umformulierung davon. Und wenn Sie jetzt nicht m angucken, sondern m hoch e x, dann ändert sich daran nicht viel. Wenn schon das m durch p teilbar ist, dann ist jede Potenz erst recht durch p teilbar.

Das heißt, das ist null und das ist das Gleiche wie m mod p. So, das vorweg geschickt. Der spannende Fall und der, ich meine, der auch viel häufiger auftretende Fall wird sein, dass das p nicht das m teilt.

Und was ich Ihnen jetzt zeigen will, ist, auch wenn das p nicht das m teilt, passiert das Gleiche. Das heißt, m hoch e x modulo p ist immer noch m mod p. Und das liegt am kleinen Verma. Wir nehmen den kleinen Verma,

und zwar nehmen wir ihn in der Form von dem Korrular, den ich dahinter hatte. Der sagte, wenn p das a nicht teilt, dann ist a hoch p minus 1 kongruent 1 modulo p. Hier teilt das p das m nicht. Das heißt, der Verma sagt, m hoch p minus 1 ist kongruent 1 modulo p.

Das war das Korrular nach dem Verma. So, was heißt das? Wenn ich jetzt m hoch e x anschaue, dann war das hier oben, m hoch e x,

war m mal diese Riesenpotenz. Bei Modulo Rechnen dürfen Sie das Modulo auf die einzelnen Faktoren werfen. Das heißt, Sie kriegen hier raus m modulo p mal diese Riesenpotenz modulo p, also m hoch p minus 1. Jetzt ziehen wir hier auch das modulo p innen rein. Dürfen wir auch Rechenregeln für Potenzen.

Also, was ich gemacht habe ist, ich habe diese Gleichung oben, die über dem ersten Fall steht, genommen und habe auf beiden Seiten modulo p genommen und auf der rechten Seite die einzelnen Faktoren modulo p.

Wenn man sich das jetzt anschaut, dann sehen Sie, hier steht nichts Aufregendes. Hier steht eine 1. Das ist der kleine Verma. m hoch p minus 1 mod p ist 1. Jetzt können Sie die 1 noch mit wilden Potenzen versehen. Da ändert sich nicht mehr viel. Das ist eine 1. Also, was hier übrig bleibt, ist m mod p.

Also, m hoch e x mod p ist m mod p. Warum rechne ich jetzt hier mod p? Das interessiert doch keinen. Was wir zeigen müssen, ist, dass m hoch e x mod n wieder das m ist. Das ist das eigentliche Ziel.

Also, wenn Sie sich nochmal den Satz oben anschauen, wir wollen m hoch e x modulo n ausrechnen. Das ist das, was Alice ausrechnet beim Rückverschlüssel. Aber der entscheidende Teil dafür ist, zu sehen, was bei p und q passiert.

Also, wir haben jetzt m hoch e x mod p ausgerechnet. Das ist m mod p. So, und das haben wir für p gemacht. Und die ganze Angelegenheit ist komplett symmetrisch in p und q. Was Sie für p machen, können Sie genauso für q machen. Also, jetzt nehmen Sie sich die Rechnung von gerade eben her

und schreiben überall, wo ein p steht, ein q hin. Und dann kriegen Sie m hoch e x mod q ist genauso m mod q. So, was heißt das? Das heißt, es existieren zwei Zahlen,

eine vom p und eine vom q, k1 und k2 aus den natürlichen Zahlen, sodass das m hoch e x mod q ist m mod q. Das heißt, m hoch e x ist m plus ein ganzzahliges Vielfaches von k1 von p

und ist gleichzeitig m plus ein ganzzahliges Vielfaches von q. Das bedeuten diese beiden Modulo-Gleichheiten. Was wir daraus kriegen, sind mehrere Dinge.

Aber eins, was sofort auffällt, ist, wenn Sie sich mal das zweite Gleichheitszeichen angucken. Es steht auf beiden Seiten m plus. Das können Sie wegkürzen oder wegsubtrahieren. Und dann bleibt übrig, dass k1p gleich k2q ist.

Jetzt waren p und q verschiedene Primzahlen. Das hatten wir Alice gebeten. Sie mögen bitte schön nicht aus Versehen zwei Gleiche nehmen. Das kriegt sie hin. Also, p und q waren verschiedene Primzahlen. Das heißt, der ggt von p und q ist eins.

Wenn Sie zwei verschiedene Primzahlen haben, dann können die sich nicht gegenseitig teilen. Sonst hätten Sie einen Teiler mehr, dann wären es keine Primzahlen. Also ist der ggt von p und q eins. Und jetzt haben Sie hier wieder so eine Gleichheit,

dass p teilt das Produkt k2 mal q. Also, ggt von p und q ist eins. Und wenn Sie sich die Gleichheit da oben angucken, kriegen Sie p teilt das Produkt k2q.

ggt von p und q ist eins, also muss p das k2 teilen. Das war wieder die Übungsaufgabe 1,15. p teilt k2. Das gibt uns jetzt ein k3, das ist aber auch das letzte k. Also daraus kriegen Sie die Existenz von einem k3,

sodass Sie das k2 schreiben können als k3 mal p. So, und jetzt müssen wir nur noch alles zusammensetzen. So, was hatten wir gesehen? Das ist jetzt gerade oben rausgerutscht. m hoch ex lässt sich schreiben als m plus ein Vielfaches von p bzw. ein Vielfaches von q.

Ich nehme mal das mit q. Und jetzt nehme ich, also ich nehme von dieser Gleichung, die jetzt ganz oben steht, den linken Term und den ganz rechts. Und die Gleichung nehme ich modulo n. Und das ist ja das, was uns interessiert.

Was uns interessiert ist m hoch ex modulo n. Und die spannende Frage, damit das alles tut, ist, dass da jetzt bitte schön m rauskommt. Dann ist die Entschlüsselung geglückt. Und wir haben jetzt alles zusammen, dass das klappt. Also nehmen Sie die Gleichung da oben. Das ist m plus k2q modulo n.

k2q, k2 haben wir gesehen, können Sie schreiben als k3p. Also das ist m plus k3pq modulo n.

Das war jetzt hier diese Erkenntnis, die wir hier verwendet haben. Und jetzt kommt das Schöne. Was ist p mal q? Klein n. So war das klein n gewählt. Also hier steht m plus irgendein Vielfaches von klein n modulo n.

Jaja, weil ich vorhin hochgegangen bin, danke. So, aber was ist k3n modulo n? Das ist Null. Also steht hier m modulo n. Und wenn Sie jetzt noch ganz genau sind, sagen Sie ja, aber jetzt haben wir doch ein Problem.

Es müsste m rauskommen. Wir wollen wirklich die Message haben. Und wenn wir m modulo n kriegen und sagen wir mal, ganz dummer Zufall, die Message von Bob war gerade zufällig klein n, dann hätten wir hier kein Verschlüsselungs- sondern ein Daten-in-Null-eimer-verschiebel-Verfahren. Weil dann käme jetzt plötzlich Null raus.

Deswegen müssen Sie aufpassen, dass die Message kleiner als n ist. Das ist genau der Punkt. Wenn die Message nämlich zufällig ein Vielfaches von n ist, dann kriegen Sie nicht die Message raus, sondern eine schöne Null. Aber da die Message kleiner als n war, steht da wirklich m.

Also das ist schon entscheidend, dass man keine zu langen Briefe verschickt oder eben mehrere. So, aber Sie sehen, es kommt tatsächlich m raus. Also zumindest habe ich Ihnen gezeigt, das Verschlüsselungsverfahren funktioniert insofern, dass man, was man verschlüsselt hat, auch wieder entschlüsseln kann.

Was ich Ihnen jetzt nur philosophisch angedeutet habe, ist die Frage, warum es sicher ist. Das kann man natürlich auch streng beweisen. Aber das müssen Sie mir jetzt an der Stelle glauben. Das System funktioniert, also ist nur knackbar in dem Moment, wo jemand es schafft, aus dem kleinen n oder dem großen n, egal,

das p und das q zu extrahieren. Ob das von jemand kann, ist wie gesagt unklar, aber das ist der Stand der Dinge. Und wenn Sie jetzt gucken, was zurzeit kryptografisch gemacht wird, dann sind das nicht immer strenger RSA, sondern da gibt es verschiedene Allgemeinerungen oder verschiedene Verschärfungen von,

aber die Grundidee ist immer die gleiche. Und die Stärke der Verschlüsselung richtet sich schlichtweg nur nach der Größe der Primzahlen, die verwendet werden, je größer die sind, umso sicherer ist es. Das ist der Punkt, wo im Moment die Verschlüsseler im ewigen Widerstreit mit den Entschlüssellern, mit den Codeknackern vorne liegen.

Und die spannende Frage ist, wie lange noch? Aber das ist im Moment der Stand der Dinge. Gut, an der Stelle mache ich jetzt hier ein Päuschen und danach steigen wir dann wieder in ganz grundlegende Mathematik ein.

So, ich würde gerne die zweite Hälfte anfangen. Und damit steigen wir einen neuen Abschnitt. Und der Abschnitt geht jetzt schon ganz dezidiert in die Richtung, die ich Ihnen am Anfang dieses Kapitels 2 genannt habe,

was das Ziel des Kapitels 2 ist. Wir wollen uns damit beschäftigen, was ist eigentlich Rechnen? Was Rechnen mit ganzen Zahlen ist, oder Rechnen mit reellen Zahlen, wissen Sie. Aber was ich jetzt machen will, ist, so wie wir im ersten Abschnitt den Begriff der Funktion abstrahiert haben und gesagt haben,

da müssen nicht Zahlen rein, sondern das kann zwischen zwei beliebigen Mengen laufen. So will ich jetzt das Rechnen abstrahieren und nicht mehr auf Zahlen reduzieren, sondern sagen, Rechnen können wir mit allem, solange wir die entsprechende Vorschrift kennen. Und das bauen wir langsam auf.

Wir fangen sozusagen mit einer kleinen Komplexität an und werden immer komplexer. Und das erste, was ich Ihnen zeigen will, sind sogenannte Gruppen.

Und worum es da geht, ist, wir gehen mal jetzt nicht gleich auf R los mit Plus und Mal und potenzieren, und was es noch alles geht, sondern wir bleiben bei einer einzigen Verknüpfung. Also, wenn ich jetzt von einer Gruppe rede, dann ist es immer gut, denken Sie, ganze Zahlen und Plus.

Ganze Zahlen und Plus ist eine schöne Gruppe. Sie können auch reelle Zahlen und Plus nehmen. Also, Sie haben nur eine Verknüpfung und im Kopf sollten Sie immer haben irgendwas, was Sie kennen. Ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen und Plus.

So, was ist eine Gruppe? Eine Gruppe ist irgendeine Menge, auf der Sie rechnen können. Und jetzt will ich nicht, dass Sie nur irgendwie rechnen können, sondern die soll sich so verhalten, wie wir das vom Plus zum Beispiel auf den ganzen Zahlen gewohnt sind. Also, das ist jetzt das Ziel.

Wir nehmen das Plus auf ganzen Zahlen, wir wollen einen Regelsatz aufstellen, den dieses Plus erfüllt und dann diesen Regelsatz als abstrakte Definition für die Gruppe hinstellen. Also, was ist das Plus auf Z? Was Sie zunächst mal haben für so eine Gruppe ist, Sie haben eine Menge von Objekten, mit denen Sie rechnen.

Das sind in Z die ganzen Zahlen. Also, Sie brauchen eine Menge. Und damit das eine Gruppe ist, heißt die Menge üblicherweise jetzt mal G. Nein, also, der Name ist natürlich beliebig, wie üblich.

Also, Sie können das Ding auch Elefant oder F nennen. Aber üblicherweise schreibt man G, damit man gleich an Gruppe denkt. Also, eine Menge und diese Menge darf bitteschön nicht leer sein. Auf der leeren Menge macht Rechnen keinen Spaß. Und was wir noch brauchen, um zu rechnen, ist nicht nur ein Topf voll Bananen,

sondern wir müssen auch wissen, was die eine Banane plus die andere Banane oder die eine Banane mal die andere Banane ist. Und damit das so ist wie in den ganzen Zahlen, muss, wenn ich die eine Banane zu anderen addiere, eine dritte Banane rauskommen. Also, wenn Sie zwei Zahlen miteinander addieren, kommt halt irgendeine andere Zahl raus. Was die Addition macht ist, das hatte ich im Funktionkapitel schon gesagt,

die Addition ist einfach im Prinzip eine Abbildung, die sich zwei Elemente nimmt und irgendein drittes ausspuckt nach irgendeinem Verfahren. Also, und das nennt man diese Abbildung, die nennt man in der Gruppe die Verknüpfung.

Also, in der Gruppe nennt man das die Verknüpfung der Gruppe. Und die schreibe ich jetzt bewusst nicht plus, weil wir uns ja sozusagen von dem speziellen Fall von Z mit plus lösen wollen. Ich schreibe mal Sternchen, damit es ein ganz neutrales Zeichen ist, aber denken Sie immer G ist Z und Sternchen ist plus.

Und dann ist das Verknüpfen in der Gruppe definiert als eine Abbildung von G Kreuz G nach G. Soll heißen, nehmen Sie sich zwei Elemente aus G raus und die beiden werden irgendwie miteinander vermanscht und verwurschtelt. Und am Schluss kommt ein drittes Element aus G raus. So, und jetzt soll das bitteschön nicht irgendwie gehen, sondern was wir machen wollen ist, wir wollen das Rechnen auf Z mit plus modellieren.

So, was ist also, was muss unsere Verknüpfung für Eigenschaften haben? Und das erste ist, wenn Sie an egal, welche Rechnoperation Sie so kennen, denken, normalerweise haben, ist eine Assoziativität.

Schon allein deswegen, damit man Sie nicht dauernd mit den Klammern rumschlagen muss. Also, das fordern wir als erstes. Egal, welche drei Elemente Sie aus dem G rausnehmen, soll bitteschön die Verknüpfung assoziativ sein. Das heißt, A Stern B Stern C soll dasselbe sein wie A Stern B Stern C.

Das nennt sich Assoziativität. Das werden Sie alle schon mal gesehen haben. Und für die, wenn Sie in Z mit plus denken, ist das eine Banalität. So, normalerweise abgekürzt mit A. Was ist noch, wenn Sie an Z mit plus denken, eine besondere Eigenschaft?

Es gibt ein ganz besonderes Element in Z, das von allen anderen sich abzeichnet. Und das ist die Null.

Ja, ich rede aber gerade von Z mit plus. Und wenn Sie plus nehmen, ist die eins nichts besonderes. Die eins ist besonderes, wenn Sie mal nehmen. Was macht das Null-Element besonders? Außer, dass es das ist, was in Mitteleuropa am allerspätesten dazu kam.

Das besondere Null-Element ist, dass wenn Sie es auf was anderes drauf addieren, dann ändert sich nichts. Das ist das Nichtstue-Element. Oder das sogenannte neutrale Element. Und das bezeichnet man mit N. Und das ist eine weitere Forderung, die wir an eine Gruppe stellen. Es gibt, es muss so eine Null geben. Also es muss ein N aus G geben, sodass wenn Sie dieses N mit irgendeinem anderen Element verknüpfen, dann ändert sich nichts.

Also N Stern a muss a sein für alle a aus G. Und jetzt muss ich hier aufpassen. Wenn Sie in Z denken, reicht das schon.

Aber ich habe nirgends gefordert und werde es auch im Moment nicht fordern, dass die Verknüpfung kommutativ ist. Also N Stern a ist noch lang nicht a Stern n. Und deswegen fordere ich das noch zusätzlich. Also auch wenn ich a Stern n bilde, soll da bitte schön nichts passieren. Also für alle a aus G soll, wenn Sie mit dem N verknüpfen, nichts passieren.

Und so ein N muss es geben. Also in Z mit Plus gibt es so ein N, da ist das die Null. Null plus K ist K und K plus Null ist K für alle K. So, das ist die zweite Forderung. Jetzt kommt noch eine dritte. Was haben Sie in Z noch für eine Struktur?

Sie haben die Zahlen, Sie haben das Plus, Sie haben ein Minus. Und das bedeutet was? Das bedeutet, egal wo Sie stehen, ob Sie gerade bei 23 stehen, Sie kommen immer nach Null, indem Sie nämlich mit minus 23 addieren. Und das ist die Forderung nach dem inversen Element.

Wenn Sie immer nach Null kommen, dann können Sie damit subtrahieren. So, und das inverse Element heißt, zu jeder Zahl muss es eine negative Zahl geben. Oder hier, abstrakt ausgedrückt, zu jedem a aus G, zu jedem Element der Gruppe, gibt es das Negative.

Aber das nenne ich jetzt wieder nicht so, weil wenn wir das jetzt wieder das Negative nennen, dann engen wir uns ein und denken wieder zu sehr in Zahlen. Also geben wir dem wieder einen neutralen Namen. Und ich nenne das mal a oben quer. Also gibt es irgendein anderes a quer aus G, kann auch dasselbe sein, aber im Allgemeinen anderes.

Sodass, wenn Sie es mit dem a verknüpfen, das neutrale Element rauskommt. Das neutrale Element gibt es hier oben. Wenn Sie das a mit dem a quer verknüpfen, kommt N raus. Und damit wieder das auch andersrum geht, machen wir es noch andersrum. a quer verknüpft mit a soll auch N sein.

So, und das, hier fehlt noch, also das zweite, ist die Existenz des neutralen Elements. Oder eines neutralen Elements. Und der dritte Teil ist die Existenz der inversen Elemente.

Also dieses a quer heißt das inverse Element zu a. Das sind ganz bewusst neue Namen, damit wir uns im Denken von plus oder mal lösen. Es ist trotzdem immer gut, in plus und mal zu denken, weil man dann einfach ein Beispiel für so eine Gruppe im Kopf hat.

Aber das Entscheidende ist, dass wir diesen Begriff der Verknüpfung auf eine Menge verallgemeinern und einfach so abstrahieren.

So, damit haben wir im Prinzip jetzt eine Gruppe definiert. Also das ist das, was auf der nächsten Folie steht. Der untere Hörsaal darf auch mal die Folie wechseln. Die bleibt jetzt ziemlich lange liegen.

Sie haben eine Gruppe, wenn sie eine Menge hat, mit einer Verknüpfung drauf. Die Verknüpfung muss, das ist was, was man im konkreten Fall immer noch checken muss. Deswegen steht es hier als Abgeschlossenheit oben. Vernünftig sein, das heißt, sie muss zwei Elemente von G, wieder zu einem Element von G verknüpfen.

Und nicht irgendwie aus dem Universum fliegen. Und dann muss sie die drei Bedingungen erfüllen. Sie muss assoziativ sein, es muss ein neutrales Element geben und es muss ein inverses Element geben, dann nennen wir das eine Gruppe. Jetzt habe ich die ganze Zeit darauf geachtet, dass wir keine Kommutativität voraussetzen.

Und das macht man bewusst nicht. Die Verknüpfung in der Gruppe ist im Allgemeinen nicht kommutativ. Jetzt können Sie natürlich Glück haben, dass Ihre Gruppe Z mit dem Plus ist. Und da ist die Verknüpfung kommutativ. Und dann ist dies eben eine besonders schöne Gruppe. Nämlich eine sogenannte abelsche Gruppe. Also wenn Sie zusätzlich noch die Eigenschaft K haben,

nämlich egal welches A und B aus G Sie nehmen, A verknüpft mit B ist dasselbe wie B verknüpft mit A. Das ist die Kommutativität. Dann nennt man die Gruppe abelsch.

Ja, ich sag gleich was dazu. Die Gruppe, das ist ein stehender Begriff. Da sind sich auch alle Bücher und sonst wie einig. Und wo kommt das Wort her? Das kommt von Nils Hendrik Abel. Was da war, ein norwegischer Mathematiker im Anfang oder Mitte des 19. Jahrhunderts.

Auch eine relativ tragische Gestalt, nicht besonders alt geworden. Aber in der kurzen Zeit, die er gelebt hat, wahnsinnig produktiv. Und der hat insbesondere ganz viel mit diesen Gruppen gearbeitet. Von dem stammt in die Richtung sehr viel.

Und ihm zu ehren heißen solche Gruppen abelsch. Also das ist das, was hier noch unter dem Papier steht. Also wenn Sie zusätzlich Kommutativität haben, dann heißt die Gruppe abelsch.

So, jetzt haben wir einen völlig abstrakten Begriff. Und das war ja auch das Ziel der Angelegenheit. Aber wenn man so einen abstrakten Begriff in die Finger kriegt, ist natürlich erstmal die Versuchung groß Beispiele. Was soll das? Und das bringe ich Ihnen jetzt reichlich.

Und Sie werden auch auf dem nächsten Übungsblatt noch reichlich sehen. Da gibt es dann so ein Gruppensuchkommando. Also eine Aufgabe, irgendwie gegeben fünf Mengen mit fünf Verknüpfungen. Und entscheiden Sie, wann das Gruppen sind und wann nicht. Und warum nicht. Und wenn ja, was ist das inverse Element? Und was ich Ihnen mit diesen Beispielen auch zeigen will, ist, dass es sinnvoll war, diesen Begriff einzuführen,

weil die Welt wimmelt von Gruppen und nicht alles sind Zahlen. Sie können durchaus sehr andere Objekte miteinander verknüpfen und erhalten dann wieder eine Gruppe. Und der Vorteil davon ist natürlich, dass rechtfertigt die abstrakte Definition,

weil Sie auf die Weise, wenn Sie irgendwas über eine abstrakte Gruppe bewiesen haben, dann haben Sie diese Aussage wurscht. Für alle diese Beispiele, die jetzt kommen, egal ob Sie mit Zahlen oder mit Funktion oder mit irgendwas anderem rechnen, dass die Aussage gilt, liegt allein an der Gruppenstruktur. Und das ist der Sinn von solchen Abstraktionen.

So, also genug gequatscht, ein paar Beispiele. So, also die ersten habe ich Ihnen schon genannt. Das war unser Modellbeispiel, die ganzen Zahlen mit Plus.

Das ist eine Gruppe, das hatte ich Ihnen jetzt so ein bisschen nebenbei motiviert beim Aufschreiben der Axiome. Es ist nicht nur eine Gruppe, es ist sogar eine abelsche Gruppe. Wenn Sie mit ganzen Zahlen addieren, dann ist das commutativ. Die Reihenfolge ist egal. Zur Schreibweise, ich habe hier so runde Klammern gemacht.

Wenn Sie eine Gruppe angeben wollen, müssen Sie immer eine Menge, hier die Menge G, spezifizieren und Sie müssen eine Verknüpfung spezifizieren. Und das schreibt man gern kurz so, also in runden Klammern, die erste Menge, dann die Verknüpfung. Also in dem Fall ist es die Menge der ganzen Zahlen mit dem Standard Plus

als Verknüpfung gibt eine abelsche Gruppe. Was nicht funktioniert, sind die natürlichen Zahlen mit dem Standard Plus. Das ist assoziativ. Wenn Sie zwei natürliche Zahlen addieren, kommt auch immer eine natürliche Zahl raus. Also das ist abgeschlossen, das ist assoziativ.

Bei unserer Definition der natürlichen Zahlen haben Sie auch ein neutrales Element. Die Null ist auch in N neutral. Was Ihnen schief geht, ist der letzte Punkt. Sie haben keine inversen Elemente. Fünf ist eine natürliche Zahl, aber minus fünf nicht. Und Sie werden keine andere natürliche Zahl finden, n, sodass fünf plus n gleich null ist. Da tun Sie sich schwer.

Deswegen ist das da keine Gruppe. Es ist ja auch immer gut, mal ein Beispiel gesehen zu haben, was nicht ist. Dieses i ist nicht erfüllt. Also Sie haben keine inversen Elemente. Da gibt es dann auch Theorie für so eine Struktur, die alles außer i erfüllt, nennt man manchmal Halbgruppe.

Da gibt es dann auch wieder Theorie. Also wenn Sie dann noch das n wegfällt und Sie nur ein assoziatives Verschlüpfungsgebilde haben, dann nennt man das auch Monoid. Und so können Sie immer weiter zurückgehen. Aber das sparen wir uns hier alles. Also weniger als Gruppen mache ich hier nicht.

Aber nur so, dahinter gibt es noch weitere Welten. Was sind noch Gruppen? Sie können nicht nur in z addieren, Sie können auch in q zum Beispiel addieren. Also wenn Sie die rationalen Zahlen nehmen mit plus, dann ist das auch eine abelsche Gruppe.

Jetzt habe ich immer die Verknüpfung plus genommen. Das ist kein muss. Nehmen Sie zum Beispiel folgende Menge. Sie nehmen die rationalen Zahlen ohne die Null. Also nehmen alle rationalen Zahlen und schmeißen die Null vor die Tür. Und dann gucken Sie sich darauf die Multiplikation an.

Dann behaupte ich, das ist ebenfalls eine abelsche Gruppe. Und jetzt sehen Sie schon, warum es sinnig ist, in der Definition der Gruppe Sternchen zu schreiben und nicht plus oder mal. Es gibt eben Gruppen mit plus und mal, und es gibt noch ganz andere. Und Sternchen ist einfach eine neutrale Bezeichnung. So, warum ist das eine abelsche Gruppe?

Naja, das Multiplizieren in q ist assoziativ. Es ist commutativ. Was wir noch brauchen ist ein neutrales Element und ein inverses Element. Was ist das neutrale Element hier? Und jetzt können Sie kommen mit der 1. Das neutrale Element hier ist die 1, weil egal welches q aus q Sie mit 1 multiplizieren,

es bleibt q. Und das inverse Element, wenn Sie ein q aus q haben, also das Entscheidende ist, wir haben q ohne die Null.

Wenn Sie eine rationale Zahl haben, dann können Sie immer das Element 1 durch q bilden. Also Sie nehmen den Bruch und drehen zähler und nänner um. Und wenn q nicht Null war, dann ist das wieder eine rationale Zahl, die nicht Null ist. Und das ist das inverse Element.

Damit ist Q ohne Null mit Mal eine abelsche Gruppe, das gleiche können Sie mit R machen. R mit Plus ist eine abelsche Gruppe, R ohne Null mit Mal ist eine abelsche Gruppe. Haben Sie also so ein paar abelsche Gruppen im Dunstkreis dessen, was Sie sozusagen vom Rechnen her kennen. Und Sie sehen, der Gruppenbegriff passt gut dazu.

So, und jetzt will ich noch Ihnen zeigen, man kommt aber darüber hinaus. Es gibt reinweise andere Gruppen und Sie werden in Ihrem Studium auch noch zig andere Gruppen kennenlernen. Jaja, also der Bruch drei Fünfte hat als inverses den Bruch fünf Drittel.

Assoziativ ist ja nur die Frage, Sie nehmen sich drei Brüche her. A mal B mal C ist dasselbe wie A mal B mal C. Das klappt.

Wenn das nicht klappen würde, dann, also das nutzen Sie ständig, wenn Sie irgendwelche Gleichungen umformen. Ja, Assoziativität ist ganz unten. Ja, Sie haben das Mal, aber für jede rationale Zahl können Sie den Kehrbruch bilden, der ist wieder eine rationale Zahl.

Also für jede rationale Zahl, die nicht Null ist, können Sie den Kehrbruch bilden, der ist wieder eine rationale Zahl. Und wenn Sie mit denen jetzt multiplizieren, was Sie jetzt machen müssen, ist Q mal dieses eins durch Q. Und das ist eins.

Also was Sie brauchen ist, Sie brauchen ein neutrales Element und Sie brauchen für jedes Element das inverse, das Sie aufs Neutrale schickt. Dann haben Sie, und Assoziativ und abgeschlossen, dann haben Sie eine Gruppe. So, was habe ich noch für Beispiele mit?

Wie gesagt, es gibt Gruppen wie Sand am Meeren, Sie werden in Ihrem Studium noch viele kennenlernen. Und ich will Ihnen jetzt noch Permutationsgruppen zeigen. Dazu brauchen wir erstmal irgendeine Menge M. Diese Menge M wird nicht die Menge G, die nachher die Gruppe ist, sondern das ist einfach jetzt einmal eine zugrunde liegende Menge M.

Und jetzt schauen wir uns, ich nenne es dieses Mal mal nicht G, sondern F, aber F ist im Alphabet ganz nah bei G. Also das F ist das, was nachher die Gruppe wird, und ich nenne es deswegen F, weil es eine Menge von Funktionen ist. Was Sie sich anschauen ist, die Menge aller Funktionen, die M auf sich selber abbilden und biaktiv sind.

Wenn M eine endliche Menge ist, also M ist die Menge 1, 2, 3, 4, 5, was ist dann die Menge aller biaktiven Abbildungen von dieser Menge in sich selbst? Das ist die Menge aller Umsortierungen. So können Sie sich das vorstellen, deswegen Permutation, die Menge aller möglichen biaktiven Umsortierungen.

Also wenn Sie als Menge Ihre 10 Bücher im Regal nehmen, dann entspricht F der Menge aller möglichen Sortierungen dieser 10 Bücher in Ihrem Regal. Also welche Reihenfolge Sie da hinstellen können.

Es gibt sehr viele. Und das ist die Menge hier, also die Menge aller biaktiven Abbildungen von M nach M. Und was ich Ihnen jetzt behaupte und auch gleich nachweise, wenn Sie jetzt dieses M, F mit der Verknüpfung ausstatten, die durch die Verkettung gegeben ist,

also diesem Nachkringel F nach G, Sie nehmen zwei Funktionen nacheinander, das Ding nehmen Sie als Verknüpfung, dann behaupte ich, das ist eine Gruppe.

So, und diese Gruppe nennt man die Permutationsgruppe von M. Permutare, Lateinisch vertauschen. Also die Vertauschungsgruppe von M, das was ich mit den Büchern meinte. M ist irgendeine beliebige Menge.

Also M kann durchaus auch, könnten die reellen Zahlen sein, kann eine riesengroße Menge sein, dann ist F natürlich auch riesengroß. Am besten, wenn man nicht verrückt werden will, ob dem Ding denkt man erstmal M endlich. Spannend genug ist schon der Fall, M ist dreielementig. Wenn M dreielementig ist, kann man die sechs Elemente von F noch hinschreiben.

Wenn M zehnelementig ist, wird es mit den fünfstellig vielen Elementen von F schon schwierig. Also das F wird sehr schnell groß, wenn M groß wird. So, warum ist das eine Gruppe? Was wir machen müssen ist die Aktionen nachweisen, also den Forderungskatalog hier.

Und das erste, was man machen muss und das vergisst man leicht, ist dieser Punkt der Abgeschlossenheit oben steht. Und das ist hier durchaus ein Thema. Wir müssen zeigen, das Verknüpfen, also in dem Fall die Verkettung der Funktionen,

ist wirklich eine Abbildung von F Kreuz F nach F. Soll was heißen? Soll heißen, wenn Sie eine biaktive Funktion haben und die mit einer biaktiven Funktion verknüpfen, dann muss wieder eine biaktive rauskommen. Und das muss man sich überlegen und das war glücklicherweise oder rein durch Zufall

die Übungsaufgabe 149, war glaube ich auch auf irgendeinem Übungsblatt, die sich genau das überlegt. Also Verkettung von zwei biaktiven Funktionen ist wieder biaktiv. So, wenn wir das haben, dann müssen wir noch A, N und I nachweisen.

Wir brauchen Assoziativität, wir brauchen neutrales Element und wir brauchen ein Verses-Element. Also zweitens die Assoziativität. Und das müssen wir machen. Wir müssen uns drei Elemente des Gruppenkandidaten hernehmen und nachweisen, die Verknüpfung ist assoziativ.

Also wenn man drei Funktionen braucht, nennt man sie kanonischerweise F, G und H. Und dann müssen wir zeigen, F nach G nach H ist das gleiche wie F nach G nach H. Dann müssen wir die Klammern verschieben können.

Dann sind zwei Funktionen gleich. Was wir zeigen wollen, also ich schreibe es mal kurz erst hin, was zu zeigen ist, wir müssen zeigen F nach G nach H ist dasselbe wie F nach G nach H. Dann sind zwei Funktionen gleich, wenn sie den gleichen Definitionsbereich und den gleichen

Zielbereich haben und wenn die Funktionsvorschrift gleich ist. Gleicher Definitions- und gleicher Zielbereich ist hier von selber gegeben, weil alle die Funktionen sind Funktionen von M nach M. Also ist auch G nach H eine Funktion von M nach M und F nach G nach H eine Funktion von M nach M. Das passt alles. Was wir noch zeigen müssen ist, die haben die gleiche Funktionsvorschrift.

Also, gehen wir es an. Hier zeigt man, dass zwei Funktionen die gleiche Funktionsvorschrift haben. Man nimmt sich ein X her und zeigt, dass sie beides aufs selbe abbilden. Also was müssen wir tun? Wir müssen die Funktion F nach G nach H nehmen, da das X einsetzen

und zeigen, dass das dasselbe ist wie wenn wir das X ins F nach G nach H einsetzen. Also was ist das hier nach Definition? Nach Definition ist das F von G nach H von X.

Die Verkettung ist ja definiert, als nimmt die zweite Funktion und setzt sie in die erste ein. Jetzt haben wir innen drin wieder eine Verkettung stehen. Wie ist die Verkettung definiert? G nach H von X ist dasselbe wie G von H von X. Jetzt haben wir Unmengen Klammern, aber der Vorteil ist, den Sie jetzt sehen, jetzt sieht man nicht mehr in welcher Reihenfolge hier geklammert wurde.

Jetzt können wir es andersherum wieder auseinander nehmen. Das ist dasselbe wie F nach G an der Stelle H von X und das ist dasselbe wie F nach G nach H von X.

Und Sie sehen, ich habe bei dieser ganzen Rechnerei die Biaktivität von den Funktionen überhaupt nicht gebraucht. Die Assoziativität ist, wie bei anderen Sachen auch, meistens das einfachste. Die gilt für beliebige Funktionen. Wenn Sie irgendwelche Funktionen haben, die Sie einander einsetzen dürfen, also dass das Verkringeln Sinn macht, dann ist das immer assoziativ.

Das ist diese Rechnung, die braucht keine weiteren Voraussetzungen, außer dass die Verkringlung Sinn macht. So, das war der zweite Teil. Der dritte Teil ist, wir brauchen ein neutrales Element.

Und an der Stelle hilft, in vielen Fällen ist das neutrale Element offensichtlich. Und wenn es nicht offensichtlich ist, hilft normalerweise nur geschicktes Raten. Sie brauchen einen Kandidaten. Sie müssen sich irgendein Element der Menge verschaffen, das wahrscheinlich das neutrale Element ist.

Dazu hilft nur, die Menge ganz scharf anzuschauen und sich zu überlegen, was ist da drin. Also, was ist ein vernünftiger Kandidat für das neutrale Element bei der Menge einer biaktiven Abbildung von M nach M? Das neutrale Element ist das Element, was beim Verknüpfen nichts tut.

Welche Abbildung ist denn biaktiv und tut nichts? Die hatten wir mal vor einigen Vorlesungen, das ist die Identität. X wird auf X abgebildet. Die tut nichts und die ist wunderbar biaktiv. Wenn Sie X auf X abbilden, dann ist die wunderbar umkehrbar, indem Sie X wieder auf X abbilden.

Und auf die Weise ist das eine schöne biaktive Abbildung. Also, das Freundliche ist auch, das Axiom oder diese Forderung hier sagt nicht, dass Sie sicherstellen müssen, dass es genau ein neutrales Element gibt. Sie müssen nur irgendeins finden. Wenn Sie eins haben, sind Sie glücklich.

Das heißt, es geht wirklich nur darum, eins zu finden. Ich darf kurz schon unterbrechen, weil ich kann Ihnen, glaube ich, schon was dazu sagen. Also, die Frage ist, die Identitätsfunktion für zwei unterschiedliche Wertebereiche, die gibt es nicht.

Weil, wie wollen Sie denn, wenn Sie Äpfel auf Bananen abbilden, den Apfel auf sich selbst abbilden, wenn das Bild ein Banane sein muss? Die Identität geht immer nur, wenn Sie eine Funktion von der Menge auf sich selbst haben. Sonst gibt es die Identität nicht.

Genau, aber hier haben wir Funktionen von M nach M. Also, hier ist das okay. Insofern war das jetzt gut, dass wir dann noch mal darauf hingewiesen haben. Hätte ich wahrscheinlich selber machen sollen. Also, das Ganze funktioniert hier nur, weil die Funktionen von M nach M gehen. Sonst wird es keine Gruppe. Biaktive Funktionen von Bananen auf Äpfel gibt keine Gruppe.

Voll allein, weil das neutrale Element scheitert. Also, das neutrale Element in der Gruppe will ich Ihnen zeigen. Oder ein neutrales Element. Ob es noch mehr gibt, darüber brauchen wir uns im Moment überhaupt nicht. Die Karre grau werden lassen. Die Forderung hier bei den Gruppenmaxiomen sagt nur, es muss eins geben.

Ist die Identität, also die Abbildung, die von M nach M geht. Und jedes X abbildet auf sich selbst. Und das ist ein schöner Kandidat für die Identität, weil die macht eben nichts. Und das ist genau das, was man von der Identität erwartet. Die sollen möglichst nichts tun. Also, weisen wir nach, dass das das neutrale Element ist.

Wie machen wir das? Wir schauen auf die Folie. Wir müssen zeigen, für jedes A aus G muss unsere Identität verknüpft mit A. Also, in dem Fall für jedes F aus F muss unsere Identität verknüpft mit F wieder F ergeben. Und F verknüpft mit der Identität muss auch F ergeben.

Also, nehmen wir uns irgendein F aus F her. Und zeigen wir, dass F nach it gleich it nach F gleich F ist. Und das machen wir wieder, indem wir für jedes X aus M zeigen.

Also, wir haben ein F und ein X. Und jetzt müssen wir die Funktion Identität nach F anschauen. Und zeigen, das ist F. Was ist Identität nach F? F nach Definition von der Verknüpfung ist das Identität von F von X. Das ist die Verkettung.

Identität von F von X, naja, it macht nichts. Das heißt, das ist F von X. Das heißt, it nach F ist gleich F. Das sieht schon mal gut aus. Wie ist das umgekehrt? Also, F nach it von X ist dasselbe wie F von it von X nach Definition der Verkettung.

Identität von X ist X, also steht hier F von X. Das heißt, wir haben auch F nach Identität ist F. Sieht gut aus. Identität ist ein neutrales Element. Wir haben eins. Was uns noch fehlt, ist das Inverse.

Was müssen wir tun? Wir müssen zu jedem F in F das F quer finden. Sodass, wenn wir F mit dem F quer verketten, die Identität, das neutrale Element, also die Identität rauskommt. Was ist eine Funktion, die mit F verketet das Nichtstun liefert?

Das ist genau die Umkehrfunktion. F nach F hoch minus eins ist die Identität. So haben wir die Umkehrfunktion damals konstruiert. Und die Umkehrfunktion können wir hier bilden, weil wir als F nur biaktive Funktionen zulassen. Jetzt sehen Sie, wir brauchen die ganzen Voraussetzungen. Also, wenn Sie die Menge aller biaktiven Abbildungen auf eine Menge in sich selbst nehmen,

dann kriegen Sie daraus, dass es die Abbildungen von der Menge in sich selbst sind, kriegen Sie das neutrale Element. Und deswegen, weil die Funktionen biaktiv sind, kriegen Sie ein Inverses. Also sei F aus F. Dann wissen wir, dann ist unser F eine biaktive Funktion.

Und das heißt, die Umkehrfunktion existiert. Die haben wir mit F hoch minus eins bezeichnet. Und wenn F von M nach M geht, dann geht auch die Umkehrfunktion von M nach M.

Und was ist die Eigenschaft der Umkehrfunktion? Die Eigenschaft der Umkehrfunktion ist, dass wenn ich sie mit F verkette, also wenn ich den Wert F hoch minus eins von F von x bestimme, dann ist das x, ich schreibe es nochmal deutlicher, das ist it von x,

für alle x aus M. Und umgekehrt, wenn Sie F mit F hoch minus eins verketten, dann ist das F von F hoch minus eins von x. Und das ist x, das ist it von x, ebenfalls für alle x aus M.

Und was jetzt da steht, ist F hoch minus eins nach F ist it. Und F nach F hoch minus eins ist it. Also was haben wir damit? F nach F hoch minus eins ist die Identität. Und F hoch minus eins nach F ist die Identität. Wenn man sich das jetzt hier wieder übersetzt, dann heißt das genau,

G Stern G quer ist N. Und G quer Stern G ist N. Und damit haben Sie das inverse Element. Also ist das Ding tatsächlich eine Gruppe. So, jetzt haben wir ein Beispiel für eine Gruppe,

die wirklich nichts mit Plus oder Mal zu tun hat. Und nichts mit dem, was Sie gemein in einem Rechnen gewohnt sind. Aber es hat genau die gleiche Struktur. Also wenn Sie irgendetwas wissen, wissen über die ganzen Zahlen mit Plus, dass Sie nur aufgrund dieser Eigenschaften beweisen können,

und zwar diese Eigenschaften ohne die Kommutativität da unten bitte, dann gilt diese Aussage auch für die Menge aller biaktiven Funktionen auf irgendeine Menge. Weil es eine Aussage ist, die nur auf der Gruppenstruktur beruht und sonst nichts mit den ganzen Zahlen zu tun hat. Und an solche Erkenntnisse gelangt man nie, wenn man diese Abstraktion nicht macht.

Das ist der Punkt. So, jetzt mal eine Frage. Ja, ja, also dieser Kringel hier, mit dem kann man rechnen. Der verhält sich im Rechnen wie das Mal auf Q ohne Null, solange Sie nicht die Kommutativität benutzen.

Und das ist mein nächster Punkt. Die geht hier nämlich schief. Im Allgemeinen. Ja, das ist so eine Warnung oder Bemerkung an der Stelle. Das verlieren wir beim Übergang zu einer Permutationsgruppe.

Eine Permutationsgruppe ist im Allgemeinen nicht abisch. Aber es sind Gruppen. Das heißt, alles, was Sie in Z plus zeigen können, nur aufgrund dieser oberen Dinger ohne die Kommutativität, gilt in der Permutationsgruppe genauso.

Und Sie können in der Permutationsgruppe rechnen. Wunderbar. Sie können in beliebigen Gruppen rechnen. Machen wir auch noch. Also, Bemerkung hier. Die sind im Allgemeinen nicht abisch. Ich habe Ihnen ein Beispiel mitgebracht. Man kann es sich an 100 Beispielen überlegen.

Also, die einzige abische Permutationsgruppe ist die von einelementigen Mengen. Weil auf einelementigen Mengen gibt es nur eine Permutation, nämlich die Identität. Und die Gruppe besteht nur aus der Identität und ist einelementig. Und die ist abisch. Aber das ist die einzige abische Permutationsgruppe.

Das heißt, nehmen Sie sich irgendeine Menge M, die mindestens zwei Elemente hat, und Sie haben eine nicht abische Permutationsgruppe. Ich habe als Beispiel mal mitgebracht, nehmen Sie mal ein großes M, nehmen Sie die reellen Zahlen. Und dann gebe ich Ihnen mal zwei Elemente der Permutationsgruppe an.

Was ist die Permutationsgruppe von R? Das ist die Menge aller biaktiven Funktionen von R nach R. Also, das ist etwas, was Sie sich aus der Schule vorstellen können. Funktionen von R nach R, das sind Grafen.

Und jetzt brauchen wir zwei Biaktive. Was fällt einem da ein? Ich habe mal zwei, da gibt es Unmengen, aber ich habe mal zwei mitgebracht. Also, die Funktion f, nehme ich die Funktion x hoch 3. Die ist injektiv, weil der Graf immer wächst und kein Wert doppelt angenommen wird.

Die ist subjektiv, weil die gesamte y-Achse im Bild liegt. Und g, nehmen wir noch eine zweite biaktive Funktion, x plus 1, ist auch biaktiv. Das ist eine Gradengleichung, eine Gerade.

Im Koordinatensystem, die ist injektiv, kein Wert wird doppelt angenommen. Die ist subjektiv, jeder Wert wird angenommen. Also, sind beides biaktive Abbildungen. Die gehören also beide zur Permutationsgruppe von R. Und dann schauen wir uns doch mal an, was passiert, wenn wir f nach g und wenn wir g nach f bilden.

Was ist f nach g von x? Das ist f von g von x. Das ist f von x plus 1, also x plus 1 hoch 3.

Und was ist g nach f von x? Das ist g von f von x, also g von x², x hoch 3. Und das ist x hoch 3 plus 1.

Und dass das gleich ist, können nur die behaupten, die die binomischen Formeln oder ihre Derivate ganz extrem vergessen haben. Und alle anderen erinnern sich dran, dass das nicht gleich ist. Also, Sie sehen, wir haben hier tatsächlich eine nicht abelsche Gruppe. Und davon gibt es reichlich Beispiele.

So, ich kann Ihnen noch ein weiteres Beispiel gerade noch zeigen. An dem man sieht, Sie können ganz geometrisch werden und finden Gruppen. Nehmen Sie sich eine gegebene geometrische Figur in der Ebene.

Und jetzt schauen Sie sich an, die Menge aller Drehungen und Spiegelungen, die diese geometrische Figur unverändert lassen.

Also Sie haben irgendwie, ich mache es gleich mit einem Quadrat, aber Sie können einen Kreis nehmen. Sie können ein Sechseck nehmen oder irgendwas völlig unsymmetrisches, also die eine auf sich selbst abbilden.

Das soll heißen, wenn Sie diese Drehung oder diese Spiegelung anwenden, dann ändert sich das Bild nicht. Und die behaupte ich bilden mit der Hinterlanderausführung als Verknüpfung wieder eine Gruppe. Ich mache es gleich am Beispiel von einem Quadrat, ich denke, dann wird es als Verknüpfung eine Gruppe.

Ich schreibe das hier in Prosa, weil ich keine Lust habe, Ihnen da entsprechende Bezeichnungen für einzuführen. Das ist im Moment, brauchen wir es nicht so dringend, ich will Ihnen einfach nur noch ein Beispiel zeigen, das von einer völlig anderen Natur ist.

Diese Gruppe nennt man dann aus sinniger Weise die Symmetriegruppe der Figur. Also ich mache es mal beispielsweise an einem Quadrat.

Was ist die Symmetriegruppe von einem Quadrat? Was können Sie jetzt spiegeln und drehen und das Quadrat bleibt es selbst? Sie können zum Beispiel an der Linie hier spiegeln. Wenn Sie es an der Linie spiegeln, ändert sich nichts. Gleiches gilt für die Linie hier.

Sie können an den Diagonalen spiegeln. Wenn Sie das machen, bleibt das Quadrat sich selber. Was können Sie noch machen? Sie können das ganze Ding um 90° drehen. Wenn Sie das Quadrat um 90° drehen, passiert nichts.

Sie können das Quadrat um 180° drehen. Wenn Sie es nur um den 45° drehen, dann passiert was. Das geht nicht. Aber um 90° um 180°, um 270° ist auch okay. Und dann noch 360° oder meinetwegen nichts. Ich mache mal nur einen Punkt.

Also um 0° oder um 360° ist egal, aber um 0° drehen ist auch okay. Also in dem Fall wäre das G, die Gruppe, enthielte acht Elemente. Nämlich vier Spiegelungen. Die Spiegelungen an A, an B, an C und an D.

Das wären vier Elemente. Und dann eben die Drehungen da. Also die Drehungen um 90°, die Drehungen um 180°, die Drehungen um 270° und die Drehungen um 0°. So, und jetzt muss man sich überlegen, aber das ist tatsächlich eine Gruppe.

Also, können Sie sich mal überlegen. Was man sich dazu überlegen muss, ist, wann immer Sie zwei von den Sachen nacheinander machen, kommt irgendeins der anderen raus. Also zum Beispiel, wenn Sie erst an D spiegeln und dann um 90° drehen, dann ist das... Die Ecke geht da hin, die geht da hin, die bleibt da und geht dann da hin.

Das ist die Spiegelung an B, behaupte ich. Brechen Sie es mal nach. So, und warum ist das jetzt wiederum eine spannende Gruppe? Mit der haben Sie wenig, mit denen werden Sie nicht so viel zu tun haben,

wenn Sie nicht in eine ganz angewandte Grafikrichtung, was weiß ich, Grafikbildbearbeitung oder sowas gehen, dann haben Sie auch Symmetriegruppen. Aber ansonsten, wer damit massiv zu tun hat, sind die Kristallografen und die Chemiker. Weil, wenn man eine Kristallstruktur hat, dann ist es extrem entscheidend, was für Symmetrien in der Kristallstruktur sind.

Und diese Symmetrien lassen sich durch diese Gruppen beschreiben. Und man kann dann aus Eigenschaften der Gruppe auf Eigenschaften des Kristalls zurückschließen. Also nur um zu zeigen, diese ganze Theorie hat viele, viele Verzweigungen und viele, viele Anwendungen.

Hier nur als Beispiel, spielen Sie ruhiger mit dieser Symmetriegruppe vom Quadrat ein bisschen rum. Es ist ganz nett, sich zu überlegen, was hintereinander was gibt. Und jetzt, meinetwegen, dürfen Sie gern klatschen und ich danke Ihnen für Ihre Aufmerksamkeit.