## Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik: Gruppen

Video in TIB AV-Portal: Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik: Gruppen

 Title Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik: Gruppen Title of Series Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik Part Number 7 Number of Parts 29 Author License CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany:You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this license. Identifiers 10.5446/33614 (DOI) Publisher Release Date 2011 Language German

 Subject Area Mathematics
Function (mathematics) Set (mathematics) Inverse element Axiomatic system
Addition Calculation Ende <Graphentheorie> Integer Set (mathematics) Äquivalenzrelation Number Social class
Real number Moment (mathematics) Element (mathematics) Abstrakte Gruppe Set (mathematics) Inverse element Axiom Inequality (mathematics) Equation Term (mathematics) Abbildung <Physik> Integer Nichtlineares Gleichungssystem Social class
Hausdorff space Trail Uniqueness quantification Lösung <Mathematik> Musical ensemble Inverse element Nichtlineares Gleichungssystem Equation Axiom Termumformung
Finite element method Zahl Norm <Mathematik> Endliche Gruppe Uniqueness quantification Lösung <Mathematik> Nichtlineares Gleichungssystem Inverse element Set (mathematics) Equation Axiom
Zahl Parity (mathematics) Abbildung <Physik> Integer Set (mathematics) Subgroup Mathematical structure Number Subset
Restriktion <Mathematik> Addition Raum <Mathematik> Parity (mathematics) Group theory Propositional formula Inverse element Subgroup Number Subset Rand Vector space Uniformer Raum
Rotation Plane (geometry) Symmetry (physics) Diagonal Höhe Gradient Square Geometric shape Line (geometry) Subgroup
Rotation Group action Parity (mathematics) Moment (mathematics) Gradient Propositional formula Set (mathematics) Subgroup Subset Number Equivalence relation Universe (mathematics) Integer Adhesion
Zusammenhang <Mathematik> Direction (geometry) Associative property Subgroup Subset
Element (mathematics) Inverse element Subset
Grand Unified Theory Abbildung <Physik> Axiom Subgroup
Film editing Direction (geometry) Set (mathematics) Musical ensemble Subgroup Subset
Film editing Subgroup
ernannt werden an der TU Darmstadt so
gut dann steige ich wieder ein jetzt wobei der das mal stehen geblieben waren ich hatte letztes Mal den abstrakten Begriff der Gruppe definiert und damit sich alle noch mal dran erinnern können hab ich dann noch mal das Axiomensystem auf Folie mitgebracht die kann jetzt auch noch wenn ich die Zeit liegen bleiben wir Gruppe war der Menge wo sie eine welchen Verknüpfungen drauf haben +plus oder man darf dem nach also Verkettung von Funktionen oder oder oder als eine Verknüpfung und dann müssen wir diese 3 Welten die Regeln gelten Assoziativität Existenz das neutrale Element von Existenz des inversen Elements und wenn dann zusätzlich noch die Kommode tivität gegen den man dass dadurch die Gruppe und dann habe ich eben in Stade Beispiele mitgebracht und da bin ich nur nicht ganz fertig geworden noch 1 übrig und das will ich Ihnen jetzt zeigen nur dieses Beispiel das jetzt noch kommt ist ein sehr wichtiges insbesondere als dass sie in den nächsten Jahren die sie Informatik studieren auch führt unsere begleiten wird und das sind die mit Gruppen der 1. modulo N also das ist es der Teil Ehe von dem Beispiel was war das 3 2 Uhr also Beispiel 3 2. Teil und da
werden wir uns 1 n aus entstand fest und dann hatten wir schon im Kapitel über Äquivalenzrelation die Menge ZN definiert oder nennen oder in dem Kapitel über das 1. Kapitel der Grenze dazu und dann wieder aufgegriffen Kapitel über die Molo Rechnung die Menge ZN definiert als die Menge aller 1. Klasse modulo also z es die Menge die die 0 Schlange die einst Schlange und so weiter bis zur N -minus 1 Schlangen enthält und 4 Schlange ist eben die Menge aller Distanzen zahlen den Rest modulo M 4 ist nur frei so das ist erst mal einfach nur ne Menge das kann man ja dieser 1. Klassen und und ich behaupte jetzt ich kann diese Menge auf der relativ einfache Art zu der Gruppe machen wenn ich die richtige Verknüpfung angeht und die Verknüpfung ist folgendermaßen was müssen wir machen wir müssen 2 solche 1. Klasse miteinander addieren wir müssen definieren was is a Schlange +plus b schlage das erstmal nicht klar weil Menge das als Anschlages der Menge und bislang ist ne Menge wollen Sie jetzt wenn man mehr Schlange so und unendlich viele ganze Zahlen und bislang sind auch unendlich viele ganze Zahlen und insbesondere was muss jetzt dabei rauskommen wenn das Ding der Gruppe werden soll muss das Ergebnis dieser Verknüpfung ja auch wieder Element von Zn sein also auch jede Menge hin und die Definition des übersichtlicher erst mal und den Kopf haben die Frage an wie definiere ich welche Menge wenig ich nehme mir das in dem Schlange ist das drinnen in dem bislang ist das drin die beiden sein dessen jetzt ganze zahlen wir das heißt die weiß ich wie sie addieren kann nur ab +plus b kennen wir alle und jetzt nämlich von A +plus B die in der 1. Klasse so definiere meine Addition als in der 2. Klasse wirklich aus jeder 3. 1. Klasse ein rausnehmen die beiden ganzen Zahlen addieren dann wird die 1. Klasse bildet dann wie die Schlange drüber auch das ist Mehr kann es nur so hinschreiben oder man da länger drüber nach den stellt man fest so ein bisschen gefährlich ist dass das so zu schreiben warum hier doch mal also die Vermutung war muss nicht mitzieht entlang lange rauskommen doch die Schlange bedeutet immer also des Endes dass es einmal festgetackert diese lange bedeutet immer 1. Module ja das heißt +plus b Schlange selbst wenn also wenn wir n gleich 5 ich ja eine wo ihre Frage konnte in gleich 5 und an 2 und B 4 geht den Fall wollen sie habe 1 2 +plus 4 6 und 6 1 1 1 ja genau der wär das lange bedeutet sie nehmen alle Zahlen Na also 6 Schlange sind alle die Zahlen werden der Mann ist Molo 5 der gleiche ist wieder von 6 da also in dem Fall wäre dann 6 lange 1 also die mit dieser Addition der Zwangslage +plus 4 Schlange einzuschlagen kann das Problem ist anderes das Problem ist in dem Schlange steht ganz viel drin also 2 Schlange ist zum Beispiel im Beispiel von gerade eben das selbe wie sie geschlagen als wir bei 2 und 4 bleiben könnt Ihr Nachbar auf die Idee kommen wenn ich 2 Schlangen kleine addieren würde wie ich sie geschlagen und 4 schlage der 7 nur das selbe also eine der 7 +plus 4 S 11 und hat dann als Ergebnis nicht 6 lange sollen 11 lange aus das macht nix glücklicherweise war 6 langes 11 lange aber wir müssen irgendwie garantieren dass das immer so ist er dass es ihm egal ist welches aus schlagen Sie nehmen und welches Bier aus bislang um das ist und dieses das läuft unter dem Schlagwort Repräsentanten Unabhängigkeit Repräsentant des was wenn sie so der es 1. Klasse haben also alle wenn man die Menge also vieles lange die Menge aller zahlen den Rest Molo n derselbe ist wie bei 4 dann sie ihren Elemente rausnehmen jedes Element daraus ist ein Repräsentant dieser 1. Klasse und wenn sie jetzt hier addieren ist erst nicht klar dass diese Definition unabhängig davon ist wieder was und halten Sie sich ausrichten und da ihn niemand vorschreiben kann welchen Repräsentanz herauspicken muss damit die Definition sinnig ist die Definition von Repräsentanten unabhängig sein Musik egal sein ob sie für das aber 2 oder 7 neben dem Sohn das müssen als 1. zeigen und alles was wir zuerst mal zeigen müssen bevor wir überhaupt anfang können jetzt Assoziativität neutrales Element und so weiter zu gucken ist zu zeigen dass diese Verknüpfung überhaupt nicht vernünftig definierte Verknüpfung ist dass das wohldefinierte Verknüpfung ist und das was wir dazu tun wir müssen das Spiel von gerade eben machen sie wollen 2 Schlange und 4 Schlange addieren sich in 2 und 4 und ihre Nachbarn nimmt 7 und 4 wurde als 97 und dann muss dass er rauskommt also war neben 4 Zahlen
aus Z A 1 A 2 B 1 B 2 so sodass A 1 und A 2 dieser ist Klasse repräsentieren also das A 1 Schlange dasselbe wie A 2 Schlange ist und B 1 Schlangen das selbe wie die 2 nur dass das was passieren könnte wenn sie an bislang und bislang addieren wolle erklärte eine A 1 +plus B 1 und macht dann die große Schlange drüber und andere addiert a 2 +plus b 2 und machte die große schlanke drüber und was wir zeigen es ist ist ist egal sorgen was bedeutet dass das eine Schlange gleich A 2 Schlange ist das bedeutet dass die beiden zahlen den gleichen Rest Modelo in habe also A 1 ist Konkurrent A 2 modulo N das gleiche für D und 1 und B 2 also auch B 1 ist kongruent B 2 Molo n so dann wollen was uns interessiert ist was es mit A 1 plus B 1 und a 2 +plus b 2 wir und A 1 +plus ab B Ü B 1 und a 2 +plus b 2 müssen auch denselben Rest Murillo n haben das Rechnen wälzen war
also was ist A 1 +plus B 1 Molo entgegen 2. dass es nach unseren Satz 1 5 A 1 modulo M +plus B 1 modulo das ist diese Rechenregel dass bei Molo rechnen Plus jeden Summanden einzeln Modelo rechnen können zahm und hat festgestellt A 1 und A 2 haben denselben Rest modulo also is A 1 modulo allen das selbe wie A 2 Module in das heißt genau die beiden Kommas derselben Rest lassen ja ja ich bin entflammbaren danke sah 2 Modelle in die gleiche Argumentation für das P 1 B 1 und B 2 sind kongruent Modelo allen also die Reste sind die gleichen so war und jetzt will man sie den Satz 1 5 rückwärts und dann steht da a 2 +plus b 2 modulo enden kann das begleitet dass die 1. Klasse von A 1 +plus B 1 die selbe ist wie die S-Klasse von a 2 +plus b 2 und zwar wurscht welche Präsident halten Sie jetzt aus den aus den Rest lassen gewählt haben das heißt es ist wirklich egal ob sie und ihr Nachbar verschiedene Zahlen wählen die 1. dass die raus kommt es immer die gleichen vor damit das 1. Mal diese Verknüpfung überhaupt sinnvoll wohldefiniert und jetzt kann man nachweisen das diese Verknüpfung ZN Sondergruppe macht was müssen wir noch Ton und wir können den Fall auch noch K nachweisen weil grobes kommutativ also machen uns ans Werk Assoziativität und das für Assoziativität schon müssen uns 3 Elemente der Gruppe hernehmen und zeigen dass sie da so die Klammern verschieben können also wenn man uns 3 1. Klassen her aber Schlange B Schlange Seeschlangen feste modulo M und da müssen wir uns anschauen was is als Schlange Plus in Klammern der Schlange +plus 10 Schlangen und jetzt ist nur das einzige was wir haben ist die Definition von dieser Addition nur das Plus was sich geht es jetzt nicht das normale Plus von ganzen Zahlen sagen dass es das Komische neue +plus in dieser Zeit in Menge also was ist das dass es Schlange +plus nach Definition B +plus C Schlange was ist das das ist immer noch eine Addition von 2 1. Klassen beachten Sie die beiden Brustfilets dastehen sind 2 völlig verschiedene Verknüpfung das Erste bloß was da steht verknüpft 2 Mengen ist das bloß hinter den das 2. Plus unter der Schlange ist das normale +plus entsetzt 2 Dinge auch wenn sie es gleich Zeichen im gleichen Zeichen geschrieben werden so dass Phare +plus können war aber nach Definition auflösen und dann kommt raus Abfluss B +plus C Schlange wird beide +plus +plus MZ nur was jetzt dasteht ist ein Rechen austrugen Z und drüber große Schlange das bloße Z es assoziativ führen kann das Plus in Z W wie Wissen Zettel +plus ist ne Gruppe das heißt die unten drunter können wir daraus jetzt machen a +plus b +plus c Schlange und jetzt geht nach Definition ist das a +plus b Schlange +plus c Schlange und das
ist Schlange +plus b Schlange das lustig an also die Assoziativität NZN folgt aus Assoziativität Konzept dann genau so spielt man auch die andern zu rücken also die Commuter tivität dürfen sie selber machen geht genauso es noch schneller was Element was ist das neutrale Element müsse Element finden den zn das wenn Sie es auf irgendein anderes Element an dir nichts änderte wenn der richtige Kandidat dafür ist der L ist die 1. Klasse der 0 also wenn sie sich irren beliebiges Schlange außen ZN hernehmen und da die 0 Schlange drauf addieren was passiert danach Definition ist das A +plus 0 Schlangen ja und das ist als man kann er ist gleiches es besser ja und es sieht aus wie ungleich also sagt das ist der ja sah =ist gleich als landen so im Prinzip brauchen sie es noch umgekehrt wir brauchen noch 0 Schlange +plus als Schlange ist als Schlange aber das gilt wegen werde weil sie vorher schon gezeigt haben das das kommutativ ist nur 1 sagen neutrales Element haben wir dennoch das inverse ja was den Dienst führten war blieb das hat mir der Aufgabe nix zu tun das sind die kürzlich hier von den ach ja ja das kann gut sein dass die drin dass sie das selber machen sollen da steht drin dass das Führungsaufgabe ist wenn sie das das finden der sich in die Übungsaufgaben hier vorrechnet dann sagen sie es dann aber sofort auf das weiß als seine Freundlichkeit gedacht ich weiß das war das ist da nicht drin steht ich dachte es wäre schön wenn Sie es einmal sehen deswegen wenn es Ihnen hier vor sah er weil erfahrungsgemäß Diesel 1. lassen wie gesagt ihr ganzes Studium beginnen werden aber am Anfang sehr gewöhnungsbedürftig sind und für große Abwehrreflexe sorgen so wir brauchen auch das inverse Element wir geben uns also TWh
irgendein Element der ZNF ich vor und müssen ja wenn wir mit die Idee ist gut Sie also wieder ausgleicht die Idee ist gut sie zieht ja nicht als die DS das dieses Schlangen ja irgendwie eine Abbildung ist vom Z in die Menge dieser 1. lassen und dass die Direktive ist was ist ein Term jetzt darf dort mehr das ist einfach die Definition der Schlange ich sehe noch nicht also vielleicht nachher in Pause oder so ist jetzt klar zu mühsam also was wir hier machen ,komma nicht und ja wir haben die Damen die Verknüpfung los zwischen diesen 1. Klassen definiert und jetzt nachzuweisen dass das Ding damit die Gruppe ist da ,komma nicht drum rum also ich sehe nicht wie Sie wie sieht das aus Z anders ziehen wollen also mein es geht alles man kann sich alles Phonds von rüberziehen sehe vor die Assoziativität darum muss es sich einmal klar machen also ich find das nicht abstrakt ich sehe nicht wie so also wir brauchen das Element wenn wir einen uns 1 hinnehmen und was ist der natürliche Kandidat der natürliche Kandidat ist in dem sich ein Repräsentanten aus dem Arsch lange her und in dessen negatives in dem davon die Schlange das ist wieder Element von Zn na ja wenn jetzt nach einem was passiert sieht man auch gleich das tut wenig auf das schlage das Minus aber Schlange drauf an dir dann ist das nach Definition A +plus -minus aber Schlange und das ist nur Schlange und das ist genau das was das in der Seele weh tun muss es muss wenn es mit dem verknüpfe aufs wertneutral Element landen und das sakrale nennt die 0 Schlange nun auch hier haben Sie die umgekehrte Verknüpfung -minus als Schlange +plus schlangengleich gleich 0 Schlange wieder bilden dem bereits gezeigten kommutativ so damit aber das ist die Gruppe ist und wie gesagt diese Gruppe wenn Sie noch auf 10. wenn der ganze noch 4 rechnen es lohnt sich insofern es sich mit der vertraut zu machen rechnen man bisschen Ruhm und Ehre nahm auch alles was jetzt an Zeit investieren ist nicht verloren so ich bin an der Stelle noch ein bisschen so 1 2 1. einfache Rechenregeln Ansätze für Gruppen herleiten und wie gesagt die die davon ist immer alles was wir jetzt ein Rechenregeln ferner abstrakte Gruppe herleiten gibt ebenso vor Reisewege für jede Gruppe also für die ganzen Zahlen für die reellen Zahlen sie werden feststellen dass was ich Ihnen jetzt erzähle als Rechenregel wenn sie sind die ganze Zeit übersetzen sind Banalitäten aber es gibt ihn eben auch ne Rechenwege für Permutationen für Sie mit für für für die Symmetrie Gruppen die wir letztens hatten und für alles weitere was ne Gruppenstruktur hat so und das Erste ist sich darüber Gedanken zu machen er
an das ich letztes mal bei der Definition der Gruppe schon zum bisschen angesprochen hatte ich hatte ihnen gesagt das Axiom n hier bedeutet nur es muss ein neutrales Element geben sie müssen sich nicht damit rumschlagen ob es vielleicht noch andere geht oder so das Axiom verlangt nur für müssen einziehen sie müssen ein neutrales Element finden und dann das dem Axiom Genüge taten und was ich Ihnen zeigen jetzt zeigen werde ist die Debatte existiert nicht in dem Moment wo sie die Gruppe haben ist das neutrale Element immer eindeutig es kann nicht mehr als ein neutrales Element geben das ist der Teil A von diesen Satz also wenn Sie eine Gruppe haben die Ermittler Verknüpfung Stern dann gelten die folgenden auszusagen geh ich gut dann hat die natürlich neutrales Element sonst es keine Gruppe aber es gibt eben auch nur 1 also die hat nur ein neutrales Element eine Gruppe mit 2 verschiedenen neutral Elementen kann es nicht geben gleiches gilt das inverse wenn Sie sich hier die Förderung fürs inverse anschaust wieder nur für jedes ausgehen muss es Inverses geben es könnte aber durchaus sein dass es für eine aus G 7 verschiedene inverse gibt und auch da ist die Aussage theoretisch denkbar realistisch nicht geht nicht wenn sie die Gruppe haben dann hat jedes Ahaus genau ein Inverses und insofern macht das auch sehen von den inversen zu sprechen das mir sicherlich schon 25 Mal ausgerutscht um bisher wird ist die Formulierung das inverse von nicht gerechtfertigt weil sie nicht wissen dass es nur eines gibt das Recht werden wir jetzt gleich und damit zusammenhängend gilt folgende Aussage nämlich sozusagen Gleichung 1. Ordnung sind in Gruppen immer eindeutig lösbar also egal welche Elemente A B C D E sie sich vor vorgeben dann sind die folgenden Gleichungen immer eindeutig lösbar also verknüpft mit X gleich B und wieder der nicht kommutativ vität geschuldet X verknüpft mit sie gleich des Mannes Ungleichungen Gehweg AB gegeben gesucht X keine und B und suchen sodass er folgte Felix und die Aussage ist in jeder Gruppe 10 das eindeutig lösbar gleichauf als 1. sind lösbar 2. Sie haben genau eine Lösung wenn Sie sich die Aussage zum Beispiel setzen die Gruppe C +plus dann kommt die Banalität raus dass egal was a und b ist die Gleichung a +plus X gleich eindeutig lösbar ist hätten sie auch gewusst wie Lösung ist wahrscheinlich X gleich B -minus er genau wie gesagt Rezept liefert Ihnen diese abstrakte Dinge setzten sich nix Neues weil das übersichtlicher aber sie wird ihn eben die gleiche Aussage für per Mutations Gruppen oder es vielleicht nicht so offensichtlich sagen also das beweisen das Erste ist eben es gibt nur ein neutrales Element deswegen ist auch sie nicht von den neutralen man zu reden wie zeigt man sowas wie schon paar mal gesagt wenn sie zeigen wollen es gibt höchstens 1 dem sich 2 Anzeigen sind gleich also wir gehen davon aus wir haben in 1 N 2 ausg bei das neutrale Element in also zu sich 2 neutrale Elemente her und zeigen das kann nur klappen wenn N 1 gleich in 2 und das ist total banal aber ist das einmal gesehen haben
was ist denn N 1 n 1 man von gehen aber es können sehr mit N 1 machen wenn Sie in einzelnen neutrale man verknüpfen ändert sich nicht da das heißt wegen der Eigenschaft en ist das das selbe wie N 1 verknüpft mit den 2 weil es weiß neutrales Element über verknüpfen passiert nichts nur gucken sich die Gleichung anders Roman n 1 neutrales Element also wenn ich in 2 mit 1 1 Vertrieb passiert nichts also es in einem 2. für den 2. 2. du sollst jetzt da du ja die könnten ja ja also die Frage wann die Gruppe hatte nur ein Element hat dann ist das immer das neutrale Element geht gar nicht anders weil es muss nur 3 Siegen in geben und wenn sie nur einzuführen haben muss dass das Wohlsein ist nur eines spannende Gruppe ist können Sie der die Ziele der Gruppe die nur den und enthält nur mit plus oder die Gruppe da würde ein sehr netten mal da können sich stundenlang darum rechnen und +plus 0 +plus 0 +plus 0 +plus 0 5 dass wir total viel Struktur es ziemlich langweilig aber ist ne Gruppe allen so ja natürlich das ,komma wenn Sie die Gruppe nun nur die 0 haben dann ist nur in der Tier war klar nur durch Bundestag und was es auch sonst sein es würde nur die dann kommt bei jeder Rechnung raus aber in dem Fall dass ich nur 3 bei wobei beide sie nicht was heißt heise dürfen 0 abziehen wir gruben sie mit plus gibt es keine Wahl der Mittwoch kein Teil ja aber 0 -minus 0 geht natürlich auch klar wir werden später darauf zurückkommen also der auch Bands plus und Mai gibt dann dürfen Sie also wenn Sie 0 0 haben durch 0 teilen kommt nur durch nur aus ist aber wir kommt nur aus ist aber sind frei also ich mein das Dennis Wilson enthält es hat langweilig sie ja wie teilen Aussage wir jedes Element gibt es genau ein neutrales das es ein sowie hat wissen wir ja was noch zu zeigen dass es die Eindeutigkeit mir also Existenz gilt wegen dem Axiom II von Gruppen was wir zeigen müssen es die Eindeutigkeit so der Trick ist im Prinzip wenn der hier geht es bisschen länger also was machen wir wenden uns ausgehe und nehmen uns 2 her also B 1 B 2 drin sein weil die inverse zu hier darauf gab es wieder zeige GB 1 leicht mit 2 also Farbe B 1 an B 1 ist war es naja B 1 ist das selbe wie B 1 verknüpft mit dem neutralen nennt da über 3 Elemente und alles verknüpfen das wird nix dafür des Weges zentrale nennt warum mache ich das weil das neutrale man können sie jetzt komplizierte für diesen Witz 2 Inverses zu also es das neutrale Element das selbe wie verknüpft mit bezweifle denn die 1. also aber künftig B 2 n jetzt hoffen wir die Assoziativität aus also das 1. Mal neutrales Element das ist das Axiom II jetzt kommt das Axiom also Assoziativität das ist das selbe wie einst gestand mit aber und das gestapelt Bild 2 wir jetzt könnten fahren für was passiert jetzt aber dann nicht wie einst ein B 1 über das Element zu aber danke also ist das hier nach dem Axiom II das selbe wie n Sternbild 2 Na ja das es bezweifeln haben lange gleich US-Kette B 1 gleich gleich gleich P 2
1 sah und damit aber auch die Eindeutigkeit von inversen und als letztes kommt die eindeutige Lösbarkeit dieser Gleichung da oben also wir lösen ich mach nur die eine von den beiden Gleichungen die andere geht genauso also was wollen wir lösen wollen die Gleichung a Stern X gleich B lösen wobei geh aufzählen die Konvention ist A und B wissen wir und Access gesucht um und denken Sie kurzen Z sie wollen ab plus X gleich B lösen es XP -minus A es ist -minus aber wegen des ASB verknüpft mit dem inversen von kann also ist das unser Kandidat also wir probieren es mal mit X mit je 2 Siegen auf die Reihenfolge auf Pass an invers verknüpft mit B in sie können das auch so sehen wenn Sie sich die gleichen diese lösen wollen und verknüpfen Sie auf beiden Seiten von links mit AG werden sie dürfen jetzt in Gruppen genauso wie in Zelt und denn er ist es gewohnt sind gleichauf Umformung machen war er nur so müssen aufpassen das ist mal gemeint ich komm mutiert das heißt Sie müssen mir sagen ob sie von links oder von rechts verknüpfen was wir vermuteten sie von links Mittag werden man sich den arg Western als den X ist lässt den B Christian ist das neutrale nennt also steht da x gleich quer wie zur und es wird nur noch das gut so meine Vermutung für die Lösung hat dann ist es meistens einfach nachzurennen das Lösung ist also was ist jetzt als der nächste wenn wir dieses X nehmen dass es Stern querstellen B 1 Assoziativität das is a Stern erklären Stern B das is n Stern wäre und das ist weg alles dieses X tatsächlich Lösungen alles ist gut wir können nach Hause gehen dort ja noch nicht die ganze Aussage bewiesen deren bewiesen dass die gleiche Lösung hat aber die aus die Behauptung war es eine eindeutige Lösung also 2. Teil Eindeutigkeit damit so das sind so die
Kleinigkeiten die man gern überlisten übersieht wenn jetzt gezeigt die Gleichung hat ne Lösung aber sie könnte noch sehr viele Lösungen haben aber aber sie hat nur einige machen wir das so wie die ganze Zeit wenn dem uns 2 Lösungen her x 1 x 2 Lösungen der Gleichung a Stern X gleich B und da müssen wir zeigen dann ist X 1 gleich X 2 was geht auf jeden Fall da es geht das Stern X 1 b ist und das Stern X 2 b ist nur das heißt es in Lösung wenn diese Gleichung dabei gilt dann geht auch folgende Gleichung ich nehmen dieses Ding diese Gleichungen wir können wir auf beiden Seiten von links mit quer ja die beide Elemente hier gleich sind dann ist natürlich auch arg quer verknüpft mit Stern X 1 gleich AG Mehr verknüpft mit Stern 2 2 Elemente gleißende nicht verknüpft mit einem dann sind die Ergebnisse wieder gleich so jetzt 10 sicher was als nächstes kommt es kommt die Assoziativität das schreit geradezu danach die )klammer zu verschieben querstellen aber Stern X 1 ist quer querstellen aber dann nix 2 was ist querstellen aber nach der nach dem Axiom Inverses Element ist das n Stern x 1 =ist gleich n Stern X 2 und nach dem Axiom neutrales Element folgt daraus X 1 gleich X 2 und wir haben wenn Sie 2 Lösung haben Sie die gleich also Eindeutigkeit der lösten sagen das war der 1. Satz den ich Ihnen zeigen wollte zum Thema will zum Thema Gruppen Rechenregeln in 2. kommt als Übungsaufgabe in wenn
Sie demnächst am Übungsblatt finden also damit in der Gruppe und das neutrale Element ist wieder n und jetzt kommt noch 2 Dinge die wenn sie aus z kucken total banal sind aber die man sich in Gruppen im allgemein überlegen muss was passiert immer man sind die 1. die haben dann können Sie sich dazu geht quer angucken das ist im Zelt das negative war das inverse Element ist entsetzt negative und was passiert aber wenn Sie das in die Quere Stilelement von G also das dürfen sie auch noch mal klären es noch 10 Mark während die Frage was passiert dann in Z ist die Antwort einfach wenn Sie eine Zahl mit Minuszeichen versehen und Normen Minuszeichen dann dann verschwinden die beiden auf Nimmerwiedersehen und Sie haben wieder gehen und die Aussage ist das hat nichts mit Sex zu tun sollen das Geld in jeder Gruppe das inverse inversen zu Siemens selbst und Spital der Frage kam vorhin schon auf was ist denn das inverse von neutral also was -minus 0 -minus 0 der 0 auch das ist kein spezifisches dieses Feature Facetten sein das geht in jeder Gruppe wenn sie das nicht das neutrale invertieren kommt immer das Vertrauen aus so unterzieht teilen das Wissen von anderer Bauart der sagt Ihnen folgendes wenn Sie eine endliche Gruppe haben was soll das heißen das heißt die Menge geht in dieser Welt die viele Elemente denken Sie an sowas wie unser Zelt in ZNS für klassische entwichen Truppe und dann behaupte ich der Mann dann geht's ein n aus allen so das wenn sie denn so dass für alle G ausgehe wenn Sie jetzt das gehen nehmen dann können Sie ja das Gehen mit sich selber verknüpfen so könnt jedes Element gehen mit jedem in Berlin die verknüpfen das insbesondere den man mit sich selbst und das kann auch beliebig oft machen war die Frage ist also machen das hier
einmal das Verkürzung der mit dem mit dem mit mitgehen dafür gibt es hat sich etwas gefährlich eine Schreibweise eingebürgert die wenn man das den Stern also erst mal .punkt denk ganz natürlich ist aber es ist halt im Allgemeinen keinmal .punkt also dass wir doch auf dass die Ohren geschrieben wenn sie besondere wenn das mal wäre dann wäre das doch n es keine Wahl .punkt ist muss mit der Schreibweise halt wissen was man tut er 0 1 und ein enges natürlich total bekloppt wenn Ende schon das neutrale Element also das Marca zart es ist und weil man also es gibt ein Kanal so dass man nicht die kann man mit sich selbst verknüpfte egal was die ist dabei das neutrale man Trost damit wenn sie um Übungsplan rumschlagen und ich ja den es am Ende von Sohn Unterabschnitten insofern dem Ideal Momente mit den preußischen überzuleiten und dann kommen 10 Minuten weiter kann man zwar also ich würd gern die 2. Hälfte einsteigen
Inverses aber auch das geht gut was ist das inverse sind sich das Minus kamen K gerade ist es auch -minus K gerade also keine 2. zählt -minus kein 2. Z und dass das inverse Element an gut und was sie da noch brauchen ist Assoziativität ein aber die überträgt sich direkt das Zepter die Addition in den geraden Zahl ist genau die gleiche wie zählte man Z assoziativ sind sie auch den Graben Zahlen das ist wirklich also haben wir jetzt und feiern sie am mit Teilmenge geführt mit plus ist die Gruppe die geraden Zahlen nur betrachtet werfen alle ungeraden Müller man schaue sich nur die geraden an mit Plus ist auch ne Gruppe sogenannte Untergruppe eine der ein Teilmenge von G die mit der von GTA geerbten Verknüpfung widersetzten Gruppe ist sondern immer Untergruppen das ist Definition 3 6 also Sie haben der Gruppen und wenn sie jetzt der Teilmenge haben von G denn ist das und die wichtige Bedingung ist wenn Sie jetzt auf den o die Verknüpfung Sterne im von den G 4 also verknüpfen die Elemente von mit der Verknüpfung sterben wenn man das dann auch ne Gruppe gibt und das bedeutet immerhin insbesondere bedeutet das dass wenn sie 2 Elemente aus und verknüpfen müssen Sie immerhin Ulanen und das ist die Haut Restriktionen diese Verknüpfung gab sie aus Uni rausführen dann heißt das ohne Untergruppe von gehen wenn ich ein wo sie Sonne Konstruktion vielleicht schon mal gesehen
haben wo wir sich später auch noch machen werde es bei Vektorräume wenn man sie weckt und zur Schule er 3 oder so gemacht haben da gab es auch unter Vektorräume wurde Vektorraumes genau das gleiche Vektorraumes ist eine Teilmenge des Raumes der Service den Vektorraum das ist die gleiche Idee und sie schauen sich die Teilmenge von G an die selbst wieder Gruppen sind und ich ich werde das Thema Untergruppen nur so ganz am Rande einsteigen aber das ist ein ganz großes Thema der Gruppentheorie und anhand sozusagen die die die Frage wer für Untergruppen von abgegebenen Gruppe sind möglich oder wie kann man anhand der Untergruppen die ganze Gruppe wieder rekonstruieren da gibt es ganz viele Theorie zu die auch allen die an vielen Stellen nichtig ist ich will jetzt nicht erst mal in 2 Beispiele zeigen und dann sorgen einfache Aussagen im Außenbereich Untergruppen zeigen so war das 1. Beispiel und das ist ja auch im Standard vorgehen man guckt sich erst mal die banalen und die trivialen Beispiele an es gibt nämlich egal was die Gruppe G es jede Gruppe G hat mindestens 2 Untergruppen er wobei wenn sie also gut die Gruppe die der nur Intel hat nur eine als sie ein Elemente der Gruppe nur eine Untergruppen alle anderen mindestens 2 indessen die sogenannten Filialen Untergruppen also wirklich banal sind die eine ist die ganze Gruppe die ganze Gruppe sollte Teilmenge von sich selbst wüsste Gruppen vor die die andere ist genau so einfach dass das andere extrem nämlich wenn sie nur das neutrale nennt man dann sind sie dabei ihre Gruppe die nur die 0 enthält das ist auch nur braune Untergruppen nur Sortie 2 haben sich sich nur an das sind Untergruppen jeder Gruppe an und weil das die eben die Fälle sind die immer gibt die aber deswegen ziemlich langweilig sind nennt man die tatsächlich die triviale Untergruppen und die haben sie immer mit so also etwas Spannenderes Beispiele
aber was Spannenderes Beispiel ich hatte