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Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik: Gruppen

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ernannt werden an der TU Darmstadt so
gut dann steige ich wieder ein jetzt wobei der das mal stehen geblieben waren ich hatte letztes Mal den abstrakten Begriff der Gruppe definiert und damit sich alle noch mal dran erinnern können hab ich dann noch mal das Axiomensystem auf Folie mitgebracht die kann jetzt auch noch wenn ich die Zeit liegen bleiben wir Gruppe war der Menge wo sie eine welchen Verknüpfungen drauf haben +plus oder man darf dem nach also Verkettung von Funktionen oder oder oder als eine Verknüpfung und dann müssen wir diese 3 Welten die Regeln gelten Assoziativität Existenz das neutrale Element von Existenz des inversen Elements und wenn dann zusätzlich noch die Kommode tivität gegen den man dass dadurch die Gruppe und dann habe ich eben in Stade Beispiele mitgebracht und da bin ich nur nicht ganz fertig geworden noch 1 übrig und das will ich Ihnen jetzt zeigen nur dieses Beispiel das jetzt noch kommt ist ein sehr wichtiges insbesondere als dass sie in den nächsten Jahren die sie Informatik studieren auch führt unsere begleiten wird und das sind die mit Gruppen der 1. modulo N also das ist es der Teil Ehe von dem Beispiel was war das 3 2 Uhr also Beispiel 3 2. Teil und da
werden wir uns 1 n aus entstand fest und dann hatten wir schon im Kapitel über Äquivalenzrelation die Menge ZN definiert oder nennen oder in dem Kapitel über das 1. Kapitel der Grenze dazu und dann wieder aufgegriffen Kapitel über die Molo Rechnung die Menge ZN definiert als die Menge aller 1. Klasse modulo also z es die Menge die die 0 Schlange die einst Schlange und so weiter bis zur N -minus 1 Schlangen enthält und 4 Schlange ist eben die Menge aller Distanzen zahlen den Rest modulo M 4 ist nur frei so das ist erst mal einfach nur ne Menge das kann man ja dieser 1. Klassen und und ich behaupte jetzt ich kann diese Menge auf der relativ einfache Art zu der Gruppe machen wenn ich die richtige Verknüpfung angeht und die Verknüpfung ist folgendermaßen was müssen wir machen wir müssen 2 solche 1. Klasse miteinander addieren wir müssen definieren was is a Schlange +plus b schlage das erstmal nicht klar weil Menge das als Anschlages der Menge und bislang ist ne Menge wollen Sie jetzt wenn man mehr Schlange so und unendlich viele ganze Zahlen und bislang sind auch unendlich viele ganze Zahlen und insbesondere was muss jetzt dabei rauskommen wenn das Ding der Gruppe werden soll muss das Ergebnis dieser Verknüpfung ja auch wieder Element von Zn sein also auch jede Menge hin und die Definition des übersichtlicher erst mal und den Kopf haben die Frage an wie definiere ich welche Menge wenig ich nehme mir das in dem Schlange ist das drinnen in dem bislang ist das drin die beiden sein dessen jetzt ganze zahlen wir das heißt die weiß ich wie sie addieren kann nur ab +plus b kennen wir alle und jetzt nämlich von A +plus B die in der 1. Klasse so definiere meine Addition als in der 2. Klasse wirklich aus jeder 3. 1. Klasse ein rausnehmen die beiden ganzen Zahlen addieren dann wird die 1. Klasse bildet dann wie die Schlange drüber auch das ist Mehr kann es nur so hinschreiben oder man da länger drüber nach den stellt man fest so ein bisschen gefährlich ist dass das so zu schreiben warum hier doch mal also die Vermutung war muss nicht mitzieht entlang lange rauskommen doch die Schlange bedeutet immer also des Endes dass es einmal festgetackert diese lange bedeutet immer 1. Module ja das heißt +plus b Schlange selbst wenn also wenn wir n gleich 5 ich ja eine wo ihre Frage konnte in gleich 5 und an 2 und B 4 geht den Fall wollen sie habe 1 2 +plus 4 6 und 6 1 1 1 ja genau der wär das lange bedeutet sie nehmen alle Zahlen Na also 6 Schlange sind alle die Zahlen werden der Mann ist Molo 5 der gleiche ist wieder von 6 da also in dem Fall wäre dann 6 lange 1 also die mit dieser Addition der Zwangslage +plus 4 Schlange einzuschlagen kann das Problem ist anderes das Problem ist in dem Schlange steht ganz viel drin also 2 Schlange ist zum Beispiel im Beispiel von gerade eben das selbe wie sie geschlagen als wir bei 2 und 4 bleiben könnt Ihr Nachbar auf die Idee kommen wenn ich 2 Schlangen kleine addieren würde wie ich sie geschlagen und 4 schlage der 7 nur das selbe also eine der 7 +plus 4 S 11 und hat dann als Ergebnis nicht 6 lange sollen 11 lange aus das macht nix glücklicherweise war 6 langes 11 lange aber wir müssen irgendwie garantieren dass das immer so ist er dass es ihm egal ist welches aus schlagen Sie nehmen und welches Bier aus bislang um das ist und dieses das läuft unter dem Schlagwort Repräsentanten Unabhängigkeit Repräsentant des was wenn sie so der es 1. Klasse haben also alle wenn man die Menge also vieles lange die Menge aller zahlen den Rest Molo n derselbe ist wie bei 4 dann sie ihren Elemente rausnehmen jedes Element daraus ist ein Repräsentant dieser 1. Klasse und wenn sie jetzt hier addieren ist erst nicht klar dass diese Definition unabhängig davon ist wieder was und halten Sie sich ausrichten und da ihn niemand vorschreiben kann welchen Repräsentanz herauspicken muss damit die Definition sinnig ist die Definition von Repräsentanten unabhängig sein Musik egal sein ob sie für das aber 2 oder 7 neben dem Sohn das müssen als 1. zeigen und alles was wir zuerst mal zeigen müssen bevor wir überhaupt anfang können jetzt Assoziativität neutrales Element und so weiter zu gucken ist zu zeigen dass diese Verknüpfung überhaupt nicht vernünftig definierte Verknüpfung ist dass das wohldefinierte Verknüpfung ist und das was wir dazu tun wir müssen das Spiel von gerade eben machen sie wollen 2 Schlange und 4 Schlange addieren sich in 2 und 4 und ihre Nachbarn nimmt 7 und 4 wurde als 97 und dann muss dass er rauskommt also war neben 4 Zahlen
aus Z A 1 A 2 B 1 B 2 so sodass A 1 und A 2 dieser ist Klasse repräsentieren also das A 1 Schlange dasselbe wie A 2 Schlange ist und B 1 Schlangen das selbe wie die 2 nur dass das was passieren könnte wenn sie an bislang und bislang addieren wolle erklärte eine A 1 +plus B 1 und macht dann die große Schlange drüber und andere addiert a 2 +plus b 2 und machte die große schlanke drüber und was wir zeigen es ist ist ist egal sorgen was bedeutet dass das eine Schlange gleich A 2 Schlange ist das bedeutet dass die beiden zahlen den gleichen Rest Modelo in habe also A 1 ist Konkurrent A 2 modulo N das gleiche für D und 1 und B 2 also auch B 1 ist kongruent B 2 Molo n so dann wollen was uns interessiert ist was es mit A 1 plus B 1 und a 2 +plus b 2 wir und A 1 +plus ab B Ü B 1 und a 2 +plus b 2 müssen auch denselben Rest Murillo n haben das Rechnen wälzen war
also was ist A 1 +plus B 1 Molo entgegen 2. dass es nach unseren Satz 1 5 A 1 modulo M +plus B 1 modulo das ist diese Rechenregel dass bei Molo rechnen Plus jeden Summanden einzeln Modelo rechnen können zahm und hat festgestellt A 1 und A 2 haben denselben Rest modulo also is A 1 modulo allen das selbe wie A 2 Module in das heißt genau die beiden Kommas derselben Rest lassen ja ja ich bin entflammbaren danke sah 2 Modelle in die gleiche Argumentation für das P 1 B 1 und B 2 sind kongruent Modelo allen also die Reste sind die gleichen so war und jetzt will man sie den Satz 1 5 rückwärts und dann steht da a 2 +plus b 2 modulo enden kann das begleitet dass die 1. Klasse von A 1 +plus B 1 die selbe ist wie die S-Klasse von a 2 +plus b 2 und zwar wurscht welche Präsident halten Sie jetzt aus den aus den Rest lassen gewählt haben das heißt es ist wirklich egal ob sie und ihr Nachbar verschiedene Zahlen wählen die 1. dass die raus kommt es immer die gleichen vor damit das 1. Mal diese Verknüpfung überhaupt sinnvoll wohldefiniert und jetzt kann man nachweisen das diese Verknüpfung ZN Sondergruppe macht was müssen wir noch Ton und wir können den Fall auch noch K nachweisen weil grobes kommutativ also machen uns ans Werk Assoziativität und das für Assoziativität schon müssen uns 3 Elemente der Gruppe hernehmen und zeigen dass sie da so die Klammern verschieben können also wenn man uns 3 1. Klassen her aber Schlange B Schlange Seeschlangen feste modulo M und da müssen wir uns anschauen was is als Schlange Plus in Klammern der Schlange +plus 10 Schlangen und jetzt ist nur das einzige was wir haben ist die Definition von dieser Addition nur das Plus was sich geht es jetzt nicht das normale Plus von ganzen Zahlen sagen dass es das Komische neue +plus in dieser Zeit in Menge also was ist das dass es Schlange +plus nach Definition B +plus C Schlange was ist das das ist immer noch eine Addition von 2 1. Klassen beachten Sie die beiden Brustfilets dastehen sind 2 völlig verschiedene Verknüpfung das Erste bloß was da steht verknüpft 2 Mengen ist das bloß hinter den das 2. Plus unter der Schlange ist das normale +plus entsetzt 2 Dinge auch wenn sie es gleich Zeichen im gleichen Zeichen geschrieben werden so dass Phare +plus können war aber nach Definition auflösen und dann kommt raus Abfluss B +plus C Schlange wird beide +plus +plus MZ nur was jetzt dasteht ist ein Rechen austrugen Z und drüber große Schlange das bloße Z es assoziativ führen kann das Plus in Z W wie Wissen Zettel +plus ist ne Gruppe das heißt die unten drunter können wir daraus jetzt machen a +plus b +plus c Schlange und jetzt geht nach Definition ist das a +plus b Schlange +plus c Schlange und das
ist Schlange +plus b Schlange das lustig an also die Assoziativität NZN folgt aus Assoziativität Konzept dann genau so spielt man auch die andern zu rücken also die Commuter tivität dürfen sie selber machen geht genauso es noch schneller was Element was ist das neutrale Element müsse Element finden den zn das wenn Sie es auf irgendein anderes Element an dir nichts änderte wenn der richtige Kandidat dafür ist der L ist die 1. Klasse der 0 also wenn sie sich irren beliebiges Schlange außen ZN hernehmen und da die 0 Schlange drauf addieren was passiert danach Definition ist das A +plus 0 Schlangen ja und das ist als man kann er ist gleiches es besser ja und es sieht aus wie ungleich also sagt das ist der ja sah =ist gleich als landen so im Prinzip brauchen sie es noch umgekehrt wir brauchen noch 0 Schlange +plus als Schlange ist als Schlange aber das gilt wegen werde weil sie vorher schon gezeigt haben das das kommutativ ist nur 1 sagen neutrales Element haben wir dennoch das inverse ja was den Dienst führten war blieb das hat mir der Aufgabe nix zu tun das sind die kürzlich hier von den ach ja ja das kann gut sein dass die drin dass sie das selber machen sollen da steht drin dass das Führungsaufgabe ist wenn sie das das finden der sich in die Übungsaufgaben hier vorrechnet dann sagen sie es dann aber sofort auf das weiß als seine Freundlichkeit gedacht ich weiß das war das ist da nicht drin steht ich dachte es wäre schön wenn Sie es einmal sehen deswegen wenn es Ihnen hier vor sah er weil erfahrungsgemäß Diesel 1. lassen wie gesagt ihr ganzes Studium beginnen werden aber am Anfang sehr gewöhnungsbedürftig sind und für große Abwehrreflexe sorgen so wir brauchen auch das inverse Element wir geben uns also TWh
irgendein Element der ZNF ich vor und müssen ja wenn wir mit die Idee ist gut Sie also wieder ausgleicht die Idee ist gut sie zieht ja nicht als die DS das dieses Schlangen ja irgendwie eine Abbildung ist vom Z in die Menge dieser 1. lassen und dass die Direktive ist was ist ein Term jetzt darf dort mehr das ist einfach die Definition der Schlange ich sehe noch nicht also vielleicht nachher in Pause oder so ist jetzt klar zu mühsam also was wir hier machen ,komma nicht und ja wir haben die Damen die Verknüpfung los zwischen diesen 1. Klassen definiert und jetzt nachzuweisen dass das Ding damit die Gruppe ist da ,komma nicht drum rum also ich sehe nicht wie Sie wie sieht das aus Z anders ziehen wollen also mein es geht alles man kann sich alles Phonds von rüberziehen sehe vor die Assoziativität darum muss es sich einmal klar machen also ich find das nicht abstrakt ich sehe nicht wie so also wir brauchen das Element wenn wir einen uns 1 hinnehmen und was ist der natürliche Kandidat der natürliche Kandidat ist in dem sich ein Repräsentanten aus dem Arsch lange her und in dessen negatives in dem davon die Schlange das ist wieder Element von Zn na ja wenn jetzt nach einem was passiert sieht man auch gleich das tut wenig auf das schlage das Minus aber Schlange drauf an dir dann ist das nach Definition A +plus -minus aber Schlange und das ist nur Schlange und das ist genau das was das in der Seele weh tun muss es muss wenn es mit dem verknüpfe aufs wertneutral Element landen und das sakrale nennt die 0 Schlange nun auch hier haben Sie die umgekehrte Verknüpfung -minus als Schlange +plus schlangengleich gleich 0 Schlange wieder bilden dem bereits gezeigten kommutativ so damit aber das ist die Gruppe ist und wie gesagt diese Gruppe wenn Sie noch auf 10. wenn der ganze noch 4 rechnen es lohnt sich insofern es sich mit der vertraut zu machen rechnen man bisschen Ruhm und Ehre nahm auch alles was jetzt an Zeit investieren ist nicht verloren so ich bin an der Stelle noch ein bisschen so 1 2 1. einfache Rechenregeln Ansätze für Gruppen herleiten und wie gesagt die die davon ist immer alles was wir jetzt ein Rechenregeln ferner abstrakte Gruppe herleiten gibt ebenso vor Reisewege für jede Gruppe also für die ganzen Zahlen für die reellen Zahlen sie werden feststellen dass was ich Ihnen jetzt erzähle als Rechenregel wenn sie sind die ganze Zeit übersetzen sind Banalitäten aber es gibt ihn eben auch ne Rechenwege für Permutationen für Sie mit für für für die Symmetrie Gruppen die wir letztens hatten und für alles weitere was ne Gruppenstruktur hat so und das Erste ist sich darüber Gedanken zu machen er
an das ich letztes mal bei der Definition der Gruppe schon zum bisschen angesprochen hatte ich hatte ihnen gesagt das Axiom n hier bedeutet nur es muss ein neutrales Element geben sie müssen sich nicht damit rumschlagen ob es vielleicht noch andere geht oder so das Axiom verlangt nur für müssen einziehen sie müssen ein neutrales Element finden und dann das dem Axiom Genüge taten und was ich Ihnen zeigen jetzt zeigen werde ist die Debatte existiert nicht in dem Moment wo sie die Gruppe haben ist das neutrale Element immer eindeutig es kann nicht mehr als ein neutrales Element geben das ist der Teil A von diesen Satz also wenn Sie eine Gruppe haben die Ermittler Verknüpfung Stern dann gelten die folgenden auszusagen geh ich gut dann hat die natürlich neutrales Element sonst es keine Gruppe aber es gibt eben auch nur 1 also die hat nur ein neutrales Element eine Gruppe mit 2 verschiedenen neutral Elementen kann es nicht geben gleiches gilt das inverse wenn Sie sich hier die Förderung fürs inverse anschaust wieder nur für jedes ausgehen muss es Inverses geben es könnte aber durchaus sein dass es für eine aus G 7 verschiedene inverse gibt und auch da ist die Aussage theoretisch denkbar realistisch nicht geht nicht wenn sie die Gruppe haben dann hat jedes Ahaus genau ein Inverses und insofern macht das auch sehen von den inversen zu sprechen das mir sicherlich schon 25 Mal ausgerutscht um bisher wird ist die Formulierung das inverse von nicht gerechtfertigt weil sie nicht wissen dass es nur eines gibt das Recht werden wir jetzt gleich und damit zusammenhängend gilt folgende Aussage nämlich sozusagen Gleichung 1. Ordnung sind in Gruppen immer eindeutig lösbar also egal welche Elemente A B C D E sie sich vor vorgeben dann sind die folgenden Gleichungen immer eindeutig lösbar also verknüpft mit X gleich B und wieder der nicht kommutativ vität geschuldet X verknüpft mit sie gleich des Mannes Ungleichungen Gehweg AB gegeben gesucht X keine und B und suchen sodass er folgte Felix und die Aussage ist in jeder Gruppe 10 das eindeutig lösbar gleichauf als 1. sind lösbar 2. Sie haben genau eine Lösung wenn Sie sich die Aussage zum Beispiel setzen die Gruppe C +plus dann kommt die Banalität raus dass egal was a und b ist die Gleichung a +plus X gleich eindeutig lösbar ist hätten sie auch gewusst wie Lösung ist wahrscheinlich X gleich B -minus er genau wie gesagt Rezept liefert Ihnen diese abstrakte Dinge setzten sich nix Neues weil das übersichtlicher aber sie wird ihn eben die gleiche Aussage für per Mutations Gruppen oder es vielleicht nicht so offensichtlich sagen also das beweisen das Erste ist eben es gibt nur ein neutrales Element deswegen ist auch sie nicht von den neutralen man zu reden wie zeigt man sowas wie schon paar mal gesagt wenn sie zeigen wollen es gibt höchstens 1 dem sich 2 Anzeigen sind gleich also wir gehen davon aus wir haben in 1 N 2 ausg bei das neutrale Element in also zu sich 2 neutrale Elemente her und zeigen das kann nur klappen wenn N 1 gleich in 2 und das ist total banal aber ist das einmal gesehen haben
was ist denn N 1 n 1 man von gehen aber es können sehr mit N 1 machen wenn Sie in einzelnen neutrale man verknüpfen ändert sich nicht da das heißt wegen der Eigenschaft en ist das das selbe wie N 1 verknüpft mit den 2 weil es weiß neutrales Element über verknüpfen passiert nichts nur gucken sich die Gleichung anders Roman n 1 neutrales Element also wenn ich in 2 mit 1 1 Vertrieb passiert nichts also es in einem 2. für den 2. 2. du sollst jetzt da du ja die könnten ja ja also die Frage wann die Gruppe hatte nur ein Element hat dann ist das immer das neutrale Element geht gar nicht anders weil es muss nur 3 Siegen in geben und wenn sie nur einzuführen haben muss dass das Wohlsein ist nur eines spannende Gruppe ist können Sie der die Ziele der Gruppe die nur den und enthält nur mit plus oder die Gruppe da würde ein sehr netten mal da können sich stundenlang darum rechnen und +plus 0 +plus 0 +plus 0 +plus 0 5 dass wir total viel Struktur es ziemlich langweilig aber ist ne Gruppe allen so ja natürlich das ,komma wenn Sie die Gruppe nun nur die 0 haben dann ist nur in der Tier war klar nur durch Bundestag und was es auch sonst sein es würde nur die dann kommt bei jeder Rechnung raus aber in dem Fall dass ich nur 3 bei wobei beide sie nicht was heißt heise dürfen 0 abziehen wir gruben sie mit plus gibt es keine Wahl der Mittwoch kein Teil ja aber 0 -minus 0 geht natürlich auch klar wir werden später darauf zurückkommen also der auch Bands plus und Mai gibt dann dürfen Sie also wenn Sie 0 0 haben durch 0 teilen kommt nur durch nur aus ist aber wir kommt nur aus ist aber sind frei also ich mein das Dennis Wilson enthält es hat langweilig sie ja wie teilen Aussage wir jedes Element gibt es genau ein neutrales das es ein sowie hat wissen wir ja was noch zu zeigen dass es die Eindeutigkeit mir also Existenz gilt wegen dem Axiom II von Gruppen was wir zeigen müssen es die Eindeutigkeit so der Trick ist im Prinzip wenn der hier geht es bisschen länger also was machen wir wenden uns ausgehe und nehmen uns 2 her also B 1 B 2 drin sein weil die inverse zu hier darauf gab es wieder zeige GB 1 leicht mit 2 also Farbe B 1 an B 1 ist war es naja B 1 ist das selbe wie B 1 verknüpft mit dem neutralen nennt da über 3 Elemente und alles verknüpfen das wird nix dafür des Weges zentrale nennt warum mache ich das weil das neutrale man können sie jetzt komplizierte für diesen Witz 2 Inverses zu also es das neutrale Element das selbe wie verknüpft mit bezweifle denn die 1. also aber künftig B 2 n jetzt hoffen wir die Assoziativität aus also das 1. Mal neutrales Element das ist das Axiom II jetzt kommt das Axiom also Assoziativität das ist das selbe wie einst gestand mit aber und das gestapelt Bild 2 wir jetzt könnten fahren für was passiert jetzt aber dann nicht wie einst ein B 1 über das Element zu aber danke also ist das hier nach dem Axiom II das selbe wie n Sternbild 2 Na ja das es bezweifeln haben lange gleich US-Kette B 1 gleich gleich gleich P 2
1 sah und damit aber auch die Eindeutigkeit von inversen und als letztes kommt die eindeutige Lösbarkeit dieser Gleichung da oben also wir lösen ich mach nur die eine von den beiden Gleichungen die andere geht genauso also was wollen wir lösen wollen die Gleichung a Stern X gleich B lösen wobei geh aufzählen die Konvention ist A und B wissen wir und Access gesucht um und denken Sie kurzen Z sie wollen ab plus X gleich B lösen es XP -minus A es ist -minus aber wegen des ASB verknüpft mit dem inversen von kann also ist das unser Kandidat also wir probieren es mal mit X mit je 2 Siegen auf die Reihenfolge auf Pass an invers verknüpft mit B in sie können das auch so sehen wenn Sie sich die gleichen diese lösen wollen und verknüpfen Sie auf beiden Seiten von links mit AG werden sie dürfen jetzt in Gruppen genauso wie in Zelt und denn er ist es gewohnt sind gleichauf Umformung machen war er nur so müssen aufpassen das ist mal gemeint ich komm mutiert das heißt Sie müssen mir sagen ob sie von links oder von rechts verknüpfen was wir vermuteten sie von links Mittag werden man sich den arg Western als den X ist lässt den B Christian ist das neutrale nennt also steht da x gleich quer wie zur und es wird nur noch das gut so meine Vermutung für die Lösung hat dann ist es meistens einfach nachzurennen das Lösung ist also was ist jetzt als der nächste wenn wir dieses X nehmen dass es Stern querstellen B 1 Assoziativität das is a Stern erklären Stern B das is n Stern wäre und das ist weg alles dieses X tatsächlich Lösungen alles ist gut wir können nach Hause gehen dort ja noch nicht die ganze Aussage bewiesen deren bewiesen dass die gleiche Lösung hat aber die aus die Behauptung war es eine eindeutige Lösung also 2. Teil Eindeutigkeit damit so das sind so die
Kleinigkeiten die man gern überlisten übersieht wenn jetzt gezeigt die Gleichung hat ne Lösung aber sie könnte noch sehr viele Lösungen haben aber aber sie hat nur einige machen wir das so wie die ganze Zeit wenn dem uns 2 Lösungen her x 1 x 2 Lösungen der Gleichung a Stern X gleich B und da müssen wir zeigen dann ist X 1 gleich X 2 was geht auf jeden Fall da es geht das Stern X 1 b ist und das Stern X 2 b ist nur das heißt es in Lösung wenn diese Gleichung dabei gilt dann geht auch folgende Gleichung ich nehmen dieses Ding diese Gleichungen wir können wir auf beiden Seiten von links mit quer ja die beide Elemente hier gleich sind dann ist natürlich auch arg quer verknüpft mit Stern X 1 gleich AG Mehr verknüpft mit Stern 2 2 Elemente gleißende nicht verknüpft mit einem dann sind die Ergebnisse wieder gleich so jetzt 10 sicher was als nächstes kommt es kommt die Assoziativität das schreit geradezu danach die )klammer zu verschieben querstellen aber Stern X 1 ist quer querstellen aber dann nix 2 was ist querstellen aber nach der nach dem Axiom Inverses Element ist das n Stern x 1 =ist gleich n Stern X 2 und nach dem Axiom neutrales Element folgt daraus X 1 gleich X 2 und wir haben wenn Sie 2 Lösung haben Sie die gleich also Eindeutigkeit der lösten sagen das war der 1. Satz den ich Ihnen zeigen wollte zum Thema will zum Thema Gruppen Rechenregeln in 2. kommt als Übungsaufgabe in wenn
Sie demnächst am Übungsblatt finden also damit in der Gruppe und das neutrale Element ist wieder n und jetzt kommt noch 2 Dinge die wenn sie aus z kucken total banal sind aber die man sich in Gruppen im allgemein überlegen muss was passiert immer man sind die 1. die haben dann können Sie sich dazu geht quer angucken das ist im Zelt das negative war das inverse Element ist entsetzt negative und was passiert aber wenn Sie das in die Quere Stilelement von G also das dürfen sie auch noch mal klären es noch 10 Mark während die Frage was passiert dann in Z ist die Antwort einfach wenn Sie eine Zahl mit Minuszeichen versehen und Normen Minuszeichen dann dann verschwinden die beiden auf Nimmerwiedersehen und Sie haben wieder gehen und die Aussage ist das hat nichts mit Sex zu tun sollen das Geld in jeder Gruppe das inverse inversen zu Siemens selbst und Spital der Frage kam vorhin schon auf was ist denn das inverse von neutral also was -minus 0 -minus 0 der 0 auch das ist kein spezifisches dieses Feature Facetten sein das geht in jeder Gruppe wenn sie das nicht das neutrale invertieren kommt immer das Vertrauen aus so unterzieht teilen das Wissen von anderer Bauart der sagt Ihnen folgendes wenn Sie eine endliche Gruppe haben was soll das heißen das heißt die Menge geht in dieser Welt die viele Elemente denken Sie an sowas wie unser Zelt in ZNS für klassische entwichen Truppe und dann behaupte ich der Mann dann geht's ein n aus allen so das wenn sie denn so dass für alle G ausgehe wenn Sie jetzt das gehen nehmen dann können Sie ja das Gehen mit sich selber verknüpfen so könnt jedes Element gehen mit jedem in Berlin die verknüpfen das insbesondere den man mit sich selbst und das kann auch beliebig oft machen war die Frage ist also machen das hier
einmal das Verkürzung der mit dem mit dem mit mitgehen dafür gibt es hat sich etwas gefährlich eine Schreibweise eingebürgert die wenn man das den Stern also erst mal .punkt denk ganz natürlich ist aber es ist halt im Allgemeinen keinmal .punkt also dass wir doch auf dass die Ohren geschrieben wenn sie besondere wenn das mal wäre dann wäre das doch n es keine Wahl .punkt ist muss mit der Schreibweise halt wissen was man tut er 0 1 und ein enges natürlich total bekloppt wenn Ende schon das neutrale Element also das Marca zart es ist und weil man also es gibt ein Kanal so dass man nicht die kann man mit sich selbst verknüpfte egal was die ist dabei das neutrale man Trost damit wenn sie um Übungsplan rumschlagen und ich ja den es am Ende von Sohn Unterabschnitten insofern dem Ideal Momente mit den preußischen überzuleiten und dann kommen 10 Minuten weiter kann man zwar also ich würd gern die 2. Hälfte einsteigen
und der Abschnitt der jetzt kommt heißt Untergruppen und was wir da machen ist etwas was wir auch im weiteren immer wieder machen werden und das ist Mehr was was wenn sie eine breite Strukturen also ist .punkt Strukturen im Sinne wie seine Gruppe ist anschauen immer wieder vorkommt wenn Sie eine Struktur die Gruppe haben dann können sich jetzt Teilmengen dieser Gruppe anschauen das ist dass sie nicht so spannend was spannend sind sind die Italiener der Gruppe die selbst wieder Gruppen sind und davon gibt es tatsächlich im Normalfall welche und über die wir uns unterhalten also ich der Abschnitt heißt Untergruppen und ich will bevor ich definiere einfach ein Beispiel zeigen nur so nett nur sowas vorkommen zu welcher uns mal wieder die ganzen Zahlen mit plus an uns am besten aus und ich möchte mit Ihnen folgende Menge anschauen nämlich die Menge aller geraden Zahlen also die Menge aller 2 k mit k aus Z müssen alle geraden Zahlen das wird man auch der deren in Kürze an 2 Z das macht so ist das erst mal keinen Sinn was soll zahlen eine Menge sein nur wie sollen sie mit seinen Menge multiplizieren die Antwort ist dass es sozusagen Definition was dahinter steht verdienen die wurde beziehen die Zahl mit jedem Element der Menge und gucken sich die Menge an die dabei rauskommt und das sind die ganz geben den die geraden Zahlen also alle geraden Zahlen -minus 6 -minus 4 -minus 2 0 2 4 6 und dann hab ich keine Lust mehr aber das dauert mir zu lang die alle hinzuschreiben so und wenn ich jetzt und das ist die entscheidende Beobachtung der diese Menge der geraden Zahlen der nehmen und das ganz normale +plus da ist auch das eine Gruppe woran liegt das das liegt daran dass sie mit dem +plus die ganze der Insel für so nichts daran dass Sie mit wenn sie mit der nur mit plus nur mit addieren und subtrahieren aus den geraden Zahl nicht ausfallen wenn Sie gerade Zahlen addieren und subtrahieren um immer wieder gerade Zahlen raus nun also warum ist das eine Gruppe was man zuerst stecken muss ist die Abgeschlossenheit der verknüpft waren also wenn Sie das bloß anschauen als der Abbildung von 2 Z Kreuz 2 Z nach 2 zählt dann funktioniert das Männer ist weil eben wenn sie gerade Zahl nehmen +plus ne gerade Zahl die gerade Zahlen nur dass das was da steht und das stimmt ja gerade plus grandes gerade zur brauchen sie neutrales Element das ist natürlich wieder die 0 und die 0 ist in 2 Z und und sie brauchen für jedes Chaos 2 Zelten
Inverses aber auch das geht gut was ist das inverse sind sich das Minus kamen K gerade ist es auch -minus K gerade also keine 2. zählt -minus kein 2. Z und dass das inverse Element an gut und was sie da noch brauchen ist Assoziativität ein aber die überträgt sich direkt das Zepter die Addition in den geraden Zahl ist genau die gleiche wie zählte man Z assoziativ sind sie auch den Graben Zahlen das ist wirklich also haben wir jetzt und feiern sie am mit Teilmenge geführt mit plus ist die Gruppe die geraden Zahlen nur betrachtet werfen alle ungeraden Müller man schaue sich nur die geraden an mit Plus ist auch ne Gruppe sogenannte Untergruppe eine der ein Teilmenge von G die mit der von GTA geerbten Verknüpfung widersetzten Gruppe ist sondern immer Untergruppen das ist Definition 3 6 also Sie haben der Gruppen und wenn sie jetzt der Teilmenge haben von G denn ist das und die wichtige Bedingung ist wenn Sie jetzt auf den o die Verknüpfung Sterne im von den G 4 also verknüpfen die Elemente von mit der Verknüpfung sterben wenn man das dann auch ne Gruppe gibt und das bedeutet immerhin insbesondere bedeutet das dass wenn sie 2 Elemente aus und verknüpfen müssen Sie immerhin Ulanen und das ist die Haut Restriktionen diese Verknüpfung gab sie aus Uni rausführen dann heißt das ohne Untergruppe von gehen wenn ich ein wo sie Sonne Konstruktion vielleicht schon mal gesehen
haben wo wir sich später auch noch machen werde es bei Vektorräume wenn man sie weckt und zur Schule er 3 oder so gemacht haben da gab es auch unter Vektorräume wurde Vektorraumes genau das gleiche Vektorraumes ist eine Teilmenge des Raumes der Service den Vektorraum das ist die gleiche Idee und sie schauen sich die Teilmenge von G an die selbst wieder Gruppen sind und ich ich werde das Thema Untergruppen nur so ganz am Rande einsteigen aber das ist ein ganz großes Thema der Gruppentheorie und anhand sozusagen die die die Frage wer für Untergruppen von abgegebenen Gruppe sind möglich oder wie kann man anhand der Untergruppen die ganze Gruppe wieder rekonstruieren da gibt es ganz viele Theorie zu die auch allen die an vielen Stellen nichtig ist ich will jetzt nicht erst mal in 2 Beispiele zeigen und dann sorgen einfache Aussagen im Außenbereich Untergruppen zeigen so war das 1. Beispiel und das ist ja auch im Standard vorgehen man guckt sich erst mal die banalen und die trivialen Beispiele an es gibt nämlich egal was die Gruppe G es jede Gruppe G hat mindestens 2 Untergruppen er wobei wenn sie also gut die Gruppe die der nur Intel hat nur eine als sie ein Elemente der Gruppe nur eine Untergruppen alle anderen mindestens 2 indessen die sogenannten Filialen Untergruppen also wirklich banal sind die eine ist die ganze Gruppe die ganze Gruppe sollte Teilmenge von sich selbst wüsste Gruppen vor die die andere ist genau so einfach dass das andere extrem nämlich wenn sie nur das neutrale nennt man dann sind sie dabei ihre Gruppe die nur die 0 enthält das ist auch nur braune Untergruppen nur Sortie 2 haben sich sich nur an das sind Untergruppen jeder Gruppe an und weil das die eben die Fälle sind die immer gibt die aber deswegen ziemlich langweilig sind nennt man die tatsächlich die triviale Untergruppen und die haben sie immer mit so also etwas Spannenderes Beispiele
aber was Spannenderes Beispiel ich hatte
ihn am Ende der letzten Vorlesung was über sie mit rengruppen erzählt und ihn die Symmetrie Gruppe vom Quadrat hingeschrieben nur kurz zu erinnern an also die Symmetrie Gruppe vom Quadrat wir habe und dem Quadrat als Figur in der Ebene angeschaut und haben uns überlegt welche Drehungen und Spiegelungen ändern die Figuren nicht und hatten insgesamt 8 Dinge gefunden das war die Spiegelungen an die Spiegelungen der Geraden g die Spiegelungen der Diagonalen C und die Spiegelungen der Diagonalen d es waren die 1. 4 also ich meine nein ich mache es mal nochmal schematisch stehen also das 1. das im Jahr die Spiegelungen die Spiegelungen aber ist es dann Spiegelungen sehen Spiegelungen gehen und dann haben wir 4 Drehungen nämlich erstens die Drehung die nicht dreht die Drehung um 0 Grad oder die Identität dann hatten wir die Drehung um 90 Grad die Drehung um 180 Grad und die träge und 270 Grad Sarah das war die Symmetrie grobe vom Quadrat normal zur Erde zur Klarstellung doch letztes mal nach der Vorlesung so Fragen kamen der geht eine Symmetrie Gruppe ist das diese Gruppe gehen jetzt die geometrische Figur beschreibt das heißt es wenn man sich damit auskennt und gar nicht weiß wo die Gruppe hier kommt also man weiß nicht dass da man Quadrat war dann kann man anhand der Gruppe erkennen dass ich mein Quadrat gehandelt hat und das ist das beste Cristallo Grafen brauchen die können das den in Experimenten was ihren Röntgen Experimenten die sie mit ihren Kristalle machen könnte die Symmetrie Gruppe ablesen mit dann sehen Sie mit Sri-Gruppe sieht so aus da wissen Sie ja der KTG weiter Christaller die quadratische Grundstruktur das heißt der der Punkt dass man kann jetzt man kodiert zurzeit die geometrischen Figuren der Gruppe und mit der kann man dann rechnen und kann und dann eröffnet sich die Möglichkeit sozusagen die Symmetrien mit den 7 Tränen gesagt dieser Figur zu rechnen so aber das noch ein Kommentar zum letzten Mal was man sich jetzt überlegen kann und das habe ich in der Höhe können sie sich überlegen diese Symmetrie Gruppe hier hatten Untergruppe und zwar wenn sie sich nur die Drehung anschauen also die Drehung um 90 Grad gedreht um 180 Grad die Drehung 270 Grad und das nicht reden es ist leer um 0 Grad die 4 zusammen werden und was bedeutet das Untergruppe sein das bedeutet dass sie jede Drehung wenn Sie das wenn Sie Zeit Regierungen Rand ausführen kommt wieder der Drehung raus also wenn Sie sozusagen die die Verknüpfung dieser Gruppe war die miteinander Ausführung der Transformation und und der Gruppe zu sein bedeutet nein das kann sie vorstellen wenn sie erst um 90 Grad drehen dann normal 80 geraten ,komma die 270 Grad raus wenn sie 1. 72 Grad drehen und dann mal 180 Grad wir können den Sommer die um 90 Grad raus und dementsprechend ist das für Untergruppen und die Fragen die ich Ihnen stellen will klappt das auch mit den Spiegelungen
also ist auch die Menge dieser ganzen Spiegelungen hier das ist nämlich die Spiegelungen das alte Verspiegelung allein sind ganz sicher keine Untergruppen warum der für das neutrale Element jede Gruppe muss neutrales Element haben diese Spiegelung tun alle was so wenn sie die einig dass neutrale man das Intrade man dies die Identität aber die Frage ist das dann Untergruppe kann Sie mal drüber nachdenken zu ich will Ihnen an der Stelle jetzt sozusagen den Satz präsentieren mit dem man im realen Leben also wenn ihnen sozusagen jemand das Problem geht es ne Gruppe das die Teilmenge ist die Teilmenge Untergruppe dann müssen sie es in die entscheidende Stimme und es gibt einen Satz der da sehr hilft ich meine sie können das im Prinzip einfach entscheiden sie müssen halt prüfen ob der Gruppe ist sie haben die große Gruppe sind eine Menge und muss überprüfen ob die kleine Gruppe ist dann wissen Sie doch schon der Gruppe ist aber überprüft nur was der Gruppe ist kann ganz schön mühsam sein da sie an diesen ganzen müssen ganze Foley aber bei und wie wir vorhin schon bei den ganzen Zahlen hatten hatte ich Ihnen gesagt wer dass dieses 2. Z assoziativ ist das ist keine nicht verblüffen weil wenn die Verknüpfungen Z schon assoziativ ist dass es in 2 Zeit erst recht es gibt also ein paar Dinge die vererben sich von der großen Gruppe automatisch auf die kleine Gruppe die wie nicht noch mal nachrechnen und was ich Ihnen jetzt hier bringen will ist sozusagen das gelegt was sie noch nach rechnen müssen also welche welche dieser eigene haften müssen Sie wirklich noch nachweisen damit eine Untergruppe Hamas ist die minimal auf Anforderung diese noch nachweisen müssen und das ist das so genannte Untergruppen Kriterium und und das lieferten sehr handhabbares Kriterium dafür passen Gruppe ist oder nicht also die Ausgangsposition ist die weg die GAP beschriebene sammelt Teilmenge von der Gruppe und sie wollen wissen als die Gruppe heißt wie der Gene Verknüpfung Stern und Sie wollen wissen dass wir Untergruppe ist und der Satz sagt das ist genau dann der Untergruppe her wenn nicht aufgeschrieben wenn 2 Dinge erfüllen zu müssen 2 Kriterien nachweisen das 1. meistens der einfache
teilen das 2. das schwierige das 1. Kriterium der ich mal G 1 genannt Untergruppen Kriterium 1 und das ist ein Vorurteil sie müssen wir sicherstellen dass jede Menge nicht leer ist also die Teil leere Menge sind sich keine Gruppe war der Frieden neutrales Element das ist aber meistens wenn die Aufgabenstellung konkret ist einfach Teil 2 dann kommt der 2. Teil sie müssen folgendes zeigen egal welche Elemente AB aus Sie nehmen und das ist das was ich vorhin sagte untergraben bedeutet hauptsächlich sie müssen sicherstellen dass wenn sie 2 Elemente aus verknüpfen kommt wieder was aus raus in dem Moment wo ich die Verknüpfung sie aus rauswirft ganz kleine Gruppe sollen werden und jetzt ist es nicht mehr die Verknüpfung die Sie nicht rauswerfen darf sondern auch das Invertieren darf sie nicht rauswerfen wenn sie ihren aus haben muss eben auch wenn liegen sonst ist es keine Gruppe ja wir er jetzt sehen wie es um bei der sie Mitri Gruppe nochmal und sie behaupten 2. Drehung egal welche Dreamin ander verknüpft ist es neutrale das sehe ich nicht so sie erst um 90 Grad drehen und dann noch mal 90 Grad namens in Summum 180 Grad gedreht aber nicht das Vertrauen in das neutrale nennt wäre und nichts drehen wären 0 drehen also in der sie können schon andere Dinge kombinieren wir wenn wir genau also die Frage walzte sie haben wir gucken noch mal an oder sehen Sie das Urteil Menge die Zahlen von minus 4 bis 4 das ist keine Untergruppe das ist eine Untergruppe weil er genau das passiert sie können aus dieser Menge 2 Elemente rausnehmen zumal 4 und 3 oder die dann um 7 raus und sind raus war das darf nicht passieren weil Gruppe muss Grippe muss ein geschlossenes Gebilde oder der Verknüpfung seiner das ist der 1. Punkt für die Abgeschlossenheit der Gruppe ist nur dann vernünftig wenn sie dort sein ein abgeschlossenes in sich stimmiges Universum bildet aus dem sie nicht durch die Verknüpfung ausfliegen und das ist das ist der das ist der Hauptpunkt bei dieser Untergruppe als wenn es sowas wie mir geht es vielen weißen Untergrund Video Untergruppe kamen sie dann können Sie leicht zeigen jede Untergruppe von Z es entweder nur die 0 oder unendlich groß also eine endliche Untergruppe von Z mit mehr als einem Element wird schwierig ja Zielgruppe von könne eine Gruppe von Personen als eine grobe definieren Sie brauchen sagte vor also wir müssen ihre Verknüpfung definiert und die muss per passend sein Plan Preis wie die Verknüpfung definieren so weich oder proprietären 2 Sie müssen garantieren dass sie durchs verknüpfen und dass sie durchs invertieren ich aus rausfliegen und diese beiden Dinge nach dieses Untergruppen Kriterium 2 auf einmal das verlangt wenn sie wenn sich 2 Venedig Elemente aus und nehmen dann muss die Bildung verknüpft mit dem inversen von B dem muss in eine Holding und das ist alles was sie nachweisen müssen müssen nachweisen die die Timing ist nicht leer und egal welche 2 Elemente sind rausnehmen aber verknüpft mit Blick wir ist und dann haben sie nun genau dann haben sie untergrub das ist jetzt weniger Aufwand die 2 Dinge nachzuprüfen dass jedes Mal den ganzen Salat auf der Folie das ist der das ist der Mehrwert von diesen Satz werden sie wenn sie sollte irgendwann auf sich auf einem Übungsblatt die Aufgabe kriegen welche der folgenden 5 oder teilnehmen Untergruppen sehr zu schätzen wissen ja ne gute .punkt da die Frage ist woher sieht man jetzt hier 2. Reise man gibt das werde ich jetzt gleich den Beweis daraus müssen ja also diese beiden Bedingungen garantieren denn tatsächlich dass das Vertrauen in den Mund zeitlich Land die den wesentlichen darüber sie dürfen im UG 2 A und B natürlich auch gleich setzen ja also gleich B und dann heißt G 2 das Stern erklären sein muss nur damit haben sie in den kommt gleich zu aber genau das ist das sind die Fragen die jetzt zu stellen sind warum reicht das also müssen sind wie für den Beweis 2 Dinge zeigen weil die Aussage es jene genau dann wenn Aussage also müssen zeigen jede Gruppe erfüllt und G 1 sowie 2. jede Untergruppe erfüllt oder ein sowie 2 dass da einfach alles was ist und dann müssen wir umgekehrt zeigen wenn 1 sowie 2 erfüllt sind dann so von untergrub Mhm in er ja als die Frage ist warum man entlässt Richter braucht noch immer nicht nur A vergriffen Wesen wenn von Rom macht und das Problem ist genau das was man geschilderte dann das garantiert ihnen nicht dass sie mich beim inversen so rausfliegen es könnte passieren dass tatsächlich egal wie es war es so dass sie sich mit Teilmenge vorgeben ja genau das nehmen Sie die positiven geraden Zahl 0 2 4 6 8 10 12 und ja diese hier und egal welche 2 Elemente davon addieren sie landen wieder den positiven Grammzahl trotzdem ist keine Untergruppen weil die Moment wo sie das negative Bild gehen Sie raus ne für Vorsicht sie müssen Sie müssen wir Sie können das UG 2 ersetzen durch die Aussagen für alle a b is a Stern BMU und für alle is a queer EU das Ganze macht aber Sie müssen das beides kontrollieren dass durch das Verknüpfen und durch das Invertieren sie nicht also rausfliegen und diese Bedingung es sozusagen die 2 Fliegen mit einer Klatsche Schlag Aktion damit kriegen Sie beides auf einmal so also weiß von den Dingen wie gesagt es ist mir Äquivalenz
behauptete müssen also 2 Richtungen zeigen 1. von links nach rechts das heißt wir wissen und Untergruppe genau den den Satz hab ich ihn auf Folie bei das heißt auch der unteren sei das Grabmal die Folie wechseln das war also müssen zeigen uns Untergruppe von G genau dann wenn die beiden Bedingungen gelten das heißt jetzt ist die Richtung in ohne Untergruppe ist dann gelten die beiden Bedingungen nein das es erstaunlicherweise sind doch nicht einfach ich dachte er hat also ein Mehr wissen jetzt also ist nur unter grob an den und müssen zeigen dann geht OG ein Solo G 2 es kommt der Welt der wirklich ein Teil des UG G 1 dabei jede Gruppe nicht leer ist jede Gruppe enthält insbesondere neutrales Element insofern nein Union der Gruppe ist ganz sicher so können u g 2 TWh TWh was wir nachweisen müssen ist für jede Wahl von aber aus USA ständig werden das sieht erst mal banal aus klaro Gruppe Meinung ohne Gruppe ist dann muss er stellen dann muss mit B auch bequem liegen und dann muss auch er ständig werden Vorsicht da ist eine ein Schnellschuss drin wer sagt Ihnen denn also aber und diese Gruppe wer sagt Ihnen denn dass das inverse in das gleiche ist wie das gegen den das müsse erst noch rauskitzeln also könnte in seiner wären wir nur ohne eine Untergruppe das heißt es mit einem längeren damit wieder der Gruppe es könnte aber sein dass das neutrale Element in ohne anderes neutrale man den hingegen dass das neutrale man nun dass das inversen anders ist als das inverse in und dann welche zu tun und das müssen wir erst mal ausschließen also du mal ganz sauber unterscheiden NU sei das neutrale Element von Pfund NG das neutrale Element von die was will sich jetzt gleich raus das können wir uns schenken die Unterscheidung die beiden sind gleich aber man muss sich das erst klar machen also setzte zwischen Behauptungen zwischen der Art und es zum Unfug gibt nicht LOS eingehen so warum ist das so also man n nehmen wir an ein wir anders zahlen US was anderes in die da gesehen oder durch trotzdem weil ohne Teilmenge von diesen G enthalten Unwetter in dieses zudem das inverse in finden ja in USA und wenn man den Ge und das kann man jetzt jene zwar in ich kann da fangen Beweismittel Banalität an wäre täten helfen heißt es oft wenn ich mit den verknüpfe kommt er in konnte so was es also das ist einfach die Eigenschaft neutrales Element zu seinen und also ich vor allen schnell wenn wir den auf genau so wie allen wir lange nicht mehr nachts zuerst wieder in Tausend Jahren Sarah nein 100 Jahren ok zur also da haben mir ein im übersetzte gleich Rhythmus wurde nur das ist nicht falsch aber die berechtigte Frage ist natürlich
wofür das sehen was wollen wir zahlen wir wollen n in g ist also was is n g die wir haben wir brachen zusammen sind NGO den und den Zusammenhang zwischen entgegen den Uli Name hier 2. traten angesagt in UK das inverse 10 un g also ist es neutrale Element in G kann ich schreiben als das neutrale von verknüpft mit dem inversen vom neutralen von und in so auch das neutrale ist sie die Fastnacht Banalität von gerade eben ist n o Stern NO verknüpft mit den quer jetzt wird wieder assoziativ das schreit wieder geradezu nach Assoziativgesetz die (klammer auf verschoben dann steht hier hinten n d n ja und erlogen verknüpft mit den Altrhein Elemente selten ein .punkt und damit haben sie dass die beiden gleicht das ja die gleiche Argumentation mit den inversen also seine A und B in und jetzt können sie wieder passieren dass wenn sie das P in GG invertieren und das BMU invertieren dass da was verschiedenes bei rauskommen wir wollen das Asternweg wäre es also das Big wir sie das Quälen G also wir schreiben weg werden für das inverse von BMG und dann bauen neues Zeichen ich nehme die gut für das in der so von wegen zur was gilt dann dann die B Stern Biologen darf also den Hut ist das
selbe wie begu Stern weg is das ist einfach Definition von inversen in der Gruppe wir wissen aber nur selten gehen und damit steht da das das P gut ein Inverses ist von B auch in D an taten wir irgendwann am Anfang der heutigen Vorlesung gezeigt das inverse ist eindeutig darum wie jedes inverse kann es nur in der jedes Element kann nur eine Inverses geben das heißt wir haben auch diese blödsinnige Annahme dass die verschieden sein könnten hat absurdum geführt weg während Minuten das Gleiche und damit insgesamt erweckt weil die rote oben sauer zusammen haben wir also ich wenn Sie A und B aus und denn dann sind auch A und B quer und damit ist auch Stern weg wenn weil Gruppe ist dann zwar damit Handel UG 2 und das ist das ist das einzige was hier nervig ist dieses an nachrechnen dass ist dieser Kreis nicht vorkommen kann dass das neutrale Mäntel anderes ist und dass das in der sie sich an das Bett ansonsten müssen Sie einfach in nur habe die beiden Bedingungen nachdem was der eigentlich spannende Teil des Satzes ist jetzt die Umgebung also das was man normalerweise verwendet wenn Sie G 1 sowie 2 haben dann ist das ohne untergrub sorgt das ist die Rückrichtung das ist der Teil vom Beweis
und wenn 1 2 geht nicht gelten dann ist ohne untergrub was müssen wir machen also wir haben Teilmenge G und das Geld in G 1 und U G 2 und nachzuweisen ist es wird das heißt jetzt müssen wir tatsächlich einmal durch den ganzen Salat von der vorhergehenden Folie und alle Bedingungen nachweisen aber das muss man es eben nur einmal machen und danach kann man immer einfach nur die beiden Kriterien anwenden so also es müssen wir zu zeigen wir müssen zeigen die Abgeschlossenheit der Verknüpfung Assoziativität neutrales während Inverses so die Assoziativität das ist so wie vorhin bei Z die überträgt sich direkt die Verknüpfung des Sternes assoziativ auf des also auch also sehr tief auf nur wenn sie wenn Sie 3 Elemente aus ohne da liegen die allen G und verknüpfen sich Wien gehe dann dürfen Sie die Klammern verschieden und das ist auch in damit haben wir die Assoziativität das neutrale Element das ist die Frage von Ihnen die Kriege ja sowie ein Innogy 2. 1. das neutrale man draus da brauch ich tatsächlich beide die er der 1. Schritt ist aus dem o g 1 kriegen sie es geht in einen Mehr ich weiß nicht was aber irgendwas liegt drin dieses irgendwas nicht mehr Herr und Stopps in die U G 2 ein mit gleich wegen derer um die 2 seit für jede Wahl von also von 2 Elementen aus ist es denn da werden es darf ich aber bei dem man die gleich wählen und dann kriege ich aber Stern wir also damit ist es sehr neutrale Element von GNU und dieses N das Wetter weil man von G ist auch ein neutrales Element von warum Na ja weist die Eigenschaft hat die neutrales Element haben muss egal welches B aus ich nehme das PIN so insbesondere in G und wenn nicht ich gerne einbilden dann ist es das selbe wie G und das ist das wie Stern die und das ist billig wir das neutrales Element nun zu sehen geklärt wissen wo wir 2 beide gleichzusetzen und dann bauen sie sowie eines damit sie überhaupt was haben was im UG 2 einsetzen kann was wir noch so inverse Element fehlt noch das inverse Element müssen wir uns irgendein vorgeben und zeigen dann gibt es den AG wer da drin wie Kandidaten das erklären wir und das ist der SG die angesehensten Wersilow gibt dann ist er gleich wieder in die also müssen wir irgendwie nachweisen dass das arg wir ausgehen oder liegt wir haben uns gerade schon überlegt das das Ende wo liegt wir haben so und ihr was wir jetzt machen ist jetzt immer wieder das UG 2 her und als an dem wir das Ende und da spielen wir das kleine Notations Verwirrung aber so machen was im dann sagt uns ok 2 wenig enden mit quer verknüpfe
n in den also muss eng verknüpft mit AG quer auch in liegen das sagt G 2 der Basis entfernt mit AG werde sagte er also sag wenn und AG werden ist auch in der Element von in das muss man jetzt wieder nachrechnen aber das ist nicht schwer zur damit haben wir ein und wie und was noch fehlt ist die Abgeschlossenheit also müssen noch nachweisen wenn wir 2 Elemente aus oder nehmen und die miteinander verknüpfen dann fliegen aus und ich raus also müssen zeigen dass Stern tatsächlich mehr Abbildung von U Kreuz nach also nehmen wir uns 2 Elemente aus Guinea dann haben wir gerade schon gezeigt es auch Bequellung nur das weiß Krater in Teil I also jetzt werden wir wieder G 2 an können wir dann war es es nämlich das also das von hier das er von mir nämlich als und das als wenn das Bergwerk diesen beiden Uhren Arabic wir sind also König mit Ovids das auch verknüpft mit B
Werk quer nur was ist aber mit Bild wert wäre das hatte überfallen die Übungsaufgabe 3 4 aber das ist verknüpft mit der sich Übungsaufgabe 3 4 an .punkt also haben wir wann immer sie 2 man das oder nehmen es als den und dann tatsächlich aus diesen 2 mickrigen Bedingungen hier alle Axiome der Gruppe rausgeholt und damit ist es Untergruppen Kriterien bewiesen also können Sie wenn Sie mit einem Jahr nun entscheiden soll was Gruppe ist eine Untergruppe ist sich auf die 2 Dinge hier zurückziehen Jahr das ist ne richtig gute Frage Frage ist ist mir Untergruppe von der arabischen Gruppe immer arabisch Antwort ja weiß nicht wer wenn sich 2 Sinne das Untergruppe her dann sind Sie auch Elemente der großen Gruppe da kann ich sie vertauschen und dann dem der genau aber ist so das ist nun wieder Assoziativität diese Rechenregel übertragen sich 1 zu 1 weil sie die gleiche Verknüpfung haben das es immer wichtig der Untergruppe bedeutende Gruppe bezüglich der gleichen Verknüpfung wo sonst es wieder alles anders sein wenn sie natürlich mit einem GeForce nehmen auf der völlig neue Verknüpfung definieren dass das keine Untergruppe das WE dann ist es ein völlig neues Objekt der sorgen zum bisschen Billiglohnarbeiter kommen ehren
ich will ihn noch ein Ding zeigen was mir sehr sehr schöne Eigenschaft von Untergruppen ist die man sehr gut nutzen kann das ist das Lemma 3 9 und das sagt Ihnen im Prinzip wie man aus Untergruppen wenn sind wenn Sie ein Fahrrad von Untergruppen haben also eine Grippe und sie haben schon 4 5 Untergruppen gefunden dann können Sie sich aus diesen Untergruppen wieder neue Untergruppen bauen untersagt das Lemma 3 neuen und es sieht erst mal nur tradtionell wüst aus und muss leider so sein hab ich sag gleich was es bedeuten also haben die Gruppe in der Gruppe ich denken Sie mal Z oder an eine ihre derzeitige Lenins Gruppe der Menge und diese Menge Il stellen Sie sich einfach das ist ne Menge von Indizes ja also ich will jetzt die Untergruppen durchnummerieren und weil ich nicht weiß ob es endlich viele oder wie oder unendlich viele oder sonst was sind die Zeit Menge von Indizes das es i so und jetzt haben sie der Untergruppe von gehen für jedes Ei aussieht er jedes Jahr das ihn wir sehen einfach starrte Untergruppen auf ihrem liegen und jedes 2. diesen halten mit Job durchnummeriert und je nachdem mit 5 sind dann ist die Menge i5 Element dich und wenn es unendlich viele sind dann können Sie es IN DEN oder er oder was sie wollte und die Behauptung jetzt ist und dass es eine beeindruckender Eigenschaft von Untergruppen wenn Sie jetzt gestartet werden Stapel von Untergruppen nehmen und den schneiden an sich nehmen 2 Untergruppen oder 10 oder unendlich viele Untergruppen und schneiden die also schauen sich die Menge aller G an so das X und O J ist für alle dort aus sie und das ist genau der steht um zu gucken sich die Elemente an den eigenen Untergruppen sehen dann ist das sehr dass sie den Untergrund Pannen oder also dieser Satz kurzgefasst sagt beliebige Schnitte von Untergruppen sind wieder Untergruppe und wie sieht man das mit den Untergruppen könnte man denn da sieht man gesunde Kriterium kann dazu dienen ganz konkret einer Teilmenge nachzuweisen dass eine Untergruppe ist aber kann auch ganz abstrakt wunderbar Dienste leisten was müssen wir tun wir müssen zeigen diese diese nicht als für das Untergruppen Kriterium das heißt er muss UG ein Solo G 2 wir müssen also erst mal zeigen bei dieser ganzen Schneiderei da bleibt wird was übrig es gibt ein Element das in allen diesen Untergruppen drin ist und man sie zum bis hin zum Gefühl für Gruppen haben wissen sie auch nicht das Element das sein wird vollen gesehen egal welche Untergruppe Sie haben das neutrale Element ist immer drin also für jedes Jahr das INI ist das neutrale Element in J der das haben wir vorhin in dem Beweis den Belgrader hatten ein gesehen wenn das n die aber in jedem O J ist 1 in die natürlich im
Schnitt kann der Urlaub na das bedeutet dass die Technik nicht mehr essen dabei sie haben Element im Schnitt gefunden ein also ich ja O G einziehen O G 2 geht obwohl der Satz so riesig aussieht auch schnell das sind wir wir dass es auch in was müssen wir machen steht da sie dem sich 2 Elemente aus ihrem Untergruppen Kandidaten hier also dem sich A und B aus den großen Schnitt her und was müssen sie zeigen dann ist auch als deren Weg wäre wieder da drin was heißt das dass das da drin ist das heißt A und B 10 in hat für jedes Jahr da aussehen ja sollten sie wieder den Satz 3 8 da mir gerne den im jetzt Satz 8. jedes oder Gruppen die Tiere der sagt wenn Sie der Gruppe haben und er hat die ja dass der Gruppe dann geht immer das UG 2 also dann geht für jedes Jahr das Asternweg wer in OJ ist für jedes J und das ist jetzt der die andere Richtung von Untergruppen Kriterium wenn sie die Gruppe haben dann geht G 2 das ja nein das liegt daran dass das ja eine Untergruppe ist
sie wissen oder dass wir Untergruppe also gilt der Satz hier und da so geht's Bayern damit haben sehr anständig essen J für jedes Jahr zu da das den ja dass für jedes Jahr hat dieses Lied auch im 4. also ist ständig quer im Schnitt über alle ja und und das ist genau G 2 1 soll damit haben egal ja ich will gleich auch damit haben Sie egal wenn Sie der Gruppe haben und jetzt Stade Untergruppen und sie machen den Schnitt kriegen Sie meine Untergruppe raus und das ist eine Möglichkeit neue Untergruppen zu kreieren wir also wenn Sie 3 oder Gruppen haben können Sie jeweils 2 Männer schneiden wenn sie Glück haben zum einen neue dazu er wir werden das nächste Vorlesung sehr nutzen und verwalten da Aufmerksamkeit Foley Wert auf die Feststellung dass ich ihn sogar noch 25 Sekunden Schenkel
Axiomatik
Menge
Inverse
Funktion <Mathematik>
Addition
Ende <Graphentheorie>
Menge
Ganze Zahl
Klasse <Mathematik>
Rechnen
Äquivalenzrelation
Zahl
Addition
Summand
Menge
Ganze Zahl
Inverse
Klasse <Mathematik>
Zahl
Momentenproblem
Abstrakte Gruppe
Inverse
Klasse <Mathematik>
Abbildung <Physik>
Gleichungssystem
Element <Mathematik>
Gleichung
Term
Ungleichung
Menge
Reelle Zahl
Ganze Zahl
Axiom
Lösung <Mathematik>
Weg <Topologie>
Inverse
Eindeutigkeit
Formation <Mathematik>
Gleichungssystem
Hausdorff-Raum
Termumformung
Gleichung
Axiom
Endliche Gruppe
Lösung <Mathematik>
Menge
Finite-Elemente-Methode
Eindeutigkeit
Inverse
Gleichungssystem
Norm <Mathematik>
Gleichung
Axiom
Zahl
Teilmenge
Menge
Ganze Zahl
Gerade Zahl
Abbildung <Physik>
Struktur <Mathematik>
Zahl
Untergruppe
Teilmenge
Addition
Gruppentheorie
Gerade Zahl
Rand
Uniforme Struktur
Inverse
Aussage <Mathematik>
Vektorraum
Raum <Mathematik>
Zahl
Restriktion <Mathematik>
Untergruppe
Ebene
Quadrat
Punkt
Symmetrie
Höhe
Drehung
Diagonale <Geometrie>
Geometrische Figur
Gerade
Untergruppe
Gradient
Adhäsion
Punkt
Momentenproblem
Gruppenoperation
Aussage <Mathematik>
Drehung
Zahl
Untergruppe
Gradient
Teilmenge
Menge
Ganze Zahl
Gerade Zahl
Äquivalenz
Grundraum
Assoziativgesetz
Teilmenge
Punkt
Zusammenhang <Mathematik>
Gruppe <Mathematik>
Richtung
Untergruppe
Teilmenge
Kreis
Inverse
Element <Mathematik>
Große Vereinheitlichung
Abbildung <Physik>
Axiom
Untergruppe
Teilmenge
Menge
Gruppe <Mathematik>
Schnitt <Mathematik>
Richtung
Untergruppe
Schnitt <Mathematik>
Untergruppe

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik: Gruppen
Serientitel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 07
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/33614
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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