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Lineare Unabhängikeit

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Automatisierte Medienanalyse

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so waren die Wohnungen immer so sein Nachbar verändert werden an der TU Darmstadt zwar hallo Platz
leise ein ok nehmen Sie Platz bald anfangen können also ich moin als Clark also es noch nicht kennt ich bin Tristan Alex wenn einer das ist Denken wie Vorlesung und nicht der Täter heute dem dort allerdings jemand das letzte Mal bei der letzten Vorlesung haben Sie kennen gelernt was unter Vektorräume sind von Vektorräumen Jamieson Schreibweise kennen gelernt und dann ändern so definiert was die Linie aber würde es gab es nicht der Moment sucht besser ok jetzt jetzt ok danke weil genauen kennen gelernt was sie mir will ist und mit der Definition von jetzt an wieder ruhig nochmal kurz die brauchen wir nämlich gleich und die unterwegs Kriterien diese letzte Vorlesung den gelernt haben sind da noch auf der Folie die brauche ich auch gleich also anstatt mir gleich mal das High Definition 2 .punkt 7 dazu nehmen wir uns einen K Vektorraum V und eine Teilmenge M und definierender da die folgende Dinge also zunächst mal eine Schreibweise die von Gruppen hier noch keine eckige Klammern und das damit meinen wir die Menge aller Vektoren oder die 1 Jahr Kombination sind von Wilton aus oder auch um die Definition von Jahr Kombination nochmal hinzuschreiben das sind die Frau für die ist eine natürliche Zahl n gibt und Koeffizienten als 1 bis Alfa in aus dem Körper sowie Vektoren M 1 bis M N auswählen so dass sich Frau schreiben kann als in dem Sinne für die Summen Schreibweise also mit der Koeffizienten als feiert meine Vektoren MJ und wir mir von 1 bis n lauter ok ich versuchs mal einfach lauter zu reden durch das Mikro vielleicht klappt's die Lautsprecher lauter waren das Sarah ist so etwas besser ja ok also dieser diese Menge die den erging (klammer auf von schreiben heißt die lineare würde von damit definiert eine Schreibweise wenn eine endliche Menge ist das wäre ganz genehmigen Klammern weckt das heißt wir schreiben hier einfach die Elemente Reihen und meinen damit das Erzeugnis von der Menge die diese Vektoren enthält um bisschen Schreibarbeit zu sparen und und als letztes noch den Spezialfall wenn zufällig die leere Menge es den vieles einfach als den 0 Vektor ok dass die Definition dieses letzte Mal kennen gelernt haben und natürlich die Definition genauso gemacht also davon direkt vor die linear Kombinationen sind ist die Defition genauso gemacht dass das was herauskommt auch darum wird ja sie sehen dass in Eigenschaften dort es müssen wenn ich 2 Vektoren nehme uns weil man aus dem Körper muss im Jahr Kombination der drin liegen und diese Definition liefert uns genau das das steht im folgenden Satz 2 .punkt 8 in uns wieder Einkaräter Umfahrung und Ende teilnehmen die Behauptung es das sie den mehrere von N ein unterlegte um von Frau ok Weise das müssen natürlich die beiden
Eigenschaften nachweisen vor schließen noch schnell den Fall jede Menge aus also wenn gleich die leere Menge ist dann ist wie ich ohne Definition geschrieben habe das Erzeugnis von einfach den 0 Vektor und das ist natürlich ein unter Vektorraum ja ist nicht und für die 2 Vektoren aus es gibt nur einen kein Problem also der Fall es einfach der schwierigere Falles wenn er nicht hier ist also wenn es jetzt die beiden Eigenschaften nachweisen also von war mit der 1. Eigenschaften müssen zeigen dass das Erzeugnis von nicht leer ist so man wir das man das ist ganz leicht Amtsblatt überlegt ist nicht hier also in einem gibt es Elemente und wenn wir uns einen Vektor n aus entnehmen dann dafür das natürlich einmal im gleichen und einmal ist ein der Kombination von Elementen aus allen nämlich genau einmal den Vektor n und sonst gar nix heißt wir sehen jedes Element das es muss automatisch auch schon mal in der Ampel von liegen also es enthalten in den würde von so und weil er nicht wie er ist es da natürlich auch die der nicht wert also jedes M aus liegt auch in den Jahren von und wenn er nicht mehr ist sie auch nicht mehr ich
so 2. Eigenschaft des müssen zeigen dass wir nicht 2 Vektoren nehmer aus meinem potenziellen unter Vektoren also seine Frau aus n und 2 Elemente aus dem Körper während der er muss ich jetzt zeigen dass auch lernte man ob großen mal Frau wieder in der Höhe von im liegt so wie machen wir das also wissen liegt in der Linie von und Frauen den Linien würde von innen das heißt per Definition es gibt da n und p aus erstellen einfach die Definition von in wohler und ne ganze Menge Koeffizienten ein paar alle voraus die sind für das und Peters die sind für das Fahren dazu die passenden Vektoren also ein paar Ahrens und Haas und dazu noch die in B ist was dass Vektoren so sodass ich schreiben kann als in der Kombination mit dem Alfa JS AJS ja gleich 1 bis n und das Frau ist eine Summe in den wir K Vergleich 1 bis P von den Beta PS EPS das ist einfach die Definition von allen wieder eingesetzt und was sehen wir jetzt scheinbar ganz und ich hoffe man kann es noch sehen ich will er zeigen dass Amt +plus müs V auch wieder gelingen würde von liegt das heißt auch wieder selbst im Jahr Kombination ist er setzt jetzt einfach ein was ich eben über Frau gesagt habe also für setzt sich jetzt die Summe wird gleich 1 bis n als verjährt ein und schlossen wir mal die Summer also ich 1 bis G Wetter P E P ein und Multi CD vor fragte die Sonne ja also hab ich hier jetzt gleich 1 bis n nannte als feiert die Frage ist ja ja ich ich habs nicht ganz verstanden Norm ja das ist völlig richtig versteht Blödsinn gut aufgepasst also ein die völlig richtige Anmerkung ist hier bei der 2. Sommer dürfen und natürlich keine PS stehen sondern klar ist ja also Nations Indexes K der Wüste so man das Bett ja also ich wahrscheinlich und wird abgeschrieben oder auch falsch gemacht genau danke dafür ok also ich hoffe dies alles richtig seit ich hier bin das Wetter K a b gar so jetzt ich nichts gemacht außer meine vor Faktoren rein multipliziert und jetzt muss ich nur genau hingucken was ich ja letztendlich zeigen wollte ist das Land der +plus 1 V ist wieder Willard Kombination von Vektoren aus und die Wiener ,komma zum sich jetzt hier genau ja ich sehe hier ein vor Faktor aus dem Körper malen legte aus allen und hier die Vorfahrt aus dem Körper mein Sektors M das bedeutet das bedeutet das auch
nannte der +plus 1 V in der Konvention ist ich versuchs genau also jetzt auch mit einer Kombination von Vektoren aus was bedeutet während der +plus müsse V ist Element aus den Jahren ja ich hab also zeigt wenig 2 Vektoren aus Hülle nehme ich noch mit dem im Jahr kommen dazu mit dass den in ihrem würde das ist genau die Eigenschaft ov er 2 das beweist die Behauptung ja wir sehen also die Definition es genauso gemacht das wenig nicht in der Brühe von Menge nehme konnten unter Vektorraum raus das sagten insbesondere wenn ich wie irgendwelche Sektoren vorgebe und ich bin interessiert an unter Vektorraum in den Direktor drin sind muss man diesen ja würde davon nehmen hab ich unterrichte und enthält auch die Vektoren und was sie sogar auch noch haben das steht in den Bemerkung die mehrere von ist sogar der kleinste unser unterlegte der enthält erinnern sich vielleicht schreibt meine Vergleiche Gruppen das wir auch bei Gruppen das Erzeugnis von einer Teilmenge betrachtet haben und da kam auch wieder eine Untergruppe raus und dass auch die kleinste und Gruppe wie diese Elemente enthalten trat die Definition war da ein bisschen anders Daten des DIW definitive so großen Durchschnitt ziehen einfach alle Untergruppen die die Menge enthalten geschnitten und da kam das raus und Hermann dafür 2 linear Kombination definiert wenn es andersrum definiert werden Vezier definiert hätten unter Vektorraum also die Linie wurde von der Menge nämlich alle unter die Menge teilten schneide die wir genau das selbe rausgekommen ja es vielleicht etwas sperrigere Schreibweise was bedeutet tatsächlich dasselbe das zeigen wir vielleicht in Übungen müssen einmal schauen ok so dass darstellt über die man will erledigt und wir können uns jetzt der länger Unabhängigkeit zu wenden und Basen also worum geht es hier wir wollen jetzt also haben Vektorräume kennen gelernt und wenn ja ,komma zum von Vektoren daraus was wir jetzt wollen ist wir wollen uns unsere wegzuräumen möglichst kleine Bausteine zerlegen es ermöglicht und sie viel einfacher zu verstehen und der Schlüssel dazu sind Basen das in kleine Teile aus dem Vektorraum die aber groß genug ist dass sie alle Informationen von dem Wetter und enthält die Begriff in der Unabhängigkeit kennen Sie vielleicht noch aus der Schule oder zumindest einige von ihnen das machen wir natürlich genauso haben uns tagten Vektorraum also das Ziel dieses Abschnitts da komm ich dann auch noch mal zu werden da sie definiert haben wir suchen die Grundbausteine eines Vektorraumes ja Sie kennen alle die Bilder die meinen sich in erhalten in der Schule Mathe oder Physik macht ja wenn ich
hier irgendwie alle dass man Kundendaten System ist ich hatte einen Sohn Vektor und so einen anderen Vektor v ja was macht denn die Akkumulation von denen dann die ich die halt ich mir hier so endlich die Sonne raus und die Frage ist jetzt da ich alle Sektoren auf diese Weise also wenig POV fest will kann in den anderen weg von dem Jahr kombinieren und welche Bedingungen müssen V erfüllen damit das tatsächlich der Fall ist und natürlich dieses Bild hier das jetzt im er hoch 2 auf der auf der auf dem Brett gemalt hat das muss uns natürlich auch überlegen zu beliebige Vektorräumen sie haben ja in den Beispielen schon Vektorräume kennen gelernt von Funktionen zum Beispiel interessiert einen dann auch gibt es irgendwie solche Funktionen mit dem ich alle anderen Funktionen ja kombinieren kann und solche Fragen die Antwort darauf liefern dann die Basen bevor uns damit beschäftigen was noch die Linie Unabhängigkeit die steckt nächsten Definition und zwar 2 .punkt 11 alles wie immer ein K Vektoren V und Teilmenge aus vor dieser also was ist jetzt weniger abhängig mir abhängig heißt es gibt ne Möglichkeit mit diesen gegebenen Vektoren die ich aber bin 0 Vektor linear zu kombinieren ja so Möglichkeit gibt es natürlich immer alle Koeffizienten 0 mache Kansas blieben weg von den Rektor kombinieren das ist einfach was uns interessiert es geht das auch wenn die nicht alle 0 sind in Möglichkeit die Koeffizienten wieso zu belegen dass in in der Konvention 0 rauskommt die Koeffizienten nicht alle 0 sind dass sie in Abhängigkeit also heißt ja abhängig es kürzt die oft ab mit l .punkt ab .punkt falls ein natürliche Zahl n gibt und unentwegt Vektoren aus allen und die passen Koeffizienten aus dem Körper und der Knackpunkt ist die nicht alle 0 sind also als 1 und die nicht existieren mit so als zur J Frau
J =ist gleich 0 vor wird gleich 1 bis n ja 0 V schau ich mal dazu alles ist der 0 Sektoren meint ja sehr die welche Vektoren mit Confit Centercourt bewegte aus das ist auch gut auch genannt eine nichttriviale in der Kombination 0 Sektors ja nicht trivial weil eben nicht alle Koeffizienten 0 7 1 1 0 sondern rechnet triviale zu 0 wird was dies nicht besonders spannend so wir wissen was mir abhängig ist wir wissen wir auch was länger unabhängig ist nämlich das definieren wir genau wie diese Eigenschaft nicht erfüllt ist und das schreiben wir dann oft mit 11 Punkten .punkt sondern damit dass man paar Beispiele von wir Rollen die sie kennen und vielleicht auch an diese zu uns aus der Schule vielleicht nicht mehr kennen diese aber in Vorlesung gemacht haben also Beispiele und muss es auf neue Seite
drucken .punkt hab ich jetzt hier was stehen was man um nicht
das etwa Meister verstrichen die Luft und schreit beispiele 2 von 12 wenn es ein paar Beispiele was länger Abhängigkeiten Unannehmlichkeit eigentlich bedeutet ist man immer er auch 2 das kennen Sie wahrscheinlich noch aus der Schule sind mal 3 Vektoren aus Mehr auch 2 2 0 1 1 5 1 zur zulegen und es ist diese Menge immer unabhängig oder ja abhängig und sie ist immer abhängig und kann ich das sehen ja laut Definition muss jetzt irgendwie nichttriviale im Jahr kommen dazu müssen wohl Sektors finden und das kriege ich wenn ich zum Beispiel einmal den Sektor 5 1 nehme davon einmal die Lektor 1 1 abziehen hab ich noch 4 0 und dann sich noch zweimal im Sektor 2 0 ab da kommt 0 0 raus ja und sie natürlich sofort wenn ich eine linear Kombination des 0 Vektors hatte hab ich natürlich ganz viele ich kann jetzt diese ganze Gleichung zu Beispiel mit 17 wurde beziehen ich schon noch immer nicht die wie wir alle wenn der Kunde zu müssen und etwas gefunden also wenn dann gibt es ganz viele hier zum Beispiel also gesehen die man ist immer abhängig ein Beispiel für die unabhängigen außen 2 da nehmen wir 1 0 0 1 die ja unabhängig so dass es ein bisschen schwieriger zu zeigen weil ich mir überlegen muss es kann überhaupt keine nichttrivialen ja mehr zu geben ja dazu er überlegen wir uns also wenn ich hätte 2 so Koeffizienten Alpha-Beta sodass sich in der Kombination hab das belegt das man muss es nur bei den dass das nur passieren kann wenn alles und Wetter beide 0 sind und ich dass es sofort eine 1. weil sich einfach mal 1 gleich 0 1 2. Säule sich Bettermann mal 1 gleich 0 das heißt erfolgt als Vergleich später gleich 0 ja bitte aber das sie sollten +plus sein und kann sich gut erkennen gibt zu ok als das gezeigt ist kann überhaupt keine Kombination es nur etwas geben für die die Koeffizienten ungleich 0 sind also für Dinge unabhängig so war interessant aus Beispiel sie vielleicht nicht aus der Schule kennen wir gucken uns jetzt meine Funktion Raum ein
allerdings eine Funktion von R nach R und zwar über x Quadrat und umgehen andere Funktionen wann er nach er will einfach X es ist die Frage ich diese beiden Funktion nehme als Teilmenge der Abbildungen von der nach ihr ob das abhängig Regierung unabhängig ist um meine Behauptung hier ist dass sie weniger unabhängig ist so nehme ich das muss wieder überlegen dass es keine Kombination der 0 funktioniert ja den 0 sie die 0 Funktion als das keine linear Kommerz und der 0 Funktion geben bei der die Koeffizienten ungleich 0 sind ja also ich nie mehr wieder 2 Faktoren sei Koeffizienten und stelle mir vor das einfach mal 11 +plus Beta Heidi gleich 0 Funktion ergibt ok setzt die Defintion von F und G 1 müsste also gelten Bugs alle formal x Quadrat +plus später mal x gleich 0 für alle x warum für Alexis muss er 0 Funktion rauskommen das heißt alle x muss dann 0 rauskommen was muss mit kurzweiligen dass ist für alle x nicht funktionieren kann zum Beispiel sich x gleich 1 das dann welche x gleich 1 einsetzt würde stünde der alpha +plus Beta =ist gleich 0 Felix gleich -minus 1
steht der einfach -minus Beta =ist gleich 0 ja die Bedingung dass er nur auskommt muss für alle Wahlen von X gelten ich keine beliebige raus suchen zum Beispiel 1 -minus 1 und schon wenn ich mir diese beiden Gleichungen Janko wenn ich mich schnell dass das nur erfüllt es den beiden 0 sind wollen ich das zum Beispiel wenn ich die beiden gleichen Addierer da hab ich 2 alpha =ist gleich 0 also als er gleich 0 wenn ich das dann einsetzen zum Beispiel in die obere gleich ich sehe ich das auch Becker gleich 0 ist ja das heißt auch hier wieder die einzige Möglichkeit die 0 Funktion zu kombinieren ist dann bei der Koeffizienten 10. 0 sind das heißt die Menge dieser beiden Funktionen ist man unabhängig ok ein einfaches aber wichtiges Beispiel nur den 0 Sektor und der Witz ist es in jedem Vektorraum diese Menge Nebensektoren länger abhängig egal wie der Vektoren auch aussehen mag den einmal 0 es bekanntlich 0 und das ist schon eine nichttriviale Kombination wenn man vor Faktors 1 ich hab also der Kombination gefunden wo die Koeffizienten nicht alle 0 sind trotz Winter 0 rauskommt also wenn ja abhängig dieser und jetzt noch ein etwas exotische nur exotischeren Raum nehmen uns Z 5 was kann wir nicht lesen fährt 5. Quadrat ja also z Vektoren mit 2 Einträgen aus Z 5 und setzte zwar weg von zum Beispiel 2 Schlange 1 Schlange und 3 Sterne 4 Schlangen was uns überlegen sind die länger unabhängig oder ja abhängig und wir sind immer abhängig ja wenig im er hoch 2 wären oder stünde 2 1 3 4 und werden so schön wenn wir unabhängig jetzt hier ist die man abhängig n muss es wieder eine Kombination es nur etwas angehen und wenn ich zum Beispiel 4 Schlager mal den 1. Rektor nehmen -minus einmal in 2. Lektor dann sehe ich ja er der das kann sowie eine Schrift bitte ja er die bei 5 Quadrat oder welche genau das ne Menge der eine 2 Schlange einschlagen oder andere Vektors 3 Sterne 4 Schlange bitte ok ich wollte November rächen dass sie jetzt nur rauskommt einschlagen möchte beim Schreiben und überlege ich mir das was ist denn überhaupt 4 Schlange mal 2 Schlange einschlagen da muss ich kurz überlegen was viele Schlangen mal 2 schlagen ergibt im Z 5 und in Fett 5 bis 4 Schlangen als 2 Schlange 8 vom 5 also 3 also steht der 3 Schlange und 4 einschlagen ergibt 4 Schlange und dann kommt halt immer wird daraus ok noch eine wichtige Bemerkung zu dieser
Definition von immer abhängig in der Definition steht dabei es gibt 1 eine natürliche Zahl n und eine Auswahl von allen Sektoren so dass sie nur legte kombinieren kann also insbesondere heißt das das den ja Kombinationen immer endlich Lösungen sind keine unendlichen Summen Mehr das erscheint wird es nur den er 2 Beispielen zum Beispiel war nicht besonders interessant das ist eigentliche da sind aber jeder an das Beispiel mit Funktionen denken es ist schon interessant und ich unendlich viele Funktionen brauche um die neue Funktion zu kombinieren oder endlich viele ja weil die Menge die ich da einsetze in will oder mit denen ich die Bemerkung dazu und will die kann ich sehr sehr groß sein aber die Kombination bestehen immer aus endlichen Sohn ja also wenig enthalten Frau hat das länger unabhängig genau dann wenn n Element N Stern also jedes jede endliche Zahl wenn ich mir einen Vektor n Vektoren aus vor 1 bis V n und dann muss es nun kommen dazu müssen und etwas geben das heißt wenn ich wird gleich 1 bis N 1 feiert VJ gleich 0 habe ich muss daraus schon Folgendes die 1 0 sind dass das was ich vorhin schon die ganz Zeit gesagt habe ja wir unabhängig heißt wenn ich 0 kombinieren kann dann muss in Kurve 10 es war ok der nächste Satz liefert uns die wichtigen Eigenschaften von lineare Abhängigkeit in der Unabhängigkeit wir bald brauchen werden wenn es um Basen geht das vor 14 also nehmen uns ein Herr Vektorraum V er Element in Stern und Elektro an wenn wir in die Folgen außer also erst mal das ist wahrscheinlich auch etwas dieses aus der Schule kennen wenn die Vektoren linear abhängig sind und damit ist gemeint also Vektoren ja abhängig aber noch gar nicht gesagt was es bedeutet also dass bedeutet dass die Menge der Vektoren vor als dass er vor allen Dingen abhängig ist ja die Menge des man manchmal weg und sagte diese Vektoren sind linear abhängig aber eigentlich ist in Abhängigkeit der Menge definiert also den ja abhängig nach Definition welche 0 Vektor kombinieren kann ohne eine Eigenschaft die man auf benutzt ist ich kann einen der Sektoren als Wiener Konvention der andern Sektoren schreiben naja
das sozusagen Umformulierung der Definition dieser praktisch ist die 2. Eigenschaft ich nehme an ich hab hier naja in immer unabhängige Vektoren und jetzt greife ich mir daraus die Stücke aus die 1. P die kleiner als in ja wenn Sie die auch noch länger unabhängig also ein Worten wenn ich schon länger unabhängige Menge von Vektoren hab ich das noch welche daraus weg wer das unabhängig ja und die gegenteilige Eigenschaft ist wenn ich hier sehe wir anfingen Vektoren hat und ich tue es noch welche dazu dann für die auch immer abhängig er also das die gegenteilige Eigenschaft ich hab schon weg von diesen schon länger abhängig und hab ich noch was dazu dass erst recht wenn er abhängig und die 4. Eigenschaft wenn nicht mehr wenn er Conklin Kombinationen alle nicht endlos einzeln ja kommen Nation aus den engen Vektoren bilde in die Wege also direkt von wieder rauskommt wenn ja abhängig was verrät mir dass das verrät mir ich meine n Linie und abhängen Vektoren habe kann sie nicht auf geschickte Weise so kombinieren das noch mehr hier und in die Welt von auskommen ja ich kann mich aus allen unabhängigen endlos einzelne unabhängige machen ich geschickte Kombination an sondern da die beinhalten schon alle Informationen aus dem kann ich aus Sicht keine neuen Informationen generieren da sein Name
den da es erst mal von A müssen die Sonne genau dann wenn Eigenschaft zeigen das heißt wir machen wir die beiden Integration wieder getrennt also niemand erstmal Linie abhängige Vektoren und jetzt wollen wir zeigen das sich einst der voraus als in der Kommission von anderen schreiben kann ja das ist von dem was sie vorher gesehen haben für die einfachen Beispiel sieht man das sofort ja wenig einmal den Vektor 1 +plus 7 den Vektor 2 und es kommt 0 raus wenn es der einen Vektor halt -minus 7 mal der andere war manche Kombination gefunden jetzt allgemeine Fall muss man das müssen komplizierte aufschreiben also wenn sie länger abhängig sind dann gibt es so gut wie Zellen aus dem Körper Element er die nicht alle 0 sind so dass die Sonne trotzdem neue ergibt als feiert VJ ist gleich 0 wird gleichfalls bis er nach so jetzt will und wie einen der Faust was immer kommt zu der andern darstellen mach ich das also ich stell einfach diese Gleichung um also wir nehmen uns also einer von denen ist nicht 0 von diesen Koeffizienten das dass ich nehme den passen Index er mit den unter ihren Rechnung oder eine vor einer verjährt und ungleichen und ein davon gibt es diese nicht alle 0 und jetzt stell ich die Gleichung einfach nach dem Sektor J 0 um 0 ist geklappt .punkt hat nicht geklappt ok also wenn ich das haben und sich wieder vergessen
das zu machen also haben jetzt den J
0 dem Offizier ungleich 0 ist und dann haben wir die Summer wird gleich 1 bis n ein wird Vj das schreib ich jetzt mal getrennt auf dem J nullten Koeffizienten also man weil ich da vor +plus die restliche Summe das heißt als feiert feuert das letzte Jahr wurde kurze Zeit nicht renne es einfach vor die Summe geschrieben und da kommt 0 raus nach unserer voraussetzen immer länger ,komma zum dass nur Victors das heißt ich stelle einfach jetzt nach VJ 0 um und Krieg vor J 0 ist -minus also die Summe auf die andere Seite und 1 durch als verliert 0 geteilt also -minus 1 doch verliert 0 mal die Madison er hat gleich 1 bis 1 J ungleich J 0 einfährt Vj das würde wird sich noch rein also ich hab hier die Summer J gleich 1 bis n wird ungleich J 0 ein Koeffizient es jetzt -minus 1 2 J ich als verjährt 0 Vj und jetzt sehe ich ich hab ja ,komma zum direkten geschrieben ist ja Kombination der übrigen VJ Wiener Konvention steht dort ok und bevor sie an Integration zeigen machen wir 10 Minuten Pause was man so gern weitermachen also sie sehen ich hab jetzt bei der Folie den Satz 3 2 14 aufgedeckt dass ist der bei dem wir gerade sitzen wir werden auch noch mal brauchen später haben gehört von Teil 1 die eine der beiden plikationen bewiesen wenn die Vektoren linear abhängig sind dann kann ich einen als Kombination der anderen schreiben Name die andere Richtung wir schreiben ein als Kommerz und andern und folgern daraus dass sie abhängig sind also wir wir uns wir ein Index dass dieser einen Vektor VJ 0 1 der Kombination der anderen Sektoren ist die anderen Sektoren sind jetzt hier vor 1 bis Faro J 0 -minus 1 V 0 +plus 1 bis V 1 also sind die entdeckt worden dass der J 0 zu Vektor davon fehlt also das bedeutet ich kann VJ 0 schreiben als Summer J gleich 1 bis n
J ungleich J 0 als ÖJV J und die alpha ist 10 Oscar ok und jetzt ich für diese Gleichung macht das wie vorhin nicht letztes umstellen zu malen ja kommen dazu muss nur Sektors das mache ich nicht einfach die ganze Summe der auf die andere Seite Ziele also dann sehen wir einmal Frau J 0 -minus diese Sommer ja und gleich 1 bis n J ungleich Ort 0 als DJ Vj ist 0 haben also eine triviale ganz möchten vor VJ 0 1 1 stehen der nicht real in der Kombination von 0 also mit anderen Worten Direktoren sind keine abhängig so dass Zeit an so die Aussagen B und C über das als Übungsaufgabe ich auch empfehlen würde zu bearbeiten die sind sehr sehr kurz dürfen wir sehr schnell gehen und die Definition einfach ein ja also die gehen jeweils sagen wir mal 2 bis 3 Zeilen zu lösen ja im Gegensatz dazu die des die ich jetzt ja auch nicht beweisen 1. Beweis doch sehr unangenehm
wir können die Aussage bald aus einer anderen relativ einfach voll waren aber das jetzt sozusagen zu Fuß zu zeigen ist sehr unangenehm und deswegen machen wir das hier nicht der Fall wenn die aus dann später aus einer weiterführenden ok soll jetzt wo wir leben Abhängigkeiten in ihre Unabhängigkeit verstanden haben die wichtigsten Eigenschaften vor Augen haben wo kommen wir zum eigentlichen Ziel des Abschnitts ich Basen also was ist das in dem uns wieder ein K Vektorraum V und eine Teilmenge des Nennwerts mal B und das man ihnen Basis von V 1 falls 2 Eigenschaften gelten 1. Eigenschaft ist es länger unabhängig die 2. Eigenschaft ist mir wurde von B das ist die ganze Sektoren war das ist jetzt sozusagen scheine Definition für diesen Abschnitt was sagt das uns also das ist das was ich schon angesprochen hatte mit diesen Grundbaustein oder Baukasten sie direkt und zusammengebaut ist ich so ne Menge ja dann kann ich aus den den ganzen Vektorraum erzeugen mich interessieren also nur noch die vor Faktoren die einzeln Vektoren zu erzeugen und dies besonders klein woran sich das also diese beiden Eigenschaft die dort stehen die laufen gegeneinander ja also die 1. Eigenschaft B Svenja unabhängig wie vorhin Satz gelernt wenn ich viele Vektoren dazu nehme dann wird eher abhängig unabhängige man es tendenziell eher klein wenige Sektoren drin andererseits hat die Eigenschaft B 2 das sich aus dieser Menge B alle Sektoren des Sektors Jahr kombinieren kann das ist ein sehr dafür dass der große Menge ist ja ich vielmehr kombinieren können muss die Menge relativ groß sein was dem ich meine Lektoren wenn er diese beiden Eigenschaften sind eher laufen deswegen so gegeneinander und er die goldene Mitte es sozusagen das was bei der Basis rauskommt das ist klein genug dass es noch länger unabhängig ist aber groß genug dass die ganzen Vektoren erzeugen kann ja die nicht einfach die sich den Koeffizienten kommt an jeden Vektor an die ganze Information von dem Vektorraum stecken also schon in dieser Basis drin ja die kodiert an Informationen von Vektoren brauchen brauchen wir noch die Koeffizienten nehmen ja das heißt wir sparen uns ziemlich viele Informationen einen über den ganzen legt um den also die Basis gut kennen die Basis gut verstehen ja dazu noch mit auch mal Beispiele wo sehen keine Basis funktioniert das sind Beispiele
2 es Nadine will er auch 2 und nehmen uns Welt von 1 0 0 1 in Ordnung ist dass es ein Basis dann wurde ich kann alle Sektoren aus den Gewinn aus dieser kleinen von nur 2 Vektoren ja und seh ich das das Erste muss den Esslinger unabhängig sein das ich vorhin schon nach gerechten anderen Beispiel das war hoffentlich Beispiel 2 12 B und musste andererseits belegen dass die Linie aber will der beiden Vektoren der ganze Sektoren er auch 2 ist ja und wie ich dass ich nie mehr im Antwerpen einen beliebigen Vektor gegeben also wie jedes V das schreib ich jetzt mal hier so als als Vertreter Geld dass sich Frau schreiben kann als eine formale 1 0 das später mal 0 1 sei wie Vektor wenn ich die passen Koeffizienten für meine beiden Beton auf der Basis also ist die Linie würde dieser Menge begann Vektorraum also bilden diese beiden Vektoren zusammen eine Basis und genau so kann ich das natürlich nicht wenn er auch 2 sondern eher hoch so viel ich auch immer möchte machen was nämlich da sich System 1 den Rest Nullen dann nämlich 0 1 und Rest 0 und so weiter mein letzter Victor hat ganz unten die 1 als Teilmenge von er hoch n was ist und die wird man auch gerne Standard ja was Elektro und ich brauche und schon hab ich ne Basis für mich auch in gefunden so
jetzt kommen zum etwas schwierigen Beispiele wie man uns mal wieder den Raum 10 0 0 das Land seine unendlichen folgen also die Folgen die anderen im Index also irgendwas geht immer 0 sind und wir nehmen uns die Menge B indem wir einfach diese des Kanals reinstecken dieser letzten Vorlesung kennen gelernt haben ja die E-Cards in Chroniker Schreibweise Delta J K je mehr mit aus Beispiel man 1 2 E ja also die waren es noch mal etwas informeller hinschreiben einfach dadurch gegeben das eine Folge der ganz viele Nullen an einer Stelle nicht dazu nur 1 und das ist eben genau die Karte stellen ja meine Behauptung ist dieses B also wenig Aldi Seegras nehme bilden der Basis als er das was uns jetzt überlegen die
einfache Sache ist es nach mir das jetzt mal zuerst B 2 B 2 war die 7 Jahre es der ganze Vektorraum also ich kann jeden Sektor als geschickte linear Kombination von meine eCards schreiben wie machen wir das also wenn wir uns ein beliebiges Element aus dem Raum wie sieht das aus das hat sie irgendwelche Einträge die ich nicht genau kenne Alfa 1 bis Alfa in in jedem Fall irgendwann kommen noch Nullen zu sehen so sieht ne allgemeine endliche Folge aus weiß ich noch die Alfas aussehen aber ich weiß irgendwann ist nur noch 0 jetzt muss ich das als Ninja Kombination einer Basis weg von schreiben und wie mache ich das Einsicht nehmen aber und man eben genauso Alfa 1 mal das E 1 Alfa zweimal das E 2 alpha dreimal das i 3 und so weiter und sunnitischen auf also ich hab ja Sommer es war klar EKA aber gleich 1 bis n ja denn so sind die EKS genau definiert den praktischerweise Eckart stellen 1 ist ein bisschen so wie er auch in das heißt wenn nicht alles war kam mal EK nehme ich genau der Grabstellen als Hacker war was man einfach für alle alles die so gibt das sind nur eigentlich viele steht also kein Problem also sehe ich das reine Linien Hunde liegt und weil beliebig war sie also es 10 0 0 enthalten ist immer Zeugnis von B andersrum ist natürlich klar dass das Erzeugnis von B auch eine Teilmenge von 10 Uhr 0 sein muss ja ich haben Vektorraum wenn ich wenn ja Kombination von Vektoren es dem Vektor mache fließt nicht aus Vektoren aus Susi Definition gemacht das heißt wie auch viel vom Bild automatisch auch ein Vektorraum das heißt ich sehe 10 0 0 =ist gleich derzeit das von den das zeigt also die 2. Bedingung das ich den ganzen Vektorräume reichlich Ninja Kombination 4 noch die 1. Bedingung nachzuweisen die 1. Bedingung war ich muss zeigen dass B immer unabhängig ist
kurz meine Seite besteht jetzt alle Spiele aber das können sich überlegen was sie darunter
verstehen also B 1 also müssen wir zeigen dass diese Menge der unabhängig ist ab und hier wird jetzt diese Bemerkung wichtig die vollen gegeben hat zum Thema endlich Jelenia Kombinationen denn unsere Menge B die Basismenge das den ganzen Etats besteht ja unendlich viele Elemente ja Mercedes Car nicht also den drin wenn ich aber die Unabhängigkeit Überprüfung muss sich ja nach meiner Bemerkung nur endliche Summen betrachten das bedeutet also aus jeder endlich Auswahl von Elementen aus B kann der 0 Vektoren auf triviale Weise kombiniert werden nur ja kombiniert werden zu das ist oder Bemerkungen 2 13 ja also das reicht mir endlich Ausfall zu betrachten also nicht mehr zu nennen um irgendwelche Basiselemente das weiß ich brauche die passen Indizes dieser zieh ich jetzt mal der Größe nach das macht es leichter hinzuschreiben und passende Koeffizienten mehr und jetzt nämlich ein ich hätte so eine Kombination L gleich 1 bis n Alfa L die kl gleich 0 ja also ich hab mir jetzt einfach n von diesen Basis rausgesucht die heißen K 1 bis K n mir ziemlich einig könnte irgendwie aus denen die 0 Sektor kombinieren jetzt muss ich mir noch überlegen was daraus folgt dass die Koeffizienten alle 0 sind so wie sich das die schreibe das einfach mal hin also wir 0 Sektor müsste dann gleich sein und was steht jetzt dieser Summe ja ich hab ja nur Kombination von EKL jetzt also ich hab Alfa 1 mal EK 1 ich hab also jede Menge 0 oder hab ich an der K 1. Stelle also 1 kommt wieder eine Weile lang nichts und irgendwann an der Stelle K 2 hab Alfa 2 ja das geht es ganz schön lange so weiter irgendwann hab ich dann wenn alles war n an der kleinen Stelle und dann kommen noch 9 ja und zwar weil ich wie gesagt unendliche Auswahl von Basiselementen hat bei unendlich vielen Elementen die ich erzählte dass ich nicht das irgendwann noch nun kommen könnte irgendwas kommen keine Ahnung also ist es gut so hab ich wieder nur eine endliche Menge von vergleichen dichtmachen muss und ich Vergleich jetzt die Rechte die linke Seite der Gleichung nach links steht überall 0 das heißt rechts müssen auch überall Nullen stehen das heißt hier was sehe ich das die alpha J's 1 0 sein müssen alle Konventionen 0 Wetter rauskommt das zeigt das Benigna unabhängig ist
so wie das vorhin schon gesagt hier noch mal aufgeschrieben was wir ein interessantes Beispiel ist verdienen Basels Massigkeit nachgerechnet hat das ist nur was es ist die unendlich groß ist das kann auch passieren ich hab hinweg zu Raum wo die Basis schon unendlich groß ist der Vektorraum ist also ziemlich ziemlich ziemlich groß so bevor ich noch Beispiel nach noch mal die Frage ist zudem Beispiel alles klar war das ein sehr wichtiges fragen Sie sonst ok da noch ein Beispiel des wir die 0 Sektor was eigentlich mit dem hatte auf der Basis also 0 7 legt aber es hat uns wünschen überlegt oder hat ne Basis und verlieren Menge warum und die leere Menge länger unabhängig ja und sehe ich das 0 Sektor kann ich noch trivialerweise ich habe da keine Elemente meiner was ist also es die Eigenschaft sozusagen trivialerweise erfüllt andererseits war vorhin schon mal benutzt was für definiert haben das Erzeugnis der Lehrlinge ist 0 nach Definition das heißt die Menge 10 Basis von 0 Lektor ok bitte Frage doch nicht ok doch war ja nur zu beim 1. Bundesliga unabhängig ja ok jetzt machen wir Satz 2 17 das ist auch ein sehr wichtiger Satz 1 der wichtigsten mindestens des Kapitels wenig der Vorlesung der so genannte Basissatz und der Basis Ergänzungs Satz während die die Frage die sich nach der Definition von der Basis anstelle des natürlich welche Sektoren überhaupt Basis wann geht das wann kann nicht zum Vektorraum so ne schöne Teilmenge finden die kleines wie ganz normal zeugt die Antwort liefert der Basissatz die Einfuhr des guten Antwort sagt jeder Vektor Magna was ist so das ist ein typischer Existenz Satz aus der Mathematik dieser weg Tomatenbasis das Problem ist es gibt viele Fälle da weiß man zwar was gibt eine aber man kann sie nicht bestimmen ja unangenehme Lage aber was das hat insbesondere auch sagt Menschen im welchen merkwürdigen Funktion nehme Polynom nur machen sie jetzt an China Ausübung oder die nächste Woche nach Ausübung oder um mich anderen Funktion Räume ja weiß ich es gibt der Basis in den meisten Fällen könnte sogar ausrechnen sich keine irgendwelche Funktion nehme ich können alle anderen aus den Jahr kombinieren ja das geht immer dass der so genannte Basissatz und
der 2. Satz der Basis ergänzend Satz welchen wegzuräumen hab und und enthalten Frau wir unabhängig also der Vektorraum und unabhängige Teilmenge dann gibt es eine Basis von Frauen diese Menge M enthält also mit anderen Worten ich kann mir irgendeiner Linie unabhängige Teilmengen zwischen den einzigen Vektor ja und dann liefert mir dieser Satz die Aussage es gibt auf jeden Fall der Basis von ganz Vektorraum hinter diesen Vektor oder welche unabhängig auch immer vorgegeben hab ich kann jede unabhängige Menge durch L geschickt durchwirkt von ergänzen so dass ich mir was von Vektoren rauskriegen ja also dieser Satz er es wird auch nicht bewiesen und hier ist es sowohl den werde vermutlich auch später nicht beweisen wer brauch schon etwas her schwierigere Themen aus der Mathematik die sie in der Vorlesung nicht kennen lernen werden sie müssen einfach so hinnehmen wie geben wir werden aber brauchen an vielen Stellen des hab ich mir angegeben ja sein also wir
das jetzt es gibt immer eine Basis die Frage es gibt vielleicht mehrere und wenn es mehrere gibt was haben die gemeinsame wie unterscheiden die sich ja wichtige in Variante die wir jetzt hier feststellen werden Satz 2 18 ist vielleicht gibt es verschiedene war es kann schon sein aber die Anzahl der Elemente in der Basis es unabhängig davon ja welchen er auch 2 ab hab ich da vielleicht 17 verschiedene Bars es gibt aber ich weiß im alle gleich viel Elemente und weil ich folgende Basis angegeben hat von der 2 die 2 Elemente hatte weil sich dann automatisch jede Basis von auch 2 2 Elemente was sie von uns dieser Satz 4 also seine Frau man kann Vektorraum und b eine Basis von Frau mit NL Malcolm da hat jede Basis von Frau Elemente der Schreibkursen in Zukunft nämlich ab wenn besonders groß starte dann bleibt es etwas länger groß ok also zeigen jetzt jede Basis hat in Elemente die machen wir das also uns unsere Basis die wir schon haben die Elemente hat und Siemens an noch mit 2. Basis hier heißen jetzt W 1 das W Klee eine weitere ist ihr vor und zeigen dass die gleich in ist ja also dass in beide gleichviel drin sind das machen wir brechen Widerspruchs Beweise sehen zunächst mal P größer als in also der 2. was bestrich gibt es Mehr Basiselement dazu der 1. Basis B ja also wissen wir dann wird G 1 für mindestens 1 plus 1 ja als gibt mindestens n +plus 1 Vektoren wie 1 bis wir +plus 1 in der 2. Basis jetzt müssen wir uns ursprüngliche Menge B silberne Basis das heißt ich kann alle diese neuen Vektoren als Jahr Kombination darstellen Jahr der Basis kann ich ja alle Sektoren darstellen also aller W 1 bis +plus 1 finden ja Kombination von V 1 bis V wir uns unseren guten Satz über den ja Unabhängigkeit 2 14 und zwar zunächst mal des der sagt uns denn es n +plus 1 Kombination gemacht was man in Sektoren das heißt diese Dinge abhängig danke ok mit 90 noch mal den Bodensatz 2 14 C der sagt mir wenn meine wie einst bis wie endlos eines schon länger abhängig sind oder tÃglich ich die ganzen anderen Sektoren aus der Basis bestrich noch dazu man ist immer noch länger abhängig also W 1 bis die sind abhängig und das Widerspruch bei B Strich der Vorsitzende Basis war also Widerspruch zu Strich Basis ja und haben jedenfalls die größer n schon mal ausgeschlossen ja also noch man kurz vorm wir haben ist +plus 1 Vektoren Damen Ursprungs Menge Basis ist kann ich die alle kombinieren und wenn ich die alle kombinieren kann aber sind mehr Vektoren da müsste Sie mir abhängig sein und dann muss die ganze Menge B Strich weniger abhängig sein kann also keine Basis was man 2 T kleiner in werde man natürlich das gleiche hier also wenn man uns die V
1 bis schauen P +plus 1 ein als linear Kombinationen der B 1 bis WP ja benutzen die gleichen Argumente wie bei dem Fall des größer 1 also wieder Satz 2 14 und es liefert uns wiederum dass die Frau eines bis VON immer abhängig sind und wenn die Linie abhängig sind dann geht das nicht weil selbst nie was es war ja also auch die Annahme die kleiner entführt zum Widerspruch lass insgesamt wenn beide Annahmen zu Widerspruch führen folgen müssen geht gleich in so das heißt gesehen das es 2 verschiedene Basen geben kann das wenig verschiedene Basen hat überwiegend gleich viele Elemente haben müssen ja und diese Informationen für uns auf die Definition dieses Invarianten Begriffs ja jede Basis hat n Elemente wenn auch nur ein Element hat also die Anzahl der Basiselement für einen Vektorraum eindeutig ich kann ich verschiedene Basen finden verschieden viele Dingen sehr eindeutige Zahl und diese eindeutige Zahlen nennt man Dimension also wenn Frau ein paar Vektorraum ab und wenn die mal an die Basis der Engel menschlich dann sagen wir Frau habe Dimensionen n das schreibt man dann auch dem von V =ist gleich n so wenn das jetzt der Fall dass wir in n Elemente die war am Ende eine natürliche Zahl wissen jeder weg Tomatenbasis wissen wir nicht Vektorraum 1 n Elemente Basis hatte am vorigen Beispiel gesehen der Raum 10 0 0 dabei die was unendlich groß denn der ja auch noch ab
also besetzt Frau keine endliche Basis den nehmen wir schau unendlich dimensionale naja und erklären warum diese Definitionen sinnvoll ist und getroffen werden kann es genau der Satz oben drüber der sagt das die wir diese Zahl Dimensionen wirklich nicht davon abhängt welche Basis ich nehme sondern nur von dem Wetter die nicht mehr gewählt habe dazu gibt es ein paar Beispiele in denen wir da uns überlegen welche Dimensionen die Räume haben die schon erfolgen im Beispiel untersucht haben die zeige ich Ihnen noch das Beispiel der 2 20 das in die Beispiele die wir vorhin schon hatten ja nur jetzt noch mal mit die Dimensionen in Raum K auch entnehmen aber vorhin gesehen Gewinne n Elemente der Basis kriegen nämlich 1 sonst 0 0 1 sonst 0 und so weiter oder der Zweck das 0 0 0 0 1 das Endstück nach dem Satz wissen wir jede Basis hat in Elemente also musste Dimension gerade in sein anderes Beispiel wenn
ich K hoch die Kreuz mache hat dass die Dimension sie mal ja also Kreuzprodukt übertragen Dimension multiplikativ das Beispiel Funktionen an als wir nehmen uns die Dimension des Raums der gegebenes es durch die Abbildung für eine Menge in den eigenen Körper und es stellt sich raus mension es genau die Anzahl der Elemente von M ja das weisen wir später in Abschnitt 13. 6. nochmal nach und das letzte Beispiel das ist das was ich auch vorhin hatte die Folgen ja vorhin gesehen dass die Menge der Icahns der Basis von 10 0 0 ist das nun endlich viele also 10 0 0 unendlich dimensionale ja es kann keine endliche Basis haben hätte es eine müsste jede Basis endlich sein nach dem Satz es geht man unendlich also kann das nicht sein ja also es dieser Raum unendlich dienen sein ok so und was man mit Basen genau anfangen kann das wäre seine nächsten Vorlesung hatte
Teilmenge
Gewichtete Summe
Momentenproblem
Vektorrechnung
Menge
Endliche Menge
Koeffizient
Natürliche Zahl
Vektorraum
Vektor
Linie
Summe
Index
Multiplikation
Faktorisierung
Vektorrechnung
Menge
Koeffizient
Höhe
Vektorraum
Element <Mathematik>
Vektor
Linie
Vektorrechnung
Natürliche Zahl
Physik
Vektorraum
Vektor
Untergruppe
Linie
Teilmenge
Ungleichung
Menge
Koeffizient
Stützpunkt <Mathematik>
Durchschnitt <Mengenlehre>
Funktion <Mathematik>
Punkt
Vektorrechnung
Rollbewegung
Koeffizient
Lokal kompakter Raum
Teilmenge
Faktorisierung
Quadrat
Menge
Vektorrechnung
Betafunktion
Koeffizient
Abbildung <Physik>
Gleichung
Funktion <Mathematik>
Lineare Abhängigkeit
Addition
Folge <Mathematik>
Faktorisierung
Gewichtete Summe
Kurve
Vektorrechnung
Natürliche Zahl
Betafunktion
Gleichungssystem
Vektorraum
Vektor
Zahl
Lösung <Mathematik>
Quadrat
Menge
Koeffizient
Stützpunkt <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Index
Vektorrechnung
Koeffizient
Gleichung
Vektor
Unabhängige Menge
Linie
Summe
Index
Wiener-Hopf-Gleichung
Vektorrechnung
Koeffizient
Vektor
Richtung
Teilmenge
Summe
Faktorisierung
Vektorrechnung
Menge
Koeffizient
Stützpunkt <Mathematik>
Aussage <Mathematik>
Vektorraum
Gleichung
Vektor
Teilmenge
Index
Folge <Mathematik>
Menge
Vektorrechnung
Koeffizient
Vektorraum
Vektor
Linie
Null
Teilmenge
Vektorrechnung
Vektorraum
Vektor
Null
Gewichtete Summe
Mathematik
Vektorrechnung
Basismenge
Element <Mathematik>
Vektorraum
Gleichung
Vektor
Null
Teilmenge
Summe
Polynom
Endliche Menge
Menge
Koeffizient
Teilmenge
Vektorrechnung
Mathematik
Menge
Vektorraum
Unabhängige Menge
Vektor
Linie
Parametersystem
Natürliche Zahl
Invariante
Stützpunkt <Mathematik>
Vektorraum
Zahl
Linie
Folge <Mathematik>
Menge
Abbildung <Physik>
Stützpunkt <Mathematik>
Raum <Mathematik>
Kartesisches Produkt
Funktion <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Lineare Unabhängikeit
Serientitel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 13
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/33623
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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