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Der Gauß-Algorithmus

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immer so ein das ich für einen der ihren an der TU Darmstadt einen schönen guten Morgen und
herzlich willkommen bevor ich loslegen sag ich vielleicht noch kurz ein 2 Worte zur Probeklausur nächste Woche findet also jetzt nächste Woche Montag Dienstag Mittwoch und Übungen Stadtstaat der 11. Übung wird dann auch wie die 11. Übung Corrie also anstatt der 11. Übung korrigiert deswegen damit der Rhythmus einigermaßen gleich bleibt stehen ich auf das haben alle gesehen ist die Abgabe für das 10. Übungsblatt nicht in der kommenden Woche sondern erst die Woche drauf an was ist denn die Übungsblätter 2 Wochen Abgabefrist und denn nächste Woche wird dann eben die Probeklausur korrigiert die die der Probeklausur klar damit sie mal sehen wie Sony und Uni aussieht das heißt das Ganze Léaud dieser Klausur und der Aufbau der Klausur soll ich mal ist Klausur Stiel natürlich ist der Stoff noch nicht der ganze Stoff ausmalen gründen aber wir haben versucht einmal so auch vom Aufbau her von eine Klausur zu konzipieren wie sie auch am Ende aussehen könnte dann natürlich mit mehr Stoff das heißt auch die Aufgabentyp werden ungefähr so sein wie es der Probeklausur die so ist genauso wie der in Klausur auf 60 Punkte gepunktet da wir gesagt haben die Probeklausur geht wie ein Übungsblatt werden wir dann am Schluss ihre erreichten Punkte der Probeklausur 3. dann ist das wie 20 und das ist das Ergebnis des 11. Übungsplatz an also das heißt erschrecken Sie nicht wenn Sie die 60 sehen und denken Sie dass das dreimal so viel zählen Übungsleiter also der die Klausur Punkte damit dass dann Übungsblatt gibt er an wie gesagt der ganze Aufbau der Klausur ist Klausur ich dir was natürlich nicht unbedingt Klause still ist ist der die Umgebung also schreiben Sie Klausur in den normalen Übungsgruppen das natürlich jeder Form von und mogeln Tür und vor das ist auch kein Problem weil wie gesagt dass diese Probeklausur in ihrem Interesse sollten Sie natürlich versuchen von diesen Möglichkeiten die sie haben wenig Gebrauch zu machen weil die einzigen die sich damit beschummeln sind sie selbst und es ist es relativ egal wenn sie schummeln dass sie sind es ist es dann nicht mehr wirklich egal wenn sie anfangen damit andere zu stören war also wenn die Tutoren und Tutoren schon gesagt wenn Leute anfangen eine Probeklausur in Grüppchen laut zu diskutieren dann sollte man das schon unterbinden nicht weil das jetzt verboten ist also man klar so ist nicht verboten sondern weil das natürlich die einen stört und die Aufgabe daraus sozusagen ein Klausur viel zu machen dass ein bisschen Ihre eigene also versuchen sie das Ganze Spiel das ganze bisschen mitzuspielen und tja draußen Klausur Event zu machen das bedeutet aber auch das geht diejenigen die schon am Montag schreiben in der Mensa ihre Klappe halten es sei denn jemand von den Mittwoch Leuten bietet sie explizit in alles zu erzählen ist ja selber schuld aber wir versuchen sie denn auch die die später schreiben noch die Chance zu geben die überraschende Klausur zu schreiben Mehr vielleicht auch im Forum die die zur Klausur erst am Mittwoch auseinander zu pflücken und zu diskutieren ich gleich am Montag macht Mehr gut kennt geht es dazu noch Fragen dann ja gehen Sie da alle ganz ruhig sein sie können da nichts verlieren sie können nur wir Rückmeldung kriegen muss ich denn wie so was aussieht und was ich mich auch noch erinnern aus den letzten Jahren was im 1. Semester muss ein bisschen Missverständnis ist und diesen Massenbetrieb und das bedeutet machen Sie sich keine Strom Stress ihre mündliche Note war es gibt keine mündliche Note das sie sich immer wieder erlebt habe ist dass Leute die Probeklausur mitschreiben und am Schluss dann nicht abgeben und verschwendet die Tasche stecken weil das ist ja irgendwie so furchtbar gelaufen und das wollen Sie der dass das muss niemand sehen ist das wirklich machen sitzen wir trennen denn es ist nur sie sinnlos eine Rückmeldung gebracht weil niemand wird ihn aus einer auch aus seiner schlechten Probeklausuren einen Strick drehen zu sein deswegen weil sich niemand von uns die 600 Namen merkt und Entwickler so damit verbirgt verknüpft also gehen Sie ruhig ab ja ob interessanter Effekt gut und schon mal schickt gut sonst noch Fragen gut dann komm ich Zimmer Dematic zurück und ich hab normal so dass ende Resultat der letzten Vorlesung hier in die Wand mitgebracht werden und damit beschäftigt wie ich die Lösungs wie Lösung verlieren System aus den Kriterien für Lösbarkeit und die wir hat mir festgestellt Unlösbarkeit zu untersuchen müssen wir es müssen der reinen Betrachtung an also ist es am einfachsten reinen Betrachtungen anzustellen und zu überprüfen wie ist der Rang der Matrix und der Rang der sogenannten erweiterten Koeffizientenmatrix und wenn sie die beiden Zahlen haben dann können Sie daraus sofort ablesen auf das Ding lösbar eindeutig lösbar oder nicht nicht lösbar ist alles steckt da drinnen und ich hatte ihn auch gesagt das ist nur die halbe Miete weil jetzt wissen wir das theoretische das den lösbar ist wird nicht aber wissen natürlich nicht eine Lösung kommen und das ist das Thema der heutigen Vorlesung ein algorithmisches Verfahren Milieu ein Algorithmus Verfahren anzugeben habe er an er mit den See an die Lösung kommen da jetzt mit den sie eine Lösung kommen wenn die längst ist den und dieses Verfahren ist der Gauß Algorithmus nach Karl Friedrich der aus er sich noch an Zehnmarkschein erinnert dabei da drauf dass er an und das Ziel ist wie gesagt die algorithmische Lösung von LGs und was ist jetzt so und was können wir dafür tun im Prinzip so steht es nicht sehen kann aber er B mehr wir hab ich jetzt dasselbe Problem wie für ein paar Wochen der Handelns auf dass die Werte wie wir es ja ich habe kein Satz die Daten dazu ist müssen wir offen Obeid gut was kann man tun im Prinzip ist dieser Gauß Algorithmus nichts als die vereinige rhythmisierte und etwas stringent gefasste Version der bekannten Methoden eine Gleichung auflösen und in die andern einsetzen und so weiter also was haben wir werden ich bin Yast der ins System Alfa 1 1 x 1 +plus Alfa 1 2 x 2 und so weiter Alfa 1 n x n gleich B 1 erinnern sich an die allgemeine Form Alfa 2 1 x 1 +plus 1 4 2 2 x 2 +plus Alfa 2 N Abs 2 XM gleich B 2 und so weiter bis alle P 1 x 1 +plus 1 für P 2 x 2 +plus Alfa PNX allen gleich BP das kann man jetzt wohnen wenn man solle ist lösen will aber immer wieder das gleiche System umformen so dass die Lösungsmenge sich nicht ändert und was ich Ihnen jetzt geht es sind 3 elementarer Umformung die Sie tun können ohne dass sie die Lösungsmenge ändern er gibt und der Gauß Algorithmus besteht im Prinzip daraus diese 3 elementare Umformung geschickt zu kombinieren und ich viel Wert darauf verzichten der Vorlesung jetzt in den Gauß Algorithmus ganz mathematisch stringent einzuführen zu beweisen dass sie tot ich denke wenn ich in die 3 Umformungen hinschreibe dann werden Sie mir sofort
glauben dass man das tun kann ohne die Lösungsmenge zu ändern die 1. die 1. Aktion die Sie tun können ist die ganz banale sie tauschen einfach 2 Gleichungen also Sinn denn die Gleichung 3 10 in die Gleichung 3 ab jetzt 5 und die Gleichung 5 ab jetzt 3 dann kommt natürlich das gleiche gleichen System raus man sagen sie zu banal werden aber brauchen was kann man noch machen und es könnte Lösungsmenge zu ändern sie können eine Gleichung mit Mehr Konstanten die nicht nur das durch multiplizieren Film also aus multiplizieren eine Zeile also das heißt einer Gleichung mit einem Lander ungleich 0 aus Car natürlich dass sie mir gleich um nicht mit 0 durch Multiplizieren der sie gleiche =ist gleich 5 Minuten x 1 +plus x 2 gleich 5 mit nur durch Multiplizieren und Information weg ist er damit allen außer 0 dürfen sich multiplizieren und dann kommt die das 3. das ist der wesentliche Schritt sie können ohne die Lösungsmenge zu ändern und das Vierfache eine Zeile auf eine andere Zeile drauf erklären also sie können dreimal die Zeile 1 +plus 2 +plus die Zeile 2 angucken steht der Zeile 2 die Zeile 1 dabehalten Wien so dass es wieder einen Möglichkeiten die sie haben und der Gauß Algorithmus kombiniert jetzt diese 3 Methoden zum Lösen von den Systemen wie gesagt ich werde ihn jetzt nicht nur allgemein Beweis vor Echsen und warum das tut und auch nicht mehr Allgemeines allgemeine ein der allgemein Mehr Beschreibung des Gauss Verfahren zum schreiben weil da sitzen mir hier langsam nicht für ihn das an einem Beispiel vor und nachher noch ein Beispiel und dann vielleicht auch noch ein also und das ist das Beispiel 8 5 uns also mal ein konkret es gleich im System her x 1 +plus x 2
+plus x 3 +plus x 4 gleich 5 das sind 4 unbekannte und deren Summe soll 5 seien zweimal x 1 +plus x 2 -minus 2 mal x 3 -minus 3 mal x 4 soll 4 seien -minus x 1 -minus x 2 +plus 2 mal x 3 -minus x 4 soll 1 sein und zweimal x 1 +plus 6 2 -minus x 3 +plus 2 x 4 gleich 1 ja das ist das gleiche System wie Sie es haben jetzt hatten wir am Anfang gesehen werden System so hinzuschreiben ist ziemlich mühsam ja ich hab Rücken mit denen vergessen oder der Stifter des Konzerten 10. vergessen der Stift hatte Hertie-Konzern essen so Bahr die mit 2 Uhr fast jedenfalls x 2 -minus 6 3 vor sich alles vergleichen aber es dieses Minuszeichen oder verschlammt wird als ich immer das Gleiche ja der Sonne 2 na also Sie sehen schon ist es nur in sehr gut aber weniger Striche machen muss und da haben wir gesehen eine Möglichkeit die Anzahl der Striche zu verringern bei diesen ganzen langen System den Kram ist Tag weil in den Matrixraum
anzugucken also gleiches Gleichungssystem in Matrix fahren und die Erde die kriegen sie das Essen dem sie Koeffizienten aus den Gleichungen schreiben eine Matrix das ist aus der 1. Zeile 1 1 1 1 das war die Zeit x 1 +plus x 2 +plus x 3 +plus x 4 das sicher wird das Ganze dann mit dem Vektor x 1 x 2 x 3 x 4 multipliziert die 2. Zeile über 2 1 -minus 2 -minus 3 4 3. Zeile war -minus -minus 1 -minus 1 2 -minus 1 und die 4. Zeile war 2 1 -minus 1 2 l und das soll seinen gleicht dem des und das BE war 5 4 1 1 zu 1 aber das ganze Mac für Matrix fahren und auch die notiert man sich noch mal kurz Hopsten dann auch dies 1 x 2 2 x 4 muss man nicht jedes Mal mit Schleifen also was ist die diese Information gewesen Formation ist die Matrix und die rechte Seite 1 1 1 1 2 1 -minus 2 -minus 3 -minus 1 -minus 1 2 -minus 1 und 2 2 1 -minus 1 2 l hat und dann kommt die rechte Seite 5 in 4 1 1 so war sie sehen der Serie wird dass es jetzt diese erweiterte 10. Matrix und dann als ich das 1. Baltes B dran so der was macht jetzt Ärger aus der 1. Schritt vom graust es jetzt und der es wir müssen dafür sorgen dass oben links also der 1. Schritt vom daraus arbeitet mit diesem dementieren jetzt kann es passieren dass diese Werte 0 ist man nur weil man da ich habe sind sie nicht so aber es kann natürlich sein wenn das Elemente 0 ist dann muss man im 1. Schritt dafür sorgen das da oben links keine 0 steht also der 1. Schritt ist der oben links muss Zahlungen gleich 0 hin wie kriegen Sie das hin und her weshalb 1000 sieht sein wenn da sehen sie war wozu man diesen Arbeitsrecht Vertauschen von 2 Zeilen braucht der Vertrauen
und zeigen 7 hinkriegen dass oben ist keine 0 steht weil wenn der ganze Spalte nur 0 stehen dann haben Sie die Variable x 1 einfach nicht mehr das bedeutet dass die Variable x 1 in eine Gleichung mit 0 mal drin steht also das kann nicht das Ziel so wenn Sie das haben in dem Fall sind wir schon so weit in dem Fall müssen beim 1. Schritt nix tun dann ist der 2. Schritt nein Inc elementaren Umformung 2 Lieder war multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl und gleich 0 um multipliziert die 1. Zeile so dass das da oben 1 ist also dass dieser Eintrag oben links der ja nicht nur des dass der einst wenn der nicht nur das können Sie dem auf 1 normiert in dem Fall hier oben als auch der 2. Schritt schon erledigt und jetzt kommt der Auftritt der der 1. Sieger ausfällt wir waren die 1. Spalte auf so war und wie funktioniert das hier das funktioniert ja folgendermaßen sie addieren die mir dass Sie noch was wir noch was sie noch machen dürfen ist vielfach von einer Zeile zu andern Zeit dazu addieren wenn Sie die 1. Zeile zum Beispiel zur 3. dazu addieren dann kriegen Sie der 1. Spalte 0 weil 1 -minus 1 ist nun und auf diese Weise was machen Sie jetzt unter der grün umrandeten 1 lauter Nullen und das kann man am besten folgendermaßen sich notieren schwer nochmal dieses Schema Zahlen Schimmer von da oben also das war 1 1 1 1 5 2 2 1 -minus 2 -minus 3 4 -minus
1 -minus 1 der die Minuszeichen mager nicht 2 -minus 1 1 und 2 1 -minus 1 2 1 zur was immer gesagt über die 1. Zeile zu 3. dazu addieren also wollen die 1. Zeilen eines multiplizieren und hier drauf addieren und die 1. Zeilen mit minus 2 multiplizieren und hier drauf addieren warum wollen Sie das machen kriegen sie von 1 0 und genauso auch die 1. Zeilen -minus 2 multipliziert da drauf meinte kurze Notation mit der Sie andeuten können was sie tun das ist auch ganz wichtige wenn sie das nicht dazu schreiben was sie tun dann ist es absolut hoffnungslos das nachzuvollziehen und zwar nicht nur für eine korrekte Autos sondern auch für sie 2 Wochen später so was passieren wird also diese Rechenschritte tun die 1. Zeile bleibt unverändert mit dem machen wir nichts was einfach abschreiben war einfach abschreiben heute schon mühsam ist also 1 1 1 1 5 was bisher jede 2. Zeile da wird die 1. 2 mal abgezogen also 2 -minus 1 2 mal 1 ist nur so soll es auch sein 1 -minus 2 mal 1 ist minus 1 -minus 2 -minus 2 bis -minus 4 -minus 3 -minus 2 -minus 5 und 4 -minus 10 bis minus 6 also die 1. 1 -minus 2 multipliziert und 100 zur 2. dazu erzählt da die zur 3. Zeile ziehen wir die 1. einfach dazu -minus 1 und 1 ist 0 -minus 1 und 1 ist 0 2 und 1 ist 3 -minus 1 und 1 ist 0 und 1 und 5 bis 6 3. letzte Zeile wird die 1. auch zweimal abgezogen Getier 0 dann 1 -minus 2 bis -minus 1 -minus 1 -minus 2 bis -minus 3 EL und 2 -minus 2 es noch mal 0 1 minus 10 bis minus 9 so auf die Weise aber das gleiches System umgeformt n 1 das in der 1. Spalte unter der frühen 1 schon nur Nullen hat so und was sie jetzt machen ist dieses Verfahren sukzessive auf eine Spalte nach der andern anwenden also nimmt man sich jetzt das nächste so genannte pivu Element also dieses hier und macht genau das gleich 1. dafür sorgen dass es nicht nur das das muss jetzt nicht unbedingt funktionieren also dass man sich gleich das Vorgehen mit dieser Stimme also jetzt gleich das Vorgehen wie oben mit der Stelle die jetzt grün eingekreist ist in der sie mit der Stelle darum was haben wir vorhin gemacht 1. muss Zahlung gleich 0 hin es kann passieren dass das nicht geht es gewöhnlich wie vorhin argumentieren dass sie die irgendwo was stehen muss es könnte sein dass beim Aufräumen der 1. Spalte sich die 2. ausversehen gleich mit aufgeräumt hat wenn das so ist also in den in der 2. Spalte außer in der 1. Zeile 0 0 stehen dann gehen sie sofort zur 3. Spalte deren das kann jetzt passieren also wenn sie wenn sie es nicht schaffen eine 0 hin zu tun also und zwar müssen sie von den unteren 3 Zeilen jetzt da der irgendwas nicht 0 hinkriegen also die obere Zeile darunter zu tauschen bringt nichts weiter haben Sie sich die Urtheile ansetzen können Sie die 1. Spalte dürfen sie es nicht mehr ändern so also wenn sie das haben was in dem Fall jetzt haben wir dann Element ungleich 0 stehen dann kommt die vorhin als nächstes müssen Sie den Eintrag der der steht zu 1 machen wenn eine
so wie vorhin 2. Schritt Eintrag zu 1 machen und drittens die 2. Spalte aufräumen zur also machen wir das nicht abnormal den das Ergebnis was wir vorhin hatten auf also bewahren die endet mit der 1 0 0 0 Speise die schon so ist wie sie sein soll dann stand da 1 -minus 1 0 -minus 1 1 -minus 4 3 -minus 3 1 -minus 5 0 0 und auf der rechten Seite 5 -minus 6 6 -minus 9 sollten wir gesagt muss erst mal diesen Eintrag denn auch hier noch mal ein als ein Eintrag mit dem Bild arbeiten ist der hier zwar dem müssen war zu 1 machen dazu multipliziere die 2. Spalte Zeile einfach mit minus 1 durch na dann kommt bleibt dem Wesen des selbe bestehen 1 1 1 1 5 die 2. Zeile wird 0 1 4 5 6 die 3. 0 0 3 0 6 die 4. 0 -minus 1 -minus 3 0 -minus 9 so jetzt wollen wir die 2. Spalte aus wir wollen also außer dieser 1 mit der wir arbeiten nur Nullen haben was müssen wir dazu machen die 3. Zeile schon okay zur 4. Zeit erzählt mir die Zeile einfach einmal dazu und von der 1. Zeile ziehen einem ab und dann kriegen wir war es also 1. Zeile -minus 2. Zeile 1 -minus 0 ist 1 1 -minus 1 ist nur so sollte es sein 1 -minus 4 bis -minus 3 und 1 minus 5 bis minus 4 und 5 -minus 6 ist -minus 1 2. Zeile bleibt stehen die Zahl mit der man aktuell arbeitet wird immer nicht verändert jetzt die 3. Zeile wert auf denen die hatte schon freundlicherweise 0 der 2. Spalte und in der 4. Zeile auf die dir mir die 2. einfach drauf gibt 0 0 4 -minus 3 1 5 und 0 Mehr 5 und 6 und -minus nein geht -minus 3 so nah und so geht es weiter drehen die 3. Spalte nächstes Tivo Element nächstes Element mit dem der Arbeiten ist dieses hier das müssen wir zu 1 machen also teilen wir das mal durch 3 bleibt alles stehen bis auf die 3. Welt pumpt er bis auf die 3. Zeile 0 1 4 5 6 hier gibt es 0 0 1 0 2 sehen der sich den das Trennsystem ausgedacht hat hat aufgepasst dass die Zahlen einigermaßen ganz bleiben so also ich habe dieses Ding hier und jetzt sehen Sie nein jetzt einiges zum aufräumen muss es
gleich nochmal abschreiben 1 0 -minus 3 -minus 4 -minus 1 0 1 4 5 6 0 0 1 0 2 0 0 1 5 minus 3 also unsere entscheidend ist der Eintrag im Moment ist er hier hallo mit dem jetzt aus das bedeutet wenn man die Zahlen mal 3 und multiplizieren sich hier oben drauf beziehen sie 4 hier ab mir ziehen Sie einmal hier ab das geht 1 +plus 3 mal 0 es immer noch 1 zu 0 +plus 3 mal 0 ist 0 wir sollen 0 gehen -minus 4 +plus 0 bis minus 4 -minus 1 +plus 3 mal 2 bis -minus 1 +plus 6 müsste 5 sein dann gibt es hier 1 0 1 1 1 0 1 5 und 6 -minus 4 mal 2 also 6 -minus 8. -minus 2 die 3. Zeile bleibt unverändert und bei der 4. müssen wir die 3. abziehen gibt 0 0
0 5 -minus 0 bis 5 -minus 3 -minus 2 1 -minus 5 Saar und lernen den Garaus und was ich jetzt aber machen wir wirklich bis zum bitteren Ende durchzieht dann müssen sie jetzt nur dann ist dieses Element jetzt hier das nächste und letzte Schlüssel Menschen mit dem der arbeiten das müssen auf 1 kriegen also Dateien durch 5 geht 1 zu 0 0 -minus 4 5 0 1 0 5 -minus 2 1 0 0 1 0 2 und 0 0 0 1 -minus 1 an geht wieder aufräumen der letzten Spalte also mit diese gleich mit 4 multipliziert da drauf die gleichen mit minus 5 multipliziert da drauf gibt hier oben 1 0 0 0 und was passiert wenn in 5 -minus 4 S die 2. Zeile 1 0 1 0 0 -minus 2 +plus -minus 5 mal -minus 1 jetzt wird's Kopfrechner Arzt -minus 2 +plus 5 bis 3 0 0 1 0 2 und die letzte Zahl 1 0 0 0 1 -minus 1 so es aber ganz viel gerechnet und alles bis zum Ende durchgezogen und die Matrix auf der linken Seite sieht jetzt wunderbar einfach aus ist die Einheitsmatrix und da steht in Danzig und so oder so weil was bedeutet jetzt die 1. Gleichung die 1. Gleichung bedeutet einmal X 1 gleich 1 die 2. gleichen bedeutet einmal x 2 gleich 3 die 3. bedeutet einmal X 3 gleich 2 und die letzte bedeutet einmal x 4 gleich -minus 1 also immer auf die Weise die Lösung bestimmt und natürlich hätten sie auch schon deutlich früher Teil der Lösung ablesen können ja also wenn Sie jetzt das was man gerade oben noch sieht anschaue dann steht da haben sie die 3. Zeile angucken steht das schon X 3 gleich 2 ich hab sehen jetzt einmal exemplarisch sozusagen nach Lehrbuch bis zum Ende durch die x-te bei das die algorithmische Form ist Mehr wenn Sie das Ding programmieren würden dann würde man sozusagen das bis zum Ende durchziehen als Mensch sieht man schon vorher dass man sich die Sache vereinfachen kann in Cannes und im Verlustfall nutzen so aber also wir haben jetzt hier das Ganze auf das sogenannte wir wollen allen voran gebracht die man daraus
am Ende erreichen will ich Franz mal als Gleichungssystem auf was ist am Schluss als kleines ist da stand war x 1 gleich 1 x 2 gleich 3 x 3 gleich 2 und x 4 gleich -minus 1 und das kleine System wird jeder von ihnen lösen können und die Lösungsmenge ist 1 Venedig und es 1 3 2 -minus 1 kann so und das wichtige Beobachtung ist wir haben bei diesem Gauss Verfahren ganz viel mit den Zeilen der Matrix gehindert in einer addiert und vertauscht und was noch alles gemacht und Kriegen am Schluss die Lösung raus und natürlich ist es da ein System am Schluss genauso gut lösbar wie das am Anfang zwar genau die Lieder elementar Umformung dass die die Lösungsmenge nicht ändern die Lösbarkeit von gleichen System hängt dabei eng mit dem mit dem reinen zusammen mit dem Rang von unten rein von der Weide 14. Matrix und das ist eine wichtige Bemerkung in dem Zusammenhang alles was den Garaus Verfahren machen alle diese elementaren Sie die auch so ein kleines System loslassen dann ändern sie damit natürlich das Gleichungssystem aber nicht die Lösung und insbesondere in Sie damit nicht die entscheidenden Ränge also sie ändern nichts den reinen von und den Rhein von der erweiterten Koeffizientenmatrix so heißen wenn sie noch meine Seite zurück gehen der Reihe was
wir brauchen um Lustbarkeit zu sagen das übers würde bei der auszusagen ist der Wagen von dieser Matrix ganz oben links und der Rhein von der erweiterten darf es ganz oben links und die diese beiden Ränge sind in dem Fall 4 und die bleiben über das ganze Prozedere 4 als auch bei der Matrix zumal jetzt ganz unten steht ist der Rang der Matrix Dienstedt und gearbeitet der 4 Unterrang der weiter ein Kurde 10. Matrix auch VIA kann das er das heißt eben die klar dafür nie anders sein die Lustbarkeit bleibt ihm die ganze Zeit diese wieder sind n a wenn jetzt jetzt bei den 1. Übungsaufgaben zu dem Thema müssen Sie es haarklein Foix jeder muss seinen daraus mal in die Finger gekriegt haben wenn Sie im Computertomografen programmieren und das 500 mal 2 Millionen Systeme haben dann machen Sie es nicht von Hand völlig klar aber man muss ist um zu wissen um zu verstehen was hier passiert muss man Sommer von Hand gemacht haben das Verfahren das Verfahren von Hand ist mühsam aber es ist eine wesentliche Übungssache nahm um freilegen dichtes Teile also dieses getadelt 3 bedeutet dass sich diese eine Zeile durch 3 Teile ja die ich auf nix auf wir das schreibt man so also ich der dieses ja auch keinen daraus folgt Taylor sowas das ist nur so die heißt da kommen wir da und da hin weiter also das ist die übliche Rotation und aus also eine übliche Mutationen aus Verfahren mit einem einfachen sein ich
verstehe warum niemand Lust hat das zu tun weil das haben Sie ja auch gesehen daraus Verfahren rechnen ist Konzentrations Schwerstarbeit N aber da muss man durch also bevor sie sich in den Garaus setzen dreimal tief durchatmen alle störten Dinge aushalten und ganz exakt rechnen das sind immer nur Rechnungen von dieser Sorte 2 -minus 3 2 -minus 3 mal 5 Jahre das ist alles banal aber wenn dann 3 Minuszeichen darstellen fängt man an sich zu rufen und da muss man einfach Stuhl der bei der Sache bleiben ja übernommene Frage ok an ich zeige Ihnen noch ein weiteres Beispiel Emerson Skript kommt dir zum Beispiel 8 7 des spring ich mal ich mach gleich Beispiel 8 8 das jetzt der grundlegende Körper nicht mehr er wie vorher sondern immer den Z 5 aber das ist total egal daraus immer das gleiche Gleichungssystem schreib ich diesmal gleich in der vom als Matrix sehen 3 Schlange 2 Schlange 1 Schlange rechte Seite 0 Schlange 1 wir einschlagen 4 schlagen die rechte Seite uns Schlange bei uns Schlange 3 Schlange einschlagen Schlange rechte Seite 2 was bedeutet dass das bedeutet 30 lange mal x 1 +plus 2 schlanke Mann x 2 +plus x 3 ist 0 Schlange und so weiter so gleiches Verfahren wieder reden was müssen wir machen wir müssen er an dafür sorgen dass oben links nach 1 steht sie mehr Möglichkeiten für eine gewisse taufen zum Beispiel die 1. und 2. Zeile oder sie multipliziert die 1. Zeile mit den Daten von 3 was das inverse von dreien Z 5 zum kurz drüber nachdenken dann kommt man raus das ist 2 also was passiert wenn Sie die 1. Zeile mit 2 multiplizieren 2 Schlangen Erdreich lange ist Sex Schlange das 1 zu 1 2 mal 2 ist 4 und 2 mal 1 2 und nun mal 2 ist zum Glück nicht schwer im Rest Schreiber ab 1 Schlange 1 schlagen 4 Schlange 1 Schlange 1 Schlangen 3 Schlange 1 Schlange 2 so ist aber die 1 da oben mit der können wir die 1. Spalte aufräumen das heißt sie Multiplizieren mit -minus 1 Schlange durch ist eine Schlange es 4 Schlange aber das ist egal könne noch -minus 1 nehmen und er das da drauf also die 1.
Zeile von der 2. und eine 3. abziehen wird es mal die 1. stehen 1 4 2 0 1 plus 1 ist 0 1 -minus 4 bis -minus 3 4 minus 2 ist zwar ein und 1 -minus 0 bis 1 1 -minus 1 0 gemacht 3 -minus 4 bis -minus 1 1 -minus 2 1 -minus 1 und 2 Minuten und 2 können jetzt wollen vielleicht erstmal auf das wir wieder ja wenn man es mit 5 rechnet hat man immer gerne die Reste zwischen 0 und 4 stehen und keine komische -minus 3 also schlagen 4 schlagen 2 Schlangen 0 schlage nur Schlange -minus 3 1 2 1 2 Schlangen 1 Schlange 0 Schlange -minus 1 bis 4 das einzigst 4 zur als nächstes brauchen wir hier mehr brauchen wir der 1 in der Mitte das geht am schnellsten den Sie mal die zeitliche mit 3 Schlange durch Multiplizieren wir 3 schlagen ist das inverse zu 2 Schlange wer oben wie vorher eine Schlange 4 Schlangen 2 Schlangen 0 Schlange die 2. Zeile wird dreimal 0 es nur noch 0 damals 2 6. 1 geht ja auch ne 1 und 3 mal 1 3 die letzte Zeile bleibt stehen 0 schlagen 4 Schlange 4 Schlange 2 zu Sarah was müssen sie Tumoren 2. Spalte aufräumen also 2. Zeile mit minus 4 multiplizieren und da und da drauf eingehen und das bleibt jetzt übrig mit die 1 bleibt 1 4 -minus 4 ist extra gemacht dass dann nur was kommt 2 minus 4 bis minus 2 und -minus 4 mal 3 ist 12 und das Minus 12 genauer gesagt also wichtig -minus 12 Schlange die 2. Zeile bleibt stehen 0 Schlange ein Schlange eines Schlange 3 Schlange und unten haben sie 0 Schlange 0 Schlange 4 -minus 4 1 0 und 2 -minus 12 also 2 Schlange -minus 4 mal 3 1 2 minus 12 bis minus 10 10 im 4. 5. aber ziemlich 0 so was passiert wenn und Zeile gekriegt besteht nur aus Nullen eigentlich wäre der nächste Schritt von auswärts als wäre das nächste Element mit dem wir weiterarbeiten das wäre das der Versuch das auf 1 zu nominieren wird er das wieder schwer sein nur das heißt an der Stelle ist jetzt bricht unser Verfahren ab und es kann auch anders denn ich weiter gehen ja -minus 12 lange es direkt weil Klasse von minus 12 für alle die die Zahlen Z die den gleichen Rest haben beim Zahl durch 15 -minus 12 nach Definition und -minus 12 hat welchen Rest haben 3 würdig sein das ist das Land ist reich was sie dürfen und die lange dürfen sie ihren Repräsentanten schreibe nur 2 oder 3 3 1 dran oder die Schlange der sie jeden Repräsentanten schreiben man ist nur so daran gewöhnt dass man immer auf 0 1 2 3 4 normiert aber -minus 12 es genauso gut ich mach das extra so weil wenn Sie das wenn man versucht das alles auch noch im Kopf zu machen und jedem Rechenschritt dann ist der Seite dass man sich vom ruft noch 1 Größe das werde ich mich erst mal so und macht dann wie vorhin im nächsten Schritt räumlich auf der das kommt jetzt ja auch als nächstes das Aufräumen machen wir gleich ich will nur kurz noch debattieren was diese 0 bedeutet was ist jetzt der Kleinen von der Matrix die jetzt am Ende das Welt das 2 Jahr war sie am 2. in der unabhängigen gespalten und die 3. Pleite in ja abhängig das heißt nach Würdigungen vor noch der am Anfang war nur 2 der einen erweiterten Koeffizientenmatrix und das ebenfalls 2 war noch die 4. Spalte ist die Kombination der 1. Wahl das heißt auch daran gearbeitet Matrix da oben war 2 das heißt wir wissen und System da oben war lösbar aber nicht eindeutig lösbar bei 1 zu klein ist anders ausgedrückt heißt das die Gleichungen die sie haben wollen ja abhängig die 3. Gleichung eine Kombination der 1. und der 2. und was sozusagen enthielt keine neuen Formation und das hat bedeutet wir kriegen jetzt hier der ganze Schar von Lösung so was wie jetzt man müsse man diese Stadt zu kommen ist das fragen wir nochmal dieses Ding hier auf und machen aus der -minus 2 1 3 und aus dem Minus 12 auch mit 3 die schreibt das nun auf die nächste Seite also was ist unser
kleines ist im Moment das ist eines Schlange 0 Schlange 3 Schlange rechte Seite 3 Schlange nur das die minus 12 0 schlagen wir eines Schlange 1 schlagen 3 Schlange und die letztlich Zeile war 0 Schlangen und Schlangen in Schlangen und Schlangen tja wie gesagt der 1 2 damit kriegen sie aus der Dimensions Formel dass die Dimensionen vom Kern dieser Matrix 1 ist und damit muss die Lösungsmenge von ihrem System von der Form sein eine spezielle Lösung +plus eindimensionale doch und des denn das kriegen wir jetzt folgendermaßen haben jetzt 2 Gleichung mit Unbekannten das heißt es um unter am eine Unbekannte zu viel und diese unbekannte als Parametern da können Sie jetzt als 1 x 2 oder x 3 nehmen und wenn so richtig starr steht wie jetzt ist es sehr sinnvoll X 3 gleich Lander zu setzen also wenn Sie X 3 unbekannte Land nehmen dann können Sie jetzt x 1 x 2 in Mehr Funktion von Namen da schreiben Sie mal was ist jetzt X 1 wenn Sie die 1. Zeile nehmen die 1. Zeile lautet x 1 +plus 3 Schlange mal x 3 =ist gleich lange also heißt die 1. Zeile x 1 ist 3 Schlange -minus 3 Schlange mal x 3 das ist 3 -minus 3 Schlange Malern und das können Sie jetzt noch einmal mehr die Minuszeichen loswerden will dass es 3 Schlange +plus 2 schlagen Alarm bei -minus 3 es 2 genauso mit x 2 was bedeutet die 2. Zeile die 2. Zeile bedeutet x 2 +plus x 3 ist 3 Schlange also ist x 2 3 Schlangen -minus x 3 3 Schlangen -minus Lander und wenn sie es wieder normieren wollen ist das 3 Schlange plus 4 Schlangen Eilande und damit haben sie ihre Lösungsmenge was ist die Lösungsmenge von dem LGs das sind alle Vektoren die die Form haben das in der 1. Komponente was von der Form steht 3 Schlange plus 2 Schlangen Lander das X 2 muss von der Form sein 3 Schlangen plus 4 Schlangen der ja und das X 3 ist an und da ist irgendein beliebiges Gala also in beliebiges Element aus Z 5 und wenn man jetzt noch genauer sehen will dass das wirklich die Form hat spezielle Lösung plus der ganze Kern dann kann man sich noch bisschen auseinanderziehen das ist der die Menge 3 Schlange 3 Schlangen nun Schlange +plus
andermal 2 Channel 4 Schlange 1 und Weilern das Z 5 kann 3 lange 3 Schlangen durch Schlange ist die spezielle Lösung und das Erzeugnis von 2 kleine 4 Schlange 1 Schlange ist der Kern von der Matrix zur damit haben wir auch dieses kleinen System gelöst und Sie sehen das kann der Fall auftreten dass viele Lösungen kriegen und bevor ich es dann weiter nach meist ein kurzes Preuschen so ich würd gern die 2. Hälfte anfallen und zum Abschluss dieses Abschnitts über das Gas Verfahren eben noch zeigen wie sie damit auch ein anderes Problem lösen können dass wir noch offen halten nämlich die Frage wie sie an die inverse von der Matrix kommen wir werden ja der als wir denn wer also von Matrizen definiert haben haben wir gesehen dass es praktisch sollen zu haben damit können sie zerbiß Fall das ein oder andere gleich System sehr einfachen lösen und außerdem gibt es in wenn sie den Aprilia Abbildung haben wir den denn der sind die Abbildung smartes der Umkehr Abbildung aber wir hatten noch offengelassen wie man den die inverse auch wirklich berechnet und mit dem Gas erfahren haben war auch damit 1 Mitte also dass die Bemerkung 8 9 in der wir uns überlegen wollen wie man das Problem der inversen Berechnung auf das Problem von den Jahren gleich ins System zurückspielen kann und damit mit den Garaus Verfahren eingehen also was haben wir wir haben den datierbare Matrix aber damit sind wir Tiere sein kann muss sie quadratisch seine Sinne in Kreuz ändern Tricks die Sinne der Tiere war und wir wollen diverse H ich nenne mal nur die in der sie die zwar das Denken wird hier ist und die jobbte Spalte von der inversen die nämlich mal XJ also XJ aus kann auch sei die Orte Spalte von auch -minus 1 das hat er -minus 1 hatte Spalten also läuft das IoT von 1 bis n denn das heißt
diese Matrix auch -minus 1 die besuchen die hat die in Spalten X 1 bis Xn zur was muss jetzt gelten für diese X 1 bis Xn diesen gesucht deswegen heißen sie Excel was muss gelten was ist des Definition von der inversen es muss aber auch -minus 1 gleich sein gleicht Einheitsmatrix die Einheitsmatrix ist die Matrix den Spalten genau dicht an der Basis Vektoren sind die einzige 2. IN also EJ ist die Standard Basis Vektor also der Vektor Delta J K gleich 1 bis zum was is an mal auf minus 1 wir müssen mal das auch -minus 1 ist die Matrix den Spalten die Vektoren Einstiegs 1 bis Xn sind so was steht da jetzt das denn im Prinzip in linearer Gleichungssysteme nur wenn Sie jetzt mal nur den den Teil mit x 1 anschauen was ist a mal X 1 am Alex 1 ist jeweils nur die 1. Zeile von haben mit dem 2 1 multipliziert 2. Zeile von A mit X 1 multipliziert 3. Zeile von A X 1 multipliziert und es geht genau die 1. Spalte auf der rechten Seite der sich weiter aufbrechen sei dies G 1 also westlich des 10 enden ja Lenksysteme armer einzig er 1 aber nix 2 7 2 aber nix da ist ihr 3 bis aber letztendlich und damit ist die Frage was die inverse von A ist zurückgespielt auf das Lösen von leider gleich in linearen Gleichungssystemen also was
wäre lösen müssen sind n lineare Gleichungssysteme Filioque von 1 bis n die Gleichungssysteme a XJ gleich J und das sind n Erlass ist jetzt sagen sie schon das werden immerhin sind nicht in irgendwelchen anderen Systeme 1. sind die rechten Seiten zum Glück relativ einfach und zweitens haben Sie jedes Mal das gleiche immerhin da in verschiedene liegen der linke Seiten sondern das es zumindest immer dasselbe und das hatten großen Vorteile nämlich das er an sie diese im in der gleichen Systeme simultan lösen können wissen nicht auch einem Beispiele zeigen also wenn wird hier mal eine Matrix und als Beispiel Matrix hab ich ihn wie das meinetwegen mitgebracht also 1 -minus 1 0 0 1 2 und 2 -minus 1 3 eine Matrix aus dem er hoch 3 Kreuz-Drei 3 das den wird hierbei ist können Sie mir von Moment glauben oder wir können auch einfach das folgende Verfahren anwerfen weil wenn Sie jetzt bei diesem Blusen dieser 3 dieser 3 Gleichungssysteme auf eine eindeutige Lösung kommen dann haben sie damit gleichzeitig auch den Erklärbarkeit und wenn das Ding nicht wird hierbei ist dann wird irgendwann unterwegs Tag aus dann kriegen Sie irgendwann unlösbaren Garaus oder ein der wie dem mehrere Lösungen hat unter dem diverse eindeutig sein muss kann das nicht sein also man kann auch einfach mal los rechnen und schauen ob es gut geht wenn es nicht gut geht stellt man fest dass war nicht imitierbar oder man hat sich verrechnet er so also was es zu lösen wenn das lösen das gleichen System a x 1 =ist gleich E 1 also gleich 1 0 0 wir müssen lösen das kleinen System a x 2 gleich 2 und wir müssen lösen das Gleichungssystem a x 3 gleich egal alle 3 Gleichungssysteme und das schöne ist das ist immer dasselbe und deswegen können wir die simultane lösen was macht man dazu man schreibt schreiben Sie sich mal das gleiche System das Erste gleichen System hängen
also 1 -minus 1 0 0 1 2. war die Matrix A 2 -minus 1 3 und die 1. rechte Seite 1 0 0 dann könnten Sie jetzt damit dass gleichen Systemlösungen würde das X 1 Krieg und das X 1 ist dann die 1. Spalte von A auf minus 1 denn sie aber überlegenes da ich benötige man wenn sie da rechts 0 1 0 Frage und auch wenn sie nur 0 1 schreiben und da sie ja den ganzen daraus nur im Hinblick von dem machen was links bei der Matrix passiert können so alles gleichzeitig machen beschreiben sich hier gleich alle 3 rechten Seiten hin und dann vom sie ihr kleines System um also noch einmal ein letzter gar aus den ich Ihnen vor Excel um links ist schon 1 mit der wollen wir die 1. Spalte auf dann bleibt die 1. Zeile unverändert stehen 1 -minus 1 0 1 0 0 die 2. Zeile wert aufstehen weil die schon freundlicherweise 0 hatte in der 1. Spalte und die letzte Zeile wird von der letzten Zeile zweimal die 1. abgezogen es geht wieder los -minus 1 plus minus 2 mal minus 1 also -minus 1 plus 2 ist 1 er 3 mal 0 ist ganz freundlich dann an welche -minus 2 0 1 so dann ist hier freundlicherweise auch schon 1 der können wir die 2. Spalte aufräumen da einfach nur einmal drauf addiert und da einmal abgezogen die liegt 1
0 2 wollen Sie dazwischen wenn und vom macht die 2. Zeile auf die 1. aufaddiert gibt hier hinten 1 1 0 dann haben wir hier die Zahl bleibt unverändert stehen 0 1 2 0 1 0 jetzt müssen wir von der letzten Zeile des 2. abziehen gibt 0 0 3 -minus 2 1 1 -minus 2 -minus 0 es immer noch minus 2 -minus 1 1 letzterer soll noch tun müssen ist die letzte Zeile -minus 2 multiplizieren auf die 1. und die 2. drauf addieren wollen haben wir da die Nullen die wir brauchen also was bleibt dann übrig hier vorne 1 0 0 jetzt 1 plus minus 2 -minus 2 ist 1 plus 4 S 5 1 +plus -minus 2 -minus 1 ist 1 plus 2 S 3 -minus 2 0 1 0 das ist 4 -minus 1 -minus 1 bis 2 und 1 der Zug ist 3 -minus 2 nur 0 1 -minus 2 -minus 1 1 so zahm wir alle 3 das ist mir gleichzeitig gelöst und das steht jetzt in den Spalten rechts der steht jetzt die Lösung für diese 1. kleinen Systemlösung für Gleises dem löse Fußtritte ist die Lösung des 1. Glanz ist ist die 1. Spalte von den Vers die Lösung des 2. Gleises den ist die 2. Folge der inversen und diese Lösung vom 3. 1 die 3. Spalte vom inversen das heißt was steht ist einfach die dass er und damit können Sie sogar mit einigermaßen nettes Verfahren zur Bestimmung der inversen sie schreiben die Matrix hin und auf die rechte Seite die Einheitsmatrix dann machen Sie daraus bis links die Einheitsmatrix still da am 16. März wenn wenn sie es nicht glauben multiplizieren Sie das Ding da unten mit dem Ding da oben hoffentlich kommt die Einheitsmatrix raus aber das ist das sozusagen wenn das Verfahren geht Standardverfahren wie meine Matrix invertiert Matrix hinschreiben ob rechte Seite die die Einheitsmatrix solang ausmachen bis liegt längst die Einheitsmatrix steht dann steht da rechts in das und wenn in diesem Verfahren unterwegs irgendwann mal mit seinen 0 wird oder Sinn unlösbares LGs kriegen dann war das die nämlich immer tiefer nun mal gesagt der reinen ändert sich nicht aus wenn die Freien wird hierbei ist muss der randvoll sein muss am Ende daran voll sein muss eine eindeutige Lösung auskommen so also haben wir damit denn wir also bestimmt und auch dieses Problem aus dem letzten Abschnitt geklärt so das war kurz einen Service Abschnitt allen die rechnet man in der System aus Tiere Matrizen praktisch klar wenn man es wirklich von Hand macht ist spätestens bei 4 Grad 4 oder meinetwegen auch 5 Grad 5 Fluss wenn man es mit großen Problemen zu tun hat ist das natürlich dieser für den Rechner wie gesagt allein die numerische Behandlung von in ihren kleinen System für die ganze Vorlesung werden sie sich je nachdem was sie noch machen intensiv mit auseinandersetzen und manche werden feststellen dass das ganze Bereiche gibt im Wesentlichen nur das von den ist den Lohn und er natürlich werden Sie das im Lauf der Zeit dann am Rechner machen aber es ist immer gut zu wissen was die Rechte tut und deswegen werden sie den nächsten Übungsblättern ein zweimal selber Hand anlegen müssen und auch einen ein bisschen von Hand Claußen und Rechner spielen so ich komm zurück zu unserer Behandlung von linearen Abbildungen mit Matrizen
und hatte immer so bisschen gesagt die der Frage die dabei im Hintergrund steht es sind die beiden 10 1 2 gegeben wir konkrete in der Abbildung als formale Frage was tut die wie sieht die aus was macht denn im Raum umgekehrt der geben nee geometrische Transformationen Drehung um die Achse 3 5 8 und 47 Grad wie sie die dazugehörige App Bildungsmarkt fix aus und wie kann man dann damit rechnen nur diese beiden ich also wie komme ich von der Abbildung zu Matrix wie komme ich von der Matrix und der zum Erfolg Vorstellung was die Abbildung tut die beiden Fragen stehen im hintersten jetzt immer so im Raum und das nächste es starke Hilfsmittel im Zusammenhang der sogenannte Basis wechseln und das ist der Abschnitt 9 und was der worum es jetzt geht ist die Frage sie haben lineare Abbildungen da haben wir festgestellt wenn sie jetzt man bald die Basis festlegen im Ausgangs im Zielraum dann gibt es dazu eine eindeutige Abbildung Smart Freaks jetzt können Sie aber sein dass sie haben jetzt also die haben wir die Aufgabe da die er die komischen Jahr Abbildung davon er 15 nach A 23 machen Sie mal da kriegen Sie mal die Abbildung Smart bezüglich der der Basen aus rechnen sind 2 Stunden an die Basis und schätzen launischen komm wieder vorbei und seine doch beschlossen in andere Basis im Dezember die Basis da rechnen Sie mal dazu aus wir sie von vorne anfangen oder gibt es eine Methode wenn sie die Basis die Nazis bezüglich einer Basis kennen auf die andere Basis und umzurechnen und er wird es ja und das vor mir jetzt machen also die Frage ist wenn sie die Abbildung des Matrix bezüglich der eigenen Basis haben bekommen sie dann bezüglich landen Basis an die Abbildung Smart und ich will ihn abgesehen von der Frage wie mit launischen Schätzung geht noch zeigen warum das auch ein sehr aus andern Gründen sehr praktisches Tool ist dass der das zu können also erst mal wieder was ist die Grundsituation sie haben eine lineare Abbildung zwischen 2 endlich dimensionalen Vektorräumen endlich dimensional damit wir Eberhard Bildungs Matrizen reden können also Frauenwesen 2 endlich dimensionale Vektorräume wir denselben Körper B ist ne Basis von Frau CSR Basis von W und die ihre lineare Abbildungen von Frauen auch dich dann haben wir gesehen jetzt dazu der Bildungs Matrix also ne Bildungs Matrix zuvielDie die hatten wir bezeichnet als im Film Matrix bezüglich der Marke Basen B und C von der Abbildung Fly die die groß die hängt volle Dimension von Frauen wie er und wie gesagt die TTG die hier Aufgabenstellung ist jetzt der launische Chef kommt mit dem neuen Basissatz also die Schlange seine weitere Bartleby strich seine weitere Basis von Frau und sie strich seine weitere Basis von werden und gesucht ist jetzt also das Ziel ist berechnet die Abbildung des Matrix bezüglich der neuen Basen also die Abbildung Smart Freaks bezüglich -minus und strich von Vieh aus der Abbildung SLA dieser haben NBC von die gibt so was ist die des die Idee ist sie wissen das in deren Ausführung von linearen Abbildungen sich in Multiplikation von Matrizen übersetzt und die Krone die was wir jetzt sind hier zunutze machen wollen ist mal wieder produktives nichts tun sie können fliegen nämlich kompliziert schreiben alles bevor sie das Vieh anwenden machen Sie nichts auf Frau und nachdem sie das Vieh angewandt haben sind sie auch weniger dann machen Sie nichts auf das stimmt dies das selbe wie die Identität verknüpft mit viel verknüpft mit Identität ich würde sagen das ist so banal daraus kann man doch nichts kriegen doch das ist es doch so banal dass man daraus ganz viel kriegen kann bei jetzt werden sie dabei der Bildungs Matrizen rüber mit dem richtigen Base was uns interessiert ist die Abbildung SMA Tricks
bezüglich bestrich und sie strich von Fly ja was ist die Abbildung smarten von bespricht sich Drew von vieles ist die Abbildung Smart richtete ich bespricht Zielstrich von diesem nichts tun darf jedoch nicht zu und den können wir jetzt im Dreiteiler sondern nehmen das ist das gleiche wie wenn sie anfangen ich muss als wir von rechts nach links weil so macht man es ja und fängt den Frau an mit der Identität und die können Sie jetzt anschauen mir ab die Matrix bezüglich bestrich und B dann können Sie ihre bekannte Abbildung des Matrix von 4 da drauf multiplizieren bezüglich B und C kennen Sie ja die Athlons Matrix von Vieh nur und die Identität in wie können sie dann nutzen um wieder drücke zu übersetzen von 10 18 strich der IT ja wird vom Weg wird ich hatte nochmal die 10 Strich IT von W multipliziert mit NBC von Fly multipliziert mit im -minus wie von vor für also Sie können die aber ab Bildungs Matrix oder mit der haben Sie das ist die bezüglich B und C was wir brauchen sind ja Bildungs Matrizen der Identitäten bezüglich bestrichen B und C und nicht recht im Prinzip ist es sich gut dass wieder freut sich der es eine Sache von von der Sprache sie wollen das viel verstehen ihn -minus Zielstrich Sprache sie können sind BC Sprache was sie brauchen ist der 1. Übersetzer von wichtig Sprache B das ist diese Macht Abbildung SMA Tricks von der Identität dann können Sie Ihre NBC von 4 anwenden Krieg aber Zwiesprache draußen und Übersetzern 80 Strich sprach so was wir hieraus schon sehen im Prinzip ist das was da oben steht 3 Viertel von Beweis von folgenden Satz also der Sinn der Situation von gerade eben also V und W A und B und bestrich und C und C strich wie oben der 4 Uhr so dann existieren in der invertiert waren Matrizen es und wie so dass sie die Abbildung Smart Specs von dem VII bezüglich der gestrichenen Basen schreiben können als Thema mal der Bildungs Matrix von dem Ziel bezüglich B und C mal S also es gibt diese Matrizen S und T die in dieser Besetzung liefern diese bei delektieren war und übersetzen ihn in der Bildungs Matrix von die bezüglich B und C in der Bildungs SmartThings von viel bezüglich Bis-Strich und strich klar er das sind und 9
T ist die Abbildung Smart Tracks der Identität auf W bezüglich C und Cis strich und es ist die Abbildung SmartThings der Identität bezüglich B und B Strich auf nur das ist das genau was du oben drüber steht um das einzige was jetzt noch zu klären ist warum sind die in der Tiere war die der Tiere war weil die Identität es wird jektiven mit Identität des Isomorphismus Usability wie eine Abbildung der dem Mädchen waren ab so dass es der allgemeine theoretische Satz zum Thema Basis Wechsel und richtig viel bringt der wenn wir jetzt den Spezialfall angucken dass Frau gleich wie ist und B gleich C und bestrich gleicht sich sichtlich also wollen wir haben Abbildung in einem Raum den Raum in sich selbst abbildet und wir schauen Sie einer bezüglich B BGB 1 1 bezichtigt ist Rigby spricht an das will ich jetzt als nächstes machen also was jetzt der
wesentliche Spezialfall ist es sich schauen sich an Frau gleich weh wie gleich und bestrich gleicht sich wir hatten der Matrix der Basisperiode Datenbasis C weil natürlich seine Frau und anderen die die können nicht gleich seine wenn Frauen wie es brauchen wir gleich sind dann ist es naheliegend auch die Matrix immer bezüglich also in das Vieh anzuschauen bezüglich bieten Basis B Raum Mondbasis Bild Zielraum also das ich jetzt den schreibt ist im Wesentlichen einfach die Spezialisierung von Satz 9 1 sein weil es nur noch einen endlich dimensionalen Vektorraum das ist das was vorhin V Wähler wir haben 2 verschiedene Basen von V mit Überlegung ist sie kennen die Abbildung Smart diesbezüglich Bären wollen sie haben bezüglich bestrich sie haben lineare Abbildungen von Frau nach V und die Abbildung des Matrix bezüglich B die nämlich mal an und die Abbildung Smart bezüglich -minus nämlich mal strich und dann ist die Behauptung dann existieren in datierbare Madrid dann existiert eine invertiert waren Matrix und jetzt ist es nämlich auch nur noch eine es so dass Sie die Abbildung smartes bezüglich der gestrichenen Basis kriegen als es noch minus 1 a mal is und dieses S das nennt man die Basis Wechsel Matrix weil dieses S vermittelte Ehen TWh wir müssen sie die Matrix A umrechnen und Abdics ist in Abbildung Small Schlüter Worses B wir müssen Sie die umrechnen damit die Abbildung bezüglich der Basis Bis-Strich rauskommt in dem sie eben dieser Rechnung machen es auch -minus 1 1 wenn so dass es kennen können Sie umrechnen und die wichtige Beobachtung ist das für dieses es mir das 1. die Abbildung SmartThings der Identität von Wien nach bestrich das hängt von den Piraten ab würden Sie nix zu tun das heißt wenn sie diese Basis Wechsel Matrix einmal haben die hänge von den Basen -minus aber dann kann sie damit alle in der Abbildung rechts und dann finden nur einmal bestimmt das wenn sie denn die 7 Jahre Abbildung haben sollen jetzt alles vom B auf bestrich und wütend wenn Sie einmal die Basis Wechsel Matrix ausrechnen dann können sie alle mit derselben behandeln so warum ist das so warum also im Prinzip ist das der Satz von gerade eben was wir noch klären müssen ist warum haben Sie es nicht mehr essen also warum es LTE genau ist noch minus 1 also der Satz 1 1 9 1 liefert das wenn sie es setzen die Abbildung des Matrix bezüglich -minus und die von der Identität der Frau war und sie setzen die Abbildung des Matrix umgekehrt B nach Strich von der Identität auf V dann kriegen Sie
Aalstrich ist die H S das war das was wir gerade eben 9 1 hatten und was wir noch klären müssen ist warum ist sie gerade so -minus 1 wer was tun wir da zu berechnen Herrenhaus aus das Thema es ist wenn Sie mal ist die Identität ist dann ist er The auf minus 1 also was das Thema ist Thema es ist die App Bildungs Matrix bezüglich des und -minus vor der Identität mal die Abbildung SmartThings bezüglichen B Strich und wie von der Identität das ist die das Produkt von sagt -minus Matrizen ist der Bildungs Matrix oder Verkettung also was bleibt nur noch aufpassen welche Basen die rechte Identität geht von der Basis ,komma noch B und dann geht's von B nach bestrich also geht in Summe von Bis-Strich noch bestrich also ist dass die Abbildung Smart bezüglich Bis-Strich und bestrich von der Identität von Frau nach der Identität von Frau das ist die Abbildung Smart Tracks bezüglich bestrich und bestrich er zweimal nichts tun es ungefähr so gut wie immer nichts tun von der Identität und das ist ja das was von der Identität verloren und die gleiche Basis steht das die Einheitsmatrix und das genauso machen sie es meint vielleicht I also ist G gleich so kann das 1 so im Prinzip Idee also ganz einfach wenn Sie die Matrix bezüglich einer Basis gegeben haben und sie wollen für diesen anderen Basis haben von der gleichen Art Bildung was ich brauche ist die Basis Wechsel Matrix und mit der kann sie dann alles umrechnet naheliegende natürlich die Frage ich wie kriege ich die was Wechsel Matrix klar kommt als nächstes also
das ist die Bemerkung 9 3 Imprints der 4. Derbysieg kriegen ja darum steht was es ist mir gerade noch zu müssen die Abbildung Smart Identität bezüglich der Basen B Strich und b ausrechnen kriegen Sie die Abbildung Smart Tracks können noch einen Chor in Spalten der Bildungs Matrix steht die Kontendaten Bilder Basis Sektoren also den die Bilder was wir tun Identität unsere gesehen hatten ist es sie in diversen Sektoren von aber er er sie bei Sektoren von B mit denen die Welt ab also schon sichtbar sind und an und drücken Sie mir Basis Bis-Strich aus und die Koordinaten sie da kriegen sämtliche sind die einen Einträge der der Abbildungsmaßstab also das ist die Berechnung von S also wenn sind war trickst die Basis B gegeben ist durch B 1 bis B M und die Basis bestrich gegeben ist durch B 1 Strich bis PM strich mit dann ist eben es die Abbildung Smart Identität bezüglich bestrichen und B und das heißt in den Spalten von 1. also stehenden den
Spalten von S die Koordinaten freuen naja Identität von DJ strich ja die Identität von DJ Striches einfach PJ strich bezüglich P endlich B und das von obgleich gleich 1 bis n also nehmen die also Vektoren DJ strich er drücken in der Basis Pilot aus das sind n lineare Gleichungssysteme diese lösen müssen sie ihre kleinen Systemlösung wissen Sie jetzt und dann kriegen Sie der Bildungs Matrix raus es geht ein wesentlichen Spezialfall wo man sich viel Arbeit sparen kann wo man sich einmal die Sache überlegen kann der auch oft vorkommt weil natürlich was ist die Basis in dem am häufigsten nicht rechnet es sich dann aber Basis also was ist der Fall wenn eine von den beiden die Standard Basis ist also dazu gehen wir in den Vektorraum K auch in und sagen des 2. Standard Beast also die Aufgabe ist sie haben ihre sie wollen die Basis Wechsel Matrix oder Standard Basis in andere Basis haben und wenn ich Ihnen das erklären dann haben sie damit auch gleich 10 das umgekehrte dann haben sie auch die Basis Wechsel Matrix von würden dann Basis nicht an der Basis weil die Basis Wechsel Matrix von wenn sie die für die Einrichtung haben wenn es die für die andere Richtung genau den Wert also ob was ist dann was sind dann die Koordinaten was müssen wir machen wir brauchen die Koordinaten von DJ strich bezüglich Babysitter dichter an der Basis was sind also die Koordinaten von DJ strich bezüglich der Standard Basis ja ja die Koordinaten von dem Sektor bezüglich des dann Basis das ist der Vektor selber also ist in dem Fall dass es einfach die geben durch die Matrix vorsehen die Spalten die Wert Abstrich reinschreiben da wir sie gar nix bestimmen über ihre entdeckt vornehmen und aus den Matrix Machern fertig und ist wenn Sie jetzt den Basistext wirklich durchführen wollen Sie noch ein angenehmen teilweise brauchen noch so minus 1 wir so dass die neuen mit Tieren da deren sie wieder fröhlich doch so aber das ist das ist wichtig sich zu merken wenn sie ihnen abnehmbares Wechsel machen von der Standard Basis in anderen Basis dann ist die Basis Wechsel Matrix einfach die Basis wird von dannen Basis in die Spalten geschrieben fertig und umgekehrt wenn Sie von nach irgendeiner Basisstandard Basis wollen also Basis wechseln der Basis sie in die Standard Basis das ist das Umgekehrte von dem gerade eben dann ist es doch -minus 1 die Matrix die sie kriegen in den Sieg einfach die C ist der Eintrag im All wenn es denn was Wechsel von B nach bestrich macht dann macht es auch -minus 1 das Wechsel vom gestrichen und so Mama dass man am Beispiel der Sorge wir haben kamen
lineare Abbildungen schreit einigen von der 3 nach einer 3 D der von EXE S X 1 -minus 4 x 2 -minus 4 x 3 Mal 3 x 2 +plus 2 x 3 -minus 2 x 1 -minus 7 x 2 -minus 4 x 3 also oder anders hingeschrieben 1 0 minus 2 ich Schlimmes aber hier die Koeffizienten also 1 -minus 4 -minus 4 die 1. Zeile die 2. Zeile des 0 3 2 und die letzte ist -minus 2 -minus 7 -minus 4 mal x 1 x 2 x 3 der Vorteil wenn sie sich so hinschreiben ist zu sehen sehr schnell was sich dann wird dass die Abbildung Smarthouse widerstanden was es ist also
wenn Sie jetzt die Standard Basis nehmen dann steht die Abbildung Matrix schon da also die Abbildung Smart Tracks bezüglich oben und unten Standard Basis von diesem 10 die Martens die da oben steht also 1 -minus 4 -minus 4 0 3 2 -minus 2 -minus 7 -minus 4 warum in Spalte Abbildungsmaßstab stehen die Koordinaten der Bilder Basis Vektoren etwa 7 1 0 0 0 1 0 0 0 1 wenn Sie 1 0 0 einsetzen kriegen Sie 1 0 minus 2 genau die 1. Spalte Koordinaten der 1. Spalte der Klang der Basis ist die Spalte selbst also 1 0 minus 2 so Samba also die Abbildung Matrix von dieser Bildung bezüglich der Standard erst jetzt kommt der launische Chef von sagte Steiner Basis ist doof aber heute geht es nicht schönere Basis das war die freie Mehr also
gestrichen ja -minus 1 1 -minus 1 ist der 1. Sektor 4 -minus 2 1 ist der 2. und 2 -minus 1 3 ist der 3. 1 im Moment zu müssen wird aber glauben dass das was es ist die sind die Schulden unabhängig die 3 und das Ziel ist bestimme also wollen jetzt unsere Abbildung SmartThings rechnen wir wollen jetzt haben das ist die Abbildung des Matrix von unserem Vieh wenn wir das Ganze bezüglich ,komma Janko Sarah wo kriegen wir unsere was brauchen wir brauchen die Basis Wechsel Matrix wir müssen die Matrix Basis SPD-Basis die Basis bestrich umrechnen und ich habe sich das Team Nazis von viel verändert und da hatten wir gerade in der Bemerkung 9 3 gesehen wir sind jetzt in den einfachsten Fall wir wollen von der Standard Basis in der andere Basis ändern sagte die Mehr Bemerkung 9 3 dass dann die Basis Wechsel Matrix Problemen los zu bestimmen ist nämlich die Basis Wechsel Matrix ergibt sich dann einfach indem sie sich die 3 neuen Basis nehmen und in die Spalte schreiben also -minus 1 1 -minus 1 4 -minus 2 1 2 -minus 1 3 und was sie jetzt nur noch brauchen um die Abbildung umzurechnen ist sie brauchen die inverse und da haben sie gleich ne schöne 1. Übung das Gauss Verfahren das X ich Ihnen jetzt hier nicht noch mal vor also stecken Sie schreiben Sie es erst wenn und aber recht die also das es daneben rechts die Einheitsmatrix man sondern das bis längst die Einheitsmatrix steht und was dann rechts steht ist hoffentlich ein Fünftel nahe den Matrix 5 10 0 2 1 -minus 1 1 3 2 sie kann natürlich anstatt den Garaus zu machen im Moment das leichte nachprüfen dem sie die beiden Dinge einfach multiplizieren das sollte hoffentlich die Einheitsmatrix rauskommt sollten wir es erst noch minus 1 und dann sagt uns der Satz
9 2 dass sie die Abbildung SmartThings von dem VII bezüglich der gestrichenen Basis dass das was wir haben wollen kriegen in dem sie die Abbildung des Matrix von dem für die bezüglich der B Basis nehmen also in dem Fall der Standard Basis von rechts mit S und von links mit es auch -minus 1 multipliziert nur das einzige was wir noch tun müssen zu einziges gut also ein 5. Mal 15 0 2 1 -minus 1 1 3 2 mal die Abbildung smarten von denen viele die war 1 -minus 4 -minus 4 0 3 2 -minus 2 -minus liegen -minus 4 mal dass es -minus 1 4 2 1 -minus 2 -minus 1 -minus 1 1 3 gesehen dass mit Grab Nummer 3 Matrizen lieblich zieren das ist kein Hexenwerk da kann man sich nur 23 Mal verrechnen und das darf halt nicht passieren also wieder Konzentration an die 1. Matrix schreib ich mal einfach an klassischer Fall von mehreren Verdrängung es Sam ja das Problem erstmal auf
Schienen soll den letzten letzten 2 versuchen wir zu multiplizieren also 1. Zeile mal 1. Spalte 1 mal minus 1 -minus 4 Markt plus minus 4 mal 1 plus minus 7 minus 1 das ist -minus 1 -minus 4 -minus 5 +plus 4 ist wieder -minus 1 erst einmal 2. Spalte 4 +plus 8 10 12 -minus 4 sind wieder 8 kann ich das richtig der und 2 +plus 4 7 6 -minus 12 und -minus 6 2. Zeile mal 1. Spalte gibt nur dreimal 1 -minus 2 1 1 3 -minus 6 plus 2 bis minus 4 -minus 3 +plus 6. 3 2. 3. Zeile weil Spalten also 2 -minus 7 bis -minus 5 +plus 4 bis -minus 1 -minus 8 +plus 14 6 -minus 4 S 2 -minus 4 +plus 7 bis 3 Grad minus 12 bis minus 9 jetzt bin ich gespannt ja gute und die beiden noch miteinander multipliziert und wenn ich Sie das jetzt machen das er dann kommt erstaunliche Dinge daraus mal das Beispiel extrem konstruiert ist 5 0 0 0 10 0 0 0 minus 15 also man das ein 5. noch reinzieht 1 0 0 0 2 0 0 0 -minus 3 1 2 wie gesagt das Beispiel extrem konstruiert weil ich ihn daran noch was erzählen will und einen kurzen Ausblick geben die Minute können Sie mir noch weil das wird vieles was jetzt kommt die bisschen klarer machen ich habe jetzt ich habe in der sind Abbildung hingeschrieben am Anfang des folgenden Jahre Abbildung von der keiner wusste was sie tut und dann hab ich ihn eine Krone Basis hingeschrieben was keiner wusste wo sie herkommt aber damit festgestellt wenn wir jetzt unsere abstrusen Bildung nehmen und in diese krude Basis transformieren dann kriegt die plötzlichen wunderbar einfach Bildungsmarkt da sie meine schnellere und einfachere Abbildung smarte ist das denn wenn sie nicht finden mehr nur den nur diagonal Einträge bei der Nulllohnrunden mit dem kann man wirklich wunderbar rechnet Mehr und das bedeutet dass diese Basis die Sie da haben einfach gut delegieren Abbildung passt er und die Frage also Sie haben jetzt eine lineare Abbildung gut dazu passende Basis und er an das ist einer der Gründe weshalb man Basis wechseln macht der Bar in der Basis zu arbeiten die zu einer leeren Abbildung gut passt und die normalerweise die Frage ist natürlich umgekehrt aber ist nicht so dass meine Abmeldung hat und dann sagt er jemand Probleme hat die Pass die tut und dann das Recht und stellt fest vor super dass die Balten Matrix total einfach sondern die Frage wie umgekehrt gegeben wie in Bad wieder Abbildung ich bin ich jetzt die Basis die mir so schöne Abbildung geht und das wenn wir uns nächste übernächste Woche angucken also diese Frage wie kommen umgekehrt auf die richtige warf Bildern ob Mehr
Lösung <Mathematik>
Unlösbarkeit
Matrizenmultiplikation
Koeffizientenmatrix
Betrag <Mathematik>
Physikalischer Effekt
Gauss <Rechenmaschine>
Uniforme Struktur
Rang <Mathematik>
Gleichung
Termumformung
Zahl
Lösungsraum
Konstante
Summe
Multiplikation
Gauss <Rechenmaschine>
Verweildauer
Gruppenoperation
Gleichungssystem
Gleichung
Lösungsraum
Variable
Matrizenmultiplikation
Koeffizient
Gleichungssystem
Termumformung
Gleichung
Zählen
Vektor
Zahl
Null
Zahl
Null
Momentenproblem
Gleichung
Zahl
Lösung <Mathematik>
Taylor-Reihe
Koeffizientenmatrix
Zusammenhang <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Rotation
Reihe
Gleichungssystem
Rang <Mathematik>
Termumformung
Lösungsraum
Multiplikation
Koeffizientenmatrix
Matrizenmultiplikation
Klasse <Mathematik>
Schar <Mathematik>
Konzentration <Wahrscheinlichkeitsverteilung>
Gleichungssystem
Gleichung
Zahl
Null
Einfach zusammenhängender Raum
Parametersystem
Algebraisch abgeschlossener Körper
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Vektorrechnung
Abbildung <Physik>
Berechnung
Gleichung
Lösungsraum
Lösung <Mathematik>
Variable
Menge
Kerndarstellung
Dimension
Lösung <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Vektorrechnung
Verweildauer
Gleichungssystem
Vektor
Lineare Abbildung
Unlösbarkeit
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Rechenbuch
Zahl
Null
Gradient
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Zusammenhang <Mathematik>
Abbildung <Physik>
Eindeutigkeit
Vektorraum
Drehung
Schätzung
Gradient
Geometrische Transformation
Lineare Abbildung
Identität <Mathematik>
Multiplikation
Stützpunkt <Mathematik>
Lineare Abbildung
Matrizenmultiplikation
LTE
Abbildung <Physik>
Stützpunkt <Mathematik>
Vektorraum
Isomorphismus
Summe
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Abbildung <Physik>
Berechnung
Stützpunkt <Mathematik>
Koordinaten
Lineare Abbildung
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Koeffizient
Abbildung <Physik>
Vektorraum
Vektor
Koordinaten
Richtung
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Vektorrechnung
Gauss <Rechenmaschine>
Abbildung <Physik>
Koordinaten
Lineare Abbildung
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Abbildung <Physik>
Gradient

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Der Gauß-Algorithmus
Serientitel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 21
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
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DOI 10.5446/33607
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2012
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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