präsentiert von Open Learnware, die Plattform für Lernmaterialien an der TU Darmstadt. Einen schönen guten Morgen und herzlich willkommen. Bevor ich loslege, sage ich vielleicht noch kurz ein, zwei Worte zur Probeklassur nächste Woche. Findet also jetzt nächste Woche, Montag, Dienstag, Mittwoch in den Übungen statt, statt der 11. Übung,

wird dann auch, wie die 11. Übung korrigiert, also anstatt der 11. Übung korrigiert, deswegen, damit der Rhythmus einigermaßen gleich bleibt, ich hoffe, das haben alle gesehen, ist die Abgabe für das 10. Übungsblatt nicht in der kommenden Woche, sondern erste Woche drauf.

Also das 10. Übungsblatt hat zwei Wochen Abgabefrist und nächste Woche wird dann eben die Probeklassur korrigiert. Die Idee der Probeklassur, klar, damit Sie mal sehen, wie so eine Klausur in der Uni aussieht,

das heißt, das ganze Layout dieser Klausur und der Aufbau der Klausur, sage ich jetzt mal, ist Klausurstil. Natürlich ist der Stoff noch nicht der ganze Stoff, aus naheliegend Gründen, aber wir haben versucht, einfach mal so auch vom Aufbau her eine Klausur zu konzipieren, wie sie auch am Ende aussehen könnte, dann natürlich mit mehr Stoff.

Das heißt, auch die Aufgabentypen werden ungefähr so sein wie jetzt in der Probeklassur. Die Klausur ist genauso wie die Endklausur auf 60 Punkte bepunktet. Da wir gesagt haben, die Probeklassur gilt wie ein Übungsblatt,

werden wir dann am Schluss Ihre erreichten Punkte der Probeklassur dritteln. Dann ist das wie 20 und das ist dann das Ergebnis des elften Übungsblatts. Also das heißt, erschrecken Sie nicht, wenn Sie die 60 sehen und denken Sie, dass das dreimal so viel zählt wie ein Übungsblatt.

Also wir dritteln die Klausurpunkte, damit das dann ein Übungsblatt gibt. Wie gesagt, der ganze Aufbau der Klausur ist Klausurstil. Was natürlich nicht unbedingt Klausurstil ist, ist die Umgebung. Also Sie schreiben die Klausur in den normalen Übungsgruppen.

Das öffnet natürlich jeder Form von Schummeln und Mogelntür und Tor. Das ist auch kein Problem, weil wie gesagt, das Ding ist eine Probeklassur. In Ihrem Interesse sollten Sie natürlich versuchen, von diesen Möglichkeiten, die Sie haben, möglichst wenig Gebrauch zu machen. Weil die Einzigen, die sich damit beschummeln, sind Sie selbst. Uns ist das relativ egal, wenn Sie schummeln.

Es ist dann nicht mehr wirklich egal, wenn Sie anfangen, damit andere zu stören. Wir haben die Tutorinnen und Tutoren schon gesagt, wenn Leute anfangen, da in der Probeklassur im Grüppchen laut zu diskutieren, dann sollte man das schon mal unterbinden. Nicht, weil das jetzt verboten ist. Also in der Endklausur ist es natürlich verboten.

Sondern, weil das natürlich die anderen stört. Und die Aufgabe, daraus sozusagen ein Klausurfeeling zu machen, ist ein bisschen Ihre eigene. Also versuchen Sie, das Ganze ein bisschen mitzuspielen und daraus ein Klausur-Event zu machen.

Das bedeutet auch, dass bitte diejenigen, die schon am Montag schreiben, in der Mensa ihre Klappe halten. Es sei denn, jemand von den Mittwochleuten bittet Sie explizit, Ihnen alles zu erzählen, dann ist er selber schuld. Aber versuchen Sie, auch die, die später schreiben, noch die Chance zu geben, eine überraschende Klausur zu schreiben.

Vielleicht auch im Forum die Klausur erst am Mittwoch auseinander zu pflücken und zu diskutieren und nicht gleich am Montag Nachmittag. Gut, gibt es dazu noch Fragen?

Dann gehen Sie da alle ganz ruhig rein. Sie können dann nichts verlieren. Sie können nur eine Rückmeldung kriegen, wo Sie stehen, wie sowas aussieht. Und was ich mich auch noch erinnere aus den letzten Jahren, was im ersten Semester immer noch so ein bisschen Missverständnis ist,

Uni ist ein Massenbetrieb. Und das bedeutet, machen Sie sich keinen Stress um Ihre mündliche Note, weil es gibt keine mündliche Note. Also, was ich immer wieder erlebt habe, ist, dass Leute die Probeklausur mitschreiben und am Schluss dann nicht abgeben und verschämt die Tasche stecken, weil das ist ja irgendwie so furchtbar gelaufen und das wollen Sie, das muss niemand sehen.

Das dürfen Sie natürlich machen. Es wird sich niemand daran hindern. Es ist nur sich sinnlos um eine Rückmeldung gebracht, weil niemand wird Ihnen aus einer schlechten Probeklausur irgendeinen Strick drehen, von allein deswegen, weil sich niemand von uns die 600 Namen merkt und irgendwelche Klausuren damit verknüpft.

Also, geben Sie ruhig ab. Ja. Oh, interessanter Effekt. Oh, dann schauen wir mal.

Gut. Sonst noch Fragen? Gut. Dann komme ich zur Mathematik zurück. Und ich habe nochmal so das Endresultat der letzten Vorlesung

hier an die Wand mitgebracht. Wir hatten uns damit beschäftigt, wie Lösungen von linearen Gleichungssystemen aussehen, Kriterien, Verlösbarkeit. Und im Wesentlichen hatten wir festgestellt, um Lösbarkeit zu untersuchen,

müssen wir, müssen wir Rangbetrachtungen an, also ist es am einfachsten, Rangbetrachtungen anzustellen und zu überprüfen, wie ist der Rang der Matrix und der Rang der sogenannten erweiterten Koeffizientenmatrix. Und wenn Sie die beiden Zahlen haben, dann können Sie daraus sofort ablesen, ob das Ding lösbar, eindeutig lösbar oder nicht lösbar ist.

Alles steckt da drin. Und ich hatte Ihnen auch gesagt, das ist nur die halbe Miete, weil wir jetzt wissen, ob das Ding lösbar ist oder nicht, aber wir wissen natürlich noch nicht, wie wir an die Lösung kommen. Und das ist das Thema der heutigen Vorlesung, ein algorithmisches Verfahren anzugeben,

mit dem Sie an die Lösung kommen für ein gegebenes kleines System.

Und dieses Verfahren ist der Gauss-Algorithmus nach Karl Friedrich Gauss, der sich noch an den Zehn-Mark-Schein erinnert, da war er drauf. Und das Ziel ist, wie gesagt, die algorithmische Lösung von LGS.

Und was ist jetzt so ein, was können wir dafür tun? Im Prinzip, so steht da jetzt nicht Ziel.

Habe ich jetzt dasselbe Problem, wie vor ein paar Wochen der Hannes? Ich hoffe mal nicht, dass die Batterie wieder leer ist.

Ja, ich habe keine Ersatzbatterie da. Wenn das so ist, müssen wir gleich hoffen, ob er oberhält. Gut, was kann man tun? Im Prinzip ist dieser Gauss-Algorithmus nichts als die veralgorithmierte und etwas stringent gefasste Version der bekannten Methoden,

eine Gleichung auflösen und in die anderen einsetzen und so weiter. Also was haben wir? Wir haben ein lineares Gleichungssystem. Alpha 1 1 x 1 plus Alpha 1 2 x 2 und so weiter.

Alpha 1 n x n gleich b 1. Sie erinnern sich an die allgemeine Form. Alpha 2 1 x 1 plus Alpha 2 2 x 2 plus Alpha 2 n x n gleich b 2. Und so weiter bis Alpha p 1 x 1 plus Alpha p 2 x 2 plus Alpha p n x n gleich b p.

Und was kann man jetzt tun, wenn man so ein Gleichungssystem lösen will? Man will das Gleichungssystem umformen, so dass die Lösungsmenge sich nicht ändert.

Und was ich Ihnen jetzt gebe, sind drei Elementarumformungen, die Sie tun können, ohne dass Sie die Lösungsmenge ändern.

Und der Gauss-Algorithmus besteht im Prinzip daraus, diese drei Elementarumformungen geschickt zu kombinieren. Und ich werde darauf verzichten, in der Vorlesung jetzt Ihnen den Gauss-Algorithmus ganz mathematisch stringent einzuführen und zu beweisen, dass er tut.

Ich denke, wenn ich Ihnen die drei Umformungen hinschreibe, dann werden Sie mir sofort glauben, dass man das tun kann, ohne die Lösungsmenge zu ändern. Die erste Aktion, die Sie tun können, ist die ganz banale. Sie tauschen einfach zwei Gleichungen. Sie nennen die Gleichung 3 ab jetzt 5 und die Gleichung 5 ab jetzt 3.

Dann kommt natürlich das gleiche Gleichungssystem raus. Dann werden Sie sagen, es ist viel zu banal, werden wir aber brauchen. Was kann man noch machen, ohne die Lösungsmenge zu ändern?

Sie können eine Gleichung mit einer Konstanten, die nicht Null ist, durchmultiplizieren. Also, multiplication einer Zeile, das heißt, einer Gleichung mit einem Lambdaung gleich Null aus K.

Natürlich dürfen Sie eine Gleichung nicht mit Null durchmultiplizieren. Wenn Sie die Gleichung x gleich 5 mit Null, x1 plus x2 gleich 5 mit Null durchmultiplizieren, haben Sie Information weggeschmissen. Aber mit allem außer Null dürfen Sie es multiplizieren. Und dann kommt das dritte, das ist der wesentliche Schritt.

Sie können, ohne die Lösungsmenge zu ändern, das Vielfache einer Zeile auf eine andere Zeile draufaddieren. Also Sie können dreimal die Zeile 1 plus die Zeile 2 angucken, statt der Zeile 2 und die Zeile 1 dabei halten.

So, das sind die drei Möglichkeiten, die Sie haben. Und der Gauss-Algorithmus kombiniert jetzt diese drei Methoden zum Lösen von einem Gleichungssystem.

Und wie gesagt, ich will Ihnen jetzt nicht einen allgemeinen Beweis vor xen, warum das tut. Und auch nicht eine allgemeine Beschreibung des Gauss-Verfahrens hinschreiben, weil da

sitzen wir hier lang, sondern ich fühle Ihnen das an einem Beispiel vor. Und dann nachher noch ein Beispiel und dann vielleicht auch noch ein. Also, das ist das Beispiel 8.5.

Nehmen wir uns also mal ein konkretes kleines System her. x1 plus x2 plus x3 plus x4 gleich 5. Also wir haben 4 Unbekannte und deren Summe soll 5 sein. 2 mal x1 plus x2 minus 2 mal x3 minus 3 mal x4 soll 4 sein.

Minus x1 minus x2 plus 2 mal x3 minus x4 soll 1 sein. Und 2 mal x1 plus x2 minus x3 plus 2 x4 gleich 1. Das ist das Gleichungssystem, wie Sie es haben.

Jetzt hatten wir am Anfang gesehen, das Gleichungssystem so hinzuschreiben ist ziemlich mühsam. Ja, ich habe die Koffizienten vergessen. Oder der Stift hat die Koffizienten vergessen. Ja, der Stift hat die Koffizienten vergessen. Super. Hier steht eine 2, aber fast jedenfalls x2 minus x3.

Jetzt muss ich hier alles vergleichen. Dieses Minuszeichen hat er verschlampert. Also ich gebe mir das gleich. Ja, und da ist auch noch eine 2.

Also, Sie sehen schon, es ist nur sehr gut, wenn man weniger Striche machen muss. Und da hatten wir gesehen, eine Möglichkeit, die Anzahl der Striche zu verringern bei diesem ganzen Gleichungssystem kram ist, die äquivalente Matrixform anzugucken. Also gleiches Gleichungssystem in Matrixform.

Wie kriegen Sie das? Nehmen Sie die Koffizienten aus den Gleichungen und schreiben sie in eine Matrix.

Das ist aus der ersten Zeile 1111. Das war die Zeile x1 plus x2 plus x3 plus x4. Also hier wird das Ganze dann mit dem Vektor x1, x2, x3, x4 multipliziert. Die zweite Zeile war 2, 1, minus 2, minus 3.

Die dritte Zeile war minus 1, minus 1, 2, minus 1. Und die vierte Zeile war 2, 1, minus 1, 2. Und das soll sein gleich dem B. Und das B war 5, 4, 1, 1.

So, jetzt haben wir das Ganze in der äquivalenten Matrixform. Und auch die notiert man sich nochmal kurz.

Denn auch die x1, x2, x3, x4 muss man nicht jedes Mal mitschleifen. Also was ist die wesentliche Information? Die wesentliche Information ist die Matrix und die rechte Seite. 1, 1, 1, 1, 2, 1, minus 2, minus 3, minus 1, minus 1, 2, minus 1, und 2, 2, 1, minus 1, 2.

Und dann kommt die rechte Seite, 5, 4, 1, 1. So, Sie sehen, das erinnert, das ist jetzt die erweiterte Koeffizientenmatrix A.

Und dann als n-plus-erste Spalte das B hinten dran. So, was macht jetzt der Gauss? Der erste Schritt vom Gauss ist jetzt, und das ist, wir müssen dafür sorgen, dass oben links,

also der erste Schritt vom Gauss arbeitet mit diesem Element hier. Jetzt kann es passieren, dass dieses Element eine Null ist. Eine Null wollen wir da nicht haben, es ist jetzt hier nicht so, aber es kann natürlich sein. Wenn das Element eine Null ist, dann muss man im ersten Schritt dafür sorgen,

dass da oben links keine Null steht. Also der erste Schritt ist, da oben links muss eine Zahl ungleich Null hin. Wie kriegen Sie das hin? Im Service-Pfeil vertauschen Sie Zeilen. Da sehen Sie, wozu man diesen Arbeitsschritt vertauschen von zwei Zeilen braucht.

Durch vertauschen von Zeilen können Sie es immer hinkriegen, dass oben links keine Null steht. Weil wenn in der ganzen Spalte nur Nullen stehen, dann haben Sie die Variable X1 einfach nicht. Das bedeutet, dass die Variable X1 in allen Gleichungen mit Null mal drin steht. Also das kann nicht passieren. So, wenn Sie das haben, in dem Fall sind wir schon so weit,

in dem Fall müssen wir im ersten Schritt nichts tun. Dann ist der zweite Schritt, man nimmt die Elementarumformung 2, die da war, multipliziert in einer Zeile mit einer Zahl ungleich Null. Und man multipliziert die erste Zeile so, dass das da oben eine 1 ist.

Also dass dieser Eintrag oben links, der ja nicht Null ist, dass der 1 ist. Wenn der nicht Null ist, können Sie ihn immer auf 1 normieren. In dem Fall hier oben ist auch der zweite Schritt schon erledigt. Und jetzt kommt der Hauptschritt, der erste Gausschritt.

Wir räumen die erste Spalte auf. So, und wie funktioniert das hier? Das funktioniert hier folgendermaßen.

Sie addieren die, was Sie noch machen dürfen, ist vielfach von einer Zeile zu einer anderen Zeile dazu addieren. Wenn Sie die erste Zeile zum Beispiel zur dritten dazu addieren, dann kriegen Sie in der ersten Spalte eine Null, weil 1 minus 1 ist Null. Und auf diese Weise machen Sie jetzt unter der grün umrandeten 1 lauter Nullen hin.

Und das kann man am besten folgendermaßen sich notieren. Ich schreibe noch mal dieses Schema Zahlen, Schema von da oben ab. Also das war 1, 1, 1, 1, 5, 2, 2, 1, minus 2, minus 3, 4,

minus 1, minus 1, 2, minus 1, und 2, 1, minus 1, 2, 1.

So, was haben wir gesagt? Wir wollen die erste Zeile zur dritten dazu addieren. Also wir wollen die erste Zeile mit 1 multiplizieren und hier drauf addieren.

Und die erste Zeile mit minus 2 multiplizieren und hier drauf addieren. Warum? Weil wenn Sie das machen, kriegen Sie vorne wieder eine Null und genauso auch die erste Zeile mit minus 2 multipliziert da drauf.

Das ist so eine Kurznotation, mit der Sie andeuten können, was Sie tun. Das ist auch ganz wichtig, wenn Sie das nicht dazu schreiben, was Sie tun, dann ist es absolut hoffnungslos, das nachzuvollziehen. Und zwar nicht nur für einen Korrektor, sondern auch für Sie zwei Wochen später. So, was passiert, wenn wir jetzt also diese Rechenschritte tun? Die erste Zeile bleibt unverändert, mit der machen wir nichts.

Dann können wir also einfach abschreiben, wobei einfach abschreiben heute schon mühsam ist. Also 1, 1, 1, 1, 5. Was passiert mit der zweiten Zeile? Da wird die erste zweimal abgezogen. Also 2 mal 1 ist Null, so soll es ja auch sein. 1 minus 2 mal 1 ist minus 1.

Minus 2 minus 2 ist minus 4. Minus 3 minus 2 ist minus 5. Und 4 minus 10 ist minus 6. Also die erste Zeile mit minus 2 multipliziert und zur zweiten dazu addiert.

Zur dritten Zeile zählen wir die erste einfach dazu. Minus 1 und 1 ist Null. Minus 1 und 1 ist Null. 2 und 1 ist 3. Minus 1 und 1 ist Null. Und 1 und 5 ist 6. Letzte Zeile wird die erste auch zweimal abgezogen, gibt hier eine Null.

Dann 1 minus 2 ist minus 1. Minus 1 minus 2 ist minus 3. Und 2 minus 2 ist nochmal Null. 1 minus 10 ist minus 9.

So, auf die Weise haben wir das Gleichungssystem umgeformt. In 1, das in der ersten Spalte unter der führenden 1 schon mal nur Nullen hat. So, und was Sie jetzt machen ist, dieses Verfahren sukzessive auf eine Spalte nach der anderen anwenden.

Also nimmt man sich jetzt das nächste sogenannte Pivot-Element, also dieses hier, und macht genau das Gleiche. Erstens dafür sorgen, dass es nicht Null ist. Das muss jetzt nicht unbedingt funktionieren.

Also, was machen Sie? Gleiches Vorgehen mit dieser Stelle. Also jetzt gleiches Vorgehen wie oben mit der Stelle, die jetzt grün eingekreist ist.

Also mit der Stelle da oben. Was hatten wir vorhin gemacht? Erstens muss da eine Zahl ungleich Null hin. Es kann passieren, dass das nicht geht. Jetzt können wir nicht wie vorhin argumentieren, dass hier irgendwo was stehen muss.

Es könnte sein, dass beim Aufräumen der ersten Spalte sich die zweite aus Versehen gleich mit aufgeräumt hat. Wenn das so ist, also wenn in der zweiten Spalte außer in der ersten Zeile nur Nullen stehen,

dann gehen Sie sofort zur dritten Spalte. Das kann jetzt passieren. Also wenn Sie es nicht schaffen, da eine Null hinzutun,

und zwar müssen Sie von den unteren drei Zeilen jetzt da irgendwas nicht Null hinkriegen. Also die obere Zeile da runter zu tauschen bringt nichts, weil dann haben Sie sich, die obere Zeile haben Sie jetzt im Prinzip, die erste Spalte dürfen Sie jetzt nicht mehr ändern. So, also wenn Sie das haben, was wir in dem Fall jetzt haben,

wir haben da ein Element ungleich Null stehen, dann kommt wie vorhin als nächstes, müssen Sie den Eintrag, der da steht, zu eins machen. Also wie vorhin, zweiter Schritt, Eintrag zu eins machen und drittens die zweite Spalte aufräumen.

So, also machen wir das. Ich schreibe noch mal das Ergebnis, was wir vorhin hatten auf. Also wir waren geendet mit der 1 0 0 0 Spalte, die schon so ist, wie sie sein soll.

Dann stand da 1 minus 1 0 minus 1, 1 minus 4 3 minus 3, 1 minus 5 0 0 und auf der rechten Seite 5 minus 6 6 minus 9.

So, jetzt haben wir gesagt, wir müssen erst mal diesen Eintrag, ich klingel ihn auch hier noch mal ein, also den Eintrag, mit dem wir jetzt arbeiten, ist der hier. So, den müssen wir zu eins machen.

Dazu multiplizieren wir die zweite Spalte einer Zeile einfach mit minus 1 durch. Na ja, dann bleibt im Wesentlichen dasselbe stehen, 1 1 1 1 5. Die zweite Zeile wird 0 1 4 5 6.

Die dritte ist 0 0 3 0 6. Die vierte ist 0 minus 1 minus 3 0 minus 9. So, und jetzt räumen wir die zweite Spalte auf. Wir wollen also außer dieser 1, mit der wir arbeiten, nur Nullen haben.

Was müssen wir dazu machen? Die dritte Zeile ist schon okay. Zur vierten Zeile zählen wir die Zeile einfach einmal dazu und von der ersten Zeile ziehen wir sie einmal ab. Und dann kriegen wir was? Also erste Zeile minus zweite Zeile. 1 minus 0 ist 1, 1 minus 1 ist 0, so sollte es sein.

1 minus 4 ist minus 3 und 1 minus 5 ist minus 4 und 5 minus 6 ist minus 1. Die zweite Zeile bleibt stehen. Die Zeile, mit der man aktuell arbeitet, wird immer nicht verändert. Jetzt die dritte Zeile bleibt auch stehen. Die hatte nämlich schon freundlicherweise eine Null in der zweiten Spalte.

Und in der vierten Zeile, auf die addieren wir die zweite einfach drauf, gibt 0, 0, 4 minus 3 ist 1, 5 und 0 bleibt 5 und 6 und minus 9 gibt minus 3. So, na und so geht es jetzt weiter. Jetzt gehen sie in die dritte Spalte.

Nächstes Pivot-Element, nächstes Element, mit dem wir arbeiten, ist dieses hier. Das müssen wir zu 1 machen. Also teilen wir das mal durch 3. Bleibt alles stehen bis auf die dritte Zeile.

0, 1, 4, 5, 6. Hier gibt es 0, 0, 1, 0, 2. Sie sehen, wer sich das kleine System ausgedacht hat, hat aufgepasst, dass die Zahlen einigermaßen ganz bleiben.

So, also jetzt haben wir dieses Ding hier. Und jetzt sehen Sie, wir haben jetzt einiges zum Aufräumen. Ich muss es gleich nochmal abschreiben. 1, 0, minus 3, minus 4, minus 1. 0, 1, 4, 5, 6.

0, 0, 1, 0, 2. 0, 0, 1, 5, minus 3. Also unser entscheidender Eintrag im Moment ist der hier.

Mit dem räumen wir jetzt auf. Das bedeutet, wir nehmen die Zeile mal 3 und multiplizieren sie hier oben drauf. Wir ziehen sie viermal hier ab. Und wir ziehen sie einmal hier ab. Das gibt 1 plus 3 mal 0 ist immer noch 1. 0 plus 3 mal 0 ist 0.

Hier soll eine 0 hin. Minus 4 plus 0 ist minus 4. Minus 1 plus 3 mal 2 ist minus 1 plus 6 müsste 5 sein. Dann gibt es hier eine 0, eine 1, eine 0, eine 5 und 6 minus 4 mal 2, also 6 minus 8 ist minus 2.

Die dritte Zeile bleibt unverändert. Und bei der vierten müssen wir die dritte abziehen. 0, 0, 0, 5 minus 0 ist 5. Minus 3, minus 2 ist minus 5. So, und wenn man den Gauss, was ich jetzt einmal machen will, wirklich bis zum bitteren Ende durchzieht,

dann ist dieses Element jetzt hier das nächste und letzte Schlüsselelement, mit dem wir arbeiten. Das müssen wir auf 1 kriegen. Also wir teilen durch 5.

Gibt 1, 0, 0, minus 4, 5. 0, 1, 0, 5, minus 2. 0, 0, 1, 0, 2. Und 0, 0, 0, 1, minus 1.

Dann jetzt wieder aufräumen der letzten Spalte. Also diese gleiche mit 4 multipliziert da drauf, die gleiche mit minus 5 multipliziert da drauf. Gibt hier oben 1, 0, 0, 0. Und was passiert hinten? 5.

Minus 4 ist 1. Die zweite Zeile ist 0, 1, 0, 0, minus 2 plus minus 5 mal minus 1. Jetzt wirds kopfrechtend hart. Minus 2 plus 5 ist 3. 0, 0, 1, 0, 2.

Und die letzte Zeile ist 0, 0, 0, 1, minus 1. So, jetzt haben wir ganz viel gerechnet und alles bis zum Ende durchgezogen. Und die Matrix auf der linken Seite sieht jetzt wunderbar einfach aus. Das ist die Einheitsmatrix. Und da steht im Prinzip unsere Lösung. Weil, was bedeutet jetzt die erste Gleichung?

Die erste Gleichung bedeutet einmal x1 gleich 1. Die zweite Gleichung bedeutet einmal x2 gleich 3. Die dritte bedeutet einmal x3 gleich 2. Und die letzte bedeutet einmal x4 gleich minus 1. Also wir haben auf die Weise die Lösung bestimmt.

Und natürlich hätten Sie auch schon deutlich früher Teile der Lösungen ablesen können. Also wenn Sie jetzt das, was man gerade oben noch sieht, anschauen, dann steht da, wenn Sie die dritte Zeile angucken, steht da schon x3 gleich 2.

Ich habe es Ihnen jetzt einmal exemplarisch sozusagen nach Lehrbuch bis zum Ende durchgex-ed, weil das die algorithmische Form ist. Also wenn Sie das Ding programmieren würden, dann würde man sozusagen das bis zum Ende durchziehen. Als Mensch sieht man schon vorher, dass man sich die Sache vereinfachen kann und kann das natürlich im Serbisfall nutzen.

Also wir haben jetzt hier das Ganze auf die sogenannte Diagonalform gebracht, die man am Gauss am Ende erreichen will. Ich schreibe es nochmal als Gleichungssystem auf. Was jetzt am Schluss als Gleichungssystem darstand, war x1 gleich 1, x2 gleich 3, x3 gleich 2 und x4 gleich minus 1.

Und das Gleichungssystem wird jeder von Ihnen lösen können. Und die Lösungsmenge ist einelementig und ist 1, 3, 2, minus 1.

So und was eine wichtige Beobachtung ist, ist, wir haben bei diesem Gaussverfahren ganz viel mit den Zeilen der Matrix rumgehühnert, miteinander addiert und vertauscht und was noch alles gemacht und kriegen am Schluss die Lösung raus.

Und natürlich ist das Gleichungssystem am Schluss genauso gut lösbar wie das am Anfang. Das war genau die Idee der Elementarumformungen, dass die die Lösungsmenge nicht ändern. Die Lösbarkeit von so einem Gleichungssystem hängt dabei eng mit dem Rang zusammen, mit dem Rang von A und dem Rang von der erweiterten Koeffizientenmatrix. Und das ist eine wichtige Bemerkung in dem Zusammenhang.

Alles was Sie im Gaussverfahren machen, alle diese Elementarumformungen, wenn Sie die auf so einem Gleichungssystem loslassen, dann ändern Sie damit natürlich das Gleichungssystem, aber nicht die Lösung und insbesondere ändern Sie damit nicht die entscheidenden Ränge. Also Sie ändern nicht den Rang von A und den Rang von der erweiterten Koeffizientenmatrix.

Soll heißen, wenn Sie nochmal auf der Seite zurückgehen, der Rang, also was Sie ja brauchen, um Lösbarkeit auszusagen,

ist der Rang von dieser Matrix ganz oben links und der Rang von der erweiterten Matrix ganz oben links. Diese beiden Ränge sind in dem Fall vier und die bleiben über das ganze Prozedere vier. Also auch bei der Matrix, zum Beispiel die jetzt ganz unten steht,

ist der Rang der Matrix, die links steht A, und der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix auch vier. Das heißt eben, klar, darf ja auch nicht anders sein, die Lösbarkeit bleibt eben die ganze Zeit dieselbe.

Wenn jetzt bei den ersten Übungsaufgaben zu dem Thema, müssen Sie das H klein vor x'en. Jeder muss seinen Gauss mal in die Finger gekriegt haben. Wenn Sie einen Computertermographen programmieren und das 500-mal-2-Millionen-System haben,

dann machen Sie es nicht von Hand. Völlig klar, aber um zu verstehen, was hier passiert, muss man es auch mal von Hand gemacht haben. Gauss-Verfahren von Hand ist mühsam, aber es ist eine wesentliche Übungssache.

Noch ein Pfeil, nein. Dieses Geteil durch drei bedeutet, dass ich diese eine Zeile durch drei teile. Ja, die erdiere ich auf nichts drauf.

Ja, das schreibt man so. Das ist ja auch kein daraus Folgpfeil oder so was, das ist nur so eine Schlangenlinie, die heißt, da kommen wir da und dahin weiter. Das ist die übliche Notation beim Gauss, also eine übliche Notation beim Gauss-Verfahren, mit einem einfachen Pfeil.

Ich verstehe, warum niemand Lust hat, das zu tun, weil, und das haben Sie hier auch gesehen, Gauss-Verfahren rechnen ist Konzentrationsschwerstarbeit. Aber da muss man durch. Also bevor Sie sich in den Gauss setzen, dreimal tief durchatmen, alle störenden Dinge ausschalten und ganz exakt rechnen.

Das sind immer nur Rechnungen von dieser Sorte, zwei minus drei, zwei minus dreimal fünf. Das ist alles banal, aber wenn dann drei Minuszeichen dastehen, fängt man an sich zu verhufen, und da muss man einfach stoisch dabei der Sache bleiben.

Irgendwo war noch eine Frage. Ich zeige Ihnen noch ein weiteres Beispiel. Also im Skript kommt jetzt ein Beispiel 8.7, das springe ich mal, ich mache gleich Beispiel 8.8.

Da ist jetzt der grundliegende Körper nicht mehr R wie vorher. Sondern dann nehmen wir den Z5, aber das ist total egal, Gauss ist immer das gleiche. Gleichungssystem schreibe ich diesmal gleich in der Form als Matrix hin.

Dreischlange, Zweischlange, Einschlange, rechte Seite Nullschlange, Einschlange, Einschlange, Vierschlange, rechte Seite Einschlange, Einschlange, Dreischlange, Einschlange, rechte Seite Zweischlange. Und was bedeutet das? Das bedeutet Dreischlange mal X1 plus Zweischlange mal X2 plus

X3 ist Nullschlange und so weiter. Gleiches Verfahren wie gerade eben. Was müssen wir machen? Wir müssen dafür sorgen, dass oben links eine 1 steht. Da haben Sie jetzt mehrere Möglichkeiten für. Entweder Sie tauschen zum Beispiel die erste und die zweite Zeile.

Oder Sie multiplizieren die erste Zeile mit dem Inversen von 3. Was ist das Inverse von 3 in Z5? Da muss man kurz drüber nachdenken, dann kommt man raus, das ist 2. Also was passiert, wenn Sie die erste Zeile mit 2 multiplizieren? Zweischlange mal Dreischlange ist Sechschlange, ist Einschlange,

2 mal 2 ist 4 und 2 mal 1 ist 2 und 0 mal 2 ist zum Glück nicht schwer. Den Rest schreiben wir ab. Einschlange, Einschlange, Vierschlange, Einschlange, Einschlange, Dreischlange, Einschlange, Zweischlange. So, jetzt haben wir die Eins da oben, mit der können wir die erste Spalte aufräumen.

Das heißt, Sie multiplizieren mit Minus-Eins-Schlange durch. Minus-Eins-Schlange ist Vierschlange, aber das ist egal. Wir können auch Minus-Eins nehmen und addieren das da drauf. Also die erste Zeile von der zweiten und von der dritten abziehen,

bleibt erstmal die erste stehen. 1, 4, 2, 0. 1 minus 1 ist 0. 1 minus 4 ist minus 3. 4 minus 2 ist 2. 4 minus 2 ist 2. 1 minus 0 ist 1.

1 minus 1 ist 0. So war es gemacht. 3 minus 4 ist minus 1. 1 minus 2 ist minus 1. 2 minus 0 ist 2. Jetzt räumen wir vielleicht erstmal auf, dass wir wieder wenn man den Z5 rechnet, hat man immer gern die Reste zwischen 0 und 4 da stehen und keine komischen Minus-3.

Also 1-Schlange, 4-Schlange, 2-Schlange, 0-Schlange, 0-Schlange, minus 3 ist 2. 2-Schlange, 1-Schlange, 0-Schlange, minus 1 ist 4. Minus 1 ist 4.

Als nächstes brauchen wir hier brauchen wir eine 1 in der Mitte. Das geht am schnellsten, indem Sie mal die Zeile hier mit 3-Schlange durchmultiplizieren. 3-Schlange ist das Inverse zu 2-Schlange. Bleibt oben wie vorher 1-Schlange, 4-Schlange, 2-Schlange, 0-Schlange.

Die zweite Zeile wird 3 mal 0 ist immer noch 0. 3 mal 2 ist 6 ist 1. Steht hier auch eine 1 und 3 mal 1 ist 3. Die letzte Zeile bleibt stehen. 0-Schlange, 4-Schlange, 4-Schlange, 2-Schlange.

Was müssen Sie tun? Die zweite Spalte aufräumen. Also zweite Zeile mit minus 4 multiplizieren und da und da drauf addieren. Was bleibt jetzt übrig? Die 1 bleibt eine 1. 4 minus 4

ist extra gemacht, dass da 0 rauskommt. 2 minus 4 ist minus 2 und minus 4 mal 3 ist 12 und das minus 12 genauer gesagt. Also hier steht minus 12 Schlange. Die zweite Zeile bleibt stehen. 0-Schlange, 1-Schlange, 1-Schlange,

3-Schlange. Und unten haben Sie 0-Schlange, 0-Schlange, 4 minus 4 ist 0 und 2 minus 12 also 2-Schlange minus 4 mal 3, 2 minus 12 ist minus 10. 10 in Z5 ist aber ziemlich 0.

So, was ist passiert? Wir haben unten eine Zeile gekriegt, die besteht nur aus Nullen. Eigentlich wäre der nächste Schritt vom Gauss jetzt, das wäre das nächste Element, mit dem wir weiterarbeiten, das wäre das hier. Der Versuch, das auf

1 zu normieren, das wird eher schwer sein. Das heißt, an der Stelle bricht unser Verfahren ab und es kann auch an der Stelle nicht weitergehen. Minus 12 Schlange ist die Requivalenzklasse

von minus 12. Das sind alle die Zahlen in Z, die den gleichen Rest haben, beim Teilen durch 5, wie minus 12. Nach Definition. Und minus 12 hat welchen Rest? 3 würde ich sagen. Also minus 12 Schlange ist 3 Schlange. Sie dürfen, unter die Schlange dürfen Sie jeden Repräsentanten schreiben.

2 oder 3? 3. Unter die Schlange dürfen Sie jeden Repräsentanten schreiben. Man ist nur so dran gewöhnt, dass man immer auf 0, 1, 2, 3, 4 normiert, aber minus 12 ist genauso gut. Ich mache das extra so, weil wenn Sie, wenn man versucht, das alles auch noch im Kopf zu machen, in jedem Rechenschritt,

dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass man sich verhuft, noch eins größer. Deswegen rechne ich erst mal so und mache dann, wie vorhin, im nächsten Schritt räume ich auf. Das kommt jetzt hier auch als nächstes, das Aufräumen. Machen wir gleich. Ich will nur kurz noch debattieren, was diese 0 bedeutet. Was ist jetzt der Rang

von der Matrix, die jetzt am Ende da steht? Der ist 2. Weil Sie haben 2 linear unabhängige Spalten und die dritte Spalte ist linear abhängig. Das heißt, nach der Überlegung von vorhin, auch der Rang am Anfang war nur 2. Der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix unten ist ebenfalls 2, weil auch die vierte Spalte ist

eine Kombination der ersten beiden. Das heißt, auch der Rang der erweiterten Matrix da oben war 2. Das heißt, wir wissen, unser System da oben war lösbar, aber nicht eindeutig lösbar, weil der Rang zu klein ist. Anders ausgedrückt heißt das, die Gleichungen, die Sie hatten, waren linear abhängig. Die dritte Gleichung war eine Kombination

der ersten und der zweiten und war sozusagen, enthielt keine neue Information. Und das bedeutet, wir kriegen jetzt hier eine ganze Schar von Lösungen. So, was wir jetzt machen müssen, um an diese Schar zu kommen, ist, jetzt räumen wir nochmal dieses Ding hier auf und machen aus der Minus 2 eine 3

und aus der Minus 12 auch eine 3. Ich schreibe das nochmal auf die nächste Seite. Also, was ist unser Gleichungssystem im Moment? Das ist 1 Schlange, 0 Schlange, 3 Schlange, rechte Seite 3 Schlange, das ist die Minus 12.

0 Schlange, 1 Schlange, 1 Schlange, 3 Schlange und die letzte Zeile war 0 Schlange, 0 Schlange, 0 Schlange, 0 Schlange. So, wie gesagt, der Rang ist 2. Damit kriegen Sie aus der Dimensionsformel, dass die Dimension

vom Kern dieser Matrix 1 ist. Und damit muss die Lösungsmenge von Ihrem Gleichungssystem von der Form sein, eine spezielle Lösung plus ein eindimensionaler Vektor haben. Und das kriegen wir jetzt folgendermaßen. Wir haben jetzt 2 Gleiche mit 3 Unbekannten. Das heißt, es ist unterbestimmt.

Wir haben eine Unbekannte zu viel. Und diese Unbekannte nehmen wir als Parameter und da können Sie jetzt x1, x2 oder x3 nehmen und wenn es so da steht wie jetzt, ist es sehr sinnvoll, x3 gleich Lambda zu setzen. Also, wenn Sie x3, irgendeine unbekannte Lambda nehmen, dann können Sie jetzt x1 und x2

in Funktion von Lambda schreiben. Weil, was ist jetzt x1? Wenn Sie die erste Zeile hernehmen, die erste Zeile lautet x1 plus 3 Schlange mal x3 ist 3 Schlange. Also heißt die erste Zeile x1 ist 3 Schlange mal x3. Das ist 3 Schlange minus 3 Schlange

mal Lambda. Und das können Sie jetzt noch, wenn man wieder die Minuszeichen loswerden will, das ist 3 Schlange plus 2 Schlange mal Lambda. Weil minus 3 ist 2. Genauso mit x2. Was bedeutet die zweite

Zeile? Die zweite Zeile bedeutet x2 plus x3 ist 3 Schlange. Also ist x2 3 Schlange minus x3, also 3 Schlange minus Lambda. Und wenn Sie es wieder normieren wollen, ist das 3 Schlange plus 4 Schlange mal Lambda. Und damit haben Sie Ihre Lösungsmenge.

Was ist die Lösungsmenge von dem LGS? Das sind alle Vektoren, die die Form haben. Das in der ersten Komponente, was von der Form steht, 3 Schlange plus 2 Schlange Lambda. Das x2 muss von der Form sein,

3 Schlange plus 4 Schlange Lambda. Naja, und das x3 ist Lambda. Und Lambda ist irgendein beliebiges Skalar, also irgendein beliebiges Element aus Z5. Und wenn man jetzt noch genauer sehen will, dass das wirklich die Form hat, spezielle Lösung plus der ganze Kern,

dann kann man es sich noch ein bisschen auseinander ziehen. Das ist die Menge 3 Schlange 3 Schlange 0 Schlange plus Lambda mal 2 Schlange 4 Schlange 1 Schlange. Wobei Lambda aus Z5 ist. 3 Schlange 3 Schlange 0 Schlange ist die spezielle Lösung.

Und das Erzeugnis von 2 Schlange 4 Schlange 1 Schlange ist der Kern von der Matrix. Damit haben wir auch dieses Kleidungssystem gelöst. Und Sie sehen, jetzt kann der Fall auftreten, dass Sie viele Lösungen kriegen.

Und bevor ich jetzt dann weiter mache, machen wir mal erst ein kurzes Päuschen. So, ich würde gern die zweite Hälfte anfangen. Und zum Abschluss dieses Abschnitts über das Gauss-Verfahren Ihnen noch zeigen, wie Sie damit auch ein anderes Problem lösen können, das wir noch offen hatten. Nämlich

die Frage, wie Sie an die Inverse von der Matrix kommen. Als wir die Inverse von Matrizen definiert haben, haben wir gesehen, es ist praktisch, so eine Inverse zu haben. Damit können Sie im Service Fall das eine oder andere Kleidungssystem sehr einfach lösen. Und außerdem gibt es Ihnen, wenn Sie eine

abliniäre Abbildung haben, gibt Ihnen die Inverse, die Abbildungsmatrix der Umkehr-Abbildung. Aber wir hatten noch offen gelassen, wie man denn die Inverse auch wirklich berechnet. Und mit dem Gauss-Verfahren haben wir auch damit ein Mittel. Also das ist die Bemerkung 8, 9.

In der wir uns überlegen wollen, wie man das Problem der Inversenberechnung auf das Problem von einem linearen Kleidungssystem zurückspielen kann und damit mit dem Gauss-Verfahren angehen. Also was haben wir? Wir haben eine invertierbare Matrix A. Damit sie invertierbar sein kann, muss sie quadratisch sein, also eine

N-Kreuz-N-Matrix. Die ist invertierbar. Und wir wollen die Inverse haben. Ich nenne mal, die Inverse gibt es, weil das Ding invertierbar ist. Und die J-Spalte

von der Inversen, die nenne ich mal XJ. Also XJ aus K hoch N sei die J-Spalte von A hoch Minus 1. A hoch Minus 1 hat N-Spalten, also läuft das J von 1 bis N. Das heißt, diese Matrix

A hoch Minus 1, die wir suchen, die hat die N-Spalten X1 bis XN. So. Was muss jetzt gelten für diese X1 bis XN? Die sind gesucht, deswegen heißen sie X. Was muss gelten? Was ist die

Definition von der Inversen? Es muss A mal A hoch Minus 1 gleich I sein. Gleich der Einheitsmatrix. Die Einheitsmatrix ist die Matrix, der in Spalten genau die Standard Basisvektoren sind. E1, E2 bis En. Also EJ ist

die Standardbasisvektor, also der Vektor delta JK. K gleich 1 bis N. So, und was ist A mal A hoch Minus 1? Das A hoch Minus 1 ist die Matrix, der in Spalten die Vektoren als X1 bis XN sind.

So, was steht da jetzt? Da stehen im Prinzip N lineare Gleichungssysteme. Wenn Sie jetzt mal nur den Teil mit X1 anschauen. Was ist A mal X1? A mal X1 ist jeweils

die erste Zeile von A mit X1 multipliziert, zweite Zeile von A mit X1 multipliziert, dritte Zeile von A mit X1 multipliziert. Und das gibt genau die erste Spalte auf der rechten Seite. Die erste Spalte auf der rechten Seite ist E1. Also was hier steht, sind N lineare Gleichungssysteme. A mal X1 ist E1,

A mal X2 ist E2, A mal X3 ist E3, bis A mal XN ist EN. Und damit ist die Frage, was die Inverse von A ist, zurückgespielt auf das Lösen von leider gleich N linearen Gleichungssystemen. Also was wir

lösen müssen, sind N lineare Gleichungssysteme für J von 1 bis N die Gleichungssysteme A mal XJ gleich EJ. Und das sind N linearen Gleichungssysteme, jetzt sagen sie schon um Himmels willen, immerhin sind sie nicht N irgendwelche

linearen Gleichungssysteme. Erstens sind die rechten Seiten zum Glück relativ einfach und zweitens haben sie jedes Mal das gleiche A, immerhin. Sie haben nicht N verschiedene linke Seiten, sondern das A ist zumindest immer dasselbe. Und das hat einen großen Vorteil,

nämlich, dass sie diese N linearen Gleichungssysteme simultan lösen können. Diesen will ich auch an einem Beispiel zeigen. Also wir invertieren mal eine Matrix.

Und als Beispielmatrix habe ich Ihnen wieder jetzt meine Rehe mitgebracht. Also 1, minus 1, 0, 0, 1, 2 und 2, minus 1, 3. Eine Matrix aus dem R hoch 3 Kreuz 3. Dass die invertierbar ist, können Sie mir

für einen Moment glauben oder wir können auch einfach das folgende Verfahren anwerfen, weil wenn Sie jetzt bei diesem Lösen dieser drei Gleichungssysteme auf eine eindeutige Lösung kommen, dann haben Sie damit gleichzeitig auch die Invertierbarkeit. Und wenn das Ding nicht invertierbar ist, dann wird irgendwann unterwegs der Gauss, dann kriegen Sie irgendwann

unlösbaren Gauss oder einen, der mehrere Lösungen hat. Und da die Inverse eindeutig sein muss, kann das nicht sein. Man kann auch einfach mal losrechnen und schauen, ob es gut geht. Und wenn es nicht gut geht, stellt man fest, es war nicht invertierbar. Oder man hat es nicht verrechnet. So, also was ist zu lösen? Wir müssen lösen

das gleichen System A x 1 gleich E 1, also gleich 1, 0, 0. Wir müssen lösen das gleiche System A x 2 gleich E 2. Und wir müssen lösen das Gleichungssystem A x 3 gleich E 3.

Alle drei Gleichungssysteme. Und das schöne ist, das A ist immer dasselbe. Und deswegen können wir die simultan lösen. Was macht man dazu? Schreiben Sie sich mal das Gleichungssystem das erste Gleichungssystem hin, also 1, minus 1, 0,

1, 2. Das war die Matrix A. 2, minus 1, 3. Und die erste rechte Seite 1, 0, 0. Dann könnten Sie jetzt damit das Gleichungssystem lösen, dann würden Sie das x 1 kriegen. Und das x 1 ist dann die erste Spalte von A hoch minus 1.

Können Sie sich aber überlegen, das kann Sie natürlich auch machen, wenn Sie da rechts 0, 1, 0 hinschreiben. Und auch wenn Sie 0, 0, 1 hinschreiben. Und da Sie ja den ganzen Gauss nur im Hinblick von dem machen, was links bei der Matrix passiert, können Sie das auch alles gleichzeitig machen. Und schreiben Sie hier alle drei rechten Seiten hin.

Und dann formen Sie Ihr Gleichungssystem um. Also noch einmal ein letzter Gauss, den ich Ihnen vor xe. Oben links ist schon eine 1. Mit der räumen wir die erste Spalte auf. Dann bleibt die erste Zeile unverändert stehen. 1, minus 1, 0,

1, 0, 0. Die zweite Zeile bleibt auch stehen, weil die schon freundlicherweise eine 0 hatte. In der ersten Spalte. Und die letzte Zeile wird, von der letzten Zeile wird zweimal die erste abgezogen. Jetzt geht es wieder los. Minus 1 plus minus 2 mal minus 1. Also minus 1 plus 2

ist 1. 3 mal 0 ist ganz freundlich. Dann haben wir hier minus 2, 0, 1. So. Dann ist hier freundlicherweise auch schon eine 1. Mit der können wir die zweite Spalte aufräumen. Da einfach nur einmal drauf addiert. Und da einmal abgezogen.

Gibt 1, 0, 2. Beruhigen Sie dazwischen, wenn ich Unfug mache. Die zweite Zeile auf die erste drauf addiert, gibt hier hinten 1, 1, 0. Dann haben wir hier die Zeile bleibt unverändert stehen. 0, 1, 2, 0, 1, 0.

Jetzt müssen wir von der letzten Zeile die zweite abziehen. Gibt 0, 0, 3, minus 2 ist 1. Minus 2, minus 0 ist immer noch minus 2. Minus 1, 1. Das letzte, was wir noch tun müssen, ist die letzte Zeile mit minus 2

multiplizieren und auf die erste und die zweite drauf addieren, weil dann haben wir da die Nullen, die wir brauchen. Also was bleibt dann übrig? Hier vorne 1, 0, 0. Jetzt 1 plus minus 2 mal minus 2 ist 1 plus 4.

Ist 5. 1 plus minus 2 mal minus 1 ist 1 plus 2 ist 3. Minus 2. 0, 1, 0. Das ist 4. Minus 2 mal minus 1 ist 2. Und eins dazu ist 3. Minus 2. 0, 0, 1.

Minus 2, minus 1, 1. So, jetzt haben wir alle drei Gleichungssysteme gleichzeitig gelöst. Und was steht jetzt in den Spalten rechts? Da steht jetzt die Lösung für das erste Gleichungssystem, die Lösung fürs zweite Gleichungssystem, die Lösung fürs dritte Gleichungssystem.

Die Lösung fürs erste Gleichungssystem ist die erste Spalte von der Inversen. Die Lösung fürs zweite Gleichungssystem ist die zweite Spalte der Inversen und die Lösung vom dritten Gleichungssystem ist die dritte Spalte vom Inversen. Das heißt, was hier steht ist einfach die Inverse. Und damit kriegen Sie sogar einigermaßen

nettes Verfahren zur Bestimmung der Inversen. Sie schreiben die Matrix hin und auf die rechte Seite die Einheitsmatrix. Dann machen Sie Gauss. Bis links die Einheitsmatrix steht. Dann haben Sie rechts die Inverse. Wenn Sie es nicht glauben, multiplizieren Sie das Ding da unten mit dem Ding da oben.

Hoffentlich prompt die Einheitsmatrix raus. Aber das ist das nicht. Sozusagen, wenn man über ein Gauss-Verfahren geht, Standardverfahren, wie man eine Matrix invertiert, Matrix hinschreiben, auf rechte Seite die Einheitsmatrix, solange Gauss machen, bis links die Einheitsmatrix steht, dann steht da rechts die Inverse. Und wenn in diesem

Verfahren unterwegs irgendwann mal eine Zeile Null wird oder Sie ein unlösbares LGS kriegen, dann war das Ding eben nicht invertierbar. Weil, wie gesagt, der Rang ändert sich nicht beim Gauss. Wenn die Vorhineinwertierbar ist, muss der Rang voll sein, muss auch am Ende der Rang voll sein, muss

eine eindeutige Lösung rauskommen. So. Also haben wir damit die Inverse bestimmt und auch dieses Problem aus dem letzten Abschnitt geklärt. So. Das war sozusagen

dieser Hilfsabschnitt, wie rechnet man lineare Gleitungssysteme aus und wie invertiert man Matrizen praktisch. Klar, wenn man es wirklich von Hand macht, ist spätestens bei 4 Kreuz 4 oder meinetwegen noch 5 Kreuz 5 Schluss. Wenn man es mit großen Problemen zu tun hat, ist das natürlich eine Sache für den Rechner. Wie gesagt, allein die numerische

Behandlung von linearen Gleitungssystemen füllt eine ganze Vorlesung. Werden Sie sich, je nachdem, was Sie noch machen, intensiv mit auseinandersetzen und manche werden feststellen, dass es ganze Bereiche gibt, die im Wesentlichen nur das offene Lösen von linearen Gleitungssystemen beruhen. Natürlich werden Sie das im Lauf der Zeit dann am Rechner machen, aber es ist immer gut zu wissen, was der

Rechner tut und deswegen werden Sie in den nächsten Übungsblättern ein, zwei mal selber Hand anlegen müssen und auch einmal ein bisschen von Hand gaußen und Rechner spielen. So, ich komme zurück zu unserer Behandlung von linearen Abbildungen mittels Matrizen und da hat er immer so

ein bisschen gesagt, die Frage, die dabei im Hintergrund steht, ist, sind die beiden, sind eigentlich zwei, gegeben, eine konkrete lineare Abbildung als Formel. Frage, was tut die, wie sieht die aus, was macht die mit dem Raum

umgekehrt? Gegeben, eine geometrische Transformation, Drehungen um die Achse 358 um 47 Grad, wie sieht die dazugehörige Abbildungsmatrix aus und wie kann man dann damit rechnen? Diese beiden, also wie komme ich

von der Abbildung zur Matrix, wie komme ich von der Matrix zu einer Vorstellung, was die Abbildung tut? Die beiden Fragen stehen im jetzt immer so im Raum und das nächste starke Hilfsmittel in dem Zusammenhang ist der sogenannte Basiswechsel und das ist der Abschnitt 9 und worum es jetzt geht, ist die Frage, sie haben eine lineare

Abbildung, dann hatten wir festgestellt, wenn sie jetzt die Basis festlegen im Ausgang zu dem Zielraum, dann gibt es dazu eine abbildungsmatrix jetzt können sie aber sein dass sie haben jetzt also sie

haben die aufgabe da die die komische lineare abbildung davon r15 nach r23 waren sie mal da kriegen sie mal die abbildungsmatrix bezüglich der und der basen raus dann rechnen sie in zwei stunden und haben die basis und chefs sind launisch und kommen wieder vorbei und sagen wir haben uns doch beschlossen, wir nehmen eine andere basis jetzt haben wir die basis

da rechnen sie mal dazu aus müssen sie von vorne anfangen oder gibt es eine methode wenn sie die basis die matrix bezüglich einer basis kennen auf die andere basis umzurechnen und die antwort ist ja und das wollen wir jetzt machen also die frage ist wenn sie die abbildungsmatrix bezüglich der

einen basis haben wie kommen sie dann bezüglich einer anderen basis an die abbildungsmatrix und ich will ihnen abgesehen von der frage wie das auch aus anderen gründen sehr praktisches tool ist um das das zu können also erst noch mal wieder was ist die

grundsituation sie haben eine lineare abbildung zwischen zwei endlich dimensionalen vectorräumen endlich dimensional damit wir über abbildungsmatrizen regeln können also v und w sind zwei endlich dimensionale vectorräume wie beim selben körper b ist eine basis von v c ist eine basis von w und fie eben eine lineare abbildung von v nach b

dann haben wir gesehen gibt es dazu eine abbildungsmatrix also eine

abbildungsmatrix zu fie die hatten wir bezeichnet als m für matrix bezüglich der basen b und c von der abbildung fie die die groß die ist jetzt von der dimension von v und w ab und wie gesagt die die

aufgabenstellung ist jetzt der launische chef kommt mit einem neuen basisatz also b schlange seine weitere b strich seine weitere basis von v und c strich seine weitere basis von w und gesucht ist jetzt

also das ziel ist berechnet die abbildungsmatrix bezüglich der neuen basen also die abbildungsmatrix bezüglich b strich und c strich von fie aus der abbildungsmatrix die sie haben m b c von fie so was ist die

idee die idee ist sie wissen dass hintereinander ausführung von linearen abbildungen sich in multiplication von matrizen übersetzt und die grund die was wir jetzt ins hier zu nutze machen wollen ist mal

wieder produktives nichts tun sie können fie nämlich kompliziert schreiben als bevor sie das fie anwenden machen sie nichts auf v und nachdem sie das fie angewandt haben sind sie auf w und dann machen sie nichts auf w das stimmt fie ist dasselbe wie die identität verknüpft

mit viel verknüpft mit der identität würden sie sagen das ist so banal daraus kann man doch nichts kriegen doch das ist so banal dass man daraus ganz viel kriegen kann weil jetzt werfen sie dann mal die abbildungsmatrizen drüber mit den richtigen basen was uns interessiert

ist die abbildungsmatrix bezüglich b strich und c strich von fie was ist die abbildungsmatrix von b strich c strich von fie das ist die abbildungsmatrix bezüglich b strich c strich von diesem nicht tun nach nichts zu und den können wir jetzt in drei teile auseinander nehmen das ist

das gleiche wie wenn sie anfangen ich schreibe es mal von rechts nach links weil so macht man es ja man fängt in v an mit der identität und die können sie jetzt anschauen als die matrix bezüglich b strich und b dann können

sie ihre bekannte abbildungsmatrix von fie da drauf multiplizieren bezüglich b und c kennen sie ja die abbildungsmatrix von fie und die identität in w können sie dann nutzen um wieder zurück zu übersetzen von c

nach c strich also ich schreibe es noch mal m c c strich it von w multipliziert mit m b c von fie multipliziert mit m b strich b von it v so also sie können die

abbildungsmatrix in der mitte haben sie das ist die bezüglich b und c was sie brauchen sind die abbildungsmatrizen der identitäten bezüglich b strich und b und c und c strich im prinzip ist es sich gut das

wieder vorzustellen als so eine sache von von sprache sie wollen das viel verstehen in b strich c strich sprache sie können es in b c sprache was sie brauchen ist zuerst ein übersetzer von b strich sprache in b das ist diese

abbildungsmatrix von der identität dann können sie ihre m b c von fie anwenden kriegen aber c sprache raus und im raun sind übersetzer nach c strich sprache so und was wir hieraus schon sehen im prinzip ist das was da oben steht dreiviertel vom beweis vom folgenden satz also wir sind in

der situation von gerade eben also v und w und b und b strich und c und c strich wie oben und fie auch so dann existieren invertierbare

matrizen s und t so dass sie die abbildungsmatrix von dem fie bezüglich der gestrichenen basen schreiben können als t mal die abbildungsmatrix

von dem fie bezüglich b und c mal s also es gibt diese matrizen s und t die in diese übersetzung liefern die sind beide invertierbar und übersetzen ihnen eben die abbildungsmatrix von fie bezüglich b und c in die

abbildungsmatrix von fie bezüglich b strich und c strich klar was sind t und s t ist die abbildungsmatrix der identität auf w bezüglich c und c

und s ist die abbildungsmatrix der identität bezüglich b und b strich auf v das ist das genau was da oben drüber steht und das einzige was jetzt noch zu klären ist warum sind die invertierbar die sind invertierbar weil die identität die aktiv ist so eine biaktiven identität ist

isomorphismus und zu einer biaktiven linie an abbildung gehören so das ist der allgemeine theoretische satz zum thema basiswechsel und richtig viel bringt der wenn wir jetzt den spezialfall angucken dass v

gleich w ist und b gleich c und b strich gleich c strich also wir wollen wir haben nur eine abbildung in einem raum den raum in sich selbst abbildet und wir schauen sie einmal bezüglich b b und einmal bezüglich b strich b das will ich jetzt als nächstes machen also was jetzt der wesentliche

spezialfall ist ist sie schauen sich an v gleich w b gleich c und b strich gleich c strich wir hatten eine matrix in der basis b und in der basis c

weil natürlich es einen v und anderen w die können nicht gleich sein wenn v und w ist v und w gleich sind dann ist es naheliegend auch die matrix immer bezüglich also das viel anzuschauen bezüglich basis b im urbildraum und basis b im zielraum also dass ich jetzt hinschreib ist im

wesentlichen einfach die spezialisierung vom satz 9 1 es haben wir also nur noch einen endlich dimensionalen vectorraum das ist das was vorhin v und w war wir haben zwei verschiedene basen von v und

immer die überlegung ist sie kennen die abbildungsmatrix bezüglich b und wollen sie haben bezüglich b strich sie haben eine lineare abbildung von v nach v und die abbildungsmatrix bezüglich b die nenne ich mal a und die

abbildungsmatrix bezüglich b strich nenne ich mal a strich und dann ist die behauptung dann existieren invertierbare matriz dann existiert

eine invertierbare matrix und jetzt ist es nämlich auch nur noch eine s so dass sie die abbildungsmatrix bezüglich der gestrichenen basis kriegen als s hoch minus 1 a mal s und dieses s das nennt man die

basiswechselmatrix weil dieses s vermittelt ihnen wie müssen sie die matrix a umrechnen die attricks a ist die abbildungsmatrix bezüglich der basis b wir müssen sie die umrechnen damit die abbildungsmatrix bezüglich der

basis b strich rauskommt indem sie eben diese rechnung machen s hoch minus 1 a ist wenn sie das s kennen können sie umrechnen und eine wichtige beobachtung ist dass sie dieses s wird das s ist die abbildungsmatrix der identität von b nach b strich das hängt von dem

f überhaupt nicht ab mit dem phoenix zu tun das heißt wenn sie diese basiswechselmatrix einmal haben die hängt nur von den basen b und b strich ab dann können sie damit alle linearen abbildungen umrechnen die müssen sie nur einmal bestimmen also wenn sie irgendwie sieben lineare

abbildungen haben und sollen jetzt alles von b auf b strich umtüten müssen sie einmal die basiswechselmatrix ausrechnen und dann können sie alle mit derselben behandeln so warum ist das so also im prinzip ist das der satz von gerade eben was wir noch klären müssen ist warum haben sie jetzt nicht mehr s und t also warum ist t genau

s auf minus 1 also der satz 1 satz 9 1 liefert dass wenn sie s setzen die abbildungsmatrix bezüglich b strich und b von der identität auf v und t

die abbildungsmatrix umgekehrt b nach b strich von der identität auf v dann kriegen sie a strich ist t a s das war das was wir gerade eben in 9 1 hatten und was wir jetzt noch klären müssen ist warum ist t gerade s auf minus 1

naja was tun wir dazu wir rechnen einfach mal aus was t mal s ist wenn t mal s die identität ist dann ist t s auch minus 1 also was ist t mal s t mal s ist die abbildungsmatrix bezüglich b und b strich vor der identität mal die

abbildungsmatrix bezüglich b strich und b von der identität was ist die das produkt von zwei abbildungsmatrizen ist die abbildungsmatrix von der

also was bleibt hier übrig nur noch aufpassen welche basen die rechte identität geht von der basis b strich nach b und dann geht es von b nach b strich also geht es in summe von b strich nach b strich also ist das die abbildungsmatrix bezüglich b strich und b strich von der identität von v nach der identität von v das ist die abbildungsmatrix bezüglich b strich

und b strich naja zweimal nichts tun ist ungefähr so gut wie einmal nichts tun von der identität und was ist die abbildungsmatrix von der identität wenn oben und unten die gleiche basis steht ist die einheitsmatrix und das genau so machen sie s mal t gleich i also ist

t gleich s auch minus 1 so im prinzip idee also ganz einfach wenn sie die matrix bezüglich einer basis gegeben haben und sie wollen bezüglich einer

basis haben von der gleichen abbildung was sie brauchen ist die basis wechselmatrix und mit der können sie dann alles umrechnen naheliegend natürliche frage ja und wie kriege ich die basis wechselmatrix klar kommt als nächstes also das ist die bemerkung 93 im prinzip steht

schon da wie sie sie kriegen da oben steht was es ist gerade noch sie müssen die abbildungsmatrix der identität bezüglich der basen b strich und b ausrechnen kriegen sie die abbildungsmatrix können es noch alle im kohr den spalten der abbildungsmatrix stehen die koordinaten

der bilder der basis vektoren also sie nehmen die bilder der basis vektoren identität und rücken sie in koordinaten also sie bilden die basis vektoren von ab also die basis vektoren von b mit der identität ab also sie schauen sich die basis vektoren von b an und drücken sie in der basis b strich aus

und die koordinaten die sie da kriegen sind die sind die einträge der der abbildungsmatrix also das ist die berechnung von s also wenn sie

batrix die basis b gegeben ist durch b 1 bis b n und die basis b strich gegeben ist durch b 1 strich bis b n strich dann ist eben s die

abbildungsmatrix der identität bezüglich b strich und b und das heißt in den spalten von s also stehen in den spalten von s die

koordinaten von identität von b j strich aber identität von b j strich ist einfach b j strich bezüglich b b und das von j gleich 1 bis n also sie

nehmen die basis vektoren b j strich her drücken sie in der basis b j aus das sind n lineare gleichungssysteme die sie lösen müssen wie sie lineare gleichungssysteme lösen wissen sie jetzt und dann kriegen sie die abbildungsmatrix raus es gibt einen wesentlichen spezialfall wo man sich

der auch oft vorkommt weil natürlich was ist die basis in der man am häufigsten am liebsten rechnet dass die standard basis also was ist der fall wenn eine von den beiden die standard basis ist also dazu gehen wir

in den vectorraum k hoch n und sagen b sei die standard basis also die aufgabe ist sie haben ihre sie wollen die basis wechselmatrix von der standard basis in der andere basis haben und wenn ich ihnen das erklär

dann haben sie damit auch gleichzeitig das umgekehrte dann haben sie auch die basis wechselmatrix von irgendeiner basis in die standard basis weil die basis wechselmatrix von wenn sie die von die eine richtung haben dann ist die für die andere richtung genau die inverse also was ist dann was sind

dann die koordinaten was müssen wir machen wir brauchen die koordinaten von b j strich bezüglich b b ist jetzt aber die standard basis was sind also die koordinaten von b j strich bezüglich der standard basis naja die koordinaten von einem vector bezüglich der standard basis das ist

der weg da selber also ist in dem fall das s einfach gegeben durch die matrix wo sie in die spalten die b j strich reinschreiben da müssen sie gar nichts bestimmen wir müssen einfach nur ihre n-vektor nehmen und

fertig wenn sie jetzt den basiswechsel wirklich durchführen wollen haben sie noch einen unangenehmen teil weil sie brauchen noch s auf minus 1 also das ding noch invertieren da dürfen sie wieder fröhlich gaußen so aber das ist das ist wichtig sich zu merken wenn sie einen basiswechsel machen von

der standard basis in der anderen basis dann ist die basis wechselmatrix einfach die basis vector an der anderen basis in die spalten geschrieben fertig und umgekehrt wenn sie von irgendeiner basis die standard basis wollen also basiswechsel von irgendeiner basis c in die standard

basis das ist das umgekehrte von dem gerade eben dann ist es doch minus

eins die matrix die sie kriegen indem sie einfach die c ist da weil wenn es den basiswechsel von b nach b strich macht dann macht es auch minus eins dem basiswechsel von bestrich nach b so machen wir das mal

ein beispiel so wir betragen kam eine lineare abbildung ich schreibe in

morgen eine hin von r 3 nach r 3 viel von x ist x 1 minus 4 x 2 minus 4 x 3 3 x 2 plus 2 x 3 minus 2 x 1 minus 7 x 2 minus 4 x 3 also oder

anders hingeschrieben 1 0 minus 2 ich nehme jetzt einfach hier die koeffizienten also 1 minus 4 minus 4 ist die erste zeile die zweite zeile

0 3 2 und die letzte ist minus 2 minus 7 minus 4 mal x 1 x 2 x 3 der vorteil wenn sie sich so hinschreiben ist sie sehen sehr schnell was die standard was die abbildungsmatrix bezüglich der standard basis ist wenn

sie jetzt die standard basis nehmen dann steht die abbildungsmatrix schon da also die abbildungsmatrix bezüglich oben und unten standard basis von diesem fie ist einfach die matrix die da oben steht also 1 minus 4 minus 4 0 3 2 minus 2 minus 7 minus 4 warum den

spalten der abbildungsmatrix stehen die koordinaten der bilder der basis vektoren basis vektoren sind 1 0 0 0 1 0 0 1 wenn sie 1 0 0 einsetzen

kriegen sie 1 0 minus 2 genau die erste spalte koordinaten der ersten spalte in der standard basis ist die spalte selbst also eins null minus zwei so jetzt haben wir also die abbildungsmatrix von dieser abbildung bezüglich der standard basis jetzt kommt der launische chef und sagt die

standard basis ist doof ab heute gibt es eine schönere basis und zwar die folgende also b-strich minus 1 1 minus 1 ist der erste vector 4 minus 2

1 ist der zweite und 2 minus 1 3 ist der dritte im moment müssen wir jetzt einfach glauben dass das eine basis ist die sind schön linier unabhängig die drei und das ziel ist bestimme also wir wollen jetzt unsere

abbildungsmatrix umrechnen wir wollen jetzt haben was ist die abbildungsmatrix von unserem fie wenn wir das ganze bezüglich bestrich angucken so wo kriegen wir unsere was brauchen wir brauchen die basis wechselmatrix wir müssen die matrix basis b in die basis bestrich

umrechnen und schauen wie sich das die matrix von dem fie verändert und da hatten wir gerade in der bemerkung 93 gesehen wir sind jetzt in dem einfachsten fall wir wollen von der standard basis in der andere basis und dann sagt die bemerkung 93 dass dann die basis wechselmatrix problemlos zu

bestimmen ist nämlich die basis wechselmatrix ergibt sich dann einfach indem sie sich die drei neuen basis vektoren nehmen und in die spalten schreiben also minus 1 1 minus 1 4 minus 2 1 2 minus 1 3 und

was sie jetzt nur noch brauchen um die abbildungsmatrix umzurechnen ist sie brauchen die inverse und da haben sie gleich eine schöne erste übung fürs gaußverfahren das x ich ihn jetzt hier nicht noch mal vor also stecken sie schreiben sie das s hin und dann rechts die also das s und daneben

die einheitsmatrix man so lang gauß bis links die einheitsmatrix steht und was dann rechts steht ist hoffentlich ein fünftel mal die matrix 5 10 0 2 1 minus 1 1 3 2 sie können natürlich anstatt den gauß zu machen im

moment ist leichter nachprüfen indem sie die beiden dinge einfach multiplizieren da sollte hoffentlich die einheitsmatrix rauskommen so jetzt haben wir s und s hoch minus 1 und dann sagt uns der satz 92 dass sie die

abbildungsmatrix von dem fie bezüglich der gestrichenen basis das ist das was wir haben wollen kriegen indem sie die abbildungsmatrix von dem fie bezüglich der b basis nehmen also in dem fall der standard basis von rechts mit s und von links mit s hoch minus 1 multiplizieren nur das ist einzige was

wir noch tun müssen das einzige ist gut also ein fünftel mal 15 0 2 1 minus 1 1 3 2 mal die abbildungsmatrix von dem fie die war 1 minus 4 minus 4 0 3 2 minus 2 minus 7 minus 4 mal das s minus 1 4 2 1

minus 2 minus 1 minus 1 1 3 sie sehen das sind gerade nochmal dreimal 13 mit einer zu multiplizieren das ist kein hexenwerk da kann man sich

nur 23 mal verrechnen und das darf halt nicht passieren also wieder konzentration an die erste matrix schreibe ich mal einfach ab klassischer fall von verdrängungs ja das problem erst mal aufschieben so die letzten

letzten zwei versuchen wir zu multiplizieren also erste zeile mal erste spalte 1 mal minus 1 minus 4 mal plus minus 4 mal 1 plus minus 4 mal minus 1 das ist minus 1 minus 4 ist minus 5 plus 4 ist wieder minus

1 erste zeile mal zweite spalte 4 plus 8 sind 12 minus 4 sind wieder 8 habe ich das richtig ja 2 plus 4 sind 6 minus 12 sind minus 6 zweite zeile

mal erste spalte gibt nur dreimal 1 minus 2 ist 1 3 minus 6 plus 2 ist minus 4 minus 3 plus 6 ist 3 2 dritte zeile mal die spalten also 2 minus 7 ist minus 5 plus 4 ist minus 1 minus 8 plus 14 ist 6 minus 4 ist 2 minus 4

plus 7 ist 3 minus 12 ist minus 9 jetzt bin ich gespannt ja gut und die beiden noch miteinander multipliziert und wenn ich sie das jetzt machen das

dann kommt erstaunliche dinge bei raus weil das beispiel extrem konstruiert ist 5 0 0 0 10 0 0 minus 15 also man das ein fünftel noch rein zieht 1 0

0 0 2 0 0 minus 3 so wie gesagt das beispiel ist extrem konstruiert weil ich ihn daran noch was erzählen will und einen kurzen ausblick geben und die minute gönnen sie mir noch weil das wird vieles was jetzt kommt bisschen klarer machen ich habe jetzt ich habe ihn diese abbildung

hingeschrieben am anfang dass wir in jahre abbildung von der keiner wusste was sie tut und dann habe ich ihn irgendeine krude basis hingeschrieben wo auch keiner wusste wo sie herkommt aber wir haben jetzt festgestellt wenn wir jetzt unsere abstrusel in jahre abbildung nehmen

und in diese krude basis transformieren dann kriegt die plötzlich eine wunderbar einfache abbildungsmatrix also meine schönere und einfache abbildungsmatrix ist das ding wenn sie nicht finden nur mit nur diagonaleinträge oder nullen drumrum mit denen kann man wirklich

wunderbar rechnen und das bedeutet dass diese basis die sie da haben einfach gut zu der linearen abbildung passt und die frage also sie haben jetzt eine lineare abbildung und gut dazu passende basis und das ist eine

der gründe weshalb man basiswechsel macht um in der basis zu arbeiten die zu einer linearen abbildung gut passt und die normalerweise ist die frage jetzt natürlich umgekehrt normal ist es nicht so dass man eine abbildung hat und dann sagt eigentlich jemand probieren mal die basis die tut und dann ist rechnet man um und stellt fest boar super da ist die

bar mit matrix total einfach sondern die frage durch umgekehrt gegeben irgendeine wilde martin wilde abbildung wie finde ich jetzt die basis die mir so eine schöne abbildungsmatrix liefert und das werden wir uns nächste und übernächste woche angucken also diese frage wie kommen wir umgekehrt auf die richtige basis vielen dank für die

aufmerksamkeit