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Beweisprinzipien

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so also und wenn man so sagen darf gelernt werden an der TU Darmstadt
so da möchte ich Sie alle herzlich zur heutigen Vorlesung begrüßen schönen guten Morgen wünschen der haben wir stehen am Ende des kleine ja richtig das Licht von nicht ist der Wende von Kapitel 4 umsteigen Kapitel 5 ein er finde ich kann zum 1. gut also und beim Kapitel 5 dreht sich um Beweis Prinzipien also das geht jetzt ein Kapitel über lange nicht darum neue Mathematik einzuführen sondern ihn einfach so bis hin zu zeigen was es für Möglichkeiten gibt Sätze zu beweisen liegt ich werde ihn so 3 4 4 ist das Beweisverfahren zeigen wie jeweils mit dem Beispiel haben sicher schon gesehen da noch einiges gemacht über mittig wird die bewiesen im Prinzip geht es nur darum und was ist Beweis mit dem Beweis versucht man irgendwie eine den Wahrheitsgehalt einer Aussage zu zeigen und er da man nie irgendwas aus dem luftleeren Raum schöpfen kann haben Sie immer irgendwelche Voraussetzungen also die Aussagen die Sie zeigen Ihnen dass Ihnen beweisen immer von der Form denn irgendwas geht dann gilt was anderes wir sie aber nur wenn die Voraussetzung erfüllt sind dann geht die Aussage des Satzes bei ganz ohne Voraussetzung gilt auch nix für es kann sein dass Satz keine Voraussetzung drinsteht weil die irgendwie implizit woanders versteckt ist aber zumindest die Voraussetzung ist die Zahl der mit den kann man rechnen oder so was steckte hinter allen Ehren jetzt können Sie sagen jetzt argumentiere sozusagen jeder Beweis den führt wissen ist ne ist der Nachweis dass eine Indikation war ist also das irgendwas aus der Voraussetzung aber folgt die Behauptung des stimmt können Sie sagen das stimmt nicht ganz weil es gibt ja Äquivalenzen das gibt auch den Fall dass man zeigen will 2 Aussagen sind äquivalent dann sage ich klar das geht auch nur das mit der Äquivalenz ist auch nichts anderes als 2 Implikationen das wenn Sie zeigen wollen sollen 2 Aussagen sind äquivalent A genau dann wenn B dann können Sie das auseinander pflücken indem sie in das macht man meistens auch in 90 Prozent der Fälle indem man sagt wir zeigen zuerst aus A folgt B und zeigen muss befolgt er dann hat man eig wollen B insofern können uns um das da drum drücken und die Aufgabe hat und dies beim Beweisen geht wirklich auf die Implikation reduzieren die Aufgabe ist immer folgere aus einer Aussage an das ist das was man üblicherweise die Voraussetzung nennt und das kann sehr viel sein oder auch sehr wenig eine Aussage B die Aussage B und dieser Aussage des ist das was normalerweise Behauptung heißt so das ist die Aufgabe beim beweisen sie aber nicht Voraussetzung und sie sollen irgendwas daraus folgern und immer siegen gibt es jetzt ja 2 3 4 Herangehensweisen die man in nimmt nur fahren mit der mit der naheliegendsten an das ist der so genannte direkte Beweis und dann macht man genau das was man so einen das sieht also folgendermaßen aus man hat die Voraussetzung die Aussage aber und was ich es Ihnen jetzt schreibe ist sozusagen der Blaupause Visum beweist aus ja also auch wenn sie ein weißes Haar aufschreiben wollen tut es der Nachvollziehbarkeit des geschrieben und auch ihrer eigenen Strukturierung des Denkens gut wenn sie sich erst noch mal genau einschreiben lassen ich meine Voraussetzung nur was ich die geben was weiß ich wovon soll ich starten erst wenn wir das richtig nicht klar gemacht hat sollte man loslegen da man sonst loslegt und gar nicht so richtig weiß man nicht stehen also würde ich Ihnen raten zumindest für die 1. 15 Beweise diese aufschreiben halten Sie so ein bisschen dran erstmal die Voraussetzungen zu schreiben also zu wie geht Voraussetzungen der Band alles sammeln was man hat dann schreiben Sie dort das Wort Behauptungen und machen sie noch mal genau klar was soll ich eigentlich wo will ich hin noch loslaufen ist immer einfacher und man weiß wo man hinwill und dahinter steht jetzt eben die Behauptung dass es jetzt dem abstrakten Fall die Aussage des das ist je nach Aufgabenstellung hat irgendwas was sie zeigen sollen dort und dann unter Beweis bitte den Beginn des
Preises kenntlich machen üblicherweise dem Wort weiß oder kann man sie doch noch schreiben hier wegen der Beweis was aber das sich für jemand der das dann in der nachvollziehen oder lesen will oder korrigieren will ist es sehr gut zu wissen bis wohin ist die Voraussetzung des und ist die Behauptung wo fängt der weiß an und das gilt nicht nur für den Korrektur sondern denken Sie auch daran das Ihnen passieren kann dass sie irgendwelche Aufgaben bearbeiten in einen Ordner heften und ein Jahr später für eine Klausur Vorbereitung oder was die daraus ziehen und dann müssen sie das auch selber noch verstehen wir werden auch das ist wenn man es nicht gut strukturiert manchmal schwierig so was macht man jetzt Beweis der Mann weiß das AG der will be also wenn der es könnte Anfang mit sei als fühlt dann gilt irgendwas und dann geht noch was anderes und deswegen gilt und so weiter und am Schluss muss dann stehen also die B um zum Beweis haben sicher schon paarmal dafür dass der so genannte direkte Beweis ich hätte jede Vorlesung auch schon welche von der Sorte nun also wenn sich noch mal zurückblättern der Beweis von Satz 3 12 Haarteil und Seetalbahn solche direkten Beweise der Beweis von Satz 2 5 waren direkter also da hat schon einige zwar nur noch ein Beispiel Na noch mal hier auf Folie das beweist Prinzip noch mal aufgeschrieben auch der untere Hörsaal kann jetzt mal den Overhead anschmeißen belegt die Folge von drauf DasErste Kasten den ich dorthin geschrieben hat so einen noch ein einfaches Beispiel für einen direkten Beweis beispiele 5 1 also was ich Ihnen zeigen will ist wenn Sie 2 gerade Zahlen haben 2 gerade natürliche Zahlen dann ist auch
deren Summe gerade wenn Sie mir sofort glauben Mehr es geht auch nicht darum irgendwas total Überraschendes Linie vorzuführen sondern eben wenn man das Prinzip sehen will und nicht irgendwas Banales zu nehmen dass man sich auf das beweist Prinzip konzentrieren kann also je mehr würde man das beweisen kann und ob ich sehr häufig sind sgrad diese Banalitäten die ein viel zu klar sind man sich schwer tut die zu beweisen wenn man irgendwie ich weiß wie wie soll man es hinschreiben ist doch offensichtlich also was wissen wir wir gehen von dem aus was wir wissen denn sie müssen von der Aussetzung zur Behauptung also Sie wissen indem es gerade in was bedeutet denn das dass eine Zahl gerade ist das bedeutet sie können ganzzahlig durch 2 teilen also es gibt natürliche Zahlen l und k so dass sie das Ende schreiben können als zweimal Elle und das schreiben können als zweimal K und allen Khasin immer noch natürliche Zahl so also das haben dann können Sie jetzt n +plus n anschauen wir dass das was uns interessiert nun muss gucken wo kommt man her wo man hin da das wurde herkommen ausgeschlachtet E-Plus muss langsam so langsam Mehr man den Kopf heben zum Horizont gucken wo wollen weil ich laufen wir wollen dahin laufen wollen zeigen dass im gerade ist also uns diesmal anzuschauen was ist denn jetzt n +plus n also das is n +plus n wir
wissen unser en ist zweimal L und unser zweimal K A also haben wir das endlos in 2 +plus 2 K ist das ist das selbe wie 2 mal etwas klar so jetzt ist diese Zahl L +plus K nenn ich mal P das ist immer noch natürliche Zahl weil allen kann natürlich Zahlen waren natürliche Zahlen addiert kommt natürlich Zahlen aus also haben wir das endlos M zweimal PS und das bedeutet gerade das M +plus M geradezu kann sie setzen kurze banaler Beweis der nicht dazu dient eben das was tolles Zeit haben sollen das ist Prinzip sehen und das Vorgehen beim direkten Beweis ist immer dass er sich dann sieht man was sie haben sie formulieren das mal meistens geht's dann so eine Phase wo man das was man hat naheliegend umformt und dann guckt man wo man hin will und schaut wie man kommt und da fängt die Kreativität an und das Irrgarten laufen ja also die Frage ist ob man immer wie jetzt versucht allen kehrt einer Variabilität zusammenzufassen die Antwort ist nicht unbedingt n die Antwort ist sie müssen so machen das ist oder das Ziel ist es so zu machen dass es am leichtesten nachvollziehbar ist und das ist mir keine objektives Kriterium sondern ein subjektives der und 8 ich hatte jetzt hier versucht möglichst sehr ausführlich zu machen so was würde ich natürlich in 3 Wochen in eine Zeile schreiben Mehr also das ist natürlich könnte man auch von oben sagen die ZiB 1 plus 1 bis 2 mal natürliche Zahlen ist das gerade dank über die Frage wie genau man es macht ist keine objektive wir so genau dass es für jeden mit gleichen Wissensstand absolut nachvollziehbar und nicht mehr der Fahrgast oder es kommt im Dorf an der wen man wer die Zielgruppe des Beweises ist er er noch schon am Tisch genau und hier sind relativ umsichtig was passiert weiß kann länger sein und wussten Sie sich nicht wenn Sie in diesem Irrgarten wie komme ich zu meinem Ziel fünfmal falsch abbiegen das ist normal also man ist in den 1. Semestern nur frustriert weil um 2 Seiten Übungsblatt abzugeben spielt man 10 17 zärtlich mit Papier voll oder man das Verhältnis noch krasser Mehr wenn Sie erlebt haben im 1. Übungsblatt und dann der man das ist nervig und es wird aber hoffentlich besser und ich kann sagen es wird nicht besser also auch ich wenn ich jetzt Forscher arbeiten 90 Prozent für die Mülltonne es ist so der dafür sind die Beweis wegen die die ihre Daten dem Manne irrt um den Beweis zu finden zu groß und zu undurchsichtig muss einfach mal loslaufen trauen sich loszulaufen wenn in die in eine Irrgang kommen und in der Sackgasse stecken laufen sie mir zurück und anderen Weg das ist geht gar nicht anders und glauben Sie mir von diesen ganzen Irrläufe lehrt man unglaublich viel wann ich das nächste Mal zumindest das übernächste Mal nicht mehr die Falle tappt also wenn Sie dem Beweis feststecken was oft vorkommt was auch mir nur noch ständig passiert machen Sie mal was was geht und gucken ob sowas führte man zunächst würde sie das Wort verstehen aber das ist der Teil weshalb Mathematiker ob ihre Frusttoleranz geschätzt werden und bei Ihnen wird es nicht anders sein gut ich wegen der nur er ich das soll nicht dazu dienen sie zu der er das in Ehren Angst einzujagen sondern um den klar zu machen wenn sie jetzt lang hängen und wie mit Peer für die Mülltonne produzieren das ist normal vollkommen und ein gut das war direkte Beweis wenn sie aus ein paar Mal gemacht haben ich hatte in der in der 1. Vorlesung und ich hab's auch schon ein Zimmer verwendet auch das schon mal das bitte den Begriff Beweis durch Kontraposition erwähnen das hatten wir am Anfang beim Thema Aussagen gesehen die Aussage noch nicht vor die Aussage A impliziert B ist äquivalent zur Aussage nicht B impliziert nicht aber er das kann man sich eben zunutze machen wir das auch schon gemacht haben für den Beweis Kontraposition das Setting ist das gleiche Sie haben eine Voraussetzung was sage er also im Beispiel oben und sind natürlich zahlen sie Behauptungen Aussage B und sie wollen wieder zeigen was A folgt B und das machen sie jetzt eben nicht in
dem sie mit anfangen und zeigen daraus folgt B so können Sie mit nicht B anfangen und zeigen daraus folgt nicht also der es geht los es gelte nicht B also die Aussage die ist falsch das erst mal sich überlegen was das negative von BIS aber man das hat dann kann man von da loslaufen und sagen dann geht irgendwas und dann geht noch etwas und dann kommt wieder der kreative Prozess und am Ende steht dann wir also Geld irgendwas und also ist dann am Ende falsch dem wenn Sie das haben Sie direkten Beweis für uns nicht befolgt nicht A und beweist damit nicht be Volk nicht liefert automatisch ein für aus erfolgt B nur das hatte ich damals Obst die abstrakte Bemerkung dazu dass die beiden Aussagen erfolgt B und nicht befolgt nicht äquivalent sind war Bemerkung 1 6 und ein Beispiel für so ein Satz der Beweise Kontraposition hatten wir in der letzten Vorlesung Satz 3 12 b den hätt ich ihn der Kontraposition gezeigt immer mehr zum 2. Beispiel das Beispiel 5 2 Uhr geht wieder um gerade und ungerade das ist jetzt schon ein bisschen weniger banal als das oben wenden uns den natürliche Zahl her von der wir wissen ihr Quadrat ist gerade und dann ist meine
Behauptungen haben den Quadrat gerade ist dann war schon die Zahl selbst gerade in Sorge zeigen wir das wie gesagt Kontraposition wir zeigen nicht aus A folgt B ersetzt eigentlich Lernquadrat gerade ist n gerade so wir zeigen aus nicht befolgt nicht also das sagen wenn n ungerade ist wir zeigen wir den ungerade ist dann ist auch ein Quadrat und gerade das ist die Kontraposition hier also man fängt an mit sei nicht stehen also soll n ungerade das heißt das was heißt es ungerade zu sein das heißt es gibt in natürliche Zahl K so sie dass sie dass sie das Ende schreiben können als zweimal K +plus 1 nun gerade Zahl ist Mainz ist Grad in was heißt das das heißt es gibt die KGA aus allen so dass 2 K +plus 1 ist was uns interessiert ist nicht ändern lassen so sieht es wie Sie das mit 2 mit n geradeaus aus also was wir im Quadrat man in 2 K +plus 1 ist Mehr 1 im Quadrat 2 K +plus 1 , jetzt kommt binomische Formel erinnern sich hoffentlich alle 3 1 4 K Quadrat +plus 4 k +plus 1 ja es kommt mit verdammt bekloppte sollten Rumbo also ich ja gerne hin wir haben
also im Quadrat also die Zeile von gerade eben es gibt dem Chaos enden so dass Quadrat ist 4 K Quadrat plus 4 k +plus 1 so es geht uns darum zu zeigen dass Dennis und gerade also versuchen sie die Form zu bringen 2 mal irgendwas +plus 1 klar 1 2 aus bleiben 2 K Quadrat plus 2 K übrig +plus 1 sorgen Sie dass sie CNN dann ist das natürliche Zahl nur und dann ist das hier 2 EL +plus 1 und da gesehen Quadrat auch und gerade ein also es im Quadrat ungerade und Wasserwege zeigen gezeigt man gerade ist es im Quadrat und gerade Kontraposition wenn den Kader hat gerade ist in der Art du das ist ein Beispiel für einen ,komma Kontraposition und jetzt kommt natürlich die Frage was ist wenn ich jetzt eine Aussage hab was ist das richtige der Direktor der Kontraposition beweist jeder weiß das funktioniert es der richtige es ist halt mal der eine einfache normale andere entfachen und welche der einfachere ist weiß man leider nicht vorher man kann natürlich Erfahrungswerte sammeln wir also wenn sie 30 Beweise gemacht haben kommt der Moment wo Sie sagen das probier ich erst gar nicht direkt das probier ich mal Kontraposition es vielleicht aus aber das Erfahrungswissen so das ist Kontraposition aus so nah die stand ja auch auf der Folie gut jetzt kommt ein 3. Verfahren und das sich die Frage nein man kann's Verfahren 2 Bienen weil es ist ein Variante der Kontraposition aber eine die oft n die sich lohnt sich nochmal extra her zunehmend nehmen weil sie ein bisschen in heutigen Verleich des 1. Kontraposition und 1 und Beweise ermöglicht die direkt man mal sehr sehr schwer werden und dass der sogenannte Beweis durch Widerspruch und der sieht folgendermaßen aus ich schreibe ihn wieder Sonne sozusagen so umgerüstet werden das dann zu zufrieden ist in also Sie haben wie bei jedem beweist ich meinen bei jedem Satz dass es immer das gleiche sie haben eine Voraussetzung dass ist die Aussage war 10 meine Behauptung dass ist die Aussage des zur und jetzt geht dem weiß los wie gesagt
das was sich unterstreicht sollte irgendwie auch so als alles die über das Land mag jedem ihre Beweise auftauchen gut der weiße Widerspruch fängt eigentlich so ein indirekter Beweis also wir gehen alle wir wir setzen voraus dass gilt und jetzt kommt's der Cloud kann wo besser als weiße Widerspruch heißt jetzt nehmen wir mal an dieses Rates sollen die wird das darauf hinweist was die Widerspruch Annahme die Aussage die ist falsch weil sie setze voraus an Geld und B ist falsch das darf jetzt natürlich nicht gehen aber wir zeigen wollen AG doch weg ja also wenn Sie jetzt voraussetzen an Geld und die als setzen voraus Ps falsch dann muss ungeheuerliche Dinge passieren weil das ist ja genau das was nicht sein darf und genau das muss auch raus kommen es darf nicht sein also was man jetzt macht ist man geht von diesen beiden Annahmen aus also das geht das Bier falsch ist und dann fängt man wieder als komplette kreative Teil der also dann fängt man an zu argumentieren wenn geht und b falls es denn die Eltern dann geht also ja und dann muss am Schluss ein Widerspruch kommt man kommt also damit ergibt sich ein Widerspruch was im Widerspruch zum Beispiel sowas wie 0 gleich 1 ja also meistens ist zusammen ich zeige noch klein Beispiel wenn sie sehen eben jemand wenn er den alten weiß er nicht sein soll und dass tatsächlich die Aussage geht dann ist eben A folgt B und wenn Sie jetzt ob wenn an ist richtig und bis falsch dann müssen sie irgendwie zu einer Situation kommen in der die Kausalität des Universums aus den Fugen bricht und in dem Moment haben sie im Widerspruch so was heißt dieser Widerspruch also dieser Widerspruch kam eben daher dass anscheinend aber richtig und freilich nicht zusammenpasst richtig ist aber gegeben per Mail Gesetz weil das die Voraussetzung ist also muss die Annahme falsch gewesen sein und damit das B richtig hören das ist die
Idee vom Widerspruchs Beweis und ist insofern entgegen schöner als die Kontraposition weil sie mehr daran haben Kontraposition argumentieren sie von nicht B aus und wollen auch nicht aber um eine 30 Widerspruch haben sie nicht B und A also wissen Sie das geht und Sie wissen das nicht oder sie nehmen an dass nicht be geht damit haben sie einfach mehr Material mit dem sie arbeiten können und müssen dann hat er mit dem Widerspruch kommen das Prinzip von beweist sich Widerspruch auch auf Folie Wasser unten dann zur nächsten Folie greifen also das was ich dort geschrieben hat wenn
das ist die Blaupause für den Beweis ich widersprochen und so und ich haben auch wieder ein Beispiel dafür mitgebracht und das Beispiel ist sozusagen der
Klassiker unter den Aussagen die man durch Widerspruch beweist er nun und insofern auch tödlich als es einer ist denn wenn sie versuchen den direkt zu beweisen da da beißen sie wirklich auf Granit das geht aber das ist äußerst mühsam und in indirekt unter Widerspruch ist nun wirklich schöner nicht allzu lange über alles was ich Ihnen sagen will ist des catastrophe dass der Pythagoräer nämlich Vorsitz weiß nichtrationalen L die Pythagoreer westlichen dass besagtes Pythagoras hat jedem Wasser der ich glaub bisher die wirklich alle an der bisher 1 heise die Pythagoreer eine Gruppe die sich um ihn scharten würde sagen die Geschichte die bisher einzige wirklich immer damit die Sekte kann man nicht anders sagen die an die Mathematik zum Glauben erhoben und insbesondere bei der Grund Glaubenssatz alles ist Zahl und Zahlen waren für die Griechen ganze Zahl man Zahlen aber noch durch ihr zum Glase Zahlen durch aber die wirklich immer klar als die irrationale Zahl und Pythagoras war also geradezu begeistert davon dass das gar nur zu Universum sich die Zahl der Kläger lässt hat begeistert festgestellt dass ich es schön klingt und schlechtklingende in der Wale in der Musik daher kommt das das ist der kleine oder große Zahl Verhältnisse der der Seitenlängen sind und war also ganz begeistert und das Problem ist dass sie so viel Mathematik betrieben haben dass sie ihre eigene ihren eigenen Glauben zerstört haben das auch nicht so oft passiert aber es ist die einzi Glaubensgemeinschaft die sich so zu oder sich einzige die sich die in sich selbst in Widerspruch zu sich selbst brachte weil sie nämlich irgendwann beim Geometrie machen feststellt es gibt Zeiten die sind nicht durch ganze durch Brüche darstellbar das gab mir keine Krise danken er und das ist jetzt also die Peter welche Krise so also die Behauptung dass was weiß nicht rational wir weisen wir das bevor ich anfange ein Kommentar Sie sehen hier fehlt schon die Teile Voraussetzung wir sich einig angemahnt hat was ist den jetzigen Voraussetzungen die Voraussetzung ist überhaupt erst mal was ist denn wusste 2 aber noch nicht definiert ich vertraue der Stelle auf ich wohl wissen dass sie wissen dass Wurzel ist definieren wir irgendwann kurz nach Weihnachten dann sind Voraussetzung Yale Rechenregel das rechne rationalen Zahlen und so weiter also wird das sind alles Voraussetzung die man ob ich man schreibt aber dem denn die klar sein müssen dass die implizit das so also wir wollen wollte 2 nicht rational Widerspruch beweisen also wieder groß Beweis denn üblicherweise an mit dem Wort Annahme und wenn an die Behauptung ist falsch also wenn nebenan wollte 2 ist rational oder Vorteil davon und das ist der Grund warum der Widerspruch Beweise Stelle einfacher ist die Aussagen dass es rational die können Sie gut in das brauchbares umsetzen nämlich dass diesen Bruch wohin die Aussage und das ist irrational ihr was folgt daraus dass dies kein Bruch muss man wie man sie 2. aber das diesen Bruch da haben Sie was in der Hand was heißt das das heißt dass das Ding diesen Bruch das heißt es gibt 2 natürliche Zahlen n und m so dass die Wurzel 2 schreiben können als den Quotienten von und nur und dann bin ich gleich jetzt hier voraussetzen dass sie das und nicht ihren die wählen so dass es geschickt werden nämlich dass es maximal kürzen nun sie wissen dass man jeden Bruch kürzen kann und irgendwann geht es nicht mehr und dann das sollte bitte macht er also wenn was ist wer rationales dann suchen Sie sich die Bruch Darstellung und kürzen solange es geht zur und diese 2 Zahlen nämlich im endet im sah und davor mal sehen dass das nicht geht also was ist jetzt musste 2 durch was ist dann 2 Eier 2 ist das ist genau die Definition der Wurzel das Quadrat von Wurzel 2 also in Quadrat ich im Quadrat und stellen wir jetzt ohne Dennis im Quadrat gleich 2 im Quadrat wenn man beachte dass ist natürlich nicht 0 ist das kein vernünftiger brauch also kann ich mit im Quadrat multiplizieren also im auch nicht nur den Termin im Kölner multiplizieren natürlich im Quadrat des 2 im Quadrat ok diese Erkenntnis merken kann uns mal die wenig stören außerdem liefert die uns noch was die führt uns nämlich dass im Quadrat gerade ist der warum na ja aber im Quadrat 2 im Quadrat im Quadrat das natürliche Zahl 2 Wochen natürlichen Zahl ist gerade soll Samba vollen geschickterweise vorgearbeitet Umsatz im Beispiel 5 2 hab ich ihm gezeigt wenn im Quadrat gerade ist dann ist auch in Gefahr das war der Grund Oppositions bewahrt also wenn ihnen gerade es gibt es wiederum ein K aus allen so dass sie das Ende schreiben können zweimal K um das heißt genau gerade sein soll's kommt wieder unser Stern
in wenn das N 2 K ist dann ist im Quadrat also 2 K Quadrat gleich 2 in Quadrate dass das Sterben also haben wir insbesondere das 4 K Quadrat gleich 2 im Quadrat ist und das bedeutet 2 K Quadrat ist im Quadrat nur selten das Quadrat ausgef ausgeführt und noch mit 2 gekürzt aus der Gleichung also 2 Kajakfahrer im Quadrat was bedeutet das und jetzt schließt sich die Schlinge um Pythagoras heißt das bedeutet im Quadrat es gerade aber wenn wir mit Zahl an den Quadrat gerade ist ja gerade schon mal verwendet dann ist die Zahl selbst gerade also ist auch in der Frage so jetzt und Probleme der 10. Bericht oder am Problem weil wir haben gesagt 2 Bruch diesen Bruch kürzen dann maximal dies habe gesehen wenn sie nur zu zweit ich ein maximal gekürzten Bruch darstellen dann sind Zähler und Nenner des Bruchs gerade das heißt der Mann kürzlich aufgepasst da gut gefiel die 2 noch aus nur dann können Sie so Argument ,komma der das Ende der wieder gerade als die neue Lehrerin das können wir zusammen wie sie wollen wir das du mich ja das ist ein Widerspruch dazu oder The n und m n durch maximal gekürztes des und damit war die Annahme falsch und die Aussage
und die Behauptung es richtig das heißt Wurzel 2 ist nicht rational also was wir zeigen ist wenn es denen Bruche es dann ist jeder Bruch der Wurzel 2 darstellt noch durch 2 Kurzbach und das ist Käse sie können nicht nur Bruch beliebig lange kürzen so dass es ein klassischer Widerspruchs beweist und wie gesagt es deswegen deutlich einfacher als der direkte weil sie aus der Auslage wozu 2 ist nicht rational ist ist irrational aus der können Sie einig nicht rausziehen was bedeutet dass es kein Bruch aber wenn es um den wenn sie die Annahme machen dass Isenbruch dann haben sie die ihnen die Ems mit den sie rechnen können um deswegen ist an der Stelle der indirekte Beweis der weiß Widerspruch deutlich einfacher Chung das als Beispiel dazu und jetzt kommt noch ein 4. Beweisverfahren der der in der Ö und n Quadrat könnte er 2 sein und im Körper und im 1 zu also sie wissen wie das geht natürlich nicht weil sie wissen also da stecken sie jetzt einen schon dass sie wusste 2 nicht rational ist ja es das Intervall 2 und im Quadrat 1 wäre eine Möglichkeit aber es könnte so die weil die nicht geht weil sie eben keine natürliche Zahl finden deren Quadrat 1 ist 2 ist aber es könnte eine ganz Große Insolvenz geben sie wenn es interessant sich den Beweis nochmal anzuschauen probieren Sie den Meister mit 2 mit 4 mit 4 davon nicht tun weil 4 können 4 er die Worte von ist rationalen also probieren Sie damit 4 anschauen an welcher Stelle es schief geht holen Sie man mit 5 und schau dass auch Geld und aber wir sind damit 4 und schauen uns nicht geben gut es kommt als nächstes das
Beweisverfahren der vollständigen duktion das hat es ein bisschen jetzt anders als alles was ich Ihnen bisher gezeigt hat weil was ich in bisher gezeigt hat den Beweis dass an diesem Prinzip auf jede Behauptung drauf werfen können und was jetzt kommen die Forscher Induktion es Beweise vor dass nur für ganz spezielle in Behauptung funktioniert aber da ein absolut schlagen das ist und ich mach die vollständig zu und ich im allgemeinen Fall sollen über natürliche Zahlen später werden in allgemeinerem Konstrukten vielleicht ganz am Ende damals 2 und aller spätestens in der in der den formalen Grundlagen ein so wer hat den Vorstände Lotion schon mal gesehen einfach so das Stimmungsbild ok Gott also ich kann ich darüber bin ich dazu alle anderen machen aber die die es kennen wir haben jetzt mal kurz 10 Minuten bisschen bisschen Ruhe also wie bei jeder über jeden Satz den wir zeigen wollen am Ende Voraussetzung dass es wieder eine Aussage an um eine Behauptung und die Behauptung muss damit sie dass der vollständige Induktion behandeln können wir aus in der Behauptung von der Sorte sein für alle natürlichen Zahlen geht irgendwas also die ist von der vom für alle n aus allen gilt der Aussage vom Yvonne in von 1 Aussage vom ob und wann immer sie eine Aussage haben von der Form und das gilt für alle in uns allen dann sage ich es Ihnen nicht das intime Induktion das richtige Mittel ist aber es ist zumindest was was in die Erwägung einbeziehen sollen weil es sollten weil es dann häufig ein gutes Mittel ist wie sie Induktion aus die Idee der Induktion ist es folgende lässt sich am besten bevor ich jetzt irgendwelche vorne Soldatin schreib am besten einer Droge nur Schlange verdeutlichen die natürlichen Zahlen die schöne Eigenschaft dass will schön sortiert hintereinander stehen ein Ende der nächsten schon diskret einzelne Werte sind und was man jetzt macht ist folgendes man zeigt bei der Induktion die Aussage gilt wenn gleich 0 damit hat man 0 Prozent des Problems gelöst aber muss ja für alle natürlichen Zahlen zeigen hat man schon mal eine finden unendlich viele ehren aber immerhin hat man die 1. und das ist ganz wichtiger Punkt und was man da noch Zeit ist jetzt nicht mehr vereint das ist Hilfe eines weitermachen zu 2 zu 3 1 der 4 ziemlich lang beschäftigt er was man jetzt noch Zeit ist nur noch eine einzige Sache nämlich wenn es für wenn es eine Zahl n gilt dann geht auch für die nächste dann geht's auf endlos Akt wir dass das was ich sein müssen Zweiges gilt für 0 und wenn der NGG 10 plus 1 und damit sind sie fertig weil man für 0 Geld geht es nach dem 2. nach der 2. nach dem 2. was die gezeigt haben auch für 1 damit für 1 also bis 2 damit geht für 2 also bis zu 3 also geht es hier also viel mehr Geld für alle dass die die der duktion und am besten stellt man sich das über die Domino Schlange vor was müssen sie zeigen damit die ganze Domino Schlange umkippt sie müssen 1. zeigen der 1. Stein verloren bei den immer die Dominosteine an kippt uns kein Erdbeben gibt dann fällt die nicht um mehr das ist der in uns Anfang das heißt gleich 0 funktionierte das heißt jemand stupst den 1. Stein an und dann müssen sie zeigen dass die Leute wieder -minus langen gestellt haben und das ist mir dann Landung Bushs Langeweile wenig wie Dominosteine das die nicht gepfuscht hat so heißen jeder Dominostein steht schön hinter seinem Vorgänger und ich irgendwo anders also das den geh nicht so und dann und wann das weiter und das ist denn nun zum Schluss dass es diese Aussage wenn der Ente fällt fällt auch den Fluss 1. aber wenn wir wenn sie müssen für jeden Stein zeigen wenn er fehlt schmeißen nächsten um und wenn sie das haben der 1. fällt und schmeißt sein Nachfolger und dann fällt die ganze Reihe soll zwar eine Frage die ja eher etc ist das was ich vorhin meinte man kann folgt als die Frage zum jedoch über andere Zahl man Jahr im das kein kleinstes Element gibt dann ist es mir schon wieder schwierig der da Nase aber in der geht da es extrem viel Theorie drüber sie können sogar die reellen Zahlen nur so machen sie es richtig machen sogenannte transformiert Induktion der es damals wenig wie Mais Anfaengen damit sie mal sehen was die die Idee ist und dann können sie die Idee später gern auf ganz und in Informatik ist es wichtig sie werden Induktion auf anderen Mengen als die natürlichen Zahlen haben und sie dann so haben auf nehmen Sie noch nicht mal mehr total geordnet sind so nur partiell geordneten ja also die aber er bezwang mal da an 5 das gut also das was ich gerade gesagt haben mag ich jetzt im Raster wie gesagt es sind 2 Dinge zu tun der 1. fehlt und ich den richtig Inderin andauern und hängt normalerweise mit dem leichten an und das leichte ist meistens der 1. fehlt das ist der sogenannte Induktion zu anfallen in und in den muss man jetzt begründen das Ei von 0 gilt ja also und das macht man normalerweise mit indirekten oder was also es gilt aber deswegen geht irgendwas und so weiter und sie argumentieren und am Schluss muss stehen also geht es von 0 muss man sich etwas einfallen lassen müssen zeigen Yvonne 0 geht in den meisten zumindest auf gab am Anfang ist das ein Fehler war so laut das ist der zu uns anfangen und jetzt lohnt sich das sollte man eine Induktion immer machen für diesen 2. Schritt also wenn n wenn er von allen gilt dann geht auch Yvonne +plus 1 und wir müssen sie wirklich für allgemeines machen also es nutzt nichts zu zeigen wenn er von 4 geht jedoch in von 5 er haben Sie dass der 5. Steine dem 4. steht aber das sagt nichts über den 328 steigt also müssen wir für jedes N machen und dann und sie sich noch mal ganz klar zu machen wo stehen wir also wir setzen voraus dass für irgendein n aus die Aussage des von den stimmt und jetzt kommt der 3. Teil des ist Induktionsschluss und auch hier wieder den Solutions Beweis machen diese
3 Keyword Solutions gebt uns Voraussetzungen zum Schluss die sollten den Beweis mal drin stehen also alles was unterstrichen ist sollte irgendwann mal den Beweis stehen und Induktionsschluss gehen Sie davon aus dass die Nutzung Voraussetzung gilt also eh von N und natürlich haben sie weiter ihre Voraussetzungen sind war und ihr Ziel ist jetzt das wieder argumentiert und argumentiert sie laufen bis sie durch den Irrgarten und dann muss am Ende stehen ja es muss man noch Na also Sie argumentieren dann kommt irgendwann ein Moment der muss in jedem Induktion Beweis kommen wenn er nicht kommt dann sie irgendwas vermurkst an der sie sagen wegen der Induktion Voraussetzungen also wegen von allen weil er von allen war es haben Sie irgendwas und dann geht es weiter und weiter und dann muss am Ende stehen damit Geld eh von n +plus 1 also sie setzen den Verschluss voraus die von allen gilt und an sie immer und dann muss er von n +plus 1 gelten und eine absolute eben ein ein ein Plausibilität ist schauen sich am Schluss in Beweis nochmal an und suchen sie die Stelle wo sie den duktion voraus verwendet haben und wenn sie die nicht verwendet haben ist das ein absolutes Alarmzeichen dafür dass diese Beweis der Darstellung Bubis ja hat es kann sein dass Sie sie irgendwie verdammungswürdig markiert haben Grundregeln markieren Sie immer wo die Nutzungs Voraussetzung eingeht erstens um selber sicher zu sein das ist dass dies richtig gemacht haben und zweitens für entsprechende nachvollziehen die Leser oder korrekt wäre also das ist die Grundregel Induktion in der wurde vom Voraussetzung nicht eingeht ist falsch gut also das ist die
Induktion war natürlich auch ein Beispiel ich sie nochmal von Ober hält und
machen das Beispiel aber das machen wir in Ruhe nach der Pause das kann ich ihn erst mal 10 Minuten kurz Luft wollten ob ab kann so ich würd gern in die 2. Hälfte einsteigen und für das beweist Prinzip der Induktion sogar 2 Beispiele zeigen denn als 1. den absoluten schnellen Klassiker und zweitens eine etwas weiter er gutes Beispiel bevor ich damals das mache ich noch
eine Bemerkung loswerden Zuneigung 5
4 ich habe ihn die Induktion hier formuliert für natürliche Zahl die beiden losgehen und Induktion es anfangen das er von 0 wahr ist das geht ein bisschen allgemeiner weil wenn sie sich wieder die Dominos lange vorstellen dann funktioniert das natürlich auch wenn also wenn Sie wenn wir nur lange nicht das heißt Induktionsschluss geht deutlich und sie stoßen jetzt nicht im nullten Stein an sondern weil sie dazu keine Lust haben den 5. 5 wie das natürlich auch also dürfen auch dann uns Anfang mit allen gleich 5 machen dann kriegen sie halt dass für alle n größer gleich 5 die Aussage gilt ende der zum Schluss richtig denn das kommt manchmal vor weil es eben einfach aus Aussagen gibt wo die 0 oder die einzeln die Spielverderber sind im Bus nicht klappt aber 2 gehts gut also zum Beispiel können Sie eben auch solche Behauptungen von der Form für alle n größer gleich der Zahl n 0 geht es von allen wenn er nur halt irgendein Staat wird in allen ist die können Sie auch per Induktion machen Induktionsschluss wie vorher und die Nation sein Verhalten Enyo ist dann 0 ja und das was wir vorhin gesagt hatten sie können Induktion noch auf allgemeineren Strukturen machen was man halt braucht um nur noch zu und zu machen ist irgendwo wo man anfangen kann und ist ohne Struktur das einst Mitte nächsten zusammenhängt müsse die sich durch die gesamte Struktur ehren Oppeln können von einem Punkt zum nächsten das kann sie auch verzweigen oder so das ist aber das man in dieser Folge so wie ich das machen war alle höchstens ganz am Ende von Mathe 2 und sonst kriegen Sie da einen formalen Grundlagen was zu sehen so jetzt aber Beispiele das 1. ist der absolute Klassiker für den
Options Beweis die endliche Summenformel der 1. in natürlichen Zahlen also meine Behauptung ist für alle allen aus allen Sternen gilt 1 plus 2 +plus 3 +plus 4 +plus 5 bis n bis Ende Mai in +plus 1 halbe was die Behauptung also wenn sie die 1. 37 natürlichen Zahl addieren 1 +plus 2 +plus 1 bis 37 dann ist es 37 mal 38 halten so oder so aber beweisen und das war der Induktion der setzen Fall ohne Induktion geht indirekten Beweis kann man ja auch relativ leicht finden wenn man es wenn man sich an die er wir das grauslich glaubt aus an die Anekdote von von Carl Friedrich Gauß erinnert da gibt Anekdoten da weiß man wirklich nicht die stimmen aber eine Anekdote von Ihnen das in der in der Schule war und der Lehrer hatte keine Lust sich um die Klasse zu kümmern und hat ihn die Aufgabe gegeben so und alle Zahlen von 1 bis 100 zusammenzählen und dann hat er meine halbe Stunde Ruhe und Gaus kamen nach 3 Minuten dem und hat man gesagt 5 Tausend 50 und da war etwas genervt und Gas Idee war es jährlich 1 +plus 2 +plus 3 +plus 4 sollen erzählt 1 +plus 99 und 2 bis 98 und 3 +plus 97 und 4 +plus 96 zusammen damit das übersichtlich aber man kann man das sehr schnell sehen und auf die Weise kann man das auch direkt beweisen aber ich will Ihnen allen nicht nur zu uns Beweis davon zeigen die sind beide ungefähr gleich lang insofern ist das wurscht also was wollen für den Options Beweise brauchen wird uns anfangen schauen Sie für die Orientierung auf die Folie in dem Fall ist das jetzt schon so ein Fall dann eine Aussage für alle aus den Stern also den Fall machen wir den Options Anfang für n gleich 1 wenn sie versuchen das was dasteht wenn gleich 0 hinzuschreiben haben Sie mir zu formieren sie von 1 bis 0 was ist echt was das soll also sinnigerweise 0 aber diskutieren Sie haben aber eins an Saar was ist n gleich 1 auf der linken Seite der Gleichung 1 +plus und so weiter bis 1 1 da hat die linke Seite hat nur einen so meinten und das ist das was sie wenn du zu uns beweisen oft haben das in der Induktion zu Annahme die Aussage die steht banal des total einfach ist so was steht auf der rechten Seite steht für n gleich 1 1 mal 1 plus 1 halbe und wenn man da länger draufguckt und richtig rechnet kommt auch 1 raus ja und Sie sehen das ist das selbe also das klappt nur so wenngleich 1 stimmt das zwar das ist jetzt den Options Voraussetzungen ja dies steht auch auf der Folie für ein n aus allen die Behauptung also wir wissen jetzt dass für ein bestimmtes n aus den Sternen gilt das wenn sie 1 +plus 2 +plus und so weiter +plus n ausrechnen dann kommt da einmal im Plus 1 halbe aus zart das ist Induktion Voraussetzungen jetzt kommt Induktionsschritt Induktionsschritt was war das
mal das war dieser Argumentation wenn die Nutzungsphase gilt also werden die Aussage geht dann gilt ja auch für n +plus 1 also was müssen wir machen die Aussage 4 n +plus 1 nach ritzen also das schauen wir uns an wir schauen uns an diesem 1 +plus 2 +plus und so weiter +plus n +plus 1 +plus 1 da das ist die Summe aller Zahlen bis n +plus 1 so und jetzt kommt der Moment wo man immer schauen muss jetzt muss irgendwie gesagt Induktion Voraussetzung eingehen für jetzt irgendwie in dem was sie untersuchen das finden worüber sie was wissen worüber wissen wir was wir wissen dass wir die Reise von über die Summe 1 +plus 2 +plus und so weiter bis in und die finden wir geschickterweise genau hier also diesen Options Voraussetzung hier geht sie ein wie gesagt markieren Sie mal wo die Nutzungs Voraussetzung eingeht das das das selbe ist wie n +plus 1 Haider +plus n +plus 1 so und jetzt ist es nur noch Außenhaut bringen das ist 1 plus 1 +plus 2 1 +plus 2 Alben das ist jetzt elementare Bruchrechnung so und dann muss man das ein bisschen sortieren der Name das Amt schlechtesten verwies schon nicht schlau gemacht ich schreib das mal so also wenn man n +plus 1 +plus 2 mal 1 plus 1 und dann können Sie das Auseinandernehmen als n +plus 1 oder ausklammern als M +plus 1 mal 1 +plus 2 2 bis 7 noch deutlicher hin das ist n +plus 1 mal n +plus 1 +plus 1 halbe nicht viel passiert nur 2 geschrieben als 1 plus 1 aber wenn Sie es so haben dann sehen Sie dass das genau das ist wo wir hin wollen nun müssen zeigen die Summe über die Zahlen von 1 bis n +plus 1 ist jetzt der Ausdruck in der steht noch in der Luft Voraussetzung haben sie noch der Ausdruck der da steht aber mit etwas 1 werden n +plus 1 mal 1 plus 1 plus 1 halte damit sogar schon fertig was die die Induktion angezeigt wenngleich einstellen zu werden gezeigt wenn es denn stimmt stimmt 10 +plus 1 und darauf die nur Schlange durch Siemens für alle so das ist das 1. Beispiel und das 2.
dreht sich um die Mächtigkeit der Potenzmenge also sehr eine endliche Menge und die Behauptung es jetzt werden Sie von dieser Menge die Potenzmenge die Menge aller teilnehmen wenn man eigentlich ist dann hat die man auch nur endlich viele Teilnehmende die Frage ist ja wie viele und das kann man zum Glück ganz genau ausrechnen nämlich die Anzahl der Elemente der Potenzmenge ist genau 2 hoch die Anzahl Elemente von ja Aussage die sogar für die leere Menge gilt die Potenzmenge der leere Menge enthält das Element leere Menge ist ein Element dich ja wir nun Elemente 1 und 1 ist 2 hoch 0 passt das ist übrigens schon in Ozons Anfang H und das beweisen jetzt per Induktion nach und was dann mal an diesem Beispiel nicht nach innen sondern nach der Anzahl der Elemente von innen mal bei dem Beispiel schon sieht ist das manchmal Induktion ein bisschen versteckt sind ich hatte vorhin gesagt Induktion sollten Sie mal in Betracht ziehen wenn die Aussage von der Frauen ist für jede natürliche Zahl geht irgendwas das ist hier nur sehr versteckt der Fall war besteht im Prinzip für jede natürliche Zahl der Mächtigkeit der Menge M entspricht dies das war immer und damit kann mir das auch per Induktion angehen so also wenn man Induktion nach der Mächtigkeit der Menge das heißt wir zeigen zunächst dass die Aussage gilt für alle Mengen der Nichtigkeit 0 das sind nicht so arg viel und dann zeigen wir wenn die Aussage gilt für alle Mengen der Mächtigkeit enden dann gilt sie auch für alle in der Mächtigkeit n +plus 1 nein sie mal fertig das ist der Nutzungs Beweis also Induktion zu Anfang Induktion zu
Anfang eben die Aussage gilt für alle Mengen der Mächtigkeit 0 also die Mächtigkeit von sei jetzt 0 so was ist dann wenn 0 wenn die Mächtigkeit von nun ist dann heißt das hat kein Element dann kennen wir was wissen wir was er müsste gibt sich so viele Mengen für die das gilt da zu 1 das ist die Lehre so was ist die Potenzmenge der leeren Menge die Potenzmenge der leeren Menge hatten uns überlegt ist eine Menge die leere Menge enthält weil die leere Menge der Teilmenge der leeren Menge ist aber eben auch die einzige das heißt die Menge aller Teilmenge der Menge ist die Menge die leere Menge enthält so was uns interessiert ist die Mächtigkeit der Potenzmenge also die Mächtigkeit hier vorne das ist 1 1 ist 2 hoch 0 und 2 hoch 0 bis 2 hoch Mächtigkeit in also ist den Options Anfang ok es kommt den Options Voraussetzung wenn man das heißt wir unsere Aussage gilt für ein n aus allen in also wir haben das die Mächtigkeit der Potenzmenge von allen gleich 2 hoch die Mächtigkeit von allen ist für alle man n mit n Elementen in in den davon aus während die Aussage gezeigt für alle allen Menge mit Elementen dann sehr tatsächlich lange Zeit für eine Menge 0 1 und so kann man es nachher hochrangigen so was wird zeigen müssen im Induktionsschluss Voraussetzung von oben gezeigt für alle Mengen mit Elementen jetzt muss es auch gelten für alle Menge mit n +plus 1 1 n also sei Ende Menge mit n +plus 1 Elementen dann ist auf jeden Fall nicht leer weil selbst wenn er 0 war es endlos 1 man mindestens 1 also ist nicht länger und jetzt werden wir uns weiß nicht leer ist können wir 1 X aus fest er der es nicht mehr es gibt also nächstes wir suchen sich irgendeines außen das halten wir fest und wenn sie das haben definieren und zu neuen Menge Denken das ist eben der ganze Rest also XM ohne das X viele Fragen also wenn sehen das führt zu dem Ziel wie kommt man jetzt darauf sich Graz diese Menge zu definieren das ist das Grundproblem von jedem Beweis wie kommt man drauf in dem Fall ist die Begründung wir wollen Induktion Voraussetzung an denen wir wollen sie bei den Options beweist immerhin sie müssten Voraussetzung an den Mehr die Nutzung Voraussetzung sagt was man der Mächtigkeit enden sie eine Menge Möglichkeiten +plus 1 und sie brauchen eine Mächtigkeit enden also schmeißen sie eine Mehr daraus war damals Nichtigkeit in klar dass die die also diese Menge n die hat jetzt Mächtigkeit enden ja also die Anzahl der Elemente von allen ist jetzt kleine Hinweise eines weniger hat als also wissen wir schon
was die Mächtigkeit der Potenzmenge von allen ist die ist 2 Wochen die Mächtigkeit von allen also 2 hoch N nach Induktion voraussetzt und es gehe an den weil man hat die richtige Mächtigkeit und dann zum Mars werde sich erst noch zeigen will das schreib ich mal so zu als zwischen Behauptung auf ein und wenn wir das haben dann was im Prinzip ich behaupte die Potenzmenge von ist die Frage die Potenzmenge von mit der Potenzmenge von allen zusammen natürlich den Wochenenden wissen was denn die Frage spielen die Potenzmenge von eng mit der von Ihnen zusammen und ich behaupte dass es da sind alle die drin die zur Potenzmenge vollenden wir Teilmenge von also sind diese nicht dass jede Teilmenge von N auch eine von ihr müsst aber natürlich noch ein paar mehr nämlich eine Menge der Form vereinigt mit X wobei aha eine Teilmenge von ins das ist Fibo wovon bewusst der Banalität wenn Sie hier im haben wenn der Xtra aus lassen jetzt man von denen entweder jede Teilmenge enthält das X nicht denn sind Teilmenge von allen oder 7 hält das X dann ist sie aber von der Frauen Teilmenge von dem von dem restlos das X kann und dass das was hier steht so und das müssen wir natürlich eigentlich beweisen dass es die Intuition warum das gilt als diese Mengen Gleichheit zwischen Behauptung ich mache man gleichzeitig 2 Inklusion also wir zeigen zunächst per von ist da drüben drin enthalten wenn B in der Potenzmenge von MS dann gibt es in 2 Fällen
entweder X gehört zu werden es gehört nicht zu wählen man erst nix gehört zu gehen dann schauen uns die Menge des gut an dass es genau wie ohne das X wie gut ist jetzt eine Teilmenge von MDR x nicht enthält also Teilmenge von X in Teilmenge von das heißt das Ding ist aus der Potenzmenge von Herrn also ist B aus dieser Menge aller Teilmengen von allen vereinigt mit X nur es an nehmen Sie das beruht und dann ist Perot vereinigt mit x genaues Bild nun und was darin ist in der Vereinigung rechts drehen und wir sind fertig 2. Fall das X gehört nicht zu gehen Na ja wenn's X nicht zu B gehört ist die Sache einfach dann ist nämlich binnen Teilmenge von N n Weiher im ohne das X also ist ein B aus der Potenzmenge von allen und in jedem Fall ist es den entweder und den Zwängen von allen oder in dieser Menge der vereinigt mit aus der Potenzmenge von aber die Inklusion die eine Inklusion was uns noch fehlt ist die andere Inklusion das uns überlegen dass jede dass die Potenzmenge von allen in der Potenzmenge von enthalten ist und dass diese 2. Menge dann der Potenzmenge von enthalten ist wer das aber alles nicht wer Potenzmenge von ende sind einige von ihnen also es jede Teilmenge von in eine Teilmenge von innen damit haben wir das die Potenzmenge von denen der Potenzmenge von enthalten ist und auch in den 2. den stehen nur Teilmengen von innen drin also das ist die einfache Richtung und jetzt muss man sich noch 1 überlegen im Prinzip dass man ist man jetzt versucht zu sagen damit haben was tun im sag was uns interessiert ist die Mächtigkeit der Potenzmenge von sie haben darum wie können Sie als Vereinigung von den beiden Menge schreiben die Mehr liegen also die Potenzmenge von N die wissen hat zwar auch Elemente in der Menge rechts sind auch 2 auch Elemente drin nämlich immer jeweils alle von The von denen das X dabei zweimal 2 auch ist zwar auch im +plus 1 das ist dann ok wenn diese beiden wenn stehen keine gemeinsamen Elemente enthalten und das muss man so überlegen dass das nicht der Fall es also auch
außerdem gilt das wenn sie sich eine potente allen Teilmengen von entnehmen und diese anderen die sie kriegen indem sie jede Teilmenge von allen noch mit X vereinigen dass sie dabei nicht zweimal das selbe erwischen also dass der Schnitt leer ist und warum ist das so das liegt daran dass x nicht in allen ist er nicht reden und jede Menge in diesem rechten Teil drin liegt also jede Menge die von der Form A vereinigt X ist mit Teilmenge N in der X und jede Menge die dem linken aber den Potenzmenge von innen drin ist enthält X nicht also können ganz gerne in den beiden belegt aber es sich mit Lea und jetzt können sie tatsächlich Übungsaufgabe ziehen im Skript war dass die 2 8 und auf Übungsblatt war das auch eine Nummer sie kriegen die Mächtigkeit der Potenzmenge von allen als die Mächtigkeit dieser Vereinigung das Hammer festgestellt Brot das war die zwischen Behauptung die Mächtigkeit der die Potenzmenge ist genau die Vereinigung dieser Potenzmenge von allen und der Menge aller Mengen die sie kriegen wenn sie zudem vor den den man aus der Potenzmenge von in jeweils das X zu packen so davon die Mächtigkeit und jetzt war diese Übungsaufgabe dass sie die Mächtigkeit der Vereinigung kriegen als die Summe der Mächtigkeiten -minus die Mächtigkeit vom Schnitt also die Mächtigkeit von P von allen +plus die Mächtigkeit von dieser Menge A vereinigt X so dass er aus P von Engeln und das Ganze -minus den Schnitt also -minus die Mächtigkeit nach der Menge P von allen geschnitten mit vereinigt X so dass aus der von allen das Dinge hatten wir gesehen es nur weil es die leere Menge ist das ist 2 hoch N nach
Induktion Aussetzung das 2. ist 2 hoch N weiß genau so mächtig ist wie die Potenzmenge von allen das ist 2 mal 2 Wochenenden dass es 2 hoch n +plus 1 und das ist 2 hoch Mächtigkeit von und sind fertig so das war jetzt ein bisschen komplizierter denn Options beweist gleich zur Sicherheit Induktionsfeld Weise von der Sorte vom 1. ich vorgeführt hab müssten sie in einer Woche selber führen können diesen 2. der ist mir klar ist auch außerhalb der momentan Reichweite als ich würde jetzt nächste Woche nicht erwarten dass sie mir einen entsprechenden runter beten oder selber zusammenstückeln der ist einfach dazu da um zu sehen dass dieses Verfahren an an den Stellen verwendet werden kann und das ohne Luxus beweist durchaus auch was längeres sein kann dafür kriegt man ja auch nie wirklich starke Aussage für Angebote die Mächtigkeit der Potenzmenge exakt für jede endliche Menge zur zur das war die Abteilung beweist Prinzipien das ist zum Querschnitts Kapitel auf das wir immer auf das wir eigentlich nie zurückkommen und trotzdem ständig weil wir natürlich dort beweisen werden und dementsprechend lohnt sich darüber Gedanken zu machen an der Stelle nochmal die Werbung für den Treffpunkt Mathematik nächsten Montag der sie auch noch mal dem Thema widmen wird und die Werbung für die Übungsblätter und alle weiteren Übungs Methoden dazu 1 gibt für mich in der Vorlesung ist anders der letzte Abschnitt 1 beendet wie gesagt dieser Abschnitt 1 steht unter der Überschrift mathematische Sprache Grund Konzepte mit denen wir arbeiten werden und so viel fahren wir jetzt mit dem Stoff an das ist natürlich die weil das auch alles Stoff war ist mir schon klar aber des ich will sie einfach dafür sensibilisieren dass das was wir bisher gemacht haben der Teil über den sie sind 2 Jahre nicht mehr nachdenken werden war nicht mehr nachdenken sollten das ist sozusagen was er will sind die Grundlagen mit denn das sind die Werkzeuge mit denen man hinterher arbeitet von dem man sich dann auch gar nicht mehr so genau überlegen wir warum jetzt funktionieren und was jetzt kommt die sozusagen der Inhalt das was man dann damit anstellen kann so und das nächste Kapitel das Kapitel 2 ist überschrieben mit algebraische Strukturen und wir wollen im Wesentlichen 3 davon behandeln das sind Gruppen Ringe Körper und das ist es was eine Überschrift nicht für die meisten von ihnen genauso hätte auf Chinesisch oder es so hinschreiben können wenn es sein könnte was ist damit gemeint damit ist gemeint oder das womit man sich beschäftigen werden in den nächsten Wochen ist eigentlich die Frage nicht wie rechnet man sondern was ist rechnen was ist eigentlich das was wir tun wenn wir rechnen was ist die Struktur hinter und wie kann man das abstrakt beschreiben was rechnen ist und warum tut man das weil feststellen werden natürlich kann mit Zahlen rechnen und wir wissen alle wie das funktioniert aber man kann auch mit ganz anderen Dingen rechnen man kann mit Transformation der Ebene und des Raumes rechne man kann mit 7 Betrieben rechnen man kann mit Funktionen rechnen und wenn man dann genauer hinguckt stellt man fest dieses rechnen mit den Dingern verhält sich an vielen Stellen sowie das Rechnen mit Zahlen aber das merkt man im 1. Mann das Rechnen abstrahiert und von der Zahl der geht also wenn man die Zahlen klebt merkt man nicht dass man eigentlich viel mehr kann als mit Zahlen rechnen und deswegen müssen wir das Rechnen 3 dann stellen wir fest kriegen Strukturen die universell sind in dem Sinne dass sie unser Rechnen mit Zahlen beinhalten aber eben zum Beispiel auch das Rechnen vor Symmetrie Eigenschaften im Kristall also die dass ich jetzt hier mache es durchaus ein von hoher Anwendungen der Chemie in der Kristallographie witzigerweise ehren und dazu müssen wir uns abstrakt überlegen was heißt denn das rechnen und ich will jetzt gar nicht sofort abstrakt einsteigen sondern wir fangen da an wo sie sich auskennen und das ist der Abschnitt 1 er rechne erst mal in einer Struktur die wir gut kennen und zwar einen ganzen Zahl und schauen uns die Begriffe Primzahlen und Thailand da sollte auch mal jeder sich so was drunter vorstellen kann aber die Idee von den Abschnitt ist durchaus schon wenn man uns mal klar dass es Strukturen anrechnen gelten um dann hinterher zusehen wie können wir das abstrakt fassen so aber jetzt wie gesagt der dessen Sie erst mal ihre Angst von abstrakten beging ganz konkret nach Z ich hatte
die Primzahlen Taylor angekündigt also definieren wir das Definition 1 1 nehmen Sie sich mal 2 ganze Zahlen a und b hier und deshalb hier die aus Endes dann definiere ich erst was es heißt eine zahlt halt eine andere also wir sagen P teilt aber und das haben wir schon ein 2 Mal als ich sie mit gerade und ungerade um mich geworfen hat was bedeutet das geht halt das bedeutet es gibt mit Zahl in den Z so dass Sie das schreiben können als mal P wenn sie schreiben kann dass er PSP in Teile von A oder anders gesagt geht halt wenn Sie aber morgens auf 4 Kinder verteilen können ohne dass Streit gibt und mit oder ohne dass sie dann die restlichen 3 aufessen müssen und dafür gibt es in Notation wissen wir täglich fast alles in Kürze GP teilt schreibt man meistens P teilt er mit zum strich es heißt aber nichts anderes als geht halt an zwar das ist die 1. Definition des kommt die Definition Primzahl also
betei B die Zahl PI aus allen sofern sie den größer 1 ist merke 1 Nine Primzahl und nennt sich Primzahl falls denn nur durch 1 und sich selber teilbar ist und das ist jetzt keine überraschende Definition die Zahlen nur durch sich selber und durch 1 teilweise Primzahlen 1 ist keine da gibt es mal wieder Missverständnisse und dann ich als letztes noch den größten gemeinsamen Teiler definieren üblicherweise GGT abgekürzt das ist der größte gemeinsame Teiler von 2 Zahlen sind 2 Zahlen a und b der größte gemeinsame Teiler nach ist mehr als wir sowas in alle Tyler was sind gemeinsame mit gemeinsame Teile sind alle die natürlichen Zahlen die sowohl A als auch B teilen nun also suchen sich andere die Zahl die A und B Teil dessen die gemeinsamen Teiler macht Sinn das sind heilige von allen die nur endlich viele Elemente hat weil natürlich wird kein Teile von A und B die in der Größe S B ist wir also sehr möglich ist ich Stück da drin und seinem Anfang beider Ordnungsrelation in dem Abschnitt mal gesagt eine schöne Eigenschaft die natürlichen Zahlen ist jede endlich in den Garten Maximum und dieses Maximum ist der geht er die maximale Teile von beiden Zähler also DDT steht für größter gemeinsamer Teiler 1 sind von A und B und wenn wir im Z unterwegs sind dann ist es relativ ruhig klar was mir rechnen gemeint ist wir können addieren wir können multiplizieren wir können subtrahieren von es wird alles gut und die einzige die einzige Rechenoperation bisschen lästig ist das Dirigieren und das macht die ganze Arithmetik und das ganze rechten zu ätzend mit sind sie aber Informatikerinnen und Informatiker und die müssen viele Z rechten Hand und da muss man sich überlegen wie das dann mit dem dividieren ist und das Problem am dividieren ist bekanntermaßen das ist eigentlich richtig geht im Zelt war weil einzig 2 hat aber keine ganze Zahlen und deswegen gibts die sogenannte Division mit Rest doch das ist wahrscheinlich keine weltbewegende Neuigkeit was man sehen wenn sie 35 Baum morgens auf 7 Kinder für das vielleicht 35 ,komma auf 6 Kinder verteilen müssen und da sieht ,komma 6 Kindern kriegt jedes Mal 5 2. Sache einfordern beim 5 übrig Energie die Prügelei los genau ehren und das ist genau Division mit Rest das kann schon die vierjährigen nur dass dies nicht so nennen also und dann kommen sie immer noch auf die glorreiche Idee da muss aber wie die 5 restlichen essen also seiner auszählt und wie aus in Sternen also als der ganze Zahn besten natürliche Zahlen nicht 0 warum nicht nur weil ich dich Pétain teilen will und durch 0 Teil des der das wissen sie auch alle und die in 2 Wochen wissen sie auch warum durch 0 teilen der ist unter gar nicht zu retten ist zwar an und dieser Satz sagt wenn sie der ganze Zahl und mit und der natürliche Zahl n haben die nicht nur das dann können sie eben mit Rest teilen das heißt dann gibt es eindeutige währte Kuh in Z und er war und ist eines der 1. Akku ist der Quotient und 1. 1. Buchstaben sind nicht zufällig gewählt der 1. ist nicht irgend der ganze Zahl sondern ist eine Zahl zwischen 0 und minus 1 in Mehr B ja spielen nicht übrig bleiben Biebrich sind können sie nochmal verteilen und was bedeutet jetzt dividieren Mitte-West bedeutet dass ihre aber morgens kann es auf die die Kinder
verteilen sodass jedes Kunststück regt und es bleiben Dämmung also beispiele nur sie am 23 Bonn morgens um 5 Kinder die die verteilt kriegen sollen und dann in einem wissen sehr was rauskommt jedes Kind kriegt hier wo morgens um 3 bleiben übrig also 23 geteilt durch 5. 4. 3 und was dieser Satz hier sagt ist diese Division mit Rest bis Z mir vernünftig erklärte Aktion spricht da kommen immer eindeutig bestimmte Werte aus das wird nicht überraschen aber trotzdem ist es für den Mathematiker entscheidend das einmal gesichert denn zu schreiben und auch zu beweisen und diese Quotienten Westring jetzt noch den Namen die Sie eben tragen also wenn Sie so ne ganze Zahl Z haben und natürliche Zeit wegen nicht 0 ist dann kriegen Sie dazu den Coup und den er in den 1. Satz 1 2 und dann heißen eben dieses Q und dass er Quotient und ist also dann heißt Coup der
Quotient und Ehre der 1. der Division von A durch Bill natürlich können Sie auch einfach dadurch Bildzeilen Siku sind in diesem Buch raus aber in dem Moment ist natürlich die Idee ist die Idee unsere diversen ist steht was Z 4 einfach nur ganze Zahlen sie haben der Herr Eure Mufti redete Variablen zu verfügen um mit denen sie auskommen kann dann ist das die richtige die richtige Möglichkeit zu teilen Division mit Rest also das sind kurz in Rest der Division von a durch b und die kriegen auch wieder jeweils 1 hat nenne vor der Farmer Notation dieses Q schreibt man üblicherweise als durch Demenz zur Klammer um in diese Klammer soll das denn unterscheiden von dem Buch A durch B denn gibt's natürlich auch also ich bin mit der die ist eben der ganz alte ganzzahlige Quotient von A und B und das er schreibt man als aber modulo B also dass er ist der 1. bin ich aber ich Bildteile und dann schreibt man das am und bin so dann muss man jetzt den Satz 1 2 beweisen da finden sie den weißen Skript und ich hab geschlossen der Stimme in der Vorlesung zu sprengen das heißt denn es war ich Ihnen und mir wenn wenn man interessiert und wer noch mal einfach plustert sich weiß anzuschauen ist herzlich eingeladen aber für die Vorlesung ist der erstmal irrelevant wichtig ist das sie mitnehmen dass es diesen Satz gilt und das ist das der die Division mit Rest eindeutige Ergebnisse liefert für jedes Paar a und b aus Z und aus gebratene ne also immer das darf gern Applaus dafür sein dass dem Beweis Glas ist ok aber nicht dafür dass ich jetzt 6 Minuten vorher für ich lass diesen Beweis ja nicht weg er ja wir sind weg weil so
wahnsinnig in Berlin er dann muss ich das jetzt auch noch so ein wenig die 6 Minuten verstreichen lassen kann ich noch den Beweis zeigen so diese ganze 7 Summe führt uns auf etwas was in alle die die jetzt hier von den höheren Semestern sitzen bestätigen werden dramatisch ständig vorkommen und was sie auch bald selber dort laufen erleben werden eben rechnen in ganzen Zahlen und die sogenannte modularer Arithmetik auch wieder ein tolles Wort ich sage Ihnen gleich was das ist also modularer Arithmetik morgens im Prinzip geht es jetzt eben dieses rechnen in Quotienten und Dresden das heißt worum es geht ist die Frage wie kann man mit diesen Quotienten und mit diesen Resten rechnen und sie werden dann feststellen dass es ihnen eigentlich total vertraut man es normalerweise nicht so also wir werden jetzt ein für alle Mal über dieses Kapitel 1 n aus N Stern fest das ist das Ende das Teil dass das was gerade das B war also der dieses endet jetzt ganzzahlig geteilt und dann gibt es jetzt das 1. Mal Einsatz mit Rechenregeln für das Mono also egal welche A und B aus setzte sich nehmen gilt Folgendes wenn Sie die beiden Zahlen addieren a +plus b und dann schauen was ist der es Moto so enden dann können sie das machen oder sie machen Folgendes sicher schauen zuerst was ist der Rest von an Un und was ist der 1. von B oder einen und addieren diese beiden Reste und die Behauptung ist da kommt das gleiche aus nicht ganz wenn Sie das gemacht haben könnte es sein dass dieses nur das wenn in 5 ist das modulo 5. 3 und dem nur 5 bis 4 dann steht ja recht 7 das kann natürlich nicht stimmen weil 7 ist niemals Restmuell wenn er nur 5 das heißt was wir machen müssen ist müssen die am Schluss nochmal Module rechnen aber also was ich denn diese können entweder die beiden Zahlen addieren und dann modulo rechnen oder sofort modulo jeder einzelne Rechnern und an dem der 1. addieren und das Gleiche gilt nicht nur für agieren so noch für multiplizieren ob sie zuerst A mit B multiplizieren und dann den Rest modulo Ende rechnen oder ob sie zuerst den Rest von Arbon un berechnen und den Rest von B Modelo Ende rechnen diese Zahl multiplizieren und nochmal Modelo n rechnen das ist egal und das ähnliche gilt noch für die Potenz wenn sie hoch her haben modulo n dazu sollte B aber bitte schön positiv sein dann können Sie entweder auch der Ausgleich und dann wurde un rechnen oder sie dürfen auch 1. an und un reduzieren und das Hochbett nehmen und dann wurde nur einrichten hier ist bitte schön B zumindest mal aus n so Nahrung ist es toll wenn das ist deswegen toll weil es ihnen viel Rechenzeit Sport also der mit ganz Wahlarithmetik aber bei vielen Programmen zu tun und mit dem Molo von der von doppelt und das ist eben in sich insbesondere den 10. Theil angucken den Unterschied ob sie eine fünfstellige Zahl hoch nehmen und dann der Rest ausrechnen oder ob sie die fünfstellige Zahl 1. Modelo rechnen dann kommt 3 raus und dann müssen Sie 3 hoch nehmen das ist es mir welchen Unterschied Mehr und was in dieser Satz ermöglicht es wenn sie am Schluss von einer ich lange Rechnung sie am ein Ausdruck der geht über 4 Zeilen und sie interessieren sich am Schluss aber nur für den Rest Molo 100 so leise wie die 2 letzten stellen oder sowas dann müssen Sie nicht den ganzen also ausrechnen Einfluss Molo oder nehmen sondern sie können nach jedem Rechenschritt nach ihrem +plus nach jedem mal bei jedem potenzieren egal wo immer erstmal modulo rechnen und dann weiter rechnen das heißt sie rechnen nie Zahl die größer als 100 sind und das ist viel Speicherplatz zuträglich gut den Teil dieses Satzes werde ich in der nächsten Vorlesung beweisen und dann werden wir mit der modulo allmählich weiter machen so weit wir das
Äquivalenz
Neue Mathematik
Formation <Mathematik>
Aussage <Mathematik>
Äquivalenzklasse
Implikation
Zahl
Summe
Natürliche Zahl
Zahl
Linie
Quadrat
Natürliche Zahl
Mathematiker
Aussage <Mathematik>
Strukturgleichungsmodell
Zahl
Quadrat
Momentenproblem
Natürliche Zahl
Binomische Formel
Zahl
Gradient
Momentenproblem
Grundraum
Streuungsdiagramm
Indirekter Beweis
Mathematische Größe
Quotient
Irrationale Zahl
Natürliche Zahl
Aussage <Mathematik>
Zahl
Quadrat
Multiplikation
Ganze Zahl
Rationale Zahl
Mathematiker
Grundraum
Geometrie
Quadrat
Zahl
Natürliche Zahl
Bruch <Mathematik>
Gleichung
Zahl
Indirekter Beweis
Mittelungsverfahren
Punkt
Momentenproblem
Reelle Zahl
Plausibilität
Natürliche Zahl
Vollständige Induktion
Reihe
Induktionsschluss
Zahl
Punkt
Natürliche Zahl
Aussage <Mathematik>
Induktionsschluss
Struktur <Mathematik>
Zahl
Bruchrechnung
Summe
Gauß, Carl Friedrich
Momentenproblem
Natürliche Zahl
Klasse <Mathematik>
Gleichung
Zahl
Indirekter Beweis
Teilmenge
Endliche Menge
Menge
Natürliche Zahl
Potenzmenge
Element <Mathematik>
Teilmenge
Menge
Potenzmenge
Inklusion <Mathematik>
Richtung
Ebene
Primzahl
Potenzmenge
Rechnen
Zahl
Querschnittsanalyse
Teilmenge
Summe
Algebraische Struktur
Endliche Menge
Menge
Ganze Zahl
Symmetrie
Mathematiker
Raum <Mathematik>
Schnitt <Mathematik>
Struktur <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Größter gemeinsamer Teiler
Primzahl
Quotient
Natürliche Zahl
Maximum
Arithmetik
Neun
Zahl
Division
Taylor-Reihe
Ende <Graphentheorie>
Energie
Ganze Zahl
Ordnungsrelation
Variable
Momentenproblem
Ganze Zahl
Quotient
Eindeutigkeit
Gruppenoperation
Mathematiker
Division
Summe
Exponent
Rechenbuch
Ganze Zahl
Quotient
Arithmetik
Strukturgleichungsmodell
Zahl

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Beweisprinzipien
Serientitel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 04
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/33605
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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