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Konvergenz in normierten Räumen

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sie haben an der TU Darmstadt oder
malen guten Morgen und herzlich willkommen zum Finale noch mit der Überschrift Konvergenzen normierten räumen also 1. übergegangen von Konvergenz er was für den letzten Wochen gemacht haben zu Konvergenz in Vektorräumen einen man sollte man denken an der in der ich jetzt zum Teil bis allgemeiner machen aber er ist immer gut zu machen ist immer der Modellfall und dann schon gesehen glaube Konvergenz reden wollen brauchen wir Abstände das heiße brauchen Normen wir schauen es wegen das Ganze normierten Räumen an und ich hatte letztes Mal am Schluss noch definiert was Konvergenz ist und es hat sich ausgestellt war einfach weil wir denn die Definition dürfen hatten und schreibe über Radar Grundbetrag wahrgenommen und alles ist gut und mit dem Programm kann man weitermachen und als nächstes den Begriff der Beschränktheit übertragen das Definition 6 2 wenn Sie eine Teilmenge von Frau haben Frau wie gesagt in dem Abschnitt immer am normierte aber Vektorraum dann sind die beschränkt wir hatten eine Menge von Ehre beschränkt benannt wenn Sie eine Konstante C finden so dass alle Elemente Betrag kleiner gleich C haben mehr als jemals wenn Sie Konstante c finden so dass alle Elemente noch ein kleiner gleich sie haben wir ist ist immer die Idee ist immer das gleiche sie ersetzen die Beträge durch Normen und alles ist gut ich meine natürlich kann man nicht beliebig alles rüberziehen das Gleis wo zum Beispiel die Grenze ist es sobald sie würden was mit Monotonie in erhaben Molotow in ihm Vektorraumes bisschen schwieriger weil dazu müsste man wissen was kleineres größer ist kann aber sein dass eben und die Definition Vikram Konvergenz und so weiter geht dort einfach Norm durch Betrag ersetzen der Betrag durch Normen setzen gucken wir uns mal ein bisschen ein Beispiel an sie haben an der Stelle jetzt den Übergang von Ärzte ändern Sie den Betrag durch die Norm setzen natürlich würde Wahl weil verendet starben Raum leider verschiedene Namen aber wir werden später sehen dass zumindest sagen sie immer n sind das eigentlich eigentlich gar nicht so arg stört aber natürlich müssen werden sie immer dazu sagen welche Normen nehmen und ich will jetzt ein Beispiel machen in den er 3 wir nämlich die 2 um die gewöhnlich Abstands Norm sollen die einst Nahrung also dass war diese man hätten noch mehr zusammen wenn sie von da nach da wollen müssen sie so zählen +plus so 5 Blocks Ost 3 Blocks Mord also noch mal zur Erinnerung dass bei die 1 nahm von Vektor das war einfach die Summe in dem Fall von 1 bis 3 über die Beträge der Komponenten könnten sondern schauen uns folgende Folge 1 das die Folge 1 1 durch N N -minus 1 durch allen nur das ist ne Folge im Erdreich jedes Ende System weckt immer 3 1 folgende 3 und die Frage ist jetzt natürlich konvergent oder nicht ,komma Gent und wenn ja wogegen und sobald was werden die
Vermutung meine Vermutung wäre irgendwie die 1. Komponente ist immer liebevollen ergänzt wird auch ein sein die 2. Komponente eines sich in geht gegen 0 3. Komponente N -minus 1 durch in Zellen gebe ich hin wegen 1 also unsere Vermutung wäre das wieder ganz frech komponentenweise rechnen dürfen und dass der 1 0 1 rauskommt also wie schon gesagt wenn sie mit Grenzwerten zu tun haben ist es immer sehr gut wenn man schon mal die Vermutung hat was dann rauskommt wird dann muss man so noch Nachrichten also was müssen wir machen wir müssen uns anschauen was ist der Abstand von AN zu diesem Arzt 7 1 0 1 und zeigen dass der wirklich kleine wird n m groß wird also das ist n 0 gibt so dass ab diesem in 0 das den ich kleines also schauen uns an was ist der Abstand von AN zu unserm vermuteten Grenzwert und diesen Abstand müssen wälzende 1 nau messen gesagt wir müssen jene als also was ist das in der 1. Komponente haben 7 Nullen nur wenn 1 -minus 1 das ist 0 und der Betrag von 0 7 noch 0 in der 2. Komponente haben sie einst durch N minus 0 und der 3. Komponente haben sehe n -minus Einstig N -minus 1 und es ja das kann man jetzt noch mal ein bisschen anders schreiben die 0 , ganz weglassen Betrag eines sich in einst durch N und dem hätten die beiden offen Hauptmänner haben Sie n -minus 1 -minus 1 7 -minus 1 durch in den Betrag also dass der Ausgang des 2. ich Witzigmann stand 2 durch jenen geht gegen 0 das heißt der Abstand hielt gegen 0 müssen aber noch über unsere Definition schön nachweisen also was müssen wir tun für die Sitzung vom Konvergenz müssen für jedes selbst größer 0 1 0 finden so dass der Abstand von 1 zu kleiner ist als Erbsen und für alle in größter gleich in also der übliche Anfang selbst und Größe 0 dann finden Sie
für diese Folge 2 durch in das ist so wie es schon in erhalten kriegen Sie ne 0 so dass das N 0 größer ist als 2 dich jetzt an im Netz soll es positiv wenn es zwar y den 10. Fall sehr sehr große aber wie eine Zahl und die natürlichen Zahlen sind auch nicht beschränkt also in 0 gibt es das da drüben und wenn sie jetzt mit diesem N 0 arbeiten dann kriegen Sie es sofort wenn wenn sie jetzt nämlich in 0 größer gleich 1 n größer gleich in 0 nehmen dann kriegen Sie das die 1 der Abstand in der eines Norm von AN zum Vektor 1 0 1 das haben wir gesehen dass 2 durch n zum einen größer gleich 0 ist es einst durch interne gleich einstigen 0 und N und E 0 war so gewählt dass es größer ist würde jetzt ist das heißt wichtig in 0 Teile und dadurch 2 durch y ersetzte kriegt was größeres also das ist größer als 2 durch 2 dich y das ist genau so gemacht dass es passt das ist zwar jetzt halbe und das sind also für alle n größer gleich 1 0 in er dass der Abstand von der Folge zum kleiner sein selbst damit Hansa Konvergenz tja das was 1. Beispiel und jetzt ein 2. Beispiel um und das ist schon eher wissen warum das Beispiel dass man sich bitte von Bildern ungeschickt gemalten Bilder nicht in die Irre führen dass also gehen dass man immer den er
2 angeht kann man schöne Bild Bilder malen und so weiter und das meine ich auch die 2 Namen das es so ist man es gewohnt ist nur als normal Zellen und was war die 2 Norm und weckte die 2 Norm ist die Wurzel aus x 1 Quadrat plus x 2. das ist der Abstand den Maitag benutzte man sonst dort anlegt und als Folge nämlich folgende Folgen 2 N 1 durch in den Sommer in größer gleich 1 mit wenig durch 0 teilen ja meine zu gefen die Frage was ist begehrenswert aus und so und das 1. und macht und weiß ich das weil sie das so passiert es damals ich mein Geld China also was haben wir wir haben hier die NA sozusagen jedes N 1 2 3 4 5 6 und so weiter denn dann meinen wir uns über des einer werden Geld das ist nicht immer so und das ist eben Steaks Einsatz und das 2 Axt denn Himmel das über ihn auftragen wollten bräuchten 3 Dimensionen also man R 2 wo liegen jetzt unsere Punkte also der 1. Punkt Folge ist der Punkt 1 1 der die Tiere dann kommt der Punkt 2 Mal 3 ein Drittel 4 Viertel 5. 5. 6. 6. und so weiter da war diese Konvergenz aus oder auf das Bild kurz man klar konvergieren komme geht gegen 0 und kann man nicht gegen 0 konvergieren Weise Folge der 2. Grenzwertes bitte schön auch dem man von der 2. mein 1. Buch und es komme jedoch nicht in die Nullen R 2 weil dies hier das es akzeptieren Sie dass es da nicht dagegen kaum mehr Geld das Bein ich weiß man ja aufpassen muss ist man darf das nicht verwechseln mit dem was ich am Anfang Versuch es Anfang selber gerade gemalt hat dass es keine Schaubild wo sie ihn unter ihnen aufgetragen haben einen dass in Achse Verdi die die das andere die AN Axel dann wäre das natürlich nicht in der Folge liegen und komme die also was sie gemacht haben und er Zweige .punkt ihn gemalt die Folge annimmt und man sich so vorstellt sieht man da komme geht Koniks die kommen sich gar nicht meiner Haltepunkte jede .punkt hat von seinen Nachbarn Mindestabstand 1 das war nix mit Konvergenz das Ding nicht beschränkt ja sie besuchen die ganze folgen zum einen dann sind Sie bei allen gleich 20 und wobei beim Audimax unveränderlich 50 sind will nach eigenen und bei allen gleich 3 Millionen sind 2. der Frankfurt Wert der Dinge nicht beschränkt also nicht Konvergenz bei den Satz habe nicht aber der geht auch hier ja also und das sieht man auch wenn man es rechnet wenn man sich nun Bild machen will das ist die 2. um von so einem ein 1 ist Wurzel aus dem Quadrat plus Wurzel aus 1 durch im Quadrat also plus 1 über dann die Wurzel das ist auf jeden Fall größer als die Wurzel aus einem Quadrat indem sie einfach das einst Lust einzig im Quadrat weglassen ins untere wozu es kleiner machen mit Sache kleine nein über das Quadrates betrage oder in dem Fall n da sehen Sie seiner hatten Normen die größer ist als er es ist nicht beschränkt also ist die Folge eine unbeschränkte und wie gesagt damit es in dieser Gegend ist hier gleich in Satz aus erkennen sie noch jede komme Volkes beschränkt ich auch noch mal gleich wir machen werden so also sich nicht von solchen Bildern ins Bockshorn jagen lassen sollen sich überlegen was bedeute das Bild das ich gerade gemalt hat ja das hab ich gleich gesagt der Satz jede kommentierende Volkes beschränken gilt hier auch und das ist nicht nur dieser Satz sondern sie können jetzt im Prinzip wir bräuchten wir jetzt noch 2 Wochen Vorlesung und könnten ganze wohl dass wir nochmal Frage genau genau wenn sie wieder der komponentenweise denken dann sehen Sie dass würde sozusagen gegen unendlich 0 1 bei gegen unendliches muss mal schlecht unendlich haben da nicht den eine beliebig große Zahl stehen aber das ist die Idee dann nachher dazu kommen dass dieser Komponenten weil denken dürfen und dann sieht man es auch ja ich wollte ihr Wesen denn vor diesem Bild warnen weil das ist ein Klassiker und dann also und dann ist man am Ende konnte die Gegend Gründe die gegen 1 und es muss ihn auch einfach klar sein das kann nicht sein dass es gegen 1 konvergiert weil das ist eine Folge von Victor dann komm doch als Grenzwerten wird daraus wäre es der Grenzwert ist immer von der gleichen vom gleichen Datentyp wie Folge lehnte er ab und wenn das nicht ist also nun Fehler gemacht das ist uns und Plausibilität Szwecja als eine Folge von Vektoren mit 17 Komponenten gegen weg damit 5 Komponenten konvergiert das dem fertig ja so also Prinzip müssen wir jetzt Kapitel Kapitel 3 und 4 hernehmen und jeden einzelnen Satz daraufhin abklopfen ob man im Beweis statt betrage übernommen schreiben kann und dann geht der hier auch das mal jetzt hier nicht weil da nur noch diese eine Vorlesung sollen das dürfen Sie machen
also die Übungsaufgabe 5 4 und die sagt einfach Riesen Stapel von aus sagen geht hier aus also mein übertrage er ich sterbe aus sehr heikel auf normierte Räume wie man sieht kann man eben wie gesagt man kann jetzt das ganze die ganzen Kapitel über Folgen und Reihen durch den tun wir jeden Beweis einfach Beträge ich normal setzen und dann geht es auch also wir haben zum Beispiel die Übungsaufgabe 3 3 das war wenn sie will dass in ein genau dann gegen kommt also zum Beispiel war da drinnen Limes in gegen unendlich AN a genau dann wenn der Limes n gegen unendlich vom Abstand von AN zu A gleich 0 ist wenn das war so Teil von 3 3 kann man alles war fertig übertragen dann eben der gerade schon erwähnte 3 5 Kollegen Folgen sind beschränkt dann ganz wichtig zu rechnen große Teile der Grenzwert Sätze können übertragen ich alles aber große teile ich schreibe Ihnen was übertragen können das ist 3 7 aber es war das also das hier war ich war es mal in ganz knapp konvergent daraus folgt beschränkt und wissen was ich meine wie bekomme der Volkes beschränkt man sich den Beweis von da schreiben sie in 1 zu 1 ab und überlegen Sie sich an dieser Stelle vom Betrag steht warum dann Norm stehen kann und funktioniert genauso so kann 3 7 1 also 3 7 war die Grenzwertsetzung ich den gesagt die sind
super entscheidend für die wirkliche Berechnung von Grenzwerten es geht ja auch 3 7 aber war eine Folge GKN gegen konvergiert dann konvergiert die Folge der Beträge gegen Betrag aber also dann von mir in dem Fall die Folge der Normen gegen Norm aber wenn derartige passierten Qualitätsunterschied das Formel Konvergenzen V das Interesse Konvergenzen er Norm von einem so viel zahlen was das härteste geregelten Ehrung des Phones willkommen sind vor dann weitere Grenzwert setzte die für die Summe das war BEI also nicht was mal wieder ganz kurz auf wir setzen voraus folgen 1 b n konvergieren dann konvergiert geht auch die Summe der beiden und zwar gegen so mit der Grenzwerte also das ist jetzt nicht mehr den Nagel vollständig ist es nicht also ich hoffe Sie wissen was Sie meinen was ich meinen also die wenn sie 2 gravierende Folgen haben korrigiert werden so Meyer und zwar gegen die Summe der Grenzwerte dann können Sie einen Vektorraum noch mit dem Skalar multiplizieren und auch das funktioniert also die die in gegen in von Alphamann AN vorausgesetzt ein konvergiert es einfach mal A nur jetzt haben Grenzwert Satz als nächstes der Satz für Produkte von folgen wenn einer den komme komme geht einmal den bewiesen komplizierter weil Vektor multiplizieren waren sie es gab wird haben haben sie aber nicht immer ja also die ich also dass wir hier weg dann kommt kam als nächstes der Grenzwert für den Quotienten das verbietet sich komplett 2 Vektoren miteinander der Dateien die da nicht also fällt der hier weg und dann kam eben danach die Grenzwerte der Sendezeit und der Satz über die Monotonie er sind eine Folge größer ist als die anderen das auch der Grenzwert größer das geht ja auch nicht weil größer gleich Hammer nicht also das ist das was Sie vorhin Grenzwert setzen übertragen können so also das waren 3 3 3 5 3 7 gehen genauso wer jetzt jeweils Weckglas heißt es
im Normalfall das ist in der noch nicht gut funktioniert oder Frau dann
aber den Satz 3 19 das war jede konvergent Erfolges große Folge der funktioniert auch 1 zu 1 Achtung im Allgemeinen normierten Vektorraum gilt die Umkehrung nicht ja und Umkehrung beide große voll ist ,komma gehen er da komme später zu dann kommt der Satz 5 4 3 das ist die der Grenzwert Satz für die Reihen also frei über alle Fragen +plus Peter ist das selbe wie Alfa Malerei über immer vorausgesetzt alles was da steht konvergiert nicht +plus später über einen PIN Malerei Bären und Schluss endlich der Satz 4 5 das war das notwendige Kriterium für Konvergenz von Reihen wenn die Reihe konvergiert dann muss eine 0 Folge seien nur und wie gesagt nochmal die Warnungen der Städte die Umkehrung des Billigflug also konvergenter Reihen Sohn über 0 folgen das geht alles genauso in normierten Raum wie in der so und jetzt hatten wir vorhin schon gesehen zumindest bei der eigenen Beispiel Folge wenn in der Folge man hab dann scheint es ist zumindest mögen als habe gesehen dass es bei einem Beispiel geklappt hat dass man so komponentenweise argumentieren kann also welche Folgen man hat bedeutet das eigentlich haben die jeder Chor Komponente des Vektors Folgen er und so enden folgender und wenn Sie jetzt wissen die kommt konvergieren alle wenn man hoffen dass auch die Folgen am konvergiert und tatsächlich geht das und das ist sogar genau dann wenn also es reicht zum Westfalens anhalten in den Korb in den Komponenten die Konvergenz zu untersuchen und dann weiß man alles über Konvergenz des Vektors solange man unendlich dimensionale ist und das ist der Satz 5 5 n ja das ist ein ganz entscheidender Satz der jetzt nicht einfach Übertragung aus er ist weil das Problem und Komponenten halten wenn er nicht zahle jetzt neu dazukommt für Vektoren von folgen also Folgen von Vektoren und sein was eine Folge in Ehren des nehmen folge Mrd also Folge ich mach das wegen folgen RD damit nicht die Folge am in haben wir weil die Instanz die Bedeutung aber diese für Dimension eine Folge die ARD wieder wieder 2 Normen und wer sich das vorstellen wie setzte die gleich 2 oder 3 zur dann das ist es und nicht die Aussage das ist mir jetzt die Mutation dann ist natürlich der Vektor a n DEN gar ich jetzt ich schreiben für jedes enden als 1. Komponente 2. Komponente bist dete Komponente also es geht für alle aus in mir zur und die Aussage wenn Sie es untersuchen wollen
wie sieht es mit Konvergenz von dieser Folge a NRD aus dann ist das gleichbedeutend zu folgendem also Sie können nur hin und wieder ist es genau selbe Konvergenzen des genau das selbe wie das jede Komponente konvergiert also 1 , gehen den des genau dann wenn für jedes J zwischen 1 und des die Folge A N J also J aus allen hier und da in uns allen auch in das in aus allen konvergent ist in der wenn man das so ist also wenn jeder ,komma jede Komponente dass das der direkte Folge konvergiert dann ist der Limes n gegen unendlich von unserer Folge am also der Folge 1 1
bis 1 die nichts anderes als der komponentenweise Limes also neben den Dennis es in der 1. Komponente denn wir müssen der 2. Komponente und so weiter ist in es in der dicken Gegenkampagne das es vorher bei unserem Beispiel geklappt hat klappt immer und das ist auch wirklich ein genau dann wenn also wenn irgendeine Komponente nicht konvergiert ein Comeback jedoch die ganze folge ich das beantwortet die Frage von vorhin ja ja Richter die 2 nur eingeschränkt ja ich hatte die 2 noch eingeschrieben dies den Beweismittel 2 Norm rechnen ich mach dann mein ganz großer geschliffene Klammern ich will Beweise
in Klasse sofern kann sich hier ganz streichen endlich wenn ich weiß für jede Form für jeden wahr machen aber leicht will das ist egal es kommt der 1. Bemerkung und das ist mir dann zum nächsten Semester ausführlich zeigen wir was dann die die Tools dafür haben solange 7 endlich die Mensa Raum sind ist der Konvergenz Fragen egal stellt sich raus dass unendlich dimensionale Raum alle Normen in dem Sinne gleich sind dass sie die zum gleichen Konvergenz Begriffe aber das geht nur wenn ich die müssen aber sie werden wie sie denn wenn nicht die man sein Leben insofern das ich glaub ich dass in ihrem Leben mal in den Nächten ist Raum geraten er insofern ist das für Sie schon die entscheidende werden Informationen also ist das hängt nicht von der Norm ab ob eine Folge konvergiert oder nicht in Englisch dann deswegen hier völlig Wurst welchen aus den treiben gut mehr ja also man am Beispiel der
Zoo aber das Prinzip mir vorhin auch schon Beispiel 5 6 zu was gesehen im 3. sie ist damit die Frage Konvergenz NRW zumindest komplett geklärt war Konvergenz des ist einfach ist einfach komponentenweise Konvergenzen aber das können Sie noch so eine komplizierte folgenden schreiben also nehmen sie mal folgende Folge interessiert Limes n gegen unendlich von 2 ein Quadrat -minus ändern schreiben Sie irgendwas in 4 im Quadrat plus 5 N minus 7 geteilt durch eine ins 2. Komponente 1 plus 1 durch ihren hoch n und 3. Komponente meinetwegen Ente Wurzel allen auch zur Wiederholung von Sonntag ernst werden man kann sie jetzt Konvergenz von den Dingen ist das gleiche wie Konvergenzen jeder Komponente also gucken sich die 1. Komponente Annahme besonnen Dame so Polynom durch Polynom Teile kürzten durch die höchste Potenz dann findet man das dann halt rauskommt die 2. Komponente ist die Folge 1 plus 1 durch in hoch allen das ist der berühmte das ist unsere Definition von Eli und während dies und ich habe ihnen gesagt in der Wurzel in geht gegen 1 also können das einfach komponentenweise zusammenpacken und eine Komponente die wir hier die wir dir die ganze Folge insofern ist an der Stelle denn das Leben nicht viel komplizierter geworden wenn sie folgen der der Arm ist das das Gleiche wie die folgenden erhalten so jetzt kann die
Bemerkung 5 7 ist die gerade schon
aus aktuellem Anlass gemachte ist es sogar völlig wurscht welche Norm sie anschauen sondern sie mehr des sind also der Satz 5 5 gilt für jeden Raum auf des und der Hintergrund ist das wir eben später zeigen werden dass unendlich dimensionale Raum die Frage Konvergenz nicht von der Spitze wählen weil der Norm abhängt in der Folge bezüglich einer Norm konvergiert komme sich bezüglich jeder und wenn sie bezüglich einer Norm divergiert divergiert bezüglich IT die Norm sind da alle gleich so ist in dem Sinne alle gleich natürlich hat jedes AN wenig DIN-Norm wechselnde andere noch nur nicht statt 1 Nummer 2 der Messe hat jedes eine andere Längen oder da dies auch in der 2. und der Abstand von Ihnen zu an anderer als mehr 1 nur aber wenn der eine 0 geht auch dann so vielleicht bisschen langsamer bisschen schneller oder so oder so völlig wurscht also Konvergenz ist immer das gleiche so und ,komma Sohn Unterabschnitt in diesem Kapitel wo um die Problematik die die ich letztes Mal angesprochen hat im Prinzip das Konvergenz in Mrd das gleiche wie Thema Konvergenz den er aber diese Folgen haben wenn der hat viel mehr Platz zum können vielmehr Nonsens machen und deswegen also insbesondere Teilmengen von der des haben die reichhaltigere Struktur Teilmengen von R merken Sie wir der Wale machen oder ähnliche Pünktchen die liegen und die auch noch vereinigen und er kann man auf und wie und wo machen aber der dem sie einfach viel mehr Möglichkeiten und dann im Wesentlichen ist ist die Frage was wir selbst uns der Wale oder was selbst uns werden oft abgeschlossenen der Wale und was sieht man wie dieses offenen abgeschlossen verallgemeinern auf den er tiefer in das geht folgendermaßen also stellen sich ein offenes und abgeschlossenes Intervall vor in R und was ist der eigentlich der Unterschied zwischen den was was machten derweil offen was macht mittlerweile abgeschlossen der was einfaches es offen wenn die beiden Endpunkte nicht dazugehören und das ist abgeschlossen wenn die beiden Endpunkte dazugehören das haben sie natürlich bei wenn man immer zwar vergessener 2 los Mehr was sind die Endpunkte hast etwas anzutun mir aber der der kann halt ganz schön wüst aus den der fand der den Soundtrack Talrand haben oder was also morgen ja und das wollen wir jetzt fassen was heißt offen was heißt abgeschlossen und das ist diese Definition also dazu Fragen mit Hilfskonstrukt anderswo noch hundertfach brauchen werden nämlich geht es in nämlich mit der Kugel die Kugel ist ein eigentlich recht anschauliches Objekt also dem sich im Mittelpunkt x 0 in vor und dem Radius der soll bitte schön größer 0 sein zum was ist jetzt die Kugel um x 0 mit Radius Erde die schreibe ich B r auf von x 0 können Sie den der B können sich beide vorstellen kommt natürlich in der Notation dass man diesen von Bau aber also in beiden vom x 0 mit Radius r Na ja das sind alle die X im Raum den Abstand zu x 0 kleiner als er ist das ist relativ naheliegende Definitionen dem alle die die Mehr als er dran sind und das Ding nennen wäre eine Kugel oder genauer besprochen eine offene Kugel um x 0 mit Radius r Jansen schon dieses komische Wort offen warum es diese offene Kugel alle die Punkte die genau Abstand r haben also die Kreislinie nicht mit dabei zum nur die mit echt kleiner er das heißt es ist so was wie der Kreis ohne den als der gesamte Kreisen Fläche ohne die Linie so was wie ne offene Nicol mit offenen Rand tja und wenn wir offene Kugeln haben können wir damit für beliebige Mengen definieren was es heißt offen zu sein so was heißt das also denken Sie wieder ein offenes Intervall und jetzt müssen wir irgendwie beschreiben was das heißt dass das Intervall offen ist ohne die einfache Beschreibung die beiden Endpunkte gehöre nicht dazu aber waren keine Endpunkte mir und passend ist folgendes nehmen Sie sich Ihren x 0 aus ihrer Menge her und das Charakteristikum von offenen Menge ist wann immer sie basieren .punkt sich rausnehmen liegt der ganz innen drin ist Strommenge da sie so auf dass der Wahl haben sich .punkt nehmen dann ist der eben nicht am Rand sondern ist Rom noch alles voll mit Menge und das heißt für jeden .punkt da drinnen finden Sie den Radius der keine höchst klein sein aber der SoFFin war größer als 0 so dass noch ne ganze Kugel mit diesem Radius ganzen Menge liegt dass die Definition von offen um jeden Punkt finden Sie eine meine meinetwegen sehr kleine aber doch warten die Kugel die noch ganz wenige drin das ist offen und das ist dann das gibt ein offenes Intervall an sich offenes Intervall her
nehmen Sie hier .punkt gegeben .punkt im offenen derweil finden Sie noch ne Kugel der gute Kugeln er es langweilig die Kugel als offenes Intervall das ganz liegt ja und wenn das nix Neues den Rand geben so Trittin Rades kleiner machen aber sie finden für jedes x oder nicht das ist die Definition von außen geben nicht nur also noch in V funktioniert sah dann habe man die Definition von abgeschlossen also ne Menge heißt abgeschlossen und jetzt erwarten Sie bitte nicht wenn sie nicht offen ist weil das ist es nicht sondern man sie abgeschlossen wenn die Menge n Kompliment also die Menge V ohne dass offen ist das in der man es gucken sich eine ist eine der offenes wenn sie die Menge abgeschlossen so noch ein weiterer Begriff der zum Ernten zum er zum Offenheit passt der andere Teilmenge von von Frauen und im Punkt x 0 denn also es ist irgendwas her und nennt man so .punkt einen inneren .punkt was ist ein innerer .punkt ist ja ja kommt gleich reichlich also wenn die offen und abgeschossen gibt es ein paar und eigentlich gar nichts von beiden sind gibt es wie Sand am Meer diese Dinge sind alle Mengen die noch auf und hat den Ausnahmen ja aber also die die die die denn es Menge wenn sie sich in der Menge sozusagen per gerate vorausgreifen ist die weder offen noch abgeschlossen mit Wahrscheinlichkeit 1 gut was nicht heißt dass alle sind wir so also mein wenn Sie aus den natürlichen Zahlen sich irgendwie zufällig eines herausgreifen ist die Wahrscheinlichkeit dass es nicht mit 3 ist auch 1 ein lächerlicher die 13. 0 gut sie ja also .punkt heißt immer .punkt falls im Prinzip das geht was wir oben von offen haben also falls sie ohne .punkt ohne legen können die ganze ne Menge drin liegt der also falls er größer 0 existiert so dass die Kugel mit Radius errungen x 0 noch ganz eh nicht und wenn sie jetzt eine Menge M haben dann
definiert man oben Kringel das ist das sogenannte innere vornehmen es ist einfach Definitionen das alle die XMM die Höhepunkte sind das sowie eine Teilmenge von und wie nennt man das Innere von man Sie jetzt die Definition genauer anschauen dann stellen Sie fest ne Menge ist offen genau dann wenn sie mit ihrem Innern übereinstimmt als ein alle Punkte innere Punkte sind so dass wir ganz sprechende ganz sprechende Definition das überhaupt der Vater der diesen offenen abgeschlossen Definition so abstrakt die hier sind wenn man zumindest wenn man sozusagen sich in einer Welt vorstellt die man sich vorstellen kann also meine immer 3 oder so ist kann
man sich diese Begriffe alle eigentlich bildlich vorstellen also Bemerkungen 5 9 folgendes ist jetzt nicht die Definition aber ne gute Vorstellung eine Menge ist abgeschlossen das entspricht alle Länder gehören dazu wir unser wirklich alle und offen bedeutet gar kein Stück vom Rand des dabei also bei 10 an .punkt dabei haben wenn sich in diesem Land .punkt werden finden sie um den keine Kugel der ganze Menge drin ist das ist ne gute Vorstellung für auf abgeschlossen mit der kommen sie im Alltag sehr gut zurecht mein klare meinen und Mensen an anrollen hatten es schwer sich vorzustellen aber werden im Normalfall ist das einfach eine gute Vorstellung und jetzt kommt zweitens und das geht auf die Frage von gerade eben zurück und kommt unter dem Schlagwort Mengen sind keine Türen das glauben Sie mir aber was damit gemeint ist folgendes Bezüge ist entweder auf abgeschlossen ja oder als eine Art wurde geschlossen werden eine Menge muss das nicht da eine Menge kann beides sein der Menge kann weder noch sein also meint es sei denn er so wie dieses Intervall das Ding hier ja das nicht offen ist nie abgeschlossen bei einer ein Funke dazu nicht oder durch können Sie in noch immer so Zeug machen sie nehmen weil wir sie mit Nico will und jetzt nehmen sie den Rand doch zur Kugel dazu von hier bis hier und den Rand nicht über den Punkt doch da können Sie beliebig stark machen am Stadtrand Beichte gerade nicht alles nicht auf noch nicht abgeschlossen es gibt da man die beides sind nämlich die leere Menge und der ganze Raum in der ganze Raum ist offen weil umgeben .punkt Stückkugel so dass sie noch drin liegt da können Sie war das sogar richtig groß machen der ganze Raum ist abgeschlossen es kommt immer die leere Menge es offen warum ist dir Menge offen weil die Definition von offener Aussage ist für alle x 0 aus der leeren Menge gibt Radius stimmt aller sein nächste nach gut also gibt auch Mengen die beides sind und da darf man sich nicht ins Bockshorn jagen lassen und bitte nie schreiben die Menge ist nicht offen also ist abgeschlossen Mehr ja gut er für offen haben wir jetzt das schöne Definition nämlich umgehen .punkt muss eine Kugel geben die noch ganz drin liegt und abgeschlossen habe halt relativ definierten immer gesagt haben war das Kompliment offen ist das ist ich sag Schönwalde na gut und muss man halt es komme man erstmal bestimmen und dann gucken ob das offen ist und das Abgeschlossenheit gibt es in deutlich ich schöneres Kriterium das will ich Ihnen jetzt nix noch hinschreiben dass der Satz 5 11 mit dem kann man aber auch wirklich konkret von der Menge nachweisen dass sie abgeschlossen ist und damit auch als mein noch noch eine Bemerkung abgeschlossen heißt Probleme des offen wenn Sie umgekehrt machen wenn Sie zeigen wollen was es offen dann muss es komme man dem abgeschlossen sein das sind 2 so duale Begriffe offen geht durch Komplementbildung abgeschlossen über und umgekehrt sei es bei dem was sie zeigen sollen man es offen wenn sie wieder zeigen ließ offen oder das Problem ist abgeschlossen umgekehrt wenn sie zeigen sollte man diese abgeschlossen wird sie ihm wieder zeigen Menges abgeschlossen oder zeigen das Kompliment das auf je nachdem was einfacher also gibt die jeder Abgeschlossenheit des jedes abgesondert Kriterien gibt denn auch laufen als Kriterium es ist immer durch Kommentierung geht es ein ins andere über also dieses Kriterium sagt eine Teilmenge M von Frau ist abgeschlossen genau dann wenn man jetzt klingt das wieder auf Konvergenz zurück sie jede Folge a n n n also müssen diese folgen dem deren Folgen wieder alle im liegen ja also wenn sich als und mein Kreis vor mit diesem Stück Grand dabei dem Reststück gerade nicht dabei Misserfolgen nehmen dir drin liegt der und vorsätzlich muss die in V konvergieren also müssen wir wegen der Folgen nehmen die in der Menge drin liegt ja und wenn die Menge und die
Menge ist denn genau dann abgeschlossen wenn dann immer gilt dass auch der Grenzwert im ist also abgeschlossene Mengen sind genau die aus denen sie durch eine Grenzwert Bildung nicht raus kommen ob wenn sich die Menge herum anschauen und sie nehmen sich ne Folge die gegen sollen .punkt ja auf dem Rand konvergiert dann bleibt den aber Sie können sich natürlich in dir drinne folgen nehmen die gegen diesen Punkt hier konvergiert und der liegt das auf der auf dem sie können den Randmeeren und in diesem Stück Rand haben das nicht dazu gehört dann wären sie ebenso so Stück dran das nicht dazugehört und fliehen aus der Menge raus aufgeschlossen sind die man durch bei denen sie durch Grenzwert Bildung nicht ausfallen können so das kann man noch allgemein beweisen und so weiter aber ja im Rahmen der verfügbaren Zeit lass ich das mal bleiben was wir damit zeigen können das Inntal vom Beispiel 15 ist folgendes ist mir was man da als Menge wenn mal als Menge die sogenannte abgeschlossene Kugel um x 0 Radius R also jetzt die Kugel mit während die Kugel mit Kreislinie an je nachdem welche Dimensionen Kreislinie Kugel Oberfläche 7 dimensional Oberfläche der 8. Dimension eine Kugel also alle die Punkte in Frau so dass der Abstand zu x 0 kleiner gleich er ist wichtig jetzt keine gleich ja und den gegeben sind x nur das V den Mittelpunkt und deren Radius größer 0 1 er seinen werde zunächst nur den Rat ist eher größer 0 und schauen sich die Menge aller x an den Abstand x 0 kleiner gleich alles das sogenannte abgeschlossene Kugel und ich soll mit Radius r a und von der können wir jetzt sehr schnell zeigen dass die abgeschlossen der Immenstädter für abgeschlossen QC lösen wollen müssen wir auch das rechtfertigen dass der abgeschlossene Kugel steht das Ding ist wirklich abgeschlossen wie machen wir das im
einzelnen Kriterium von gerade eben müssen zeigen wann immer wieder Folge haben denn diese Kugel drin liegt und konvergent ist dann ist auch der Grenzwerte der Kuchen also soll aber in der Folge in Ehren ja infolge Folgen dieser Kugel die NVP konvergiert wenn Sie konvergiert Herzchen Grenzwerte kriegt meinen Namen ganz wie üblich A also lernen folge in die gegen ein konvertiert so was müssen wir zeigen wir müssen zeigen gefallen beim Grenze bilden ich das raus das heißt wir müssen zeigen der Abstand von IKT von Arzu x 0 müssen zeigen Eisen und das bedeute müssen zeigen der Abstand von Arzu x nur ist immer noch kleiner gleich er ja nun dann haben wir das ein ist und das ist zeigen abgeschlossen heißt für jede Folge die konvergent ist und in der Menge liebt muss auch der Grenzwert also die zeigen wir dass der Abstand von x 0 kann ich alles rechnen wenn da einer mal aus oder ,komma was der in dessen also was
ist der Abstand von x 0 was ist über ist der Grenzwert das Einzel über wissen ist dass der Grenzwert für unser Volk ist also setzen wir das mal ein jetzt kann man das was da steht dass die diesen und sie blieben bis 1 -minus die Zahl x 0 habe ich in mir das nicht wirklich wenn ich jene )klammer zu macht weil x 0 ist das selbe wie es in dem wenig von x 0 und Differenz von 2 , den Gefolges ,komma entgegen den Grenzwert Differenzen also haben wir das ist die müssen nämlich von 1 bis 6 0 wir hatten wir Freunde gesagt dass der Satz gilt LAN in der Folge konvergiert dann kommen doch Norm also werden im Kapitel 3 Bände Folge in er konvergiert dann konvergiert auch die betrat der Folge den Betrag des Grenzwertes er vollen gesagt der Satz überträgt sich 1 zu 1 auch hier auf das heißt da die Folge 1 -minus 6 0 konvergiert gegen Amina 6 0 könne geht auch die Folgen Normen ein -minus x 0 und zwar gegen Norm von von ganz 6 0 ja von den hier wissen wir aber das ist kleiner gleich er ist weil das AMS im jede seine sind also dass der Abstand von 1 x 0 kleiner gleich er für alle n also steht hier Limes über was was immer kleiner gleich alles das was es hier geht ist müssen er er beide den Limes steht jetzt mehr Folge ja auch 1 und wir wissen die Gefolge es immer kleiner gleich an und dann wissen wir aus der Monotonie vom Grenzwert dann ist auch der grenzt dann ist der Grenzwert auch kleiner gleich der Grenzwert über das ist er und damit am See -minus x 0 hat Abstand also Art von zunächst würden Abstand kleiner gleich er also es ein im so kriegt man aus dem Kriterium das schnell die Abgeschlossenheit R fahren der abgeschlossenen Kuchen gut damals mein Bräuchen und dann ,komma auf gerade so wurden steigen in die 2. Hälfte ein und die 2. Hälfte startet noch einmal mit dem neuen Begriff der aus der gleichen was den gleichen sowie offen abgeschlossen und so weiter stand das Begriff auf dem im nächsten Semester auch mehrfach zurückgreifen wollen tun werden und da gibt es jetzt sozusagen die Möglichkeit zwischen der reinen Lehre und der der Praktikabilität und den didaktisch sinnvoll denn ich hab mich für das hoffentlich didaktisch sinnvoll entschieden weil die Definition von kompakter so kompakt kommt jetzt wenn Sie die wirklich im Allgemeinen mehr Raum formulieren dann laufen sie mir alle raus dies gewöhnungsbedürftig das schöne ist wenn sie endlich die Mensen an Raum haben dann kann man kompakt total leicht charakterisieren das in diesen wunderbares einfaches Kriterium für kompakt und was ich jetzt mache ist gegen die reine Lehre aber ich glaub sehr vernünftig ich geb Ihnen dieses Kriterium an und ich finde ihn kompakt nur notwendig Münzen oder ohne und das Ganze verbunden mit der Warnung dass wenn irgendjemand von Ihnen in Ihrem Studium oder später auf einen nicht endlich dimensionalen Raum stößt ich völlig ausgeschlossen wir werden noch werden und diese Folsom noch auf den ein oder anderen die nicht ehrlich die man Raum stoßen und sie war unter dem Begriff der Compaq sitzen 2 Voraussetzung die beide sehr unwahrscheinlich sind aber eben auch sehr wahrscheinlich den was sie dann erinnern Sie sich bitte an diese Vorlesung und schauen Sie nach was die viel von Compaq möchte man sagen Rollen ist dies anders und das was 10. bis dann falsch aber er endlich die Mensen an ist alles gut also ich hier ganz wichtige Voraussetzung aber endlich dimensional unter anderem eine Teilmenge von Frau kompakt er kompakten uns alle gut vorstellen kompakt passt in in was rein und ist schön handlich Herr und genau das ist es auch er muss 1. abgeschlossen sein also und der Grenzwert Bildung abgeschlossen kommt das Wort auch hier als sie kommen durch Grenze Bildung nicht aus ihm raus und zweitens beschränkt da also jede abgeschlossene und beschränkte man indem man kompakt Begriff taucht nun (klammer auf und wie gesagt die Warnung dazu
die Warnung dazu im unendlich dimensionale ist die Definition anders also nicht immer seine Rollen taucht der Begriff auch Hof da ist sogar fast noch viel wichtiger ist hier meine dort die Verstärkung von abgeschlossen und beschränkt ist aber die Definition ist anders also wenn sie irgendwann in diese Verlegenheit kommen dass sie mit ein wenig Mensen an Raum zu Twain in dem Buch was nachlesen unterstellt was wir kompakte Mengen unendlich Mensen einräumen dann sagen Sie mir dass wir nicht dass das abgeschlossen sei bisher beschlossen beschränkt SAD dort wie gesagt für 95 Prozent von ihnen wird diese Warnung nie im Leben eintreten und wie 1 5 Prozent erinnern sich damit an heute so was haben wir jetzt alles schon übertragen werden Konvergenz von Folgen tragen Konvergenz von Reihen Church Folge Beschränktheit so wir haben uns über Grenzwerte zu unterhalten was jetzt als nächstes kamen Programme in Kapitel 3 über das Thema Teil folgen Häufung Werte das begreifen wir noch mal kurz auf auch hier können wir die Definition im Wesentlichen 1 zu 1 übertragen also am ist eine Folge in unserm Vektorraum V mit normierter realer Vektorraum Norm vor das heißt jetzt Häufung Fungs wären wir uns noch mal dran also legt das aus Varel seine Häufung werden sich die Folge in seiner Nähe heute hilft also wenn in jedem noch so kleinen Umgebung Umar unendlich viele Freude dieser liegen das 2 unterschiedlichen denselben also wert Grenzwerte heißt wenn sie noch so kleine Epsilon Kugel um an gucken muss aber irgendwann die gesamte Folge der Kugel liegen also ab Index 753 Tausend 218 aber ab irgendeinem in 0 muss die Folge ganz in der Kugel das nicht weiter selbst von Arbeit gehen Häufung es wird dies nur in noch so jedem kleinen Intervall oder noch jeder kleinen Kugel Umar müssen unendlich viele vorgelegt das war weniger das ist immer das gleiche also ein Wert essen Häufung Sweet von AN heißt für jeden noch so kleinen Abstand Epsilon größer 0 die Menge der Indizes
also die Menge der in aus allen so dass der Abstand von zu kleines es dieses y das können Sie auch so schreiben das ist die Menge der in aus allen so dass in der Kugel rum Betrages erzählen liegt in diesen Mengen Indizes so dass es immer mehr als y a liegt wenn die unendlich groß ist also die hat unendlich viel Element es genau der gleiche die gleiche Definition in Kapitel 3 nur wieder mit neuen statt Betrag ja das Wolf und es wird jetzt Teil Folge genau da ist sogar wie die genau die gleiche Definition bei der Definition und ich mal betrage auftauchte also was man sieht eine Teil Folge sehen Sie nehmen sich wieder einige Indizes Herr aus an schmeißen andere weg man dürfen auch nicht wegwerfen egal sie nehmen sich nicht Stapel von Indizes unendlich viele Indizes die strikt ansteigen also 1 1 kleine in 2 kleine in 3 kleine und so weiter und dann nehmen Sie die Folge die nur mit diesen Indizes durchnummeriert ist ein K K aus allen und das ist damit Teil Folge von AN Na also Beispiel daneben die Folge an 0 A 2 A 4 A 6 A 8 der geraden der Folgenglieder mit geraden Indizes oder sie verlieren und Indizes Show leistet 9. werden Teil Folge definiert hatten in Bremen Folgen hatten war ein Satz der den Zusammenhang lieferte und sagte hier neu fungspunkt Wert gibts ne Folge Teil Folge der gegen konvergiert in meinem Sinne ,komma denn Teil Folge haben es der Grenzwert mal vom wird und so weiter auch das ist so ein Satz denn
sicher nehmen können und 1 zu 1 übertragen also dass es vielen Übungsaufgabe 5 16 meine Satz 3 24 und übertragen normierte Räume der funktioniert 1 zu 1 3 24 war dieser Satz der den Zusammenhang zwischen punkten und das folgen herstellt und ich will an der Stelle noch einen anderen Satz in Syrien vorgehen der auch in den Dunstkreis zu tun hat und der manchmal sehr sehr stark und groß ist gutes Hilfsmittel ist Grenzwerte zu finden oder auch um Häufung zu finden und der mit dem Compaq keitsbegriff zusammenhängt denn er hat der bereits ist so wichtig dass einen Namen hat das ist der Satz von Bolzano Weierstraß also damit dem Kompaktheit Begriff arbeiten können brauchen wenn endlich dimensionalen normierten Raum sondern wird unendlich dimensionale und der kompakte teilnehmen also abgeschlossen und beschränkt und dann sagt der Satz wenn sie jetzt das Befolgen wir also eine abgeschossen Schränke Teilmengen dann unsere Folge dann hat jede solche Folge 1 irgendwo versteckt eine konsequente Teil Folge und der Grenzwert dieser Folge liegt in man gut dass der Grenze dieser Teil folgen im ist es kein Wunder weil das ist erfolgen und es kompakt das heißt er misst abgeschlossen begrenzt wird jeder Folge einer abgeschlossen wiederkomme gelten folgende abgeschlossen Menge liquiden abgeschlossen Mengen das entscheidende ist sie finden für den folgender kompakten Menge ihm eine Konvergenzen Teil Folge anders formuliert heißt das er jede beschränkte folge hat mindestens einmal Häufung wird nur eine beschränkte Folge haben in dem Sinne große Kugel in der die Folge drin liegt ja können Sie machen wenn Sie beschränkt ist dann hat keine Elementen half nicht uns .punkt da kein Element Normgröße als 382 also dem sie Komik Radius 500 das die Folge drinnen sie abgeschlossene Kugel gerade 500 ist kompakt dann hat die folgenden wurde kommentierte Teil folgen haben wird Weierstraß und damit haben sie fährt und was bedeutet das anschaulich das ist erst mein Satz was das bedeutet ist inwendig dimensionalen Raum wenn Sie diesen beschränktes Stück vom einigte man sein Raum hätten diesen Hörsaal oder was zum Beispiel dann haben Sie den Raum nicht genug Platz und der feige so unterzubringen dass die sich nur häuft ja also wenn Sie versuchen in diesem Hörsaal unendlich viele Punkte unterzubringen dann müssen irgendwo die Punkte sich häufen bekam ein wenig genug Platz es ging sie nicht Person ist Person setzte hier oder wie viele Punkte rein zu machen so dass jeder von jedem anderen echten Abstand hat es geht nicht und das ist der Satz von Wotan erfasst wenn man endlich die man sein auch nicht genug Platz den beschränken Volumen unendlich viele ich voneinander entfernte .punkt unterzubringen so jetzt ist noch ein Thema offen und das ist bei dem was ich gesehen dass die faszinierendste aber auch das Unvollkommenste ich hatte ihnen gesagt wenn sie will konsequente Folge haben dann ist das in jedem beliebigen normierten Raum immer auch Nico Folge und die Umkehrung des falsch und um George sag einfach falsche sie könne normierte Räume hinschreiben zugegebenermaßen den ich endlich dimensionalen endlich dimensionalen geht das so und die Umkehrung also die jede große Folge dieser Kollege aber sie können problemlos unendlich dimensionale Räume mit Normen schreiben oder nicht mehr stimmt und weil das so ist kann man natürlich nicht er keine allgemeinen Satz erwarten sondern man kann nur die danach aber Quatsch die noch Räume für dies stimmt denn einen besonders schönen Namen geben und sollen die bei den der Satz stimmt die heißen schön und der heißen hässlich das heißt dann anders ist es nicht schön hässlich aber das ist die D 1 und das ist das was jetzt kommen ist einfach der Definition
der die unendlich Dimension oder die normierten Räume eben hässlich und und und schöne Einfalt je nachdem ob dieser Satz gilt und man sagt nicht schön oder hässlich sondern sagt vollständig also ein normierte er Vektorraum Frau mit Normen in nennt man vollständig aber das ist genau das gerade erwähnte schön beziehungsweise dass es eine Alternative Bezeichnung die rutschte mir auch deutschen schon raus ein Banachraum nach dem Mathematiker Stefan Banach 19 dreißiger vierziger Jahren Polen sehr sehr aktiv also der heißt vollständige der Banachraum wenn eben der Satz gilt das heißt wenn jede Grosche Folge konvergiert na und das ist wenn man ehrlich ist eine Definition die aus der Not geboren ist das als geht halt einfach nicht immer also sagen wir Raum schöne Satz gilt jetzt geht es normierte Räume und werden festgestellten Normen gibt es in 2 verschiedenen Qualitäten es gibt schönere Normen und wenige schöne Normen es gibt die Schau Norm die gleichen Skalarprodukt entstehen und die dies nicht tun also beinhalten wird die 2 die durch das klammert Skalarprodukt entsteht und die Pläne auch noch hat wir gesehen oder die unendlich normale gesehen es nicht den Skalarprodukt gegeben oder der Stelle unterscheidet man jetzt auch noch also wenn man einen vollständigen normierten Raum ein Banachraum hat und zusätzlich dieses noch durch ein Skalarprodukt gegeben ist dann ist das ein besonders schöner Banachraum also den Skalarprodukt Davaa bezieht den Narren und dann nennt man diesen
Banachraum nach dem anderen großen Mathematiker nämlich nach Hilbert und dann also das ist ein sogenannter Hilbert kaum das Wort taucht vielleicht irgendwann mal auf und dann dürfen sich dran erinnern dass das doch eine allerletzten Vorlesung Formate 1 kurz vor Schluss ein normal da stand ich Haus nach also Raum ist ein normierter Raum der vollständig ist und die Norm kommt muss .punkt das ist dass sie das Schönste was aber wieder Arbeit da deswegen tauchte häufiger mal auf einer Wahltag da kann man ganz viel machen also beispiele Sie gerne kennen war nach und über Träume sie setzt nämlich gerade in einem also Beispiel 5 20 aber das Ganze war 19 egal 5 20 ja also ich bei dem was mein ich damit Sie sitzen in einem er der dran Na ja wenn sie der 3 nehmen den sitzen sie gerade oder allgemein den er RD mit der noch nicht reicht es wenn man nix und dran war immer normal für die dann ist es immer ein Banachraum ist das was ich vorhin sagte im endlich die Mensen gilt der Satz jede Kusche Volkes ,komma gehen wenn sich einfach klar machen deren gesehen Konvergenz Mrd ist das gleiche wie kommt ,komma Konvergenz in jeder Koordinaten in der Koordinaten gilt der Satz und dann können es wieder zurückspielen so also er wie ist schönes das Beispiel von Banachraum wenn Sie es aber natürlich das sich die unendlich geschnappt haben gibt es dazu keine Skalarprodukt aber wenn Sie jetzt die richtigen Normen also wenn's denn er denn mit der 2 aus starten dann ist das sogar die Hilbert-Raum schau und damit sie nicht ausgehen wollen dass ich ihnen erzählt habe das war das sozusagen banal Beispiel für die Dübel kriegen Sie noch kurz ein ohne weitere erklärt alle ohne Beweis ein nicht banal Beispiel vor die Nase
geknallt einfach zu sehen was da passiert und das ist auch durchaus unendlich dimensionale solche Räume gibt den Raum klein L 2 der ist so der heißt einfach so für fragen sie nicht warum das sinnvollen am oder wird uns Matte 2 nochmal an unerwarteter Stelle liegen Moment für ich einfach nur ein das sind reale Folgen also jetzt wirklich Folgen der Mehr folge mir und von den fordern wir das Folgen der Reihe konvergent ist die Reihe über ein Quadrat kann ich könnte man sie dann für Erfolge gucken die Reihe über ein Quadrat Bestimmung gucken kompetente denn ich wenn ja kommt sie rein männlich fliegt raus sie Teilmenge des Raums aller erfolgt 10 Vektorraum des Raums erfolgen und das tolle ist darauf gibt das Skalarprodukt das ist ne schöne Übungsaufgaben zu zeigen ist das Skalarprodukt ist und wenn sie Skalarprodukt haben sie enorm und was dann bisschen mühsam ist es durch Ähnliches Übungsaufgabe allen vieles zu zeigen dass das nicht vollständig aus aber es ist eine und wie ist das Skalarprodukt definiert das müssen Sie machen sie müssen 2 Folgen einer multipliziert Skalarprodukt ist ihr Produkt von 2 folgender drin und das macht sie folgendermaßen sie will die Reihe über einmal gehen dann sind wir sofort fragen warum Carnegie die Ehre das liegt genau der Voraussetzung dass die Summe über ein Quadraten die Summe der BN Quadrat konvergent ist wenn Sie mal gezeigt denn das ist Skalarprodukt ist dann folgt das 1. kuschlig war zum gleichen aber er also wie weit ist das das Skalarprodukt und das ist Hilbert-Raum sie können ähnliche Konstruktion machen das ist der kleine L 1 10 in nicht fordern also auch April folgen jetzt wahnsinnig dass der die Summe die Reihe über die Quadrate konvergent ist sondern das einfach Betrag am konvergent ist im Raum Köln und anderen Namen geben das ist einfach der Raum aller absolut ,komma gelten folgende vor den zur Konvergenz definiert das ein Banachraum lässt ihn an die einst einfach das was da oben steht die Summe in gleich würde es wenig betrage das kann man nachweisen sogar weiß wie schwer das ist enorm damit wird das normierte Raum und tatsächlich vollständig das überwachen und einfach nur beispiele als Innovation ohne weiteren Beweis wenn sich normal den kleine L 2 angucken dann kann man wenn man gerade bisschen das exakte Mathematiker sein ausschaltete begreifen als sowas wie ein er unendlich also ein ein Raum reale Folgen haben also die Vektoren unendlich lange Lektoren oder ich lange Wildrosen folgen große Monolog und was da steht ist es dann das Skalarprodukt unendlich lange Lektor 4 "anführungszeichen 2 und warum über diese Vollständigkeit Begriff ein ganz einfach weil es den ganzen Stapel von Sätzen gab die bewiesen haben Lauf der Zeit die das Vollständigkeit Axiom ergreift die diese Vollständigkeit brauchen also die sie brauchen dass jede Kusche Folge ,komma man verschiedene beweisen habe perkussiv Folge argumentiert ein Beispiel war der Satz dass jeder absolut ,komma den 3 konvertiert der bereisten Gekuschel Kriterium und große funktioniert eben nur wenn der Satz jede Folge konvergiert auch geht nein dazu brauchen sie den Begriff und danach an und wenn sie die haben dann können Sie die ganzen Beweise wieder 1 zu 1 übertragen also das Übungsaufgabe 5 21 die folgenden Sätze gelten auch in danach haben also damit insbesondere in jedem er des immer das ist in dem Fall die für Sie auch wesentlichste Nachricht ja also
jeder diesen Banachraum so und da kann man jetzt den Beweis übertragen das ist Übungsaufgabe also das wäre einmal der Satz 3 20 na gut es ist das erledigt sich sofort das war ein konvergent genau dann wenn ein Kusche Folge das ist sozusagen die Definition von vollständig aber dann ganz viel über rein zum Beispiel der Satz 14 die gerade schon gesagt absolute Konvergenz impliziert Konvergenz also jeder absolut konvergent der Reihe konvergiert dann die unsere ganze Konvergenzkriterien also Meyer rannten Kriterium Wurzel Kriterium Quotienten Kriterium kann man alle ja n alle handelt Eigenschaft dass jede große Folge konvergent ist und dementsprechend können die nur einem Banachraum verallgemeinern aber zum Beispiel eben nach er dem das ja und jetzt Hammer im Prinzip diesen Ausflug in die Konvergenztheorie normierten Räume erledigt wir kommen darauf reichlich zurück wenn wir dann im nächsten Semester Funktion in mehreren Variablen anschauen weil das immer auf er unterwegs und dann dann komm diese ganzen Themen wieder also viel von dem was ich heute erzählt habe ist auch vorgebaut schon das nächste Semester und ich will ihn jetzt zum Abschluss noch ein Satz präsentieren wir denn jetzt dabei dadurch auch alle Voraussetzungen da sind der an vielen vielen Stellen in Mathematik aber eben in allen Anwendungsbereichen mittig und ganz definitiv auch in der Informatik viel Anwendung findet weil ein toller Satz ist um Unlösbarkeit von Gleichungen jedweder Art dann welche noch so abstrusen Gleichung wenn man Glück hat und der Satz greift kann man mit dem sehr elegant Lösbarkeit von Gleichungen zeigen von Gleichung ist ja wirklich in allgemeinsten Sinne zu verstehen und nicht nur Lösbarkeit sondern er liefert 1 auch wenn es mehr iterative konkrete Vorschrift wie meine Lösung wann kommt also Sitara tief wert also meine im Grenzwert an die Lösung und auf und das ist nach Fixpunkt Satz dem wenn ich das Semester
beschließen wieder der gute Stefan Banach der tauchte gerade schon mal auf gewann schon Fixpunkt sagt je nachdem wer ich denn vielleicht aber meiner Mathe 2. gebrauchen aber wenn ich ihn nicht brauche wenn sie unter Umständen beim Studium sehen und worum geht es also Sie haben Banachraum und jetzt ganz abstrakt hinschreiben brauchen Sie aber nicht zu stören er des h außerdem die doch und Norden die 2 haben sie abgeschlossene Teilmenge davon durchaus erlaubt und für sie im Moment das Beste zu vorstellen vergessen sie aber teilnehmen indem sie ihm im gleich V das abgeschlossen und dann 7 Funktion von nach diese Funktion ist ihr Problem diese Funktion ist ihre Gleichung lösen wollen nur die Funktion muss jeden Vektor n M 1 Vektoren in zuordnen und ihre Probleme müssen Sie schreiben kann in der Form also das Problem das Sie lösen wollen hat die Form wir suchen eine Frau so dass er von Frau gleich aus ja das ist Ihr Problem ist das ihr Problem irgendwie in diese Form Krieg für einen möglicherweise wozu hochkompliziertes F ja also 2 wenn sie Nullstellen Probleme haben sind Funktion haben Sie suchen erfahren wir gleich 0 dann als ziehen sich dann addieren Sie auf beiden Seiten der Gleichung W dann suchen sie ein dann haben sie ein Problem der Form f und g +plus Vegleich gleich wie ja dann ist er in sie SFF von +plus W und dann ist es in der Frau also man kann sehr viele Probleme diese Form aber die Problem muss irgendwie in dieser Form vorliegen von Frau gleich ab so Fixpunkt Problem Sohn ein .punkt wenn das F nicht ändert ja und die wesentliche Voraussetzung die gelten muss ist das folgende dass es muss der sogenannte strikte Kontraktion sein was das ist die Voraussetzung muss 2 Voraussetzung nachprüfen Satz anzuwenden da gut geben denn das ist Banachraum alles möglich sein muss aber das f muss nach schicken ich musste so genannte selbst Bildung sein damit es im von A nach B geht und A B sind Bananen und Besen Pflaumen dann können sie es von Frau gleich V garantiert nie lösen bei der Banane ist nicht glauben ja aber wenn das Funktion von nach geht zu müssen Hoffnung dass es diese Gleichungen lösbar ist und dann kommt die 2. große wichtige Eigenschaft das muss und Coup geben das strikt kleiner als 1 ist also zwischen 0 und 1 so das folgendes Bild der Abstand zwischen 2 beliebigen Bilder an von 11 muss immer kleiner gleich Maike von Cube mal den Abstand Urbilder sein für alle x und y aus enden das bedeutet das das bedeutet dass man eine strikte Kontraktion das ist er für seine strikte Kontraktion der wann immer sie sich 2 Punkte hernehmen und jetzt abbilden muss durch das Update Abstand ich kleiner werden nur der Abstand der Bilder das steht links muss kleiner sein als Abstand Urbilder und zwar nicht nur irgendwie kleiner sondern sogar um dem ganzen Faktor Coup der kleiner als Arzt also ihre Abbildung muss Abständen bei mindestens um 2 Prozent reduziert und 1 ein Prozent reicht auch also irgendwas zu muss die reduziert ich reduziert das gestrickte Kontraktion sondern sie das haben strikte Kontraktion auf ne Menge M dann sagt
in der Bahn dafür Fixpunkt Satz ihre Gleichung ist lösbar und nicht nur das in der schönsten aller Welten sie ist eindeutig lösbar es gibt genau eine Frau aus so dass er von Frau gleich für uns das in sogenannten Xbox also diese Voraussetzung gibt es genau eine Hausfrau so dass die Gleichung gilt also eine eindeutige Lösung für Ihr Problem und wie gesagt sehr nicht eine eindeutige Lösung sondern der Satz geht ihnen sogar der iterative Vorschrift wie sie diese Lösung kriegen sie brauchen also Kriege für rekursive Folge die guter Ansage und Garantie gegen die Lösung konvergiert und das schöne ist für diese interaktive Folge dürfen sie sich in beliebigen Startwert nehmen also das Ding ist extrem robust müssen auch nicht weil ich das sehr gut raten bei dem sich der Staat mit der nämlich ich meine natürlich den Startwert irgendwo mitten in die Pampa legen dann dauert es länger bis es die aber egal sondern definieren sich ihr rekursive Folge einfach durch Einsetzen in f passendes x 0 setzen das F 1 und X 1 rausnehmen sich's einzusetzen F 1 und die 2 aussetzen F 1 um die und so weiter und die Aussage ist diese Folge egal mit was sie als x 0 starten ist immer konvergent und konvergiert gegen den Fixpunkt vor das heißt sie können auf diese Weise jeden Fixpunkt Frauen numerisch iterativ beliebig genau annähern und das ist noch nicht vorbei sondern es wird noch besser der Satz liefert Ihnen auch ein der Abschätzung wie welche Fehler sie machen zu können von vornherein sagen wenn ich mit dem Fixpunkt startet mit mit mit dem er erstarrte dann bin ich nach 23 Schritten mindestens so und so genau was haben Sie sogenannte priori und A posteriori Abschätzung sprich wenn sie den
Fixpunkt von kennen das ist natürlich relativ Megastädte fungieren sie nicht das ist der der Punkt so cm x 0 x 1 aus und wenn sie wissen wie groß x 9 x 1 ist also wie groß der Abstand von x nur zu arg zu X 1 ist mir das haben sich schnell x 0 denn sie irgendwie X 1 rennen sie aus immensen Abstand aus und dann sagt denn der Satz dass der Abstand wenn Sie jetzt noch 385 Schritte weiter rechnen dann wird der Abstand von diesen 385 dations wer zum zur Lösung kleiner sein als Kuch 385 durch 1 -minus shconmal der Abstand 1. bald falls sie können nach dem 1. Relations Schritt schon der Abschätzung abgeben wie lang sie höchstens rechnen müssen äußerst praktisch und Sie können das Ganze sogar noch im laufenden Betrieb dauern verfeinern weil sie nämlich auch immer wissen der Abstand von ihrem aktuellen Enten Iteration Sweet Xn zu V den können sie kontrollieren durch die Veränderungen die Sie im 1. Schritt hatten also der Abstand zwischen x 1 x 1 -minus 1 das ist das was Sie beim Enten Schritt interaktiv verbessert haben und sie wissen wenn sie diesen Abstand den winzigen Endes 1. 1. Namen Sie diesen Abstand und dann wissen Sie sind noch höchstens Co mal 1 mit durch 1 -minus q von ihrem von ihrem realen echten Lösung muss von der Lösung weg ja das ist die sogenannte A posteriori Abschätzung also die 1. ausrechnen können man sich schon n Schritte gemacht haben was der Rio Abschätzung und das 1. ist die a priori Abschätzung Weise die schon ausrechnen können wenn sie nur die 1. denn erst mit der Ration Schritt gemacht hier es der banale Umsatz wie gesagt der wird wer also kann gut sein dass sie ihn mal begegnet war leer einfach war ein ganz starkes Hilfsmittel ist Existenz Eindeutigkeit von Lösungen von Irving Gleichung zu sichern und zweitens die Dinge auch noch zu nähern das spätestens in der numerischen mal mittig früher sie das und ich will in dem es nicht beweisen könnten wir es machen als alle Tools die wir brauchen haben das Skript steht unvollständige Beweis mir Spaß dran hat schau sich denn gern an also alles was wir brauchen ist da sondern ich will Ihnen noch kurz im Bild für diesen Satz ins im Kopf haben weil ich glaub dann Mehr ich den sie nur mehr was der sagt und können sich den besser vorstellen ich hatte man allerdings .punkt das ich mitgebracht hier sein das dabei noch Fixpunkte also da seit die Seite hier die an als er die andere auch aber das ist ich meistens anerkennen können aber die meisten wenn die Struktur ungefähr kennen das ist für doch statt .punkt und jetzt wo sie den aber waagerecht hinlegen sonst funktioniert es nicht Landkarte es strikte Kontraktion warum was macht man bei der Landkarte man dehnt sich Punkte in der also n umgekehrt erstmals dass dieser Laden Stadtplan jeder selbst der Bildung also es jetzt Darmstadt da unsere Menge M es Darmstadt wird indem sie die Stadtgrenze zu es dampfte doch abgeschlossen und die Abbildung die jedem Punkt in Darmstadt der sprechen .punkt am Stadtrand zuordnet dies solange dampft der Stadt liegt selbst Bildung wir bei der .punkt offen und Darmstadt ist wichtig dabei sich ohne den Heidelberg falls es keine Sätze Bildung mehr wäre aber solange hier liegt oder wenn ich im Heidelberger stattfindet aber sein der das den anständig ist es dann doch und das Ding nicht durch die Kontraktion was erstreckte Kontraktionen sie 2 Punkten der im Urbild im also im Fall der Realwelt und die ab bilden dann muss der Abstand aber kleiner das ist beim Stapler normal der Fall so sind diese unhandlich ja also das wäre meinem Stadtplan Master und das ist ganz normal das Q das Coolermaster nun zwar das gut also den Fall verdammt klein es Kuh ist irgendwie so und etwas für sich als sondern wo steht das gut 20 Tausend jedes Mal wenn sie sehr wurden Realität haben haben die 20 Tausend Mal so klein hier dargestellt also ist es sich richtig Kontraktion also hat das Ding genau ein Fixpunkt aber wo wo man genau davor auf dem Stadtplan der Hexagon ist 1. Lockenstab beim Wechsel man eingezeichnet ist es denn sie ist sich nicht aber das ist ja ein und um mit gegenüber Männern starten da ist .punkt der Punkt 4 wenn Sie die App bilden also wenn sie den von der Realität auf Bestattern ablehnen bewegte sich nicht und das der Fixpunkt und davon gibt genau ein weil jeder andere Realität bewegt sich auf nicht aber nur also beim sich und setzen dennoch als so und jetzt kann man noch die Generation machen wie finde den Fixpunkt aus dass wir wissen wo es aber sich müssen wir finden Iteration Vorschrift steht wenn sich der Staat wird er das Haltestellenschild von linearen Böllenfalltor mir völlig egal wer anstatt dicksten er in Darmstadt zur was sagt Generation X 1 ist dann was es als er von x 0 also müssen jetzt die sind statt .punkt das alte Städtchen von linearen Böllenfalltor bilden mit unserer Abbildung die jetzt brummt nämlich jedoch durch Stadtplan jagt Na also X 1 ist hier Huhn das nicht der derzeit auf dem Stadtplan das ist schon ziemlich viel näher dran an dem wir vom 1. Böllenfalltor ja klar weil sie mir da in jedem Schritt verbessert sich unsere Näherung Kuh durch 1 -minus q gut daran keine großen 20 Tausendstel es ist 1 -minus q modulo Kleinigkeiten 1 also Trend ein 20 Tausendstel durch 19 Tausend 999 20 Tausendstel ist ein 19 Tausend 99. also Schritt wird die Währung war um um 19 Tausend 99 besser dass es ganz gut so könnte es meiner man es wenn Sie den Punkt hier muss Böllenfalltor ein getrenntes bilden wieder auf den Thron dem Stadtplan ab wo dieser Punkt war ich da sieht man jetzt schon kein Unterschied mehr ja das ist es was der Fixpunkt dabei Leute dort nur noch 90 Quadrat dermaßen groß ja das ist aber noch nicht geschafft auf die Weise kann man sich den ganz gut vorstellen und der funktioniert eben immer dann wenn sie Sonne kontrahieren Abbildung haben den man in sich selbst abbilden gut ich hoffe dass das wenn er ihnen mal kommt wieder in ihr Gedächtnis kommt ich bin jetzt mit der Matte 1 am Ende ich hab ich sehe das Ganze als eine Einheit also die Matte 2. fließt nahtlos da an wo wir jetzt stehen dementsprechend gut wenn ich das sicherlich ein sehr Begriff aber wiederholen aber halten sie das präsent was wird gerade gemacht haben oder holen Sie sehr präsent war das wollt es auch noch sagen sie gehen jetzt erstmal mal sie kriegen jetzt nicht nicht zur Marke 2 nach vorn sondern sie blicken jetzt natürlich zum als zurück weil sie wollen ja demnächst Klausur schreiben das wünsch ich Ihnen alles alles gute und viel Erfolg und weil wir das jetzt hier diesen Abschnitt 5 Schluss gibt knallt haben wollt ich denn jetzt in noch Ende erlassen also vergessen Sie denn für die Matte 1 das alles bis jetzt so relevante also bis 4 .punkt 4 und vom 5 ganz vergessen dass dann werden sie man 2 mitnehmen oder aber so nicht gibt wird da kommt das ist implizit Ida und vor allem den Teil können sich genauso wie die Sachen die ich weggelassen hatte also die Frage auch immer kommt das es 3 5 über die Geometrie kann das nicht gemacht haben etwa sind nicht vorkommen der 4 5 1 war auch raus und dann wünsch ich Ihnen dafür die Vorbereitung alles gute ich werden er dann noch mal an die verschiedensten für es Angebote die da auch noch geht also den Vorbereitungskurs von der das es so nur die Fäden Sprechstunde es wirklich geschafft ab Montag laufend gibt's jeden Tag eine Sprechstunde bis zur Klausur nutzen Sie die kommen sie mit Alien Fragen die beim R vorbereiten auftauchen dahin dann alles gut am 7. März 8. März und wir sehen uns wieder nach wenn die Planung so bleibt und das halt ich für sehr wahrscheinlich am Dienstag den 10. April 1. Vorlesung hatte 2 Dienstag 10. April 8 Uhr und in Ehren das heißt es Semester startet dann damit weiter der Montag ist ein Feiertag und legen dann weiter los mit Matte 2 ja bis dahin wünsche ich Ihnen neben der guten Klausur auch noch ein paar Tage Freizeit alles gute vielen Dank dass insbesondere an alle die die jetzt da sind und wir so treu beide zugehört haben und die auch vielen Dank für die Aufmerksamkeit heute und dem ganzen Semester ist da
Einfach zusammenhängender Raum
Konstante
Teilmenge
Summe
Menge
Betrag <Mathematik>
Normierter Raum
Gleichmäßige Beschränktheit
Vektorraum
p-Block
Vektor
Einfach zusammenhängender Raum
Betrag <Mathematik>
Natürliche Zahl
Vektor
Zahl
Null
Grenzwertberechnung
Einfach zusammenhängender Raum
Folge <Mathematik>
Quadrat
Punkt
Vektorrechnung
Plausibilität
Normierter Raum
Zahl
Null
Grenzwertberechnung
Summe
Folge <Mathematik>
Vektorrechnung
Betrag <Mathematik>
Quotient
Berechnung
Normierter Raum
Vektorraum
Biprodukt
Vektor
Skalarfeld
Grenzwertberechnung
Mathematische Größe
Einfach zusammenhängender Raum
Folge <Mathematik>
Vektorrechnung
Eigenwert
Reihe
Umkehrung <Mathematik>
Normierter Raum
Vektorraum
Vektor
Konvergente Reihe
Einfach zusammenhängender Raum
Einfach zusammenhängender Raum
Quadrat
Polynom
Exponent
Klasse <Mathematik>
Normierter Raum
Teilmenge
Kreis
Radius
Folge <Mathematik>
Länge
Punkt
Kreisfläche
Kugel
Menge
Fläche
Offene Abbildung
Linie
Teilmenge
Radius
Punkt
Kugel
Menge
Natürliche Zahl
Innerer Punkt
Teilmenge
Kreis
Radius
Folge <Mathematik>
Punkt
Kugel
Menge
Schnittmenge
Abgeschlossene Menge
Folge <Mathematik>
Kugel
Menge
Grenzwertberechnung
Folge <Mathematik>
Rollbewegung
Formation <Mathematik>
Gleichmäßige Beschränktheit
Vektorraum
Zahl
Teilmenge
Index
Kugel
Menge
Betrag <Mathematik>
Reelle Zahl
Kompakte Menge
Normierter Raum
American Mathematical Society
Grenzwertberechnung
Mathematische Größe
Radius
Folge <Mathematik>
Zusammenhang <Mathematik>
Punkt
Element <Mathematik>
Kompaktheit
Teilmenge
Kugel
Betrag <Mathematik>
Menge
Kompakte Menge
Umkehrung <Mathematik>
Normierter Raum
Volumen
Schranke <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Ebene
Vierzig
Hilbert-Raum
Lag
Banach, Stefan
Skalarprodukt
Mathematiker
Normierter Raum
Vektorraum
Koordinaten
Formation <Mathematik>
Unlösbarkeit
Algebraisch abgeschlossener Körper
Folge <Mathematik>
Momentenproblem
Gleichungssystem
Variable
Vollständigkeit
Quadrat
Reelle Zahl
Normierter Raum
Raum <Mathematik>
Vektorrechnung
Reihe
Ähnlichkeitsgeometrie
Vektorraum
Gleichung
Teilmenge
Hilbert-Raum
Summe
Lösung <Mathematik>
Skalarprodukt
Absolute Konvergenz
Betrag <Mathematik>
Mathematiker
Fixpunkt
Axiom
Faktorisierung
Große Vereinheitlichung
Momentenproblem
Vektorrechnung
Abbildung <Physik>
Gleichungssystem
Gleichung
Vektor
Rekursive Folge
Abgeschlossene Teilmenge
Banach, Stefan
Menge
Nullstelle
Abschätzung
Fixpunkt
Urbild <Mathematik>
Punkt
Abbildung <Physik>
Eindeutigkeit
Iteration
Gleichung
Sechseck
Lösung <Mathematik>
Quadrat
Elementare Zahlentheorie
Menge
Abschätzung
ALI <Programm>
Fixpunkt
Kontraktion <Mathematik>
Urbild <Mathematik>
Geometrie

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Konvergenz in normierten Räumen
Serientitel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 29
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/33619
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2012
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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