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Matrizen und lineare Abbildungen II

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Automatisierte Medienanalyse

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wo sind die also immer nur hat der ernannt werden an der TU Darmstadt so
mal herzlich Willkommen guten Morgen und ein Anwesen in vielen Dank dass Sie Herr gekommen sind das wahrscheinlich so ziemlich die ungeschickteste Vorlesung organisatorische Ankündigung aber ich hoffe mal dass nach ein paar Leute durch die Kamera zu gucken aber sie uns auch alle per Email gekriegt denke ich wir haben übers Modelnde Evaluation für Übungsleiter eingerichtet und ich würde sie gern alle bieten da möglichst heil zahlreich teilzunehmen und einfach damit sehr gute Rückmeldung gibt für die Übungsleiterin Übungsleiter für uns allen was läuft und was nicht also in Mode einfach mal reinklicken und bitte aber Fragen beantworten kann gut inhaltlich sind wir man n ein einführen von den komischen Matratzen ich hatte ihm gesagt wenn man diese Matrizen diese Matrix Rechnung weil wir damit ein starkes Hilfsmitteln die Hand bekommen um lineare Abbildungen behandeln zu können und mit den Rechten zu können und lineare Abbildungen so abstrakt sich das anhört sind was ganz alltägliche sind sozusagen die einfachsten Nationen des Raums die Sie machen können und die ständig vorkommen Drehungen Spiegelungen Projektionen R und alles was sich aus dem Meer gibt und noch viel mehr als es sind nur einfach so ein paar typische Beispiele ich hatte letztes Mal gezeigt also hatte nicht mit weniger Bildung angefangen sondern Beitritts Monate gezeigt dass wir Matrizen unter gewissen Umständen nicht nur addieren und Scala multiplizieren sondern auch miteinander multiplizieren können und dass dabei wieder neue Matrizen rauskommen und bevor wir jetzt sagen gleich einsteigen den Zusammenhang zwischen Matrix und lineare Abbildung will ich noch ein letztes Ding machen was mit Matrizen anstellen kann das ist sehr übersichtlich und einfach dass das so genannte transponieren je haben sie am transformieren schon gesehen aber mit Vektoren gemacht mit der Summe X mit oben T war dann der oder aus dem Zahlenwerk Vektoren Spaltenvektoren umgekehrt das können wir auch zum findet Ritzen machen also Definition 7 8 wenn Sie niemals Sex haben was man noch mal Matrix und Matrix ein Schema von P Kreuz zahlten sie mal in Zahlen mit 2 Lauf Variablen durch initiiert die 1. Lauf variable J gibt die Zeilennummer an die 2. Sieg glaubt variable Cage die Spalten Nummer 1 also in dem Fall hätten sie es zu tun mit einer Matrix mit P Zeilen und N Spalten und was man jetzt machen kann ist einfach Zeilen und Spalten vertauschen das ist das was man transponieren nennt also die Matrix A transponierte mit zum Trost T oben dran geschrieben ist dann die Matrix mit den gleichen Zahlen drin nur das Element was vorher an der Stelle 3 7 stand streiten sie jetzt an die Stelle 7 3 Mehr also ich spiele die ganze Matrix machen aus den Zeilen Spalten aus den Spalten Zeilen und das geht dann die Matrix Allvar kJ vertauschen einfach die beiden Indizes jetzt ist am See K läuft natürlich immer noch von 1 bis N 9 J läuft von 1 bis P und dementsprechend sie beim Transponieren dann eine Matrix raus was dem K hoch n Kreuz P also das ist die zu transponierte Matrix zwar beispiele Na ja wie gesagt es ist nicht besonders tiefsinnig was Sie machen ist die man aus den Zeilen Spalten aus den Spalten Zeilen also wenn sie die Matrix 3 2 5 1 2 3 transponieren dann wird aus der 1. aus der 1. und
meinte legt aus der 1. Zeile die 1.
Spalte also 3 2 5 und aus der 2. Zeile die 2. Spalte und dementsprechend wird aus einer 2 Kreuz-Drei seine 3 Kreuz 2 Matrix wo wir das schon mal hatten war im Spezialfall von einer zum Beispiel eines Kreuz-Drei Matrix bei einem Vektor aber auf die Weise aus der Zeile Spalte 8. es ist eine Erweiterung dieses transponieren zum Vektor trotzdem ist natürlich unseren Zusammenhalt über die Frage wenn sie jetzt eine neue n der Manipulation Segelflieger Matrizen haben wie verhält sich die zu den anderen also was ist mit dem transponiert und von der Summe oder dem Transponieren von dem Produkt
also wenn sich 2 Matrizen hernehmen die Sie addieren können also gleiche Größe A und B beide aus dem K P Kreuz enden und muss gar Wallander aus dem Körper dann verhalten sich diese hält sich das Transponieren die Jahr oder so wie man es gerne hätte also wenn Sie die Summe von 2 Matrizen haben und die transponieren dann können Sie auch die einzelnen Matrizen transponieren und dann addieren wenn Sie eine Matrix miteinander multiplizieren und dann transponieren können Sie auch 1. transponieren und dann mit lahmender multiplizieren und drittens war es hing was auch relativ logisch ist man kurz drüber nachdenkt was passiert wenn sie transponierte macht dies wieder transponieren werden sie aus den Zeilen Spalten machen oder sparen wir zeigen dann ist alles so wie vorher also das Transponieren transponiert ist wieder die mach ich selbst der Name Insassen des teilt was noch fehlt ist was ist mit dem Transponieren von a mal b dazu brauchen erstmals 2 Matrizen dieser Art multiplizieren kann also aber mit Codezeilen und gespalten und dann eben den B das muss jetzt Pezzey haben und jetzt kommt die einzige Stelle um ein bisschen
aufpassen muss was ist wenn sie ein Produkt transponieren dann würde man jetzt gerne Isoformen schreiben transponiert mal transponiert und wenn sie kurz drüber nachdenke stellen sie fest das kann nicht sein weil transponiert ist eine P Kreuzchor Matrix und Bill transponiert ist eine n Kreuz P Matrix man eine P Kreuzchor 1 n Kreuz P Matrix geht nicht aber zum Glück geht und was auch gilt ist ungeklärt also Sie dürfen das Transponieren auf die Matrizen verteilen aber sie müssen dabei die Reihenfolge umdrehen und wie gesagt wenn Maltritz ist die Reihenfolge sie entscheiden sie multipliziert und dementsprechend zieht die Rechenregel so aus wie das dem Prinzip so aussehen muss das überlegen Sie sich in auf dem was ich nicht auf Rang 1 an den nächsten Übungsblätter aber das ist er weil es nicht geht sieht man schon immer eine Dimensions betrachtet also Transcriber Distanz mit diesem allgemeinen gar nicht definiert so ich kann noch kurz dessen dazu sagen warum noch ein 2. Grund geben warum diese Rechenregel so aussehen muss und nicht anders das
nach verpackt in der Form von Übungsaufgabe und die erklärt auch ein bisschen ja also mein das Transponieren hat sich in beiden Vektoren erzählt ist zum einen dafür da Platz zu sparen bei der Matrix jetzt nicht so unbedingt weil wenn man Kreuz in Matrix transponieren dann ist es immer kurz in Matrix und wenig viel Platz gespart aber die eine andere Bedeutung und das ist der Zusammenhang im Skalarprodukt also sie haben Matrix nicht mit Skalarprodukt arbeiten will muss sich hier auf erarbeiten wir wir haben wir bisher nur da Skalarprodukt definiert also eine Matrix er mit quadratischen Matrix auf Mehr er aus mir ein Kreuz N und wie ist üblich bezeichne nichts mit den Klammern unter dem Strich in der Mitte des Senders Skalarprodukt auf dem N so und dann behaupte ich folgendes wenn Sie nehmen mit einem Vektor x multiplizieren Mix aus n am Kreuz in Excel alles aus Ausländer als ein im Kreuz 1 Vektor kann man miteinander multiplizieren kommt legt am Ende raus und denken Sie Skalar produzieren Zählern dann behaupte ich dass ist immer das Gleiche wie X Skalarprodukt Produkt mit transponiert y wenn Sie das ein Skalarprodukt auf das andere Argument werfen wollen dann müssen sie es transponierte nehmen eben egal was das X und das y sind aus nein das ist eine Übungsaufgabe demnächst kommt und wenn sie das ist der Moment mal glauben dann wird auch die Rechenregeln von gerade eben klar die die muss dann so sein weil was ist dann es anders rum was ist dann x Skalarprodukt mit AB transponiert y das Ding da oben sagt sie wenn Sie das transponierte auf die andere Seite werfen also die Nachricht auf die andere Seite werfen unter das Kinn sind bei das transponiert weg oder grinsen transponierte zu das ist wurscht der Knochen transponiert dazu oder eines weniger ist das gleiche so jetzt können wir natürlich auch erst mal nur das rüber werfen dann kriegen sie zur nach der Rechenregel oben wenn sie die Matrix das andere Argument werfen sehen Sie darin transponierte und können das weder Herr werfen und dann haben sie das diese Gleichheit für alle x und y aus dem n gilt und was man sich jetzt noch
überlegen muss das ist auch Teil dieser Übungsaufgabe ist das daraus schon folgt dass die beiden mit ritzen gleich sein muss wenn dieses Gewehr Produkte für jede Wahl von XY gleich sind dann sind und die Matrizen gleicht wollen Sie ihn sehen er ap transponiert B transponiert transponiert macht irgendwie Sinn Sarah das kurz zum transponieren und jetzt kommt der Abschnitt für die diese ganze Matrix Rechnung da aber man die Matrizen werden total interessant bringt aber der wäre nicht so interessant und man würde ihn nicht so angucken wenn der nicht ganz wichtige er Bedeutung hätte nämlich eben dass die Matratzen und 7 Jahre Abbildungen beschreiben und dem mit dem Rechnen zugänglich machen und das ist unter Abschnitt 7 2 da geht es um die Abbildung Smart Tracks einer linearen Abbildung also jetzt gehts um diesen angekündigten Zusammenhang zwischen lineare Abbildungen Abbildung es Matrix und Matrix so das gucken und wieder nur also nehme lineare Abbildung auf endlich dimensionalen Vektorräumen also das Setting in dem ganzen Abschnitt ist werden 2 endlich dimensionale Vektorräume K Vektorräume und wir haben jeweils Basen und wir können uns wählen gibt es immer also wir haben eine Basis PNV den Elementen ich mal B 1 B 2 des n ist eine Dimension von Frau und an der Basis C die Elemente nämlich wieder C 1 bis C P das hatten wir letzte Vorlesung schon das seine Basis von W so und dann sehen wir uns die lineare
Abbildungen und fahre nach B vor das das Setting wir die ganze Zeit sind in diesem Jahr Abbildung Vieh also stellen Sie sich vor Faust R 3 wie es der 3 die lassen sich dann der Basen und es fließt die Drehung um 47 Grad ja und da um die z-Achse und wir wollen jetzt dieses Vieh irgendwie beschreiben und dann hatten wir denn das war letzte Vorlesung die Bemerkung 6 21 naja
da hatten wir schon ein bisschen rum gerechnet das war die Bemerkung die uns irgendwie nahe gelegt hat dass es da einen Zusammenhang geben könnte zwischen in ihren Abbildungen Matrizen wir Folgendes festgestellt wenn sie die BK 1 bis 4 Einsätzen ist die Basis weg wollen Frau dann kommen da natürlich wollen wir raus und die können sie wieder in der Basis C darstellt na und das haben wir gemacht indem wir die dir Geokoordinaten in der Basis C von diesen Vektoren geschrieben hatten das Alfa JK war natürlich als XP und Karl gleich 1 ist Dimension von W in die Dimension von vor Ort und das und das denn immer mit skalaren Einfall JK Oscar und dabei festgestellt wenn wir diese Bilder kennen wir die Bilder der Basis Vektoren kennen die viel von BKA dann können wir das sind n Vektoren die Sie kennen müssen und wenn sie die Vektoren kennen den sie die ganze Abbildung weil dann können sie jedes Vieh von x ausrechnen wenn Sie sich jetzt würden X aus V hernehmen und dieses X und den zugehörigen koordinaten vektor bezüglich der Basis B also den hat sich sie 1 bis sie geschrieben also das es sich Masse mal deutlicher der Koordinaten weckte bezüglich der Basis bilden da können Sie jetzt die von x 10 schreiben in dem Sie folgendes machen Sie nehmen diese Zahlen Alfa jk die beschreiben dass die Basis Vektoren macht und packen in Matrix mit einem P Kreuz in Matrix J das wird von 1 bis B und geht von 1 bis n nein das ist nicht P Kreuz in Matrix und dann können Sie die von x ausrechnen in dem See wird das hat man damals ausgerechnet eine Summe über J und der Summe über Karl Alfa jotka Zika multipliziert mit J was diese innere Summe 10 große Skalar das Leben mit dem sie die CJD wenn ja kombinieren also anders aufgeschrieben das steht hier es ist die in
der Summe die in der Summe ist wenn sie sich genauer angucken die Multiplikation der Matrix A mit den Koordinaten von X also hier steht nehmen wir an Multiplizieren mit X den coolen legte von X in der Basis B nehmen davon die jobbte Komponente und multipliziere das C 8 was bedeutet das jetzt das bedeutet das Ziel von X haben Sie dargestellt in der Basis C während der muss das Layar Kombination von Vektoren CJ geschrieben und die Koordinaten von dem wie von X dar nur die Koordinaten sind einfach mal X war also der Vektor er mein Text vorbei dass jeder Pollenarten legte bezüglich der Basis B ist das dieser Vektoren dass es ein Vektor in in welchem Raum der Koordinatenvektors von X der Basis B hat in Komponenten weil die Basis PIN Elemente hat der 7 km in der er in Teilen die bei eine Matrix hatten oben geschrieben ist in KP Kreuz in im Fall können sich wieder vorstellen als Imker in Kreuz 1 um 7 p Kreuz N Matrizen und bezieht der im Preis 1 Matrix gibt ne P Kreuz 1 Matrix und P Kreuz 1 SKP nur und KP es isomorph zu gehen kann so also dieser vektorisieren das ist dann der Koordinatenvektors von 4 von X bezüglich ziehen .punkt also wenn sie der lineare Abbildung sind Sektoren haben sind ähnlich dimensionalen sie wählen eine Basis und einen in Basis dann können Sie in 7 Koordinaten rechnen die Wirkung der Abbildung VII darstellen durch die Wirkung der Multiplikation mit der Matrix A um die Matrix A beschreibt also viel haben nur zusammen die Matrix
A beschreibt sie in Koordinaten bezüglich B und C die Matrix A kann natürlich nicht in V oder wie agieren bei Frauen wiesen Direktor des können folgen wollen oder irgendwas sein aber wenn man das Ganze Bezüge durch Koordinaten Sektoren in K 1 und KP übersetzt macht die Matrix A genau das was die Abbildung viel macht und deswegen denn trägt diese Matrix Namen also selbst in der gleichen Situation wie die ganze Zeit während 2 K Vektorräume Frauen-WG wenn man Faune Basis des wir haben ihn zu denen Batman als Basis 10 wenn es Dimension von VP ist die Dimension von Wert wie ist die lineare Abbildung und am weiter die findet wir als die Matrix diese sie kriegen wie oben das heißt als sie die alpha JK das sind die Koordinaten der Bilder der Basis Vektoren also sehr viel vom BKA in der Basis zieht sorgten dieses heißt dann Darstellungs Matrix oder auch Abbildung des Matrix von vielen und es ist eine Sache wichtig ob diese Vision wir an diese Matrix gekommen wir haben uns Basen B und C gewählt und haben jeweils dies vom BKA ausgerechnet und dass die vom BKA wie den der Basis C dargestellt und das Ganze hängt natürlich extrem davon ab welche Basis B und C gewählt wenn Ihr Nachbar andere Basis wählt wenn da natürlich auch völlig andere als HJK uns und völlig andere Matrix so nach 6 ist nur so lange eindeutig wie sie ihren Basen festhalten deswegen nutzt nichts zu sagen ist die Darstellungs Matrix von 4 weil es gibt nicht die Darstellungs Matrix von Vieh dabei ist die Basis allen Kriegen sind andere so dass es die das der smarte von Fly bezüglich B und C sie müssen wir dazu sagen bezüglich welcher Basen sie gearbeitet haben schlagen sie die Basis nicht festlegen gibt es keine Darstellung Smartrac so und das muss man sich jetzt in der Notation einfallen lassen und ich hab schon mal eine ausprobiert dafür gibt es einfach für diese Abbildung SmartThings gibt es keine Steine Rotation der Literatur also da ich die Bücher gehen Person die meisten sich um der also versuchen einige sich um Notation komplett zu drücken und alle Anwender privat Notation hier ist meine privat Moderation also dieses bezeichne ich als großes das so einfach für Matrix stehen an die Matrix schreiben uns die Basen dran weil wie gesagt sie müssen westliche Basen sehr unseres haben sie keine Abbildung Smart oben die Basis im Ausgangs Raum unten die Basis im Zielraum und dann muss man noch sagen von welcher Bildung das die Basis die Matrix ein so Strapsen um auf die nächste Seite also die Notation
ist die App Bildungs Matrix A ist die Abbildung SMA Tricks der Abbildung 4 bezüglich der Basis Ausgangs Raum und der Matrix 10 ich glaub und jetzt ist die Frage gegeben lineare Abbildung wie kommen Sie an die Bildungs Matrix dran das sie an die aber das macht nix dran kommen wollen dann habe ich hoffentlich der ist es hoffentlich irgendwie klar geworden der Vorteil daran wenn sie die App Bildungs Matrix haben ist dass Sie mit der App
Bildungs Matrix sie hat dass man es einmal ausgerechnet haben siehe Abbildung dann können sie jedes Vieh von X sofort ausrechnen bitte lesen Sie das x also steht verlegen Sie das X in seinem Koordinatenvektors für 1 bis XI Ehen multiplizieren Sie den Kontendaten weg mit A 9 artigsten Wetter multiplizieren das ist das Aufbrecher kein Hexenwerk und dann haben sie die Corinna und bezüglich C das heißt wenn sie ihn in der Abbildung rächen wollen und wie gesagt spätesten bekommt wieder Grafik muss man dauernd in der Abbildung rechnen wir wollen sie wieder Martens rechnen nicht mit der abstrakten abgelehnt das heißt sie wollen zu ihrer Bildungs zu ihren Abbildung die Matrix kennen und die Frage so kriegen sie die her und die dir die Regel steht schon die steht jetzt hier ganz oben Sie die 1. Zeile angucken was sind die alpha jk das müssen Sie machen sie müssen die Basis Rektorin der viel tionsbereichen Definitions Raum des und Industrie einsetzen und dann müssen sie die entstehenden Vektor W in der Basis C darstellen und die Koordinaten die sie kriegen wenn sie die sie vom BKA Inc darstellen das sind die das sind die Elemente in der Matrix nur noch überlegen wie die da drin stehen es viel von BKA kriegt die Koordinaten als K das heißt das Bild des Karten Basis Vektors der Karten Spalte der Matrix und das schreibe ich Ihnen als Merkregel auf unter die
Merkregel können Sie über Weihnachten jeder dreihundertmal memorieren und bitte nie wieder vergessen also wie kommen Sie denn die Abbildung Smart Fritz Paare ab aber wir kommen sein die Abbildung Smart Tricks sie müssen gehen die vom BKA bestimmen und deren kurz deren Koordinaten sind sie und die Koordinaten des Kasem Basis Vektors stehen der Karte Spalte also in den Spalten der Abbildung also gegebenen lineare Abbildung gibt vom die Abbildung SmartThings zu bestimmen schreiben Sie die Spalten der Abbildung Smart Specs die Koordinaten der Bilder der Basis Vektoren das ist die Merkregel also das ist genau das was ich gerade gesagt habe sie die BK B 1 bis B in den wieder die von der 1 bis 4 vom Willen steht in der Basis Zidanes gibt die Koordinaten der Bilder was Sektoren und die schreiben sie nicht weit und der Merksatz steht Nummer unter der Satz bissiger das würde von letzter Woche aber das Merksatzes der hier unten und da hilft jetzt denn meine Empfehlung ist denn dann einfach zwar dabei zu lesen und sich dann das muss sozusagen die 1. Reflex seine ab Bildungsmarktes aufstellen sollen er muss im Hinterkopf rappenden Spalt stehen die werde Ercole Nadelwälder was Victor und er müsse sich überlegen was ist jetzt gerade im Moment was sind gerade die Kundendaten der Wille der Bankensektor nur aber das ist es das ist die Aufgabe Mehr müssen Sie nicht tun zum aber seinem Beispiel leicht G 7 12 also will tja denn gesagt bei der ganzen Sache die es 2 Dinge die Sie tun wollen sie wollen zum einen die geben in der Formel für eine lineare Abbildung wollen sie wissen was tut die und umgekehrt sogar fast häufigeres Problem sie haben die geometrische Beschreibung für lineare Abbildung und wollt brauchen die Abbildung SmartThings damit sie damit rechnen kann das womit sie mal machen also was Sie beschreiben wollen ist die Abbildung die von R 2 nach R 2 geht und die Spiegelungen an der X zweiachsiges Na also Spiegelung an einer der Koordinatenachsen immer 2 das lineare Abbildung und wir wollen jetzt wissen was ist denn der Bildungsmarkt welchen vor gesagt was ist in Abbildung SmartThings ist schon eine in sich falsche Formulierung weil zur Abbildung hat mich eine Bildungs Matrix sondern sie müssen erst die Basis festlegen weil sie die Basen festgelegt haben dann können Sie ab dem SmartThings besteht ja also jene Basis fest damit dem Fall der Abbildung die von dem Raum in sich selbst geht von e 2 nach e 2 dann macht's Sinn oder macht man meistens es sei denn es gibt gute Gründe es nicht zu machen dass man denn er 2 auf beiden Seiten der gleichen Basisausstattung ist aber nicht verpflichtend ist nur meistens ziemlich also unten naheliegend ist auch solange man keine anderen Gründe hat das wär's nicht an der Basis den Mehr es werden kann und wir das genau also erstmal naheliegend die Standard Basis zu nehmen weil es gibt da keinen Grund andere zu nehmen wir lassen Sie sich aber nicht zu dem Trugschluss verleiten dass es nen Grund gibt ne andere zu leben und dass sie ihr Leben damit Fristen können über die Steine Basis zu zudem das so einfach ist die Welt dann auch wieder nicht werden kürzester Zeit beispiele sehen wo sehr sehr praktisch ist mehr andere Basis zu nehmen gut also was sind sehr interessiert ist werden die Spiegelung 1 x 2 Achse und das versuchen ist die Abbildung des Matrix
bezüglich der Basen B und B von Vieh das ist die Fragestellung so was ist mir zu machen also das was macht und sogar Abbildungen X 1 Achse X 2 Axel wer was macht die Abbildung wenn sie der weg zu futtern geben die spiegelt 1 x 2 Achse also dass das dann viel von wenn das da der Welt der Frau ist dann ist das der Flight aber auch gut so unsere Basis unsere Basis ist dicht an der Basis also das SP 1 und das ist die 2 was muss man machen in den Spalten der Bildungs Matrix stehen die Koordinaten der Bilder der Basis Sektoren also wir brauchen die Bilder der Basis Sektor was sind die Bilder der Basis Vektoren und dass es in dem Fall jetzt nicht besonders schwierig da gucken wir aufs auf die Zeichnung und sehen was passiert das bisher wenn sie B 1 an der IGS zweiachsig spiegeln kriegen Sie den Vektor -minus B 1 koste was passiert wenn sie wie 2 Spiegel es noch langweiliger wie 2 liegt auf der Spiegelachse ist die Spiegel basiert Connex wer 2. Saar aber die Bilder der Basis Vektoren aber brauchen nicht die Bilder Basis Vektoren seine brauchen die Koordinaten der Bilder der Basis Victor und zwar die Koordinaten in der Basis wir wir sind Zielraum haben dass in dem Fall auch B also was die was die Koordinaten von B 1 bezüglich B schnell dass es nicht so schwierig B 1 ist mit -minus B 1 ist minus 1 mal B 1 +plus nun mal wie zweimal also entspricht hat die von B 1 die Koordinaten -minus 1 0 und wie 2 das ist nun mal 1 plus 1 ergibt 2 also hat wie von Bild 2 die Koordinaten 0 1 zur und damit sind wir durch weil das kommt in unseren Matrix in die 1. Spalte da
Bildungs Matrix kommen die Koordinaten der des Bildes das 1. was ist weg das also 1. Basis weckte hat als Bild den Vektor -minus 1 0 oder die CoLinA Aldiko den Atem des Bildes das 1. was ist weg das 1 1 0 und die Koordinaten des Bildes des 2. Basis weg das sind 0 1 und nahm sie rappelt Matrix in dem Fall einfach Bildungs Matrix -minus 1 0 0 1 ist eine Spiegelung müsse sehr einfache Transformation der Ebene gehörten einfach aber zu so und was ist jetzt der Vorteil davon jetzt geben sie sich irgendeinen Vektoren vor vor zum Beispiel 2 1 interessieren sich dafür was ist das gespiegelte davon was brauchen sie sie müssen den Koordinaten weg davon x bezüglich B ausrechnen das in unserem Beispiel jetzt ziemlich banal weil wir dicht an der Basis haben es der Chor Daten Vektor gleich dem Sektor immer aber dann kriegen jetzt können Sie den mit der Abbildung SmartThings multiplizieren wer also X in B und was sie dann rauskriegen es dann der Koordinatenvektors von Ziel von X bezüglich B er ist zu machen haben sich in -minus 1 0 0 1 multipliziert mit 2 1 dann wieder Matrix Rechnung üben scheinbar spaltet Spalte gibt -minus 2 1 und das ist was sind hier steht ist im Prinzip wie von X und wenn man ganz genau ist es der Koordinaten Vektor von Phi von X bezüglich B wir da sie jetzt wie ein mal dann was es ist säkularen wirkte hier gleich den Vektor und der was rauskommt ist nicht arg überraschen wenn sie den Vektor 2 1 10. x y Achse spielen dann kommt der weckte -minus 2 1 das jetzt nicht verblüffend denn ist ja auch sozusagen ein wahres Beispiel dass man sehen so dass es wirklich funktioniert funktioniert eben aber auch mit viel komplizierteren in Jan ab also noch ein bisschen komplizierter weil Zahn Beispiel 7
13 normal die aber von der Standard Basis weg also diesmal mal sie andere Problemlage Sie haben lineare Abbildung von irgendwoher gegeben und sie haben vor mir dafür also Sie wissen wie wenn Sie deren x 1 x 2 zu füttern geben danach die Folgen 3 x 1 -minus 2 x 2 und x 1 +plus x 2 ein das lineare Abbildung des will ich Ihnen jetzt nicht vor Echsen das dürfen Sie mir Moment einfach glauben so ist es die Frage was ist denn Bildungsmarkt 6 gut dass erst die 1. ist das 1. Falles natürlich erst mal wieder die Ehre eine möglichst er die Standard Basis zu nehmen wie gesagt gibt wo man keinen anderen Grund also wir nehmen wieder 1. Basis dicht an der Basis nur 1 0 0 1 ja also wie gesagt wie es jetzt B gleich hat das ist sobald Abbildung haben die von einem Raum in sich selbst geht irgendwie naheliegend aber auch nicht verpflichtet Zimmer nachher sowie kriegen jetzt ja Bildungs Matrix Grundlagen der Bilder der Basis Vektoren bestimmen also brauchen die Bilder der Basis Vektoren was ist viel von B 1 setzte sie einfach 1 0 1 das kriegen Sie raus da kriegen Sie raus 3 1 und wie von den 2 das kriegen Sie daraus können sind wir 0 1 einsetzen -minus 2 1 1 also das hier ist 3 dreimal C 1 +plus 1 13 2 Mut weil sie nicht an der Basis und das da ist -minus zweimal C 1 plus 10 2 und dann Sie jetzt von den Bildern an sich von den
Basis die Bilder bestimmt und deren Koordinaten der Basis im Zielraum und die Koordinaten sind die Spalten der Abbildung Smart Grids also haben Sie hier die Abbildung des Matrix von dem VII bezüglich der Basen B und C wobei eben wie gesagt die gleich C ist also auch das da 1. Spalte Koordinaten vom Bild vom 1. Basis Vektor 3 1 2. Spalte Koordinaten von Bild vom 2. Basis Vektor -minus 2 1 zur 1 wies ihn theoretisch gesagt sehen was praktisch wenn Sie die Basis ändern ändert sich auch die Abbildung SMA Tricks also man die gleiche Abbildung aber wir nehmen statt 10 andere Basis als im Zielraum also das Bier bleibt was es war also B ist wieder die Steine Basis 1 0 0 1 aber jetzt nehme eine neue Basis des für den Zielraum denn ich mal die Vektoren 3 1 und -minus 2 1 2 zur was passiert jetzt was ist die Abbildung SMA Tricks von Vieh bezüglich dieser Basen im machen wieder das gleiche wie die ganze Zeit zu denen die Bilder aus sie stehen die Bilder in den Koordinaten Erzieher Basis da die Kornaten kommen die Spalten der Bildungsmarkt also was ist die von B 1 von B 1 ist immer noch der Weg der 3 1 ist die 1 ist B 1 hat sich wenig geändert aber das ist jetzt einfach die 1 1. Basis weg D und das Vieh von den 2 ist siehe oben -minus 2 1 und das ist einfach die 2 ich hab bei die Abbildung der oben auswandern Einsatz auch normalerweise den ab Bildung ohne mal der Ball also den Satz mit 7 zu Merksatzes hin also ist nur das ihr Mal dass sie nicht mehr sichtbar ist und dann können Sie noch mal sehen wenn sie 1 0 Einsätzen kommt 3 1 raus und wenn sie 0 1 einsetzen kommt -minus 2 1 Saar was bedeutet das für die Abbildung des
Matrix von unsern VII bezüglich der Basen B und D was kommt die 1. Spalte in die 1. Spalte kommen die Koordinaten vom Bild vom 1. Basis wirkt nur 50 Nerv sie damit weil dann das ist ein wenig wie sich die Nerven aber den Satz für sie einfach so im Kopf haben das ist deswegen kommt er hundertmal also das sind die Koordinaten vom 1. Basis von wir vom 1. Basis Vektor wenn sie denn die von der 1 in der Basis die darstellen kommt einmal die 1 plus mal die 2 aus also 1 0 das sind 2. darstellen kommt nun mal die 1 plus einmal die 2 raus und sie haben viel schöner Bildungsmacht x 1 0 0 1 und da wir sehen sie auch schon einen Grund warum es sinnvoll sein kann andere Basen zu nehmen und zwar wird das Ziel sein Basen zu finden wenn sie die komplizierte lineare Abbildung haben eine Basis zu finden denn die macht es ganz einfach das mit Emicida recht dass wir das die Marquise gegen Problem angepasst haben dafür gesorgt dass unsere Abbildung SmartThings banal wird denn ist die Schwierigkeit von der Mann von der Abbildungen die Basis gesteckt der komplizierteren Raum kommen deren Basis ist die Abbildung leichter und so sowas ist immer schön war dann haben Sie die Wahl können Sie sich entscheiden wenn sie etwas motivieren wollen ist ist Grad einfacher mit der komplizierten Matrix zu rechnen oder ist es gerade einfacher mit der komplizierten Basis zu rechnen diese Möglichkeit die Basis zu ändern gibt ihnen die Möglichkeit gibt ihnen die Freiheit sich je nach Problemlage zu entscheiden so also dann brechen wir doch mal mit der Matrix viel los was macht also unsere Abbildung mit dem Vektor 1 1 also was macht diesen Matrix wenn Vektor 1 1 3 multipliziert Na ja dass es in dem Fall jetzt wirklich leicht auszurechnen sie haben 1 0 0 1 mal 1 1 und dann die Matrixmultiplikation beim kommt 1 einschoss also die von 1 1 sollte eines einzelnen rechnen wir nach was ist viel von 1 1 14. 1 3 minus 2 bis 1 und 1 plus 1 ist 2 L Stopp dass es passiert alles was da steht es richtig aber was passiert ist das letzte Wort der 1. Teil ist in der Eile etwas unter die Füße gibt unter die Räder geraten was steht denn da alles was da steht es richtig richtig viel von 1 1 1 2 das lässt sich leicht nachprüfen untersteht die Abbildung Smartphone und von viel multipliziert mit 1 1 ist der Vektor 1 1 stimmt auch muss man aber richtig lesen weil die Ablehnung smartes multipliziert mit dem vektor 1 1 ist nicht viel von 1 1 zu sind die Koordinaten von von 1 1 er Bildungs Matrix rechnet ihn nicht das Bild aus in der Bildungs Matrix rechnet ihnen die Koordinaten des Bildes aus so das heißt dieser Lektor 1 1 sind die Koordinaten von Vieh von 1 1 bezüglich des nur und wenn wir das mal wenn wir das ins Spiel bringt dann sieht wieder alles
richtig aus also Achtung diese Matrix multipliziert mit dem vektor 1 1 Uhr also X ist nicht viel von X er sondern der Koordinatenvektors von Phi von X bezüglich des dar so wenn sie das ausrechnen also werden gesehen e die von Vieh von 1 1 hatten ausgerechnet ist 1 1 so was ist denn einmal D 1 plus einmal die 2 nur kurz ein allen auf dies im Geiste auf die Seite zurückblättern die 1 2 3 1 und D 2 war -minus 2 1 was kommt raus wenn sie die in 1 2 die von 1 1 5 wer Kalkül das schon richtig man muss sie nur richtig inne quittiert Matrix multipliziert mit den coolen Daten legt die den Kurden legt doch also alles was das dann hat gestimmt es sei nur komisch aus gut mit diesen Eindruck entlasse sie den erst vor kurzem die Pause unter anderem 19 und bei der kann der Mann wieder los werden ich habe noch ein 3. Beispiel dabei wobei ich zugebe dass das ein bisschen so auf der Grenze dessen ist was dann noch ein Beispiel ist also sein dass da die Einschätzung sich auseinander gehen ob sprießen beispiellos oder weitergehenden Stoff oder wie auch immer aber die ganz wichtige lineare Abbildung wollen wir noch mit Abbildung Smart versehen und wie ich immer einig die eine lineare Abbildung die so wichtig ist weil sie nichts tut nämlich die Identität also die 7 Jahre die geht natürlich Identität geht immer von den man sich selbst also könnte die du betrachten zwischen 2 Vektoren und sich ein Vektorraum V und sich selbst Haus immer noch endlich dimensionaler Sie diese ganze Debatte über Abbildung Smart ritzen findet immer dimensional statt das heißt von Frau können wir uns mit Basis wählen B 1 B 2 bis beenden und die Frage
jetzt die natürlich auftritt ist also wenn man sich mit der Identität befassen will was ist die Abbildung Matrix der Identität und ich mach wieder Bildungs mache bezüglich B und B weil weil die Abbildung Smart da bin ich mit beiden Seiten den gleichen Raum hat es erstmal nahe liegend auf beiden Seiten auch die gleiche Basis zu nehmen so was müssen wir machen um die Abbildung SmartThings Identität auszurechnen also wir müssen die Bilder der Basis wird zum bestimmen und den Koordinaten also dem uns ein J her ein Jahr zwischen 1 und N Bestimmer das Bild von DJ das ist nicht so arg schwer was ist denn das Bild von DJ unter der Identität der das ist Bj schließlich machte Identität nichts so also was ist denn dann die Koordinaten von der Identität von DJ bezüglich B naja ist ja das was wir brauchen wir Kundendaten Vorbild vom Basis Vektor bezüglich der Ziele Basis für die Spalten der Bildungs Matrix also die Koordinaten ist der Vektor ja das ist einmal DJ und alles andere 0 also dass der Sektor der vielen Nullen enthält nur nicht jobbten stellen 1 so dass das die Leute stelle er würden und das kriegen wir jetzt also für
die Abbildung Smart Tracks sie müssen die Kundendaten vom Bild vom Norden Basis Vektoren die jobbte Spalte schreiben also in die 1. Spalte die Koordinaten vom Bild vom 1. Basis Vektor der an der 1. Stelle 1 umsonst 0 unternehmen der 2. Basis weg da das Bild in die 2. hat es Kundendaten Vektor 0 1 und danach 0 1 und so geht es weiter und wenn jetzt sehen was da rauskommt misst das Matrix die sich schon kennen nur für die Wunde sein Eigensinn und sonst nur Jen das war die Einheitsmatrix ja das letzte Mal gesehen das ist 0 einzubringen der quadratischen Matrizen unser mit quadratischen Matrix weil die Abbildung von V nach Frau Dimension von anfangs Raum anfangs Raum und Zielraumes identisch und das Singen 7 quadratischen Matrix so also die Identität hat bezüglich jeder Basis über die Einheitsmatrix als Abbildung SMA Freaks das können sie natürlich sofort zerstören indem sie im Ausgangs im Zielraum verschiedene Basen nehmen na also NBC von der Identität ist nicht mehr die Einheitsmatrix wenn wir uns die verschieden aber solange sie von den die gleiche Basis den kommt immer die Einheitsmatrix raus mit der Überlegung von gerade eben so ich will das was er geradegemacht habe mal so ein bisschen der zusammenfassende Bemerkung er
zusammenfassen kann Bemerkung 7 15 also wir haben wieder 2 ähnlich dimensionale Vektorräume Frauen W mit Basen B bzw. C und wir haben Dimension N und P also enges ist insofern V und damit die Länge von B und ließ Dimension von W und damit die Länge von 10 zwar was aber jetzt gesehen wenn Sie das so haben also Sie haben die Vektorräume Sie haben die Basen Fest gegeben und auch für alle auch festgehalten dann kriegen sie zu jeder linearen Abbildung die die von Frau nach wie geht die Abbildung Smart Tricks naja der Bildungs Matrix eben B C von Riley und das ist dann nur wenn sie von Frauen auch wie geht und Faust n-dimensionalen WSP dimensional dann ist das einem Matrix im K hoch P Kreuz enden in der Stille könnte man jetzt jammern und sagen dass dort wo für die Abbildung von ende nach P dimensional geht warum ist damit P Kreuz in Matrix er ja im ist leider so das Konvention so umzuschreiben und es ist es Konvention die in vielen Fällen stellen sie nicht ist ja wenn Sie jetzt umdrehen und sagen ich will dass der Abbildung die von einem n-dimensionalen Raum in die Gegenden Raum geht bitte schön der in Kreuth Speed Matrix ist was in die nahe liegende ist dann haben Sie bei der Matrixmultiplikation aber nicht mehr das schöne dass die beiden Mittelfinger gleich sein müssen aber dann müssten sie dann müssen Sie in Kreuz P Matrizen mit Q Kreuz N Matrizen multipliziert also dann irgendwo passt nicht sie müssen sich entscheiden der beste passt nicht also gemacht der Matrix der Abbildung von einem n-dimensionalen P die man seinen Raum beschreibt ist eine P kurz in Markt kleine auf tja L das das eine also wenn sie die Basen des knallen dann haben Sie die jeder Art Bildungs Matrix sie wieder Abbildung die Abbildung des Matrix aber aber das ist nicht nur so und so und es geht auch umgekehrt weil wenn sie in eine Matrix haben sehen Sie dazu auch eine Abbildung also geben sich eine Matrix vor alle voll jotka gleiche Dimensionen also J von 1 bis Pk von 1 bis n also eine Matrix aus und kann auch Kreuz in und jede solche Matrix ist auch ne Abbildung SmartThings oder lineare Abbildung und was dahintersteckt ist der Satz 6 11 der hatte gesagt der Satz 6 11 lautete verbal formuliert wenn Sie die Bilder der Basis Vektoren kennen den sie die ganze Abbildungen oder anders ist dann da es gibt wenn Sie die Bilder der Basis Sektoren vorgeben dann gibt es genau eine lineare Abbildung die das erfüllt die sie von BKA gleich die vorgegebenen Vektoren des erfüllt das war der Satz 6 11 also der sagt es gibt genau eine lineare Abbildung na und den den ich jetzt mal viel mit Index aber sie von dieser Matrix A kommt von V nach B so dass 4 A von B wir
im Satz stand wenn Sie Mehr zum Raum haben da sitzen 2 nicht in seine Räume Frauen wären sie an der Basis sind Frauen B 1 bis B gehen wir auch dann können Sie beliebige Vektoren B 1 bis B n vorschreiben als Bilder von 4 1 bis B 1 von wie viele wieder von der 1 bis 1 und dann geht's genau einem Jahr Arbeit und was wir hier machen es beschreiben die Bilder vor die rauskommen sollen also schon gleich 1 bis P ein Fall JK zitiert sie das vorschreiben und das können Sie also dieser Satz sagt man zu diese Vorschrift gibt es genau eine lineare Abbildung wenn Sie das machen und jetzt die Abbildung SmartThings von dieser Abbildung ausrechnen das müssen Sie dazu Ton was ist die Abbildung des was ist dieser Abbildung der hat sie bestimmt die Bilder der Basis Sektor mit den Kundendaten die Bilder Sektor stehen da die Koordinaten stehen auch da und die Koordinaten sind genau 8 kann also haben wir wenn die Basen B und C fest gewählten um die Grundvoraussetzungen senden Basen zu regeln dann ändern sich alle Ausbildungs Matrizen aber die Basen B und C fest vorgegeben sind haben sie der 1 zu 1 Beziehung zwischen den Jahren Abbildung und Matratzen dann wird sie in der Abbildung Bildungs Madrid wichtige der in der Abbildung genau eine Abbildung Smart Rex und sie Martens sie ja und das bedeutet wenn sie mal ihre Basen fest geknallt haben können Sie alles was Sie über lineare Abbildungen rauskriegen wollen auf den Matrizen Ebene machen und umgekehrt gibt denn jede jede Erkenntnis auf Matrizen eben Erkenntnis Virginia nach das sind einfach die gleichen Dinge meine oder dem dass die Bank Base nicht ändern dürfen natürlich Sohn dass heißt es lohnt sich die Struktur der Matrizen zu untersuchen weil alles was Matrizen wissen gibt Ihnen Informationen über lineare Abbildung Show das ist der Zusammenhang bevor wir jetzt an uns dran machen die Struktur von den Matrizen zu untersuchen und die Zusammenhang zwischen Matrix Abbildung smartes immer rapide noch zu vertiefen das Wetter in der Pause noch ein Kommentar eingefallen der vielleicht ein bisschen helfen kann mit dieser Bildungs Matrizen umzugehen und auch dieses Symbol NBC von VIA dazu verstehen warum ich das gewählt hat während hier
oben sehen ans glaub ich gut also das war die
Auflösung von dem von den Mehr paradox vorhin Nadine gesagt entweder von Fly multipliziert mit x 10 in die Koordinaten von dem Bild bezüglich des und ich würd sie sozusagen in empfehlen sehen Sie diese Indizes oben Beeren des an dem als Hinweise welche ja sozusagen welches Format oder welche Sprache die Abbildung Smart Rex versteht also MBT von 4 bedeutet sie müssen diesen dieser Art Bildungs Matrix ein Koordinaten der Basis be füttern also dieses im geht von Philip versteht Kundendaten Vektor in der Sprache in der Basis B versteht sozusagen nur die Sprache der Basis B und sie dürfen diesen wenn Sie wenn Sie Konverter Vektoren den anderen Basis haben und denen dieser Bildungsmarktes reinstecken dann kommt sinnloses Zeug raus für müssen das Format einhalten mit den als Informatiker nicht schwerfallen das einzusehen dass ein das eine Blackbox ist die Daten richtig Format braucht er also der zu Matrix und Erbe das Matrix braucht als Eingabeparameter Format des was oben steht und dann spuckt sie im Ergebnis aus und diese Ergebnis spuckt aus dem Format was unten steht also in dem Fall hatte in der Basis die und um dieses Ergebnis interpretieren müssen Sie wenn Sie jetzt grade Narrenwelt Weltleben aus dem Format die wieder besetzen ist das was ich am Schluss gemacht haben die sprach die die Sprache wieder besetzt und das bedeutet eben dass es unseren checkt denn sie machen können wenn sie Sonne Abbildung SmartThings haben ich muss immer in der Basis die oben steht bedient werden und spuckt in der Basis und besteht aus und das ist vor allem der wichtig wenn wir jetzt anfangen war Abbildung Smart sitzen zu multiplizieren das macht nur dann Sinn wenn aus der eine Sprache rauskommt die die nächste wieder versteht also hatten unter Vista kann die Matisse Mode Bier zum Sinn machen aber sie hat dann keine vernünftige Mehr gut an sich kann auch noch mal drauf zurück auf die diese sprachen sagte aber dass es eine Möglichkeit wie man sich das ein bisschen durch 1 kamen zur
also wir haben gesehen es gibt es gibt der 1 zu 1 Zusammenhang zwischen länger Abbildung und Matrizen und es gibt die Möglichkeit Begriffe die sie auf in der einen Welt definiert haben denn die andere zu übertragen aber die beiden Welten sind identisch also immer vorausgesetzt die Basis fest knallt dann gibt sie jeder der Abbildung genau eine Matrix und umgekehrt wer also können Sie Begriffe die zusammen mit den ihren Abbildung hatten genauso für Matrizen definieren und das ist die
Definition sie ein ein Teil davon ist zum Beispiel die Fiktion 7 16 für lineare Abbildung hatten wir den Begriff des Rheines und des Kerns dran und kehren machten sofern genauso sind eine Matrix also geben Sie sich ihren im Matrix vor kann auch Kreuz und wie schon paarmal kann man dem Matrix übersehen als bestehend aus Ihren Zeilen erst in Spalten und aus ihren Zeilen dem verfolgte spalten also A 1 A 2 bis A in seinen Vektoren aus KP und das seien die Spalten von aber wir also A 2 ist einfach die Spatz bewegte den der 2. Spalte von Anstieg sah und dann können Sie und kehren definieren der in einer Matrix was war daran von einem Jahr Abbildung der einen von ihnen Abbildung war die Dimension des Weltraums dem man spricht bei der Matrix folgendes hinnehmen die in Spalten war das Netz Vektoren in KP und deren Erzeugnisse denn davon der 2. und darauf es kann sein dass die A 1 bis A n a ly denn die sind dann ist der kleine das können auf viele Vektoren sein also der Zeugnis das jetzt und der Vektorraum von W und von dem bestimmen Sie die Dimension das ist der rein von der Matrix immer noch genauer ist der sogenannte Spalten rein von an und wenn geht Setzung Sinn macht ist natürlich irgendwie nahe das ist auch so dass wenn sie Mehr Lehrerbildung haben und den Abbildung Smart regst ist natürlich daran gelegen Abbildung gleicht dem Rheinland abge Abbildung 2 Tricks dazu können sich dann überlegen es gute gute überlegen um diesen Zusammenhang kennenzulernen warum die beiden identisch sah das Fehlen einen gilt gilt auch für
den Kern das war der Kern einer linearen Abbildung da kann deren Abbildung so alle die X immer im im Wohnraum im wurde das Rauchen den Wert 0 des also alle 1 x mitliefern ist gleich 0 was bedeutet viel von =ist gleich 0 auf der Bildungs Matrizen übertragen das bedeutet die Koordinaten von Phi von X müssen alle 0 sein n das heißt die Abbildung Smarties multipliziert mit dem Chor dem Datenleck davon X muss 0 sein also der Kern sind alle die x 7 km alle die Koordinaten Vektoren kN so dass an x gleich 0 ist das ist unter Vektorraum von keine und das da heißt eben der Kern von A und wenn die Abbildung SmartThings von viel ist dann den hält der Kern die Koordinaten Vektoren an der Vektoren die 4 auf 0 steht so also haben Sie jetzt diese Begriffe Kragen und kehren nicht nur für Matrizen sondern auch für nicht nur für lineare Abbildung so nah für Matrizen und der Berlin ihren Abbildung über diesen Rang unter haben ganz viele schöne Dinge rausgefunden zum Beispiel die Dimensions vorne geht alles hier genauso weil sich will dass man es uns glauben Martens nun begehren die Begriffe stehen überein in brauchen Sie überhaupt nichts neu zu beweisen waren sollen der folgende Satz ist
im Prinzip jetzt paraphrasiert Aussatz weil sie nicht möchte ich da was in Kapitel 6 über lineare Abbildungen Datensatz über die Zusammenhänge zwischen Kern und da nun dran und Dimension von den Dingern dann der gilt genauso für Matrizen und der Beweis ist gegeben die Matrix nehme die Abbildung wird so für die Abbildung Gitter und übersetzte zurück in die Matrix sprach also vollständigen Satz soll trotzdem hinschreiben werden 2 endlich dimensionale Vektorräume wie jetzt die ganze Zeit Wesen der Basis von Frau die bei Base müssen sie Festkleidern sonst haben sie die Entsprechung zwischen Matrizen und ab Bildungs und Abbildungen nicht ziel der Basis von W die lineare Abbildungen von Frauen nach wie und sei die App Bildungs Matrix von VII bezüglich der Basen B und C was wissen wer dann über seinen und kehren und so weiter das 1. ist was ich gerade schon behauptet hat es noch nochmals Satz der einen Phonds die ist dann immer der reinen von A ein also die beiden Begriffe stimmen tatsächlich überein so wie bei der Kleinen von definiert das war und dem sich die Spalten von der Matrix das Erzeugnis und davon die Dimension insofern ist der Bieter 1 nicht verblüffend dann von ist die maximale Anzahl immer unabhängiger spalten und na sie gucken sich die Matrix A 1 gucken wie viele Spalten sind davon in der unabhängig und sooft großes daran das ist die Mission einfache Methode der Drang zu bestimmen kann also trister kleinen Matrizen sieht man's relativ offensichtlich dann zurzeit Mehr der reinen von fließt der Rhein von A was ist wenig hinschreiben kann ist das der Kern von vielleicht im Kern von Art weil die beiden Dinge Leben völlig verschieden Räume der Kern von Fliesen Teilmenge von V der Kern von A ist mit Teilmenge vom K n wenn Frau in die man selber ist bei des aber wird ja auf die Kundendaten Vektoren das Vieh auf die Viktor aber was man sagen kann ist die beiden entsprechen sich 1 zu 1 die Dimensionen sind mal zumindest gleich also Dimension vom Kern von Vieh ist die Dimension vom reinen von er vom Kern von sondern sie das haben den Artikel Ziel Teil der gleich eine Dimension sind gleich dann können sich die Dimensions Formel direkt rüberziehen Dimensions vorne war war es Dimensions Formel war Dimensionen vom Zielraum richtig ist Erfahrung Dimension vom Zielraum ist so sagen der Abbildung +plus Dimension vom Kern der Abbildung und dieses O ist doch Unfug oder das steht in dem Skript steht der Frauen in Wien die dich jetzt blöd oder ist das Moment hin für .punkt der und wer stimmte auch Dimension von fahren Dimension von Frau gleich daran ist also eigentlich Dimension von VS rein von 4 +plus Dimension kein Bild VIE aber es stimmt natürlich überreichlich einsetzen dann den kriegen sie rein von A +plus Dimension von Kämpfern was die Reise an lässt die Dimensions Formel von Abbildung können Sie direkt auf Matratzen rüberziehen das ist nur ein Beispiel dafür wie man eben nutzen kann dass die beiden wirken eigentlich identisch sind gut in das ist jetzt weiter das Programm übersetzte Begriffe aus der einen Welt in die andere Welt und wenn sie mit wenn die die es im Jahre Abbildung durch Matrizen zu beschreiben dann müssen wir wissen was ist wenn Sie 2 Lehrerbildung haben oder wenn sie Neapel haben können Sie mit der es möglich machen sie können ab wie in der Abbildung agieren sie können Skalar multiplizieren Sie können sie mit einer verkehrten sie können wenn sie das Ding Bilic tief ist die Umkehrfunktion bilden das ist die lineare Abbildung mir gezeigt oder haben Sie weil ich Übungsaufgabe also gegen sie machen die Frage ist jetzt was passiert aber wir haben mit Fritz müssen nahe liegende Frage also wenn Sie 2 lineare Abbildungen haben dann hat die natürlich jede liegen Abbildung SMA trägst wenn Sie die beiden Beginn Abbildung addieren kommt mit 3. lineare Abbildung raus die Abbildung SmartThings in die mit den beiden andern zusammen und wenn ja wie war das sind jetzt die Frage um die es geht und ich will mich zuerst oder ja ich will in die 2 Leichen als Übungsaufgabe überlassen und dir schwierige machen
also erst die Übungsaufgabe er die Nummer 7 19 7 18 kommt dann gleich also Sie haben 2 lineare Abbildungen und II die und sie aus ihrem lineare Abbildungen von Frauen auch weh unser Minsker La Lander aus dem Grundkörper so und dann ist jetzt die Frage jetzt schauen sich die lineare Abbildung 4 +plus PSI an das können Sie machen weißt die und sind Abbildungen zwischen sehr bereuen alles Vektorräume können sie addieren die Berlin ja Bildung das lineare Abbildungen zwischen 4 und 5 zwischen Frauen-WGs ist es natürlich naheliegend zu fragen was ist die Abbildung Smart dieser Abbildung und die Antwort ist so schön wie sie nur sein kann Abbildung SmartThings Bildes linear also dürfen erst die Abbildung SmartThings von viel bilden und die Abbildung SmartThings von Psy und die dann miteinander multipliziert addieren das und das Gleiche gilt für skalare Multiplikation also wenn Sie eine lineare Abbildung haben um mit dem langsam multiplizieren Kombi lineare Abbildung raus und der suchen wir die App Bildungs Matrix und die Antwort ist es kommt raus LÃndern mal die App Bildungs Matrix von Vieh also das ist jetzt 5. konnte er es ziemlich Abstraktionsstufe was dabei rauskommt ist die Abbildung die jeder linearen Abbildungen ihre Matrix zuordnet ist lineare Abbildungen und es ist mir ist mir aber dieses sie wird abgebildet auf NBC VI ist Mehr Bildung und ist lineare mit deren Argumente lineare Abbildungen sind endlich ich halt ja und das ist für ist die da teilen und was ich mit ihnen jetzt debattieren werde ist die Frage was passiert wenn sie 2 lineare Abbildung mit in der dann ausführen Verkettung von einer von Abbildungen gegeben geht wenn die Ziele und der Wertungsbereiche gut zusammenpassen von den Jan Abbildung geht entsprechend auch unser wir hatten am Anfang vom oder relativ am Anfang vom Abschied über lineare Abbildungen den Satz dass wenn sie 2 lineare Abbildung haben diese verkehrten dürfen und die verkehrten kommt die lineare Abbildung aus also ist die spannende Frage gehen die Bildungs Magister Verkettung zusammen mit den einzelnen Bildungs Madrid gut das müssen wir uns um die Frage zu beleuchten er nehmen wir brauchen 2 Abbildungen die wir miteinander verkehrten dürfen dafür brauchen wir 3 Räume also endlich dimensionale Vektorräume
VW und was kommt dann als nächstes kommt dann nix endlich dimensionale K Vektorräume und in jedem dieser Räume müssen Sinne Basis festlegen damit sie von Abbildung Smart Ritzen sprechen können also in Erweiterung der vorherigen Nomenklatur B sei die Basis von Frau sie sei die Basis von B und D sei die Basis von X wie wieder sie werden dieser Räume in der Basis dann nehmen wir den lineare Abbildung VI von Frauen nach wie man so aus 11 von VW heißt die Abbildung von Frau noch wie die Linie S und eine lineare Abbildung die mit dem IE verknüpfen das heißt der Definitionsbereich musste ziehen mussten CI-Bereich von die umfassen also man selbst die als lineare Abbildung von wie nach Dix dann können selbst sie nach Libyen es ja und bei der Behauptung es jetzt ab also was wir was wir untersuchen wollen ist eben sie können sie nach vielen was ist sie nach wie jetzt sie Davies lineare Abbildungen von Frau von Frauen nach Dix die streckt sie von Frauen auch weh und dass sie von den nach X 1 ist man ja Bildung von Frauen nach x das heißt es macht jetzt sind nach der Abbildung Smart Specs zu suchen bezüglich der Beitritt der Basen B und D geht von vorne X schlug Bildsprache spuckt die Sprache aus und ja und der die Frage ist natürlich was ist der Zusammenhang von der Matrix mit der Abbildung Matrix von Psy und der Bildungs Matrix von Vieh der B doch was können wir mit Matrizen noch machen was sie bisher nicht verwendet haben wir können sie multiplizieren und das ist auch tatsächlich die Antwort also die Abbildung Smarphones von der Verknüpfung von der Verkettung ist die Multiplikation der Bildungs Matratzen das ist meine Behauptung vor gleich beweisen ich will an der Stelle noch mal darauf hinweisen dass hier wieder das Prinzip heißt dass die babylonische Sprachverwirrung funktioniert wenn Sie jetzt also sich diese Zeile hernehmen und das Ganze noch von rechts in dem ganzen von Rechten Sektor zu essen geben Koordinaten was bewegte müsse reinschieben zu müssen Daten Sektoren die Sprache dann multiplizieren weil sonst macht das was das steht keinen Sinn mehr die 1. äußerste Matrix B Sprache haben spuckt sie Sprache aus also MBC von 4 X ist einen Basis C dargestellt die nächste Matrix tief und sie versteht sich Sprache das gut nun und spuckt der Sprache aus und das zusammen es ist ein bisschen wie die dieser Notation Zionismus muss immer so zusammen passen wäre sie so so also das wo den Satz beweisen hab ich auf Folie es ist schön kurz und knackig formuliert sie lineare Abbildungen ab die Abbildung SmartThings von der Verkettung ist die Multiplikation der Bildungs Matrizen gute
drehen woran liegt das was wir machen wir müssen wir wieder Abbildung Smarties bestimmen das heißt sie müssen Bilder von Kontendaten von werden was Sektoren bestimmen also geben wir unseren Basen erstmal Namen war die Basis von Frau also das ist immer sein die Vektoren B 1 bis B 1 C war die Basis von geht das seit C 1 bis C P wie schon die ganze Zeit und das des ist die Basis von dem X das Seil D 1 bis D Kuh sind alle endlich dimensional zur was ist dann jagen wird nur noch die CD von sie mit seinen nicht mal mit einem Fall JL ob von wo nach wo müssen die auch dann die laufen in den Spalten von den Dingen stehen die Bilder Ziel also stehen die Kundendaten von bis sie von den C Vektoren das heißt die Spalten 10 so solange wie die Matrix D wie die Basis des das heißt der Kuh spalten und die Zeilen also genau falschrum Codezeilen gespalten also wirklich 1 bis Q L gleich 1 zu P und dem Abbildung Smart Tricks von dem Sie die Zeit bezeichne ich mit Better Lkr wobei das 11 von 1 bis P geht und das K von 1 bis 11 es bis jetzt nicht nur Namen eingeführt also ob nix passiert nur ein Ding die hier vorkommen mal Buchstaben gegeben 1. wehrlos rechnet also was müssen wir was müssen wir machen wir suchen die Abbildung Smart Tricks von Psy nach wie da die andern beiden sagen wir kennen im Moment nur die heißen halte als VJ und Peter Lkr was muss man machen um die Abbildung Smart Tracks von Psy nach 4 auszurechnen ich schon die ganze Zeit wie kriegen die Abbildung Bildungsmarkt Tracks in dem wir uns die Bilder der Basis Vektoren angucken welcher Basis Vektoren sie nach wie geht von V nach x also müssen wir uns die Bilder der Basis Vektoren v also der B 1 bis B in angucken also wir neben unseren K aus der Menge 1 bis n und schauen uns mal an was sie nach viel mit mitbekam macht der nach der Definition der Verkettung ist das PSI von 4 von BKA die vom BKA kennen wir aber zumindest in der ist C viel von BKA ist die Karte spaltet der Brand Matrix der Bildungs Matrix von Vieh also bezüglich der Basis C sar das heißt hier drin steht die Summe von 1 bis P Wetter Lkr C Mehr die Karte spaltete Abbildung Smart von die die Koordinaten von Vieh von BKA bezüglich der Basis ziehen so dann wissen wir dass mir alles bin ja bedeutet ob sie 1. den ja Kombination bildet dann sie anwenden oder ob sie erst sie anwenden und dann linear Kombination Bildes egal also können wir den ja Kombination nach außen ziehen L gleich 1 bis P Etter Lkr sie von CM das Ziel von CL kennen aber auch C 1 bis C P sind die Basis von W werden wir die Koordinaten der Bilder steht in Spalten der Abbildung SmartThings von Psy also können wir das wieder schreiben will beschreibt den vorderen Teil ab Summe L Wetter LKA und gib sie von CL können Sie in der Basis des kombinieren durch ihre
Koordinaten diesen gegeben durch die LTE Spalte der Abbildung Smart Tricks von den viel erzielt tja jetzt steht da irgendwie alles mögliche wusste gerungen sortieren wir das mal ein bisschen sortieren wir erst über J zum ihren 1. BJ und dann über L wer sich vertauscht die beiden Summen und dann vertauschen noch dann Commuter tivität hier allenfalls mit dem Wetter aus und dann bleibt das sicherstellen und das ist jetzt warum hab ich so sortiert was muss ich machen ich will die Koordinaten der Bilder der Basis Vektoren haben das ist das Bild vom Basis weckt und ich muss es im muss die Koordinaten bezüglich der Basis des ausrechnen und die stehen jetzt da das sind die Koordinaten der Bilder der Basiswert von bezüglich des also sind das die Einträge der App Bildungs Matrix von ziel nach B also dieser Bildungs Matrix ist genau die Matrix deren Einträge dieser Summen wusste ist allen gleich 1 bis P alle Fall JL Wetter Lkr LJ von 1 bis Q K von 1 bis n so und wenn Sie sich jetzt angucken was da steht und
das noch mal vergleichen mit unserer Definition von Matrix Produkt dann ist es schlichtweg das Matrix Produkt von der Art Bildungs Matrix von Psy also der aber der Alfa JL Matrix multipliziert mit der Peter LKA Matrix also der ab Bildungs Matrix von dem fliegen .punkt und das war die Behauptung das ist der Verstoß nachgerechnet aber man kriegt eben aus diesem Ansichtsmodi mutiger zu und passt genau zur Verkettung von den Abbildung und so war das Mama immer noch einem Beispiel also wirft berechnen
mal die Abbildung SmartThings von der Verkettung von 2 linearen Abbildung und die 2 Abbildung die wir heute schon mal betrachtet haben also das eine war die viel von x 1 x 2 da noch drauf da steht sie noch also 3 x 1 -minus 2 x 2 x 1 +plus x 2 und das wir vorhin auch hatten die Spiegelung an der X 2 Achse ja auch von der 2 2 Spiegelungen der X 2 1. tags darüber freuen jeweils bezüglich der Standard Basen die Abbildung Smart Ritzen ausgerechnet da also B sie ist nur einen Standard Basis B hatten wir ausgerechnet müssten kurz zurückblättern das war die Abbildung Smart rings von dem Vieh können Sie im Prinzip auch hier direkt ablesen können immer Abbildung SmartThings bezüglich der Standard Basis sucht dann muss man nicht gerecht werden kann wird ein paar Mal gemacht hat direkt ablesen bekommen draus 3 -minus 2 1 1 und die Abbildung Smart Tricks von der Spiegelung hatten wir auch ausgerechnet die war -minus 1 0 0 1 und damit kriegen Sie jetzt ohne dass wir so genau wissen was die Abbildung tun können Sie sich direkt ausrechnen was die Abbildung des Matrix von der
Verkettung ist also wenn sie zum Beispiel zur 1. diese Abbildungen hier anwenden und dann spielen was kriegen Sie dann das Abbildung Smart Rix -minus 1 0 0 1 multipliziert mit 3 -minus 2 1 1 und die Frage was ist die Abbildung SMA Tricks der Verkettung ist ne einfache Matrixmultiplikation umso nur ausführen also 1. Zeile mein 1. Spalte gibt -minus 3 1. Zeilen mal 2. Spalte gibt 2 1. Zeile man 1. Spalte gibt 1 1. Zeile mal 2. Spalte der 2. Zeile 2. Spalte gibt auch 1 wenn Sie die aktuelle und Matrix von der Verkettung .punkt und auf die Weise kann man es endlich 17 Abbildung miteinander ausführen und muss nur multiplizieren kriegt ja Bildungs Matrix der Verkettung geschenkt und ich will mir zum Abschluss noch demonstrieren das aus dieser aus dieser allen Korrespondenz zwischen lineare Abbildung und der Matrixmultiplikation zwangsweise schon folgen muss dass das Multiplizieren von lineare Abbildung von Matrizen niemals kommutativ sein kann nein weil das sind einander Ausführen von der Abbildung ist nicht kommutativ um wenn das in der dann ausführen von der Abbildung von der Reihenfolge abhängt du das auch das Multiplizieren von Matrizen über diesen Satz wer also mein wenn die Nacht sie was anderes ist als sie nach wie dann muss eben auch das Produkt hier in die Reihenfolge gewährleisten und dann muss ich wieder zu meinem Ursprung des Universums zurück gehen also dieser Ecke hier und das ist es eben nicht egal ist welcher Reihenfolge man irgendwas linear abbildet da macht man sich am besten mit Drehung deutlich als den Ursprung und das ist und hier im Vektor zur und den drehen wir jetzt einmal um die Achse und einmal um die Achse ne also ein um die Achse die auf sie zuläuft und einmal um die Achse hier und da man es andersrum also drehen zuerst um die Axt sondern um die was passiert sie drehen und immer immer um 90 Grad mit drin und die Achse 90 Grad und dann drehen sie um die Achse 90 Grad ist es ziemlich langweilig als der Zeit zur Tür säufst drehen sie zuerst um die um 90 Grad und dann um die hier um 90 Grad sie werden hoffentlich akzeptieren dass das nicht das gleiche ist wie das na das ist ein sehr irrelevant welche Drehung sie zuerst ausführen ja das ja dann Ausführen von Java Abbildung ist nicht kommutativ dementsprechend ist das Multiplizieren von Matrizen auch nicht kommutativ mehr komm setzen nie auf die Idee ihre Gleichung dadurch zu vereinfachen das aus aber die BImA armer Hund ja auch wie ja ja macht man ja auch was bedeutet diese Kringel Schreibweise was bedeutet sie nach wie das bedeutet sie nach Fly ja sie nach viel von X ist sie von Phi von X das bedeutet und ich verstehe Ihren das ist auch eine unangenehme Stelle sie müssen der von rechts von links lesen das haben Sie wenn Sie Funktionen an einsetzen sich Bulmahn sie immer mehr also nach wie von X ist eben erst 4 und Ziel ja das geht von weiter links könnten Sie es unter sich ne neue Schreibweise einfallen lassen die dieses Problem umgeht die produziert dann Haltern an der Stelle Schwierigkeiten der also eine richtig geniale gibt es dafür nicht man muss sich daran gewöhnen dass man so rum Vorbild Vordenker und sie nach wie es zuerst 4 Sieg passt auch auf die Abbildung ja also die Abbildung smarte von Psy nach wie ist dieses Produkt und das Produkte sehen immer so zu lesen wenn Sie jetzt hier vorne ist der Sie jetzt die Abbildung zwar 6 nutzen wollen um damit den nein wir wollen weckte auszurechnen dann multiplizieren Sie in Victoria von rechts dran der Wahnsinn MWD multipliziert mit dem Koordinaten Vektor x 5 als der Text kommt von hier wir zuerst mit der Matrix für 4 multiplizieren und dann mit der Matrix Fipsi war eben wird der elektr muss wie Sprache vorliegen werden Zielsprache C nach denen es geht immer diese Multiplikation von Matrizen genauso das sie dann ausführen von in ihren von Abbildung allgemein geht immer von rechts nach links haben die haben alle alle die Tiere mit arabischer Schrift groß geworden sind Vorteile für die ist es einfacher von rechts nach links allen aber es ist jetzt auch nicht muss sich nur gewöhnen gut ich hoffe niemand wird mehr Matrizen vertauschen in sein Leben also multiplikativer tauschen und danke Ihnen dass Sie hier alle so Treueeid gekommen sind wünsche Ihnen wirklich die schöne und vor allem erst mal erholsame Ferien und ja wir sehen uns wieder nächsten Jahr schöne weihnachtlich schönes neues Jahr und vielen Dank fürs Kommen und sie aufwachsen
Lineare Abbildung
Summe
Matrix <Mathematik>
Variable
Zusammenhang <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Projektion <Mathematik>
Drehung
Raum <Mathematik>
Zahl
Summe
Matrix <Mathematik>
Erweiterung
Matrizenmultiplikation
Vektor
Skalarprodukt
Matrix <Mathematik>
Zusammenhang <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Momentenproblem
Rang <Mathematik>
Vektor
Skalarfeld
Zahl
Dimension
Lineare Abbildung
Matrix <Mathematik>
Zusammenhang <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Abbildung <Physik>
Stützpunkt <Mathematik>
Drehung
Vektorraum
Element <Mathematik>
Rechnen
Biprodukt
Gradient
Einfach zusammenhängender Raum
Lineare Abbildung
Summe
Multiplikation
Matrix <Mathematik>
Zusammenhang <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Abbildung <Physik>
Vektor
Skalarfeld
Koordinaten
Zahl
Lineare Abbildung
Darstellung <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Rotation
Abbildung <Physik>
Stützpunkt <Mathematik>
Vektorraum
Koordinaten
Lineare Abbildung
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Vektorrechnung
Abbildung <Physik>
Stützpunkt <Mathematik>
Vektor
Koordinaten
Ebene
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Abbildung <Physik>
Stützpunkt <Mathematik>
Vektor
Koordinaten
Lineare Abbildung
Folge <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Momentenproblem
Abbildung <Physik>
Stützpunkt <Mathematik>
Vektor
Koordinaten
Lineare Abbildung
Kalkül
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Abbildung <Physik>
Stützpunkt <Mathematik>
Vektorraum
Vektor
Koordinaten
Gradient
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Abbildung <Physik>
Stützpunkt <Mathematik>
Vektor
Koordinaten
Null
Ebene
Matrix <Mathematik>
Länge
Matrizenmultiplikation
Zusammenhang <Mathematik>
Vektorrechnung
Abbildung <Physik>
Vektorraum
Lineare Abbildung
Dimension n
Index
Stützpunkt <Mathematik>
Koordinaten
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Blackbox
Abbildung <Physik>
Auflösung <Mathematik>
Vektor
Koordinaten
Lineare Abbildung
Matrix <Mathematik>
Zusammenhang <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Abbildung <Physik>
Vektorraum
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Zusammenhang <Mathematik>
Vektorrechnung
Momentenproblem
Abbildung <Physik>
Vektorraum
Rang <Mathematik>
Skalarfeld
Teilmenge
Lineare Abbildung
Umkehrfunktion
Stützpunkt <Mathematik>
Kerndarstellung
Koordinaten
Dimension
Lineare Abbildung
Parametersystem
Erweiterung
Matrix <Mathematik>
Multiplikation
Große Vereinheitlichung
Zusammenhang <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Abbildung <Physik>
Stützpunkt <Mathematik>
Vektorraum
Koordinaten
Linie
Summe
Gewichtete Summe
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Vektorrechnung
Menge
Abbildung <Physik>
Stützpunkt <Mathematik>
Koordinaten
Lineare Abbildung
Matrizenmultiplikation
Abbildung <Physik>
Algebraisch abgeschlossener Körper
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Abbildung <Physik>
Drehung
Gleichung
Biprodukt
Vektor
Gradient
Lineare Abbildung
Multiplikation
Grundraum
Koordinaten
Ecke
Funktion <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Matrizen und lineare Abbildungen II
Serientitel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 19
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/33626
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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