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Kapitel 4 – Analysis Teil I

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genannt werden an der TU Darmstadt
sowohl damals herzlich willkommen und schönen guten Morgen bevor ich inhaltlich loslegen hab ich wieder eine organisatorische Sache da ist die Lehren Center das dankenswerterweise die Aufzeichnung der Vorlesung finanziert also an der Stelle auch nochmal ein Danke aber die müssen natürlich auch recht sich rechtfertigen und ich muss mich echt werden und deswegen gibts ne Evaluation dieser Aufzeichnung und das heißt die Rückmeldung ist gefragt ob und wie viel sie das nutzen und was man verbessern kann und was gut und was schlecht ist das ist in dem Fall als ne Online-Evaluation ausgeführt wo die bitte wäre dass sie kurz diesen Fragebogen dort ausfüllen ich hab jetzt Radfahrer halbe Stunde übers Nachrichten Forum vom Modell die Zugangsdaten verschickt die müssten Sie also alle mittlerweile haben er und das ganze läuft bis 10. Februar und die bitte wer das sie bis dahin möglichst viele dieses Ding ausfüllen das nicht besonders lang aber es geht einfach 1. gibt uns das eine Rückmeldung was gut und was schlecht läuft und was man wir sein kann oder ob man das Ganze gar nicht wieder macht es nicht genutzt wird was nicht so ganz mein Eindruck ist aber dass wir das andere extrem und ja das ist eine wichtige Rückmeldung zum einen und zum andern leben der Rechtfertigungen Begründungen dafür dass man da eben da Geld in die Hand nimmt und auch wenn es mir starke Rückmeldung gibt es das ein gute Sache ist dann auch mit Begründung das Programm seines von auszubauen weiterzuführen und so weiter gut also bitte möglichst reich reichhaltig Sichter beteiligen gut dann komme ich wieder zu den Eigenwerte und Eigenvektoren zurück damit hatten wir letztes mal angefangen die die lineare Abbildung oder eine Matrix finde der Eigenvektoren und Eigenwert dieser Matrix es immer eine Abbildung mit dem Ziel die Eigenvektoren bezeichnen Richtung gehen die Abbildungen sehr einfachen wirkt ich einfach durch Multiplikation mit den Eigenwert lahmender und wenn man diese Richtung gehen kann man die Matrix sehr einfach beschreiben oder die Abbildung und kennt damit charakteristische Richtung oder charakteristisches Verhalten von Somaliern Abbildung eine und wir haben jetzt mal festgestellt das Bestimmen von eigenen für zurück auf das Problem der Nullstellen Bestimmung von Polynom und das ist der Moment den ich damals angekündigt hat wusste Fundamentalsatz der Algebra in die Hände spielt wenn sich erinnern was sagte Fundamentalsatz der Algebra der sagt dass jedes nicht konstante Polynom über 10 mindestens eine Nullstelle hat also anders ausgedrückt jedes Polynom Witzeeze zerfällt in ja Faktoren das war damals der an Celan C eingeführt damit Polynome möglichst viele Nullstellen hab das ist sozusagen die Daseins Begründung für C wie bisher Polynome möglichst viele Nullstellen und das heißt C ist der richtige Körper um eigene Theorie zu machen na weil wenn Sie nach Sex haben wollen sie möglichst viele Eigenvektoren möglichst viele Eigenwerte haben und die kriegen sie eben am meisten beziehe weil Polo mit möglichen Nullstellen habe deswegen wird eigentlich immer in dem Moment wo sie nach eigenen Werten suchen alles Komplex angeguckt bei über komplexen Zahlen sie eine Theorie gibt ich will jetzt hier eine nur noch den Satz 11 16 festhalten der eben genau das sagt das heißt dass das Polynom das nicht konstant hat mindestens eine Nullstelle das heißt in die Matrizen ausgedrückt wenn Sie der in Kreuz in Matrix haben mit komplexen oder oder rational Einträgen völlig Wurst also die Einträge seien rational wäre oder komplex dann hat das charakteristische Polynom von der Matrix hat dann ist ein Polynom mitge rationalen wäre oder komplexen Koeffizienten aber egal wie dieses Vollendung hat mindestens eine komplexe Nullstelle und das bedeutet etc Matrix hat mindestens einen komplexen Eigenwert das auch kein Problem Matrix zu schreiben die keine reellen Eigenwert hat man sie eine mit Charakteristischen Polynom Landtag vorderer +plus 1 Wohnung am Berg oder +plus 1 hat keine reelle Nullstelle aber Ebene komplex und dementsprechend werden sie also feststellen sobald man Eigenwerte macht wird üblicherweise C als Körper gewählt also Beweis hat sich gerade im Wesentlichen schon gesagt die Determinante von an das Land der Ideen muss man rechnen wenn man Eigenwerte bestimmen will nun die Nullstellen sind die Eigenwerte und das ist ein Polynom vom Grad größer gleich 1 und geraten würden Rundfunkrat größer gleich 1 mit Koeffizienten Inc hat Sie eben immer mindestens eine Nullstelle und das ist genau der Fundamentalsatz der Algebra also folgt die Behauptung aus diesem Satz als ewig die Nummer der da im Skript hatte nur vorbei und komplexen Zahlen 2 5 20 Rom fundamental System sehr schön Fundamentalsatz der Algebra zwar er letztes Mal aber auch gesehen selbst daraus dass eine Matrix immer einen Eigenwert hat kriegen Sie nicht dass Sie immer genügend viele hat also es gibt nicht über dieser Ware Matrizen und was ich mir zum Abschluss von dem Abstieg noch zeigen will ist eine Sorte von Matrizen für die die Frage die die Rühli sierbarkeit zum Glück ganz abstrakt geklärt werden kann da eine besonders schöne Sorte von Matrizen die immer die dieser sind also Thomas a priori weiß ohne dass man viel rechnen muss und das sind die symmetrischen Matrizen befindlichen zunächst was Symmetrie was symmetrische Matrix heißt Definition 11 17 also eine Matrix aus K auch in Kreuz nennt man symmetrisch und damit ist gemeint Spiegel Symmetrie einer Diagonalen und das bedeutet dass das selbe ist wie er transponiert das symmetrische Matrix ist mit quadratischen Matrix die wenn sie transponieren gleich bleibt so also gleich transponiert und die Mehr symmetrischen
Matrizen sind so wichtig wegen dem Satz F 18 und der sagt in den formuliere ich jetzt nicht vertagt wie sollen Völker gleich das ist derzeit am häufigsten auftreten wird also sie haben Seele ein Kreuz in Matrix und ist symmetrisch und dann bist nur aus dem Wissen dass das den symmetrisches können Sie ne ganze Menge folgern und das schöne an dieser Eigenschaft symmetrisch ist ob der Matrix symmetrisches oder nicht da müssen Sie nicht lange rechnen das sehen Sie per Augenschein gleich transponiert kann man einfach durch draufgucken entscheiden ob das gilt oder nicht so und wenn sie dann aber das Ding symmetrisch haben dann geht ne ganze Menge zunächst mal kriegen sie daran dass alle Eigenwerte sind real sind das heißt die symmetrische Matrix hat immer ein charakteristisches Polynom dessen 0 stehen alle Räder sind und zweitens es geht auch immer genug Eigenwerte und es gibt im eine Basis von Eigenvektoren es geht nicht nur die Basis von Eigenvektoren für der Matrix und es gibt sogar ne Ottonormal Basis von Eigenvektoren das ist mir ganz besonders schöne Eigenschaft und dass es noch mehr Grund mehr warum ich das Ganze mit Körper Ehre macht man nur für den Körper haben wir mit dem Begriff der normal was ist weil sie das Skalarprodukt brauchen also es gibt Auto normal Basis von allen aus Eigenvektoren von insbesondere ist damit immer der Wunder dieser war also sie können jede symmetrische Matrix Diagonale Sie und sie können Sie nicht nur einfach wurde lisieren sondern sie können sogar bezüglich Norton normal was ist die organisieren und das ist deswegen bot weil haben wir auch gesehen wenn sie die organisieren müssen Basis Wechsel machen oder Basis Wechsel Matrix müssen Sie ja so ausrechnen was wechseln und wenn Sinn Basis Wechsel zwischen 2 Orten normal Basen machen haben wir festgestellt dass die Basis Wechsel Matrix immer orthogonal und das bedeutet ihre Inverses ihre transponiert damit haben sie eine sehr einfache Inversen berechne also bei symmetrischen Matrizen haben Sie beim Basis Wechsel auf die Eigenwert Basel eigen Viktor was nicht so wahnsinnig viel zu tun doch muss halt die Eigenvektoren ausgeht aber wenn man die hat ist meines im wesentlichen fertig so jetzt komm noch ein ganzer Stapel begriffen die symmetrischen Matrizen kann man noch es geht oder den symmetrischen Matrizen nochmal starben besonders schöne symmetrischen Matrizen die einen anderen Namen kriegen und die Wichtigkeit dieser dieser
namens würde dieser 9 Begriffe wenn wir jetzt noch gar nicht richtig kennen was ich jetzt ein für so bisschen eine Vorratshaltung ja nirgends ist es morgen 19 Essen Beispiel dass ich ganz frech springen 11 19 ist leicht von der sind sei kurz sei nach wie vor man diese un-lemma ausrichtet aber das ist nichts als Ausreden von Eigenwerte und Eigenvektoren es muss ein Zimmer gemacht aber schauen Sie sich auf jeden Fall an der ist aber keine neue Mathematik drin also ich für noch mehr Begriffe ein die wir eigentlich erst Mitte an mit dem Mate 2 brauchen die sich hier aber nahtlos anschließen unwissende Vorratshaltung also wenn man uns den er mit Standard Skalarprodukt ok en wenden und eine symmetrische Matrix aus dem N 13 also Begriffe die ich jetzt sehr viel näher das ist was was man gerne vergisst mache nur Sinn und sind nur definiert für symmetrischen Matrizen also wenn sie jetzt meine kommt der Begriff positiv definiert wenn Sie irgendwo lesen der Matrix ist positiv definiert dann ist damit immer mit gemeint ist auch symmetrisch bei der Begriff positiv definiert ist nur für symmetrischen Matratzen definiert ernannt ein ein verantwortungsvoller Buchautor schreibt sei asymmetrischen positiv definiert aber die meisten schreiben nur sei positiv die geht und der Leser die Leserin muss dann selber wissen das dass auch symmetrischer ist da kann man eher wenn man wenn man da nicht aufpasst sich lange die Haare raufen wieso oder wieso die machen so dass diese mit Recht also eine symmetrische Matrix heißt und was jetzt kommt ist im Prinzip ein Substitut dafür ja irgendwann Matrizen positiv oder negativ sind es geht
natürlich nicht im Sinne auch er wisse er positive negative Zahlen die die sich positive negative Beitritts aber das was jetzt kommt ist das nächste Substitut an die Begriffe und dementsprechend nennt man das auch positiv genauer gesagt uns unterscheidet positiv definiert also symmetrischen haben sei es positiv definiert was Folgendes gilt wenn Sie das Skalarprodukt bilden von X mit A X sie nehmen sich ein Wetterexperten in mit den AX und machen dann das Skalarprodukt mit X dann ist das strikt positiv für alle wir für alle Sektoren außer einem weil viele 0 weg Touristen für dich nie strikt positiv denn nur ist es nun mal bei 0 mal 0 ist ziemlich 0 aber die die Forderung ist für alle anderen Sektoren muss diese Bildung Strich positiv sein man kann man das bisschen abschwächen zum Begriff positiv sehen definiert das wäre sozusagen größer gleich 0 und das kriegen Sie wenn Sie hier größer gleich 0 zu das also diese Bildung hier a x a x muss größer gleich 0 sein für jeden legt er da können Sie jetzt auch die 0 mit zur Last so das Ganze für negativ Matrix heist negativ definiert falls diese Bildung x a x immer kleiner 0 ist dem Strickkleider kleiner und jetzt können sie sich schon fast selber ausrechnen was da negativ sehen die definiert ist unser wird die Vermutung und die Intuition auch nicht in die Irre negativ sehen mit definiert ist denn je kleiner gleich 0 1 und jetzt etwas was ist bei Zahlen nicht gibt mir jede Zahl es positiv oder negativ oder 0 aber zumindest größer gleich oder kleiner gleich 0 und Matrizen halt welche die sich weigern sich einsortieren zulassen wird in keine Schublade wollen und wenn das so ist dann machen wir dann definieren mal noch ne neue Schublade die Schublade wo die hinkommen die nichts von dem sind und die nennt man ihn definiert und da sind des die weder das eine noch das andere sind das heißt es gibt X und Y immer so dass die Bildung x a x größer 0 ist und die Bildung y a y kleinere um die die halt in keiner der beiden Schublade Schubladen da oben passen für die Kredits die auf Rang Schublade 5 das sind die ihn definiten Matrizen so Bemerkung 11 21 ist die waren die Folge schon mündlich los geworden bin diese ganzen definiert Hals Begriffe sind nur für symmetrischen Matrizen definiert also wenn irgendwo steht der Matrix ist positiv definiert dann bedeutet das implizit immer mit dass sie noch symmetrische zu drehen so wird sich die Frage wie rechnet man nach dass Martens positiv definiert ist man kann für die Definition machen und sich alle Vektoren bildet also mal ganz allgemein dieses wertet diese Bildung x a x und guckt ob man den wie nachweisen kann dass die in Maastricht positiv oder Strick negativ oder so weiter ist das kann man die Matrix großen unübersichtliches mühsam sein bei kommen sie nicht auf die Idee dass Sie das dann sehen ob die Einträge der Matrix positiv ist oder so was ne es gibt durchaus positiv definiten Matrizen in den Reihen der reihenweise negative Zahlen drinstehen aber es gibt durchaus gute andere Methoden um das festzustellen und da tauchen jetzt wieder die Eigenwerte und Determinanten
auf bei anhand der eigen wäre der Handel Determinanten kann man das wunderbar erkennen ob der Matrix positiv oder negativ definiert ist und werden uns positiven jeden Abend es immer symmetrisch das heißt die hat viele Eigenwerte dies immer gewinnen war also Versatz 11 22 wenden und eine symmetrische Matrix hier andere andernfalls machen die Begriffe positiv nicht und so weiter negativ definiert keinen Sinn Matrix an mit den Einträgen Alfa JK seine symmetrische n Kreuz in Matrix sieht er so und dann gilt folgendes gut das 1. ist die nicht unbedingt beim bestehen wobei es positiv definiert ist aber es ist immerhin er eine Aussage die der Intuition gemeldet wurde der Matrix ist positiv definiert genau dann wenn ihr negatives negativ dich nicht das hätte man so erwartet und es geht auch so so und jetzt kommen die äquivalenten sagen für positiv definierte das ist jetzt der Teil vom Satz der die praktische Frage beantwortet wie zeige ich auch das Gemach x positiv oder negativ definiert ist also es sind äquivalent 1. als positiv definiten in 2. alle Eigenwerte
von A 10 strikt positiv muss kann man sich gut merken positiv definiert heißt genau dann wenn alle Eigenwerte schräg positiv sind und 3. und das ist das was man eigentlich hauptsächlich nachprüft als Norm bisschen schneller geht als alle Eigenwerte ausrechnen alle Eigenwerte ausrechnen dass sind dicke Determinante ausrechnen und dann auch Nullstellen von Polynomen umgestellt und die 3. Möglichkeit sind die so genannten Unternehmen waren das ist folgendes sie nehmen sich alle n die zwischen 1 und 1 liegen und schauen sich folgende Determinante an im Prinzip die Determinante der Matrix A alpha JK war aber sie nehmen nur die 1. entzweien und die 1. in Spalten also wenn die ganze Matrix sondern Sinne die im Kreuz Matrix oben links also die Matrix JK gleich 1 bis und nicht bis in die und das muss größer sein als nur das es Kriterium für positiv definiert und das Kriterium für negativ definiert sieht ganz ähnlich aus und doch ganz anders Waffengesetze Stelle wo ein die Intuition nach und ich kann ihn aber nachher begründen oder wie man sich das merken her also A I und II ist dennoch noch ganz intuitiv man es aber negativ definiert als negativ genau definiert genau dann wenn alle Eigenwerte Strickleitern und sind gut und war unter mir nur muss man aufpassen weil die Intuition oder der 1. 10 bis jetzt mehr genau dann wenn diese ganzen diese Determinanten Dark Strickkleider 0 sind als ich genau dann wenn diese Determinanten wechselnde Vorzeichen haben soll heißen es muss gelten -minus 1 Hochebenen wir machen mal so mal so hoch im Plus 1 mal wieder Termine hat mal diesen unter Determinanten Alfa jk JK gleich 1 M strikte 1 0 das heißt die 1. also diese n gleich 1 muss negativ sein die für in gleich 2 positiv die Film gleich 3 negativ die fehlende positiv und so weit im Wechsel sie erst mal komisch aus aber man kann sich's klar machen warum es so sein muss und woran sie immer denken sollten um sich klarzumachen wie war das nochmal mit diesen Dingern damit diese Unternehmen und ist denken Sie eine Diagonale Matrix die aber danach ist immer symmetrisch der Mama Fenster durfte der oder Einzahlung sonst 0 bis es wunderbar so mit Gladys ja auch von humanisiert und war das ist das Ding positiv definiert huldigte definiert es wenn alle die Einträge dass sie die Eigenwerte positiv sind also was es mit diesen unter Determinanten die gesunde Determinanten sind einfach die Produkte der 1. im Eigenwert wenn die alle positiv sehen sie die Produkte positiv Bast so was ist denn negativ definiert denn es negativ definiert man diese ganzen Eigenwerte negativ sind Na also ne beschreibt eine klassiche negativ definiert sehe Matrix wären diagonal Matrix mit lauter
negativen Einträgen also in negativ definiert Matrix wäre zum Beispiel -minus 1 -minus 2 -minus 3 -minus 4 und Schiebereien nun noch die eigene so -minus 1 -minus 2 -minus 3 -minus 4 und die diese addiert Thomas ist mit und mit diesen Determinanten dem ausrechnen muss was ich gesagt was muss man ausrechnen die Determinanten die man kriegt wenn man sich die ganze Matrix nimmt sondern nur oben links und Teil also muss die Determinante von Designs Freuds 1 Matrix ausrechnen und dieser 2 kurz zweimal von dieser 3 Kreuz-Drei Matrix na und von der ganzen stehe gemacht die müssen mit was für Vorzeichen zuerst ist negativ die 2. -minus 1 4 -minus 2 das ist +plus 2. positiv weil das Produkt von seiner in seine Brust nun sie sehen es auf die Weise kriegen sollen alten fort Mädchen positiv negativ positiv negativ aus und dann so wenig wie die aber Matrizen kann man sich das Kriterium gut merken Matrix ist negativ definiert genau dann wenn sie das gleiche vorzeigen Verhalten bei diesem oder Determinanten hat wie Sonne der oder Matrix also negativ positiv negativ positiv negativ positiv zu diese diese unter Matratzen hier von dem man die Determinanten ausrechnet die haben waren deswegen habe ich auch von von einer rausgerutscht nennt man die unter also die Determinante von diesem Matrizen JK Romano von 1 bis n geht also die 1. Zeilen die 1. Spalten ab gleich 1 bis n wir heißen die Unternehmen Uhren von Ar sie selber deren Name verbraucht es jetzt nicht so furchtbar entscheidend wichtig ist dass sie sich merken mit diesen unter Determinanten können Sie sehr schnell checken ob der Matrix positiv oder negativ definiert es oder in die Fliegen das müssen wir dann in der wenn keins wenn Sie weder positiv noch negativ definiert ist das heißt beide Kriterien da gehen also wieder positiv sehen ja mit den beiden schief gehen also wenn sie strikt positive strikt negativen Eigenwert haben oder wenn eben das Fort also keine Gründe gehabt unter Determinante 0 ist keine und damit nur 0 ist und die nicht sichern eines dieser Vorzeichen Schemata +plus +plus +plus +plus +plus +plus oder -minus Plusminus Plusminus Plusminus Bosheiten so der Beispiel zu also sicher in 2 Matrizen mitgebracht im 1 -minus 2 2 1 -minus 2 5 0 und 2 0 30 und wie Sie sehen dies positiv die symmetrisch der also macht die Frage nach positiv und negativ definiert sind und dass es auch symmetrisch -minus 2 3 0 3 -minus 5 0 0 0 1 unsymmetrisch heißt einfach das wenn es ja da auch Caroline spiegeln das den symmetrisch ist nun das heißt wir müssen da und da müssen die gleichen Zahlen stehen da und da und da und zwar diesen beide symmetrisch wann untersuchen da Sie doch mal auch positiv
negativ definiert also was sind die Unternehmen waren von an und man nur einmal in diese Determinanten wenn Sie oben links in der Ecke Anfang 1. 1 Kreuz eines Determinante 1 2 2 2 1 3 kurz 3 also was ist die Determinante von der 1 Kreuz 1 Determinante oben in der Ecke dies einst das ist positiv dann kommt als nächstes die 2 Kreuz 2. Determinante oben in der Ecke 1 -minus 2 -minus 2 5 DES Diagonale -minus Produkte die Vandalen -minus Produkte neben dir wohl Mäntel also 5 -minus minus 10 minus 2 sonst minus 4 bis 1 ist auch positiv sehen hier das Dinge positiv definierte wurde negative Zahlen stehen was ich vorhin gesagt habe und was ist die Haupte Determinante und also die die ganze Determinante 1 -minus 2 2 -minus 2 5 0 2 0 30 einer der seltenen Momente wo sie tatsächlich mal in Saus auspacken dürfen wenn Sie das ausrechnen dann kommt er 10 aus und das ist auch positiv so damit es positiv definiert
nun sie sehen der Aufwand hält sich in Grenzen und welches Kriterium positiv definiert man wählt um nachzuweisen natürlich kommt nur darauf an was man gerade hat aber das fing es gut dass man 3 hat die Definition alle Eigenwerte positiv alle Unterbindung positiv wenn Sie nur auf positive Flieger chatten wollen dass die unter er meistens am schnellsten wenn Sie wieder die alten Werte ihn noch brauchen für was anderes Weise noch die Basis aus Eigenvektoren aus rechnen müssen dann sind wir die Sieger die Eigenwerte auszurechnen zu gucken die positiv sind seit damals noch kurz an das Baby ist freilich B-Norm 1 wir waren -minus
2 3 0 3 -minus 5 0 0 0 -minus 1 so was sind da die Unternehmen waren es wir müssen oben links in der Ecke Anfang Mitte 1 Kreuz 1 Matrix oben links in der Ecke des ist -minus 2 und die Determinante der 1 Kreuz eines Ratings -minus 2 1 -minus 2 das ist negativ dann kommt die 2 Gold 2 Matrix in der oben links in der Ecke -minus 2 3 3 -minus 5 dies -minus 2 minus 5 bis plus 10 -minus 3 mal 3 also -minus 9 bis 1 ist positiv es ist der negativ definiert guten Anwalt negativ definiert müssen die Vorzeichenwechsel sein wobei sind -minus antreten ist das heißt wenn wir jetzt für die ganze Determinante von B negativ rauskriegen ist es den negativ definiert also was die dominante von B -minus 2 3 0 3 -minus 5 0 0 0 1 -minus 1 für das ist gut sonst wärs auch schlecht ich sowas Mama entwickeln man nach der letzten Zeile nach dem letzten Zeile entwickeln da da ein so meint übrig -minus 1 mal das in den Nadeln während das hat immer positives Schachbrett Vorzeichen mal die Determinante die übrig bleibt wenn sie die letzte Zeile die letzte Spalte streichen also -minus 2 3 3 -minus 5 wir Maschen ausgerechnet da oben -minus 1 mal 1 ist minus 1 ist negativ also ist weniger negativ
definiert kann also auf diese Weise man die diese unter Determinanten ausrechnen kann man relativ schnell prüfen ob man wenn positiv die den Definitionen negativ definiert Matrix das können Sie mir sagen warum wollen wir das prüfen und dann sag ich jetzt und was Semesterferien man Semesterferien und treffen uns nächstes Semester wieder und dann mit der Kirche das matte 2 Wochen sie das prüfen wollen genau weil wir dann tief drin sein werden dann alles ist unterbrochen das und das ist jetzt der Arzt John Keith Moment diese Vorlesung wenn Auto samt den komplizierte führt wir sind nämlich bis Mitte der Algebra im Wesentlichen durch und also mit dem was ich an im Jahr über machen will und da wir immer noch mächtig in dem Zeitplan hänge ich immer aber direkt mit an als es weiter und das es einfach ein anderer Zweig der Mathematik wenn ganz grob sagen wir haben uns bisher beschäftigt mit komplizierten räumen werden Vektorräumen mit Gruppen mit mit komplizierten Strukturen und einfachen Funktion also damals Komplize Strukturen angeguckt aber die Abbildung waren immer homomorph Wissmann oder linear einfache schöne Funktion und des Kremls um wir gehen jetzt einfache Strukturen einfache Räume mit komplizierten Funktion Na also wird bleiben jetzt die nächsten also bis bis auf die letzte Vorlesung dieses Semesters auch danach noch lang einfach nur den 1. Vielzahl noch nichma eindimensionaler Vektorraum schöner geht gar nicht also alle zahlen aber das sehr komplizierte zu ehren insofern guckt dass die Sache die Welt einfach anders an und der 2. seit seinem der starken .punkt weshalb die ist es so wichtig ist und das jetzt breiten Raum einnimmt in der Vorlesung ist in diesem Kapitel werden wir uns mit den unendlichen beschäftigt mit dem ähnlich großen und dem unendlich Kleinen und das Unendliche ist ein komische Gesellen und das liegt wir sehen dran dass wir im Alter mit wenn ich nix zu tun haben muss dass wir das nicht vorstellen können und unsere Intuition deshalb zusammen mit unendlichen gern ihre Wege geht und einfach falsch ist ein bisschen ist die Debatte mal aufgekommen in einem Forumsbeitrag der sich länger zog wo es irgendwie manche Leute ich schwer vorstellbar fanden dass er 2 oder 3 gleich viele Tonnen halten was nebst den gelesen haben verlängere länger weitere 2 der 3 beinhalten gleich Victor ja sogar 283 haben gleich viele Victor n und das mag erst mal völlig absurd erscheinen weil natürlich jede eben im R 3 hat auch genauso viele Sektoren wieder 2 und sie indem er dreist der 2. stimmt dann eben immer 2 hat genauso viel Victor wieder erreicht das Intervall 0 1 enthält genauso viel zahlen die ganze er das ist gar keine neue Effekt es gibt genauso viele Grade Zahlen wie ganze Zahlen das Problem dabei ist das wir uns mit unendlichen so schwer tun das Unendliche ist bisschen Coach und weil man sich da intuitiv so schwer tut ist es umso dringender alles exakt zu definieren weil die Definition dann das ist woran man sich festhalten kann beide Intuition in die Irre und das damit machen da sie jetzt noch nicht sondern hat sich am Freitag der Freitag wird also kann ich gleich sagen eine ganz entscheidende Vorlesung für das verbreitete Na also schnell belegt vielleicht nicht mehr jede Vorlesung zu kommen wir zum Freitag bekommen das etwa 20 Minuten drin die die Grundlage legen für die 1. 10 Wochen Mathe 2 und noch ein 2. Veranstaltungshinweis auch noch mal zum Thema das unendliches und intuitiv gibt es den Beitrag nächsten Montag Treffpunkt ich bin kann ich auch wärmstens empfehlen der geht aber man die unseren Sohn ganz plakatives Beispiel warum man beim unendlichen extrem aufpassen muss und warum die so Dinge die man zum Alltag im Kopf hat nicht funktioniert so lange Vorrede legen wir los überlegen ganz brav los also was jetzt kommt ist sogar eher relativ Rüger Teil erst mal weil ich muss erst mal viele Begriffe definieren die sie alles schon kennt und außerdem ist die Chance fand wie gesagt etwas völlig Neuem an also Kapitel 4 aber Analysis Teil 1 ja wobei ich verbessert Teil 1 man alles es ein System gibt feststehender Begriff also Konvergenz und Stetigkeit das sind die beiden Begriffe und dies gilt und in den im Prinzip sind das die beiden zentralen Begriffe Konvergenz und Stetigkeit bei der Landung das nennt sich aber es wäre hinkommen erst mal noch ein bisschen Begrifflichkeiten klären 1. Paragraph die reellen Zahlen und ich habe ihn bisher ganz oft mit den reellen Zahlen gearbeitet aber eigentlich hab sie noch nicht definiert können Sie mir sagen was soll man das definieren das Geld zahlen sind wissen wir ist okay und sie werden auch mit ihrer Intuition an der Stelle nicht Schiffbruch erleiden aber trotzdem der Vollständigkeit halber und weil es schnell geht eine Definition der reelen Zahlen also er ich definiere in C 1. Mannes ein sogenannter angeordnet der Körper ist
das ist jetzt Rückgriff auf was das wir vorher hatten ,komma noch vor allen was ist ein dauernder Karten haben in Ordnung müssen damit er total Ordnung ist der Coup großen Körper oder er auch ist Körper und den können Sie auch mit wenn Sie dort dann auch noch mit der klassischen kleiner gleich Relation und jetzt können Sie natürlich jeden Tag werden wie ordnen Sie können natürlich auch den Z 3 ordnen sie einfach bei die beschließen dass 0 kleiner gleich 1 kleiner gleich 3 1 0 kleiner gleich 2 kleine gleich 1 ist oder was anderes wir wussten sie in Ordnung aber das ist dann kein angeordneter Körper weil die Ordnung passt nicht zum rechten ja was wir gerne hätten essen Körpermitte totale Ordnung so dass so gewohnte Rechenregeln fürs kleiner gleich gelten und so was nennt man angeordneten Carter zum angeordnet Körper falls 2 Dinge gelten 2 Rechenregeln die uns einig und ich intuitiv sind das kleine gleich musst du bloß einmal passen also für alle Körper Elemente A B und C gilt wenn a kleiner gleich B ist dann soll gefälligst auch ab +plus c kleiner gleich B +plus C sein verschuldet welche Relief Ungleichung Diwali kennen beide ungleichen dürfen sie auf beiden Seiten was agieren und die ungleichen bleibt erhalten ist es mit dem multiplizieren dann muss man bisschen aufpassen war die alte die alte Gemeinheiten sind gleich einen negativen Zahl multiplizieren dann dreht sich das Gleichheitszeichen und dem aber wenn es mit der positiven Zahl multiplizieren dann muss alles gleich bleiben also wenn keine gleich B ist und 0 kleiner gleich C also das ist positiv dann soll die Ungleichung erhalten bleiben wenn sie sich mit 10 multiplizieren also dann is kleine gleich Bits zur in die beiden wenn diese beide Bedingungen gelten die sozusagen sagen das kleine gleich passt zu der Verknüpfung zu der Verknüpfung im Körper dann nennt man das einen geordneten Körper noch ein klassisches Beispiel ist er oder Q dauern und genau das dient jetzt als Definition für an so dass die
Definition 1 1 das in die reellen Zahlen eine mögliche Definition also er die reellen Zahlen ist der kleinste angeordnete Körper Körper also es muss angeordnet Körper sein er er soll bitte schon so groß sein dass er die ganzen Zahlen enthält also suchen Angaben Körper der größer ist als zz selber ist kein Körper die kleinste Körper der ZNT Iliescu ist jetzt ist das ne schöne Defition für wir wollen aber nicht Kulisse wollen er definieren und es ist die spannende Frage was ist der Unterschied nicht von Kuh welche Eigenschaft hat also die Kuh nicht hat er dem ganze Stapel zahlen Mehr nämlich alle irrational das sind ziemlich viele dessen 1. rational und die entscheidende Eigenschaften die hat sich jetzt erstmal komisch an aber die werde nur noch häufiger sehen die das Q zusätzlich hat gegenüber dem 1. sogenannte Vollständigkeit Axiom also wir haben einen geordneten Körper der Z enthält das könnte noch eine Kuh sein aber jetzt Name den coolen gar aus wenn Sie sehen er eine beschränkte Menge haben dann hat jemand Supremo und das ist das was in Q schiefgeht wenn sich in Q alle zahlen hier neben den Quadrat kleiner als 2 ist das haben wir ganz am Anfang beim Thema Supremo zudem ein Coup alles seinen Charakter der 2 ist es ist beschränkte man immer dass keine Zeit größer 2 drin also nach oben beschränke mich aber sehr kein Subprime zu bringen wäre Wurzel 2 und wozu 2 gibt es nicht das Subprime müssen er und das Vollständigkeit Sektion dass genau das also Vollständigkeit Axiom Bericht unter Umständen mit Frau abkürzen das sagt jede nichtleere Teilmenge der obere Schranke hat also die noch oben beschränkt ist die hat auch ein Supremo und dass das nicht selbstverständlich ist ziel ko ECU geht es nicht das ist das Vollständigkeit Axiom und das ist der Unterschied zwischen Cola seit haben Hansenet Definition von erreichte fehlt noch das Wort erfüllt zwar dort das Definition von R Bemerkung 1 2 das was ich gerade schon sagte Q erfüllt das Vollständigkeit Axiom nicht und ein mögliches Beispiel ist sie nehmen sich die Menge der X aus Q so dass x
Quadrat kleiner ist als 2 nur das können Sie sich noch an das ende schreiben das ist wenn man mal schon mal er ist das ist das offene Intervall von Wurzel 2 bis Nacht so offen Intervall von minus 14 2. Wurzel 2 geschnitten mit Q also alle rationalen Zahlen sich jedes Mal zu zweit nur 2 das beschränkt aber das hat kein Subprime so aber mich hat es immer schon den Begriff nach oben und nach unten beschränkt verwendet ohne den zu verwenden also so abstrakt dass wir zwar den es nicht für allzu wichtig Sie haben die gute Intention Verehrung die tut er das Problem mit Intuition tritt später auch werden so und jetzt kommt ein Teil der Vorlesung der ist dabei sie nicht viel weil die wie ich lauter total banale Begriffe aber die müssen halt mal einmal da sein das ist immer so neues Thema anfängt dann kommt erst mal viel heiße Luft also Herr Grad schon verwendet was heißt noch oben beschränkt den Begriff haben wir eigentlich noch nicht bzw. was heißt nach unten beschränkt man denn wenn die Menge Teilmenge von er nach oben und unten beschränkt weil man sie nur obere oder untere Schranke hat also nach oben beschränkt dessen obere Schranke geht nach unten beschränkt feste untere Schranke gibt obere untere Schranke hatten wir ganz vorne im Abschnitt über Ordnungsrelation definiert nur Schrankes einfach mit Zahlen der total geordneten Menge R die größer ist als alle die Zahlen nennen 1 und oder Schrankes Zahl die kleiner ist als alle Zahl in den so und mit weniger als beschränkt wenn Sie eben nach oben und unten beschränkt ist auch das ist keine wirkliche Überraschung also wenn sie leben nach oben und nach
unten beschränkt ist dann anwenden wenn man sie einfach beschränkt also zum Beispiel die Menge die nur die 0 hält ist die klassische beschränkte Menge an und die Melodie alle reellen Zahlen größer gleich 5 dies nach unten beschränkt aber nicht nach oben gut reicht glaub ich nicht viel mehr zu sagen nach zumindest nach allem was ich ihn bisher schon zugemutet hat so jetzt haben wir hab ich ihnen erzählt jede er gilt es Vollständigkeit Axiom
das heißt diese nach oben beschränkt länger zu bringen das ganze können Sie natürlich auch mit nach unten beschränkten in und formulieren das ist genau das gleiche und das ist nur das Gleiche ist das Satz 1 4 zeigen zumindest eine Richtung ich zeige Ihnen das den er auch die gleich Aussage für nach unten in Film und gilt also in jeder nach unten beschränkte Menge er die nicht leer ist und Teilmenge von R den auch so könnte man das Vollständigkeit formulieren ist völlig wurscht muss ich halt für eine Formulierung Entscheidung die anderes dann den Satz sauer jetzt ein bisschen mit so mal sehen wie man damit umgeht weiß ich Ihnen das mal das ist die Idee der müssen irgendwie die Aussage dass ihnen aufzubringen zurückspielen versucht 9. und Uhrzeiten sich jeder 5. solange man es den preußischen und dann aber den Beweis danach und so dann würd ich gerne 2. Hälfte einsteigen und ihnen zeigen wie man aus der Existenz von Supreme Forderungen beschränkte man die Existenz und den Formung von unten beschränkte man Krieg da die die es irgendwie wir wissen warum beschränkt und wollen von nach unten dann müssen wir das eine aus andere zurückspielen machen wir also wir nehmen uns eine nach unten beschränkt länger die nicht leer ist also nichtleere Teilmenge von er die nach unten beschränkt ist und weil die man nach unten beschränkt ist hat sie nach Definition untere Schranke den wenn ich mal 10 also CS reale Zahl die kleiner gleich ist als alle Elemente von zur und jetzt wollen wir die Existenz von infinum haben und dazu betrachte ich Mehr die folgende Mehr Helmut und den Mut ist einfach das negative der Menge wir also finden sich alle Elemente X aus Mehr nehmen Sie jedes Element das negative -minus x und packen die die Menge in Hut seit 8. negative der Menge also alle für jedes Element aus ist wie diese wenn ich dass er den Mut das -minus x weil er nicht hier es ist dann auch im Mut nicht mehr da wenn man werde man also am Wochenende im Hut 1 und jetzt ist das schöne alles was bei sich unten abspielt untere Schranken und so weiter ist bei inode ob vom obere -minus 2 also wir wissen das sehr kleiner gleich x ist für alle x aus N i c Weine untere Schranke was wissen wir also dann wenn wir diese Gleichung -minus 1 multiplizieren dann ist -minus Zielgröße gleich -minus x wie gesagt alte falle wenn ungleichen mit der negativen Zahl multiplizieren wenn sie das Volk die die ist Relation 2. Bildung also wenn es minus 10 größer gleich -minus x für alle x aus n und das wiederum heißt wenn sie selbst allen in den Mut machen -minus C ist größer gleich y für alle y aus dem Hut Hut erhält er genau alle -minus x mit x das und das heißt nun -minus C
ist jetzt eine obere Schranke von im Hof Schranke heißt einfach eine Zahl die größer gleich alle Elemente von dem das -minus 10 tut das nur also das -minus Uhr scheinen von dem gut so jetzt wissen wir also der Models nach oben gestreckt Vollständigkeit Axiomen n Mut haben so primum das wenn ich weiß was ist jetzt die Intuition er dies so als die kleinste obere Schranke von den Hut ist wahrscheinlich -minus dass in Führung von innen dem also zeigen wir dass also wir zeigen -minus S ist das eben Phänomen von Enten was müssen wir tun Erinnerung ganz spät früher zurück was es dann in Führung in Führung ist die größte untere Schranke also wir müssen 2 Dinge zeigen wir müssen 1. zeigen -minus es ist nur untere Schranke von und zweitens müssen wir zeigen es ist die größte unterschreiben kann das heißt jede andere Unterschränke untere Schranke ist kleiner also machen wir diese beiden Schritte 1. -minus es ist der untere Schranke und ich nach diesen Beweis auch weil das unwissende Blaupause ist wenn Sie zeigen wollte irgendwas es in oder so bringen von der Menge dann ist das immer der immer dieser 2 Schritte zeigen wollen bezahlst sind vom von der Menge dann zeigen 7 1. ist nur durch Schranke und zweitens jeder andere Unterschrank ist kleiner also erstens ist untere Schranke wir zeigen wir das ja was müssen wir tun wir müssen zeigen jedes Element aus ist größer also wir uns nix aus hier wenn x 10 m es 1 -minus x in Dach der sehr Mut also weil -minus weil es Supreme und das von in den Hut ist ist -minus x kleiner gleich S
nur weil es war das so Trennung von den Hut das heißt insbesondere ist dass es eine obere Schranke so jetzt können Sie das sehen -minus 1 multipliziert dann kriegen Sie X ist größer gleich -minus S nur damit haben sie für alle x aus Exkurse gleich -minus es also dass mir das 1. untere Schranke 2. Schritt man das es ist die größte untere Schranke er
2. -minus S ist die größte untere Schranke also das ist das ihn ein .punkt die Betonung liegt auf kurz den wir zeigen wir das wie gerade schon gesagt wir dem und der andere untere Schranke her und zeigen dies Kleid also wir wissen schon -minus es ist untere Schranke und wir sehen jetzt noch T R es sei auch eine untere Schranke von ziel is das Ziel ist viel kleiner gleich -minus S ,komma jeder untere Schranke muss kleiner als es weiß wie das ist so also wie kommen wir da hin wo bei untere Schranke von allen ist ist -minus T der obere Schranke von allen dachte dass es genau die Rechnung von oben denn sie wieder mit minus 1 die Ungleichung mal kriegen Sie nie das diesen obere Schranke von den dar so wird es aber erst das Suprenum von den dachte was heißt das es ist die kleinste obere Schranke von einem Dach weil es die kleinste obere Schranke ist muss es kleiner gleich -minus tägl in Winston sowie -minus 1 mal dann haben sie es größer gleich -minus es größer gleich T und das ist genau das was Ziel steht nun also war fertig haben gut das ist weit weniger den Erkenntnisgewinn des Satzes zu wer den Beweis vorgeführt weil er eben so ein paar ganz ganz typische Argumente enthält die man mit zu prima und ich immer laufend hat solange ich weiter in der Abteilung Definition von denen die sich so alle lang kennen und benutzen kann und zwar als nächstes die Betrag Funktion wir hatten den Betrag schon für komplexe Zahlen definiert insofern ist das jetzt was überhaupt nicht Neues weil Sie können sich schon für die komplexe Zahl ausrechnen erst recht ich will hier den Schwerpunkt des Landes leben und zwar noch mal klar machen dass es sich dabei um die Funktion handelt der Betrages der Funktion von A nach einer Wiese definiert Betrag von x reellen Zahlen es einfach extrem XP größer gleich 0 ist und -minus x 1 x kleiner 0 ist und das Ding heißt Betrags Funktionen dort das alles keine
Neuigkeiten des Restbetrags Funktion und Betrag X das da dieses Zeichen mit den 2 Strichen das nennt sich der Betrag von 2 Rechenregeln den Betrag den Sie auch alle wenn wesentlichen bei den komplexen Zahlen gesehen hier im Wesentlichen als Erinnerungen also egal welche X und Y das er sich nehmen der Betrag ist immer positiv ganz wesentliche Eigenschaft des Betrages die wir doch gern und viel nutzen werden 2. wenn Sie eine Zahl x haben und mit sein -minus x dann sind die natürlich nicht gleich also im allgemeinen seine ist 0 aber der Betrag ist das Dell zweitens der Betrag ist immer größer gleich größer gleich als ich selber und doch größer gleich 1 -minus x 3. der Betrag es multiplikativ das heißt Betrag vom Produkt das Produkt der Beträge sehr angenehme Eigenschaft dass Tränen des komplexen Betrages und letztens ja doch da noch die die Finitheit des Betrages also Betrag von x ist 0 genau dann wenn x selber 0 ist und Schluss endlich noch 11 die wichtigste Ungleichung alles ist sowas wie D für gibt es nicht also Betrag von x +plus y ist nicht Betrag X plus Betrag y aber es ist immerhin eine Ungleichung richtig Betrag von x +plus y ist kleiner gleich Betrag von x +plus Betrag von Apps auf das ist die berühmte Dreiecksungleichung die werden Sie noch oft und
oft sehen Sarah der dazu aber bei den komplexen Zahlen gemacht insofern die mach ich da jetzt nichts ich schreibe Ihnen noch eine weitere Ungleichung in anders der sie sie sie sich versuchen können die fühlt sich im Wesentlichen auf die Dreiecksungleichung zurück das ist die sogen kannte umgekehrte Dreiecksungleichung und da geht es um die Frage was ist ein Betrag von der Differenz also was es mit Betrag von x -minus y wenn der Dreiecksungleichung in die andere Richtung als ein Betrag von x +plus y können sich nach oben abschätzen kontrollieren sie nach oben und den Betrag der Differenz kontrollieren sie nach unten es immer größer gleich Netz kommt das wichtig geschlachtet das die Differenz der Beträge so wie es jetzt dasteht stimmt auch aber es geht sogar noch was schärferes nämlich größer gleicht dem Betrag diese Differenz beträgt das ist die sogenannte umgekehrte Dreiecksungleichung und das gilt auch für alle x y in an ich weiß für das Ganze auf die Dreiecksungleichung zurück können Sie mal ein bisschen spielen schauen noch eine letzte
Definitionen damit Small dastand nämlich der nämlich eine Konvention für Intervall in der Wale werden leider der Literatur verschieden geschrieben und ich Tucker jetzt mal eine Konvention für diese Vorlesung fest also werden 2 reelle Zahlen a und b a soll kleiner sein als B dann können Sie sich das Intervall von A bis B angucken das im Wesentlichen alle Zahlen zwischen A und B und die Frage ist nur welche Randpunkte gehören dazu und dementsprechend es verschiedene Notation dafür und ich will hier also für das Intervall von A bis D das heißt alle Zahlen aus die Strecke zwischen A und B liegen das ist das sogenannte offene Intervall dafür gibt es im wesentlichen 2 Schreibweisen wahrscheinlich so wie Sie hier sitzen sind weil sie nicht 2 Drittel für die einen ein Drittel für die anderen je nachdem was der entsprechenden Lehre gemacht hat ich entscheide ich mal für die mit den runden Klammern darf die eine Hälfte auf ja oder die andere sagen gut Glück gehabt es gibt auch noch die hier nahm aber aber ich ja also dürfen Sie natürlich auch schreiben aber ich ja ich verdiene mit runden Klammern schreiben dann gibt es das Intervall wobei der Randpunkte dazugehören also kleiner gleich x kleiner gleich B das sogenannte abgeschlossene Intervall das reinigt mit eckigen Klammern dann kann man halt offen Wale definieren also runde Klammern längst abgeschlossene rechts das heißt hier kleiner und da kennt man gleich das gleiche anders rum liegen links die eckige rechts die Runde das wäre hier ein kleiner gleich und dan kleiner das sind so genannte halboffene Intervalle so und dann geht es denn der Wale die nur ein Ende haben und an der andern Seite beliebig weit gehen also zum Beispiel das Intervall a unendlich das sind alle x sind R die größer gleich sind das Gleiche gibt es längst offen also das wären alle die die ich größer als A sind Achtung das Ganze gibt es nicht mit eckigen Klammer wurde endlich ihr ein für alle mal merken unendlich ist keine reelle Zahl oder ähnliches keine Zahl und deswegen kann sie auch nicht zur Ehre gehöre wegen macht keinen Sinn wenn )klammer zu schreiben ja ich will auch nie was sehen wie ich es gleich unendlich oder da kommt unendlich raus weil der kommt nicht unendlich raus oder dies keine Zahl wenn sind in der ein Gleichheitszeichen endlich schreiben wollen dann muss diese Notation an der Stelle wo man explizit definiert sein wir werden solche Dinge definiert und es wird ganz oft ähnlich dastehen aber es darf nur in Zusammenhang stehen was erlaubt ist oder ähnliches keine Zahlen grundsätzlich Ansage so das gleiche von der andern Seite -minus aber es unendlich wenn Sie jetzt auch sofort hinschreiben was das ist wie gesagt die Definition dient ich der Vollständigkeit und sonst gar nichts das sind alle x die Kleider gleich das gleiche mit
(klammer auf minus unendlich bis sind alle die die hier kleiner stehen haben sollten was auch ganz ins extrem treiben und das Intervall von minus unendlich bis unendlich anschauen auch das ist ja erstmal undefinierter Begriff weil was das Unendliche aber das definieren uns einfach als er dann gibt es noch 2 weitere Notation die häufiger auftauchen er +plus +plus ist bei mir das in 0 abgeschlossen Intervall von 0 bis unendlich oder -minus ist entsprechend das sind 0 abgeschlossen Intervall von -minus männlich bis 0 Sachen wahrscheinlich dass sie nicht die längste Definition des Skripts und die die Herrn ja also da waren andere wahrscheinlich schwerer zu durchschauen 2 Arme so weit zum sozusagen einfach den Notation denn er und der Definition von R und jetzt will noch mal andere Dinge ein die sie wahrscheinlich nicht an größtenteils kennen das sind Wurzeln Fakultäten und Binomialkoeffizienten Fakultäten und Binomialkoeffizienten definieren wir einfach Wurzel die Sachen bisschen schwieriger man was Wurzeln sind haben Sie auch ein Gefühl für werden sie auch immer wieder verwendet aber wenn wir ehrlich sind auch nicht wirklich definiert dann man bisher noch nicht gesagt dass Niveau ist stammt vielleicht bewusste 2. aber richtig definierte bis sie nicht noch mal jetzt aber erst die beiden anderen die gehen
schneller man erst die Wurzel Wurzeln was brauche für die Wurzel für die Wurzel die Basis die Wurzel die Wurzel ist das rückgängig machen das potenziert Quadrieren und rückgängig ist die Wurzel oder die 5. Wurzel ist hoch 5 und dann rückgängig machen also das 1. was vor 5 min bedeute ich habe mich aber nicht definiert für alle x in Jahr und für jede für jeden Exponenten aus allen Stern definieren wir uns X noch was ist das das ist X mal X mal und so weiter mal X n Faktoren lag ja das ist auch nix Unerwartetes Talkshow 5. hat X mal X mal X mal X mit das ist für positive N was ist x hoch minus n sie auch gleich sagen dass es einst durch x auch entnommen und das geht aber nur bitte schön wenn das X nicht nur des 6 gleich 0 ist die 0 hoch minus 5 die Zeit nicht hat und das letzte was ihm jetzt noch nicht definiert haben das 6 Wochen ruhen und X noch 0 setzen wir per Ordre du Mufti auf 1 was ist genau deswegen hab ich ihn noch nicht das muss ich ihn jetzt noch definieren was ich Wochen und bei den A und B 6 Wochen nur noch nicht nicht definiert X auch 0 zu 1 denn sie natürlich finden weil altbekannte Rechenregel X auch äh -minus endet was ich doch 0 6 Uhr 1 n und ich suche in durch x hoch 1 1 zu 1 damit ist insbesondere hier auch definiert auf ich hinweisen weil das ist nicht so offensichtlich wenig Wert im 1. Lauf der Matte 2 erklären können warum es die richtige Definition ist das nur noch 0 1 ist der nur noch 0 ist ein bisschen komplizierter Sonderfall aber hiermit hab ich jetzt auch nur noch 0 zu 1 gesetzt erst mal mit Gewalt er :doppelpunkt gleich und warum das sinnliches erkläre ich Ihnen mal 2. schon er haben diese Definition so banal sie es können Sie so ein bisschen als auch als Leitlinie für die nächsten Wochen sehen damit haben wir die 1. Potenzen definiert aber das ist nur der Anfang der Geschichte wir wollen natürlich auch wissen dass X suchen Halt ist darum kümmern und gleich dass die Wurzel x unternehmen aber auch deren was es 3 hoch die 3 auch die ist ganz einfach in die Tasche rechnete es einer kommt was raus ja bewies definiert was ist 3 Hobby und kommen Sie mir nicht mit der Aussage die meinen möglichen Prüfung hatte Na ja das ist 3 mal 3 mal 3 Klima da hab ich geguckt nein das ist nicht einmal 3 3 3 mal hat weil so kann man es nicht definieren und die Frage wie wir das definieren die Beschäftigung setzen auch noch nicht da ich verspreche Ihnen auf dem haben noch immer da 1 also der Länder der Ehemann neben hatte 2 werden wir definieren was 3 auch dies aber da müssen wir uns im ganzen erstaunlich viel Rüstzeug zulegen bisherigen kommt so aber jetzt aber erst mal kleinere Brötchen der Film über die Wurzeln also
Satz 2 Punkt 2 der sagt was der sagt im Prinzip ist die n-te Wurzel mathematische und verklausuliert aber wenn Sie denn da noch einmal lesen dann sehen Sie da steht es gibt ne Ente Worte zumindest für positive reele Zahl ja er wollte er bleiben das heißt beziehen Wurzeln nur aus positiven Zahlen meinetwegen auch auf 0 aber nicht aus -minus 5 haben Sie mir nicht witzig und komplett und Wurzeln Inc ist ein komplexes Thema im wahrsten Sinne des Wortes belassen die Finger von war also wir alle plus also für alle aber größer gleich 0 und alle natürlichen Zahlen die nicht 0 sind sagt dieser Satz und es gibt genau 1 x aus los mit X auch allen gleich also dieser Satz sagt die Gleichung x auch n gleich an den Abwurf größer gleich 0 es hat genau eine positive Lösung und diese positive so ist dann die Ente wozu klar also dieser Satz das ist die Existenz der in Wort und Bild und das entscheidende Satz deswegen das genau ein weil dadurch können sie überhaupt sinnvoll definieren die Lösung dafür Verluste gleichen der der positiven reellen Lösung hat dann ab gibt keine eine Definition das auch der Grund warum hier er bloß steht ja natürlich hat die Gleichung x Quadrat gleich 4 2 reelle Lösungen mich 2 nämlich 2 -minus 2 wir umgibt das ist eine Konvention Geburt immer die positiven ist so ich werde in den nicht ausführlich beweisen ich sage nur was die Idee ist da ist nämlich einiges zu tun der ist nicht so banal wie aus den das ergab gar nicht banal sein kann sehen Sie schon daran der Beweis darin Crew nicht funktioniert bei den Kurs der Satz falsch nahmen die Gleichung x Quadrat gleich 2 hat den Coup gar keine Lösung man muss also Vollständigkeit Axiom Raimund dabei und das ist falsch das ist Leidenschaft von R so aber bis ein war muss man so ein bisschen vorarbeiten man muss zuerst folgendes zeigen sich je 2 positive reellen Zahlen und jeden Exponenten gilt wenn X noch n kleiner gleich y hoch in ist oder genau dann wenn X kleiner gleich ob es am wenigsten Y ist dann ist es in y n das ist nicht der schwere Teil des Teil des und umgekehrt das brachten unterwegs dann zeigt man zweitens Schritt die Eindeutigkeit die folgt dem Prinzip aus dem was man im 1. Schritt gezeigt hat wenn man sie an sie haben 2 Lösungen also 2 positive Zahlen X in Y aus eher so dass X auch n gleich 1 und y hoch in auch was haben Sie dann daran sich so n kleiner gleich y hoch n und XOR größer gleich y noch n mit dem 1. Schritt heißt das ist X kleiner gleich y und x größer gleich y also das =ist gleich übt er auf das Volk aus dem
1. Schritt also kriegen sie die beiden Ungleichheiten und damit kriegen sie kann gleich Saar das ist das sind die vorbereitenden Dinge und der 1. Schritt ist super nervig deswegen hab ich den USA angedeutet der 3. Schritt ist auch noch ein vorbereitendes 2 muss dem Fahrer gleich nur gesondert behandeln also für gleich 0 brauchen wir Zahl so dass ich's doch n gleich 0 ist das ist nicht so schwer da gibt es genau eine nämlich x gleich 0 er fertig ist es sah aber jetzt der 4. das ist das entscheidende also die Existenz der Wurzel 4 A größer 0 und auch das neue nicht ganz ausführlich sondern sie sagen einfach was die dies weil sie dann sehen bei das ist seine Argumentation ist er das ist das sogenannte Prinzip des kleinsten Verbrechers und zwar schaut man sich einen ja das funktioniert wenn man erregendem Vollständigkeit Aktion so super man schaut sich an die Menge aller zahlen die nicht groß knappen man diese Zahl haben die gewisse Eigenschaften fühlt war über die Zahlen haben so dass X auch in gleich ist es kommt man sich alle die Zahlen an die das nicht schaffen die zu klein sind Namen nennt sich die Menge Mehr alle x aus ein Plus für die x noch n kleiner gleich AZ ja das man sucht das mit gleich aber wir wissen dass geht Beweise dass dies geht man guckt sich mal alle an die zu klein sind oder kleiner gleich und dann guckt man sich diese Menge an und stellt fest weil er dies immerhin die hatten wir schöne Eigenschaften 1. ist die man nicht mehr weil zum Beispiel 0 ist da drin ja nur noch n ist nur
das kleine gleich Aral aber größer Not nur Gott also wenn es mal nicht leer und außerdem ist er nach oben beschränkt man zeigen aber zum Beispiel ist 1 plus eine obere Schranke von na das 30 Initi nicht also wenn sich vorstellen wenn Sie seien suchen werden ende Potenz kleiner gleich als dann ist das sowohl nach oben gestreckt gestreckte na und dann sind in der Situation und Vollständigkeit zu klar mit Verbrechern sind jetzt alle die gemeint die nicht im liegen und der Glanz des Verbrechers das Supremo von in da so der Vollständigkeit Aktion sagt uns jetzt das das Verbrämung von existiert was ist da zu bringen und von allen das ist sozusagen die kleinste obere Schranke also die oberen Schranken sind die für die X auch in größer ist als und die kleinste davon ist wie der richtige Kandidat dafür dass festgewurzelt und das ist auch so also dass man jetzt noch machen muss ist ist das auch tut also dann weisen nach das tatsächlich x hoch in dieses X doch in dieses Supremo das dann für diese Prägung x so wenngleich Arzt und das macht man durch 2 Annahmen 1. Mann im an die zu rennen wird größer als ich so wenig größer ist als dann finden Sie noch dann stellen Sie fest dass es noch der kleinere obere Schranke gibt und ich sah mich das sein kann und die 2. Annahme ist in dem 1 x auch indirekt kleiner als war das geht bringen sie zum Widerspruch dazu dass sie dann zeigen dann ist X keine obere Schranke von allen sondern es gibt noch vehement oberhalb von X in den und dann ist das kann es auch nicht sein und dann am 6 auch in gleicher gut das ist nur die Idee nur insofern mach ich jetzt hier auch Manon eingeklammerten Kasten dahinter es ist keine wirkliche beweist aber das ist die Grundidee ich wichtig war mir ihn zu zeigen der 7. Vollständigkeit Axiom ganzen scheint eingeht und das der ganzen weiß total zusammenbricht wenn sie den Q probieren nein aus es ist nicht leer und ist warum beschränken kriegen ;strichpunkt nix von der kriegen sie aus dem Vollständigkeit Sachse um die Existenz der so und das die definieren wir jetzt als Wurzel
n a ist das die Definition 2 3 wenn Sie eine positive reele Zahl ist das gemein größer gleich 0 haben unten das nicht nur das aus natürlichen Zahlen nennt man das eindeutige X das wir gerade gut dass wir gerade gefunden haben also das eindeutige X als E-Plus das der erfüllt X auch in gleich das nennt man die n-te Wurzel von aber wir wir können jetzt immer von der n-ten Wurzel reden weil wir gezeigt haben diese Zahl ist eindeutig Schreibweise werden Sie kennen ganz natürlich schreiben wie sie wollen aber die übliche Schreibweise ist Ente Wurzel aber und außerdem gibt es noch die abkürzende Schreibweise für die 2. Wurzel nur kein Mensch schweizweiten 2. Wurzel sondern das Treffen einfach nur wozu an Code damit können wir jetzt wenn ich sage ein ein Programm das wir jetzt verfolgen Hintern unter mehreren andern aber ein Programm ist möglichst die allgemeine Potenz zu definieren also was ist dran OP doch die können wir noch nicht aber wir können jetzt 3 hoch Q für jede rationale Zahl Q definieren aber müssen ein bisschen vorsichtig sein ne werden jetzt die Ente wusste was wie hoch 1 durch wir können auch definieren wir können auch Einstig in definieren dann ist nichts nein zu sagen werden können wir auch auch endlich in definiert als auch Einstig in hoch in Ehren aber da also die die es jetzt wenn Sie aber auch mit irrationale Zahl definieren wollen auch Kuh das ist sowas wie auch durch dann ist die die natürlich zu sagen dass es auch Einstig m hoch n also in der Wurzel aber auch in der wie die nun ist kurz gesehen vorsichtig sein weil das ist nicht offensichtlich eine sinnvolle Definition weil an der Stelle hier ist auch der Willkür 3. weiß es gibt viele rationale Zahl nicht nur eine sondern ein paar sehr viele Möglichkeiten der Spruch darzustellen und wer sagt Ihnen denn dass wenn der Nachbar jene andere Möglichkeit als Bruch zu darzustellen das gleiche rauskommen bisher niemand also wollten wir das noch möglichst absichern dass das klappt also wenn sie eine rationale Zahl haben und 2 verschiedene Darstellung das Buch also durch N und P durch aber seine rationale Zahl mp 10 entsprechend ganze Zahlen also die die Zähler sind ganze Zahlen und in der hätte ich gern in natürlichen Zahlen das geht Sie können das Vorzeichen der rationalen Zahlen wenn den stecken so also wenn sie eine rationale Zahl
auf 2. Schiene weisen aus 3. dann ist diese Definition die ich da oben angedeutet hat tatsächlich sinnvoll das heißt man stellt fest die Ente Wurzel von x hoch n ist dann das Gleiche wie die alte Wurzel von x hoch P kann also macht es tatsächlich sehen aber Q zu definieren als eine dieser beiden Ausdrücke ist ihm wurscht welche darauf des Buches in dem ja ein bisschen mühsam wenn man immer vorher klären müsste ob der maximal gekürzt ist zwar ja warum ist das so das liegt an der Eindeutigkeit der enden Wurzeln nehmen Sie sich ein X aus Abfluss hier und dann ist zu beachten weil durch gleich die durch R bedeutenden Mannes umstellt mal her gleich einmal P und damit kriegen Sie folgendes was schauen wir uns an wir wollen Gleichheit diese beiden Ausdrücke zeigen und um das zu tun es ist folgendes sinnvoll sie nehmen sich mal Ausdruck links also die Ente wozu von x hoch und nehmen die wieder 1. Potenz so dann kennen Sie Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen der die von geschrieben oder soll glaube ich nicht geschrieben und kennen Sie das ist Ente Wurzel x hoch im mal für ganzzahlige Potenz ist das doch offensichtlich wäre ja das des Tatorts gab zur ja ist das gleiche wie einmal die also ist das 10. Wurzel x hoch nmal P das ist Ente Wurzel von x wieder nach Potenz Rechenregel hoch n ok ende Wurzel von x hoch n das ist ziemlich kompliziert geschrieben alles das was hier steht x auch gehen so genau so schauen Sie sich anders was ist erbte Wurzel von x
hoch P das ist jetzt das von der rechten Seite was ist das hoch er als den sie die linke Seite mit er potenzieren kommt die Zuchttiere aus was bisher wenn sie die rechte Seite mit er potenzieren Patents Rechenregeln ehrte Wurzel von x Buchthema mal R das ist das gleiche wie ehrte Wurzel von x auch er mal P einfach Commuter tivität der Multiplikation jetzt Potenz Rechenregeln rückwärts dass es ehrte Wurzel von x hoch er hoch Pläne und das ist wie der X auf B also sehen Sie was das gleich und jetzt gehen sie die ganze gleich als Schleife Anderson die 1. Potenzen der beiden Zahlen die wir uns interessieren sind gleich ja sie haben damit auch dass die beiden hier gleich sind kann und warum sind jetzt die dabei gleich von dem wir was wissen wollten das liegt an der Eindeutigkeit der AfD Wurzeln mit die 1. Wurzel ist eindeutig es gibt also nur 1 Elementen er dessen 1. Potenz gleich diesen Ausdruck ist und damit sind auch die beiden untendrunter gleich also die Eindeutigkeit der Wurzel ich werde Ihnen jetzt Ente Wurzel x hoch n gleich Wurzel x doch die Akten das das worum es ging normal der Bedarf war dadurch da wir wollen dich so cool definieren Kugeln sie auf 17 verschiedene Weise als Bruch schreiben und jedes Mal so bitte schön das gleiche auskommt also befinden wir uns jetzt die rationale Potenz
Definition 2 5 finden wir bleiben leider Wurzelziehen bei bereits Potenz bei positiven X also X aus und eine Kuh aus Kuh und dieses Kohlschreiber als durch wobei ich immer den das Vorzeichen in den Zellen nehme also dass der Zelle ist aus Z und der Länder ist natürlich und nicht 0 0 durch 0 teilen ist nicht und dann definieren wir uns x hoch Coup an das ist x hoch durch und das definieren wir als Ente Wurzel von X die gibt es die kennen wir das ist ne positive jene Zahl die können auch in den Ländern haben so die Definition für x hoch Q und damit können sicher weil jeder reale Zahl auch eine rationale ausrechnen Na also 5 vor Wurzel 2 geht jetzt da auch pidät und ich gut jetzt kommen die üblichen Rechenregeln da für die Brot für die rationale Potenz gelten die gleichen Rechenregeln wie für die ganzzahlige Potenz also wann immer sie X und Y nicht sicher nehmen jetzt strikt positiv damit ich dich y teilen kann und 2 rationale Exponenten P und Q man 10 schreiben sollten alles keine Überraschung sein aber es schadet vielleicht mixt sich nochmal zu erinnern was ist x P Malik Coup ist auch P +plus Q R x hoch P mal y auch P ist x mal y hoch P was wir gerade schon hatten X sucht P
Hochchor Sicherheitsgrad Grad für ganzzahlige aber das gilt eben auch für nationale X auf P auf Kur ist x hoch P Markung und dann das Ganze noch für die Quotienten X auch P durch x hoch Coup SX ok -minus q ungleiche Exponent aber verschiedene Basis X OP durch y hoch P ist der Bruch x durch y Cockpit ich denn da das Rechenregeln für Potenz sind hoffentlich keine Neuigkeiten für alle die es Neuigkeiten sind zeigt sich dann noch mal gut mit Beschäftigten so das ist das was ich Momente Potenzen sagen kann weiter als die rationalen kommen im Moment noch nicht der fehlt uns dem große Werkzeugkasten und dann eben auch x hoch X auch y beides reell zu definieren so in der Überschrift von Kapitel gab es nicht nur Potenzen sondern auch da Wohltätern Binomialkoeffizienten dass nicht die schnell definieren ach das dürfte führt zumindest für viele von ihnen nix Neues sein denn ein bisschen Kombinatorik gesehen hat tauchen die auf also und für alle andern klärt sich jetzt die komische für die Frage was dieses komische !ausrufezeichen auf dem Taschenrechner ist also wenn sie den natürliche Zahl haben die nicht 0 ist dann nennt man dieses komische !ausrufezeichen n Fakultät es war es ist gut groß wird eine sehr große Zahl nämlich das Produkt aus einem zahlen die kleiner gleich n sind also einmal zweimal dreimal viermal fünfmal 6 bis mal n das nennt man n Fakultät der Stamm der Taschenrechner gibt ab n gleich 69 auf weil das ist größer als 10 100 und was hier für die Definition noch fehlt ist was ist 0 Fakultät 0 Fakultät ist wieder per Ordre du musst dir einfach 1 zu 1 warum erklärt sich aus anderen Dingen aber das ist ist ein Wandel Definition und Fakultät ist einzig sinnvolle Definition und es kommt noch der Binomialkoeffizienten ja wir
brauchen wir 2 natürliche Zahlen die dürfen jetzt 0 sein und das K soll kleiner gleich allen seien und dem Binomialkoeffizienten schreibt man in zu einer Klammer 2 Zahlen übereinander und wenn man die übereinander schreibt liest man das auch n über k und definiert ist das Ding als folgender kurz jenen nehmen die Fakultät von allen und teilen das durch die Fakultät von K und die Fakultät von -minus K das ist der Binomialkoeffizienten das ist erstmal nur die Definitionen bei der Definition ist spannend oder witzig zu bemerken obwohl eine Quotient steht ist das was da raus kommt immer die ganze Zeit das ist nicht so offensichtlich aber es ist so und das kann man sich jetzt entweder mühsam zusammen beweisen oder man kann sich's anschaulich machen das ist glaub ich die bessere Methode weil sowohl die Fakultät also auch der Binomialkoeffizienten haben anschauliche politischer Autor kombinatorische Bedeutung unter den kann man sich das vorstellen das schreibe ich nochmal kurz als Bemerkung 2 18 und zwar
sind das hoch sind dass Möglichkeiten Dinge anzuordnen n Fakultät ist die Anzahl der möglichen Reihenfolgen von allen Dingen also wenn sie 17 Bücher in ihrem Bücherregal hinstellen wollen dann haben sie 17 Fakultäten Möglichkeiten die der anzuordnen und 17 Fakultät es schon ne ganze Menge also wenn sie verschiedene unterscheidbare Dinge haben dann ist die Anzahl der Möglichkeiten den zu in eine Reihenfolge zu bringen genau n Fakultät und n über k a hat genau so eine Bedeutung das ist die Anzahl der Möglichkeiten aus unterscheidbaren dienen genau K auszuwählen also das ist das was man beim Lotto macht aus dem 49 verschiedenen Zahlen werden 6 ausgewählt das heißt die Anzahl der möglichen Lottoziehung ohne Zusatzzahl Superzahl sonstiges Brimborium bis 49 über Sex und das sind auch schon ziemlich viele haben Sie sehen das n über k die so eine Anzahl ist Möglichkeiten auszuwählen ist es zumindest nicht überraschend dass der Ausdruck immer ganzzahlig ist weil es geht eben nicht 14 Millionen also ,komma 5 welche Lottozahlen sondern die ganze Zeit gut dann nicht mit dieser Definition für heute werden das Frode Rechenregeln für Fakultäten Binnenlage mit Sendezeit dann am Freitag für heute danke abmessen
Ebene
Algebraisch abgeschlossener Körper
Matrix <Mathematik>
Faktorisierung
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Algebra
Komplex <Algebra>
Symmetrische Matrix
Gradient
Richtung
Lineare Abbildung
Multiplikation
Eigenwert
Symmetrie
Nullstelle
Determinante
Machsches Prinzip
Abstieg <Mathematik>
Abbildung <Physik>
Eigenvektor
Komplexe Ebene
Polynom
Koeffizient
Charakteristisches Polynom
Diagonale <Geometrie>
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Inverse
Symmetrische Matrix
Eigenvektor
Skalarprodukt
Menge
Eigenwert
Neue Mathematik
Stützpunkt <Mathematik>
Haar-Integral
Charakteristisches Polynom
Diagonale <Geometrie>
Mathematische Größe
Skalarprodukt
Matrix <Mathematik>
Negative Zahl
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Determinante
Last
Eigenwert
Rang <Mathematik>
Symmetrische Matrix
Zahl
Matrix <Mathematik>
Polynom
Matrizenmultiplikation
Determinante
Eigenwert
Vorzeichen <Mathematik>
Nullstelle
Biprodukt
Diagonale <Geometrie>
Zahl
Negative Zahl
Determinante
Eigenwert
Biprodukt
Diagonale <Geometrie>
Eigenvektor
Ecke
Matrizenmultiplikation
Mathematik
Determinante
Physikalischer Effekt
Algebra
Abbildung <Physik>
Vektorraum
Vorzeichenwechsel
Zahl
Unendlichkeit
Vollständigkeit
Ganze Zahl
Stetigkeit
Vorzeichen <Mathematik>
Reelle Zahl
Struktur <Mathematik>
Ecke
Analysis
Mathematische Größe
Positive Zahl
Total <Mathematik>
Obere Schranke
Angeordneter Körper
Entscheidungsmodell
Teilmenge
Quadrat
Negative Zahl
Vollständigkeit
Ungleichung
Menge
Reelle Zahl
Ganze Zahl
Gleichheitszeichen
Axiom
Untere Schranke
Obere Schranke
Große Vereinheitlichung
Zahl
Gradient
Teilmenge
Vollständigkeit
Menge
Reelle Zahl
Rationale Zahl
Ordnungsrelation
Geordnete Menge
Axiom
Schranke <Mathematik>
Untere Schranke
Obere Schranke
Supremum <Mathematik>
Gleichung
Zahl
Richtung
Teilmenge
Elementare Zahlentheorie
Negative Zahl
Vollständigkeit
Menge
Axiom
Numerisches Modell
Parametersystem
Komplexe Ebene
Untere Schranke
Ungleichung
Obere Schranke
Betrag <Mathematik>
Reelle Zahl
Supremum <Mathematik>
Komplexe Zahl
Funktion <Mathematik>
Komplexe Ebene
Ungleichung
Betrag <Mathematik>
Dreiecksungleichung
Zahl
Richtung
Strecke
Vollständigkeit
Zusammenhang <Mathematik>
Reelle Zahl
Fakultät <Mathematik>
Rundung
Binomialkoeffizient
Gleichheitszeichen
Zahl
Unendlichkeit
Faktorisierung
Positive Zahl
Einfügungsdämpfung
Punkt
Exponent
Extrempunkt
Natürliche Zahl
Eindeutigkeit
Positive Lösung
Gleichung
Zahl
Lösung <Mathematik>
Vollständigkeit
Quadrat
Reelle Zahl
Axiom
Vollständigkeit
Obere Schranke
Ungleichung
Exponent
Menge
Supremum <Mathematik>
Gruppenoperation
Axiom
Zahl
Exponent
Vorzeichen <Mathematik>
Ganze Zahl
Irrationale Zahl
Rationale Zahl
Natürliche Zahl
Eindeutigkeit
Zahl
Ausdruck <Logik>
Ebene
Multiplikation
Exponent
Vorzeichen <Mathematik>
Eindeutigkeit
Element <Mathematik>
Zahl
Kombinatorik
Momentenproblem
Exponent
Quotient
Natürliche Zahl
Binomialkoeffizient
Kombinator
Zahl
Gradient
Menge
Fakultät <Mathematik>
Zahl

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Kapitel 4 – Analysis Teil I
Serientitel Mathematik I für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 24
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/33616
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2012
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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