Der Zentrale Grenzwertsatz
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Formale Metadaten
| Titel |
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| Serientitel | ||
| Teil | 28 | |
| Anzahl der Teile | 28 | |
| Autor | ||
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| Identifikatoren | 10.5446/36040 (DOI) | |
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Inhaltliche Metadaten
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| Abstract |
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MathematikWahrscheinlichkeitstheorieStochastikZufallsvariableCharakteristische FunktionStetige AbbildungKonstanteBetrag <Mathematik>WahrscheinlichkeitsraumFolge <Mathematik>StetigkeitZahlenbereichVerschlingungReelle ZahlVorlesung/Konferenz
03:49
Zentraler GrenzwertsatzStetige AbbildungStetige FunktionModifikation <Mathematik>Vorlesung/Konferenz
04:48
ReiheZufallsvariableStetige AbbildungStetige FunktionKonstanteBetrag <Mathematik>Zentraler GrenzwertsatzWahrscheinlichkeitsraumVorlesung/Konferenz
12:02
NormalverteilungVarianzInvarianzStochastikZufallsvariableAbbildung <Physik>Charakteristische FunktionErwartungswertStetigkeitSummeNullIntegrierbarkeitZentraler GrenzwertsatzQuadratWurzel <Mathematik>WahrscheinlichkeitsraumVorlesung/Konferenz
21:00
FaktorisierungQuadratZufallsvariableCharakteristische FunktionErwartungswertPotenz <Mathematik>Taylor-ReiheReelle ZahlAbleitung <Topologie>Messbare AbbildungFunktion <Mathematik>MomentenproblemBetrag <Mathematik>Messbare FunktionVorlesung/Konferenz
29:59
PolynomVarianzFaktorisierungQuadratErwartungswertInhalt <Mathematik>StetigkeitAbleitung <Topologie>Betrag <Mathematik>TermRestgliedLagrange-MethodeVorlesung/Konferenz
38:57
Ableitung <Topologie>QuadratTafelbild
41:02
QuadratLogarithmusZahlenbereichAnalysisPolynomTermQuotientRestgliedVorlesung/KonferenzTafelbild
46:36
FinanzmathematikMathematikNumerische MathematikStatistikStochastischer ProzessVektorrechnungVersicherungsmathematikWahrscheinlichkeitstheorieStochastikZufallsvariableMomentenproblemStreckeSchätzungInferenzstatistikStrukturgleichungsmodellt-TestStochastische AnalysisNichtparametrische StatistikRegressionsschätzungUmfangVorlesung/Konferenz
Transkript: Deutsch(automatisch erzeugt)
00:08
Ja, ich begrüße Sie recht herzlich zur heutigen letzten Vorlesung in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Ich wurde von unserem Studiendekan Herrn Standard gebeten, hier am Anfang kurz eine Folie aufzulegen.
00:20
Haben Sie wahrscheinlich schon gesehen, dass eben das zentrale Prüfungssekretariat aufgelöst wird und in Zukunft eben eine Anmeldung bei einem Studienbüro in der Mathematik stattfinden soll. Und das Ganze finden Sie auf unserer Homepage, zum Beispiel verlinkt unter Aktuelles auf der linken Seite.
00:45
Dann kommen wir zu dem, was bisher geschah oder was letztes Mal geschah. Wir hatten als zentralen Satz, den ich bewiesen habe, den Stetigkeitssatz von Levi-Grammea.
01:03
Wenn wir reelle Zufallsvariablen x, n, x haben, dann gilt x, n konvergiert gegen x nach Verteilung. Genau dann, wenn die charakteristische Funktion von x, n punktweise gegen die charakteristische Funktion von x, n konvergiert wird. Ich habe Ihnen zur Erinnerung, weil wir ihn gleich brauchen werden, nochmal den Satz 9, 6 aufgeschrieben.
01:22
x, n gegen x nach Verteilung und x, n minus y, n nach Wahrscheinlichkeit gegen Null. Wobei da im Prinzip egal ist, ob da Betrag steht oder nicht. Sehen Sie, ist äquivalent die Definition, ob eine Zufallsvariable nach Wahrscheinlichkeit gegen Null konvergiert oder ihr Betrag. Das impliziert auch, dass auch y, n nach Verteilung gegen x konvergiert.
01:43
Beim letzten Mal haben wir noch behandelt den Satz von der stetigen Abbildung. Wenn x, n gegen x nach Verteilung konvergiert, h von R nach R für Px fast alle Punkte stetig ist, dann konvergiert auch h von x, n gegen h von x nach Verteilung.
02:02
Ich habe Ihnen dann alle Prüfungsfragen schon online gestellt. Hier sind nochmal die, die eigentlich jetzt noch neu dazugekommen sind. Aufgabe 43 hatte ich Ihnen schon mal mündlich gesagt. Erläutern Sie die Aussage des Satzes von Prokhorov. Aufgabe 44, erläutern Sie die Aussage des Stetigkeitssatzes von Nebik-Ramea.
02:21
Aufgabe 45 ist eine Sache, die wir heute gleich machen werden. A und B Teile sind eigentlich recht offensichtlich. Sind x, n, x, y, n, y reelle Zufallsvariablen definiert auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum. So gilt x, n konvergiert fast sicher gegen x. y, n konvergiert fast sicher gegen y. x, n plus y, y, n konvergiert fast sicher gegen x plus y.
02:42
Das kennen Sie aus der Einführung in die Stochastik. Daraus können Sie relativ schnell folgen. Aus x, n konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen x. y, n konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen y. Dann folgt auch x, n plus y, n konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen x plus y, n.
03:03
x plus y. Das sehen Sie zum Beispiel mit einem Teil-Teil-Folgen-Argument, in dem Sie die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit über Teil-Teil-Folgen auf die fast sichere Konvergenz zurückführen. Ansonsten rechnen Sie es elementar nach. Und jetzt ist die eigentliche Frage, inwiefern gilt eine entsprechende Aussage auch für Konvergenz nach Verteilung.
03:23
Also gilt auch, wenn x, n nach Verteilung gegen x konvergiert, y, n konvergiert nach Verteilung gegen y, dann konvergiert x, n plus y, n gegen x plus y. Und die Frage ist dann, nach dem Satz, den ich gleich hinschreiben werde, der Satz von Slutsky, der sagt, das gilt, wenn y und p fast sicher konstant ist.
03:41
Also wenn eine der beiden Zufallsvariablen eine Konstante ist. Im Allgemeinen gilt das nicht. Und ich hatte Ihnen ja auch gesagt, bei diesen Prüfungsfragen, ich könnte auch jederzeit Modifikationen davon fragen, und dann könnte ich Ihnen zum Beispiel fragen, ja, A-Teil, gilt das Ganze auch mit Mal statt Plus. Klar sehen Sie sofort. Dann B-Teil, gilt das Ganze auch mit Mal statt Plus.
04:01
Und wenn Sie es über das Teil-Teil folgen, Argument machen, sehen Sie es auch sofort. Weil dann folgt ja B eigentlich aus A. Und C-Teil ist der zweite Teil vom Satz von Slutsky. Okay, dann Aufgabe 46 bezieht sich noch auf das Gestrige. Beweisen Sie den Satz von der stetigen Abbildung im Falle einer überall stetigen Funktion H von R nach R.
04:23
Haben wir beim letzten Mal gesehen, da war er mehr oder weniger trivial. Und Aufgabe 47, eine übliche Prüfungsfrage von mir, habe ich, glaube ich, in der Vergangenheit so in jeder zweiten Prüfung gestellt. Formulieren und beweisen Sie den zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg, Lady. Okay, ich glaube, das war das, was ich zu den Prüfungsfragen sagen wollte und zur Wiederholung.
04:45
Und dann wollte ich irgendwie Licht machen, den Tageslichtprojekt da wegräumen und irgendwelche Sätze beweisen.
05:02
Wobei Breite wäre nicht schlecht. Also wir kommen als Nachtrag zu Satz 910, den Satz von Slutsky.
05:34
Ich habe reelle Zufallsvariabeln X, N, Y, N und X auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum omega ap.
05:59
Und ich habe eine Konstante C aus R.
06:02
Dann ist die Behauptung aus X, N konvergiert nach Verteilung gegen X. Y, N konvergiert nach Verteilung oder nach Wahrscheinlichkeit ist in dem Fall egal, weil das das Gleiche ist bei Konstanten gegen Y, gegen C.
06:27
Also ich könnte statt Y, N konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen C. Genauso geht gut Y, N konvergiert nach Verteilung gegen C sagen. Das war der eine Satz, den wir hatten, dass dann auch aus der Konvergenz nach Verteilung die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit folgt.
06:45
Und aus dem Ganzen folgt jetzt X, N plus Y, N konvergiert nach Verteilung gegen X plus C. Und genau das Gleiche gilt auch mit Mal.
07:01
X, N mal Y, N konvergiert nach Verteilung gegen C mal X oder X mal C wäre egal. Und wie gesagt, das Ganze wird eben nicht gelten, wenn ich das C durch eine allgemeine Zufallsvariable ersetzen lasse.
07:27
Ich beweise nur den ersten Teil. Den zweiten Teil habe ich in den Skript reingesetzt, wäre ein bisschen technisch. Und zwar den ersten Teil mithilfe des gerade eben erwähnten Satzes. Das war Satz 9, 6. Wir haben als Voraussetzung Y, N konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen C.
08:03
Daraus folgt, wenn ich hier auf beiden Seiten des C abziehe, dann steht da X, N plus Y, N minus C. Und wenn ich X, N minus, diese Zufallsvariable, bilde X, N plus Y, N minus C, dann kommt C minus Y, N raus.
08:31
Und weil Y, N nach Wahrscheinlichkeit gegen C konvergiert, konvergiert Y, N minus C nach Wahrscheinlichkeit gegen N. Und genauso C minus Y, N nach Wahrscheinlichkeit gegen N.
08:41
Also wenn Sie sich überlegen, was müssen Sie zeigen? Wenn Sie hier zeigen wollen, das konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen N. Dann müssen Sie zeigen, für alle Epsilon größer 0, konvergiert die Wahrscheinlichkeit, dass Betrag von C minus Y, N minus der Null, also Betrag von C minus Y, N größer Epsilon, dass das gegen Null konvergiert.
09:01
Ja, aber das haben Sie nach der Beziehung. Hier konvergiert Betrag von Y, N minus C größer als Epsilon gegen Null. Jetzt haben wir die Voraussetzung X, N konvergiert nach Verteilung gegen X.
09:22
Wir nehmen den Satz 9, 6. Das war dieser technische Beweis, wo ich einfach mal wild drauf losgerechnet habe. Und können dann zeigen, dann konvergiert auch diese Zufallsvariable nach Verteilung gegen X.
09:49
Und dann nehmen wir den Satz von der stetigen Abbildung.
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Der sagt, wenn ich jetzt eine stetige Funktion auf beide Seiten anwende, dann gilt die Konvergenzaussage immer noch. Und als stetige Funktion nehme ich H von X gleich klein X plus C. Klar, eine stetige Funktion. Und dann sehen Sie, dieses H von X, N plus Y, N minus C ist ein X, N plus Y, N.
10:29
Und das H von X ist X plus C. Und wir sind fertig.
10:46
Haben Sie die Fragen so weit?
11:04
Also Sie können sich jetzt überlegen, warum mache ich das Ganze nicht genauso mit Mal. Ja, weil es nicht geht. Genauso mit Mal. Aber wenn man in den Beweis von Satz 9, 6 reingeht und da ein bisschen was modifiziert, dann steht es auch mit Mal rein. Ich habe Sie in den Skript gesetzt. Gut, dann kommen wir zu Kapitel 10, dem zentralen Grenzwertsatz.
11:51
Wir zeigen primär einen Satz, der Satz 10.1.
12:01
Wir haben eine Folge von unabhängig identisch verteilten quadratisch integrierbaren reellen Zufallsvariablen gegeben. Erwartungswert sei A, Varianz sei Sigma quadrat, Sigma sei größer als Null.
12:46
Sei X, N, unabhängige Folge quadratisch integrierbarer reeller Zufallsvariablen mit A sei der Erwartungswert von X, 1. Und Sigma quadrat sei die Varianz von X, 1.
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Und die Varianz von X, 1 sei größer als Null.
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Wenn ich die Varianz von X, 1 gleich Null hätte, wäre die ganze Sache trivial. Dann wären die Zufallsvariablen P fast sicher gleich A, gleich dem Erwartungswert. Das heißt, den trivialen Fall schließe ich aus. Ja, und ich sollte eigentlich schon dazuschreiben, Sigma ist auch größer Null.
13:41
Ich glaube, ich brauche irgendwann, dass Sigma größer Null ist. Nur um klarzumachen, brauche ich, brauche ich nicht, naja gut, werden wir sehen. Dann gilt, wenn Sie die Summe der ersten N-Zufallsvariablen bilden,
14:03
den Erwartungswert abziehen, durch die Würzel aus der Varianz teilen. Das heißt, Sie renormalisieren die Summe so, dass die entstehende Zufallsvariable Erwartungswert Null in Varianz 1 haben. Dann konjugiert das ganze Ding schwach gegen eine standard-normal verteilte Zufallsvariable. Und dieses Summe der ersten N-Zufallsvariable minus Erwartungswert durch Würzel aus der Varianz
14:23
können Sie umschreiben zu 1 durch Würzel aus N mal Sigma mal Summe i gleich 1 bis N x i. Und ich wollte, ja, ich wollte hier das a schreiben. Das konjugiert nach Verteilung gegen eine N-Null-1 verteilte Zufallsvariable.
14:57
Aussage kennen Sie eigentlich schon aus der Einführung in die Stochastik.
15:00
Aber heute kommt eben der entsprechende Beweis dazu. Im Prinzip müsste ich hier noch dazuschreiben. Die Zufallsvariablen müssen alle auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert sein. Sonst kann ich eigentlich diese Summe Bildung von den Abbildungen gar nicht durchführen. Haben Sie Fragen soweit?
15:27
Ich habe identisch verteilt nicht hingeschrieben. Das ist ein Fehler, ne? Say, X eine unabhängige identisch verteilte Folge. Dankeschön.
15:44
Das braucht man hier natürlich. Also jedes Mal, wenn ich was mit Geld an die Tafel schreibe, fällt mir die Bemerkung aus meinem Vorlesungsumfrage ein. Ich soll lieber öfters mal in ein Skript schauen, anstelle häufig Schreibfehler zu machen oder so. Aber diesmal habe ich sogar reingeschaut.
16:02
Also es bringt auch nichts. Können wir also auch lassen. Gut, sonst noch Fragen? Alles eine Aussage über identisch verteilte Zufallsvariablen. Natürlich unabhängig identisch verteilt.
16:21
Gut, dann kommen wir zum Beweis. Ich fange erstmal an, oder ich zeige das Ganze nur für a gleich 0 und sigma gleich 1. Das genügt, weil ich kann genauso gut das Xi durch Xi minus a durch sigma ersetzen. Wenn ich das Xi durch, also ich ziehe das sigma hier rein,
16:43
dann sind meine neuen Zufallsvariablen dann Xi minus a durch sigma. Diese Zufallsvariablen sind nach wie vor unabhängig. Sie sind nach wie vor identisch verteilt. Sie sind nach wie vor quadratisch integrierbar. Allerdings haben sie Erwartungswert 0 und Varianz 1. Und wenn ich die Aussage dann für Erwartungswert 0 und Varianz 1 bewiesen habe, bin ich fertig.
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Also OBDA. Sonst ersetzen wir eben Xi minus a durch sigma.
17:34
Dann wissen Sie im Prinzip schon, wie der Beweis geht, weil das habe ich Ihnen die ganze Zeit in den letzten zwei Vorlesungen erzählt, was wir eigentlich machen wollen.
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Wir wollen den zentralen Grenzwertsatz beweisen. Dafür haben wir den Städigkeitssatz von Levy-Grammer bewiesen. Das heißt, wir nehmen den Städigkeitssatz von Levy-Grammer. Da muss ich zeigen, die charakteristische Funktion von dem hier mit a gleich 0 und sigma gleich 1 konvergiert punktweise gegen die charakteristische Funktion einer N 0 1 verteilten Zufallsvariabe.
18:10
Also nach Städigkeitssatz von Levy-Grammer genügt es zu zeigen,
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die charakteristische Funktion von dem Ausdruck damit sigma gleich 1 und a gleich 0
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an der Stelle u konvergiert für n gegen und endlich gegen die charakteristische Funktion der Standard-Normalverteilung. Das ist e hoch minus u Quadrat halbe.
19:13
Und dieses e hoch minus u Quadrat halbe ist die charakteristische Funktion von N 0 1.
19:39
Das ist die Stelle, wo mir die weiße Kreide ausgeht.
19:42
Aber es gibt immer so eine Abstufung von Ausgehen und Ausgehen. Also rot, rot, rot. Ja, ich weiß nicht, ob da die Leute mit der Kamera so glücklich sind. Gut, also machen wir dazu.
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Also IT ist eigentlich einfach. Und jetzt fangen wir halt mal an, berechnen die charakteristische Funktion von dieser Summe. Also phi von das Ding ist der Erwartungswert e hoch i u und dann diese Summe.
20:51
Ja, jetzt sehen Sie schon, wie Sie das umformen können. Sie haben hier e hoch so eine Summe. Das ist das Produkt der einzelnen Exponentialtherme.
21:10
Also Produkt von e hoch i. Und ich ziehe das Wurzel n noch zu dem u dazu. u durch Wurzel n mal x i.
21:37
Ja, jetzt haben Sie den Erwartungswert vom Produkt. Erwartungswert vom Produkt ist gleich dem Produkt der Erwartungswerte bei Unabhängigkeit.
21:45
Wir haben vorausgesetzt, die x 1, x 2 und so weiter sind unabhängig. Dann sind auch diese e hoch i u Wurzel aus n mal x 1, e hoch i u Wurzel aus n mal x 2 und so weiter unabhängig, weil das ja messbare Funktionen dieser einzelnen Zufallsvariablen sind. Das heißt, aufgrund der Unabhängigkeit kann ich das umschreiben zu Produkt i gleich 1 bis n.
22:14
Erwartungswert von e hoch i u durch Wurzel aus n mal x i.
22:37
Und jetzt kann ich die zweite Voraussetzung, die ich noch dazugeschrieben habe,
22:42
dank dem freundlichen Hinweis ausnutzen, nämlich die identische Verteiltheit. Das heißt, hier kommt immer das Gleiche raus, ganz egal was das i ist. Das heißt, es ist der einzelne Ausdruck hoch n. Und der Einzelausdruck ist ja die charakteristische Funktion von x 1 ausgewertet an der Stelle u durch Wurzel aus n.
23:00
Das heißt, hier steht eigentlich die charakteristische Funktion von x 1 an der Stelle u durch Wurzel aus n und das Ganze hoch n. Das ist die identische Verteiltheit.
23:34
Und dann sehen Sie, was wir eigentlich zeigen müssen, ist das ganze Ding konvergiert gegen d hoch minus u Quadrat halbe.
23:49
Also ist zu zeigen, dieses Phi x 1 ausgewertet an der Stelle u durch Wurzel aus n.
24:11
Hoch n konvergiert für n gegen und endlich gegen e hoch minus u Quadrat halbe für alle u aus R, für alle reellen Zahlen.
24:34
Haben Sie Fragen soweit? Keine Fragen? Dann was machen wir jetzt?
24:47
Wir überlegen uns, x 1 war quadratisch integrierbar. Da x 1 quadratisch integrierbar ist, oder wir haben mal gesehen, wenn das Erwartungswert von x 1 hoch k kleiner und endlich ist, dann ist diese charakteristische Funktion k mal stetig differenzierbar.
25:11
Das heißt, da Erwartungswert von x 1 Quadrat kleiner und endlich ist, ist die charakteristische Funktion zweimal stetig differenzierbar und ich kann eine Taylor-Entwicklung machen.
25:31
Ist Phi x 1 zweimal stetig differenzierbar und es gilt?
25:55
Wissen Sie noch, welche Formeln für die Ableitungen galten von den charakteristischen Funktionen?
26:09
Wenn Sie es nicht mehr genau wissen, man kann es sich relativ leicht merken. Sie schreiben sich einfach mal die charakteristische Funktion hin. Also vielleicht Phi x 1 an der Stelle z. Das wäre der Erwartungswert von e hoch i.
26:28
Jetzt schreibe ich z, also x 1. Wenn ich jetzt ableite, dann durfte ich einfach diesen Ableitungsoperator mit dem Erwartungswert vertauschen.
26:42
Das war das, was wir damals gezeigt haben. Das heißt, ich kann hier drunter ableiten. Dann sehen Sie, der Exponentialterm bleibt erst mal stehen. Die innere Ableitung nach z abgeleitet vom Exponenten gibt i mal x 1. Das heißt, ich kriege einen Zusatzfaktor i mal x 1. Also ich komme auf Phi x 1 Strich von z, ist der Erwartungswert von e hoch i z x 1 mal i mal x 1.
27:22
Also an der Stelle 0 ausgewertet, Phi x 1 Strich an der Stelle 0. Der Faktor e hoch i 0 x 1 gibt dann 1, also verschwindet. Dann bleibt noch, das i kann ich rausziehen, i mal e x 1 übrig.
27:43
Analog machen Sie es für die zweite Ableitung. Also wenn ich es jetzt zweimal ableite, muss ich eben hier nochmal nach z ableiten. Dann sehen Sie, dann kommt hier nochmal ein Faktor i x 1. Das heißt, ich habe insgesamt ein Faktor i Quadrat mal x 1 Quadrat.
28:04
Das heißt, Phi x 1 2 gestrichen an der Stelle 0 ist i Quadrat mal e hoch x 1 Quadrat.
28:28
Gut, damit haben wir die Ableitungen an der Stelle 0 und machen jetzt eine Tälerentwicklung um den Punkt 0.
28:48
Ich schreibe meine Tälerentwicklung mit einem Restlied hin. Wir machen irgend sowas wie, soll ich Phi x 1 von u schreiben oder soll ich Phi x 1 von x schreiben?
29:01
Das sind mal Fragen hier. Hier wollte ich irgendwie u schreiben. Ja, gut. Also ich schreibe mal Phi x 1 von u hin. Fangen wir erst mal an.
29:21
Ich weiß, jemand von Ihnen wie eine Tälerentwicklung geht. Ja, jemand von Ihnen weiß es schon. Frage ist nur, weiß ich es auch. Also wir fangen an mit dem Funktionswert an der Stelle 0. Phi x 1 von 0 plus dann nehmen wir die Ableitungen, teilen durch 1 Fakultät.
29:43
Also Phi x 1 Strich. Und brauchen jetzt den linearen Termen, gibt u plus ein halb mal Phi 2 gestrichen mal u Quadrat.
30:08
Und dann mache ich noch ein Restlied dran. Und das Restlied nenne ich mal rho von u. Also rho von u sei so, dass diese Tälerentwicklung hier exakt sei.
30:24
Und wir werden uns dann hinterher rho von u abschätzen. Okay, jetzt setzen wir ein. Phi x 1 von 0. Ja, das gibt einfach 1. Klar. Phi Strich x 1 von 0 wäre i mal e x 1 mal u plus ein halb mal Phi 2 Strich von x 1 von 0.
30:59
Das war i Quadrat, i Quadrat mal e x 1 zum Quadrat mal u Quadrat plus rho von u.
31:14
Dann kommt unsere Voraussetzung. Unsere Voraussetzungen waren obd a, a wäre gleich 0.
31:21
Also Erwartungswert ist gleich 0. Und Sigma ist gleich 1, also Variante ist gleich 1. Das heißt, das Ding hier ist gleich 0. Und das Ding hier ist gleich 1. Also a gleich 0. Sigma gleich 1. Dann sehen wir, dann bleibt übrig 1. Der andere fällt weg plus 0.
31:42
Und dann gibt es hier ein Minus. Minus ein halb mal e x 1 zum Quadrat ist dann 1. Also minus ein halb u Quadrat plus rho von u.
32:02
Und jetzt muss ich noch sagen, was rho von u ist. Dann setze ich darin u durch Wurzel aus n ein. Und nehme das Ganze hoch n. Und lasse n gegen n-lich gehen. Wobei, das ist der Punkt, wo ich die Tafel wischen muss.
32:27
Und das ist eigentlich auch der Punkt, wo ich die Farbe wechseln sollte. Und ich mache jetzt was seltsames. Ich nehme das ganze Gelb unterstrichene als Restglied. Das heißt gar nicht rho von u ist mein Restglied.
32:41
Sondern beide zusammen sind das Restglied vom linearen Telepolynom. Also wobei, für das Restglied, das ist ein halb mal phi x 1 2 Strich von 0.
33:08
Mal u Quadrat plus rho von u. Des linearen Telepolynoms nach Lagrange gilt.
33:35
Ja, dieses Restglied ist gleich dem Term eigentlich, der hier für an der zweiten Stelle beim Telepolynom steht.
33:45
Das ist ausgewertet mit der Ableitung an einer Zwischenstelle. Das ist die Restglied-Formel von Lagrange fürs Reelle. Fürs Komplexe gilt sie nicht. Weil fürs Komplexe müssen sie die zweimal anwenden. Und zwar auf realteilen Imaginierteil. Deswegen haben sie nicht eine Zwischenstelle, sondern sie haben zwei Zwischenstellen.
34:04
Nach Lagrange gilt. Also wir wissen hier. Gut, ich muss es so umständlich hinschreiben. Also wir haben ein halb Mal realteil. Ich schreibe das phi x 1 2 Strich von 0 auch noch umständlicher hin.
34:25
Mal u Quadrat plus ein halb Mal Imaginierteil. Phi x 1 2 Strich von 0 plus rho von u. Das ist gleich jetzt zweimal das Restglied.
34:46
Einmal für realteil. Dann nenne ich die Zwischenstelle Xi u mal u Quadrat.
35:04
Mehrteil. Dann nenne ich Etter u mal u Quadrat. Für jetzt Xi u Etter u geeignet. Xi u und Etter u liegen zwischen u und dem Entwicklungspunkt 0.
35:24
Also der Betrag von Xi u kleiner gleich u. Betrag von Etter u kleiner gleich u geeignet.
35:46
So und warum habe ich das so gemacht? Das habe ich so gemacht, dass wenn Sie angucken, hier taucht ja rho von u auf. Ich möchte eine Aussage machen über rho von u. Das kann ich jetzt, ich kann das Ganze nach rho von u auflösen.
36:00
Dann ist rho von u dieser Ausdruck minus diesem Ausdruck hier. Dann kann ich das Ganze durch u Quadrat teilen. Also auf der rechten Seite steht dann überall der Faktor u Quadrat.
36:22
Sorry, ich habe das u Quadrat vergessen. Wenn Sie jetzt die imaginäre rechte Seite bilden, also links ist rho von u, dann steht auf der rechten Seite überall der Faktor u Quadrat. Ich teile durch u Quadrat. Dann sehen Sie, wenn ich anschließend u gegen 0 gehen lasse, dann aufgrund der Stetigkeit der zweiten Ableitung von meinem Phi
36:41
konjugiert dann das Ding gegen das, das Ding gegen das. Wir haben die Differenz von den beiden. Das Ganze geht gegen 0. Fehlt da bei dem Imaginärteil nicht jedes Mal noch ein i?
37:03
Fehlt bei dem Imaginärteil nicht generell eigentlich ein i? Ach so, bei dem Imaginärteil auf der rechten Seite fehlt jedes Mal ein i. Ja, da haben Sie irgendwie recht. Auch das gebe ich Ihnen zu.
37:22
Dann schreiben wir hier eben noch ein i rein. Klar, weil die Funktion ist ja Realteil von Phi plus i mal Imaginärteil von Phi. Wenn man den Imaginärteil einigermaßen sauber definiert.
37:40
Okay, Sie haben recht. Aber es ändert nichts an der ganzen Aussage von gerade eben. Das heißt, ich bringe wieder. Ich bilde jetzt rho von u Quadrat durch u Quadrat. Ich weiß nicht, ob ich hinschreiben muss.
38:00
Es wird irgendwie so lang, wenn ich es hinschreibe. Oder will jemand, dass ich hinschreibe? Was rho von u? Jemand nickt? Okay. Das heißt, ich darf. Ja, jemand hat genickt. Und Sie sagen nein. Ja, das bringt Ihnen auch nichts mehr. Okay, also wir schreiben das dahin.
38:20
Dann muss ich erst das da minus dem anderen abziehen. Also dann haben wir ein halb Mal. Und das u Quadrat kürzt sich. Realteil von Phi x 1 2 Strich an der Zwischenstelle. Minus Phi x 1 2 Strich an der Stelle Null.
38:41
Ebenfalls mit dem Faktor ein halb. Plus i mal ein halb. Das gleiche mit Imaginärteil. Hier muss auch noch mal Realteil rein.
39:00
Hier muss noch mal Imaginärteil rein. Dazwischen ist noch ein schönes Minus. Und jetzt sehen Sie, wenn ich jetzt u gegen Null gehen lasse, dann konvergiert eben dieses Xi u gegen Null.
39:20
Und damit auch der Realteil von Phi 2 Strich von x 1 an der Stelle Xi u konvergiert gegen den Realteil von Phi 2 Strich von x 1 an der Stelle Null. Aufgrund der Städigkeit der zweiten Ableitung.
39:42
Fragen dazu? Ja, und jetzt sitzen wir ein und bilden den Grenzwert. Und dann sind wir fertig.
40:05
Daraus folgt. Also gucken wir mal, was passiert, wenn wir einsetzen. Wir haben also Phi x 1 von u durch Wurzel aus N hoch N.
40:24
Ich setze hier ein, das heißt, ich muss hier u ersetzen durch u durch Wurzel aus N. Und das Ganze hoch N nehmen. Also hoch N lassen wir mal stehen. Dann kommt ein halb.
40:41
u² ist jetzt u² durch N plus rho von u durch Wurzel aus N. Das Ganze hoch N. Und hier drin lassen wir N gegen endlich gehen.
41:06
Ich schreibe das um als 1 plus irgendwas hoch N. Weil ich weiß, dass 1 plus x hoch N hoch N gegen e hoch x konvergiert. Und genauso konvergiert 1 plus x N durch N hoch N gegen e hoch x, wenn x N gegen x konvergiert.
41:24
Und auf den Fall möchte ich es zurückführen. Das heißt, wir haben hier, da stehen 1 plus irgendwas geteilt durch N hoch N. Wir überlegen uns, was ist das irgendwas. Das irgendwas ist minus ein halb u² plus, ja, beim zweiten steht kein N mal.
41:49
Also plus kein Quotient N. Also N mal rho durch u durch Wurzel aus N.
42:03
Und jetzt überlege ich mir, gegen was konvergiert der Zähler in dem Bruch. Das heißt primär gegen was passiert mit N mal rho durch u durch Wurzel N. Mit, wir gucken uns an, N mal rho durch u durch Wurzel aus N.
42:23
Ich will die Formel von gerade eben verwenden. Das heißt, ich weiß rho von u durch u² konvergiert gegen N. Das heißt, ich schreibe das um als rho von u durch Wurzel aus N. Geteilt durch u durch Wurzel aus N zum Quadrat.
42:41
Und dann habe ich einen Fehler gemacht. Und der Fehler ist genau der Term u². Und dann sehen Sie, ja, rho durch u durch u² konvergiert gegen N für u gegen N. Und jetzt ersetze ich das u durch Wurzel aus N. u ist fest, u durch Wurzel aus N geht gegen N.
43:02
Das heißt, das ganze Ding geht gegen N. Mit dem ganzen Ding und weiter. Und 1 plus x N hoch N hoch x N hoch N konvergiert gegen E hoch x.
43:28
Für N gegen N endlich. Für x N konvergiert gegen x. Das könnten Sie aus Analysis wissen.
43:41
Wenn Sie es nicht aus Analysis wissen, nehmen Sie einen Logarithmus davon. Wir zeigen, der Logarithmus konvergiert gegen x. Und dann schreiben Sie, also Sie nehmen Logarithmus. Dann steht da N mal den Logarithmus hin, den Ausdruck. Das N schreiben Sie als 1 durch N. Dann schreiben Sie unten noch ein x N hin.
44:01
Hier noch ein x N davor. Das x N konvergiert gegen x. Das andere soll gegen 1 konvergieren. Dann haben Sie so einen Ausdruck wie Ln von 1 plus z durch z. Da stehen für z gegen 0. Sie nehmen die Regel von De Lobital und die Aussage steht da. Finden Sie im Skript dann. Ja, jetzt sehen Sie, jetzt sind wir fertig.
44:22
Da oben der Zähler konvergiert gegen minus ein halb u Quadrat. Also konvergiert 1 plus diesem Zähler hoch N durch N hoch N gegen e hoch minus ein halb u Quadrat. Und das war irgendwo zu zeigen. Steht davon. Mit dem ganzen Ding folgt die Behauptung.
44:48
Fragen.
45:07
Also wie gesagt, typische Prüfungsfrage von mir. Wobei normalerweise würde ich dann sagen, bei der die das Restglied bei dem Teiler Polynomen können Sie vernachlässigen. Das heißt, Sie machen in der eigentlichen Prüfung dann nun in den Jahren Teilerentwicklung und sagen,
45:21
okay, Restglied schafft man irgendwie. Und der Rest ist dann einfach. Gut, haben Sie noch Fragen?
45:40
Ja, Sie wissen ja, ich sage Ihnen ja immer vorher, was dran kommt. Ich habe noch nie eine schriftliche Prüfung gemacht. Das heißt, die Aussage ist nicht so ganz. Das heißt, ich kann kann sein, ich verarsche jetzt nur. Kann auch sein, ich verarsche dadurch, dass Sie glauben, ich verarsche.
46:00
Es ist je nachdem. Das ist irgendwie nicht gut. Aber es ist ja egal, ob ich Ihnen sage, was in der Prüfung dran kommt. Oder ob ich jetzt die Prüfung auflege oder so. Aber ich habe Ihnen ja sowieso schon alle Fragen gegeben. Also so gesehen. Es waren 47. Und wenn Sie die 47 Fragen durchgehen, können ja eigentlich nicht alle in der schriftlichen Prüfung drankommen.
46:20
Es gibt ein paar Fragen, die würde ich nicht in der schriftlichen Prüfung stellen. Dann haben Sie weniger. Aber die würde ich zum Beispiel in der schriftlichen Prüfung stellen. Das war die Aussage. Okay, jetzt hatte ich noch ein paar Folien vorbereitet, weil wir sind am Ende der Vorlesung.
46:53
Wir fangen mal an mit Hinweisen für die schriftliche Prüfung. Gedacht ist das Ganze für Bachelor- und Masterstudenten. Bei den Masterstudenten zählt es zum Wahlbereich.
47:01
Also für diejenigen, die schon Master studieren. Oder es könnte als Auflage von Herrn Kiel vorgenommen werden. Also auch das hatte ich im Freitag mal falsch gesagt in den Übungen. Also auch für Masterstudenten ist die schriftliche Prüfung eigentlich gedacht. So wie für die Studentinnen und Studenten des Lehramts Mathematik. Wobei wir da eben nur die erste Hälfte der Vorlesung nehmen und entsprechend die Prüfungsfragen von der ersten Hälfte.
47:25
Dann gestellt werden vier Aufgaben, von denen drei zu bearbeiten sind. Drei dieser Aufgaben stammen aus der Liste der Prüfungsfragen. Stammen in Anführungszeichen, weil ich Ihnen ja gesagt habe, ich modifiziere die FNW ein bisschen. Also zum Beispiel, da gibt es eine Prüfungsfrage.
47:41
Wenn x1, x2, x3, x4 unabhängig sind, dann sollen sie zeigen, dass x1, x2 und x3, x4 als Vektoren auch unabhängig sind. Dann könnte ich sie modifizieren, indem ich in die Prüfungsaufgabe nur mit drei Zufallsvariablen stelle. Und Frage zeigen sie, dass x1, x2 und x3 unabhängig sind. Wenn Sie eine Lösung mit 4 hinschreiben würden, dann wäre das irgendwie nicht richtig.
48:06
Genau so stammt eben eine der Aufgaben, die vierte dann aus den Übungsaufgaben. Und Hilfsmittel sind keine zugelassen. Sonst wäre es irgendwie witzlos, wenn ich noch Hilfsmittel zulasse und die Fragen vorher bekannt gebe.
48:21
Dann Hinweise zur mündlichen Prüfung in Wahrscheinlichkeitstheorie. Sofern mir bekannt ist, dass Sie regelmäßig an der Veranstaltung teilgenommen haben. Das könnte sein, ich habe Sie hier mal gesehen. Aber die Schwierigkeit ist, ich müsste Sie hier gesehen haben und ich müsste mich noch an Sie erinnern. Normalerweise ist es so, wenn ich jemanden morgens sehe, habe ich ihn mittags vergessen.
48:41
Deswegen machen wir das anders oder die sichere Sache ist anders. Zum Beispiel, wenn Sie einen Bonus haben. Das ist klar, dann waren Sie hier. Wenn Sie nicht den Bonus haben, waren Sie vielleicht mal irgendwann in den Übungen. Dann gibt es Anwesenheitslisten, da sind sie markiert und die Listen habe ich dann. Also irgendwas. Werden die Fragen gemäß eines Zufallsprozesses aus den Prüfungsfragen ausgewählt,
49:00
wobei pro Frage in aller Regel eine verwandte Zusatzfrage gestellt wird. Das wäre jetzt so eine Frage, wie wir vorhin hatten. Wenn xn nach Wahrscheinlichkeit gegen x konvergiert, yn konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen y. Sie sollen zuerst zeigen, xn plus yn konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen x plus y. Und ich frage dann nach mal oder sowas.
49:21
Okay. Fragen so weit zu den Prüfungen, schriftlich oder mündlich? Was ich mache, wenn Sie nicht erkennen, dann nehme ich keinen Zufallsprozess für die Prüfungsfragen. Nee, dann frage ich einfach ganz andere Fragen. Oder beziehungsweise, meine die Prüfungsfragen sind meine typischen Fragen.
49:42
Aber dann werden sie eben irgendwie stärker modifiziert. Also ich möchte eben vermeiden, dass ich Prüfungsfragen an Leute stelle, die nicht in meiner Vorlesung waren. Also sie kenne ich übrigens. Also im Moment kenne ich sie, sagen wir so.
50:01
Die Frage ist, ob ich sie morgen noch kenne. Gut. Dann möchte ich kurz was sagen zum Lehrangebot in den weiteren Semestern. Sommersemester 2010, erstens die Finanzmathematik. Ich halte die Vorlesung vierstündiges halbe Semester lang, ist eigentlich zwei plus eins. Das heißt, Dienstags 14.25 und Donnerstags 14.25, vom 13.04.2010 bis ungefähr 27.05.2010.
50:29
Ich mache nicht das, was meistens in der Finanzeinführung die Finanzmathematik gemacht wird. Also ich mache nicht diskrete Finanzmathematik. Wir machen primär Finanzmathematik in stetiger Zeit. Einfach weil in dem Zyklus, den ich gerade lese, kommt keine stochastische Analysis mehr drin.
50:44
Und ich finde, das andere bringt auch nicht arg viel mehr. Da würde ich Ihnen so Spezialfälle erzählen. Und diese Spezialfälle sind nicht wirklich einfacher. Ich würde Ihnen eben nur einen Teil der Theorie beibringen, aber er wäre nicht wirklich einfacher. Deswegen mache ich sowas generell nicht.
51:01
Dann gibt es ein Bachelorseminar. Die Vorbesprechung dafür wäre am 25.02. um 13.30 in Raum 301. Gebe ich hiermit bekannt für die Interessenten. Inhalt sind primär Fragen der numerischen Bewertung, amerikanische Optionen. Ich habe eine Liste mit Vortragsthemen und auch möglichen Themen für Bachelorarbeiten
51:26
auf die Homepage von der Wahrscheinlichkeitstheorie Vorlesung gestellt. Und zwar da, wo auch das Skript steht. Da finden Sie so einen Bachelorseminarfeil. Dann gibt es ein Seminar im Diplomstudiengang. Die Vorbesprechung machen wir gleich im Anschluss.
51:42
Inhalt wäre die nichtparametrische Regressionsschätzung. Beide Sachen haben miteinander zu tun, weil sie beim Ersten die nichtparametrische Regressionsschätzung in der Finanzmatematik anwenden und beim Zweiten irgendwann zur Anwendung der nichtparametrischen Regressionsschätzung in der Finanzmatematik kommen. Beides hat einen gewissen Bezug zur Finanzmatematik, allerdings beim Ersten stärker als beim Zweiten.
52:07
Dann für Wintersemester 2010-11 kann ich Ihnen auch schon sagen, kommt die mathematische Statistik als Vertiefungsvorlesung im Master. Das ist Schätz- und Testtheorie, nichtparametrische Dichte- und Regressionsschätzung.
52:20
Und im Sommersemester 2011 werde ich darauf aufbauende Vorlesungen machen zu den Themen Kurvenschätzung, nichtparametrische Statistik. Anschließend kommen dann noch sowas wie Schadenversicherungsmatematik oder Versicherungsmatematik allgemein. Ich bin noch nicht ganz sicher, ob ich im Sommersemester schaffe, die Vorlesung auch im Umfang 4 plus 2 zu halten, also mit 9 Credit Points.
52:42
Weil Herr Ritter wechselt nach Kaiserslautern und ich muss dann noch mal die Einführung in die Stochastik halten. Das heißt, es kann sein, ich mache es hier nur 2 plus 1, aber dann kommt ein drauffolgender Wintersemester, eine 2 plus 1 Vorlesung. Allerdings ist es auch so, bei Bedarf könnten Sie auch die Finanzmatematik oder die Einführung in die Finanzmatematik sich auf den Vertiefungszyklus anrechnen lassen.
53:02
Habe ich mit Herrn Kiel abgesprochen. Also im Prinzip könnten Sie das, wenn Sie Bachelor Master studieren, entweder als im Wahlbereich Bachelor oder schon als beginnende Vertiefungsvorlesung im Master verwenden. Gut, haben Sie ansonsten noch irgendwelche Fragen?
53:30
Ab wann die Anmeldung für das Bachelor Seminar ist? Ja, ich habe schon mal eine Liste rumgehen lassen und die eigentliche Anmeldung machen wir dann an dem, der Termin müsste hier irgendwo draufstehen, an dem 25.2.1330.
53:41
Das wäre die endgültige Anmeldung. Wobei ich eben die Leute dann bevorzugen würde, also die Leute, die auf der Liste draufstehen, bekommen auf alle Fälle allen Platz. Wenn 50 weitere kommen, habe ich irgendwie ein Problem. Okay, sonst noch Fragen?
54:01
Gut, dann wäre ich mit der Wahrscheinlichkeitstheorie fertig und wir machen dann noch kurze Pause weiter mit der Vorbesprechung zum Seminar.