Erwartungswert

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Title
Erwartungswert
Title of Series
Part Number
5
Number of Parts
28
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CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany:
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Identifiers
Publisher
Release Date
2009
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Abstract
Die Vorlesung richtet sich an Studierende des Faches Mathematik. Sie gibt eine maßtheoretisch fundierte Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie. Vorkenntnisse beim Verständnis von Wahrscheinlichkeiten (wie sie im vergangenen Semester in der Vorlesung „Einführung in die Stochastik“ vermittelt wurden) sind zum Verständnis nützlich. Die benötigten Grundlagen aus der Maß- und Integrationstheorie werden in der Vorlesung noch einmal kurz vorgestellt.
Probability distribution Projektion <Mathematik> Product (category theory) Eigenvalues and eigenvectors Mass Set (mathematics) Cartesian product Connected space Subset Stochastic Algebra Index Measurable function Abbildung <Physik> Vector graphics Random variable
Cumulative distribution function Stress (mechanics) Moment (mathematics) Mass Set (mathematics) Cartesian product Probability theory Connected space Expected value Stochastic Algebra Military operation Abbildung <Physik> Summation Random variable
Zahl Maximum (disambiguation)
Trail Zahl Supremum Drag (physics) INTEGRAL Direction (geometry) Complementarity Ende <Graphentheorie> Integrationstheorie Propositional formula Mass Function (mathematics) Parameter (computer programming) Inequality (mathematics) Subset Physical quantity Expected value Stochastic Wind wave Integrierbarkeit Measurable function Supremum Modulform Summation Length Absolute value Social class Random variable Cumulative distribution function Maßtheorie Order theory Höhe Moment (mathematics) Expression Set (mathematics) Mittelungsverfahren Charakteristische Funktion Entire function Measurable function Network topology Abbildung <Physik> Limit of a function
so sind wir in der immer so sagen was er ändern werden in einer dir dann stand ich darf zur heutigen Vorlesung
ich über Männer Wiederholung vom letzten Mal an wir haben Handel den Begriff der Verteilung einer Zufallsvariablen wir haben Wahrscheinlichkeit Raum ohne gerade gehen einen Misstrauen und wieder strich Aalstrich nähe Abbildung X von ohne Ganache womit er strich seine Zufallsvariable alles eine messbare Abbildung wir definieren dann ein Wahrscheinlichkeit Maß P x auf der Sigma Algebra Anstrich durch PX von spricht ist die von X oben minus 1 von A Strich also ist die von der Menge aller kleinräumiger ein großer Megaro x um an Strich liegt wir haben eingesehen und zwar bis aber bewiesen werden schon ein die Stochastik das ganze Essen Wahrscheinlichkeit und dieses Wahrscheinlichkeit Smalls wird als Verteilung der Zufallsvariablen bezeichnet Werner weiter eingeführt die so genannte Produkt zigmal Algebra wir haben Messe Träume und egal wie ich habe sie nur für endlich viele gemacht wir könnten so viel unendlich viel machen aber gar ist das Kreuzprodukt von endlich vielen Dingen und der die Produkt Signalgeber also 7 Algebra bestehend aus Teilmengen von diesen Kreuzprodukt der auch mit 1 die Sonne gar ein das ist die wollen die kleinste Sigmar Gebhardt die alle Grolls Produkte von Mengen A 1 bis 1 enthält wobei die Menge der Item siegten Algebra drin liegt ich habe viele Schreibweise verwendet Kreuz Kreis wer eh gleich 1 bis Ende der zigmal geht dann wir haben dann kennen gelernt den Begriff der gemeinsamen Verteilung und den Begriff der Verteilung also im Prinzip ist es hier fast so kompliziert erklärt was dahinter steckt ist mehr nicht n Zufallsvariablen X 1 bis 6 in habe auf dem gleichen Wahrscheinlichkeit Frauen dann kann ich wir dazu eine Zufallsvariablen basteln die als Werte x 1 um egal gerade die X 1 von Amiga bis 6 in von ohne hat die meinte oder die Bilder von dieser bei dieser Abbildung liegen gerade im Kreuzprodukt der Umwege 1 des Amiga Inderinnen und wenn ich da jetzt diese Menge mit der Produk- zigmal Algebra als zigmal Algebra versehen dann wäre und die ursprünglichen Abbildungen 10. Zufallsvariablen damit eine messbar dann ist auch dieses X wenn aber spricht Kreuz Kreis der ihn gleich 1 bis NAI messbar umgekehrt wenn ich solle Zufallsvariable habe mit werden zum Kreuz Produkte nicht mehrmals 7 Algebra die Produkt Signal Algebra und mehr als Zufallsvariable ist eben messbar bezüglich dienen bitte dieser Mai geht beim Bildbereich dann sind die einzelnen Komponenten ich raus greifen kann also ich kann ja aus dieser Zufallsvariable die x 1 bis x N konstruieren indem ich sie einfach verkehrte mit Projektionen auf die einzelnen Komponenten also X wird den Projektionen gibt die x 1 bis x n dann sind das auch wieder Zufallsvariablen der sinniert auf Umwege AP mit Bildraum uriger IAI und die gemeinsame Verteilung ist dann halt kurzerhand die Verteilung von diesen ganzen sage mal zu versteckt war hier und die einen Verteilung sind die Verteilung der einzelnen der einzelnen Komponenten und ich habe es dir noch einmal heran Verteilung geschrieben ja wie ich sie von die nicht nur mit den Text sie allein sondern mit den ganzen x 1 bis 6 Ellen aber man sieht wenn ich die ganzen x 1 6 ändern also ich es ganz X gegeben habe kenne ich eben auch die ich sie selber in bin ich den Sport in der nicht die Abbildung X mit entsprechenden Projektion wirklich Waisenrente bis gemeinsame Verteilung nichts Besonderes es einfach die Verteilung bei einem Zufalls Vektor- und die rein Verteilungen sind eben die Verteilungen von den einzelnen Komponenten das heißt ich reiten aus den Vektor 1 eine Komponente nur aus bekommen wieder eine Zufallsvariable und deren ihren Verteilung und da wären sie in den Übungen sehen im Allgemeinen reicht es nicht aus Verteilung zu kennen um die gemeinsame Verteilung eindeutig zu bestimmen doch geht es weit zu wiederholen ich das noch schnell weg reicht indes nicht so an der Tafel können Sie was wenn ich das hinschreibe weich würde gebeten wegen der Aufnahme dass das nicht so hell machen wenn ich da die Jalousie aufmacht scheint die Sonne rein und dann spiele des schaut auf Aufnahme aber es in China sind ich das übersehen also weiß indes Uneinigkeit so geht ja ok dann komme comma Zuneigung 2 22 also vielleicht soll ich noch mal fragen ob sie immer noch was sehen also weiter zu habe ich erst was zahlen wir haben Wahrscheinlichkeit Maß auf R n B 1 aussage ist dann existieren Fälle Zufallsvariablen X 1 bis 6 N auf einen geeigneten Wahrscheinlichkeit vom abgeben zu dass ihre gemeinsame Verteilung mit diesen Wahrscheinlichkeit Maß übereinstimmt also cool sein wie Maß auch er n N dann existieren reale Zufallsvariablen X 1 besitzt ein er definiert aber in der eigenen Wahrscheinlichkeit Raum um wieder abgeben real existieren Zufallsvariablen X 1 bis 6 in definiert auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeit Fahr-O-Meter AP mit gemeinsamer Verteilung der X 1 bis 6 ist gleich gut und das kann ich so und schreiben dass ich sage mit also P mit Index x 1 bis 6 m ist gleich q und ich kann das auch genau angeben was ich mache ich mehr und wieder AP als er in die MQ und der Verlierer die x 1 bis 6 N als die Projektion auf die 1. ist die Ernte Komponente also hier bei zum Beispiel um wieder abgeben ja werden
wir den period und liebe sie ich glaube ich weiß als Pi bezeichnen welch bezeichnet wird und nicht das Recht 40 Projektion auf die jede Komponente also XII von Amiga 1 bis er mit am das gleich um mit der die mehr wer bezahlen wir müssen dann nicht ein BR nehmen wir können genauso guten Produkt im Maß Raum nehmen beim Produkt Messe Raum also in dem Moment als Kreuzprodukt Onmeda E und aber die als mehr Produkt Algebra der A 1 bis A N also der kann verallgemeinert werden auf wir waren auf Kulisse jemals auf auf zum Produkt Misstrauen also also Sätze einfach er eine PIN durch er einer setzt sich durch der o 1 Kreuz und so weiter bis Amiga N und DN durch die Produkt sieht man rechne Produkt eingebracht der ich keinen Sonderfall machen indem ich einfach ja und zwar zu B in ich einfach in gleich einsetzen also C Sonderfall zu begehen das ist auch der Akku ein Wahrscheinlichkeit Raum X einiger nach einiger die inländische Abbildungen so gilt Text leicht period ist ohne gab gleich ist und wieder Akku Raum X und wieder nach einiger identische Abbildung Zuge Text leicht und das bedeutet mehr das die die Wahrscheinlichkeit Maßen beliebiges Wahrscheinlichkeit Maß über als Verteilung eine geeignete fingierten Zufallsvariable aufweisen können und umgekehrt will jede Verteilung des nach Definition Wahrscheinlichkeit Maß wenn ich das wahrscheinlich das Maß voll ist das Bild Maß bei dieser Zufallsvariablen also jedes die Wahrscheinlichkeit Maß kann als zu weit kann als Verteilung aufgefasst werden und umgekehrt ich glaube Sie dann ein noch Plätze frei und wir reindrücken würde oder so oder vielleicht könnten Sie kommen Sie doch mal vorne vielleicht können sie noch dann noch ein also zum Beispiel viele schilderte also jedes jedes jemals kann als Verteilung aufgefasst werden und umgekehrt und das ist insofern wichtig was kennen Sie und zwischen aus der Einführung die Stochastik weil man eben aufgrund dieser Tatsache die Warschauer keinen Unterschied macht zwischen Wahrscheinlichkeit Maßen Umverteilungen im Sprachgebrauch also wir werden ich ab sofort oder ein durchweg in der Wahrscheinlichkeitstheorie immer auch von Verteilung reden das hat den Vorteil wenn sie von Verteilung reden Zufallsvariablen zugrunde liegen dahinter stehen haben dann können Sie halt gewisse Operationen wie zum Beispiel das auf Aldi und der Ergebnisse einfach durchführen wenn die wahrscheinlich wenn die Zufallsvariablen auf dem gleichen Wahrscheinlichkeit Raum definiert sind können sie sagen's aufaddieren von Ergebnissen es einfach die Abbildungen die einmal mehr gar das Produkt 1. die Summe von den beiden wieder meinen beiden Zufallsvariablen zuweist und solche Sachen können Sie mit Maß nicht so einfach hinschreiben gut begründen würde ich jetzt aber er B Gegenprinzip analog und bei der Begründung von werden Sie gleich sehen warum C auch gilt aber wie wäre man nicht extra in der Allgemeinheit beweisen was nicht als vielmehr bringt also Begründung von an also wir wählen sowie in Umwege ab wie gleich er einen period ich sie gleich Projektion auf die jede Komponente also wieder und wieder appellieren ich sie wenn wenn wir das machen und gucken uns mal die Abbildung x an Was ist X von Olga sind von Amiga 1 bis er mit ein ja das ist das X 1 von und R 1 bis R und wieder 1 bis X N von Amiga 1 und wieder ein das X
1 Veronika 1 bis er mir ein war um wieder 1 weil die Projektion auf die 1. Komponente entsprechend ist x 2 von Amiga 1 bis sonnige 1 x 2 ja auch wieder 2 und so weiter bis 6 trennen von Amiga 1 bis um wieder eigenes um wieder in also X das die identische Abbildung und wenn wir das wissen dann sehen wir PX von einer Menge also ich wär es begründen das x 1 bis x N der Schritt vielleicht besser 4 x 1 bis x 1 nein also hier bei die zwar das 1 bis Kriegsende mir ist es so machen dann vergeben wie von einer Menge wir haben wenn nicht jetzt ja wenn Sie vielleicht mal B aus WM sie nach Definition ist das P vom Bild von Weber der Abbildung X also von die 2 minus 1 von jetzt wissen wir aber P ist gleich q und XO minus 1 von bis gleich weil eben das obere beider Menschen Abbildungen wir haben ja gerade die Menge selber gibt das heißt wir kommen auf Kufen des und damit das Pecs leicht kommt in der Tat und was er in dem heißt das für uns habe so gesetzt Janzer definiert kann an sich aber an der Stelle ich habe die freie Wahl von Pi oder ich habe die freie Wahl finden Wahrscheinlichkeit haben und ich will diesen Wahrscheinlichkeit Raum speziell als er eine PIN Group okay weil die Aussage ist er also ausführlichen geschriebene die Aussage eigentlich dann existiert ein war geeignete glaube Wahrscheinlichkeit Raum und eine Zufalls variabel definiert darauf mit Verteilung gleich gut und ich als die Wahrscheinlichkeit Raum des in der eine es wäre ich gerade so dass es wahrscheinlich gerade raten was gerade Q ist und ich will die Zufallsvariable als Identität das wissen komplizierte hingeschrieben weil die noch den Begriff der gemeinsam Verteilung reinbringen aber es hat einig keine große Bedeutung ob sie das gemeinsame Verteilung also ein ich genauso gut auch C beweisen können wir den genau gleichen gewachsen ja das dann eben kein Wetter Schreibweisen dahingeschriebene hatte direkt Idendität okay haben Sie Fragen so weit keine Fragen dann comma zu Kapitel 3 Erwartungswert undichten und ich kann mich nur erinnern ob ich mal Kapitel 3 geschrieben hat oder nur 3 wissen Sie das noch also hier steht nur 3 Euro bis hin zur Kapitel 3 geschrieben wissen Sie auch nicht mehr also ich habe mal 3 meine Kapitel 3 und der Erwartungswert undichten ja ich glaube Sie waren auch schon mal ich auch schon wenn ich recht erinnere ja wir fangen direkt allgemein an gegeben Wahrscheinlichkeit waren also was die 1. definieren ist Erwartungswert kennen Sie im Prinzip alle sollte ein für die Stochastik ich definiere gleich noch mal kurz das Maß gerade damals eben brauchen und dann kommen einige Eigenschaften zum Teil kennen Sie schon sind Teil der auch neu sein also so halt halt neue Alltag eilt wir haben Wahrscheinlichkeit Raum ohne gar abgeben ja Zufallsvariablen X auf und wieder abheben und ich habe nur zugeschrieben mit Verteilung Text das nicht besonders aber Verteilungsfunktion F also statt 14 Uhr mit Verteilung Felix das war das Wahrscheinlichkeit was definiert auf B und Verteilungsfunktion F man Heidi Verteilungsfunktionen er unterstelle x Gabe die Wahrscheinlichkeit an das wäre groß ist aber gleich X ist klein X also von wächst vom Intervall von minus ich bis X X abgeschlossen und diese Verteilungsfunktion die Eigenschaft dass sie die zugrunde liegende Verteilung eindeutig charakterisiert haben Sie Fragen gut dann comma zu Bezeichnungen das
tun mehr es habe brauche X ist nix Neues positiv Anteil
negativ Freund Stress und Ärger das Maximum von
in Ungarn will bei Cisco Comics ohne aus was zu
begrüßen ist wir sollten aber noch in den Garten unter
klingelt und zwar in negativ Einheit also an der Zahl der ins negative geht aber den Nachrichten wieder künstlich positive nämlich minus noch davon also Ex-Ministern Norweger das ist ein Minus von Xtra Nummer gar was ich zu Monika kleiner 0 ist um 0 sonst war er und mehr
vor kann ab wir dürfen ihren jetzt das 1. den Erwartungswert der den mittleren Wert von x bezüglich P angeht also den Wert der mittelbaren Zufallsexperimente sich ergibt freie Hand an also wir haben wir eine Welle Zufallsvariablen auf Wahrscheinlichkeit zu kommen und wieder abgeben dann heißt ne X wir dürfen wir uns als Maß integral X ist das integral über ohne gar XDP ich mache hier 2 Schreibweisen die eine ist in der gerade geräumiger X von ohne gar P die Anleger und die kürzere Schreibweise ist integral über Megara XPP das Ding heißt Erwartungswert von X Erwartungswert von Exxon abkürzen durchs mit groß wie groß und was ich dazu brauche es Massen gerade haben wir im Prinzip ausführlich gemacht und einführen die Stochastik was mir bis normal definieren sollen dort klar ist könnten so denn die Nations Theorie kann allgemeines Maß Integrase von nebenan mit einfachen Funktionen das heißt Funktion die stückweise konstant sind und nur endlich viele mehr verschiedene Funktionswerte annehmen aus dem nicht negativ und definieren Basis Maß integral als fängt zum der Funktionswerte mal den entsprechenden Maßen der Menge wurde Funktionswert angenommen wird dann gehen Sie über zu nicht negativen messbaren Funktionen man sie alle nicht negativen messbare Funktion von unten approximieren durch wäre ein Fahrfunktionen das heißt sie werden sich eine Folge von einfachen Funktionen die punktweise gegen wäre diese nicht negative messbare Funktion konvergiert Punkt 1 und Punkt 2 mehr deren Funktionswerte monoton wachsen sind deswegen Konvergenz von unten und definieren den Erwartungswert als oder das integral heißen sprechen Grenzwerte in die gerade und dann im 3. Teil allgemeine Funktion zerlegen sie in ihrem positiv und negativ Anteil werde sie haben dann selber Ratsherren das integral also allgemeine messbare Funktion senden ab selber Rat schönes integral über den positiv Anteil integral will negativ Anteil definiert und sie definieren dann das integral über die ganze Funktion als die Differenz der beiden Funktionen sofern nicht beide Integrale den Wert unendlich annehmen dass an bei wir gerade den werden endlich annehmen ist es entsprechende gereinigt definiert das kommt drauf an wie man schreibt ich schreibe hier P von Amiga könnte und DP von Amiga machen es gibt mehrere Schreibweisen lassen Einführung die Strafe die habe ich noch bei verwendet hier möchte ich nicht mehr auf die Nerven Nieren bei der später eben mitten Transformation Satzes ganz umschreiben dermaßen integral über er klein XP XTX wenn sich erinnern und ist entsprechende Schreibweisen wir können Sie natürlich auch ein GPX von schreiben aber ich möchte der volle wieso die Schreibweise wenden okay ist er nicht erst Abkürzung ich weiß wo sie sind schreiben das ist klar in das lassen die Preise ist klar so weit also finden sonst auch Exzerpten dann schreibe hier drunter Maß integral in dem alles was sind groß dann kommt die Bemerkung 3 A 1 der erste Teil der die einzelnen Schritte in der Definition ich nicht in geschrieben habe sind sinnvoll war vielleicht eher nicht der zweite Teil der Erde das integral was ich dahin geschrieben habe dass die verallgemeinern auf allgemeines Maß integraler ich habe schon Allgemeines maßen die gerade geschrieben was ursprünglich nur für Wahrscheinlichkeit Martin geschrieben habe macht also auch nicht also machen wir nun Ziel Teil werden ich habe ziehe den Erwartungswert nur für mehr Elle Zufallsvariable definiert im Prinzip tauchen Anwendung noch immer wieder Zufallsvariablen auf die den Wert plus oder minus unendlich annehmen also erweitert relativ sind das Bemerkung 3 2 nur 3 period 2 Bemerkungen also ist x erweitert reale Zufallsvariable auf Wahrscheinlichkeit von und Gabi erweitert reale Zufallsvariablen auf ihrer brummiger abgeben mit der Eigenschaft dass Text den der plus oder minus unendlich nur mit Wahrscheinlichkeit 0 1 und also P fast sicher den X nur reelle Werte an setzen wir X ist gleich y wobei y einfach die gleichen Werte an den Text nur wenn demnächst änderten endlich einen setzen auf 0 ist gleich X 1 um Ärger falls Betrag von x von Amiga nein man endlich und 0 man sonst und dieser zu schreiben sofern Ibsen existiert also auch bei diesen Ibsen könnte es noch der Fall auftreten dass wir dessen positiv wie negativ teilte legen dass die beiden Integrale oder beiden Erwartungswerte einzeln unendlich viel im Prinzip einig ein bisschen wäre und schön gemachten allgemeinen Maßtheorie wurde schlagartig in Maßen begreife erweitert reellwertige Funktion definieren mussten aber arg aufpassen er war dann irgendwann so Sätze braucht ich kann so also kennen Sie ich kann den Jahren Fakt Außenwände gerade aus integral von der Summe ist die Summe der Integrale und da rechnen sie auf einmal mit der bloßen diesen endlich tauchte auch noch mit auf und da werden sie Weise doch ein bisschen kompliziert aber Unsinn halte Vorlesestunde mehr um diesen Sonderfall zu schlachten aber er dann haben es ein mit einem Schlag saubergemacht das im Prinzip wenn es später nochmal erweitern das im Prinzip Person sie definieren Mindestmaß integral mit einem Schlag für arbeitet reellwertige Funktionen und wir dann sagen Sie einfach der Erwartungswert ist gleich oder Erwartungswert ist diese Maß integral sofern dieses maßen die gerade eben existiert aber wie gesagt wenn sie dann die entsprechenden Eigenschaften beweisen wollen wird irgendwann so ein bisschen technisch und und und kommen so blöde der wo sie mit unendlich rum rechnen müssen gemacht auch Bemerkung 3 3 wir haben Wahrscheinlichkeit und megahappy und aus er und dann geht's die Wahrscheinlichkeit wie von lässt sich deuten als spezieller Erwartungswert und zwar als Erwartungswert von der Zufallsvariable ja die charakteristische Funktion zu Art das als Zufallsvariablen in 1 zu 1 auf den Wert auf der mehr A 0 1 sonst und das haben sie folgt unmittelbar aus der allgemeinen Definition des Integrals also Jansen mischen spezielle einfache Funktionen deren Erwartungswert der eben einmal der Funktionswert mal wäre die Wahrscheinlichkeit Woche angenommen wird grüß mal der Dasho Funktionswert weil die Wahrscheinlichkeit von Kompliment aber Wahrscheinlichkeit von Komplement spielen keine Rolle wenn dem Müller vorsteht mehr 3 4 Definition existiert für die Welle Zufallsvariablen X ein endlich da Erwartungswert endlich Erwartungswert E x 2 Steaks integrierbar Regel Zufallsvariablen X definiert auf Wahrscheinlichkeit Raum um ablehnt ein endlich Erwartungswert EX zuweist X integrierbar bezüglich P es als heißt will sowohl der das integral vom positiv Anteil als auch vom negativ Anteil müssen beide der kleiner endlich sein also machen wir es für Maß Integrale ok damit komm mal zu was wirklich neuen für Sie wenn 3 5 und zwar drücken werden Erwartungswert mit Hilfe von Verteilungsfunktion aus da gibt es verschiedene Formen der machen die einfachste für die nicht negativen Zufallsvariablen also es ist klar der Erwartungswert ist ja definiert als Maß integral wir werden später weil Sie wissen schon aus der Einführung die Stochastik das Maß integralen des nur von der Verteilung von X ab das heißt es eindeutig bestimmt von dir für die Verteilung von Aids und die Verteilung wiederum es eindeutig bestimmt durch die Verteilungsfunktion als auch der Wartungs- wird eindeutig bestimmt durch die Verteilungsfunktion und das nächste der Markt zeigt jetzt wie man unmittelbar den Erwartungswert mit Hilfe der Verteilungsfunktion ausrichten kann ja besagt für eine Rede Zufallsvariablen X große gleich 0 mit Verteilungsfunktion F gilt der Erwartungswert von X kann ich schreiben als das integral von 0 bis unendlich 1 minus 11 von den der Täter vorbei einziges F und sie also F und These die Wahrscheinlichkeit dass Grosics klar gleich T ist ein Ziel das er von den ist dann die Wahrscheinlichkeit dass Grosics größer als die ist das heißt ich kann den Erwartungswert hiervon gar nicht negativen Zufallsvariable ausdrücken als integral von 0 bis unendlich Wahrscheinlichkeit dass sie Zufallsvariablen größer als die ist die T verglichen okay Beweise national mehr kommen und die rechte Seite an es geht einfacher als die Rechte umzuformen wir ich habe das integral von 0 bis unendlich dann steht Städtereisen Wahrscheinlichkeit nicht das X größer als ich schreibe jetzt die Wahrscheinlichkeit also ich deute der Wahrscheinlichkeit als Erwartungswert wir also die Wahrscheinlichkeit das sei die Wahrscheinlichkeit das ich kann nur sagen die Wahrscheinlichkeit dass X größer als T ist wie der obigen Formel kann ich als Erwartungswert von den Text die von den also in die Karte Funktion von dieser der bei diesem Ereignis deuten das ist sehr mehr kommen 3 3 steht integral von 0 bis unendlich dann steht hier im Erwartungswert eines Erwartungswert schreibe ich gleich als Maß integral und zwar als Maß integral PDO Megara dann kommen die charakteristische Funktion einig dass der X 1 ohne gar größer als C ist oder Exkurse es ausgewählt bestelle Omme gar das kann ich schreiben als der X von aber gar muss ihn der Menge von endlich legen wieder und wieder also Sie können auch als nötig dass da sich unmittelbar belegen wie würden Sie das ausrechnen mit der Definition des Maß Integrals ja sie haben der Integrand ist ja entweder nur 0 oder 1 der 1 ist auf der Menge wo x größer als die ist 0 sonst das heißt es Maß die gerade einmal die Wahrscheinlichkeit dass X größer als die ist das nun mal die Wahrscheinlichkeit dass ich's klar möchte ist das heißt es wir genau diese Wahrscheinlichkeit hier okay jetzt brauche ich Satz ich glaube ich werde später mal eine Vorlesung noch mal erwähnen den kennen Sie aus was alles ist allerdings ein bisschen wir nicht in der Allgemeinheit ich brauche und ihrem Konzept für Maß die gerade nicht auf den Satz dass sich die Integrations- Reihenfolge ihrer tauschen das Ganze ist harmlos weil Grand nicht negativ ist Zusatz von Phobien die was auf und des Satzes von Phobie ist es egal wie ich einig die Integrations- Reihenfolge hinschreiben ach so kann sich einig nochmal einarmiger hinschreiben okay also werden da zum Phobie an dementsprechend auf der Integrations- Reihenfolge vertauschen spielt keine Rolle die und die in welcher Reihenfolge wir bei diesen detaillierten integral integrieren also integriere ich erst außen über ohne gar dann von 0 bis unendlich über 10 in dass ich gleich dann den PD und mit das dran fragen so weit ja wir gucken uns das Innere an was ist das hier der der Grandes entweder 1 oder 0 man ist denn die 1 1 1 0 in wenn Excel launiger einen der weiteren liegt und das kann ich jetzt umschreiben X von Amiga liegt in dem Intervall ja wenn X von ohne gar noch größer als die erste oder ich noch so Mentee kleiner als X von Amiga ist und wir haben ja sowieso T größer gleich 0 also ich kann auch nur kleiner gleich die gut wir es mal so stehen und S 0 wenn T-Com größer gleich 6 und Komiker ist also was passiert hier ich integrieren bei Nebel fange ich an mehr und dann in die kriege ich solange die 1 auf mit C Christian nix von aber gar kommen und dann in die ich die nun auf dann sehen Sie was kommt raus wenn sie von 0 bis X von Onmeda die 1 integrieren und danach den 0 ja da kommt nix von und aus das heißt dieses ganze das ganze hier ist integraler aber gar X von Amiga PD um mehr weil sie eben also wenn Sie diesen der Gral Ausguck angucken sie haben nur 2 werden 0 oder 1 1 ist es so lange des T zwischen 0 und Echsen und widerlegt und 0 danach na ja ich meinen sie von 0 bis 10 Uhr Zahl eben die 1 auf Erdöl auf auch wenn die Krähen bekomme die Zahl aus ja und dann sehen Sie das ist nach Definition X Beweis fertig fragen so weit also vielleicht auch wir haben es jetzt für Zufallsvariablen X großer gleich 0 wenn sie somit vor jetzt herleiten wollen für allgemeine Zufallsvariablen die auch negative Werte annehmen wie würden Sie das machen was sie jetzt Allgemeines integral durch die Verteilungsfunktion ausdrücken sie uns trennen kursive negativ treibt sie sagen der allgemeine Erwartungswert ist Erwartungswert von X plus minus Erwartungswert von X minus X plus X minus können Sie die formen anwenden dann müssen sich hier im überlegen wie sie die entsprechende Verteilungsfunktion Ver Express nichts wenn das so ist und dann gibt es nur analoge Formel wenn sie nicht Erwartungswert die machen in Übungen oder die andere glaube ich auch wenn sich Erwartungswert von X sich Pk angucken sondern sich irgendwelche höheren Moment angucken Erwartungswert Felix Ucar dann können Sie es genau so umschreiben werden sie aber in den Übungen sehen okay dann er würde ich 5 Minuten Pause machen die Tafel wischen und wir machen dann um sie offen wird sich weiter obwohl sich ganz gern weitermachen also wenn Sie so weit ihre Unterhaltung einstellen könnten Dankeschön weiter mal 3 5 comma zu dem Satz 3 6 das wieder was das gebe ich ohne Beweise an aus der Integrations- bzw. Maßtheorie werden Zufallsvariable auf Wahrscheinlichkeit von und wieder AP die erste Aussage ist es Aussagen über Integrierbarkeit also Integrierbarkeit dieser nochmal das der Erwartungswert existiert und endlich ist und ich zusehen wie er war genau dann wenn X plus 1 X minus integrierbar sind genau dann den Betrag von x in Weise sei nicht in Sicht wäre klar war legten die Führer sind da muss eigenen endlich Erwerb auskommen in wird kann rauskommen wenn Erwartungswert von X wissen Erwartungswert von X minus bei den nicht nennt sich sind und in dem Fall ist auch der Wartungs- wird von Betrag von x Wahlberater nix können Sie schreiben bei 6 bis plus X minus gleichen endlich und umgekehrt den Betrag von x gleichen endlich ist eines der Wartungsvertrag nix wissen Erwartungswerte nächsten just also wenn der kleiner als ist der Wartungs- Surfer nächstgrößten Erwartungswert von X minus jeweils kleiner gleich als Erwartungswert vom Betrag von x und auch endlich zweite Aussage ist wenn nicht mehr fälle integrierbare Zufallsvariable y große gleich 0 habe mit Betrag von Xtra gleich y fast sicher dass auch nix integrierbar dort ja also wenn wir ein y habe mit der Eigenschaft dass WP fast alle um egal gilt der Betrag von x ist aber bei der 17. Armee gar und höchstes integrierbar dann auch nix integrierbar ach ja und der dritte Teil wenn X gleich YB was sicher S und X ist in der wir war dann existiert auch Y ist gleich legst Ibsen existiert und die ob seinesgleichen nichts wobei ich hier implizit voraussetzen dass y ebenfalls in Zufallsvariablen ist also weiß die Integrationstheorie Maßtheorie dann kommen eigentliche einige Eigenschaften das Erwartungswert der Osten entsprechen Eigenschaften des maßen die Reise folgern aber ein Großteil stellen ein thüringischer raste gesehen haben und die 2 die wenn ich gesehen habe weil sie jetzt noch es gilt Satz 3 7 wir haben XY Relais integrierbare Zufallsvariablen offen Wahrscheinlichkeit Raum mit abhebt nein die erste Aussage ist dann existiert auch der Erwartungswert von X plus Y ist leicht im Erwartungswert von X wissen Erwartungswert von y zweite Aussage ist für eine Frau ist er existiert der Erwartungswert von Alfa Malik SMS leichte einfach mal den Erwartungswert von X beides zusammen gehen sie aus der Einführung die Stochastik daneben allgemein gezeigt in der jedes Maß Integrals und daraus folgt die entsprechende Eigenschaften und wenn es ein bisschen allgemeiner machen würden würden wir diese Sitze verarbeitet reellwertige Zufallsvariablen machen wir müssen Sie jetzt ein bisschen komplizierter definieren wir also hier müssen Sie jetzt noch voraussetzen das also ja lassen Integrierbarkeit weg aber der X ne in 10 existieren also Ätna als plus oder minus unendlich aber hier muss diese Summe auch noch existieren als darf nicht wissen endlich Minister dich zum Beispiel auskommen das geht nicht und dann wäre die Aussage dann existiert P fast sicher auch X plus Y Kanistern bilden und Erwartungswert stimmt mit dem Erwartungswert überein wenn Sie das mal beweisen dann ist das ein bisschen blöd weil da müssen sich und wie Edith diesem unendlich Sonderfällen auch um machen wann wurden was unendlich sein seines kann oder man ist endlich finden Sie aber wenn Sie wollen meine Maßtheorie Skat gibt es entsprechen oder gibt beim Sprechen Lemmas 3. ist die Monotonie wenn X größer gleich ob ist Sinne der Abbildung also X honoriger als große gleich sind vor gar für alle ohne gar ist Erwartungswert von X Großrechner Wartungslisten y auch das kennen Sie aus der Einführung die Stochastik vor wir Erwartungswert von X Betrag ist kleiner gleich Erwartungswert von Betrag von x das und aus dem aus dem Kreis der dessen einzelne Schauer Stil auch gemacht haben damals vor dem Prinzip sofort aus weil sie eben Bissen X ist leider gleich Betrag von nächsten Miene 6. Langeweile Drag zunächst als ist Erwartungswert von X auch klar weil das mehr war Erwartungswert von Betrag von x und minus den Erwartungswert von X nach B ist ja gleich den Erwartungswert minus 6 ist ebenfalls kleiner gleich Erwartungswert von 13 x damit haben Sie diese Ungleichung herstellen ok und E und F ist das was ich gleich noch zeigen werde ein gesagt X gleich ob Samper fast sicher daraus folgt X ist gleich y ja und ein weil ich das gleich zeigen aber kurz zurückführen auf Platz 3 6 C aber Sie sind ja nicht unmittelbar aus Satz 3 6 c wenn ich's gleich y befasst sich das dann existiert im Erwartungswert das heißt und sich einig so Satz 3 6 die zurückzuführen ich könnt ist darauf zurückzuführen dass wenn nix gleich 0 P fast sicher ist dass man den Erwartungswert gleich 0 ist das reicht einig dass Aussage aber die hansischen allgemeinen 3 6 10 geschrieben was es macht keinen Sinn nicht wir 3 7 noch Beweise aber ich glaube ich kann noch 3 7 erst beweisen Herr Exkurse gleich 0 Text gleich 0 daraus folgt X gleich 0 befasst sich also wenn sie eine nicht negative zu was variabel haben die Mittel gleich 0 ist muss die sogar mit Wahrscheinlichkeit 1 gleich 0 sein also wir fast alle Werte müssen gleich 0 sein ok Fragen so weit aus der Unterschied zwischen Demir und der mehr also den Platz 3 6 C und den bereits 3 7 E mehr also 3 Satz 3 7 Essen Spezialfall 1 Satz 3 6 er gehe es ich setze also ich habe sowieso hier habe ich vorausgesetzt will integrierbare Zufallsvariablen nee hier muss es y nicht integrierbar sein ja Service allgemeiner formuliert okay Fragen Information Beweis also a bis c immer nur ein für sie Einführungen a bis c Einführung Stochastik dann wie folgt aussehen wie vor mündlich erklärt habe weil eben X lange gleicht der Betrag von x wissen minus X ist aber gleich Betrag von x er folgt aus Satz 3 6 sehen und dann sehen Sie zeigen was ich eigentlich noch oder das einzige was ich alles zeige GSF es gibt das ist einer von 2 Sätzen dies in der Richtung oder 2 Aussagen diesen der Richtungen einig für Maß Integrale allgemeine gibt da sie eine Aussage ist Sie haben eine nicht negative Funktion deren integral gleich wäre 0 ergibt dann ist die anmaßende geradezu übliche Maßen dann ist diese in die gerade allen Funktionen mir fast sicher gleich 0 die zweite Aussage ist sie haben eine Funktionen wie die Eigenschaft hat wenn sie über alle Mengen integrieren dann kommt jeweils das Maß die gerade raus und auch dann ist diese Funktion wäre gleich 0 er mir fast für wie fast alle Argumente die zweite Aussage kommt irgendwann mal so versteckt in Ordnungen späteren beweisen dass noch zeigen wir machen jetzt eine okay was will ich zeigen ich will eigentlich zeigen das ja ich war ich schon die Zufallsvariable ist größer gleich 0 das heißt ich will zeigen die Menge wo die Zufallsvariable ungleich 0 ist hat jemals mehr 0 das heißt ich kann genauso gut auch die Menge angucken will Zufallsvariable größer als 0 ist ich setze als das Ereignis X größer als 0 ist und zeigen möchten wir P von A ist gleich 0 und dann wird mir ich A 1 alles Ereignis 2 x größer als 1 durch NS dann überlege ich mir dieser konvergieren von Unternehmen gegen das war die Abkürzung wie mal eingeführt haben wir Ihnen comma aber konvergieren von unten wenn 1. die Menge müssen immer größer werden also 1 der Teilmenge von A 2 sind einige von A 3 und so weiter und zweitens die vor allem die Vereinigung aller dieser Mengen muss gleich der Menge sein wenn sich angucken das ist klar die man werde immer größer war erst gucken sich an OS X größer als 1 also die Menge aller und egal wo X wieder größer als 1 ist und gucken sich an die Menge aller um Megaron nix zum Amiga größer als halt ist die Menge aller und Megaron X Amiga größer als ein Drittel ist und so weiter und diese Mengen werden immer größer weil diese Schranke hier immer kleiner wird und umgekehrt wenn sie eine Einigung angucken also wenn der hier das ist klar einerseits ist dessen alles Teilmengen von X größer als 0 bei diesen Ereignissen und wenn sich die Vereinigung oder wenn sie gucken sehr mitziehen beliebiges auch Wege aus dieser Menge drinnen 1 x von Amiga größer als 0 dann finden Sie oben sollen in das X von Amiga auch größer als 1 durch ist weil es auch wieder als auch eine Vereinigung da hatten eine Eigenschaft Wahrscheinlichkeit Maße waren stetig von unten auch die die von oben das heißt von ist gleich jenes von P von A 1 also was habe ich das was mich interessiert ist die Wahrscheinlichkeit dass X größer als 0 ist ich habe Grenzwert wie es gegen endlich ja das ist gleich Bellinis entgegen endlich von Wahrscheinlichkeit dass X größer als 1 durch ist und wenn ich jetzt zeige dass diese Wahrscheinlichkeiten alle gleich 0 sind bin ich fertig wie machen wir das wir machen das wieder mit den Daten von dort vorhin das heißt wir für uns zurückkaufen Erwartungswert oder auf dem Mars integral das heißt ich habe hier eigentlich das integral über die entsprechende Indikator Funktion also ich kann sagen ich habe 4 die von X größer als 1 durch ein der Herr und dann ob ich wenn X größer als 1 durch NS wenn es ja einmal x größer als 1 das heißt ich habe hier eine stehen einmal wir diese Indikator Funktion aber ich kann auch genauso gut sagen das ist kleiner gleich an der Stelle sicherlich einiges super übernehmen müssen also vielleicht da welche jeweils nehme Periode drüber mahlen ja bin ich war dabei also ich mal ein Spielchen Schritt aber im Wohnzimmer ist also wie ihre also Berlin das wäre ja brauche ich schon ich meine Erlebnisse verlor er war in jungen männlichen klare gleich habe und Sie machen ja genauso gut mit mittlere gleich Beziehungen mehr weil ich nun nicht wie er oder anders ausgedrückt ich kann Ihnen sagen ich hinschreiben ich weiß aber existierten deswegen schreibe ich nehme aber im Prinzip egal also ich habe das immer als 1 x x die von X größer als 1 durch einen der einfach mit der Begründung wenn X größer als 1 durch X ist 1 n x x größer als 1 und dann wird sich der Monotonie von integral aus ja jetzt habe ich nun nicht negatives integral dastehen dann kann ich auch genauso gut diese Indikator Funktion der Klassen und bekomme noch in größeren Teil dazu ob ich habe nicht negative Funktion dastehen nächstes größer gleich 0 dann komme ich auf einmal der Herr über Amerika bei größer gleich 0 ist weil in die Grand großer gleich 0 ist dann habe ich Erwartungswert von n x x dastehen und Erwartungswert von 1 x x ist gleich in einen Erwartungswert von X der Erwartungswert Felix 1 0 bekommt insgesamt nur noch aus dessen fertig und sie ist mit einem Schlag geschrieben als ich habe natürlich auch hier hier direkt schreiben können von hier nach 4 Wahrscheinlichkeit X größer als 1 durch n wird kleiner gleich Erwartungswert von NX aber das war die Begründung dazwischen ich die Wahrscheinlichkeit als Maß integral für dann Künste nach den künstlich die 1 größer und lasse noch denn die charakteristische Funktion wecken machs noch größer ok haben Sie Fragen so weit fragen nein 0 mehr nein ein ja dann brauchen Sie aber die Aussage Wenn Sie mit Funktion haben die größer als 0 ist auf einer Länge von positiven Maß dann ist der integral größer als 0 und wir weisen Sie diese Aussage aus ok also Sie wollen denn sie wollen direkt argumentieren sie haben auf dieser Menge wäre wenn Sie so was haben wir diesen W wenn wir von einem größer als 0 ist dann ist das integral größer als 0 sein mehr ok wie noch einen der aber jetzt kommt der ein sie wollen anders machen Sie behaupten sie behaupten wir wir gehen hier rein sie haben P von Betrag von x größer als 1 durch ändern des Weges auf das integral größer als wurden was aber es müssen sie auch irgendwie mit ohne Begründung machen will und das mache ich ja genau mit der Begründung einigte ich beweise es eben noch mal aber von Hand als natürlich hätte hier ich hätte hier eine leicht würde nicht unbedingt sehen das wenden und der obere Schranke haben mehr okay letzten Endes sagen sie ja was haben Sie mal genau so was mache ich ich habe meine Stoffen solle das war der kann von überweisen ich angestoßen funktioniert er wobei die Stufen Funktion oder also mir scheint ich mach sowas eine schon war ok nachdem ich diese Fragen so zufriedenstellend Antwort haben haben Sie vielleicht noch weitere kann ich ihn vielleicht da weiterhelfen in der ich glaube ich habe immer früher von den Topologie pro was erzählt er nicht denn ich hatte der seine beweisen die verstanden hatten und hat auch so Schreibfehler eingemachten konnte Fragen durch auch nicht beantworten also versucht zu sagen und hat dann versucht nach aber dennoch den Revolte verwirrt hat für weitere aufzusetzen und also hatten wir dann sein Tageslichtprojektor vom kurbelt rückgekoppelt und angefangen jetzt machen wir weiter mit mir weiß aber meistens weit fließen auch nochmal nachgefragt wurden dazu führen würde tja oder war auch älter als ich nur so gesehen comma Zusatzteile 8 Satz von 100 und Konvergenz der also an der Stelle machen jetzt oder ähnlichen kurz an die beiden wichtigen Grenzwert Sätze die mir immer wieder braucht um Integrale mit Grenzwerten zu vertauschen zu können dass eine Zusatz von Immonet und Konvergenz also wenn die Zufallsvariablen period Weise von unten von agieren können Sie im Erwartungswert aus denen das 2. Ersatz für normale visierten Konvergenz wenn sie eine integrierbare mal Rente haben können Sie auch so nehme Erwartungswert aus also wir haben reale Zufallsvariablen X dennoch ohne gab mit X großer gleich 0 und so leicht 0 auf eine gar abheben und XN konvergiert von unten gelegene Zufallsvariablen X das heißt der X 1 ja ich glaube das habe ich jetzt freundlichen geschrieben wird also muss ist für 4 einmal hinschreiben also X 1 von ohne gereist waren dann die 2. Amiga und so weiter und jetzt N von Amiga konvergiert gegen ich Monika hingegen endlich für alle und wieder aus und wieder das ist die Aussage dann gilt X ist leicht der ja n gegen unendlich Erwartungswert von X N also insbesondere Erwartungswert von X existiert auch jetzt muss ich ein bisschen aufpassen weil ich vorhin ich Erwartungswert nicht sauber ganz sauber definiert hat weil ich das natürlich habe dann kann im Prinzip ja das ging auch gegen arbeitet reellwertige Zufallsvariable konvergieren und von unten und da muss jetzt eben noch dazu schlagen der Wartungs- von liegst ändert endlich an falls P von X Leichen endlich Größen und ist wobei X definiert wird als unendlich falls die Wahrscheinlichkeit dass Text Leichen endlich Gruß also was wir haben dieses X ist der Limes von gegen endlich von X N oder Echsen Anlieger also die müssen in ging endlich für nichts wenn man sich jetzt eines Nachricht diesen jenes außen Erwartungswert raus oder wenn ich die Deutung des Erwartungswert oder die Definition des Erwartungswert es als maßen sie gerade eben ich die diesen aus einem integral heraus und das darf ich leben werden ich solle period Weise Konvergenz von guten vorliegen habe und ich habe noch die Zusatz Voraussetzung dass die DXM großer gleich 0 sind um sicherzustellen dass beim Erwartungswert von X nicht Unfall Erwartungswert von Thyssen endlich Minister Bartels jetzt Minuten man auftreten kann ist das nicht der Herr den ich aber unser nix müssen Erwartungswert von X minus 1 Ankogel das wenn ich beides machen endlich verstehen kann deswegen brauchen sie morgens ohne Einschränkung das kann ja sein dass die ganzen Zufallsvariablen hier also wenn ich X große gleich 0 werden noch den Erwartungswert leicht endlich hätten aber sie verschieben die langsam nach oben und sie verschieben Kleinteil langsam nach oben und damit bleibt hier er der negativ ein sei vielleicht nach wie vor beim ersten endlich vom Erwartungswert oder der positive untergeht auch noch auf müssen nicht es ist hier formuliert für alle kleinräumiger aber es gereicht genauso wie fast sicher es ist aber klar weil die integrale sich nicht abändern wenn sie die also die Version ist hier nicht schwächer als die Version mit mir fast sicher weil wenn sie die Aussage jetzt hier fast sicher haben wollen können Sie es mit dem Satz beweisen weil sie sagen können okay ich habe es zwar nur P fast sicher dann ändere ich die ganzen jede einzelne Funktion auf 0 mehr ab die Vereinigung aller diesen den gleiten Menge dann habe ich die Funktion insgesamt noch Müllmenge abgeändert dass es das über eine 0 wäre dann geht die Beziehung für alle dann habe ich die entsprechende Grenzwert Beziehung aber dann die die entsprechende Grenzwert Beziehung auch für die nicht abgeänderten Zufallsvariablen weil die nur auf einer weil die sich nur auf eine Menge von Massen unterscheiden okay aber ich kann es mit einem Schlag auch wenn mit etwas sich entscheiden es richtig noch eine Frage habe wir sind Sie auf der Tafel auf der Tafel ok sind außer Frage zu mehr diese Ungleichung ach so da sollte soll wieder die Super habe ich vergessen an der Stelle Spiel setzen das keine Rolle mehr war da er sowieso gleichen wollten da existiert dann wenn der wieder aber sie Unrecht Dankeschön noch eine Frage ja meine wurde nicht mehr vorhanden die Basler Zeitung Stellung der seit dem wird wieder genau und dann noch 2 Minuten ich bin in der Zeit ist noch weitermachen metaphysischen Osten glaube ich nicht für dringlich seit Ende also wenn sie keine Frage mehr haben würde sagen wenn man der Schule auf und wir sehen uns immer Donnerstag
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