Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
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Formal Metadata
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| Part Number | 1 | |
| Number of Parts | 28 | |
| Author | ||
| License | CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this | |
| Identifiers | 10.5446/36039 (DOI) | |
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Content Metadata
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Game theoryFamily of setsSet (mathematics)Probability theorySubsetMoment (mathematics)MaßtheorieAlgebraComputer animationLecture/Conference
09:24
Finite setSet (mathematics)Haar measureComplementarityAlgebraFilm editingNatural numberDurchschnitt <Mengenlehre>StochasticNumberSigma-algebraFamily of setsLecture/Conference
18:38
MatroidSet (mathematics)AlgebraIndexIndexmengeSigma-algebraLecture/ConferencePanel painting
24:33
Film editingSet (mathematics)Sigma-algebraFamily of setsPanel painting
26:10
Golden ratioAlgebraSet (mathematics)Film editingIntegrationstheorieMaßtheoriePower setSigma-algebraSubsetFamily of setsPanel painting
33:21
Generating functionMeasure theorySigma-algebraNetwork topologyDurchschnitt <Mengenlehre>Panel painting
34:33
MatroidEuklidischer RaumPower setOpen setSet (mathematics)Sigma-algebraComplementarityAlgebraPanel painting
41:03
MassMaßtheorieAxiom of choiceModulformConnected spaceEuclidean vectorLecture/Conference
48:47
Natural numberAlgebraic closureCalculationSummationFamily of setsMengenfunktionSet (mathematics)MassFunction (mathematics)Lecture/Conference
56:30
AlgebraSummationMassSet (mathematics)Sign (mathematics)Content (media)StochasticAbbildung <Physik>Sigma-algebraFamily of setsWahrscheinlichkeitsmaßMeasure theoryPanel painting
01:04:13
Set (mathematics)SubsetAlgebraMassSigma-algebraFamily of setsSummationPanel painting
01:10:50
Set (mathematics)MassDirection (geometry)WahrscheinlichkeitsmaßAlgebraLecture/Conference
01:17:26
SubsetLecture/Conference
Transcript: German(auto-generated)
00:13
So, dann begrüße ich Sie zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie. Wie die meisten von euch wissen sollten, ich bin nicht Professor Kohler.
00:24
Der ist krank, deshalb hat er mich gebeten, heute die Vorlesung für ihn zu halten. Und wir beginnen am besten mal mit dem ganzen organisatorischen Kram. Also es wird natürlich Übungen geben zu der Veranstaltung.
00:43
Und im Rahmen dieser Übungen kann auch ein Bonus erworben werden diesmal. Aber zusätzlich zu 50 Prozent der Übungspunkte sollen Sie dazu regelmäßig anwesend sein in den Übungen.
01:01
Und es gibt zwei Semestralklausuren, die jeweils noch dreiviertel Stunden lang sein werden. Und die werden allerdings sehr einfach sein. Also im Wesentlichen werden da Übungsaufgaben dran kommen. Um das Ganze als Modalprüfung anrechnen zu lassen, müssen Sie im Anschluss an das Semester die Modalprüfung bestehen.
01:31
Und je nachdem, ob Sie den Bonus haben oder nicht, verbessert sich dann eventuell noch die Note. Die Anmeldung zu den Übungen erfolgt online.
01:43
Also die Homepage sollten eigentlich die meisten ohne Probleme finden über die normalen Lehrveranstaltungsseiten vom Fachbereich. Und dort kann man sich ganz normal mit dem EVS anmelden.
02:11
Es gibt so weit Fragen.
03:08
Die Vorlesungen werden wieder aufgezeichnet.
03:38
Und die Aufzeichnung, die kann man dann jeweils, vermutlich so eine halbe Woche bis eine Woche später im Internet erhalten, runterladen.
03:54
Es gibt so Fragen so weit zu irgendwelchen organisatorischen Details.
04:08
Also die Frage war, ob man die beiden Semestralklausuren mitschreiben muss, um die Zulassung oder den Bonus zu erhalten. Die Semestralklausuren dienen nur dazu, den Bonus zu erhalten. Also man kann jederzeit diese Modalprüfung mitschreiben.
04:23
Dann wird die ganz normal benotet und es verbessert sich einfach nichts. Aber es verschlechtert sich dadurch auch nichts. Ja, man ist nicht gezwungen an diesem Übungssystem teilzunehmen. Allerdings hatten wir letztes Semester den Eindruck, dass die Teilnahme an dem Übungssystem ein bisschen spärlich war.
04:44
Und wir wollen sie einfach dazu zwingen, ein bisschen mehr zu tun. Deshalb jetzt fast schon das komplette Gegenteil von dem, was letztes Semester stattgefunden hat. Okay, wenn es sonst keine Fragen mehr gibt, dann fangen wir mit dem eigentlichen Stoff an.
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Achso, das soll ich noch sagen. Es gibt einen Skript im Internet, oder es wird einen Skript geben. Im Moment ist es noch nicht online. Das wird jeweils nach der Vorlesung bereitgestellt bis zu dem Punkt, bis wohl in die Vorlesung gekommen ist.
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Außerdem gibt es ein sogenanntes Exzerpt. Das ist so eine Kurzfassung von einem Skript. Das ist jetzt schon online. Da stehen die Definitionssätze und Lemmas und sowas, die in der Vorlesung behandelt werden.
05:44
Und allerdings ohne Überweise. Und es ist vermutlich nicht schlecht, sich das für die Vorlesungen auszudrucken, damit man das vorliegen hat.
06:01
Okay, dann fangen wir mit dem ersten Kapitel an. Im ersten Kapitel geht es um Grundlagen aus der Maßstheorie.
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Also in diesem Kapitel wird jetzt nicht eine komplette Maßstheorie-Vorlesung behandelt,
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sondern wir wiederholen nochmal die wichtigsten Begriffe, führen die wichtigsten Notationen ein und die wichtigsten Sätze, die man so kennen sollte, um das, was danach folgt, verstehen zu können.
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So, und wir beginnen mit der Definition, mit der man normalerweise auch in der Maßstheorie beginnt. Also 1-1-Definition sei Omega eine nicht leere Menge.
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Ein System Skript A von Teilmengen von Omega heißt eine Algebra, wenn Folgendes gilt.
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Also erstens, die leere Menge soll in dem Mengensystem enthalten sein.
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Zweitens, falls eine Menge A in dem Mengensystem enthalten ist, soll darin auch die Menge A-Komplement enthalten sein.
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Ja, dieses AC, das ist definiert als Omega ohne A.
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Und drittens, wenn A-B in dem Mengensystem enthalten sind, dann soll auch die Vereinigung dieser beiden Mengen enthalten sein.
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Das System A heißt Sigma-Algebra, falls zusätzlich gilt.
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Viertens, wenn A-N Mengen aus A sind, wobei N die natürlichen Zahlen durchläuft,
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dann soll auch die Vereinigung dieser abzählbar vielen Mengen in dem Mengensystem enthalten sein.
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So, und was unmittelbar klar ist, 1-2-Bemerkung, wenn A eine Sigma-Algebra ist, dann folgt daraus natürlich sofort, dass A eine Algebra ist.
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So, der Begriff sollte nichts Neues sein, also sowohl die Leute, die letztes Semester in der Einführung nicht doch hastig waren,
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als auch die Teilnehmer der Maßstheorie vorlesen, sollten diese beiden Begriffe kennen. So, wir kommen jetzt zu einem Lämmer, also 1-3-Lämmer.
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A sei Skript A eine Algebra, dann gilt, wenn A-1 bis A-N in dem Mengensystem Skript A enthalten sind,
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dann ist natürlich auch die Vereinigung N gleich 1 bis M, das hier muss A-M sein, A-N in dem Mengensystem,
12:52
außerdem sind auch die Durchschnitte N gleich 1 bis M, A-N in dem Mengensystem enthalten. Also, können Sie bitte mal aufhören zu reden.
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Außerdem, wenn Mengen A-B in dem Mengensystem A enthalten sind, dann ist natürlich auch die Mengendifferenz A ohne B in dem Mengensystem enthalten
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und Teil B, falls A eine Sigma-Algebra ist, also sei A Sigma-Algebra, dann gilt, dass wenn A-N in dem Mengensystem sind,
14:04
dann ist auch der Schnitt N gleich 1 bis unendlich von diesen Mengen in dem Mengensystem enthalten.
14:30
Ok, ganz kurz zum Beweis. Das Erste ist klar, dass diese Vereinigung drin ist, von diesen endlichen Mengen,
14:46
ist klar, das folgt sofort mit Induktion aus dem Punkt 3. Und der Teil mit den Schnitten, der folgt aus einer Anwendung von der De Morganischen Regel,
15:08
also es gilt A geschnitten B, das ist das gleiche wie A geschnitten B und 2-mal Komplement gebildet,
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das ist gleich A-Komplement vereinigt B-Komplement und davon das Komplement. Und da A und B in der Sigma-Algebra drin sind, ist auch A-Komplement in A genauso wie B-Komplement,
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damit ist die Vereinigung drin und das Gesamte ist ebenfalls in der Sigma-Algebra enthalten.
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Ja, was da verwendet wurde, ist 2. und 3. aus der Definition und daraus folgt dann auch das A ohne B,
16:36
das ist ja gerade A geschnitten E-Komplement, in dem Mengensystem enthalten ist
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und der Rest, wie angesprochen, ergibt sich mit Induktion.
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So kommen wir zum Teil B, dieser Schnitt über die A-N, den kann ich wieder mit De Morgan umschreiben
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als Vereinigung über die A-N-Komplement und davon das Komplement, das ist wieder nach 2. und 3. in dem Mengensystem enthalten.
18:20
Also zusammenfassend kann man schreiben, eine Algebra bzw. Sigma-Algebra enthält die leere Menge
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und damit das folgt direkt aus 2. auch Omega und ist abgeschlossen gegenüber endlich bzw. im Falle der Sigma-Algebra
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abzählbar vieler der üblichen Mengenoperation. Gibt es so weit Fragen? Also sollte eigentlich doch alles sehr klar sein.
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So, dann kommen wir zur nächsten Definition, es sei Omega eine nicht leere Menge, A eine Sigma-Algebra in Omega,
22:43
das Paar Omega, A heißt Messraum, die Elemente von A heißen A-Messbare-Mengen.
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Ja auch hier ist noch nichts passiert und wir kommen zum nächsten Lämmer, Teil A,
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Skript A, Index Alpha sein Sigma-Algebra in Omega, wobei Alpha aus einer Indexmenge I sein soll,
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daraus folgt, dass der Schnitt über alle Alpha-Element I, Skript A, Alpha ebenfalls eine Sigma-Algebra in Omega ist.
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So, Teil B, wenn Skript C ein Mengensystem in Omega ist, dann folgt daraus, es existiert eine kleinste,
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also kleinste bezüglich C, bezüglich Omega, C enthaltene Sigma-Algebra. So eine analoge Aussage,
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eine analoge Aussage gibt es auch für Algebren, ich habe jetzt hinterhin entsprechend für Algebren.
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So, für den Beweis von dieser Aussage verweise ich jetzt zum ersten Mal auf die Integrationstheorie bzw. auf die Maßstheorie.
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Vielleicht nur noch zum Punkt B, also im Teil B betrachtet man den folgenden Schnitt, also Schnitt über alle Sigma-Algebren A,
27:44
also die sollen Sigma-Algebra in Omega sein mit C Teilmenge A und wir betrachten den Schnitt über all diese Mengen,
28:01
das ist gerade diese kleinste Sigma-Algebra. Was man hier vielleicht beachten sollte, also das, was man hier zeigen muss noch,
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ist der Schnitt darf nicht leer sein, das ist aber klar, weil die Potenzmenge immer eine Sigma-Algebra ist und auch die Leeremenge, vereinigt mit Omega, immer eine Sigma-Algebra ist. Also zumindest bei der Potenzmenge trifft diese
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C ist auf jeden Fall eine Potenzmenge drin und damit ist der Schnitt nicht leer und vermutlich wird es allerdings kleinere Sigma-Algebren geben, die C enthalten. Ok, nächste Definition, C sei ein Mengensystem in Omega,
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die kleinste C enthaltene Sigma-Algebra, heißt die von C erzeugte Sigma-Algebra.
31:17
Ja, wir wissen nach dem letzten Lemma, dass sowas existiert und in diesem Fall heißt dann C ein Erzeugungssystem,
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dieser Sigma-Algebra, entsprechend für Algebra. Ja, also auch für eine Algebra kann ich so ein Erzeugungssystem,
32:37
oder kann ich, wenn ich das nach diesem Lemma gebildet habe, die Sigma-Algebra nach diesem Lemma gebildet habe,
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C als erzeugendes System dieser Algebra betrachten. Bezeichnung, Script F von Script C, das ist die von C erzeugte Sigma-Algebra.
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Und was jetzt wichtig ist, oft reicht es, Definitionen, also wenn ich prüfen will, ob irgendetwas ein Sigma-Algebra ist oder nicht, dann reicht es, das auf einem Erzeuger nachzurechnen, also bestimmte Eigenschaften auf einem Erzeuger nachzurechnen,
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und ja zum Beispiel Durchschnittsstabilität und solche Sachen, und dann kann ich mit bestimmten Sätzen folgern, dass sich bestimmte Eigenschaften auf die von C erzeugte Sigma-Algebra übertragen. Das brauchen wir bei der Konstruktion von Maßräumen und solchen Sachen. So, dann machen wir mal 10 Minuten Pause.
34:34
So, dann würde ich ganz gerne weitermachen. Also, für die meisten ist vermutlich bisher noch nicht viel passiert,
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und es wird auch noch eine Weile so weitergehen, das hat eben dieses Kapitel so ein bisschen an sich. Und ich komme jetzt zur nächsten Definition. Bei der nächsten Definition wird ein besonders wichtiges Sigma-Algebra eingeführt,
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und zwar ON sei zunächst mal das System der offenen Mengen des euklidischen Raumes R hoch N,
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und dann heißt EN, dabei handelt es sich um die von ON erzeugte Sigma-Algebra,
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das wird als Sigma-Algebra der borelchen Mengen im R hoch N bezeichnet.
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Insbesondere haben wir die Menge B1, und die wird im Folgenden einfach mit Skript B bezeichnet.
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Und auch noch mal als Wiederholung, dieses Skript B enthält alle offenen Mengen, alle abgeschlossenen Mengen,
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das liegt daran, dass die Komplimente offen sind, alle Einpunktmengen, da Einpunktmengen immer abgeschlossen sind,
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und alle höchstens abzählbare Mengen, da abzählbare Vereinigungen von Einpunktmengen.
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Allerdings, was man auch wissen sollte, diese Sigma-Algebra B ist echt enthalten in der Potenzmenge von R.
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Also BN ist echt enthalten in der Potenzmenge von R hoch N. Allerdings reicht es eben, um das Lebesmaß zu definieren, und das ist der wichtigste Spezialfall für ein solches Maß.
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So, dann kommen wir zum ersten Satz. Das System IN, also Skript I aller halboffenen Intervalle,
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das wird abgekürzt geschrieben mit dieser Intervallschreibweise. Wobei, was vielleicht ungewöhnlich ist, diese Schreibweise verwenden wir jetzt auch für den R hoch N.
42:48
Also im R hoch N bedeutet das dann, dass ai kleiner als xi kleiner als bi für i gleich 1 bis N.
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Und wir schließen, wir lassen nur zu den Fall, dass die Komponenten von den Vektoren a und b so gewählt sind, dass ai kleiner als bi ist.
44:09
Ja, beziehungsweise kleiner reicht auch.
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So, und dieses System der Intervalle ist der wichtigste Spezialfall für ein erzeugendes System der Borelchen Sigma-Algebra. Und ich schreibe jetzt hier mit Gelb noch einen zweiten hin, beziehungsweise noch weitere, also auch das System der offenen Intervalle,
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der abgeschlossenen Intervalle, der Intervalle der Form, mindestens endlich bis a, oder der Intervalle, mindestens endlich bis a,
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wobei jetzt das offene Intervalle betrachtet wird.
46:05
So, und jetzt beende ich endlich mal den Satz hier. Das ist ein erzeugendes System von bn.
46:38
Also es gibt noch wesentlich mehr als diese, aber das reicht normal, weil treppe hat vor a, wenn man irgendwelche Beweise führen muss.
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So, Beweis, Stil, Integrationstheorie, beziehungsweise Maßtheorie.
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Gibt es Fragen soweit? Wie ist das Tempo bisher? Zu schnell, zu langsam, viel zu langsam?
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Okay, kommen wir zur nächsten Definition.
49:06
c ist ein Mengensystem in Omega mit leere Menge, Element c, eine Mengenfunktion von c nach r quer.
50:00
Also in den Abschluss von r, wo auch noch plus und minus und endlich enthalten sind.
50:23
Und als Konvention noch mit a plus und endlich ist ebenfalls plus und endlich gemeint. Das gilt für alle a aus r. Und unendlich plus unendlich ist ebenfalls unendlich, ja und so weiter.
50:58
Also die üblichen Konventionen fürs Rechnen mit unendlich.
51:07
Also ein solches Mengensystem, beziehungsweise eine solche Mengenfunktion, die heißt ein Inhalt, Englisch Content auf c.
51:29
Wenn gilt zunächst mal, mu soll null treu sein.
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Null treu heißt, dass die leere Menge, mu von der leeren Menge, gleich null sein soll. Mu ist positiv, das heißt, für alle a aus dem Mengensystem c, soll gelten, dass mu von a größer gleich null ist.
52:25
Und mu soll additiv sein, das heißt, für alle paarweise disjunkten Mengen a n.
52:42
Also für alle paarweise disjunkten a n aus c, wobei n wieder die natürlichen Zahlen durchläuft.
53:08
Also alle natürlichen Zahlen bis m. Und außerdem braucht man das die Summe n gleich 1 bis m a n.
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Das soll eine Abkürzung sein für die Vereinigung. Also das ist eine Abkürzung in diesem Fall, wenn wir nur paarweise disjunkte Mengen betrachten. Dann kann man also die Summe schreiben anstelle von der Vereinigung.
53:47
Sofern das hier ein c ist, gilt das mu von dieser Summe n gleich 1 bis m a n, ist gleich die Summe n gleich 1 bis m mu von a n.
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Der Teil b ist dann die entsprechende Definition für ein Maß, Englisch mesher.
55:02
Wenn gilt mu ist null treu, mu ist positiv, ja in dem Sinne wie gerade eben.
55:20
Und mu ist sigma additiv, das heißt, für alle paarweise disjunkten a n aus c.
55:53
Diesmal läuft n die ganzen natürlichen Zahlen durch.
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Und auch hier muss man wieder voraussetzen, dass a n, also diese Vereinigungen der paarweise disjunkten Mengen a n, wieder in c enthalten sind.
56:29
Und auch hier soll wieder gelten, dass mu von Summe n gleich 1 bis unendlich a n gleich Summe n gleich 1 bis unendlich mu von a n ist.
57:04
So und jetzt noch ein kurzes Anmerken dazu. In dieser Form steht diese Definition für Inhalt und Maß nur selten in irgendwelchen Büchern. Meistens wird vorausgesetzt, dass man beim Inhalt eine Algebra hat und bei Maß eine Sigma-Algebra als zugrunde liegendes Mengensystem.
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Und das sind auch die natürlichen Definitionsbereiche für diese, für Inhalte und Maße. Also natürliche Definitionsbereiche für Inhalt und Maß sind Algebren beziehungsweise Sigma-Algebren.
58:28
Ja und im Falle von, wenn man jetzt eine Algebra benutzt, dann kann man sich natürlich hier unten diese Voraussetzung sparen, dass die Vereinigung von diesen Mengen wieder in c drin liegt. Weil in der Algebra ist das sowieso der Fall. In der Algebra habe
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ich immer diese Eigenschaft, dass endliche Vereinigungen wieder in dem Mengensystem drin liegen. Und entsprechend bei der Sigma-Algebra weiß ich auch, dass diese Summe beziehungsweise diese Vereinigung wieder in dem Mengensystem drin liegt. Ja, deshalb könnte man auch hier einfach voraussetzen, seit c eine Algebra, dann
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ist ein Inhalt auf dieser Algebra eine Abbildung wie Nulltreue, positiv und additiv ist.
59:25
Gibt es da zu fragen?
01:00:04
So und jeder, der die Einführung nicht doch hastig gehört hat, und das sollten alle, die hier im Raum sitzen, sein, wird wissen, dass sich ein Wahrscheinlichkeitsmaß von einem Maß nur durch die Eigenschaften unterscheidet, dass bei einem Wahrscheinlichkeitsmaß
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das Maß von der gesamten Menge, also das Maß von Omega, eins ist. Dementsprechend kann man ziemlich oft nur mit Eigenschaften,
01:00:44
die alle Maße haben, schon ziemlich weit kommen. Und an einigen Stellen geht dann halt immer noch die Normiertheit, also das Maß von der Gesamtmenge, eins ist ein.
01:01:06
So, noch kurze triviale Folgerung. Also klar ist, jedes Maß ist ein Inhalt.
01:01:48
Jedes Maß ist ein Inhalt, denn es gilt µ von Summe n gleich 1 bis m, a n.
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Das ist das Gleiche wie µ von n gleich 1 bis unendlich a n mit a n gleich Leeremenge für n größer als m.
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Ja, also was ich hier dann einfach mache, ist, ich füge die leere Menge hinzu, zu dieser Vereinigung, die leere Menge ist natürlich desjungt zu jeder anderen Menge
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und dadurch ändere ich nichts an dem Maß auf der rechten Seite. Und die leere Menge ist ja auf jeden Fall in der Sigma-Algebra enthalten, insofern habe ich da keine Probleme.
01:03:05
So, und das, was wir vorhin mit Messraum hatten, kommt jetzt mit Maßraum, also ist a eine Sigma-Algebra in Omega.
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Man könnte auch sagen, ist Omega a ein Messraum und µ ein Maß auf a.
01:03:48
So heißt das Tripel Omega a µ ein Maßraum.
01:04:14
Und jetzt noch ein Spezialfall für ein Maß ist Omega a ein Messraum.
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Die Menge z, bestehend aus z1, z2 und so weiter,
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eine höchstens absehbare Teilmenge von Omega,
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so kann man das folgende Maß definieren,
01:05:24
also so heißt µ von der Sigma-Algebra a nach r, nach r quer, mit µ von a gleich die Anzahl der Zi aus a,
01:06:05
wobei a aus der Sigma-Algebra ist, ein abzählendes Maß.
01:07:03
So, kommen wir zum nächsten Lemma, sei a eine Sigma-Algebra in Omega und µ ein Inhalt auf a,
01:07:56
dann gilt µ ist monoton, ja, zur Veränderung,
01:08:16
das heißt, wenn ab aus a sind und a eine Teilmenge von b ist,
01:08:31
dann folgt daraus, dass µ von a kleiner gleich µ von b ist,
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b µ ist subadditiv, das heißt, wenn a1 bis am
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aus dem Mengensystem a sind, dann folgt daraus,
01:09:24
dass auch µ von der Vereinigung n gleich 1 bis m, a n kleiner gleich der Summe n gleich 1 bis m,
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µ von a n ist und c ist µ ein Maß, so ist µ sogar Sigma subadditiv,
01:10:13
das heißt, wenn a1, a2 und so weiter in a sind,
01:10:26
dann folgt daraus, dass µ von der Vereinigung n gleich 1 bis n endlich, a n kleiner gleich der Summe n gleich 1 bis n endlich, µ von a n ist.
01:12:04
So, zum Beweis, Teil a, ja, also b kann man schreiben als b ohne a vereinigt mit a,
01:12:29
ja, also geklammert ist hier so, diese Mengen sind disjunkt, also b ohne a und a sind natürlich disjunkte Mengen,
01:12:43
daraus folgt µ von b ist gleich µ von b ohne a plus µ von a, und wenn ich jetzt die Positivität ausnutze,
01:13:05
dann kann ich natürlich vorne das einfach weglassen, dann wird es höchstens kleiner, also das hier ist größer gleich µ von a, ja, und das ist gerade die Minotonie,
01:13:32
ja, Teil b geht grundsätzlich genauso, ich habe µ von der Vereinigung n gleich 1 bis m, a n,
01:13:43
das kann ich jetzt schreiben als µ von a 1 vereinigt a 2 ohne a 1, vereinigt a 3 ohne a 1, vereinigt a 2 und so weiter,
01:14:05
bis zu dem letzten Mengensystem, also man könnte das Ganze jetzt auch induktiv ein bisschen sauberer drauf schreiben, aber das sollte jetzt mal reichen, dann habe ich als letzte Menge a m ohne die vereinigten Mengen, die vorher schon da waren,
01:14:26
also ohne die Vereinigung n gleich 1 bis m minus 1 von den a n, jetzt kann ich die Additivität ausnutzen, dann hat man also das ist gleich µ von a 1 plus µ von a 2 ohne a 1 plus µ von
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a 3 ohne a 1 vereinigt a 2 plus und so weiter,
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bis µ von a m ohne n gleich 1 bis m minus 1 a n, und jetzt kann ich den Teil ausnutzen,
01:15:26
und dann habe ich µ von a 1 plus und so weiter, bis µ von a m hier steht,
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und der Teil c folgt wie b mit der Sigma-Additivität,
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oder aus der Sigma-Additivität, Entschuldigung, von Maßen.
01:16:48
So, als nächstes kommt eine Bemerkung, die jetzt ein bisschen mehr Richtung Wahrscheinlichkeitsmaße geht,
01:17:02
und zwar wenn a eine Algebra ist und µ ein endlicher Inhalt auf a,
01:17:23
ja, also endlicher Inhalt sollte klar sein, das heißt, ich schreibe es vielleicht dazu, das heißt, dass µ von ω echt kleiner und endlich ist, dann gilt Folgendes, wenn a, b aus a sind mit a Teilmenge von b,
01:17:54
dann folgt daraus, dass µ von b ohne a
01:18:01
gleich µ von b minus µ von a ist, ja, diese Eigenschaft nennt man Subtraktivität.
01:18:46
So, und ich würde sagen, das reicht für heute.
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