Präsentiert von OpenLearnWare, die Plattform für Lernmaterialien an der TU Darmstadt. Die Menge a' bei der Abbildung x, x oben minus 1 von a', also Abbildung mit der Eigenschaft x oben minus 1 von a' in Skript a für alle a' aus Skript a', die heißen messbar oder a' messbar und damit werden wir uns zunächst beschäftigen.

Es gibt dann 2.1, messbare Abbildungen und Zufallsvariablen und ich fange an mit Definition 2.1 und

da brauche ich erstmal die Definition des Urbilds und Eigenschaften, dann kommen Eigenschaften von dem Urbild und so weiter.

Wir haben zwei nicht leere Mengen, Omega und Omega' und wir haben eine Menge a' Teilmenge Omega' und

wir haben eine Abbildung x von Omega nach Omega' und dann betrachte ich die gleiche Menge wie gerade eben.

Also Omega in Omega, sodass x von Omega in a' liegt und für die Menge nimmt man in der Wahrscheinlichkeitstheorie traditionell eine Abkürzung und ich schreibe das hier mit rechteckigen Klammern, indem ich einfach sage symbolisch sei das die Menge wo x in a' drin liegt.

Es ist erstmal syntaktisch unsinnig, weil x eine Abbildung ist, a' eine Menge von Teilmengen von Omega', also x kann nicht in a' drin

liegen, aber es ist eben eine Abkürzung gemeint ist, es ist die Menge aller Omega in Omega, wo x von Omega in a' drin liegt. Und das macht man sehr häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie, dass man also, wenn man so rechteckige Klammern schreibt,

dann meint man die entsprechenden kleinen Omega und dann irgendwas drin reinschreibt, dann meint man die Menge der entsprechenden kleinen Omega, wo eben wenn ich in den Zufallsvariablen überall Omega einsetze, wo dann die entsprechende Bedingung erfüllt ist. Ok, das da ist eine Teilmenge von Omega, die heißt Urbild von a' bezüglich der Abbildung x

und damit kann ich eine Abbildung definieren, nämlich ich kann das als Funktionswert a' auffassen, dann bekomme ich eine Abbildung, die geht von der Potenzmenge von Omega', also von beliebigen Teilmengen von Omega', liefert

die mir immer eine Teilmenge von Omega, also in die Potenzmenge von Omega rein und diese Abbildung nenne ich Urbildfunktion. Also x oben minus eins geht von P von Omega' in P von Omega und

a' wird eben abgebildet auf diese Menge da oben, x Element a'. Das Ding heißt Urbildfunktion.

Und beachten Sie, das ist nicht das gleiche wie eine inverse Abbildung, weil eine inverse Abbildung, also wenn ich eine inverse Abbildung hinschreibe, dann würde ich ja dasjenige klein, also ein klein Omega' aus Groß Omega'

abbilden auf dasjenige Klein Omega, das genau, das mit x darauf abgebildet wird, also mit x von Omega' gleich Omega'. So eine inverse Abbildung muss nicht immer existieren, weil es kann ja sein, dass entweder keines der Elemente aus Omega auf ein festes Omega' abgebildet wird oder sogar, oder eventuell mehrere, aber diese Urbildabbildung existiert immer.

Also da habe ich kein Definitionsproblem und habe keine Voraussetzungen an die Abbildung.

Ja, ich überlege gerade, ob ich Ihnen erklären muss, wie das hier mit der Vorlesung so läuft. Sie reden, ich rede und so. Aber es kann sein, das haben Sie von mir sogar schon mal gehört. Okay, machen wir eine Bezeichnung. Wir nehmen die Notation von da oben, also x von

Omega' nach Omega'. Das ist eine Abbildung, zu der ich dann Urbild definieren, Urbildabbildung definieren kann. Ich habe ein Mengensystem in Omega'. Das heißt, ich habe ein Skript C'. Das ist jetzt

eine Teilmenge von der Potenzmenge von Omega'. Das heißt, es ist eine Menge von Teilmengen von Omega'. Und dann bezeichne ich x oben minus eins von C'. Das ist eine Abkürzung.

Das definiere ich als Menge aller x oben minus eins von C'. Jetzt ohne Skript. Wobei, oder ich habe hier A' geschrieben. Schauen wir hier vielleicht auch A'. Wobei A' in C' drin liegt. Das da ist eine Teilmenge von der Potenzmenge von Omega'.

Also nur eine Bezeichnung, die mir eben erlaubt, manche Sachen ein bisschen elementarer hinzuschreiben. Also wenn ich zum Beispiel hinschreiben will, alle diese Mengen x oben minus eins von A' mit A' alle mit C' liegen in einem weiteren Mengensystem drin, dann kann ich das so hinschreiben, dass ich sage,

x oben minus eins von C' ist eine Teilmenge von diesem Mengensystem. Okay, damit kann ich dann Satz zwei zwei formulieren. Und wir fangen langsam an, ein bisschen Aussagen zu machen. Wobei ich

gestehen muss, ich mache erstmal Aussagen, wo ich behaupte, das ist offensichtlich. Aber ich schreibe es trotzdem hin. Oder beziehungsweise nicht offensichtlich, sondern das könnte man aus dem ersten, zweiten Mathematiksemester kennen. Sei also x von Omega nach Omega' eine Abbildung. Die erste Aussage ist x

oben minus eins, also dieses Urbildbilden und gewisse oder alle möglichen Mengenoperationen sind vertauschbar. Also erste Aussage ist x oben minus eins und die Mengenoperationen. Ja

und jetzt fange ich mal an. Mit Vereinigung, beliebige Vereinigung, disjunkte Vereinigung, Schnitt, Komplementbildung und Differenzbildung sind vertauschbar. Und was meine ich damit? Damit meine ich Sachen wie zum Beispiel gilt,

also was meine ich, x oben minus eins und die Vereinigungen sind vertauschbar. Ich bilde x oben minus eins von der Vereinigung und da muss ich mit den Indizes ein bisschen aufpassen.

Oben minus eins von einer Vereinigung, Alpha aus, ich habe hier I geschrieben, A Alpha Strich. Und dann sage ich, jetzt kann ich einfach die Urbildbildung und den Vereinigungsoperator vertauschen. Das heißt, ich kann erst Vereinigen, Alpha aus I und dann das Urbildbilden. Also das ist

eine Aussage. Also für eine beliebige Indexmenge I, für beliebige Mengen A Alpha Strich aus Omega Strich, Alpha aus I, gilt Urbild von dieser Vereinigung ist Vereinigung der Urbilder. Und wenn Sie das begründen wollen, ohne die Tafel runter zu reißen,

und ich schreibe Ihnen die Begründung gleich mal dazu, dann machen Sie es halt elementweise. Also ich nehme Omega aus der linken Seite, Omega aus x oben minus eins von dieser Vereinigung A Alpha Strich.

Was heißt das? Das heißt, einerseits Omega ist ein Großomega drin und zweitens x von Omega liegt in der Vereinigung drin.

Dann nehmen Sie die Definition des Vereinigungsoperators. Das heißt, es existiert ein Alpha aus I, sodass x von Omega in A Alpha Strich liegt. Ja, aber es existiert, also x von Omega in A Alpha Strich ist ja wieder das Gleiche wie Omega ist in x oben minus eins von A Alpha Strich.

Und dann wandeln Sie den ersten Existenzquantor wieder in Vereinigungsquantor um, dann sehen Sie, ja, dann steht da letzten Endes da, Omega ist in der Vereinigung Alpha aus I,

x oben minus eins von A Alpha Strich und Sie sind fertig. Okay, soweit. Und jetzt

können Sie das Gleiche, also jetzt steht eben hier, das geht nicht nur mit der Vereinigung, das geht auch mit der Disjungtenvereinigung. Was heißt das? Das heißt, in dem Fall, dass die Urbilder auch wieder disjungt sein müssen, aber das ist klar, weil wenn Sie ein Element haben, dessen zwei diese Urbilder drin ist, dann ist es, oder im

Schnitt von zwei Urbilder, dann ist auch x von diesem Element im Schnitt der beiden Bilder drin. Genau das Gleiche können Sie mit dem Schnittoperator machen, das Gleiche können Sie mit dem Komplementoperator machen, wobei Sie aufpassen müssen beim Komplement.

Wenn ich hier außen ein Komplement habe, dann bilde ich ja die Mengendifferenz zu Omega werden, wenn ich hier innen dann ein Komplement habe, dann bilde ich die Mengendifferenz zu Omega Strich. Und das Gleiche gilt mit der Differenzbildung. Also im Prinzip alles elementar nachrechenbar könnten Sie schon mal gesehen haben, ich möchte es nicht weiter begründen.

B-Teil, ebenfalls mehr oder weniger offensichtlich, das eine ist x oben minus eins und die leere Menge ist die leere Menge, das ist klar,

weil wenn Sie sich überlegen, wie sieht die Menge aller Omega aus, wo x von Omega an der leeren Menge liegt, nun diese letzte Bedingung ist nie erfüllt, also muss es die leere Menge sein. Dann x oben minus eins von Omega Strich ist Omega, das ist auch klar nach Definition der Abbildung,

jedes einzelne Element Omega aus Omega hat ja die Eigenschaft, dass x von Omega an Omega Strich liegen. Und dritte Eigenschaft, wenn A Strich Teilmenge B Strich Teilmenge Omega Strich ist, dann folgt daraus x oben minus eins von A Strich ist eine Teilmenge von x oben minus eins von D Strich.

Auch das folgt eigentlich unmittelbar aus der Definition. Jetzt kommen zwei Sachen, die ich begründen werde, Teil C und D. Teil C bereitet eigentlich Teil D vor.

Wenn A Strich eine Sigma-Algebra in Omega Strich ist, dann ist die Aussage x oben minus eins von A Strich ist eine Sigma-Algebra in Omega.

Und das dritte ist was, was es noch als recht nützlich erweisen wird im Weiteren,

ist die Aussage, wenn C Strich eine Teilmenge von der Potenzmenge von Omega Strich ist, dann kann ich einerseits x oben minus eins von der von C Strich in Omega Strich erzeugten Sigma-Algebra, das schreibe ich mit f, Index Omega Strich von C Strich betrachten.

Und andererseits kann ich x oben minus eins von C Strich unmittelbar betrachten. Das ist ein Teilmenge von Omega und kann dadurch die kleinste in Omega

erzeugte Sigma-Algebra betrachten. Und die Aussage ist, diese beiden Mengen sind gleich. Also C und D werden wir gleich noch zeigen. A ist Element, A und B sind elementar.

Ok, kommen wir zum Beweis von Satz 2, 2. A und B sind elementar, also mache ich nicht weiter.

C, ich möchte begründen, das Urbild von oder das Mengensystem, das besteht aus allen Urbildern von Mengen einer Sigma-Algebra in Omega Strich, ist selbst eine Sigma-Algebra in Omega. Was muss ich dafür zeigen? Leere Menge ist drin, Komplement ist drin, also fangen wir mal an mit der leeren Menge.

Die leere Menge muss drin sein, warum ist die leere Menge drin? Die leere Menge ist drin wegen B und B war x oben minus eins von der leeren Menge ist die leere Menge.

Das heißt, die leere Menge kann ich schreiben als x oben minus eins von der leeren Menge. Das ist also in x oben minus eins von A Strich, da die leere Menge ja selber in A Strich drin liegt, weil A Strich eine Sigma-Algebra war.

Dann zweiter Punkt, das Komplement soll drin sein, also wir nehmen uns eine beliebige Menge raus aus x oben minus eins von A Strich. Das sei ein A, das ist gleich x oben minus eins von A Strich, für ein A Strich aus Skript A Strich.

Und zeigen möchte ich, das Komplement von A liegt auch drin, ja dann bilden wir AC, das

ist, ich schreibe es mal ausführlich hin, x oben minus eins von A Strich und dann das Komplement. Und was ich da jetzt eben machen kann, ich wende A an, dass x oben minus eins und die Komplementbildung vertauschbar ist. Das heißt, das ist nach A x oben minus eins vom Komplement von A Strich und ja, da geht mir die Zeile aus.

Das ist jetzt eben in der Sigma-Algebra x oben minus eins von Skript A Strich, da

eben das Komplement von A Strich in Skript A Strich drin liegt, weil das eine Sigma-Algebra war.

Ja, und dann fehlt noch die dritte Eigenschaft, die dritte Eigenschaft ist, ja was ist die dritte Eigenschaft? Vorschlag? Die Vereinigung, dritte Vorschlag ist die Vereinigung, ja, noch nicht ganz, aber die abzählbare Vereinigung, was soll mir der sein?

Die muss auch drin liegen, also wenn wir Mengen haben, dann muss auch die abzählbare Vereinigung drin liegen. Also wir haben A n, ja wir haben Mengen A n aus x oben minus eins von A Strich für n Element n.

Dann kann ich die schreiben, die Mengen A n als Urbilder von Mengen A n Strich aus A Strich, sodass A n gleich x oben minus eins von A n Strich ist.

Und dann sehen Sie die Vereinigung der A n, da nehme ich wieder A, den Vereinigungsoperator kann ich in das Urbild reinziehen bis x oben minus eins von der Vereinigung n Element n der A n Strich.

Die Vereinigung der n Element der n der A n Strich ist in A Strich enthalten, weil das A Strich eine Sigma-Algebra ist, also ist das Ganze in x oben minus eins von A Strich enthalten.

Und ich habe irgendwie zu wenig gewischt. Okay, Fragen soweit? Alles klar, dann kommen wir jetzt zu D. D ist ein bisschen interessanter.

Wir wollen zeigen, diese linke Menge ist gleich der rechte Menge. Wir zeigen es, wie so oft, indem wir eben zwei Teilmengenbeziehungen zeigen.

Wir zeigen, links ist eine Teilmenge von rechts und wir zeigen, rechts ist eine Teilmenge von links. Und wie so oft ist eine der beiden Teilmengenbeziehungen trivial und die andere nicht, sehen Sie welche fast offensichtlich ist oder relativ einfach.

Von rechts nach links ist einfacher, dann fangen wir mal von rechts nach links an, das heißt rechts nach links ist die Beziehung und Sie haben auch vollständig recht.

Warum ist das einfacher? Naja, das eine ist trivial. Ich sehe nämlich sofort, wenn ich die erzeugte Sigma-Algebra weglasse, dann ist x oben minus eins von C Strich eine Teilmenge von x oben minus eins von f Omega Strich von C Strich.

Einfach weil C Strich eine Teilmenge von f Omega Strich ist und jetzt verwenden wir den Teil C. Wir wissen, die rechte Seite ist eine Sigma-Algebra, als Oberbild einer Sigma-Algebra.

Das Erzeugersystem oder dieses Mengensystem ist drin enthalten, also ist auch die kleine Sigma-Algebra, die dieses Mengensystem enthält, drin enthalten. Also ist auch f Omega von x oben minus eins von C Strich eine Teilmenge davon.

Okay, also die Richtung war leicht und ich habe Ihnen den ersten Schritt nicht hingeschrieben, also eigentlich hätte ich

hinschreiben müssen, als erstes C Strich ist eine Teilmenge von f Omega Strich von C Strich, was trivial ist. Und dann wenden wir B an, diese A Strich Teilmenge B Strich, daraus ist x oben minus eins von A Strich Teilmenge x oben minus, ne, oder, wenden wir an.

Ne, wir haben so Mengensysteme und da ist es dann unmittelbar eine Definition des Mengensystems. Wenn das eine Mengensystem eine Teilmenge vom anderen Mengensystem ist, ist es klar, x oben minus eins vom einen Mengensystem ist eine Teilmenge von x oben minus eins vom anderen Mengensystem. Okay, der zweite Teil geht über einen Mengen-Hilfssystem.

Ich gucke mir an, ein Mengen-Hilfssystem aq bestehend aus, ja, am besten abschreiben, der Menge aller aq in Omega, so dass Omega Strich, so dass x oben minus eins von aq in f Omega von x oben minus eins von C Strich drin liegt.

Also ich gucke mir dieses Mengen-Hilfssystem an, das ist ein typischer Beweis aus der Maßtheorie, also häufig gehen diese Beweise über Mengen-Hilfssysteme. Sobald ich das Mengen-Hilfssystem mal sauber oder richtig hingeschrieben habe, ist der restliche Beweis einfach.

Und das ist jetzt eine Teilmenge der Potenzmenge von Omega Strich. Und was ich behaupte, das Ding, was da steht, ist eine Sigma-Algebra in Omega Strich. Also ist Sigma-Algebra, ja, warum gilt das?

Naja, Sie müssen eben die Definition, die drei definierenden Eigenschaften der Sigma-Algebra durchgehen. Also die Leerermenge muss drin sein. Ja, x oben minus eins von der Leerermenge ist die Leerermenge, die ist natürlich in dieser Sigma-Algebra hier enthalten. Wenn eine Menge drin ist, muss Ihr Komplement drin sein. Also Sie schnappen sich eine Menge, da ist das schon mal erfüllt.

Sie bilden dann das Komplement der Menge, dann können Sie auch genauso gut. Also dann haben Sie hier den Komplement-Operator, den können Sie aber dann rausziehen, weil Sie eben Urbild mit Komplement vertauschen können. Sie wissen, die ursprüngliche Menge liegt drin, dann liegt auch Ihr Komplement drin. Weil das, was hier rechts steht, eine Sigma-Algebra ist.

Und dritte Eigenschaft, Abschluss bezüglich der Vereinigung abzählbar. Sie haben also eine abzählbare Vereinigung, haben hier eine abzählbare Vereinigung, können die wieder rausziehen. Und da das eine Sigma-Algebra ist, ist es abgeschlossen bezüglich abzählbarer Vereinigung. Also es ist relativ elementar zu sehen, das ist eine Sigma-Algebra in Omega Strich.

Ich glaube, ich brauche es nicht hinschreiben, oder? Beweis. Mit welcher Eigenschaft? Na ja, mit C Strich liegt drin.

C Strich ist eine Teilmenge von A quer. Und auch das sehen Sie unmittelbar, wenn ich eine Menge aus C Strich habe, also Menge A Strich aus Skript C Strich, dann ist x oben minus eins von diesem Urbild eben in x oben minus eins von C Strich enthalten.

Und damit auch in der kleinsten Sigma-Algebra, die dieses Mengensystem enthält, enthalten. Ja, daraus folgt aber auch, dass die von C Strich erzeugte Sigma-Algebra in A quer enthalten ist.

Also F Omega Strich von C Strich ist ebenfalls eine Teilmenge von A quer. Und was haben Sie dann gezeigt? Dann haben Sie gezeigt, für jede Menge aus F Omega Strich von C Strich liegt das Urbild in F Omega von x oben minus eins von C Strich.

Also daraus folgt mit der Definition von A quer, dass x oben minus eins von F Omega Strich von C Strich

in der Tat eine Teilmenge von F Omega von x oben minus eins von C Strich ist. Und das war glaube ich zu zeigen. Also ich wollte gerade zeigen, linke Seite ist eine Teilmenge von der rechten Seite

und unten steht linke Seite ist eine Teilmenge von der rechten Seite. Fragen soweit? Keine Fragen. Dann würde ich fünf Minuten Pause machen und so lange die Tafel mischen.

Kommen wir zur Definition 2-3, der Definition der Messbarkeit. Ich habe Messräume Omega A Omega Strich A Strich, also jeweils Mengen mit Sigma-Algebra drin.

Eine Abbildung x von Omega nach Omega Strich heißt A A Strich messbar.

Wenn eben x oben minus eins von einer Menge A Strich immer in Mengensystem Skript A liegt, für alle Mengen A Strich aus Skript A Strich. Also Abbildung x von Omega nach Omega Strich heißt A A Strich messbar.

Und kurz sage ich dazu nur messbar, wenn eben klar sind, da ist was sind die Sigma-Algebra, auf die man sich bezieht.

Genau dann, wenn gilt, für alle A Strich aus Skript A Strich ist x oben minus eins von A Strich in A enthalten.

Und das kann ich kürzer, äquivalent umformen mit unseren Abkürzungen von oben. Ich kann einfach sagen x oben minus eins von der Sigma-Algebra A Strich ist eine Teilmenge von der Sigma-Algebra A.

Und ich verwende dafür eine abkürzende Schreibweise, indem ich bei der Abbildung einfach schreibe, statt Abbildung von Omega nach Omega Strich schreibe ich Abbildung von Omega, A nach Omega Strich A Strich. Also Schreibweise x geht von Omega A nach Omega Strich A Strich.

Und was wir jetzt im Folgenden machen ist, wir gucken uns diese messbaren Abbildungen ein bisschen genauer an. Also welche Abbildungen sind überhaupt messbar? Und das ist halt später unsere Voraussetzung, dass wir dieses Wahrscheinlichkeitsmaß P x, die sogenannte Verteilung, überhaupt definieren können. Dann muss eben P von diesem Urbild x oben minus eins von A Strich im Definitionsbereich von P, also der Sigma-Algebra A, liegen.

Okay, eine Bemerkung dazu. Nach unserem Satz von gerade eben war x oben minus eins von A Strich eine Sigma-Algebra.

Und jetzt sehen Sie auch, da diese Sigma-Algebra in jeder Sigma-Algebra enthalten sein muss, die für die x A A Strich messbar ist, ist diese Sigma-Algebra die kleinste Sigma-Algebra mit A mit A A Strich messbarkeit von x.

Also x oben minus eins von A Strich ist kleinste Sigma-Algebra in Omega mit x ist A A Strich messbar.

Dann kommen wir zur Definition der Zufallsvariable.

Zufallsvariable ist nichts anderes als eine messbare Abbildung, wo eben im Definitionsbereich noch ein Wahrscheinlichkeitsmaß definiert ist. Also 2,5 Definition. Wir haben im Wahrscheinlichkeitsraum Omega A P, Messraum Omega Strich A Strich.

Und dann heißt jede Abbildung x von Omega A nach Omega Strich A Strich Zufallsvariable. Also x von Omega A nach Omega Strich A Strich heißt Zufallsvariable.

Ja, das kann ich ein bisschen ausführlicher hinschreiben. Ich kann sagen Zufallsvariable auf Omega A P. Ich kann dazuschreiben mit Zustandsraum Omega Strich.

Oder ich kann noch ausführlicher hinschreiben eine Omega Strich A Strich Zufallsvariable auf Omega A P. Aber schreibweisen spare ich mir vielleicht. Letzten Endes werden wir immer Zufallsvariable dafür sagen und werden halt davon ausgehen,

dass die entsprechenden Sigma-Algebren und das Wahrscheinlichkeitsmaß klar ist. Von der reellen Zufallsvariable spricht man, wenn Omega Strich A Strich gleich RB ist. Also wenn der Wertebereich gerade die reellen Zahlen sind. Und ich nehme die borealische Sigma-Algebra darauf.

Also x von Omega A nach RB heißt reelle Zufallsvariable.

Dann ab und zu brauche ich erweiterte reellwertige Zufallsvariablen. Also ich brauche Zufallsvariablen, wo im Prinzip auch der Wert unendlich vorkommen kann. Nehmen Sie an, ich werfe ein Würfel so oft, bis er zum ersten Mal mit 6 oben landet. Im Prinzip kann es passieren, ich muss ihn dann unendlich oft werfen. Das heißt, es könnte auch vorkommen, dass die Anzahl der Würfe eben unendlich ist.

Also das mache ich Omega A, Wertebereich R quer. Und dann brauche ich auf R quer die Sigma-Algebra, die nenne ich B quer, kommt gleich noch. Heißt erweiterte reelle Zufallsvariable.

Und ich muss Ihnen noch sagen, was B quer ist.

Und ich nehme einfach alle Mengen aus B und tue entweder nichts dazu oder ich tue unendlich dazu. Oder ich tue Minus unendlich unendlich dazu. Das heißt, ich nehme B, B vereinigt mit Plus unendlich. Ach so, B vereinigt mit nur, Minus unendlich.

Oder B vereinigt mit beiden, Plus unendlich, Minus unendlich. Und B ist aus B.

Dann kann ich auch Zufallsvariablen betrachten, wo das Bild ein ganzer Vektor ist. Das ist ein endimensionaler Zufallsvektor. Dann nehme ich als Bildbereich R, N, B, N.

Heißt endimensionaler Zufallsvektor.

Und wenn ich in so eine Zufallsvariable einen kleinen Omega einsetze, dann spreche ich von einer Realisierung. Also X von Omega für ein Omega aus Groß-Omega heißt Realisierung der Zufallsvariablen X.

Okay, also was hatten wir jetzt? Wir hatten die eine Definition, Messbarkeit. Klar, Urbilder von messbaren Mengen müssen wieder messbar sein. Und die zweite Definition, Zufallsvariable, nichts anderes als eine messbare Abbildung,

wo ich eben im Definitionsbereich noch einen Wahrscheinlichkeitsraum zugrunde gelegt habe. Und dann gibt es die Spezialfälle, reelle Zufallsvariable, wenn die Zufallsvariable reelle Werte annimmt, erweitert reelle Zufallsvariable, wenn die Werte in R quer liegen,

endimensionaler Zufallsvektor, wenn die Werte in R oben N liegen. Okay, und jetzt kommt eine Vielzahl von kleinen Sätzen. Ich werde meistens zumindest eine Beweisidee angeben. Eine oder zwei werde ich sagen ist Integrationstheorie, das wäre ein bisschen schwieriger.

Aber die meisten sind so, dass der eine mir unmittelbar aus dem anderen folgt. Wir fangen mal an mit Satz 2.6. Also was ich jetzt mache, ich charakterisiere diese ganzen messbaren. Also die messbaren Abbildungen sind das, was wir eben brauchen, um den Begriff der Zufallsvariablen sauber zu haben.

Und jetzt müssen wir uns genauer angucken, was sind überhaupt messbare Abbildungen? Welche Abbildungen sind überhaupt messbar? Und so weiter. Ja, Satz 2.6, wir haben Messräume omega a, omega strich a strich.

Wir haben eine x, so eine Abbildung von omega nach omega strich. Ich habe ein Erzeugersystem c strich von a strich.

Also, ja ich schreibe es mal so hin. Oder ich schreibe es so hin, a strich ist gleich die in omega strich von c strich erzeugte Sigma-Algebra. Und die Behauptung ist, dann gilt, x ist messbar.

Nach Definition genau dann, wenn das Urbild von der Sigma-Algebra a strich in der Sigma-Algebra a drin liegt. Und die äquivalente Formulierung ist x o minus 1 von c strich, ist Teilmenge von a.

Haben Sie Fragen so weit?

Gut, sieht jemand einen Beweis? Wie zeigen Sie das? Also der Vorschlag war, Sie schauen sich die an, die an dem Urbild in der Sigma-Algebra drin sind.

Und zeigen, dass es eine Sigma-Algebra ist, die c strich enthält. Einfacher wäre natürlich, wir nehmen direkt den Beweis, den wir genauso bewiesen haben. Oder genau den Satz, den wir genauso bewiesen haben und wenden den an. Also es sind zwei Richtungen. Die eine Richtung ist trivial.

Von da nach da ist trivial, weil ja c strich eine Teilmenge von der Sigma-Algebra a strich ist. Also ich muss nur das da beweisen, von rechts nach links. Und das sehen Sie so, wenn eben x o minus 1 von c strich eine Teilmenge von a ist.

Dann können Sie sich auch angucken, x o minus 1 von a strich soll eine Teilmenge von a sein. Nach Voraussetzung war das ja das Urbild x o minus 1 von der von c strich in Omega strich erzeugten Sigma-Algebra.

Jetzt wenden Sie den Satz von oben an, wo ich eben dieses Erzeugungssystem, dieses Erzeugnis rausziehen konnte. Und dann entsprechend schreiben konnte, das ist f Omega von x o minus 1 von c strich.

Das war Satz 2, 2d. Ja und dann sehen Sie, das ist jetzt eine Teilmenge aber von a,

weil das a ist eine Sigma-Algebra und x o minus 1 von c strich soll eine Teilmenge von a strich sein.

Da a Sigma-Algebra mit x o minus 1 c strich ist eine Teilmenge von a. Okay und mehr muss ich daran nicht zeigen, weil die andere Richtung ist trivial

und die eine, die nicht trivial ist, habe ich begründet.

Dann kommen wir zu Satz 2, 7. Wir haben einen Messraum Omega a, ein x von Omega nach r quer.

Dann gilt x bis a wie quer messbar.

Genau dann, wenn was gilt, zum Beispiel für alle Alpha aus r, das Ereignis, dass x kleiner gleich Alpha ist, das ist ein a. Und mit dem Ereignis, meine ich, das ist formal noch nicht eingeführt,

aber ich meine wieder, dass ich eben hinschreibe, das ist die Menge aller Klein-Omega in Groß-Omega, wo eben x von Omega kleiner gleich Alpha ist.

Oder anders ausgedrückt, das ist das Urbild x o minus 1 vom Minus endlich bis Alpha. Und genauso kann ich hier kleiner schreiben oder größer gleich. Also genauso für alle Alpha aus r, x kleiner Alpha ist ein a.

Und für alle Alpha aus r, x größer Alpha ist ein a.

Ich könnte das mittlerweile links auch zumachen, logisch. Sie haben vollständig recht, wenn die Abbildung nach r quer geht, meine ich eigentlich auch, dass es zu ist. Also ich müsste da nicht sogar hinschreiben mit zu. Aber ja.

Also gemeint ist de facto nicht das offene, sondern das abgeschlossene Intervall, wenn ich über r quer rede. Aber das ist natürlich so eine unangenehme Sache an dem ganzen Satz, dass ich da über r quer rede. Logischer wäre, ich formuliere das Ganze eigentlich für r und lasse diese Klammer hier weg.

Und wenn ich das Ganze für r formuliere, könnten Sie mir vermutlich auch sagen, wie Sie es beweisen würden. Sie nutzen einfach aus die halboffenen Intervalle. Also von Minus nennendlich bis Alpha sind ein Erzeuger aus b.

Das heißt, Sie brauchen jetzt Sachen aus der Integrationstheorie. Die begründe ich nicht. Das wäre eine Charakterisierung der Erzeuger von der Boreltschen Sigma-Algebra. Wir haben schon in der Definition gesehen, das sind die offenen Mengen. Aber genauso gut kann man eben auch die abgeschlossenen Mengen nehmen. Das ist klar, weil das Komplementen der offenen sind. Aber wir können eben auch so halboffene Intervalle nehmen oder alle möglichen Intervalle. Und dann sieht man, ja, was hier eigentlich steht, ist genau die Bedingung aus dem Satz 2, 6 davor,

dass das Urbild von dem Erzeuger-System in A drin sein muss. Und ein bisschen blöd ist jetzt hier eben zu sehen, das gilt genauso auch für b quer. Also man muss sich klarmachen, auch das Ding ist ein Erzeuger von der Sigma-Algebra da oben,

die ich hingeschrieben habe, b quer. Man muss sich klarmachen, dass b quer überhaupt eine Sigma-Algebra usw. Aber das sind so technische Sachen, die möchte ich hier nicht machen. Also, ich schreibe mal hin, Beweis, der Satz 2, 6 und Erzeuger von b quer.

Von b beziehungsweise, also wir brauchen dann eigentlich b quer. Und da mache ich Vergleiche-Integrationstheorie.

Ich habe Ihnen übrigens das Skript von mir zur Maßstheorie auf die Homepage von der Wahrscheinlichkeitstheorie gesetzt. Der Herr Fromkott hat das gemacht. Das heißt, Sie können auch da Sachen nachlesen.

Wobei, das genau habe ich damals in der Maßstheorie auch nicht, oder habe ich in dem Skript auch nicht gemacht, weil das so technische Kleinigkeiten. Also, mit b ist es klar. Mit b finden Sie es da und mit b quer muss man eben sagen, ja, das geht eigentlich analog.

Dann kommen wir zum Corollar. 2, 8 Corollar. Für zwei messbare Abbildungen x, y von Omega a nach r quer b quer gilt.

Ich betrachte das Ereignis, dass x kleiner als y ist.

Und es ist eben definiert als die Menge aller Klein-Omega in Groß-Omega, wo x von Omega kleiner als y von Omega ist.

Oder ich betrachte, dass das Ereignis, dass x kleiner als y ist. Oder, dass x gleich als y ist. Oder, dass x ungleich als y ist.

Und alle diese Ereignisse sind in der Sigma-Algebra a im Definitionsbereich enthalten.

Also, wenn ich zwei Zufallsvariablen habe, definiert auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum Omega a p, dann kann ich zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit hinschreiben, dass die erste kleiner als die zweite ist. Weil, dass diese Menge aller Klein-Omega aus Groß-Omega, wo x von Omega kleiner als y von Omega ist, eben in dem Definitionsbereich a von dem Wahrscheinlichkeitsmaß p liegt.

Das ist die Aussage hier. Okay. Jetzt könnte ich die hintere Tafel wieder hochschieben und die vordere runter. Das Problem ist allerdings, wenn ich die hintere Tafel hochschiebe, kriege ich sehr kaum wieder runter. Was so ein bisschen dagegen spricht.

Also, ich habe das noch nicht so ganz kapiert hier. Weil, wenn man da nämlich unten fest daran zieht, dann hat man irgendwann dieses untere Blech in der Hand. Was wahrscheinlich nicht so gut wäre. Könnte ich mir vorstellen.

Okay, mal Beweis von Corolla 2.8. Ich will begründen, dass die Menge der x kleiner als y oder die Menge aller Omega,

wo x von Omega kleiner als y ist, in der Sigma-Algebra liegt. Und die Idee ist, ich schreibe das als Vereinigung von allen Mengen, wo ich einerseits fordere, x soll kleiner als eine Zahl r sein.

Und zweitens, y soll größer als r sein. Und vereinige über alle r. Und ich weiß von unserem vorigen Satz 2.7, dass Mengen von dieser Form eben in der Sigma-Algebra A enthalten sind.

Und nütze dann aus, dass die Sigma-Algebra abgeschlossen ist bezüglich Vereinigung. Und dann sehen Sie vielleicht, dann ist ein Fehler im Beweis. Weil die Sigma-Algebra ist nicht abgeschlossen bezüglich beliebiger Vereinigung, sondern bezüglich abzählbarer Vereinigung.

Aber Sie sehen vielleicht auch, wie ich den Beweis retten kann. R aus Q. Ich nehme nur rationale Zahlen hier. Wenn ich weiß, dass das x von Omega kleiner als y von Omega ist, dann passt zwischen die beiden noch eine rationale Zahl.

Also ich finde dann eine rationale Zahl, sodass x von Omega kleiner gleich der rationalen Zahl ist und y von Omega größer als der rationalen Zahl ist. Und die rationalen Zahlen sind abzählbar, deswegen ist es hier eine abzählbare Vereinigung. Und diese Mengen sind in A nach dem vorigen Satz.

Das war Satz 2.7. Dann ist das Ding in A da A Sigma-Algebra. Okay, dann brauche ich x kleiner als y.

Ja, den Rest folge ich jetzt daraus. x kleiner als y. Gucke ich mir das Komplement an, dann ist x größer als y. Also y kleiner als x. Davon nehme ich das Komplement.

Ich weiß aus dem ersten Teil, y kleiner als x ist drin. Damit ist auch das Komplement in der Sigma-Algebra drin. Ich gucke mir x gleich y an und schreibe das eben als Schnitt von x kleiner gleich y und y kleiner gleich x.

Und ich gucke mir x ungleich y an und schreibe es eben als Komplement von x gleich y.

Und horrende eben immer nach den vorigen Beweisschritten sind die entsprechenden Mengen, die ich da bilde, schon in der Sigma-Algebra A enthalten. Und da es eine Sigma-Algebra ist, ist sie eben abgeschlossen, zum Beispiel bezüglich der endlichen Schnittbildung oder bezüglich der Komplementbildung.

Gut, Fragen soweit? Keine Fragen.

Dann kommen wir zu Satz 2.9. Gleich kann ich Sie nach dem Beweis fragen und Sie wissen es nicht.

Ja, ist fies, ne? Aber wir werden sehen, vielleicht wissen Sie den auch noch. Sei die leere Menge ungleich A Teilmenge Rm. Ich betrachte die sogenannte Spur Sigma-Algebra von Bm in A.

Das heißt, ich bilde A geschnitten mit dem Mengensystem Bm. Und ich meine damit, dass ich jede einzelne Menge aus B mit A schneide oder aus Bm mit A schneide.

Und jetzt können Sie entweder elementar nachrechnen, dass es eine Sigma-Algebra ist und zwar eine Sigma-Algebra in A diesmal, das ist eine Teilmenge von A und ich sage, das ist eine Sigma-Algebra in A. Oder Sie machen sich klar, das ist das Ur-Bild von Bm, also A ist ja auch eine Teilmenge von Rm, bei der Injektion von A nach Rm.

Das heißt, ich bilde A nach Rm ab und bilde ein X einfach auf ein X selber ab. Ich bilde dann das Ur-Bild, dann bekomme ich gerade das raus und wir wissen, Ur-Bilder von Sigma-Algebra sind Sigma-Algebra. Dann sehen Sie, dass es in der Tat eine Sigma-Algebra ist und die Behauptung ist, jede stetige Abbildung, Bildung

G von A nach Rm ist jetzt messbar und zwar messbar bezüglich der Spur-Sigma-Algebra von Bm auf A.

Also A geschnitten Bm strich Bn messbar. Das Ganze wäre schon fast oder relativ einfach, wenn ich behaupten würde, jede stetige Abbildung von Rm nach Rn wäre messbar,

weil dann könnte ich diese Charakterisierung von vorhin ausnutzen. Ich brauche nur einen Erzeuger von der Sigma-Algebra Bm und muss zeigen, die Ur-Bilder von dieser Sigma

-Algebra bei der Abbildung, bei meiner stetigen Abbildung aus dieser Sigma-Algebra liegen in der Sigma-Algebra Bm drin. Und wenn Sie mal ein bisschen Topologie gemacht haben, dann haben Sie mal gehört, Ur -Bilder oder vielleicht sogar ein Analysis, Ur-Bilder von offenen Mengen sind offen bei stetigen Abbildungen. Das ist eine Charakterisierung der Stetigkeit.

Das heißt, wenn ich hier eine stetige Abbildung von Rm nach Rm habe, dann sind die Ur-Bilder offenen Mengen offen. Die offenen Mengen sind ein Erzeuger von Bm. Die Ur-Bilder sind auch offen und damit liegen sie auch in Bm drin. Und mit dem Satz 2.6 hätte ich das mit einem Schlag erschlagen. Nur möchte ich es hier gleich ein bisschen allgemeiner formulieren.

Warum weiß ich eigentlich auch nicht, aber irgendwie. Okay, hat jemand einen Vorschlag für den allgemeineren Beweis? Ja, den Beweis vom Satz 2.9.

Also ich habe Ihnen gerade den Beweis erklärt für A gleich Rm. Und jetzt brauchen wir halt dummerweise den allgemeinen Beweis.

Okay, Sie wollen in die Topologie rein. Sie wollen irgendwie sagen, ja, Ur-Bilder offene Menge sind offen. Wir machen eine eingeschränkte Topologie. Und die ist dann gerade der Erzeuger von dem Ding, ne?

Ja, ja, ja, ja, ja. Ich mache es ein bisschen anders. Ich mache es elementarer. Und zwar Beweis. Ich brauche eine Bezeichnung.

Srx sei die offene Kugel um x mit Radius R. Und zwar im Rm. Offene Kugel um x mit Radius R.

Der größer Null. In R ober M. Ich schnappe mir dann eine beliebige offene Menge aus Rm. Also O Teilmenge Rn sei offen.

Also ich schnappe mir eine Menge aus dem Erzeuger von meiner Sigma-Algebra Bn. Und zeige, das Ur-Bild ist enthalten in dieser Sigma-Algebra A geschnitten Bm. Ich bilde F oben minus eins von O.

Ja, das ist ein Ur-Bild von dieser offenen Menge. Das heißt, sehr offen.

Das heißt, es ist die Menge aller, ja, wie soll ich es mal nennen? Soll ich es x nennen? Mit F und x sind der Menge O. Wenn die Menge, also F und x sind der Menge O. O ist offen. Dann ist auch eine ganze Umgebung von dem F und x. Also eine kleine Kugel um dieses F und x noch drin.

Dann ist F stetig. Dann kann ich also um das x noch eine noch kleinere Kugel drumherum, oder in Abhängigkeit von dem anderen Radius der Kugel, abhängende Kugel drumherum legen. Und deren Bild liegt in der anderen Kugel drin. Weil stetig ist. Das heißt, ich kann das statt, dass ich eine Vereinigung über alle x aus O-Bilde von,

also im Prinzip könnte ich jetzt eine Vereinigung über alle x aus O-Bilden von O-Bild von F oben minus eins, ja, dann machen wir mal F oben minus eins nur von der Einpunktmenge x. Und dann schreibe ich dieses Ur-Bild, schreibe ich um als Kugel.

Das war meine Idee hier. S delta von x von x geschnitten a.

Okay, warum klappt das? Ja, es ist nicht ganz, ich muss hier eigentlich ein bisschen aufpassen.

Ich darf nicht x aus O nehmen, sondern ich habe jetzt hier x aus F oben minus eins von O. Also jedes einzelne Element aus dem Ur-Bild schreibe ich, erweitere ich, indem ich eine ganze kleine Kugel drumherum lege.

Und wenn ich den Radius von der Kugel richtig mache und die andere Menge ist offen, liegen die Bilder von allen diesen Dingen in dieser Kugel wieder in O drin. Aufgrund der Stetigkeit.

Also hier brauche ich F stetig. Und eigentlich mache ich, also die mittlere Zeile ist nicht ganz so genial hingeschrieben. Also eigentlich sollte ich eher sowas hinschreiben.

x aus F oben minus eins von O. Das heißt, ich schreibe also F oben minus eins von O einfach als Vereinigung von allen Elementen. Und dann kann ich statt dem einzelnen Element, kann ich um das ganze Element noch eine kleine Kugel drumherum legen. Weil dieses F von x liegt in O, damit liegt noch eine ganze Umgebung von dem F von x in O.

Und da F stetig ist, liegt damit auch dieses ganze Bild von so einer kleinen Kugel noch in dieser Umgebung drin. Ja, und dann schreibe ich das als Vereinigung. Vereinigung über x über F oben minus eins von O von meinem S delta von x von x.

Also Radius hängt von x ab, geschnitten a. Nutze aus, die Vereinigung von, und zwar eine beliebige Vereinigung von offenen Mengen ist immer offen. Also diese einzelnen Kugeln, diese einzelne Kugel ist offen.

Das ist eine Vereinigung von offenen Mengen, das ist auch offen. Offen in, und wir sind hier im Rm. Ja, dann sehen Sie, dann ist das a geschnitten mit einer offenen Menge.

Die offene Menge liegt in bm, also ist es in a geschnitten bm enthalten. Okay, also die Idee war, wenn eben ein einzelnes x in dem F oben minus eins von O drin liegt,

dann liegt noch eine ganze Kugel drumherum. Wobei eben nur der Teil der Kugel, der auch im Definitionsbereich von der Abbildung drin liegt,

noch in diesem Urbild drin, weil die Funktion stetig ist und der Bildbereich offen. Aber wenn Sie es nicht ganz verstehen, dann merken Sie sich einfach jede Abbildung von Rm nach Rn. Jede stetige Abbildung von Rm nach Rn ist bm bn messbar.

Reicht, glaube ich, fürs weitere auch. Fragen soweit? Ja, dann die Uhr zeigt 11.20 Uhr, meine Uhr zeigt auch 11.20 Uhr.

Dann werden wir irgendwie fertig und wir sehen uns, ja, ich glaube, Donnerstag oder so.